Aplicaciones de La Logica Difusa

5/7/2018 Aplicaciones de La Logica Difusa - slidepdf.com

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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDASMAESTRÍA EN INGENIERÍA INDUSTRIAL

SISTEMAS EXPERTOS

Programación Lineal con Parámetros DifusosJairo Vargas Caleño

[email protected]

Muchas personas han calificado el desarrollo de la Programación Lineal [1] como uno de los avances

científicos más significativos. La aplicación más común los problemas generales de asignación de recursos

limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, en forma óptima). Los

problemas de asignación pueden surgir cuando deba elegirse le nivel de ciertas actividades que compiten

por recursos escasos necesarios para realizarlas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta

descripción es sin duda muy grande, y va desde la asignación de instalaciones productivas a los productos,

hasta las asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país; desde la selección de una

cartera de inversión, hasta la selección de los patrones de envió, desde la planeación agrícola, hasta el

diseño de una terapia en medicina.

La optimización en su forma más general, involucra encontrar la solución óptima a partir de una familia de

soluciones razonables de acuerdo a un criterio. (3) El problema clásico de programación lineal es encontrar

los valores máximos o mínimos de una función lineal bajo restricciones representadas por ecuaciones o

desigualdades. El más típico problema de programación lineal es:

Minimizar (o maximizar)

c1x1+c2x2 +....+cnxn

Sujeta a

a11x1+a12x2+....+a1nxn ≤ b1

a21x1+a22x2+....+a2nxn ≤ b2 am1x1+am2x2+....+amnxn ≤ bm

x1, x2,...,xn ≥ 0

La función a minimizar (o maximizar) es llamada función objetivo, que es denotado por z. Los números Ci

son llamados coeficientes y el vector c=(c1, c2,...,cn) es llamado vector de costo . La matriz A=[a ij], i=1,..,n y

j=1,..,m es llamada matriz de restricción , el vector b=(b1,...,bm) se forma con los términos independientes

de las restricciones. Lo cual puede bien simplificarse como:

Minimizar

Z = cxSujeta a:

Ax ≤ b

x ≥0

donde x=(x1, x2, ...xn) es el vector de las variables.

En muchas situaciones prácticas no es razonable requerir que las restricciones o la función objetivo, sean

tan estrictas, en tal situación es deseable la programación lineal difusa [2]. El tipo más general de

programación lineal difusa es el siguiente:



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Maximizar

Sujeta a

Donde Aij, Bi, C j son números difusos y x j son variables cuyos estados son números difusos, la operación de

suma y multiplicación son operaciones de conjuntos difusos y el orden que denota ≤ es de números difusos.

El caso que presentamos es cuando Bi son números difusos, que típicamente tienen la forma

Para cada vector x=(x1,x2,...,xn) , primero calculamos el grado Di(x), para los cuales x satisface las condiciones

dadas por la formula

Estos grados son conjuntos difusos sobre Rn

Y su intersección Dies un conjunto factible difuso.

Ahora determinamos el conjunto difuso de valores óptimos, esto es calculando la cota superior e inferior de

los valores óptimos. La cota inferior zl es obtenida al resolver el problema de programación lineal:

Sujeta a

y la cota superior zu de los valores óptimos, es obtenida de forma similar resolviendo:

Maximizar

Sujeta a

Así el conjunto de valores óptimos difusos G el cual es un subconjunto difuso de Rn es definido por:



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El problema se reduce a encontrar la solución de optimización clásica de:

Sujeta a

EJEMPLO No. 1.Una empresa fabrica dos productos que se venden a $ 0.4 y $0.3 respectivamente. Las tasas de consumo de

material y de horas hombre se dan a continuación

Horas Hombre Material [kg]

P1 2 1

P2 1 1

Disp. Max 600 500

Disp. min 500 400

El modelo matemático de optimización en programación Lineal que representa la situación anterior es el

siguiente:

Este corresponde al modelo clásico, sin embargo, la diferencia está en el vector de Restricciones el cual

esta formulado como un parámetro difuso.

De esta forma según plantea [2] las restricciones se pueden definir como dos funciones Tipo Z.

La función que representa la anterior grafica se puede escribir como:



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De la expresión

Encontramos los valores de los diferentes alfa cortes para los cuales se va a desarrollar el problema.

Donde x está en función de alfa x( ).

