Apostila MATEMÁTICA

Núcleo de Educação a Distância


Matemática

Autor: Alexandre Lopes

Rogério Lacerda

BELO HORIZONTE / 2012


Alexandre Lopes

Rogério Lacerda

Disciplina: Matemática Autor: Alexandre Lopes

Rogério Lacerda

Núcleo de Educação a Distância | Newton Paiva

ESTRUTURA FORMAL DO

COORDENAÇÃO DE CURSOS GERENCIAIS E ADMINISTRAÇÃO

COORDEN

COORDENAÇÃO DE CURSOS LICENCIATURA/PEDAGOGIA

DÉBORA CRISTINA CORDEIRO CAMPOS LEAL

DANIEL EUSTÁQUIO DA SILVA MELO RODRIGUES

MARIA DE LOURDES SOARES MONTEIRO RAMALHO


ESTRUTURA FORMAL DO NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÃNC

REITOR LUÍS CARLOS DE SOUZA VIEIRA

PRÓ-REITOR ACADÊMICO SUDÁRIO PAPA FILHO

COORDENAÇÃO GERAL

AÉCIO ANTÔNIO DE OLIVEIRA

COORDENAÇÃO TECNOLÓGICA EDUARDO JOSÉ ALVES DIAS

COORDENAÇÃO DE CURSOS GERENCIAIS E ADMINISTRAÇÃO HELBERT JOSÉ DE GOES

COORDENAÇÃO DE CURSOS LICENCIATURA/ LETRAS

LAILA MARIA HAMDAN ALVIM

COORDENAÇÃO DE CURSOS LICENCIATURA/PEDAGOGIA LENISE MARIA RIBEIRO ORTEGA

INSTRUCIONAL DESIGNER DÉBORA CRISTINA CORDEIRO CAMPOS LEAL

INGRETT CAMPOS LOPO PATRICIA MARIA COMBAT BARBOSA

EQUIPE DE WEB DESIGNER

CARLOS ROBERTO DOS SANTOS JÚNIOR DANIEL EUSTÁQUIO DA SILVA MELO RODRIGUES

ERNANE GONÇALVES QUEIROZ GABRIELA SANTOS DA PENHA

ORIENTAÇÃO PEDAGÓGICA

FERNANDA MACEDO DE SOUZA ZOLIO

AUXILIAR PEDAGÓGICO RIANE RAPHAELLA GONÇALVES GERVASIO

MARINA RODRIGUES RAMOS

REVISORA ORTOGRÁFICA MARIA DE LOURDES SOARES MONTEIRO RAMALHO

SECRETARIA

LUANA DOS SANTOS ROSSI MARIA LUIZA AYRES

MONITORIA

ELZA MARIA GOMES

AUXILIAR ADMINISTRATIVO THAYMON VASCONCELOS SOARES

MARIANA TAVARES DIAS RIOGA

AUXILIAR DE TUTORIA MIRIA NERES PEREIRA

NATHALIA CUNHA POLESE RENATA DA COSTA CARDOSO

2 | P á g i n a

DE EDUCAÇÃO A DISTÃNC IA

COORDENAÇÃO DE CURSOS GERENCIAIS E ADMINISTRAÇÃO

AÇÃO DE CURSOS LICENCIATURA/ LETRAS

COORDENAÇÃO DE CURSOS LICENCIATURA/PEDAGOGIA


Rogério Lacerda


Legenda

Nosso Tema

Saiba mais

Atividade


Síntese Referências Bibliográficas

Reflexão Material complementar

Dica Importante

3 | P á g i n a

Referências Bibliográficas

Material complementar

Importante


Rogério Lacerda


Sumário Unidade 1: Introdução à Matemática

Unidade 2: Conceitos Básicos

Unidade 3: Funções ................................

Unidade 4: Limites e Derivadas

Unidade 5: Aplicações das derivadas na área gerenci al


Unidade 1: Introdução à Matemática ................................................................

Unidade 2: Conceitos Básicos ................................................................

................................................................................................

e Derivadas ................................................................

Unidade 5: Aplicações das derivadas na área gerenci al ................................

4 | P á g i n a

.................................................. 8

.......................................................... 21

........................................... 39

........................................................ 59

................................................ 78


Rogério Lacerda


Nosso Tema

Prezado aluno,

Seja bem vindo à disciplina de

tecnologias, e em face de um estado de maior globalização

mais, exige um profissional com maiores habilidades. Habilidade de trabalhar em equipe, habilidade

de resolver problema e habilidade de se comunicar

problemas, principalmente d

criatividade, do raciocínio lógico,

de matrizes e gráficos. Perante

contribuir para o aprimoramento des

• Unidade 2 � Conceitos Básicos:

básica, o sistema cartesiano e a representação e análise gráfica das funções.

• Unidade 3 � Funções:

1º grau e de 2º grau, funções exponenciais e aplicações na área

Custo, Receita e Lucro.

• Unidade 1 � Introdução à Matemática:

Linguagem.

• Unidade 5 � Aplicações de Derivadas na Área Gerencial:

funções marginais, custo marginal, receita e lucro marginal.

• Unidade 4 � Limites e Derivadas:

derivação.


Nosso Tema

Seja bem vindo à disciplina de Matemática. Com o constante desenvolvimento da economia

um estado de maior globalização, percebemos que o mercado

exige um profissional com maiores habilidades. Habilidade de trabalhar em equipe, habilidade

e resolver problema e habilidade de se comunicar, entre diversas outras. Para solução de

daqueles que envolvem a matemática, é fundamental o exercício da

raciocínio lógico, da habilidade de cálculo, da capacidade de abstração

. Perante dessa necessidade, desenvolvemos este

o aprimoramento desses requisitos. Veja o que estudaremos nas unidades.

Conceitos Básicos: o conceito de funções, sua importância


Funções: o conceito de domínio e imagem de funções, funções de

1º grau e de 2º grau, funções exponenciais e aplicações na área

Custo, Receita e Lucro.

Introdução à Matemática: a origem da Matemática e sua

Aplicações de Derivadas na Área Gerencial: o conceito de

funções marginais, custo marginal, receita e lucro marginal.

Limites e Derivadas: o conceito limite e derivada e as regras de

5 | P á g i n a

desenvolvimento da economia e das

percebemos que o mercado, cada vez

exige um profissional com maiores habilidades. Habilidade de trabalhar em equipe, habilidade

entre diversas outras. Para solução de

é fundamental o exercício da

de abstração e confecção

desenvolvemos este material no intuito de

estudaremos nas unidades.

conceito de funções, sua importância


o conceito de domínio e imagem de funções, funções de

1º grau e de 2º grau, funções exponenciais e aplicações na área gerencial:

a origem da Matemática e sua

o conceito de

o conceito limite e derivada e as regras de


Rogério Lacerda


Reflexão

Na ciência, em diversos mo

desenvolveram conceitos, teorias e contribuíram para o desenvolvimento humano.

curioso, Albert Einstein compara a ciência

ciência era fundamentada nos fatos universais e visíveis, Galileu foi um dos primeiros a observar que

há muito além do que os olhos v

“Ao contrário da ciência aristotélica, a ciência moderna desconfia sistematicamente

das evidências de nossa experiênci

do conceito vulgar, são ilusórias. Como bem salienta Einstein no prefácio ao Diálogo

sobre os Grandes Sistemas do Mundo, Galileu esforça

demonstrar que a hipótese dos movimentos de rotação

refutada pelo fato de não observarmos quaisquer efeitos mecânicos destes

movimentos, ou seja,

Físico, matemático e astrônomo italiano, Galileu

Galilei (1.564-1.642) descobriu a lei dos corpos e

enunciou o Princípio da Inércia. Foi por pouco que

Galileu não seguiu a carreira artística. Seu pai

desejava que ele fosse médico e para atender os

desejos de seu pai, desembarcou no Porto de

Pisa. Porém se revelou um péssimo aluno, e só

pensava em fazer "experiências de física" (na

época, a Física era considerada uma ciência d

sonhadores).

Fonte: Disponível em http://www.ggalilei.kit.net/fotos.htmAcesso em 23/11/2011.


Reflexão

diversos momentos históricos, vários foram os grandes pensadores que

desenvolveram conceitos, teorias e contribuíram para o desenvolvimento humano.

Albert Einstein compara a ciência de Aristóteles e Galileu. Aristó

cia era fundamentada nos fatos universais e visíveis, Galileu foi um dos primeiros a observar que

há muito além do que os olhos veem.


das evidências de nossa experiência imediata. Tais evidências, que estão na base


sobre os Grandes Sistemas do Mundo, Galileu esforça

demonstrar que a hipótese dos movimentos de rotação e translação da terra não é


movimentos, ou seja, pelo fato da terra nos parecer parada.”

Fonte: Disponível em http://3.bp.blogspot.com/_QPGecxpDTo/STQUT6uJjbI/AAAAAAAAAFU/14s5GLOSgu4/s320/aristoteles2.jpgAcesso em 23/11/2011.

Físico, matemático e astrônomo italiano, Galileu

1.642) descobriu a lei dos corpos e

enunciou o Princípio da Inércia. Foi por pouco que

arreira artística. Seu pai

desejava que ele fosse médico e para atender os

desejos de seu pai, desembarcou no Porto de

Pisa. Porém se revelou um péssimo aluno, e só

pensava em fazer "experiências de física" (na

época, a Física era considerada uma ciência de

http://www.ggalilei.kit.net/fotos.htm. Acesso em 23/11/2011.

Aristóteles foi um filósofo grego (384

322ac). Seus escritos abrangem

diversos assuntos, como a físic

metafísica, as leis da poesia e do

drama, a música, a lógica, a retórica, o

governo, a ética, a biologia e a zoologia.

Aristóteles é visto como um dos

fundadores da filosofia ocidental.

6 | P á g i n a

vários foram os grandes pensadores que

desenvolveram conceitos, teorias e contribuíram para o desenvolvimento humano. Em um comentário

de Aristóteles e Galileu. Aristóteles acreditava que o

cia era fundamentada nos fatos universais e visíveis, Galileu foi um dos primeiros a observar que


a imediata. Tais evidências, que estão na base


sobre os Grandes Sistemas do Mundo, Galileu esforça-se denodadamente por

e translação da terra não é


pelo fato da terra nos parecer parada.” (Machado 1987. p.12)

Disponível em http://3.bp.blogspot.com/_QP-

UT6uJjbI/AAAAAAAAAFU/14s5GLOSgu4/s320/aristoteles2.jpg . Acesso em 23/11/2011.

Aristóteles foi um filósofo grego (384 –

322ac). Seus escritos abrangem

diversos assuntos, como a física, a

metafísica, as leis da poesia e do

drama, a música, a lógica, a retórica, o

governo, a ética, a biologia e a zoologia.

Aristóteles é visto como um dos

fundadores da filosofia ocidental.


Rogério Lacerda


Aristóteles, predecessor de Galileu,

descobria algo sobre a Física, ninguém o contestava,

Outro estudioso importante para a Matemática foi

nos Estados Unidos. Foi eleito

por desenvolver a teoria da relatividade. Recebeu o Nobel de Física de 1921 pela corre

do efeito fotoelétrico. O seu trabalho teórico possibilitou o desenvolvimento da energia atômic

"Se a Teoria da Relatividade se mostra

alemão, os suíços dirão que sou suíço e a França me rotulará de grande cientista; se

estiver errada, os franceses dirão que sou suíço, os suíços me chamarão de alemão e

os alemães me acusarão de judeu."

“A mente que se abre a uma nova idéia jamais v

“Lembre-se de que as pessoas podem tirar tudo de você, menos o seu conhecimento. É o

seu bem mais precioso. Explore; viaje; descubra. Conheça.”

Fonte: Disponível em http://www.brogui.com/2009/01/17/fotosde-albert-einstein-que-pouca-conhece/. Acesso em 23/11/2011.


, predecessor de Galileu, era o único descobridor respeitado da sua época

Física, ninguém o contestava, até surgir Galileu, com suas descobertas

Outro estudioso importante para a Matemática foi Albert Einstein, um teórico e

nos Estados Unidos. Foi eleito, em 2009, o físico mais memorável de todos os tempos. É conhecido

por desenvolver a teoria da relatividade. Recebeu o Nobel de Física de 1921 pela corre

trico. O seu trabalho teórico possibilitou o desenvolvimento da energia atômic

PENSAMENTOS DE EINSTEIN

"Se a Teoria da Relatividade se mostrar correta, os alemães me chamarão de



os alemães me acusarão de judeu."

abre a uma nova idéia jamais voltará ao seu tamanho original.”

que as pessoas podem tirar tudo de você, menos o seu conhecimento. É o

bem mais precioso. Explore; viaje; descubra. Conheça.”

Fonte: Disponível em http://raposasasul.blogspot.com/2011/05/einstein-e-os-meus-alunos.html. Acesso em 23/11/2011.

http://www.brogui.com/2009/01/17/fotos--gente-

. Acesso em 23/11/2011.

7 | P á g i n a

da sua época e quando

, com suas descobertas.

teórico e físico, alemão radicado

o físico mais memorável de todos os tempos. É conhecido

por desenvolver a teoria da relatividade. Recebeu o Nobel de Física de 1921 pela correta explicação

trico. O seu trabalho teórico possibilitou o desenvolvimento da energia atômica.

r correta, os alemães me chamarão de



oltará ao seu tamanho original.”

que as pessoas podem tirar tudo de você, menos o seu conhecimento. É o

http://raposasasul.blogspot.com/2011/05/einst. Acesso em


Rogério Lacerda


Unidade 1: Introdução

1. Conteúdo Didático

O estudo da matemática é fundamental para o indivíduo e para sociedade. Para o indivíduo porque

abre novas perspectivas e oportunidades

porque permite a oportunidade de descobrir novas tecnologia

de vida das pessoas.

Ao longo desta unidade, teremos a oportunidade de conhecer

linguagem e aplicações.

1.1 Origem da Matemática

Por volta do ano 4.000 a.C.,

aldeias cresciam, surgia assim a necessidade de produzir alimentos em maior quantidade. As

pessoas começaram a se dedicar a uma única atividade, surgiram as profis

artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores.

Era o fim da Pré-História e o começo da História.

Muitas descobertas dessa época surgiram no Egito. O projeto e construção das

desenhos, símbolos e formas de resolver problemas. Já não era mais possível efetuar cálculos

rápidos utilizando pedras, nós ou riscos.

Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objet

os símbolos. A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da

Matemática.

Na Pré-História, a única forma de saber o número de presas abatidas era junta

coelhos para obter um total de

sabemos nem que objetos estamos somando. Mas isso não importa: a operação pode ser feita da

mesma maneira. Entretanto

números?


Unidade 1: Introdução à Matemática

Conteúdo Didático


abre novas perspectivas e oportunidades para sua vida pessoal e profissional

a oportunidade de descobrir novas tecnologias e modelos que podem mudar a forma

Ao longo desta unidade, teremos a oportunidade de conhecer a origem da matemática, sua

Origem da Matemática

Por volta do ano 4.000 a.C., apareceram as primeiras ferramentas e armas de bronze.

cresciam, surgia assim a necessidade de produzir alimentos em maior quantidade. As

pessoas começaram a se dedicar a uma única atividade, surgiram as profis

artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores. Com esse desenvolvimento surgiu a escrita.

História e o começo da História.

a época surgiram no Egito. O projeto e construção das


rápidos utilizando pedras, nós ou riscos. Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do

Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos


a única forma de saber o número de presas abatidas era junta

um total de nove presas. Hoje usamos os símbolos. 3 + 6


Entretanto como eram os símbolos que os egípcios criaram para r

8 | P á g i n a


para sua vida pessoal e profissional, para a sociedade

e modelos que podem mudar a forma

a origem da matemática, sua

ferramentas e armas de bronze. Pequenas

cresciam, surgia assim a necessidade de produzir alimentos em maior quantidade. As

pessoas começaram a se dedicar a uma única atividade, surgiram as profissões: agricultores,

e desenvolvimento surgiu a escrita.

a época surgiram no Egito. O projeto e construção das pirâmides exigiam


Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do

os de uma coleção através de desenhos –


a única forma de saber o número de presas abatidas era juntar três aves com seis

6 = 9. Muitas vezes não


como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os


Rogério Lacerda


“Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome

significa “Filho da Lua”. Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a

do faraó: provavelmente era um escriba. H

do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.

O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Cont

envolvendo assuntos do dia

alimentação do gado. Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no

Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio

decifração dos hieróglifos

também foi muito útil. O sistema de numeração egípcio baseava

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 Os egípcios

números. Um traço vertical representava

número 10: Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000:

Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez

representando um deus, valia 1.000.000.

Todos os outros números eram escritos combinando os números

usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito im

exemplo 256 e trocarmos os algarismos de lugar

diferentes: 265 526 562 625 652. Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a

ordem dos símbolos. Observe

três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número: 45.”

Fonte: Disponível em http://educar.sc.usp.br/licenciatu

Assim, os egípcios dominaram os números inteiros. Faltava a fração. As margens do rio Nilo eram

extremamente importantes para esta sociedade.

subiam e quando baixavam, produziam

Contando com os egípcios Fonte: http://educar22/11/2011




do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis


O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 80 problemas, todos resolvidos. A maioria

nvolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a


Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio

decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito

também foi muito útil. O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 Os egípcios usavam símbolos para representar esses

números. Um traço vertical representava uma unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o


egípcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez

representando um deus, valia 1.000.000.

Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Na escrita dos números que

usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Se tomarmos um número, como por

exemplo 256 e trocarmos os algarismos de lugar vamos obter outros números completamente


ordem dos símbolos. Observe, no desenho, que, apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os

três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número: 45.”

http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page03.htm. Acesso em 22/11/2011

gípcios dominaram os números inteiros. Faltava a fração. As margens do rio Nilo eram

para esta sociedade. Uma vez por ano, na época das cheias, as águas

m, produziam terras férteis para o cultivo. A grande questão era: como

Contando com os egípcios Fonte: Disponível em http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page03.htm. Acesso em 22/11/2011

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oje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis


m 80 problemas, todos resolvidos. A maioria

dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a


Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a

inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII

se em sete números-chave:

usavam símbolos para representar esses

unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o


egípcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez

chave. Na escrita dos números que

portante. Se tomarmos um número, como por

obter outros números completamente


apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os

cesso em 22/11/2011

gípcios dominaram os números inteiros. Faltava a fração. As margens do rio Nilo eram

Uma vez por ano, na época das cheias, as águas

A grande questão era: como

cesso em


Rogério Lacerda


repartir estas terras para uma determinada elite de agricultores? Es

cercas de pedra sempre eram derrubados com a subida do Nilo.

Sesóstris determinou a medição des

pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de

medida estava contida nos lados do terreno.

vezes nos lados do terreno. P

fracionário.

Como o símbolo das operações (+ ou

envolviam uma grande quantidade de

do século III a.C. começou a se formar um

existentes. Esse foi o sistema

De todas as civilizações da Antigu

muito espertos: em vez de inventar outros símbolos, os romanos usaram as letras de seu alfabeto

para representar os números.

Descobrindo a fração Fonte: Disponível em http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page03.htm22/11/2011


repartir estas terras para uma determinada elite de agricultores? Esses espaços delimitados por

cercas de pedra sempre eram derrubados com a subida do Nilo.

medição desses terrenos com uma corda de determinado tamanho.


medida estava contida nos lados do terreno. Entretanto, dificilmente cabia um número inteiro de

Por essa razão, os egípcios criaram um novo tipo de número: o número

Como o símbolo das operações (+ ou -) ainda não haviam sido inventados

envolviam uma grande quantidade de números de entendimento bem complicado

do século III a.C. começou a se formar um novo sistema de numeração bem mais prático

e foi o sistema de numeração romano.

todas as civilizações da Antiguidade, a dos romanos foi a mais importante.

de inventar outros símbolos, os romanos usaram as letras de seu alfabeto

para representar os números. As sete letras que os Romanos utilizavam como numerais são:

I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000

Descobrindo a fração Disponível em

http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page03.htm. Acesso em 11

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es espaços delimitados por

es terrenos com uma corda de determinado tamanho. As


dificilmente cabia um número inteiro de

os egípcios criaram um novo tipo de número: o número

) ainda não haviam sido inventados, todas as operações

bem complicado. Somente por volta

sistema de numeração bem mais prático que os já

rtante. Os romanos foram

de inventar outros símbolos, os romanos usaram as letras de seu alfabeto

letras que os Romanos utilizavam como numerais são:


Rogério Lacerda


Como eles combinaram esses símbolos para formar o seu sistema de numeração? Repetindo cada

símbolo duas ou três vezes o número fica duas ou três vezes maior. Mas atenção! Não pode repetir

mais de três vezes. E mais: os símbolos V, L e D não se repetem.

XXX é 30, CCC é 300, MM é

Tem mais...

As letras I, X ou C colocam-se à esquerda de outras de maior valor para representar a diferença entre

elas, obedecendo às seguintes regras:

I só se coloca à esquerda de V ou de X;

X só se coloca à esquerda de L ou de C;

C só se coloca à esquerda de D ou de M

Se um símbolo for colocado à direita de outro símbolo de menor valor, este último símbolo soma o

seu valor ao valor do outro, assim: VI (5+1=6) ou CX (100+10=110).

Se um símbolo for colocado à esquerda de outro símbolo de menor valor, este símbolo diminui o seu

valor ao valor do outro, veja só: IV (5

O método normal de cálculo na Roma antiga, assim como na Grécia antiga, era mover bolas de

contagem numa tábua própria para o efeito. As bolas de contagem originais denominavam

Mais tarde, e na Europa medieval, o

indicavam unidades, meias dezenas, dezenas, etc., como na numeração romana.

