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Antología de lecturas Matemáticas .

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UNA CAPA PARA ALEXANDER

Hace mucho, mucho tiempo, en un pueblecito junto al mar, vivía un niño de nueve años que se

llamaba Alexander. Alexander vivía feliz con su familia, tenía una hermana que se llamaba Roxana

y que era dos años menor que él. En esos días se celebraba en el pueblo el final de la primavera y

el comienza del verano con una gran fiesta, todos los habitantes del pueblo se ponían las mejores

ropas que tenían y Alexander pensó que su madre podría hacerle este año una bonita capa roja,

fue a buscarla y le comentó su idea, su madre estaba de acuerdo y le dijo que fuera a comprar la

tela roja que necesitaba para coser la capa, ―antes de que te vayas a la tienda‖- le dijo- ―ven aquí

que voy a medirte‖ usando su mano , empezó a contar ― uno, dos, tres, cuatro, cinco y …seis, dios

mío, ¿cómo has crecido tan rápido? Muy bien Alexander, ve con tu hermana a la tienda y dile al

señor Patrick que necesitas seis palmos de tela roja y que yo se la pagaré mañana que tengo que

bajar al pueblo para hacer unos recados‖.

Alexander y Roxana se fueron al pueblo llegaron al tienda, entraron y el chico dijo: ― buenas tardes

señor Patrick, mi madre me ha dicho que necesita seis palmos de tela roja porque me va a hacer

una capa para la fiesta de la semana que viene y que mañana vendrá a pagar la tela‖ El señor

Patrick era enorme, medía por lo menos 2,10 metros y 2 metros de ancho, sus manos eran

gigantescas, eran como dos sartenes de las grandes; cogió la tela y lentamente empezó a contar:

― uno, dos, tres, cuatro, cinco y …seis‖ lo hizo tan despacio porque parecía que le costaba

moverse a causa del gran tamaño que tenía, la verdad es que todo lo hacía muy lentamente,

dobló la tela con cuidado y se la dio a Alexander, Roxana dijo ― adiós y buenas tardes‖ lo dijo con

prisa porque en realidad sentía miedo cada vez que entraba en la tienda de aquel ―gigante‖.

Cuando Alexander y Roxana llegaron a casa entregaron a su madre la tela que tan

cuidadosamente había doblado el señor Patrick, su madre la desdobló y miró enfadada a su hijo,

―¿pero qué has comprado? Aquí tenemos tela para hacer una capa a cada uno de la familia, te

dije que compraras seis sólo palmos no sesenta‖ Alexander dijo: ―mamá he comprado lo que tú me

dijiste, ¿verdad que sí Roxana?‖ Roxana asintió, entonces después de unos segundos de silencio

que a Alexander le parecieron horas, su madre se dio cuenta, ―claro, tenía que haberlo pensado

antes, tú no tienes la culpa, ha sido fallo mío, tenía que haber tenido en cuenta que mis manos

son muchísimo más pequeñas que las del señor Patrick, ¡qué tremendo error!

A la mañana siguiente la madre de Alexander bajó al pueblo y pasó por la tienda del señor Patrick,


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le explicó lo que había sucedido, le devolvió toda la tela que no había utilizado y pagó por el resto,

los dos estuvieron riéndose durante largo rato por lo que había sucedido. Más tarde se dirigió a

hablar con el Consejo de los Sabios del pueblo y les contó lo que había pasado y el terrible error

que había cometido, entre todos decidieron inventar un nuevo sistema de medir las cosas, EL

MISMO SISTEMA PARA TODOS.

OCHITO Y EL GUSANO DIECISEIS PIES

Hola ¿os acordáis de mí?, me llamo ochito, soy una araña, mi cuerpo tiene forma de 8 y además tengo 8 patas, 4 en el lado derecho y 4 en el izquierdo.

Tengo una tienda. Un día vino a mi tienda el gusano dieciséis pies a comprar calcetines. Dieciséis pies es muy divertido, tiene 8 pies a cada lado de su cuerpo. Le pusimos ese nombre porque lo 8 pies de un lado más los 8 del otro son 16 pies.

Cuando dieciséis pies anda mueve primero los 8 pies de un lado y luego los 8 del otro, y parece que vaya bailando por la calle. Dieciséis pies quería calcetines de color naranja, pero en la tienda no hay tantos calcetines iguales, entonces le dije que debía comprar 8 calcetines naranjas y 8 calcetines amarillos. A dieciséis pies no le gustó la idea ¿Cómo iba a llevar 8 calcetines de un color y 8 de otro distinto? Seguro que se reirían de él. Le dije que hiciera una prueba y resultó que cuando andaba movía primero los 8 calcetines naranjas y luego los 8 calcetines amarillos lo que llamaba mucho la atención de todo el mundo. Desde entonces llevar calcetines de colores diferentes está de moda en nuestro pueblo.


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EL ABAD Y LOS TRES ENIGMAS

Esto era una vez un viejo monasterio, situado en el centro de un enorme y frondoso bosque, en el

que vivían muchos frailes.

Cada fraile tenía una misión diferente, así había un fraile portero, otro médico, otro cocinero, otro

bibliotecario, otro pastor, otro jardinero, otro hortelano, otro maestro, otro boticario, es decir había

un fraile para cada cosa y todos llevaban una vida monástica entregada al estudio y a la oración.

Como en todos los monasterios, el fraile que más mandaba era el abad.

Se cuenta que había llegado a oídos del Señor Obispo de aquella región que el abad del

monasterio era un poco tonto y no estaba a la altura de su cargo.

Para comprobar las habladurías de la gente le hizo llamar y le dio un año de plazo para que

resolviera los tres enigmas siguientes:

1º Si yo quisiera dar la vuelta al mundo ¿Cuánto tardaría?

2º Si yo quisiera venderme ¿Cuánto valdría?

3º ¿Qué cosa estoy yo pensando que no es verdad?

El abad regresó al monasterio y sentó en su despacho a pensar y pensar, y pensó tanto que por

las orejas le salía humo. Se pasaba todo el día pensando, pero no se le ocurría nada, pensar sólo

le daba un fuerte dolor de cabeza. Hasta entró en la biblioteca del monasterio por primera vez en

su vida para buscar y rebuscar en los libros las soluciones y las respuestas que necesitaba.


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Pasaba el tiempo sin que el abad resolviera los enigmas que le había planteado el Señor Obispo.

Cuando ya quedaban pocos días para que se cumpliera el año de plazo salió a pasear por el

bosque y se sentó desesperado debajo de un árbol.

Un joven y humilde fraile pastor que estaba cuidando las ovejas del monasterio le oyó lamentarse

y le preguntó qué le ocurría. El abad le contó la entrevista con el Señor Obispo y los tres enigmas

que le había planteado para probar sus conocimientos. El frailecillo le dijo que no se preocupara

más porque él sabría como contestar al Señor Obispo. Así que, el mismo día que se terminaba el

año de plazo, se presentó el joven fraile ante el Señor Obispo disfrazado con el hábito del abad y

la cabeza cubierta con la capucha para que el Obispo no pudiera reconocerlo.

Después de recibirlo, el Señor Obispo quiso saber las respuestas a sus enigmas y volvió a

plantear al falso abad la primera pregunta:

- Si yo quisiera dar la vuelta al mundo ¿Cuánto tardaría?

- Si Su Ilustrísima caminara tan deprisa como el sol -contestó rápidamente el frailecillo- sólo

tardaría veinticuatro horas.

El Obispo después de pensarlo un rato quedó satisfecho con la respuesta, así que pasó a la

segunda pregunta:

- Si yo quisiera venderme ¿Cuánto valdría?

El frailecillo respondió sin dudarlo:

- Quince monedas de plata.

Cuando el Obispo oyó esta respuesta preguntó:

- ¿Por qué quince monedas?

- Porque a Jesucristo lo vendieron por treinta monedas de plata y es lógico pensar que Su

Ilustrísima valga sólo la mitad.

Le iban convenciendo al Señor Obispo las respuestas de aquel abad y empezaba a pensar que no

era tan tonto como le habían dicho.

Entonces realizó la tercera y última pregunta:

- ¿Qué cosa estoy yo pensando que no es verdad?

- Su Ilustrísima piensa que yo soy el abad del monasterio cuando en realidad sólo soy el fraile que

cuida de las ovejas.

Entonces el Obispo, dándose cuenta de la inteligencia de aquel joven fraile, decidió que el

frailecillo ocupara el cargo de abad y que el abad se encargara de las ovejas.

Y colorín colorado este cuento se ha acabado, si quieres que te lo cuente otra vez cierra los ojos y

cuenta hasta tres.


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RELACIONES SOBRE MATEMÁTICAS Y EL MUNDO QUE NOS RODEA

Cuando todo quería poner en práctica siempre debía recurrir a la matemática. Quería solamente

dedicarme al dibujo, a la pintura pero debía sacar proporciones y medir la altura.

Quería también dedicarme a cantar pero debía medir el tiempo entre el canto y la música por

tocar.

Creí encontrar en el baile una solución pero si no contaba los pasos era mi perdición.

A la composición de poesías me quise dedicar, pero debía medir los versos para una buena

poesía lograr.

Geografía, historia, música, todas con la matemática se relacionaban y en mi mente números y

números se cruzaban.

Para olvidarme caminé y caminé y al mirar un letrero que decía 5 km encontré.

Miré mi reloj y una hora había demorado y en mi mente una pregunta había pasado.

Si en una hora 5 km había caminado en 4 horas ¿cuántos km habría avanzado?

Dije entonces 1 es 4 como 5 es x, sin pensar que con una regla de tres simple me había yo de

encontrar.

Multipliqué 5 por el 4 y 20 me dio, despejé la x y el 1 dividiendo pasó, la x igual a 20 me quedó y

20 km habría de recorrer yo.

Luego pensando me dí cuenta que con la matemática me había de nuevo encontrado, y me di

cuenta que ni siquiera caminar podía hacerlo, sin ella a mi lado.

Fue en ese momento cuando su importancia descubrí y aunque a veces me cansaba, las tablas

aprendí.

Pero me dí cuenta que aunque de ella escaparme quiera, hasta en las cosas más sencillas la

matemática espera.

Gabriela Noriega


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Luís, Pablo y María, se encontraron delante del puente de troncos que atravesaba el río, los tres amigos estaban de vacaciones, el día era radiante y su decisión firme, hoy en vez de piscina explorarían el bosque. Durante años habían creído que el bosque estaba encantado y que en él vivían extraños duendes que no permitían salir a quienes se aventuraban a entrar en él. Sus padres les habían contado esa historia cuando eran pequeños para evitar que jugando pudieran perderse. Los tres se miraron, sonrieron y emocionados pusieron rumbo al bosque Llevaban más de una hora caminando cuando una extraña sensación les invadió. A su alrededor no se escuchaba nada, solo había un inquietante silencio. Los tres amigos se miraron, aquello empezó a no gustarles. ¿Qué os parece si nos volvemos?, total por aquí no hay nada que hacer. Dijo Luís, que era el más prudente de los tres. Vale. Contestaron al tiempo Pablo y María. Sin más comentarios, giraron sobre sus pasos y emprendieron el camino de regreso. Avanzaban cada vez más rápido, pero tenían la impresión de que en vez de acercarse a la salida se adentraban cada vez más hacia su interior. Los árboles adoptaban formas extrañas, sus ramas se retorcían y eso les daba un aspecto siniestro. De repente los tres quedaron paralizados. Allí estaba, delante de ellos, en mitad del camino, con menos de un metro de estatura, orejas puntiagudas, grandes manos y pies, mirada penetrante y una sonrisa que producía escalofríos. ¡Hola! Soy un duende, de la familia de los Emáticos, y me llamo Mat. Mat de los Emáticos. Sin darnos cuenta hemos entrado en el bosque - dijo María – y ahora no encontramos la salida. ¿Podría ayudarnos a encontrarla? En este bosque no hay camino de regreso, solo se puede seguir avanzando, hasta que os encontréis de nuevo en el puente de entrada.


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¡Vale!, dijeron los niños, entonces sigamos. ¡Alto! - exclamo Mat – al tiempo que saltaba de un lado a otro del camino y lanzaba al suelo un puñado de polvo azul, que producía una explosión y una nube roja. Asustado, Pablo saltó detrás de María y Luís detrás de Pablo. María quiso retroceder pero Pablo la sujetaba con fuerza por la cintura y no se lo permitía. El problema es - siguió hablando Mat como si no hubiese ocurrido nada – que desde este punto solo podréis continuar si resolvéis un pequeño enigma. ¿Cuál?, se atrevió a preguntar María con la voz entrecortada por el miedo. Fijaos en esos árboles ¿no os parecen extraños? Un poco sí, dijo Luís. No tienen hojas, solo tronco y ramas retorcidas. Pablo entonces se atrevió a hablar, también tienen unas frutas muy raras con números y una raya. María interrumpió. No son números y rayas son fracciones, esa es 3/5. Efectivamente, confirmó Mat dando otro salto. Se trata de las frutifracciones del bosque. Como veis en cada tronco hay una fracción y en cada rama un número. Venid, acercaros. Los tres niños avanzaron lentamente, procurando esconderse cada uno detrás de los otros. ¡Rápido!, gritó el duende, no tengo todo el día. Asustados, Pablo y María trataron de retroceder, pero Luís les dio un fuerte empujón. María dio un trompicón y se cayó de culo. Pablo tropezó con ella y terminó de rodillas a los pies de Mat, que soltó una fuerte carcajada. Mirad aquí, dijo, mientras señalaba el árbol que estaba a su derecha. Este es el árbol de la fracción 2/3 y todos los frutos que cuelgan de él son sus frutifracciones equivalentes. En la rama del 2 cuelga 4/6, y en la del 5, 10/15 Entonces, introdujo la mano en el bolsillo de su chaqueta, sacó un polvo rosa, levantó el brazo y lo lanzó al aire. De nuevo explotó produciendo ahora una nube de colores: amarillo, azul, rojo, verde… Cuando el humo desapareció vieron que en el suelo había una cesta de mimbre llena de frutifracciones. Si queréis continuar el camino tenéis que escoger tres frutis de esta cesta y adivinar de qué árbol y de qué rama son. Pablo se adelantó, extendió la mano y cogió una. Llevaba marcada la fracción 9/15 . Entre los tres empezaron a deliberar.

http://matedelicias.blogspot.com/2009/08/fracciones-equivalentes_31.html


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¿Cómo podremos saber de qué árbol procede? Podemos escoger un árbol, por ejemplo 2/5, y buscar fracciones equivalentes con los números de cada rama a ver qué ocurre. Bien pero para no equivocarnos coge ese palo y lo escribimos en el suelo. María fue escribiendo las fracciones equivalentes a 2/5: 4/10; 6/15; 8/20 No sigas, dijo Luís, ya nos hemos pasado. Tiene que ser otro árbol. Pero si seguimos de esta manera podemos estar tres años para cada frutifracción. De acuerdo probemos de otra forma, dijo ahora Luís. Vayamos hacia atrás desde la fracción ¿Cómo?, preguntaron María y Pablo al tiempo. Simplificando la fracción, mirad 9 y 15 se pueden dividir entre 3. Cogió el palo y escribió en el suelo: 9/15 = 3/5 Tiene que ser el árbol que tiene 3/5 en el tronco y la rama 3. ¡Bien!, exclamó Mat de los Emáticos, pero todavía os quedan dos más. Ahora fue María la que cogió una fruti y la enseño a sus compañeros 12/18. Rápidamente, casi quitándose la palabra de la boca y el palo de las manos gritaron los tres: ¡prueba con el dos! Pablo cogió el palo y fue escribiendo en el suelo: 12/18 = 6/9 ¡ya está! exclamó con satisfacción y empezaron a buscar el árbol en cuyo tronco debía aparecer la fracción encontrada. ¡Horror! No había ningún árbol al que le correspondiera esta fracción. ¿Qué habremos hecho mal?, ¡con lo fácil que parecía! A lo mejor es que se puede seguir simplificando más la fracción, sugirió Luís. Claro, eso es lo que ocurre 6 y 9 también son divisibles por 3. Entonces fue María la que escribió 6/9 = 2/3 Enseguida encontraron el árbol 2/3 y una rama con el número 6. Ya solo les faltaba encontrar el origen de una frutifracción más.


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Vamos Luís, te toca a ti sacar la última. Algo nervioso, Luís extendió la mano y sacó una fruta más del cesto, 25/35. Esto estaba chupado, 25 y 35 se podían dividir entre 5 por tanto 25/35 : 5/5 = 5/7 ¡Sorprendente!, verdaderamente tenéis un buen dominio de las fracciones. Os habéis ganado el paso libre, dijo Mat. Dio un paso atrás, un par de volteretas y desapareció detrás de un arbusto. Casi instantáneamente la luz empezó a filtrarse entre las ramas de los árboles y los tres niños continuaron su camino, que rápidamente les condujo al puente en el que habían empezado su aventura. Todavía nerviosos y emocionados lo cruzaron preguntándose si alguien creería la aventura que acababan de vivir en el ―bosque del que nadie volvía‖, y que a partir de ahora llamarían el ―bosque de las frutifracciones‖. Y colorín colorado este cuento se ha terminado.

CARTA DE AMOR A UN TRAPEZOIDE

Querido trapezoide:

Le sorprenderá que por primera vez alguien le haga una declaración de amor y ésta no provenga

de una figura plana. Su pertinaz vivencia en el plano le ha mantenido siempre al margen de lo que

ocurre por arriba o por abajo, enfrente o detrás. Digámoslo claramente: yo lo conocí hace años

pero usted aún no se había enterado, hasta hoy, de mi presencia. Debo pues empezar por el

principio y darle noticia de cómo fue nuestro primer encuentro.

Ocurrió una tarde de otoño lluviosa. Una de estas tardes de octubre en que llueve a cántaros, los

cristales de los colegíos quedan humedecidos y los escolares sin recreo. Usted estaba quieto en

una página avanzada de un libro grueso que era nuestra pesadilla continua. Me acuerdo aún

perfectamente. Página 77, al final hacia la derecha, Fue al abrir esta página, siguiendo la orden

directa de la señorita Francisca, nuestra maestra, cuando lo vi por primera vez. Allí estaba usted

entre los de su familia, un cuadrado, un rectángulo, un paralelogramo, un trapecio, un rombo, un


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romboide,... y ¡el trapezoide!. Un perfil grueso delimitaba sus desiguales lados y sus extraños

ángulos. La señorita Francisca se fue exaltando a medida que nos iba narrando las grandes

virtudes de sus colegas cuadriláteros... que si igualdades laterales, que si paralelismos, que si

ángulos, que si diagonales... y el rato fue pasando y la señorita seguía sin decir nada. Como las

señoritas acostumbran a no explicar lo más interesante, a mí se me ocurrió preguntarle

- Señorita... ¿y el trapezoide?

- Éste -replicó la maestra- éste es el que no tiene nada

- ¿Nada de nada? - le repliqué

- Sí, nada de nada - me contestó

... y sonó el timbre. Quedé fascinado: usted era un pobre, muy pobre cuadrilátero. Estaba allí,

tenía nombre, pero nada más. Por eso a la mañana siguiente volví a insistir en el tema a la

señorita.

1. - Así debe ser muy fácil trabajar con los trapezoides -le dije - ya que como no tienen nada

de nada no se podrá calcular tampoco nada de nada.

2. - ¡Al contrario! Estos son, los más difíciles de calcular. Ya lo verá cuando sea mayor.

Durante aquella época yo creí intuir que matemáticas y cosas sexuales debían tener algo en

común pues siempre se nos pedía esperar a ser mayores para ―verlo‖.

A usted ya no lo vi más, hasta que en Bachillerato don Ramiro nos obsequió con una fórmula muy

larga para calcular su área. Esto me enfadó enormemente. Usted había pasado del "nada de

nada‖ al "todo de todo". A partir de entonces empecé a pronunciar su "oide‖ final con especial

desprecio ―¡trapez-OIDE!".

Nuestro siguiente encuentro tuvo lugar en una calle. De pronto miro el pavimento y descubro con

horror que le estoy pisando. Di un salto y me quedé mirando. ¡Qué maravilla! Después de tantos

años sobre mosaicos llenos de ángulos rectos allí estaba usted. El "nada de nada‖ era ahora una

loseta. Dibujé aquel suelo y entonces marqué los puntos medios de sus lados y empecé a trazar

rectas y una maravilla de paralelogramos nacieron enmarcando su repetición. La señorita

Francisca tenía razón en lo difícil que es tratarlo pero no la tenía en le del "nada de nada‖.

Y ahora al final de la declaración sólo me queda pedirle una cosa. Por favor no diga nunca a nadie

que yo hice esta declaración. Guarde esto en el centro del paralelogramo inscrito que le

acompaña. Yo guardaré su recuerdo, dibujándolo en todas las reuniones. Los amores imposibles

al menos tienen la virtud de ser duraderos. Suyo.


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LOS TRES CERITOS

Érase una vez tres ceritos que vivían en un cuerpo K. Uno era muy listo, otro muy vago, y otro

muy confiado.

Un buen día llegó a visitarles su amigo el uno. En muchos cuerpos como éste, era costumbre que

el uno hiciera estas visitas cada cierto tiempo característico. Sin embargo, ese día, su amigo les

trajo malas noticias.

— Lo siento amigos míos, pero tendréis que marcharos. El congreso acaba de aprobar una ley

conocida como "Teorema de unicidad de elementos neutros para la suma" que prohíbe la estancia

en el cuerpo de más de un cero.

— ¡Oh, vaya!, dos de nosotros tendrán que irse—, dijo uno de los ceritos.

— Lo siento, pero el puesto ya está cogido por un cero con enchufe. Dicen que es primo del

famoso Cero de Hilbert. Temo que tendréis que iros los tres.

Apenados, los ceritos cogieron sus pertenencias, y se fueron mucho más allá de las extensiones

finitas, a un espacio normado propiedad de un multimillonario llamado Hausdorff, amigo de los

ceritos, el cual les dejó vivir allí.

Como había mucho terreno libre por habitante, debido a que la topología empleada en la

construcción del espacio era muy fina, decidieron construirse una casita para cada uno.

— Yo me haré una casita con hiperplanos— dijo el cerito más confiado. Dicen que este cerito era

tan confiado, que cuando iba al médico a hacerse un análisis matemático, siempre se los hacía sin

ningún tipo de rigor.

— Yo me construiré una casa con matrices— dijo el cerito más vago. Malas lenguas contaban que

era tan vago, que en la fábrica de ecuaciones donde trabajaba, sólo producía ecuaciones con

solución trivial.

— Pero deberíais haceros casas más fuertes, pues sé que por aquí ronda una esfera descentrada

muy feroz, que os comerá cuando tenga la oportunidad— dijo el cerito sabio. Cuentan que este

cerito era tan sabio que incluso ¡aprendió a dividir números! (recuerda que quién por cero divide,

que del aprobado se olvide).


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— ¡Bah, no tenemos miedo de esa esfera, nuestras casitas nos protegerán!.

— Haced lo que queráis, pero yo me haré una casa fuerte, compacta, y por lo tanto cerrada y

acotada—. Y dicho esto, se marchó.

Al cabo de un tiempo, cada cerito había terminado su casita. El cerito confiado tenía su casita

hecha de hiperplanos y el cerito vago su casita compuesta enteramente de matrices. Al cerito

sabio le costó mucho trabajo hacer su casa, pues primero tuvo que comprar un 3-cubo compacto y

empezar a parametrizar la casa. Cuando acabó, se dio cuenta de que el tejado tenía algunas

discontinuidades evitables que producirían goteras cuando lloviera, así que tuvo que comprar unos

cuantos abiertos para recubrir los agujeros por continuidad.

Una vez terminada la casa, comenzó a construirle una cota alrededor (como su casa era

compacta, sabía que podría construir una), pero como había tenido la precaución de hacer su

casa diferenciable pudo localizar fácilmente los puntos más alejados y a partir de ahí construir la

cota. Como veis al cerito sabio le fueron muy útiles sus conocimientos sobre derivadas, que

aprendió de sus múltiples peregrinaciones por la Ruta Jacobiana.

Pasó el tiempo, y la esfera se percató de ellos.

— Parece que tenemos aquí comida deliciosa. Me alegro, empezaba a estar harto de alimentarme

de restos de divisiones euclídeas.

Y dicho esto, la malvada esfera fue directa a casa del cerito confiado (como estaba descentrada,

la malvada esfera podía moverse por donde quisiera). (Dado que todos los puntos deben distar

siempre lo mismo del centro).

No tardó mucho en encontrar al cerito confiado, pues mirara por donde mirara, siempre veía parte

de su casa, (una recta y un hiperplano proyectivos siempre se cortan, en este caso, la recta es la

mirada de la esfera y el hiperplano el material de que está hecha la casa del cerito confiado) así

que fue hacia allí.

— ¡Cerito, si no abres la puerta soplaré, soplaré y la casa proyectaré!.— amenazó la esfera.

— No te tengo miedo, esfera cruel, mi casa es toda de hiperplanos dobles y aguantará—

respondió el cerito.

Pero lo que no sabía el cerito era que la esfera había perdido un punto en un accidente con un

equipo estereográfico (la proyección estereográfica parametriza toda la esfera menos un punto).

Se hinchó por el punto que le faltaba, y sopló tan fuerte, que dualizó la casa del cerito convirtiendo

los hiperplanos de ésta en un montoncito de puntos insignificantes.

El cerito, asustado, salió corriendo por una sucesión que convergía directamente a casa del cerito

vago.

La malvada esfera salió corriendo detrás del cerito, pero nuestro amigo atajó por una subsucesión

que le llevó a su destino más rápidamente. Por suerte, la esfera prefirió no adentrarse en la


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subsucesión por miedo a perderse (aquí se hace patente la ignorancia de la esfera de no conocer

el Teorema Fundamental del Límite: en una sucesión que converge, cualquier subsucesión

converge al mismo sitio), con lo que el cerito llegó con tiempo de avisar al cerito vago y de

resguardarse en la casita hecha de matrices.

Al cabo de un rato llegó la esfera y gritó:

— ¡Jo, jo, da igual dos ceros que n ceros o uno solo, no podéis nada contra mí, salid

inmediatamente o soplaré, soplaré y la casa reduciré!.

— No quiero salir, esfera, mi casa es totalmente hermítica y aguantará!— respondió el cerito.

Entonces la esfera sopló y sopló tan fuerte que redujo todas las matrices de la casa por columnas

(si la esfera hubiera soplado hacia arriba o abajo, hubiera reducido las matrices por filas),

convirtiendo la casa en un esqueleto compuesto de incógnitas (el cerito vago había usado

matrices de ecuaciones sin molestarse siquiera en resolverlas). Por si fuera poco los dos ceritos

hubieran salido volando de no ser porque se agarraron a un pivote de una matriz que todavía

quedaba en pie.