Ahora reemplazando los valores dados en el problema:

Los valores para cada alfa corte con son:

0

0,5

1

0 100 200 300 400 500 600 700 800

0

0,5

1

0 100 200 300 400 500 600 700 800



Página 5

Min 500 400

Max 600 500

Alfa B1 B2

0 600 500

0.1 590 490

0.2 580 480

0.3 570 470

0.4 560 460

0.5 550 450

0.6 540 440

0.7 530 430

0.8 520 420

0.9 510 410

1 500 400

Ahora, el paso siguiente es resolver el problema de PL clásico tomando cada uno de los valores calculados

con los alfa cortes.

Hasta

Los resultados que se obtienen son los siguientes:



Página 6

Alfa B1 B2 Z X1 X2

0 600 500 160 100 400

0.1 590 490 157 100 390

0.2 580 480 154 100 380

0.3 570 470 151 100 370

0.4 560 460 148 100 360

0.5 550 450 145 100 350

0.6 540 440 142 100 340

0.7 530 430 139 100 330

0.8 520 420 136 100 320

0.9 510 410 133 100 310

1 500 400 130 100 300

Al graficar los valores de Z obtenidos se tiene la siguiente grafica:

Lo que se pretende encontrar es cual alfa corte representa la mayor Z optimizada. Visualmente se esperaríaque un alfa = 0.5 fuera el valor que permitiera el mejor resultado.

Utilizando [Zimmermann] se desarrolla un PL para encontrar el alfa que mejor optimiza el problema

original. De esta forma:

El modelo que se obtiene es:

= 600

= 500

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

130 135 140 145 150 155 160



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Resolviendo el modelo en WinQSB se obtiene:

Un valor para alfa igual a 0.5.

Alfa B1 B2 Z X1 X2

0.5 550 450 145 100 350

De esta manera se obtiene para un alfa de 0.5, disponibilidad de Horas -Hombre B1= 550, Disponibilidad de

material B2= 450 [kg], una Z máxima de 145 fabricando 100 unidades de producto 1 y 150 unidades de

producto 2.

EJEMPLO No. 2.Considere una situación de producción en la cual se desea encontrar las cantidades óptimas de

manufactura de 4 productos (Familias de producto) a través de 3 etapas de proceso. La información acerca

de las tasas de producción (Unidades/hora), la capacidad de proceso de cada etapa (En horas-máquina), lademanda mínima y máxima de cada producto, los precios de venta y costos de manufactura se muestra a

continuación:

Tasa de Producción

P1 P2 P3 P4 Cap

E1 20 18 25 23 30,177.56

E2 31 30 24 21 24,454.26

E3 30 28 27 29 22,333.17

P venta j 1,200 1,100 1,350 1,280

Costo j 900 650 1,150 1,080Dmin j 121,000 134,000 167,000 142,000

Dmax j 125,000 137,000 172,000 147,000

Existe desconfianza en la forma como se midieron las capacidades, las tasas de producción y en la forma

como se estimó la demanda, por lo que se le pregunta a usted como experto en el sistema para que exprese

su percepción acerca de dichos parámetros como conjuntos difusos. De esta forma se desea obtener una

respuesta óptima en los siguientes frentes:

1. Resuelva el problema considerando la demanda y capacidades de producción como parámetrosdifusos.

2. Considere ahora el tiempo estándar de producción como un número difuso y resuelva el problema



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emergente.

Recuerde que se debe realizar el análisis en función del objetivo que se desea optimizar.

Como se tienen son tasas de producción [Unidades/Hora] el inverso nos entrega el tiempo por unidad

fabricada.

P1 P2 P3 P4 Cap

E1 0.05000 0.05556 0.04000 0.04348 30177.56

E2 0.03226 0.03333 0.04167 0.04762 24454.26

E3 0.03333 0.03571 0.03704 0.03448 22333.17

P venta

j 1200 1100 1350 1280

Costo j 900 650 1150 1080

Utilidad 300 450 200 200

Dmin j 121000 134000 167000 142000Dmax j 125000 137000 172000 147000

El Modelo de PL es entonces:

Como se tiene

P1 P2 P3 P4

Dmin j 121000 134000 167000 142000

Dmax j 125000 137000 172000 147000

La solución del ejercicio tomando los dos valores que restringen la demanda de cada producto es la

siguiente:

Para los valores de Dmin:



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Para los valores de Dmax:

Los resultados que se obtienen empleando WinQSB son:

Zmax x1 x2 x3 x4Dmin 158400000.00 121000.00 134000.00 167000.00 142000.00

Dmax 162950000.00 125000.00 137000.00 172000.00 147000.00



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Ahora si se emplea [2] el modelo se convierte en:

