Apostila matemática vestibulinho

Matemática Pré-vestibulinho

Resumo teórico 1

Matemática para Vestibulinho Prof. Wlad

Conteúdo programático

1. Conjuntos ............................................................................................................................. 02 2.Números naturais, inteiros, racionais e irracionais.................................................................... 08 3. Potenciação, radiciação........................................................................................................... 13 4. Expressões algébricas............................................................................................................. 14 5. Produtos notáveis e fatorações............................................................................................... 16 6. Razões e proporções............................................................................................................... 17 7. Regra de Três ......................................................................................................................... 20 8. Porcentagem. Problemas de aplicações................................................................................... 23 9. Equações de 1º e 2º graus. Problemas de aplicações................................................................ 27 10. Sistemas de equações de 1º grau........................................................................................... 30 11. Plano cartesiano ................................................................................................................... 32 12. Função do 1º Grau ............................................................................................................... 33 13. Função exponencial ............................................................................................................. 35 14. Elementos fundamentais da geometria plana e semelhança de figuras planas........................ 37

15. Relações métricas no triângulo retângulo.............................................................................. 43 16. Razões trigonométricas ........................................................................................................ 46 17. Áreas de figuras planas......................................................................................................... 50 18. Sólidos Geométricos .......................................................................................................... 53

19. Análise combinatória e probabilidade.................................................................................... 56

20. Noções de estatística............................................................................................................ 58

21. Lógica e seqüências ............................................................................................................. 63

Anexos .................................................................................................................................... 67

EDIÇÃO 2010


Resumo teórico 2

1. CONJUNTOS

1.1. Introdução a) Conjunto

A noção de conjunto em Matemática é praticamente a mesma utilizada na linguagem cotidiana: agrupamento, classe, coleção. Por exemplo:

Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto;

Conjunto dos números inteiros pares;

Conjunto dos dias da semana;

b) Elemento

Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Assim:

V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima;

2, 4, 6 são elementos do segundo;

Sábado, Domingo do terceiro;

c) Pertinência entre elemento e conjunto

Por exemplo, V é um elemento do conjunto das letras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele conjunto. Enquanto que v não pertence.

Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe sejam entendidos (evidentes) por todos.

Notação

Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiúscula A, B, C, … Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, …

Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por:

Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x não pertence a A) escrevemos:

1.2. Representações de Conjuntos

a) Extensão ou Enumeração

Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.

Exemplos:

Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};

Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};

Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.

Observações:

1. Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;

2. É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};

3. Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};

4. Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.

b) Propriedade dos Elementos

Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:

A = {x | x tem a Propriedade P}

e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.

Exemplos:

A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};

B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. Último exemplo do item a) acima;

C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.

c) Diagrama de Euler-Venn

Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.


Resumo teórico 3

Conjunto Unitário e Conjunto Vazio

Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).

O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa.

Exemplos de Conjuntos Unitários:

Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};

Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};

Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.

Exemplos de Conjuntos Vazios:

{ x | x > 0 e x < 0 } = Ø;

Conjunto dos meses com mais de 31 dias;

{ x | x2 = -1 e x é um número real} = Ø.

Conjunto Universo

É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.

Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.

Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:

Observações:

1. A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;

2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos;

3. É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.

Subconjunto

Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e somente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:

onde a notação significa “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado como:


Resumo teórico 4

Exemplos:

{1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Ø C {a, b};

{a, b} C {a, b};

{a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.

Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemos provar que:

Propriedades da Inclusão

Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:

1. Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;

2. D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);

3. D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);

4. D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).

Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira:

Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.

Conjunto das Partes

Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E - P(E) - o conjunto formado por todos os subconjuntos de E:

Exemplos:

Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}

Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};

Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.

Observações:

1. Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são conjuntos;

2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido);

3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);

4. Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2

n(E). A

propriedade é válida para conjuntos finitos; 5. Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 2

3, n(B)

= 2 e n(P(B)) = 4 = 22 e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 2

1.

1.3. Operações entre conjuntos

►União :

Conjunto união são todos os elementos dos conjuntos relacionados.

A B = { x A ou x B }

Exemplo 1: Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4,} e B = {0, 2, 4, 5} a união desses dois conjuntos é :

A B = { 0, 1, 2, 3, 4 ,5 }

A B

Exemplo 2: Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união desses conjuntos é:

A B = { 0, 1, 2, 3, 4 ,5 }

nesse caso podemos dizer que A B = B


Resumo teórico 5

► Intersecção:

Os elementos que fazem parte do conjunto intersecção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados.

A B = { x A e x B }

Exemplo 1: Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 8}, se pedimos a intersecção deles teremos:

A B = { 2, 3 } , dizemos que A “inter” B é igual a 2 e

3.

A B

Exemplo 2: Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedirmos a intersecção deles teremos:

B C = { } ou B C =

então B e C são conjuntos distintos.

►Diferença entre dois conjuntos. Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.

O conjunto diferença é representado por A - B

Exemplo 1:

A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 8 } a diferença dos conjuntos é:

A – B

A – B = { 1, 2 }

B – A B – A = { 8 }

Exemplo 2: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {8, 9, 10} a diferença dos conjuntos é:

A – B = { 1, 2, 3, 4, 5 } Exemplo 3: A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}a diferença dos conjuntos é:

A – B =

►Complementar

Dados dois conjuntos A e B em que A B, chamamos de complementar de A em B , o conjunto formado pelos elementos de que pertencem a B que não pertencem a A

A B = B - A


Resumo teórico 6

Exemplo 1: A = { 1, 2 , 3} e B = { 1, 2, 3, 4, 5} então = B – A = { 4, 5}

Exercícios resolvidos

1. Se A = { 1, 2, 3, 4 , 5} e B = { 2, 3, 7} e C = { 2, 4, 6} , determine:

a) A B

A B = { 1, 2, 3, 4 , 5} { 2, 3, 7} = { 1, 2, 3, 4 , 5, 7} b) A B

A B = { 1, 2, 3, 4 , 5} { 2, 3, 7} = { 2, 3} c) ( A B ) ( B C )

A B = { 1, 2, 3, 4 , 5, 7}

B C = { 2, 3, 7 }

( A B ) ( B C )

{ 1, 2, 3, 4 , 5, 7} { 2, 3, 7 } = { 2, 3, 4, 7 } 2. Se A = { 1, 2, 3, 4 , 5 }, B = { 2, 3, 6} e C = { 1, 2, 4 }, encontre:

a) B – C

B – C = { 2, 3, 6 } – { 1, 2, 4 } = { 3, 6 } b) A - C = { 1, 2, 3, 4 , 5} - { 1, 2, 4 } = { 3, 5 }

► Número de elementos da união de

conjuntos

Sendo n(A) o número de elementos do conjunto A e

n(B) o número de elementos do conjunto B, temos:

n ( A B ) = n (A) + n(B) – n(A B ) Exemplo1:

n(A) = 5 n (B) = 5

n(A B ) = 2

Sendo n ( A B ) = n (A) + n(B) – n(A B ), então

n ( A B ) = 5 + 5 – 2. Logo n ( A B ) = 8 Exemplo2:

n(A) = 3 n (B) = 4

n(A B ) =


Exercícios resolvidos

1. Determine n (D M ) sendo D = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

e M = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 }


Resumo teórico 7

n(D) = 8 n (M) = 8

n(A B ) = 4


n ( A B ) = 8 + 8 – 4. Logo n ( A B ) = 12

2. Em uma universidade, 80% dos alunos lêem o jornal A e

60% o jornal B. Sabendo que todo aluno lê pelo menos um dos jornais, qual o percentual de alunos que lêem ambos os jornais? Solução

Como todos os alunos lêem pelo menos um jornal,

n ( A B )= 100% . Então:

n ( A B ) = n (A) + n(B) – n(A B)

100% = 80% + 60% – n(A B)

n(A B) = 140% - 100%

n(A B) = 40%


Resumo teórico 8

2. NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E IRRACIONAIS.

2.1.Conjunto dos Números Naturais ( )

= { 0,1,2,3,4,.. }

*= { 0,1,2,3,4,.. }

O conjunto dos números é fechado em relação as operações de adição e multiplicação; isto é a adição de dois números naturais é um outro número natural e a multiplicação de dois números naturais terá como resultado também um número natural.

Representação geométrica dos números naturais

2.2. Números inteiros ( )

= { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2 , 3, ...}

Subconjuntos de

* = { ..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }

+ = { 0, 1, 2, 3, ... }

*+ = { 0, 1, 2, 3, ... }

- = { ..., -4, -3, -2, -1, 0 }

*- = { ..., -4, -3, -2, -1 }

Representação geométrica dos números inteiros

2.3. Conjunto dos Números Racionais ( )

Todo número que pode ser escrito na forma de fração

= x | x = a

b , a ; b e b ≠ 0

Inteiro: - 10, −10

1 , + 6, +

6

1

Decimal exato: 0,1 ; 1

10 ; 1,32 =

132

100

Dízima periódica:

a) 0,777... = 7

9

b) 1,666 ... = 1 + 0,666... = 0,666... = 6

9 =

2

3

1 + 2

3 =

3 + 2

3 =

5

3

c) 0, 366... = 36− 3

90 =

33

90 =

11

30

Cuidado! : Nem todo número racional é inteiro.

Ex.: 𝟏

𝟐 = 0,5 é racional mas não é inteiro!

2.4. Conjunto dos Números Irracionais ( I )

Os números irracionais apresentam infinitas casas

decimais e não periódicas, são números que não podem ser

escritos na forma de uma fração.

Exs: , 2 , 3 , , etc...

Obs.: As raízes quadradas de números que não são

quadrados perfeitos são também chamadas de números

irracionais.

2.5. Números Reais ( )

A união dos conjuntos dos números racionais e

irracionais chama-se conjunto dos números, que será

indicado por ” ”

= { números racionais} { números irracionais }


Resumo teórico 9

Exercícios

1.(SENAI 2008) Num jantar de comemoração, no final do ano passado, todos os participantes resolveram pedir o mesmo prato e a mesma sobremesa. No final do jantar pagaram um total de R$ 450,00 pelo prato principal e R$ 250,00 pela sobremesa. Se cada sobremesa custou R$ 5,00 a menos do que o prato principal, então o grupo era formado por a. 20 pessoas. b. 30 pessoas. c. 40 pessoas. d. 50 pessoas. e. 60 pessoas.

2.(Trajano 2007) A roda-gigante de um parque de diversões tem dezoito cadeiras, igualmente espaçadas ao longo do seu perímetro e move-se no sentido anti-horário, isto é, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

Na figura, as letras A, B, C, ... e R indicam as posições em que as cadeiras ficam cada vez que a roda-gigante pára. Com a roda-gigante parada, Bruna senta-se na cadeira que está na posição A, posição mais baixa da roda-gigante. A roda-gigante move-se de uma volta e pára. Nesse

momento, a letra relativa à posição da cadeira ocupada por Bruna é (A) D. (B) I. (C) K. (D) P.

(E) R. 3.(Trajano 2007) Quando estava lendo uma reportagem sobre a sua banda favorita, Paula observou que havia um borrão de tinta no texto, como é mostrado a seguir: Curiosa, Paula determinou que o número de ingressos oferecidos para a área vip foi (A) 260. (B) 400. (C) 540. (D) 760. (E) 910. 4.(Trajano 2007) Uma equipe de reportagem parte em um carro em direção a Santos, para cobrir o evento “Música Boa Só na Praia”. Partindo da cidade de São Paulo, o veículo deslocou-se com uma velocidade constante de 54 km/h, durante 1 hora. Parou em um mirante, por 30 minutos, para gravar imagens da serra e do movimento de automóveis. A seguir, continuaram a viagem para local do evento, com o veículo deslocando-se a uma velocidade constante de 36 km/h durante mais 30 minutos. A velocidade escalar média durante todo o percurso foi, em m/s, de:................................ (A) 10 m/s. (D) 36 m/s. (B) 12 m/s. (E) 42 m/s. (C) 25 m/s.


Resumo teórico 10

5.(Trajano 2007) Eduardo e Mônica estavam brincando de adivinhações com números inteiros positivos.

Ao ouvir a resposta de Mônica, Eduardo imediatamente revelou o número original que Mônica havia pensado. O número que Mônica havia pensado era um (A) divisor de 12. (B) divisor de 15. (C) divisor de 24. (D) múltiplo de 5. (E) múltiplo de 12.


