apostila_resmatIX

5/28/2018 apostila_resmatIX

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

CENTRO TECNOLGICOESCOLA DE ENGENHARIA

Departamento de Engenharia Civil

RESISTNCIA DOS MATERIAIS IX

Flvia Moll de Souza Judice

Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro

2005


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Universidade Federal Fluminense Flvia Moll de S. JudiceMayra Soares P. L. Perlingeiro

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Notas de Aula Resistncia dos Materiais IX

1

SUMRIO

I Introduo.................................................................................................................... 2II Isosttica..................................................................................................................... 4III Trao e Compresso............................................................................................... 17

IV Cisalhamento Puro.................................................................................................... 26V Toro ........................................................................................................................ 28VI Tenses em Vigas..................................................................................................... 32VII Flexo Composta ..................................................................................................... 40VIII Anlise de Tenses................................................................................................. 45IX Deformao em Vigas............................................................................................... 54X Flambagem ................................................................................................................ 62Bibliografia........................................................................................................................ 69


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2

I INTRODUO

A Resistncia dos Materiais, tambm conhecida como Mecnica dos Slidos ouMecnica dos Corpos Deformveis, tem por objetivo prover mtodos simples para a anlise

dos elementos mais comuns em estruturas.O desenvolvimento histrico da Resistncia dos Materiais uma combinao deteoria e experincia. Homens famosos, como Leonardo da Vinci (1452-1519) e GalileuGalilei (1564-1642) fizeram experincias para determinar a resistncia de fios, barras evigas, sem que tivessem desenvolvido teorias adequadas (pelos padres de hoje) paraexplicar os resultados atingidos. Outros, como Leonhard Euler (1707-1783), desenvolveramteorias matemticas muito antes de qualquer experincia que evidenciasse a importncia doseu achado.

O curso aqui apresentado inicia com a discusso de alguns conceitos fundamentais,tais como tenses e deformaes, para em seguida, investigar o comportamento deelementos estruturais simples sujeitos trao, compresso e ao cisalhamento.

Sistema Internacional de Unidades (SI):

Quantidade SmboloDimensional

UnidadeBsica

Comprimento L metro (m)Tempo T segundo (s)Massa M quilograma (kg)Fora F Newton (N)

A fora derivada das unidades bsicas pela segunda lei de Newton. Por definio,

um Newton a fora que fornece a um quilograma massa a acelerao de um metro porsegundo ao quadrado. A equivalncia entre unidades 2m/s1kg1N1 = .

Outras unidades derivadas do SI:

Quantidade Unidade Bsicarea metro quadrado (m2)

Tenso Newton por metro quadrado (N/m2)ou Pascal(Pa)

Prefixos de Unidades:

Prefixo Smbolo FatorGiga G 109Mega M 106Quilo k 103Deci d 10-1Centi c 10-2Mili m 10-3

Micro 10-6Nano n 10-9


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3

Na prtica, muitas vezes prefere-se usar o quilonewton (kN), o quilopascal (kPa), omegapascal (MPa) ou o gigapascal (GPa).

2232

1

cm/kgf1m/kN10N/mm1MPa1

tf1kN10

kgf01N1

==


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4

II ISOSTTICA

1 Grandezas Fundamentais

1.1 Fora

As foras so grandezas vetoriais caracterizadas por direo, sentidoe intensidade.

1.2 Momento

O momento representa a tendncia de giro (rotao) em torno de um pontoprovocada por uma fora.

2 Condies de Equil brio

Um corpo qualquer submetido a um sistema de foras est em equilbrio esttico

caso no haja qualquer tendncia translao ou rotao.

As equaes universais da Esttica que regem o equilbrio de um sistema de forasno espao so:

=

=

=

0F

0F

0F

z

y

x

=

=

=

0M

0M

0M

z

y

x

F1

F2

F3

Fn.....

iii dFM =

M2

F1

F3

F2

M1

Fidi

O

.


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5

3 Graus de Liberdade

Uma estrutura espacial possui seis graus de liberdade: trs translaes e trsrotaes segundo trs eixos ortogonais.

A fim de evitar a tendncia de movimento da estrutura, estes graus de liberdade

precisam ser restringidos.Esta restrio dada pelos apoios (vnculos), que so dispositivos mecnicos que,por meio de esforos reativos, impedem certos deslocamentos da estrutura. Estes esforosreativos (reaes), juntamente com as aes (cargas aplicadas estrutura) formam umsistema em equilbrio esttico.

3.1 Tipos de Apoio

Classificam-se em trs categorias:

a) Apoio mvel ou do 1 gnero capaz de impedir o movimento do ponto

vinculado do corpo numa direo pr-determinada;

A representao esquemtica indica a reao de apoio R na direo do nicomovimento impedido (deslocamento na vertical).

b) Apoio fixo ou do 2 gnero ou rtu la capaz de impedir qualquer movimento doponto vinculado do corpo em todas as direes, permanecendo livre apenas arotao;

APOIOFIXO

SMBOLO

rtula V

H

APOIOMVEL SMBOLO

Pino deslizante rolete R


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6

c) Engaste ou apoio do 3 gnero capaz de impedir qualquer movimento do ponto

vinculado do corpo e o movimento de rotao do corpo em relao a esse ponto.

3.2 Estaticidade e Estabil idade

a) Estruturas isostticas

Quando o nmero de movimentos impedidos igual ao estritamente necessrio paraimpedir o movimento de corpo rgido da estrutura, diz-se que a estrutura isosttica,

ocorrendo uma situao de equilbrio estvel.

equilbriodeequaesNreaesN oo =

b) Estruturas hipostticas

Quando o nmero de movimentos impedidos menor que o necessrio para impediro movimento de corpo rgido da estrutura, diz-se que a estrutura hiposttica, ocorrendouma situao indesejvel de equilbrio instvel.

c) Estruturas hiperestticas

SMBOLO

ENGASTE

V

H

M

A B

VA VB

HB

C

VC

MC

HC

A B

VA VB

C

VC

HC

A B

VA VB

HB

C

VC

MC

HCHA

D

HD


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7

Quando o nmero de movimentos impedidos maior que o necessrio para impediro movimento de corpo rgido da estrutura, diz-se que a estrutura hiperesttica, ocorrendouma situao indesejvel de equilbrio estvel.

Nesse caso, as equaes universais da Esttica no so suficientes para adeterminao das reaes de apoio, sendo necessrias equaes adicionais decompatibilidade de deformaes.

4 Classificao das Estruturas

a) Vigas so elementos estruturais geralmente compostos por barras de eixosretilneos que esto contidas no plano em que aplicado o carregamento.

b) Prticos (ou Quadros) so elementos compostos por barras de eixos retilneosdispostas em mais de uma direo submetidos a cargas contidas no seu plano.Apresentam apenas trs esforos internos: normal, cortante, momento fletor.

c) Trelias so sistemas reticulados cujas barras tm todas as extremidades rotuladas(as barras podem girar independentemente das ligaes) e cujas cargas soaplicadas em seus ns. Apresentam apenas esforos internos axiais.

d) Grelhas so estruturas planas com cargas na direo perpendicular ao plano,incluindo momentos em torno de eixos do plano. Apresentam trs esforos internos:esforo cortante, momento fletor, momento torsor.

viga apoiada viga em balano

prtico plano


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5 Tipos de Carregamento

a) Cargas concentradas so uma forma aproximada de tratar cargas distribudassegundo reas muito reduzidas (em presena das dimenses da estrutura). Sorepresentadas por cargas aplicadas pontualmente;

b) Cargas dis tribudas so cargas distribudas continuamente. Os tipos mais usuaisso as cargas uniformemente distribudas e as cargas triangulares (casos deempuxos de terra ou gua).

c) Cargas-momento so cargas do tipo momento fletor (ou torsor) aplicadas em umponto qualquer da estrutura.

6 Esforos Simples

Consideremos o corpo da figura submetido ao conjunto de foras em equilbrioindicadas. Seccionemos o corpo por um plano P que o intercepta segundo uma seo S,dividindo-o nas duas partes Ee D.

Para ser possvel esta diviso, preservando o equilbrio destas duas partes, bastaque apliquemos, na seo S da parte E, um sistema esttico equivalente ao das foras queficaram na parte da direita e, analogamente, na seo S da parte D, um sistema estticoequivalente ao das foras situadas na parte da esquerda. Esses esquemas estticosequivalentes so obtidos reduzindo as foras esquerda e direita da seo Sao centridedesta seo.

Resumindo: a resultante R

r

que atua na parte da esquerda obtida pelas foras da direitae vice-versa. O momento resultante mr

que atua na parte da esquerda foi obtido pelasforas da direita e vice-versa.

