39 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015

Propsito de la secuencia didctica:

Analiza las grficas de las funciones trascendentes para argumentar las soluciones a problemas de variacin, tales como oscilacin, crecimiento y decrecimiento de los cuerpos; en los diferentes campos disciplinares.

Competencias genricas y atributos que se promueven:

1. Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 1.4 Analiza crticamente los factores que influyen en su toma de decisiones. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o grficas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

5.2 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenmenos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de inters y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crtica y reflexiva.

6.1 Elige las fuentes de informacin ms relevantes para un propsito especfico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiablidad.

6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nueva evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta. 6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sinttica. 7. Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida. 7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prcticas sociales. 10.2 Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la ubicacin de sus propias circunstancias en un contexto ms amplio.

Bloque

3

Grficas de las funciones trascendentes

40 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015

SECUENCIA DIDCTICA III: GRFICAS DE LAS FUNCIONES

TRASCENDENTES

LECTURA: LAS FUNCIONES CIRCULARES

Las funciones circulares son las funciones asociadas con las razones trigonomtricas; las ms

importantes son la funcin seno, la funcin coseno y la funcin tangente. La variable de las funciones

circulares siempre se expresa en radianes y no en grados sexagesimales.

LA FUNCION SENO

La funcin Seno relaciona un ngulo expresado en radianes con su Seno; cuando el ngulo se halla

entre 0 y 2, la grfica de esta funcin se construye como se muestra en la figura que aparece al pie

de esta pgina.

Cada valor del seno en la circunferencia unidad de la izquierda se traslada a su posicin

correspondiente en el valor del ngulo en el eje de abscisas. As por ejemplo,

sen /2 = 1, o sen = -1; si es del primer cuadrante, sen ( ) = sen .

De este modo se obtiene la grfica siguiente:

Las propiedades de la funcin seno en el intervalo [0,2] son las siguientes

La imagen de la funcin es el intervalo [-1,1].

Los puntos de corte son (0,0) y (, 0).

41 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015

Es creciente en (0, /2) y (, 3 /2), y por el contrario, es decreciente en (/2, ) y

(3 /2, 2)

Tiene un mximo en el punto (/2, 1 ) y un mnimo en el punto (3 /2 ,- 1).

42 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015

Por otra parte, sabemos que hallar el seno de ngulos mayores que 2 , basta con aplicar la

formula siguiente: sen (x + 2) ,o tambin, sen x.

Y que, adems, para hallar el seno de ngulos negativo, la frmula que hay que aplicar es la

siguiente: sen(-a) ,o tambin, -sen a.

De esta manera, se puede extender la funcin seno a todos los nmeros reales; la grfica en un

intervalo mayor se acostumbra a denominar sinusoidal y tendra la forma siguiente:

Como se puede observar, esta grafica repite los valores de la funcin cada 2; es decir, es suficiente

saber cules son los valores de la funcin en el intervalos [0, 2) para conocer los valores de la

funcin en cualquier otro valor, porque se trata de repetir la grfica en ese intervalo. Por este motivo

la funcin seno es una funcin peridica, cuyo periodo es 2.

LA FUNCION COSENO

La funcin coseno para el intervalo [0, 2) se puede construir de manera anloga a la funcin seno.

Por lo tanto, la grfica de la funcin coseno en el intervalo [0,2 ) ser la siguiente:

43 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015

Las propiedades fundamentales de la funcin coseno en el intervalo [0, 2] son las siguientes:

La imagen de la funcin es el intervalo [-1,1]

Los puntos de interseccin son (0,1), (/2,0) y (3 /2, 0)

Es creciente en (, 2 ) y decreciente en (0, )

Tiene un mximo en el punto (0,1) y un mnimo en el punto (, -1)

Al igual que la funcin seno, la funcin coseno es una funcin peridica, que repite la misma forma

cada 2 ; en consecuencia, la grfica de la funcin coseno en un intervalo mayor ser la siguiente:

44 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015

Si representando la funcin seno y la funcin coseno en un mismo grfico, obtendremos la siguiente

forma:

Como se puede advertir, la forma de ambas funciones es exactamente la misma, pero la funcin

seno est ligeramente adelantada (en /2).

Esto es as, porque: Cos x = Sen (x+ /2).

LA FUNCIN TANGENTE

La funcin tangente es el cociente entre la funcin seno y

la funcin coseno:

Tg x =

Para obtener la grfica de la funcin tangente, basta con

representarla entre /2 y /2, puesto que su periodo es

.

