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Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio
1
ESCOAMENTOS INTERNOS
Quando estudamos escoamentos internos, em geral
desejamos saber:
Qual é a força de atrito ou queda de pressão
longitudinal na direção do escoamento
Qual é o fluxo de calor ou resistência térmica na
direção normal ao escoamento.
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CARACTERÍSTICAS GERAIS DE ESCOAMENTO
EM DUTOS
2
• Em escoamentos em dutos, a direção z do escoamento principal é
normalmente considerada como parabólica, ou uni-direcional.
Logo, a condução de calor e a tensão viscosa devido a gradientes
na direção z podem ser desprezados (2/z2≈ 0)
• A pressão é aproximadamente uniforme na seção transversal, e o
forçamento para a velocidade principal w é considerado como
sendo devido ao gradiente de pressão médio d /dz.
)(),,(*),,( zpzyxpzyxp
zd
pd
zd
pd
z
p
z
p
*
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ESCOAMENTO HIDRODINAMICAMENTE
DESENVOLVIDO OU EM DESENVOLVIMENTO
3
Região totalmente desenvolvida: região longe da entrada.
Distribuição de velocidade é invariante com z.
w = w(x,y), u = u(x,y), v = v(x,y); = constante.
Região de desenvolvimento: região de entrada.
Distribuição de velocidade varia com z.
w= w(x,y,z), u = u(x,y,z), v = v(x,y,z).
Podemos utilizar a teoria de camada limite para analisar esta região.
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ESCOAMENTO SIMPLES HIDRODINAMICAMENTE
DESENVOLVIDO SIMPLES E COMPLEXOS
4
• Em escoamentos simples hidrodinâmicamente
desenvolvidos, não existe velocidades na seção
transversal. w = w(x,y), u = 0, v = 0. A pressão p é
constante na seção transversal e varia linearmente com z.
Exemplo: escoamento laminar em um duto reto
com seção transversal uniforme e sem
força de corpo.
• Em escoamento complexos hidrodinâmicamente
desenvolvidos, as velocidades na seção transversal estão
presentes (escoamento secundário), mas o escoamento
secundário é invariante com z. Exemplos: escoamento
turbulento em dutos de seção retangular, escoamento em
dutos curvos, escoamentos afetados pelo empuxo.
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5
ESCOAMENTOS INTERNOS O desenvolvimento do escoamento térmico somente ocorre se uma
diferença de temperatura for imposta entre parede da tubulação e o fluido
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6
ESCOAMENTOS INTERNOS
O desenvolvimento térmico pode ocorrer simultaneamente ao
desenvolvimento hidrodinâmico, somente após o desenvolvimento
hidrodinâmico ou na presença de um escoamento uniforme.
As seguintes situações de escoamento interno serão consideradas:
Escoamento hidrodinâmico e térmico desenvolvido
Escoamento hidrodinâmico uniforme, escoamento termicamente
desenvolvido
Desenvolvimento térmico na presença de campo uniforme de
velocidades
Desenvolvimento térmico na presença de campo desenvolvido de
velocidades
Desenvolvimento simultâneo hidrodinâmico e térmico
Um escoamento é considerado como termicamente desenvolvido,
quando a forma do perfil de temperatura na varia axialmente
ref
ref
T
TT
0
x
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7
ESCOAMENTOS INTERNOS DESENVOLVIDO
Escoamento como hidrodinâmicamente desenvolvido.
/ x = 0
Equilíbrio de forças aceleração zero
Tensão cisalhante constante
Queda de pressão constante
dAuA
1
A
Qu
TTm
m
th
P
AD
4
tms
ttssx
Adxx
pdxP
ApAppAF
)( 210
A velocidade característica é a velocidade média
A dimensão característica é o diâmetro hidráulico,
4
hD
x
p
mP
TA
x
ps
Número de Reynolds
hm DuRe
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8
m
th
P
A4D
(At é a área transversal do escoamento e
Pm é o perímetro molhado, o fator 4 é
introduzido por conveniência)
DD
D
Dh
44
2
12
12
21
22
h DD)DD(
4
DD4
D
L/H1
H2
)LH(2
LH4Dh
H2Dh H
L
D2
D1
H
círculo:
espaço anular:
retângulo: placas planas infinitas:
D
A queda de pressão adimensional, nada mais é do que o fator de
atrito (4 f = f)
2
2
1m
h
u
Dx
p
f
2
2
1m
s
u
f
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9
ESCOAMENTO VISCOSO INCOMPRESSÍVEL
Escoamento viscoso pode se classificado em
escoamento laminar ou turbulento. A
diferença entre os dois está associada ao fato
que no primeiro caso, temos transferência de
quantidade de movimento a nível molecular e
no segundo a nível macroscópico.
A diferença no comportamento está
associada com as forças que atuam no
elemento de fluido. Quanto as forças viscosas
dominam em relação as forças de inércia, o
escoamento apresenta comportamento
laminar. Quando as forças de inércia
dominam, o escoamento se comporta como
turbulento.
hm DuRe Re 2300 laminar
Re > 2300 turbulento
O número de Reynolds que caracteriza a transição neste caso é
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10
ESCOAMENTOS INTERNOS
O comprimento da região da entrada depende se o escoamento é
laminar ou turbulento. No caso laminar, para um duto circular, pode-
se estimar o comprimento da região da entrada como
Para o no. de Reynolds limite Re= 2300, temos que Le/D 140
Para o regime turbulento, como este está associado a uma maior
transferência de quantidade de movimento, o desenvolvimento do
escoamento ocorre para uma distância menor da entrada,
tipicamente, tem-se Le/D 40
Due m06,0D
L
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11
A temperatura característica é a temperatura de mistura Tm
tm
mAu
dATuT
Escoamento Não Isotérmicos
A temperatura de mistura representa a temperatura que seria obtida
se o escoamento ocorresse com uma velocidade uniforme, com a
mesma energia transportada que o escoamento de interesse.
O fluxo de energia através da tubulação é
onde h é a entalpia.
Para gás ideal ou incompressível, podemos escrever
logo a temperatura de mistura
propriedades
uniformes
dAhuE
mpmtmpmp TcmTAucdATucEmm
dATu
u
c
c
AT
mp
p
mtm
m
1
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12
ref
ref
T
TT
0
x
Escoamento Termicamente Desenvolvido
A definição de um escoamento termicamente desenvolvido é um
pouco mais geral do que a condição hidrodinâmica.
Para um escoamento termicamente desenvolvido, não existe
variação da forma do perfil de temperatura na direção principal do
escoamento.