F

M

q q

E

m

SR

D

m

S

R


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9

Uma seo Sde um corpo em equilbrio est, em equilbrio, submetida a um par de

foras Rr

e (-Rr

) e a um par de momentos mr

e (- mr

) aplicados no seu centride eresultantes da reduo, a este centride, das foras atuantes, respectivamente, esquerdae direita da seo S.

Decompondo os vetores Rr

e mr

em duas componentes, uma perpendicular seo

Se outra situada no prprio plano da seo S, obtemos as foras Nr

(perpendicular a S) e

Qr

(pertencente a S) e os momentos Tr

(perpendicular a S) er

(pertencente a S), aosquais chamamos esforos simples atuantes na seo S.

OBS: indiferente calcular os esforos simples atuantes numa seo entrando com asforas da parte esquerda ou da parte direita da seo na prtica. Usaremos as foras do

lado que nos conduzir ao menor trabalho de clculo.

a) Esforo normal Nr

tende a promover variao da distncia que separa as sees,permanecendo as mesmas paralelas uma outra.

O esforo normal ser positivoquando de trao, ou seja, quando tender a afastarduas sees infinitamente prximas, e negativo quando de compresso.

b) Esforo cortante Qr

tende a promover o deslizamento relativo de uma seo emrelao outra (tendncia de corte).

Dizemos que o esforo cortante Qr

positivo quando, calculado pelas forassituadas do lado esquerdo da seo, tiver o sentido positivo do eixo ye quando calculado

pelas foras situadas do lado direito da seo, tiver o sentido oposto ao sentido positivo doeixo y.

M

R

m

xN

QT

xC

C

NN NN

ds

m

R

m

SR CC


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c) Momento torsor Tr

tende a promover uma rotao relativa entre duas seesinfinitamente prximas em torno de um eixo que lhes perpendicular, passando peloseu centro de gravidade (tendncia de torcer a pea).

O momento torsor positivoquando o vetor de seta dupla que o representa estivercomo que tracionando a seo.

d) Momento fletorr

tende a provocar uma rotao da seo em torno de um eixosituado em seu prprio plano.

Como um momento pode ser substitudo por um binrio, o efeito de

r

pode serassimilado ao binrio da figura, que provoca uma tendncia de alongamento em uma daspartes da seo e uma tendncia de encurtamento na outra parte, deixando a pea fletida.

Para o momento fletor, desejamos conhecer que fibras esto tracionadas e quefibras esto comprimidas (para, no caso das vigas de concreto armado, por exemplo,sabermos de que lado devemos colocar as barras de ao, que so o elemento resistente trao).

A figura mostra a conveno de sinais adotada.

T

ds

T

Mds

M

Tra o

Compresso

Q

QQQ

ds


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7 Determinao da Resultante de um Carregamento Distr ibudo

Uma carga distribuda pode ser tratada como uma soma infinita de cargasconcentradas infinitesimais, dsq , cuja resultante :

=B

A

dsqR (1)

A Eq. (1) indica que a resultante do carregamento distribudo igual rea limitada entre a curva que define a lei de variao do carregamento e o eixo da estrutura.

Para obtermos a posio desta resultante, aplicamos o Teorema de Varignon omomento de um sistema de foras em equilbrio igual ao momento da resultante dasforas.

Chamando s a distncia da resultante a um ponto genrico O, temos:

Momento da resultante: =B

A

dsqssR

Soma dos momentos das componentes: ( ) sdsqB

A

Igualando:

=B

A

B

A

dsq

dssq

s

que a razo entre o momento esttico da rea em relao ao eixo ze o valor dessarea. Isto indica que s a distncia do centride da rea ao eixo z.

Finalmente, a resultante de um carregamento distribudo igual reacompreendida entre a linha que define este carregamento e o eixo da barra sobre a qualest aplicado, sendo seu ponto de aplicao o centride da rea referida.

s

s

R

q.ds

z

A BOds


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8 As Equaes Fundamentais da Esttica. Diagramas de Esforos

As equaes fundamentais da Esttica, deduzidas para uma viga com carga verticaluniformemente distribuda, so:

ss QdsdM = (2)

)s(qds

dQs = (3)

Essas expresses permitem obter os esforos solicitantes nas diversas sees daviga em funo do carregamento q(x)atuante.

A representao grfica dos esforos nas sees ao longo de todo o elemento feitaa partir dos diagrama de esforos (linhas de estado).

Com base na Eq. (2), temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama demomentos fletores numa seo S igual ao esforo cortante nela atuante.

A partir da Eq. (3), temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama deesforos cortantes numa seo S igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seo como sinal trocado.

8.1 Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas Carga Concentrada

== 0H0F Bx =+= PVV0F BAy

l

bPV

l

aPV0aPlV0M ABBA

=

===

A B

VA VB

HB

a b

P

l

lbaP

laP

DEC

DMF

lbP


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Pelas Eq. (2) e (3), sabemos que, num trecho descarregado ( 0q= ), o DEC ser

uma reta horizontal

== 0qds

dQe o DMF ser uma reta

== tetanconsQds

dM.

OBS:

a) O DMF possui um ponto anguloso em S, pois temos esqsesqs

Qds

dM=

e

dirsdirs

Qds

dM=

e, no caso, dirsesqs QQ ;

b) Na seo S, no se define o esforo cortante; ele definido esquerda e direita daseo, sofrendo nela uma descontinuidade igual a P.

Concluso: Sob uma carga concentrada, o DMF apresenta um ponto anguloso e o DECapresenta uma descontinuidade igual ao valor dessa carga.

8.2 Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas Carga Uniformemente Distr ibuda

== 0H0F Bx =+= lqVV0F BAy

2

lqV

2

lqV0

2

llqlV0M ABBA

=

===

Numa seo genrica S, temos:

=

=

2

22

sl

x

l

x

2

lq

2

xxqx

2

lqM

xq2

lqQs

=

q

A B

VA VB

HB

x

l

q


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O DEC ser uma linha reta que fica determinada pelos seus valores extremoscorrespondentes a 0x= e lx= , que so:

2

lqQA

=

2

lqQB

=

O DMF ser uma parbola de 2 grau, passando por zero emA e Be por um mximo

em 2lx= (seo onde 0

dx

dMQ == ), de valor

8

lq

4

1

2

1

2

lqM

22

max

=

= .

Concluso: Sob carga uniformemente distribuda, o DMF parablico do 2 grau e o DEC retilneo.

* Construo Geomtrica do DMF

a) Sendo8

lqMM

2

1

= , marcamos 121 MMMM =

b) Dividimos os segmentos 2AM e 2BM em partes iguais (por exemplo: oito), obtendoos pontos I a VII e I a VII que, ligados alternadamente, nos do tangentes externas parbola que , ento, facilmente obtida.

2lq

DEC

8

lqM 2max =

DMF

2lq

VIIVI

VIV

IIIII

I

VIIVI

VIV

IIIII

I

BA

M1

M2

M

8lq 2

8

lq 2


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15

8.3 Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas Carga-Momento

== 0H0F Bx =+= 0VV0F BAy

l

MV

l

MV0MlV0M ABBA ====

Concluso: O DMF, na seo de aplicao da carga-momento,sofre uma descontinuidadeigual ao momento aplicado.

Roteiro para traado dos diagramas de esforos

a) Clculo das reaes de apoio a partir das equaes da Esttica;b) Determinao dos esforos seccionais em todos os pontos de aplicao ou transio

de carga.

Normas:

a) Os valores dos esforos seccionais sero marcados em escala, em retasperpendiculares ao eixo da pea, nos pontos onde esto atuando;

b) Valores positivos de esforo normal e esforo cortante sero marcados para cimanas barras horizontais e para fora nas verticais (ou inclinadas);

MA B

VA VB

HB

a b

laM

l

M

DEC

DMF

l

bM

NQ


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c) Valores positivos de momento fletor sero marcados para baixo nas barrashorizontais ou para dentro nas verticais (ou inclinadas);

d) Sob a ao de uma carga concentrada, o diagrama de momento fletor apresenta umponto anguloso e o diagrama de esforo cortante uma descontinuidade deintensidade igual ao da carga atuante;

e) Sob a ao de uma carga-momento, o diagrama de momento fletor apresenta umadescontinuidade de intensidade igual ao da carga-momento;

f) Num trecho descarregado, o diagrama de esforo cortante apresenta uma linhaparalela em relao ao eixo da pea;

g) Sob a ao de uma carga uniformemente distribuda, o diagrama de esforo cortanteapresenta uma linha inclinada em relao ao eixo da pea. J o diagrama demomento fletor apresenta uma curva de grau duas vezes superior ao da ordenada decarga no trecho.