Debido a que

Y los valores obtenidos con los alfa cortes son los siguientes:

C1 30177.6 29875.8 29574.0 29272.2 28970.5 28668.7 28366.9 28065.1 27763.4 27461.6 27159.8

C2 24454.3 24209.7 23965.2 23720.6 23476.1 23231.5 22987.0 22742.5 22497.9 22253.4 22008.8

C3 22333.2 22109.8 21886.5 21663.2 21439.8 21216.5 20993.2 20769.8 20546.5 20323.2 20099.9P1 125000.0 124600.0 124200.0 123800.0 123400.0 123000.0 122600.0 122200.0 121800.0 121400.0 121000.0

P2 137000.0 136700.0 136400.0 136100.0 135800.0 135500.0 135200.0 134900.0 134600.0 134300.0 134000.0

P3 172000.0 171500.0 171000.0 170500.0 170000.0 169500.0 169000.0 168500.0 168000.0 167500.0 167000.0

P4 147000.0 146500.0 146000.0 145500.0 145000.0 144500.0 144000.0 143500.0 143000.0 142500.0 142000.0

C1 27159.8 27461.6 27763.4 28065.1 28366.9 28668.7 28970.5 29272.2 29574.0 29875.8 30177.6

C2 22008.8 22253.4 22497.9 22742.5 22987.0 23231.5 23476.1 23720.6 23965.2 24209.7 24454.3

C3 20099.9 20323.2 20546.5 20769.8 20993.2 21216.5 21439.8 21663.2 21886.5 22109.8 22333.2

P1 121000.0 121400.0 121800.0 122200.0 122600.0 123000.0 123400.0 123800.0 124200.0 124600.0 125000.0

P2 134000.0 134300.0 134600.0 134900.0 135200.0 135500.0 135800.0 136100.0 136400.0 136700.0 137000.0

P3 167000.0 167500.0 168000.0 168500.0 169000.0 169500.0 170000.0 170500.0 171000.0 171500.0 172000.0

P4 142000.0 142500.0 143000.0 143500.0 144000.0 144500.0 145000.0 145500.0 146000.0 146500.0 147000.0



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El modelo corresponde a:

x1 x2 x3 x4 x5

1.00

s.a.

Z 300.00 450.00 200.00 200.00

-

4550000.00 158400000.00

< E1 0.05000 0.05556 0.04000 0.04348 3017.76 30177.56< E2 0.03226 0.03333 0.04167 0.04762 2445.43 24454.26

< E3 0.03333 0.03571 0.03704 0.03448 2233.32 22333.17

< P1 1.00 4000.00 125000.00

< P2 1.00 3000.00 137000.00

< P3 1.00 5000.00 172000.00

< P4 1.00 5000.00 147000.00

> E1 0.05000 0.05556 0.04000 0.04348 3017.76 27159.80

> E2 0.03226 0.03333 0.04167 0.04762 2445.43 22008.83

> E3 0.03333 0.03571 0.03704 0.03448 2233.32 20099.85

> P1 1.00 4000.00 121000.00

> P2 1.00 3000.00 134000.00

> P3 1.00 5000.00 167000.00> P4 1.00 5000.00 142000.00

Ingresando los datos a WinQSB se encuentra que la solución del modelo es Infactible. Este resultado hace

necesario evaluar otra alternativa de solución.

METODO ITERATIVO [3]

Para aplicar este método primero definimos funciones de pertenencia triangulares.

Donde:



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De esta forma se obtiene:

a 0.03333 0.03704 0.02667 0.02899

0.02151 0.02222 0.02778 0.03175

0.02222 0.02381 0.02469 0.02299

b 0.05000 0.05556 0.04000 0.04348

0.03226 0.03333 0.04167 0.04762

0.03333 0.03571 0.03704 0.03448

c 0.07500 0.08333 0.06000 0.06522

0.04839 0.05000 0.06250 0.071430.05000 0.05357 0.05556 0.05172

Además, se asume una capacidad mínima que corresponde a los valores dados y una capacidad máxima

que se establece a criterio del experto que conoce el sistema:

Cap Min Cap Max Dif

E1 30177.56 31000 822.44

E2 24454.26 25000 545.74

E3 22333.17 23000 666.83

P1 125000 165000 40000

P2 142000 185000 43000

P3 175000 210000 35000

P4 146000 190000 44000

El modelo con parámetros difusos propuesto es el siguiente:



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El primer paso es solucionar el modelo lineal clásico con los valores mínimos y máximos.