Dependendo das condições de contorno, temos comportamento
diferentes da temperatura de mistura
Temperatura da parede constante na periferia e axialmente
Temperatura da parede constante axialmente e fluxo de calor constante
na periferia
Fluxo de calor constante axialmente e na periferia
Perda de calor para o ambiente com temeopratura e coeficiente global
de transferência de calor constante
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13
O número de Nusselt é definido comok
Lh ccNu
hc é o coeficiente de transferência de calor
LC é a dimensão característica.
O número de Nusselt nada mais é do que o fluxo de calor
adimensional
kTT
Lq
k
Lh
refs
cscc
Nu
Com frequência, a temperatura de referência é a temperatura de
mistura
O número de Nusselt pode ser determinado em função da
temperatura de mistura, utilizando um balanço global de energia
srefs
c
scc
YkTT
LyTk
k
Lh
Nu
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14
Balanço de Energia
outin QQ dxdx
hmdhmdxPqhm aqs
)(
dTcdh pdx
dT
P
cmTThq m
aq
p
mscs
)(
dx
dT
TT
L
Pk
cm
k
Lh m
ms
c
aq
pcc
)(Nu
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15
O número de Nusselt médio na seção transversal
k
Lh ccNu
)( refs
s
TT
qh
aqP
saq
s dPqP
q
aq
1
aqP
saq
s dPTP
T
aq
1
coeficiente de transferência de calor
médio
fluxo de calor médio na seção
transversal
temperatura média da parede na
seção transversal
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16
Exemplos de escoamento hidrodinamicamente e
termicamente desenvolvido
Note que se as propriedades são constantes, as equações de
conservação de energia e difusão de massa não influenciam nas
equações do escoamento (conservação de quantidade de
movimento e massa). Estas, são não lineares e devem ser
resolvidas primeiro. Com o campo de velocidade e pressão
conhecido, as distribuições de temperatura e fração em massa
podem ser determinadas.
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes: ,, k e cp
constantes
3. Regime permanente: / t = 0
4. Hidrodinâmicamente desenvolvido: / x = 0
5. Bi-dimensional: w = 0, / z = 0
6. Escoamento Laminar
7. Validade da Lei de Fourier
8. Termicamente desenvolvido
γT
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17
Hipóteses:
9. Placas planas
10.Escoamento inclinado de com a
horizontal, gravidade vertical
11.p constante
g
U
y x
gy
gx
h=2 a
Exemplo: ESCOAMENTO DE COUETTE:
Escoamento laminar hidrodinâmicamente
desenvolvido entre duas placas paralelas e
infinita
Continuidade:
ctev
z
w
y
v
x
u
0
5040 )()(
00
2
VVt
cte
)(
)(
0vCondição de contorno: y=a=h/2 ; v=0 iyuV
)(
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VpgtD
VD
2
Q. M. L - direção z
Q.M.L. (Navier-Stokes):
),(
)()(
)()(
yxppz
pw
z
pg
tD
wD
wzero
z
wzero
0
40
2
0
40
Q. M. L - direção y
cos
)()(cos
)()(
gy
pv
y
pg
tD
vD
decontinuidavzerog
y
decontinuidavzero
0
2
0
)()(cos xfygp )(xfx
p
logo
então
18
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Q. M. L - direção x
)()(
)()(sin
)()()()( 405040005030
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
g
xz
u
v
y
u
x
u
t
u
x
pgwvu
x
p
y
ug
sin
2
2
Note que a aceleração é nula, logo existe um equilíbrio de forças, a tensão
cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão e gravitacional
Note agora que u só depende de y e que p/x só pode depender de x, então
para que a igualdade anterior seja verdadeira, é necessário, que as duas
parcelas seja iguais a uma constante, logo
Kgx
p
y
u
sin
2
2
x
p
yg
sinou y
u pois
19
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Podemos agora integrar a equação acima e determinar o perfil de velocidade
entre as duas placas
K
y
u
2
2
Condições de contorno:
1) y=a; u =U U=(K/ ) a2/2 + C1 a + C2
2) y=-a ; u=0 0=(K/ ) a2/2 - C1 a + C2
a
yU
a
yaKu 1
21
2 2
22
21
2
12
CyCyK
uCyK
y
u
As constante C1 e C2 podem ser
facilmente determinadas
(I)+(II) 2
2
22
2 Ca
U
22
2
2aU
C
(I) - (II) aCU 12a
UC
21
Substituindo as constantes C1 e C2 na expressão para a velocidade, determinamos os perfil
de velocidade entre as placas. Rearrumando, temos
20
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21
Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão
cisalhante
Vazão:
TATTm AduAuQ
a
a
ydbuQ
baUa
Q
2
3
2
; baAT 2 ;
U
aum
2
1
3
1 2
O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que yd
ud
a
Uy
2 onde
x
pseng
)(
Vamos agora analisar casos particulares do caso acima:
Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão
cisalhante
Vazão:
TATTm AduAuQ
a
a
ydbuQ
baUa
Q
2
3
2
; baAT 2 ;
U
aum
2
1
3
1 2
O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que yd
ud
a
Uy
2 onde
x
pseng
)(
Vamos agora analisar casos particulares do caso acima:
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22
Caso 1: U≠ 0x
p
(1º. exemplo): obs: y’=y+a → u=U y’/h = U y’/(2 a)
a
yUu 1
2;
a
U
2
Caso 2: U0
x
p
(2º. exemplo):
22
12 a
yaKu
2
22
12 a
yau
y
maxmax ;)/(
uuaxp
u m3
2
2
2
2
22
12 a
yaKu
yK
ab
ab
P
AD
u
Ddxpf
m
th
m
h 42
244
21 2
)(;
)/(
)/(
a
yU
a
yaKu 1
21
2 2
22
a
UyK
2
U
2a
Caso 2: =0 , U=0, p/x
2a
96Ref
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23
Caso 4: U 0x
p
; 22
0a
U
x
p
y U u
Caso 3: U 0x
p
a
yU
a
yau 1
21
2 2
22
;
a
Uy
2
umax onde 00 yd
ud
y U
u
a
yU
a
yaKu 1
21
2 2
22
a
UyK
2
)(max 00
y
uondeu
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24
Caso 5: U 22 a
U
x
p
Neste caso, a tensão na parede inferior é nula
u
y U
a
yU
a
yaKu 1
21
2 2
22
a
UyK
2
02
2
2
2
entãoa
UKse
a
UKaayem
a
UKy
22 a
U
x
p
u
yU
Caso 6: U
O fluido próximo a parede superior direita escoa para a direita e próximo a
parede inferior escoa para a esquerda. A tensão para parede inferior é negativa,
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25
u
U
Considerando agora 0, temos
Caso 7: 0U 0
seng
x
p
seng
x
p
seng
x
p (
x
p
pode ser positivo)
( sensen )
Caso 8: 0U 0
seng
x
p
seng
x
p
seng
x
p
x
p
pode ser zero, K > 0
u
U
U
u U
u
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26
Se as propriedades são constantes, para um determinado campo de
velocidade e pressão, existem diversas soluções térmicas
Caso Térmico 1 - Condição de contorno térmica
Temperatura constante na placa superior: T1
Temperatura constante na placa inferior: To
swqT ,; 1
iwo qT ,;
y
x
Hipótese: 12) Sem geração de calor
13) temperatura não varia axialmente, (T/x = 0)
ESCOAMENTOS SEM VARIAÇÂO AXIAL DE TEMPERATURA
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27
tD
pDTTkq
tD
TDcp graddiv
p
zero
p cT
c
q
tD
TD
2
12
)(
0
503
)()()( zerovzerozerozero
z
Tw
y
Tv
x
Tu
t
T
tD
TD
Equação da Energia:
Para propriedades constantes, = 0.
