ANKARA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

POTANSİYEL ALAN VERİLERİNİN KESİRSEL MERTEBE

TÜREVLER İLE DEĞERLENDİRİLMESİ

Muzaffer Özgü ARISOY

JEOFİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

ANKARA 2012

Her Hakkı Saklıdır

i

ÖZET

Doktora Tezi

POTANSİYEL ALAN VERİLERİNİN KESİRSEL MERTEBE

TÜREVLER İLE DEĞERLENDİRİLMESİ

Muzaffer Özgü ARISOY

Ankara Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı

Danışman: Doç. Dr. Ünal DİKMEN

Diğer jeofizik yöntemlerde olduğu gibi gravite ve manyetik problemlerin çözümünde temel amaç belirtiye neden olan yeraltı yapılarının fiziksel ve geometrik özelliklerinin belirlenmesidir. Yeraltı yapılarının yatay yönde kenarlarının belirlenmesi ve görüntülenmesi günümüzde oldukça popüler bir konudur. Bu amaçla 1970’li yıllara kadar verinin yatay ve düşey türevleri kullanılırken, geliştirilen sınır belirleme süzgeçleri yatay ve düşey türevlere göre daha yaygın kullanılır hale gelmiştir. Sınır belirleme süzgeçleri verinin tamsayı mertebeli yatay ve düşey türevlerinin hesaplanmasını gerektirmektedir. Bu süzgeçlerin zayıf yönleri; gürültü varlığını kuvvetlendirmeleri ve derin veya düşük fiziksel özellik sunan yapılara ait sınırların belirlenmesinde yetersiz kalmalarıdır. Bu süzgeçlerin zayıf yönlerinin üstesinden gelebilmek için çeşitli yöntemler önerilmiştir. Bu tez çalışmasında, tamsayı mertebeli yatay ve düşey türevlerin hesaplanmasını gerektiren sınır belirleme süzgeçleri kesirsel mertebeli türevler kullanılarak model ve arazi verileri üzerinde sınanmıştır. Sınır belirleme süzgeçlerinin geleneksel kullanımlarıyla kesirsel mertebeden türevler ile kullanımları kıyaslandığında, kesirsel mertebeden türev kullanımının başarılı sonuçlar verdiği görülmüştür. Tez çalışması kapsamında yatay yönde kaymayı engellemek için “faz uyarlanmış kesirsel mertebeli yatay türev süzgeci” adı verilen bir süzgeç önerilmiştir. Bununla birlikte, potansiyel alan verilerinin modellenmesi, süzgeçlenmesi ve görselleştirilmesi amacıyla MATLAB programlama dilinde POTENSOFT adı verilen bir yazılım geliştirilmiştir. Haziran 2012, 78 sayfa

Anahtar Kelimeler: Gravite ve Manyetik Veri, Kesirli Mertebe Türev, Yatay Türev, Düşey Türev, Sınır Belirleme, Dalgasayısı Ortamı Süzgeç.

ii

ABSTRACT

Ph.D. Thesis

EVALUATION OF POTENTIAL FIELD DATA

USING FRACTIONAL ORDER DERIVATIVES

Muzaffer Özgü ARISOY

Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences

Department of Geophysical Engineering

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ünal DİKMEN

Like the other geophysical methods, the main purpose in solving the gravity and magnetic problems is to identify the physical and geometrical properties of the subsurface structures that cause the magnetic or gravity anomalies. Nowadays, the matter of identification as well visualization of boundaries of the subsurface structures in horizontal directions is popular. For this purpose, the vertical and horizontal derivatives of the gravity or magnetic data have been used till 1970s and since then, the edge detection filters have improved and are preferred rather than the horizontal and vertical derivative schemes. The edge detection filters involve integer order vertical and horizontal derivatives of the data. The main disadvantage of these kinds of filters is that they enrich the noise and hence, fail on detecting the boundaries of the subsurface structures buried deep or with indistinct gravity or magnetic properties. To overcome the troubles with these filters, various techniques were proposed. In this thesis, the filters involving the integer order vertical and horizontal derivatives is tested with fractional order vertical and horizontal derivatives on both synthetic and field data. Comparing the fractional order differentiation with the traditional edge detection filters, successful results are achieved with the fractional order differentiation. In the frame of the thesis, a new type of filter named "phase adapted fractional order horizontal derivative filter" is proposed to overcome the shifting problem in horizontal directions. In addition, a MATLAB based computer code named POTENSOFT is developed for modeling, filtering and visualization of the potential field data. June 2012, 78 pages Key Words: Gravity and Magnetic Data, Fractional Order Derivative, Horizontal Derivative, Vertical Derivative, Edge Detection, Wavenumber Domain Filter.

iii

TEŞEKKÜR

Doktora tez çalışmamın her aşamasında engin bilgi birikimi, yakın ilgi ve önerileri ile

beni yönlendiren tez danışmanım Doç. Dr. Ünal DİKMEN’e (Ankara Üniversitesi,

Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı) sonsuz teşekkür ederim.

Tez çalışmam süresince, bilgisinin yanı sıra işine olan saygısı ve insani özelliklerinden

edindiğim kazanımların benim için oldukça kıymetli olduğunu özellikle belirtmek

isterim. Tez izleme komitemde yer alan ve kendime her zaman bilim adamı olarak

örnek aldığım değerli hocam Prof. Dr. Ahmet TUĞRUL BAŞOKUR’a (Ankara

Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı) sonsuz

teşekkür ederim. Doktora çalışmam boyunca katkı ve eleştirileriyle daima beni

yönlendirmiş ve doktora çalışması dışındaki çalışmalarımda yanımda olmuş ve beni

cesaretlendirmiştir. Değerli fikirleri ile tez çalışmamın olgunlaşmasında çok büyük

katkıları olan ve tez izleme komitemde yer alan sayın Doç. Dr. Ziya TELATAR’a

(Ankara Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı)

şükranlarımı sunarım. Ders aşaması zamanında kendisinden aldığım Sayısal Görüntü

İşleme I ve Sayısal Görüntü İşleme II dersleri hem tez çalışmama büyük katkıda

bulunmuştur hem de tez çalışması dışında farklı alanlara ilgi göstermeme neden

olmuştur. Tez jüri üyeleri sayın Prof. Dr. Abdullah ATEŞ’e (Ankara Üniversitesi,

Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı) ve sayın Doç. Dr. Bülent

ORUÇ’a (Kocaeli Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Anabilim

Dalı) katkılarından dolayı teşekkür ederim.

Bugünlere gelmemde üzerimde emeği en büyük olan annem ve babama ayrıca teşekkür

ederim. Doktora çalışmam boyunca her zaman sevgi ve desteklerini yanımda

hissettiğim sevgili eşim Ebru ARISOY teşekkürlerin en büyüğüne layıktır. Tez

çalışmasına başladığım ilk günlerde aramıza katılan oğlum Demir ARISOY manevi

çalışma kaynağım olmuştur.

Muzaffer Özgü ARISOY

Ankara, Haziran 2012

iv

İÇİNDEKİLER

ÖZET..………...…………………………………………………………….…..... iABSTRACT.…………………………………………………………….......….... iiTEŞEKKÜR..………………………………………………………………..…… iiiSİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ………………………….………... vŞEKİLLER DİZİNİ....……………………………………………………..…..... vi1. GİRİŞ..……………………...………………………………………………….. 12. POTANSİYEL ALAN VERİLERİNİN YORUMLANMASINDA TEMEL İŞLEMLER……………………………………………………………………. 4

2.1 Yapma Gravite Dönüşümü….……….…………………………………….... 72.2 Kutba İndirgeme…………………………………………………………….. 82.3 Analitik Uzanım……………………………………………………………… 92.4 Bölgesel-Yerel Ayrım………………………………………………………... 112.5 Dalga Sayısı Ortamı Süzgeçler……………………………………………… 122.6 Yönlü Süzgeçler……………………………………………………………… 132.7 Potansiyel Alan Verilerinin Değerlendirilmesinde Kullanılan Bilgisayar

Yazılımları…………………………………………………………………..... 153. POTANSİYEL ALAN VERİLERİNDE SINIR BELİRLEME..................... 174. KESİRLİ MERTEBEDEN TÜREV KAVRAMI............................................ 334.1 Tamsayı MertebeliTürev ve İntegralin Ortak Yazımı……………….......... 344.2 GL Kesirli Mertebe Türev…………………………………………………... 354.3 RL Kesirli Mertebe Türev…………………………………………………... 364.3.1 RL kesirli mertebe türevin dalgasayısı ortamı ifadesi…………………... 404.4. Caputo Kesirli Mertebe Türev……………………………………………... 425. POTANSİYEL ALAN VERİLERİNİN KESİRLİ MERTEBEDEN

TÜREVLERİ.................................................................................................... 436. TARTIŞMA VE SONUÇLAR………….……………………………………. 61KAYNAKLAR…………………………………………………………………… 63EKLER…………………………………………………………………………… 70EK 1 BİR FONKSİYONUN n. MERTEBEDEN TÜREVİ…………………… 71EK 2 n KATLI İNTEGRALİN GENEL YAZIMI…………………………….. 73EK 3 GAMMA FONKSİYONU………………………………………………… 75ÖZGEÇMİŞ…………………………………………………………………….... 78

v

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ

x Potansiyel alan verisi x-yönlü yatay türevi y Potansiyel alan verisi y-yönlü yatay türevi z Potansiyel alan verisi düşey türevi RL Riemann-Liouville GL Grünwald-Letnikov 2B İki-boyut 3B Üç-boyut

xk x doğrultusundaki dalgasayısı

yk y doğrultusundaki dalgasayısı k Dalgasayısı ( ),P x y Potansiyel alan

F Fourier Dönüşümü TYT Toplam yatay türev AS Analitik sinyal GAS Geliştirilmiş analitik sinyal DAS Dengelenmiş analitik sinyal

vi

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 2.1 Histogram dengeleme ve Lambertian yansıtıcı yöntemleriyle

manyetik alan görüntü haritalarının iyileştirilmesi………………….. 6Şekil 2.2 Yapma gravite dönüşümünün manyetik model verisi üzerinde

sınanması……………………………………………………………. 8Şekil 2.3 Kutba indirgeme yönteminin manyetik model verisi üzerinde

sınanması……………………………………………………………. 9Şekil 2.4 Aşağı ve yukarı uzanım süzgeçlerinin manyetik model verisi

üzerinde sınanması…………………………………………………... 10Şekil 2.5 Gravite model verisinden ikinci dereceden bir polinom yüzeyinin

çıkarılması ile bölgesel-yerel ayrım yapılması……………………… 12Şekil 2.6 Geleneksel dalga sayısı ortamı süzgeçlerin genlik spektrumlarına ait

3B perspektif görüntüler. Alçak ve yüksek geçişli durumda süzgeçlerin kesme dalga sayıları 0.25 rad/km olarak seçilmiştir…… 13

Şekil 2.7 Yönlü yatay türev süzgecinin farklı azimut açıları için gravite model verisi üzerinde sınanması……………………………………………. 14

Şekil 3.1 2B durum için birinci ve ikinci mertebeden yatay türev süzgecinin dalga sayısı ortamı davranışları……………………………………... 18

Şekil 3.2 3B durum için birinci ve ikinci mertebeden x-yönlü ve y-yönlü yatay türev süzgeçlerinin dalga sayısı ortamı davranışları…………. 19

Şekil 3.3 Birinci ve ikinci mertebeden düşey türev süzgeçlerinin dalga sayısı ortamı davranışları…………………………………………………... 21

Şekil 3.4 Birinci ve ikinci mertebeden düşey türevin sıfırlarını kullanarak yeraltı yapılarının sınırlarının belirlenmesi…………………………. 22

Şekil 3.5 Birinci ve ikinci mertebeden yatay ve düşey türev süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş manyetik model verisine uygulanması…………………………………………………………. 23

Şekil 3.6 TYT ve AS süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş 2B manyetik model verisine uygulanması………………………….. 25

Şekil 3.7 AS ve GAS süzgeçlerinin manyetik model verisi üzerinde sınanması……………………………………………………………. 27

Şekil 3.8 TYT, AS, eğim açısı ve yatay eğim açısı süzgeçlerinin geometrik anlamı……………………………………………………………….. 29

Şekil 3.9 Sınır belirleme süzgeçlerinin manyetik model verisi üzerinde sınanması ve birbirleriyle karşılaştırılması………………………….. 31

Şekil 4.1 Grünwald katsayılarının türev mertebesine bağlı değişimi…………. 36Şekil 4.2 RL kesirli türev hesabı için şematik gösterim………………………. 37Şekil 4.3 Bir fonksiyonun 2.3. mertebeden RL kesirli türev hesabı…………... 38Şekil 4.4 [0,1] aralığında 0.1 adımla hesaplanan RL integral çekirdek

fonksiyonu davranışı………………………………………………... 39Şekil 4.5 [0.25,2] aralığında 0.25 adımla hesaplanan RL kesirli türevi

dalgasayısı ortamı görüntüleri………………………………………. 41Şekil 5.1 Kesirli mertebeden yatay türev süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve

gürültü eklenmiş manyetik model verisine uygulanması…………… 45

vii

Şekil 5.2 Kesirli mertebeden düşey türev süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş manyetik model verisine uygulanması………… 46

Şekil 5.3 Dalgasayısı ortamında faz uyarlanmış kesirli mertebeden yatay türev süzgecinin kurulması………………………………………….. 47

Şekil 5.4 Kuramsal manyetik alan verisinin [0.25,1] aralığında 0.25 adımla hesaplanan yatay, düşey ve faz uyarlanmış yatay türev eğrileri…….. 48

Şekil 5.5 TYT süzgecinin tamsayı ve kesirli mertebeden türev kullanımı ile manyetik model verisi üzerinde sınanması………………………….. 49

Şekil 5.6 AS süzgecinin tamsayı ve kesirli mertebeden türev kullanımı ile manyetik model verisi üzerinde sınanması………………………….. 50

Şekil 5.7 GAS süzgecinin tamsayı ve kesirli mertebeden düşey türev kullanımı ile manyetik model verisi üzerinde sınanması…………… 51

Şekil 5.8 Eğim açısının toplam yatay türevi süzgecinin kesirli mertebeden türev kullanımı ile gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş manyetik model verisine uygulanması……………………………… 53

Şekil 5.9 Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile TYT süzgecinin manyetik model üzerinde sınanması………………………………… 54

Şekil 5.10 Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile AS süzgecinin manyetik model üzerinde sınanması…………………………………………… 55

Şekil 5.11 Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile eğim açısının toplam yatay türevi süzgecinin manyetik model üzerinde sınanması……….. 56

Şekil 5.12 Kesirli mertebeden türevler ile TYT süzgecinin arazi verisinde sınanması……………………………………………………………. 58

Şekil 5.13 Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile eğim açısı süzgecinin arazi verisi üzerinde sınanması……………………………………… 60

1

1. GİRİŞ “Gravite ve manyetik yöntemler” literatürde “Potansiyel alan yöntemleri” başlığı altında

birleştirilir. Dolayısıyla “gravite ve manyetik veriler” bu tez çalışmasının başlığında

olduğu gibi “potansiyel alan verileri” olarak anılır. Bunun nedeni, gravite (yer-çekim)

ve manyetik alanın kendilerine özgü bir matematiksel bağıntı ile ifade edilen

potansiyellerden türetilmesidir.

Gravite ve manyetik yöntemler, jeofizikte kullanılan ilk yöntemlerdendir. Gravite

yönteminin temelini kayaçlar arasındaki yoğunluk farkları oluşturur. Kayaçlar

arasındaki yoğunluk değişiminin dar bir genlik aralığında gözlenmesinden dolayı

gravite belirtileri düzgün ve tekdüze değişimler sunar. Gravite yöntemi; yerkürenin

şeklinin, yapısının araştırılmasında ve arama amaçlı kullanılan bir yöntemdir. Arama

amaçlı araştırmalarda petrol, maden araştırmaları, tuz domları, yeraltı boşluklarının

araştırılması, tektonik ve arkeolojik araştırmalar gibi konularda sıklıkla kullanılır.

Gravite çalışmaları karanın dışında havadan ve denizden de yapılabilmektedir. Son

yıllarda üretilen gravite aletleri arazide veri toplamada hız ve yüksek duyarlılık

sunmaktadır.

Manyetik yöntemin amacı; yerkürede manyetik özellik sunan yeraltı yapılarının ve

dağılımlarının araştırılmasıdır. Yöntemde bir yeraltı yapısının belirti verebilmesi için

etrafındaki yapıya/yapılara göre farklı manyetik duyarlık sunması gerekir. Petrol ve

doğalgaz aramaları gibi derin kaynaklı yapıların incelenmesinden, arkeoloji gibi sığ

yüzey araştırmalarına kadar, arama derinliği geniş aralıkta değişen bir yöntemdir.