Resumo teórico 11

6.(Cotil 2002) As infrações de transito são classificadas de acordo com o quadro ao lado. Se um condutor de automóvel cometer as seguintes infrações: uma grave, duas medias e 1 leve, quantos pontos seriam registrados na sua carteira de motorista? E qual seria o valor total pago dessas multas em reais? 1 UFIR = R$ 1,0641 fonte: Receita

Federal

Infrações Pontos Multa

Gravíssima 7 180 UFIRs

Grave 5 120 UFIRs

Média 4 80 UFIRs

Leve 3 50 UFIRs

↘ PROBLEMAS COM FRAÇÕES 6.(Cotil 2005) O medo de atentado terrorista forçou a idealização de um plano de segurança para os jogos Olímpicos de 2004 de Atenas. A segurança reforçada contou

com milhares de homens e mulheres, sendo 5

9 policiais ,

1

3

militares , segurança particulares e voluntários e outros 5 mil homens eram da guarda costeira. O total de homens que participaram da segurança em Atenas 2004 foi de : a) 15 mil b) 25 mil c) 30 mil d) 45 mil e) 50 mil 7.(Cotil 2005) O judô olímpico é um dos esportes mais premiados do Brasil. O primeiro judoca brasileiro a conquistar o ouro foi Aurélio Miguel, em 1998. Para quem na pratica o esporte, entender aquele empurra-empurra, agarra-aguarra e golpes rápidos não é muito fácil. Para compreender um pouco mais da dinâmica desse esporte, um caminho é aprender a matemática que envolve o sistema de pontuação dos golpes, conforme a tabela abaixo:

Golpe Valor Punição Valor Ippon 1 ponto Shidô 1/8 ponto

Waza-ari 1/2 ponto Chui 1/4 ponto

Yuko 1/4 ponto Keikoku 1/2 ponto

Koka 1/8 ponto Hansoku-make 1 ponto

Acompanhe a descrição de uma luta entre um japonês e um coreano.

O lutador japonês obteve: um koka, um yoko, um waza-ari e três shidô

O coreano teve o seguinte desempenho: um waza-ari, dois koka, um Chuí,um shidô e um yoko.

Qual o total de pontos do lutador japonês e do coreano, respectivamente?

a) 1

2 e

9

8

b) 10

8 e

5

8

c) 4

8 e

7

8

d) 2

8 e

5

8

e) 4

8 e

5

8

8.(Cotil 2006) No COTIL , a alunos carentes são oferecidas bolsa-trabalho, cujo valor varia a cada ano. Depois de uma rigorosa avaliação, alguns alunos são beneficiados e prestam serviço à escola em horário oposto ao que estudam. Em um determinado ano, um estudante recebeu uma bolsa. Descubra quanto recebeu, sabendo que no final

do mês ele gastou 4

5 do total e, em seguida, enviou mais

1

6 , restando-lhe..apenas..R$.7,00.

a) R$ 150,00 d) R$ 240,00 b) R$ 180,00 e) R$ 270,00 c) R$ 210,00 9.(Cotil 2006) As epidemias que afetam os animanis preocupam não só o Brasil, como também a humanidade. Um fazendeiro da região Centro-Oeste do Brasil possuía um rebanho de gado para corte e, num certo mês do ano, viu seu rebanho ser dizimado por uma dessas epidemias. Na

primeira semana perdeu 1

3 do rebanho; na segunda

semana, perdeu 1

6 ; na terceira

1

9 ; na quarta

1

12 ,

sobrando apenas 792 cabeças de gado. Quantas cabeças do rebanho ele perdeu? 10.(Cotil 2007) Os desertos avançam. O total de áreas atingidas por seca dobrou em trinta anos. Só na China, as áreas desérticas avançaram 10.000 quilômetros quadrados por ano, o equivalente ao território do Líbano. A Área total da Terra é de aproximadamente 510 milhões de km

2. Sabe-

se que 3

4 da superfície da Terra são cobertos por água e

1

3

do restante é coberto por desertos. A área dos desertos, em milhões de quilômetros quadrados corresponde a aproximadamente:


Resumo teórico 12

a) 127,5 b) 170 c) 42,5 d) 420,5 e) 425 11.(PSS-SEE/SP) Um professor de uma escola de música vai comprar um livro para cada um dos 270 alunos. Pesquisando preços na internet, encontrou o seguinte: • No site A, o preço de cada livro era R$ 16,75. • No site B, o preço de cada livro era R$ 25,00, e na compra de dois livros o terceiro era cortesia. Qual a melhor opção para o professor? a) O site A, pois economizaria R$ 2.227,50 em relação ao que pagaria no site B. b) O site A, pois economizaria R$ 1.215,00 em relação ao que pagaria no site B. c) O site B, pois economizaria R$ 225,50 em relação ao que pagaria no site A. d) O site B, pois economizaria R$ 22,50 em relação ao que pagaria no site A. e) O site B, pois economizaria R$ 2,25 em relação ao que pagaria no site A. 3.(PSS-SEE/SP) Um professor de Matemática apresentou o seguinte problema aos seus alunos: “Roberto comprou quatro barras de chocolate e dividiu igualmente aos seus cinco amigos. Qual a fração da barra que cada um receberá?” Dois alunos responderam da seguinte maneira à questão do professor:

Aluno A: Cada um receberá 3

4 +

1

20

Aluno B: Cada um receberá a fração 4

5

Considerando as resoluções dos alunos, assinale a alternativa correta: a) O aluno A acertou, pois dividiu as quatro barras em 4 partes iguais e dividiu o que sobrou aos seus 5 amigos. O aluno B também acertou, pois dividiu as barras em 5 partes

iguais, representando 4

5

b) O aluno A errou, respondendo com uma adição de frações cuja soma não corresponde à resposta correta. O aluno B acertou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais,

representando 4

5

c) O aluno A errou, respondendo com uma adição de frações cuja soma não corresponde à resposta correta.

O aluno B errou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais,

logo sua resposta deveria ser 5

4.

d) O aluno A acertou, respondendo com uma adição de frações cuja soma corresponde à resposta correta. O aluno B errou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais,

logo a resposta deveria ser 5

4.

e) O aluno A acertou, pois dividiu as quatro barras em 4 partes iguais e dividiu o que sobrou aos seus 5 amigos. O aluno B errou, pois dividiu as barras em 5 partes

iguais, logo sua resposta deveria ser 5

4.

12.(PSS-SEE/SP) A partir de um valor inicial igual a 16000, certa população P1 de bactérias dobra a cada 30 minutos. Simultaneamente, partindo de um valor inicial 8 vezes menor, outra população P2 de bactérias cresce, dobrando de valor a cada 15 minutos. Em qual instante t as duas populações terão o mesmo valor? a) 60 minutos. b) 90 minutos. c) 120 minutos. d) 150 minutos. e) 180 minutos.


Resumo teórico 13

3. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

3.1. Potenciação

Para a , b , n

Assim;

a0 = 1

a1 = a

an = a · a · ... · a , se n 2 n fatores

a-n = = a ≠ 0

3.1.1. Propriedades da Potenciação

1) am

· an = a

m + n

2) am

: an = a

m - n

3) (am

)n = a

m · n

4) (a · b)m

= a m ·

b m

5) (a : b)m

= a m

: b

m , b ≠ 0

3.2. Radiciação

Para a , b , n * , temos:

Assim,

bn

= a b = an

3.2.1. Propriedades da Radiciação

Para a , b , n * , m *, temos:

1) an

· bn

= a · bn

2) an

bn =

a

b

n , b ≠ 0

3) amn

= am . n

4) ( a n

)p = , p *

5)

Obs.: Para radicais de índice par, devemos ter b 0 e a

0

3.2.2. Potenciação com expoente racional

Sendo p , n *, temos:

a + a =

0 = 0 , para p

n > 0

a = 0

0 não é definido para p

n ≤ 0

a nem sempre é real se n for par

a -

a = se n for ímpar

Todas as propriedades da potenciação com expoente inteiro são

válidas também para a potenciação com expoente racional.


Resumo teórico 14

4. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS São expressões matemáticas que apresentam letras ou

apenas letras, as quais são chamadas de variáveis ou

incógnitas.

Ex.: 2a2b + 3xy3 – 7a2x3 – 7a2x2 – b2 y2

No exemplo acima:

2; 3; -7 e -1 são chamados de coeficientes numéricos

a2b ; xy

3; a

2x

3 ; a

2x

2 e b

2 y

2 são chamadas de parte

literal

2a2b + 3xy3 – 7a2x3 – 7a2x2 – b2 y2

1º termo 2º termo 3º termo 4º termo 5º termo

Os termos são separados apenas por adição ou subtração.

4.1. Classificação das expressões algébricas

a) Racional : Quando não existe variável dentro de uma

raiz, esses tipos de expressões se subdividem em:

Inteiras: quando não aparecem variáveis no

denominador

Exs.: 3x + 1 ; 7xy2 – by

4

Fracionárias: quando aparecem variáveis no

denominador

Exs.: 2

x + 5x

3 -2 ;

5

ab +

2

c

b) Irracional : Quando existe variável dentro de uma raiz.

Exs.: 3 3x + 5a2b

3 ; 2abc – y

4.2. Termos semelhantes

Termos que apresentam a mesma parte literal, inclusive os

expoentes das variáveis.

Ex.: 3 xy2 - 2 abc + 6 xy

2 + 10 abc

Termos semelhantes

Esses termos semelhantes podem ser reduzidos, basta

conservar a parte literal e fazer as respectivas operações

com os coeficientes numéricos. Voltando ao exemplo

anterior temos:

( 3 xy2 + 6 xy

2 ) e ( - 2 abc + 10 abc ), reduzindo esses

termos temos: 9xy2 + 8abc

4.3. Polinômio Toda expressão racional e inteira é determinada pelo

número de termos da expressão algébrica.

a) Monômio: polinômio que possui apenas um termo

Ex.: 2 x2y

4z

b) Binômio: polinômio que possui dois termos

Ex.: 3 x2y

4 + 2ab

2

c) Trinômio: polinômio que possui três termos

Ex.: 5 a2y

4 + 7xb

2 – 7xy

3z

Acima de três termos, todos os demais são chamados de

Polinômio.

Cuidado!: Só podemos classificar um polinômio após

reduzirmos todos os termos semelhantes.

Por exemplo: 4x2 + 3ab + 4x

2y – 5x

2 aparentemente é um

polinômio porém o primeiro e o quarto termo ( 4x2 e – 5x

2 )

são semelhantes, podendo ser reduzidos. Após a redução

observamos que o polinômio é um trinômio com esse

aspecto:

-x2 + 3ab + 4x2y

4.4. Grau do Polinômio

O grau de termos é a soma dos expoentes de

suas variáveis, o termo que possuir maior soma de

expoentes determinará o grau do polinômio.

Ex.: 3a2b4 – 7b2 + 3 x3y2z

1º Termo : 3 a2b

3 = 2 + 3 = 5 ( Quinto grau)

2º Termo : -7 b 2

= 2 ( Segundo grau)

3º Termo : 3 x3y

2z = 3 + 2 + 1 = 6 ( Sexto grau) <maior>

Podemos observar que esse trinômio é do sexto grau


Resumo teórico 15

4.5. Valor numérico de uma expressão

Toda expressão algébrica tem o seu valor numérico, esse

valor é encontrado a partir do momento em que temos

ou atribuímos valores para as letras. Se em um exercício é

pedido para que calcule o valor numérico da expressão

algébrica 2x2y é preciso que saibamos ou atribuímos valores

para as letras x e y.

Então vamos supor que na equação 2x2y, os valores das

letras seja x = -2 e y = 1, agora substituindo esses valores,

chegaremos em um valor numérico.

2x2y

2 · (-2)2 · 1

2 · 4 · 1 = 8

Valor numérico da expressão 2x2y

Veja mais um exemplo de como achar o valor numérico da

expressão a + ab + 5. O valor numérico desse e de todas as

expressões algébricas irão variar dependendo do valor que

iremos atribuir para as letras.

Nesse exemplo vamos supor que as letras a = 5 e b = -5.

5 + 5 · (-5) + 5

5 – 25 + 5

-20 + 5 = - 15

Valor numérico da expressão a + ab + 5


Resumo teórico 16

5. PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO

5.1. Produtos notáveis

São produtos que aparecem com muita freqüência

na resolução de equações ou no desenvolvimento de

expressões.

Vejamos alguns casos:

a) (a + b)2 = ( a+ b)( a+b ) = a

2 + ab + ba + b

2 = a2 + 2ab + b2

b) (a - b)2 = ( a - b)( a – b ) = a

2 - ab - ba + b

2 = a2 - 2ab + b2

c) ( a +b )( a – b ) = a2 – ab + ba – b

2 = a2 - b2

Resumindo:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

( a +b )( a – b ) = a2 - b2

5.2. Fatoração Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la em

produto. Vejamos alguns casos.