Difusão térmica: = k/( cp)
A equação pode ser rescrita
analisando o primeiro termo:
analisando o terceiro termo:
)(5
2
2
2
2
2
22
zerozero
z
T
y
T
x
TT
e finalmente o termo de dissipação viscosa,
decontinuidapelazero
k
k
i
j
j
i
x
u
x
u
x
u22
3
2
2
1
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28
dissipação viscosa,
2
50
2
00
2
0
2
0
2
0
2
4
222
)(
)(
zerowzerowzerovzerovzero
wzero
vzerozero
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
22
2
a
Uy
y
uΦ
a
Uy
y
u
2
vimos que
então
2
2
2
2 a
Uy
a
UyΦ
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29
substituindo na equação da energia
Φcy
T
c
k
pp
2
2
0
2
2
2
2
2
2 a
Uy
a
Uy
ky
T
temos
integrando
1
2232
223Cy
a
Uy
a
Uy
ky
T
21
22342
22612CyC
y
a
Uy
a
Uy
kT
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30
21
22342
122612
CaCa
a
Ua
a
Ua
kT
21
22342
22612CaC
a
a
Ua
a
Ua
kTo
Aplicando as condições de coturno
(2) y = - a T = To(1) y = a T = T1
(I)
(II)
As constantes C1 e C2 podem ser facilmente determinadas
(I)+(II)
2
2242
1 22212
2 Ca
a
Ua
kTT o
22122
22421
2a
a
Ua
k
TTC o
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31
aC
a
a
U
kTT o 1
3
1 26
2
62
11
aU
k
K
a
TTC o
4
4
1
22
3
3
1
2
2
2
1
2
1
12
3
12
3
1
18
11
2
1
a
y
TTc
a
k
c
a
y
a
y
TTc
aU
k
c
a
y
TTc
U
k
c
a
y
TT
TT
op
p
op
p
op
p
o
o
)/()]/([
(I) - (II)
substituindo e rearrumando
k
c pPr
op TTc
U
1
2
E
4
4
1
22
3
3
1
2
2
2
1
12
3
12
3
1
18
11
2
1
a
y
TTc
a
a
y
a
y
TTc
aU
a
y
a
y
TT
TT
opop
o
o
)/(Pr
)]/([Pr
EPr
Número de Prandtl: Número de Eckert:
Angela Nieckele – PUC-Rio
32
2
2
1
18
1
12
1
a
y
a
y
TT
TT
o
o
EPr
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
(T - T o )/(T 1 - To )
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y/a
Pr E
0
1
2
4
8
2
12
1 EPr,
a
TTk
y
Tkq o
ay
sw
Para o Caso 1 (hidrodinâmico), K = 0(perfil linear de velocidades)
Fluxo de calor na placa superior:
Note que para Pr E > 2 o fluxo de calor entra em T1 apesar de T1 > To
Angela Nieckele – PUC-Rio
33
2
12
1 EPr,
a
TTk
y
Tkq o
ay
iw
a
TTk awo
2
paw
c
UTT
2
2
1Pr
Taw é chamada de temperatura de parede adiabática ou
temperatura de recuperação, porque corresponde ao valor
da temperatura da parede inferior, quando a mesma está
isolada (conforme será demonstrado a seguir)
a
c
UTTk
qp
o
iw2
2
2
1
Pr
,
Fluxo de calor na placa inferior:
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34
Caso Térmico 2 - Condição de contorno térmica
Temperatura constante na placa superior: T1
Placa inferior isolada
2q
01 q
y
x
21
22
22CyC
y
a
U
kT
1
2
2Cy
a
U
ky
T
0
y
T
a
U
kC
1
2
2
1
21
22
122
CaCa
a
U
kT
2
3
2
2
12
U
kTC
Aplicando as condições de contorno
(1) y = - a ;
(2) y = a ; T = T1
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35
Substituindo C1 e C2
2
22
1 238 a
y
a
yU
kTT
pp
paw
c
UT
c
U
k
cTayTT
22
2
1
2
1 Pr)(
em y = - a
Taw é a temperatura atingida por uma superfície adiabática devido à
dissipação viscosa, variando com geometria e condições de
escoamento.
Angela Nieckele – PUC-Rio
36
superiorplacanacinéticaenergia
recuperadatérmicaenergiaorecuperaçãdeFator
Pr/
)(
22
1
U
TTcr
awp
a energia cinética da placa superior é parcialmente convertida em
energia térmica.
Se a parede inferior for isolada, ocorrerá um aumento de
temperatura devido a energia convertida.