Pero ¿por qué era tan mala la esfera?. Según se cuenta, la esfera estuvo trabajando en una

banda criminal llamada La Banda de Moebius, de ahí su carácter retorcido. Pero volvamos a

nuestro cuento.

Despavoridos, los ceritos salieron corriendo a casa del cerito sabio. Lo encontraron montado en

una tractriz, plantando grafos en su huerto. Corrían tanto que saltaron la cota de la casa de un

salto.

— ¡Socorro, socorro, ayúdanos cerito sabio, la esfera quiere devorarnos!.

— No os preocupéis, entrad en mi casa, veréis cómo la esfera no puede hacernos daño— dijo el

cerito sabio. Y dicho esto, se metieron en la casa.

Al cabo de un rato llegó la esfera malvada. No le costó trabajo encontrar el camino porque uno de

los ceritos pisó un punto de tinta de modo que sólo tuvo que seguir la cicloide (si una

circunferencia rueda sobre una recta, la curva que describe cualquiera de sus puntos se llama

cicloide; no olvidemos que los ceritos son redondos) que iban dejando tras ellos.

Una vez que llegó, gritó con todas sus fuerzas:

— ¡Por fin os tengo a los tres juntos, salid o soplaré, soplaré y la casa despejaré!.

— ¡Nunca!— dijo el cerito sabio —mi casa es fuerte y aguantará.

Entonces la malvada esfera sopló y sopló, pero como la casa era compacta, sólo llegaron a ella un

número finito de soplidos, lo cual no llegó a afectarle mucho. La esfera, obstinada, sopló y sopló

con todas sus fuerzas, pero el cerito sabio había tenido la precaución de hacerse una casa con

superficie Gaussiana, con lo cual todos los soplidos de la esfera se repelieron mutuamente.

La esfera quedó exhausta, y el cerito sabio aprovechó ese momento para dejar caer sobre ella un


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pesado atlas de 6 tomos que la recubrieron totalmente Entonces los ceritos agarraron a la esfera

por una de sus geodésicas y tirando, tirando, consiguieron deshilacharla y convertirla en una

curva, y hecho esto la llevaron a R^2 donde ahora podría llevar una vida con parámetro natural.

Hecho esto, los ceritos agradecieron al cerito sabio su ayuda y prometieron ser más trabajadores y

menos confiados.

Y colorín, corolario colorado, este cuento se ha terminado. David Gutiérrez Rubio

Estudio en Escarlata

PRIMERA PARTE. Copia de las memorias de John Watson, Ex-Médico mayor del ejército Inglés.

Capítulo I. Sherlock Holmes.

En 1878 me doctoré en medicina en la Universidad de Londres. Después de haber perfeccionado

mis estudios en Nedley (siguiendo así la costumbre de todos los médicos militares), me destinaron

definitivamente al 5° de fusileros de Northumberland, en calidad en médico mayor. Este regimiento

estaba entonces de guarnición de incorporarme a él había empezado la segunda campaña del

Afganistán.


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Al desembarcar en Bombay, me enteré que mi regimiento había atravesando ya la frontera y

estaba en el centro del país enemigo. Me uní a varios oficiales cuya situación era análoga a la

mía, y nos pusimos en marcha, para llegar cuanto antes a la ciudad de Kandahar. Allí encontré a

mi regimiento, y aquel mimo día empecé a desempeñar mis funciones. Ascensos, recompensas:

tal fue para muchos el resultado de esta campaña; para mí no fue más que un centenar de

sinsabores y desgracias.

La permuta con un compañero me obligó a cambiar de regimiento y a incorporarme a los

berkshires, con cuyo batallón tomé parte en la fatal acción de Maiwand, y en la cual fui herido de

un trabucazo en la espalda. Me rompieron una clavícula, interesándome la arteria, y ya iba a caer

en poder de los feroces ghazis, cuando la abnegación y el valor de mi asistente Murray me

salvaron la vida. Tras una lucha denodada, consiguió echarme sobre los lomos de un caballo y

ganar así las filas inglesas. Rendido por el sufrimiento, debilitado por las fatigas y las privaciones,

formé parte de un convoy de heridos destinados al hospital central de Peshawar. Allí empecé a

recobrar mis perdidas fuerzas, y ya estaba suficientemente fuerte para poder pasearme por las

salas y hasta tenderme al sol en una terraza, cuando fui atacado por el tifus, ese terrible azote de

nuestras posesiones índicas. Después de haber pasado varios meses entre la vida y la muerte,

sané; pero estaba tan delgado y tan débil, que los médicos, luego de una detenida consulta,

decidieron reembarcarme para Inglaterra, como único medio de salvación. Tomé, pues, pasaje a

bordo del Orontes, y un mes más tarde desembarqué en Posrmouth, con poca salud, es verdad,

pero provisto, en camino, de una licencia en toda regla, por la cual nuestro bueno y paternal

gobierno me dejaba en completa libertad, durante nueve meses, para reponerme.

Sin familia ni hogar, libre como el aire, contando por toda fortuna con catorce francos treinta y

cinco céntimos diarios, no tuve, como es natural, otra idea que dirigirme a Londres, punto hacia el

cual converge, desde los más apartados rincones del Imperio británico, esa multitud de personas

que no tienen empleo fijo ni medio determinado de ganarse la vida. Me instalé en un modesto

hotel del Strand, y por algún tiempo mi existencia fue de lo más aburrida y monótona, no

ocupándome más que de ir mermando poco a poco mis ahorros. No pasó mucho tiempo sin que

mi estando económico empeorase, de tal suerte, que me vi en la imprescindible necesidad de

tomar una de estas dos determinaciones: o abandonar la capital e irme a vivir al campo y vegetar

tristemente, o cambiar radicalmente mi género de vida. Me decidió por esto último, y aquel día

empecé a ponerlo en práctica, mudándome de alojamiento y escogiendo otro, no tan lujoso, por lo

menos más económico. El mismo día en que había tomado esta determinación, y estando en el


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bar Criterion, sentí que alguien me tocaba en la espalda; me volví, y reconocí al joven Stamford, a

quien había tenido de practicante en el hospital de Barts. El encuentro de un conocido en medio

del infernal mare magnum londinense es una de las cosas más agradables que puede nadie

imaginarse y, sobre todo, para una persona que está completamente sola. Por eso, aunque

Stamford no esa un íntimo amigo mío, fraternicé con él desde el primer momento, holgándome

mucho del encuentro; él, por su parte, no parecía menos contento que yo. En un arranque de

expansión le invité a almorzar en casa de Holborn. Aceptó, y momentos después subíamos a un

coche que nos condujo al restaurant. Mientras el vehículo recorría las populosas calles de

Londres, me preguntó mi compañero con asombro mal disimulado:

- ¿Pero qué diablo le ha ocurrido a usted, amigo Watson?

En pocas palabras le puse al corriente de mi situación. Terminaba de contarle mis aventuras,

cuando llegamos a la puesta del restaurant.

- ¡Pobre muchacho!... - exclamó Stamford, con tono de conmiseración - Y ahora ¿ qué hace

usted?

- Por el momento, nada. Me ocupo en buscar un alojamiento más modesto que el que tengo, y que

sea, a pesar de su baratura, lo más confortable posible.

- ¡Qué casualidad! - exclamó mi interlocutor -. Es usted la segunda persona que en el día de hoy

me habla de lo mismo.

- ¿Y quién es la primera?

- Un muchacho que va al hospital a trabajar en el laboratorio químico. Se lamentaba esta mañana

de no hallar un amigo con quien partir un piso que ha encontrado muy bonito y muy cómodo, pero

demasiado caro para sus recursos.

- ¡Caramba! - exclamé -. Si tiene tantos deseos de encontrar a alguien, presénteme a él. Acepto

su proposición; prefiero vivir acompañado, a vivir solo.

Stamford me miró detenidamente antes de contesta.


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- No conoce usted todavía a Sherlock Holmes - dijo después de una pausa -;quizás cuando lo

conozca no quiera vivir con él.

- ¿Por qué? ¿Acaso no es un apersona decente? ¿Se le puede reprochar algo?

- No, no; no he querido decir eso. Es un poco original, un fanático para cierta clase de estudios;

pero, por lo demás, es un muchacho muy agradable.

- Estudiante de medicina, ¿no es cierto?

- No; realmente es difícil saber qué carrera sigue. Según dicen, sabe mucha anatomía y es un

gran químico. De lo que estoy seguro es de lo último; es un gran químico, pero me parece que no

ha seguido con regularidad los cursos universitarios. Estudia de un modo raro, verdaderamente

excéntrico, sin detenerse en aquello que todos aprendemos, y, en cambio, profundiza materias y

puntos que todos descuidamos. Es el asombro de los profesores.

- ¿No le ha preguntado usted nunca por qué carrera se decidía?

- No, y acaso hubiera sido inútil, porque es un hombre a quien en algunas ocasiones no se puede

sacar una palabra del cuerpo, y en cambio otras veces está por demás comunicativo.

- Bueno, pues me alegro mucho. De vivir con alguien, prefiero ser compañero de un hombre

estudioso y de costumbres tranquilas. No estoy aún lo suficiente fuerte para soportar mucho ruido

y agitarme, sobre que todo eso ya lo he sufrido bastante en el Afganistán, y no me encuentro con

fuerzas para empezar de nuevo. ¿Dónde encontraremos a su amigo?

- Probablemente estará en el laboratorio - replicó Stamford -. Allí va desde por la mañana hasta

por la noche; otras veces no le vemos durante semanas enteras. Si usted quiere, tomaremos un

coche después de almorzar e iremos en su busca.

- Con mucho gusto - le respondí, y nos pusimos a hablar de otra cosa. Camino ya del hospital,

Stamford volvió a insistir sobre mi futuro compañero.

- Bueno - exclamó -; conste que usted no me reprochará nada, caso de que no llegue a

entenderse con ese individuo; yo no le conozco más que de verle de vez en cuando n el

laboratorio; de usted, y no de mí, ha nacido la idea de vivir con él.


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Yo le contesté:

- Si no nos entendiéramos, con separarnos asunto concluido. Sin embargo, Stamford - añadí

mirándole fijamente -, me parece que tiene usted razones especiales para desentenderse de todo

lo que pueda ocurrir entre él y yo. ¿Es tan terrible por ventura, el carácter de ese

hombre?...Vamos, hable francamente y déjese de misterios.

Stamford se echó a reír.

- No hablo más claro, amigo mío, porque me es difícil explicar lo inexplicable. Holmes está, según

mi opinión, tan identificado con la ciencia, siente tal fanatismo por ella, que fatalmente le conducirá

a la insensibilidad más absoluta. Por ejemplo, me parece que no tendría el más ligero escrúpulo

en administrar a usted una inyección de un veneno que estudiara, no por mala intención, no, sino

para observar el efecto que produciría en el organismo humano. Debo de hacer constar, sin

embargo, que lo mismo que le propina a usted la dosis venenosa, se la tomaría él. Está

obsesionado por el afán de profundizarlo todo y encerrarlo en fórmulas matemáticas.

- Eso, realmente, no es un defecto.

- Convenidos; pero la exageración sí lo es, y exageración es, y muy grande, coger un bastón y

golpear los cadáveres colocados en la mesa de disección, eso, por lo menos, es extraño.

- ¿Qué me cuenta usted?

- La pura verdad. Esto lo hizo un día para, según él, estudiar los golpes producidos sobre los

cadáveres, y lo he visto yo.

- ¿Pero no dice usted que no es estudiante de medicina?

- Y no lo es. Por más que Dios sabe lo que se propone, siguiendo esa norma de estudios...Pero ya

hemos llegado; ahora se convencerá usted por sí mismo de la verdad de lo que digo.

Sin dejar de hablar, nos metimos en una callejuela y franqueamos una pequeña puerta abierta en

un ala del hospital. Era para mí aquel terreno familiar, y no necesitaba guía para franquear los

escalones de la vasta y severa escalera y para seguir el camino que me convenía a través de

aquellos largos corredores, de paredes encaladas, y en las que se abría de vez en cuando alguna


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puerta pintada de oscuro. Casi al final de este pasillo habla otro, oscuro y lóbrego, que conducía al

laboratorio químico. Figuraos una habitación enorme, de techo elevado, y cubiertas sus paredes,

de arriba abajo, de innumerables frascos. Por doquiera mesas grandes y muy bajas, distribuidas

sin orden alguno, y sobre estas mesas y entre las retortas y las probetas, pequeñas lámparas

Busen de llama azul que daban una luz mezquina y vacilante.

En esta sala y al fondo, había un solo estudiante inclinado sobre una mesa y absorto

completamente en su trabajo. Al ruido de nuestros pasos levantó rápidamente la cabeza y se

dirigió a nosotros dando gritos de triunfo y agitando la probeta que tenía en la más.

- ¡Aquí está! ¡Aquí está! - gritó - ¡Por fin he encontrado el único reactivo que precipita la

hemoglobina!

Creo que sí hubiera descubierto una mina de oro, no habría estado tan contento.

- El doctor Watson...el señor Sherlock Holmes - dijo Stamford presentándonos.

- ¿Cómo está usted? - dijo Holmes con amistosa franqueza, estrechándome la mano con una

energía reveladora de una fuerza muscular que yo no hubiera adivinado a primera vista- ¡Ah!

Cómo se conoce que viene usted del Afganistán.

- ¿Cómo lo ha adivinado usted? - exclamé admirado.

- ¡Bah! Eso no tiene importancia - replicó sonriendo -. Hoy por hoy, lo importante es la

hemoglobina y su reactivo. ¿Comprenden ustedes toda la trascendencia de este

descubrimiento?...

- Evidentemente - respondí.

- Tiene mucho interés desde el punto de vista químico; ahora, que desde el punto de vista

práctico...Más aún, precisamente su relación con la medicina legal es lo que da a este

descubrimiento una importancia desusada. ¿No comprende usted que esta sustancia nos da a

conocer de un modo infalible la presencia de la sangre humana? Venga, venga usted por aquí.

Y en su apresuramiento me cogió de la manga y me llevó hacia su mesa de trabajo.


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- Pero antes procurémonos sangre fresca - dijo, y se dio un lancetazo en el dedo con el bisturí,

recogiendo en un tubito una gota de sangre -. Ahora echo esta gota en un litro de agua; ya ve

usted que conserva el mismo color de antes; la proporción de sangre no puede exceder de una

millonésima; sin embargo, no dudo que obtendremos la reacción característica.

Y acompañando la acción a la palabra, echó en el recipiente varios cristales blancos y después

algunas gotas de un líquido transparente; en un instante el agua quedó coloreada, y en el fondo

del recipiente se formó un precipitado de color oscuro.

- ¡Ah! ¡Ah! - gritó batiendo sus manos con alegría infantil -. ¿Qué tal? ¿Qué le parece a usted?...

- Es maravilloso, ¿verdad? Antes con el Gaic se obtenían raras veces difíciles y oscuros

resultados. Además, había que someter los glóbulos de sangre al análisis microscópico, y si esta

sangre estaba seca no se obtenía resultado alguno; mi reactivo, por el contrario, sirve lo mismo y

produce idénticos resultados en la sangre seca como en la sangre fresca. ¡Oh, si hubiera sido

conocido antes! ¡Cuántos hombres que se pasean tranquilamente hubieran sufrido hace tiempo el

castigo consiguiente a sus crímenes!

- Es verdad - exclamé.

- Y tanto como es verdad; como que este es un punto capitalísimo en gran número de asuntos

judiciales. No se sospecha que un hombre ha cometido un crimen hasta pasados algunos meses;

entonces se examinan sus ropas, sus trajes, todo, y se encuentran en ellos manchas rojizas. ¿De

qué son? ¿De sangre? ¿De barro? ¿De hierro? ¿O simplemente el zumo de una fruta? Y ya

tienen ustedes a la justicia despistada. ¿Por qué? Porque no posee un reactivo infalible; pero

ahora poseemos ya afortunadamente el reactivo Sherlock Holmes, y la incertidumbre, la duda,

desaparecen.

Mientras hablaba, brillaban sus ojos. Cuando hubo acabado puso la mano sobre su corazón y se

inclinó profundamente en actitud de dar las gracias a una muchedumbre imaginaria y entusiasta.

- ¡Enhorabuena! ¡Enhorabuena! - le dije, admirado, aún más que del descubrimiento, de su

entusiasmo.

- Y en apoyo de mi teoría, ¿no tenemos el caso de Ruchoff, de Francfort?...Seguramente a estas

fechas estaría ahorcado si hubiera sido conocido mi reactivo, ¿Y Marón, de Bradford? ¿Y el


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Célebre Müller? ¿Y Lefevre, de Montpellier, y el Sansón e Nueva Orleáns? Y como éstos pudiera

citar muchos casos más.

- ¡Es usted un repertorio viviente de crímenes! - exclamó Stamford, riendo -. ¿Por qué no publica

una memoria que se titule Anales judiciales del tiempo pasado?

- No crea usted que no sería interesante - murmuró Sherlock Holmes, pegándose un tafetán a la

cisura que se había hecho en el dedo.

- Luego añadió, mostrándome su mano y sonriendo.

- Esto es una medida preventiva, porque como manejo tanto veneno...

- Y entonces me fijé que la mano tenía varias cicatrices y quemada en algunos sitios por los

ácidos.

- Bueno, pero no hemos venido a esto sólo - interrumpió Stamford, sentándose en un taburete y

acercándome otro con el pie para que le imitase -. Hemos venido para hablar de negocios y de

negocios serios. Este amigo mío está buscando, como usted, piso que le convenga y como esta

mañana le he oído a usted quejarse de no encontrar alguien que quisiera ser compañero de casa,

he creído hacer una buena obra poniéndolos a ustedes al habla.

Sherlock Holmes pareció alegrarse mucho ante la idea de vivir juntos.

- Tengo apalabrado un piso en Baker Street - me dijo -, que creo nos convendría; pero debo

advertir a usted que fumo mucho y un tabaco muy fuerte.

- Yo, por mi parte, fumo el tabaco de marineros.

- Bueno; también he de advertirle algo más: estoy casi siempre rodeado de ingredientes químicos,

y algunas veces hago experimentos y pruebas. ¿No le molestará a usted?

- De ningún modo.

- Esta bien; déjeme que piense y le ponga al corriente de todos mis otros vicios... ¡Ah, sí! Suelen

acometerme malos humores, que me duran varios días, y durante los cuales no abro la boca.

Nada de incomodarse entonces conmigo; basta con dejarme, e insensiblemente vuelvo a mi


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estado normal. Ahora suplico a usted me diga cuáles son sus defectos, pues para dos personas

que piensan vivir juntas, es conveniente saber los vicios de cada una.

Aquel inesperado interrogatorio me hizo sonreír.

- Poseo un perrito bull-dog - le dije -. Mis nervios han sufrido tales excitaciones de algún tiempo a

esta parte, que me molesta considerablemente toda clase de ruidos. Me levanto a horas

inverosímiles y soy excesivamente perezoso. Tengo otra porción de vicios, pero, realmente, estos

son los principales defectos que poseo.

- ¿Le molesta a usted el ruido del violín? - me preguntó Holmes con vaga inquietud.

- Depende de como lo toquen - le respondí -; cuando se toca bien, tiene algo de placer de los

dioses; pero si se rascan malamente sus cuerdas...

- ¡Ah! Perfectamente, trato hecho, sin más condiciones que la de que sea de su agrado el piso

apalabrado por mí.

- ¿Cuándo quiere usted que le veamos?

- Venga a buscarme aquí mañana a mediodía; iremos juntos a verle.

- Convenido - le contesté, estrechándole la mano -. Hasta mañana a mediodía.

Stamford y yo le dejamos engolfado de nuevo en sus experimentos químicos, y emprendimos otra

vez el camino del hotel.

- Pero, ¿Cómo diablos habrá podido averiguar que he estado en el Afganistán? - le pregunté a mi

compañero.

Stamford se sonrió.

- Ese es precisamente uno de sus secretos; todo el mundo se pregunta cómo a primera vista

puede llegar a conocer las cosas más ocultas.

- Siempre el misterio - dije, frotándome las manos -; cada vez me interesa más su manera de ser.

No puede figurarse cuánto le agradezco el que me haya puesto en relación con semejante


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personaje. La única manera de conocer a la humanidad consistiría, a ser posible, en estudiar

separadamente a cada individuo.

- Pues bien, dedíquese usted a estudiar a éste; pero debo advertirle que se lanza a la resolución

de un problema harto difícil de resolver, y apostaría cualquier cosa a que él llegará antes a

conocer el carácter de usted que usted el de él. Ténganlo por seguro. Buenas tardes.

- Buenas tardes - le contesté; y seguí mi camino, intrigadísimo por mi nuevo amigo.

EL DIABLO DE LOS NÚMEROS

Hans Magnus Enzensberger

Hacía mucho que Robert estaba harto de soñar. Se decía: Siempre me toca hacer el papel de

tonto.

Por ejemplo, en sueños le ocurría a menudo ser tragado por un pez gigantesco y desagradable, y

cuando estaba a punto de ocurrir llegaba a su nariz un olor terrible. O se deslizaba cada vez más


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hondo por un interminable tobogán. Ya podía gritar cuanto quisiera ¡Alto! o ¡Socorro!, bajaba más

y más rápido, hasta despertar bañado en sudor.

A Robert le jugaban otra mala pasada cuando ansiaba mucho algo, por ejemplo una bici de

carreras con por lo menos veintiocho marchas. Entonces soñaba que la bici, pintada en color lila

metálico, estaba esperándolo en el sótano. Era un sueño de increíble exactitud. Ahí estaba la bici,

a la izquierda del botellero, y él sabía incluso la combinación del candado: 12345. ¡Recordarla era

un juego de niños! En mitad de la noche Robert se despertaba, cogía medio dormido la llave de su

estante, bajaba en pijama y tambaleándose, los cuatro escalones y… ¿qué encontraba a la

izquierda del botellero? Un ratón muerto. ¡Era una estafa! Un truco de lo más miserable.

Con el tiempo, Robert descubrió cómo defenderse de tales maldades. En cuanto le venía un mal

sueño pensaba a toda prisa, sin despertar: Ahí está otra vez este viejo y nauseabundo pescado.

Sé muy bien qué va a pasar ahora. Quiere engullirme. Pero está clarísimo que se trata de un pez

soñado que, naturalmente, sólo puede tragarme en sueños, nada más. O pensaba: Ya vuelvo a

escurrirme por el tobogán, no hay nada que hacer, no puedo parar de ningún modo, pero no estoy

bajando de verdad.

Y en cuanto aparecía de nuevo la maravillosa bici de carreras, o un juego para ordenador que

quería tener a toda costa —ahí estaba, bien visible, a su alcance, al lado del teléfono—, Robert

sabía que otra vez era puro engaño. No volvió a prestar atención a la bici. Simplemente la dejaba

allí. Pero, por mucha astucia que le echara, todo aquello seguía siendo bastante molesto, y por

eso no había quien le hablara de sus sueños.

Hasta que un día apareció el diablo de los números.

Robert se alegró de no soñar esta vez con un pez hambriento,, y de no deslizarse por un

interminable tobogán desde una torre muy alta y muy vacilante. En su lugar, soñó con una

pradera. Lo curioso es que la hierba era altísima, tan alta que a Robert le llegaba al hombro y a

veces hasta la cabeza. Miró a su alrededor y vio, justo delante de él, a un señor bastante viejo,

bastante bajito, más o menos como un saltamontes, que se mecía sobre una hoja de acedera y le

miraba con ojos brillantes. — ¿Quién eres tú? —preguntó Robert. El hombre le gritó,

sorprendentemente alto: — ¡Soy el diablo de los números!

Pero Robert no estaba de humor para aguantarle nada a semejante enano.


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—En primer lugar —dijo—, no hay ningún diablo de los números.

— ¿Ah, no? ¿Entonces por qué estás hablando conmigo, si ni siquiera existo?

—Y en segundo lugar, odio todo lo que tiene que ver con las Matemáticas.

— ¿Por qué?

—«Si dos panaderos hacen 444 trenzas en seis horas, ¿cuánto tiempo necesitarán cinco

panaderos para hacer 88 trenzas?» Qué idiotez —siguió despotricando Robert—. Una forma idiota

de matar el tiempo. Así que ¡esfúmate! ¡Largo!

El diablo de los números se bajó con un elegante salto de su hoja de acedera y se sentó al lado de

Robert, que en protesta se había sentado entre la hierba, alta como un árbol.

— ¿De dónde te has sacado esa historia de las trenzas? Seguro que del colegio.

— ¡Y de dónde si no! —Dijo Robert—. El señor Bockel, ese principiante que nos da Matemáticas,

siempre tiene hambre, a pesar de estar tan gordo. Cuando cree que no le vemos porque estamos

haciendo los deberes, saca una trenza de su maletín y se la devora mientras nosotros hacemos

cuentas.

— ¡Vaya! —Exclamó el diablo de los números, sonriendo con sorna—. No quiero decir nada en

contra de tu profesor, pero la verdad es que eso no tiene nada que ver con las Matemáticas.

¿Sabes una cosa? La mayoría de los verdaderos matemáticos no sabe hacer cuentas. Además,

les da pena perder el tiempo haciéndolas, para eso están las calculadoras. ¿No tienes una?

—Sí, pero en el colegio no nos dejan usarla.

—Ajá —dijo el diablo de los números—. No importa. No hay nada que objetar a un poco de

práctica con las tablas. Puede ser muy útil si uno se queda sin pilas. ¡Pero las Matemáticas,

ratoncito, eso es muy diferente!

—Sólo quieres que cambie de idea —dijo Robert—. No te creo. Si me agobias en sueños con

deberes, gritaré. ¡Eso se llama malos tratos a menores!

—Si hubiera sabido que eres tan cobarde —dijo el diablo de los números—, no habría venido. Al

fin y al cabo, no quiero más que charlar contigo un poco. La mayoría de las veces estoy libre por

las noches, así que pensé: Pásate a ver a Robert, seguro que está harto de bajar siempre el

mismo tobogán.

—Cierto.


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— ¿Lo ves?

— Pero no voy a dejar que me tomes el pelo —gritó Robert—. Que no se te olvide.

Pero entonces el diablo de los números se puso en pie de un salto, y de repente ya no era tan

bajito.

— ¡Así no se le habla a un diablo! —gritó.

Pateó la hierba hasta que quedó aplastada en el suelo, y sus ojos echaban chispas.

—Perdón —murmuró Robert.

Todo aquello estaba empezando a resultarle un poco inquietante.

—Si es tan sencillo hablar de Matemáticas como de películas o de bicicletas, ¿para qué se

necesita un diablo?