1º Caso: Fator comum em evidência

Ex.: 6x2 + 12x

3z – 8 x

4b = 2x

2 (3 + 6xz – 4x

2b )

2º Caso: Agrupamento

Ex.: xy + xz + ay + az = x( y + z ) + a (y + z ) = (y + z) ( x + a )

3º Caso: Diferença de dois quadrados

Ex.: x2 – y

2 = ( x + y ) ( x – y )

4º Caso: Trinômio quadrado perfeito

Exs.:

a) x2 +2xy + y

2 = ( x + y )

2

x 2 y = 2xy

b) x2 -2xy + y

2 = ( x - y )

2

x -2 y = -2xy

5º Caso: Trinômio do 2º grau

São expressões da forma x2 - Sx + P, em que S e P

repre-sentam, respectivamente, a soma e o produto de

dois núme-ros a e b tal que se pode escrever:

x2 - Sx + P = ( x –(x1 )) ( x + (x2))

Exs.:

a) x2 + 7x + 12 = ( x+3) (x+4)

S P

b) x2

-6x +8 = ( x - 2 ) (x - 4)

S P

c) x2

+2x -8 = ( x - 2 ) (x + 4)

S P


Resumo teórico 17

6. RAZÕES E PROPORÇÕES

6.1. Razão

Razão é a comparação entre grandezas de mesma espécie. Essa comparação é representada por uma fração, onde o numerador é chamado de antecedente e o denominador de conseqüente. Exs.:

a) A razão entre 3 e 7 = 3

7 ,

(onde 3 é antecedente e 7 conseqüente)

Se invertermos , a razão entre 7 e 3 será 7

3 ,

(agora 7 é antecedente e 3 conseqüente)

b) A razão entre 4 e 2 = 2, a razão entre 2 e 4 = 2

4 =

1

2

c) A razão entre 3

2 e

8

9 =

2

3 :

8

9 =

27

16

6.2. Proporção

É uma igualdade entre duas razões. Exs.: A proporção a seguir pode ser representada da seguinte maneira:

Lê-se: 3 está para 2 assim como 9 está para 6 Nesta proporção, o 3 e 6 são extremos e o 2 e o 9 são meios. 5.2.1. Propriedade fundamental das proporções “O produto dos meios é igual ao produto dos extremos”

Ex.: 3

2 =

6

4 2 · 6 = 3 · 4

= 12

Generalizando:

Obs. A recíproca também é verdadeira

a · d = b · c a

b =

c

d

Exs.: a) Calcule o valor de “x”. x

2 =

10

4 = x · 4 = 2 · 10

4x = 20 x = 5 b) Calcule o valor de “y”. 9

2 =

y

0,2 = 2 · y = 9 · 0,2

2y = 1,8 y = 0,9

6.3. Números proporcionais Duas seqüências de números são proporcionais quando a razão entre dois números correspondentes de cada uma das seqüências for sempre a mesma. Os números proporcionais são divididos em 2 grupos: os diretamente proporcionais e os inversamente proporcionais. Há também um outro grupo que não pertence a esses chamados números não proporcionais. 6.3.1. Números diretamente proporcionais Dada uma seqüência a; b; c; d; ... e a’; b’ ; c’ ; d’; ... então:

a

a´ =

b

b´ =

c

c´ =

d

d´ = .... = k onde

k = constante de proporcionalidade

Ex: Considere as seqüências 2; 4; 8; 16; 32 e 3; 6; 12; 24; 48

2

3 =

4

6 =

8

12 =

16

24 =

32

48 =

𝟐

𝟑

2

3 é a constante de proporcionalidade.

𝐚

𝐛 =

𝐜

𝐝 a x d = b x c


Resumo teórico 18

Portanto, podemos afirmar que as duas seqüências são diretamente proporcionais devido apresentarem sempre como resultado a razão entre as grandezas

relacionadas 𝟐

𝟑

6.3.2. Números inversamente proporcionais Dada uma seqüência a; b; c; d; ... e a’; b’ ; c’ ; d’; ... então:

a1

a´

= b1

b´

= c1

c´

= d1

d´

= .... = k onde

a · a´ = b · b´ = c · c´ = d · d´ = .... = k

Ex.: Considere as seqüências 2; 4; 8; 16; 32 e 48; 24; 12; 6;

3

21

48

= 41

24

= 81

12

= 161

6

= 321

3

= .... = k onde

2 · 48 = 4 · 24 = 8 · 12 = 16 · 6 = 32· 3 = 96 96 é a constante de proporcionalidade. Portanto, podemos afirmar que as duas seqüências são inversamente proporcionais.

Exercícios 1.(SENAI) Dos 1.200 funcionários de uma empresa, 60% têm idade superior a 30 anos. Se entre o número de homens e o de mulheres com idade superior a 30 anos a razão é de 3 homens para 2 mulheres, pode-se afirmar que a quantidade de mulheres com idade superior a 30 anos nessa empresa é a. 288. b. 296. c. 312. d. 360. e. 374.

2. (Trajano 2008) É possível combater o vibrião colérico com o uso de uma solução aquosa de hipoclorito de sódio (NaClO) a uma concentração mínima de 0,11g/L. A massa de hipoclorito de sódio necessária para se preparar 10 litros dessa solução, expressa em miligramas, é

(A) 0,11.

(B) 1,10.

(C) 110.

(D) 1 100.

(E) 11 000.

3.(Trajano 2008)

Se o temor de Eva, a personagem da cena apresentada, se confirmar, e os três dias de espera forem venusianos, então na Terra terão se passado (Obs. Desconsidere o ano bissexto)

(A) 1 ano, 10 meses e 19 dias.

(B) 1 ano, 11 meses e 29 dias.

(C) 2 anos e 2 dias.

(D) 2 anos e 5 dias.

(E) 2 anos e 9 dias.

4.(PSS-SEE/SP) O gráfico abaixo indica o preço em reais de cada bolsa que uma fábrica produz, de acordo com o número de bolsas compradas pelas lojas.


Resumo teórico 19

Considere as afirmações abaixo: I. As grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. II. As grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. III. As grandezas não são nem diretamente e nem inversamente proporcionais. IV. Analisando a relação existente entre as grandezas envolvidas, percebemos que, quando há aumento de uma, ocorre uma diminuição da outra. Dentre essas afirmações: a) Apenas a I está correta. b) Apenas a II está correta. c) Apenas a III está correta. d) I e IV estão corretas. e) III e o IV estão corretas.


Resumo teórico 20

7. REGRA DE TRÊS

7.1. REGRA DE TRÊS SIMPLES Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma

lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m

2,

qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)

1,2 400

1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?


Velocidade (Km/h)

Tempo (h)

400 3

480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?


Camisetas Preço (R$)

3 120

5 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$ 200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?


Resumo teórico 21


Horas por dia

Prazo para término (dias)

8 20

5 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

7.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de

areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m

3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhões Volume

8 20 160

5 x 125

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente

proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?


Homens Carrinhos Dias

8 20 5

4 x 16

Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.


Logo, serão montados 32 carrinhos.

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes


Resumo teórico 22

para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:


Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

Exercícios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:

1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.

5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.


Resumo teórico 23

8. PORCENTAGEM E PROBLEMAS DE ...APLICAÇÃO.

Porcentagem é uma razão centesimal, ou seja, o denominador é igual a 100.

Ex.: 25

100 que se indica por 25%

Existem dois métodos para se calcular porcentagem:

a) Fração de um valor: Multiplica-se a fração pelo valor.

Ex: Calcule 20% de 45

20

100 · 45 =

900

100 = 9

Portanto 20% de 45 é igual a 9

b) Regra de Três Simples e direta: Comparação entre duas grandezas diretamente proporcionais

Ex: Calcule 30% de 70 Estamos comparando porcentagem e valor. 70 é o valor total portanto equivale a 100%.

100 % ............ 70 20% ................ x 100· x = 20 ·70 100 x = 1400

x = 1400

100

x = 14 Obs.: É mais conveniente resolver por regra de três, pois serve para todos os casos.

8.1. PROBLEMAS DE APLICAÇÃO – LUCROS E ......PREJUÍZOS

Todo comerciante compra uma certa mercadoria por um determinado preço, que é chamado de preço de custo, e em seguida, efetua a revenda do mesmo com lucro ou prejuízo, dependendo do preço que a mercadoria foi passada ao mercado consumidor. Em problemas envolvendo porcentagem sobre compra e venda de mercadorias, temos os seguintes casos distintos:

» porcentagem (%) sobre venda » porcentagem (%) sobre custo

E porque ter noção desta distinção?? Ela se torna muito importante na resolução de problemas envolvendo dinheiro.

8.1.1. Porcentagem sobre o preço de custo

Quando o cálculo sobre o preço de lucro (ou prejuízo) é calculado, em bases percentuais, em cima do preço de custo do produto adquirido, temos o que é chamado de porcentagem sobre o custo. Este é o processo normal, e que é usado e adotado no mercado comercial..................... Desta forma, se um comerciante ou pessoa física, compra um determinado produto por um valor de R$ 200,00 (preço de custo) e este for ser revendido com um lucro de 30%, isto quer dizer que nesta operação o lucro em espécie da operação é de R$ 30,00 (lucro) para cada valor de R$ 100,00 do preço do custo.

Acompanhe o raciocínio:

Custo Lucro

R$ 100,00 R$ 30,00

R$ 100,00 R$ 30,00

Custo total = R$ 200,00 Lucro total = R$ 60,00

Através de um cálculo da regra de três , temos:

R$ 200,00 .............. 100% X .................... 30%

X = 200 x 30

100

X = 6000

100

X = R$ 60,00 (valor do lucro total na operação)

Em toda operação, envolvendo problemas relacionados com porcentagem sobre o custo do produto, as partes obrigatórios de cálculos na operação são:

» Venda » Custo » Lucro (ou prejuízo, conforme operação)

Para que haja uma memorização melhor sobre estes elementos fundamentais de cálculo sobre porcentagem de custo, observe:


Resumo teórico 24

C = CUSTO

V = VENDA

L = LUCRO

P = PREJUÍZO

Dicas importantes!

1. O preço de custo (ou preço de compra) é sempre igual a

100% (cem por cento)

2. A venda do produto (com prejuízo na operação) é

sempre igual ao preço de custo menos o prejuízo, da seguinte forma:

C – P = V ou V = C – P 100% - 30% = 70% 70% = 100% - 30%

3. a venda do produto (com lucro na operação) é sempre

igual à soma do custo mais o lucro, da seguinte forma:

C + L = V ou V = C + L 100% + 30% = 130% 130% = 100% + 30% Exs.: a) Qual o preço que é possível vender um produto que teve seu custo de R$ 700,00, para se ter um lucro final de 15%?

Solução:

C * L = V » 100% + 15% = 115%

R$ 700,00 ................ 100% (custo da operação) ....................X ........................ 115% (venda da operação)

X = 115 x 700

100

X = 80500

100 = R$ 805,00

O valor do produto será de R$ 805,00

b) Qual o preço que é possível vender um produto que teve seu custo de R$ 300,00, para se ter um lucro final de 50%?

Solução:

C * L = V » 100% + 50% = 150%

R$ 300,00 .............. 100% (custo da operação) X ...................... 150% (venda da operação)

X = 150 x 300

100

X = 45000

100 = R$ 450,00

Resposta:O valor do produto será de R$ 450,00

c) Uma pessoa vendeu um automóvel pelo valor de R$ 25.000,00, ganhando o valor de 20% (vinte por cento) sobre o custo. Qual foi o lucro desta pessoa nesta operação?

Solução:

C + L = V » 100% + 20% = 120%

25.000 ................. 120% (venda da operação) X .................... 20% (lucro da operação)

X = 25000 x 20

120

X = 500.000

120 = R$ 4.166,67 (valor

arredondado)

Resposta: O lucro da operação foi de R$ 4.166,67

d) Uma geladeira foi vendida com um lucro final de 35%. Calcule o valor da venda, sabendo que o lucro na operação foi de R$ 250,00.

Solução:

C + L = V -à 100% + 35% = 135%

250 ................ 35% (lucro da operação) X .................... 135% (venda da operação)

X = 135 x 250

35

X = 33750

35 = R$ 964,29 (valor

arredondado)


Resumo teórico 25

Resposta: O valor da venda foi de R$ 964,29

e) Uma casa foi comprada por R$ 20.000,00, e revendida em sucessivos negócios com lucros seqüentes de 15%, 25% e 30%. Nesta operação, qual foi o último preço de venda da casa?

Solução:

1ª operação de venda (15% de lucro) ### C + L = V » 100% + 15% = 115%

20.000 .............. 100% (custo da operação) X ................. 110% (venda da operação)

X = 20.000 . 110 / 100 = R$ 22.000,00

....

2ª operação de venda (25% de lucro) C + L = V » 100% + 25% = 125%

(valor da casa R$ 22.000,00)

22.000 ............... 100% (custo da operação) X ................... 125% (venda da operação)

X = 22.000 . 125 / 100 = R$ 27.500,00

....

3ª operação de venda (30% de lucro) C + L = V » 100% + 30% = 130%

(valor da casa R$ 27.500,00)

27.500 ............ 100% (custo da operação) ......................X ................ 130% (venda da operação)

X = 27500 x 130

100 = R$ 35.750,00

Resposta: O valor final da casa foi de R$ 35.750,00

f) Uma pessoa vendeu um aparelho de som que custou R$ 1.200,00 com 40% de prejuízo sobre o custo. Qual foi o prejuízo desta operação?

Solução:

1.200 ........... 100% (custo da operação) .......................X ............ 40% (prejuízo da operação)

X = 1200 x 40

100

X = 48000

100 = R$ 480,00

Resposta: O prejuízo desta operação foi de R$ 480,00.

Exercícios

1.(SENAI) Um vendedor ambulante vende, diariamente, 50 unidades de churrasco grego acompanhado de um copo de suco. O churrasco mais o copo de suco são vendidos por R$ 1,50. O custo do referido produto (churrasco mais suco) é de R$ 0,90. Se o vendedor trabalhar dez dias consecutivos nessas condições, o lucro obtido corresponderá a a. R$ 1.200,00. b. R$ 900,00. c. R$ 750,00. d. R$ 550,00. e. R$ 300,00.

2. (SENAI 2008) Um comerciante descontou em um banco um cheque pré-datado para trinta dias no valor de R$ 12.000,00. Se o banco utiliza uma taxa de desconto de 5,2% ao mês, o valor líquido recebido pelo comerciante foi de a. R$ 11.994,80. b. R$ 11.376,00. c. R$ 9.692,30. d. R$ 6.952,80. e. R$ 5.760,00.