Por lo tanto, si representamos la grfica de la funcin tangente en un intervalo mayor, obtendremos

la siguiente forma (ver figura inferior):

Funcin seno Funcin coseno

45 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015

Las principales propiedades de

la funcin tangente son:

A diferencia de todas las

funciones estudiadas hasta el

momento, el dominio de esta

funcin no incluye todos los

nmeros; para los valores en los

que el coseno es 0, la funcin

no existe (porque deberamos

dividir por 0, cosa imposible); esto sucede cuando x es igual a /2 + k (siendo k un

numero entero cualquiera), es decir para:

-7 /2, -5 /2, -3 /2, - /2, /2, 3 /2, 5 /2, 7,/2

la imagen de es la funcin puede ser cualquier nmero real, sea positivo negativo.

Como se puede comprobar en se grfica, la tangente es siempre una funcin creciente.

Los puntos de interseccin con los ejes se corresponden con todos aquellos puntos que tengan como

coordenada de x un mltiplo de , es decir, los puntos de corte con los ejes son (k, 0), siendo k un

numero entero.

46 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015

COMENTARIO PARA EL ESTUDIANTE

Hay dos clases de funciones reales las algebraicas y las que no lo son, a estas le llamaremos funciones

trascendentales. Su nombre se deriva a que no pueden ser expresadas en forma de operaciones

algebraicas, de ah el nombre de la misma. Es decir, para un valor de x la salida de una funcin

trascendental no puede ser calculada algebraicamente.

Estas funciones son muy importantes en la solucin de problemas de fsica e ingeniera. Son

especialmente utilizados para detectar errores en el anlisis dimensional. Esto se debe a que la

funcin trascendental slo tiene sentido despus que sus argumentos se hacen sin dimensiones,

esto tambin puede hacerse utilizando reducciones algebraicas.

Para definir una funcin trascendental elemental, principalmente se emplean tres estrategias. Una

de ellas es hacer uso de las series de potencias. Sin embargo, rara vez se utiliza, ya que no forma

parte del clculo elemental. El otro, que se utiliza en gran manera, es el mtodo de la integral

definida. Dos de las funciones trascendentales ms importantes son las funciones trigonomtricas

y las funciones exponenciales. Las funciones de los ngulos se conocen como funciones

trigonomtricas. Tambin se les conoce por el nombre de funciones circulares.

VALORACIN CRTICA

Las funciones trigonomtricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, y cosecante son muy

importantes para relacionar la longitud de los lados de un tringulo rectngulo con los ngulos del

tringulo. Entre muchas de las aplicaciones, estas funciones son importantemente utilizadas para

modelar o describir los fenmenos fsicos: movimientos peridicos, movimiento ondulatorio y

fsicos.

En trminos ms precisos, una funcin trigonomtrica se puede definir como una funcin que es

razn de cualquiera de los dos lados del tringulo con un ngulo especfico entre ellos. Algunos de

los matemticos modernos incluso definen tales funciones como una serie de longitud infinita o la

solucin de ecuaciones diferenciales, extendiendo estas un gran nmero de negativos as como

positivos, incluso nmeros complejos en algunos momentos.

47 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015

Instrucciones apartado 1: Contesta correctamente lo que se te pide.

1. Los puntos de corte de la funcin seno son: ____________.

2. Menciona dos puntos mximos de la funcin Seno: _____________ y ______________.

3. La funcin Coseno es creciente en ______________ y decreciente en _______________.

4. La funcin coseno tiene un mximo en el punto _____________ y un mnimo en el punto

______________.

5. El dominio de la funcin Seno y Coseno es el intervalo: ______________________.

6. La imagen o rango de la funcin Seno y Coseno es el intervalo: _____________.

7. Por qu a las funciones Seno y Coseno se les llama funciones peridicas?

_____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

8. Grficamente cual es la diferencia entre la funcin seno y coseno, explcalo con tus propias

palabras: _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

9. La imagen de la funcin Seno y Coseno es el intervalo: ______________________.

10. Cul es el dominio e imagen de la funcin Tangente? (Deduce o investiga de ser necesario)

Dominio: ___________________ e Imagen o Rango: __________________.

11. Las funciones trascendentales tambin se les llama como funciones ________________.

Instrucciones: Subraya la respuesta correcta.

12. La funcin seno y coseno son funciones:

a) Continuas b) Discontinuas c) Algebraica

13. La funcin tangente es una funcin:

a) Continua b) Discontinua c) Algebraica

Nombre: ________________________________________________

Grupo: ___________ Fecha: _________________ S.D. # 3

ACTIVIDAD 1

48 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015

Instrucciones apartado 2: En los problemas del 1 a 4, la figura muestra un ciclo de una senoide o

cosenoide. De acuerdo con la figura, determine A (amplitud) y D (desplazamiento) y deduzca una

ecuacin de la forma:

y = A sen x + D, o tambin la ecuacin, y = A cos x + D, para cada grfica.

1.- y= ____________________________ 2.- y= ____________________________

3.- y= ____________________________

4.- y=_________________