O sistema de numeração decimal foi desenvolvido na Índia. O sistema foi desenvolvido utilizando

apenas nove sinais. A grande contribuição

numeração foi a invenção do zero

Os hindus descobriram e os árabes divulgaram.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81bacoAcesso em 22/11/2011


es símbolos para formar o seu sistema de numeração? Repetindo cada


mais de três vezes. E mais: os símbolos V, L e D não se repetem. Veja só alguns exemplos: II

2000.

se à esquerda de outras de maior valor para representar a diferença entre

s, obedecendo às seguintes regras:

I só se coloca à esquerda de V ou de X;

só se coloca à esquerda de L ou de C;

C só se coloca à esquerda de D ou de M.


seu valor ao valor do outro, assim: VI (5+1=6) ou CX (100+10=110).

lo for colocado à esquerda de outro símbolo de menor valor, este símbolo diminui o seu

valor ao valor do outro, veja só: IV (5-1=4) ou CM (1000-100=900).


ma tábua própria para o efeito. As bolas de contagem originais denominavam

Mais tarde, e na Europa medieval, os jetons começaram a ser manufaturados. Linhas marcadas


ção decimal foi desenvolvido na Índia. O sistema foi desenvolvido utilizando

. A grande contribuição dada pelos hindus para formar o seu sistema de

invenção do zero. Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos

os árabes divulgaram.

Fonte: Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81baco.

cesso em 22/11/2011

11 | P á g i n a

es símbolos para formar o seu sistema de numeração? Repetindo cada


ja só alguns exemplos: II é 2,

se à esquerda de outras de maior valor para representar a diferença entre


lo for colocado à esquerda de outro símbolo de menor valor, este símbolo diminui o seu


ma tábua própria para o efeito. As bolas de contagem originais denominavam-se calculi.

turados. Linhas marcadas


ção decimal foi desenvolvido na Índia. O sistema foi desenvolvido utilizando

pelos hindus para formar o seu sistema de

lgarismos indo-arábicos.


Rogério Lacerda


Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse.

Esses números foram chamados de

trabalho com números fracionários. Não havia mais necessidade de escrever um número fracionário

por meio de uma adição de dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios. O número

fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números na

matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fracionários podem ser

expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais.

A descoberta de números racionais foi

1.2 A Linguagem da Matemática

A matemática moderna utiliza símbolos e operações para manipulação de números de várias

maneiras. As operações básicas matemáticas

+", a subtração com o "sinal menos

o símbolo “x”.

Para conhecer mais, leia o texto original na íntegra acessando o site http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page03.htm.

Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas

cartesianas, se tornou possível

algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um

impulso, nomeadamente na sua aplicabilidade a outras ciências

a partir de observações ou

função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daqui todo o

desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por outro lado, a introdução de

coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas

de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre

variáveis.

Fonte: http://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php



números foram chamados de números naturais. Os números naturais simplificaram muito



fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais. A palavra razão em



A descoberta de números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.

A Linguagem da Matemática


maneiras. As operações básicas matemáticas, como sabemos, são a adição que

+", a subtração com o "sinal menos -", a divisão que utiliza os símbolos “ / ou ÷



cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas

algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um

impulso, nomeadamente na sua aplicabilidade a outras ciências - os cientistas passam,

a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou

função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daqui todo o


coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a "criação"

novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre

http://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php acesso em 23/11/2011

12 | P á g i n a


números naturais. Os números naturais simplificaram muito o



turais. A palavra razão em



um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.


são a adição que utiliza o "sinal mais

÷ ” e a multiplicação com



ansformar problemas geométricos em problemas

algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande

os cientistas passam,

izadas, a procurar determinar a fórmula ou

função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daqui todo o estudo se


já conhecidas permitiu a "criação"

novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre


Rogério Lacerda


Outros símbolos de matemática são utilizados para identificar igualdades e desigualdades. Esta

simbologia é geralmente utilizada na resolução de equações. O "sinal de igual" = é o símbolo usado

entre as duas quantidades equivalentes. As desigualdades utilizam os sinais:

menor ou igual “ ≤ “; maior ou igual “

Segue uma tabela com o resumo das principais simbologias:

Símbolo Nome

+ Adição

4 + 6 = 10 significa que se se somar 4 a 6, a soma, ou resultado, é 1

Exemplo: 43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9

-

Subtração

9 - 4 = 5 significa que se subtrair 4 de 9, o resultado será 5. O sinal também denota que um número é somar cinco a menos três, o resultado será dois.

Exemplo: 87 - 36 = 51

⇒⇒⇒⇒ →

Implicação material

A ⇒ B significa: se nada é dito sobre B→ pode ter o mesmo significado de abaixo sobre as funções

x = 2 ⇒ x² = 4 é verdadeiro, mas −2).

⇔⇔⇔⇔ ↔

Equivalência material

A ⇔ B significa: A

x + 5 = y + 2 ⇔ x

∧∧∧∧ Conjunção lógica

a proposição A ∧ falsa.

Exemplo: n < 4 ∧

∨∨∨∨ Disj unção lógica

a proposição A ∨ forem falsos, a proposição é falsa

Exemplo: n ≥ 4 ∨

∀∀∀∀ Quantificação universal

∀ x: P(x) significa:



mente utilizada na resolução de equações. O "sinal de igual" = é o símbolo usado

entre as duas quantidades equivalentes. As desigualdades utilizam os sinais:

“; maior ou igual “ ≥ “ e Diferente “ ≠ ” ,

egue uma tabela com o resumo das principais simbologias:

Lê-se como

mais Aritmética

4 + 6 = 10 significa que se se somar 4 a 6, a soma, ou resultado, é 1

Exemplo: 43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9

menos Aritmética

4 = 5 significa que se subtrair 4 de 9, o resultado será 5. O sinal também denota que um número é negativo. Por exemplo, 5 + (-3) = 2 significa que se se

menos três, o resultado será dois.

36 = 51

material implica; se ... então Lógica

significa: se A for verdadeiro então B é também verdadeiro; se B.

pode ter o mesmo significado de ⇒, ou pode ter o significado que mencionamos funções.

² = 4 é verdadeiro, mas x² = 4 ⇒ x = 2 é em geral falso (visto que

material se e só se; se. Lógica

é verdadeiro se B for verdadeiro e A é falso se B

+ 3 = y

lógica e Lógica

B é verdadeira se A e B foram ambos verdadeiros; caso contrário, é

∧ n > 2 ⇔ n = 3 quando n é um número natural

ou Lógica

B é verdadeira se A ou B (ou ambos) forem verdadeiros; se ambos forem falsos, a proposição é falsa.

∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 quando n é um número natural

universal para todos; para qualquer; para cada.

Lógica

) significa: P(x) é verdadeiro para todos os x

13 | P á g i n a


mente utilizada na resolução de equações. O "sinal de igual" = é o símbolo usado

entre as duas quantidades equivalentes. As desigualdades utilizam os sinais: maior “ > “ ; menor “ <”;

Categoria

Aritmética

4 + 6 = 10 significa que se se somar 4 a 6, a soma, ou resultado, é 10.

Aritmética

4 = 5 significa que se subtrair 4 de 9, o resultado será 5. O sinal - é único porque 3) = 2 significa que se se

Lógica proposicional

é também verdadeiro; se A for falso então

, ou pode ter o significado que mencionamos mais

= 2 é em geral falso (visto que x pode ser


B é falso.


foram ambos verdadeiros; caso contrário, é


(ou ambos) forem verdadeiros; se ambos

Lógica predicativa


Rogério Lacerda


Exemplo: ∀ n

= Igualdade

x = y significa:

Exemplo: 1 + 2

{ , } chavetas de

{a,b,c} significa: o conjunto que consiste de

Exemplo: N = {0,1,2,...}

∅ {}

Conjunto vazio

{} significa: o conjunto sem elementos;

Exemplo: {n ∈

∈∈∈∈ ∉∉∉∉

Pertença a conjunto

a ∈ S significa: de S

Exemplo: (1/2)

∪∪∪∪

União teórica de conjuntos

A ∪ B significa: o conjunto que contém todos os elementos de de B, mas mais nenhuns

Exemplo: A ⊆

∩

Intersecção conjuntos

A ∩ B significa: o conjunto que contém todos os elementos que comum.

Exemplo: {x ∈

( ) [ ] { }

Aplicação de agrupamento

Para a aplicação de função: para o agrupamento: execute primeiro as operações dentro dos parênteses

Exemplo: Se

f:X→Y Seta de função

f: X → Y significa: a função

Exemplo: Considere a função

N Números naturais

N significa: {1,2,3,...}


n ∈ N: n² ≥ n

igual a

significa: x e y são nomes diferentes para a exata mesma coisa

+ 2 = 6 − 3

chavetas de conjunto o conjunto de ...

} significa: o conjunto que consiste de a, b, e c.

= {0,1,2,...}

vazio conjunto vazio

{} significa: o conjunto sem elementos; ∅ é a mesma coisa

∈ N : 1 < n² < 4} = {}

a conjunto em; está em; é um elemento de; é um membro de; pertence a

significa: a é um elemento do conjunto S; a ∉ S significa:

(1/2)−1 ∈ N; 2−1 ∉ N

teórica de a união de ... com ...; união

significa: o conjunto que contém todos os elementos de , mas mais nenhuns.

⊆ B ⇔ A ∪ B = B

teórica de intersecta com; intersecta

significa: o conjunto que contém todos os elementos que

∈ R : x² = 1} ∩ N = {1}

de função; agrupamento

de

a aplicação de função: f(x) significa: o valor da função f no elemento para o agrupamento: execute primeiro as operações dentro dos parênteses

Exemplo: Se f(x) := x², então f(3) = 3² = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, mas 8/(4/2)

função de ... para

significa: a função f mapeia o conjunto X no conjunto

Exemplo: Considere a função f: Z → N definida por f(x) = x²

naturais N

significa: {1,2,3,...}

14 | P á g i n a

todas

são nomes diferentes para a exata mesma coisa.

Teoria de conjuntos

Teoria de conjuntos

em; está em; é um elemento de; é um Teoria de conjuntos

significa: a não é um elemento

Teoria de conjuntos

significa: o conjunto que contém todos os elementos de A e também todos os

Teoria de conjuntos

significa: o conjunto que contém todos os elementos que A e B têm em

Teoria de conjuntos

no elemento x para o agrupamento: execute primeiro as operações dentro dos parênteses.

= 1, mas 8/(4/2) = 8/2 = 4

Funções

no conjunto Y

Números


Rogério Lacerda


Exemplo: {|a|

Z Números inteiros

Z significa: {...,

Exemplo: {a : |

Q Números racionais

Q significa: {p

3.14 ∈ Q; π

R Número s reais

R significa: {lim

π ∈ R; √(−1)

C Números complexos

C significa: {a

i = √(−1) ∈ C

< >

Comparação

x < y significa:

Exemplo: x <

≤ ≥

Comparação

x ≤ y significa:

Exemplo: x ≥ 1

√ Raiz quadrada

√x significa: o número positivo, cujo quadrado é

Exemplo: √(x

π PI

π significa: a raz

Exemplo: A = π

! Fatorial

n! é o produto 1×2×...×

Exemplo: 4! = 24

| | Valor absoluto

|x| significa: a distância no


| : a ∈ Z} = N

inteiros Z

significa: {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}

: |a| ∈ N} = Z

racionais Q

p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}

∉ Q

reais R

significa: {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, o limite existe}

−1) ∉ R

complexos C

a + bi : a,b ∈ R}

C

Comparação é menor que, é maior que

ca: x é menor que y; x > y significa: x é maior que y

< y ⇔ y > x

Comparação é menor ou igual a, é maior ou igual a

significa: x é menor que ou igual a y; x ≥ y significa: x é maior que ou igual a

≥ 1 ⇒ x² ≥ x

quadrada a raiz quadrada principal de; raiz quadrada

significa: o número positivo, cujo quadrado é x

x²) = |x|

PI

significa: a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro

= πr² é a área de um círculo de raio r

fatorial

! é o produto 1×2×...×n

Exemplo: 4! = 24

absoluto valor absoluto de; módulo de

| significa: a distância no eixo dos reais (ou no plano complexo

15 | P á g i n a

Números

Números

Números

Números

Ordenações parciais

y

é menor ou igual a, é maior ou igual a Ordenações parciais

é maior que ou igual a y.

Números reais

Geometria euclidiana

e o seu diâmetro

Análise combinatória

Números

plano complexo) entre x e zero


Rogério Lacerda


Exemplo: |''a'' + ''bi''| =

|| || Norma Norma

||x|| é a norma do elemento

Exemplo: ||''x''+''y''|| ≤

∑ Soma soma em ... de ... até ... de

∑k=1n ak significa: a1 +

Exemplo: ∑k=14 k² = 1²

∫ Integração Integral

∫ab f(x) dx significa: a

∫0b x² dx = b³/3; ∫x² dx

f ' Derivada derivada de f; primitiva de f

f '(x) é a derivada da função

Exemplo: Se f(x) = x

∇ Gradiente Del

∇f (x1, …, xn) é o vector das derivadas parciais (

Exemplo: Se f (x,y,z) = 3

Quadro 1 Fonte : Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Anexo:Tabela_de_s%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos23/11/2011.

Veja, no Saiba mais, algumas curiosidades sob

sinal de igualdade, maior e menor.

Sinais de relação (=, < e >)

Robert Record, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática

por ter sido o primeiro a empregar o sinal = (igual) para indicar igualdade. No seu primeiro livro,

publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ;

constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores

que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.

Os sinais > (maior que) e < (menor que) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com

seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.


Exemplo: |''a'' + ''bi''| = √(a² + b²)

Norma de comprimento de

|| é a norma do elemento x de um espaço vectorial

≤ ||''x''|| + ||''y''||

soma em ... de ... até ... de

+ a2 + ... + an

= 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

Integral de ... até ... de ... em função de

significa: a área entre o eixo dos x e o gráfico da função f entre

x = x³/3

derivada de f; primitiva de f

) é a derivada da função f no ponto x, i.e. o declive da tangente nesse ponto

x², então f '(x) = 2x

Del, nabla, gradiente de

) é o vector das derivadas parciais (df / dx1, …, df / dxn)

) = 3xy + z² então ∇f = (3y, 3x, 2z)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Anexo:Tabela_de_s%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos

algumas curiosidades sobre os três símbolos mais usados na matemática. O

sinal de igualdade, maior e menor.

Sinais de relação (=, < e >)



40, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ;



s sinais > (maior que) e < (menor que) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com

seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.

Fonte: Disponível em http://www.vocesabia.net/ciencia/matematica/origemsinais-matematicos/. Acesso em 23/11/2011.

16 | P á g i n a

Análise funcional

Aritmética

Cálculo

entre x = a e x = b

Cálculo

nesse ponto

Cálculo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Anexo:Tabela_de_s%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos. Acesso em

re os três símbolos mais usados na matemática. O



40, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ;



s sinais > (maior que) e < (menor que) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com

http://www.vocesabia.net/ciencia/matematica/origem-dos-


Rogério Lacerda


No quadro 2, apresentamos a você algu

APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA

Conteúdo

NÚMEROS POSITIVOS E NEGATIVOS +2 -3

RAZÕES E PROPORÇÕES 1/3

TRIGONOMETRIA

MATRIZES

EQUAÇÕES

INEQUAÇÕES

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Quadro 2 Fonte: Disponível em http://aldeciralmeida7.blogspot.com/


apresentamos a você alguns exemplos de aplicações da matemática.

APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA

Aplicações

NÚMEROS POSITIVOS E Temperatura, Conta bancária ou Nível de altitude:

PORÇÕES Fazer comparações, pequenas análises de dados

Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina. Por exemplo, a trigonometria do triângulo permite: calcular a altura de um prédio através de sua sombra, calcular a distância a ser percorridas em uma pista circular, análises de distância de planetas.

Animações no cinema utilizam matrizes. Desde o movimento dos personagens até o quadro de fundo podem ser criados por softwares que combinam pixels em formas geométricas, que são armazenadas e manipuladas.

Quando duas linhas de um mesmo plano se cruzam, obtémponto. É comum usarmos equações para indicar a localização de pessoas, barcos, aviões, cidades.

As inequações são usadas em experiências, estatísticas, análise de dados e comparações.

As equações diferenciais têm ampla aplicação na resolução de problemas complexos sobre movimento, crescimento, vibrações, eletricidade e magnetismo, aerodinâmica, termodinâmica, energia nuclear e todo tipo de fenômeno físico que envolva as taxas de variação de quantidades variáveis

http://aldeciralmeida7.blogspot.com/. Acesso em 23/11/2011.

17 | P á g i n a

exemplos de aplicações da matemática.

:

Fazer comparações, pequenas análises de dados

Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina. Por exemplo, a trigonometria do triângulo permite: calcular a altura de

bra, calcular a distância a ser percorridas em uma pista circular, análises de distância de planetas.

Animações no cinema utilizam matrizes. Desde o movimento dos personagens até o quadro de fundo podem ser criados por softwares

pixels em formas geométricas, que são armazenadas e

Quando duas linhas de um mesmo plano se cruzam, obtém-se um ponto. É comum usarmos equações para indicar a localização de

equações são usadas em experiências, estatísticas, análise de

As equações diferenciais têm ampla aplicação na resolução de problemas complexos sobre movimento, crescimento, vibrações,

aerodinâmica, termodinâmica, energia nuclear e todo tipo de fenômeno físico que envolva as taxas de


Rogério Lacerda


2.Teoria na Prática

Fenômeno

Como é que um avião mantém no ar sem algo a

suportá-lo?

O que faz com que uma maçã caia de uma árvore na terra?

O que mantém a Terra a girar em torno do Sol?

Como é que as imagens e sons de um jogo de futebol aparecem numa TV em qualquer parte do mundo?

Sons musicais

A Terra é circular


Teoria na Prática

Aplicações da Matemática

Fenômeno Explica ção matemática

m avião se mantém no ar sem algo a

Equações descobertas por Daniel Bernoulli no século

O que faz com que uma maçã caia de uma árvore na terra?

O que mantém a Terra a girar

Equações do mmecânica descobertas por

Newton no século XVII

Como é que as imagens e sons de um jogo de futebol aparecem numa TV em qualquer parte do mundo?

Através da radiação eletromagnética descrita pelas equações de Maxwell, século

musicais Foram estudados por

Aristóteles

A Terra é circular

2000 anos antes de enviarmos uma nave espacial para o espaço que nos fornece

fotografias da Terra, Eratóstenes usou a Matemática

para provar que a Terra é circular. Calculou o seu

diâmetro e a sua curvatura com 99% de exatidão.

18 | P á g i n a

ção matemática

Equações descobertas por Daniel Bernoulli no século

XVIII.

Equações do movimento e da mecânica descobertas por

Newton no século XVII.

Através da radiação eletromagnética descrita pelas equações de Maxwell, século

XIX.

Foram estudados por Aristóteles.

2000 anos antes de enviarmos uma nave espacial para o espaço que nos fornece

fotografias da Terra, Eratóstenes usou a Matemática

para provar que a Terra é circular. Calculou o seu

e a sua curvatura com 99% de exatidão.


Rogério Lacerda


Quem vai ganhar nas eleições?

Amanhã vai chover?

Fonte: Disponível em http://aldeciralmeida7.blogspot.com/2009/12/ovidas.html#comment-form. Acesso em 23/11/2011.


Quem vai ganhar nas eleições? Previsão com base na teoria das probabilidades e

estatística

Amanhã vai chover? Previsão com base

http://aldeciralmeida7.blogspot.com/2009/12/o-papel-da-matematica-em. Acesso em 23/11/2011.

19 | P á g i n a

Previsão com base na teoria das probabilidades e

estatística.

Previsão com base no cálculo.

em-nossas-


Rogério Lacerda



Símbolo

( ) [ ] { }f

<; > ;


• Por volta do ano 4.000 a.C

• Egito utiliza símbolos para representar as quantidades

frações.

• Por volta do século III a.C.

• Desenvolvimento de ferramentas de cálculo

• Desenvolvimento do sistema de numeração decimal na Índia com utilização do zero.

• Aperfeiçoamento dos sistemas de

3. Síntese

Nesta unidade, abordamos os s



Símbolo Nome + ; - adição e subtração

⇒ → implicação material

⇔ ↔ equivalência material

∧ conjunção lógica

∨ disjunção lógica

∀ quantificação universal

= igualdade

{ , } chavetas de conjunto

∅ {} conjunto vazio

∈ ∉ pertença a conjunto

∪ união e interseção de conjuntos

( ) [ ] { } aplicação de função; agrupamento

f:X→Y seta de função

N números naturais ; inteiros e racionais

<; > ; ≤ ; ≥ comparação

√ raiz quadrada

! fatorial

| | valor absoluto

∑ soma

∫ integração

f ' derivada

∇ gradiente


Por volta do ano 4.000 a.C,,.surgiram as profissões e, em seguida, a escrita

Egito utiliza símbolos para representar as quantidades – Criam os números inteiros e as

r volta do século III a.C., desenvolveu-se o sistema de numeração romano.

Desenvolvimento de ferramentas de cálculo.

Desenvolvimento do sistema de numeração decimal na Índia com utilização do zero.

Aperfeiçoamento dos sistemas de divisão e multiplicação.

Síntese

bordamos os seguintes tópicos:

20 | P á g i n a

aplicação de função; agrupamento

números naturais ; inteiros e racionais

a escrita.

Criam os números inteiros e as

se o sistema de numeração romano.

Desenvolvimento do sistema de numeração decimal na Índia com utilização do zero.


Rogério Lacerda




Nesta unidade, iremos aprender a representar e utilizar a relação entre conjuntos. Este é o primeiro

passo para compreendermos o conceito de função. A função é a base do estud

Todas as equações matemáticas são repre

o significado de função é o objetivo desta unidade.