Valores mínimos

Valores máximos

Se calcula la diferencia de función objetivo maximizada para cada valor:

Zmin Zmax Dif

162950 165900 -2950

Y luego solucionamos el modelo de [Zimmermann]

Se encuentra un valor de alfa = 0.5. Con este valor actualizamos las tasas de producción.

alpha X1 X2 X3 X4

0.68 0.052178 0.057976 0.041743 0.045372 E1

0.033663 0.034785 0.043482 0.049694 E20.034785 0.037270 0.038651 0.035985 E3



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Se actualiza el modelo clásico y el de [Zimmermann] para calcular un nuevo valor de alfa.

En este caso se obtuvo los mismos valores de la iteración anterior en las funciones objetivo.

Zmin Zmax Dif

162950 165900 -2950

Por lo tanto se obtiene un alfa corte de 0.5.

alpha X1 X2 X3 X4

0.5 0.052178 0.057976 0.041743 0.045372 E1

0.033663 0.034785 0.043482 0.049694 E2

0.034785 0.037270 0.038651 0.035985 E3

En ocasiones hay que realizar varias iteraciones hasta encontrar el punto o puntos donde converge el

modelo.

EJEMPLO No. 3. PLANEACION Y CONTROL DE PROYECTOS CON PERT-CPM

El Proqramme Evaluation and Review Technique (PERT – Técnica de revisión y evaluación de proyectos) [1]

fue desarrollado por científicos de la Oficina de Proyectos Especiales de la Marina de los Estados Unidos de

América. Con este método se comienza descomponiendo el proyecto en una serie de actividades,

entendiendo por actividad la ejecución de una tarea que necesita para su realización la utilización de uno o

varios tipos de recursos (mano de obra, maquinaria, materiales, tiempo, etc.), considerando como

característica fundamental su duración. La técnica demostró tanta utilidad que ha ganado amplia

aceptación tanto en el gobierno como en el sector privado.

Casi al mismo tiempo, la Compañía DuPont, junto con la División UNIVAC de la Remington Rand, desarrolló



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el Critical Path Method (CPM, Método del Camino Critico) para controlar la programación de cierres de

mantenimiento de plantas de procesamiento químico de DuPont. El CPM es idéntico al PERT en concepto y

metodología. La diferencia principal entre ellos es simplemente el método por medio del cual se realizan

estimaciones de tiempo para las actividades del proyecto. Con CPM, los tiempos de las actividades son

deterministas. Con PERT, los tiempos de las actividades son probabilísticos o estocásticos.

El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de información para losadministradores del proyecto. Primero, el PERT/CPM expone la "ruta crítica" de un proyecto. Estas son las

actividades que limitan la duración del proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice

pronto, las actividades de la ruta crítica deben realizarse pronto. Por otra parte, si una actividad de la ruta

crítica se retarda, el proyecto como un todo se retarda en la misma cantidad. Las actividades que no están

en la ruta crítica tienen una cierta cantidad de holgura; esto significa que pueden empezarse más tarde, y

permitir que el proyecto como un todo se mantenga en programa. El PERT/CPM identifica estas actividades

y la cantidad de tiempo disponible para retardos. A esto se le llama margen. Hay dos tipos de márgenes: el

margen libre (retraso que puede existir en el comienzo o en la ejecución de una actividad sin modificar la

fecha prevista de la etapa sucesora) y el margen total (retraso que puede existir en el comienzo o en la

ejecución de una actividad sin modificar la fecha prevista de finalización del proyecto). Ambos márgenes

para la ruta crítica valen cero.

Finalmente, el PERT/CPM proporciona una herramienta para controlar y monitorizar el progreso del

proyecto. Las actividades de la ruta crítica, permiten por consiguiente, recibir la mayor parte de la atención,

debido a que la terminación del proyecto, depende fuertemente de ellas. Las actividades no críticas se

manipularan y remplazaran en respuesta a la disponibilidad de recursos.

En los años 60, en la Universidad de California en Berkeley, Lotfi A. Zadeh introdujo el concepto de la lógica

Difusa [4] guiado por el principio de que las matemáticas pueden ser usadas para encadenar el lenguaje con

la inteligencia humana. Algunos conceptos pueden ser mejor definidos en términos de palabras, que por

matemáticas; la lógica borrosa y su expresión en conjuntos borrosos, proveen una disciplina que puede

construir mejores modelos de la realidad.

La lógica difusa es básicamente lógica multivaluada que amplifica los enunciados de la lógica clásica

intentando aplicar la forma de pensar del ser humano a la programación de computadores, sensores, chips,

etc. La habilidad de la lógica borrosa para procesar valores parciales de verdad ha sido de gran ayuda para la

ingeniería.