Manyetik arama çalışmaları gravite yöntemine benzer şekilde karadan, havadan ve

denizden yapılabilmektedir. Veriler günümüzde sürekli kayıt şeklinde ve yeni nesil

manyetik cihazlarla hızlı ve yüksek hassasiyetli toplanabilmektedir. Bunun neticesi

olarak, manyetik yöntem özellikle maden aramalarında ve arkeoloji çalışmalarında en

sık tercih edilen yöntem haline gelmiştir.

2

Arazi ölçümleri ile toplanan veriye her iki yönteme özgü öncel düzeltmelerin

uygulanmasından sonra gravite ve manyetik veriler yoruma açık hale gelmektedir.

Gravite belirti haritaları önceki paragrafta açıklandığı nedenle düşük dinamik aralık

sunarlar ve gravite belirtileri kendilerine neden olan yeraltı yapılarının tam üzerinde

yeralır. Bu nedenle, gerekli düzeltmeler yapılmış gravite haritaları yorumcu tarafından

kabaca yorumlanabilir. Kabul edilebilir bir sonuca ulaşmak için izleyen bölümde verilen

geleneksel veri-işlem yöntemlerinin gravite verilerine uygulanması zorunluluğunu

unutmamak gerekir. Manyetik belirti haritalarının yorumu hem yüksek dinamik aralık

sunmaları hem de mıknatıslanmadan dolayı oluşan bozucu etkileri içermeleri nedeniyle

graviteye göre daha zordur. Gravite ve manyetik veriler farklı karakterlerde olmalarına

karşın yorumlanmaları amacıyla kullanılan veri-işlem yöntemleri aynıdır. Ancak

manyetik verilerin yorumlanmasında kullanım zorunluluğu olan farklı veri-işlem

yöntemleri bulunmaktadır.

Diğer jeofizik problemlerde olduğu gibi potansiyel alan verilerinin değerlendirilmesinde

amaç; belirtiye neden olan yeraltı yapısının/yapılarının geometrik ve fiziksel

özelliklerinin belirlenmesi ve görüntülenmesidir. Potansiyel alan verilerinin

değerlendirilmesinde yeraltı yapılarının yatay ve düşey yönde sınırlarının belirlenmesi

günümüzde çözülmeye çalışılan en önemli problemlerden birisidir. Bu tez kapsamında

yeraltı yapılarının yatay yönde sınırlarının belirlenmesi ve görüntülenmesi üzerine

odaklanılmıştır. Potansiyel alan verilerinde sınır analizi 1970’li yıllara kadar verinin

yatay (x ve y) ve düşey (z) türevlerinin hesaplanması ve görselleştirilmesi şeklinde

yapılmıştır. Sonraki yıllardan itibaren geliştirilen sınır belirleme süzgeçleri günümüzde

yatay ve düşey türevlere göre daha sık tercih edilmektedir. Ancak, bu sınır belirleme

süzgeçleri verinin yatay ve düşey türevlerinin hesaplanmasını gerektirir.

Bu tez çalışmasında, potansiyel alan kaynaklarının yatay sınırlarının belirlenmesinde

geleneksel olarak kullanılan tamsayı mertebeli türevler yerine kesirli mertebeden

türevlerin kullanımı önerilmiş ve kesirli mertebeden türevlerin üstün yanları

gösterilmiştir. Kesirli mertebeden türevler Riemann-Liouville (RL) kesirli türev

yaklaşımı ile hesaplanmıştır. Tamsayı mertebeli türevleri kullanan sınır belirleme

süzgeçleri kesirli mertebeden türevler ile yeniden oluşturulmuş ve sonuçlar

3

karşılaştırıldığında süzgeçlerin geleneksel kullanımlarına göre sonuçlarda iyileşme

sağlandığı gözlenmiştir.

Tezin ilk bölümünde, potansiyel alan verilerinin değerlendirilmesinde geleneksel

kullanılan uzamsal ve dalgasayı ortamı süzgeçler hakkında bilgi ve model verileri

üzerinde uygulama sonuçları verilmiştir. Potansiyel alan verilerinin modellenmesi,

süzgeçlenmesi ve görüntülenmesi için MATLAB programlama dili kullanılarak

geliştirilen POTENSOFT isimli yazılım genel özellikleri ile tanıtılmıştır.

İkinci bölümde, yeraltı yapılarının sınırlarının belirlenmesinde kullanılan türev tabanlı

yöntemlerle ilgili ayrıntılı bilgi verilmiş ve bu yöntemler model verileri üzerinde

karşılaştırılmıştır.

Üçüncü bölümde, tezin konusunu oluşturan kesirli mertebeden türev yaklaşımı

hakkında bilgi verilmiştir. Riemann-Liouville (RL) kesirli türevinin uzamsal ve

dalgasayısı ortamı karşılıkları verilmiştir.

Son bölümde, potansiyel alan verilerinin değerlendirilmesinde kesirli mertebeden

türevlerin kullanımı ile ilgili öncel çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir. Daha sonra,

tamsayı mertebeli türevlerin hesaplanmasını gerektiren sınır belirleme süzgeçleri RL

kesirli türevleri kullanılarak model ve arazi verileri üzerinde uygulanmış ve sonuçları

tartışılmıştır.

4

2. POTANSİYEL ALAN VERİLERİNİN YORUMLANMASINDA TEMEL İŞLEMLER

Arazi çalışmaları ile toplanan ham-veriye gerekli düzeltmelerin yapılmasından sonra

potansiyel alan verileri ölçü geometrisine bağlı olarak profil eğrileri (iki-boyutta, 2B,

ölçü) veya görüntü haritaları (üç-boyutta, 3B, ölçü) şeklinde sunulur. 3B ölçü

geometrisi ile toplanan veriler görselleştirme aşamasından önce ölçü noktalarına

dağıtılır. Bu işleme gridleme (gridding) ismi verilir. Gridleme işlemi temelde bir

interpolasyon tekniğidir. Çoğu zaman düzenli bir geometride toplananamayan gravite ve

manyetik verilerin gridlenmesi aşamasında yorumcunun probleme en uygun gridleme

yöntemini seçmesi gerekir (Briggs 1974, Hansen 1993, O’Connel vd. 2005). Görüntü

haritalarının dışında potansiyel alan verilerinin görselleştirilmesinde; kontur haritaları,

renklendirilmiş kontur haritaları, yapma renklendirme haritaları, kabartma

(gölgelendirme) haritaları ve 3B perspektif haritalarının kullanımı da yaygındır (Arısoy

ve Dikmen 2011). Görselleştirilmiş veri üzerinde yorumcu; fiziksel özelliğin ölçü

alanında dağılımı, veri kalitesi, olası gürültü varlığı gibi etkenleri kabaca

yorumlayabilir.

Potansiyel alan görüntü haritaları genellikle düşük genlik aralığındadır. Bu durum

manyetik alan görüntü haritalarında sıklıkla görülür. Yorum aşamasından önce

potansiyel alan görüntü haritalarının iyileştirilmesi yorumlamayı önemli ölçüde

kolaylaştırır. Sayısal görüntü işleme uygulamalarında sıklıkla kullanılan histogram

dengeleme (eşitleme) yöntemi son yıllarda potansiyel alan görüntülerinin

iyileştirilmesinde kullanılmaktadır (Lili vd. 2005). Histogram eşitleme, görüntü

işlemede görüntü histogramını kullanarak görüntü karşıtlığının ayarlanması için sıklıkla

kullanılan bir yöntemdir. Yöntem, bir görüntüde düşük karşıtlık değerleriyle betimlenen

bölümlerin karşıtlık değerlerini arttırır. Bu düzeltme ile görüntüdeki parlaklık değerleri

histogram üzerinde daha iyi bir dağılım gösterir. Düşük yerel karşıtlıklı bölümlerin bir

kazanç işlemi sonrası yüksek zıtlık değerlerine taşınması göze çarpmayan bölgelerin

görünürlüğünün artmasına ve böylelikle görüntünün daha iyi yorumlanmasına olanak

sağlar (Gonzales ve Woods 2002). Diğer kullanışlı bir yol ise kabartma haritalarının

kullanımıdır. Potansiyel alan verilerinin kabartma haritalarının oluşturulması için en sık

5

kullanılan yöntem Lambertian yansıtıcı (Horn 1982) modelidir (Cooper ve Cowan

2007). Şekil 2.1’de bir toplam manyetik alan model verisine ait görüntünün histogram

dengeleme yöntemi ve Lambertian yansıtıcı modeli kullanılarak oluşturulan görüntü

haritaları gösterilmiştir. Modelde kullanılan tüm yapıların mıknatıslanma şiddetleri 1

A/m’dir. Yer manyetik alan ile mıknatıslanma yöneyinin eğim ve sapma açıları sırasıyla

90o ve 0o olarak seçilmiştir. Yapıların derinlik dağılımları şekil 2.1.b’den takip

edilebilir. Mavi renkle temsil edilen yapı diğerlerine göre daha derine yerleştirilmiş ve

şekil 2.1.c’de verilen toplam manyetik alan görüntü haritasında belirtisi fark

edilememektedir. Histogram dengeleme ve Lambertian yansıtıcı yöntemlerinin

uygulama sonuçlarında ise (Şekil 2.1.d,e) toplam manyetik alan görüntü haritası

iyileştirilmiş ve tüm yapılara ait belirtiler netleşmiştir.

Veri görselleştirme aşamasından sonra veri iyileştirme adımı gelir. Veri iyileştirme

aşaması, uzamsal veya dalgasayısı ortamı süzgeçlerin veriye uygulanması aşamasıdır.

2B uzamsal ve dalga sayısı süzgeçlerin jeofizikte en sık kullanım alanı bulduğu yer

gravite ve manyetik yöntemlerdir. Potansiyel alan verilerinin süzgeçlenmesi; jeolojik

birimlerin dokanak sınırlarının belirginleştirilmesi, veriden istenmeyen etkilerin

uzaklaştırılması, sığ veya derin etkilerin kuvvetlendirilmesi, farklı yönelimlerdeki

etkilerin ortaya çıkartılması, verideki kaymaların ortadan kaldırılması gibi amaçlarla

kullanılmaktadır (Byerly 1965, Fuller 1967, Spector 1968, Parsneau 1970, Ku vd. 1971,

Bhattacharyya 1972, Clement 1973, Gunn 1975, Rimando 1987, Vaclac vd. 1992,

Blakely 1996, Telford vd. 1996, Naidu ve Mathew 1998, Arısoy ve Dikmen 2011).

Uzamsal ortam süzgeçleme, amaca göre M×M (M tek sayı olmak üzere) boyutunda

oluşturulan maske (çekirdek) ile verinin katlamalı çarpımı (evrişim, konvolüsyon)

şeklinde gerçekleştirilir. Dalgasayısı ortamı süzgeçleme ise dalgasayısı ortamında veri

ve geliştirilen süzgecin çarpılması ve sonucun uzamsal ortama tekrar dönüştürülmesi

şeklinde yapılır. Potansiyel alan verilerin değerlendirilmesinde geleneksel olarak

kullanılan süzgeçler: yapma gravite, kutba indirgeme, analitik uzanım, bölgesel-yerel

ayrım, alçak, yüksek, band geçişli ve yönlü süzgeçlerdir.

6

Şekil 2.1 Histogram dengeleme ve Lambertian yansıtıcı yöntemleriyle manyetik alan

görüntü haritalarının iyileştirilmesi a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Kuramsal toplam manyetik alan görüntü haritası, d. Histogram dengelenmiş toplam manyetik alan görüntü haritası, e. Lambertian yansıtıcı kullanılarak oluşturulan kabartma haritası

7

Veri iyileştirme adımından sonra, belirtiye neden olan yeraltı yapıların yatay ve düşey

doğrultulardaki geometrik ve fiziksel özellikleri belirlenmeye çalışılır. Bu işlem için

türev tabanlı yöntemler veya ters çözüm yöntemleri kullanılmaktadır. Tez çalışmasına

konu olan türev tabanlı sınır belirleme yöntemleri üçüncü bölümde ayrıntılı

anlatılmıştır.

2.1 Yapma Gravite Dönüşümü

Poisson (1986), manyetik ve gravite potansiyelleri arasındaki ilişkiyi tanımlamıştır ve

bu ilişki Poisson ilişkisi olarak adlandırılır (Garland 1951). Poisson bağıntısına göre

manyetik belirtiye neden olan yeraltı yapısının gravite belirtisi manyetik veriden elde

edilebilir. Bu dönüşüm, yapma gravite dönüşümü olarak bilinir. Yapma gravite

belirtileri, dalgasayısı ortamında kurulan bir alçak geçişli süzgeç ile verinin çarpımı

sonucu elde edilir (Baranov 1957, Blakely 1996). Karmaşık manyetik belirtilerin

sadeleştirilmesinde ve sınır analizi öncesinde sıklıkla başvurulan bir yöntemdir. Şekil

2.2’de kuramsal toplam manyetik alan verisinin yapma gravite dönüşümü sonucu

gösterilmiştir. Şekil 2.2.a,b’de sırasıyla temsili yeraltı modelin plan ve 3B perspektif

görüntüleri verilmiştir. Şekil 2.2.c’de modelden hesaplanan toplam manyetik alan

görüntü haritası ve şekil 2.2.d’de ise kuramsal verinin yapma gravite dönüşümü sonucu

verilmiştir. Yer manyetik alanının eğim ve sapma açıları sırasıyla 55o ve 4o olarak

seçilmiştir. Modelde verilen tüm prizmatik yapıların mıknatıslanma vektörlerinin eğim

ve sapma açıları yer manyetik alanınkiyle aynıdır.

8

Şekil 2.2 Yapma gravite dönüşümünün manyetik model verisi üzerinde sınanması a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Kuramsal toplam manyetik alan görüntü haritası, d. Yapma gravite görüntü haritası

2.2 Kutba İndirgeme

Gravite belirtileri kendilerini oluşturan yapıların üzerinde yeralır ve şekilleri yine

kendilerini oluşturan yapıların geometrisine bağlıdır. Aynı durum manyetik belirtiler

için geçerli değildir. Bunun nedeni, manyetik belirtilerin yapı mıknatıslanması ve yer

manyetik alanın yönüne bağlı olmasıdır. Bu nedenle, manyetik verilerin yorumu gravite

verilerine göre daha zordur. Bu zorluğu ortadan kaldırabilmek amacıyla kutba

indirgeme manyetik verilere uygulanan zorunlu bir süzgeç haline gelmiştir. Kutba

indirgeme dalga sayısı ortamında tanımlanan bir operatördür (Blakely 1996). Kutba

indirgeme uygulanmış manyetik veri, sanki kuzey manyetik kutupta ölçülmüş manyetik

9

veriye dönüşür ve sonuçta manyetik belirtiler yatay yönde kendilerine neden olan yeraltı

yapılarının üzerine kayar. Şekil 2.3’de yapma gravite dönüşümü örneği için hesaplanan

kuramsal manyetik verinin kutba indirgeme sonucu gösterilmiştir.

Şekil 2.3 Kutba indirgeme yönteminin manyetik model verisi üzerinde sınanması a. Toplam manyetik alan görüntü haritası, b. Kutba indirgenmiş toplam manyetik alan görüntü haritası 2.3 Analitik Uzanım Yeryüzünden veya havadan ölçülen gravite ve manyetik verilerin, ölçü düzleminin

altında veya üstünde bir başka düzlem üzerinde alacağı değerlerin hesaplanması

işlemine analitik uzanım adı verilir. Ölçülen veri kümesinin analitik ifadesi

bilinmediğinden analitik uzanım sayısal olarak hesaplanır. Analitik uzanım operatörleri

dalga sayısı ortamında tanımlanan operatörlerdir (Blakely 1996). Analitik uzanım

yöntemleri temelde potansiyel alan belirtilerini birbirinden ayırma amacıyla kullanılır.

Analitik uzanım, aşağı ve yukarı analitik uzanım yöntemleri olmak üzere iki grupta

incelenir. Aşağı analitik uzanım yüksek geçişli bir süzgeçtir ve yüzeye yakın veya

yüksek genlikli fiziksel özellik gösteren yapılara ait etkilerin kuvvetlendirilmesinde

kullanılır. Yukarı analitik uzanım ise alçak geçişli bir süzgeç karakteri sunar ve farklı

derinlik düzlemlerinde derin yapıların etkilerinin incelenmesinde kullanılır.

Şekil 2.4’de plan ve 3B perspektif görüntüsü verilen modelden hesaplanan toplam

manyetik alan verisinin farklı düzlemler için aşağı ve yukarı analitik uzanım sonuçları

gösterilmiştir. Model çalışmasında kullanılan prizmatik yapıların mıknatıslanma

10

şiddetleri 1 A/m ve yer manyetik alan ile mıknatıslanma yöneyinin eğim ve sapma

açıları sırasıyla 90o ve 0o olarak seçilmiştir.