Voltando para o caso com
temperatura To na placa inferior,
o fluxo de calor através da placa
superior é
a
TTkq awo
sw2
,
Para gases Pr < 1 r < 1 ; Para líquidos Pr > 1 r > 1
escoamento de Couette sem gradiente de pressão e com U 0, é
semelhante ao escoamento da camada limite, logo acredita-se
comportamento análogo do escoamento.
paw
c
UTT
2
2
1Pr
Angela Nieckele – PUC-Rio
37
Para o Caso 2 (hidrodinâmico), K ≠ 0, U=0
(perfil parabólico de velocidades)
2
2
maxa
u
4
4
1
2max
11
3
11
2
1
a
y
TTc
u
a
y
TT
TT
opo
o Pr
op TTc
u
1
2maxE
4
4
1
13
11
2
1
a
y
a
y
TT
TT
o
o EPr
número de Eckert:
maxm3
2uu
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38
Para o Caso 2 (hidrodinâmico),
K ≠ 0, U=0
(perfil parabólico de velocidades)
Fluxo de calor na placa superior:
Note que para Pr E > 3/8 o fluxo de
calor entra em T1 apesar de T1 > To
4
4
1
13
1
12
1
a
y
a
y
TT
TT
o
o
EPr
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
(T - T o )/(T 1 - To )
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y/a
Pr E
0
3/8
1
2
4
8
EPr,3
81
2
1
a
TTk
y
Tkq o
ay
sw
a
c
uTTk
a
TTk
y
Tkq
p
o
o
ay
iw2
3
8
3
81
2
2
max1
1
Pr
EPr,
Fluxo de calor na placa inferior:
Angela Nieckele – PUC-Rio
39
paw
c
uTT
2max
13
8 Pr
p
maw
c
uTT
2
1 6Pr
Neste caso, a temperatura de
parede adiabática é
Para um escoamento governado pelo gradiente de pressão
existem diversas possíveis velocidades de referência, i.e.,
velocidade máxima, umax, ou velocidade média, um.
O fluxo de calor pode então ser
avaliado como
Em dutos, em geral a velocidade média é
conhecida, sendo mais conveniente determinar
a temperatura adiabática de parede baseada na
mesma
a
TTkq awo
w2
Pr/
)(12
22
1
U
TTcr
awp O fator de recuperação neste caso é
A forma é a mesma que a do escoamento de Couette, mas
o coeficiente é outro.
Angela Nieckele – PUC-Rio
40
ESCOAMENTOS TERMICAMENTE DESENVOLVIDO
No escoamento hidrodinâmicamente desenvolvido a velocidade não varia
na direção principal do escoamento.
No entanto, a condição de temperatura constante na direção do
escoamento (T/x = 0) é uma situação de aplicação muito limitada.
Na ausência de dissipação viscosa é necessário que o calor transferido
seja igual nas duas paredes (e o perfil de temperatura resultante é linear).
2q
1q
TT
y
x
Uma classificação mais geral e de maior utilidade consiste em considerar
como escoamento térmicamente desenvolvido aquele que a forma do perfil
de temperatura não varia com a direção principal do escoamento, isto é, a
temperatura adimensional não varia.
Angela Nieckele – PUC-Rio
41
ref
s
T
TT
0
x
02
ref
s
ref
refs
ref
s
T
TTx
TT
x
T
x
T
T
TT
xx
)(
x
T
x
T
x
T refs
Definindo a temperatura adimensional como
então para escoamento térmicamente
desenvolvido tem-se
então
Note que se para um escoamento térmicamente desenvolvido a temperatura
adimensional não varia com x, então o número de Nusselt é constante, pois
como vimos corresponde a derivada do perfil adimensional na parede,
sc
c
Lyk
Lh
)/(Nu
aq
sP caq
c PdLyPk
Lh
aq
)/(Nu
1
Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio
42
Balanço de Energia
p
aqsm
cm
Pq
dx
dT
"
Também vimos que realizando um balanço de energia em um
volume de controle infinitesimal, podemos relacionar a variação
da temperatura de mistura com o fluxo de calor transferido pelas
paredes da tubulação.
Para avaliar como a temperatura de mistura varia ao longo da tubulação é
preciso saber como o fluxo de calor varia ao longo da tubulação.
Podemos considerar diversas possibilidades:
Angela Nieckele – PUC-Rio
43
I. Fluxo de calor constante
Como Nu é constante, então o coeficiente de transferência de calor médio na
seção transversal, também é.h
cteTThq mss )(
cteTTh
qms
s )(
0
x
xd
Td
x
T s
xcm
PqTT
p
aqs
mm i
Neste caso, 0
x
Tcte
k
DqT
refhsref
Entao
xd
Td
xd
Td ms
p
aqsms
cm
Pq
xd
Td
xd
Td
x
T
Angela Nieckele – PUC-Rio
44
II. Temperatura da parede constante axialmente e na
periferia, neste caso o fluxo de calor varia ao longo da
periferia da parede
cteTs
0
x
Neste caso,xd
Td
x
TT
x
TTTT mmsref
msref
)()(
Para
xd
Td
x
T m
Mas
p
aqms
p
aqsm
cm
PTTh
cm
Pq
xd
Td
)(
cte
cAu
Ph
cm
Ph
xd
TTd
TT ptm
aq
p
aqms
ms)(
1
xdTT
TTd
ms
ms
)(
)(
) xTT
TT
ims
ms
(exp
Angela Nieckele – PUC-Rio
45
hm
aq
m
aq
t
m
pcm
c
ptm
aq
DP
P
P
P
A
P
c
k
Luk
Lh
cAu
Ph 14
PrRe
Nu
hm
aq
ms
ms
D
xd
P
P
TT
TTd 4
PrRe
Nu
)(
)(
) X
TT
TT
ims
ms Nu(exp
Lembrando que o número de Peclet é Pe = Re Pr e
número de Graetz é Gz = Pe Dh/x
Podemos definir uma distância axial dimensional como
X = (4 Paq/Pm) (x/Dh)/Pe = (4 Paq/Pm) /Gz
Angela Nieckele – PUC-Rio
46
ims
oms
L TT
TT
X
lnNu
1
totalaq
Lx
x
msaqmmp TLPhdxTTPhTTcmQio
0
)()(
totaltotal
p
aq
mm TLTLcm
PhTT
io
)(
o
oi
ms
ims
msms
total
TT
TT
TTTTT
ln
)()(
LMTDhqs
O número de Nusselt médio pode ser expresso em função da
temperatura de mistura da entrada e saída da tubulação como
O calor total transferido ao longo do duto pode ser obtido em função
das temperaturas de mistura da entrada e saída
= LMTD
(log mean temperature difference)
finalmente, temos que
totalLtotal
hm
aqTXT
D
L
P
P Nu
PrRe
Nu 4
Angela Nieckele – PUC-Rio
p
aqsm
cm
Pq
xd
Td
47
III. Tubulação imersa em meio com temperara T constante e com
coeficiente de troca de calor por convecção externo he constante
0
x
Neste caso,
xd
Td
xd
TTd
xd
Tdmmref
)(
Para xd
Td
x
T m
onde As=Paq dx e U é o
coeficiente global de troca de
calor é
p
aqm
p
aqsm
cm
PTTU
cm
Pq
xd
Td
)(
)(;)(
mrefref
m
TTTTTTT
TT
s
k
ee
s
AhR
Ah
AU11
1
Angela Nieckele – PUC-Rio
48
s
k
ee
s
AhR
Ah
AU11
1
onde As = Paq dx é a área da parede interna da tubulação e Ae é a área da
parede externa. Rk é a resistência térmica a condução na parede.