La aplicación del adjetivo "difuso" es debida a que los valores de verdad no-deterministas utilizados en la

lógica borrosa tienen mayoritariamente una connotación de incertidumbre. De hecho, lo difuso puede

entenderse como la posibilidad de asignar más valores de verdad a los enunciados que "falso" o

"verdadero" e incluso en determinadas áreas de conocimiento, estos enunciados van asociados a valores de

verdad que son grados de veracidad o falsedad.Resumiendo, puede llegar a redefinir los grados de veracidad de los enunciados de salida conforme se

refinan los de los de entrada, por lo que algunos sistemas de lógica difusa ejercen una labor de aprendizaje,

y son excelentes mecanismos de control de procesos.

En conclusión, la lógica difusa crea aproximaciones matemáticas en la resolución de ciertos tipos de

problemas, produciendo resultados exactos a partir de datos imprecisos, siendo por ello, especialmente

útiles en aplicaciones de tipo electrónico e informático.

A continuación se realiza una primera aproximación integración del PERT y la lógica difusa con el fin de dar

solución a una red de trabajo que representa un proyecto cuyas actividades no tienen una duración

determinada por diferentes factores.



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EJEMPLO DE APLICACIÓN

De [5] se toma la red de proyecto mostrada en la Figura No. 1. El objetivo consiste en maximizar el tiempo

de duración total de la red del proyecto respetando las restricciones o limitaciones que corresponden a

ecuaciones de conservación de flujo las cuales indican que el flujo no se crea ni se destruye en la red del

proyecto. De igual forma se requiere establecer la ruta crítica compuesta por el conjunto de actividades (i, j)

con holgura igual a cero. En este caso, el tiempo de duración de cada actividad no es valor concreto sinoque está representado por un conjunto difuso.

Figura No. 1. Res de Proyecto

Actividad Precedencia Ejecución

A - 5

B - 6

C A 3

D A 8E B, C 11

F B, C 2

G D 1

H D, F 12

Tabla No. 1. Tiendo de duración actividades

Como se define en [6] necesitamos considerar una red de proyectos S = [V, A, t]i que consiste en un

conjunto finito V de nodos (eventos) y un conjunto A

V V x V de arcos con tiempos de actividad suaves,que son determinados por una función t: A R+ y unido a los arcos, tij corresponde al período de tiempo de

actividad (i, j) A.

Inicialmente, se resuelve la red con los tiempos de duración de actividades de la Tabla No. 1, se calcula la

duración total del proyecto y encuentra la ruta crítica determinando los tiempos de aparición más próxima

a través de la técnica de un paso hacia adelante y los tiempos de aparición más lejana a través de la técnica

de un paso hacia atrás para cada actividad.

Los resultados se muestran en las Tablas 2 y 3.



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EVENTOEVENTOPRECEDENTE

TIEMPOMASPROXIMO

TIEMPODE LAACTIVIDAD

TIEMPO MASPROXIMOMAXIMO

1 - - - 0

2 A 1 0 5 5

3 B 1 0 6 6

C 2 5 3 84 D 2 5 8 13

5 F 3 6 2 8

FICT 4 13 0 13

6 E 3 6 11 17

G 4 13 1 14

H 5 13 12 25

Tabla No. 2. Tiempos más próximos (marrón)

EVENTOEVENTOSIGUIENTE

TIEMPOMASLEJANO

TIEMPODE LAACTIVIDAD

TIEMPOMASLEJANOMINIMO

6 - - - 25

5 H 6 25 12 13

4 G 6 25 1 24

FICT 5 13 0 13

3 F 5 13 2 11E 6 25 11 14

2 D 4 13 8 5

C 3 11 3 8

1 B 3 11 6 5

A 2 5 5 0

Tabla No. 3. Tiempos más lejanos (verde)

Ahora de [1] se tiene que:

Holgura Evento = [Tiempo más lejano] - [Tiempo más próximo] y

Holgura Actividad (i,j) = [Tiempo más lejano evento j] - [Tiempo más próximo evento i + Tiempo actividad]

Se encuentra:



Página 18

EVENTO HOLGURA ACTIVIDAD HOLGURA

1 0 A=(1, 2) 5 - (0+5) 0

2 0 B=(1, 3) 11 - (0+6) 5

3 5 C=(2, 3) 11 - (5+3) 3

4 0 D=(2, 4) 13 - (5+8) 0

5 5 F=(3, 5) 13 -(8+2) 36 0 E=(3, 6) 25 - (8+11) 6

FICT=(4, 5) 13 - (13+0) 0

G=(4, 6) 25 - (13+1) 11

H=(5, 6) 25 - (13+12) 0

Tabal No. 4. Ruta critica (azul)

Finalmente la duración total del proyecto es de 25 unidades de tiempo y la ruta crítica está conformada por

las actividades A-D-H.