3. (SENAI 2008) Para participar de uma novela, uma atriz que pesava 100 kg em 1º de março de 2006, submeteu-se a um regime alimentar. O resultado obtido foi tal que o seu peso, a cada mês, sofreu uma perda de 10% em relação ao seu peso do mês anterior. Nessas condições, em 1º de junho de 2006, a atriz passou a “pesar”. Nota: o termo “peso” corresponde a massa. a. 58,6 kg. b. 60,0 kg. c. 65,4 kg. d. 70,0 kg. e. 72,9 kg.

4.(Trajano 2008) Na sua edição de 27 de julho de 2008, o jornal Folha de S. Paulo divulgou uma pesquisa sobre o perfil do jovem brasileiro, a qual apresenta indicadores que contribuem com os estudos sobre a exclusão social no Brasil.


Resumo teórico 26

Para a pergunta “Você estuda?”, os dados obtidos foram:

Para os jovens que estudam foi feita a pergunta “Em que ano você está?”, e os dados obtidos foram:

De acordo com os dados fornecidos e admitindo que há cerca de 35 milhões de jovens brasileiros, então o número de jovens brasileiros que estão no Ensino Superior é

(A) 3 430 000.

(B) 3 570 000.

(C) 4 000 000.

(D) 7 000 000.

(E) 8 918 000.

5.(Trajano 2007) Analise o texto e a tabela a seguir. A possibilidade de ser mais ou menos cidadão depende, em larga medida, do ponto do território onde se vive. Muitos moradores da periferia tornam-se cidadãos incompletos por terem menos acesso aos serviços urbanos e direito à cidade como um todo. Morar na periferia é se condenar duas vezes à pobreza: além das desigualdades socioeconômicas, o pobre sofre com a má distribuição territorial dos serviços públicos como saúde, educação, segurança e lazer. (Adaptado de: SANTOS, Milton. O espaço do cidadão. São Paulo, Nobel, 1987, pp. 81 e 115.)

O município do Rio de Janeiro pode ser dividido em três grandes zonas. Nas Zonas 1 e 2 (formadas respectivamente pelo centro histórico e seis bairros nobres com melhor poder aquisitivo) o território e a quantidade de moradores são muito menores do que os da Zona 3

(formada por cerca de trinta bairros, em geral periféricos e com pior poder aquisitivo).

De acordo com as idéias do texto e as informações auxiliares, é correto afirmar que (A) a distribuição territorial desses equipamentos de lazer atende com justiça e igualdade às necessidades de todos os moradores do município. (B) os moradores das Zonas 1 e 2 são cidadãos privilegiados entre os moradores restantes do município, pois estes últimos fi cam mal servidos territorialmente de diversas oportunidades de lazer. (C) os moradores da Zona 3 podem ser considerados mais cidadãos por terem mais facilidade de acesso às múltiplas oportunidades de lazer do município. (D) os moradores da Zona 2 são menos cidadãos e sofrem duas vezes com a pobreza, pois são contemplados territorialmente com menos oportunidades de lazer que os outros moradores do município. (E) a distribuição territorial desigual dos equipamentos de lazer não agrava a pobreza e não interfere nos direitos de exercício de cidadania dos moradores do município. 6.(PSS-SEE/SP) Em um determinado condomínio, paga-se atualmente um salário mensal de R$ 1418,00 para um zelador. Com todos os encargos, esse funcionário custa ao condomínio R$ 2392,00. Após uma análise de mercado e algumas reflexões junto à associação de trabalhadores que representa essa classe, a empresa administradora concluiu que deveria atualizar esse salário em 4,5% referentes ao ano de 2007, e mais 4% referentes ao ano de 2008. A taxa de reajuste do salário do zelador, após essas atualizações, será: a) 8,5%. b) Maior que 8,5%. c) 16,5%. d) 18%. e) Maior que 18%.

Nível de Ensino Porcentagem

Ensino Médio 52%

Ensino Superior 20%

Ensino Fundamental 16%

Cursinho 4%

Pós-graduação 2%

Supletivo 2%

Outras 4%


Resumo teórico 27

9. EQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAUS ....PROBLEMAS DE APLICAÇÃO

9.1. Equação do 1º grau

É toda equação do tipo ax + b = 0, com a *, e b . Para determinar a solução de uma equação do 1º grau, procedemos assim:

ax + b = 0 ax = - b

Logo, S = - b

a

9.1.1. Problemas de aplicação

9.2. Equação do 2º grau Toda equação na variável x do tipo ax2 + b + c = 0,

com a *, b e c Discriminante: = b

2 - 4ac

Se > 0 ou = 0 , Então x1 e x2 são as raízes da

equação. Para calcularmos as raízes fazemos:

x1 e x2 =−𝑏±

2𝑎 , sabendo que

Exs.

(1º Tipo) > 0

» Resolva a equação: x2 – 7x + 12= 0

1º Passo :

» Determinar os coeficientes a, b, e c em x2 – 7x + 12= 0

a = 1 b = -7 c = 12

2º Passo: » Substituir esses coeficientes no discriminante: = b

2 - 4ac

= b2 - 4 a c

= ( -7 )2 - 4 ( 1 ) · (12 )

= 49 – 48

= 1

3º Passo :

» Observar o valor de “” e verificar se tem raiz(es) reais

Podemos observar que = 1 ,

então >0, a equação terá duas raízes diferentes

4º Passo : » Calcular essa(s) raízes...

x1 e x2 =−𝑏±

2𝑎

x1 e x2 =− −7 ± 1

2( 1)

x1 e x2 =7 ±1

2

x1 = 7+1

2 x1 =

82 x1 = 4

x2 = 7−1

2 x2 =

62 x2 = 3

5º Passo : » Representar a resposta:

S = { -3, 4 }

(2º Tipo) = 0

» Resolva a equação: x2 – 8x + 16= 0

1º Passo :

» Determinar os coeficientes a, b, e c em x2 – 8x + 16 = 0

a = 1 b = -8 c = 16


2 - 4ac

x = - 𝐛

𝐚

Obs. Quando não “aparecer

um número na frente do “ x2

”,

ou do “x” devemos lembrar

que lá está o 1.


Resumo teórico 28

= b2 - 4 a c

= ( -8 )2 - 4 ( 1 ) · (16 )

= 64 – 64

= 0

3º Passo :


Podemos observar que = 0 ,

então = 0, a equação terá duas raízes iguais

4º Passo : » Calcular essa(s) raízes caso existam...

x1 e x2 =−𝑏±

2𝑎

x1 e x2 =− −8 ± 0

2( 1)

x1 e x2 =8 ±0

2

x1 = 8+0

2 x1 =

82 x1 = 4

x2 = 8−0

2 x2 =

82 x2 = 4

5º Passo : » Representar a resposta:

S = { 4 }

(3º Tipo) < 0 ( negativo)

» Resolva a equação: 3x2 – 4x + 2= 0

1º Passo :

» Determinar os coeficientes a, b, e c em 3x2 – 4x + 2= 0

a = 3 b = -4 c = 2


2 - 4ac

= b2 - 4 a c

= ( -4 )2 - 4 ( 3 ) · (2 )

= 16 – 24

= -8

3º Passo :


Podemos observar que = -8 ,

então < 0, a equação não admite raízes reais

“ negativo” 4º Passo : » Representar a resposta:

S = { }

Resumindo

> 0 duas raízes reais diferentes

= 0 raízes reais e iguais

< 0 não possui raízes reais

9.2.1. Problemas de aplicação

1.(SENAI 2008) Na temporada do verão passado, um comerciante vendeu picolés, cuja renda (p) em reais, no final de cada dia, varia de acordo com a expressão p = x

2 -

11x - 10, em que x indica a quantidade de picolés vendidos no dia. Se num determinado dia, a renda final foi de R$ 200,00, pode-se afirmar que o comerciante vendeu naquele dia a. 12 picolés. d. 21 picolés. b. 15 picolés. e. 27 picolés. c. 19 picolés.

2.(Trajano 2008) Considere um número inteiro positivo tal que quatro quintos da soma desse número com 36 é igual à diferença entre o dobro desse número e 6. A soma dos algarismos do número considerado é

(A) 11. (B) 12. (C) 13. (D) 14. (E) 15.

3.(PSS-SEE/SP) Deseja-se construir uma calçada contornando-se dois lados consecutivos de um jardim cuja forma é retangular, conforme mostra a figura abaixo:

Obs.: Podemos representar

um único número, pois as

respostas são iguais

Obs.: Podemos também

representar o conjunto

vazio desta forma: S =


Resumo teórico 29

Deseja-se que a calçada ocupe uma área de 15m². A equação que permite calcular o valor de x é: a) x² − 9x + 15 = 0. b) x² − 15x + 10 = 0. c) x² − 15x + 20 = 0. d) x² − 20x − 15 = 0. e) x² − 9x − 20 = 0.


Resumo teórico 30

10. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ....DO 1º GRAU

10.1. Métodos de resolução de sistemas de equações do 1º grau

Além de saber armar o sistema é bom saber fazer a escolha pelo método mais rápido de resolução. Vou apresentar três métodos sendo que o mais utilizado é o método da adição. 10.1.1. Método da adição Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma única incógnita. Ex:

1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x

2º passo: Substituir y = - 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.

3º passo: dar a solução do sistema. S = { (4, -2) } 10.1.2. Método da substituição Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita. Ex:

1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda equação.

2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para encontrar o valor de x.

3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y. y = 6 – 2x y = 6 – 2.4 y = 6 – 8 y = -2 4º passo: dar a solução do sistema. S = { (4, -2) }

10.1.3. Método da comparação

Esse método consiste em compararmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável ( x ou y) nas duas equações:

Ex.: Resolver o sistema pelo método da comparação

x + 2y = 2 x + y = 3

1º passo: vamos isolar as mesmas variáveis nas duas equações


Resumo teórico 31

x + 2y = 2 »isolando “x” temos x = 2 - 2y

x + y = 3 »isolando “x” temos x = 3 - y

2º passo: vamos igualar essas variáveis e calcular o valor de x

Exercícios

1.(Trajano 2008) Imagine que antes de posar para a foto de família, o pai, não resistindo à tentação diante de um maravilhoso bolo recheado e de uma divina torta de limão, comeu uma e meia fatia de bolo recheado e duas fatias de torta de limão, consumindo 1 482 quilocalorias. Por sua vez, a mãe comeu meia fatia do mesmo bolo e três quartos de uma fatia da mesma torta, consumindo 606 quilocalorias.

Preocupada com o abuso das iguarias consumidas, a mãe se perguntou: “Quantas quilocalorias tem uma fatia de bolo recheado? E quantas tem uma fatia de torta de limão?”

Para resolver o problema, a mãe montou um sistema de duas equações, representando por b a quantidade de quilocalorias de uma fatia do bolo recheado e por t a quantidade de quilocalorias de uma fatia da torta de limão, levando em consideração que o bolo foi fatiado uniformemente e a torta também.

Assim sendo, o sistema que ela montou é equivalente ao sistema

(A) 3b + 4t = 1 482

b + 2t = 1 212

(B) 3b + 4t = 2 964 2b + 3t = 2 424

(C) 3b + 4t = 1 212 b + 3t = 2 964

(D) 3b + 2t = 2 964

b + 2t = 1 212 3b + 2t = 1482

(E) b + 3t = 606


Resumo teórico 32

11. PLANO CARTESIANO

11.1. INTRODUÇÃO

Traçando dois eixos – Ox, ao qual chamaremos de eixos das abscissas, e Oy, que chamaremos eixos das ordenadas – de forma que ambos se interceptem perpendicularmente em O, o plano sobre o qual construímos esses eixos fica dividido em quatro quadrantes. Observe:

Todos os pontos do plano poderão ser identificados por dois valores ordenados que chamamos par ordenado e representamos por ( x, y ). Assim, para todo ponto no plano cartesiano temos um par ordenado, e para todo par ordenado temos um ponto correspondente no plano.

Essa correspondência chamaremos de sistema cartesiano ortogonal e o plano será chamado de plano cartesiano ( o termo ortogonal refere-se ao perpendicularismo entre os eixos). Vamos ver os pontos do plano correspondentes aos pares ordenados A(3,1), B(-2,3), C(-4,-3), D(0,-2) e E(-5,0)

EXERCÍCIOS

1. (COTIL 2002) Observando o plano cartesiano a seguir, dê os pares ordenados de cada ponto representado no gráfico.

COTIL ( , )

Restaurante ( , )

Cantina ( , )

Gráfica ( , )

2.(SENAI) Um mapa rodoviário foi desenhado sobre o sistema de coordenadas cartesianas, para localizar uma reserva florestal. O segmento AB indica um trecho da rodovia principal, o segmento AC a estrada de acesso à reserva e M é o ponto médio de AB. No mapa, a estrada AC mede, em quilômetros,

a. 4. c. 6. e. 8. b. 5. d. 7.