Para superfícies planas, com espessura t, área A e condutividade térmica
da parede ks , Rk é
para tubos circulares
Ak
tR
sk
Lk
rrR
s
iek
)/ln(
Angela Nieckele – PUC-Rio
49
ptm
aq
p
aqm
m cAu
PU
cm
PU
x
TT
TT
)(
1
dXD
xd
P
P
TT
TTd
hm
aq
m
m NuPrRe
Nu
)(
)(
4
XdTT
TTd
m
m Nu)(
)(
) X
TT
TT
im
m Nu(exp
x
T
Tm
temos então que
k
DU hNu
Angela Nieckele – PUC-Rio
50
Para determinar o perfil de temperatura ao longo da seção
transversal, o balanço integral não é suficiente, é preciso
utilizar o enfoque diferencial.
Neste caso, é necessário é preciso conhecer o campo de
velocidade
Como mencionado, se as propriedades são constantes, o
campo de velocidade independe do campo de temperatura e
pode ser resolvido primeiramente
Já obtivemos o campo de velocidade para o caso de
escoamento entre placas paralelas (Escoamento de Couette).
Vamos agora determinar o campo de velocidade em um duto
circular (Escoamento de Hagen-Pousseuille)
Angela Nieckele – PUC-Rio
51
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime permanente / t = 0
4. 2-D (simetria angular) v / = 0
5. L >> D esc. desenvolvido / x = 0
6. Escoamento horizontal, gravidade
vertical
7. p constante
8. laminar
ESCOAMENTO DE HAGEN-POUSSEUILLE:
(Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido
em um duto circular)
Continuidade:
00
2
VVt
cte
)(
)(
0vEntão r v = constante.
Condição de contorno: r=R ; v=0 iruV
)(
eveveuV rx
cos; ggsenggr
g g
D=2 R
r
x
r
gr
0
54
)()(zerozero
x
u
r
v
rr
vr
Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio
VpgtD
VD
2
Q. M. L - direção r
Q.M.L. (Navier-Stokes):
v
rr
v
r
vr
rr
r
pseng
r
vuvv
r
v
r
v
x
v
r
v
r
v
t
v
22
2
21
2
2
22
2
A aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e v =0, então a equação
acima se reduz para
),(1 xfsenrgpsengr
p
11cos
1 f
rg
p
rlogo (*)
52
Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio
Q. M. L - direção
Novamente a aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e v =0,
então a equação acima se reduz para
comparando esta equação com a equação (*)
v
rr
v
r
vr
rr
r
pg
r
vvuvv
x
v
r
v
x
v
r
v
r
v
t
v
22
212
2
22
2
cos
cos
1g
p
r
concluímos que
)(01
111
xfff
r
)(1 xfsenrgp
53
11cos
1 f
rg
p
r
Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio
Q. M. L - direção x
Novamente, verificamos que a aceleração é nula, e portanto existe um equilíbrio
de forças, a tensão cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão
constante
Relembrando que a tensão cisalhante é
)()(
)()()()(
54
5403
2
2
22
21
zero
x
u
zero
r
u
zero
x
u
zero
r
u
vzero
r
u
zero
t
u
r
ur
rr
x
puvv
)()( '1
1
xfrg
x
p
r
ur
rr
r
u
r
r
r
)(1
54
senrgpp ref
A variaçao da pressão é só
hidrostática
Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio
Integrando esta equação, podemos determinar o
campo de velocidade e tensão cisalhante
Relembrando que a
tensão cisalhante é r
u
r
r
r
)(1
r
CrC
rr 1
1
2
22
r
Cr
r
u
1
2
21
2
4Cr
Cru ln
55
2) r=R ; u =0 0=(K/ ) R2/4 + C2 C2 =-(K/ ) R2/4
Condições de contorno:
1) r= 0 ; u e finitos (simetria; / r =0) C1 =0
22
14 R
rRKu
Angela Nieckele – PUC-Rio
56
O perfil de velocidade é
2
22
14 R
rRu
ou
2
22
14 R
rR
x
pu
note que como o perfil é simétrico, a velocidade máxima ocorre na linha de centro
4)0(
2
maxmaxR
x
puruu
2
2
1R
ruu max
u R
r
x
u
Angela Nieckele – PUC-Rio
57
Vazão:
TATTm AduAuQ
R
rdruQ0
2
2max
2
42
max242
2 Ru
R
RRuQ
2RAT 2
maxuum
328
22 D
x
pR
x
pum
O perfil de tensão cisalhante é : 2
r
x
p
Se 0
x
pentão < 0
n
u
R
r
x
u
Angela Nieckele – PUC-Rio
58
Na parede 2
)(R
x
pRr
tensão na parede 42
)(D
x
pR
x
pRrs
O fator de atrito pode agora ser obtido DuDu
Du
u
Dx
p
fm
m
m
m
64
2
1
32
2
1 222
onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é DPAD mTh /4
Re
64f ;
DumRe
Note que como 4
D
x
ps
o fator de atrito também pode ser escrito como 22
2
1
4
2
1m
s
m uu
Dx
p
f
Na parede 2
)(R
x
pRr
tensão na parede 42
)(D
x
pR
x
pRrs
O fator de atrito pode agora ser obtido DuDu
Du
u
Dx
p
fm
m
m
m
64
2
1
32
2
1 222
onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é DPAD mTh /4
Re
64f ;
DumRe
Note que como 4
D
x
ps
o fator de atrito também pode ser escrito como 22
2
1
4
2
1m
s
m uu
Dx
p
f
Na parede 2
)(R
x
pRr
tensão na parede 42
)(D
x
pR
x
pRrs
O fator de atrito pode agora ser obtido DuDu
Du
u
Dx
p
fm
m
m
m
64
2
1
32
2
1 222
onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é DPAD mTh /4
Re
64f ;
DumRe
Note que como 4
D
x
ps
o fator de atrito também pode ser escrito como 22
2
1
4
2
1m
s
m uu
Dx
p
f
22
2
1
4
2
1m
s
m uu
Dx
p
f
4
2
1 2
f
u
f
m
s
fator de atrito
Esta relação independe do regime de
escoamento
Angela Nieckele – PUC-Rio
59
Problema térmico
)(
))((
)(
graddiv
10
2
11 zero
ctezero
zero
ptD
pDTTkq
tD
TDc
T
tD
TD 2
)()()()( 4
22
2
2
2
403
1
zerozerouzero
rx
zero
r
T
r
Tr
rrx
T
r
Tu
r
Tu
x
Tu
t
T
r
Hipóteses adicionais:
9. Validade da Lei de Fourier
10.Dissipação viscosa desprezível
11.Sem geração de calor
12.Térmicamente desenvolvido: / x = 0
Equação de conservação de energiapc
k
2
2
2
2
max 121R
ru
R
ruu mx
Vimos que
r
Tr
rrx
T
x
Tux
12
2
Angela Nieckele – PUC-Rio
60
I. Fluxo de calor constante axialmente
No caso de duto circular, devido a simetria angular, se o fluxo de calor é
constante ao longo da periferia, a temperatura da parede também é.