Empleando WinQSB se verifican los resultados.

Figura No. 2. Ruta Critica de la Red de proyecto

Ahora si se asume que los tiempos de duración de las actividades de la red no son valores concretos sino

que están representados por conjuntos difusos como se muestra en la Tabla No. 5.



Página 19

ACTIVIDAD PRECEDENCIATIEMPO

EJECUCIONTIEMPO

EJECUCION No. 1

TIEMPOEJECUCION No.2

A - 5 G( 5 , 1.0) T(3, 5 , 11)

B - 6 G(6, 1.5) G(6, 1.1)

C A 3 G(3, 0.5) T(0, 3, 13)

D A 8 G(8, 2.0) T(3, 8, 14)

E BC 11 G(11, 2.2) G(2, 0.25)

F BC 2 G(2, 0.35) T(2, 11, 17)

G D 1 G(1, 0.45) T(0, 1, 3)

H DF 12 G(12, 2.25) G(12, 1.75)

Tabla No. 5. Duración difusa actividades

El modelo de la red con tiempos de duración difusos para las actividades es el siguiente:

A B C D F E FICT G H

X12+ X13+ X23+ X24+ X35+ X36+ X45+ X46+ X56

MAX

S.T.

1 1 = 1

1 -1 -1 = 0

1 1 -1 -1 = 0

1 -1 -1 = 01 1 -1 = 0

1 1 1 = 1

La función de pertenencia Gaussiana esta expresada como:

Solucionando para x se tiene



Página 20

Finalmente se tiene la expresión para encontrar los tiempos de cada

actividad empleando alfa cortes.

VALORES MINIMOS

X12 X13 X23 X24 X35 X36 X45 X46 X56MAX 0

1 5 6 3 8 2 11 0 1 12

0,9 4,351 5,026 2,675 6,702 1,773 9,572 0 0,708 10,54

0,8 4,055 4,583 2,528 6,11 1,669 8,922 0 0,575 9,874

0,7 3,806 4,208 2,403 5,611 1,582 8,372 0 0,462 9,312

0,6 3,571 3,856 2,285 5,141 1,5 7,855 0 0,357 8,784

0,5 3,335 3,502 2,167 4,67 1,417 7,337 0 0,251 8,254

0,4 3,086 3,128 2,043 4,171 1,33 6,788 0 0,138 7,692

0,3 2,805 2,708 1,903 3,611 1,232 6,172 0 0,012 7,062

0,2 2,463 2,194 1,731 2,925 1,112 5,418 0 -0,14 6,291

0,1 1,965 1,448 1,483 1,93 0,938 4,323 0 -0,37 5,172

0,01 0,708 -0,44 0,854 -0,58 0,498 1,558 0 -0,93 2,343

0,001 -0,26 -1,88 0,372 -2,51 0,16 -0,56 0 -1,37 0,173

Z X12 X13 X23 X24 X35 X36 X45 X46 X56

1 25,00 1 1 1 1 25,00

0,9 21,59 1 1 1 1 19,43

0,8 20,04 1 1 1 1 16,030,7 18,73 1 1 1 1 13,11

0,6 17,50 1 1 1 1 10,50

0,5 16,26 1 1 1 1 8,13

0,4 14,95 1 1 1 1 5,98

0,3 13,48 1 1 1 1 4,04

0,2 11,68 1 1 1 1 2,34

0,1 9,56 1 1 1 1 0,96

0,01 4,40 1 1 1 1 0,04

0,001 0,45 1 1 1 1 0,00

5,511 105,5619,15

Para los tiempos de duración mínimos calculados se encontró que la duración del total del proyecto

empleado Centroide es de 19.15 unidades de tiempo y la ruta critica se mantiene, hasta un valor de alfa

corte de 0.1 donde cambia.