—Por eso mismo, querido —respondió el anciano—: Lo diabólico de los números es lo sencillos

que son. En el fondo ni siquiera necesitas una calculadora. Para empezar, sólo necesitas una

cosa: el uno. Con él puedes hacerlo casi todo. Por ejemplo, si te dan miedo las cifras grandes,

digamos... cinco millones setecientos veintitrés mil ochocientos doce, empieza simplemente así:

y sigue hasta que hayas llegado a los cinco millones etcétera. ¡No dirás que es demasiado

complicado para ti! Eso puede entenderlo hasta el más idiota, ¿no?

—Sí dijo Robert.

—Y eso aún no es todo —prosiguió el diablo de los números. Ahora tenía en la mano un bastón

de paseo con empuñadura de plata, y lo agitaba delante de las narices de Robert—. Cuando

hayas llegado a cinco millones etcétera, simplemente sigues contando. Verás que sigues hasta el

infinito. Porque hay infinitos números.

Robert no sabía si creérselo.


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— ¿Cómo lo sabes? —preguntó—. ¿Has probado a hacerlo?

—No, no lo he hecho. En primer lugar llevaría demasiado tiempo, y en segundo lugar es superfluo.

Robert se quedó igual que estaba.

— O puedo contar hasta llegar allí, y entonces no es infinito —objetó—, o si es infinito no puedo

contar hasta allí.

— ¡Mal! —gritó el diablo de los números. Su bigote temblaba, se puso rojo, su cabeza se hinchó

de rabia y se hizo más y más grande.

— ¿Mal? ¿Por qué mal? —preguntó Robert.

— ¡Necio! ¿Cuántos chicles crees que se han comido hoy en todo el mundo?

—No lo sé.

—Más o menos.

—Muchísimos —respondió Robert—. Sólo con Albert, Bettina y Charlie, con los de mi clase, con

los que se han comido en la ciudad, en toda Alemania, en América... miles de millones.

—Por lo menos —dijo el diablo de los números—. Bien, supongamos que hemos llegado al último

de los chicles. ¿Qué hago entonces? Saco otro del bolsillo, y ya tenemos el número de todos los

consumidos más uno... el siguiente. ¿Comprendes? No hace falta contar los chicles. Simplemente

saber cómo seguir. No necesitas más.

Robert reflexionó un momento. Luego, tuvo que admitir que el diablo de los números tenía razón.

—También se puede hacer al revés —añadió el anciano.

— ¿Al revés? ¿Qué quieres decir con al revés?

—Bueno, Robert —el anciano volvía a sonreír—

No sólo hay números infinitamente grandes, sino también infinitamente pequeños. Y además,

infinitos de ellos.

Al decir estas palabras, el tipo agitó su bastón ante el rostro de Robert como si de una hélice se

tratara.


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Se marea uno, pensó Robert. Era la misma sensación que en el tobogán por el que con tanta

frecuencia se habla deslizado.

— ¡Basta! —gritó.

— ¿Por qué te pones tan nervioso, Robert? Es algo enteramente inofensivo. Mira, sacaré otro

chicle. Aquí está...

De hecho, sacó del bolsillo un auténtico chicle.

Sólo que era tan grande como la balda de una estantería, que tenía un aspecto sospechosamente

lila y que estaba duro como una piedra.

— ¿Eso es un chicle?

—Un chicle soñado —dijo el diablo de los números—. Lo compartiré contigo. Presta atención.

Hasta ahora está entero. Es mi chicle. Una persona, un chicle.

Puso un trozo de tiza, de aspecto sospechosamente lila, en la punta de su bastón y prosiguió:

—Esto se escribe así:

Dibujó los dos unos directamente en el aire, como hacen los aviones—anuncio que escriben

mensajes en el cielo. La escritura lila flotó sobre el fondo de las nubes blancas, y sólo poco a poco

se fue fundiendo como un helado de mora.

Robert miró hacia lo alto.

— ¡Alucinante! —dijo—. Un bastón así me haría falta.

—No es nada especial. Con esto escribo en todas partes: nubes, paredes, pantallas. No necesito

cuadernos ni maletín. ¡Pero no estamos hablando de eso! Mira el chicle. Ahora lo parto, cada uno

de nosotros tiene una mitad. Un chicle, dos personas. El chicle va arriba y las personas abajo:


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»Y ahora, naturalmente, los otros de tu clase también querrán su parte.

—Albert y Bettina —dijo Robert.

—Me da lo mismo. Albert se dirige a ti y Bettina a mí, y ambos tenemos que repartir. Cada uno

recibe un cuarto:

---Naturalmente, con esto falta mucho para que hayamos terminado. Cada vez viene más gente

que quiere algo. Primero los de tu clase, luego todo el colegio, toda la ciudad. Cada uno de

nosotros cuatro tiene que dar la mitad de su cuarta parte, y luego la mitad de la mitad y la mitad de

la mitad de la mitad, etcétera.

—Y así hasta el aburrimiento —dijo Robert.

—Hasta que los trozos de chicle se vuelven tan pequeños que ya no se pueden ver a simple vista.

Pero eso no importa. Seguimos dividiéndolos hasta que cada una de las seis mil millones de

personas que hay en la Tierra tenga su parte. Y luego vienen los seiscientos mil millones de

ratones, que también quieren lo suyo. Te darás cuenta de que de ese modo nunca llegaríamos al

final.

El anciano había escrito en el cielo, con su bastón, cada vez más unos de color lila bajo una raya

lila infinitamente larga.

— ¡Vas a pintarrajear el mundo entero! —exclamó Robert.

— ¡Ah! —Gritó el diablo de los números hinchándose cada vez más—. ¡Sólo lo hago por ti! Eres tú

el que tiene miedo a las Matemáticas y quiere que todo sea lo más fácil posible para no

confundirse.

—Pero, a la larga, estar todo el tiempo utilizando unos es una verdadera lata. Además es bastante

trabajoso —se atrevió a objetar Robert.

— ¿Ves? —dijo el anciano, borrando descuidadamente el cielo con la mano hasta que

desaparecieron todos los unos—. Naturalmente, sería mucho más práctico que se nos ocurriera

algo mejor que sólo 1 + 1 + 1 + 1… Por ese motivo inventé todos los demás números.


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— ¿Tú? ¿Dices que tú has inventado los números? Perdona, pero eso sí que no me lo creo.

—Bueno —dijo el anciano—, yo o algunos otros.

Da igual quién fue. ¿Por qué eres tan desconfiado? Si quieres, no me importa enseñarte cómo se

hacen todos los demás números a partir del uno.

— ¿Y cómo es eso?

—Muy fácil. Lo hago así:

—El siguiente es:

—Probablemente para esto necesitarás tu calculadora.

—Tonterías —dijo Robert—:

— ¿Ves? — dijo el diablo de los números—, ya has hecho un dos, sólo con unos. Y ahora por

favor dime cuánto es:

—Eso es demasiado —protestó Robert—. No puedo calcularlo de memoria.

—Entonces, coge tu calculadora.

—¿Y de dónde la saco? Uno no se trae la calculadora a los sueños.


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—Entonces coge ésta —dijo el diablo de los números, y le puso una en la mano. Tenía un tacto

extrañamente blando, como si estuviera hecha de masa de pan. Era de color verde cardenillo y

pegajosa, pero funcionaba. Robert pulsó:

¿Y qué salió?

— ¡Estupendo! — dijo Robert—. Ahora ya tenemos un tres.

—Bueno, pues ahora no tienes más que seguir haciendo lo mismo.

Robert tecleó y tecleó:

— ¡Muy bien! — el diablo de los números le dio unas palmadas en la espalda a Robert—. Esto

tiene un truco especial. Seguro que ya te has dado cuenta. Si sigues adelante no sólo te salen

todos los números del dos al nueve, sino que además puedes leer el resultado de delante atrás y

de detrás adelante, igual que en palabras como ANA, ORO o ALA.

Robert siguió intentándolo, pero al llegar a

la calculadora entregó su espíritu. Hizo ¡Puf! y se convirtió en una pasta verde cardenillo que se

escurría lentamente.

— ¡Maldición! —gritó Robert, quitándose la masa verde de los dedos con el pañuelo.

—Para eso necesitas una calculadora más grande. Para un ordenador decente una cosa así es un

juego de niños.

— ¿Seguro?

— ¡Claro! —dijo el diablo de los números.


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— ¿Y siempre sigue así? —Preguntó Robert—. ¿Hasta que te aburras?

—Naturalmente.

— ¿Has probado con...

—No, no lo he hecho.

—No creo que resulte —dijo Robert.

El diablo de los números empezó a hacer la cuenta de memoria. Pero al hacerlo volvió a hincharse

amenazadoramente, primero la cabeza, hasta parecer un globo rojo; de furia, pensó Robert, o por

el esfuerzo.

—Espera —gruñó el anciano—. Sale una verdadera ensalada. ¡Maldición! Tienes razón, no

resulta. ¿Cómo lo has sabido?

—No lo sabía— dijo Robert—. Simplemente lo adiviné. No soy tan tonto como para hacer un

cálculo así.

— ¡Desvergonzado! En las Matemáticas no se adivina nada, ¿entendido? ¡En las Matemáticas se

procede con exactitud!

—Pero tú has dicho que eso era siempre así, hasta el aburrimiento. ¿Acaso no es eso adivinar?

— ¿Qué estás diciendo? ¡Quién te has creído que eres! ¡Un principiante, y nada más! ¿Pretendes

enseñarme cuántos son dos y dos?

A cada palabra que decía, el diablo de los números se volvía más grande y más gordo. jadeó para

coger aire. Robert empezaba a tenerle miedo.

— ¡Enano de los números! ¡Cabeza hueca! ¡Montón de mocos! —gritó el anciano, y apenas había

d icho la última frase cuando explotó de rabia, con un fuerte estando.

Robert se despertó. Se había caído de la cama. Estaba un poquito marcado, pero aun así no pudo

por menos que reírse al pensar cómo había arrinconado al diablo de los números.


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COMO RECONOCER A UN MATEMÁTICO.

Un investigador meteorológico, viajaba en un globo realizando pruebas climáticas en una extensa

región, cuando de pronto se avecina una tempestad y por causa de los vientos, es llevado a un

lugar lejano y desconocido.

A lo lejos y sobre la tierra, divisa a un hombre solitario y decide guiar su globo hacia él para

obtener datos de su ubicación espacial.

Cuando estuvo justo sobre el hombre, gritó fuertemente para ser escuchado y dijo.

¡Oiga! Por favor, ¿Podría decirme donde me encuentro?.

- Con mucho gusto - Replicó el hombre –

Dejó transcurrir un momento y dijo:

"¡Está usted en un globo!".

El investigador se sorprende ante tal respuesta, pero de inmediato vuelve a preguntar.

Por casualidad, ¿No será usted matemático?

Perplejo, el hombre le responde.

Si lo soy, pero... ¿Cómo ha podido usted descubrirlo?

Muy sencillo - replica el investigador-

"Por lo rápido, preciso e inútil de su respuesta".


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El matemático y el pastor

Un matemático pasea por el campo, sin nada que hacer, aburrido. Encuentra a un pastor que

cuida un numeroso rebaño de ovejas, y decide divertirse un poco a costa del paleto.

- Buenos días, buen pastor.

- Buenos días tenga usted.

- Solitario oficio, el de pastor, ¿no?

- Usted es la primera persona que veo en seis días.

- Estará usted muy aburrido.

- Daría cualquier cosa por un buen entretenimiento.

- Mire, le propongo un juego. Yo le adivino el número exacto de ovejas que hay en su rebaño, y si

acierto, me regala usted una. ¿Qué le parece?

- Trato hecho.

El matemático pasa su vista por encima de las cabezas del ganado, murmurando cosas, y en unos

segundos anuncia:

- 586 ovejas.

El pastor, admirado, confirma que ése es el número preciso de ovejas del rebaño. Se cumple en

efecto el trato acordado, y el matemático comienza a alejarse con la oveja escogida por él mismo.

- Espere un momento, señor. ¿Me permitirá una oportunidad de revancha?

- Hombre, naturalmente.

Pues ¿qué le parece, que si yo le acierto su profesión, me devuelva usted la oveja?

- Pues venga.

El pastor sonríe, porque sabe que ha ganado, y sentencia:

- Usted es matemático.


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- ¡Caramba! Ha acertado. Pero no acierto a comprender cómo. Cualquiera con buen ojo para los

números podría haber contado sus ovejas.

- Sí, sí, pero sólo un matemático hubiera sido capaz, entre 586 ovejas, de llevarse el perro.

SUICIDIO MATEMÁTICO

Cecilia Juárez Urban

Era viernes por la tarde cuando se llevaron una gran sorpresa Cesar, Jair y Daniel, alumnos de la

escuela secundaria técnica No 118, al descubrir el cadáver del profesor Peralta, quien era

considerado por todos el terror de las matemáticas. Su aspecto era agresivo y autoritario, su lema

"la disciplina", pero sobre todo se distinguía por el trabajo excesivo en clase. Inmediatamente

avisaron a la dirección de la escuela sobre lo acontecido.

Todo indica que el exceso del álgebra y la aritmética provocaron su deceso, esto afirmaron las

autoridades de la escuela al hacer el peritaje en la escena de los hechos.

Su cuerpo fue encontrado en la sala de maestros donde solía preparar sus clases, alrededor de él

se encontraban distintas figuras geométricas que se distinguían por su forma, tamaño, color y

volumen; hojas repletas de ejercicios sobre ecuaciones de primer y segundo grado; una

calculadora en su mano y distintos libros de la asignatura giraban ante su cuerpo desfallecido.

Los testigos afirman que llevaba dos semanas continuas trabajando en un proyecto, sin

descansar, y que deseaba dejar listo el trabajo para que los alumnos ejercitaran en su ausencia,

ya que el proyecto absorbía la mayor parte de su tiempo. Y esa semana, en especial, se había

agudizado más.

Cesar, Jair y Daniel habían sido citados por el maestro, dos horas antes, para entregarles los

ejercicios que tenían que realizar en clase, éstos llegaron media hora después de lo acordado, lo

que hace suponer que provoco un estado de histeria y enojo en el profesor y que aunado a la

carga de trabajo le provoco un shock matemático.

Las autoridades se vieron en la necesidad de informar al jefe de enseñanza de la materia para que

levantara el acta correspondiente y se descartara el homicidio.

Los alumnos y profesores se encontraban consternados ante lo acontecido, y decían: "pobre

maestro y todo pos las matemáticas". Pero un consuelo les quedaba y es que donde quiera que

este será feliz enseñando matemáticas.


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El Hombre que Calculaba

Malba Tahan

Capítulo I: En el que se narran las divertidas circunstancias de mi encuentro con un singular

viajero camino de la ciudad de Samarra, en la Ruta de Bagdad. Qué hacía el viajero y cuáles eran

sus palabras.

¡En el nombre de Allah, Clemente y Misericordioso! Iba yo cierta vez al paso lento de mi camello por la Ruta de Bagdad de vuelta de una excursión a la famosa ciudad de Samarra, a orillas del Tigris, cuando vi, sentado en una piedra, a un viajero modestamente vestido que parecía estar descansando de las fatigas de algún viaje. Me disponía a dirigir al desconocido el trivial salam de los caminantes, cuando, con gran sorpresa por mi parte, vi que se levantaba y decía ceremoniosamente: -Un millón cuatrocientos veintitrés mil setecientos cuarenta y cinco...


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Se sentó enseguida y quedó en silencio, con la cabeza apoyada en las manos, como si estuviera absorto en profundas meditaciones. Me paré a cierta distancia y me quedé observándolo como si se tratara de un monumento histórico de los tiempos legendarios. Momentos después, el hombre se levantó de nuevo y, con voz pausada y clara, cantó otro número igualmente fabuloso: -Dos millones trescientos veintiún mil ochocientos sesenta y seis... Y así, varias veces, el raro viajero se puso en pie y dijo en voz alta un número de varios millones, sentándose luego en la tosca piedra del camino. Sin poder refrenar mi curiosidad, me acerqué al desconocido, y, después de saludarlo en nombre de Allah -con Él sean la oración y la gloria- le pregunté el significado de aquellos números que sólo podrían figurar en cuentas gigantescas. -Forastero, respondió el Hombre que Calculaba, no censuro la curiosidad que te ha llevado a perturbar mis cálculos y la serenidad de mis pensamientos. Y ya que supiste dirigirte a mí con delicadeza y cortesía, voy a atender a tus deseos. Pero para ello necesito contarte antes la historia de mi vida. Y relató lo siguiente, que por su interés voy a transcribir con toda fidelidad:

Capítulo II: Donde Beremiz Samir, el Hombre que Calculaba, cuenta la historia de su vida. Cómo

quedé informado de los cálculos prodigiosos que realizaba y de cómo venimos a convertirnos en

compañeros de jornada.

-Me llamo Beremiz Samir, y nací en la pequeña aldea de Khoi, en Persia, a la sombra de la pirámide inmensa formada por el monte Ararat. Siendo aún muy joven empecé a trabajar como pastor al servicio de un rico señor de Khamat.


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Todos los días, al amanecer, llevaba a los pastos el gran rebaño y me veía obligado a devolverlo a su redil antes de caer la noche. Por miedo a perder alguna oveja extraviada y ser, por tal negligencia, severamente castigado, las contaba varias veces al día. Así fui adquiriendo poco a poco tal habilidad para contar que, a veces, de una ojeada contaba sin error todo el rebaño. No contento con eso, pasé luego a ejercitarme contando los pájaros cuando volaban en bandadas por el cielo. Poco a poco fui volviéndome habilísimo en este arte. Al cabo de unos meses -gracias a nuevos y constantes ejercicios contando hormigas y otros insectos- llegué a realizar la proeza increíble de contar todas las abejas de un enjambre. Esta hazaña de calculador nada valdría, sin embargo, frente a las muchas otras que logré más tarde. Mi generoso amo poseía, en dos o tres distantes oasis, grandes plantaciones de datileras, e, informado de mis habilidades matemáticas, me encargó dirigir la venta de sus frutos, contados por mí en los racimos, uno a uno. Trabajé así al pie de las palmeras cerca de diez años. Contento con las ganancias que le procuré, mi bondadoso patrón acaba de concederme cuatro meses de reposo y ahora voy a Bagdad pues quiero visitar a unos parientes y admirar las bellas mezquitas y los suntuosos palacios de la famosa ciudad. Y, para no perder el tiempo, me ejercito durante el viaje contando los árboles que hay en ésta región, las flores que la embalsaman y los pájaros que vuelan por el cielo entre nubes. Y señalándome una vieja higuera que se erguía a poca distancia, prosiguió: -Aquel árbol, por ejemplo, tiene doscientas ochenta y cuatro ramas. Sabiendo que cada rama tiene como promedio, trescientas cuarenta y siete hojas, es fácil concluir que aquel árbol tiene un total de noventa y ocho mil quinientas cuarenta y ocho hojas. ¿No cree, amigo mío? -¡Maravilloso! -exclamé atónito. Es increíble que un hombre pueda contar, de una ojeada, todas las ramas de un árbol y las flores de un jardín…. Esta habilidad puede procurarle a cualquier persona inmensas riquezas... -¿Usted cree? -se asombró Beremiz. Jamás se me ocurrió pensar que contando los millones de hojas de los árboles y los enjambres de abejas se pudiera ganar dinero. ¿A quién le puede interesar cuántas ramas tiene un árbol o cuántos pájaros forman la bandada que cruza por el cielo? -Su admirable habilidad -le expliqué puede emplearse en veinte mil casos distintos. En una gran capital como Constantinopla, o incluso en Bagdad, sería usted un auxiliar precioso ' para el Gobierno. Podría calcular poblaciones, ejércitos y rebaños. Fácil le sería evaluar los recursos del país, el valor de las cosechas, los impuestos, las mercaderías y todos los recursos del Estado. Le aseguro -por las relaciones que tengo, pues soy bagdalí que no le será difícil obtener algún puesto destacado junto al califa Al-Motacén, nuestro amo y señor. Tal vez pueda llegar al cargo de visir-tesorero o desempeñar las funciones de secretario de la Hacienda musulmana. -Sí es así en verdad, no, lo dudo respondió el calculador. Me voy a Bagdad. Y sin más preámbulos se acomodó como pudo en mi camello -el único que llevábamos-, y nos pusimos a caminar por el largo camino cara a la gloriosa ciudad.


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Desde entonces, unidos por este encuentro casual en medio de la agreste ruta, nos hicimos compañeros y amigos inseparables. Beremiz era un hombre de genio alegre y comunicativo. Muy joven aún -pues no había cumplido todavía los veintiséis años- estaba dotado de una inteligencia extraordinariamente viva y de notables aptitudes para la ciencia de los números. Formulaba a veces, sobre los acontecimientos más triviales de la vida, comparaciones inesperadas que denotaban una gran agudeza matemática. Sabía también contar historias y narrar episodios que ilustraban su conversación, ya de por sí atractiva y curiosa. A veces se quedaba en silencio durante varias horas, encerrado en un mutismo impenetrable, meditando sobre cálculos prodigiosos. En esas ocasiones me esforzaba en no perturbarlo. Le dejaba tranquilo, para que pudiera hacer, con los recursos de su privilegiada memoria, descubrimientos fascinantes en los misteriosos arcanos de la Matemática, la ciencia que los árabes tanto cultivaron y engrandecieron.

Capítulo III: Donde se narra la singular aventura de los treinta y cinco camellos que tenían que ser repartidos entre tres hermanos árabes. Cómo Beremiz Samir, el Hombre que Calculaba, efectuó un reparto que parecía imposible, dejando plenamente satisfechos a los tres querellantes. El lucro inesperado que obtuvimos con la transacción. Hacía pocas horas que viajábamos sin detenernos cuando nos ocurrió una aventura digna de ser relatada, en la que mi compañero Beremiz, con gran talento, puso en práctica sus habilidades de eximio cultivador del Álgebra. Cerca de un viejo albergue de caravanas medio abandonado, vimos tres hombres que discutían acaloradamente junto a un hato de camellos. Entre gritos e improperios, en plena discusión, braceando como posesos, se oían exclamaciones: -i Que no puede ser!


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-¡Es un robo! -¡Pues yo no estoy de acuerdo! El inteligente Beremiz procuró informarse de lo que discutían. -Somos hermanos, explicó el más viejo, y recibimos como herencia esos 35 camellos. Según la voluntad expresa de mi padre, me corresponde la mitad, a mi hermano Hamed Namir una tercera parte y a Harim, el más joven, sólo la novena parte. No sabemos, sin embargo, cómo efectuar la partición y a cada reparto propuesto por uno de nosotros sigue la negativa de los otros dos. Ninguna de las particiones ensayadas hasta el momento, nos ha ofrecido un resultado aceptable. Si la mitad de 35 es 17 y medio, si la tercera parte y también la novena de dicha cantidad tampoco son exactas ¿cómo proceder a tal partición? -Muy sencillo, dijo el Hombre que Calculaba. Yo me comprometo a hacer con justicia ese reparto, mas antes permítanme que una a esos 35 camellos de la herencia este espléndido animal que nos trajo aquí en buena hora. En este punto intervine en la cuestión. -¿Cómo voy a permitir semejante locura? ¿Cómo vamos a seguir el viaje si nos quedamos sin el camello? -No te preocupes, bagdalí, me dijo en voz baja Beremiz. Sé muy bien lo que estoy haciendo. Cédeme tu camello y verás a que conclusión llegamos. Y tal fue el tono de seguridad con que lo dijo que le entregué sin el menor titubeo mi bello jamal, que, inmediatamente, pasó a incrementar la cáfila que debía ser repartida entre los tres herederos. -Amigos míos, dijo, voy a hacer la división justa y exacta de los camellos, que como ahora ven son 36. Y volviéndose hacia el más viejo de los hermanos, habló así: -Tendrías que recibir, amigo mío, la mitad de 35, esto es: 17 y medio. Pues bien, recibirás la mitad de 36 y, por tanto, 18. Nada tienes que reclamar puesto que sales ganando con esta división. Y dirigiéndose al segundo heredero, continuó: -Y tú, Hamed, tendrías que recibir un tercio de 35, es decir 11 y poco más. Recibirás un tercio de 36, esto es, 12. No podrás protestar, pues también tú sales ganando en la división. Y por fin dijo al más joven: -Y tú, joven Harim Namir, según la última voluntad de tu padre, tendrías que recibir una novena parte de 35, o sea 3 camellos y parte del otro. Sin embargo, te daré la novena parte de 36 o sea, 4. Tu ganancia será también notable y bien podrás agradecerme el resultado. Y concluyó con la mayor seguridad:


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-Por esta ventajosa división que a todos ha favorecido, corresponden 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado 18 + 12 + 4- de 34 camellos. De los 36 camellos sobran por tanto dos. Uno, como saben, pertenece al bagdalí, mi amigo y compañero; otro es justo que me corresponda, por haber resuelto a satisfacción de todos el complicado problema de la herencia. - Eres inteligente, extranjero, exclamó el más viejo de los tres hermanos, y aceptamos tu división con la seguridad de que fue hecha con justicia y equidad. Y el astuto Beremiz -el Hombre que Calculaba- tomó posesión de uno de los más bellos jamales del hato, y me dijo entregándome por la rienda el animal que me pertenecía: -Ahora podrás, querido amigo, continuar el viaje en tu camello, manso y seguro. Tengo otro para mi especial servicio. Y seguimos camino hacia Bagdad. Capítulo IV: De nuestro encuentro con un rico jeque, malherido y hambriento. La propuesta que nos hizo sobre los ocho panes que llevábamos, y cómo se resolvió, de manera imprevista, el reparto equitativo de las ocho monedas que recibimos en pago. Las tres divisiones de Beremiz: la división simple, la división cierta y la división perfecta. Elogio que un ilustre visir dirigió al Hombre que Calculaba. Tres días después, nos acercábamos a las ruinas de una pequeña aldea denominada Sippar cuando encontramos caído en el camino a un pobre viajero, con las ropas desgarradas y al parecer gravemente herido. Su estado era lamentable. Acudimos en socorro del infeliz y él nos narró luego sus desventuras. Se llamaba Salem Nasair, y era uno de los más ricos mercaderes de Bagdad. Al regresar de Basora, pocos días antes, con una gran caravana, por el camino de el-Hilleh, fue atacado por una chusma de nómadas persas del desierto. La caravana fue saqueada y casi todos sus componentes perecieron a manos de los beduinos. Él -el jefe- consiguió escapar milagrosamente, oculto en la arena, entre los cadáveres de sus esclavos. Al concluir la narración de su desgracia, nos preguntó con voz ansiosa: -¿Traéis quizá algo de comer? Me estoy muriendo de hambre... -Me quedan tres panes -respondí. -Yo llevo cinco, dijo a mi lado el Hombre que Calculaba. -Pues bien, sugirió el jeque, yo os ruego que juntemos esos panes y hagamos un reparto equitativo. Cuando llegue a Bagdad prometo pagar con ocho monedas de oro el pan que coma. Así lo hicimos.