cteTThq mss )(
Neste caso, vimos que 0
x
cte
cm
Pq
xd
Td
xd
Td
x
T
p
aqsms
logo 02
2
x
T
substituindo
r
Tr
rrcAu
Pq
R
ru
ptm
aqs
m
112
2
2
adimensionalisando
sm
s
TT
TT
R
r
112
22
Rc
kTT
Ac
Pq
psm
tp
ms )(
Neste caso, o perímetro aquecido e molhada são iguais, Paq = Pm.
Angela Nieckele – PUC-Rio
61
RDP
AD
m
th 2
4 )( mss TThq
k
DhNu
Nu2121
d
d
d
d Nu32
1
42
422 C
Nu
13
2
C
Nu
21
42
82CC
lnNu
lembrando que
temos
dividindo por
e integrando novamente
integrando
Angela Nieckele – PUC-Rio
62
0
Nu
828
3 42
sm
s
TT
TT
d
u
u
R
drr
u
u
Au
dAu
m
x
m
x
tm
xm 2
2
2
1m
48
11
1
0
422
828
31221
dNu 36411
48,Nu
Condições de contorno:
(i) 0 é finito e devido a simetria
A temperatura de mistura adimensional é
(ii) 1 = 0 C2 = 3/8 Nu
, logo C1=0
e
Angela Nieckele – PUC-Rio
63
II. Temperatura constante axialmente, Ts=cte
Neste caso vimos que
0xd
Td s
x
T
x
T m
sm
s
TT
TT
)(PrRe
Nu)(ms
hm
aq
ptm
aqms
p
aqsm TTDP
P
cAu
PTTh
cm
Pq
x
T
14
)(PrRe
Nums
hm
aqTT
DP
P
x
T
14
então
Angela Nieckele – PUC-Rio
64
2
2
x
T
x
T
xx
T
xx
T
x
mm
zero
m
x)4
2
2
2 4hm
aq
DP
P
imshm
aqm eTTDP
P
dx
Td Pe
Nu(
)(Pe
Nu
Avaliando agora a difusão axial, temos
no entanto vimos que x)
4
hm
aq
i
DP
P
mssm eTTTTPe
Nu(
02
2
dx
Td m0
2
2
x
T
r
Tr
rrcAu
PTTh
R
ru
ptm
mmsm
112
2
2
)(
Para altos valores de Peclet, pode-se desprezar o termo
acima, isto é
Podemos agora, rescrever a equação da energia, usando o fato de que
neste caso Pm=Paq
Angela Nieckele – PUC-Rio
65
sm
s
TT
TT
R
r
RDP
AD
m
th 2
4
k
DhNu
d
d
d
d
Rc
kTT
cAu
PTThu
psm
ptm
aqmsm
112
22 )(
)(
2121
Nu
d
d
d
d
0
d
d 0
adimensionalisando com
e lembrando que
As condições de contorno são:
(i) (ii) 1
Angela Nieckele – PUC-Rio 66
Nu
2121
Nu
d
d
d
d
1mNu
1m
ddu
u
Au
dAu
m
x
tm
xm )( 2142
m
1Nu
Para resolver este problema é necessário utilizar um procedimento
iterativo. Um simples artifício de mudanças de variáveis resulta num
método com rápida convergência.
Considere uma nova variável
mas
Aparentemente está equação é igual a equação anterior, no entanto,
note que como
logo o número de Nusselt pode ser calculado por
Esta equação é não linear, é um problema de autovalor (problema de
Sturm-Liouville) , onde o número de Nusselt é o autovalor,
Angela Nieckele – PUC-Rio
67
O procedimento consiste portanto em assumir um campo de temperatura,
que pode ser a solução do caso com fluxo de calor constante. Com este
campo, calcula-se a temperatura de mistura e o Nusselt. Com esta estimativa
de Nusselt é possível integrar a equação da energia e repetir o procedimento
até que o número de Nusselt não varie mais.
O valor convergido é
6583,Nu
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Duto circular
eta
theta
fluxo constante
Temperatura cosntante
Angela Nieckele – PUC-Rio
68
III. Tubulação imersa em meio com temperatura constante e
coeficiente de troca de calor externo constante, T= cte; he = cte
)( sefs TThq ;
s
e
e
eef
k
RrR
h
rRh
)/ln(/
1
Número de Biot: s
ef
k
RhBi Nusselt:
k
D
TT
q
k
Dh
s
sefef
)(Nu
s
ef
k
k
2
NuBi
TTsBilim já que 0 efsef hqh /
cteqs 0Bilim
Definição:k
D
TT
q
k
Dh
m
s
)(
ˆuN̂
;k
D
TT
q
k
Dh
ms
s
)(Nu
;
k
D
TT
q
k
Dh
s
sefef
)(Nu
Usando resistência em série hhh ef
111
ˆ
NuNu
uN̂11
1
ef
A equação da energia
r
Trk
rruc
x
Txp
1
adimensionalisando com
TT
TT
m e
R
r
2121
uN̂
d
d
d
d
NuBi
uN̂12
1
sk
k
Angela Nieckele – PUC-Rio
69
Definição:k
D
TT
q
k
Dh
m
s
)(
ˆuN̂
;k
D
TT
q
k
Dh
ms
s
)(Nu
;
k
D
TT
q
k
Dh
s
sefef
)(Nu
Usando resistência em série hhh ef
111
ˆ
NuNu
uN̂11
1
ef
A equação da energia
r
Trk
rruc
x
Txp
1
adimensionalisando com
TT
TT
m e
R
r
2121
uN̂
d
d
d
d
)()(ˆ)(
TThTThq
r
Tk sefmw
Rr
2
p
aqm
p
aqsm
cm
PTTU
cm
Pq
xd
Td
)(
xd
Td
x
T m
finitoou
010
)(As condições de contorno são:
1
122
2
efNuuN)(
Angela Nieckele – PUC-Rio
70
Distribuição de temperaturas
Casos limites: hef>>k/R (Bi → ∞) hef<<k/R (Bi → 0)
Tw ≈T∞=cte qw =heΔT (cte)
1
1
s
cewef
s
wes
s
ce
k
LhBizerocteqqdouNNu
TT
qhTT
k
LhBi
ˆ
)(
Angela Nieckele – PUC-Rio
71
Angela Nieckele – PUC-Rio
72
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime permanente / t = 0
4. não existe escoamento na seção
transversal, u = v = 0
5. L >> D esc. desenvolvido / x = 0
6. Escoamento horizontal, gravidade
vertical
7. p constante
8. laminar
ESCOAMENTO EM UM DUTO DE SEÇÃO QUADRADA
(Escoamento laminar hidrodinâmicamente
desenvolvido, simples )
kyxwV
),(
VpgtD
VD
2 Q.M.L. (Navier-Stokes):
Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio
Q. M. L - direção x
),(
)(
)(
zyppx
pu
x
pg
tD
uD
uzero
x
uzero
0
0
2
0
0
Q. M. L - direção y
gy
pv
y
pg
tD
vD
vzerog
y
vzero
)(
)(
0
2
0
)(zfygp )(zfz
p
logo
então
73
Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio
74
equação de quantidade de movimento linear
na direção z
z
p )
z
w
y
w
x
wμ (g
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
2
2
2
2
2
2
z
0
dz
pd
y
w
x
w μ
2
2
2
2
Já que u = v = 0 e w/z = 0, os termos de convecção da
equação de quantidade de movimento linear na direção z
são nulos. Então
Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio
75
Seja D uma dimensão típica da seção transversal. Definido
as seguintes variáveis adimensionais: X = x/D, Y = y/D,
W=w /[D2 (-dp/dz)], a equação de quantidade de
movimento linear na direção z fica igual a
A solução da equação não requer o conhecimento do gradiente de
pressão ou do número de Reynolds. O perfil de velocidade
parabólico em um duto circular ou canal é um exemplo familiar da
solução da equação de quantidade de movimento linear na
direção z.