M

DECDMF

DMF

DECDMF


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III TRAO E COMPRESSO

1 Tenses e deformaes em barras carregadas axialmente

Seja a barra com seo transversal constante e comprimento L, submetida s forasaxiais Pque produzem trao, conforme mostra a figura.

A tenso, uniformemente distribuda na seo transversal da barra, devida ao dafora P, :

A

P=

O alongamento total da barra designado pela letra . O alongamento especfico oualongamento relativo ou deformao (alongamento por unidade de comprimento) dadopor:

L

=

2 Propr iedades Mecnicas

2.1 Teste de trao. Diagrama Tenso-Deformao

A relao entre as tenses e as deformaes, para um determinado material, encontrada por meio de um teste de trao.

Um corpo-de-prova, em geral uma barra de seo circular, colocado na mquinade testar e sujeito trao.

A fora atuante e os alongamentos resultantes so medidos proporo que a cargaaumenta.

As tenses so obtidas dividindo-se as foras pela rea da seo transversal dabarra e a deformao especfica dividindo-se o alongamento pelo comprimento ao longo doqual ocorre a deformao.

A figura seguinte mostra, esquematicamente, o ensaio na mquina universal detrao e compresso.

L

P

P


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A forma tpica do diagrama tenso-deformao do ao mostrada na figura seguinte.Nesse diagrama, as deformaes axiais encontram-se representadas no eixo horizontal e astenses correspondentes no eixo das ordenadas.

No trecho de 0 a A, as tenses so diretamente proporcionais s deformaes e o

diagrama linear. Alm desse ponto, a proporcionalidade j no existe mais e o ponto A chamado de limite de proporcionalidade.

2

1 cilindro e mbolo2 bomba hidrulica (medidor de vazo)3 mesa (chassi) mvel4 corpo de prova para trao5 corpo de prova para compresso6 mesa (chassi) fixo7 manmetro (medidor de presso)8 fluido hidrulico

x

x

1

7

3 4

5

6

8

1 2 3 4 5 6 7 x104()

50

100

200

250

300

350

150

(MPa)

A

B

D

E

E

F

O

C


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Com o aumento da carga, as deformaes crescem mais rapidamente do que astenses, passando a aparecer uma deformao considervel sem que haja aumentoaprecivel da fora de trao. Esse fenmeno conhecido como escoamentodo material ea tenso no ponto B denominada tenso de escoamento.

Na regio BC, diz-se que o material tornou-se plsticoe a barra pode deformar-seplasticamente, da ordem de 10 a 15 vezes o alongamento ocorrido at o limite deproporcionalidade.

No ponto C, o material comea a oferecer resistncia adicional ao aumento da carga,acarretando acrscimo de tenso para um aumento de deformao, atingindo o valormximo ou tenso mxima (tenso de ruptura) no ponto D. Alm desse ponto, maiordeformao acompanhada por uma reduo da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura docorpo-de-prova no ponto E do diagrama.

Durante o alongamento da barra, h contrao lateral, que resulta na diminuio darea da seo transversal. Isto no tem nenhum efeito no diagrama tenso-deformao ato ponto C. Porm, deste ponto em diante, a reduo da rea faz com que a tensoverdadeira seja sempre crescente (como indicado na linha pontilhada at E).

a favor da segurana adotar-se como valor das tenses limites aquelas calculadas

como se a rea se mantivesse com seu tamanho original, obtendo-se valores para a tensoligeiramente menores do que os reais.Alguns materiais no apresentam claramente no diagrama tenso-deformao todos

os pontos anteriormente citados. Para que se possa determinar o ponto de escoamentodesses materiais, convencionou-se adotar uma deformao residual de 0,2%. A partir dessadeformao, traa-se uma reta paralela ao trecho linear AO, at atingir a curva tenso-deformao.

A presena de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grandedeformao plstica, uma das caractersticas do ao.

a) diagrama x tpico de b) diagrama x tpico dematerial dctil material frgil

Tanto os aos quanto as ligas de alumnio podem sofrer grandes deformaes antesda ruptura, sendo classificados como dcteis. Por outro lado, materiais frgeis ouquebradios quebram com valores relativamente baixos das deformaes.

As cermicas, o ferro fundido, o concreto, certas ligas metlicas e o vidro soexemplos desses materiais.

possvel traar diagramas anlogos aos de trao, para vrios materiais sobcompresso, estabelecendo-se tenses caractersticas, tais como limite deproporcionalidade, escoamento e tenso mxima.

Para o ao, verificou-se que as tenses do limite de proporcionalidade e doescoamento so, aproximadamente, as mesmas na trao e na compresso.

Para muitos materiais quebradios, as tenses caractersticas em compresso so

muito maiores que as de trao.

0

0


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3 Elasticidade

Os diagramas tenso-deformao ilustram o comportamento dos materiais, quandocarregados por trao (ou compresso).

Quando um corpo-de-prova do material descarregado, isto , a carga gradualmente reduzida at zero, a deformao sofrida durante o carregamentodesaparecer parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende aretornar forma original, denominada elasticidade.

Quando o material volta completamente forma original, diz-se que perfeitamenteelstico. Se o retorno no for total, diz-se que parcialmente elstico. Nesse caso, adeformao que permanece depois da retirada da carga denominada deformaopermanente.

O processo de carregamento e descarregamento do material pode ser repetidosucessivamente, para valores cada vez mais altos de trao. tenso cujodescarregamento acarrete uma deformao residual permanente, chama-se limite elstico.

Para os aos e alguns outros materiais, os limites elstico e de proporcionalidadeso aproximadamente coincidentes. Materiais semelhantes borracha possuem uma

propriedade a elasticidade que pode continuar muito alm do limite deproporcionalidade.

3.1 Lei de Hooke

Os diagramas tenso-deformao da maioria dos materiais apresentam uma regioinicial de comportamento elstico e linear.

A relao linear entre a tenso e a deformao, no caso de uma barra em trao,pode ser expressa por:

=E

onde E uma constante de proporcionalidade conhecida como mdulo de elasticidadedomaterial.

Este o coeficiente angular da parte linear do diagrama tenso-deformao e diferente para cada material. O mdulo de elasticidade tambm conhecido como mdulode Younge a equao anterior chamada de Lei de Hooke.

Quando uma barra carregada por trao simples, a tenso axial A

P= e a

deformao especfica

L

= .

Combinando estas expresses com a lei de Hooke, tem-se que o alongamento da

barra AE

LP

= .

Esta equao mostra que o alongamento de uma barra linearmente elstica diretamente proporcional carga e ao seu comprimento e inversamente proporcional aomdulo de elasticidade e rea da seo transversal.

O produto AE conhecido como rigidezaxial da barra.A flexibilidade da barra definida como a deformao decorrente de uma carga

unitria. Da equao anterior, vemos que a flexibilidade AEL

.

De modo anlogo, a rijezada barra definida como a fora necessria para produzir

uma deformao unitria. Ento, a rijeza igual a LAE , que o inverso da flexibilidade.


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21

Vrios casos que envolvem barras com carregamento axial podem ser solucionados

aplicando-se a expresso:AE

LP

= .

A figura mostra uma barra carregada axialmente. O procedimento para determinaoda deformao da barra consiste em obter a fora axial em cada parte da barra (AB, BC e

CD) e, em seguida, calcular separadamente o alongamento (ou encurtamento) de cadaparte.

A soma algbrica dessas variaes de comprimento dar a variao total decomprimento da barra, tal que:

=

=

n

1i ii

ii

AE

LP

O mesmo mtodo pode ser usado quando a barra formada por partes comdiferentes sees transversais.

3.2 Coeficiente de Poisson. Variao volumtrica

Conforme foi dito anteriormente, quando uma barra tracionada, o alongamentoaxial acompanhado por uma contrao lateral, isto , a largura torna-se menor e seucomprimento cresce.

A relao entre as deformaes transversal e longitudinal constante, dentro daregio elstica, e conhecida como relao ou coeficiente de Poisson; dada por:

0,5)(0axialdeformao

lateraldeformao=

Para os materiais que tm as mesmas propriedades elsticas em todas as direes,denominados isotrpicos, Poisson achou = 0,25.

P P

aL

P

P

a

b

2P

2P

A

B

C

D

L1

L2

L3

P


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Para fins prticos, o valor numrico de o mesmo, independentemente do materialestar sob trao ou compresso.

Conhecendo-se o coeficiente de Poisson e o mdulo de elasticidade do material,pode-se calcular a variao do volume da barra tracionada. Tal variao mostrada nafigura seguinte.

Inicialmente, o cubo que tinha dimenses unitrias, sofre alongamento na direo dafora P e encurtamento das arestas na direo transversal. Assim, a rea da seo

transversal do cubo passa a ser ( )21 e o volume passa a ser ( ) ( )211 + .