1.2 Conjuntos

Iniciaremos os estudos com conjuntos que

bastante atenção!

Conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos, dados, números ou qualquer outro item. Os

conjuntos são indicados por letras maiúsculas do alfabeto e seus elementos por letras minúsculas. No

exemplo, o conjunto “A” contém

Podemos representar os conjuntos com expressões. No exemplo

elementos escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto

Vejamos algumas considerações sobre c



Conteúdo Didático

iremos aprender a representar e utilizar a relação entre conjuntos. Este é o primeiro

passo para compreendermos o conceito de função. A função é a base do estud

Todas as equações matemáticas são representadas por símbolos e funções, portanto, c

o significado de função é o objetivo desta unidade.

Conjuntos

Iniciaremos os estudos com conjuntos que são a base para o entendimento de fun



o conjunto “A” contém os números 1; 3 e 6.

Podemos representar os conjuntos com expressões. No exemplo, temos a letra do conjunto e seus

elementos escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula, assim:

algumas considerações sobre conjuntos.

•1 •3 •6

A

21 | P á g i n a

iremos aprender a representar e utilizar a relação entre conjuntos. Este é o primeiro

passo para compreendermos o conceito de função. A função é a base do estudo da matemática.

sentadas por símbolos e funções, portanto, compreender

a base para o entendimento de funções. Preste



temos a letra do conjunto e seus

vírgula, assim: A={1,3,6}.


Rogério Lacerda


1.1.1 Considerações sobre notações de conjuntos

Os conjuntos têm suas características próprias. Vamos conhecer alguns itens sobre as notações de

conjuntos.

• Um conjunto que não possui elementos é chamado de conjunto vazio e representado por

}.

• Quando um conjunto possui um número ilimitado de elementos

reticências (...). Ex.: E = {1, 2, 3, ...}.

• Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B se, e

somente se, todo elemen

{1, 2, 3, 4, 5 , 6} então A

• Chamamos de A ∩∩∩∩ B o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e B. Ex.:

2, 4, 6} e B = {2, 6, 9} então A

• Chamamos de A ∪∪∪∪ B o conjunto formado por todos os elementos de A ou B. Considerando os

conjuntos A e B do exemplo anterior, temos

• Chamamos diferença de A e B (A

pertencem a B.

A = {1, 2, 4, 6} e B = {2, 6, 9} então A

A = {0,2,4,6,8} e B= {0,2} então A

•1 •6 •2 •4

A

A


Considerações sobre notações de conjuntos


Um conjunto que não possui elementos é chamado de conjunto vazio e representado por

Quando um conjunto possui um número ilimitado de elementos, ele é infinito e utilizamos

E = {1, 2, 3, ...}.

Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B se, e

somente se, todo elemento do conjunto A também é elemento de B. Ex.:

⊂ B ou A é subconjunto de B.

B o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e B. Ex.:

{2, 6, 9} então A ∩∩∩∩ B = {2, 6}.

B o conjunto formado por todos os elementos de A ou B. Considerando os

conjuntos A e B do exemplo anterior, temos A ∪∪∪∪ B = {1, 2, 4, 6, 9}.

Chamamos diferença de A e B (A-B) ao conjunto de elementos que pertencem a A e não

, 9} então A - B = {2, 6}.

A = {0,2,4,6,8} e B= {0,2} então A – B = {4,6,8}

•2 •9 •6

B •1 •6 •2 •9 •4

∪∪∪∪ =

•1 •4

A •2 •9 •6

B •2

•6

22 | P á g i n a

Considerações sobre notações de conjuntos


Um conjunto que não possui elementos é chamado de conjunto vazio e representado por φ ou {

ele é infinito e utilizamos

Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B se, e

Se A = {1, 2, 4} e B =

B o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e B. Ex.: Se A = {1,

B o conjunto formado por todos os elementos de A ou B. Considerando os

tos que pertencem a A e não

•1 •6

•2 •9 •4


Rogério Lacerda


• Chamamos conjuntos complementares aos elementos que pertencem a B e não pertencem a

Dados A e B, A⊂ B, de um mesmo universo U, chama

relação a B, e indica-se C

A= {0,2} e B = {0,2,4} então C

Vamos ao novo tópico que discorrerá sobre números e conjuntos.

1.3 Os Números e Seus Conjuntos

Relembrando algumas definições dos

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Q = {x / x = b

a, com a,b

Todo número racional pode ser representado na forma decimal:

6,053

;75,147 ==

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS

Os números cuja representação decimal é não exata e não periódica são denominados

irracionais. Todas as raízes não exatas são exemplos de números irracionais.

2 = 1,4142135...


complementares aos elementos que pertencem a B e não pertencem a

B, de um mesmo universo U, chama-se conjunto complementar de A em

se C A B o conjunto formado pela diferença B- A.

A= {0,2} e B = {0,2,4} então C A B = { 4 }

Vamos ao novo tópico que discorrerá sobre números e conjuntos.

Os Números e Seus Conjuntos

Relembrando algumas definições dos conjuntos de números já apresentadas na Unidade 1

ATURAIS – N

NTEIROS – Z

1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

ACIONAIS – Q

, com a,b ∈ Z e b ≠ 0}

número racional pode ser representado na forma decimal:

6 ou representação periódica ...333,031 =

RRACIONAIS – I

resentação decimal é não exata e não periódica são denominados

Todas as raízes não exatas são exemplos de números irracionais.

23 | P á g i n a

complementares aos elementos que pertencem a B e não pertencem a A.

se conjunto complementar de A em

conjuntos de números já apresentadas na Unidade 1, temos:

...5222,09047 =

resentação decimal é não exata e não periódica são denominados números

Todas as raízes não exatas são exemplos de números irracionais.


Rogério Lacerda


3 = 1,7320508...

π = 3,1415926535...

e = 2,71828... (n.º de Euler)

CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS

A união dos números Racionais com os Números Irracionais constitui o conjunto de números reais,

portanto: R = Q U I = { x / x é racional ou x é irracional}

Os números reais são:

• os números naturais;

• os números inteiros;

• os números racionais;

• os números irracionais.

Podemos representar os números Reais (R) em uma reta que chamamos Reta Real: Cada

Real tem um ponto na reta associado a ele e cada ponto da reta te

representa.

1.4 Intervalos

Os subconjuntos de RRRR representam intervalos em uma reta.

Intervalos limitados

-5 -4 -3

-ππππ

R - Números Reais

I Números

Irracionais


26535...

e = 2,71828... (n.º de Euler)

EAIS


= { x / x é racional ou x é irracional}

os números naturais;

os números inteiros;

os números racionais;

os números irracionais.

Podemos representar os números Reais (R) em uma reta que chamamos Reta Real: Cada

Real tem um ponto na reta associado a ele e cada ponto da reta tem um número Real que o

Representação dos conjuntos de números

Intervalos

representam intervalos em uma reta.

3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

-1,5 +2,3 3

Números Reais

Q - Números Racionais

Z Números Inteiros

Números Não

Inteiros

24 | P á g i n a


Podemos representar os números Reais (R) em uma reta que chamamos Reta Real: Cada número

m um número Real que o


Rogério Lacerda


Os subconjuntos sejam a, b

de uma das seguintes formas:

[a ; b] = { x ∈R: a ≤ x ≤ b } denominado intervalo fechado de extremidades a e b.

]a ; b[ = { x ∈R: a < x < b } denominado intervalo aberto

[a ; b[ = { x ∈R: a ≤ x < b } denominado intervalo fechado em a e aberto em b.

]a ; b] = { x ∈R: a < x ≤ b } denominado intervalo aberto em a e fechado em b.

Intervalos ilimitados

Os subconjuntos sejam a ∈

seguintes formas:

[a ; ∞+ [ = { x ∈R: x ≥ a } denominado intervalo fechado.

]a ; ∞+ [ = { x ∈R: x > a } denominado intervalo aberto.

] ∞− ; a] = { x ∈R: x ≤ a } denominado intervalo fechado.

] ∞− ; a[ = { x ∈R: x < a } denominado intervalo aberto.

a

a

a

ba

a

a

a

a


∈RRRR, com a < b. Um intervalo limitado em RRRR é um subconjunto definido

de uma das seguintes formas:

denominado intervalo fechado de extremidades a e b.

denominado intervalo aberto de extremidades a e b.

denominado intervalo fechado em a e aberto em b.

denominado intervalo aberto em a e fechado em b.

RRRR. Um intervalo ilimitado em RRRR é um subconjunto definido de uma das

denominado intervalo fechado.

denominado intervalo aberto.

denominado intervalo fechado.

denominado intervalo aberto.

b R

R b

b R

b R

R

R

R

R

25 | P á g i n a

é um subconjunto definido

denominado intervalo fechado de extremidades a e b.

de extremidades a e b.

denominado intervalo fechado em a e aberto em b.

denominado intervalo aberto em a e fechado em b.

é um subconjunto definido de uma das


Rogério Lacerda


Vamos conhecer o Sistema Cartesiano Ortogonal.

1.5 Sistema Cartesiano Ortogonal

O sistema Cartesiano Ortogonal

perpendiculares entre si e com a mesma origem 0. O e

das abscissas e é denotado por 0x. O eixo na posição vertical é denominado

coordenadas e é denotado por 0y. O plano formado por estas duas retas é denominado

cartesiano ortogonal e denotado por

Dado um ponto P qualquer em

• P

• P

• x

• y

• A origem do sistema é o ponto O(0,0).

∝∝∝∝ 0

P2

yp


istema Cartesiano Ortogonal.

Sistema Cartesiano Ortogonal

Cartesiano Ortogonal é formado por um plano que é determinado por dois eixos

perpendiculares entre si e com a mesma origem 0. O eixo na posição horizontal é denominado

e é denotado por 0x. O eixo na posição vertical é denominado

e é denotado por 0y. O plano formado por estas duas retas é denominado

e denotado por ∝∝∝∝.

Dado um ponto P qualquer em ∝∝∝∝

P1 é a projeção ortogonal de P sobre 0x;

P2 é a projeção ortogonal de P sobre 0y;

xp é a coordenada de P 1 em 0x;

yp é a coordenada de P 2 em 0y;

A origem do sistema é o ponto O(0,0).

P

P1

y (Eixo das coordenadas)

x (Eixo das abscissas)

xp

26 | P á g i n a

é formado por um plano que é determinado por dois eixos

ixo na posição horizontal é denominado eixo

e é denotado por 0x. O eixo na posição vertical é denominado eixo das

e é denotado por 0y. O plano formado por estas duas retas é denominado plano


Rogério Lacerda


1.4.1 Representação Gráfica

Qualquer que seja P ∈ ∝∝∝∝, existe um único par de valores reais

indicado por (xp ; yp).

O Sistema Cartesiano pode ser dividido em quatro quadrantes.

Veja cada quadrante separadamente no quadro.

xp

2º Quadrante

xp < 0 ; y

xp

P

3º Quadrante

xp < 0 ; y

xp

P


Representação Gráfica

existe um único par de valores reais xp e yp , denominado par ordenado e

artesiano pode ser dividido em quatro quadrantes.

Veja cada quadrante separadamente no quadro.

x

y

0 a

b P (a, b) 1º Quadrante 2º Quadrante

3º Quadrante 4º Quadrante

Eixo da abscissa.

Eixo da ordenada.

Quadrante 1º Quadrante

4º Quadrante

y y

x

< 0 ; yp > 0 xp > 0 ; yp > 0

yp yp

xp

P

Quadrante y y

x

xp > 0 ; yp < 0

yp

xp

P

0

0

0

< 0 ; yp < 0

yp

0

27 | P á g i n a

, denominado par ordenado e

Eixo da abscissa.

Quadrante

Quadrante

x

> 0

x

< 0


Rogério Lacerda


6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Y

Resolução

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Y

Exercício

Em uma bacia de extração petrolífera foram identificados 4 pontos de potencial de

perfuração. A localização des

Cada unidade corresponde a 100 km de distância do ponto de referência P(0;0).

Represente esses pontos no sistema cartesiano.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

A

B

C D

X

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X


perfuração. A localização desses pontos corresponde a: A(6;2), B(8;3), C(5;1) e D(3;1).


es pontos no sistema cartesiano. Veja a resolução no gráfico.

28 | P á g i n a


es pontos corresponde a: A(6;2), B(8;3), C(5;1) e D(3;1).


Veja a resolução no gráfico.


Rogério Lacerda


Depois de conhecer o plano cartesiano, você vai aprender sobre o

1.6 Produto Cartesiano

O Produto Cartesiano é um produto de dois

formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento

pertence a B. O par ordenado é representado pela notação (a; b) onde “a” é

“b” é o elemento representando a

Exercícios

1) Vamos formar o conjunto dos pares ordenados.

Então A x B = {(0; 2), (0

2) Vamos formar o conjunto dos pares ordenados.

Então A x B = {(2; 1

Então B x A = {(1; 2

Então A x A = A2 =

Então A x ∅ = ∅


Depois de conhecer o plano cartesiano, você vai aprender sobre o Produto Cartesiano.

Produto Cartesiano

roduto Cartesiano é um produto de dois conjuntos não vazios A e B (notação A x B)


O par ordenado é representado pela notação (a; b) onde “a” é o elemento da abscissa e

o elemento representando a ordenada. Então:

Se (a ; b) = (c ; d) ⇔⇔⇔⇔ a = c ; b = d

o conjunto dos pares ordenados. Sejam os conjuntos A= {0

2), (0; 4), (1; 2), (1; 4), (2; 2), (2; 4)}

o conjunto dos pares ordenados. Sejam os conjuntos A= {

1), (2; 3), (2; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5)}

2), (1; 4), (3; 2), (3; 4), (5; 2), (5; 4)}

{(2; 2), (2; 4), (4; 2), (4; 4)}

29 | P á g i n a

artesiano.

conjuntos não vazios A e B (notação A x B), é o conjunto


o elemento da abscissa e

Sejam os conjuntos A= {0; 1; 2} e B= {2; 4}.

Sejam os conjuntos A= {2 ; 4} e B= {1; 3; 5}.


Rogério Lacerda


O Produto Cartesiano de dois conjuntos não vazios A e B (notação A x B)

pares ordenados, nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo e

1.5.1 Representação

Para representar o produto cartesiano de dois conjuntos

de flechas ou o diagrama cartesian

O produto cartesiano A x B = {(0

Representação por meio de Flechas

Representação no plano cartesiano

Veja, no próximo tópico, a definição

A B

0

1

2

2

4

( 0; 2)

0 1

y

2

4

( 1

( 1 ( 0; 4)


O Produto Cartesiano de dois conjuntos não vazios A e B (notação A x B) é o conjunto formado pelos

nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.

A x B = {(x : y) x ∈ A ∧∧∧∧ y ∈ B}

1.5.1 Representação

Para representar o produto cartesiano de dois conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {2, 4},

de flechas ou o diagrama cartesiano

produto cartesiano A x B = {(0; 2), (0;4), (1; 2), (1; 4), (2; 2), (2; 4)}



a definição de relação.

Cada par ordenado A x B é representado por um ponto no plano cartesiano.

B

2

4

2 x

( 2; 2)

( 2; 4)

( 1; 2)

( 1; 4)

30 | P á g i n a

o conjunto formado pelos

lemento pertence a B.

A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}, usamos o diagrama

Cada par ordenado A x B é representado por um ponto no


Rogério Lacerda


1.7 Definição de Relação

Quando montamos o produto de dois conjuntos A x B, encontramos todas as possibilidades de pares

de pontos. Em alguns casos, podemos definir uma relação entre os conjuntos ou seus

relação define uma restrição aos pares de pontos e as relações podem ser as

exemplo:

• x > y

• y é divisor de y

• x + y > 4

Você vai conhecer mais sobre matemática.

Exercício 1: Sejam os conjuntos A = {

R é o subconjunto onde x > y e x

Temos R = {(2; 1), (3; 1), (5; 1), (5; 4)} que é subconjunto de R. Uma possível notação é:

Exercício 2: Sejam os conjuntos A = {0

R é o subconjunto


Definição de Relação


de pontos. Em alguns casos, podemos definir uma relação entre os conjuntos ou seus

o aos pares de pontos e as relações podem ser as

y é divisor de y

Você vai conhecer mais sobre matemática.

Sejam os conjuntos A = {2; 3; 5} e B = {1; 4; 6} sendo:

conjunto onde x > y e x ∈ A e y ∈ B.

2; 1), (3; 1), (5; 1), (5; 4)} que é subconjunto de R. Uma possível notação é:

R = {(x : y) ∈∈∈∈ A x B x > y}

Sejam os conjuntos A = {0; 1; 2}, B = {2; 4} sendo:

bconjunto de A x B onde y é o dobro de x; y = 2x .

R = {(x, y) ∈∈∈∈ A x B | y = 2x} = {(1; 2), (2; 4)}

31 | P á g i n a


de pontos. Em alguns casos, podemos definir uma relação entre os conjuntos ou seus elementos. A

o aos pares de pontos e as relações podem ser as mais variadas, por

2; 1), (3; 1), (5; 1), (5; 4)} que é subconjunto de R. Uma possível notação é:


Rogério Lacerda


1.8 Domínio, Conjunto Imagem e Representação Gráfica.

Vamos entender essas definições: Dad

Podemos imaginar o conjunto A formado por três canetas (preta; azul; vermelha) e o conjunto B

formado por dois lápis (verde; azul). Podemos definir uma relação R entre os conjuntos no qual R =

mesma cor.

• Domínio de R (notação D(R

• pertencem a R.

No exemplo, a caneta

• Imagem de R (notação Im(R)) é o conjunto de elementos do segundo conjunto que pertencem a

R.

No exemplo, o lápis

Veja agora a representação com números

Dados os conjuntos A = {0; 1

= 2x.

Podemos representar graficamente esta relação R nas seguintes formas:

Representação por meio


Domínio, Conjunto Imagem e Representação Gráfica.

as definições: Dados dos conjuntos A e B.



Domínio de R (notação D(R)) é o conjunto de elementos do primeiro conjunto que

a caneta azul.

Imagem de R (notação Im(R)) é o conjunto de elementos do segundo conjunto que pertencem a

o lápis azul.

Veja agora a representação com números.

1; 2}, B = {2; 4} sendo R o subconjunto de A x B onde y é o dobro de x;

R = {(x, y) ∈∈∈∈ A x B | y = 2x} = {(1; 2), (2; 4)}

odemos representar graficamente esta relação R nas seguintes formas:

Representação por meio de Flechas. {(1; 2), (2; 4)}

A B

0

1

2

2

4

D = {1, 2} Im = {2, 4}

32 | P á g i n a

Domínio, Conjunto Imagem e Representação Gráfica.



)) é o conjunto de elementos do primeiro conjunto que

Imagem de R (notação Im(R)) é o conjunto de elementos do segundo conjunto que pertencem a

A x B onde y é o dobro de x; y


Rogério Lacerda



1.9 Função

Na matemática, como em outras ciências, muitas vezes queremos estabelecer uma relação ou

correspondência entre dois conjuntos.

apresentam regularidade, isto é, comportamento idêntico

uma função.

Exemplos práticos de função:

• Um carro em aceleração constante cria uma função en

• Quando uma torneira que despeja uma determinada quantidade de água por minuto, o volume de

água despejada dependerá do tempo que a torneira ficar aberta:

• A temperatura de um forno em relação

• A tarifa do táxi é uma função do número de quilômetros rodados.

• O custo em relação à quantidade de mão de obra.

-3 -2



Função - Conceito

outras ciências, muitas vezes queremos estabelecer uma relação ou

dois conjuntos. A observação mostra que há certos fenômenos que

apresentam regularidade, isto é, comportamento idêntico. Neste caso, podemos representá

Exemplos práticos de função:

Um carro em aceleração constante cria uma função entre as variáveis tempo(t) e velocidade (v).

ma torneira que despeja uma determinada quantidade de água por minuto, o volume de

água despejada dependerá do tempo que a torneira ficar aberta:

A temperatura de um forno em relação à quantidade de tempo que o mesmo est

A tarifa do táxi é uma função do número de quilômetros rodados.

quantidade de mão de obra.

( 2; 4)

x

y

-1 0 1 2

2

-1

1

3

4

(1; 2)

33 | P á g i n a

outras ciências, muitas vezes queremos estabelecer uma relação ou

A observação mostra que há certos fenômenos que

. Neste caso, podemos representá-los por

tre as variáveis tempo(t) e velocidade (v).

ma torneira que despeja uma determinada quantidade de água por minuto, o volume de

o que o mesmo está ligado.


Rogério Lacerda


Conceito: Uma relação f, de um conjunto A num conjunto B, é uma função de A

em B se, e somente se, f associa a todo elemento de A

B.

Indica-se que ƒ é uma função de

BAf →: (lê

Exemp lo : Sejam dois conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5} e seja a relação

dada por R = {(x, y)

(2,3), (3,4)}.


Uma relação f, de um conjunto A num conjunto B, é uma função de A

em B se, e somente se, f associa a todo elemento de A com um único elemento de

é uma função de A em B pela notação: f : A →→→→ B ou x

(lê-se: função f de A em B)

A B

�

�

�

�

�

�

�

�

f

: Sejam dois conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5} e seja a relação

dada por R = {(x, y) ∈ A x B | y = x + 1}, teremos então R = {(1,2),

(2,3), (3,4)}.

34 | P á g i n a

Uma relação f, de um conjunto A num conjunto B, é uma função de A

único elemento de

ou x →→→→ y = f(x)

: Sejam dois conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5} e seja a relação

y = x + 1}, teremos então R = {(1,2),


Rogério Lacerda


2. Teoria na Prática

1 - Exercício: Representar o produto cartesiano de dois c

o diagrama de flechas ou o diagrama cartesiano.