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Al día siguiente, al caer la tarde, entramos en la célebre ciudad de Bagdad, perla de Oriente. Al atravesar la vistosa plaza tropezamos con un aparatoso cortejo a cuyo frente iba, en brioso alazán, el poderoso Ibrahim Maluf, uno de los visires. El visir, al ver al jeque Salem Nasair en nuestra compañía le llamó, haciendo detener a su brillante comitiva, y le preguntó: -¿Qué te pasó, amigo mío? ¿Cómo es que llegas a Bagdad con las ropas destrozadas y en compañía de estos dos desconocidos? El desventurado jeque relató minuciosamente al poderoso ministro todo lo que le había ocurrido en el camino, haciendo los mayores elogios de nosotros. -Paga inmediatamente a esos dos forasteros, le ordenó el gran visir. Y sacando de su bolsa 8 monedas de oro se las dio a Salem Nasair, diciendo: -Te llevaré ahora mismo al palacio, pues el Defensor de los Creyentes deseará sin duda ser informado de la nueva afrenta que los bandidos y beduinos le han infligido al atacar a nuestros amigos y saquear una de nuestras caravanas en territorio del Califa. El rico Salem Nasair nos dijo entonces: -Os dejo, amigos míos. Quiero, sin embargo, repetiros mi agradecimiento por el gran auxilio que me habéis prestado. Y para cumplir la palabra dada, os pagaré lo que tan generosamente disteis. Y dirigiéndose al Hombre que Calculaba le dijo: -Recibirás cinco monedas por los cinco panes. Y volviéndose a mí, añadió: -Y tú, ¡Oh, bagdalí!, recibirás tres monedas por los tres panes. Mas con gran sorpresa mía, el calculador objetó respetuoso: -¡Perdón, oh, jeque! La división, hecha de ese modo, puede ser muy sencilla, pero no es matemáticamente cierta. Si yo entregué 5 panes he de recibir 7 monedas; mi compañero bagdalí, que dio 3 panes, debe recibir una sola moneda. -¡Por el nombre de Mahoma intervino el visir Ibrahim, interesado vivamente por el caso. ¿Cómo va a justificar este extranjero tan disparatado reparto? Si contribuiste con 5 panes ¿por qué exiges 7 monedas?, y si tu amigo contribuyó con 3 panes ¿por qué afirmas que él debe recibir sólo una moneda? El Hombre que Calculaba se acercó a prestigioso ministro y habló así:


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-Voy a demostraros ¡Oh, visir!, que la división de las 8 monedas por mí propuesta es matemáticamente cierta. Cuando, durante el viaje, teníamos hambre, yo sacaba un pan de la caja en que estaban guardados, lo dividía en tres pedazos, y cada uno de nosotros comía uno. Si yo aporté 5 panes, aporté, por consiguiente, 15 pedazos ¿no es verdad? Si mi compañero aportó 3 panes, contribuyó con 9 pedazos. Hubo así un total de 24 pedazos, correspondiendo por tanto 8 pedazos a cada uno. De los 15 pedazos que aporté, comí 8; luego di en realidad 7. Mi compañero aportó, como dijo, 9 pedazos, y comió también 8; luego sólo dio 1. Los 7 que yo di y el restante con que contribuyó el bagdalí formaron los 8 que correspondieron al jeque Salem Nasair. Luego, es justo que yo reciba siete monedas y mi compañero sólo una. El gran visir, después de hacer los mayores elogios del Hombre que Calculaba, ordenó que le fueran entregadas las siete monedas, pues a mí, por derecho, sólo me correspondía una. La demostración presentada por el matemático era lógica, perfecta e incontestable. Sin embargo, si bien el reparto resultó equitativo, no debió satisfacer plenamente a Beremiz, pues éste dirigiéndose nuevamente al sorprendido ministro, añadió: -Esta división, que yo he propuesto, de siete monedas para mí y una para mi amigo es, como demostré ya, matemáticamente clara, pero no perfecta a los ojos de Dios. Y juntando las monedas nuevamente las dividió en dos partes iguales. Una me la dio a mí -cuatro monedas- y se quedó la otra. -Este hombre es extraordinario, declaró el visir. No aceptó la división propuesta de ocho dinares en dos partes de cinco y tres respectivamente, y demostró que tenía derecho a percibir siete y que su compañero tenía que recibir sólo un dinar. Pero luego divide las ocho monedas en dos partes iguales y le da una de ellas a su amigo. Y añadió con entusiasmo: -¡Mac Allah! Este joven, aparte de parecerme un sabio y habilísimo en los cálculos de Aritmética, es bueno para el amigo y generoso para el compañero. Hoy mismo será mi secretario. -Poderoso Visir, dijo el Hombre que Calculaba, veo que acabáis de realizar con 29 palabras, y con un total de 135 letras, la mayor alabanza que oí en mi vida, y yo, para agradecéroslo tendré que emplear exactamente 58 palabras en las que figuran nada menos que 270 letras. ¡Exactamente el doble! ¡Que Allah os bendiga eternamente y os proteja! ¡Seáis vos por siempre alabado!

La habilidad de mi amigo Beremiz llegaba hasta el extremo de contar las palabras y las letras del

que hablaba, y calcular las que iba utilizando en su respuesta para que fueran exactamente el

doble. Todos quedamos maravillados ante aquella demostración de envidiable talento.


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EL DIABLO DE LOS NÚMEROS

Hans Magnus Enzensberger

LA SEGUNDA NOCHE

Robert se escurría. Seguía siendo lo mismo de siempre: apenas se quedaba dormido, empezaba. Siempre tenía que bajar. Esta vez era por una especie de cucaña. No mires hacia abajo, pensó Robert, se agarró fuerte y se escurrió con las manos al rojo vivo, abajo, abajo, abajo... Cuando aterrizó de golpe sobre el blando suelo de musgo, escuchó una risita. Delante de él, sentado en uña seta de color marrón, suave como el terciopelo, estaba el diablo de los números, más bajito de lo que lo recordaba, que le miraba con sus ojos brillantes. — ¿De dónde sales tú? —le preguntó a Robert. Éste señaló hacia arriba. La cucaña por la que había bajado llegaba hasta muy alto, y vio que tenía arriba un trazo oblicuo. Robert había aterrizado en un bosquecillo de gigantescos unos. El aire a su alrededor zumbaba. Como mosquitos, los números bailaban ante sus narices. Intentó espantarlos con ambas manos, pero eran demasiados, y sintió que cada vez más de esos diminutos doces, treces, cuatros, cincos, seises, sietes, ochos y nueves empezaban a rozarlo. A Robert le resultaban ya lo bastante repugnantes las polillas y las mariposas nocturnas como para que esos bichos se le acercaran demasiado. — ¿Te molestan? —preguntó el anciano. Extendió la palma de su manita y ahuyentó a los números con un soplo. De pronto el aire estaba limpio, sólo los unos, altos como árboles, seguían


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estando allí como un solo uno, alzándose hasta el cielo—. Siéntate, Robert —dijo el diablo de los números. Esta vez era sorprendentemente amable. — ¿Dónde? ¿En una seta? — ¿Por qué no? —Porque es una tontería —se quejó Robert—. ¿Dónde estamos? ¿En un libro infantil? La última vez estabas sentado en una hoja de acedera, y ahora me ofreces una seta. Me suena familiar, lo he leído antes en algún sitio. —Quizá sea la seta de Alicia en el país de las maravillas —dijo el diablo de los números. — ¡El Diablo sabe qué tendrá que ver esta cosa de los cuentos con las Matemáticas! —rezongó Robert. —Eso es lo que ocurre cuando se sueña, querido. ¿Crees quizá que yo me he inventado todos estos mosquitos? No soy yo el que se tumba en la cama y duerme y sueña. ¡Estoy bien despierto! ¿Qué haces, pues? ¿Piensas quedarte eternamente ahí de pie? Robert se dio cuenta de que el anciano tenía razón. Se encaramó a la siguiente seta. Era enorme, blanda y abombada, y cómoda como el sillón de un hotel. — ¿Qué te parece?

—Pasable —dijo Robert—. Tan sólo me pregunto quién se ha inventado todo esto, esos

mosquitos numéricos y esa cucaña en forma de uno por la que he bajado. Algo así no se me

hubiera ocurrido a mí ni en sueños. ¡Fuiste tú!

—Puede ser —dijo el diablo de los números irguiéndose satisfecho en su seta—. ¡Pero falta algo! — ¿Qué? —El cero. Era cierto. Entre todos los mosquitos y polillas no había ni un cero. — ¿Y por qué? —preguntó Robert. —Porque el cero es el último número que se les ocurrió a los seres humanos. Tampoco hay que sorprenderse, el cero es el número más refinado de todos. ¡Mira! Volvió a empezar a escribir algo en el cielo con su bastón, allá donde los unos altos como árboles dejaban un hueco:


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MCM — ¿Cuándo naciste, Robert? — ¿Yo? En 1986 —dijo Robert un poco a regañadientes. Y el anciano escribió:

MCMLXXXVI —Eso ya lo he visto yo —exclamó Robert—. Son esos números anticuados que pueden verse a veces en los cementerios. —Proceden de los antiguos romanos. Los pobres no lo tenían nada fácil. Sus números son difíciles de descifrar, empezando por ahí. Pero seguro que sabrás leer este:

I —Uno —dijo Robert.

X —X es diez. —Muy bien. Entonces, querido, tú naciste en

MCMLXXXVI — ¡Dios mío, qué complicado! —gimió Robert. —Cierto. ¿Y sabes por qué? Porque los romanos no tenían ceros. —No entiendo. Tú y tus ceros... Cero es simplemente nada. —Correcto. Eso es lo genial del cero —dijo el anciano. —Pero ¿por qué nada es un número? Nada no cuenta nada.


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—Quizá sí. No es tan fácil aproximarse al cero. Intentémoslo, de todos modos. ¿Te acuerdas todavía de cómo repartimos el chicle grande entre todos los miles de millones de personas, por no hablar de los ratones? Las porciones se hicieron cada vez más pequeñas, tan pequeñas que ya no era posible verlas, ni siquiera al microscopio. Y hubiéramos podido seguir dividiendo, pero nunca habríamos alcanzado la nada, el cero. Casi, pero nunca del todo. — ¿Entonces? —dijo Robert. —Entonces tenemos que empezar de otra forma. Quizá lo intentemos restando. Restando es más fácil. El anciano extendió su bastón y tocó uno de los gigantescos unos. Enseguida empezó a encogerse, hasta que estuvo, cómodo y manejable, a la altura de Robert. —Bien, calcula. —No sé calcular —afirmó Robert. —Absurdo

1—1= —Uno menos uno es cero —dijo Robert—. Está claro. — ¿Ves? Sin el cero no es posible. —Pero ¿para qué hemos de escribirlo? Si n 0 queda nada, tampoco hace falta escribir nada. ¿Para qué un número aposta para algo que no existe? —Entonces calcula:

1—2= —Uno menos dos es menos uno. —Correcto. Sólo que... sin el cero, tu serie numérica tiene el siguiente aspecto:

… 4,3,2,1 —1,—2,—3,—4… --La diferencia entre 4 y 3 es uno, entre 3 y 2 otra vez uno, entre 2 y 1 otra vez uno, ¿y entre 1 y —1? —Dos —aseguró Robert. —Así que tienes que haberte comido un número entre 1 y –1. — ¡El maldito cero! —exclamó Robert.


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—Ya te he dicho que sin él las cosas no funcionan. Los pobres romanos también creían que no les hacía falta el cero. Por eso no podían escribir sencillamente 1986, sino que tenían que andar atormentándose con sus M y C y L y X y V. —Pero ¿qué tiene que ver eso con nuestros chicles y con restar? —preguntó Robert, nervioso. —Olvídate del chicle. Olvídate de restar. El verdadero truco con el cero es muy distinto. Para eso necesitarás un poco de cabeza, querido. ¿Te sientes capaz, o estás demasiado cansado? —No dijo Robert—. Me alegro de no seguir resbalando. Encima de esta seta se está muy bien. —Vale. Entonces te pondré una pequeña tarea. ¿Por qué el tipo es de pronto tan amable conmigo?, pensó Robert. Seguro que intenta tomarme el pelo. —Adelante —dijo. Y el diablo de los números preguntó:

9+1= — ¡Si no es más que eso¡ — respondió Robert disparando— :¡Diez! — ¿Y cómo lo escribes? —No tengo bolígrafo a mano. No importa, escríbelo en el cielo. Aquí tienes mi bastón.

9+1=10 Escribió Robert en el cielo en color lila. — ¿Cómo? –Preguntó el diablo de los números—. ¡Cómo uno cero! Uno más cero no son diez. —Qué tontería —gritó Robert—. Ahí no pone uno más cero, ahí pone un uno y un cero, y eso es diez. — ¿Y por qué, si me permites la pregunta, es diez? —Porque se escribe así. — ¿Y por qué se escribe así? ¿Puedes decírmelo? —Porque... porque... porque... Me estás poniendo nervioso —gimió Robert. — ¿No quieres saberlo? —preguntó el diablo de los números, reclinándose cómodamente en su seta. Siguió un largo silencio, hasta que Robert ya no pudo soportarlo. — ¡Dilo de una vez! —exigió. —Muy sencillo. Eso viene de los saltos.


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— ¿De los saltos? — Dijo Robert con desprecio —. ¿Qué expresión es ésa? ¿Desde cuándo saltan los números? —Se dice saltar porque yo lo llamo saltar. No olvides quien es el que manda aquí No en vano soy el diablo de los números, recuérdalo. —Está bien, está bien –le tranquilizo Robert—. Entonces ¿puedes decirme qué quieres decir con saltar? —Encantado. Lo mejor será que volvamos a empezar por el uno. Más exactamente por el uno por uno.

1x1=1 1x1x1=1

1x1x1x1=1 »Puedes hacerlo tantas veces como quieras y siempre te saldrá únicamente uno. —Está claro. ¿Qué otra cosa podría salir? —Bien, pero ahora ten la bondad de hacer lo mismo con el dos.

—De acuerdo —dijo Robert.

2x2=4 2x2x2=8

2x2x2x2=16 2x2x2x2x2=32

… » ¡Pero esto aumenta rapidísimo! Si sigo un poquito más, pronto volveré a necesitar la calculadora.

5x5=25 5x5x5=125

5x5x5x5=625 5x5x5x5x5=3125

5x5x5x5x5x5=15625

—No será necesario. Aún aumenta más rápido si coges el cinco:

— ¡Basta! —grito Robert.

— ¿Por qué te asustas siempre que sale una cifra grande? La mayoría de las cifras grandes son

absolutamente inofensivas.


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—Yo no estoy tan seguro –dijo Robert—. De todos modos me parece una lata multiplicar una y otra vez el mismo cinco por si mismo. —Sin duda. Por eso, como diablo de los números, yo no escribo siempre lo mismo, me resultaría demasiado aburrido, sino que escribo:

51=5 52=25

53=125

etcétera. Cinco elevado a uno, cinco elevado a dos, cinco elevado a tres. En otras palabras, hago

saltar al cinco. ¿Comprendido? Y si haces lo mismo con el diez aún resulta más fácil. Va como

sobre ruedas sin calculadora. Si haces saltar el diez una vez se queda como está:

101=10

»Si lo haces saltar dos:

102=100 »Si lo haces saltar tres:

103=1000 —Si lo hago saltar cinco veces —exclamó Robert— da 100.000. Otra vez, y me sale un millón. —Hasta el aburrimiento —dijo el diablo de los números—. ¡Así de fácil Eso es lo bonito del cero. Enseguida sabes lo que vale cualquier cifra según dónde esté: cuanto más adelante, tanto más; cuanto más atrás, tanto menos. Si tú escribes 555, el último número cinco vale exactamente cinco y no más; el penúltimo cinco ya vale diez veces más, cincuenta; y el cinco de delante vale cien veces más que el último, quinientos. ¿Y por qué? Porque se ha escurrido hacia delante. En cambio los cincos de os antiguos romanos no eran más que cincos, porque los romanos no sabían saltar. Y no sabían saltar porque no tenían ceros. Por eso tenían que escribir números tan enrevesados como MCMLXXXVI. ¡Alégrate, Robert! A ti te va muchísimo mejor. Con ayuda del cero y saltando un poquito puedes fabricar tú mismo todos los números corrientes que desees, no importa que sean grandes o pequeños. Por ejemplo el 786. — ¡Y para qué quiero yo el 786! — ¡Por Dios, no te hagas más tonto de lo que eres! Entonces coge tu fecha de nacimiento, 1986.


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El anciano empezaba a hincharse de nuevo amenazadoramente, y la seta en la que estaba sentado, también. —Hazlo —bramó—. ¡Pronto! Ya vuelve a empezar, pensó Robert. Cuando se excita, este tipo se pone insoportable, peor que el señor Bockel. Con cuidado, escribió un gran uno en el cielo. — ¡Mal! —Gritó el diablo de los números—. ¡Muy mal! ¿Por qué he tenido que ir a dar precisamente con un bobo como tú? Debes fabricar el número, idiota!, no limitarte a escribirlo. A Robert le hubiera gustado despertarse. ¿Tengo que aguantar todo esto?, pensó, y vio que la cabeza del diablo de los números se volvía cada vez más roja y gorda. —Por detrás —gritó el anciano. Robert le miró sin comprender. —Tienes que empezar por detrás,, no por delante. —Quieres decir... Robert no quiso discutir con él. Borró el uno y escribió un seis. —Bien, ¿te has enterado por fin? Entonces podemos seguir. —Por mí... —dijo Robert disgustado—. Sinceramente, preferiría que no te diera un ataque de rabia por cualquier tontería. —Lo siento —dijo el anciano—, pero no puedo evitarlo. Al fin y al cabo un diablo de los números no es Papá Noel. — ¿Estás satisfecho con mi seis? El anciano movió la cabeza y escribió debajo:

6x1=6 —Eso es lo mismo —dijo Robert. — ¡Eso ya lo veremos! Ahora viene el ocho. ¡No olvides saltar! De pronto, Robert entendió lo que el anciano quería decir y escribió:

8x10=80 —Ahora ya sé cómo sigue —gritó, antes de que el diablo de los números dijera nada—. Para el nueve tengo que saltar dos veces con el diez.


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Y escribió:

9x100=900 y

1x1000=1000 saltando tres veces. —Junto, resulta:

6+80+900+1000 =1986 »Realmente no es tan difícil. Podría hacerlo incluso sin diablo de los números. — ¿Ah, sí? Creo que te estás poniendo un poquito arrogante, querido. Hasta ahora sólo has tenido que vértelas con los números corrientes. ¡Eso es coser y cantar! »Espera a que me saque de la manga los números quebrados. De ellos hay muchos más. Y luego los números imaginados, y los números irrazonables, de los que hay aún más que infinitos… ¡no tienes idea! ¡Números que giran siempre en círculo y números que no se acaban! Mientras lo decía, la sonrisa del diablo de los números crecía y crecía. Ahora se le podían ver incluso los dientes, infinitos dientes, y entonces el anciano empezó a agitar su bastón ante los ojos de Robert… — ¡Socorro! —gritó Robert, y despertó. Todavía aturdido, le dijo a su madre—: ¿Sabes cuándo nací? 6x1 y 8x10 y 9x100 y 1x1000. —No sé qué le pasa a este chico últimamente—dijo la madre de Robert, meneó la cabeza y le puso delante una taza de cola-cao—. ¡Para que recobres fuerzas! No estás diciendo más que tonterías. Robert se bebió su cola-cao— y cerró el pico. Uno no puede contárselo todo a su madre, pensó.


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IMPORTANCIA DE LAS MATEMATICAS

Aldebazan, rey de Irak, descansando cierta vez en la galería de su palacio, soñó que encontraba

siete jóvenes que caminaban por una ruta. En cierto momento, vencidas por la fatiga y por la sed,

las jóvenes se detuvieron bajo el sol caliente del desierto. Apareció entonces, una hermosa

princesa que se aproximó a las peregrinas, trayéndoles un gran cántaro de agua pura y fresca. La

bondadosa princesa sació la sed que devoraba a las jóvenes, y éstas pudieron reanudar su

interrumpida jornada.

Al despertar, impresionado con ese curioso sueño, decidió entrevistarse con un astrólogo famoso,

llamado Sanib, al cual consultó sobre el significado de aquella escena a la que él - Rey Poderoso

y justo – asistiera en el mundo de las visiones y fantasías. Dijo Sanib, el astrólogo; ¡Señor! Las

siete jóvenes que caminaban por la ruta, eran las artes divinas y las ciencias humanas: la Pintura,

la Música, la Escultura, la Arquitectura, la Retórica, la Dialéctica, y la Filosofía. La princesa que las

socorrió representa la grande y prodigiosa Matemática. "Sin el auxilio de la matemática las artes

no pueden progresar y todas las otras ciencias perecen". Impresionado el rey por lo que oía,

determinó que se organizaran en todas las ciudades, oasis, y aldeas de su país, centros de

estudio matemáticos. Elocuentes y hábiles hombres, dotados de gran cultura, iban por orden del

soberano recorriendo las tiendas y las caravanas, enseñando aritmética a los camelleros y

beduinos. En las paredes de las mezquitas y en las puertas de los palacios, los versos de los

poetas famosos, fueron sustituidos por fórmulas algebraicas y por cálculos numéricos. Al cabo de

pocos meses ocurrió que el país atravesaba por una era de prosperidad. Paralelamente al

progreso de la ciencia, crecían los recursos materiales del país, las escuelas estaban repletas; el

comercio se acrecentaba en forma prodigiosa; las obras de arte se multiplicaron, se levantaron


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monumentos, y las ciudades estaban colmadas de turistas curiosos. El país de Irak tenía abiertas

las puertas al Progreso y a la riqueza, pero la fatalidad puso término a aquel periodo de trabajo y

prosperidad. El rey Aldebazan, acometido por repentina enfermedad murió y con él se abrió dos

tumbas: una de ellas acogió al poderoso monarca y la otra, la cultura científica del pueblo. Subió al

trono un príncipe vanidoso, indolente y de limitadas dotes intelectuales. Le preocupaban más las

diversiones que los problemas administrativos del estado, pocos meses después, todos los

servicios públicos estaban desorganizados; las escuelas cerradas, el tesoro público dilapidado. El

país llegó a la ruina y muy pronto fue atacado e invadido por los enemigos del reino.

EL ORIGEN DEL AJEDREZ

Malba Tahan. El Hombre que Calculaba

Difícil será descubrir, dada la incertidumbre de los documentos antiguos, la época precisa en que

vivió y reinó en la India un príncipe llamado Ladava, señor de la provincia de Taligana. Sería, sin

embargo, injusto ocultar que el nombre de dicho monarca es señalado por varios historiadores

hindúes como uno de los soberanos más ricos y generosos de su tiempo.

La guerra, con su cortejo fatal de calamidades, amargó la existencia del rey Ladava, transformado

es ocio y gozo de la realeza en otras más inquietantes tribulaciones. Adscrito al deber que le

imponía la corona, de velar por la tranquilidad de sus súbditos, nuestro buen y generoso monarca

se vio obligado a empuñar la espada para rechazar, al frente de su pequeño ejercito, un ataque

insólito y brutal del aventurero Varangui, que se hacia llamar príncipe de Calián.


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El choque violento de las fuerzas rivales cubrió de cadáveres los campos de Dacsina, y

ensangrentó las aguas sagradas del río Sabdchu. El rey Ladava poseía, según lo que de él nos

dicen los historiadores, un talento militar no frecuente. Sereno ante la inminente invasión, elaboró

un plan de batalla. Y tan hábil y tal feliz fue al ejecutarlo, que logró vencer y aniquilar por completo

a los pérfidos perturbadores de la paz de su reino.

El triunfo sobre los fanáticos de Varangui le costo desgraciadamente duros sacrificios. Muchos

jóvenes xatrias pagaron con su vida la seguridad del trono y del prestigio de la dinastía. Entre los

muertos, con el pecho atravesado por una flecha, quedó en el campo del combate el príncipe

Adjamir, hijo del rey Ladava, que se sacrificó patrióticamente en lo más encendido del combate

para salvar la posición que dio a los suyos la victoria.

Terminada la cruenta campaña y asegurada la nueva línea de fronteras, regresó el rey a su

suntuoso palacio de Andra. Impuso sin embargo la rigurosa prohibición de celebrar el triunfo con

las ruidosas manifestaciones con que los hindús solían celebrar sus victorias. Encerrado en sus

aposentos, sólo salía de ellos para oír a sus ministros y sabios brahmanes cuando algún grave

problema lo llamaba a tomar decisiones en interés de la felicidad de sus súbditos.

Con el paso del tiempo, lejos de apagarse los recuerdos de la penosa campaña. La angustia y la

tristeza del rey se fueron agravando. ¿De qué le servían realmente sus ricos palacios, sus

elefantes de guerra, los tesoros inmensos que poseía, si ya no tenía a su lado a aquel que había

sido siempre la razón de su existencia? ¿Qué valor podrían tener a los ojos de un padre

inconsolable las riquezas materiales que no apagan nunca la nostalgia del hijo perdido?

El rey no podía olvidar las peripecias de la batalla en que murió Adjamir. El desgraciado monarca

se pasaba horas y horas trazando en una gran caja de arena las maniobras ejecutadas por las

tropas durante el asalto. Con un surco indicaba la marcha de la infantería; al otro lado,

paralelamente, otro trazo mostraba el avance de los elefantes de guerra. Un poco más abajo,

representada por perfilados círculos dispuestos con simetría, aparecía la caballería mandada por

un viejo Radj, que decía gozar de la protección de Techandra, diosa de la Luna. Por medio de

otras líneas esbozaba el rey la posición de las columnas enemigas desventajosamente colocadas,

gracias a su estrategia en el campo en que se libró la batalla decisiva.

Una vez completado el cuadro de los combatientes con todas las menudencias que recordaba, el

rey borraba todo para empezar de nuevo, como si sintiera el íntimo gozo de revivir los momentos

pasados en la angustia y en la ansiedad.


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A la hora temprana en que llegaban al palacio los viejos brahmanes para la lectura de los Vedas,

ya el rey había trazado y borrado en su cajón de arena el plano de la batalla que reproducía

interminablemente.

-¡Desgraciado monarca!, murmuraban los sacerdotes afligidos. Obra como un sudra a quién Dios

privará de la luz de la razón. Sólo Dhanoutara, de los enfermos que amparase al soberano de

Taligana.

Un día, al fin, el rey fue informado de que un joven brahmán -pobre y modesto- solicitaba

audiencia. Ya antes lo había intentado varias veces pero el rey se negaba siempre alegando que

no estaba en disposición de ánimo para recibir a nadie. Pero esta vez accedió a la petición y

mandó que llevaran a su presencia al desconocido.

Llegando a la gran sala del trono, el brahmán fue interpelado, conforme a las exigencias del ritual,

por uno de los visires del rey.