Desenvolvendo a expresso, chega-se a:

( ) ( )

( )( )( )3222222

2

221'V211'V

11'V

+++=++=

+=

Desprezando-se os termos de ordem superior, obtm-se:

( ) += 21'V

A variao do volume dada pela diferena entre os volumes final e inicial:

( ) ( ) =+== 21121VV'V

A variao do volume unitrio expressa por:

( )

= 21V

V

A equao anterior pode ser usada para calcular a variao do volume de uma barratracionada, desde que se conheam a deformao e o coeficiente de Poisson .

Como no razovel admitir-se que um material diminua de volume quandotracionado, pode-se concluir que sempre menor do que 0,5.

1

1

1

.

.

PP


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23

4 Tenso Admissvel ou Tenso-Limite

Para permitir sobrecargas acidentais, bem como para levar em conta certasimprecises na construo e possveis desconhecimentos de algumas variveis na anliseda estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente de segurana.

Para os materiais dcteis, tem-se1

y

>

.

Para os materiais frgeis, tem-se1

u

>

.

No concreto armado, 15,1ao= e 4,1conc= .

5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas

Haver casos em que as equaes de equilbrio no so suficientes para se chegars solicitaes da estrutura. As equaes a mais, necessrias para solucionar o problema,so encontradas nas condies de deformao.

Um exemplo de estrutura estaticamente indeterminada mostrado na figuraseguinte.

A barra AB tem as extremidades presas a suportes rgidos e est carregada comuma fora Fem um ponto intermedirio C.

As reaes RAe RBaparecem nas extremidades da barra, porm suas intensidadesno podem ser calculadas apenas pela Esttica. A nica equao fornecida pelo equilbrio:

FRR BA =+

Sabe-se, porm, que a variao de comprimento da barra nula; logo:

0LL0L 21 =+=

( )0

AE

LFR

AE

LR 2A1A =

+

0LFLRLR 22A1A =+

( )221A

LFLLR =+

DENF

A

R

L1 L2

C B

R

+

RA

RA-F

+


25/70


________________________________________________________________________________________________


24

( ) L

LF

LL

LFR 2

21

2A =+

=

L

LF

L

LFFR 12B ==

O diagrama real do esforo normal :

6 Tenses Trmicas

Como sabido, as dimenses dos corpos sofrem alteraes em funo da variaode temperatura.

Quando a estrutura estaticamente determinada, a variao uniforme datemperatura no acarreta nenhuma tenso, j que a estrutura capaz de se expandir ou secontrair livremente.

Por outro lado, a variao de temperatura em estruturas estaticamenteindeterminadas produz tenses nos elementos, denominadas tenses trmicas.

A propriedade fsica que estabelece a relao de proporcionalidade entre a variao

da dimenso longitudinal de uma pea e a variao de temperatura correspondente denominada coeficiente de dilatao trmica.

Seja a barra da figura restringida pelos apoios A e B.Com a variao de temperatura, a barra tende a se deformar. Porm, os apoios

impedem essa deformao e surgem reaes nos apoios iguais a R.

O diagrama de esforo normal :

-

+L

LF 2

DEN

L

LF 1

A

B

L

R

R


26/70


________________________________________________________________________________________________


25

Como a variao de comprimento da barra nula, tem-se:

0LL TN =+

0TLAE

LR

- =+

AETR =

ETA

Rx =

=

-

R

DEN


27/70


________________________________________________________________________________________________


26

IV CISALHAMENTO PURO

Vimos que as foras axiais provocam tenses normais nos elementos estruturais.

No entanto, pode ocorrer que as foras atuantes no elemento estejam inclinadas com

relao sua seo transversal. Nesse caso, essas foras podem ser decompostas emcomponentes paralelas e perpendiculares ao plano de corte considerado. A componentenormal N seo transversal do elemento ir provocar tenso normal (sigma) e acomponente vertical Vir provocar tenso de cisalhamento (tau).

Concluso: as tenses normais resultam de esforos perpendiculares ao plano de corte,enquanto as tenses de cisalhamento resultam de esforos paralelos a esse mesmo plano.

Consideremos duas chapas A e B ligadas pelo rebite CD.

onde a rea da seo transversal do rebite denominada por A.

Sob a ao da fora F, surgem esforos cortantes (tangenciais) seo transversal

do rebite e, portanto, tenses de cisalhamento cuja intensidade mdia A

Fmed= .

A fim de visualizar as deformaes produzidas por uma tenso de cisalhamento,consideremos o cubo elementar (elemento infinitesimal) submetido tenso de

cisalhamento na sua face superior.

Como no h tenses normais agindo sobre o elemento, seu equilbrio na direo

horizontal s possvel se, na face inferior, existir tenso de cisalhamento igual e emsentido contrario da face superior. Alm disso, essas tenses de cisalhamento iroproduzir momento que deve ser equilibrado por outro momento originado pelas tenses queatuam nas faces verticais. Portanto, essas tenses de cisalhamento devem ser tambmiguais a para que o elemento permanea em equilbrio.

Um elemento sujeito apenas s tenses de cisalhamento mostradas na figuraanterior dito em cisalhamento puro.

Concluso:a) as tenses de cisalhamento que agem em um elemento ocorrem aos pares, iguais e

opostos;b) as tenses de cisalhamento existem sempre em planos perpendiculares entre si.

Tais tenses so iguais em intensidade e tm sentidos opostos que se aproximamou se afastam da linha de interseo dos planos.

C

F

DA B F


28/70


________________________________________________________________________________________________


27

A deformao do elemento infinitesimal est representada na figura abaixo, quemostra a face frontal do cubo submetido a cisalhamento puro. Como no h tensesnormais agindo no elemento, os comprimentos das arestas ab, bc, cd e ac no variam,porm o quadrado de lado abcdtransforma-se no paralelogramo representado em tracejado.

O ngulo no vrtice c, que media 2 antes da deformao, fica reduzido a 2 .

Ao mesmo tempo, o ngulo no vrtice a ficar aumentado para +2 . O ngulo a

medida da distoro do elemento provocada pelo cisalhamento, e denominadodeformao de cisalhamento. Pela figura, nota-se que a deformao de cisalhamento igual ao deslizamento horizontal da aresta superior em relao aresta inferior, dividido peladistncia entre essas duas arestas (altura do elemento).

A determinao das tenses de cisalhamento em funo das deformaes decisalhamento pode ser feita a partir de um teste de cisalhamento puro, obtendo-se odiagrama tenso-deformao de cisalhamento do material, cujo aspecto muito semelhanteao diagrama tenso-deformao obtido do ensaio de trao.

Assim, se o material tiver uma regio elstica-linear, o diagrama tenso-deformaode cisalhamento ser uma reta e as tenses de cisalhamento sero proporcionais sdeformaes de cisalhamento:

= G

onde G o mdulo de elasticidade ao cisalhamento do material, tambm conhecido comomdulo de elasticidade transversal.

O mdulo de elasticidade transversal relaciona-se com o mdulo de elasticidadelongitudinal do material de acordo com a seguinte expresso:

( )+=

12

EG

a b

c d


29/70


________________________________________________________________________________________________


28

V TORO

1 Toro em Barras de Seo Circular

Seja a barra de seo transversal circular submetida ao momento torsor Tem suas

extremidades.

Durante a toro, haver rotao em torno do eixo longitudinal, de uma extremidadeda barra em relao outra.

Considerando-se fixa a extremidade esquerda da barra, a da direita gira num ngulo (em radianos) em relao primeira. Ao mesmo tempo, uma linha longitudinal nasuperfcie da barra, tal como nn, gira num pequeno ngulo para a posio nn.

Analisando um elemento retangular abcdde largura dxna superfcie da barra, nota-se que, sob a ao da toro, este elemento sofre distoro e os pontos be dmovem-separa be d, respectivamente. Os comprimentos dos lados do elemento no variam durante

esta rotao, porm os ngulos dos vrtices no continuam retos.Tem-se, ento, que o elemento encontra-se em estado de cisalhamento puroe que

a deformao de cisalhamento igual a:ab

bb= .

Chamando de do ngulo de rotao de uma seo transversal em relao outra,chega-se a dRbb = .

Sabendo que a distncia ab igual a dx, ento:dx

dR

= .

Quando uma barra de seo circular (eixo) est sujeita a toro pura, a taxa devariao ddo ngulo de toro constante ao longo do comprimento dx da barra. Esta

constante o ngulo de toro por unidade de comprimento, designado por.Assim, tem-se:

T

n

n

L

x dx

T

n

R

a

d

dx

c

b

dd

b

R


30/70


________________________________________________________________________________________________


29

L

RR

==

As tenses de cisalhamento que agem nas faces laterais do elemento tm ossentidos mostrados na figura anterior.