Resumo teórico 33

12. FUNÇÃO DO 1º GRAU

12.1.Definição

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função

afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da

forma

f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de

coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3

f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7

f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

12.2.Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax +

b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:

Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus

pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um

ponto é (0, -1).

b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, x = 1

3 e

outro ponto é ( 1

3 , 0 )

Marcamos os pontos (0, -1) e ( 1

3 , 0 ) no plano

cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

x y

0 -1

0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.

EXERCÍCIOS 1.(SENAI 2008) A função horária de um ponto material é dada por S = 15 - 3 t, com t em segundos e S em metros. Podemos afirmar que o ponto material passa pela origem dos espaços no instante igual a a. 3 s. b. 4 s. c. 5 s. d. 6 s. e. 10 s. 2.(SENAI 2008) Duas forças horizontais, de sentidos opostos, com intensidades 10 e 15 N, atuam num corpo que está livre de atrito e que tem massa de 2,5 kg. A aceleração que a força resultante imprime ao corpo é, em m/s

2, de

a. 1,5. b. 2,0. c. 4,0. d. 5,0. e. 7,5. 3.(SENAI 2008) A energia mecânica de um sistema conservativo é de 180 J. Se num dado instante a energia cinética é de 120 J, a energia potencial é, nesse mesmo instante, de a. 180 J. b. 120 J. c. 100 J.


Resumo teórico 34

d. 80 J. e. 60 J. 4.(TRAJANO 2008) Imaginando-se que o barco de Hagar desloque-se por um mar, onde a densidade da água é constante em qualquer ponto, pode-se afirmar que a força de empuxo que age no navio

(A) diminui com o aumento da carga transportada.

(B) diminui com a diminuição da carga transportada.

(C) aumenta com a diminuição de carga transportada.

(D) aumenta o espaço percorrido devido ao aumento de velocidade média.

(E) diminui a velocidade média, provocando uma diminuição no espaço percorrido.


Resumo teórico 35

13. FUNÇÃO EXPONENCIAL

13.1.Definição

Função exponencial é uma função na qual a variável (incógnita) se encontra no expoente. A função exponencial pode ser escrita de forma geral, veja como:

f : R → R*+ tal que f(x) = ax, sendo que a R*+ e a ≠ 1.

Essa representação significa: dada uma função dos reais para os reais positivos, menos o zero, sendo que a

função exponencial terá base “a” onde “a” só poderá

assumir valores positivos diferentes de zero e diferentes de 1.

Veja alguns exemplos de funções exponenciais: f(x) = 3

x, função exponencial de base 3 e expoente x

(variável). f(y) = 3

y, função exponencial de base 3 e expoente y

(variável). 5 f(x) = 0,5

x, função exponencial de base 0,5 e expoente x

(variável).

f(x) = , função exponencial de base 5 e expoente x (variável).

13.1. Gráfico de função exponencial A construção de gráficos de função exponencial segue dois modelos, quando o valor da base é maior que 1 e quando o valor da base está entre 0 e 1. Veja esses modelos esboçados: Dada a função f(x) = a

x, veja como ficarão os

gráficos dependendo do valor de a (base).

• Esse gráfico representa uma função exponencial crescente onde a > 1. • Imagem e domínio: x1 e x2 são os valores do domínio dessa função e os valores de y1 e y2 são os valores da imagem dessa função, sendo que a imagem será sempre (quando o valor da base é maior que 1) um valor real positivo diferente de zero.

• Esse gráfico representa uma função exponencial decrescente onde 0 < a < 1. • Imagem e domínio: x1 e x2 são os valores do domínio dessa função e os valores de y1 e y2 são os valores da imagem dessa função, sendo que a imagem será sempre (quando o valor da base é maior que 1) um valor real positivo diferente de zero. Os dois tipos de gráficos possuem características semelhan-tes, essas são características para qualquer gráfico de função exponencial. • O gráfico (curva) nunca irá interceptar o eixo x, pois a função exponencial não possui raiz.


Resumo teórico 36

• O gráfico (curva) irá cortar apenas o eixo y e sempre será no ponto 1, sendo que os valores de y sempre serão positivos.

EXERCÍCIOS

1.(SENAI 2008) O volume d’água que resta, após abrir o registro de uma caixa completamente cheia d’água, pode

ser obtido por meio da expressão: V = 900 ( 2

3 )t - 2

, em que

V indica o volume em litros d’água que resta na caixa após o registro ficar aberto t minutos. O tempo para que restem na caixa 600 L é a. 2,0 minutos. b. 2,6 minutos. c. 2,8 minutos. d. 3,0 minutos. e. 3,5 minutos.


Resumo teórico 37

14. ELEMENTOS FUNDAMENTAIS DA ...GEOMETRIA PLANA E SEMELHANÇA ...DE FIGURAS PLANAS.

14.1. Introdução a geometria

14.1.1. Conceitos primitivos

São conceitos que não tem definição, aceitamos como verdadeiro para a partir disso formar uma teoria.

a) Ponto: Ponto não tem definição, apenas uma idéia intuitiva. O ponto é adimensional, isto é, não tem dimensão, e podemos representá-lo por uma letra maiúscula do nosso alfabeto.

Exs.: A ( Ponto “A”)

G

b) Reta: Podemos ter uma idéia de uma reta como infinitos

pontos alinhados. A reta é unidimensional, uma dimensão, e podemos representá-la por uma letra minúscula do nosso alfabeto, ou por dois de seus pontos.

Exs.:

ou c) Plano: Podemos ter uma idéia de plano como sendo uma

superfície plana de tamanho infinito. O plano é bidimensional, duas dimensões, e podemos representá-lo por uma letra minúscula do alfabeto grego.

Ex.

α

Plano Alfa

Ponto, reta e plano relacionam-se entre si de certas proprie-dades não demonstráveis, chamadas postulados. Entre os postulados da geometria plana, é importante que

você guarde os dois seguintes:

Toda reta é formada por infinitos pontos.

Todo plano contém infinitas retas e também infinitos pontos

14.1.2. Elementos básicos a) Semi-reta: Dada uma reta qualquer, um ponto dessa

reta divide a mesma em duas semi-retas. Ex. Indica-se AB

b) Segmento de reta: Dada uma reta qualquer e dois pontos dessa reta, o segmento e a região limitada entre esses dois po Ex. Indica-se AB

c) Semiplano: Sabemos que um plano contém infinitas retas. Com uma reta r, dividimos o plano em dois conjuntos de pontos, situados cada um em um dos “lados da reta” Chama-se semiplano (de origem r) cada um dos conjuntos de pontos em que um plano fica dividido por uma reta r, incluindo a própria reta. Ex.


Resumo teórico 38

14.2. Ângulos

14.2.1. Definição

Ângulo é a região formada por duas semi-retas a partir da mesma origem. Cada semi-reta é chamada de lado do ângulo e o ponto de origem é denominado vértice.

â = ângulo OA = semi-reta OB = semi-reta

Podemos também representar o ângulo como:

AÔB, BÔA ou Ô.

14.2.2. Classificação dos ângulos

a) Ângulo agudo: ângulo menor que 90º Exs.:

b) Ângulo obtuso: ângulo que possui uma medida maior que 90º e menor que 180º Exs.: c) Ângulo reto: ângulo que possui uma medida igual a 90º Exs.:

Obs.: Quando duas retas formam entre si um ângulo de 90º, denominamos retas perpendiculares. d) Ângulo raso ou de meia volta: ângulo que possui uma medida igual a 180º Ex.:

e) Ângulos complementares: Dois ângulos são complemen-tares quando a soma de suas medidas é igual a 90º Exs.:

70º + 20º = 90º α + β = 90º 70º é o complementar de α é o complementar ........... 20º e vice-versa de β e vice-versa

f) Ângulos suplementares: Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180º Ex.:

g) Ângulos replementares: Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360º Ex.:

h) Ângulos opostos pelo vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são semi-retas opostas dos lados do outro Ex.

α e θ = são opostos pelo vértice

β e σ = são opostos pelo vértice

Atenção:

Todos os ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.) são congruentes, isto é, possuem a mesma medida:

α = θ e β = σ


Resumo teórico 39

Duas retas concorrentes que formam quatro Ângulos retos são chamadas de retas perpendiculares.

14.2.3. Bissetriz de um ângulo

É a semi-reta de origem no vértice do ângulo e que o divide em dois outros ângulos de mesma medida.

14.2.4 Medidas de ângulos

A principal unidade usada para se medir ângulos (tanto na geometria quanto na vida prática) é o grau.

A unidade grau é subdividida em unidades menores ( submútiplos) que são o minuto e o segundo, de tal modo que:

Cada grau é formado por 60 minutos: 1º = 60’

Cada minuto é formado por 60 segundos 1’ = 60”

14.3. Paralelismo de Retas

Duas retas são paralelas quando, estando contidas no mesmo plano, não possuem nenhum ponto em comum.

14.3.1. Postulado de Euclides Por um ponto fora de uma reta, existe uma única reta paralela à reta dada.

Obs.: Duas retas coincidentes também são paralelas; neste caso eles tem todos os pontos em comum.

14.3.2. Paralelas com transversais Dadas duas retas paralelas, chama-se reta transversal qualquer reta que intercepte ambas as paralelas. Essa transversal determina, na intersecção com uma das paralelas, quatro ângulos e, na intersecção com outra paralela, mais quatro ângulos.

Na figura certos pares de ângulos recebem nomes especiais

Ângulos correspondentes: â e m, b e n, c e p, d eq

Ângulos alternos internos: c e m, d e n

Alternos externos : a e p, b e q

Ângulos colaterais internos: d e m, c e n

Ângulos colaterais externos: a e q, b e p

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^

Teorema fundamental do paralelismo de retas

Duas restas paralelas, cortadas por uma transversal,

determinam ângulos correspondentes congruentes,

isto é de mesma medida.


Resumo teórico 40

Na figura acima temos: b = n , c = p , d = q, então:

14.4. Polígonos Observe as figuras abaixo:

Nas figuras B, C e D, o contorno é formado exclusiva-mente por segmentos; nas figuras A e E, o contorno tem partes curvas.

Dessa forma, as figuras B, C e D são polígonos, enquanto que A e E não.

Em todos os polígonos temos os seguintes elementos: ...........................Lados, vértice e diagonais.

Observe a figura que segue:

Lados: São segmentos que cortam os contornos: AB, BC, CD, etc. Vértices: São pontos comuns a dois lados consecutivos: A, B, C, D, etc. Diagonais: São os segmentos que unem dois vértices não consecutivos: AE, AD, BF, CE, etc.

Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal,

determinam ângulos alternos congruentes

^ ^ ^ ^ ^ ^

Duas retas paralelas cortadas por uma transversal,

determinam ângulos colaterais suplementares, isto

é, suas medidas somam 180º

Chamaremos de polígonos as regiões do plano cujos

contornos são formados apenas por segmentos

__ __ __

__ __ __ __


Resumo teórico 41

14.4.1 Classificação

A classificação dos polígonos pode ser feita de dois modos diferentes: ou em relação ao número de lados, ou em relação ao número de ângulos.

Assim temos:

Ao nº de lados Ao nº de lados

3 Trilátero Triângulo

4 Quadrilátero Quadrilátero

5 Pentalátero Pentágono

6 Hexalátero Hexágono

7 Heptalátero Heptágono

8 Octalátero Octógono

9 Enealátero Eneágono

10 Decalátero Decágono

11 Undecalátero Undecágono

12 Dodecalátero Dodecágono

...

...

...

15 Pentadecalátero Pentadecágono

...

...

...

20 Icosalátero Icoságono

Os polígonos ainda podem ser :

REGULARES: quando possuem: - todos os ângulos internos congruentes - todos os lados também congruentes

IRREGULARES: - quando pelo menos uma das duas condições acima não é verificada

14.4.2. Diagonal

Denomina-se diagonal de um polígono o segmento de reta que une dois vértices não-consecutivos dele.

Número de diagonais: d = 𝐧 𝐧−𝟑

𝟐

14.5. Semelhança de figuras planas

14.5.1. Semelhança de Triângulos

Teorema (AAA)

Dois triângulos são semelhantes quando possuem respectivamente congruentes as medidas dos ângulos, e as medidas dos lados correspondentes, respectivamente proporcionais.

Lados correspondentes ou homólogos: lados que se opõem a ângulos congruentes

A A´

B B´

C C´ ABC ~A´BĆ´

AB

A´B´ =

BC

BĆ´ =

CA

CÁ´

Nota: ~ ....lê-se: semelhante

Teorema (LAL)

Dois triângulos são semelhantes quando possuem congruente a medida de um ângulo compreendido entre lados proporcionais.

^ ^

^ ^

^ ^ ^ ^

^ ^

^ ^


Resumo teórico 42

A A´

ABC ~ A´BĆ´

AB

A´B´ =

AC

AĆ´

Teorema (ALA)

Dois triângulos são semelhantes quando possuem as mesmas medidas de dois ângulos congruentes.

A A´

ABC ~A´BĆ´

C C´

Teorema (LLL)

Dois triângulos são semelhantes quando possuem as medidas dos três lados respectivamente proporcionais.

AB

A´B´ =

BC

BĆ´ =

CA

CÁ´ ABC ~A´BĆ´

14.5.2. Semelhança de Polígonos

Definição

Dois polígonos são semelhantes quando possuem o mesmo número de lados, as medidas dos ângulos respectivamente congruentes e as medidas dos lados respectivamente proporcionais.