Página 21

VALORES MAXIMOS

X12 X13 X23 X24 X35 X36 X45 X46 X56

MAX 0

1 5 6 3 8 2 11 0 1 12

0,9 5,649 6,974 2,675 9,298 2,227 12,43 0 1,292 13,46

0,8 5,945 7,417 2,528 9,89 2,331 13,08 0 1,425 14,13

0,7 6,194 7,792 2,403 10,39 2,418 13,63 0 1,538 14,69

0,6 6,429 8,144 2,285 10,86 2,5 14,14 0 1,643 15,22

0,5 6,665 8,498 2,167 11,33 2,583 14,66 0 1,749 15,75

0,4 6,914 8,872 2,043 11,83 2,67 15,21 0 1,862 16,31

0,3 7,195 9,292 1,903 12,39 2,768 15,83 0 1,988 16,94

0,2 7,537 9,806 1,731 13,07 2,888 16,58 0 2,142 17,71

0,1 8,035 10,55 1,483 14,07 3,062 17,68 0 2,366 18,83

0,01 9,292 12,44 0,854 16,58 3,502 20,44 0 2,931 21,660,001 10,26 13,88 0,372 18,51 3,84 22,56 0 3,365 23,83

Z X12 X13 X23 X24 X35 X36 X45 X46 X56

1 25,00 1 1 1 1 25,00

0,9 28,41 1 1 1 1 25,57

0,8 29,96 1 1 1 1 23,97

0,7 31,27 1 1 1 1 21,89

0,6 32,50 1 1 1 1 19,500,5 33,74 1 1 1 1 16,87

0,4 35,05 1 1 1 1 14,02

0,3 36,52 1 1 1 1 10,96

0,2 38,32 1 1 1 1 7,66

0,1 40,93 1 1 1 1 4,09

0,01 47,53 1 1 1 1 0,48

0,001 52,60 1 1 1 1 0,05

5,511 170,06

30,86

Para los tiempos de duración máximos calculados se encontró que la duración del total del proyecto

empleando Centroide es de 30.86 unidades de tiempo y la ruta critica se mantiene, es decir, no cambia.



Página 22

Ahora desarrollamos el mismo problema con los tiempos de ejecución No. 2.

ACTIVIDAD PRECEDENCIATIEMPO

EJECUCIONTIEMPO

EJECUCION No. 1

TIEMPOEJECUCION No.2

A - 5 G( 5 , 1.0) T(3, 5 , 11)

B - 6 G(6, 1.5) G(6, 1.1)

C A 3 G(3, 0.5) T(0, 3, 13)

D A 8 G(8, 2.0) T(3, 8, 14)

E BC 11 G(11, 2.2) G(2, 0.25)

F BC 2 G(2, 0.35) T(2, 11, 17)

G D 1 G(1, 0.45) T(0, 1, 3)

H DF 12 G(12, 2.25) G(12, 1.75)

VALORES MINIMOS

X12 X13 X23 X24 X35 X36 X45 X46 X56

MAX 0

1 5.00 6.00 3.00 8.00 2.00 11.00 0.00 1.00 12.00

0.9 4.80 5.29 2.70 7.50 1.84 10.10 0.00 0.90 10.86

0.8 4.60 4.96 2.40 7.00 1.76 9.20 0.00 0.80 10.35

0.7 4.40 4.69 2.10 6.50 1.70 8.30 0.00 0.70 9.91

0.6 4.20 4.43 1.80 6.00 1.64 7.40 0.00 0.60 9.50

0.5 4.00 4.17 1.50 5.50 1.58 6.50 0.00 0.50 9.09

0.4 3.80 3.89 1.20 5.00 1.52 5.60 0.00 0.40 8.65

0.3 3.60 3.59 0.90 4.50 1.45 4.70 0.00 0.30 8.160.2 3.40 3.21 0.60 4.00 1.37 3.80 0.00 0.20 7.56

0.1 3.20 2.66 0.30 3.50 1.24 2.90 0.00 0.10 6.69

0.01 3.02 1.28 0.03 3.05 0.93 2.09 0.00 0.01 4.49

0.000 3.00 0.22 0.00 3.00 0.69 2.00 0.00 0.00 2.80

Z X12 X13 X23 X24 X35 X36 X45 X46 X56

1 25.00 1 1 1 1 25.00

0.9 23.16 1 1 1 1 20.85

0.8 21.95 1 1 1 1 17.560.7 20.81 1 1 1 1 14.57

0.6 19.70 1 1 1 1 11.82

0.5 18.59 1 1 1 1 9.29

0.4 17.45 1 1 1 1 6.98

0.3 16.26 1 1 1 1 4.88

0.2 14.96 1 1 1 1 2.99

0.1 13.39 1 1 1 1 1.34

0.01 10.56 1 1 1 1 0.11

0.000 8.80 1 1 1 1 0.00

5.51 115.38

20.94



Página 23

Para los tiempos de duración mínimos calculados se encontró que la duración del total del proyecto

utilizando Centroide es de 20.94 unidades de tiempo y la ruta critica corresponde a A-D-H.