A intensidade da tenso de cisalhamento obtida pela Lei de Hooke:

== RGG

onde G o mdulo de elasticidade transversal do material, igual a( )+ 12E

.

O estado de tenso no interior de um eixo pode ser determinado de modo anlogo,bastando substituir Rpor r, tal que a deformao de cisalhamento :

= r

e a tenso de cisalhamento :

= rG

Essas equaes mostram que a deformao e a tenso de cisalhamento variamlinearmente com o raio r, tendo seus valores mximos na superfcie do eixo.

O momento torsor de todas as foras em relao ao centride da seo transversal:

JGdArGdArGdArT

A

2

A

2

A

====

onde J o momento de inrcia polar da seo transversal, igual a

A

2 dAr .

Para uma seo circular, o momento de inrcia polar com relao aos eixos quepassam pelo centride :

32

dJ

4=

onde d o dimetro da seo transversal.

Tem-se, ento:

JGTL ==

r

R

d


31/70


________________________________________________________________________________________________


30

A expresso anterior mostra que o ngulo de toro por unidade de comprimento diretamente proporcional ao momento torsor e inversamente proporcional ao produto JG ,conhecido como mdulo de rigidez torodo eixo.

Substituindo na equao da tenso de cisalhamento, tem-se:

JrT=

Logo, a tenso mxima de cisalhamento :

J

RTmax

=

2 Toro em Barras de Seo Circular Vazada

Conforme visto anteriormente, a tenso de cisalhamento numa barra de seo

circular mxima na superfcie e nula no centro. Conseqentemente, grande parte domaterial trabalha com tenses bem inferiores admissvel. Se a reduo de peso e aeconomia de material forem fatores importantes, prefervel usar eixos vazados.

A anlise da toro de barras de seo circular vazada assemelha-se de barras deseo circular cheia. Assim, a tenso de cisalhamento em um ponto qualquer da seotransversal :

J

rT= , com 21 rrr

onde:32

ddJ

4i

4e =

3 Eixos Estaticamente Indeterminados

Quando as equaes da esttica so insuficientes para a determinao dos esforosinternos de toro, preciso levar em conta as condies de deformao da estrutura.

Exemplo: Um eixo AB bi-engastado de seo transversal circular tem 250 mm decomprimento e 20 mm de dimetro. No trecho de 125 mm a partir da extremidade B, o eixo

tem seo vazada com dimetro interno de 16 mm. Pede-se determinar o momento torsorem cada apoio quando um torque de 120 Nm aplicado no ponto mdio de AB.

r2 r1

r1

r2


32/70


________________________________________________________________________________________________


31

A barra estaticamente indeterminada, porque existem dois momentos torsoresdesconhecidos, AT e BT , e apenas uma equao de equilbrio:

120TT BA =+

Devido aos engastes, o ngulo de toro total nulo e, para equilibrar o momento

torsor aplicado, os trechos AC e BC do eixo giram em sentidos opostos, tal que 21 = .Tem-se, ento:

2

2B

1

1A

JG

LT

JG

LT

=

(AA4

44

A1

2B T59,0T

2032

162032TJ

JT =

==

Logo:

Nm5,44T

Nm5,75T

120T59,0T

B

A

AA

=

=

=+

125 mm125 mm

120 N.m

B

A

C


33/70


________________________________________________________________________________________________


32

VI TENSES EM VIGAS

1 Tenses Normais Devidas ao Momento Fletor

Seja a viga biapoiada sujeita s cargas P.

Os diagramas de esforos solicitantes so:

Na parte central, a viga est sujeita apenas ao momento fletor, caracterizando a

flexo pura.A ao do momento fletor faz com que a viga se curve, conforme mostra a figura.

a

L

P P

a

P P

- P

DEC

P.aDMF

P

Q = 0

dx

d

a b

S0 S1

y

O

S0 S1

dx x z

y


34/70


________________________________________________________________________________________________


33

Nota-se que, sob a ao do momento fletor, as sees S0 e S1 giraram, uma emrelao outra, de tal forma que as fibras inferiores alongaram-se e as superioresencurtaram, indicando a existncia de uma regio tracionada e outra comprimida.

Em algum ponto entre as regies de trao e compresso, haver uma superfcie emque as fibras no sofrem variao de comprimento, denominada superfcie neutra. Suainterseo com qualquer seo transversal da viga corresponde linha neutrada seo.

O centro de curvatura do eixo longitudinal da viga, aps sua deformao, representado na figura pelo ponto O. Chamando de d ao ngulo entre os planos S0e S1, eao raio de curvatura, obtm-se:

dx

d1k

==

onde k a curvatura.

O alongamento (variao do comprimento) da fibra ab, distante y da superfcie

neutra, assim determinado:

Comprimento total da fibra ab: ( ) dy + Comprimento inicial da fibra ab: dx

Alongamento: ( ) ( ) dxy

dxdx

ydxdy =+=+

A deformao correspondente :

yky

x ==

E as tenses normais so:

yEkx =

Portanto, as tenses variam linearmente com a distncia y da linha neutra. Na vigaem estudo, h tenses de trao abaixo da linha neutra e de compresso acima da linhaneutra, conforme mostra a figura abaixo.

A fora longitudinal em dA :

dAyEkdAdF x ==

Como no h fora normal resultante atuando na seo, a integral de dAx sobrea rea da seo nula:

+

z

y

dAy


35/70


________________________________________________________________________________________________


34

0dAyEkdAFAA

x ===

onde ke Eso constantes.

Logo:

=A

0dAy momento esttico nulo.

Assim, a linha neutra passa pelo centride da seo transversal.

O momento fletor da fora em relao linha neutra :

z

A

2

A

xz IEkdAyEkdAyM ===

Da:

z

z

IE

Mk

=

Substituindo, obtm-se:

yI

M

z

zx =

Analogamente:

zI

M

y

yx =

Exerccio: Qual maxF , se MPa50x ?

1,0 m 2,0 m

F

+2F/3

- F/3

+2/3.103F

2F/3 F/3

DMF (N.mm)

DEC (N)

180 mm

25 mm

85 8525

z

y


36/70


________________________________________________________________________________________________


35

mm7,6145004875

450011548755,12

A

Ayy

i

ii =+

+=

=

4723

23

z mm107,33,53450012

180252,494875

12

25195I =+

++

=

50yI

M

z

zx =

503,143107,3

10F32

7

3

N359.19F

Nk4,19Fmax =


37/70


________________________________________________________________________________________________


36

2 Tenses Cisalhantes Devidas ao Esforo Cortante

Consideremos uma viga com seo transversal retangular, de largura b e altura h ,sujeita carga distribuda q , conforme mostra a figura abaixo.

Sob a ao do carregamento distribudo, surgem esforos cortantes e momentosfletores nas sees transversais e, conseqentemente, tenses normais e tensescisalhantes.

Cortando-se um elemento mnpor meio de duas sees transversais adjacentes e dedois planos paralelos superfcie neutra, nota-se que, devido presena do esforocortante, haver distribuio uniforme das tenses de cisalhamento verticais ao longo dalargura mndo elemento.

Uma vez que o elemento encontra-se em equilbrio, conclui-se que as tenses decisalhamento verticais so acompanhadas por tenses de cisalhamento horizontais demesma intensidade (na face perpendicular).

A existncia de tenses de cisalhamento horizontais em vigas pode ser demonstradaexperimentalmente.

A figura mostra uma pilha de tbuas sobrepostas submetida carga concentrada Pno meio do vo. Verifica-se que, se no houver atrito entre as tbuas, a flexo de uma serdiferente da outra: cada uma sofrer compresso nas fibras longitudinais superiores e traonas inferiores.

Caso as tbuas fossem coladas, umas s outras, impedindo este escorregamento,surgiriam tenses tangenciais na cola, indicando que, em vigas com seo transversalinteira, submetida ao mesmo carregamento P, ocorrero tenses de cisalhamento ao

longo dos planos longitudinais com intensidade capaz de impedir o deslizamento ocorrido nocaso anterior.

A determinao da tenso de cisalhamento horizontal pode ser calculada pelacondio de equilbrio de um elementopnn1p1, cortado da viga por duas sees transversaisadjacentes, mn e m1n1, distncia dxuma da outra.

V

x

C

h

b

nm

mn

y

z

q

P


38/70


________________________________________________________________________________________________


37

A face da base deste elemento a superfcie inferior da viga e est livre de tenses.Sua face superior paralela superfcie neutra e afasta-se dela a uma distncia y1. Nestaface, atua a tenso de cisalhamento horizontal que existe neste nvel da viga.