Şekil 2.4 Aşağı ve yukarı uzanım süzgeçlerinin manyetik model verisi üzerinde

sınanması a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Farklı seviyeler için yukarı analitik uzanım sonuçları, d. Farklı seviyeler için aşağı analitik uzanım sonuçları

11

2.4 Bölgesel-Yerel Ayrım Arazi çalışmaları ile toplanan gravite ve manyetik veriler bölgesel (rejyonal) ve yerel

(rezidüel) belirtilerin etkilerini içerir. Uygulamada, büyük dalga boylu belirtilere derin

yapıların neden olduğu kabulü yapılır. Bölgesel ve yerel belirtiler sadece belirtilerin

dalgaboylarını dikkate alarak sınıflandırılmaz. Diğer önemli bir ölçüt ise ölçü alanının

büyüklüğüdür. Potansiyel alan belirtilerinde bölgesel-yerel ayrım günümüzde polinom

yüzeyine yaklaştırma, dalga sayısı ortamı süzgeçler, birinci ve ikinci mertebeden

türevler ve dalgacık dönüşümü yöntemleriyle yapılmaktadır (Li ve Oldenburg 1998, Xu

vd. 2009). Şekil 2.5’de ikinci dereceden bir polinom yüzeyinin veriden

uzaklaştırılmasıyla (modelde derin yapıyı temsil eden prizmatik yapının gravite belirtisi

ikinci dereceden polinom yüzeyine benzer) bölgesel gravite verisinin elde edilmesi

gösterilmiştir. Şekil 2.5.a,b’de sırasıyla yeraltı modelinin plan ve 3B perspektif

görüntüleri verilmiştir. Bölgesel etkiyi temsil eden yeraltı yapısı siyah renkle

gösterilmiştir. Tüm yapıların yoğunlukları 0.2 g/cm3 alınmıştır. Şekil 2.5.c’de modelden

hesaplanan kuramsal gravite görüntü haritası ve şekil 2.5.d’de ise bölgesel etki

uzaklaştırılmış gravite görüntü haritası verilmiştir.

12

Şekil 2.5 Gravite model verisinden ikinci dereceden bir polinom yüzeyinin çıkarılması

ile bölgesel-yerel ayrım yapılması a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Kuramsal gravite alanı görüntü haritası, d. Bölgesel etki uzaklaştırılmış gravite alan görüntü haritası 2.5 Geleneksel Dalga Sayısı Ortamı Süzgeçler Gravite ve manyetik verilerin değerlendirilmesinde alçak, yüksek ve band geçişli

süzgeçlerin kullanımı artık geleneksel bir durum almıştır. Potansiyel alan verilerinin

değerlendirilmesinde geçiş bölgesi ani değişimler göstermeyen (butterworth, gaussian

süzgeçler gibi) dalga sayısı ortamı süzgeçler ideal süzgeçlere göre daha sık tercih

edilmektedir. Şekil 2.6’da Nyquist dalga sayısı 0.5 rad/km, alçak ve yüksek kesme

dalga sayıları 0.25 rad/km seçilen ideal dairesel simetrik, Gaussian ve Butterworth

süzgeçlerinin genlik spektrumları sunulmuştur. Bu süzgeçler potansiyel alan verilerinde,

13

gürültü etkilerini azaltma, derin veya sığ yapıların etkisinin kuvvetlendirilmesi veya

azaltılması amacıyla kullanılır.

Şekil 2.6 Geleneksel dalga sayısı ortamı süzgeçlerin genlik spektrumlarına ait 3B

perspektif görüntüler. Alçak ve yüksek geçişli durumda süzgeçlerin kesme dalga sayıları 0.25 rad/km olarak seçilmiştir

a. İdeal alçak geçişli dairesel bakışımlı süzgeç, b. İdeal yüksek geçişli dairesel bakışımlı süzgeç, c. Alçak geçişli Gaussian süzgeç, d. Yüksek geçişli Gaussian süzgeç, e. Alçak geçişli Butterworth süzgeç, f. Yüksek geçişli Butterworth süzgeç 2.6 Yönlü Süzgeçler Potansiyel alan belirtilerine neden olan yeraltı yapıları her zaman coğrafik kuzey temel

alındığı durumda kuzeye dik veya koşut bir biçimde konumlanmazlar. Coğrafik kuzeyle

belirli bir açı yapan bu tür yeraltı yapılarının etkilerini kuvvetlendirmek veya azaltmak

için yönlü süzgeçlerin kullanımı yaygındır (Cooper ve Cowan 2007). Yönlü süzgeçler

14

dalga sayısı ortamında tanımlanan alçak veya yüksek geçişli operatörler (yönlü kosinüs

süzgeci, yönlü ideal süzgeçler) olabildiği gibi yatay türevlerin döndürme yöneyi ile

çarpımı şeklinde de tanımlanır. Şekil 2.7’de plan ve 3B perspektif görüntüsü verilen

modelden hesaplanan gravite verisinin 0o’den 360o’ye kadar 45o’lik azimut açısı

artımıyla hesaplanmış yönlü yatay türevlerine ait görüntü haritaları verilmiştir. Modelde

tüm yapıların yoğunlukları 0.1 g/cm3 olarak seçilmiştir.

Şekil 2.7 Yönlü yatay türev süzgecinin farklı azimut açıları için gravite model verisi

üzerinde sınanması a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Kuramsal gravite alanı görüntü haritası, d. 0o, e. 45o, f. 90o, g. 135o, h. 180o, i. 225o, j. 270o, k. 315o, l. 360o için hesaplanan yönlü yatay türev görüntü haritaları

15

2.7 Potansiyel Alan Verilerinin Değerlendirilmesinde Kullanılan Bilgisayar Yazılımları

Gerek ülkemizde gerekse yurtdışında gravite ve manyetik verilerin modellenmesi,

süzgeçlenmesi ve görselleştirilmesi amacıyla ticari programların kullanımı yaygındır.

Bu ticari yazılımlara örnek olarak; Geosoft firması tarafından geliştirilen Oasis Montaj

ve eklentileri, Encom firması tarafından geliştirilen Profile Analyst, ModelVision ve

Intrepid firmasının kendi ismini verdiği Intrepid yazılımları gösterilebilir. Bu bilgisayar

yazılımlarının ücretleri oldukça yüksektir. Yeni algoritmaları içeren güncel sürümler

için de üretici firmalar ek ücret istemektedir. Bununla birlikte yorumcu, ihtiyacı olan her

yöntemi bu yazılımlar içinde her zaman bulamamakta ve ek paket programlara ihtiyaç

duymaktadır.

Ticari programların dışında gravite ve manyetik verilerin değerlendirilmesi için

literatürde açık kaynak kodları verilen birçok çalışma bulunmaktadır (Gibert ve

Galdeano 1985, Bezvoda vd. 1990, Cooper 1997, Durrheim ve Cooper 1998, Cooper ve

Cowan 2004, Cooper 2005, Fedi vd. 2005, Cooper 2006, Cooper ve Cowan, 2006,

Mendonça ve Meguid 2008). Bu yazılımların çoğu sadece tek bir problemin çözümü

için geliştirilmiştir ve program çıktılarının görselleştirilmesi noktasında araştırmacılar

diğer ticari programlara bağlı kalmaktadır.

Bu tez çalışmasının önemli bir çıktısı; gravite ve manyetik verilerin modellenmesi,

süzgeçlenmesi ve görselleştirilmesi için geliştirilmiş olan bilgisayar yazılımıdır.

Bilgisayar yazılımı MATLAB programlama dili kullanılarak geliştirilmiş ve

POTENSOFT (Potential Field Data Modeling, Filtering and Mapping Software) ismi

verilmiştir (Arısoy ve Dikmen 2011). POTENSOFT yazılımı potansiyel alan verilerinin

değerlendirilmesinde standart olarak kullanılan tüm uzamsal ve dalga sayısı ortamı

süzgeçleri içermektedir. Bununla birlikte, programın en göze çarpan özelliği dalga

sayısı ortamı süzgeçleme esnasında; hem uzamsal hem de dalga sayısı ortam için giriş,

kurulan süzgeç ve çıkış görüntü haritalarının eş zamanlı gösterilmesidir. Diğer önemli

bir özelliği ise veri görselleştirmede çok sayıda haritalama seçeneğinin bulunmasıdır.

Gravite ve manyetik verilerin modellenmesi eklentisi için geliştirilen dinamik arayüz ile

16

kullanıcı istenilen modeli kolaylıkla oluşturabilmekte ve model yanıtını eş zamanlı

olarak izleyebilmektedir. Modelleme eklentisinde düz çözüm fonksiyonu Mendonça ve

Meguid (2008) tarafından verilen 3B prizmatik yapıların model tepki algoritması ile

çalışmaktadır. Diğer yandan POTENSOFT veri gridleme ve grid dosyalarının yönetimi

ile ilgili kullanıcılara geniş olanaklar sunmaktadır. Yazılımın diğer özelliklerine Arısoy

ve Dikmen’den (2011) bakılabilir.

17

3. POTANSİYEL ALAN VERİLERİNDE SINIR BELİRLEME

Potansiyel alan yöntemlerinde belirtiye neden olan yeraltı yapılarının yatay sınırlarının

belirlenmesi günümüzde çözülmeye çalışılan en önemli problemderden biridir. Bu

problemin çözümü için verinin tamsayı mertebeli yatay (x ve y) ve düşey (z) türevlerinin

(geleneksel türevler) hesaplanması ve görselleştirilmesi kullanışlı ve kabul görmüş bir

yoldur. Potansiyel alan verilerinin merkezi farklar yaklaşımına göre birinci mertebeden

x-yönlü ve y-yönlü türevleri (yatay türevler) sırasıyla

( ) , ,,2

x x y x x yP PP x yx x

+∆ −∆−∂=

∂ ∆ (3.1)

( ) , ,,2

x y y x y yP PP x yy y

+∆ −∆−∂=

∂ ∆ (3.2)

bağıntıları ile verilir (Cordell ve Grauch 1985). (3.1) ve (3.2) numaralı bağıntılarda

( ),P x y potansiyel alanı, x∆ ve y∆ ise sırasıyla x ve y yönündeki örnekleme

aralıklarını gösterir. Birinci mertebeden yatay türevlerin dalgasayısı ortamı karşılıkları

Fourier Dönüşümü’nün türev özelliğinden yararlanarak izleyen bağıntılarla verilir:

( )xP ik Px

∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠F F (3.3)

( )yP ik Py

⎛ ⎞∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

F F (3.4)

(3.3) ve (3.4) numaralı bağıntılarda xk ve yk sırasıyla x ve y yönündeki dalgasayılarını

gösterir. Benzer biçimde ikinci mertebeden yatay türevlerin dalga sayısı ortamı ifadeleri

için,

18

22

2 ( )xP k P

x⎛ ⎞∂

= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠F F (3.5)

22

2 ( )yP k P

y⎛ ⎞∂

= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠F F (3.6)

yazılabilir. (3.3)-(3.6) bağıntılarında yer alan xik , yik ve 2

xk− , 2yk− sırasıyla dalga

sayısı ortamında, ölçülen veriyi x ve y’ye bağlı birinci ve ikinci mertebe yatay

türevlerine dönüştüren süzgeçler olarak tanımlanır. Şekil 3.1’de 2B durum için birinci

ve ikinci mertebeden x-yönlü (2B durum için yatay türev x-yönlü olarak adlandırılır)

yatay türev süzgecinin genlik ve faz spektrumları gösterilmiştir. Şekil 3.2’de ise 3B

durum için birinci ve ikinci mertebeden x-yönlü ve y-yönlü yatay türev süzgeçlerinin

genlik ve faz spektrumları gösterilmiştir.

Şekil 3.1 2B durum için birinci ve ikinci mertebeden yatay türev süzgecinin dalga sayısı

ortamı davranışları a. Normalleştirilmiş genlik spektrumları, b. Faz spektrumları

19

Şekil 3.2 3B durum için birinci ve ikinci mertebeden x-yönlü ve y-yönlü yatay türev

süzgeçlerinin dalga sayısı ortamı davranışları a. x-yönlü yatay türev süzgeçlerinin normalleştirilmiş genlik spektrumları, b. x-yönlü yatay türev süzgeçlerinin faz spektrumları, c. y-yönlü yatay türev süzgeçlerinin normalleştirilmiş genlik spektrumları, d. y-yönlü yatay türev süzgeçlerinin faz spektrumları 1 birinci mertebeden yatay türevi, 2 ise ikinci mertebeden yatay türevi temsil etmektedir Birinci dereceden yatay türev işlemi ile genlikler dalga sayısı ile orantılı olarak artmakta

ve giriş verisinin fazına π/2 değeri eklenmektedir. Sıfır dalga sayısında ise faz sıfırdır

(Şekil 3.1-Şekil 3.2). Dolayısıyla, potansiyel alan verisinin birinci mertebeden yatay

türevleri, veriyi uzamsal ortamda yer değiştirir ve en yüksek genlik değerlerini sıfırlara

dönüştürür. Verinin sıfırları ise en küçük veya en büyük genlik değerlerine dönüşür.

İkinci dereceden yatay türev işleminde ise genlikler dalga sayısının karesi ile orantılı

artmakta ve giriş verisinin fazına –π değeri eklenmektedir (Şekil 3.1-Şekil 3.2).

Dolayısıyla, ikinci mertebeden yatay türev, giriş verisinin uzamsal ortamda yerini

değiştirmez. Verinin en büyük genlik değerleri en küçük değerlere ve en küçük genlik

değerleri de en büyük değerlere dönüşür.

20

Potansiyel alan verilerinin birinci mertebeden düşey türevi, z ölçü yüksekliği ve ∆z>0

olmak üzere:

( ) , , , ,

0

, ,lim x y z x y z z

z

P PP x y zz z

−∆

∆ →

−∂=

∂ ∆ (3.7)

olarak tanımlanır. Dalga sayısı ortamında birinci mertebe düşey türev işlemi

( ) ( )

( )

( )

0

0

lim

1 lim

k z

z

k z

z

P P ePz z

e Pz

k P

− ∆

∆ →

− ∆

∆ →

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ∆⎝ ⎠

−=

∆=

F FF

F

F

(3.8)

olarak verilir (Blakely 1996). Benzer biçimde ikinci mertebeden düşey türev işlemi

dalga sayısı ortamında:

( )2

22

P k Pz

⎛ ⎞∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

F F (3.9)

şeklinde verilir. İkinci mertebeden düşey türevin uzamsal ortam hesabında çoğunlukla

Laplace denkleminden faydalanılır:

2 2

2 2

P P Px y

⎛ ⎞∂ ∂− + = −∆⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

(3.10)

(3.5) ve (3.6) bağıntılarından faydalanarak (3.10) eşitliğiyle verilen Laplace

denkleminin dalga sayısı ortamı ifadesi:

21

( ) ( )

( )

22 2

2

2

x yP k P k P

z

k P

⎛ ⎞∂= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

=

F F F

F

(3.11)

olarak verilir. Şekil 3.3’de birinci ve ikinci mertebeden düşey (z) türev süzgeçlerinin

genlik ve faz spektrumları gösterilmiştir.

Şekil 3.3 Birinci ve ikinci mertebeden düşey türev süzgeçlerinin dalga sayısı ortamı

davranışları a. Normalleştirilmiş genlik spektrumları, b. Faz spektrumları Birinci ve ikinci mertebeden düşey türev işleminde, tüm dalga sayıları için faz sıfır

değerini almaktadır (Şekil 3.3.b). Türev mertebesi arttıkça genlikler dalga sayısı ile hızlı

bir biçimde artmaktadır. Bu durumda derin yapılara ait etkiler söndürülüp yüzeye yakın

yapılara ait etkiler kuvvetlenmektedir. Birinci mertebe düşey türev süzgecinin önemli

bir özelliği, sıfırlarının kaynak sınırları üzerinden geçmesidir. İkinci mertebe düşey

22

türev süzgecinin sıfırları hem yapı kenarlarının üzerinden hem de yapı kenarlarına yakın

bölgelerden geçer (Şekil 3.4).

Şekil 3.4 Birinci ve ikinci mertebeden düşey türevin sıfırlarını kullanarak yeraltı

yapılarının sınırlarının belirlenmesi a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Kuramsal toplam manyetik alan görüntü haritası, d. Verinin birinci mertebe düşey türevi sıfırlarının kontur haritası, e. Verinin ikinci mertebe düşey türevi sıfırlarının kontur haritası Potansiyel alan verilerinin yatay türevleri, yeraltı yapılarının x ve y yönlü sınırlarının

bulunmasında, düşey türevleri ise her iki yönde kenarların belirlenmesinde kullanılır.

23

Uygulamada genellikle birinci mertebeden düşey türevlerin kullanımı tercih edilir.