VALORES MAXIMOS

X12 X13 X23 X24 X35 X36 X45 X46 X56

MAX 0

1 5.00 6.00 3.00 8.00 2.00 11.00 0.00 1.00 12.00

0.9 5.00 6.00 3.00 8.00 2.00 11.00 0.00 1.00 12.00

0.8 5.60 6.71 2.70 8.60 2.16 11.60 0.00 1.20 13.14

0.7 6.20 7.04 2.40 9.20 2.24 12.20 0.00 1.40 13.65

0.6 6.80 7.31 2.10 9.80 2.30 12.80 0.00 1.60 14.09

0.5 7.40 7.57 1.80 10.40 2.36 13.40 0.00 1.80 14.50

0.4 8.00 7.83 1.50 11.00 2.42 14.00 0.00 2.00 14.910.3 8.60 8.11 1.20 11.60 2.48 14.60 0.00 2.20 15.35

0.2 9.20 8.41 0.90 12.20 2.55 15.20 0.00 2.40 15.84

0.1 9.80 8.79 0.60 12.80 2.63 15.80 0.00 2.60 16.44

0.01 10.40 9.34 0.30 13.40 2.76 16.40 0.00 2.80 17.31

0.000 10.94 10.72 0.03 13.94 3.07 16.94 0.00 2.98 19.51

Z X12 X13 X23 X24 X35 X36 X45 X46 X56

1 25.00 1 1 1 1 25.00

0.9 27.34 1 1 1 1 24.60

0.8 29.05 1 1 1 1 23.24

0.7 30.69 1 1 1 1 21.48

0.6 32.30 1 1 1 1 19.38

0.5 33.91 1 1 1 1 16.96

0.4 35.55 1 1 1 1 14.22

0.3 37.24 1 1 1 1 11.17

0.2 39.04 1 1 1 1 7.81

0.1 41.11 1 1 1 1 4.11

0.01 44.39 1 1 1 1 0.440.000 46.20 1 1 1 1 0.00

5.51 168.42

30.57

Para los tiempos de duración máximos calculados se encontró que la duración del total del proyecto

empleando Centroide es de 30.57 unidades de tiempo y la ruta critica es A-D-H (no cambia).



Página 24

CONCLUSIONES

La buena administración de proyectos requiere planeación, programación y coordinación cuidadosa de

varias actividades interrelacionadas.

Cuando se cuenta con un conocimiento vago de las duraciones de las diferentes actividades que hacen

parte de una red, las duraciones pueden ser modeladas mediante conjuntos difusos.

Los factores que pueden llegar a afectar el tiempo de duración o las actividades críticas de la red pueden

estar asociados a variables externas como el clima, la experiencia, la motivación la accidentalidad o

simplemente a actividades nuevas, actividades que han sido desarrolladas de forma experimental, y no

están bien caracterizadas. Todas ellas se pueden representar usando la lógica difusa por estimación de un

experto en la materia.

Modelo

Clásico

Modelo Difuso No. 1 Modelo Difuso No. 2

Mínimos Máximos Mínimos Máximos

Duración TotalProyecto

25 19.50 30.86 20.24 30.57

Ruta Crítica A-D-H

A-D-H para

0.2

A-C-F-H para

0.2

A-D-H A-D-H A-D-H

El desarrollo del ejercicio utilizando diferentes funciones de pertenencia para la duración de las actividades

permitió evidenciar las ventajas de emplear Conjuntos Difusos para ingresar incertidumbre cuando no se

cuenta con información precisa o no se requiere valores fijos.

La duración para los valores Optimistas (Mínimos) y Pesimistas (Máximos) son diferentes para los dos

modelos pero corresponden a valores muy similares.

BIBLIOGRAFÍA

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[3] Puntesde clase Sustenas Expertos, Profesos M Sc. Juan Carlos Figueroa, 2010.

[4] Zadeh, L. (1965). Fuzzy Sets. “Information and Control“, vol. 8, june.[5] H.A. Taha, Operations Research: An Introduction, seventh ed., Prentice-Hall, New Jersey, 2003.

[6] Chen, Shih-Pin, Analysis of critical paths in a project network with fuzzy activity times, European Journal

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Documents

Aplicaciones de La Logica Difusa