-¿Quién eres? ¿De dónde vienes? ¿Qué deseas de aquel que por voluntad de Vinchú es rey y

señor de Taligana?

-Mi nombre, respondió el joven brahmán, es Lahur Sessa y procedo de la aldea de Namir que

dista treinta días de marcha de esta hermosa ciudad. Al rincón donde vivía llegó la noticia de que

nuestro bondadoso señor pasaba sus días en medio de una profunda tristeza, amargado por la

ausencia del hijo que le había arrebatado por la guerra. Gran mal será para nuestro país, pensé, si

nuestro noble soberano se encierra en sí mismo sin salir de su palacio, como un brahmán ciego

entregado a su propio dolor. Pensé, pues, que convenía inventar un juego que pudiera distraerlo y

abrir en su corazón las puertas de nuevas alegrías. Y ese es el humilde presente que vengo ahora

a ofrecer a nuestro rey Ladava.

Como todos los grandes príncipes citados en esta o aquella página de la historia, tenía el

soberano hindú el grave defecto de ser muy curioso. Cuando que el joven brahmán le ofrecía

como presente un nuevo juego desconocido, el rey no pudo contener el deseo de verlo y apreciar

sin más demora aquel obsequio.

Lo que Sessa traía al rey Ladava era un gran tablero cuadrado dividido en sesenta y cuatro

cuadros o casillas iguales. Sobre este tablero se colocaban, no arbitrariamente, dos series de


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piezas que se distinguían una de otra por sus colores blanco y negro. S e repetían simétricamente

las formas ingeniosas de las figuras y había reglas curiosas para moverlas de diversas maneras.

Sessa explicó pacientemente al rey, a los visires y a los cortesanos que rodeaban al monarca, en

qué consistía el juego y les explicó las reglas esenciales:

- Cada jugador dispone de ocho piezas pequeñas: los "Peones". Representan la infantería que se

dispone para avanzar hacia el enemigo para desbaratarlo. Secundando la acción de los peones,

vienen los "Elefantes de guerra", representados por piezas mayores y más poderosos. La

"Caballería", indispensable en el combate, aparece igualmente en el juego simbolizada por dos

piezas que pueden saltar como dos corceles sobre las otras. Y, para intensificar el ataque, se

incluyen los dos "Visires" del rey, que son dos guerreros llenos de nobleza y prestigio. Otra pieza,

dotada de amplios movimientos, más eficiente y poderosa que las demás, representará el espíritu

de la nacionalidad del pueblo y se llamará la "Reina". Completa la colección una pieza que aislada

vale poco pero es muy fuerte cuando está amparada por las otras. Es el "Rey".

El rey Ladava, interesado por las reglas del juego, no se cansaba de interrogar al interventor:

-¿Y por que la Reina es más fuerte y poderosa que el propio rey?

-Es más poderosa, argumentó Sessa, por que la reina representa en este juego el patriotismo del

pueblo. La mayor fuerza del trono reside principalmente en la exaltación de sus súbditos. ¿Cómo

iba a poder existir el rey el ataque de sus adversarios si no contase con el espíritu de abnegación

y sacrificio de los que le rodean y velan por la integridad de la patria?

Al cabo de pocas horas, el monarca, que había aprendido con rapidez todas las reglas del juego,

lograba ya derrotar a sus visires en una partida impecable.

Sessa intervenía respetuoso de cuando en cuando para aclarar una duda o sugerir un nuevo plan

de ataque o defensa.

En un momento dado observó el rey, con gran sorpresa, que la posición de las piezas, tras las

combinaciones resultantes de los diversos lances, parecía reproducir exactamente la batalla de

Dacsina.

-Observad, le dijo el inteligente brahmán, que para obtener la victoria resulta indispensable el

sacrificio de este visir...

E indicó precisamente la pieza que el rey Ladava había estado a lo largo de la partida defendiendo

o preservando con mayor empeño.

El juicioso Sessa demostraba así que el sacrificio de un príncipe viene a veces impuesto por la

fatalidad para que de él resulten la paz y la libertad de un pueblo.


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Al oír tales palabras, el rey Ladava, sin ocultar el entusiasmo que embargaba su espíritu dijo:

-¡No creo que el ingenio humano pueda producir una maravilla comparable a este juego tan

interesante e instructivo! Moviendo estas piezas tan sencillas, acabo de aprender que un rey nada

vale sin el auxilio de y la dedicación constante de sus súbditos, y que a veces, el sacrificio de un

simple peón vale tanto como la pérdida de una poderosa pieza para obtener la victoria.

Y dirigiéndose al joven brahmán, le dijo:

- Quiero recompensarte, amigo mío, por este maravilloso regalo que tanto me ha servido para el

alivio de mis viejas angustias. Dime pues, qué es lo que deseas, dentro de lo que yo pueda darte,

a fin de demostrar cuan agradecido soy a quienes son dignos de recompensa.

Las palabras con que el rey expresó su generoso ofrecimiento dejaron a Sessa imperturbable. Su

fisonomía serena no reveló la menor agitación, la más insignificante muestra de alegría o de

sorpresa. Los visires lo miraban atónitos y pasmados ante la apatía del brahmán.

-¡Poderoso señor!, replicó el joven mesuradamente pero con orgullo. No deseo más recompensa

por el presente que os he traído, que la satisfacción de haber proporcionado un pasatiempo al

señor de Taligana a fin de que con él alivie las horas prolongadas de la infinita melancolía, Estoy

pues sobradamente recompensado, y cualquier otro premio sería excesivo.

Sonrió desdeñosamente el buen soberano al oír aquella respuesta que reflejaba un desinterés tan

raro entre los ambiciosos hindúes, y no creyendo en la sinceridad de las palabras de Sessa,

insistió:

- Me causa asombro tanto desdén y desamor a los bienes materiales, ¡oh joven! La modestia,

cuando es excesiva, es como el viento que apaga la antorcha y ciega al viajero en las tinieblas de

una noche interminable. Para que pueda el hombre vencer a los múltiples obstáculos que la vida

le presenta, es preciso tener el espíritu preso en las raíces de una ambición que no impulse a una

meta. Exijo por tanto que escojas sin demora una recompensa digna de tu valioso obsequio.

¿Quieres una bolsa llena de oro? ¿Quieres un arca repleta de joyas? ¿Deseas un palacio?

¿Aceptarías la administración de una provincia? ¡Aguardo tu respuesta y queda la promesa ligada

a mi palabra!.

-Rechazar vuestro ofrecimiento tras lo que acabo de oír, respondió Sessa, sería menos

descortesía que desobediencia. Aceptaré pues la recompensa que ofrecéis por el juego que

inventé. La recompensa habrá de corresponder a vuestra generosidad. No deseo, sin embargo ni

oro, ni tierras, ni palacios. Deseo mi recompensa en granos de trigo.

-¿Granos de trigo?, exclamó el rey sin ocultar su sorpresa ante tan insólita petición. ¿Cómo voy a

pagarte con tan insignificante moneda?


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-Nada más sencillo, explicó Sessa. Me daréis un grano de trigo para la primera casilla del tablero;

dos para la segunda; cuatro para la tercera; ocho para la cuarta; y así, doblando sucesivamente

hasta la sexagésima y última casilla del tablero. Os ruego, ¡oh rey!, de acuerdo con vuestra

magnánima oferta, que autoricéis el pago en granos de trigo tal como he indicado...

No solo el rey sino también, los visires, los brahmanes, todos los presentes se echaron a reír

estrepitosamente al oír tan extraña petición. El desprendimiento que había dictado tal demanda

era en verdad como para causar asombro a quien menos apego tuviera a los lucros materiales de

la vida. El joven brahmán, que bien habría podido lograr del rey un palacio o el gobierno de una

provincia, se contentaba con granos de trigo.

-¡Insensato!, explicó el rey. ¿Dónde aprendiste tan necio desamor a la fortuna? La recompensa

que me pides es ridícula. Bien sabes que en un puñado de trigo hay un número incontable de

granos. Con dos o tres medias te voy a pagar sobradamente, según tu petición doblando el

número de granos a cada casilla del tablero. Esta recompensa que pretendes no llegará a distraer

durante unos días el hambre del último paria de mi reino. Pero en fin, mi palabra fue dada y voy a

hacer que te hagan el pago inmediatamente de acuerdo a tu deseo.

Mandó el rey llamar a los algebristas más hábiles de la corte y ordenó que calcularan la porción de

trigo que Sessa pretendía.

Los sabios calculadores, al cabo de unas horas de profundos estudios, volvieron al salón para

someter al rey el resultado completo de sus cálculos.

El rey les preguntó, interrumpiendo la partida que estaba jugando:

-¿Con cuántos granos de trigo voy a poder al fin corresponder a la promesa que hice al joven

Sessa?

-¡Rey magnánimo!, declaró el más sabio de los matemáticos. Calculamos el número granos de

trigo y obtuvimos un número cuya magnitud es inconcebible para la imaginación humana.

Calculamos en seguida con el mayor rigor de cuantas ceiras correspondían a ese número total de

granos y llegamos a la siguiente conclusión: el trigo que habrá de darle a Lahur Sessa equivale a

una montaña teniendo por base la ciudad de Taligana se alce cien veces más alta que el

Himalaya. Sembrados todos los campos de la India, no darían en dos mil siglos la cantidad de

trigo que según vuestra promesa corresponde en derecho al joven Sessa.

¿Cómo describir aquí la sorpresa y el asombro que estas palabras causaron al rey Ladava y a sus

dignos visires? El soberano hindú se veía por primera vez ante la imposibilidad de cumplir la

palabra dada.


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Lahur Sessa -dicen las crónicas de aquel tiempo- como buen súbdito no quiso afligir más a su

soberano. Después de declarar públicamente que olvidaba la petición que había hecho y liberaba

al rey de la obligación del pago conforme a la palabra dada, se dirigió respetuosamente al

monarca y habló así:

-Meditad, ¡oh rey!, sobre la gran verdad que los brahmanes prudentes tantas veces dicen y

repiten: los hombres más inteligentes se observan a veces no sólo ante la apariencia engañosa de

los números sino también con la falsa modestia de los ambiciosos. Infeliz aquel que toma sobre

sus hombros el compromiso de una deuda cuya magnitud no puede valorar con la tabla de cálculo

de su propia inteligencia. ¡Más inteligente es quien mucho alaba y poco promete!.

Y tras ligera pausa, añadió:

-¡Menos aprendemos con la ciencia vana de los brahmanes que con la experiencia directa de la

vida y de sus lecciones constantes, tantas veces desdeñadas! El hombre que más vive, más

sujeto está a las inquietudes morales, aunque no las quiera. Se encontrará ahora triste, luego

alegre, hoy fervoroso, mañana tibio; ora activo, ora perezoso; la compostura alternará con la

liviandad. Sólo el verdadero sabio instruido en las reglas espirituales se eleva por encima de esas

vicisitudes y por encima de todas las alternativas.

Esas inesperadas y tan sabias palabras penetraron profundamente en el espíritu del rey.

Olvidando la montaña de trigo que sin querer había prometido al joven brahmán, le nombró primer

visir.

Y Lahur Sessa, distrayendo al rey con ingeniosas partidas de ajedrez y orientándolo con sabios y

prudentes consejos, prestó los más señalados beneficios al pueblo y al país para mayor seguridad

del trono y mayor gloria de su patria.


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Malditas matemáticas: Alicia en el país de los números

1. Las matemáticas no sirven para nada

Alicia estaba sentada en un banco del parque que había al lado de su casa, con un libro y un

cuaderno en el regazo y un bolígrafo en la mano. Lucía un sol espléndido y los pájaros alegraban

la mañana con sus trinos, pero la niña estaba de mal humor. Tenía que hacer los deberes.

—¡Malditas matemáticas! ¿Por qué tengo que perder el tiempo con estas ridículas cuentas en vez

de jugar o leer un buen libro de aventuras? —se quejó en voz alta—. ¡Las matemáticas no sirven

para nada!

Como si su exclamación hubiera sido un conjuro mágico, de detrás de unos matorrales que había

junto al banco en el que estaba sentada salió un curioso personaje: era un individuo larguirucho,

de rostro melancólico y vestido a la antigua; parecía recién salido de una ilustración de un viejo

libro de Dickens que había en casa de la abuela, pensó Alicia.

—¿He oído bien, jovencita? ¿Acabas de decir que las matemáticas no sirven para nada? —

preguntó entonces el hombre con expresión preocupada.

—Pues sí, eso he dicho. ¿Y tú quién eres? No serás uno de esos individuos que molestan a

las niñas en los parques...

—Depende de lo que se entienda por molestar. Si las matemáticas te disgustan tanto como

parecen indicar tus absurdas quejas, tal vez te moleste la presencia de un matemático,

—¿Eres un matemático? Más bien pareces uno de esos poetas que van por ahí deshojando

margaritas.

—Es que también soy poeta.


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—A ver, recítame un poema.

—Luego, tal vez. Cuando uno se encuentra con una niña testaruda que dice que las

matemáticas no sirven para nada, lo primero que tiene que hacer es sacarla de su error.

—¡Yo no soy una niña testaruda! —protestó Alicia—. ¡Y no voy a dejar que me hables de

mates!

—Es una actitud absurda, teniendo en cuenta lo mucho que te interesan los números.

—¿A mí? ¡Qué risa! No me interesan ni un poquito así—replicó ella juntando las yemas del índice

y el pulgar hasta casi tocarse—. No sé nada de mates, ni ganas.

—Te equivocas. Sabes más de lo que crees. Por ejemplo, ¿cuántos años tienes?

—Once.

—¿Y cuántos tenías el año pasado?

—Vaya pregunta más tonta: diez, evidentemente.

—¿Lo ves? Sabes contar, y ése es el origen y la base de todas las matemáticas. Acabas de

decir que no sirven para nada; pero ¿te has parado alguna vez a pensar cómo sería el mundo si

no tuviéramos los números, si no pudiéramos contar?

—Sería más divertido, seguramente.

—Por ejemplo, tú no sabrías que tienes once años. Nadie lo sabría y, por lo tanto, en vez de

estar tan tranquila ganduleando en el parque, a lo mejor te mandarían a trabajar como a una

persona mayor.

—¡Yo no estoy ganduleando, estoy estudiando matemáticas!

—Ah, estupendo. Es bueno que las niñas de once años estudien matemáticas. Por cierto, ¿sabes

cómo se escribe el número once?

—Pues claro; así —contestó Alicia, y escribió 11 en su cuaderno.

—Muy bien. ¿Y por qué esos dos unos juntos representan el número once?

—Pues porque sí. Siempre ha sido así.

—Nada de eso. Para los antiguos romanos, por ejemplo, dos unos juntos no representaban el

número once, sino el dos —replicó el hombre, y, tomando el bolígrafo de Alicia, escribió un gran II

en el cuaderno.

—Es verdad —tuvo que admitir ella—. En casa de mi abuela hay un reloj del tiempo de los

romanos y tiene un dos como ése.

—Y, bien mirado, parece lo más lógico, ¿no crees?

—¿Por qué?

—Si pones una manzana al lado de otra manzana, tienes dos manzanas, ¿no es cierto?

—Claro.

—Y si pones un uno al lado de otro uno, tienes dos unos, y dos veces uno es dos.

—Pues es verdad, nunca me había fijado en eso. ¿Por qué 11 significa once y no dos?

—¿Me estás haciendo una pregunta de matemáticas?

—Bueno, supongo que sí.

—Pues hace un momento has dicho que no querías que te hablara de matemáticas. Eres

bastante caprichosa. Cambias constantemente de opinión.


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—¡Sólo he cambiado de opinión una vez! —protestó Alicia—. Además, no quiero que me hables

de matemáticas, sólo que me expliques lo del once.

—No puedo explicarte sólo lo del once, porque en matemáticas todas las cosas están

relacionadas entre sí, se desprenden unas de otras de forma lógica. Para explicarte por qué el

número once se escribe como se escribe, tendría que contarte la historia de los números desde el

principio.

—¿Es muy larga?

—Me temo que sí.

—No me gustan las historias muy largas; cuando llegas al final, ya te has olvidado del

principio.

—Bueno, en vez de la historia de los números propiamente dicha, puedo contarte un cuento, que

viene a ser lo mismo...

2. El cuento de la cuenta

—Había una vez, hace mucho tiempo, un pastor que solamente tenía una oveja —empezó el

hombre—. Como sólo tenía una, no necesitaba contarla: si la veía, es que la oveja estaba allí; si

no la veía, es que no estaba, y entonces iba a buscarla... Al cabo de un tiempo, el pastor

consiguió otra oveja. La cosa ya era más complicada, pues unas veces las veía a ambas, otras

veces sólo veía una, y otras ninguna...

—Ya sé cómo sigue la historia —lo interrumpió Alicia—. Luego el pastor tuvo tres ovejas, luego

cuatro..., y si seguimos contando más ovejas me quedaré dormida.

—No seas impaciente, que ahora viene lo bueno. Efectivamente, el rebaño del pastor iba

creciendo poco a poco, y cada vez le costaba más comprobar, de un solo golpe de vista, si

estaban todas las ovejas o faltaba alguna. Pero cuando tuvo diez ovejas hizo un descubrimiento

sensacional: si levantaba un dedo por cada oveja y no faltaba ninguna, tenía que levantar todos

los dedos de las dos manos.

—Vaya tontería de descubrimiento —comentó Alicia.

—A ti te parece una tontería porque te enseñaron a contar de pequeña, pero al pastor nadie le

había enseñado. Y no me interrumpas... Mientras el pastor sólo tuvo diez ovejas, todo fue bien;

pero pronto consiguió algunas más, y entonces ya no le bastaban los dedos.

—Podía usar los dedos de los pies.

—Si hubiera ido descalzo, tal vez —convino él—. De hecho, algunas culturas antiguas los

usaban, y por eso contaban de veinte en veinte en vez de hacerlo de diez en diez como nosotros.

Pero el pastor llevaba alpargatas, y habría sido muy incómodo tener que descalzarse para contar.

De modo que se le ocurrió una idea mejor: cuando se le acababan los diez dedos, metía una

piedrecita en su cuenco de madera, y volvía a empezar a contar con los dedos a partir de uno,

pero sabiendo que la piedra del cuenco valía por diez.

—¿Y no era más fácil acordarse de que ya había usado los dedos una vez?

—Como dice el proverbio, sólo los tontos se fían de su memoria. Además, ten en cuenta que

nuestro pastor sabía que su rebaño iba a seguir creciendo, por lo que necesitaba un sistema que

sirviera para contar cualquier cantidad de ovejas. Por otra parte, la idea de las piedras le vino muy


64

bien para descansar las manos, pues en vez de levantar los dedos para la primera decena de

ovejas, empezó a usar piedras que metía en otro cuenco, esta vez de barro.

—¡Qué lío!

—Ningún lío. Es más fácil de hacer que de explicar: al empezar a contar las ovejas, en vez de

levantar dedos iba metiendo piedras en el cuenco de barro, y cuando llegaba a diez vaciaba el

cuenco y metía una piedra en el cuenco de madera, y luego volvía a llenar el cuenco de barro

hasta diez. Si al final tenía, por ejemplo, cuatro piedras en el cuenco de madera y tres en el de

barro, sabía que había contado cuatro veces diez ovejas más tres, o sea, cuarenta y tres.

—¿Y cuando llegó a tener diez piedras en el cuenco de madera?

—Buena pregunta. Entonces echó mano de un tercer cuenco, de metal, metió en él una

piedra que valía por las diez del cuenco de madera y vació éste. O sea, que la piedra del cuenco

de metal valía por diez del cuenco de madera, que a su vez valían cada una por diez piedras del

cuenco de barro.

—Lo que quiere decir que la piedra del cuenco de metal representaba cien ovejas.

—Muy bien, veo que has captado la idea. Si al cabo de una jornada de pastoreo, tras meter las

ovejas en el redil y contarlas una a una, el pastor se encontraba, por ejemplo, con esto —dijo el

hombre, tomando de nuevo el bolígrafo y dibujando en el cuaderno de Alicia:

—Quiere decir que tenía doscientas catorce ovejas —concluyó ella.

—Exacto, ya que cada piedra del cuenco de metal vale por cien, la del cuenco de madera vale

por diez y las del cuenco de barro valen por una.

Pero entonces al pastor le regalaron un bloc y un lápiz...

—No puede ser —protestó Alicia—, el bloc y el lápiz son inventos recientes; los números se

tuvieron que inventar mucho antes.

—Esto es un cuento, marisabidilla, y en los cuentos pueden pasar cosas inverosímiles. Si te

hubiera dicho que entonces apareció un hada con su varita mágica, no habrías protestado; pero

mira cómo te pones por un simple bloc...

—No es lo mismo: en los cuentos pueden aparecer hadas, pero no aviones ni cosas

modernas.

—Está bien, está bien: si lo prefieres, le regalaron una tablilla de arcilla y un punzón. Y entonces,

en vez de usar cuencos y piedras de verdad, empezó a dibujar en la tablilla unos círculos que

representaban los cuencos y a hacer marcas en su interior, como acabo de hacer yo en tu

cuaderno. Sólo que, en vez de puntos, hacía rayas, para verlas mejor. Por ejemplo,


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significaba ciento setenta y tres. Pero pronto se dio cuenta de que las rayas, si las hacía todas

verticales, no eran muy cómodas, pues no resultaba fácil distinguir, por ejemplo, siete de ocho u

ocho de nueve. Entonces empezó a diversificar los números cambiando la disposición de las

rayas:

»A medida que iba familiarizándose con los nuevos números, los escribía cada vez más deprisa,

sin levantar el lápiz del papel (perdón, el punzón de la tablilla), y empezaron a salirle así:

»Poco a poco fue redondeando las siluetas de sus números con trazos cada vez más fluidos,

hasta que acabaron teniendo este aspecto:

123456789

»Pronto comprendió que no hacía falta poner los círculos que representaban los cuencos, ahora

que los números eran compactos y no podían confundirse las rayas de uno con las del de al lado.

Así que sólo dejó el círculo del cuenco cuando estaba vacío; por ejemplo, si tenía tres centenas,

ninguna decena y ocho unidades, escribía:


66

—¿Y no es más fácil dejar sencillamente un espacio en blanco? —preguntó Alicia.

—No, porque el espacio en blanco sólo se ve si tiene un número a cada lado. Pero para escribir

treinta, por ejemplo, que son tres decenas y ninguna unidad, no puedes escribir sólo 3, porque eso

es tres. Por tanto, era necesario el círculo vacío. El pastor acabó reduciéndolo para que fuera del

mismo tamaño que los demás signos, con lo que el trescientos ocho del ejemplo anterior acabó

teniendo este aspecto:

308

»Había inventado el cero, con lo que nuestro maravilloso sistema de numeración estaba

completo.»

—No veo por qué es tan maravilloso —replicó Alicia—. A mí me parecen más elegantes los

números romanos.

—Tal vez sean elegantes, pero resultan poco prácticos. Intenta multiplicar veintitrés por

dieciséis en números romanos.

—No pienso intentarlo. ¿Te crees que me sé la tabla de multiplicar en latín?

—Pues escribe en números romanos tres mil trescientos treinta y tres.

—Eso sí que sé hacerlo —dijo Alicia, y escribió en su cuaderno:

MMMCCCXXXIII

—Reconocerás que es más cómodo escribir 3.333 en nuestro sistema posicional decimal.

—Sí, lo reconozco —admitió ella a regañadientes—. ¿Pero por qué lo llamas sistema posicional

decimal?

—En el sistema romano, todas las M valen lo mismo, y también las demás letras, mientras que en

nuestro sistema el valor de cada dígito depende de su posición en el número. Así, en el 3.333,

cada 3 tiene un valor distinto: el primero de la derecha representa tres unidades, el segundo tres

decenas, el tercero tres centenas y el cuarto tres millares. Por eso nuestro sistema se llama

posicional. Y se llama decimal porque se salta de una posición a la siguiente de diez en diez: diez

unidades son una decena, diez decenas una centena, diez centenas un millar...


67

3. El agujero de gusano

—No ocurrió realmente así, ¿verdad? —dijo Alicia tras una pausa.

—No. Como ya te he dicho, lo que te he contado no es la historia de los números, sino un

cuento. La verdadera historia es más larga y más complicada; pero, en esencia, viene a ser lo

mismo. Lo importante es que comprendas por qué un uno al lado de otro uno significa once y no

dos.

—Cuéntame más cuentos de números —pidió la niña.

—Creía que detestabas las matemáticas.

—Y las detesto; pero me gustan los cuentos. También detesto a las ratas, y sin embargo me

gustan las historias del ratón Mickey.

—Puedo hacer algo mejor que contarte otro cuento: te invito a dar un paseo por el País de los

Números.

—¿Está muy lejos?

—Aquí mismo. Sígueme.

El hombre se dio la vuelta y desapareció entre los matorrales de los que había salido unos

minutos antes. Sin pensárselo dos veces, Alicia lo siguió.

Oculta por la vegetación, había una gran madriguera, en la que aquel estrafalario individuo se

metió gateando.

«Qué raro que haya una madriguera tan grande en el parque», pensó la niña mientras

entraba tras él.

«Si es de un conejo, debe de ser un conejo gigante; aunque en realidad no creo que haya conejos

sueltos por aquí...»

La madriguera se hundía en la tierra oblicuamente y, aunque estaba muy oscura, Alicia

lograba ver la silueta del matemático, que avanzaba a un par de metros por delante de ella.

De pronto el hombre se detuvo. Alicia llegó junto a él y vislumbró en el suelo un agujero de

aproximadamente un metro de diámetro. Se asomó y sintió vértigo, pues parecía un pozo sin

fondo, del que emanaba un tenue resplandor grisáceo. Ai mirar con más atención, se dio cuenta

de que era una especie de remolino, como el que se formaba en el agua de la bañera al quitar el

tapón. Era como si la oscuridad misma se estuviera colando por un desagüe.

—Es un agujero de gusano —dijo él—. Conduce a un mundo paralelo.

A Alicia le sonaba lo de los agujeros de gusano y los mundos paralelos, pero no sabía de qué.

—Debe de ser un gusano muy grande —comentó con cierta aprensión.

—No hay ningún gusano. Este agujero se llama así porque horada el espacio-tiempo igual

que los túneles que excavan las lombrices horadan la tierra.

—¿Tiene algo que ver con los agujeros negros?

—Mucho. Pero ya te lo explicaré otro día, cuando hablemos de física. Por hoy tenemos

bastante con las matemáticas.


68

Dicho esto, saltó al interior del remolino y desapareció instantáneamente, como engullido por una

irresistible fuerza de succión.

—Estás loco si crees que voy a saltar ahí dentro —dijo la niña, aunque sospechaba que él ya

no podía oírla. Pero la curiosidad, que en Alicia era más fuerte que el miedo e incluso que la

pereza, la llevó a tocar el borde del remolino con la punta del pie, para ver qué consistencia tenía.