Gürültüsüz veya gürültü etkisi azaltılmış potansiyel alan verilerinin

değerlendirilmesinde ikinci mertebe düşey türevlerin kullanımı da yaygındır. Daha

yüksek mertebeden yatay ve düşey türevlerin kullanımı olası gürültü içeriğini

kuvvetlendirmesinden ötürü tercih edilmez. Şekil 3.5’de bir önceki örnekte kullanılan

modele ait manyetik model yanıtı üzerinde yatay ve düşey türev uygulama sonuçları

gösterilmiştir. Türevlerin gürültüye karşı duyarlılıklarını sınamak amacıyla aynı model

verisine model verisinin en yüksek genlik değerinin %10’u kadar (10dB) rastsal gürültü

eklenerek elde edilen sonuçlar Şekil 3.5’de sol sütünda verilmiştir.

Şekil 3.5 Birinci ve ikinci mertebeden yatay ve düşey türev süzgeçlerinin gürültü

eklenmemiş ve gürültü eklenmiş manyetik model verisine uygulanması a. Gürültü eklenmemiş manyetik model verisi, a1. Birinci mertebeden x-yönlü yatay türev, a2. İkinci mertebeden x-yönlü yatay türev, a3. Birinci mertebeden y-yönlü yatay türev, a4. İkinci mertebeden y-yönlü yatay türev, a5. Birinci mertebeden düşey türev, a6. İkinci mertebeden düşey türev, b. Gürültü eklenmiş manyetik model verisi, b1. Birinci mertebeden x-yönlü yatay türev, b2. İkinci mertebeden x-yönlü yatay türev, b3. Birinci mertebeden y-yönlü yatay türev, b4. İkinci mertebeden y-yönlü yatay türev, b5. Birinci mertebeden düşey türev, b6. İkinci mertebeden düşey türev

24

Potansiyel alan kaynaklarının sınırlarının belirlenmesi amacıyla birçok sınır belirleme

süzgeci önerilmiştir. Sınır belirleme süzgeçlerininin ilk nesili olan toplam yatay türev ve

analitik sinyal süzgeçlerinin kullanımı artık standart bir durum almıştır. Toplam yatay

türev (TYT) süzgeci Cordell ve Grauch (1985) tarafından izleyen bağıntı ile verilmiştir.

22P PTYTx y

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.12)

TYT çıkışının en yüksek genlik değerleri kaynak sınırları üzerinden geçmektedir.

Analitik sinyal (AS) genliği 2B durum için Nabighian (1972) tarafından,

2 2P PASx z

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.13)

bağıntısı ile ve 3B AS genliği ise Roest vd. (1992) tarafından izleyen bağıntı ile

verilmiştir:

22 2T T TASx y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.14)

AS süzgeci özellikle yakın yüzey arama amaçlı toplanan potansiyel alan verilerinde

sıklıkla kullanılan bir süzgeçtir. AS genliği kaynak yapıların üzerinde çan şekilli

belirtiler sunar. Önemli özelliklerinden birisi de manyetik verilerde 2B durum için

mıknatıslanma yönüne bağımlı olmamasıdır, aynı durum 3B durumda geçerli değildir

(Li, 2006). TYT ve AS süzgeçlerinin zayıf yönlerinden birisi verideki olası gürültü

içeriğini kuvvetlendirmesidir. Şekil 3.6’da üç adet 2B prizma kullanılarak oluşturulan

yer altı modeli, bu modelden hesaplanan toplam manyetik alan profil eğrileri, TYT ve

AS sonuçları verilmiştir. Her iki yöntemin gürültüye duyarlılığını sınamak amacıyla

Şekil 3.6’nın sol sütununda aynı model verisine verinin en yüksek genliğinin %2’si

(7dB) kadar rastsal gürültü eklenmiş, TYT ve AS sonuçları verilmiştir. Modelde

25

kullanılan tüm yapıların mıknatıslanma şiddetleri 1A/m, mıknatıslanma yöneyinin eğim

ve sapma açıları sırasıyla 90o ve 0o olarak seçilmiştir.

Şekil 3.6 TYT ve AS süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş 2B

manyetik model verisine uygulanması a. 2B model, a1. Manyetik model verisi, a2. TYT, a3. AS, b. 2B model, b1. Gürültü eklenmiş manyetik model verisi, b2. TYT, b3. AS TYT ve AS sonuçları incelendiğinde, her iki süzgecin de en büyük genlik değerlerini

yapı kenarları üzerinde verdiği görülmektedir. Derin yapılara ait belirtiler

incelendiğinde ise TYT süzgeci AS süzgecine göre daha yüksek çözünürlük sunmuştur.

Gürültülü durumda ise her iki süzgece ait sonuçlarda gürültü içeriği kuvvetlenmiştir.

Analitik sinyal süzgecinin zayıf yönlerinden birisi de birbirine oldukça yakın yapılara

ait kenarların belirlenmesinde belirgin bir sonuç üretememesidir (yanal ayrımlılık).

Aynı durum TYT süzgeci için de geçerlidir. Bu problemin üstesinden gelebilmek için

26

Hsu vd. (1996) geliştirilmiş analitik sinyal (GAS) yöntemini önermiştir. n türev

mertebesi ve tamsayı olmak üzere GAS izleyen bağıntı ile verilir:

n n n

n n n

P P PGASx z y z z z⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.15)

(3.15) bağıntısındaki türev mertebesi, n, ne kadar büyük seçilirse GAS genliği kaynak

yapıların kenarları üzerinde o kadar darlaşırken verideki olası gürültü içeriği de

kuvvetlenir. Bu nedenle, GAS süzgecinin kullanımında oldukça dikkatli olunmalıdır.

Şekil 3.7’de plan ve 3B perspektif görüntüsü verilen modelden hesaplanan toplam

manyetik alan verisinin AS ve GAS sonuçları gösterilmiştir. Modelde kullanılan temsili

yeraltı yapılarının mıknatıslanma şiddeti 1 A/m ve yer manyetik alan ile mıknatıslanma

yöneyinin eğim ve sapma açıları sırasıyla 90o ve 0o olarak seçilmiştir. Tüm yapıların

tavan ve taban derinlikleri sırasıyla 1 ve 3 km’dir. Yapıların yatay yöndeki konumları

şekil 3.7.a’dan takip edilebilir. AS genlikleri (Şekil 3.7.d), yapıların birbirlerine bakan

kenarlarında üst üste binerek, bu kısımlarda yöntem belirgin bir sonuç üretememiştir.

n=1 için hesaplanan GAS sonuçlarında (Şekil 3.7.e), belirtiler yapı kenarları üzerinde

darlaşarak (AS genliklerine göre), yapıların birbirlerine yakın kenarlarında girişim olayı

ortadan kalkmıştır. n=2 için hesaplanan GAS (Şekil 3.7.f) diğer sonuçlara göre daha

başarılı sonuç üretmiştir.

27

Şekil 3.7 AS ve GAS süzgeçlerinin manyetik model verisi üzerinde sınanması a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Kuramsal toplam manyetik alan görüntü haritası, d. AS görüntü haritası, e. n=1 için hesaplanan GAS görüntü haritası, f. n=2 için hesaplanan GAS görüntü haritası Literatürde TYT ve AS süzgeçlerinin en çok tartışılan zayıf yönü, derin veya düşük

yoğunluk/mıknatıslanma sunan yeraltı yapılarına ait kenarlarda düşük genlik sunmaları

ve böylece bu yapılara ait kenar etkilerini yeterince yansıtamamalarıdır. Bu durum şekil

3.6’dan da anlaşılmaktadır. Her iki yöntemin bu zayıf noktasından yola çıkan

araştırmacılar son yıllarda dengelenmiş (normalize edilmiş) türev yöntemleri başlığı

28

altında süzgeçler geliştirmiştir. Bu kavram içerisinde ilk geliştirilen süzgeç eğim açısı

(tilt angle) süzgecidir ve Miller ve Singh (1994) tarafından izleyen bağıntı ile

verilmiştir:

1tan

PzTilt

TYT−

∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.16)

Eğim açısı, düşey türevin TYT’e oranlanarak normalleştirilmiş şeklidir. Eğim açısı, hem

yakın yüzey hem de derin kaynakların etkilerini aynı genlik seviyesinde veren bir

süzgeçtir. Eğim açısının genliği yapı üzerindeyken pozitif, yapı kenarı üzerindeyken

sıfır ve yapının dışında ise negatif değerler alır. Genlik değerleri –π/2 ve π/2 arasında

değişir ve bu sayede yorumlanması oldukça kolaydır. Eğim açısı temelde plan veya

şekil belirleyici bir süzgeçtir. Bu sebepten dolayı, Verduzco vd. (2004) eğim açısının

toplam yatay türevinin sınır belirlemede kullanılabilir bir yaklaşım olacağını

göstermiştir. Eğim açısının toplam yatay türevi

22 ⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Tilt TiltTHDRx y

(3.17)

bağıntısıyla verilir. Eğim açısının toplam yatay türevi, türev tabanlı bir süzgecin tekrar

türevi alınarak hesaplandığından verideki olası gürültünün artmasına neden olur. Diğer

bir zayıf yönü ise derin yapılara karşı etkili sonuç üretememesidir. Öte yandan en

kullanışlı özelliği ise mıknatıslanma yönünden bağımsız olmasıdır. Bu nedenle,

uygulamada sıklıkla başvurulan bir süzgeçtir.

Dengelenmiş türevler kavramı altında geliştirilen diğer bir süzgeç ise teta açısı

süzgecidir. Teta açısı Wijns vd. (2005) tarafından

29

cos TYTAS

θ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.18)

bağıntısıyla verilmiştir. Teta açısı, analitik sinyal genliği kullanılarak toplam yatay

türevin normalleştirilmiş şeklidir. Teta açısı; 0 < θ < pi/2 arasında değişir. Bu nedenle,

yorumlanması oldukça kolaydır. Yöntemin zayıf noktası ise derin yapıların etkilerini

dağınık bir şekilde göstermedir.

Diğer bir yaklaşım ise Cooper ve Cowan (2006) tarafından önerilen yatay eğim açısı

süzgecidir ve izleyen bağıntı ile verilmektedir:

1tan .TYTTDXTz

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=∂⎜ ⎟

⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(3.19)

TYT, AS, eğim açısı ve yatay eğim açısı süzgeçlerinin geometrik anlamları Şekil 3.8’de

verilmiştir.

Şekil 3.8 TYT, AS, eğim açısı ve yatay eğim açısı süzgeçlerinin geometrik anlamı

30

Yukarıda anlatılan dengelenmiş türev yöntemleri, başta anlatılan TYT ve AS

süzgeçlerinin derin yapılara karşı çözümsüz kalması probleminin üstesinden

gelmektedir. Kronolojik sıra takip edilirse dengelenmiş türev süzgeçleri bir önce

önerilen süzgecin zayıf noktasından hareket ederek geliştirilmiştir. Literatürde

kullanılan bir sınır belirleme süzgecinin iyileştirilmesi mantığında geliştirilen tek süzgeç

dengelenmiş analitik sinyal (DAS) süzgecidir. DAS, AS genliğinin iyileştirilmesi

amacıyla Cooper (2009) tarafından önerilmiş ve

( )( ) ( )( )2 2 2x y

ASDAS

k H AS H AS AS=

+ + + (3.20)

bağıntısı ile verilmiştir. (3.20) bağıntısında Hx ve Hy sırasıyla AS’nin x ve y yönlerinde

Hilbert Dönüşümleri ve k ise süzgeç çıkışının genliğini kontrol eden bir sabittir.

Buraya kadar anlatılan sınır belirleme süzgeçlerinin bir manyetik model verisine

uygulama sonuçları şekil 3.9’da gösterilmiştir. Modelde tüm prizmatik yapıların

mıknatıslanma şiddeti 1 A/m ve yer manyetik alan ile mıknatıslanma yöneyinin eğim ve

sapma açıları sırasıyla 90o ve 0o olarak seçilmiştir. Model verisine verinin en yüksek

genlik değerinin %5’i (7dB) kadar rastsal gürültü eklenmiştir. Tüm yapıların derinlik

yönünde kalınlıkları 4 km olarak sabit tutulmuş ve sol üstten sağ alta doğru üst yüzey

derinlikleri sırasıyla 1, 5 ve 9 km olarak seçilmiştir. Modelden hesaplanan toplam

manyetik alan görüntü haritasında (Şekil 3.9.c) modelde yeşil renk ile temsil edilen ve

en derinde bulunan yapıya ait belirti genliği düşük seviye kaldığından gözle fark

edilmesi zorlaşmıştır. TYT (Şekil 3.9.d) ve AS (Şekil 3.9.e) süzgeçleri ise modelde sol

üstte bulunan yapının kenarlarını belirleyebilmiş, ortada bulunan yapıya ait sonuç

genlikleri düşük seviyede kalmış ve sağ altta bulunan yapıya ait kenarları

belirleyememiştir. Dengelenmiş türev yöntemlerinin hemem hemen hepsi tüm yapılara

ait kenarları belirleyebilmiş ancak sinyal ile birlikte gürültü seviyesini de

yükselttiklerinden AS ve TYT sonuçlarına göre gürültü seviyeleri oldukça yüksek hale

gelmiştir. Dengelenmiş türev süzgeçlerinden eğim açısının toplam yatay türevi derin

yapılar için başarılı sonuç üretememiştir (Şekil 3.9.h).

31

Şekil 3.9 Sınır belirleme süzgeçlerinin manyetik model verisi üzerinde sınanması ve

birbirleriyle karşılaştırılması a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Kuramsal toplam manyetik alan görüntü haritası, d. TYT görüntü haritası, e. AS görüntü haritası, f. DAS görüntü haritası, g. Eğim açısı görüntü haritası, h. Eğim açısının toplam yatay türevi görüntü haritası, i. Teta açısı görüntü haritası, j. Yatay eğim açısı görüntü haritası

32

4. KESİRLİ MERTEBEDEN TÜREV KAVRAMI

Kesirli mertebeden türev, teoride çok eskiden beri bilinmesine karşın fizik, kimya ve

mühendislik gibi bilimlerdeki uygulamalarıyla son yıllarda sıklıkla karşımıza

çıkmaktadır. Kesirli mertebeden türev kavramı uygulamalı matematiğin önemli bir

dalını oluşturur. Kesirli matematiğin ve bu bağlamda kesirli mertebeden türev

kavramının ortaya çıkmasının en önemli nedenlerinden birisi, doğada meydana gelen

birçok olayın tam sayılarla ifade edilememesidir. Kesirli mertebeden türev ve integral

kavramları, tamsayı mertebeli türev ve n-katlı integralleri kesirli mertebeye

genelleştiren kavramlardır (Oldham ve Spainer 1974, Podlubny 1999).

Kesirli analizin klasik analizden en önemli farkı, klasik analizde olduğu gibi tek bir

türev tanımının olmayışıdır. Başlıca kesirli türev tanımları; Grünwald-Letnikov (GL),

Riemann-Liouville (RL) ve Caputo kesirli mertebe türevleridir (Oldham ve Spainer

1974, Podlubny 1999, Bayın 2004, Das 2011). GL tanımı nümerik hesaplamalar için,

RL tanımı hem nümerik hem de analitik hesaplamalar için, Caputo kesirli türev tanımı

da analitik hesaplamalar için daha uygundur. Genel olarak, GL ve RL kesirli türev

tanımı matematik ve mühendislik bilimlerinde, Caputo kesirsel türev tanımı ise fizikte

kullanılmaktadır.

Bunlara ek olarak, Cauchy integral formülü ve integral dönüşüm yöntemleri yardımıyla

türetilen ve sadece bazı özel fonksiyonlar için geçerli olan kesirli integral ve türev

tanımları da mevcuttur. Liouville (1832), Riemann (1853), Krug (1890), Weyl (1917),

Civin (1941) ve Erdélyi (1964) değişik tipteki fonksiyonların kesirli mertebe türevlerini

veren tanımları geliştirmiştir (Oldham ve Spanier 1974). Kesirsel türev ve integrallerin

özel tanımları hakkında ayrıntılı bilgi Oldham ve Spanier’de (1974) bulunabilir.

Kesirli mertebeden türev kavramı, çeşitli madde ve işlemlerin kalıtsal özelliklerinin

tanımlanmasında kullanılabilecek iyi bir araçtır. Bu durum, tamsayı mertebeli türevlerle

karşılaştırıldığı zaman, kesirli türevler için önemli bir üstünlüktür. Kesirli türevlerin bu

üstünlüğü nesnelerin mekanik ve elektriksel özelliklerinin matematiksel

33

modellenmesinde, akışkanlar teorisi, elektrik devreleri, elektro-analitik kimya gibi diğer

birçok alanda kullanılmaktadır (Oldham ve Spainer 1974, Podlubny 1999).