Resolução:

O produto cartesiano A x B = {(



2 - Exercício: Dados os conjuntos A = {

R o subconjunto de A x B onde x é divisor de y

R = {(x, y)

(-3; 3)

(-3; -2)

-3 -2


2. Teoria na Prática

Representar o produto cartesiano de dois conjuntos A = {-3; -1, 2} e B = {

o diagrama de flechas ou o diagrama cartesiano.

produto cartesiano A x B = {(-3 ; -2), (-3 ; 3), (-1; -2), (-1; 3), (2; -2), (2; 3)}


o plano cartesiano

os conjuntos A = {-2; 3; 5}, B = {-1; 1; 4; 6} sendo

A x B onde x é divisor de y.

R = {(x, y) ∈∈∈∈ A x B | x é divisor de y} = {(-2; 4), (-2; 6 ), (

A B

-3

-1

2

-2

3

( -1, -2)

(-1; 3)

( 2; -2)

( 2; 3)

x

y

-1 0 1 2

2

-1

-2

1

3

35 | P á g i n a

1, 2} e B = {-2, 3} usando

), (3; 6)}


Rogério Lacerda


D = {-2, 3} Im = {4, 6}



D (R)

-6 -4


2, 3} Im = {4, 6}

Representação por meio de Flechas {(-2; 4), (-2; 6), (3; 6)}


A B

-2

3

5

4

6

-1

1 Im (R)

x

y

-2 0 2 4

4

-2

2

6

8

(-2; 6)

(-2; 4)

(3; 6)

36 | P á g i n a


Rogério Lacerda


3. Síntese

1. Conjuntos: lista, coleção ou classe de objetos, dados, números ou

qualquer outro item. No exemplo A seguir o conjunto “A” contém os

números 1,5 e 8.

2. Os Números e Seus Conjuntos

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS

CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS

3. Sistema Cartesiano Ortogonal

y (Eixo das ordenadas)

b - - - - -• P(a,b)

0 a x (Eixo das abscissas)

∝

R - Números Reais

I Números

Irracionais


3. Síntese

lista, coleção ou classe de objetos, dados, números ou

qualquer outro item. No exemplo A seguir o conjunto “A” contém os

Os Números e Seus Conjuntos

ATURAIS – N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

NTEIROS – Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

ACIONAIS – (não inteiros) Q = {x / x = b

a, com a, b

RRACIONAIS – (decimal é não exata e não periódica)

EAIS

Representação dos conjuntos de números

Sistema Cartesiano Ortogonal - Representação Gráfica

(Eixo das ordenadas)

x (Eixo das abscissas)

• P é o ponto de coordenadas a e b • O número a é chamado abscissa de P• O número b é chamado ordenada de P• ∝ é o Plano Ortogonal A origem do sistema é o ponto O(0,0).

Números Reais

Q - Números Racionais

Z Números Inteiros

Números Não

Inteiros

37 | P á g i n a

, com a, b ∈ Z e b ≠ 0}

P é o ponto de coordenadas a e b O número a é chamado abscissa de P O número b é chamado ordenada de P

A origem do sistema é o ponto O(0,0).

•1 •5 •8

A


Rogério Lacerda


4. Produto Cartesiano: Produto de dois conjuntos não vazios A e B (notação A x B) é o

formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo

elemento pertence a B.

5. Domínio, Conjunto Imagem:

primeiro conjunto que pertencem a R. A

elementos do segundo conjunto que pertencem a R.

6. Função – Conceito: Representação de um único valor em função de outro.

.


Produto de dois conjuntos não vazios A e B (notação A x B) é o

ares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo

elemento pertence a B.

Domínio, Conjunto Imagem: O Domínio de R (notação D(R) ) é o conjunto de

primeiro conjunto que pertencem a R. A Imagem de R (notação Im(R) ) é o conj

elementos do segundo conjunto que pertencem a R.

Representação de um único valor em função de outro.

38 | P á g i n a

Produto de dois conjuntos não vazios A e B (notação A x B) é o conjunto

ares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo

O Domínio de R (notação D(R) ) é o conjunto de elementos do

Imagem de R (notação Im(R) ) é o conjunto de

Representação de um único valor em função de outro.


Rogério Lacerda


Unidade 3 : Funções


Nesta unidade, daremos continuidade ao estudo de funções. Vamos utilizar a linguag

as relações entre variáveis e o sistema cartesiano para representação gráfica estudados na unidade

anterior para apresentar três tipos de funções comumente utilizadas em áreas gerenciais: as funções

de primeiro e segundo graus e a função exp

imagem de funções e finalizaremos com aplicações de funções envolvendo receita, custo e lucro de

empresas. O objetivo desta unidade é transformar a teoria e prática matemática em ferramenta

aplicativa em situações específicas da área gerencial.

1.1 Domínio e imagem de funções

Imagine que você trabalha

(digamos de 10%) sobre o valor de cada unidade do produto vendido. Veja a função:

• )(xf representa o valor total recebido

• 545 é o valor fixo recebido

• 0,1 é o percentual de 10%

• x representa a quantidade de produtos vendidos.

• Como particularidade da situação, consideremos que os produtos podem ser

fracionados (Ex

etc.).

Caso você venda 500 unidades do produto, seu recebimento será:

)( =xf

A conta é simples, mas traz uma indagação:


: Funções

Conteúdo Didático

Nesta unidade, daremos continuidade ao estudo de funções. Vamos utilizar a linguag



de primeiro e segundo graus e a função exponencial. Iniciaremos com o conceito de domínio e



tuações específicas da área gerencial.

Domínio e imagem de funções

no comércio recebendo um valor fixo mensal e mais um adicional


xxf 1,0545)( +=

representa o valor total recebido

545 é o valor fixo recebido

0,1 é o percentual de 10%

representa a quantidade de produtos vendidos.

Como particularidade da situação, consideremos que os produtos podem ser

fracionados (Ex: horas de consultoria, quantidade de tecido, combustível veicular,

Caso você venda 500 unidades do produto, seu recebimento será:

00,59550545500.1,05451,0545 =+=+=+= x

uma indagação:

O valor de x pode variar

de quanto a quanto?

39 | P á g i n a

Nesta unidade, daremos continuidade ao estudo de funções. Vamos utilizar a linguagem matemática,



onencial. Iniciaremos com o conceito de domínio e



no comércio recebendo um valor fixo mensal e mais um adicional


Como particularidade da situação, consideremos que os produtos podem ser

: horas de consultoria, quantidade de tecido, combustível veicular,

00


Rogério Lacerda


Obviamente, o valor mínimo será zero, no caso de

quantas unidades do produto houver no estoque. Não faz o menor sentido

se poderia efetuar uma venda de, por exemplo, menos 436,5 unidades de um produto? Em

contrapartida, se a empresa t

dizer que a quantidade máxima de produtos

O intervalo representa o DOMÍNIO (D) da função, ou seja, repr

pode assumir de forma que se encontre algum resultado para a função. Sucintamente, é o campo de

existência da função.

O valor de 595,00, referente ao recebimento,

representa a IMAGEM (Im) da função, que é o

os elementos do domínio, ou simplesmente, resultado(s) da função.

Você sabia...

Que o y, ou f(x), é chamado de variável dependente e o

dependente porque depende do valor de

Graficamente, podemos representar esta situação:

Note que o gráfico representa duas situações:

Imagem


o valor mínimo será zero, no caso de não ocorrer qualquer venda, e o máximo será

quantas unidades do produto houver no estoque. Não faz o menor sentido x


contrapartida, se a empresa tiver uma capacidade ilimitada de reposição de estoque, poderíamos

dizer que a quantidade máxima de produtos x seria infinita ( )∞ . Em notação matemática:

∞≤≤ x0

O intervalo representa o DOMÍNIO (D) da função, ou seja, representa o conjunto de valores que


O valor de 595,00, referente ao recebimento, quando foi atribuído à função um valor de

representa a IMAGEM (Im) da função, que é o valor ou o conjunto de valores que se relacionam com

os elementos do domínio, ou simplesmente, resultado(s) da função.

, é chamado de variável dependente e o x de variável in

dependente porque depende do valor de x para se formar.

Graficamente, podemos representar esta situação:

Gráfico 1

representa duas situações:

x

y

545

500

595

Domínio

Imagem xxf 1,0545)( +=

40 | P á g i n a

não ocorrer qualquer venda, e o máximo será

ser negativo, pois como


iver uma capacidade ilimitada de reposição de estoque, poderíamos

matemática:

esenta o conjunto de valores que x


quando foi atribuído à função um valor de 500=x ,

conjunto de valores que se relacionam com

de variável independente? y, é


Rogério Lacerda


• A função xf 545)( =

{ 545/Im ≥ℜ∈= yy

obtidos substituindo-se elementos do domínio na função.

• Quando o elemento do domínio é

A função f(x) estudada representa uma situação prática específica, na qual de zero a infinitos

produtos são comercializados e um total é recebido como resultado. Se fôssemos tratar

matematicamente esta função, teríamos uma situação um pouco diferente, ve

• O domínio seria =D

• A imagem seria =Im

um número real.

Confira essas informações observando o gráfico 2:

Obviamente, a situação de venda de produtos

podendo ser substancialmente diferente de outras situações práticas encontradas nas diversas áreas

de conhecimento (administração, economia, engenharia, etc.). Nessas áreas

bastante complexas, eventualmente analisadas apenas

Para ampliar um pouco mais nosso entendimento sobre domínio e imagem de funções

prestar atenção nos exemplos:

Exemplo 1

Domínio

Imagem


x1,0545+ no domínio { ≤≤ℜ∈= xxD 0/

}545 , uma vez que somente valores iguais ou maiores que 545 podem ser

se elementos do domínio na função.

Quando o elemento do domínio é 500=x , a imagem é 595)( =xf .

estudada representa uma situação prática específica, na qual de zero a infinitos

produtos são comercializados e um total é recebido como resultado. Se fôssemos tratar

esta função, teríamos uma situação um pouco diferente, ve

ℜ , pois não haveria restrições para atribuir valores negativos ao

ℜ= , afinal, qualquer valor atribuído a x, e substituído em

ções observando o gráfico 2:

Gráfico 2

de venda de produtos apresentada constitui-se em um modelo simplório,


(administração, economia, engenharia, etc.). Nessas áreas

bastante complexas, eventualmente analisadas apenas por meio de recursos computacionais.

Para ampliar um pouco mais nosso entendimento sobre domínio e imagem de funções

r atenção nos exemplos:

Domínio

Imagem xxf 1,0545)( +=

x

y

41 | P á g i n a

}∞≤ . Sua imagem é

, uma vez que somente valores iguais ou maiores que 545 podem ser

estudada representa uma situação prática específica, na qual de zero a infinitos

produtos são comercializados e um total é recebido como resultado. Se fôssemos tratar apenas

esta função, teríamos uma situação um pouco diferente, veja:

, pois não haveria restrições para atribuir valores negativos ao x.

, e substituído em f(x) gerariam

se em um modelo simplório,


(administração, economia, engenharia, etc.). Nessas áreas, surgem funções

de recursos computacionais.

Para ampliar um pouco mais nosso entendimento sobre domínio e imagem de funções, vamos


Rogério Lacerda


Determine o domínio da função

Exemplo 2

Determine o domínio da função

Resolução: Observamos

situação apresentada inicialmente

simples. Por se tratar de uma função racional (composta por um quociente de

polinômios), devemos analisar separadamente o numerador e o denominador

A pergunta que devemos fazer é:

inexistir a função? Ou,

faça com que a função não exista?

a x, gerará um número real, sem conseq

quaisquer valores para

Façamos agora a mesma pergunta em relação ao denominador:

para o denominador

denominador poderá ser zero, afinal, não existe divisão por zero. Assim, se o

denominador 92 −x for zero, a função

{ 3/

3

9

9

092

2

−≠ℜ∈=±≠±≠

≠≠−

ouxxD

x

x

x

x


Determine o domínio da função 9

104)(

2 −−=

x

xxf .

Determine o domínio da função xxf 218)( −= .

Resolução: Observamos, aqui, uma função aparentemente mais complexa que a

situação apresentada inicialmente, neste capítulo, entretanto sua solução é bastante

atar de uma função racional (composta por um quociente de

polinômios), devemos analisar separadamente o numerador e o denominador

A pergunta que devemos fazer é: existe algum valor para o numerador

, em outras palavras: existe algum valor de x no

faça com que a função não exista? E a resposta é não. Qualquer valor, que atribuirmos

gerará um número real, sem consequências para f(x). Experimente! Substitua

quaisquer valores para x e veja o resultado.

agora a mesma pergunta em relação ao denominador: existe algum valor

que faça inexistir a função? A resposta é SIM! NUNCA um


for zero, a função f(x) não existirá. Portanto,

}3≠xou

42 | P á g i n a

uma função aparentemente mais complexa que a

neste capítulo, entretanto sua solução é bastante

atar de uma função racional (composta por um quociente de

polinômios), devemos analisar separadamente o numerador e o denominador.

numerador que faça

no numerador que

alquer valor, que atribuirmos

. Experimente! Substitua

existe algum valor

A resposta é SIM! NUNCA um



Rogério Lacerda


1.2 Funções de 1º grau

Dentre as funções mais simples

sobretudo em modelos para simplificar funções com alto grau de complexidade. Seu gráfico é uma

reta, seu domínio e imagem são o conjunto dos números reais e

assim formalmente definida:

• m é o coeficiente angular e representa a inclinação da reta. Se este coeficiente for positivo, a

função será crescente, e se for negativo a função será decrescente. Para determinar o

coeficiente angular basta dividir a difer

pela diferença de suas respectivas abscissas:

• b é o coeficiente linear e representa a interseção (corte) da reta com o eixo

determiná-lo basta substituir

eixo y)

Resolução: Neste exemplo

1): existe algum valor para o

Se o radicando for um número negativo

existe raiz quadrada de número negativo

números complexos). Portanto, a solução do problema será:

{ }9/

9

182

182

0218

≤ℜ∈=≤

≤−≥−≥−

xxD

x

x

x

x

Se o denominador de uma função se apresentar como uma raiz quadrada de um polinômio, a condição de existência (domínio) será o radicando do


Funções de 1º grau

Dentre as funções mais simples, está a função do primeiro grau. É também u


reta, seu domínio e imagem são o conjunto dos números reais e, também, é chamada de função afim,

bmxxf +=)( (m e b constantes e ≠ 0)

é o coeficiente angular e representa a inclinação da reta. Se este coeficiente for positivo, a


coeficiente angular basta dividir a diferença das ordenadas de dois pontos quaisquer da reta

pela diferença de suas respectivas abscissas:

x

y

xx

yym

∆∆=

−−=

12

12

é o coeficiente linear e representa a interseção (corte) da reta com o eixo

lo basta substituir x por zero na função (x=0 corresponde exatamente à posição do

Resolução: Neste exemplo, a pergunta vale apenas para o numerador (o denominador é

existe algum valor para o numerador que faça inexistir a função? A resposta é SIM!

do for um número negativo, a função não existirá. Você se lembra: não

existe raiz quadrada de número negativo no conjunto de números reais (apenas nos

. Portanto, a solução do problema será:


denominador >0.

43 | P á g i n a

está a função do primeiro grau. É também uma das mais usadas,


é chamada de função afim,

é o coeficiente angular e representa a inclinação da reta. Se este coeficiente for positivo, a


ença das ordenadas de dois pontos quaisquer da reta

é o coeficiente linear e representa a interseção (corte) da reta com o eixo y. Para

corresponde exatamente à posição do

(o denominador é

A resposta é SIM!

a função não existirá. Você se lembra: não

no conjunto de números reais (apenas nos



Rogério Lacerda


São quatro os tipos de funções que apresentam retas contínuas em seus gráficos:

Função afim Função linear

23)( −= xxf (m

−4 −3 −2 −1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4 y

Observe




)0≠bem xxf 5,0)( = (m

1 2 3 4

x−4 −3 −2 −1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4 y

Figura 1 - Função afim crescente

Fonte: ROGAWSKI (2009)

Observe , com atenção, o estudo de Retas em funções.

44 | P á g i n a



)00 =≠ bem

1 2 3 4

x


Rogério Lacerda


Função identidade Função constante

xxf =)( ( 1=m

Uma habilidade muito importante que você deve desenvolver é a construção de gráficos. Estes

ajudarão a visualizar melhor os problemas permitindo

construção, não utilizaremos as antigas tabelas nas quais se arbitravam valores para

determinavam-se os valores de

funções em geral, esta é uma prática de

complexidade das funções. Adotaremos a metodologia de identificação de

gráficos, particulares de cada função.

−4 −3 −2 −1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4 y

Quantos pontos você acha que precisamos para construir o gráfico de uma

função de 1º grau? A resposta é 2, afinal a função é uma reta e são

necessários apenas 2 pontos

posição mais óbvia; um sobre o eixo



)0=be 2)( =xf (

Uma habilidade muito importante que você deve desenvolver é a construção de gráficos. Estes

ajudarão a visualizar melhor os problemas permitindo uma resolução mais fácil. Para a sua

não utilizaremos as antigas tabelas nas quais se arbitravam valores para

se os valores de y e, em seguida uniam-se os pontos. Considerando o estudo de

funções em geral, esta é uma prática de eficácia limitada, especialmente ao aumentar a

complexidade das funções. Adotaremos a metodologia de identificação de

gráficos, particulares de cada função.

1 2 3 4

x−4 −3 −2 −1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4 y



necessários apenas 2 pontos para construir uma. Mas quais? Aqueles de

posição mais óbvia; um sobre o eixo x e outro sobre o eixo y. Veja o exemplo 1.

45 | P á g i n a


( )00 ≠= bem

Uma habilidade muito importante que você deve desenvolver é a construção de gráficos. Estes o

uma resolução mais fácil. Para a sua

não utilizaremos as antigas tabelas nas quais se arbitravam valores para x,

se os pontos. Considerando o estudo de

eficácia limitada, especialmente ao aumentar a

complexidade das funções. Adotaremos a metodologia de identificação de pontos notáveis dos

1 2 3 4

x

y



para construir uma. Mas quais? Aqueles de

. Veja o exemplo 1.


Rogério Lacerda


Exemplo 1

Construa o gráfico da função

Resolução: Você concorda que o eixo

concorda, está correto e muito próximo da soluç

“continhas básicas”:

1. Fazendo x=0, encontraremos um ponto sobre o

12)( ∴+−= fxxf

A reta passará pelo ponto (0,1).

2. Fazendo y=0, encontraremos um ponto sobre o eixo

012)( ∴+−= xxf

A reta passará pelo ponto

Agora é só lançar os pontos no sistema de eixos cartesianos e traçar a reta:

−4 −3


Construa o gráfico da função 12)( +−= xxf .

Resolução: Você concorda que o eixo y está na posição x=0 e o eixo x

concorda, está correto e muito próximo da solução do problema, afinal faremos apenas duas

, encontraremos um ponto sobre o eixo y, no par ordenado (0,

1)0(10.2)0( ==∴+−= yff

A reta passará pelo ponto (0,1).

, encontraremos um ponto sobre o eixo x, no par ordenado (

2112120 =∴=∴+−= xxx

A reta passará pelo ponto )0,( 21 .


−3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

(0,1)

(1/2,0)

46 | P á g i n a

x em y=0? Se você

ão do problema, afinal faremos apenas duas

, no par ordenado (0,y)

enado (x,0)



Rogério Lacerda


Exemplo 2

Baseado no gráfico determine a função correspondente:

Resolução: Arbitrando o par ordenado (0,3) como ponto 1 e (1,0) como ponto 2, calculamos

1. Coeficiente angular

01

0

12

12

−−=

−−=

xx

yym

2. Coeficiente linear

Escolha qualquer um dos dois pontos; o ponto 2 (1,0), por exemplo, e substitua na

função genérica, juntamente com

bmxxf +=)(

1.30 ∴+−= b

3. Determinação da função

)( ∴+= bmxxf

−4


Baseado no gráfico determine a função correspondente:

Resolução: Arbitrando o par ordenado (0,3) como ponto 1 e (1,0) como ponto 2, calculamos

Coeficiente angular

30

3 −= Como era de se esperar, 0<m , pois a reta é decrescente.


função genérica, juntamente com o valor de m encontrado:

função genérica

3=b

Determinação da função

33)( +−=∴ xxf

−3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

1

2

47 | P á g i n a

Resolução: Arbitrando o par ordenado (0,3) como ponto 1 e (1,0) como ponto 2, calculamos:

, pois a reta é decrescente.



Rogério Lacerda


Exemplo 3

Dadas duas retas xy −= 1 e

Vamos estudar agora as funções de 2º grau.

1.3 Funções de 2º grau

Esta função, também conhecida como função quadrática, é uma função polinomial cujo termo de

maior grau tem expoente 2. Ela é formalmente assim definida:

axxf =)(

Resolução: Se existe um ponto de interseção, quer dizer que este ponto é comum às duas retas,

ou seja, existe um par orde

Sendo assim, neste ponto, o

igual ao x da segunda. Então

Depois de isolar o y (ou o

exemplo o y já estava isolado), podemos pensar: “se

821 −−=− xx ”. Seguindo o raciocínio teremos:

9

182

821

−=−−=−−−=−

x

xx

xx

Substituindo este valor de x

10

)9(1

1

=−−=

−=

y

y

xy

Experimente substituir =x

Portanto, o ponto de interseção das retas é (


e 82 −−= xy determine o ponto de interseção delas.

Vamos estudar agora as funções de 2º grau.

