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Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio
1
Problemas de Valor Característico
(ou auto-valores)
Considere a equação homogênea
2
2
dx
yd + 1f (x)
dx
dy + 2f (x) y = 0
Submetida às condições de contorno homogêneas 0)(
0)(
by
ay
A solução geral da equação é do tipo: )()( xycxycy 2211
onde )(1 xy e )(2 xy são soluções linearmente independentes
Aplicando-se as condições de contorno segue
0)()( 2211 aycayc (I)
0)()( 2211 bycbyc
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2
Uma solução possível para este sistema algébrico, é dada por 021 cc
que corresponde a solução trivial 0y
As constantes 1c e 2c não se anulam apenas se: 0)( )(
)( )(
21
21
byby
ayay (II)
Se isto ocorrer, as duas equações do sistema (I) se tornam idênticas. Desta forma, tem-se uma
solução não trivial, a menos de uma constante C, ou seja
xyayxyayCy 2112
Muitos problemas de condução de calor podem ser reduzidos à solução da equação diferencial
mostrada, cujos coeficientes )(1 xf e )(2 xf são dependentes de um certo parâmetro .
Em tais problemas, o determinante (II) pode se anular apenas para certos valores específicos de
, digamos 1 , 2 , 3 , ...., que são chamados de VALORES CARACTERÍSTICOS ou
AUTOVALORES.
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3
Estes problemas são chamados de PROBLEMAS DE VALORES CARACTERÍSTICOS.
Exemplo:
02
2
2
yxd
yd
)(
)(..
20
100
Ly
ycc
Solução geral: )()(
cossen
xyxy
xcxcy
2
2
1
1
Determinante (II) para este caso:
...,,
sencossen
21
0010
nL
nounL
LLL
n
Estes autovalores poderiam ser obtidos, também, impondo as c.c.’s:
(i) x = 0 y (0) = 0 2c = 0
(ii) x = L y (L) = 0 1c sen ( L) = 0
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4
Para solução não trivial sen ( L) = 0
autovalores trivialsolução021 nnL
nn ...,,
Para cada valor de n corresponderá uma função
x
L
nxx nn
sen
Esta função é chamada de FUNÇÃO CARACTERÍSTICA OU AUTO-FUNÇÃO
Solução: xcy n1
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5
ORTOGONALIDADE DE AUTO-FUNÇÕES
Considere a equação: 032
212
2
yxfxfxd
ydxf
xd
yd)()()( (*)
Esta equação é igual para problemas de transferência de calor por condução uni-dimensional.
Considere a equação submetida a condições de contorno homogêneas no intervalo (a, b)
A solução deste problema irá gerar autofunções sxn )'( correspondentes a autovalores sn ' .
A equação (*) pode ser reescrita como:
02
yxxq
dx
dyxp
d
d
x
dxxf
dxxf
exffxpx
xfxpxq
exp
1
1
33
2com
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6
DEFINIÇÃO:
Duas auto-funções )(xn e )(xm , correspondentes a auto-valores n e )(xm distintos, são
ortogonais num intervalo (a, b) com respeito a função peso )(x , isto é:
b
a
0)()()( dxxxx mn nm ,
exemplo:
...,,,sen
..
21
0
0002
2
2
nL
xn
yLx
yxccy
xd
yd
xn
Neste caso
101
1
0
0
3
2
1
xexqxp
xf
xf
xf
,
L
nmnodxxx n
L
mn
0
sensen Para mn 20
2 Ldxx
L
nL
sen
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7
EXPANSÃO DE UMA FUNÇÃO ARBITRÁRIA )(xf EM SÉRIES DE FUNÇÕES
ORTOGONAIS NUM INTERVALO (a, b)
Considere o conjunto de auto-funções )(xn , ortogonais em (a ,b) com respeito a função peso
)(x
Uma função genérica )(xf pode ser representada no intervalo (a, b) pela expansão
......)()()()( 221100 xxxxf ou
0nnn xxf
Os coeficientes n podem ser obtidos multiplicando-se ambos os lados por )(x )(xm e
integrando em (a, b), isto é:
b
a
0
)()()(n
m dxxfxx n
b
anm dxxxx
todos os termos são nulos, exceto quando n=m
Segue
b
an
n
n
dxxx
dxxfx
2
b
a
x
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8
Exemplo: Conjunto )(xn = sen
L
xn
Ortogonal em ( 0, L) com respeito 1)( x
Função arbitrária, em (0,L):
1
)(n
xf
l
xnn
sen
com os coeficientes dados por n
L
L
dxL
xn
dxL
xnxf
0
2
0
sen
sen)(
dxL
xnxf
L
L
n
0
2 sen)(
Esta expansão é conhecida como série de Fourier em senos.
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9
Se, no exemplo dado, cuja equação é 022
2
ydx
yd
As condições de contorno fossem
)(
)(
20
100
yLx
dx
dyx
)cos(sen xcxcy 21 dx
dy )sen()cos( xCxc 21
c.c. (1) C1=0 (2) cos (L) =0 teríamos
x
L
nn
cos n=0, 1, 2,
Uma função arbitrária, )(xf , poderá ser representada, no intervalo (0, L) por
)(xf 0 +
1n
L
xnn
cos
com
L
n
L
dxxL
nxf
L
dxxfL
0
0
2
1
)cos(
Esta expansão é uma série de Fourier em cosenos
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Equações de Bessel
02
yxxq
dx
dyxp
d
d
x
2
1
2
2
202
ps
p
ps
Definindospxdx
dx
dx
d sp
1
2
1
xx
GeralSolução
p
:
(soluções particulares)
Real
Fracioário
Zero ou Inteiro
n
nn JJ
YouJJ
Funções de Bessel
de 1a e 2a espécie
Imaginário Fracioário
Zero ou Inteiro
n
nn I
ou
Funções de Bessel
Modificadas de
1a e 2a espécie
2 sp
rx
Se
trate-se de
equações
equidimensional,
cuja do tipo
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Funções de Bessel
sen
mxJmxJmxY
kk
mxxmJ
k
k
k
cos
!
/
1Γ
21
2
0
onde função Gama:
sen
nnnn
e1ΓΓ
Γ1Γ
21Γ
01Γ
21
!
/
!
/
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J0=besselj[0,x]
J1=besselj[1,x]
Y0=bessely[0,x]
Y1=besseljy[1,x]
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sModificadaBesseldeFunções
sen
mxmxmx
kk
mx
mxk
k
2
1Γ
2
0
2
!
1
0
Io(x)
I1(x)
I2(x) K2(x)
K1(x)
Ko(x)
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paramxmx
KYJparamxmxmxx
d
d
paramxmx
IYJparamxmxmxx
d
d
x
x
1
1
1
1
,,
,,
paramxmxm
YJparamxmxmmx
xd
d
paramxmxm
YJparamxmxmmx
xd
d
paramxm
YJparamxmmx
xd
d
x
x
x
x
1
1
1
1
1
1
,,
,,
,,
Derivadas das Funções de Bessel:
Caso especial, para u = 0