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1
Lógica Matemática
Professora: M.Sc. Juciara do Nascimento César
UNIDADE I
2
A Lógica na Cultura Helênica
A Lógica foi considerada na cultura clássica e medieval comoum instrumento indispensável ao pensamento científico.
Era necessário argumentar com clareza, mediantedemonstrações rigorosas, respondendo as objeções dosadversários.
Uma ferramenta importante para argumentar com ossofistas.
3
A Lógica de Aristóteles
• Aristóteles (384 a 322 a. C.) construiu
uma sofisticada teoria dos argumentos, cujo núcleo é a caracterização dos chamados silogismos.
• Exemplo:
– Todos os homens são mortais.
– Sócrates é homem.
– Portanto, Sócrates é mortal.
4
Leibniz, o Precursor da Lógica Moderna
• A lógica moderna começou no séculoXVI, com o filósofo e matemático alemãoGottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
• O projeto de Leibniz tinha como baseuma lógica simbólica e de carátercompletamente algébrico, semelhante aocálculo diferencial, inventado por ele eNewton.
• Deduções lógicas deveriam ser feitasatravés de uma pura manipulaçãosimbólica, sem referência ao significado“real” destes símbolos.
5
A Lógica Matemática noséculo XIX
•A passagem do século XVIII para o século XIX é conhecida como a idade áurea da matemática.
•Em especial, começam a ser delineados osfundamentos da ciência da computação.
•A lógica matemática, a partir daqui, tem o objetivoprincipal de tornar explícitas as formas deinferência, deixando de lado o conteúdo dasverdades que elas possam transmitir.
6
Boole e os Fundamentos da Lógica Matemática e da Computação
• O inglês George Boole (1815-1864) é considerado o pai dalógica simbólica.
• Desenvolveu o primeiro sistemaformal para raciocínio lógico(lógica booleana).
•Foi o primeiro a enfatizar apossibilidade de aplicar o cálculoformal a diferentes situações
7
Introdução ao Estudo da Lógica
Proposição - é todo o conjunto de palavras ou símbolos que
exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, afirmam
fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de
determinados antes.
O estudo da lógica é o estudo dos princípios e métodos
usados para distinguir argumentos válidos dos não válidos.
Proposição é o ponto de partida.
8
Exemplo:a) a lua é um satélite da Terra;
b) 2 + 1 é 5;
c) Brasília é a capital do Brasil.
Não proposição
Nenhuma das frases seguintes é uma proposição,porque não faz sentido questionar se alguma delas é verdadeiraou falsa.
Exemplo:
a) Venha à nossa festa!
b) Tudo bem com você?
c) Tchau, benzinho
9
Tipos de Proposição
Simples ou Atômicos
Exemplo:
p : Oscar é prudente;
q : Mário é engenheiro;
r : Maria é morena.
Composta ou Molecular
Exemplo:
p : Walter é engenheiro E Pedro é estudante;
q : Mauro é dedicado OU Pedro é trabalhador;
r : SE Flávio é estudioso ENTÃO será aprovado.
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Conectivos - são palavras (ou símbolos) que se usam para
formar novas proposições a partir de outras.
Exemplo:
P : 6 é par E 8 é cubo perfeito;
Q : NÃO vai chover;
R : SE Mauro é médico, ENTÃO sabe biologia;
S : o triângulo ABC é isósceles OU equilátero;
T : o triângulo ABC é equilátero SE E SOMENTE SE é
equilátero.
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Operações Lógicas Fundamentais
•q
Negação - "não p“
Simbologia - "~ p", que se lê "não p".
Exemplo:
p : o sol é uma estrela
~p : o sol não é uma estrela
p ~p
V F
F V
12
Conjunção :"p e q”Simbologia - "p ^ q ", que se lê "p e q".
p
•qp q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Exemplo:
p : A neve é branca (V)
q : 2 < 5 (V)
p ^ q: A neve é branca E 2 < 5 ( V)
13
Disjunção: "p ou q”Simbologia - "p v q ", que se lê "p ou q".
p q p V q
V V V
V F V
F V V
F F F
Exemplo:
p : Paris é a capital da França (V)
q : 9 – 4 = 5 (V)
p v q: Paris é a capital da França OU 9 – 4 = 5 (V)
14
Disjunção Exclusiva : “ou p ou q”Simbologia - "p V q ", que se lê “ou p ou q".