Funções de 2º grau

unção, também conhecida como função quadrática, é uma função polinomial cujo termo de

maior grau tem expoente 2. Ela é formalmente assim definida:

cbxax ++2 com a, b e c constantes e a


ou seja, existe um par ordenado (x,y) que pertence tanto à primeira, quanto à segunda reta.

Sendo assim, neste ponto, o y da primeira é igual ao y da segunda e o x da primeira também é

da segunda. Então, basta que igualemos as retas! Vamos fazer.

o x, à sua escolha) em um dos lados de cada equação (no caso deste

já estava isolado), podemos pensar: “se xy −= 1 e

”. Seguindo o raciocínio teremos:

x em qualquer uma das duas equações:

9− em xy −= 1 .

Portanto, o ponto de interseção das retas é (-9,10).

48 | P á g i n a

determine o ponto de interseção delas.

unção, também conhecida como função quadrática, é uma função polinomial cujo termo de

0≠a .


quanto à segunda reta.

da primeira também é

, à sua escolha) em um dos lados de cada equação (no caso deste

e 82 −−= xy , então


Rogério Lacerda


Seu gráfico é uma parábola com con

a<0. No primeiro caso, existe um valor mínimo para a função que é determinado pelas coordenadas

do vértice (também chamado de ponto crítico). No segundo caso

Note que o a não representa

numa função de 2º grau não existe coeficiente angul ar

linear e tem a mesma característica que na função de 1º grau

curva (parábola) com o eixo vertical

Figura 2: Função de 2º grau com

A função possui um eixo de simetria e duas raízes ou zeros (

horizontal e esta interseção é partic

∆>0, existirão duas raízes reais e distintas (a curva secciona o eixo

indica a figura; se ∆=0, existirão duas raízes reais e iguais (a curva apenas toca o

indicando que as duas raízes se posicionaram num mesmo lugar); e se

(a parábola não seccionará o eixo

de ∆=0 e ∆<0, respectivamente, porém


Seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima se a>0 e concavidade para baixo se

. No primeiro caso, existe um valor mínimo para a função que é determinado pelas coordenadas

do vértice (também chamado de ponto crítico). No segundo caso, o vértice denota o ponto máximo.

não representa o coeficiente angular, ao contrário da função de 1º grau, até porque

numa função de 2º grau não existe coeficiente angul ar. Entretanto o c representa o coeficiente

linear e tem a mesma característica que na função de 1º grau: determina o ponto de interseção da

curva (parábola) com o eixo vertical.

Figura 2: Função de 2º grau com ∆∆∆∆>0

A função possui um eixo de simetria e duas raízes ou zeros (x’ e x” ), pontos de interseção com o eixo

horizontal e esta interseção é particularmente determinada pela análise do discriminante

>0, existirão duas raízes reais e distintas (a curva secciona o eixo x em dois pontos

=0, existirão duas raízes reais e iguais (a curva apenas toca o

indicando que as duas raízes se posicionaram num mesmo lugar); e se ∆<0, não existirão raízes reais

(a parábola não seccionará o eixo x). As figuras 3 e 4 apresentam a função de 2º grau nas situações

, respectivamente, porém com a>0 (concavidade para cima.

x’ x”

Eixo de simetria

c

Vértic

xv

yv

49 | P á g i n a

e concavidade para baixo se

. No primeiro caso, existe um valor mínimo para a função que é determinado pelas coordenadas

o vértice denota o ponto máximo.

ao contrário da função de 1º grau, até porque

representa o coeficiente

termina o ponto de interseção da

), pontos de interseção com o eixo

ularmente determinada pela análise do discriminante ∆ (delta). Se

em dois pontos diferentes, como

=0, existirão duas raízes reais e iguais (a curva apenas toca o eixo x em um ponto,

<0, não existirão raízes reais

As figuras 3 e 4 apresentam a função de 2º grau nas situações


Rogério Lacerda


Veja o estudo completo de uma função de 2º grau no exemplo 1.

Exemplo 1

Considere a função )( −=xf

a) Construa o gráfico da função

b) Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função;

c) Determine o domínio da função;

d) 0.20)0( 2 ++−=f

x’=x”= xv

Eixo de simetria

c

yv

Figura 3: Função de 2º grau com

Resolução:

a) Para construir o gráfico

interseção com o eixo

de antemão os valores

Passo 1: ponto de interseção da parábola com o eixo

função de primeiro grau, igualando o valor de

32)( 2 ++−= xxxf

30.20)0( 2 =++−=f


Veja o estudo completo de uma função de 2º grau no exemplo 1.

322 ++− xx

Construa o gráfico da função;

Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função;

o domínio da função;

33 = Determine a imagem da função.

Eixo de simetria

c

yv

Figura 3: Função de 2º grau com ∆∆∆∆=0 Figura 4: Função de 2º grau com

Para construir o gráfico, vamos determinar os pontos notáveis da função: o ponto de

interseção com o eixo x, o ponto de interseção com o eixo y e o vértice. Iden

de antemão os valores 1−=a , 2=b e 3=c , vamos seguir 3 passos:

Passo 1: ponto de interseção da parábola com o eixo y. Basta que façamos como na

função de primeiro grau, igualando o valor de x a zero.

3=

50 | P á g i n a

Eixo de simetria

vértice

xv

Figura 4: Função de 2º grau com ∆∆∆∆<0

vamos determinar os pontos notáveis da função: o ponto de

e o vértice. Identificando

, vamos seguir 3 passos:

Basta que façamos como na


Rogério Lacerda


1.4 Funções Exponenciais

A função xbxf =)( “é chamada função exponencial porque a variável

número b é chamado base da função exponencial” (GO

função tem a característica de apresentar um crescimento cada vez maior à medida que elevamos o

valor de x, quando b>1, ou um decrescimento cada vez menor à medida que elevamos o valor de

quando 0<b<1.

Observe nos gráficos que a curva sempre secciona o eixo vertical em

assíntota1 em x.

1 “Uma reta chama-se assíntota de uma curva se, quando um ponto se move ao longo de uma parte extrema da curva, a distância deste ponto à reta se aproxima de zero.” (SIMMONS, 1987).

Ou seja, a parábola corta o eixo vertical em

Passo 2: ponto de interseção da parábola com o eixo

032)( 2 =++−= xxxf

0322 ∆∴=++− xx

( )2.2

162

2 −±−=∆±−=

a

bx


Funções Exponenciais

“é chamada função exponencial porque a variável x aparece no expoente. O

é chamado base da função exponencial” (GOLDSTEIN, 2006), sendo sempre positivo. Esta


, ou um decrescimento cada vez menor à medida que elevamos o valor de

nos gráficos que a curva sempre secciona o eixo vertical em y=1 e que a curva

se assíntota de uma curva se, quando um ponto se move ao longo de uma parte extrema da curva, a

distância deste ponto à reta se aproxima de zero.” (SIMMONS, 1987).

Ou seja, a parábola corta o eixo vertical em 3=y .

Passo 2: ponto de interseção da parábola com o eixo x. Basta igualar

( ) 161243.1.424 22 =+=−−=−= acb

) 3"1'16 =−=∴ xex

51 | P á g i n a

aparece no expoente. O

LDSTEIN, 2006), sendo sempre positivo. Esta


, ou um decrescimento cada vez menor à medida que elevamos o valor de x,

e que a curva possui uma

se assíntota de uma curva se, quando um ponto se move ao longo de uma parte extrema da curva, a

. Basta igualar )(xf a zero.


Rogério Lacerda


xxf 2)( =

ℜ=D

{ /Im ℜ∈= y

Função crescente

Você vai estudar agora sobre custo, receita e lucro.

1.5 Aplicações na área gerencial: Custo, Receita e

O estudo matemático de funções encontra aplicação em

diversas áreas do conhecimento. A formulação de

modelos matemáticos para estudar o comportamento de

fenômenos é fundamental para a otimização de processos

tema que será abordado na Unidade 5

Tais fenômenos podem ser: o comportamento de vazão de

um vertedouro de uma usina

de um maratonista submetido a determinadas

temperaturas; ou mesmo a evolução das vendas de

determinada bebida submetida a diferentes veículos de

−4 −3 −2 −1 1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4 y


x

xf

=2

1)(

ℜ=D

}0/ >y { 0/Im >ℜ∈= yy

Função crescente ℜ∈∀ x Função decrescente ∀

Você vai estudar agora sobre custo, receita e lucro.

Aplicações na área gerencial: Custo, Receita e

O estudo matemático de funções encontra aplicação em

diversas áreas do conhecimento. A formulação de

cos para estudar o comportamento de

fenômenos é fundamental para a otimização de processos,

abordado na Unidade 5.

o comportamento de vazão de

um vertedouro de uma usina hidroelétrica; ou o desgaste

a submetido a determinadas

ou mesmo a evolução das vendas de

determinada bebida submetida a diferentes veículos de

2 3 4

x−4 −3 −2 −1 1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4 y

Fonte: Disponível em Acesso em http://www.portogente.com.br/arquivos/id_24582_custos.jpg. 15/12/2011.

52 | P á g i n a

}0

ℜ∈∀ x

Aplicações na área gerencial: Custo, Receita e Lucro.

2 3 4

x

Disponível em Acesso em http://www.portogente.com.br/arquivos/id_245

. 15/12/2011.


Rogério Lacerda


divulgação. Uma vez que se modele matematicamente o fenômeno a ser trabalhado, sua análise fica

substancialmente mais simples e

Uma das áreas de conhecimento que particularmente bem utiliza e se beneficia com o estudo de

funções é a área gerencial na análise de custo, receita e lucro de processos produtivos e comerciais.

De uma forma simplificada, pode

dependente da quantidade x de itens comercializados (vendidos) e do preço unitário

O custo da produção é composto pelo

representa os gastos da empresa com pessoal, material e serviços não relacionados à produção

(aluguel, telefonista, despesas com escritório de contabilidade,

sempre dependente da quantidad

à quantidade de produtos a serem produzidos ou ao

(matéria prima e quadro de pessoal para produzir determinado bem de consumo).

O lucro é, simplificadamente, a difere

Exemplo

Uma empresa tem um faturamento representado pela função

equivalente a C 150000.10 +=

Resolução: Uma vez de posse das funçõ

a função lucro:

200)()()( =−= xCxRxL

O lucro para a venda de 1500 unidades é obtido substituindo este valor em

101500.50)1500( −=L



substancialmente mais simples e conclusões podem ser tiradas com segurança.


na análise de custo, receita e lucro de processos produtivos e comerciais.

mplificada, pode-se definir a função Receita (ou faturamento) como uma função

de itens comercializados (vendidos) e do preço unitário

xpxR .)( =

O custo da produção é composto pelo custo fixo (CF) e pelo custo variável


(aluguel, telefonista, despesas com escritório de contabilidade, entre outros

sempre dependente da quantidade x, que são os gastos com insumos e pessoal diretamente ligados

à quantidade de produtos a serem produzidos ou ao pessoal mobilizado para prestação de serviços


CVCFxC +=)(

O lucro é, simplificadamente, a diferença entre a receita e os custos.

)()()( xCxRxL −=

Uma empresa tem um faturamento representado pela função xR 200=

x150 . Qual é o lucro obtido pela venda de 1500 unidades?

Resolução: Uma vez de posse das funções custo e receita, podemos facilmente determinar

000.1050)150000.10(200 −=+− xxx

O lucro para a venda de 1500 unidades é obtido substituindo este valor em

000.65000.10 =

53 | P á g i n a


conclusões podem ser tiradas com segurança.


na análise de custo, receita e lucro de processos produtivos e comerciais.

se definir a função Receita (ou faturamento) como uma função

de itens comercializados (vendidos) e do preço unitário p, portanto,

custo variável (CV). O custo fixo


entre outros). O custo variável é

, que são os gastos com insumos e pessoal diretamente ligados

pessoal mobilizado para prestação de serviços


x e custo de produção

lucro obtido pela venda de 1500 unidades?

es custo e receita, podemos facilmente determinar

O lucro para a venda de 1500 unidades é obtido substituindo este valor em x.


Rogério Lacerda


2. Teoria na prática

Os exemplos fazem uma conexão da teoria matemática

problemas gerenciais.

Exemplo 1

Uma editora vende certo livro por R$ 60,00 a unidade. Seu custo fixo é R$

custo variável por unidade é R$ 40,00. Determine a quantidade de livros a partir da qual a editora

passa a ter lucro.

Resolução: Observe que temos informações para gerar, inicialmente,

Custo. A função receita

quantidade x vendida:

A função custo total C(x) será a soma do custo fixo (R$10.000,00) com o custo variável (custo de

cada unidade, R$40,00, multiplicado pela quantidade produzida):

O objetivo desta questão é determinar a quantidade

custo. De fato, se a receita for igual ao custo, obteremos lucro zero; ass

unidade x comercializada haverá lucro. Portanto, o procedimento será idêntico ao do exemplo 3

do item 1.2 - Função do 2º Grau. Vamos

matematicamente as duas.

)()( xCxR =

401000060 ∴+= xx

O faturamento da venda de 500 unidades é o suficiente para cobrir os custos de produção,

então, a partir do 501º livro vendido


Teoria na prática

Os exemplos fazem uma conexão da teoria matemática, estudada nesta unidade

Uma editora vende certo livro por R$ 60,00 a unidade. Seu custo fixo é R$


Resolução: Observe que temos informações para gerar, inicialmente, duas funções: Receita e

Custo. A função receita R(x) será formada pelo preço unitário de venda multiplicado pela

xxR 60)( =

será a soma do custo fixo (R$10.000,00) com o custo variável (custo de

cada unidade, R$40,00, multiplicado pela quantidade produzida):

xxC 4010000)( +=

O objetivo desta questão é determinar a quantidade x numa situação em que a receita é igual ao

custo. De fato, se a receita for igual ao custo, obteremos lucro zero; assim, a partir da próxima

comercializada haverá lucro. Portanto, o procedimento será idêntico ao do exemplo 3

Função do 2º Grau. Vamos encontrar o ponto de interseção das funções igualando

matematicamente as duas.

50020

100001000020 ==∴= xx


a partir do 501º livro vendido, a editora passará a ter lucro.

54 | P á g i n a

estudada nesta unidade, aplicada em

10.000,00 por mês, e o


duas funções: Receita e

será formada pelo preço unitário de venda multiplicado pela

será a soma do custo fixo (R$10.000,00) com o custo variável (custo de

numa situação em que a receita é igual ao

im, a partir da próxima

comercializada haverá lucro. Portanto, o procedimento será idêntico ao do exemplo 3

encontrar o ponto de interseção das funções igualando



Rogério Lacerda


O ponto de nivelamento separa o lucro do prejuízo. Para valores de

nivelamento, a receita é menor que o custo, indicando prejuízo. A situação se inverte à direita do

ponto, em que a receita passa a ser maior que o custo: lucro. O gráfico representa esta situação.

Exemplo 2

Num estacionamento, o preço da diária é R$ 20,00. A este

Se o preço cobrado for R$ 15,00, estacionarão 75. Obtenha a função afim que representa a relação

entre o preço e a quantidade de automóveis no estacionamento.

Este problema tratou de uma situação muito utilizada por

economistas e administradores: “A quantidade para a qual Receita

Total = Custo Total é denominada

even point).” (SILVA


O ponto de nivelamento separa o lucro do prejuízo. Para valores de x à esquerda do ponto de

, a receita é menor que o custo, indicando prejuízo. A situação se inverte à direita do

a receita passa a ser maior que o custo: lucro. O gráfico representa esta situação.

Num estacionamento, o preço da diária é R$ 20,00. A este preço estacionam 50 automóveis por dia.


entre o preço e a quantidade de automóveis no estacionamento.


administradores: “A quantidade para a qual Receita

Total = Custo Total é denominada ponto de nivelamento (break

SILVA, 1999)

quant (x)

$

LUCRO

PREJUÍZO

break even point

C(x)

R(x)

CF

55 | P á g i n a

à esquerda do ponto de

, a receita é menor que o custo, indicando prejuízo. A situação se inverte à direita do

a receita passa a ser maior que o custo: lucro. O gráfico representa esta situação.

preço estacionam 50 automóveis por dia.



administradores: “A quantidade para a qual Receita

break

quant (x)


Rogério Lacerda


Resolução: Neste exercício

quantidade: (50, 20) e (75,

função. Procederemos como no exemplo 2 do item

identificam dois pontos e determina

coeficiente angular m, arbitrando o par ordena

5075

2015

12

12 −=−−=

−−=

xx

yym

Substituindo os valores de

ponto 1) na função genérica, teremos:

bmxxf +=)(

50.2,020 +−= b

Para determinar a função basta substituir os valores de

)( ∴+= bmxxf

A função deste exercício é chamada de função Demanda, ou “função

procura de mercado da utilidade” (SILVA

relação entre o preço que os compradores do mercado estão

dispostos a pagar pelo bem ou serviço oferecido.


Resolução: Neste exercício, podemos notar dois pares de valores relacionando preço e

20) e (75, 15). Trata-se de pares ordenados, em que sua relação gerará uma

função. Procederemos como no exemplo 2 do item 1.2 - Função do 2º Grau, onde

identificam dois pontos e determina-se a função. Primeiramente, vamos determinar o

, arbitrando o par ordenado (50,20) como ponto 1 e (75,15) como ponto 2:

2,0−

Substituindo os valores de m e de um dos dois pares ordenados (neste caso

ponto 1) na função genérica, teremos:

30=∴ bb

nar a função basta substituir os valores de m e b na função genérica:

302,0)( +−=∴ xxf


mercado da utilidade” (SILVA, 1999) e representa a


dispostos a pagar pelo bem ou serviço oferecido.

56 | P á g i n a

podemos notar dois pares de valores relacionando preço e

sua relação gerará uma

Função do 2º Grau, onde se

vamos determinar o

do (50,20) como ponto 1 e (75,15) como ponto 2:

e de um dos dois pares ordenados (neste caso, escolhemos o

na função genérica:


e representa a



Rogério Lacerda


Exemplo 3

Uma empresa prestadora de servi

adesiva, utilizada em blindagem de carros de luxo, possui um lucro dado pela função

125)( 2 −+−= xxxL . Determine a quantidade (x, em km) que a empresa deve produzir para que o

lucro (em R$ milhões) seja máximo. Determine o lucro para esta situação.

Resolução: O problema solicita a determinação do lucro máximo. Note que

concavidade voltada para baixo (a<0) e, portanto, um ponto má

está em determinar este ponto máximo, que tem

quantidade que a empresa deve produzir para que o lucro seja máximo e o lucro para esta

situação, respectivamente

2,0)5(.2

2

2=

−−=−=

a

bxv km de

( )4

4

4

2

=−−=∆−=a

acb

ayv


Uma empresa prestadora de serviço do segmento automotivo, especializada

utilizada em blindagem de carros de luxo, possui um lucro dado pela função

. Determine a quantidade (x, em km) que a empresa deve produzir para que o

milhões) seja máximo. Determine o lucro para esta situação.

Resolução: O problema solicita a determinação do lucro máximo. Note que

concavidade voltada para baixo (a<0) e, portanto, um ponto máximo. A solução do problema

está em determinar este ponto máximo, que tem, nas coordenadas do vértice (x


situação, respectivamente,

km de película

[ ]8,0

20

16

)5(.4

1.)5(.422

=−−=

−−−−=

, portanto: R$ 800.000,00

57 | P á g i n a

ço do segmento automotivo, especializada em produzir película

utilizada em blindagem de carros de luxo, possui um lucro dado pela função

. Determine a quantidade (x, em km) que a empresa deve produzir para que o

Resolução: O problema solicita a determinação do lucro máximo. Note que )(xL possui

ximo. A solução do problema

nas coordenadas do vértice (xv,yv), a


, portanto: R$ 800.000,00


Rogério Lacerda


3. Síntese

Esta unidade abordou os seguintes temas:

• Domínio e imagem de funções

o Domínio é campo de existência da funçãoo Imagem é o número ou o conjunto de números que se relacionam diretamente

domínio. • Funções do 1º grau

o O gráfico é uma retao O coeficiente angular m representa a inclinação da reta. Se

crescente e se o O coeficiente linear b determina o ponto de interseção da reta com o eixo verticao Para construir o gráfico da função de 1º grau basta determinar 2 pontos,

preferencialmente sobre os eixos, e uni• Funções de 2º grau

o O gráfico é uma parábolao Se o coeficiente

parábola terá sua concavidade voltada para baixoo O coeficiente c determina o ponto de interseção da curva com o eixo vertical

o O discriminante

Se ∆∆∆∆>0, a parábola secciona o eixo x em dois pontos distintos; se

apenas toca o eixo x; e se

o Obtém-se o discriminante D a partir da fór

o Obtêm-se as raízes da função a partir da fórmula

o Obtém-se o vértice da parábola

(a>0) da função, através das c

ayv 4

∆−=

• Funções exponenciais

o Seu gráfico tem comportamento assintótico no eixo o A função caracteriza

x aumenta, quando

que x aumenta, quando • Aplicações na área gerencial

o Aplicações da teoria matemática em problemas de ordem gerencial


3. Síntese


Domínio e imagem de funções

Domínio é campo de existência da função. Imagem é o número ou o conjunto de números que se relacionam diretamente

O gráfico é uma reta. O coeficiente angular m representa a inclinação da reta. Se

crescente e se m<0 a função é decrescente. O coeficiente linear b determina o ponto de interseção da reta com o eixo verticaPara construir o gráfico da função de 1º grau basta determinar 2 pontos, preferencialmente sobre os eixos, e uni-los.

O gráfico é uma parábola. Se o coeficiente a>0 a parábola terá concavidade para cima e, caso contrário,

ola terá sua concavidade voltada para baixo. O coeficiente c determina o ponto de interseção da curva com o eixo vertical

O discriminante ∆∆∆∆ determina o número de interseções da curva com o eixo horizontal.