Fue como si un tentáculo invisible se le enrollara a la pierna y tirara de ella hacia abajo. Empezó a

girar sobre sí misma vertiginosamente, como una peonza humana, a la vez que descendía como

una flecha por el remolino. O más bien como una bala, pensó la niña, pues había oído decir que

las balas giran a gran velocidad dentro del cañón para que luego su trayectoria sea más estable.

Curiosamente, no tenía miedo, ni la mareaba la vertiginosa rotación, ni sentía ese vacío en el

estómago que notaba cuando en la montaña rusa se precipitaba hacia abajo.

De pronto, tan bruscamente como había comenzado, cesó el blando abrazo del remolino y cayó

con gran estrépito sobre un montón de hojas secas.

Alicia no sintió el menor daño y se puso en pie de un brinco. Miró hacia arriba, pero estaba

muy oscuro. Le pareció ver sobre su cabeza, a varios metros de altura, un círculo giratorio algo

menos negro que la negrura envolvente. Hacia delante, sin embargo, se veía un punto de luz, que

era el final de un largo pasadizo. Lo recorrió a toda prisa, y desembocó en un amplio vestíbulo,

iluminado por una hilera de lámparas colgadas del techo.

Alrededor de todo el vestíbulo había numerosas puertas, y ante una de ellas estaba el hombre con

una llave de oro en la mano, disponiéndose a abrirla.

Alicia corrió junto a él, y éste hizo girar la llave en la cerradura y abrió la puerta. Daba a un

estrecho pasadizo al fondo del cual se veía un espléndido jardín.

—Adelante —dijo el matemático con una enigmática sonrisa, y la niña lo precedió por el pasadizo.

5. El monstruo del laberinto

Durante un buen rato dieron vueltas y más vueltas por el tortuoso laberinto, sin que Alicia

apartara nunca la mano de la tupida pared vegetal.

De pronto se oyó un horrísono mugido-rugido que hizo que la niña se detuviera en seco.

—¿Qué ha sido eso? —preguntó alarmada.

—El horrísono mugido-rugido del monstruo del laberinto, supongo —contestó Charlie como si

tal cosa.

—¿Por eso no quería entrar el Cero?

—Es probable. Pero sigamos adelante.

—¿No sería más prudente volver atrás?

—En un laberinto, los conceptos «adelante» y «atrás» no están muy claros. El monstruo podría

aparecer por cualquier sitio, así que lo mejor que podemos hacer es continuar nuestro camino.


69

—¿Cómo es ese monstruo? —preguntó Alicia con cierta aprensión mientras reanudaban la

marcha.

—¿Has oído hablar del laberinto de Creta?

—Sí. Dentro había un hombre con cabeza de toro llamado Minotauro.

—Pues tengo entendido que el monstruo de este laberinto es pariente suyo, aunque yo nunca

he conseguido verlo. Espero tener más suerte esta vez.

—¿Llamas suerte a encontrarte con un monstruo? ¡Pues no quiero ni pensar en lo que será

para ti la desgracia! —exclamó Alicia.

—La desgracia es una niña que dice que las matemáticas no sirven para nada —dijo Charlie.

Alicia iba a replicar algo, pero se quedó con la boca abierta porque, de pronto, al doblar uno de los

innumerables recodos del laberinto, desembocaron en un acogedor recinto cuadrado; sólo le

faltaba un techo para parecer el salón de una vivienda. Los muebles estaban modelados en

arbustos de boj, y había algunas estanterías excavadas directamente en el tupido seto que

formaba las paredes del laberinto.

En el centro de aquel espacio relativamente amplio, una mujer robusta y un tanto entrada en

carnes, embutida en unas mallas de gimnasia, hacía rítmicas flexiones de cintura. La mujer tenía

cabeza de vaca.

—¿Es la hermana del Minotauro? —preguntó Alicia con los ojos desorbitados.

—O de Alvar Núñez —comentó Charlie.

Al percatarse de su presencia, la Minovaca interrumpió sus ejercicios gimnásticos y se quedó

mirándolos con los brazos en jarras.

—¿Adónde creéis que vaaais? —preguntó con voz profunda y alargando mucho la a de

«vais», lo que a Alicia le sonó muy prepotente.

—¿Y a ti que te importa? —contestó la niña, aunque no sin antes resguardarse detrás de

Charlie.

—¿Cómo que a mmmí que me importa, niñata impertinente? ¡Estáis en mmmí laberinto!

—Entonces puede que te importe adónde vamos, pero adónde creemos que vamos es asunto

nuestro —replicó Alicia.

—Mmm —mugió la Minovaca, amenazadora—. No me gustan las mmmarisabidillas.

—No es una marisabidilla —intercedió Charlie, conciliador—. Más bien es una «mariignoran-

tilla»; ni siquiera se sabe la tabla de multiplicar.

—¿Es eso cierto? —se asombró la Mino-vaca.

—No sé nada de mates, ni ganas —dijo Alicia desafiante, aunque sin salir de detrás de

Charlie.

—Bien, hoy mmme siento generosa. Te haré una prueba de ignorancia, y si la superas te

dejaré mmmarchar.

—No se puede hacer una prueba de ignorancia —objetó la niña.

—¡Yo puedo hacer lo que mmme dé la gana!


70

—Quiero decir que no tiene sentido hacerle a alguien una prueba de ignorancia —precisó

Alicia—. Ignorar cosas es demasiado fácil.

—Ignorar cosas es bastante fácil —convino la Minovaca—, aunque no siempre. Pero lo que ya

no es tan fácil es saber lo que se ignora y lo que no se ignora. De hecho, el conocimmmiento de la

propia ignorancia es la verdadera clave de la sabiduría.

—Pues yo sé muy bien lo que no sé —aseguró Alicia con aplomo.

—Vammmos a verlo. Dice tu amigo que no te sabes la tabla de muuultiplicar.

—Entera, no. Ni me la pienso aprender. Primero te dicen que las mates son cosa de razonar y no

de empollar, y luego pretenden que te aprendas de memoria un montón de multiplicaciones.

—Sólo unas pocas. Y luego, a partir de esas pocas, puedes efectuar fácilmente todas las

muuultiplicaciones del muuundo, gracias a nuestro mmmaravilloso sistema de nummmeración

posicional.

—Sí, al menos no tenemos que usar esos engorrosos números romanos —comentó Alicia,

acordándose de su primera conversación con Charlie.

—Son engorrosos y poco prácticos —convino la Minovaca—, pero precisammmente para empezar

a concocer las muuultiplicaciones pueden ser útiles.

En ese momento llegó el Conejo Blanco, tan nervioso como siempre.

—¡Qué terrible retraso! —exclamó para sí, consultando su reloj de bolsillo, e intentó

escabullirse disimuladamente. Pero la imperiosa voz de la Minovaca lo detuvo en seco:

—¡Tú, ven aquí!

El Conejo Blanco se acercó con las orejas gachas.

—Discúlpame, es que tengo mucha prisa y... —empezó a decir.

—Esta niña también tiene muuucha prisa por aprender —le cortó secamente la Minovaca—.

Déjame tu reloj.

Obedientemente, el Conejo Blanco le dio su reloj. La Minovaca se lo enseñó a Alicia.

—Aquí tenemos veinte unos —le dijo—, que nos servirán para componer la tabla de muuultiplicar

del uno al cuatro.

—¿Por qué el cuatro son cuatro palotes y no un palote y una uve? —preguntó Alicia.

—Porque un palote y una uve, o sea, IV, es también la primmmera sílaba de IVPITER, que es

Júpiter en latín. Como sabes, o deberías saber, Júpiter era el dios más importante para los

antiguos rommmanos, y les parecía una irreverencia utilizar sus iniciales para designar el

númmmero cuatro, que ni siquiera es un número muuuy importante, así que lo escribían con

cuatro unos. Únicamente en la Edad Mmmedia empezó a escribirse de la forma correcta, pero en


71

los relojes se suele seguir la antigua costumbre rommmana. Pero se supone que esto es una

clase de matemmmáticas, no de historia. Seguidme.

La Minovaca fue hacia una mesita baja (que era un pequeño arbusto de boj con la parte

superior podada formando una superficie plana y horizontal) sobre la que había un tablero

cuadrado y blanco.

Agitó el reloj sobre el tablero, y los veinte unos cayeron sobre él formando un montoncito informe.

Luego se llevó a la boca un silbato que llevaba colgado del cuello (Alicia había visto vacas con

cencerros, pero nunca con silbatos), sopló cuatro veces y los unos se colocaron en formación

sobre el blanco tablero en cuatro filas de cinco:

—¿Cómo lo has hecho? —preguntó Alicia asombrada.

—Soy la reina de los tableros, las tablas y los establos, las tabulaciones y las estabulaciones

—dijo con orgullo la Minovaca—. Y ahora, dimmme, ¿qué ves en el tablero?

—Veinte palotes —contestó la niña—. O veinte unos romanos, si lo prefieres.

—¿Cómmmo están ordenados?

—En cuatro filas de cinco.

—¿Y por qué no en cinco colummmnas de cuatro?

—Es lo mismo.

—Exacto. Cuatro veces cinco es lo mmmis-mo que cinco veces cuatro. Acabas de descubrir la

propiedad conmuuutativa de la muuultiplicación, o sea, eso tan bonito de que «el orden de los

factores no altera el producto».

Dicho esto, la Minovaca dio varios toques de silbato rítmicos y entrecortados, y los palotes se

reordenaron sobre el tablero formando una fila y una columna con los números romanos del I al

IIII.


72

—¿Por qué se han puesto así? —preguntó Alicia.

—Los he estabulado para formmmar la tabla del 4 —contestó la Minovaca, y de un disimulado

hueco del arbusto-mesa sacó dos saleros, uno grande y otro pequeño.

—¿Te los vas a comer?

—No, yo sólo commmo niñas immmpertinentes. Eres tú la que tiene que devorarlos, es decir,

asimmmilarlos, pero con la cabeza. En estos saleros hay seta pulverizada. Ya sabes, la seta de la

Oruga, que por un lado hace crecer y por el otro mmmenguar.

—¿En el salero grande están los polvos que hacen crecer y en el pequeño los que hacen

menguar?

—Al revés, naturalmmmente.

—¿Por qué «naturalmente»?

—Porque lo mmmás natural es hacer crecer lo pequeño y hacer mmmenguar lo grande —contestó

la Minovaca, mientras espolvoreaba los unos con el menor de los saleros. En pocos segundos, los

palotes crecieron hasta alcanzar unas veinte veces su tamaño original.


73

—Están formando una especie de parrilla —comentó Alicia.

—Pues esa parrilla es la tabla del 4. Las intersecciones de dos númmmeros indican su

producto.

—Es verdad. El dos y el tres se cortan en seis puntos; el tres y el cuatro, en doce...

La Minovaca espolvoreó los palotes con el salero grande, y enseguida recuperaron su anterior

tamaño. Luego puso el reloj del Conejo Blanco sobre el tablero, dio un par de enérgicos toques de

silbato, y los unos regresaron ordenadamente a su lugar en la esfera.

—¿Puedo irme ya? ¡Tengo tanta prisa! —suspiró el Conejo Blanco.

—Por mmmí sí —contestó la Minovaca, devolviéndole su reloj—, pero con lo atolondrado que

eres no sé si lograrás salir del laberinto.

El Conejo no se lo hizo repetir: salió corriendo como una blanca exhalación y, acto seguido,

desapareció por una disimulada abertura de la pared vegetal.

—Bien, mmmosquita mmmuerta —dijo la Minovaca mirando fijamente a Alicia—, vea-mmmos

ahora lo que realmmmente ignoras. ¿Qué tabla no te sabes?

—No me sé la del siete, por ejemplo —contestó la niña—. Y no me llames mosquita muerta.

Soy tan mamífera como tú.

—Entonces te llammmaré muuusaraña, que es el mammmífero más pequeño e insignificante

que existe. A ver, siete por dos.

—Eso lo sabe todo el mundo: catorce.

—¿Y siete por tres?

—Es lo mismo que tres por siete: veintiuno.

—¿Siete por cuatro?

—El doble de siete por dos: veintiocho.

—¿Ves commmo no sabes realmmmente lo que ignoras? Sí que te sabes la tabla del siete.

—No del todo —replicó Alicia—. Por ejemplo, no sé cuánto da siete por nueve.

—Pero si te supieras la tabla del nueve sí que lo sabrías.

—Claro, porque siete por nueve es igual que nueve por siete. Pero es que tampoco me sé la

del nueve.

—Sí que te la sabes. Mmmira...

La Minovaca sacó de otro hueco del arbusto-mesa una cajita llena de números y guiones, que

vació sobre el blanco tablero y ordenó a golpe de silbato. Los guiones se cruzaron para formar x o

se yuxtapusieron en signos de igualdad, y las cifras ocuparon sus puestos disciplinadamente:

9 x 2 =18

9 x 3 = 27

9 x 4 = 36

9 x 5 = 45

9 x 6 = 54

9 x 7 = 63

9 x 8 = 72

9 x 9 = 81


74

—Faltan nueve por uno y nueve por diez —observó Alicia.

—No faltan, sobran —replicó la Minovaca—, porque son triviales. Cualquier númmmero por

uno es él mmmismo, y por diez basta con añadirle un cero. Bien, fíjate en esta tabla.

—Ya la veo, pero me olvidaré de ella en cuanto deje de verla —aseguró la niña.

—No he dicho que la veas, sino que te fijes en ella, para que ella pueda fijarse en tu cabezota.

—¿Y cómo tengo que fijarme?

—Fijarse en algo es mmmirarlo ordenadammmente, así que empecemmmos por el principio: 9

x 2 = 18; la primmmera cifra del producto es 2 - 1 = 1, y la segunda, lo que le falta a ese 1 para

llegar a 9, o sea, 9 - 1 =8. Pasemmmos al siguiente producto: 9x3 = 27; la primmmera cifra es 3 -

1 = 2, y la segunda, lo que le falta a ese 2 para llegar a 9, o sea, 9 - 2 = 7...

—¡Ya lo veo —exclamó Alicia—, siempre es así!

—Entonces, ¿cuánto es 9 x 7? —preguntó la Minovaca, tapando con una mano la tabla para

que la niña no la viera.

—La primera cifra del producto será 7 - 1, o sea, 6, y la segunda, lo que le falta a 6 para llegar

a 9, que es 3. Por lo tanto, 9 x 7 = 63.

—¿Lo ves? Sabías la tabla del nueve, pero no sabías que la sabías. En realidad, sí que te

sabes la tabla de muuultiplicar.

—Entera, no.

—Entera, sí —replicó la Minovaca. Sopló sobre el tablero, y las cifras y los signos salieron volando

como pequeños insectos negros; luego le dio la vuelta: en su reverso (¿o era su anverso?) había

una cuadrícula de 8 x 8.

—Es como un tablero de ajedrez, pero con todas las casillas blancas —comentó Alicia.

—Es un tablero y es una tabla: la de muuultiplicar —dijo la Minovaca. Sacó otra cajita llena de

cifras, mayor que la anterior, y vació su contenido. Con unos cuantos toques de silbato, puso las

cifras en formación:

—Faltan la tabla del uno y la del diez... —empezó a decir Alicia.

—Y dale. Ya te he dicho que no faltan, sino que sobran: las elimmmino por triviales. Y si sigues

diciendo trivialidades, también te elimmminaré a ti —la amenazó la Minovaca.


75

—Iba a decir que faltan la del uno y la del diez, y aun así hay un montón de productos que hay

que aprenderse de memoria —protestó la niña.

—Mmmedio mmmontón nada mmmás. Fíjate en la diagonal que va del ángulo inferior

izquierdo al superior derecho: los productos que hay por encimmma de ella son los mmmismos

que hay por debajo.

—Es cierto —admitió Alicia—. Pero medio montón sigue siendo mucho.

—En realidad no es nada. La tabla del dos no es mmmás que la serie de los números pares:

2, 4, 6, 8..., así que podemmmos elimmminarla por trivial. La del tres...

—Ésa me la sé.

—Pues tammmbién podemmmos elimmminarla. La del cuatro es el doble que la del dos: si

sabes que 2x3 = 6, también sabes que 4x3 = 12. La del cinco es immmposible no saberla, pues

basta con muuultiplicar por diez la mmmitad de cada númmmero. Así, la mmmitad de 6 es 3, luego

5x6 = 30; la mitad de 7 es 3,5, luego 5x7 = 35...

—Es verdad, ahora caigo...

—Pues levántate, que seguimmmos. La del seis es el doble que la del tres: como 3x4=12, 6 x

4 = 24, etcétera. La del ocho...

—Te has saltado la del siete.

—No mmme la he saltado, mmmarisabidilla, la he dejado para el final. La del ocho es el doble

que la del cuatro, que es el doble que la del dos: como 4 x 3 = 12, 8 x 3 = 24. Y la del nueve ya te

la sabes.

—Pero falta la del siete.

—Parece que falta —replicó la Minovaca—, pero commmo te sabes todas las demmmás,

sabes que 2x7 = 14, 3x7 = 21, 4x7 = 28, 5x7 = 35, 6x 7 = 42, 8x7 = 56 y 9x7 = 63. Sólo te falta

7x7...

—Eso lo sé: 7x7 = 49.

— ¿Ves commmo sí que te sabes la tabla de mmmultiplicar? Así que no has superado la

prueba de ignorancia; debería devorarte.

—No puedes devorarme, las vacas son herbívoras —replicó Alicia, aunque volvió a

resguardarse detrás de Charlie.

—Bueno, mmme commmeré tu pelo ammmarillo, que es commmo paja.

—¡No es como paja —protestó la niña—, es un precioso cabello de un rubio dorado!

—Tal vez te deje mmmarchar si mmme halagas de formmma convincente.

—Eres la mejor profe de mates que jamás he conocido —dijo Alicia con convicción.

La Minovaca sonrió complacida y se ruborizó de placer: era evidente que el halago había sido de

su agrado. La niña le comentó a Charlie en voz baja:

—Tan risueña y coloradota, parece la Vaca que Ríe.

—Pues es la Minovaca que Sonríe —dijo el escritor, que no perdía ocasión de precisar.


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Calendarios

¿De dónde viene el calendario qué usamos actualmente?

Un calendario es una manera de medir el tiempo, una manera inventada, por supuesto, por los

humanos. Así, actualmente, el tiempo se divide, por conveniencia, en días, semanas, meses y

años. Casi cada cultura ha diseñado su propio calendario, pero casi todos los que han existido se

basan en los movimientos de la Tierra y una de sus consecuencias más importantes en lo que a la

medición del tiempo se refiere: las apariciones regulares del Sol y de la Luna.

Actualmente usamos el Calendario Gregoriano, ¿quieres conocer su historia?

Así empieza la historia...

Los historiadores piensan que para el año 4241 a.C., los egipcios usaban ya el calendario más

exacto de la antigüedad. Tenían un año que estaba dividido en 12 meses cada uno de 30 días y

tenían además 5 días adicionales.

Por otro lado, los romanos habían introducido, hacia el siglo VII a.C., un calendario en el que el

año duraba 304 días divididos en 10 meses. En este calendario, el año comenzaba en el mes de


77

Marzo. Como la duración del año era muy distinta al tiempo que en realidad tarda la Tierra en dar

una vuelta alrededor del Sol, sucedía que las estaciones no se repetían en las mismas fechas de

un año para otro. Por eso, también en el siglo VII a.C. se decidió añadir dos meses más, Enero y

Febrero, al final de cada año. A partir de esta modificación, el año romano quedó compuesto por

doce "meses lunares", los llamaban así porque la duración de un mes era el tiempo que

transcurría entre una luna llena y la siguiente (este periodo es de aproximadamente 29 días y

medio) tiempo que ellos calcularon de 30 días.

Así los doce meses del primer calendario romano eran: Martius, Aprilis, Maius, Iunius, Quintilis,

Sextilis, September, October, November, December, Ianuarius y Februarius.

Después de este primer calendario, el imperio romano se guió por el calendario Juliano que entró

en vigor el 1° de enero del año 45 a.C. Este calendario debe su nombre al emperador Julio César

quién mandó a sus astrónomos diseñarlo para corregir todos los errores que se tenían con el

antiguo calendario romano. El astrónomo que dirigió el proyecto fue Sosígenes de Alejandría. El

calendario fue establecido en todo el Imperio Romano y realmente logró resolver los problemas

que se tenían; sin embargo Julio César pudo disfrutarlo muy poco pues un año después de que se

adoptara este nuevo calendario, él fue asesinado.

Para que el nuevo calendario realmente coincidiera con la entrada de las estaciones se ampliaron

a 15 los meses del año 45 a.C. Esto fue necesario para corregir el retraso de tres meses que se

había acumulado con el calendario anterior. El año 45 a.C. fue llamado el "año de la gran

confusión" por lo largo que fue y porque nadie sabía exactamente en qué día vivía; sin embargo,

gracias a este año tan largo se logró resolver el desorden que se tenía. A partir del año siguiente

se instauraron años de 12 meses con el nuevo Calendario Juliano.

El Calendario Juliano se basaba en el año egipcio que tenía 365 días más 1/4. Cada cuatro años

se intercalaba un día (éste es el origen de los años bisiestos) y el año se dividió en 12 meses de

distinta duración, puesto que 365 no es divisible por 12. En honor de César se dio el nombre de

Julius al mes Quintilis.

Después del asesinato de Julio César, su sucesor Augustus mandó perfeccionar aún más el

nuevo calendario y fue entonces cuando se estableció que el primer mes del año sería enero y el

segundo febrero. El Senado romano cambió el nombre del mes Sextilis por el de Augustus.


78

Los nombres de los meses que tenemos actualmente provienen del Calendario Juliano y su origen

es el siguiente:

1. Enero (en latín "Ianuarius") El nombre procede de Jano, el dios romano de las

puertas y los comienzos. En el antiguo calendario romano, Enero era el onceavo

mes del año. En el siglo I a.C., con el Calendario Juliano, pasó a ser considerado

como el primer mes. El 1 de enero, los romanos ofrecían sacrificios a Jano para que

diera un buen comienzo al nuevo año. Su símbolo era una cabeza con dos caras,

una que miraba al Este y otra que miraba al Oeste.

2. Febrero (en latín "Februarius") El nombre procede de la palabra latina "februa",

que se refería a los festivales de la purificación que se celebraban en la antigua

Roma durante este mes.

3. Marzo (en latín "Martius"): Para los antiguos romanos, esencialmente guerreros,

este mes consagrado al dios de la guerra, Marte, era el primero del año, fue con el

Calendario Juliano, cuando se estableció que Enero sería el primer mes del año,

cuando Marzo pasó a ser el tercero.

4. Abril (en latín "Aprilis"): El nombre de este mes se deriva de la palabra latina

"aperire" que significa "abrir". Los romanos eligieron el nombre de abril

probablemente porque comenzaba la estación en que la naturaleza comenzaba de

nuevo a "abrirse".

5. Mayo (en latín "Maius"): Era el tercer mes en el antiguo calendario romano y

tradicionalmente se acepta que debe su nombre a Maia, la diosa romana de la

primavera y los cultivos. Las celebraciones en honor de Flora, la diosa de las flores,

alcanzaban su punto culminante en la antigua Roma el 1 de mayo. En Europa se

levantaban mayos (palos de mayo) en las aldeas adornados con espinos en flor el 1

de mayo.

6. Junio (en latín "Iunius"): Hay distintas versiones sobre la etimología del mes de

junio. Algunos historiadores piensan que el nombre de este mes proviene del nombre

de la diosa romana Juno, la diosa del matrimonio. Otros autores proponen, en

cambio, que el origen del nombre de este mes proviene de la palabra latina "iuniores"


79

(jóvenes) en oposición a maiores (mayores) para el mes de mayo, quedando así los

dos meses dedicados a la juventud y a la vejez respectivamente.

7. Julio (Quíntilis): Era el quinto mes del año en el calendario romano primitivo y por

eso fue llamado Quintilis, o quinto mes, por los romanos. Fue el mes en el que nació

Julio César, y en el 44 a.C., año de su asesinato, el mes recibió el nombre de julio en

su honor.

8. Agosto (Sextilis): Dado que era el sexto mes del calendario romano, que

comienza en marzo, fue originalmente llamado "Sextilis" (en latín, "sextus", que

quiere decir "sexto"). Se le dio el nombre de agosto en honor al emperador romano

César Octavio Augusto.

9. Septiembre (September): Era el séptimo mes del calendario romano y toma su

nombre de la palabra latina "septem", que significa "siete".

10. Octubre (October): Octubre era el octavo mes del antiguo calendario romano (en

latín "octo", que significa "ocho"),

11. Noviembre (November): Entre los romanos era el noveno mes del año (en latín,

"novem").

12. Diciembre (December): Diciembre era el décimo mes (en latín, "decem", significa

"diez") en el calendario romano.

Parece ser que Julio César deseaba que el año nuevo comenzara con el equinoccio de primavera,

o con el solsticio de invierno, pero el Senado Romano, que tradicionalmente utilizaba el 1 de

Enero como comienzo de su año oficial, se opuso a César e impuso esa fecha como la del

comienzo del año. Esta es la razón por la que aún hoy en día nuestro año nuevo comienza en un

punto arbitrario de la órbita de la Tierra.

Además, originalmente el mes de Febrero tenía 29 días los años normales y 30 los bisiestos. Pero

al haber sido los meses del antiguo calendario Quíntilis y Séxtilis renombrados como Julio y

Agosto, en honor de Julio César y César Augusto respectivamente, se decidió que el mes de

Agosto tuviera 31 días en vez de los 30 que originalmente tenía Séxtilis. Para ello se le quitó un


80

día a Febrero. Para el Senado era muy importante que César Augusto no se considerara inferior a

Julio César por lo que "su mes", debía de tener la misma cantidad de días que "el mes de Julio

César".

El sistema de numerar los años a partir del nacimiento de Jesucristo, de la indicación A. D. (Anno

Domini, año del Señor), se debe a Dionisio el Exiguo en el siglo VI.

Concretamente fue en el año 525 de nuestra era, cuando el monje Dionisio el Exiguo introdujo el

calendario cristiano, al afirmar que Jesús había nacido el sábado 25 de diciembre del año 753

a.u.c. El clero cristiano se apresuró a difundirlo entre la población y situaron el principio de la

nueva era, el A.D. 1 (Anno Domini 1) comenzando el Sábado 1 de Enero del año 754 a.u.c. que

era el comienzo del primer año tras el nacimiento de Jesús.

Sin embargo, Dionisio cometió varios errores. El primero de ellos fue no incluir el año cero que

debería situarse entre el año 1 a.C. y el año 1 d.C. Realmente no es muy justo atribuir este error a

Dionisio, pues el cero era un concepto matemático desconocido en aquella época en su entorno.