Sobre as faces mn e m1n1 atuam as tenses normais x produzidas pelos

momentos fletores e as tenses de cisalhamento verticais (que no interferem na equaode equilbrio horizontal do elemento na direo horizontal).

Se os momentos fletores nas sees mn e m1n1 forem iguais (flexo pura), astenses normais x nos lados npe m1p1 tambm sero iguais, o que colocar o elemento

em equilbrio e anular a tenso de cisalhamento .No caso de momento fletor varivel, a fora normal que atua na rea elementar dA

da face esquerda do elemento ser:

dAI

yMdAdF zx

==

A soma de todas essas foras distribudas sobre a facepnser:

===2h

yz

z2hy x

Axe

11dyy

I

MbdybdAR

De maneira anloga, a soma das foras normais que atuam na face direita, p1n1, :

+=

2hy

z

z

z

zd

1dyydx

dxI

dM

I

MbR

A diferena entre as foras direita e esquerda fornece:

=

=

2hy

z

z2hy

z

zed

11dAydx

dxI

dMdyydx

dxI

dMbRR

Sabendo-se que o elemento encontra-se em equilbrio, haver uma fora decisalhamento horizontal no plano pp1, de mesma intensidade e com sentido contrrio a

ed RR , que somada primeira, anula a resultante de foras na direox.

A fora de cisalhamento horizontal dada por:

dxb

b

y1h/2

M+dM

dx

C

y

y z

n n1

p p1

h/2

dA

m m1


39/70


________________________________________________________________________________________________


38

Igualando a fora de cisalhamento horizontal diferena entre as foras direita e esquerda do elemento, chega-se a:

=

2hy

z

1dAydx

dxI

dMdxb

=2h

y1dAy

I

Qb

bI

mQ z

=

que a expresso da tenso de cisalhamento.

Na expresso anterior, tem-se que:

zm o momento esttico da rea da seo transversal abaixo (ou acima) do plano

em que se deseja determinar ;b a largura da seo transversal na altura do plano em que se deseja determinar

;

zI o momento de inrcia em relao ao centride da seo;

Q o esforo cortante na seo transversal em estudo.

Exerccio: Calcular as tenses cisalhantes no ponto P.

Aplicando a expresso da tenso cisalhante, tem-se:

( )

12hb

2y

4hyy2

hQ

bI

mQ3z

z

+

=

=

Desenvolvendo, chega-se a:

3

22

hb2

y4hQ3

=

que a expresso geral da tenso de cisalhamento para sees transversais retangulares.

b

h/2y

h/2

y

z

P


40/70


________________________________________________________________________________________________


39

Quando:

02

hy ==

AQ5,1

hb2Q30y =

==

02

hy ==

A variao das tenses cisalhantes parablica:

4.3 Tenses Normais e Cisalhantes em Sees I e T

A otimizao da escolha do formato da seo das vigas, objetivando minimizar ovalor das tenses normais decorrentes do momento fletor, leva utilizao de sees I eT, com mesas (abas) largas e almas (nervuras) estreitas.

Como conseqncia, surgem tenses tangenciais elevadas na alma, na altura dalinha neutra, devido ao fato da largura bda alma aparecer no denominador da expresso datenso cisalhante.

Assim, nos pontos da viga onde a tenso normal mxima (arestas superior einferior), a tenso tangencial nula, enquanto na linha neutra, onde a tenso normal nula,a tenso tangencial atinge seu valor mximo.

A descontinuidade do valor da tenso de cisalhamento na transio entre a mesa e aalma decorre da descontinuidade da largura b da seo nesses locais.

b

h max

h

b

tatm


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________________________________________________________________________________________________


40

VII FLEXO COMPOSTA

1 Flexo e Carga Axial

Os elementos de uma estrutura esto, algumas vezes, sujeitos ao simultnea decargas de flexo e axiais.A figura mostra um exemplo desta situao.

As tenses resultantes em qualquer seo transversal da viga so obtidas pelasuperposio das tenses axiais devidas a N e Me podem ser calculadas pela equao:

zI

My

I

M

A

N

y

y

z

zx +=

O diagrama final de tenses :

O princpio da superposiodos efeitos poder ser aplicado, desde que se garantaa linearidade da distribuio das deformaes longitudinais e das tenses normais em todosos pontos da seo transversal do elemento.

Quando o momento fletor for conseqncia de uma excentricidade e da carga N emrelao ao centride da seo, podemos escrever:

e=

A figura ilustra a situao.

N

N

M = N.e

e

y

=

N

M

N

M

y

z

x(M)

LN LN

x(N)


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________________________________________________________________________________________________


41

Exerccio: Calcular as tenses normais mximas no pilar de seo transversal quadradasubmetido fora normal excntrica, sabendo que N=4000 kN. Adotar: cm20e= ;

cm3,13e= ; cm10e= .

Os esforos solicitantes so:

104 6=

Nmme104M 6z =

As caractersticas geomtricas da seo so:

25 mm104,6800800A ==

4103z mm104,3

12800800I ==

As mximas tenses normais, para mm200e= , so:

(MPa6,15

104,3

400200100,4

104,6

100,410

6

5

6

x =

+

=

( ( )MPa1,3

104,3

400200100,4

104,6

100,410

6

5

6

x =

+

=

O diagrama de tenses :


( MPa5,12104,3 400133100,4104,6 100,4 106

5

6

x =

+=

3,1 MPa

-15,6 MPa

80 cm

80 y

z

zx

N

e


43/70


________________________________________________________________________________________________


42

( ) 0104,3

400133100,4

104,6

100,410

6

5

6

x =

+

=



MPa9,10

104,3

400100100,4

104,6

100,410

6

5

6

x =

+

=

( )MPa6,1

104,3

400100100,4

104,6

100,410

6

5

6

x =

+

=


Haver casos em que ser importante garantir que, em um pilar comprimido pelaao de foras normais excntricas, no haja inverso do sinal de tenso (como no caso doconcreto, que praticamente incapaz de suportar tenses de trao). Nesses casos, sernecessrio limitar uma regio da seo, chamada ncleo central, onde as foras decompresso nela aplicadas produziro apenas compresso sobre todas as seestransversais.

O exemplo mostra um pilar de seo retangular submetido carga concentrada Fcom excentricidade eem relao ao eixo z.

-10,9 MPa

-1,6 MPa

F

zx

e

-12,5 MPa


44/70


________________________________________________________________________________________________


43

Os esforos solicitantes so:

F= eFM =

Para que ocorram apenas tenses normais de compresso:

( )0

12hb

yeF

hb

F3x

+

=

( )( )0

12hb

2heF

hb

F3

+

6

he

6

hemax=

Analogamente, se a fora Festivesse aplicada com excentricidade eem relao ao

eixo y, o mximo valor de eseria6

b .

A figura mostra o ncleo central da seo.

No caso de um pilar com seo circular, de dimetro d, o ncleo central tem reatambm circular de raio igual mxima excentricidade admissvel, tal que:

( )0

64d

2deF

4d

F42

+

8

de

8

demax=

y

z

b/6

h/6


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________________________________________________________________________________________________


44

2 Flexo e Toro

Tal como vimos anteriormente, os elementos de uma estrutura podem tambm estarsolicitados simultaneamente por cargas de flexo e de toro. Sob tais condies, adeterminao das tenses em um ponto qualquer da seo transversal ser feita utilizandoo princpio da superposio dos efeitos , somando-se algebricamente as tenses devidas

a cada um dos esforos, isoladamente.

dd/4

F

zx

e


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________________________________________________________________________________________________


45

VIII ANLISE DE TENSES

1 Tenses em Planos Inclinados

Quando uma barra prismtica est sujeita trao simples, as tenses numa seo

transversal mn, normal ao seu eixo, so uniformemente distribudas e iguais a AP .Consideremos as tenses no planopqque corta a barra formando um ngulo com

a seo transversal mn. As foras que representam a ao do lado direito sobre o ladoesquerdo da barra so uniformemente distribudas sobre a seo inclinada pq, conformemostra a figura abaixo.

Uma vez que a parte esquerda est em equilbrio sob a ao dessas foras e dacarga externa P, conclui-se que a resultante das foras distribudas sobre a seo inclinada igual a P.

Decompondo-se a resultante R em duas componentes N e V, que so normal etangente, respectivamente, ao plano inclinado, obtm-se:

cosPN =

senPV =

Como a rea A da seo inclinada cos

A , as tenses correspondentes a N e V

so:

2

x2 coscos

A

P

A

N=== (1a)

cossencossenA

P

A

Vx === (1b)

onde AP

x = a tenso normal seo transversal da barra.