Petras (2009), doğru akım kaynağı kullanan bir motorun geri besleme hızının

kontrolünün tamsayı mertebeli türevler yerine kesirli mertebeden türevler ile

hesaplanmasının daha sağlıklı sonuçlar vereceğini göstermiştir. Manabe (2002), bir

uzay aracının serbest uzayda hareketlerinin modellenmesinde kesirli mertebeden

türevlerin kullanımını ve üstün yanlarını göstermiştir. Son yıllarda elektrik hatları,

elektrik motorları ve dönüştürücüleri için kullanılan ve tamsayı mertebeden diferansiyel

hesaplama gerektiren klasik modeller yerine statik kesirli elektrik potansiyel adı altında

kesirli mertebeli modellerin kullanımı yaygınlaşmıştır (Engheta 1996, Malpica vd.

2004, Machado vd. 2005, Machado vd. 2006).

Rose (1975) malzemelerdeki viskoelastik davranışın modellenmesi amacıyla kullanılan

gerilme-deformasyon bağıntısındaki genel türev operatörü yerine gerçel mertebeli

türevin kullanımındaki üstünlüğü göstermiştir. Dikmen (2004), zeminlerde sismik dalga

sönümünü kesirli mertebeden türevler kullanarak modellemiştir. Deprem kuvveti gibi

dinamik bir dış kuvvet karşısında zemin davranışının incelenmesinde kesirli türev

operatörünün kullanımının viskoelastik davranışı daha iyi belirlediğini göstermiştir.

Sismik dalga sönümünü kesirli mertebeden türevler kullanarak modellenmesi ile ilgili

literatürde benzer yayınlar bulmak mümkündür (Koh ve Kelly 1990, Chang ve Singh

2002). Fellah vd. (2006), homojen olmayan gözenekli ortamda akustik dalga yayılımını

kesirli mertebeden türevler kullanarak modellemiştir. Carcione vd. (2002), sabit-Q

(kalite faktörü) sismik dalgalarının zaman ortamı Kjartansson (1979) yöntemiyle

modellenmesinde GL kesirli türevlerini kullanmıştır. Schmit ve Gaul (2006) kesirli

mertebeli diferansiyel denklemler ile ifade edilen çok serbestlik dereceli sistemlerin

sayısal çözümünde hesaplama zamanını düşürmek için GL kesirli mertebe türevlerini

kullanmıştır.

Sayısal görüntü işlemede, kenar belirleme amacıyla kullanılan kenar operatörleri

tamsayı mertebeli türev operatörleridir. Mathieu vd. (2003), çok ince ve gözle fark

34

edilemeyen kenarların belirlenmesinde ve görüntünün gürültü içermesi durumunda

kullanılmak üzere kesirli mertebeden türevlerin kullanımı önermiş ve başarılı sonuçlar

elde etmiştir.

Kesirli mertebeden türevler; biyoloji (Yuste ve Lindenberg, 2001), kimya-biyokimya

(Yuste, vd. 2004), fizik (Saichev ve Zaslavsky 1997, Barkai vd. 2000, Zaslavsky 2002),

tıp (Hall ve Barrick 2008, Magin vd. 2009) ve finans (Scalas vd. 2000) gibi farklı bilim

dallarına ait uygulamalarda da sıklıkla görülmektedir.

4.1 Tamsayı Mertebeli Türev ve İntegralin Ortak Yazımı

Gamma fonksiyonunun EK 3’de (3.11) ifadesiyle verilen özelliği kullanılarak, tamsayı

değerler için türev ve integral (tamsayı değerler için genel türev ifadesi EK 1’de,

integral ifadesi ise EK 2’de verilmiştir) izleyen bağıntı ile tek bir ifadede verilebilir

(Bayın 2004):

[ ]1

0

( )lim ( ) ( 1)( )

n

n N

n N j

x ad f j n x aN f x j

n j Nd x a

−

−

→∞=

⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ Γ − ⎛ − ⎞⎪ ⎪⎡ ⎤⎣ ⎦= −⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥Γ − Γ + ⎣ ⎦− ⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∑ (4.1)

Kesirli mertebeden türev ve integral operatörlerine diferintegral işleç ismi verilmektedir

(Caputo 1967, Bayın 2004). Bir fonksiyonun tamsayı mertebeli türevi, fonksiyonun

yerel davranışına bağlı iken, kesirli mertebeden türev operatörü fonksiyonun geçmiş

değerlerine de bağlıdır. Kesirli mertebe türev işleminde türev operatörü fonksiyonun

geçmiş değerlerini içermesinden dolayı global operatör özelliği göstermektedir. Bu

özellik bellek (memory) olarak da bilinmektedir. Bir uzamsal serinin kesirli mertebeden

türevlerinin hesaplanmasında sıklıkla GL, RL ve Caputo yaklaşımları kullanılmaktadır.

35

4.2 GL Kesirli Mertebe Türev

(4.1) eşitliğinde Gamma fonksiyonunun tüm n değerleri için tanımlı olduğu

düşünülürse, diferintegralin GL tarafından verilen en genel ve temel tanımı,

1

0

( )lim ( ) ( 1)

qq N

q N j

d f x j q xf x jdx N q j N

− −

→∞=

⎧ ⎫Γ − ⎛ ⎞⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥Γ − Γ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭∑ (4.2)

ile verilir. Burada, q tüm gerçel değerleri alabilmektedir. GL tanımı, EK 1’de verilen

tamsayı mertebeli türev işleminin genelleştirilmiş halidir ve GL tanımının en büyük

üstünlüğü, verilen bir fonksiyonun diferintegralinin, fonksiyonun türevlerine veya

integrallerine gerek kalmadan, sadece kendisinin aldığı değerler ile bulunabilmesidir.

(4.2) ifadesinde Г(-q), q’nun pozitif değerleri için sonsuz, ancak ( )( )j q

qΓ −Γ −

oranı sonlu

bir sayıdır. Gamma fonksiyonunun EK 3’de (3.11) ifadesiyle verilen özelliğinden

faydalanılarak,

1 1( ) 1 ; 1

( ) ( 1)j jj q j qA A A

q j j+Γ − − −

= = =Γ − Γ +

(4.3)

eşitliği yazılabilir. (Oldham ve Spainer 1974, Schmit ve Gaul 2006). (4.3)

bağıntısındaki A terimi Grünwald katsayıları olarak bilinir. Türev mertebesinin (q)

gerçel olması halinde 1jA + katsayıları sıfırdan farklı değerler alır ve global operatör

özelliği gösterir. Türev mertebesinin (q) tamsayı olması halinde ise (q+1) sayıda katsayı

sıfırdan farklı olur ve yerel operatör özelliği gösterir. Grünwald katsayılarının türev

mertebesine bağlı değişimi şekil 4.1’de gösterilmiştir.

36

Şekil 4.1 Grünwald katsayılarının türev mertebesine bağlı değişimi 4.3 RL Kesirli MertebeTürev

RL diferintegralinin çıkış noktası olan çeşitli yaklaşımlar mevcuttur. Diferansiyel

denklem yaklaşımı, karmaşık değişken yaklaşımı ve tekrarlı integral yaklaşımı bunların

başlıcalarıdır (Oldham ve Spainer 1974, Podlubny 1999). Herhangi bir q>0 için q.

mertebeden RL kesirli integrali

-1

1 1 11= ( ) ( )( )( )

xqq q

RLqa

d f D f x f x x x dxdx q

− −− = −

Γ ∫ (4.4)

şeklinde tanımlanır. RL kesirli türevi de Abel integral denkleminden çıkarılabilir. f

fonksiyonu her sonlu (a,x) aralığında sürekli ve integrallenebilir olsun. m,

1m q m− ≤ < şartını sağlayan bir tamsayı ve x>a olmak üzere reel f fonksiyonunun q.

mertebeden RL kesirli türevi izleyen bağıntı ile verilir:

37

11 1 1

1( ) ( ) ( )( )

xq mq m qRLq m

a

d f dD f x x x f x dxdx m q dx

− −= = −Γ − ∫ (4.5)

(4.4) ve (4.5) bağıntıları ile verilen RL kesirli integral ve türev tanımları kesirli türevler

ve integraller teorisinde ve mühendislik uygulamalarında yaygın kullanım alanı

bulmuştur (Oldham ve Spainer 1974, Podlubny 1999, Scalas vd. 2000, Bayın 2004,

Schmit ve Gaul 2006, Das 2011). RL kesirli türev hesabının zayıf yönü; bir integralin m

kez türevini içerdiğinden uygulamada hem hesap yükünü hem de hesaplama zamanını

arttırmasıdır.

Uzamsal bir serinin q. mertebeden RL kesirli türevinin hesaplanması üç adımda

gerçekleştirilir. Bunlar m bir tamsayı olmak üzere,

i- q kesirli sayıdan büyük, en yakın m tamsayının seçilmesi ( 1m q m− ≤ < )

ii- fonksiyonun RL diferintegraliyle (m-q) katlı integralinin hesaplanması

iii- ikinci adımdan elde edilen sonucun m. mertebeden türevinin hesaplanması

şeklinde verilir. RL kesirli türev hesabı için şematik gösterim şekil 4.2’de verilmiştir.

Şekil 4.3’de ise RL kesirli türev hesabının işlem şemasını gösterebilmek için bir

fonksiyonun 2.3. mertebeden türev hesabı betimlenmiştir.

Şekil 4.2 RL kesirli türev hesabı için şematik gösterim

38

Şekil 4.3 Bir fonksiyonun 2.3. mertebeden RL kesirli türev hesabı Şekil 4.2-4.3’den görüleceği gibi, bir uzamsal serinin RL kesirli mertebeden türevinin

hesaplanması, serinin RL kesirli integralinin de hesaplanmasını gerektirir. (4.4)

bağıntısı ile verilen RL kesirli integral bağıntısı izleyen katlamalı çarpım bağıntısı ile

ifade edilebilir (Podlubny 1999, Das 2011):

-

1

= ( ) ( )* ( )

1 ( )( )

qq

RLq

q

d f D f x f x h xdx

h xq x

−−

− +

=

=Γ

(4.6)

(4.6) bağıntısındaki h(x) terimi RL integral ifadesinin çekirdek veya güç fonksiyonu

olarak bilinir. 0.05 sn zaman aralığı ile örneklenmiş 201 adet ayrık zaman değerinden

oluşan bir zaman yöneyi kullanılarak [0,1] aralığında 0.1 adımla hesaplanan RL integral

çekirdek fonksiyonu davranışı şekil 4.4’de gösterilmiştir.

39

Şekil 4.4 [0,1] aralığında 0.1 adımla hesaplanan RL integral çekirdek fonksiyonu

davranışı Şekil 4.4’den görülebileceği üzere q=1 için,

1lim ( ) ( ), x 0 için ( ) 1q

h x H x H x→

= ≥ = ,

çekirdek fonksiyonu birim basamak fonksiyonuna eşit olmakta ve q=0 için,

0lim ( ) ( )q

h x xδ→

= , çekirdek fonksiyonu birim tepki (birim impuls) fonksiyonuna eşit

olmaktadır.

2B bir f(x1,x2) fonksiyonunun x1 yatay yönünde q. mertebeden RL kesirli türevi m,

1m q m− ≤ < şartını sağlayan bir tamsayı olmak üzere

111 2

1 2 1 11 1 0

( , ) 1( , ) ( ) ( , )( )

xq mq m qRLq m

d f x x dD f x x x f x ddx m q dx

τ τ τ− −= = −Γ − ∫ (4.7)

benzer biçimde x2 yatay yönünde q. mertebeden RL kesirli türevi

40

211 2

1 2 2 22 2 0

( , ) 1( , ) ( ) ( , )( )

xq mq m qRLq m

d f x x dD f x x x f x ddx m q dx

τ τ τ− −= = −Γ − ∫ (4.8)

bağıntıları ile verilmektedir (Kilbas vd. 2006, Li vd. 2011).

4.3.1 RL kesirli mertebe türevin dalgasayısı ortamı ifadesi

RL kesirli türev için dalgasayısı ifadesi,

( )= ( ) ( )q

qqRLq

d f D f t ik Fdt

ω↔ (4.9)

ile verilir (Podlubny 1999, Das 2011). (4.9) bağıntısı 3. bölümde verilen birinci ve

ikinci mertebe yatay türev dalgasayısı ifadelerinin keyfi mertebeye genelleştirilmiş

halidir. [0.25,2] aralığında 0.25 adımla hesaplanan RL kesirli türev genlik ve faz

spektrum davranışları şekil 4.5’de gösterilmiştir.

41

Şekil 4.5 [0.25,2] aralığında 0.25 adımla hesaplanan RL kesirli türevi dalgasayısı ortamı

görüntüleri a. Normalleştirilmiş genlik spektrumları, b. Faz spektrumları Farklı mertebelerden RL kesirli türevleri faz spektrumları (Şekil 4.5.b) incelenirse, faz

sıfırdan farlı tüm dalgasayılarında, q türev mertebesi olmak üzere qπ/2 değeri

almaktadır.

Potansiyel alan verilerinin kesirli mertebeden x-yönlü ve y-yönlü yatay RL kesirli

türevleri dalgasayısı ortamında (4.9) bağıntısından faydalanılarak

( ) ( )q

qxq

P ik Px

⎛ ⎞∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

F F (4.10)

42

ve

( ) ( )q q

yq

P ik Py

⎛ ⎞∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

F F (4.11)

şeklinde verilir. Benzer biçimde kesirli mertebeden düşey türevlerin dalgasayısı ortamı

ifadesi de,

( )q

qq

P k Pz

⎛ ⎞∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

F F (4.12)

şeklinde yazılabilir. 4.4 Caputo Kesirli Mertebe Türev

m, 1m q m− < < şartını sağlayan bir tamsayı olmak üzere, gerçel f fonksiyonunun q.

mertebeden Caputo kesirli türevi izleyen bağıntı ile verilir:

1 ( )1 1 1

1( ) ( ) ( )( )

xqq m q mCq

a

d f D f x x x f x dxdx m q

− −= = −Γ − ∫ (4.13)

Caputo yaklaşımının üstünlüğü, başlangıç değerli problemlerin çözümüne uygun olarak

geliştirilmiş olmasıdır. Bu nedenle, fizik problemlerinin çözümünde en sık kullanılan

diferintegral yaklaşımıdır (Podlubny 1999).

43

5. POTANSİYEL ALAN VERİLERİNİN KESİRSEL MERTEBEDEN TÜREVLERİ

Potansiyel alan verilerinin kesirli mertebeden türevler kullanılarak değerlendirilmesi ile

ilgili literatürde birkaç çalışma bulunmaktadır. İlk çalışma Gunn vd. (1997) tarafından

yapılmıştır. Bu çalışmada, dalgasayısı ortamında verilen düşey türev ifadesinde türev

mertebesinin n, tamsayı mertebesi yerine kesirli mertebeden kullanımı önerilmiştir.

Cooper ve Cowan (2003a) gravite ve manyetik verilerin yorumlanmasında geleneksel

olarak kullanılan analitik sinyal, kutba indirgeme ve Euler ayrıştırma yöntemlerinde

kullanılan tamsayı mertebeli yatay ve düşey türevler yerine kesirli mertebeden yatay ve

düşey türevlerin kullanımını önermiştir. Cooper ve Cowan (2003b) potansiyel alan

verilerinin kabartma haritalarının oluşturulmasında sık kullanılan güneş gölgelendirmesi

yönteminde tamsayı mertebeli yatay türevler yerine kesirli mertebeden yatay türevleri

kullanmıştır. Verinin gürültü içermesi durumunda düşük mertebeden kesirli yatay

türevlerinin kulllanımının üstün yönlerini göstermiştir. Cooper ve Cowan (2004) düşük

karşıtlıklı verilerde, ağırlıklandırılmış kesirli mertebeden düşey türev süzgeci ile birlikte

yerel standart sapma maskesinin birlikte kullanımlarını önermiştir. Cowan ve Cooper

(2005), Gunn vd. (1997) tarafından önerilen kesirli mertebeden düşey türev süzgecini

ayrışma veya katman süzgeci olarak adlandırmıştır.

Mıknatıslanma şiddeti 1 A/m ve yarıçapı 2 m olan bir dipole ait kuramsal toplam

manyetik alan profil eğrisi ve [0.5 ; 0.5 ; 2] mertebeden x-yönlü yatay türevleri şekil

5.1’de gösterilmiştir. Modelde yer manyetik alan ile mıknatıslanma yöneyinin eğim ve

sapma açıları sırasıyla 90o ve 0o olarak seçilmiştir. Kesirli türevler (4.5) bağıntısında

verilen RL kesirli türev ifadesi kullanılarak hesaplanmıştır. Hesaplanan kesirli

mertebeden yatay türev eğrileri incelenecek olursa; türev mertebesinin artmasına paralel

olarak dipole ait belirti daha da keskinleşmekte ve model verisi ile kıyaslandığında

dipolün yatay yönde sınırlarının bulunmasında daha etkili olduğu görülmektedir. Birinci

mertebeden yatay türev eğrisinde en büyük mutlak genlik değerleri dipolün her iki yatay

kenarında izlenmekte ve ikinci mertebeden yatay türev eğrisinde ise bu noktalar sıfır

geçişlerinde görülmektedir. Eğriler bakışımlılık durumlarına göre incelenirse; birinci

mertebeden yatay türev için ters-bakışımlılığın tamamlandığı ve ikinci mertebeden

44

yatay türev için de bakışımlılığın tamamlandığı görülmektedir. Şekil 5.1’in sol

sütununda model verisine gürültü eklenerek yapılan aynı işlemlere ait sonuçlar

sunulmuştur. Model verisine verinin en yüksek genlik değerinin %2’si (4dB) kadar

rastsal gürültü eklenmiştir. Gürültülü durumda ikinci mertebeden düşey türevin gürültü

seviyesini oldukça kuvvetlendirdiği görülmektedir (Şekil 5.1.b5).