Teorema Dois polígonos são semelhantes quando for possível a

sua decomposição em triângulos respectivamente semelhantes.

Teorema As medidas dos perímetros de dois polígonos semelhantes estão entre si assim como a razão de dos lados correspondentes. Obs.:

Perímetro é a soma das medidas dos lados de um polígono.

^ ^

^ ^

^ ^


Resumo teórico 43

15. RELAÇÕES MÉTRICAS NO .....TRIÂNGULO RETÂNGULO

15.1. Introdução Triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo reto (90º graus).

15.2. Teorema de Pitágoras Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

Exs.: Aplicando o teorema de Pitágoras, calcule o valor de x;

a)

Solução:

a2 = b

2 + c

2

x2 = 3

2 + 4

2

x2

= 9 + 16

x2 = 25

x = 25

x = 5

b)

Solução:

a2 = b

2 + c

2

62 = x

2 + x

2

2x2

= 36

x2 = 18

x = 18

x = 3 𝟐

15.3. Elementos de um triângulo retângulo

Seja o triângulo retângulo:

a = medida da hipotenusa BC

b = medida do cateto AC

c = medida do cateto AB

h = medida da altura AE

m = medida da projeção AC sobre a hipotenusa

n = medida da projeção AB sobre a hipotenusa

No triângulo ABC, são válidas as relações métricas:

a2 = b2 + c2


Resumo teórico 44

Exs:

Calcule o valor de x, nos seguintes triângulos retângulos:

a)

Solução: y2 = 2 · 8

y2 = 16

y = 16

y = 4

b)

Solução: y · 3 = 2 · 3

3 y = 6

y = 6

3 ·

3

3

y = 6 3

3

y = 2 𝟑

c)

Solução: y2 = 4 ·9

y2 = 36

y = 36

y = 6

15.3.1. Cálculo da altura de um triângulo eqüilátero

Considerando o triângulo ABC abaixo, temos:

L 2 = (L /2)

2 + h

2

e a altura será dada

pela .......fórmula:

b2 = m · a c2 = n · a

a · h = b · c

h2 = m · n

h = L 3

2


Resumo teórico 45

15.3.2. Cálculo da diagonal de um quadrado

Considerando o quadrado ABCD e uma diagonal BC.

No triângulo BCD, temos:

d2 = L

2 + L

2

d2 = 2 L

2

d = L 2


Resumo teórico 46

16. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

Definimos no triângulo retângulo:

Seno (Sen)= cateto oposto

hipotenusa

Cosseno(Cos) = cateto adjacente

hipotenusa

Tangente(Tg) = cateto oposto

cateto adjacente

Exs.:

1) Calcular o seno, cosseno e a tangente do ângulo α

α

Sen α = cateto oposto

hipotenusa =

c

a

Cos α = cateto adjacente

hipotenusa =

b

a

Tg α = cateto oposto

cateto adjacente =

c

b

2) Calcular Sen, Cos e Tg de α

Sen α = cateto oposto

hipotenusa =

9

15 Sen α =

3

5

Cos α = cateto adjacente

hipotenusa =

12

15 Cos α =

4

5

Tg α = cateto oposto

cateto adjacente =

9

12 Cos α =

3

4

16.1. Ângulos Notáveis

As razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e

60º aparecem freqüentemente nos problemas, tornando-

se conveniente a memorização desses valores.

30º 45º 60º

Sen 1

2

2

2

3

2

Cos 3

2

2

2

1

2

Tg 3

3 1 3


Resumo teórico 47

Exs.:

1) Calcule o valor de x no triângulos retângulo que segue:

Solução:

....................Cos 60º = x

10

1

2 =

x

10

2x = 10

x = 5

2) No triângulo ABC da figura seguinte, determine as

medidas a e c indicadas.

Solução

Sen 30º = 10

𝑎

1

2 =

10

a

a = 2 · 10

a = 20

Aplicando o Teorema de Pitágoras

a2 = b

2 + c

2

.....................................................................202 = 10

2 + c

2

c2 = 300

c = 300

c = 10 𝟑

Funções trigonométricas

Função Seno

Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, chama-mos de função seno à função que associa a cada x ∈ R o nu-mero (senx) ∈ R. Indicamos essa função por:

f(x) = sen(x)

O gráfico da função seno, no plano cartesiano, será uma curva denominada senóide. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico.

Propriedades: - Domínio: R - Imagem: [-1;1] - Período: 2πrad

Função Co-seno

Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, chamamos de função co-seno à função que associa a cada x ∈ R o número (cosx) ∈ R. Indicamos essa função por:

f(x) = cos(x)

O gráfico da funcão co-seno, no cartesiano, será uma curva denominada co- senóide. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico.

Propriedades: - Domínio: R - Imagem: [-1;1] - Período: 2πrad

Função Tangente

Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, chamamos de função tangente à função que associa a cada x ∈ R/x ≠ π/2+kπ o número (tgx) ∈ R. Indicamos essa função por:

f(x) = tg(x)


Resumo teórico 48

O gráfico da função tangente, no cartesiano, será uma curva denominada tangentóite. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico.

Propriedades: - Domínio:

- Imagem: R - Período: πrad

Exercícios

1.(SENAI 2008) Numa determinada região, onde lobos são predadores e ovelhas são as presas, a população de ovelhas P (em milhares) variou de acordo com a função dada por P(t) = 4 + 1,5.sen (45°t), sendo o tempo t medido em anos, a partir de janeiro de 2004. Nessas condições, após 4 anos dessa data, a população de ovelhas nessa região será igual a a. 4.000. b. 4.500. c. 5.000. d. 5.500. e. 6.000. 2.(SENAI 2008) Uma caixa é arrastada por uma corda que forma 60° com a direção do deslocamento. A força de tração na corda é de 20 N e a caixa se desloca em 12 m.

Dado que cos 60° = 1

2 , o trabalho da força de tração é, em

joules, de a. 120. b. 150. c. 160. d. 200. e. 240.

3.(Trajano 2008) O quadrilátero ABCD pode ser decomposto nos triângulos ABD e BCD, conforme a figura.

(A) 0,4.

(B) 0,5.

(C) 0,6.

(D) 0,7.

(E) 0,8.


Resumo teórico 49

Tabela Trigonométrica de Ângulos de 1º a 90º


Resumo teórico 50

17. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

17.1. Área dos principais polígonos

Quadrado

A = lado · lado

A = lado 2

Retângulo

A = b · h

Losango

A = 𝐃 · 𝐝

𝟐

Trapézio

A = 𝐁+𝐛 · 𝐡

𝟐

Paralelogramo

A = b · h

Triângulo

A = 𝐛 · 𝐡

𝟐

Círculo

A = · r2

Coroa Circular

A = R2 - r2

A = (R2 – r2)

Setor Circular

Todo ângulo central determina no círculo uma região

chamada circular.

Podemos calcular a área A do setor

circular pela regra de três

r2 360º

A n


Resumo teórico 51

Exercícios

1.(SENAI 2008) Um hotel fazenda dispõe de uma área retangular, medindo 60 m de comprimento e 30 m de largura onde serão construídos três depósitos para armazenamento de materiais e um jardim, conforme indica a figura:

Se o jardim deverá ocupar uma área de 120 m

2, cada

armazém terá, em m2, uma área igual a a) 740. b) 720. c) 680. d) 600. e) 560. 2.(SENAI 2008) Uma roda gigante, de raio 8 m, dista do solo 1,5 m. A roda está girando com três rapazes: João,Paulo e Francisco. À distância entre João e Francisco é a mesma que entre Francisco e Paulo, que é a mesma entre João e Paulo, como mostra a figura: Dados: sen 30° = 0,5. cos 30° = 0,87. tg 30° = 0,58.

No momento em que Francisco está no ponto mais alto da roda gigante, a altura de João em relação ao solo é de a) 5,5 m. b) 5,0 m. c) 4,5 m.

d) 4,0 m. e) 3,5 m. 3.(SENAI 2008) Uma cafeteira de forma cilíndrica reta, medindo 4 cm de raio da base e 20 cm de altura, armazena 80% de sua capacidade de café. A quantidade de café existente na cafeteira corresponde.a:

Considere: = 3. a) 384 mL. b) 576 mL. c) 768 mL. d) 982 mL. e) 1.536 mL. PARA RESPONDER ÀS QUESTÕES 4 E 5, CONSIDERE O TEXTO E A FIGURA A SEGUIR. A pipa, também conhecida como papagaio ou quadrado, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portugueses no século XVI. Para montar a pipa, representada na figura, foram utilizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas varetas de 32 cm de comprimento, tesoura, papel de seda, cola e linha. As varetas são fixadas conforme a fi gura, formando a estrutura da pipa. A linha é passada em todas as pontas da estrutura, e o papel é colado de modo que a extremidade menor da estruturada pipa fique de fora.

4. (Trajano 2007) O comprimento da linha que passa pelos pontos A, B e C do contorno da estrutura da pipa, em centímetros, é:

a) 4 • (4 + 17). d) 18 • 19.

b) 2 • (8 + 19). e) 20 • √17 .

c) 16 + 17. 5. (Trajano 2007) Na figura, a superfície sombreada corresponde ao papel de seda que forma o corpo da pipa. A área dessa superfície sombreada, em centímetros quadrados, é (A) 576. (B) 704. (C) 832.


Resumo teórico 52

(D) 1 150. (E) 1 472. 6. (Cotil 2004) Durante anos, uma indústria despejou seus detritos em uma área de terra demarcada entre os pontos representados na figura abaixo. Agora essa área precisa ser despoluída para a construção do parque aquático “Neto Barreto”. Sabendo que:

AC = 3 Km AB=BC=CD=AD = 1,7 Km e AC é perpendicular a BD

A área (em km2 ) a ser despoluída será de:

a) 48 b) 4,8 c) 2,4 d) 24 e) 1,2 7. (Cotil 2005) Segundo repórteres da revista Mundo Estranho – Especial Olimpíadas 2004, uma piscina olímpica faz qualquer piscina de prédio parecer uma banheira metida a besta. E não é só no tamanho que serve de documento: os blocos de largura têm piso antiderrapante, a água é mantida a 27 graus e a divisão entre as raias evita a formação de marola. Além disso, fazem parte do show bandeiras sensores, cordas, juízes. Sabendo que a piscina olímpica possui 150m de perímetro e 1.250 m

2 de área,

quais devem ser as suas dimensões? a) 40m e 35m b) 45m e 30m c) 55m e 20m] d) 50m e 25m e) 39m e 36m 8.(PSS-SEE/SP) Observe as afirmações abaixo: I. Se dobrarmos as dimensões de um reservatório de água que tem a forma de um cubo, dobramos também o seu volume. II. Se dobrarmos as dimensões de um terreno quadrado, sua área também dobrará. III. Se dobrarmos as dimensões de um terreno quadrado, seu perímetro também dobrará. IV. Se dobrarmos as dimensões de um reservatório de água que tem a forma de um cubo, o seu volume será multiplicado por 8.

São verdadeiras apenas: a) I e III. b) II e III. c) III e IV. d) II, III e IV. e) I, II e III. 5.(PSS-SEE/SP) O tangram é um quebra cabeças chinês muito utilizado pelos professores para desenvolver e/ou aplicar diversos conceitos. Ele é composto de 7 peças e construído a partir de um quadrado. Sabe-se que a área da região assinalada (paralelogramo, triângulo menor e triângulo maior ) é de 28 cm².

Assim, a área do quadrado maior (composto pelas 7 peças) é a) 8cm

2 . d) 32cm

2 .

b) 16cm2 . e) 64cm

2 .

c) 24cm2 .


Resumo teórico 53

18. SÓLIDOS..GEOMÉTRICOS

Volumes de Sólidos

Este tema é complexo para os alunos, uma vez que têm grande dificuldade em reduzir à mesma unidade de medida, os valores dados para o cálculo de áreas e volumes. Vai ser dividido em três partes, na primeira apresenta-se um esquema que os alunos podem ter sempre presente, quando necessitarem de reduzir as unidades de medida . Na segunda e terceira parte apresentam-se as fórmulas para o cálculo de áreas e volumes de figuras geométricas mais utilizadas.

1. Unidades de medida de áreas e de volumes; 2. Áreas de Sólidos; 3. Volumes de Sólidos;

18.1 Unidades de medida de volume;

O cálculo de volumes, os valores dados têm que estar sempre na mesma unidade de medida e que quando tal não acontece temos de efetuar a redução à mesma unidade. Relembrar, como tal se efetuar, recorrendo ao seguinte esquema: Unidades de Área:

Unidades agrárias:

Unidades de Volume:

Unidades de Capacidade:

Quando se calcula a área de uma figura geométrica a sua unidade de medida aparece sempre ao quadrado (por exemplo, em metros quadrados).

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm38/areas.htm#Unidades de medida de área e de volume

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm38/areas.htm#Áreas de Sólidos;

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm38/areas.htm#Áreas de Sólidos;

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm38/areas.htm#Volumes de Sólidos;

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm38/areas.htm#Volumes de Sólidos;

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm38/areas.htm#Unidades de medida de área e de volume


Resumo teórico 54

18.2 Volumes de Sólidos; O cálculo do volume de figuras geométricas,

a) A figura representa tridimensionalmente um prisma reto;

b) O volume de um prisma reto é igual ao produto da área da base pela altura do sólido, isto é

c) O cubo e o paralelepípedo retângulo são prismas;

d) O volume do cilindro também se pode calcular da mesma forma que o volume de um prisma reto.