0 1 Y
W
X
W
2
2
2
2
Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio
76
O fator de atrito f velocidade média na
seção transversal é
/2wρ
D/dz)pd(f
2h
tAt
AdwA
w1
Vemos que o produto fRe é
Definindo-se o número de Reynolds como /Re hDw
22
Ref
D
D
W
h
Portanto, o produto fRe é constante
para um escoamento laminar
hidrodinâmicamente desenvolvido.
Para um duto de seção circular este
valor é 64 e para um canal formado por
placas paralelas é 96, e para duto de
seção quadrada é 56,4.
Angela Nieckele – PUC-Rio
77
Para geometrias não circulares existem duas situações possíveis para
constante axialmente:
1. constante na periferia. Neste caso Ts varia ao longo da periferia. Por
exemplo, existe um fio enrolado na superfície da tubulação, gerando
calor uniformemente.
sq
Em ambos os casos, o número de Nusselt varia ao longo da periferia,
sendo o número de Nusselt média função da temperatura média da
parede e do fluxo de calor médio na parede.
sq
sq 2. Ts constante na periferia, com variando. Nas quinas, o fluxo de calor
cai, pois consiste de regiões de baixa velocidade, induzindo a uma
menor contribuição convectiva. Este caso pode ocorrer quando o
material da tubulação possui alta condutividade térmica, levando a uma
distribuição uniforme de temperatura da parede na seção transversal
Angela Nieckele – PUC-Rio
78
y
Tk
y
x
Tk
x
z
Tw ρ c p
hm
aqms
ms DP
P
xd
TTd
TT
141
PrRe
Nu)(
)(
z T/w ρ c p
0 )W(W/ Y
X 2
2
2
2
Equação da energia
Vimos que para temperatura de parede constante axialmente
em função de
com = 0 nas paredes.
Angela Nieckele – PUC-Rio
79
As soluções de transferência de calor são independentes do
número de Reynolds e do número de Prandtl, e fornecem
números de Nusselt constante.
Este problema pode ser resolvido facilmente com algum método
numérico
• O fator de atrito é f Re = 56,4 e o número de Nusselt é Nu =
2,98 para temperatura constante nas paredes axialmente e na
periferia.
• Para fluxo de calor constante axialmente, duas situações podem
ocorrer.
• Fluxo de calor constante na constante na periferia,
resultando em Nu = 3,09
• Temperatura constante na periferia, tem-se Nu=3,61.
Angela Nieckele – PUC-Rio
80
Campo de velocidade hidrodinamicamente
desenvolvido
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Velocidade Axial
x
y
Angela Nieckele – PUC-Rio
81
Campo de temperatura termicamente
desenvolvido, na presença do campo
hidrodinamicamente desenvolvido
Temperatura constante axialmente e na periferia
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Temperatura
x
y
Angela Nieckele – PUC-Rio
82
Campo de temperatura termicamente
desenvolvido, na presença do campo
hidrodinamicamente desenvolvido
Fluxo de calor constante axialmente e
temperatura constante na periferia
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Temperatura
x
y
Angela Nieckele – PUC-Rio
83
Campo de temperatura termicamente
desenvolvido, na presença do campo
hidrodinamicamente desenvolvido
Fluxo de calor constante axialmente e na
periferia
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Temperatura
x
y
Angela Nieckele – PUC-Rio
84
Variação do fluxo de calor ao longo das quatro paredes, norte, sul,
leste e oeste, para os três casos: Temperatura constante
axialmente e na periferia, e calor constante axialmente com
temperatura constante na periferia e fluxo de calor constante
axialmente e na periferia.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5Grá fico de qw e qe versus y ; qn e qs versus x
y e x
fluxo d
e c
alo
r
qwqeqsqn
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-6
-4
-2
0
2
4
6Gráfico de qw e qe versus y ; qn e qs versus x
y e x
fluxo d
e c
alo
r
qwqeqsqn
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4Gráfico de qw e qe versus y ; qn e qs versus x
y e x
fluxo d
e c
alo
r
qwqeqsqn
Angela Nieckele – PUC-Rio
85
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
y/H
0
1
2
3
4
5
6
qw
* D
h /[k
* (
Tw
- T
b)]
Duto QuadradoEscoamento Desenvolvido
Tw = cte (axial e periferia)
qw = cte (axial e periferia)
qw = cte (axial) Tw = cte (periferia)
Angela Nieckele – PUC-Rio
86
Escoamentos Complexos Totalmente Desenvolvidos
O campo de velocidades e o campo de uma temperatura adimensional
apropriada são independentes de z, mas existe um escoamento
transversal.
O problema computacional não é mais um problema de condução de calor.