Aynı dipol modeli için hesaplanan kesirli mertebeden düşey türevler ise şekil 5.2’de

gösterilmiştir. Kesirli mertebeden düşey türevler dalgasayısı ortamında (4.10) bağıntısı

kullanılarak hesaplanmıştır. Türev mertebesinin artmasına paralel olarak kesirli

mertebeden düşey türev eğrilerinin keskinleştiği görülmektedir. Dipolün her iki yatay

kenarında düşey türevin sıfır değeri aldığı izlenmekte ve ikinci mertebeden düşey

türevin en başarılı sonucu verdiği görülmektedir. Gürültülü durumda ise ikinci

mertebeden düşey türevin gürültü varlığı nedeniyle başarılı sonuç üretemediği

görülmektedir (Şekil 5.2.b5). Bu şekilde bir uygulamada eğer yüksek mertebeli düşey

türev kullanımı gerekiyorsa 1.5. mertebeden düşey türevin kullanımı önerilebilir

(Şekil 5.2.b4).

45

Şekil 5.1 Kesirli mertebeden yatay türev süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve gürültü

eklenmiş manyetik model verisine uygulanması a. Manyetik dipol modeli, a1. Kuramsal manyetik model verisi, a2. 0.5. mertebeden yatay türev eğrisi, a3. Birinci mertebeden yatay türev eğrisi, a4. 1.5. mertebeden yatay türev eğrisi, a5. İkinci mertebeden yatay türev eğrisi, b. Manyetik dipol modeli, b1. Gürültü eklenmiş manyetik model verisi, b2. 0.5. mertebeden yatay türev eğrisi, b3. Birinci mertebeden yatay türev eğrisi, b4. 1.5. mertebeden yatay türev eğrisi, b5. İkinci mertebeden yatay türev eğrisi

46

Şekil 5.2 Kesirli mertebeden düşey türev süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve gürültü

eklenmiş manyetik model verisine uygulanması a. Manyetik dipol modeli, a1. Kuramsal manyetik model verisi, a2. 0.5. mertebeden düşey türev eğrisi, a3. Birinci mertebeden düşey türev eğrisi, a4. 1.5. mertebeden düşey türev eğrisi, a5. İkinci mertebeden düşey türev eğrisi, b. Manyetik dipol modeli, b1. Gürültü eklenmiş manyetik model verisi, b2. 0.5. mertebeden düşey türev eğrisi, b3. Birinci mertebeden düşey türev eğrisi, b4. 1.5. mertebeden düşey türev eğrisi, b5. İkinci mertebeden düşey türev eğrisi

47

Bu kısımdan itibaren 4. bölümde anlatılan sınır belirleme süzgeçlerinin uygulamada sık

tercih edilenleri kesirli mertebeden türevler kullanılarak model ve arazi verileri üzerine

uygulanmıştır. Kesirli mertebeden yatay ve düşey türevlerin genlik spektrumları

hatırlanacak olursa (Şekil 4.5.a) türev mertebesine bağlı olarak derin veya sığ kaynaklı

yapıların etkileri söndürülmekte veya kuvvetlendirilmektedir. Düşey türevlerin tüm

kesirli ve tamsayı türev mertebelerinde ise fazı sıfır olmaktadır. Ancak, yatay türevlerin

faz spektrumları türev mertebesine bağlı olarak değişmekte ve sonuçta mekân ortamında

belirtilerin yerleri kaymaktadır (Şekil 5.1). Günümüzde kullanılan sınır belirleme

süzgeçleri birinci mertebeden yatay türevleri kullanmakta ve bu durumda giriş verisinin

fazına π/2 değeri eklenmektedir. Tez çalışmasında, verinin kesirli mertebeden yatay ve

düşey türevlerini hesaplayan fonksiyonların yazılmasından ve doğru sonuç ürettiklerinin

kontrol edilmesinden sonra, bu türevler kullanılarak geleneksel sınır belirleme

süzgeçlerine ait sonuçlar irdelenmiştir; ancak yukarıda anlatılan nedenle, türev

mertebesine bağlı olarak mekân ortamında kaymalar izlenmiştir. Bu problemi aşabilmek

için dalgasayısı ortamında faz spektrumu değiştirilmiş bir süzgeç önerilmiştir. Bu

süzgece “faz uyarlanmış kesirsel mertebeli yatay türev süzgeci” adı verilmiştir. Faz

uyarlanmış yatay türev süzgecinin dalgasayısı ortamında kurulması aşamaları

Şekil 5.3’de gösterilmiştir.

Şekil 5.3 Dalgasayısı ortamında faz uyarlanmış kesirli mertebeden yatay türev

süzgecinin kurulması

48

Şekil 5.4’de iki prizmatik yapı ile oluşturulan 2B modelden hesaplanan manyetik model

verisinin, [0.25,1] aralığında 0.25 adımla hesaplanan kesirli mertebeden yatay ve düşey

türevleri ve faz uyarlanmış yatay türevleri gösterilmiştir.

Şekil 5.4 Kuramsal manyetik alan verisinin [0.25,1] aralığında 0.25 adımla hesaplanan

yatay, düşey ve faz uyarlanmış yatay türev eğrileri a. 2B model, b. Manyetik model verisi, c. Verinin kesirli mertebeden yatay türevleri, d. Verinin kesirli mertebeden düşey türevleri, e. Verinin faz uyarlanmış yatay türevleri

49

2B durum için, TYT süzgecinin geleneksel ve 0.25. mertebeden yatay türev kullanılarak

manyetik model verisine uygulama sonuçları şekil 5.5’de gösterilmiştir. Model

birbirinden farklı derinlik ve fiziksel özellikte iki prizmatik yapı ile oluşturulmuş ve

prizmatik yapıların mıktatıslanma yöneylerinin eğim ve sapma açıları sırasıyla 90o ve 0o

olarak seçilmiştir. Model verisine, verinin en yüksek genlik değerinin %10’u (10 dB)

kadar normal dağılımlı rastsal gürültü eklenmiştir. TYT türev süzgecinin geleneksel

kullanımında gürültü seviyesi büyük oranda kuvvetlenerek sinyalin üzerini tamamen

örtmüştür (Şekil 5.5.c). 0.25. mertebeden yatay türev kullanım ile hesaplanan TYT

sonucunda ise gürültü seviyesi bir miktar kuvvetlenmiş, ancak sonuç geleneksel

kullanıma göre oldukça başarılı olmuştur (Şekil 5.5.d).

Şekil 5.5 TYT süzgecinin tamsayı ve kesirli mertebeden türev kullanımı ile manyetik

model verisi üzerinde sınanması a. 2B model, b. Gürültü eklenmiş manyetik model verisi, c. TYT eğrisi, d. 0.25. mertebeden yatay türev kullanımı ile hesaplanan TYT eğrisi

50

Şekil 5.5’de verilen model verisi için AS süzgecinin geleneksel ve 0.25. mertebeden

yatay ve düşey türev kullanılarak elde edilen sonuçlar şekil 5.6’da gösterilmiştir. Şekil

5.6.d’de verilen kesirli mertebeden AS süzgeci sonuçları geleneksel kullanıma göre

(Şekil 5.6.c) daha başarılı sonuç üretmiştir. GAS süzgecinin kesirli mertebeden

kullanıma ait bir model uygulaması da şekil 5.7’de gösterilmiştir. Modelde kullanılan

iki prizmatik yapı, yatay yönde birbirine yakın tutulmuş ve AS süzgeci bu iki yapıyı

ayırt edememiştir (Şekil 5.7.c). Birinci mertebeden düşey türev kullanımı ile elde edilen

GAS eğrisinde modelde sağda verilen yapının sol kenarı belirgin hale gelmeye başlamış

(Şekil 5.7.d) ancak ikinci mertebeden düşey türev kullanımında salınım genlikleri kenar

etkilerini bastırmıştır (Şekil 5.7.e). 1.25. mertebeden türev kullanımı ile elde edilen

GAS sonucunda her iki yapının kenarları etkili bir şekilde belirlenmiştir (Şekil 5.7.f).

Şekil 5.6 AS süzgecinin tamsayı ve kesirli mertebeden türev kullanımı ile manyetik

model verisi üzerinde sınanması a. 2B model, b. Gürültü eklenmiş manyetik model verisi, c. AS eğrisi, d. 0.25. mertebeden yatay türev kullanımı ile hesaplanan AS eğrisi

51

Şekil 5.7 GAS süzgecinin tamsayı ve kesirli mertebeden düşey türev kullanımı ile

manyetik model verisi üzerinde sınanması a. 2B model, b. Manyetik model verisi, c. AS eğrisi, d. Birinci mertebeden düşey türev kullanımı ile hesaplanan GAS eğrisi, e. İkinci mertebeden düşey türev kullanımı ile hesaplanan GAS eğrisi, f. 1.25 mertebeden düşey türev kullanımı ile hesaplanan GAS eğrisi

52

2B durum için verilen son uygulamada, eğim açısının toplam yatay türev süzgecinin

0.25, 0.5, 0.75 ve birinci mertebeden türevler kullanılarak manyetik model verisine

uygulama sonuçları gösterilmiştir (Şekil 5.8). Model, mıknatıslanma şiddetleri 1A/m ve

mıknatıslanma yöneylerinin eğim ve sapma açıları sırasıyla 90o ve 0o olarak seçilen dört

prizmatik yapı kullanılarak oluşturulmuştur. Yeraltı modelinin sağında bulunan iki yapı

(Şekil 5.8a,b) birbirine yatay yönde yakın konumlandırılmıştır. Tilt açısının toplam

yatay türevi, türev tabanlı bir süzgecin tekrar türevini alarak hesaplandığından verideki

olası gürültü bileşenini kuvvetlendirmektedir. Bununla birlikte şekil 3.8h’.de

gösterildiği gibi derin kaynaklı yapılara ait kenarları çözmekte etkisiz kalmaktadır. Bu

durumları test etmek için modelin solunda verilen prizmatik yapı diğerlerine göre düşey

yönde daha derine yerleştirilmiştir. Bununla birlikte, şekil 5.8’in sol sütununda aynı

model verisine gürültü eklenerek gürültülü durumda kesirli mertebeden türev

kullanımın sonuçlarda ne gibi bir etki göstereceği test edilmiştir. Gürültülü durum için

model verisine, verinin en yüksek genlik değerinin %5’i (6 dB) kadar normal dağılımlı

rastsal gürültü eklenmiştir. Gürültüsüz durumda yöntemin geleneksel kullanımı modelin

ortasında bulunan yatay şerit şekilli yapının kenarlarını belirleyebilmiş, derinde bulunan

yapının kenarlarına ise yayvan bir belirti çıktısı vermiştir. Birbirine yakın iki yapının

kenarlarını belirlemede başarılı bir sonuç üretememiştir (Şekil 5.8.a5). Gürültülü

durumda ise yöntemin klasik kullanımı gürültü etkisi oldukça arttığından başarısız bir

sonuç vermiştir (Şekil 5.8.b5). Gürültüsüz durumda düşük mertebeden kesirli türevlerin

kullanımı ile yöntem özellikle derinde bulunan yapının kenarlarını etkili bir biçimde

belirleyebilmiştir (Şekil 5.8.a2,4). Gürültülü durumda özellikle 0.25. mertebeden

türevlerin kullanımı ile elde edilen sonuç oldukça başarılıdır (Şekil 5.8.b2).

53

Şekil 5.8 Eğim açısının toplam yatay türevi süzgecinin kesirli mertebeden türev

kullanımı ile gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş manyetik model verisine uygulanması

a. 2B model, a1. Kuramsal manyetik model verisi, a2. 0.25. mertebeden türev, a3. 0.5. mertebeden türev, a4. 0.75. mertebeden türev, a5. Birinci mertebeden türev (geleneksel kullanım), b. 2B model, b1. Gürültü eklenmiş manyetik model verisi, b2. 0.25. mertebeden türev, b3. 0.5. mertebeden türev, b4. 0.75. mertebeden türev, b5. Birinci mertebeden türev (geleneksel kullanım) 3B durum için yapılan model çalışmalarından birincisi, mıknatıslanma şiddetleri 1A/m

ve mıktatıslanma yöneylerinin eğim ve sapma açıları sırasıyla 90o ve 0o olarak seçilen

üç prizmatik yapı kullanılarak oluşturulmuştur (Şekil 5.9). Modelde kırmızı ve yeşil

renklerle temsil edilen yapıların tavan ve taban derinlikleri sırasıyla 1 ve 3 km olarak,

kırmızı renkle temsil edilen yapının tavan ve taban derinlikleri ise 4 ve 10 km olarak

seçilmiştir. Modelden hesaplanan toplam manyetik alan verisine, verinin en yüksek

genlik değerinin 10%’u (10dB) kadar rastsal gürültü eklenmiştir (Şekil 5.9.c). Bu

54

uygulamada TYT süzgeci farklı kesirli mertebeden yatay türevler kullanılarak veri

üzerinde sınanmıştır. TYT türevinin geleneksel kullanıma ait sonuç (Şekil 5.9.g) gürültü

seviyesini kuvvetlendirdiğinden ve derinde bulanan yapının etkilerini düşük genlikle

sunduğundan başarılı değildir. 0.25, 0.5 ve 0.75. mertebeden türevler kullanılarak elde

edilen sonuçlarda gürültü seviyeleri geleneksel kullanıma göre azalmıştır. Bu

uygulamada 0.5. mertebeden türevler kullanılarak hesaplanan TYT sonucunun oldukça

başarılı olduğu görülmektedir (Şekil 5.9.e).

Şekil 5.9 Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile TYT süzgecinin manyetik model

üzerinde sınanması a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Gürültü eklenmiş kuramsal toplam manyetik alan görüntü haritası, d. 0.25. mertebeden türev, e. 0.5. mertebeden türev, f. 0.75. mertebeden türev, g. Birinci mertebeden türev (geleneksel kullanım)

55

Şekil 5.9’da verilen aynı model ve model verisi kullanılarak AS süzgecinin farklı türev

mertebelerindeki davranışları şekil 5.10’da gösterilmiştir. AS süzgecinin geleneksel

kullanımı başarılı bir sonuç üretememiştir (Şekil 5.10.g). 0.25, 0.5 ve 0.75. mertebeden

türevlerin kullanımı ile elde edilen AS sonuçları modelde kırmızı renkle verilen yapının

şeklini belirleyebilmiştir. Şekil 5.9.h’de ise DAS sonucu gösterilmiştir. DAS gürültü

varlığı nedeniyle bu problemi çözmede etkisiz kalmıştır.

Şekil 5.10 Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile AS süzgecinin manyetik model

üzerinde sınanması a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Gürültü eklenmiş kuramsal toplam manyetik alan görüntü haritası, d. 0.25. mertebeden türev, e. 0.5. mertebeden türev, f. 0.75. mertebeden türev, g. Birinci mertebeden türev (geleneksel kullanım), h. DAS 3B durum için verilen son model çalışmasında, eğim açısının toplam yatay türevi farklı

kesirli mertebe türevin kullanımı ile bir manyetik model verisi üzerinde sınanmıştır

56

(Şekil 5.11). Şekil 3.8’de verilen model ve gürültü eklenmiş model verisi bu

uygulamada kullanılmıştır. Şekil 5.11.g’de verilen eğim açısının toplam yatay türev

sonucu derin iki yapının sınırlarını belirleyememiştir. Ancak kesirli ve düşük mertebeli

türevlerin kullanımı ile elde edilen sonuçlar oldukça etkili sonuçlar üretmiştir. Türev

mertebesinin azalmasına paralel olarak gürültü seviyesi azalmış ve derin yapılara ait

etkiler kuvvetlenmiştir.