Pero también cometió el error de olvidar los cuatro años en los que el Emperador Augusto

gobernó bajo su propio nombre: Octavio. De este modo el error sería de 5 años en total.

Al durar el año juliano aproximadamente 11 m y 14 s más que el año trópico (tiempo que tarda la

Tierra en dar una vuelta completa al Sol), acumula un error de un día cada 128 años. En 1477 el

equinoccio de primavera se había adelantado al 11 de marzo. A la Iglesia preocupó este error que

afectaba a la celebración de la Pascua de Resurrección y otras fiestas movibles que dependen de

ella.

Para corregir el error, el papa Gregorio XIII, nombró una comisión de astrónomos y matemáticos

para que revisaran el calendario juliano. Así las dos personas que terminaron de diseñar el

calendario que usamos actualmente fueron: Luigi Lilio Ghiraldi (o Aloysius Lilius), médico de

Verona, quien ideó el nuevo sistema y Cristóbal Clavius, astrónomo, matemático y físico de

Nápoles, quien hizo todos los cálculos necesarios. En marzo de 1582 fue abolido el calendario

juliano por decreto del Papa Gregorio XIII y se estableció el calendario gregoriano.


81

El calendario juliano había acumulado un error de diez días con respecto al año trópico por lo que

estos días tuvieron que restarse de forma arbitraria; así en el año 1582, el día siguiente del jueves

4 de octubre fue el viernes 15 de octubre. Este ajuste logró que en el año 1583 el equinoccio de

primavera sucediera el 21 de marzo.

En nuestro calendario actual, el Calendario Gregoriano los años bisiestos se calculan de distinta

manera a como se calculaban en el Calendario Juliano.

Un año es bisiesto si las dos últimas cifras son divisibles entre 4, excepto cuando ambas son cero.

Sin embargo cuando las cuatro cifras, es decir, el número completo del año, es divisible entre 400

entonces el año sí es bisiesto aunque sus dos últimas cifras sean ceros.

Así, por ejemplo, 1944 fue un año bisiesto pues no termina en ceros y sus dos últimas cifras son

divisibles entre 4; 1900 no fue bisiesto pues acaba en dos ceros. Sin embargo, el año 2000 aún y

cuando termina en dos ceros si fue bisiesto pues el número 2000 es divisible entre 400. En 400

años se producen, por lo tanto, 97 años bisiestos en lugar de 100, cómo se generaban en el

Calendario Juliano.

El Calendario Gregoriano, que acumula un error de un día en 3226 años, fue adoptado por todos

los países católicos y la mayoría de los protestantes, aunque algunos de éstos no lo adoptaron

inmediatamente. Inglaterra, por ejemplo, no remplazó el Calendario Juliano por el Gregoriano sino

hasta el año 1752, para hacerlo tuvo que hacer un ajuste: el día siguiente al miércoles 2 de

Septiembre de 1752 según el calendario Juliano, fue el jueves 14 de Septiembre de ese mismo

año 1752, según el Calendario Gregoriano. La confusión fue total y aún hoy en día hay fechas que

los historiadores no pueden determinar con certeza. Como consecuencia del cambio de

calendarios, resulta que aunque tanto Cervantes como Shakespeare murieron el martes 23 de

Abril de 1616 en España e Inglaterra respectivamente, en el caso de Cervantes se aplicaba ya el

Calendario Gregoriano, mientras que en el de Shakespeare la fecha corresponde al Calendario

Juliano. Así pues, Shakespeare murió el martes 3 de Mayo de 1616 según el calendario

Gregoriano, por lo que no murió el mismo día que Cervantes.

Rusia, probó entre 1923 y 1940 diversos calendarios y en 1940 adoptó oficialmente el Calendario

gregoriano. Antes de la Revolución Bolchevique que dio lugar al nacimiento de la Unión Soviética,


82

se utilizaba en Rusia el Calendario Juliano, por lo que dicha Revolución se llamó la Revolución de

Octubre, ya que se inició el martes 24 y el miércoles 25 de Octubre de 1917 según el Calendario

Juliano, pero estos días corresponden a los días martes 6 y miércoles 7 de Noviembre de 1917 en

el Calendario Gregoriano y son, de hecho, las fechas en las que actualmente se conmemora la

Revolución Rusa. La mayoría de los países utilizan hoy el Calendario Gregoriano.

Calendario perpetuo

Aquí encontrarás unas tablas que forman lo que se conoce como un "calendario perpetuo".

En él podrás encontrar qué día de la semana fue cualquier fecha que esté entre el 1° de enero de

1801 y el 31 de diciembre del 2036.

¿Cómo funciona? Por ejemplo, si quieres saber qué día de la semana fue el 11 de agosto de

1970, hay que hacer lo siguiente:

1. Busca, en las columnas de los años, las columnas que pertenecen

a los años 1901 a 2000.

2. En esas columnas, busca el número 70.

3. Ahora muévete por el renglón del número 70 hasta llegar a la

columna del mes de agosto. Ahí encontrarás el número 6; a éste

número deberás sumarle 11, es decir el número de la fecha que

estás buscando.

4. Una vez que sumaste 6+11 = 17, deberás buscar el número 17

en la segunda tabla, en la tabla de los días. En esta tabla el número

17 está en el renglón del martes por lo que el 11 de agosto de 1970

fue justamente un martes.


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Años

.

.

.

.

.

Meses

de 1801 a 1900 de 1901 a 2000 de

2001 a

2036

En

ero

Fe

bre

ro

Ma

rzo

Ab

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Ma

yo

Ju

nio

Ju

lio

Ag

os

to

Se

pti

em

bre

Oc

tub

re

No

vie

mb

re

Dic

iem

bre

01 29 57 85

.

. 25 53 81

.

. 09

.

4 0 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2

02 30 58 86 . 26 54 82 . 10 5 1 1 4 6 2 4 0 3 5 1 3

03 31 59 87 . 27 55 83 . 11 6 2 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4

04 32 60 88 . 28 56 84 . 12 0 3 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6

05 33 61 89 01 29 57 85 . 13 2 5 5 1 3 6 1 4 0 2 5 0

06 34 62 90 02 30 58 86 . 14 3 6 6 2 4 0 2 5 1 3 6 1

07 35 63 91 03 31 59 87 . 15 4 0 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2

08 36 64 92 04 32 60 88 . 16 5 1 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4

09 37 65 93 05 33 61 89 . 17 0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5

10 38 66 94 06 34 62 90 . 18 1 4 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6

11 39 67 95 07 35 63 91 . 19 2 5 5 1 3 6 1 4 0 2 5 0

12 40 68 96 08 36 64 92 . 20 3 6 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2

13 41 69 97 09 37 65 93 . 21 5 1 1 4 6 2 4 0 3 5 1 3

14 42 70 98 10 38 66 94 . 22 6 2 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4

15 43 71 99 11 39 67 95 . 23 0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5

16 44 72 . 12 40 68 96 . 24 1 4 5 1 3 6 1 4 0 2 5 0

17 45 73 . 13 41 69 97 . 25 3 6 6 2 4 0 2 5 1 3 6 1

18 46 74 . 14 42 70 98 . 26 4 0 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2

19 47 75 . 15 43 71 99 . 27 5 1 1 4 6 2 4 0 3 5 1 3

20 48 76 . 16 44 72 00 . 28 6 2 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5

21 49 77 00 17 45 73 . 01 29 1 4 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6

22 50 78 . 18 46 74 . 02 30 2 5 5 1 3 6 1 4 0 2 5 0

23 51 79 . 19 47 75 . 03 31 3 6 6 2 4 0 2 5 1 3 6 1

24 52 80 . 20 48 76 . 04 32 4 0 1 4 6 2 4 0 3 5 1 3

25 53 81 . 21 49 77 . 05 33 6 2 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4

26 54 82 . 22 50 78 . 06 34 0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5

27 55 83 . 23 51 79 . 07 35 1 4 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6

28 56 84 . 24 52 80 . 08 36 2 5 6 2 4 0 2 5 1 3 6 1

Días

Domingo 1 8 15 22 29 36

Lunes 2 9 16 23 30 37

Martes 3 10 17 24 31

Miércoles 4 11 18 25 32

Jueves 5 12 19 26 33

Viernes 6 13 20 27 34

Sábado 7 14 21 28 35


84

El País de las Matemáticas

Érase una vez un nomio que anhelaba, más que nada en la vida, ir al País de las Matemáticas. Quería trepar por la geometría y deslizarse por largas ecuaciones. Ahí no vivían más que cifras, bellas cifras con las que uno podía hacer toda clase de acrobacias. Desde contarse los dedos de los pies hasta calcular el tiempo que un astronauta tardaría en recorrer la distancia entre la Tierra y la luna. El nomio esperó hasta que se desesperó, y una buena mañana, al despertar, se dijo, "Ya no esperaré más. Voy a ir al país de las Matemáticas porque es ahí donde quiero estar."

Y, sin voltear para atrás, emprendió su camino.

Primero, pasó a una mapería, o sea una tienda donde venden mapas para llegar a cualquier parte.

Y se compró un mapa para orientarse.

Con su mapa en la mano, el nomio se sentía aún más intrépido. Abriéndolo con mucho cuidado,

leyó:

PARA LLEGAR AL PAÍS DE LAS MATEMÁTICAS, HAZ LO SIGUIENTE SIN SALTARTE NINGUNA INDICACIÓN: SAL DE LA CIUDAD SIGUIENDO LAS FLECHAS GRANDES.


85

El nomio leyó esto, y levantó la vista. Justamente, en la esquina de enfrente, había una flecha

grande y otra chica. Doblando su mapa, el nomio atravesó la calle, y se echó a andar en la

dirección que señalaba la flecha grande.

Ya fuera de la ciudad, no veía ninguna otra flecha, de manera que volvió a consultar su mapa.

EN EL CAMPO ENCONTRARÁS UNA GRAN PIEDRA EN FORMA DE GUAJOLOTE. DE ESA PIEDRA PARTEN UN CAMINO RECTO Y OTROCURVO. TOMA EL CAMINO RECTO HASTA LLEGAR A UN CORRAL CERRADO. ASÓMATE Y ADENTRO VERÁS UN CONJUNTO DE OVEJAS.

El nomio caminó y, efectivamente, después de un rato llegó a un corral cerrado, en donde estaban

varias ovejas.

DEL OTRO LADO DEL CAMINO UN POCO MÁS ADELANTE HAY OTRO CORRAL, PERO ABIERTO. AFUERA DE ESE CORRAL, VERÁS OTRO CONJUNTO DE OVEJAS. METE LAS OVEJAS A ESE CORRAL ABIERTO Y SEPÁRALAS POR COLORES.

Al leer aquello, el nomio se sintió algo nervioso. Él no era pastor, y nunca había tratado a ovejas.

No sabía a ciencia cierta si no les daba por morder o patear. Pero, armándose de valor, procedió a

seguir las instrucciones del mapa.

Realmente, no estaba muy a gusto. Él quería ir al País de las Matemáticas, no cuidar a ovejas.

¿Qué tenían que ver las ovejas con las matemáticas?

En fin. Ya había logrado meter las ovejas al corral, y ya estaban separadas por color: las blancas

en un rincón y las cafés en otro. ¿Y ahora qué?

ACABAS DE FORMAR UN SUB-CONJUNTO CAFÉ Y OTRO SUB-CONJUNTO BLANCO, LEYÓ EN ELMAPA.

AFUERA DEL CORRAL HAY UN BOTE. EN ÉL ENCONTRARÁS UNAS CAMPANAS. PONLE UNA A CADA OVEJA. NO DEBE FALTARTE NI SOBRARTE NI UNA.

El nomio no tardó en encontrar el bote de campanas, y ya con un poco más de confianza, le

amarró una campana a cada oveja. Ni le faltaron, ni le sobraron.

AHORA, CRUZA EL CAMINO Y VE SI EN EL CORRAL CERRADO HAY UNA OVEJA PARA CADA OVEJA QUE HAY EN EL CORRAL ABIERTO.


86

Afortunadamente, el nomio traía su plumón, y se le ocurrió marcar una oveja del corral abierto y

otra del corral cerrado, y otra del corral abierto y otra del corral cerrado, y así hasta terminar con

todas...

Pero sobraba una oveja en el corral cerrado, una oveja negra.

Un tanto agotado, el pobre nomio se sentó a un lado del camino, y abrió una vez más su mapa.

El nomio tuvo que ir a asomarse varias veces a cada corral, para asegurarse que por cada oveja

había puesto una piedrita o una piedrota. Pero, finalmente se sentó frente a sus dos corrales.

Estaba satisfecho. Volvió a consultar su mapa.

SACA LAS PIEDRAS DE LOS CORRALES, Y FRENTE A CADA PIEDRITA PON UNA

PIEDROTA.

Eso era fácil, eso lo podía hacer sentado ahí mismo. Alineó todas sus piedritas, y frente a cada

una colocó una piedrota, pero sobraba una.

"Claro," gritó el nomio. "¡Es la oveja negra!

HAS FORMADO UNA LÍNEA DE PIEDRITAS Y OTRA LÍNEA DE PIEDROTAS. CADA LÍNEA ES UNA CANTIDAD, Y CADA CANTIDAD TIENE SU NOMBRE, QUE ES UN NÚMERO. UNA PIEDRA SOLA ES UNA. UNA PIEDRA MÁS OTRA SON DOS. DOS PIEDRAS MÁS OTA SON TRES. TRES PIEDRAS MÁS OTRA SON CUATRO. CUATRO PIEDRAS MÁS OTRA SON CINCO. CINCO PIEDRAS MÁS OTRA SON SEIS. SEIS PIEDRAS MÁS OTRA SON SIETE. SIETE PIEDRAS MÁS OTRA SON OCHO. OCHO PIEDRAS MÁS OTRA SON NUEVE. Y NUEVE PIEDRAS MÁS OTRA SON DIEZ. ...Y ASÍ HASTA NUNCA ACABAR. AHORA, PONLE SU NÚMERO A TU LÍNEA DE PIEDRITAS, Y A TU LÍNEA DE PIEDROTAS.

"¿A ver?", dijo el nomio. "Una piedrita más otra son dos. Dos piedritas más otra son tres..." Tenía

nueve piedritas y diez piedrotas.

YA PUEDES CONTAR, leyó el nomio en su mapa.

AHORA CUENTA LAS OVEJAS BLANCAS Y CUENTA LAS OVEJAS CAFÉS. QUE ESTÁN EN EL CORRAL ABIERTO.

El nomio alineó cuatro piedritas que eran las ovejas blancas, y abajo de esas alineó otras cinco

que eran las ovejas cafés. Eran todas sus piedritas. O sea cuatro mas cinco eran nueve.


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YA PUEDES SUMAR Y SI ENTRE ESTAS NUEVE OVEJAS HAY DOS QUE ESTÁN SUCIAS, Y LAS SACAS DEL CORRAL, ¿CUÁNTAS TE QUEDAN?

"A nueve le quito dos,"dijo el nomio moviendo sus piedritas. "Quedan... ¡siete!

YA PUEDES RESTAR

Y SI ESAS DOS OVEJAS SUCIAS SE ENOJAN PORQUE LAS SACASTE DEL CORRAL Y CADA UNA DE ELLAS TE DA TRE TOPES, HABRÁS RECIBIDO TRES TOPES POR DOS OVEJAS, O SEA... ¡seis topes!

YA PUEDES MULTIPLICAR. Y SI LAS SIETE OVEJAS QUE QUEDARON EN EL CORRAL, LES REPARTES SIETE BULTOS DE ALFALFA, A CADA UNA DE LAS OVEJAS LE TOCARÁ... ¡Un bulto! YA PUEDES DIVIDIR.

Ah, ¡que bonito!, pensó el nomio mirando al cielo. Las nubes comenzaban a tornarse rosadas. Todo el día se le había ido en caminar y contar ovejas y piedras. Y aún no llegaba al País de las Matemáticas.

¿Cuánto faltaría?

YA CONOCES LOS NÚMEROS, PUEDES CONTAR, PUEDES SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR. AHORA CAMINA HACIA LA PUESTA DEL SOL, Y BUEN VIAJE.

El nomio se levantó y caminó hacia el poniente. El sol lo deslumbraba, pero al cabo de un momento en el horizonte distinguió la silueta de la geometría con sus cubos y sus prismas. Y entre ellos veía algo como hilos plateados...

¿Sería posible? ¡Sí! ¡Eran las ecuaciones! El nomio dio un brinco de alegría, y se echó a correr. Además de contar, ahora iba a poder medir, pesar, calcular y hacer todas las cosas que se hacen con números. Por fin había entrado al País de las Matemáticas.

Perímetros

Obtener el perímetro de una figura cerrada no es tan difícil; basta sumar lo que mide cada uno de los lados que forman su contorno.

Por ejemplo, el perímetro de un cuadrado cuyos lados miden 1 cm, es 4 cm. (1+1+1+1 =4). El perímetro de un triángulo equilátero que mide 3 cm por lado, será de 9 cm (3+3+3 =9). ¿Qué pasará con el perímetro de una figura formada por una cadena de figuras iguales? Una cadena de triángulos equiláteros o de rectángulos o pentágonos etc. El perímetro total será el perímetro de la figura multiplicado por el número de figuras que contenga la cadena?


88

Problema 1. Encuentra el perímetro de una cadena de 50 triángulos equiláteros unidos por sus lados, donde cada lado mide 1 cm.

Vamos a trabajar como lo hacen los matemáticos, empecemos simplificando el problema:

¿Cuánto mide el perímetro de una cadena formada por un solo triángulo?

¿Cuánto mide el perímetro de una cadena con dos triángulos?

¿Con tres triángulos?

¿Con cuatro?

Para resolver el problema registremos los resultados en una tabla

Número de

triángulos ...1... ...2.. ...3... ...4... ...5... ...10... ...15... ...20... ...25... ...30... ...40... ...50...

Perímetro

¿Encontraste una regla? ¿Cuál es? Intenta escribir la regla como una fórmula matemática.

¿Qué pasará si el lado del triángulo midiera 3 cm? Registra tus datos


89

Número de triángulos

...1... ...2.. ...3... ...4... ...5... ...10... ...15... ...20... ...25... ...30... ...40... ...50...

Perímetro

Problema 2. ¿Cuál es el perímetro de una cadena de 8 rectángulos, donde cada rectángulo mide 2 cm. de largo y 1 cm. de ancho?

Número de rectángulos

...1... ...2.. ...3... ...4... ...5... ...6... ...7. ...8.. ...10.. ...20... ...30... ...100...

Perímetro

¿Encontraste una regla? ¿Cuál es? Puedes escribirlo por medio de una formula

Problema 3. ¿Cuál es el perímetro de una cadena de10 hexágonos, donde cada lado del hexágono mide 6cm.?

Número de

hexágonos ...1... ...2.. ...3... ...4... ...5... ...6... ...7. ...8.. ...10.. ...20... ...30... ...100...

Perímetro

¿Encontraste una regla? ¿Cuál es? Intenta escribir la regla como una fórmula matemática.


90

LECTURA SECUNDARIA

EL HOMBRE QUE FUE JUEVES

CAPÍTULO PRIMERO

LOS DOS POETAS DE SAFRON PARK

El barrio de Saffron Park —Parque de Azafrán— se extendía al poniente de Londres, rojo

y desgarrado como una nube del crepúsculo. Todo él era de un ladrillo brillante; se destacaba

sobre el cielo fantásticamente, y aun su pavimento resultaba de lo más caprichoso: obra de un

constructor especulativo y algo artista, que daba a aquella arquitectura unas veces el nombre de

"estilo Isabel" y otras el de "estilo reina Ana", acaso por figurarse que ambas reinas eran una

misma.

No sin razón se hablaba de este barrio como de una colonia artística, aunque no se sabe qué

tendría precisamente de artístico. Pero si sus pretensiones de centro intelectual parecían algo

infundadas, sus pretensiones de lugar agradable eran justificadísimas. El extranjero que

contemplaba por vez primera aquel curioso montón de casas, no podía menos de preguntarse

qué clase de gente vivía allí. Y si tenía la suerte de encontrarse con uno de los vecinos del

barrio, su curiosidad no quedaba defraudada.

El sitio no sólo era agradable, sino perfecto, siempre que se le considerase como un sueño, y no

como una superchería. Y si sus moradores no eran "artistas", no por eso dejaba de ser artístico

el conjunto. Aquel joven —los cabellos largos y castaños, la cara insolente— si no era un poeta,

era ya un poema. Aquel anciano, aquel venerable charlatán de la barba blanca y enmarañada,

del sombrero blanco y desgarbado, no sería un filósofo ciertamente, pero era todo un asunto de

filosofía. Aquel científico sujeto —calva de cascarón de huevo, y el pescuezo muy flaco y largo—

claro es que no tenía derecho a los muchos humos que gastaba: no había logrado, por ejemplo,

ningún descubrimiento biológico; pero ¿qué hallazgo biológico más singular que el de su

interesante persona? Así y sólo así había que considerar aquel barrio: no taller de artistas, sino

obra de arte, y obra delicada y perfecta. Entrar en aquel ambiente era como entrar en una comedia.

Y sobre todo, al anochecer; cuando, acrecentado el encanto ideal, los techos extravagantes

resaltaban sobre el crepúsculo, y el barrio quimérico aparecía aislado como una nube flotante. Y

todavía más en las frecuentes fiestas nocturnas del lugar —iluminados los jardines, y encendidos

los farolillos venecianos, que colgaban, como frutos monstruosos, en las ramas de aquellas

miniaturas de árboles.

395 PALABRAS

Nombre: Fecha: Palabras por

minuto.


91

BESTIARIO El Rinoceronte Hagamos entonces homenaje a la bestia endurecida y abstrusa porque ha dado lugar a una leyenda hermosa. Aunque parezca imposible, este atleta rudimentario es el padre espiritual de la criatura poética que desarrolla en los tapices de la Dama, el tema del Unicornio caballeroso y galante. Vencido por una virgen prudente, el rinoceronte carnal se transfigura, abandona su empuje y se agacela, se acierva y se arrodilla. Y el cuerno obtuso de agresión masculina se vuelve ante la doncella una esbelta endecha de marfil. Aves de Rapiña Todos, halcones, águilas o buitres, repasan como frailes silenciosos su libro de horas aburridas, mientras la rutina de cada día miserable les puebla el escenario de deyecciones y de vísceras blandas: triste manjar para sus picos desgarradores. El Bisonte Sin dejarse arrebatar por esa ola de cuernos, de pezuñas y de belfos, el hombre emboscado arrojó flecha tras flecha y cayeron uno por uno los bisontes. Un día se vieron pocos y se refugiaron en el último redil cuaternario. La Hiena Antes de abandonar a este cerbero abominable del reino feroz, al necrófilo entusiasmado y cobarde, debemos hacer una aclaración necesaria: la hiena tiene admiradores y su apostolado no ha sido vano. Es tal vez el animal que más prosélitos ha logrado entre los hombres. Las Focas Veloces lanzaderas, las focas tejen y destejen la tela interminable de sus juegos eróticos. Se abrazan sin brazos y resbalan de una en otra improvisando sus rondas ad libitum. Baten el agua con duras palmadas; se aplauden ellas mismas en ovaciones viscosas. La alberca parece de gelatina. El agua está llena de labios y de lenguas y las focas entran y salen relamiéndose. El Elefante En vez de calcular, vámonos todos al circo y juguemos a ser los nietos del elefante, ese abuelo pueril que ahora se bambolea al compás de una polka. No. Mejor hablemos del marfil. Esa noble sustancia, dura y uniforme, que los paquidermos empujan secretamente con todo el peso de su cuerpo, como una material expresión de pensamiento. El Búho Antes de devorarlas, el búho digiere mentalmente a sus presas. Nunca se hace cargo de una rata entera si no se ha formado un previo concepto de cada una de sus partes. La actualidad del manjar que palpita en sus garras va haciéndose pasado en la conciencia y preludia la operación analítica de un lento devenir intestinal. La Cebra Golosas, las cebras devoran llanuras de pasto africano, a sabiendas de que ni el corcel árabe ni el pura sangre pueden llegar a semejante redondez de las ancas ni a igual finura de cabos. El Hipopótamo Ya muchos milenios antes (¿cuántos?), los monos decidieron acerca de su destino oponiéndose a la tentación de ser hombres. No cayeron en la empresa racional y siguen todavía en el paraíso: caricaturales, obscenos y libres a su manera. Los vemos ahora en el zoológico, como un espejo depresivo: nos miran con sarcasmo y con pena, porque Jubilado por la naturaleza y a falta de pantano a su medida, el hipopótamo se sumerge en el hastío. Potentado biológico, ya no tiene qué hacer junto al pájaro, la flor y la gacela. Se aburre enormemente y se queda dormido a la orilla de su charco, como un borracho junto a la copa vacía, envuelto en su capote colosal. La Boa La absorción se inicia fácilmente y el conejo se entrega en una asfixia sin pataleo. Desaparecen la cabeza y las patas delanteras. Pero a medio bocado sobrevienen las angustias de un taponamiento definitivo. En ayuda de la boa transcurren los últimos instantes de vida del conejo, que avanza y desaparece propulsado en el túnel costillar por cada vez más tenues estertores.

615 PALABRAS.

Nombre: Fecha: Palabras por minuto.


92

LA MUERTE TIENE PERMISO Sobre el estrado, los ingenieros conversan, ríen. Se golpean unos a otros con bromas incisivas. Sueltan chistes gruesos cuyo clímax es siempre áspero. Poco a poco su atención se concentra en el auditorio. Dejan de recordar la última juerga, las intimidades de la muchacha que debutó en la casa de recreo a la que son asiduos. El tema de su charla son ahora esos hombres, ejidatarios congregados en una asamblea y que están ahí abajo, frente a ellos. -Sí, debemos redimirlos. Hay que incorporarlos a nuestra civilización, limpiándolos por fuera y enseñándolos a ser sucios por dentro... -Es usted un escéptico, ingeniero. Además, pone usted en tela de juicio nuestros esfuerzos, los de la Revolución. -¡Bah! Todo es inútil. Estos jijos son irredimibles. Están podridos en alcohol, en ignorancia. De nada ha servido repartirles tierras. -Usted es un superficial, un derrotista, compañero. Nosotros tenemos la culpa. Les hemos dado las tierras, ¿y qué? Estamos ya muy satisfechos. Y el crédito, los abonos, una nueva técnica agrícola, maquinaria, ¿van a inventar ellos todo eso? El presidente, mientras se atusa los enhiestos bigotes, acariciada asta por la que iza sus dedos con fruición, observa tras sus gafas, inmune al floreteo de los ingenieros. Cuando el olor animal, terrestre, picante, de quienes se acomodan en las bancas, cosquillea su olfato, saca un paliacate y se suena las narices ruidosamente. Él también fue hombre del campo. Pero hace ya mucho tiempo. Ahora, de aquello, la ciudad y su posición sólo le han dejado el pañuelo y la rugosidad de sus manos. Los de abajo se sientan con solemnidad, con el recogimiento del hombre campesino que penetra en un recinto cerrado: la asamblea o el templo. Hablan parcamente y las palabras que cambian dicen de cosechas, de lluvias, de animales, de créditos. Muchos llevan sus itacates al hombro, cartucheras para combatir el hambre. Algunos fuman, sosegadamente, sin prisa, con los cigarrillos como si les hubieran crecido en la propia mano.