, a parábola secciona o eixo x em dois pontos distintos; se

apenas toca o eixo x; e se ∆∆∆∆<0, a parábola não tocará o eixo x.

se o discriminante D a partir da fórmula acb 42 −=∆

se as raízes da função a partir da fórmula a

bx

2

±−=

se o vértice da parábola, que indica o ponto máximo (a

>0) da função, através das coordenadas (xv,yv) a partir das fórmulas

Funções exponenciais

Seu gráfico tem comportamento assintótico no eixo x. A função caracteriza-se por aumentar cada vez mais o valor da função à medida que x aumenta, quando b>1, e por diminuir cada vez menos o valor da função à medida

aumenta, quando 0<b<1. Aplicações na área gerencial

Aplicações da teoria matemática em problemas de ordem gerencial

58 | P á g i n a

Imagem é o número ou o conjunto de números que se relacionam diretamente com o

O coeficiente angular m representa a inclinação da reta. Se m>0 a função é

O coeficiente linear b determina o ponto de interseção da reta com o eixo vertical. Para construir o gráfico da função de 1º grau basta determinar 2 pontos,

a parábola terá concavidade para cima e, caso contrário, a<0, a

O coeficiente c determina o ponto de interseção da curva com o eixo vertical.

determina o número de interseções da curva com o eixo horizontal.

, a parábola secciona o eixo x em dois pontos distintos; se ∆∆∆∆=0, a parábola

, a parábola não tocará o eixo x.

∆

a<0) ou o ponto mínimo

) a partir das fórmulas a

bxv 2

−= e

se por aumentar cada vez mais o valor da função à medida que os o valor da função à medida

Aplicações da teoria matemática em problemas de ordem gerencial.


Rogério Lacerda


Unidade 4: Limites e Derivadas

1.Conteúdo Didático

A unidade anterior nos permitiu conhecer as funções

utilizadas na área gerencial. F

função, demanda e otimização

para o aprendizado de uma ferramenta poderosa para otimização de funções mais complexas, como

as polinomiais de enésimo grau

uma noção intuitiva de limites, passando pelo conceito de derivadas e suas regras

1.1 Limites

Imagine uma função qualquer,

custo de produção de um instrumento musical ou a demanda de mercado por uma nova marca de

creme dental. Digamos que esta função seja

Na análise, que ora queremos fazer (GIOVANNI, 1992), observaremos o comportamento de

quando tomarmos valores de

quadro 1 e o gráfico 1 mostram esta aproxim

e aumentando o valor em direção a 3) e pelo lado direito (começando de 4 e diminuindo o valor em

direção a 3).

x 2 2,3

f(x) 4 4,3

Quadro 1 - Limite de


Limites e Derivadas

Conteúdo Didático

A unidade anterior nos permitiu conhecer as funções de 1º e 2º graus e funções exponenciais, muito

Foram trabalhados problemas de determinação de ponto de nivelamento,

demanda e otimização (maximização) de lucro. Nesta unidade, iniciaremos uma preparação

zado de uma ferramenta poderosa para otimização de funções mais complexas, como

grau, tema que será abordado na Unidade 5. Nosso estudo começa por

uma noção intuitiva de limites, passando pelo conceito de derivadas e suas regras

1.1 Limites

uma função qualquer, que poderia representar o lucro de uma empresa de transportes, ou o


creme dental. Digamos que esta função seja xxf += 2)( .

Na análise, que ora queremos fazer (GIOVANNI, 1992), observaremos o comportamento de

quando tomarmos valores de x cada vez mais próximos de 3 (número escolhido arbitrariamente). O

quadro 1 e o gráfico 1 mostram esta aproximação de x a 3 feita pelo lado esquerdo (começando por 2


2,9 2,99 ... 3 ... 3,01

4,9 4,99 ... 5 ... 5,01

Limite de f(x) com x se aproximando de 3 pela esquerda e pela direi

59 | P á g i n a

de 1º e 2º graus e funções exponenciais, muito

oram trabalhados problemas de determinação de ponto de nivelamento,

iniciaremos uma preparação

zado de uma ferramenta poderosa para otimização de funções mais complexas, como

. Nosso estudo começa por

uma noção intuitiva de limites, passando pelo conceito de derivadas e suas regras.

poderia representar o lucro de uma empresa de transportes, ou o


Na análise, que ora queremos fazer (GIOVANNI, 1992), observaremos o comportamento de )(xf

cada vez mais próximos de 3 (número escolhido arbitrariamente). O

a 3 feita pelo lado esquerdo (começando por 2


3,01 3,4 3,9

5,01 5,4 5,9

com x se aproximando de 3 pela esquerda e pela direita.


Rogério Lacerda


A cada valor de x, tendendo a 3 pelo seu lado esquerdo (2; 2,3; 2,9; 2,99), o valor da função

tende a ser 5. A cada valor de,

)(xf tende a ser 5 também. Podemos dizer, então, que o limite da função ,

tende a 3, é 5. Matematicamente,

Se a função representa, por exemplo, o lucro de uma empresa de transportes por

rodados, podemos dizer que, ao aumentar a distância de transporte, aproximando de 3 km, o lucro da

empresa tende a ser 5; e de outra forma podemos dizer que, ao diminuir a di

veículo se aproximando de 3 km rodados, o lucro da empresa tende a 5.

Formalmente, “dizemos que o número L é o limite de

f(x) pode tornar-se arbitrariamente próximo de L, tomando

de a. Nesse caso escrevemos, conforme Goldstein (2006)

Exemplo 1

Calcule e interprete o lim 1→x

Gráfico 1 – Limite de

Fonte:


tendendo a 3 pelo seu lado esquerdo (2; 2,3; 2,9; 2,99), o valor da função

tende a ser 5. A cada valor de, x tendendo a 3 pelo seu lado direito (3,9; 3,4; 3,01), o valor da função

tende a ser 5 também. Podemos dizer, então, que o limite da função ,

tende a 3, é 5. Matematicamente,

52lim 3 =+→ xx

representa, por exemplo, o lucro de uma empresa de transportes por


empresa tende a ser 5; e de outra forma podemos dizer que, ao diminuir a di

veículo se aproximando de 3 km rodados, o lucro da empresa tende a 5.

Formalmente, “dizemos que o número L é o limite de f(x), quando x se aproxima de um número a, se

se arbitrariamente próximo de L, tomando x suficientemente próximo (mas não igual)

escrevemos, conforme Goldstein (2006)

Lxfax =→ )(lim

3

12

1 +−+

x

xx.

Limite de f(x) com x se aproximando de 3 pela esquerda e pela

direita.

Fonte: Figura adaptada de Giovanni (1992).

60 | P á g i n a

tendendo a 3 pelo seu lado esquerdo (2; 2,3; 2,9; 2,99), o valor da função )(xf

ndo a 3 pelo seu lado direito (3,9; 3,4; 3,01), o valor da função

tende a ser 5 também. Podemos dizer, então, que o limite da função , xxf += 2)( quando x

representa, por exemplo, o lucro de uma empresa de transportes por x quilômetros


empresa tende a ser 5; e de outra forma podemos dizer que, ao diminuir a distância percorrida pelo

se aproxima de um número a, se

ientemente próximo (mas não igual)


Rogério Lacerda


Exemplo 2

Calcule e interprete o lim 3→x

Obtivemos uma forma indeterminada (0/0), o que significa dizer que a expressão não tem significado

e, portanto não pode ser calculada. Isso já era esperado, pois a condição de existência da função

(domínio), estudada na Unidade 3, indica que não há relação entre

−x

Devemos, portanto tentar uma modificação na sintaxe da função a fim de facilitar a determinação do

limite. Essa modificação pode ser, por exemplo, a

a simplificação entre numerador e d

Resolução: Basta resolver o

resolver.

1

1

3

1lim

22

1 ++=

+−+

→ x

xxx

Nas proximidades de x

valor.

Resolução:

Veja o que acontece se calcularmos

3.

0

0

33

93)3(

2

=−−=f


3

92

3 −−

x

x.

eterminada (0/0), o que significa dizer que a expressão não tem significado


(domínio), estudada na Unidade 3, indica que não há relação entre x e y em x

{ }3/303 ≠ℜ∈=→≠∴≠− xxDx


limite. Essa modificação pode ser, por exemplo, a fatoração de um ou mais termos. A solução, após

a simplificação entre numerador e denominador do termo 3−x , fica trivial:

Basta resolver o )1(f , ou seja, substituir o valor de x por 1 na função e

4

1

3

11 =+

−

=1 a função se aproxima de ¼ sem, no entanto, assumir esse

Veja o que acontece se calcularmos )3(f , ou seja, se substituirmos o valor de

61 | P á g i n a

eterminada (0/0), o que significa dizer que a expressão não tem significado


x =3:


de um ou mais termos. A solução, após

por 1 na função e

=1 a função se aproxima de ¼ sem, no entanto, assumir esse

valor de x por


Rogério Lacerda


lim 3→x

x

Interpretação do limite:

Nas proximidades de x=3, a função se aproxima de 6 sem

Para complementar a análise, o gráfico desta função racional

função descontínua, cujo gráfico é uma reta interrompida em

deste valor existe uma relação entre

Gráfico 2

−8 −7

São sete as formas indeterminadas encontradas na matemática:

0

0

∞∞

John Bernoulli (1667-1748) descobriu e propôs uma regra para calcu

funções que apresentam formas indeterminadas. A regra proposta é conhecida como

regra de L’Hôpital, em homenagem a um nobre francês e matemático amador,

Guillaume François Ant

primeira vez. (SIMMONS, 1987; THOMAS, 2008).


3lim3

)3(.)3(lim

3

933

2

=+=−

−+=−−

→→ xx

xx

x

xxx

=3, a função se aproxima de 6 sem assumir, no entanto, este valor.

Para complementar a análise, o gráfico desta função racional mostra esta situação: trata

função descontínua, cujo gráfico é uma reta interrompida em x=3. Tanto à esquerda, como à direita

deste valor existe uma relação entre x e y; em x=3, não, é um intervalo aberto.

Gráfico 2 – Função descontínua em x=3

3

9)(

2

−−=

x

xxf

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

São sete as formas indeterminadas encontradas na matemática:

00010. ∞∞−∞∞∞∞ ∞

1748) descobriu e propôs uma regra para calcu



Guillaume François Antoine de L’Hôpital (1661-1704), que publicou a regra pela

(SIMMONS, 1987; THOMAS, 2008).

62 | P á g i n a

6=

assumir, no entanto, este valor.

mostra esta situação: trata-se de uma

=3. Tanto à esquerda, como à direita

=3, não, é um intervalo aberto.

1748) descobriu e propôs uma regra para calcular limites de



1704), que publicou a regra pela


Rogério Lacerda


1.2 Derivadas

Observe os gráficos 3 e 4, onde

ponto de interseção entre C e

Em que gráfico temos a reta L

A resposta é o gráfico 4. No gráfico 3

tangente a uma curva em P é a reta através de

angulares das secantes quando

Lembramos que coeficiente angular, conforme visto na Unidade 3

função de primeiro grau, cujo gráfico é uma reta.

Gráfico 3 Fonte: THOMAS (2008)


1.2 Derivadas

os gráficos 3 e 4, onde C representa a curva da função; L, a reta que intercepta

e L.

L tangente à curva da função C no ponto P?

A resposta é o gráfico 4. No gráfico 3, a reta L é secante a C em P. Thomas (2008. p. 130) define “a

é a reta através de P cujo coeficiente angular é o limite dos coeficientes

angulares das secantes quando Q” se aproxima de P, pela direita e pela esquerda, como na figur

que coeficiente angular, conforme visto na Unidade 3, representa a inclinação de uma

função de primeiro grau, cujo gráfico é uma reta.

THOMAS (2008)

Gráfico 4 Fonte: THOMAS (2008)

Figura 1 – Retas tangentes e secantes Fonte: THOMAS (2008)

63 | P á g i n a

, a reta que intercepta C; e P, o

. Thomas (2008. p. 130) define “a

cujo coeficiente angular é o limite dos coeficientes

, pela direita e pela esquerda, como na figura 1.

representa a inclinação de uma

THOMAS (2008)


Rogério Lacerda


O pleno entendimento do que é uma reta tangente é fundamental para a continuidade dos nossos

estudos. A análise da reta tangente a uma curva (função) pode evidenciar diversas situações práticas

em áreas diversas, tais como:

E como isso acontece?

Cada fenômeno estudado (custo de produção de uma empresa, posição de um automóvel em uma

estrada, etc.) pode ser associado a uma função matemática

ponto para análise (estipula-se um valor para

(curva) naquele valor de x estipulado e interpreta

curva é também chamada de DERIVADA, formalmente assim definida:

A figura 5 ajuda a entender melhor a definição de derivada. Ao se fazer aproximar o ponto Q do ponto

P (fixo) até uma distância h ab

tangente tende a ser igual ao da reta secante (PQ). Sabemos que para determinar a equação, ou

mesmo o coeficiente angular de uma reta (função de primeiro grau), são necessários dois pon

conhecidos, como vimos na Unidade 3. A reta tangente não nos fornece esses pontos, mas a reta

secante (PQ), sim – as coordenadas são assinaladas no gráfico 5. Basta agora que se calcule

(que representa o coeficiente angular

que significa que a distância horizontal entre eles tende a ser zero, necessitando, portanto da

utilização da teoria de Limites para realizar o cálculo.

•Velocidade e aceleração de um carro em determinado instante;

•Custo e rendimento marginal de uma empresa;

•Otimização (maximização ou minimização) de custo, receita e lucro de empresas;

•Complacência pulmonar pressão transmural (diferença de pressões no interior e ao redor dos pulmões);

•Trajetória descendente de um avião.



A análise da reta tangente a uma curva (função) pode evidenciar diversas situações práticas

em áreas diversas, tais como:


er associado a uma função matemática )(xfy = . A partir daí, define

se um valor para x), determina-se a inclinação da reta tangente à função

estipulado e interpreta-se o resultado. A inclinação da reta tangente a uma

curva é também chamada de DERIVADA, formalmente assim definida:

h

xfhxfm h

)()(lim 00

0

−+= →

ajuda a entender melhor a definição de derivada. Ao se fazer aproximar o ponto Q do ponto

absurdamente (infinitesimalmente) pequena, o coeficiente angular da reta


mesmo o coeficiente angular de uma reta (função de primeiro grau), são necessários dois pon


as coordenadas são assinaladas no gráfico 5. Basta agora que se calcule

(que representa o coeficiente angular m) na condição de extrema proximidade entre os dois pontos, o


utilização da teoria de Limites para realizar o cálculo.

Velocidade e aceleração de um carro em determinado instante;

Custo e rendimento marginal de uma empresa;

Otimização (maximização ou minimização) de custo, receita e lucro de empresas;

Complacência pulmonar - Taxa de variação do volume pulmonar em relação à pressão transmural (diferença de pressões no interior e ao redor dos pulmões);

Trajetória descendente de um avião.

64 | P á g i n a


A análise da reta tangente a uma curva (função) pode evidenciar diversas situações práticas


. A partir daí, define-se um

se a inclinação da reta tangente à função

A inclinação da reta tangente a uma

ajuda a entender melhor a definição de derivada. Ao se fazer aproximar o ponto Q do ponto

surdamente (infinitesimalmente) pequena, o coeficiente angular da reta


mesmo o coeficiente angular de uma reta (função de primeiro grau), são necessários dois pontos


as coordenadas são assinaladas no gráfico 5. Basta agora que se calcule ∆∆∆∆y/∆∆∆∆x

ema proximidade entre os dois pontos, o


Otimização (maximização ou minimização) de custo, receita e lucro de empresas;

Taxa de variação do volume pulmonar em relação à pressão transmural (diferença de pressões no interior e ao redor dos pulmões);


Rogério Lacerda


A derivada pode ser interpretada como a taxa de variação entreexemplos:

Gráfico 5 –

Um astro-físico pode querer estudar a velocidade de um cometa, que é a taxa da variação da posição de um corpo pelo tempo;

Um pesquisador pode querer saber como a mudança na dosagem de um medicamento influi na resposta do corpo de uma cobaia à droga;

Um avicultor pode querer saber como varia o custo da produção de ovos em função da quantidade produzida.

A derivada de uma função pode ser representada por meio de várias

notações diferentes, como:

dx

dyyxfm ')('

As quatro primeiras são as mais utilizadas, contudo todas têm situações específicas para uso.


A derivada pode ser interpretada como a taxa de variação entre duas variáveis, veja alguns

– Interpretação geo métrica da derivada

Fonte: THOMAS (2008)

físico pode querer estudar a velocidade de um cometa, que é a taxa da variação da posição de um corpo pelo

Um pesquisador pode querer saber como a mudança na dosagem de um medicamento influi na resposta do corpo de uma cobaia à droga;

Um avicultor pode querer saber como varia o custo da produção de ovos em função da quantidade produzida.

A derivada de uma função pode ser representada por meio de várias

notações diferentes, como:

fDxfDdx

dfxf

dx

d

dx

dyx))(()(


65 | P á g i n a

duas variáveis, veja alguns

αtgxf )(



Rogério Lacerda


Exemplo

Calcule e interprete a derivada da função

Resolução:

h

hxfxf h

)(lim)(' 0

0

−+= →

h

hff h

)2(lim)2(' 0

−+= →

( )h

hf h

2

0

22lim)2('

−+= →

h

hhf h

44lim)2('

2

0

++= →

h

hhf h

)4(lim)2(' 0

+= →

hf h += → 4lim)2(' 0

04)2(' +=f

4)2(' =f

Podemos interpretar um problema de cálculo de derivadas de duas maneiras:

• A taxa de variação da função nas p

• A cada valor infinitesimal que

vezes.


Calcule e interprete a derivada da função 2)( xxf = em 20 =x .

xf )( 0− Definição de derivada.

f )2(− Substituição de 0x por 2.

22 Substituição de h+2 em f

42 − Desenvolvimento do produto notável

Desenvolvimento algébrico.

Simplificação do h no numerador e denominador.

Substituição de h por 0, desenvolvendo o limite.

Resultado do limite.


A taxa de variação da função nas proximidades de x=2 é 4.

A cada valor infinitesimal que x aumenta nas proximidades de 2, y

66 | P á g i n a

)(xf .

Desenvolvimento do produto notável ( )22 h+ .

umerador e denominador.

, desenvolvendo o limite.


(ou f(x)) aumenta 4


Rogério Lacerda


1.3 Regras de derivação

A derivação, também chamada de diferenciação, é o processo de determinação da taxa de variação

da função ou, ainda, do coeficiente angular (inclinação) da reta tangente à função

genericamente apresentado no gráfico 6. Vimos que, para isso, utilizamos o limite:

Ademais, este método é bastante formal, demorado e cansativo, sobretudo para funções mais

complexas como funções exponenciais

apresentar regras que permitam derivar vários tipos de função, através de procedimentos puramente

mecânicos, sem a necessidade de utilizar a definição de derivadas envolvendo limites. Tais regras

foram desenvolvidas por matemáticos como Leibniz, Cauchy e Newton e seu resultado é a chamada

função derivada )(' xf , função genérica vinculada à função

de Dxo ∈ para a determinação da derivada em um ponto específico.

Regras

1. tan()( = teconskxf

• Ex: 5)( =xf

2. (')( →= n fxxf

• Ex: 7)( xxf =

Gráfico


1.3 Regras de derivação


da função ou, ainda, do coeficiente angular (inclinação) da reta tangente à função


h

xfhxfxf h

)()(lim)(' 00

0

−+= →


complexas como funções exponenciais e polinomiais de enésimo grau. O objetivo desta seção é



m desenvolvidas por matemáticos como Leibniz, Cauchy e Newton e seu resultado é a chamada

, função genérica vinculada à função )(xf , capaz de receber qualquer valor

terminação da derivada em um ponto específico.

0)(') =→ xfte

0)(' =→ xf

1)( −= nxnx

67 7)(' xxf =→

Gráfico 6 – Inclinação da reta tangente à função

Fonte: GOLDSTEIN (2006)

67 | P á g i n a


da função ou, ainda, do coeficiente angular (inclinação) da reta tangente à função )(xf , como



e polinomiais de enésimo grau. O objetivo desta seção é



m desenvolvidas por matemáticos como Leibniz, Cauchy e Newton e seu resultado é a chamada

, capaz de receber qualquer valor


Rogério Lacerda


3. )( →= n fkxxf

• Ex: 5)( xxf =

4. x fexf →= (')(

• Ex: xexf =)(

5. faxf x ')( →=

• Ex: 5)( xxf =

6. fxxf ln)( →=

• Ex: xf ln)( =

7. xxf alog)( →=

• Ex: log)(xf =

8. Regra da soma ou subtração:

• Ex: xf 13)( =

9. Regra do produto: )(xf

• Ex: xxf =)( 3

10. Regra do quociente:

• Ex: 4

)(e

xf =

Observação: u e v representam funções de


1)(' −= nxnkxf

223 153.5)(' xxxfx ==→

xex =)(

xx exf =→ )('

aax x ln.)( =

5ln.5)(' xx xf =→

xxf

1)(' =

xxfx

1)('ln =→

axxf

ln.

1)(' =

7ln.

1)('log7 x

xfx =→

Regra da soma ou subtração: '')(')( vuxfvuxf ±=→±=

x

x

xxxfxx

126126)('ln13

22 −=−=→−

'')('.) uvvuxfvu +=→=

( xexexxexfe xxxx +=+=→ 3..3.)('. 2323

2

'')(')(

v

uvvuxf

v

uxf

−=→=

( ) 10

4

25

45

5 16(4

4

20..4)('

x

xex

x

xeexxf

x

e xxxx −=−=→

representam funções de x.