p q p V q
V V F
V F V
F V V
F F F
Exemplo:
p : Mario é Alagoano (V)
q : Mario é Gaúcho (F)
p V q: OU Mario é Alagoano OU Mario é Gaúcho (V)
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Condicional: “ se p então q”Simbologia - "p q ", que se lê “se p então q".
p q p -> q
V V V
V F F
F V V
F F V
Exemplo:
p : Eu como muito (V)
q : Eu engordo (V)
p q: SE eu como muito ENTÃO eu engordo (V)
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Bicondicional : “p se e somente se q”
Simbologia - "p q ", que se lê “p se e somente q ".
p q p <-> q
V V V
V F F
F V F
F F V
Exemplo:
p : Roma fica na Europa (V)
q : A neve é branca (V)
p q: Roma fica na Europa SE E SOMENTE SE a neve é branca (V)
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Construção de Tabelas Verdade
Tabela Verdade de uma Proposição Composta dada
várias proposições simples p, q, r , ..., podemos combiná-
las pelos conectivos lógicos:
e construir proposições compostas, tais como:
P(p,q) = ~p V (p->q)
Q(p,q) = (p<-> ~ q) ^q
R(p,q,r) = (p-> ~ q V r ) ^ ~(q V (p <-> ~ r))
Negação ~
Conjunção
Disjunção v
Disjunção Exclusiva V
Condicional
Bicondicional
18
Números de Linhas de uma Tabela Verdade
O número de linhas da tabela verdade de uma
proposição composta depende do número de proposições
simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema:
A tabela-verdade de uma proposição composta com
proposições simples componentes contém 2 elevado a n
linhas.
Exemplo
Construir a tabela-verdade da proposição:P(p,q) = ~ (p ^ ~ q)
19
p q ~ q p ^ ~ q ~ (p ^ ~ q)
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V2º 3º 4º1º
1º Resolução
2º Resolução
p q ~ (p ^ ~ q)
V V V V F F V
V F F V V V F
F V V F F F V
V F V F F V F
4º 1º 3º 2º 1º
20
3º Resolução
Diagrama Sagital
U={VV,VF,FV,FF}
P(p, q) : U {V, F}
~ (p ^ ~ q)
V V F F V
F V V V F
V F F F V
V F F V F
4º 1º 3º 2º 1º
VV
VF
FV
FF
V
F
21
1º Resolução
Exemplo: (p v ~ r) (q ^ ~ r)
p q r ~r p v ~ r q ^ ~r (p v ~ r) (q ^ ~ r)
V V V F V F F
V V F V V V V
V F V F V F F
V F F V V F F
F V V F F F V
F V F V V V V
F F V F F F F
F F F V V F F
2º 3º 4º 5º1º
No caso de três proposições componentes, temos:
P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV,FVF,FFV,FFF)= FVFFVVFF
22
3º Resolução
Exemplo: (p v ~ r) (q ^ ~ r)
(p v ~ r ) ( q ^ ~ r)
V V F V F V F F V
V V V F V V V V F
V V F V F F F F V
V V V F F F F V F
F F F V V V F F V
F F F F V V F F F
F V V V F F F V V
F F F F V F F F F
1º 3º 2º 1º 4º 1º 3º 2º 1º
23
Exemplo: (p v ~ r) (q ^ ~ r)
VVV
VVF
VFV
VFF
FVV
FVF
FFV
FFF
V
F
Diagrama Sagital
24
Valor Lógico de uma Proposição Composta
Quando conhecemos os valores lógicos da proposição composta é
possível determinar o valor lógico
Exemplo 1: Sabendo que os valores lógicos de p e q são
respectivamente V e F
P(p,q) = ~ (p v q) ~ p ~ q
Solução:
V(P) = ~ (V v F) ~ V ~ F = ~ V F V= F F=V
Exemplo 2: Seja p: = 3 e q: sendo V(p)=F e V(q)=F02
sen
P(p,q) = (p q) (p p q)
Solução:
V(P) = (F F) (F F F) = V (F F) = V V =V
25
Ordem de procedência para os conectivos
(1) ~
(2) e V
(3)
(4)
26
Tautologias, Contradições e Contigências
1 –TAUTOLOGIA Chama-se tautologia toda a proposição composta
cuja última coluna de sua tabela-verdade encerra somente a letra V
(verdadeira).