Şekil 5.11 Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile eğim açısının toplam yatay türevi

süzgecinin manyetik model üzerinde sınanması a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Gürültü eklenmiş kuramsal toplam manyetik alan görüntü haritası, d. 0.25. mertebeden türev, e. 0.5. mertebeden türev, f. 0.75. mertebeden türev, g. Birinci mertebeden türev (geleneksel kullanım) Arazi verileri üzerinde yapılan uygulamada Eskişehir fayı ve segmentlerini içeren

bölgeye ait havadan bölgesel manyetik alan verisi kullanılmıştır. İlk uygulamada TYT

57

süzgecinin geleneksel kullanımı ve farklı kesirli mertebeden türevler kullanımı ile elde

edilen sonuçlar karşılaştırılmış ve şekil 5.12’de gösterilmiştir. Şekil 5.12.a’da Eskişehir

fay zonu ve yakın civarının tektonik haritası Özsayın ve Dirik (2007)’den alınarak

gösterilmiştir. Şekil 5.12.b’de bölgeye ait havadan toplam manyetik alan görüntü

haritası ve şekil 5.12.c’de ise kutba indirgenmiş manyetik alan görüntü haritası

verilmiştir. Manyetik alan görüntü haritasında Eskişehir fayı ve segmentlerinin

Kuzeybatı-Güneydoğu yönünde belirti sunduğu ve genlik değerlerinin diğer yapılara ait

belirtilere göre daha egemen olduğu görülmektedir. TYT süzgecinin geleneksel

kullanımında (Şekil 5.12.g) yüzeye yakın yapılara ait kenarlar kuvvetlendirilmiş ve

çizgisel belirtiler şeklinde görülmektedir. Ancak TYT süzgeci hem derin hem de yüzeye

yakın yapılara ait kenarları aynı genlik değerlerinde sunamadığı için bu sonucu

yorumlamak oldukça güçtür. Daha düşük mertebeden yatay türevlerin kullanımı ile

hesaplanan TYT görüntü haritalarında (Şekil 5.12.d,f) bu sorun türev mertebe değeri

azaldıkça ortadan kalkmıştır. Özellikle 0.25. mertebeden türevler kullanılarak

hesaplanan TYT görüntü haritasında derin yapılara ait sınırlar belirginleşmiştir (Şekil

5.12.d).

58

Şekil 5.12 Kesirli mertebeden türevler ile TYT süzgecinin arazi verisinde sınanması a. Eskişehir fay zonu ve civarı tektonik haritası (Özsayın ve Dirik 2007), b. Havadan toplam manyetik alan görüntü haritası, c. Kutba indirgenmiş manyetik görüntü haritası, d. 0.25. mertebeden yatay türevleri içeren TYT görüntü haritası, e. 0.5. mertebeden yatay türevleri içeren TYT görüntü haritası, f. 0.75. mertebeden yatay türevleri içeren TYT görüntü haritası, g. Birinci mertebeden yatay türevleri içeren TYT görüntü haritası (geleneksel kullanım)

59

Şekil 5.13’de ise aynı veri üzerinde eğim açısı süzgecinin geleneksel kullanımı ve farklı

kesirli mertebelerden yatay ve düşey türevler hesaplanarak kullanımı ile elde edilen

sonuçlar karşılaştırılmıştır. Eğim açısı süzgecinin geleneksel kullanımı ile elde edilen

görüntü haritasında (Şekil 5.13.e) hem derin hem de yüzeye yakın yapılara ait kenar

etkilerinin ortaya çıkarıldığı, ancak yüzeye yakın yapıların etkilerinin görüntüyü

karmaşıklaştırdığı görülmektedir. Daha düşük mertebeden türev kullanımları ile türev

mertebesine bağlı olarak derin yapılara ait etkiler kuvvetlenip, yüzeye yakın yapılara ait

etkiler bastırıldığından eğim açısı görüntü haritalarındaki bu karmaşıklık ortadan

kalkmıştır. 0.25. ve 0.5. mertebeden türevler kullanılarak elde edilen eğim açısı

sonuçları birbirine yakın sonuçlar vermiştir (Şekil 5.13.b,c). Bu iki türev mertebesi için

özellikle derin kökenli yapılara ait kenar etkileri oldukça belirginleşmiştir.

60

Şekil 5.13 Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile eğim açısı süzgecinin arazi verisi

üzerinde sınanması a. Eskişehir fayı ve segmentlerini içeren bölgenin kutba indirgenmiş havadan manyetik görüntü haritası, b. 0.25. mertebeden yatay ve düşey türevleri içeren eğim açısı görüntü haritası, c. 0.5. mertebeden yatay ve düşey türevleri içeren eğim açısı görüntü haritası, d. 0.75. mertebeden yatay ve düşey türevleri içeren eğim açısı görüntü haritası, e. Birinci mertebeden yatay ve düşey türevleri içeren eğim açısı görüntü haritası (geleneksel kullanım)

61

6. TARTIŞMA VE SONUÇLAR

Gravite ve manyetik yöntemlerde çözülmeye çalışılan en önemli problem; belirtiyi

oluşturan yeraltı yapılarına ait geometrik ve fiziksel parametrelerin kestirilmesi ve

görüntülenmesidir. Doktora tez çalışması kapsamında kaynak parametrelerinden

belirtiye neden olan yapının/yapıların kenarlarının belirlenmesi işlemi üzerine

odaklanılmıştır. Yeraltı yapılarının kenarlarının belirlenmesi amacıyla verinin yatay ve

düşey türevlerinin tek başlarına kullanımları yetersiz kalmaktadır. İlk nesil geliştirilen

ve günümüzde geleneksel sınır belirleme süzgeçleri olarak anılan TYT ve AS

süzgeçlerinin üstün yönleri olmalarına karşın, özellikle derin kaynaklı yapıların

kenarlarının belirlenmesinde yetersiz kalmaktadır. Bu durumun üstesinden gelebilmek

için geliştirilen yeni nesil süzgeçler hem yakın hem de derin kaynaklı yapıların kenar

etkilerini aynı genlik seviyesinde verebilmektedir. Ancak, bu süzgeçler verideki olası

gürültü içeriğini sinyalle birlikte kuvvetlendirmektedir. Bu nedenle, sınır belirleme

süzgeçlerinin veriye uygulanmasından önce, alçak geçişli veya yukarı analitik uzanım

süzgeçleri olası gürültü ve yakın yüzey yapıların etkilerini uzaklaştırmak için

kullanılmaktadır. Uygulamada kullanılan bu süzgeçlerin ortak zayıf noktaları:

• Gürültüye karşı duyarlı olmaları

• Derin veya düşük fiziksel özellik sunan yapılar için düşük çözünürlük sunmaları

• Birbirine oldukça yakın yapılara ait yatay sınırların belirlenmesinde çözümsüz

kalmaları (yanal ayrımlılık)

olarak sıralanabilir. Kronolojik sıra takip edilirse, sınır belirleme süzgeçleri bir önce

önerilen süzgecin zayıf noktasından hareket ederek geliştirilmiştir. Literatürde, bir sınır

belirleme süzgecinin iyileştirilmesi mantığında geliştirilen tek süzgeç DAS süzgecidir.

Doktora tez çalışması kapsamında; tamsayı mertebeli türevleri kullanan (genellikle

birinci mertebe) süzgeçler kesirli mertebeden türevler kullanılarak yeniden

irdelenmiştir. Böylelikle sınır belirleme süzgeçlerinin klasik kullanımlarına göre

sonuçlarda bir iyileşme olup olmadığı araştırılmıştır. Kesirli mertebeden türevler RL

62

kesirli türev yaklaşımı ile hesaplanmıştır. Öncelikle model verilerinin kesirli ve tamsayı

mertebeden yatay ve düşey türevleri karşılaştırılmıştır. Verinin kesirli mertebeden yatay

türevleri türev mertebesine bağlı olarak belirtilerin yerini değiştirmektedir. Kesirli ve

tamsayı mertebeden düşey türev işlemlerinde ise belirtilerin yeri değişmemekte, ancak

türev mertebenin azalmasıyla birlikte belirti kaynak yapı sınırlarında yayvan bir şekil

almakta ve türev mertebenin artmasıyla birlikte belirti kaynak yapı sınırlarında daha da

daralarak keskinleşmektedir. Yüksek tamsayı mertebesinden düşey türev kullanımının

gerektiği durumlarda gürültü içeriğine bağlı olarak kesirli mertebeden düşey türevlerin

kullanımı daha başarılı sonuçlar vermektedir.

Uygulamada sık kullanılan sınır belirleme süzgeçleri kesirli mertebeden türevler

kullanılarak potansiyel alan verilerine uygulanmıştır. Yeraltı yapılarının kenarlarının

yatay düzlemde kayma problemini aşabilmek için dalgasayısı ortamında faz spektrumu

değiştirilmiş bir süzgeç geliştirilmiştir. Bu süzgece “faz uyarlanmış kesirsel mertebeli

yatay türev süzgeci” adı verilmiştir. Sınır belirleme süzgeçlerinin kesirli mertebeden

türevler ile kullanımları durumunda, sonuçlarda gerek gürültü varlığının azaltılması

gerekse derin veya düşük fiziksel özellik sunan yapılarının etkilerinin

kuvvetlendirilmesi açısından ciddi bir iyileşmenin olduğu gözlenmiştir.

Potansiyel alan verilerinin değerlendirilmesinde kesirli mertebeden türevlerin

kullanımının önerilmesi dışında bu tez çalışmasının önemli bir çıktısı MATLAB

programlama dili kullanılarak geliştirilen POTENSOFT yazılımıdır. Bu yazılım

potansiyel alan verilerinin modellenmesi, süzgeçlenmesi ve görselleştirilmesi amacıyla

geliştirilmiştir ve bu amaçla geliştirilen kaynak kodları açık olan tek yazılımdır. Önemli

beklentilerden bir tanesi bu yazılımın gerek ülkemiz gerekse yurt dışında bulunan

üniversitelerde eğitim amaçlı kullanılmasıdır.

63

KAYNAKLAR

Arısoy, M.Ö. and Dikmen, Ü. 2011. Potensoft: Matlab-based software for potential field

data processing, modeling and mapping. Computers & Geosciences. Vol. 37(7),

pp. 935-942.

Baranov, V. 1957. A new method for interpretation of aeromagnetic maps: pseudo-

gravimetric anomalies. Geophysics. Vol. 22(2), pp. 359-383.

Barkai, E., Metzler, R. and Klafter, J. 2000. From continuous time random walks to the

fractional Fokker-Planck equation. Physical Review E., Vol. 61(1), pp. 132-138.

Bayın, S., 2004. Fen ve Mühendislik Bilimlerinde Matematik Yöntemler. Ders Kitapları

A.Ş., 440 s., Ankara.

Bezvoda, V., Jez̈ek, J. and Segeth, K. 1990. Fredpack-a program package for linear

filtering in the frequency domain. Computers & Geosciences. Vol. 16(8), pp.

1123-1154.

Bhattacharyya, B.K. 1972. Design of spatial filters and their application to high-

resolution aeromagnetic data. Geophysics. Vol. 37(1), pp. 68-91.

Blakely, R.J. 1996. Potential Theory in Gravity and Magnetic Applications. Cambridge

University Press, 441p., Cambridge.

Briggs, I.C. 1974. Machine contouring using minimum curvature. Geophysics. Vol. 39,

pp. 39-48.

Byerly, P.E. 1965. Convolution filtering of gravity and magnetic maps. Geophysics.

Vol. 30(2), pp. 281-283.

Caputo, M. 1967. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency

independent. The Geophysical Journal of the Royal Astronomy Society. Vol. 13,

pp. 529-539.

Carcione, J.M., Cavallini, F., Mainardi, F. and Hanyga, A. 2002. Time-domain

Modeling of Constant-Q Seismic Waves Using Fractional Derivatives. Pure and

Applied Geophysics. Vol. 159, pp. 1719–1736.

Chang, T.S. and Singh, M.P. 2002. Seismic analysis of structures with a fractional

derivative model of viscoelastic dampers. Earthquake Engineering and

Engineering Vibration. Vol. 1(2), pp. 251-260.

64

Clement, W.G. 1973. Basic principles of two-dimensional digital filtering. Geophysical

Prospecting. Vol. 21, pp. 125-145.

Cooper, G.R.J. 1997. GravMap and PFproc: Software for filtering geophysical map

data. Computers & Geosciences. Vol. 23(1), pp. 91-101.

Cooper, G.R.J. 2005. Analysing potential field data using visibility. Computers &

Geosciences. Vol. 31(7), pp. 984-992.

Cooper, G.R.J. 2006. Interpreting potential field data using continuous wavelet

transforms of their horizontal derivatives. Computers & Geosciences. Vol. 32(7),

pp. 984-992.

Cooper, G.R.J. 2009. Balancing images of potential-field data. Geophysics. Vol. 74(3),

pp. L17-L20.

Cooper, G.R.J. and Cowan, D.R. 2003a. The application of fractional calculus to

potential field data. Exploration Geophysics. Vol. 34(1&2), pp. 51-56.

Cooper, G.R.J. and Cowan, D.R. 2003b. Sunshading geophysical data using fractional

order gradients. The Leading Edge. Vol. 22(3), pp. 204.

Cooper, G.R.J. and Cowan, D.R. 2004. Filtering variable order vertical derivatives.

Computers & Geosciences. Vol. 30, pp. 455-459.

Cooper, G.R.J. and Cowan, D.R. 2006. Enhancing potential field data using filters

based on the local phase. Computers & Geosciences. Vol. 32(10), pp. 1585-

1591.

Cooper, G.R.J. and Cowan, D.R. 2007. Enhancing linear features in image data using

horizontal orthogonal gradient ratios. Computers & Geosciences. Vol. 33(7), pp.

981-984.

Cordell, L.E. and Grauch, V.J.S. 1985. Mapping basement magnetization zones from

aeromagnetic data in the San Juan basin, New Mexico. In: W.J. Hinze, Editor,

The Utility of Regional Gravity and Magnetic Anomaly Maps, Society of

Exploration Geophysicists, 181-197.

Cowan, D.R. and Cooper, G.R.J. 2005. Separation filtering using fractional order

derivatives. Exploration Geophysics. Vol. 36(4), pp. 393-396.

Das, S. 2011. Functional fractional calculus. Second Edition, Springer, 642 p., India.

65

Dikmen, Ü. 2004. Zeminlerde sismik dalga sönümünün kesirsel türev yaklaşımı ile

modellenmesi. Doktora tezi, Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 170

s., Ankara.

Durrheim, R.J. and Cooper, G.R.J. 1998. EULDEP: a program for the Euler

deconvolution of magnetic and gravity data. Computers & Geosciences. Vol.

24(6), pp. 545-550.

Engheta N. 1996. On fractional calculus and fractional multipoles in electromagnetism.

IEEE Trans. Antennas Propagation. Vol. 44(4), pp. 554–566.

Fedi, M., Paoletti, V. and Rapolla, A. 2005. The role of multilevel data in potential field

interpretation. Computers & Geosciences. Vol. 31(6), pp. 681-688.

Fellah, M., Fellah, Z.E.A. and Depollier, C. 2006. Transient wave propagation in

inhomogeneous porous materials: Application of fractional derivatives. Signal

Processing. Vol. 86, pp. 2658–2667.

Fuller, B.D. 1967. Two-dimensional frequency analysis and design of grid operators.

Mining Geophysics. Vol. 2, pp. 658-708.

Garland, G.D. 1951. Combined analysis of gravity and magnetic anomalies.

Geophysics. Vol. 16, pp. 51-62.

Gibert, D. and Galdeano, A. 1985. A computer program to perform transformations of

gravimetric and aeromagnetic surveys. Computers & Geosciences. Vol. 11(5),

pp. 553-588.

Gonzales, R.C. and Woods, R.E. 2002. Digital Image Processing. 2nd edn., Prentice

Hall, 793 p., New Jersey.

Gunn, P.J. 1975. Linear transformations of gravity and magnetic fields. Geophysical

Prospecting. Vol. 23(2), pp. 300-312.

Gunn, P.J., Fitzgerald, D., Yassi, N. and Dart, P. 1997. New algorithms for visually

enhancing airborne geophysical data. Exploration Geophysics. Vol. 28, pp. 220-

224.

Hall, M.G. and Barrick, T.R. 2008. From diffusion-weighted MRI to anomalous

diffusion imaging. Magnetic Resonance in Medicine. Vol. 59(3), pp. 447-455.

Hansen, R.O. 1993. Interpretative gridding by anisotropic kriging. Geophysics. Vol. 58,

pp. 1491-1497.

66

Horn, B.K.P. 1982. Hill shading and the reflectance map. Geo-Processing. Vol. 2, pp.

65–146.

Hsu, S.K., Sibuet, J.C. and Shyu, C.T. 1996. Highresolution detection of geologic

boundaries from potential field anomalies: An enhanced analytic signal

technique. Geophysics. Vol. 61(2), pp. 373-386.

Kilbas, A.A., Srivastava, H.M. and Trujillo, J.J. 2006. Theory and applications of

fractional differential equations. Elsevier, 540p., Amsterdam.

Kjartansson, E. 1979. Constant Q-wave Propagation and Attenuation. Journal of

Geophysical Research. Vol. 84, pp. 4737–4748.