Nas equaes anteriores, e so, respectivamente, as tenses normal e de

cisalhamento no planopq, cuja orientao definida pelo ngulo .

n

p

PP

RP

N

V

P


47/70


________________________________________________________________________________________________


46

A Eq. (1a) mostra como a tenso normal varia em funo do ngulo . Quando

0= , o plano pq coincide com mn, acarretando x= . Se o ngulo aumentar, a

tenso diminuir at que, em 2= , anula-se. Assim, xmax = .

A Eq. (1b) mostra que a tenso de cisalhamento nula quando 0= e 2

= ,atingindo o valor mximo quando 4

= . Este mximo 2x

max

= .

Conveno de sinais:

a) Tenses normais positivas so aquelas que agem afastando-se da superfcie do

material, independentemente da orientao desta;b) Tenses de cisalhamento so positivas quando agem no sentido horrio em

relao superfcie do material.

Uma representao conveniente das tenses num ponto da barra feita peloisolamento de uma parte elementar do material, com as tenses indicadas em todos oslados do elemento.

A figura 2 mostra dois elementos A e B cortados de uma barra tracionada.

O elemento A est orientado de modo que 0= e, assim, a nica tenso que age

sobre ele AP

x= .

O segundo elemento sofreu um giro definido por e, portanto, as tenses no lado bd

so e . A normal do lado abdo elemento orientada pelo ngulo 2+ em relao

ao eixo x, sendo possvel determinar as tenses nesse plano substituindo por 2+ na

Eq. (1), chegando-se a:

( ) 2x2x sen2cos =+= (2a)

( ) ( ) cossen2cos2sen xx =++= (2b)

xx

A B PP

A B

ba

cd

x

y


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47

Como x positivo, v-se na figura que a tenso normal tambm positiva. A

tenso de cisalhamento .no lado ab do elemento negativa, indicando que age em

sentido anti-horrio em relao superfcie do elemento.Comparando-se as Eq. (1) e (2), tem-se:

x =+ (3a)

= (3b)

Concluso:A Eq. (3a) mostra que, para uma barra tracionada, a soma das tenses normaisem dois planos perpendiculares constante e igual a x . A Eq. (3b) mostra que as tenses

de cisalhamento, em planos ortogonais, so iguais em valor absoluto, porm tm sinaisopostos.

Para calcular as tenses nos outros dois lados do elemento, basta substituir por+ (lado ac) ou 2

3+ (lado cd). V-se, assim, que as tenses normal e de

cisalhamento, no lado ac, so as mesmas que atuam no lado bde que as tenses, no ladocd, so idnticas s do lado ab.

2 Tenses Biaxiais

Consideremos um estado de tenses mais geral, em que as tenses normais em umelemento agem nas direes x e y, mostrada na figura abaixo. Tal situao conhecidacomo tenses biaxiais, para distingu-la da tenso em uma direo, ou uniaxial,

considerada anteriormente.

Para determinar as tenses e , consideremos o equilbrio do tringulo

elementar. Chamando de A a rea da face sobre a qual atua a tenso x , a rea da face y(sobre a qual atua a tenso y ) ser tgA e a rea da face inclinada ser secA .

As foras nas faces x e y sero, respectivamente, Ax e tgAy . Cada uma

dessas foras pode ser decomposta em duas componentes ortogonais, uma agindo nadireo da normal ao plano inclinado e a outra em direo paralela ao plano.

Assim, somando-se as foras nessas direes, obtm-se duas equaes para oequilbrio do tringulo elementar, que so:

sentgAcosAsecA yx += (4a)

costgAsenAsecA yx = (4b)

x

y

y

p

y

x


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48

Desenvolvendo as expresses anteriores, chega-se a:

2

y2

x sencos += (5a)

cossenyx

= (5b)

As Eq. (5) do os valores algbricos das tenses normal e de cisalhamento, emqualquer plano inclinado, em funo das tenses normais x e y que agem nas direes x

e y, respectivamente.Usando as relaes trigonomtricas abaixo:

2

2sencossen

=

2

2cos1

cos2

+=

2

2cos1sen2

=

Pode-se reescrever as equaes anteriores de outra forma:

2cos22

yxyx

+

+= (6a)

2sen2

yx= (6b)

Substituindo por ( )2+ nas Eq. (6), so obtidas as expresses das tenses e que atuam no plano ortogonal ao plano inclinado:

2cos22

yxyx

+

= (7a)

2sen2

yx= (7b)

Somando as Eq. (6a) e (7a), chega-se a:

yx +=+ (8)

Concluso: A soma das tenses normais, em dois planos quaisquer perpendiculares entresi, constante.

Comparando-se as Eq. (6b) e (7b), nota-se, outra vez, que as tenses decisalhamento em planos perpendiculares, so iguais em intensidade, porm tm sentidosopostos.


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49

3 Tenses Planas

As tenses uniaxiais e biaxiais so casos particulares da condio mais geralconhecida como tenses planas. Um elemento com tenses planas pode ter tensesnormais e de cisalhamento nas faces x e y, conforme mostra a figura abaixo.

A tenso de cisalhamento na face x ser indicada por xy , o primeiro ndice

indicando a face em que ele atua e o segundo, a direo da tenso.Considerando o tringulo elementar da figura, podemos determinar as tenses

normal e de cisalhamento nele atuantes a partir do equilbrio de foras nas direes

dessas tenses, chegando-se a:

cossen2sencos xy2

y2

x ++= (9a)

( ) ( 22xyyx cossencossen += (9b)

Usando as relaes trigonomtricas apropriadas, tem-se:

2sen2cos22

xyyxyx +++= (10a)

2cos2sen2 xy

yx

= (10b)

Estas equaes do as tenses normal e de cisalhamento, em funo das tenses

x , y e xy , num plano qualquer.

As tenses e num plano que faz um ngulo 2+ com o eixo x podem ser

determinadas substituindo-se por 2+ , o que d:

yx +=+ (11a)

= (11b)

Conveno de sinais:

a) Todas as tenses normais de trao so positivas;b) A tenso de cisalhamento

xy positiva quando age no sentido positivo do eixo y;

c) A tenso de cisalhamento positiva quando atua no sentido horrio.

xx

y

y

y

xyx

yx

yx

xy

xy xyyx


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50

4 Crculo de Mohr para Tenses Planas

As expresses (10) so equaes paramtricas de uma circunferncia.Se adotarmos um sistema de eixos coordenados e marcarmos os pontos M

( , ), para qualquer valor do parmetro , vamos sempre obter um ponto que se

encontra em uma circunferncia.Para demonstrar essa propriedade, transpomos para o 1 membro da Eq. (10a) o

termo2

yx +, elevando ao quadrado os dois membros da equao. Em seguida,

quadramos os dois membros da Eq. (10b), somando membro a membro as duasexpresses, tal que:

( ) ( ) 2xy

2yx2

2yx

22

+

=+

+ (12)

onde:

( )

+

=

+=

2xy

2yx

yxmed

2R

2

(13)

Substituindo (12) em (11):

( ) 222med R=+ (14)

que a equao de uma circunferncia de raio R com centro C de abscissa med e

ordenada zero.

Circunferncia:

R

min=II

maxTRAOCOMPRESSO

max=I

med

C

D

AB

E

M


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51

Os pontosAe Bem que a circunferncia intercepta o eixo horizontal tm interesseespecial:

PontoA: corresponde a Imx =

Ponto B: corresponde a IImin =

Estes pontos correspondem a um valor nulo de tenso de cisalhamento . Desse

modo, o valor do ngulo p correspondente aos pontosAe Bpode ser obtido da Eq. (10b),

fazendo 0= .

yx

xyp

22tg

= (15)

As faces do cubo elementar obtido dessa maneira definem os planos chamadosplanos principais. As tenses normais que agem nesses planos so chamadas tensesprincipais.

Nos planos principais : 0= .

Rmedmax +=

Rmedmin =

As tenses principais so:

2

xy

2yxyx

II,Iminmax, 22

+

+== (16)

6 Tenso de Cisalhamento Mxima

Do crculo, vemos que mximo nos pontos D e E, cuja abscissa

2

yxmed

+= .

Fazendo med = na Eq. (10a), obtemos:

xy

yxc 2

2tg

= (17)

y

y

xx

yx

=0


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52

O mximo valor da tenso cisalhante igual ao raio da circunferncia:

2xy

2yx

max 2

+

= (18)

E a tenso normal no plano de tenso mxima de cisalhamento :

2

yxmed

+== (19)

Comparando-se as Eq. (15) e (17), vemos que:

cp 2tg

12tg

=

Isto significa que:

opcpc 459022 ==

o

Concluso: Os planos de mximas tenses cisalhantes formam ngulos de 45 com osplanos principais.