Exemplos:
a - A proposição "~ (p ^ ~ p)" (Princípio da não contradição) é
tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
p ~ p p ^ ~ p ~ (p ^ ~ p)
V F F V
F V F V
Dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e
falsa é sempre verdadeiro
27
Exemplos:
b - A proposição "(p v ~ p)" (Princípio do terceiro excluído) é
tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
p ~ p p v ~ p
V F V
F V V
Dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro
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2 – CONTRADIÇÃO Chama-se contradição toda a proposição composta
cuja última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra F
(falsidade).
Exemplos:
a - A proposição " (p ^ ~ p)" é uma contradição, conforme se vê pela sua
tabela-verdade:
Dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é
sempre falso.
p ~ p p ^ ~ p
V F F
F V F
29
Exemplos:
b - A proposição " (p ~ p)" é uma contradição, conforme se vê pela
sua tabela-verdade:
p ~ p p <-> ~ p
V F F
F V F
c - A proposição " (p q) ~(p v q)" é uma contradição, conforme se vê
pela sua tabela-verdade:
p q p q p V q ~( p V q) ~( p q) ~ (p V q)
V V V V F F
V F F V F F
F V F V F F
F F F F V F
30
3 – CONTINGÊNCIA Chama-se contingência toda a proposição composta
em cuja última coluna de sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada
uma pelo menos uma vez.
Exemplos:
a - A proposição " p ~ p" é uma contingência, conforme se vê pela sua
tabela-verdade:
p ~ p p -> ~ p
V F F
F V V
31
Exemplos:
b - A proposição " p v q p" é uma contingência, conforme se vê pela
sua tabela-verdade:
p q p V q p v q -> p
V V V V
V F V V
F V V F
F F F V
c - A proposição " x=3 (xyx3) " é uma contingência, conforme se vê
pela sua tabela-verdade:
x=3 x = y x 3 x y x y x 3 x=3 (x y x 3)
V V F F V V
V F F V F F
F V V F V F
F F V V V F
32
Implicação Lógica
Diz-se que uma proposição P(p,q,r,...) implica logicamente ou
apenas implica uma proposição Q(p,q,r,...), se Q(p,q,r,...) é verdadeira (V)
todas as vezes que P(p,q,r,...) é verdadeira (V).
Definição de Implicação Lógica
P(p,q,r,...) => Q(p,q,r,...)
Observação importante:
Não confundir os símbolos e
Representa uma operação entre as proposições
Indica uma relação entre duas proposições dadas
33
Propriedades da Implicação Lógica
É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições
goza das propriedades reflexiva (R) e transitiva (T), isto é,
simbolicamente.
(R) P(p,q,r,...) => P(p,q,r,...)
(T) Se P(p,q,r,...) => Q(p,q,r,...) e
Q(p,q,r,...) => R(p,q,r,...), então
P(p,q,r,...) => R(p,q,r,...)
34
Implicação Lógica
Exemplo:
Portanto, simbolicamente: p q p
p q q p
V V V
V F V
F V F
F F V
Comparando as tabelas verdade p e qp, verificamos que não
existe VF numa mesma linha. Portanto p qp
35
Implicação Lógica
Exemplo:
p q p <-> q (p <-> q) ^ p (p <-> q) ^ p -> q
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F V F V
Portanto, simbolicamente: (p <--> q) ^ p => q
36
Tautologia e Implicação Lógica
Teorema – A proposição P(p, q, r, ...) implica a proposição Q(p, q, r, ...) isto
é:
P(p,q,r, ...) => Q (p, q, r, ...)
Se e somente se a condicional:
P(p,q,r, ...) Q (p, q, r, ...) é tautológica.
p q pq (pq) p (pq) p q
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F V F V
Portanto, simbolicamente: (p <-> q) ^ p => q
37
Equivalência Lógica
Diz-se que uma proposição P(p,q,r,...) é logicamente equivalente ou
apenas equivalentes a uma proposição Q(p,q,r,...), se as tabelas verdade
desta duas proposições são idênticas.
Definição de Equivalência Lógica
P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...)