Koh, C.G. and Kelly, J.M. 1990. Application of fractional derivatives to seismic

analysis of base-isolated models. Earthquake Engineering and Structural

Dynamics. Vol. 19, pp. 229-241.

Ku, C.C., Telford, W.M. and Lim, S.H. 1971. The use of linear filtering in gravity

problems. Geophysics. Vol. 36(6), pp. 1174-1203.

Li, X. 2006. Understanding 3D analytic signal amplitude. Geophysics. Vol. 71(2), pp.

B13-B16.

Li, Y. and Oldenburg, D.W. 1998. Seperation of regional and residual magnetic field

data. Geophysics. Vol. 63(2), pp. 431-439.

Li, C., Qian, D. and Chen, Y. 2011. On Riemann-Liouville and Caputo derivatives.

Discrete Dynamics in Nature and Society. 2011, 15p.

Lili, Z., Tianyao, H., Jiansheng, W. and Jialin, W. 2005. Application of image

enhancement techniques to potential field data. Applied Geophysics. Vol. 2(3),

pp. 145-152.

Machado, T.J.A., Jesus, I.S. and Galhano, A. 2005. A fractional calculus perspective in

electromagnetics, in: ASME International Design Engineering Technical

Conferences Computers and Information in Engineering Conference—Fifth

International Conferences on Multibody Systems, Nonlinear Dynamics and

Control (MSNDC), California, USA.

Machado, T.J.A., Jesus, I.S., Galhano, A. and Cunha, J.B. 2006. Fractional order

electromagnetics. Signal Processing. Vol. 86, pp. 2637–2644.

Magin, R., Feng, X. and Baleanu, D. 2009. Solving the fractional order Bloch equation.

Concepts in Magnetic Resonance Part A. Vol. 34A(1), pp. 16-23.

67

Malpica, W.A., Silva, J.F., Machado, J.T. and Barros, M.T.C. 2004. Fractional order

calculus on the estimation of short-circuit impedance of power transformers, in:

First IFAC Workshop on Fractional Differentiation and its Application,

Bordeaux, France.

Manabe, S. 2002. A suggestion of fractional-order controller for flexible spacecraft

attitude control. Nonlinear Dynamics. Vol. 29, pp. 251-268.

Mathieu, B., Melchior, P., Oustaloup, A. and Ceyral, Ch. 2003. Fractional

differentiation for edge detection. Signal Processing. Vol. 83, pp. 2421-2432.

Mendonça, C.A. and Meguid, A.M.A. 2008. Programs to compute magnetization to

density ratio and magnetization inclination from 3-D gravity and magnetic

anomalies. Computers & Geosciences. Vol. 34(6), pp. 603-610.

Miller, H.G. and Singh, V. 1994. Potential field tilt__a new concept for location of

potential filed sources. Journal of Applied Geophysics. Vol. 32, pp. 213-217.

Nabighian, M.N. 1972. The analytic signal of two-dimensional magnetic bodies with

polygonal cross-section: its properties and used for automated anomaly

interpretation. Geophysics. Vol. 37, pp. 507-517.

Naidu, P.S. and Mathew, M.P. 1998. Analysis of geophysical potential fields. Elsevier,

298 p., Amsterdam.

O’Connell, M.D., Smith, R.S. and Vallee, M.A. 2005. Gridding aeromagnetic data

using longitudinal and transverse gradients with the minimum curvature

operator. The Leading Edge. Vol. 24, pp. 142-145.

Oldham, K.B. and Spainer, J. 1974. The fractional calculus. Academic Press, 240 p.,

California.

Özsayın, E. and Dirik, K. 2007. Quaternary activity of the Cihanbeyli and Yeniceoba

Fault zones: İnönü-Eskişehir fault system, central Anotalia. Turkish Journal of

Earth Sciences. Vol. 16, pp. 471-492.

Parsneau, H.P. 1970. The development of two-dimensional digital operators for the

filtering of potential field data. Msc. thesis, McGill University, 142 p., Montreal.

Petras, I. 2009. Fractional-order feedback control of a DC motor. Journal of electrical

engineering. Vol. 60(3), pp. 117-128.

68

Podlubny, I. 1999. Fractional Differential Equations: An introduction to fractional

derivatives, fractional differential equations, to method of their solution and

some of their applications. Academic Press, 340p., London.

Rimando, P.M. 1987. Design and implementation of filters for potential filed data. Msc.

Thesis, The University of Texas at El Paso, 194 p., USA.

Roest, W.R., Verhoef, J. and Pilkington, M. 1992. Magnetic interpretation using the 3-D

analytic signal. Geophysics. Vol. 57(1), pp. 116-125.

Rose, B. 1975. A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional

calculus. Lecture notes in mathematics. 457, pp. 1-36.

Saichev, A.I. and Zaslavsky, G.M. 1997. Fractional kinetic equations: solutions and

applications. Chaos. Vol. 7(4), pp. 753-764.

Scalas, E., Gorenflo, R. and Mainardi, F. 2000. Fractional calculus and continuous-time

finance. Physica A: Statictical Mechanics and its Applications. Vol. 284(1-4),

pp. 376-384.

Schmit, A. and Gaul, L. 2006. On the numerical evaluation of fractional derivatives in

multi-degree-of-freedom systems. Signal Processing. Vol. 86, pp. 2592-2601.

Spector, A. 1968. Spectral analysis of aeromagnetic data. Ph. D. thesis, The University

of Toronto. 718 p., Canada.

Telford, W.M., Geldart, L.P. and Sherrif, R.E. 1996. Applied Geophysics. Cambridge

University Press, 770 p., Cambridge.

Vaclac, B., Hrabe, J. and Segeth, K. 1992. Linear filters for solving the direct problem

of potential fields. Geophysics. Vol. 57(10), pp. 1348-1351.

Verduzco, B., Fairhead, J.D., Green, C.M. and MacKenzie, C. 2004. New insights into

magnetic derivatives for structural mapping. The Leading Edge. Vol. 23(2), pp.

116-119.

Wijns, C., Perez, C. and Kowalczyk, P. 2005. Theta map: edge detection in magnetic

data. Geophysics. Vol. 70(4), pp. L39-L43.

Xu, Y., Hao, T., Li, Z., Duan, Q. and Zhang, L. 2009. Regional gravity anomaly

seperation using wavelet transform and spectrum analysis. Journal of

Geophysics and Engineering. Vol. 6, pp. 279-287.

Yuste, Y.B. and Lindenberg, K. 2001. Subdiffusion-limited A+A reactions. Physical

Review Letters. Vol. 87(11), 118301.

69

Yuste, S.B., Acedo, L. and Lindenberg, K. 2004. Reaction front in an A+B→C

reaction-subdiffusion process. Physical Review. Vol. E 69(3): 036126.

Zaslavsky, G.M. 2002. Fractional kinetic equation for Hamiltonian chaos. Physics

Reports. Vol. 371(6), pp. 461-580.

70

EKLER EK 1 BİR FONKSİYONUN n. MERTEBEDEN TÜREVİ

EK 2 n KATLI İNTEGRALİN GENEL YAZIMI

EK 3 GAMMA FONKSİYONU

71

EK 1 BİR FONKSİYONUN n. MERTEBEDEN TÜREVİ

Bir fonksiyonun birinci mertebe türevi, geri-farklar yaklaşımı kullanılarak

1

1 0

( ) ( ) ( )limx

d f df x f x f x xdx dx x∆ →

− −∆⎧ ⎫= = ⎨ ⎬∆⎩ ⎭ (1.1)

eşitliği ile tanımlanır. Benzer şekilde ikinci ve üçüncü mertebeden türevler de izleyen

şekilde verilebilir.

2

2 20

3

3 30

( ) 2 ( ) ( 2 )lim

( ) 3 ( ) 3 ( 2 ) ( 3 )lim

x

x

d f f x f x x f x xdx xd f f x f x x f x x f x xdx x

∆ →

∆ →

− − ∆ + − ∆⎧ ⎫= ⎨ ⎬∆⎩ ⎭− −∆ + − ∆ − − ∆⎧ ⎫= ⎨ ⎬∆⎩ ⎭

(1.2)

Katsayıların değişen işaretlerle binom katsayıları olduğu görülürse n. mertebe türev için

[ ]0 0

lim 1 ( )n n

n jn x j

nd f x f x j xjdx

−

∆ →=

⎧ ⎫⎛ ⎞= ∆ − − ∆⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭∑ (1.3)

yazılabilir. EK 2’de verilen n katlı integral ile ortak tanım için sınırlandırılmış bir limit

işlemi gerekecektir. [a,x] aralığını N eşit parçaya bölerek,

[ - ] / 1, 2,3, ... N x x a N N∆ = = (1.4) eşitliği yazılırsa (1.3) ifadesi,

[ ]0 0

lim 1 ( )N

n nn j

N Nn x j

nd f x f x j xjdx

−

∆ →=

⎧ ⎫⎛ ⎞= ∆ − − ∆⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭∑ (1.5)

72

olacaktır. nj

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

olarak gösterilen binom katsayıları da j > n değerleri için sıfır

olacağından,

[ ]1

0 0

lim 1 ( )N

n Nn j

N Nn x j

nd f x f x j xjdx

−−

∆ →=

⎧ ⎫⎛ ⎞= ∆ − − ∆⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭∑ (1.6)

yazılır. Problemin tanım sınırı içerisinde limitin sürekli olduğu varsayılırsa n.

mertebeden türev ifadesi:

1

0

lim 1 nn N

jn N j

nd f x a x af x jjdx N N

− −

→∞=

⎧ ⎫⎛ ⎞− ⎛ − ⎞⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭∑ (1.7)

şeklinde genelleştirilebilir. (1.7) ifadesinde, x bağımsız değişkeni (zaman, uzaklık vb.),

N örnek sayısını gösterir. Bağıntıda toplam ifadesinin alt ve üst sınırlarına terminal adı

verilmektedir.

73

EK 2 n KATLI İNTEGRALİN GENEL YAZIMI

Geometrik anlamda, integral tanımlandığı aralıkta, bir fonksiyonun altındaki alana eşit

olacağından, Riemann toplamı olarak

1

0 01 ( )( )

x

a

d f f x dxd x a

−

− =− ∫ (2.1)

N x∆ için EK 1’de verilen (1.4) numaralı bağıntı kullanılırsa (2.1) numaralı ifade:

[ ]{ }1

1 0

1

0 0

lim ( ) ( ) ( 2 ) ...... ( )( )

lim ( )

N

N

N N N Nx

N

N Nx j

d f x f x f x x f x x f a xd x a

x f x j x

−

− ∆ →

−

∆ →=

= ∆ + −∆ + − ∆ + + + ∆−

⎧ ⎫= ∆ − ∆⎨ ⎬

⎩ ⎭∑

(2.2)

şeklinde yazılır. Çift katlı integral durumunda,

[ ]

12

1 0 02

12

0 0

( )( )

lim [ 1] ( )N

xx

a a

N

N Nx j

d f dx f x dxd x a

x j f x j x

−

−

−

∆ →=

=−

⎧ ⎫= ∆ + − ∆⎨ ⎬

⎩ ⎭

∫ ∫

∑ (2.3)

ve üç katlı integral durumunda,

[ ]

2 13

2 1 0 03

13

0 0

( )( )

[ 1] [ 2] lim ( )2N

x xx

a a a

N

N Nx j

d f dx dx f x dxd x a

j jx f x j x

−

−

−

∆ →=

=−

⎧ ⎫+ + += ∆ − ∆⎨ ⎬

⎩ ⎭

∫ ∫ ∫

∑ (2.4)

verilir. n katlı integral için,

74

[ ][ ]

1

0 0

1

0 0

1lim ( )

( )

1 lim

N

N

n Nn

N Nn x j

n N

x j

j nd f x f x j xjd x a

j nx a x af x jjN N

− −

− ∆ →=

−

∆ →=

⎧ + − ⎫⎛ ⎞= ∆ − ∆⎨ ⎬⎜ ⎟

− ⎝ ⎠⎩ ⎭

⎧ ⎫+ −⎛ ⎞− ⎛ − ⎞⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

∑

∑ (2.5)

olacaktır. (2.5) ifadesinde yer alan toplamdaki katsayılar EK 1’de verilen (1.7)

ifadesinden farklı olarak 1j n

j+ −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

şeklinde gitmektedir ve bütün terimler pozitif

işaretlidir.

75

EK 3 GAMMA FONKSİYONU

Gamma fonksiyonu, matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tamsayı

olmayan gerçel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Kesirli türev ve integral

hesaplamalarında sıklıkla kullanılan bir fonksiyondur ve Г simgesiyle gösterilir.

Gamma fonksiyonu bütün x değerleri için izleyen bağıntı ile tanımlanır:

!( ) lim( 1)( 2)...( )

x

N

N Nxx x x x N→∞

⎧ ⎫Γ = ⎨ ⎬+ + +⎩ ⎭

(3.1)

x>0 değerleri için uygulamada kullanılan bağıntı aşağıdaki gibidir:

1

0

( ) x yx y e dy∞

− −Γ = ∫ (3.2)

(3.2) ifadesine kısmi integrasyon yöntemi uygulanarak,

1

0

( ) ( )y xx d e y∞

− −Γ = −∫ (3.3)

2

0

( ) ( 1) y xx x dye y∞

− −Γ = − ∫ (3.4)

şeklinde yazılırsa,

( ) ( 1) ( 1)x x xΓ = − Γ − (3.5) bağıntısı elde edilir. x sıfırdan büyük ve tamsayı değerler aldığı zaman,

(1) 1( 1) !n n

Γ =Γ + =

(3.6)

76

olacaktır ve sıfırdan küçük tamsayı değerler için de gamma fonksiyonu:

1( 1) ( )( 1)

x xx

Γ − = Γ−

(3.7)

şeklinde tanımlanabilir. Bu ifadeden görüleceği üzere Г(0), Г(-1) ve diğer tüm negatif

tamsayılar için Gamma fonksiyonunun değeri sonsuz olmaktadır. Gamma

fonksiyonunun kesirli matematikte kullanımında önemli rol oynayan özelliklerinden

birisi de,

( )( ) ( 1)

j qq jΓ −

Γ − Γ + (3.8)

oranıdır. Bu oran,

( )

0

( ) 1( ) ( 1) !

j jm m

jm

j q s qq j j =

Γ − −=

Γ − Γ + ∑ (3.9)

olarak verilmektedir. Burada:

( ) ( 1) ( ) (0) ( ) (0)

1 0 0, 1 ve diğerleri için 0m m m mj j j js s js s s s−+ = − = = = (3.10)

olarak verilen birinci tip Sterling sayılarıdır. (3.10) ifadesi binom katsayıları cinsinden

1( ) 1

( ) ( 1)jj q qj q

j jq j− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ −

= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟Γ − Γ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.11)

yazılabilir. Gerçel eksen boyunca Gamma fonksiyonu ve davranışı şekil 1’de

verilmiştir.

77

Şekil 1. Gamma fonksiyonu

78

ÖZGEÇMİŞ

Adı Soyadı : Muzaffer Özgü ARISOY

Doğum Yeri : Ankara

Doğum Tarihi: 17.06.1979

Medeni Hali : Evli

Yabancı Dili : İngilizce

Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)

Lise : Özel Evrensel Fen Lisesi (1997)

Lisans : Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü (2002)

Yüksek Lisans: Cumhuriyet Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı (2007)

Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl

2004 yılından bu yana Cumhuriyet Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Jeofizik Mühendisliği Bölümü’nde araştırma görevlisi olarak, 2007 yılından bu yana ise Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Jeofizik Mühendisliği Bölümü’nde 35. madde ile araştırma görevlisi olarak çalışmaktadır.

Yayınları (SCI ve diğer)

Arısoy, M.Ö., and Dikmen, Ü., 2011, Potensoft: Matlab-based software for potential field data processing, modeling and mapping, Computers&Geosciences, 37(7), 935-942.

Dikmen, Ü., Arısoy, M.Ö., and Akkaya, İ., 2010, Offset and linear spread geometry in MASW method, Journal of Geophysical and Engineering, (Special Issue On: Near Surface Geophysics for The Study and The Management of Historical Resources), 7(2), 211-222

Dikmen, Ü., Başokur, A.T., Akkaya, İ., ve Arısoy, M.Ö., 2010, Yüzey dalgalarının çok-kanallı analizi yönteminde uygun atış mesafesinin seçimi, Yerbilimleri, 31 (1), 23-32.

Büyüksaraç, A., Arısoy, M.Ö., Bektaş, Ö., Koçak, Ö., and Çay, T., 2008, Determination of grave locations in Dedemezari Necropolis (Western Turkey) using magnetic field derivatives, Archaeological Prospection, 15(4), 267-283.

Arısoy, M.Ö., Koçak, Ö., Büyüksaraç, A., and Bilim, F., 2007, Images of buried graves in Bayat, Afyon (Turkey) from high-resolution magnetic data and their comparison with preliminary excavations, Journal of Archaeological Science, 34(9), 1473-1484.