Formulário das figuras geométricas

Figuras Geométricas:

Exercícios

1.(SENAI 2008) Um designer foi contratado por um fabricante de perfumes para projetar uma embalagem do seu novo perfume que será lançado com o nome de Cleópatra. A embalagem idealizada pelo designer foi uma pirâmide

quadrangular cuja área da base mede 25 cm2. Se o volume da

embalagem deve

ser de 50 cm3, a altura dessa embalagem deverá medir

a. 2 cm. b. 4 cm. c. 5 cm. d. 6 cm. e. 8 cm. 2.(SENAI 2008) Uma companhia de transporte rodoviário transporta objetos de tamanho tal que a soma de suas dimensões (comprimento, largura e altura) não exceda a 15 m. Assim, uma caixa na forma de um cubo cujo volume é 64 m3 a. poderá ser transportada pois a soma de suas dimensões é 16 m. b. não poderá ser transportada, pois a soma de suas dimensões é 18 m. c. poderá ser transportada pois a soma de suas dimensões é 6 m.


Resumo teórico 55

d. não poderá ser transportada, pois a soma de suas dimensões é 20 m. e. poderá ser transportada pois a soma de suas dimensões é 12 m. 3. (TRAJANO 2008)

Para Hagar, a Terra tem a forma de um cubo, porém, na realidade, pode-se considerá-la uma esfera de raio R. Sabendo-se que o volume de uma esfera de raio R é dado

por 𝟒

𝟑 r

3 e imaginando-se que a Terra cúbica de Hagar

tenha o mesmo volume da Terra real, então a aresta desse cubo, escrita em função de R, é igual a:

a. ( 4

3

3 ) . R

b. 4R

3

3

c. ( 43

3 )R

d. 2

3 R

e. . 4

3 R

4.(Trajano 2008) A Lei de Gravitação Universal, proposta por Isaac Newton, permite dizer que a força de atração entre duas massas diminui conforme aumenta a distância entre elas. Sendo mais preciso, quando aumenta a distância entre seus centros de massa. Dependendo da geometria do corpo, o centro de massa coincide com o centro geométrico.

Considerando o mundo cúbico de Hagar, inclinado exatamente como o mostrado na tirinha, a força de atração entre a massa desse mundo e a massa do navio terá maior intensidade quando o navio estiver situado

(A) na face inferior do cubo.

(B) em qualquer aresta do cubo.

(C) em qualquer vértice do cubo.

(D) no ponto médio da face superior do cubo.

(E) apenas nos pontos médios das arestas do cubo.

5.(Trajano 2006)

“ Em 1898, aos 25 anos, Santos Dumont construiu o balão “Brasil”, que apresentava a forma esférica e sua cor, quase transparente, se devia à criatividade de Santos Dumont, que adotou a seda japonesa, mais resistente e mais leve para sua construção. O balão depois de pronto apresentava volume igual a 113 metros cúbicos de gás hidrogênio e

área da superfície igual a 113 metros quadrados de seda japonesa”

Marcelo estava lendo o texto anterior sobre a vida e obra de Santos Dumont e questionou: Será que é possível o número que expressa o volume de um balão ser igual a número que expressa a área da superfície?. Para tirar a dúvida, ele foi pesquisar e descobriu que numa esfera de raio R, R > 0 o volume é dado por:

E a área da superfície e dada por: A = 4 R

2

Logo concluiu que esses números: a. Nunca podem ser iguais b. Seriam iguais para um único valor de raio c. Seriam iguais para dois valores distintos de raio d. Seriam iguais para três valores distintos de raio e. Seriam iguais para mais de três valores distintos de raio


Resumo teórico 56

19. Análise combinatória e

probabilidade

19.2. Princípio fundamental da contagem

Se uma tarefa tem k etapas, e cada etapa pode ser

feita de ni maneiras diferentes, então o número total de

alternativas é

n1n2 ... np

19.3. Permutação

Considere n objetos diferentes. De quantas

maneiras podemos dispor (permutar) esses objetos?

Exemplo:

Objetos a, b, c. Permutações: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Para “n” objetos, o número de permutações é:

Pn = n(n-1)...1

19.4. Arranjo


maneiras podemos escolher p (p ≤ n) desses objetos? Se a

ordem de escolha é importante, temos um arranjo de n

objetos, tomados p a p.

Exemplo: Arranjo de 3 objetos (a, b, c), tomados 2 a 2 (n = 3

e p = 2): ab, ac, ba, bc, ca, cb.

Número de arranjos de n objetos, tomados p a p:

A(n, p) = n(n-1)...(n-k+1) ou

19.5. Combinação


maneiras podemos escolher p (p ≤ n) desses objetos? Se a

ordem de escolha não é importante, temos uma

combinação de n objetos, tomados p a p.

Exemplo: Combinação de 3 objetos (a, b, c), tomados 2 a 2

(n = 3 e p = 2): ab, ac, bc.

Número de combinações de n objetos, tomados k a k:

Exercícios

1. Com as letras a, b, c, d, e, f quantos códigos de quatro

letras poderão ser construídos se:

a) nenhuma letra puder ser repetida? R: 360

b) qualquer letra puder ser repetida qualquer número de

vezes? R: 1.296

2. Uma urna contém as letras A, A, A, R, R, S. Retira-se letra

por letra, sem reposição. Qual é a probabilidade de sair a

palavra ARARAS? R: 1/60

3. Ao retirar quatro cartas, ao acaso e sem reposição, de um

baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de se obter

uma quadra (quatro cartas de mesmo número, uma de cada

naipe)? R: 0,000048

4. Qual é a probabilidade de sair três caras e duas coroas

em cinco lançamentos de uma moeda?R: 5/16

5.Seja um lote com 20 peças, sendo 5 defeituosas. Escolha,

aleatoriamente, 4 peças do lote (uma amostra aleatória de

quatro peças). Qual é a probabilidade de se obter,

exatamente, duas defeituosas na amostra?R: 0,217

)!(

!),(

pn

npnA

!)!(

!

ppn

n

p

n


Resumo teórico 57

6. (Difícil) Numa turma de n alunos, qual é a probabilidade

de haver alguma coincidência de aniversário?

R:

7. Com auxílio de uma calculadora científica ou do

computador, faça o exercício 6 para n = 30. R: 0,7063

8.(SENAI 2008) Seis alunos fizeram um trabalho para a feira de ciências da escola, e dois deles deverão fazer a apresenta-ção em multimídia. O número de duplas que poderá ser for-mado para a apresentação desse trabalho é a. 15 b. 20 c. 25 d. 30 e. 35 9.(SENAI) Numa partida de futebol, a probabilidade de

Francis, o manhoso, ser escalado é de 1

4 , enquanto

que a probabilidade de James, o destemido, ser escalado é

de 15

. A probabilidade de apenas um deles ser escalado é

a. 1

20

b. 2

9

c. 7

20

d. 11

20

e. 7

9

n

nAP

365

),365(1o)aniversári de iacoincidênc(


Resumo teórico 58

20. NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

20.1. Definição A Estatística trata do conjunto de métodos utilizados pa-ra obtenção de dados, sua organização em tabelas e gráficos e a análise dos dados. Através de análises feitas, a partir dos dados organizados, podemos, em muitos casos, fazer previsões, auxiliar na toma- da de desições e, assim, elaborar planos mais precisos para chegar a objetivos pretendidos.

20.2. Conceitos Fundamentais População e Amostra – Em Estatística ao estudarmos um

conjunto de objetos, de indivíduos ou de ocorrências, podemos considerar todo o conjunto, chamado de população, ou parte deste conjunto, chamado de amostra. Imagine, por exemplo, um campeonato quadrangular entre Flamengo, Botafogo, Atlético Mineiro e Grêmio, sendo realizado em um único dia, no Maracanã. Se quisermos saber qual é a composição da torcida que está no estádio, podemos desenvolver o estudo entrevistando:......................................... ▪ o conjunto de todos os torcedores que estão no estádio (população); ▪ ou parte desse conjunto de torcedores (amostra). Portanto: População são grupos, geralmente numerosos de mesmas características que podem ser estudados estatisticamente. Exemplos: 48 alunos que estudam na 5ª série de uma escola; Clubes campeões paulistas de futebol, etc. Amostras são partes de grupos de mesmas características, que geralmente são muito numerosos e que para ser verificado em sua totalidade seria muito dispendioso. Exemplos: 10 alunos de uma escola com 995 alunos;

2000 brasileiros ouvidos para uma pesquisa de opinião política, etc.

20.3. Representação Gráfica Dados estatísticos podem ser representados tanto por tabelas e por quadros de distribuição por freqüência quanto por gráficos. O uso gráfico para representar uma situação estatística pode muitas vezes expor melhor visualmente do que uma tabela estatística, porém o seu uso deve ser feito com bastante cautela, utilizando o gráfico adequado em cada situação, veja alguns casos:

A) Gráfico de Colunas - é um tipo de gráfico muito

utiliza-do em diversas situações, indica quantidades, porcentagens e de fácil comparação entre suas variáveis.

O gráfico acima mostra o desempenho de 3 alunos durante o ano num determinado curso, pode-se perfeitamente verifi-car que João teve o melhor desempenho, seguido de Maria e José teve o pior desempenho.

B) Gráfico de Barras – também é um tipo de gráfico

muito utilizado para comparar diversos tipos de dados e é uma outra variante do gráfico de colunas, sendo amplamente utilizado em jornais, revistas, empresas, etc.

O gráfico demonstra a mesma situação do gráfico de colunas acima, ou seja, as notas de 3 alunos.


Resumo teórico 59

C) Histograma – é um gráfico construído no plano

cartesiano por retângulos em número igual ao número de

classes da distribuição. Cada classe é representada por uma

coluna de altura correspondente a sua freqüência.

Trata-se também de um gráfico de área. É utilizado para

variáveis contínuas, por isso, o gráfico também é contínuo:

as colunas são justapostas. A área de cada coluna é

proporcional à freqüência da classe que representa. Logo, a

área de todo histograma é proporcional à soma total das

freqüências.

Para construir um histograma, representamos as classes no

eixo das abscissas de um sistema cartesiano, utilizando

segmentos de mesma medida. Para cada um deles,

registramos os limites superior e inferior. No ápice do eixo

das ordenadas, registramos o maior valor da freqüência,

dividindo o restante proporcionalmente aos outros valores.

Levantamos então as colunas, justapostas.

...................................................

Quantidade de alunos

D) Setores – Dos gráficos de Estatística, mais importante

que a contribuição de Descartes foi a doescocês William Playfair, que trabalhava com estatísticas comerciais. Em 1786 ele começou a inventar maneiras de representar dados numéricos por meio de figuras. Uma de suas criações foram os gráficos de barras ou colunas, como aqueles de João, José e Maria e suas notas bimestrais. Depois de 1801, ele inventou os gráficos de setores, também chamados de “tortas” ou “pizzas”. Vejamos um exemplo:

O gráfico acima mostra a distribuição populacional nas grandes metrópoles brasileiras e permite um comparativo entre as quantidades de habitantes existentes em cada metrópole, sendo que não confunde o leitor e sim permite uma análise mais ampla da situação no momento. Veja tabela a seguir, geratriz desse gráfico:

REGIÕES METROPOLITANAS POPULAÇÃO PERCENTUAL

Grande S.P. (37 municípios) 15.444.900 37,30%

Grande R.J. (15 municípios) 9.814.600 23,70%

Grande B.H. (14 municípios) 3.436.100 8,30%

Grande Porto Alegre (14 municípios) 3.026.800 7,30%

Grande Recife (9 municípios) 2.874.500 6,90%

Grande Salvador (8 municípios) 2.496.500 6%

Grande Fortaleza (5 municípios) 2.307.000 5,60%

Grande Curitiba (14 municípios) 2.000.800 4,80%

TOTAL 41.401.200 100%

Outro exemplo: Foi feita uma enquete a 1200 alunos de uma escola sobre as atividades esportivas que gostariam de ter na escola. O resultado obtido foi o seguinte:

Atividade Esportiva

Número de Alunos

Voleibol 600

Basquete 200

Futebol 100

Natação 50

Outras 250

Com esses dados pode-se construir uma representação gráfica de setores dessa distribuição, em que usaremos um círculo. Lembrando que uma circunferência completa tem 360º, podemos calcular por meio de uma regra de três simples e direta o ângulo central correspondente a cada uma das atividades desejadas pelos alunos. Assim, temos:


Resumo teórico 60

1200 ------------ 360º à v = 600 x 360º = 180º 600 ------------ v 1200 1200 ------------ 360º à b = 200 x 360º = 60º 200 ------------ b 1200 1200 ------------ 360º à f = 100 x 360º = 30º 600 ------------ f 1200 1200 ------------ 360º à n = 50 x 360º = 15º 50 ------------ n 1200 1200 ------------ 360º à o = 250 x 360º = 75º 250 ------------ o 1200 Com essas medidas, poderemos, então construir com o uso de régua e compasso um gráfico de setores de forma correta, utilizando-se de cores e legenda para representar melhor a opinião dos alunos quanto ao esporte praticado. Veja a construção com o professor.