Observação importante:
Não confundir os símbolos e
Representa uma operação entre as proposições
Indica uma relação entre duas proposições dadas
38
Propriedades da Equivalência Lógica
É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições
goza das propriedades reflexiva (R), simétrica (S) e transitiva (T),
isto é, simbolicamente.
(R) P(p,q,r,...) P(p,q,r,...)
(S) Se P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...), então
Q(p,q,r,...) P(p,q,r,...),
(T) Se P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) e
Q(p,q,r,...) R(p,q,r,...), então
P(p,q,r,...) R(p,q,r,...)
39
Exemplo: p q (p q) V (~ p ~ q)
p q p q (p q) V (~p ~q)
V V V V V V V F F F
V F F V F F F F F V
F V F F F V F V F F
F F V F F F V V V V
40
Tautologia e Equivalência Lógica
Teorema – A proposição P(p, q, r, ...) é equivalente a proposição Q(p,
q, r, ...) isto é:
P(p,q,r, ...) Q (p, q, r, ...)
Se e somente se a bicondicional:
P(p,q,r, ...) Q (p, q, r, ...) é tautológica.
Exemplo: “(p ~ q c) (p q)”, onde c é uma proposição cujo
valor lógico é F, é tautológico.
41
Tautologia e Equivalência Lógica
p q (p ~q c) (p q)
V V V F F V F V V V V
V F V V V F F V V F F
F V F F F V F V F V V
F F F F V V F V F V F
1 3 2 4 1 5 1 2 1
Exemplo: (p ~ q c) (p q)
42
Tautologia e Equivalência Lógica
(x =1 V x 3) ~ (x <3 X=1)
V V F F F V V V
V V V V V F F V
F F F F V V F F
F V V V V F F F
1 2 1 4 3 1 2 1
Exemplo: As proposições “x=1 V x 3” e ~ (x 3 x = 1)” não são
equivalentes pois, a bicondicional:
(x=1 V x 3) ~ (x 3 x = 1)
não é tautólogica, conforme a tabela-verdade e desta forma não são
equivalentes.
43
Proposições associadas a uma condicional
Def. Dada a condicional p q, chamam-se proposições associadas a
p q as três seguintes proposições condicionais que contêm p e q
a) Proposição recíproca de p q: q p
b) Proposição contrária de p q: ~ p ~ q
c) Proposição contrapositiva de p q: ~ q ~ p
p q p q q q ~ p ~ q ~ q ~ p
V V V V V V
V F F V V F
F V V F F V
F F V V V V
44
Exemplos:
Determinar:
a) A contrapositiva de p ~ qResolução
~ ~ q ~ p q ~ p
b) A contrapositiva de ~ p qResolução
~ q ~ ~ p ~ q p
c) A recíproca de p ~ q é ~ q p. E a contrapositiva de ~q p é:
Resolução
~ p ~ ~ q ~ p q
d) A contrapositiva de ~ p ~ q é:Resolução
~ ~ q ~ ~ p q p
45
Exemplos:
Determinar:
a)A contrapositiva da recíproca de x = 0 x < 1
Resolução
A recíproca de x = 0 x < 1 é x < 1 x = 0 e a contrapositiva desta recíproca é ; x 0 x < 1
b) A contrapositiva da contrária de x < 1 x < 3
Resolução
A contrária de x < 1 x < 3 é x < 1 x < 3 e contrapositiva de desta contrária é x < 3 x < 1
46
Negação conjunta de duas proposições
Def. Chama-se negação conjunta de duas proposições p e q a
proposição “ não p e não q”, isto é, simbolicamente “ ~p ~q”
Notação “p q”
p q p q
V V F
V F F
F V F
F F V
p q ~ p ~ q
47
Negação disjunta de duas proposições
Def. Chama-se negação disjunta de duas proposições p e q a
proposição “ não p ou não q”, isto é, simbolicamente “ ~p V ~q”
Notação “p q”
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F V
p q ~ p V ~ q
Os símbolos “” e “” são chamados “conectivos de “SCHEFFER”
48
Exemplos:
Determinar o valor lógico da seguinte proposição:
(~ p q) (q ~ r)
Resolução
(~ V V ) ( V ~ F)
(F V ) ( V V)
F F
F
Demonstrar que a seguinte proposição é contingente
(p q) V (~ q p)
V F V V F V V
V F F F V F V
F F V V F V F
F V F F V V F