68 | P á g i n a

)x

64)5()5

x

xex −=−


Rogério Lacerda


1.4 Extremos de funções

À medida que começamos a trabalhar c

trivialidade das retas das funções de primeiro grau ou das parábolas das funções de segundo grau,

como vimos na Unidade 3. Não é nosso objetivo construir gráficos de funções de terceiro ou quarto

grau, ou mesmo de funções complexas envolvendo exponenciais como as da figura 7, mas temos

que ter a habilidade de analisá

Vamos nos ater, independentemente do tipo de função, em pontos como (

e o ponto (3,-17) da figura 2b. Perceba que es

decrescente da função ou vice versa. Es

(-2,11) é um ponto máximo relativo (ou local)

observando toda a função existem pontos de maior valor (mais altos). O contrário acontece com o

ponto (2,-21), que em sua região é o menor, mas observando a função como um todo existem pontos

de menor valor do que ele. Este é um

Observe agora o que ocorre com o ponto (3,

decrescente para um trecho crescente, caracterizando um ponto mínimo, contudo em relação à

função toda este é o menor ponto, portanto o

Mas como fazer para determinar esses pontos sem o gráfico para nos auxiliar?

Por meio das derivadas!

É simples, iguale a derivada a zero

tangente em um ponto específico, então em trechos crescentes

0>m ou 0)(' >xf . Nos trechos decrescentes de funções, a inclinação será negativa:

a

Figura 2 – Funções de 3º grau, 4º grau e envolvendo exponencia is


1.4 Extremos de funções

À medida que começamos a trabalhar com funções mais complexas, seus gráficos perdem a



esmo de funções complexas envolvendo exponenciais como as da figura 7, mas temos

que ter a habilidade de analisá-las.

Vamos nos ater, independentemente do tipo de função, em pontos como (-2,11) e (2,

b. Perceba que esses pontos separam um trecho crescente de um trecho

decrescente da função ou vice versa. Esses pontos são chamados de extremos

ponto máximo relativo (ou local) , pois nas regiões próximas, ele é o maior, mas


21), que em sua região é o menor, mas observando a função como um todo existem pontos

de menor valor do que ele. Este é um ponto mínimo local .

agora o que ocorre com o ponto (3,-17) da figura 2b. A função passa de um trecho


função toda este é o menor ponto, portanto o ponto mínimo absoluto (ou global)

como fazer para determinar esses pontos sem o gráfico para nos auxiliar?

iguale a derivada a zero e resolva a equação. Como a derivada é a inclinação da reta

tangente em um ponto específico, então em trechos crescentes de funções a inclinação será positiva

. Nos trechos decrescentes de funções, a inclinação será negativa:

b c

Funções de 3º grau, 4º grau e envolvendo exponencia is .


69 | P á g i n a

om funções mais complexas, seus gráficos perdem a



esmo de funções complexas envolvendo exponenciais como as da figura 7, mas temos

2,11) e (2,-21) da figura 2a

es pontos separam um trecho crescente de um trecho

extremos da função. O ponto

, pois nas regiões próximas, ele é o maior, mas


21), que em sua região é o menor, mas observando a função como um todo existem pontos

17) da figura 2b. A função passa de um trecho


(ou global) .

como fazer para determinar esses pontos sem o gráfico para nos auxiliar?

. Como a derivada é a inclinação da reta

a inclinação será positiva:

. Nos trechos decrescentes de funções, a inclinação será negativa: 0<m ou


Rogério Lacerda


0)(' <xf . A transição dessas duas situações ocorre quando a de

máximo ou de mínimo. De fato, para passar de inclinação positiva para negativa ou vice versa, a

tangente se horizontaliza, ficando sem inclinação:

Na seção 1.3 da Unidade 3, foi desenv

32)( 2 ++−= xxxf e, na oportunidade, determinamos seu ponto máximo por meio das

coordenadas ( )vv yx , . Vamos determinar novamente o ponto máximo só que, agora, utilizando

derivadas? Queremos mostrar que a metodologia vale tanto para funções simples como para funções

complexas.

Figura 3 –

Exemplo

Determine o extremo da função

Resolução: O primeiro passo é derivar a função e em seguida igualar a função derivada a zero.

32)( 2 ++−= xxxf

022)(' ++−= xxf

022 =+− x


. A transição dessas duas situações ocorre quando a derivada é zero, em ponto de


horizontaliza, ficando sem inclinação: 0)(' =xf . Veja a figura 3.

Na seção 1.3 da Unidade 3, foi desenvolvido um estudo da função do segundo grau

e, na oportunidade, determinamos seu ponto máximo por meio das

. Vamos determinar novamente o ponto máximo só que, agora, utilizando

strar que a metodologia vale tanto para funções simples como para funções

– 0)(' =xf indica ponto máximo e ponto mínimo


Determine o extremo da função 32)( 2 ++−= xxxf .


Função derivada. Utilizaram-se as regras de derivação nº 8, 2 e 1.

Igualando a derivada a zero.

70 | P á g i n a

rivada é zero, em ponto de


olvido um estudo da função do segundo grau

e, na oportunidade, determinamos seu ponto máximo por meio das

. Vamos determinar novamente o ponto máximo só que, agora, utilizando

strar que a metodologia vale tanto para funções simples como para funções


se as regras de derivação nº 8, 2 e 1.


Rogério Lacerda


1=x

43)1(2)1()1( 2 =++−=f

O valor encontrado para o p

Falta agora determinar se o ponto é máximo ou mínimo. A partir do valor de

vamos fazer um estudo de sinal da função derivada, arbitrando um valor qualquer para

para 1>x .

Para )0('0 −=→= fx

Para )2('2 −=→= fx

Então, se a função passa de crescent


Solução da equação. Representa a abscissa do extremo.

Substituindo x por 1 na função.

O valor encontrado para o ponto extremo é (1,4).

Falta agora determinar se o ponto é máximo ou mínimo. A partir do valor de

vamos fazer um estudo de sinal da função derivada, arbitrando um valor qualquer para

220.2 =+− Se 0)(' >xf a função é crescente

222.2 −=+− Se 0)(' <xf a função é decrescente

Então, se a função passa de crescente para decrescente, o ponto analisado é

71 | P á g i n a

Solução da equação. Representa a abscissa do extremo.

Falta agora determinar se o ponto é máximo ou mínimo. A partir do valor de x encontrado ( 1=x ),

vamos fazer um estudo de sinal da função derivada, arbitrando um valor qualquer para 1<x e

a função é crescente 1<∀ x .

a função é decrescente 1>∀ x .

e para decrescente, o ponto analisado é máximo .


Rogério Lacerda



Vamos aprofundar mais nossos estudos sobre derivadas apresentando alguns exemplos. O objetivo é

criar uma habilidade matemática na utilização da d

de fenômenos gerenciais que serão abordados na próxima unidade.

Exemplo 1

Calcule a derivada das seguintes funções utilizando as regras de derivação:

a) 5242 xxy −+=

b) xey x ln.=

c) 42

3 2

+=

x

xy

Resolução:

a) Esta é uma função polinomial de 5º grau, e

inicialmente a regra nº 8, na qual a derivada de uma soma/diferença (ou uma sequência

de somas/diferenças) é a so

individualmente. Cada parcela é então submetida a uma regra específica.

maneira teremos:

5242 xxy −+=

41040' xy −+=

410' 4 +−= xy




criar uma habilidade matemática na utilização da derivada como ferramenta de cálculo para análise

de fenômenos gerenciais que serão abordados na próxima unidade.

Calcule a derivada das seguintes funções utilizando as regras de derivação:

Esta é uma função polinomial de 5º grau, e, para este tipo de função


de somas/diferenças) é a soma/diferença das derivadas de cada parcela

Cada parcela é então submetida a uma regra específica.

Aplicamos a regra 1 no 1º termo e a regra 3 no 2º e 3º termos.

72 | P á g i n a


erivada como ferramenta de cálculo para análise

para este tipo de função, utilizaremos


ma/diferença das derivadas de cada parcela

Cada parcela é então submetida a uma regra específica. Desta

e a regra 3 no 2º e 3º termos.


Rogério Lacerda


Exemplo 2:

Determine os extremos da função

b) Esta função é composta pelo produto de dois termos. Vamos utilizar a regra nº 9, a

regra do produto. A regra considera o primeiro termo

xv ln= . Nesta regra devemos multiplicar o seg

somar com a multiplicação do primeiro termo pela derivada do segundo.

xey x ln.=

xeexy xx 1

..ln' +=

x

eexxy

x += .ln.'

x

xxey

x )1ln.('

+=

c) Esta é uma função racional, composta pela razão de dois polinômios. Vamos utilizar a

regra nº 10, a regra do quociente. A regra considera o numerador

42 += xv .

42

3 2

+=

x

xy

( 42

)6)(42('

+−+=

x

xxy

( )2

2

42

62412'

+−+=

x

xxy

( )2

2

42

246'

++=

x

xxy


Determine os extremos da função 512)( 3 −−= xxxf .

Esta função é composta pelo produto de dois termos. Vamos utilizar a regra nº 9, a

regra do produto. A regra considera o primeiro termo xeu = e o segundo termo

. Nesta regra devemos multiplicar o segundo termo pela derivada do primeiro e


Aplicando a regra 9: ('.)( xfvuxf →=

x

1 Aplicaremos a regra 4 na 1ª parcela e a 6 na 2ª

x

Calculamos o mmc.

) Colocamos xe em evidência.

é uma função racional, composta pela razão de dois polinômios. Vamos utilizar a

regra nº 10, a regra do quociente. A regra considera o numerador u =

Aplicando a regra 10: )(v

uxf →=

)2

2

4

)2)(3(− x Aplicamos a regra 3 no 1º termo do numerador e as

regras 8 e 3 no segundo termo.

26x Desenvolvemos os produtos do numerador.

Simplificamos o numerador.

73 | P á g i n a

Esta função é composta pelo produto de dois termos. Vamos utilizar a regra nº 9, a

e o segundo termo

undo termo pela derivada do primeiro e


'') uvvux +=

Aplicaremos a regra 4 na 1ª parcela e a 6 na 2ª.

é uma função racional, composta pela razão de dois polinômios. Vamos utilizar a

23x= e o denominador

2

'')('

v

uvvuxf

−=→

Aplicamos a regra 3 no 1º termo do numerador e as

Desenvolvemos os produtos do numerador.


Rogério Lacerda


Resolução: Já sabemos que

derivada a zero e resolver a equação.

512)( 3 −−= xxxf

123)(' 2 −= xxf Aplicamos a regra 8 na função toda, a regra 2 no primeiro termo, a 3 no 2º

e a 1 no terceiro. Obtivemos a função derivada.

0123 2 =−x Igualamos a derivada

123 2 =x

42 =x

2±=x Resolvendo a equação obtivemos 2 resultados:

Substituindo esses valores na função

2152.122)2( 3 =−−=f

)2.(12)2()2( 3 −−−−=−f

Esse resultado nos sugere dois extremos, pois determinamos 2 pontos, mas existem casos em

que a quantidade de pontos determinados não coincide com o número de extremos da função.

Prosseguindo com a solução do problema, resta determinar se são pontos máximo, mínimo ou

nenhum dos dois. A partir dos valores de

estudo de sinal da função derivada, arbitrando u

para 2>x .

Para )3('3 −→−= fx

Se 0)(' >xf a função é crescente

Para 3)('0 =→= xfx

Se 0)(' <xf a função é decrescente

Para 3)('3 =→= xfx

Se 0)(' >xf a função é crescente

Então, se a função passa de crescente para decrescente em

Se a função passa de decrescente para crescente em

Você pode constatar isso observando o gráfico da


Resolução: Já sabemos que, para determinar os extremos de uma função,

derivada a zero e resolver a equação.

Aplicamos a regra 8 na função toda, a regra 2 no primeiro termo, a 3 no 2º

e a 1 no terceiro. Obtivemos a função derivada.

Igualamos a derivada a zero.

Resolvendo a equação obtivemos 2 resultados: 1 =x

es valores na função )(xf , obteremos dois pares ordenados.

→ Par ordenado 1: (2,21)

115 =− → Par ordenado 2: (-2,11)

e resultado nos sugere dois extremos, pois determinamos 2 pontos, mas existem casos em


osseguindo com a solução do problema, resta determinar se são pontos máximo, mínimo ou

nenhum dos dois. A partir dos valores de x encontrados ( 2=x e =x

estudo de sinal da função derivada, arbitrando um valor qualquer para −<x

1512)3.(3) 2 =−−=

a função é crescente 2−<∀ x .

12120.3 3 −=−

a função é decrescente 22 <<−∀ x .

69123.3 3 =−

a função é crescente 2>∀ x .

Então, se a função passa de crescente para decrescente em 2−=x , o ponto (

Se a função passa de decrescente para crescente em 2=x , o ponto (2,21) é

observando o gráfico da figura 2a.

74 | P á g i n a

basta igualar a função

Aplicamos a regra 8 na função toda, a regra 2 no primeiro termo, a 3 no 2º

2= e 22 −=x .

, obteremos dois pares ordenados.

e resultado nos sugere dois extremos, pois determinamos 2 pontos, mas existem casos em


osseguindo com a solução do problema, resta determinar se são pontos máximo, mínimo ou

2− ), vamos fazer um

2− , para 22 <<− x e

, o ponto (-2,11) é máximo .

, o ponto (2,21) é mínimo .


Rogério Lacerda


Ponto de inflexão

Se um ponto em que a derivada é zero não representa um extremo, tem

ponto de inflexão. Este ponto indica uma mudança de concavidade na função,

como os pontos (0,10) e (2,


Se um ponto em que a derivada é zero não representa um extremo, tem


como os pontos (0,10) e (2,-6) da figura 2b ou os pontos c1 e c5 na figura 3.

75 | P á g i n a

Se um ponto em que a derivada é zero não representa um extremo, tem-se um


na figura 3.


Rogério Lacerda


3. Síntese


• Limites

o Em uma função, quando um valor de

sem, contudo atingi

o xfax→ )(lim

• Derivadas

o a tangente a uma curva, em um ponto

angular é o limite dos coeficientes angulares das secantes quando um ponto

aproxima de P

o as derivadas podem ser interpretadas como a taxa de variação entre duas grandezas

o as derivadas representam o coeficiente angular da reta tangente à função

o f

m hlim 0= →

o As notações mais comuns de derivadas são:

• Regras de derivação

o 1. ()( = kxf

o 2. )( = nxxf

o 3. )( = nkxxf

o 4. xexf =)(

o 5. axf x)( =


Síntese


Em uma função, quando um valor de x se aproxima cada vez mais de um número

sem, contudo atingi-lo, a função tende a ter determinado valor

L=)

a tangente a uma curva, em um ponto P, é a reta através de

angular é o limite dos coeficientes angulares das secantes quando um ponto

P

as derivadas podem ser interpretadas como a taxa de variação entre duas grandezas

as derivadas representam o coeficiente angular da reta tangente à função

h

xfhxf )()( 00 −+

As notações mais comuns de derivadas são:

xfm )('

Regras de derivação

0)(')tan( =→ xftecons

1)(' −=→ nxnxf

1)(' −=→ nn xnkxf

xexf =→ )('

aaxf x ln.)(' =→

76 | P á g i n a

se aproxima cada vez mais de um número a

nção tende a ter determinado valor L.

é a reta através de P cujo coeficiente

angular é o limite dos coeficientes angulares das secantes quando um ponto Q se

as derivadas podem ser interpretadas como a taxa de variação entre duas grandezas

as derivadas representam o coeficiente angular da reta tangente à função )(xf

dx

dyy')


Rogério Lacerda


o 6. xf ln)( =

o 7. xf log)( =

o 8. Regra da soma ou subtração:

o 9. Regra do produto:

o 10. Regra do quociente:

o A função derivada

receber qualquer valor de

específico.

• Extremos de funções

o Os extremos de uma função podem ser pontos máximos ou mínimos, estes relativos

ou absolutos.

o Um ponto será máximo quando o trecho de função que o precede for crescente e o

que o sucede for decrescente.

o Um ponto será mínimo quando o trecho de função que o precede for decrescente e o

que o sucede for crescente.

o Se > 0)(' xf

o Se < 0)(' xf

o Se = 0)(' xf


xxfx

1)(' =→

axxfxa ln.

1)('log =→

8. Regra da soma ou subtração: )( vuxf →±=

9. Regra do produto: '')('.)( uvvuxfvuxf +=→=

10. Regra do quociente: '

)(')(v

vuxf

v

uxf

−=→=

A função derivada )(' xf é função genérica vinculada à função

receber qualquer valor de Dxo ∈ para a determinação da derivada em um ponto

Extremos de funções

Os extremos de uma função podem ser pontos máximos ou mínimos, estes relativos

bsolutos.

Um ponto será máximo quando o trecho de função que o precede for crescente e o

que o sucede for decrescente.

Um ponto será mínimo quando o trecho de função que o precede for decrescente e o

que o sucede for crescente.

→0 função crescente

→0 função decrescente

→0 reta tangente sem inclinação. Pode indicar um extremo.

77 | P á g i n a

'')(' vuxf ±=→

2

'

v

uv−

lada à função )(xf , capaz de

para a determinação da derivada em um ponto

Os extremos de uma função podem ser pontos máximos ou mínimos, estes relativos

Um ponto será máximo quando o trecho de função que o precede for crescente e o

Um ponto será mínimo quando o trecho de função que o precede for decrescente e o

reta tangente sem inclinação. Pode indicar um extremo.


Rogério Lacerda


Unidade 5: Aplicações das derivadas na área gerencial


Nesta unidade, serão apresentadas algumas

derivadas, na área gerencial. Todo o ferramental matemático trabalhado nas unidades anteriores será

utilizado na resolução e interpretação de problemas aplicativos. Por puro rigor conceitual e para a

padronização de análises, todas as situações tratadas nesta unidade se baseiam na

que estuda a atividade de um negócio restringindo a análise a um período durante o qual as

condições de fornecimento de matérias primas, mão de obra e outros são cons

desta unidade pormenorizar estudos macro e microeconômicos, mas apresentar, sucintamente,

conceitos que tragam ao aluno o conhecimento necessário para desenvolver um raciocínio e

interpretar o resultado matematicamente determinado.

Vamos começar com o estudo da demanda, oferta e preço de equilíbrio.

1.1 Demanda, oferta e preço de equilíbrio.

A demanda é um plano, ou uma aspiração, ou um desejo de adquirir e não propriamente a realização

deste desejo em um certo período de tempo. Não

Filho (1992. p. 101) afirma que “a teoria da demanda é derivada de várias hipóteses sobre a escolha

do consumidor entre diversos bens que o seu orçamento permite adquirir”, entendendo consumidor

como uma coletividade, e não um consumidor individual. A quantidade demandada por um bem é

inversamente proporcional ao preço desse bem; portanto a função demanda é uma função

decrescente2. A curva da figura 1 indica, genericamente, a forma de um gráfico de demanda. Q

menor for o preço P de um automóvel, por exemplo, maior a quantidade Q de pessoas terão o plano

ou a aspiração de comprá-lo, ao passo que se o preço estiver elevado menos pessoas se sentirão

tentadas a adquirir o bem.

2 O caráter decrescente da função demanda ocorre na mcurva pode apresentar outras configurações.

“Nos anos recentes, as decisões econômicas vêm sendo cada vez mais orientadas pela matemática. Em face de uma imensa quantidade de dados estatísticos, dependendo de centenas

ou mesmo de milhares de diferentes variáveis, analistas de negócios e economistas têm, cada vez mais, lançado mão da ajuda de métodos matemáticos para descrever o que está acontecendo,

para prever os efeitos de várias políticas alternativas e para decidir estratégias razoáveis dentre um enorme número de possibilidades.” (GOLDSTEIN, 2006, p. 197)


Aplicações das derivadas na área gerencial

Conteúdo Didático

serão apresentadas algumas aplicações da matemática, especificamente das



ção de análises, todas as situações tratadas nesta unidade se baseiam na


condições de fornecimento de matérias primas, mão de obra e outros são cons



interpretar o resultado matematicamente determinado.

Vamos começar com o estudo da demanda, oferta e preço de equilíbrio.

1.1 Demanda, oferta e preço de equilíbrio.

é um plano, ou uma aspiração, ou um desejo de adquirir e não propriamente a realização

deste desejo em um certo período de tempo. Não é compra e nem venda. É apenas procura. Montoro



etividade, e não um consumidor individual. A quantidade demandada por um bem é


. A curva da figura 1 indica, genericamente, a forma de um gráfico de demanda. Q


lo, ao passo que se o preço estiver elevado menos pessoas se sentirão

O caráter decrescente da função demanda ocorre na maioria das situações, entretanto, em alguns casos na economia

curva pode apresentar outras configurações.




78 | P á g i n a

Aplicações das derivadas na área gerencial

aplicações da matemática, especificamente das



ção de análises, todas as situações tratadas nesta unidade se baseiam na teoria da firma,


condições de fornecimento de matérias primas, mão de obra e outros são constantes. Não é objetivo



é um plano, ou uma aspiração, ou um desejo de adquirir e não propriamente a realização

é compra e nem venda. É apenas procura. Montoro



etividade, e não um consumidor individual. A quantidade demandada por um bem é


. A curva da figura 1 indica, genericamente, a forma de um gráfico de demanda. Quanto


lo, ao passo que se o preço estiver elevado menos pessoas se sentirão

em alguns casos na economia, a





Rogério Lacerda


No exemplo 2, da seção 2, na

situação de determinação de uma curva de demanda. O preço da diária do estacionamento reduzido

de R$ 20,00 para R$ 15,00, acarretou um aumento de demanda de 25 automóveis.