20.4. – Medidas de tendência central Há certas medidas que são típicas numa distribuição: as de tendência central (médias, medianas) e as de dispersão.

20.4.1. Médias aritméticas Consideremos, em ordem crescente, um rol de notas obtidas por alunos de da turma A: Turma A: 2 3 4 4 5 6 7 7 7 7 8 Sua média aritmética será a soma de todas as notas (60) dividido pela quantidade de notas (11)

Média Turma A: 2+3+4+4+5+6+7+7+7+7+8

11 =

60

11

= = 5,45 A média aritmética da turma A será 5,45

Exercícios

1.(SENAI 2008) Uma avaliação de Matemática foi aplicada em duas turmas, A e B, da segunda série de uma determinada escola. A média das notas dos alunos da turma A foi de 6,0, enquanto que na turma B foi de 7,0. Se a turma A possui 30 alunos e a turma B, 20 alunos, a média geral da segunda série dessa escola será de a. 6,2 b. 6,3 c. 6,4 d. 6,5 e. 6,6

2.(SENAI 2008) Segundo dados do IBGE, em 2000, a expectativa de vida para os homens brasileiros era de 64,8 anos. Admitindo que a partir de 2000 a expectativa de vida dos homens brasileiros esteja aumentando 0,267 anos de vida por ano, pode-se dizer que em 2020 o brasileiro atingirá a.expectativa de vida ao nascer para os homens de a. 67,47 anos. b. 68,80 anos. c. 69,29 anos. d. 70,14 anos. e. 71,47 anos. 3.(SENAI 2008) Paulo fez uma viagem de automóvel para o sul do país e levou 8 horas para chegar ao seu destino. O gráfico abaixo mostra a velocidade média do automóvel, em função do tempo. Lembrando que velocidade corresponde a quantos quilômetros foram percorridos num determinado intervalo de tempo; sabendo que 40 km/h significa que em cada uma hora foram percorridos 40 km, podemos dizer que em 5 horas de viagem, Paulo percorreu

a. 150 km. b. 250 km. c. 350 km. d. 450 km. e. 550 km.

4.(Trajano 2008) Nas Ciências Humanas, a linguagem gráfica auxilia no entendimento das grandes tendências da sociedade, de seu tempo e espaço. Analise o gráfico a seguir.


Resumo teórico 61

A partir da charge, que ilustra o conflito histórico entre patrões e empregados,

e dos dados fornecidos no gráfico, foram feitas as seguintes afirmações sobre o salário mínimo e a distribuição da renda nacional no período 1940-2000.

I. Os trabalhadores de baixa renda obtiveram alguns ganhos em determinados períodos, mas, sobretudo, acu-mularam perdas históricas.

II. A maior parte da renda nacional historicamente se concentrou entre os mais pobres, sendo eles a maioria da população que ganha até 4 salários mínimos.

III. Em determinados períodos, o salário mínimo tende a declinar, em especial quando os trabalhadores são im-pedidos de lutar e se manifestar, como no período pós-1964, durante os regimes militares.

É válido afirmar o contido em

(A) I, II e III.

(B) I e II, apenas.

(C) I e III, apenas.

(D) II e III, apenas.

(E) II, apenas.

5.(Trajano 2007) Em dezembro de 2002, a Empresa Brasileira de Turismo (EMBRATUR) apresentou um relatório sobre o turismo praticado em ambientes naturais conservados, que são aqueles que têm garantida a proteção de seus recursos naturais originais. Para a elaboração do relatório, foi feita uma pesquisa com freqüentadores de algumas dessas unidades de conservação. Após o levantamento dos dados,

construiu-se um gráfico referente aos meios de informação que levaram os turistas a escolher um desses ambientes naturais conservados para a sua viagem de férias.

Analisando o gráfico, pode-se dizer que (A) mais da metade dos pesquisados obtiveram a informação por intermédio de amigos ou parentes. (B) agências de viagens e revistas juntas tiveram, porcentualmente, mais infl uência na decisão do que a Internet. (C) a influência de amigos e parentes é o triplo da influência de publicações especializadas. (D) menos de um quinto dos pesquisados obtiveram informações via televisão. (E) a maioria dos pesquisados obtiveram a informação via Internet.

6.(Trajano 2008) Pesquisadores descobriram que devido ao aquecimento global, os pingüins-reis da Antártida correm o sério risco de virar uma espécie em extinção, já que, a cada 0,26°C que a temperatura da superfície marítima sobe, a população adulta deles diminui em 9%.

Além disso, também notaram que esses animais são “indicadores sensíveis” das mudanças no ecossistema marinho e sofrem de forma ampliada os efeitos da mudança climática. De acordo com estudos, feitos, por meio de marcações subcutâneas de identificação eletrônica, percebeu-se que o aumento da temperatura dos mares afeta não só a oferta de alimentos perto da colônia de pingüins-reis das Ilhas Crozet, um arquipélago subantártico, como interfere no processo de acasalamento das aves. (Adaptado de: http://www1.folha.uol.com.br/folha/ambiente/ult10007u371815.shtml-

13/08/2008)

Sobre esse assunto é correto afirmar que

(A) os pingüins, para sobreviverem nas vastas regiões descongeladas da Antártida, se adaptarão variando constantemente a temperatura corporal.


Resumo teórico 62

(B) os pingüins são dotados de penas, glândulas mamárias, bico e asas, as quais não servem para voar, mas sim para nadar, o que favorece a migração no degelo.

(C) as emissões de nitrogênio e enxofre são condições fundamentais para proteger o continente gelado e a saúde de todo o planeta.

(D) os pingüins são consumidores primários, e a gordura subcutânea atua na proteção contra as temperaturas baixas da água e do vento.

(E) com a mudança de temperatura e salinidade do oceano, os peixes e os camarões poderão desaparecer, os pingüins não terão forças para migrar para outras regiões e provavelmente morrerão de fome.


Resumo teórico 63

21. Lógica e seqüências

21.1. NOÇÕES DE LÓGICA

21.1.1. Sentença ou proposição

Sentença ou proposição é um conjunto de palavras ou

símbolos que exprimem uma idéia.

Exemplos:

a) O elefante é um mamífero b) As árvores falam. c) Há infinitos números primos.

21.1.2. Seqüências

SEQÜÊNCIAS

Questões de Amostra:

Estude cuidadosamente as seguintes questões de amostra

antes de começar os exercícios.

1. Você terá de fazer comparações entre desenhos.

Exemplo: Qual dos cinco faz a melhor comparação?

A resposta é C. Um círculo que é dividido em duas partes

pode ser comparado a um quadrado que é dividido em duas

partes também.

2. Esta questão também poder vir com desenhos.

Exemplo: Qual dos cinco desenhos é menos similar aos

outros quatro?

A resposta é D. Os outros todos são feitos com linhas retas.

Um círculo é uma linha curva.

3. Em algumas questões será pedido para fazer uma

comparação entre palavras.

Exemplo: Qual dos cinco itens faz a melhor comparação? Barco está para água como avião está para:

SOL - CHÃO - ÁGUA - CÉU - ÁRVORE

A resposta é céu. Um barco viaja através da água. Isto pode

ser comparado a um avião que viaja pelo céu.

4. Em algumas questões será dado um grupo de cinco

coisas. Quatro delas terão alguma coisa em comum, elas

serão similares de alguma forma. Você será levado a

escolher aquela que não é similar às outras quatro.

Exemplo: Qual dos cinco elementos é menos parecido com

os outros quatro?

CÃO - CARRO - GATO - PÁSSARO - PEIXE

A resposta é carro. Os outros são seres vivos. Um carro é

inanimado.

5. Em algumas questões serão dados números, ou letras, as

quais estarão em uma certa ordem. Eles seguem algum

critério de arranjo. Entretanto, um deles não. Você terá de

escolher aquele que não se encaixa dentro daquele critério.

Exemplo: Qual desses números não pertence à seguinte série? 1 - 3 - 5 - 7 - 9 - 10 - 11 - 13 A resposta é 10. Começando do 1, os números ímpares são

arranjados em ordem, sendo que 10 não se enquadra nessa

seqüência.

6. Haverá também alguns problemas que você terá de resolver. Estes não requerem nenhuma matemática difícil. Pelo contrário, eles estarão testando o quão lógico você é, ou seja, quão bem você pensa.

OBS: Se uma questão parece ter mais de uma resposta ou

nenhuma resposta correta, escolha aquela que você

considera ser a melhor dentre as alternativas dadas. Estas

questões são formuladas propositalmente para testar sua

habilidade de pensamento e razão.


Resumo teórico 64

Exercícios sobre Seqüências:

A. Seqüências de Figuras

[1] Escolha a figura correta, dentre as cinco

alternativas colocadas abaixo, para preencher o

espaço do ponto de interrogação:

[2] Qual das imagens abaixo completa melhor a seqüência

superior?

[3] Qual das imagens abaixo completa melhor a seqüência

superior?

4. Três candidatos a um emprego José, João e Joaquim

submeteram-se a bateria de testes reproduzidas a seguir.

Em todos os testes eles deveriam escolher entre as figuras

enumeradas, aquela que deveria ocupar a vaga assinalada

pelo ponto de interrogação.


Resumo teórico 65

5.

6.

7.

7.

8.

9.(Trajano 2007) Um dos passatempos de Júlia é jogar o

sudoku, um quebra-cabeça lógico que virou uma febre


Resumo teórico 66

mundial. Como estratégia para preencher a grade de sudoku a seguir, Júlia começou analisando as possibilidades de preenchimento da oitava linha e deduziu, corretamente, qual o número a ser colocado na casa marcadacom a bolinha preta.

O número colocado por Júlia foi (A) 1. (B) 4. (C) 6. (D) 7. (E) 9.

10.(Trajano 2008) Considere, da esquerda para a direita, a seguinte seqüência de figuras:

Logo, a próxima figura da seqüência será:

(A) (B) (C) (D) (E)


Resumo teórico 67

Anexos

Conteúdo Programático Vestibulinho 2010

Português

Gramática : - Ortografia. Estrutura e formação das palavras. Classes de palavras. Análise sintática do período simples e composto. Conjunção de verbos regulares e irregulares - emprego de tempos e modos. Vozes do verbo. Concordâncias verbal e nominal. Emprego e colocação dos pronomes. Regências verbal e nominal. Figuras de linguagem.

Matemática

Números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Potenciação, radiciação. Expressões algébricas. Produtos notáveis e fatorações. Razões e proporções. Porcentagem e Equações de 1º e 2º graus - Problemas de aplicações. Sistemas de equações de 1º grau. Elementos fundamentais da geometria plana e semelhança de figuras planas.Relações métricas no triângulo retângulo.Área de figuras planas. Noções de estatística.

Ciências Físicas

Ar: Massa de ar. Pressão atmosférica. Relação entre pressão atmosférica e altitude.

Movimento: Conceito de movimento e repouso. Características do movimento e repouso. Características do movimento uniforme. Características do movimento uniformemente variado.

Força: Medida de força. Diferença entre peso e massa. Forças que se opõem ao movimento. Resultante de sistema de força.

Energia: Trabalho. Potência. Formas de energia. Transformação de energia.

Calor: Temperatura e calor. Propagação do calor. Bons e maus condutores de calor. Dilatação térmica.

Ondas: Propriedades do som. Propagação do som.

Eletricidade: Bons e maus condutores de eletricidade. Eletricidade estática. A corrente elétrica.

Magnetismo: Ímãs e suas propriedades. Magnetismo terrestre.

Propriedades da Matéria: Gerais. Específicas. Mudanças do estado físico da matéria.

Constituição da Matéria: O átomo. Cargas elétricas. Íons. Número atômico e número de massa.

Elemento químico: Simbologia e representação. Isótopos, isóbaros e isótonos. Classificação periódica dos elementos: metais, não metais e gases nobres.

Ligações químicas: Substâncias simples e substâncias compostas. Ligação iônica e ligação covalente.

Misturas e reações químicas: Processos de separação de misturas homogêneas e heterogêneas. Reações químicas - equação química. Classificação das reações químicas. Lei de Lavoiser ( conservação das massas). Funções inorgânicas ( ácido/base).

Ciências Biológicas e Programas de Saúde

Corpo Humano: Organização celular. Organização e funcionamento dos aparelhos humanos. Órgãos do sentido. Hereditariedade: reprodução e transmissão de características.

Programas de saúde: Doenças sexualmente transmissíveis: contágio, conseqüências e prevenção. Nutrição e saúde:tipos de alimentos e alimentação equilibrada. O problema das drogas.

Seres vivos: Características gerais dos seres vivos: bactérias, fungos, protozoários, vírus, animais vertebrados e invertebrados e vegetais superiores.

Meio Ambiente: Organização do ecossistema. Relações ecológicas entre os seres vivos. Interação homem e meio ambiente: Importância da qualidade da água, tratamento de lixo e esgoto e poluição atmosférica, desmatamento.

Ciclo biogeoquímicos: Ciclo da água, do oxigênio e do carbono

Education

Apostila matemática vestibulinho