Roteiro para o traado do Crculo de Mohr:

a) Escolhemos um sistema de eixos cartesianos com abscissa e ordenada ;b) Marcamos os pontos X xyx ; e Y xyy ; ;

c) Unindo os pontos X e Y por uma linha reta, definimos o ponto C, que a interseoda linha XY com o eixo ;

d) Traamos um crculo de centro C e dimetro XY.

y

y

x

x

xy

yx

yx

II

p

cmed

maxmax

med


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53

R

II

max

I

med

C

Y(

y;xy)

AB

X(x; -xy)

p


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54

IX DEFORMAES EM VIGAS

1 Mtodo da Dupla Integrao

As cargas transversais que atuam nas vigas causam deformaes, curvando seueixo longitudinal que passa a tomar o formato da chamada linha elstica.

Consideremos a viga simplesmente apoiada AB mostrada na figura abaixo. Antes daaplicao da carga P, o eixo longitudinal da viga reto, tornando-se curvo aps a flexo.

Supondo-se quexyseja um plano de simetria e que todas as cargas estejam nesseplano, a curvaABC, denominada linha elstica, situa-se tambm nesse plano.

Para deduzir a equao diferencial da linha elstica, utiliza-se a relao entre acurvatura ke o momento fletor M.

A conveno de sinais para a curvatura da viga fletida relaciona-se com o sentidodado aos eixos coordenados. Supondo-se que o eixox positivo para a direita e que o eixoy positivo para baixo, admite-se que a curvatura da viga positiva quando suaconcavidade estiver voltada para baixo. Assim, a viga representada na figura anterior temcurvatura negativa.

Sabendo-se que momento fletor positivo produz compresso na fibra superior etrao na fibra inferior, conclui-se que Mpositivo produz curvatura negativa na superfcieneutra da viga. Ento:

EI

)x(M1k ==

(1)

m1

m2

d

-

(b)

O

Px

x dx

d

m1 m2

d

C

BA

a

y


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55

onde :M(x) o momento fletor numa seo transversal distantexda extremidade esquerda

da viga;E o mdulo de elasticidade longitudinal do material;I o momento de inrcia da seo transversal em relao ao eixo que passa pelo

centride da seo; o raio de curvatura.A expresso anterior vlida somente para materiais no regime elstico e IE

chamado de produto de rigidez.Para estabelecer a relao entre a curvatura ke a equao da elstica, consideram-

se dois pontos, m1e m2, distantes dsum do outro, conforme mostra a figura. Em cada umdesses pontos, traa-se uma normal tangente da curva que iro se encontrar no centro decurvatura O.

Admitindo-se que a tangente linha elstica no ponto m1faa um ngulo com oeixox, ento no ponto m2o ngulo correspondente ser d , onde d o ngulo entreas normais Om1e Om2.

A figura mostra que dds = e queds

d1

= . Ento, a curvatura k igual

taxa de variao do ngulo em relao distncia s, medida ao longo da linha elstica:

ds

d1k

== (2)

Na maioria das aplicaes prticas ocorrem apenas pequenas deflexes nas vigas.Assim, tanto o ngulo quanto a inclinao da curva so valores muito pequenos,podendo-se admitir:

dxds (3)

dx

dytg = (4)

onde y a deflexo da viga a partir de sua posio inicial.

Substituindo na equao da elstica, chega-se a:

IE

M

dx

ydk

2

2

== (5)

que a equao diferencial de 2aordem que rege o comportamento da linha elstica deuma viga. Essa equao deve ser integrada em cada caso particular para se ter a deflexoy.

1.1 Vigas Simplesmente Apoiadas

Seja a viga bi-apoiada com comprimento L, seo com momento de inrcia I ematerial com mdulo de elasticidade E, submetida a um carregamento uniformementedistribudo q.

q

A xL

B


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56

Os diagramas de esforos solicitantes, rotaes e deflexes so:

O momento fletor na seo distantexdo apoioA:

2

xq

2

xLqM

2

= (6)

A equao da linha elstica :

2

xq

2

xLq

dx

ydIE

2

2

2 +

= (7)

Integrando, obtm-se:

1

32C

6

xq

4

xLq

dx

dyIE +

+

= (8)

onde 1C uma constante de integrao.

Pela simetria, a inclinao da curva elstica no meio do vo nula. Tem-se, ento, acondio:

0dxdy == , quando 2

Lx= .

Entrando com esta condio na Eq. (8), chega-se a:

24

LqC

3

1

= (9)

Substituindo 1C na Eq. (8), obtm-se:

24

Lq

6

xq

4

xLq

dx

dyIE

332 ++= (10)

Q

M

y

0 ymax


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57

Integrando novamente, chega-se a:

2

343C

24

xLq

24

xq

12

xLqyIE +

+

+

= (11)

Sabendo que 0y= quando 0x= , tem-se:

0C2= (12)

Logo, a expresso da deflexo em qualquer seo da viga :

( )323 xxL2LIE24

xqy +

= (13)

A flecha mxima ocorre no meio do vo e igual a:

IE384

Lq5y

4

max

= (14)

A rotao mxima ocorre nas extremidades da viga e igual a:

IE24

Lq

dx

dy 3

A

== (15)

Consideremos a viga simplesmente apoiada com carga concentrada P, cujaposio definida pelas distncias ae bdas extremidades.

Existem duas expresses para o momento fletor: uma para a parte esquerda dacarga e outra para a parte direita.

Assim, pode-se escrever a equao diferencial de 2a ordem da linha elstica paracada parte da viga, tal que:

a b

P

Pb/L Pa/L

M

y

ymax

Q

B


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58

para ax0 L

xbP

dx

ydIE

2

2 = (16)

para Lxa )ax(PL

xbP

dx

ydIE

2

2+

= (17)

Integrando duas vezes as duas expresses, os resultados incluiro quatroconstantes arbitrrias que sero determinadas a partir das condies de contorno:

a) em ax= , as inclinaes das duas partes da viga so iguais;b) em ax= , as flechas das duas partes so iguais;c) em 0x= , a flecha nula;d) em Lx= , a flecha nula.

As expresses da linha elstica para as partes da viga esquerda e direita dacarga Pso:

para ax0 :

( )222 xbLL6

xbPyIE

= (18)

para Lxa :

( ) ( )6

axPxbL

L6

xbPyIE

3222 +

= (19)

As rotaes das duas partes da viga so:

para ax0 :

( )222 x3bLL6

bP

dx

dyIE

= (20)

para Lxa :

( ) ( )

2

axP

x3bLL6

bP

dx

dy

IE

2222

+

= (21)

As rotaes nas extremidades da viga so:

( ) ( )IEL6

bLbaPbL

IEL6

bP 22A

+=

= (22)

( )IEL6

aLbaPB

+= (23)

A flecha mxima :


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59

( )

IEL39

bLbPy

2322

max

= (24)

A simetria de uma viga biapoiada com carga concentrada no meio do vo permite

evitar que se enfrente a dificuldade de se ter duas equaes para M(x). Assim, pode-seescrever a equao diferencial de 2aordem da linha elstica para cada parte da viga, talque:

2

xP

dx

ydIE

2

2 = (25)

Integrando, obtm-se:

1

2C

4

xP

dx

dyIE +

= (26)

Levando-se em conta que em 2Lx= , a rotao nula:

16

LPC

2

1

= (27)

Integrando novamente a expresso, obtm-se:

2

23

C16

xLP

12

xP

yIE +

+

= (28)

Como a flecha nula em 0x= , a constante 2C nula.

As equaes que definem a rotao e a flecha numa seo distante x daextremidade da viga so:

IE16

LP

IE4

xP 22

+

= (29)

IE16xLP

IE12xPy 23

+

= (30)

A rotao no apoio :

IE16

LP 2

= (31)

A flecha mxima no meio do vo :

IE48LPy 3max = (32)


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60

1.2 Vigas em balano

A figura mostra uma viga em balano com carregamento uniforme de intensidade q.

A equao diferencial de 2aordem da linha elstica :

( )2

xLq

dx

ydIE

2

2

2 = (33)

A primeira integrao desta equao fornece:

( )1

3C

6

xLq

dx

dyIE += (34)

No apoioA(engaste), a rotao da viga nula, ento:

6

LqC

3

1

= (35)

A expresso da rotao em uma seo distantexdo apoio :

( )22 xxL3L3IE6 xq + = (36)

Integrando novamente a expresso anterior, obtm-se:

( ) 2222

CxxL4L6IE24

xqy ++

= (37)

Como a flecha no apoio nula, ento 0C2= . Logo:

( )222 xxL4L6IE24xqy +

= (38)

L

x

Q

M

y

yLL

L

q


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Documents

apostila_resmatIX