329 PALABRAS



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EL ALBUM ANTÓN CHEJOV

El consejero administrativo Craterov, delgado y seco como la flecha del Almirantazgo, avanzó algunos pasos y, dirigiéndose a Serlavis, le dijo: -Excelencia: Constantemente alentados y conmovidos hasta el fondo del corazón por vuestra gran autoridad y paternal solicitud... -Durante más de diez años-le sopló Zacoucine. -Durante más de diez años... ¡Hum!... en este día memorable, nosotros, vuestros subordinados, ofrecemos a su excelencia, como prueba de respeto y de profunda gratitud, este álbum con nuestros retratos, haciendo votos porque vuestra noble vida se prolongue muchos años y que por largo tiempo aún, hasta la hora de la muerte, nos honréis con... -Vuestras paternales enseñanzas en el camino de la verdad y del progreso-añadió Zacoucine, enjugándose las gotas de sudor que de pronto le habían invadido la frente-. Se veía que ardía en deseos de tomar la palabra para colocar el discurso que seguramente traía preparado. -Y que-concluyó-vuestro estandarte siga flotando mucho tiempo aún en la carrera del genio, del trabajo y de la conciencia social. Por la mejilla izquierda de Serlavis, llena de arrugas, se deslizó una lágrima. -Señores-dijo con voz temblorosa-, no esperaba yo esto, no podía imaginar que celebraseis mi modesto jubileo. Estoy emocionado, profundamente emocionado y conservaré el recuerdo de estos instantes hasta la muerte. Creedme, amigos míos, os aseguro que nadie os desea como yo tantas felicidades... Si alguna vez ha habido pequeñas dificultades... ha sido siempre en bien de todos vosotros... Serlavis, actual consejero de Estado, dio un abrazo a Craterov, consejero de estado administrativo, que no esperaba semejante honor y que palideció de satisfacción. Luego, con el rostro bañado en lágrimas como si le hubiesen arrebatado el precioso álbum en vez de ofrecérselo, hizo un gesto con la mano para indicar que la emoción le impedía hablar. Después, calmándose un poco, dijo unas cuantas palabras más muy afectuosas, estrechó a todos la mano y, en medio del entusiasmo y de sonoras aclamaciones, se instaló en su coche abrumado de bendiciones. Durante el trayecto sintió su pecho invadido de un júbilo desconocido hasta entonces y de nuevo se le saltaron las lágrimas. En su casa le esperaban nuevas satisfacciones. Su familia, sus amigos y conocidos, le hicieron tal ovación que hubo un momento en que creyó sinceramente haber efectuado grandes servicios a la patria y que hubiese sido una gran desgracia para ella que él no hubiese existido. Durante la comida del jubileo no cesaron los brindis, los discursos, los abrazos y las lágrimas. En fin, que Serlavis no esperaba que sus méritos fuesen premiados tan calurosamente. -Señores-dijo en el momento de los postres-, hace dos horas he sido indemnizado por todos los sufrimientos que esperan al hombre que se ha puesto al servicio, no ya de la forma ni de la letra, si se me permite expresarlo así, sino del deber. Durante toda mi carrera he sido siempre fiel al principio de que no es el público el que se ha hecho para nosotros, sino nosotros los que estamos hechos para él. Y hoy he recibido la más alta recompensa. Mis subordinados me han ofrecido este álbum que me ha llenado de emoción. Todos los rostros se inclinaron sobre el álbum para verlo. -¡Qué bonito es!-dijo Olga, la hija de Serlavis-. Estoy segura de que no cuesta menos de cincuenta rublos. ¡Oh, es magnífico! ¿Me lo das, papá? Tendré mucho cuidado con él... ¡Es tan bonito! Después de la comida, Olga se llevó el álbum a su habitación y lo guardó en su secreter. Al día siguiente arrancó los retratos de los funcionarios tirándolos al suelo y colocó en su lugar los de sus compañeras de pensión. Los uniformes cedieron el sitio a las esclavinas blancas. Colás, el hijo pequeño de su excelencia, recortó los retratos de los funcionarios y pintó sus trajes de rojo. Colocó bigotes en los labios afeitados y barbas oscuras en los mentones imberbes. Cuando no tuvo más que colorear recortó siluetas y les atravesó los ojos con una aguja, para jugar con ellas a los soldados. Al consejero Craterov lo pegó de pie en una caja de cerillas y lo llevó colocado así al despacho de su padre -Papá, mira un monumento. Serlavis se echó a reír, movió la cabeza y, enternecido, dio un sonoro beso en la mejilla a Nicolás. -Anda, pilluelo, enséñaselo a mamá para que lo vea ella también.

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EL CAPITÁN ALATRISTE No era el hombre más honesto ni el más piadoso, pero era un hombre valiente. Se llamaba Diego Alatriste y Tenorio, y había luchado como soldado de los tercios viejos en las guerras de Flandes. Cuando lo conocí malvivía en Madrid, alquilándose por cuatro maravedís en trabajos de poco lustre, a menudo en calidad de espadachín por cuenta de otros que no tenían la destreza o los arrestos para solventar sus propias querellas. Ya saben: un marido cornudo por aquí, un pleito o una herencia dudosa por allá, deudas de juego pagadas a medias y algunos etcéteras más. Ahora es fácil criticar eso; pero en aquellos tiempos la capital de las Españas era un lugar donde la vida había que buscársela a salto de mata, en una esquina, entre el brillo de dos aceros. En todo esto Diego Alatriste se desempeñaba con holgura. Tenía mucha destreza a la hora de tirar de espada, y manejaba mejor, con el disimulo de la zurda, esa daga estrecha y larga llamada por algunos vizcaína, con que los reñidores profesionales se ayudaban a menudo. Una de cal y otra de vizcaína, solía decirse. El adversario estaba ocupado largando y parando estocadas con fina esgrima, y de pronto le venía por abajo, a las tripas, una cuchillada corta como un relámpago que no daba tiempo ni a pedir confesión. Sí. Ya he dicho a vuestras mercedes que eran años duros. El capitán Alatriste, por lo tanto, vivía de su espada. Hasta donde yo alcanzo, lo de capitán era más un apodo que un grado efectivo. El mote venía de antiguo: cuando, desempeñándose de soldado en las guerras del rey, tuvo que cruzar una noche con otros veintinueve compañeros y un capitán de verdad cierto río helado, imagínense, viva España y todo eso, con la espada entre los dientes y en camisa para confundirse con la nieve, a fin de sorprender a un destacamento holandés. Que era el enemigo de entonces porque pretendían proclamarse independientes, y si te he visto no me acuerdo. El caso es que al final lo fueron, pero entre tanto los fastidiamos bien. Volviendo al capitán, la idea era sostenerse allí, en la orilla de un río, o un dique, o lo que diablos fuera, hasta que al alba las tropas del rey nuestro señor lanzasen un ataque para reunirse con ellos. Total: que los herejes fueron debidamente acuchillados sin darles tiempo a decir esta boca es mía. Estaban durmiendo como marmotas, y en ésas salieron del agua los nuestros con ganas de calentarse y se quitaron el frío enviando herejes al infierno, o a donde vayan los malditos luteranos. Lo malo es que luego vino el alba, y se adentró la mañana, y el otro ataque español no se produjo. Cosas, contaron después, de celos entre maestres de campo y generales. Arturo Pérez-Reverte

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MACARIO (fragmento)

JUAN RULFO Estoy sentado junto a la alcantarilla aguardando a que salgan las ranas. Anoche, mientras estábamos cenando, comenzaron a armar el gran alboroto y no pararon de cantar hasta que amaneció. Mi madrina también dice eso: que la gritería de las ranas le espantó el sueño. Y ahora ella bien quisiera dormir. Por eso me mandó a que me sentara aquí, junto a la alcantarilla, y me pusiera con una tabla en la mano para que cuanta rana saliera a pegar de brincos afuera, la apalcuachara a tablazos... Las ranas son verdes de todo a todo, menos en la panza. Los sapos son negros. También los ojos de mi madrina son negros. Las ranas son buenas para hacer de comer con ellas. Los sapos no se comen; pero yo me los he comido también, aunque no se coman, y saben igual que las ranas. Felipa es la que dice que es malo comer sapos. Felipa tiene los ojos verdes como los ojos de los gatos. Ella es la que me da de comer en la cocina cada vez que me toca comer. Ella no quiere que yo perjudique a las ranas. Pero a todo esto, es mi madrina la que me manda a hacer las cosas... Yo quiero más a Felipa que a mi madrina. Pero es mi madrina la que saca el dinero de su bolsa para que Felipa compre todo lo de la comedera. Felipa sólo se está en la cocina arreglando la comida de los tres. No hace otra cosa desde que yo la conozco. Lo de lavar los trastes a mí me toca. Lo de acarrear leña para prender el fogón también a mí me toca. Luego es mi madrina la que nos reparte la comida. Después de comer ella, hace con sus manos dos montoncitos, uno para Felipa y otro para mí. Pero a veces Felipa no tiene ganas de comer y entonces son para mí los dos montoncitos. Por eso quiero yo a Felipa, porque yo siempre tengo hambre y no me lleno nunca, ni aun comiéndome la comida de ella. Aunque digan que uno se llena comiendo, yo sé bien que no me lleno por más que coma todo lo que me den. Y Felipa también sabe eso... Dicen en la calle que yo estoy loco porque jamás se me acaba el hambre. Mi madrina ha oído que eso dicen. Yo no lo he oído. Mi madrina no me deja salir solo a la calle. Cuando me saca a dar la vuelta es para llevarme a la iglesia a oír misa. Allí me acomoda cerquita de ella y me amarra las manos con las barbas de su rebozo. Yo no sé por qué me amarra mis manos; pero dice que porque dizque luego hago locuras. Un día inventaron que yo andaba ahorcando a alguien; que le apreté el pescuezo a una señora nada más por nomás. Yo no me acuerdo. Pero, a todo esto, es mi madrina la que dice lo que yo hago y ella nunca anda con mentiras. Cuando me llama a comer, es para darme mi parte de comida, y no como otra gente que me invitaba a comer con ellos y luego que me les acercaba me apedreaban hasta hacerme correr sin comida ni nada. No, mi madrina me trata bien. Por eso estoy contento en su casa.

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EL RASTRO DE TU SANGRE EN LA NIEVE (fragmento)

GABRIEL GARCÍA MÁRQUEZ

Al anochecer, cuando llegaron a la frontera, Nena Daconte se dio cuenta de que el dedo con el anillo de bodas le seguía sangrando. El guardia civil con una manta de lana cruda sobre el tricornio de charol examinó los pasaportes a la luz de una linterna de carburo, haciendo un grande esfuerzo para que no lo derribara la presión del viento que soplaba de los Pirineos. Aunque eran dos pasaportes diplomáticos en regla, el guardia levantó la linterna para compro bar que los retratos se parecían a las caras. Nena Daconte era casi una niña, con unos ojos de pájaro feliz y una piel de melaza que todavía irradiaba la resolana del Caribe en el lúgubre anochecer de enero, y estaba arropada hasta el cuello con un abrigo de nucas de visón que no podía comprarse con el sueldo de un año de toda la guarnición fronteriza. Billy Sánchez de Avila, su marido, que conducía el coche, era un año menor que ella y casi tan bello y llevaba una chaqueta de cuadros escoceses y una gorra de pelotero. Al contrario de su esposa, era alto y atlético y tenía las mandíbulas de hierro de los matones tímidos. Pero lo que revelaba mejor la condición de ambos era el automóvil platinado, cuyo interior exhalaba un aliento de bestia viva, como no se había visto otro por aquella frontera de pobres. Los asientos posteriores iban atiborrados de maletas demasiado nuevas y muchas cajas de regalos todavía sin abrir. Ahí estaba, además el saxofón tenor que había sido la pasión dominante en la vida de Nena Daconte antes de que sucumbiera al amor contrariado de su tierno pandillero de balneario. Cuando el guardia le devolvió los pasaportes sellados, Billy Sánchez le preguntó dónde podía encontrar una farmacia para hacerle una cura en el dedo a su mujer, y el guardia le gritó contra e1 viento que preguntaran en Indaya, del lado francés. Pero los guardias s de Hendaya estaban sentados a la mesa en mangas de camisa, jugando barajas mientras comían pan mojado en tazones de vino dentro de una garita de cristal cálida y bien alumbrada, y les bastó con ver el tamaño y la clase del coche para indicarles por señas que se internaran en Francia. Billy Sánchez hizo sonar varias veces la vocina, pero los guardias no entendieron que los llamaban, sino que uno de ellos abrió el cristal y les gritó con más rabia que el viento: Merde! Allez-, es pece de con! Entonces Nena Daconte salió del automóvil envuelta con el abrigo hasta las orejas, y le preguntó al guardia en un francés perfecto dónde había una farmacia. El guardia contestó por costumbre con la boca llena de pan que eso no era asunto suyo. Y menos con semejante borrasca, y cerró la ventanilla. Pero luego se fijó con atención en la muchacha que se chupaba el dedo herido envuelta en el destello de los visones naturales, y debió confundirla con una aparición mágica en aquella noche de espantos, porque al instante cambió de humor. Explicó que la ciudad más cercana era Biarritz, pero que en pleno invierno y con aquel viento de lobos, tal vez no hubiera una farmacia abierta hasta Bayona, un poco más adelante. -¿Es algo grave? -preguntó. -Nada -sonrió Nena Daconte, mostrándole el dedo con la sortija de diamantes en cuya yema era apenas perceptible la herida de la rosa-. Es sólo un pinchazo.

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EL HUNDIMIENTO DE LA CASA USHER (fragmento)

Edgar Allan Poe Durante un día entero de otoño, oscuro, sombrío, silencioso, en que las nubes se cernían pesadas y opresoras en los cielos, había yo cruzado solo, a caballo, a través de una extensión singularmente monótona de campiña, y al final me encontré, cuando las sombras de la noche se extendían, a la vista de la melancólica Casa de Usher. No sé cómo sucedió; pero, a la primera ojeada sobre el edificio, una sensación de insufrible tristeza penetró en mi espíritu. Digo insufrible, pues aquel sentimiento no estaba mitigado por esa emoción semiagradable, por ser poético, con que acoge en general el ánimo hasta la severidad de las naturales imágenes de la desolación o del terror. Contemplaba yo la escena ante mí la simple casa, el simple paisaje característico de la posesión, los helados muros, las ventanas parecidas a ojos vacíos, algunos juncos alineados y unos cuantos troncos blancos y enfermizos - con una completa depresión de alma que no puede compararse apropiadamente, entre las sensaciones terrestres, más que con ese ensueño posterior del opiómano, con esa amarga vuelta a la vida diaria, a la atroz caída del velo. Era una sensación glacial, un abatimiento, una náusea en el corazón, una irremediable tristeza de pensamiento que ningún estímulo de la imaginación podía impulsar a lo sublime. ¿Qué era aquello - me detuve a pensarlo -, qué era aquello que me desalentaba así al contemplar la Casa de Usher? Era un misterio de todo punto insoluble; no podía luchar contra las sombrías visiones que se amontonaban sobre mí mientras reflexionaba en ello. Me vi forzado a recurrir a la conclusión insatisfactoria de que existen, sin lugar a dudas, combinaciones de objetos naturales muy simples que tienen el poder de afectamos de este modo, aunque el análisis de ese poder se base sobre consideraciones en que perderíamos pie. Era posible, pensé, que una simple diferencia en la disposición de los detalles de la decoración, de los pormenores del cuadro, sea suficiente para modificar, para aniquilar quizá, esa capacidad de impresión dolorosa. Obrando conforme a esa idea, guié mi caballo hacia la orilla escarpada de un negro y lúgubre estanque que se extendía con tranquilo brillo ante la casa, y miré con fijeza hacia abajo - pero con un estremecimiento más aterrador aún que antes - las imágenes recompuestas e invertidas de los juncos grisáceos, de los lívidos troncos y de las ventanas parecidas a ojos vacíos. Sin embargo, en aquella mansión lóbrega me proponía residir unas semanas. Su propietario, Roderick Usher, fue uno de mis joviales compañeros de infancia; pero habían transcurrido muchos años desde nuestro último encuentro. Una carta, empero, habíame llegado recientemente a una alejada parte de la comarca -una carta de él-, cuyo carácter de vehemente apremio no admitía otra respuesta que mi presencia. La letra mostraba una evidente agitación nerviosa. El autor de la carta me hablaba de una dolencia física aguda -de un trastorno mental que le oprimía- y de un ardiente deseo de verme, como a su mejor y en realidad su único amigo, pensando hallar en el gozo de mi compañía algún alivio a su mal. Era la manera como decía todas estas cosas y muchas más, era la forma suplicante de abrirme su pecho, lo que no me permitía vacilación, y, por tanto, obedecí desde luego, lo que consideraba yo, pese a todo, como un requerimiento muy extraño. Aunque los niños hubiéramos sido camaradas íntimos, bien mirado, sabía yo muy poco de mi amigo. Su reserva fue siempre excesiva y habitual. Sabía, no obstante, que pertenecía a una familia muy antañona que se había distinguido desde tiempo inmemorial por una peculiar sensibilidad de temperamento, desplegada a través de los siglos en muchas obras de un arte elevado, y que se manifestaba desde antiguo en actos repetidos de una generosa aunque recatada caridad, así como por una apasionada devoción a las dificultades, quizá más bien que a las bellezas ortodoxas y sin esfuerzo reconocibles de la ciencia musical. Tuve también noticia del hecho muy notable de que del tronco de la estirpe de los Usher, por gloriosamente antiguo que fuese, no había brotado nunca, en ninguna época, rama duradera; en otras palabras: que la familia entera se había perpetuado siempre en línea directa, salvo muy insignificantes y pasajeras excepciones. Semejante deficiencia, pensé - mientras revisaba en mi imaginación la perfecta concordancia de aquellas aserciones con el carácter proverbial de la raza, y mientras reflexionaba en la posible influencia que una de ellas podía haber ejercido, en una larga serie de siglos, sobre la otra -, era acaso aquella ausencia de rama colateral y de consiguiente transmisión directa, de padre a hijo, del patrimonio del nombre, lo que había, a la larga, identificado tan bien a los dos, uniendo el título originario de la posesión a la arcaica y equívoca denominación de «Casa de Usher», denominación empleada por los lugareños, y que parecía juntar en su espíritu la familia y la casa solariega.

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EL HUEVO DE CRISTAL (fragmento)

HERBERT GEORGE WELLS Todavía el año pasado existía no lejos de "Los Siete Cuadrantes" una tiendecita de aspecto mísero, sobre cuya puerta, en borrosas letras amarillas, campeaba este letrero: "C. Cave. Taxidermista y Anticuario". Entre la diversidad confusa de objetos veíanse en el escaparate varios colmillos de elefante, un juego de ajedrez incompleto, diversos cacharros de vidrio, algunas armas, un muestrario de ojos de animales, dos cabezas de tigre disecadas, una calavera, varios monos, uno de los cuales servía de soporte a un quinqué, un huevo de avestruz punteado de negro por las moscas, aparejos de pesca, una pecera vacía empolvadísima, y un esferoide de cristal maravillosamente traslúcido. Al empezar la acción de esta historia dos personas estaban estacionadas ante el escaparate, contemplando el esferoide de cristal. Una de esas personas era alta, enjuta, de aspecto eclesiástico; -la otra mucho más joven-, baja y magra, de cobriza tez y cabellera y barba negras. Hablaban con vivacidad, y el joven parecía empezado en decidir a su compañero a comprar el objeto antedicho. Mientras se desarrollaba en la calle esta escena, salió de la trastienda el propietario mascujando aún la última tonada del desayuno, y al advertir la presencia de los presuntos compradores y darse cuenta de que el huevo de cristal había suscitado su interés, no pudo reprimir un gesto de inquietud, y luego de lanzar miradas furtivas hacia los importunos, acercóse a la puerta, y en vez de abrirla para que entraran, la cerró. Era el señor Cave un viejecillo de amojamado rostro y palidez casi verdosa; sus rasgos salientes constituíanlos los claros ojos azules, siempre intranquilos, y la melena de un pardo gris, que caía sobre el grasiento cuello de una levita pasada de moda. Añadid a estos detalles un bonete de forma caprichosa y unas pantuflas de orillo, dignas por su antigüedad de figurar en el escaparate, y con un poquito de imaginación ya podréis figuramos al viejo anticuario. Al ver que no acababan de irse los tenaces observadores, acentuóse su nerviosidad. El que parecía clérigo sacó de su bolsillo del pantalón un puñado de dinero y, mostrándolo a su amigo, sonrió complacido. Este gesto aumentó la zozobra del anticuario que los espiaba, y su intranquilidad convirtióse en pavor al verlos apartarse del escaparate y penetrar resueltamente en la tienda. El clérigo, llamémosle así, preguntó sin detenerse en ceremoniosos preámbulos el precio del esferoide de cristal; y el señor Cave, luego de dirigir una inquieta mirada hacia la trastienda, contestó con voz trémula y queda: -Vale cinco libras, señor. El clérigo objetó que era un precio inverosímil se dispuso a entrar en regateos, como si no comprendiese que pedir tal suma equivalga a negarse a venderlo. El anticuario entonces avanzó hacia la puerta como si quisiera despedirlos, y dijo con voz más firme ya: -Cinco libras, ni un penique menos. En este instante apareció tras la mampara de la trastienda una cara femenina, que al través de las gafas púsose a observar con curiosidad ceñuda el incidente; y el señor Cave, fingiendo no verla y deseoso de concluir, volvió a decirles: -Nada, señores, ya lo saben. no puedo rebajar ni un penique. El comprador más joven, que hasta entonces había permanecido silencioso, clavó su mirada en el señor Cave, y dirigiéndose a su acompañante le dijo en tono decisivo: -Está bien. Déle usted las cinco libras. El clérigo, en vez de obedecer, se volvió hacia él, para comprobar si la orden era dada en broma, y cuando se convenció de su seriedad, y tornó a mirar al anticuario, vio que se había puesto pálido como un cadáver. -Es un precio exorbitante -dijo, mientras rebuscaba en sus bolsillos.

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LAS MUERTES CONCÉNTRICAS (Fragmento) JACK LONDON

Señor Eben Hale Muy señor nuestro: Queremos obtener al contado, en la forma que usted decida, veinte millones de dólares. Le requerimos que nos pague esta suma, a nosotros o a nuestros agentes; usted notará que no especificamos tiempo, pues no deseamos apresurarlo en este detalle. Hasta puede pagarnos, si le es más fácil, en diez, quince o veinte cuotas; pero no aceptamos cuotas inferiores a un millón. Créanos, querido señor Hale, cuando decimos que emprendemos esta acción desprovistos de toda animosidad. Somos miembros del proletariado intelectual, cuyo número en creciente aumento marca con letras rojas los últimos días del siglo XIX; hemos decidido entrar en este negocio después de un completo estudio de la economía social. Nuestro plan no nos permite lanzarnos a vastas y lucrativas operaciones sin disponer de capital inicial. Hasta ahora hemos tenido bastante éxito, y esperamos que nuestras gestiones con usted resulten gratas y satisfactorias. Le rogamos que nos siga con atención mientras le explicamos nuestros puntos de vista. En la base del presente sistema social se halla el derecho de propiedad. Este derecho del individuo a detentar propiedad se funda única y enteramente, en última instancia, en la fuerza. Los caballeros de Guillermo el Conquistador dividieron y se repartieron Inglaterra con la espada desnuda. Esto es verdad para todas las potencias feudales. Con la invención del vapor y la revolución industrial vino al mundo la clase capitalista, en el sentido moderno de la palabra. Estos capitalistas o capitanes de la industria virtualmente despojaron a los descendientes de los capitanes de la guerra. La mente, y no el músculo, prima hoy en la lucha por la vida: pero esta situación también está basada en la fuerza. El cambio ha sido cualitativo. Los magnates feudales saqueaban el mundo a sangre y fuego; los magnates financieros explotan al mundo, aplicando las fuerzas económicas. La mente y no el músculo es lo que perdura, y los intelectual y comercialmente poderosos son los más aptos para sobrevivir. Nosotros, los Sicarios de Midas, no nos resignamos a ser esclavos a sueldo. Los grandes trusts y combinaciones de negocios (entre los que sobresale el que usted dirige) nos impiden levantarnos al lugar que nuestra inteligencia reclama. ¿Por qué? Porque no tenemos capital. Pertenecemos al bajo pueblo, pero con esta diferencia: nuestras mentes están entre las mejores, Y no nos traban escrúpulos éticos o sociales. Como esclavos a sueldo, trabajando de sol a sol, con vida sobria y avara no podríamos ahorrar en sesenta años —ni en veinte veces sesenta años— una suma de dinero capaz de competir con las grandes masas de capital existentes ahora. Sin embargo, entramos en la lucha. Arrojamos el guante al capital del mundo. Si éste acepta el desafío o no, igual tendrá que luchar. Señor Hale, nuestros intereses nos dictan exigir de usted veinte millones de dólares. Ya que nosotros somos considerados y le otorgamos un plazo razonable para que lleve a cabo su parte de la transacción, le rogamos que no se demore demasiado. Cuando usted se haya conformado con nuestras condiciones, inserte un anuncio conveniente en el Morning Blazer. Entonces le comunicaremos nuestro plan para transferir el capital. Es mejor que usted lo haga antes del lº de octubre. Si no es así, para demostrarle que hablamos en serio, mataremos a un hombre en esa fecha, en la calle Treinta y Nueve Este. Se tratará de un obrero, a quien ni usted ni nosotros conoceremos. Usted representa una fuerza en la sociedad moderna y nosotros otra —una nueva fuerza—. Sin odio entramos en combate. Usted es la muela superior en el molino, nosotros la inferior. La vida de ese hombre será molida por las dos, pero podrá salvarse si usted acepta nuestras condiciones a tiempo. Hubo una vez un rey maldito por el oro: su nombre está en nuestro sello oficial. Algún día, para protegernos de competidores, lo haremos registrar. Quedamos Ss. Ss. Ss. Los Sicarios de Midas.

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Antología de lecturas Matemáticas . UNA CAPA PARA …sgpwe.izt.uam.mx/files/users/est118/r.salas/Antologia_1ro_12-13.pdf · Alexander vivía feliz con su familia, tenía una hermana