Os termos de convecção encontram-se presentes, e os mesmos devem ser
obtidos através da solução do campo de escoamento bidimensional na
seção transversal.
Os conceitos de região termicamente desenvolvida continuam a ser
aplicáveis.
Os resultados do campo de escoamento dependem de um parâmetro de
força de corpo ou do número de Reynolds. Os resultados de transferência
de calor dependem adicionalmente do número de Prandtl.
Angela Nieckele – PUC-Rio
87
Exemplo: Escoamento em um duto de seção quadrada, fazendo curva com alto raio de
curvatura
L, Tw
Tw
L
Tw
Tw
R>>L
Hipóteses:
1. Regime permanente: 0 t/
2. Propriedades constantes (k, cp, ,
3. Escoamento hidrodinamicamente desenvolvido: 0 / ;
),,(*)(),,( xrppxrp ; cterp )/( ; )/(*)/( rprdpd
4. Pressão modificada: P=p*(r,,x)-gx
5. Termicamente desenvolvido com Temperatura de parede constante;
wm
w
TT
TT
0
r
rd
dT
r
T m
Angela Nieckele – PUC-Rio
88
cterp )/(
01
x
u
r
ur
rxr
Solução acoplada da continuidade com a equação de quantidade
de movimento linear para determinar, P, ux ; uq e ur,
Com o campo de velocidade conhecido, pode-se determinar o
campo de temperatura.
Continuidade:
2
2
2
21
x
u
r
u
r
ur
rrr
P
r
u
x
uu
r
uu rrrr
xr
r
2
21
x
u
r
ur
rrx
P
x
uu
r
uu xxx
xx
r
2
2
2
1
x
u
r
u
r
ur
rrr
p
r
uu
x
uu
r
uu r
xr
Quantidade de movimento linear
Angela Nieckele – PUC-Rio
89
L
uu
L
uu x
xr
r//
**
Neste caso, o campo de velocidade vai depender do raio de
curvatura e número de Reynolds
Adimensionalisando
2
2
2
22 1
X
uuuPU
X
uu
uu rrrr
xr
r
*****
**
* Re
2
21
X
uu
rX
P
X
uu
uu xxx
xx
r
*****
**
L
xX
L
r
01
X
uu xr
**
2)/(
*
L
PP
mV
uU
2
mV
pP
*
wm
w
TT
TT
Angela Nieckele – PUC-Rio
90
2
2
2
1
X
UUUPUu
X
Uu
Uu r
xr
**
** Re
Direção angular (principal do escoamento)
Energia:
2
21
x
T
r
Tr
rrk
rd
dTuc
x
Tu
r
Tuc m
pxrp
2
2114
XU
Xuu xr
PrPr
Nu**
LLc
k
LVk
hL
AVc
Ph
dR
TTd
TT pmtmp
aq
c
ms
ms
441
PrRe
Nu)(
)(
Escoamento depende de: Re, Pr e raio de curvatura
Angela Nieckele – PUC-Rio
91
Campo de velocidade axial , hidrodinâmicaemente
desenvolvido. Raio de curvatura: R/L=100
Angela Nieckele – PUC-Rio
92
Campo de temperatura, com d/d=0
T=600 (em cima e em baixo) T=400 (dentro e fora)
fluxo de calor (dentro e fora)
Angela Nieckele – PUC-Rio
93
H1- fluxo de calor axial constante e temperatura na periferia constante
H2- fluxo de calor axial constante e na periferia constante
Angela Nieckele – PUC-Rio
94
Angela Nieckele – PUC-Rio
95
Exemplos de escoamento termicamente
desenvolvido, com perfil de velocidade uniforme
Le,t Le,h
r
Tr
rrx
Tu
x
Tx
1
2
2
TT
TT
m
R
r1
mu
u
Angela Nieckele – PUC-Rio
96
ptm
aqs
cAu
PTTh
x
T
)(
uN̂
d
d
d
d1
Uma revisão de Problemas de Valor Característico, na qual tipo de
equação pertence será apresentado a seguir
Esta equação chama-se equação
de Bessel.
)()(ˆ
)(
TThTThq
r
Tk
ambienteparacalordeperda
sefmw
Rr
2
finitoou
0Simetria10
)(
As condições de contorno são:
1
122
efNuuN
Angela Nieckele – PUC-Rio
97
02
sp xdx
dx
dx
d
uN̂2
2 sp 12
2
ps 0
2
1
ps
p
1
2
1
xx
p
2102
2101
// uN̂uN̂ YCJC
Equação de Bessel
temos p=1 , s=1
Solução é
comparando com
uN̂
d
d
d
d1
onde Jo e Yo são as funções de Bessel do primeiro e
segundo tipo de ordem zero.
Para satisfazer a condição de contorno (1) de que a
temperatura deve ser finita no centro da tubulação,
concluímos que C2 = 0, então
Angela Nieckele – PUC-Rio
98
21
01
/uN̂JC
1
0
22
2
du
u
Ru
drru
Au
dAu
mmtm
m
1
12
efNuaplicando a condição de contorno (2)
21
1
21
1
21
1
/// uN̂uN̂uN̂ JCJd
dC
d
d
21
0
21
1
21
2
/// uN̂Nu
uN̂uN̂ JJef
são autovaloresuN̂
Para encontrar a constante C1, impor que m=1
O número de Nusselt pode ser obtido a partir da equação acima
Angela Nieckele – PUC-Rio
99
21
21
11
1
0
21
01 221/
//
uN̂
uN̂uN̂
JCdJCm
21
021
1
21
2
/
/
/
uN̂uN̂
uN̂J
J
Este resultado também poderia ser obtido, utilizando
a condição de contorno (2) 21
uN
2
uNuN̂uN̂ //
21
1
21
1
1
JCd
d
21
1
21
1 /
/
uN̂2
uN̂
JC
21
1
21
1 /
/
uN̂2
uN̂
JC
uN̂Nu efsVimos que uN̂uN̂
uN̂
uN̂Nu /
/
/
21
021
1
21
2J
Jef
21
1
2121
02
/// uN̂uN̂uN̂Nu
JJef
Equação para obter o
número de Nusselt
Angela Nieckele – PUC-Rio
100
Bi 0.1 2 4 10 100
0.19508 2.5582 3.6408 4.7502 5.6687
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Duto circular
eta
theta
Bi=0.01
Bi=2
Bi=4
Bi=10
Bi=100
uN̂
Há um aumento na troca de calor devido ao perfil de velocidade
não desenvolvido. O fluido não adere à parede, logo não isola a
parede.
BiuN̂limBi 20 cteqs
7835,uN̂limBi cteTs
(Para k=ks Bi=Nuef /2)