A oferta, também, é um plano, ou uma aspiração, ou um desejo, só que de vender. “No que se refere

ao período de tempo, vale a mesma consideração feita no caso da demanda de mercado e,

analogamente, insistimos no fato de que a oferta a que nos referimos é a oferta de todos os

produtores da utilidade e não a de um produtor individual” (SILVA, 1999. p. 105). A relação entre a

quantidade ofertada e o preço é direta, como visualizada na função crescente

quanto maior for o preço P de um produto, mais interessante se

consequentemente a quantidade Q ofertada.

3 O caráter crescente da função demandacurva pode apresentar outras configurações.

Fonte: Disponível em

trechos.asp?id=41


No exemplo 2, da seção 2, na Teoria na Prática da Unidade 3 – Funções foi apresentada uma



plano, ou uma aspiração, ou um desejo, só que de vender. “No que se refere



dutores da utilidade e não a de um produtor individual” (SILVA, 1999. p. 105). A relação entre a

quantidade ofertada e o preço é direta, como visualizada na função crescente

quanto maior for o preço P de um produto, mais interessante se torna produzi

consequentemente a quantidade Q ofertada.

O caráter crescente da função demandada ocorre na maioria das situações, entretanto, em alguns casos na economia

configurações.

Figura 1 – Curva de Demanda

Disponível em http://www.teoriadosjogos.net/teoriadosjogos/list-

trechos.asp?id=41. Acesso em 22/12/2011.

Preço

Qtde Figura 2 – Curva de Oferta

Fonte: Disponível em https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Curva_de_oferta.svg. Acesso em 22/12/2011.

79 | P á g i n a

Funções foi apresentada uma



plano, ou uma aspiração, ou um desejo, só que de vender. “No que se refere



dutores da utilidade e não a de um produtor individual” (SILVA, 1999. p. 105). A relação entre a

quantidade ofertada e o preço é direta, como visualizada na função crescente3 da figura 2, pois

torna produzi-lo, aumentando

em alguns casos na economia, a


Rogério Lacerda


O preço de um bem em uma economia de mercado é determinado tanto por sua oferta como por sua

procura. A curva de procura, que representa o desejo dos consumidores, é decres

oferta, que representa o desejo dos produtores em vender é crescente e, invariavelmente, se cruzam

determinando um único ponto, conforme figura 3. Esse ponto é chamado de

representa o equilíbrio de mercado entre os

desejam vender. É a relação entre a quantidade de produtos comercializados e o preço praticado.

A determinação do ponto de nivelamento nos remete a uma situação de interseção de funções,

abordada na Unidade 3, seção 1.2

exemplo 1, na oportunidade trabalhando com a interseção de curvas de receita e custo.

Você vai conhecer, agora, mais sobre receita, custo e ponto de nivelamento.

1.2 Rece

Na unidade 3, seção 1.5 – Aplicações na área gerencial e na seção 2 da teoria na prática da mesma

unidade, foram tratados os temas receita, custo lucro e ponto de nivelamento. A abordagem prévia

desse assunto teve como objetivo antecipar o caráter aplicativo das funções, permeando aplicações

às teorias matemáticas a fim de tornar mais prazeroso e enriquecedor o estudo de funções.

Todavia, aprendemos uma ferramenta nova, a derivada, que nos permite aprofundar mais o

do tema desta seção. Vamos a seguir, sintetizar a abordagem feita na seção 1.5 da Unidade 3 e

aplicar seus conceitos nos problemas no item 2

Preço

Figura 3Fonte: Figura adaptada. Disponível em: http://nenitalfaro.blogspot.com/2010/09/la27/12/2011.



procura. A curva de procura, que representa o desejo dos consumidores, é decres


determinando um único ponto, conforme figura 3. Esse ponto é chamado de

representa o equilíbrio de mercado entre os consumidores que desejam comprar e os produtores que



nidade 3, seção 1.2 – Funções de 1º grau, exemplo 3 e na seção 2


mais sobre receita, custo e ponto de nivelamento.

1.2 Receita, custo, lucro e ponto de nivelamento.

Aplicações na área gerencial e na seção 2 da teoria na prática da mesma


como objetivo antecipar o caráter aplicativo das funções, permeando aplicações


Todavia, aprendemos uma ferramenta nova, a derivada, que nos permite aprofundar mais o


aplicar seus conceitos nos problemas no item 2 – Teoria na prática, desta unidade.

Qtde

Ponto de Equilíbrio

Oferta Demanda

Figura 3 – Ponto de Equilíbrio Figura adaptada. Disponível em: http://nenit-

alfaro.blogspot.com/2010/09/la-oferta-y-la-demanda.html. Acesso em 27/12/2011.

80 | P á g i n a


procura. A curva de procura, que representa o desejo dos consumidores, é decrescente e a curva de


determinando um único ponto, conforme figura 3. Esse ponto é chamado de ponto de equilíbrio e

consumidores que desejam comprar e os produtores que



Funções de 1º grau, exemplo 3 e na seção 2 – Teoria na prática,


ita, custo, lucro e ponto de nivelamento.

Aplicações na área gerencial e na seção 2 da teoria na prática da mesma


como objetivo antecipar o caráter aplicativo das funções, permeando aplicações


Todavia, aprendemos uma ferramenta nova, a derivada, que nos permite aprofundar mais o estudo


Teoria na prática, desta unidade.

demanda.html. Acesso em


Rogério Lacerda


Função receita :

Função custo :

Função lucro :

Ponto de nivelamento

Matematicamente é determinado igualando

Vamos conhecer as funções marginais.

1.3 Funções margina

Um CEO4 não está apenas interessado no valor do faturamento de sua empresa em determinado

instante de tempo. Está igualmente atento à taxa com a qual esse faturamento aumenta ou diminui.

Um administrador não se interessa apenas pelo custo total da produ

produzida, mas, também, em como é a variação do custo para diferentes níveis de produção.

Estamos falando de situações dinâmicas, nas quais o “como” as funções variam são tão importantes

quanto o “quanto” elas representam.

O custo, a receita ou o lucro real, diretamente relacionado à produção de

bem, em uma linha que já opera com determinado nível de produção, são chamados de

marginais . Este valor é muito importante para a tomada de decisão, pois

variação da produção pontualmente e em pequena escala (TAN. 2001). Essas condições (taxa de

variação, análise pontual e pequenos intervalos) se assemelham fortemente ao conceito de derivadas

e, por esta razão, os economistas definiram

função analisada (receita, custo ou lucro). Thomas (2008. p. 174) afirma que o valor associado à

produção de uma unidade adicional, seja em custo, receita ou lucro, é um valor muito próximo ao da

inclinação da reta tangente à curva da função, e que esta aproximação só “será aceitável se o

coeficiente angular do gráfico não variar rapidamente próximo” da quantidade

palavras, a derivada da função receita, custo ou lucro em determinado valor

ou o custo ou o lucro marginal, desde que a inclinação da reta tangente não varie

representativamente próximo de

4 Chief Executive Officer – responsável por inspecionar todos os departamentos e tarefas na empresa, do escopo do produto à fase de marketing. (DUARTE JÚNIOR, 2005)


xpxR .)( =

CVCFxC +=)(

)()()( xCxRxL −=

Ponto de nivelamento (break even point): ponto que separa o lucro do prejuízo.

Matematicamente é determinado igualando-se as funções receita e custo.

Vamos conhecer as funções marginais.

1.3 Funções margina is

não está apenas interessado no valor do faturamento de sua empresa em determinado


Um administrador não se interessa apenas pelo custo total da produção em função da quantidade



quanto o “quanto” elas representam.

sto, a receita ou o lucro real, diretamente relacionado à produção de uma

bem, em uma linha que já opera com determinado nível de produção, são chamados de

. Este valor é muito importante para a tomada de decisão, pois



e, por esta razão, os economistas definiram as funções marginais como sendo

analisada (receita, custo ou lucro). Thomas (2008. p. 174) afirma que o valor associado à


reta tangente à curva da função, e que esta aproximação só “será aceitável se o

coeficiente angular do gráfico não variar rapidamente próximo” da quantidade

palavras, a derivada da função receita, custo ou lucro em determinado valor de


representativamente próximo de x.

responsável por inspecionar todos os departamentos e tarefas na empresa, do escopo do produto à

fase de marketing. (DUARTE JÚNIOR, 2005)

81 | P á g i n a

): ponto que separa o lucro do prejuízo.

se as funções receita e custo.

não está apenas interessado no valor do faturamento de sua empresa em determinado


ção em função da quantidade



uma unidade adicional do

bem, em uma linha que já opera com determinado nível de produção, são chamados de funções

. Este valor é muito importante para a tomada de decisão, pois permite a análise da



como sendo a derivada da

analisada (receita, custo ou lucro). Thomas (2008. p. 174) afirma que o valor associado à


reta tangente à curva da função, e que esta aproximação só “será aceitável se o

coeficiente angular do gráfico não variar rapidamente próximo” da quantidade x produzida. Em outras

de x representa a receita


responsável por inspecionar todos os departamentos e tarefas na empresa, do escopo do produto à


Rogério Lacerda



Esta unidade trouxe outros conceitos econômicos e gerenciais que merecem contextualizaçã

nosso universo matemático. Fundamentalmente, a aplicação do conceito de derivadas envolve

problemas de otimização. Otimizar significa determinar a melhor situação: produzir com o menor

custo (minimização do custo), ou vender com o maior lucro (maximiz

quantidade de unidades vendidas que gera maior faturamento (maximização da receita). Vamos,

então, estudar os exemplos de derivadas aplicadas na área gerencial.

Exemplo 1

Uma pequena indústria mecânica possui uma receita r

peças produzidas dada por R

que a indústria pode ter e qual o nível de produção correspondente?

Resolução: Observando a pergunta do exercício, podemos notar que se trata de um problema de

otimização de funções, uma vez que o que se pede é a maximização do lucro. Para que isso

ocorra, devemos igualar a derivada da função lucro a zero e resolver a equação.

Vamos determinar a função lucro, derivá

xCxRxL )()()( −=

123)(' 2 +−= xxxL

09123 2 =−+− xx

124 22 −=−=∆ acb

.(2

12

2

−=∆±−=a

bx

Derivada zero significa reta tangente sem inclinação e, consequentemente,

função passando de crescente para decrescente ou vice versa → Extremo



Esta unidade trouxe outros conceitos econômicos e gerenciais que merecem contextualizaçã



custo (minimização do custo), ou vender com o maior lucro (maximização do lucro), ou determinar a


então, estudar os exemplos de derivadas aplicadas na área gerencial.

Uma pequena indústria mecânica possui uma receita r em função da quantidade x (em milhares) de

xxR 11)( = e um custo de xxxC 206)( 23 +−=

que a indústria pode ter e qual o nível de produção correspondente?



derivada da função lucro a zero e resolver a equação.

Vamos determinar a função lucro, derivá-la, igualá-la a zero e resolver a equação.

xxxxxxx 96)206(11) 2323 −+−=+−−=

9− Função derivada do lucro

Igualando a derivada a zero

36)9).(3.(4 =−−− Resolvendo a equação de 2º grau

31)3.(

61221 ==→

−±

xx Determinação das raízes da equação



de Função (máximo ou mínimo)

82 | P á g i n a

Esta unidade trouxe outros conceitos econômicos e gerenciais que merecem contextualização em



ação do lucro), ou determinar a


em função da quantidade x (em milhares) de

x20 . Qual o lucro máximo



derivada da função lucro a zero e resolver a equação.

la a zero e resolver a equação.

Função derivada do lucro

a a zero

Resolvendo a equação de 2º grau

Determinação das raízes da equação




Rogério Lacerda


Os valores de 1x e 2x encontrados indicam que em um deles teremos o ponto máximo. Mas

qual? Basta substituir os valores de x na função lucro; o maior será o máximo.

xxxxL 96)( 23 −+−=

41.91.61)1( 23 −=−+−=L

03.93.63)3( 23 =−+−=L

O lucro máximo se dará no ponto (3,0) e o lucro mínimo no ponto (1,

máximo da empresa será zero, quando produzir 3 unidades, ou seja, na melhor das hipóteses a

empresa consegue trabalhar para pagar suas dívidas. A pior situação será quando ela produzir

apenas uma unidade, pois terá prejuízo de 4 unidades monetárias.

Outra maneira, e mais formal, de se resolver este exercício é determinar os intervalos de

crescimento e decrescimento da função, analisando a função derivada ao arbitrar valores para

1<x , 31 << x e 3>x .

Para )0('0 =→= Lfx

Se )(' <xf

Para )2('2 =→= Lfx

Se )(' >xf

Para )4('4 =→= Lfx

Se )(' <xf

1=x indica o ponto mínimo, pois o trecho de função à sua esquerda (

sua direita ( 31 << x ), crescente.

3=x indica o ponto máximo, pois o trec

sua direita ( 3>x ), decrescente.

Para determinar os pares ordenados que representam os pontos máximo e mínimo basta calcular

4)1( −=L e 0)3( =L .


encontrados indicam que em um deles teremos o ponto máximo. Mas

sta substituir os valores de x na função lucro; o maior será o máximo.

4

0

O lucro máximo se dará no ponto (3,0) e o lucro mínimo no ponto (1,-4). Isso significa que o lucro

será zero, quando produzir 3 unidades, ou seja, na melhor das hipóteses a


apenas uma unidade, pois terá prejuízo de 4 unidades monetárias.

ormal, de se resolver este exercício é determinar os intervalos de


990.120.3)0(' 2 −=−+−=L

0< a função é decrescente 1<∀ x

392.122.3)2(' 2 =−+−=L

0> a função é crescente 31 <<∀ x

994.124.3)4(' 2 −=−+−=L

0< a função é decrescente 3>∀ x

indica o ponto mínimo, pois o trecho de função à sua esquerda ( <∀x

), crescente.

indica o ponto máximo, pois o trecho de função à sua esquerda (1<

), decrescente.


83 | P á g i n a

encontrados indicam que em um deles teremos o ponto máximo. Mas

sta substituir os valores de x na função lucro; o maior será o máximo.

4). Isso significa que o lucro

será zero, quando produzir 3 unidades, ou seja, na melhor das hipóteses a


ormal, de se resolver este exercício é determinar os intervalos de


1< ) é decrescente e à

3<x ) é crescente e à



Rogério Lacerda


Exemplo 2

Suponha que o custo seja C

produzidos de 8 a 30 e que

aquecedores. Sua loja produz 10 aquecedores por dia. Qual será o custo adicional a

produzir um aquecedor a mais por dia e qual o aumento estimado no rendimento na venda de 11

aquecedores por dia? (THOMAS, 2008)

Resolução: Ao ser solicitado o custo e o rendimento para a produção de um aquecedor a mais do

que é produzido hoje, identificamos um problema de função marginal, na verdade de funções

marginais: custo e receita. Para determinar as funções marginais,

as funções.

xxC )( 3=

3)(' =xC

A determinação do custo para se produzir a 11ª unidade, quando são produzidos 10 aquecedores

por dia, e a respectiva receita é feita pela substituição do x por 10 (10 unidades produzidas

atualmente) na função marginal.

1210.3)10(' 2 −=C

Na produção da 11ª unidade por dia, haverá um custo adicional de R$195,00 e a empresa faturará

com a venda dela mais R$252,00.


xxxxC 156)( 23 +−= reais para produzir x aquecedores quando são

produzidos de 8 a 30 e que xxxxR 123)( 23 +−= represente o rendimento da venda de x

aquecedores. Sua loja produz 10 aquecedores por dia. Qual será o custo adicional a


(THOMAS, 2008)



marginais: custo e receita. Para determinar as funções marginais, devemos simplesmente derivar

xx 156 23 +− xxxR 3)( 23 +−=

15123 2 +− xx 63)( 2 +−= xxxR


ceita é feita pela substituição do x por 10 (10 unidades produzidas

atualmente) na função marginal.

1951510.12 =+ 10.610.3)10( 2 −=R


la mais R$252,00.

84 | P á g i n a

reais para produzir x aquecedores quando são

represente o rendimento da venda de x

aquecedores. Sua loja produz 10 aquecedores por dia. Qual será o custo adicional aproximado para




devemos simplesmente derivar

x12+

12+


ceita é feita pela substituição do x por 10 (10 unidades produzidas

2521210 =+



Rogério Lacerda


3. Síntese


• Demanda, oferta e preço de equilíbrio

o Demanda é o de

o A função demanda é uma função decrescente.

o Oferta é o desejo do produtor de vender um bem.

o A função oferta é uma função crescente.

o O ponto de equilíbrio

desejam comprar e os produtores que desejam vender. É o ponto de interseção entre

as curvas de oferta e demanda.

• Receita, custo, lucro e ponto de nivelamento

o xR )(

o CFxC +=)(

o )()( xRxL =

o Ponto de nivelamento

Matematicamente é determinado igualando

• Funções marginais

o Funções de receita, custo e lucro que determinam o valor de uma unidade adicional

em relação à produção atual. É a de


Síntese


Demanda, oferta e preço de equilíbrio .

Demanda é o desejo do consumidor de adquirir um bem.

A função demanda é uma função decrescente.

Oferta é o desejo do produtor de vender um bem.

A função oferta é uma função crescente.

O ponto de equilíbrio representa o equilíbrio de mercado entre os consumidores que

sejam comprar e os produtores que desejam vender. É o ponto de interseção entre

as curvas de oferta e demanda.

Receita, custo, lucro e ponto de nivelamento .

xp .) =

CV+

)() xC−

Ponto de nivelamento (break even point): ponto que separa o lucro do prejuízo.

Matematicamente é determinado igualando-se as funções receita e custo.

Funções de receita, custo e lucro que determinam o valor de uma unidade adicional

em relação à produção atual. É a derivada da função analisada.

85 | P á g i n a

representa o equilíbrio de mercado entre os consumidores que

sejam comprar e os produtores que desejam vender. É o ponto de interseção entre

): ponto que separa o lucro do prejuízo.

se as funções receita e custo.

Funções de receita, custo e lucro que determinam o valor de uma unidade adicional

rivada da função analisada.


Rogério Lacerda


4. Referências

DEMANA, Franklin D.; et al. Pré

DUARTE JÚNIOR, Antônio Marcos.

Prentice Hall, 2005.

GIOVANNI, José Ruy. Matemática 3

derivadas, noções de estatística. São Paulo: FDT, 1992.

GOLDSTEIN, Larry J. et al. Matemática Aplicada: economia, administração e cont abilidade.

ed., Trad. Henrique Von Dreifus. Porto Aleg

HARIKI, Seiji & ABDOUNUR, Oscar J.

Contabilidade . São Paulo: Saraiva, 2005

HOKU, Saburo K.. et al. Os Elos da Matemática.

IEZZI, Gelson et al. Fundamentos

LAY, David C et alli. Matemática

Alegre: Brokman. 2006

LEITHOLD, Louis. Matemática Aplicada à Economia e Administração

MACHADO, Nilson José: Matemática e Realidade

MONTORO FILHO, André Franco; et al.

ROGAWSKI, Jon. Cálculo . Porto Alegre: Bookman, 2009.

SANTOS, Boaventura de Souza.

SILVA, Sebastião Medeiros da et al.

Ciências Contábeis. São Paulo: Atlas. 1999.

SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica

TAN, S. T. Matemática aplicada à administração e economia

Learning, 2001.

THOMAS, George B. Cálculo

WEBER, Jean E. Matemática para a Economia, e Administração


Referências

Pré-cálculo . São Paulo: Pearson, 2009.

DUARTE JÚNIOR, Antônio Marcos. Gestão de risco para fundos de investimentos

Matemática 3 : geometria analítica, números complexos, polinômios, limites e

derivadas, noções de estatística. São Paulo: FDT, 1992.

Matemática Aplicada: economia, administração e cont abilidade.

ed., Trad. Henrique Von Dreifus. Porto Alegre: Bookman, 2006.

HARIKI, Seiji & ABDOUNUR, Oscar J. Matemática Aplicada: Administração, Economia e

. São Paulo: Saraiva, 2005

Os Elos da Matemática. 1. ed., São Paulo: Saraiva, 1991.

Fundamentos de Matemática Elementar , 5. Ed. São Paulo: Atual, 2005.

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade

Matemática Aplicada à Economia e Administração . São Paulo:

Matemática e Realidade : São Paulo: Cortez, 1987.

MONTORO FILHO, André Franco; et al. Manual de economia . 2.ed. São Paulo: Saraiva, 1992.

. Porto Alegre: Bookman, 2009.

SANTOS, Boaventura de Souza. Um discurso sobre as Ciências. São Paulo: Cortez, 2005.

SILVA, Sebastião Medeiros da et al. Matemática Para os cursos de Economia, Administraçã o,

São Paulo: Atlas. 1999.

Cálculo com geometria analítica . São Paulo: Mc Graw Hil

Matemática aplicada à administração e economia . 5.ed. São Paulo: Pioneira Thompson

Cálculo . 11.ed. v1. São Paulo: Pearson, 2008.

Matemática para a Economia, e Administração . 2. ed., São

86 | P á g i n a

Gestão de risco para fundos de investimentos . São Paulo:

geometria analítica, números complexos, polinômios, limites e

Matemática Aplicada: economia, administração e cont abilidade. 10.

Matemática Aplicada: Administração, Economia e

1. ed., São Paulo: Saraiva, 1991.

São Paulo: Atual, 2005.

Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade . Porto

. São Paulo: Harbra, 1988.

. 2.ed. São Paulo: Saraiva, 1992.

São Paulo: Cortez, 2005.

Matemática Para os cursos de Economia, Administraçã o,

. São Paulo: Mc Graw Hill, 1987.

. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thompson

São Paulo: Harbra, 1986.

Documents

Apostila MATEMÁTICA