-
Ing. E.D.U. Alberto ELICABE
Ing. Alicia ADLER
Ing. Julio CAPDEVILA
Ing. Horacio ALTAMIRANO
Ing. Gabriela TORRISI
Ing. Dolores ARAMBURU
Arq. Gabriela ASIS FERRI
Arq. Laura Carolina BELLMANN
Arq. Nahuel GHEZAN
DEFORMADAS
A NUDOS INDESPLAZABLES2013
-
INDICE
Introduccin.................................................................................
03
Deformada....................................................................................
04
Vigas simplemente
apoyadas................................................ 05
Variacin de la carga distribuida............................
05
Variacin de la
luz........................................................ 05
Variacin del momento de inercia......................... 06
Variacin del mdulo de elasticidad..................... 06
Empotramiento
perfecto.........................................................
07
Empotramiento
elstico...........................................................
08
Empotramiento mas que
perfecto....................................... 10
Viga con carga uniformemente distribuida
Diagrama de momento "ector (D.M.F.)................11
Diagrama de esfuerzo de corte (D.E.C.)................12
Resumen
comparativo...............................................14
Viga con una carga puntual al medio de la luz
Diagrama de momento "ector (D.M.F.)................16
Diagrama de esfuerzo de corte (D.E.C.)................17
Resumen
comparativo...............................................18
Viga con dos cargas puntuales iguales
Ejercicio
comparativo................................................ 20
Barras sin
carga..........................................................................
22
Con momento externo en un extremo
y el otro articulado...........................................
23
y el otro empotrado perfectamente.......... 24
y el otro con empotramiento elstico....... 25
Resumen
comparativo....................................................
26
Con momentos en los dos extremos
momentos de sentido contrario
igual magnitud............................... 28
distinta magnitud.......................... 28
momentos de igual sentido
igual magnitud............................... 29
distinta magnitud.......................... 29
01
-
Introduccin
En este apunte estudiaremos cualitativamente el com-
portamiento de los elementos estructurales, con el n
ltimo de adquirir los conocimientos necesarios para
comprender su funcionamiento; prever resultados a la
hora usar programas computacionales de calculo de
estructuras; y tomar decisiones proyectuales y/o de
diseo en su forma, vericacin y construccin.
En el [Figura 1], se esta representando un esquema de
cargas de una viga simplemente apoyada con carga
uniformemente repartida. Este caso, bien podra ser el de
una viga metlica de un entrepiso, o el de una viga de
hormign prefabricado apoyada sobre columnas. Ntese
que no hemos dibujado la viga con su altura, ni su espe-
sor, sino que hemos trazado una linea por su eje que
representa ese elemento, y sobre ella la que representa a
la carga distribuida.
Tambin estn representados simblicamente los
apoyos, y aqu nos detenemos a estudiarlos. Existen tres
tipos de apoyos: a) Articulacin mvil o deslizante, b)
articulacin ja, y c) empotramiento; en la [Figura 2] se
puede ver distintas formas de representarlos; tambin
hay un cuarto tipo de vinculo llamado empotramiento
elstico, pero el mismo lo veremos detalladamente mas
adelante en este apunte.
Cada uno de estos apoyos restringe los movimientos de
diferentes formas [Figura 3]: la articulacin mvil solo
restringe el desplazamiento en la direccin perpendicu-
lar a su plano de apoyo, por lo tanto las reacciones sern
con esa direccin; la articulacin ja, restringe el despla-
zamiento en todas las direcciones, pero no restringe el
giro; el empotramiento impide el movimiento en todas
las direcciones y tambin el giro, por lo que tendr reac-
ciones horizontales, verticales y momento reactivo.
Esquema
de cargas
Articulaciones
mviles
Articulaciones
"jas
Empotramiento
perfecto
Restricciones
03
Carga q
l
[Figura 2]
[Figura 3]
[Figura 1]
-
Deformada
Las vigas se deforman bajo la accin de las cargas que
reciben . En el caso de la viga simplemente apoyada con
carga distribuida [Figura 4], se produce un descenso
mximo en el centro, al que le llamaremos "echa = f
[Figura 5]. Estos desplazamientos, afectarn la funcionali-
dad de las construcciones. Crean sensacin de inseguri-
dad en los usuarios, pueden producir grietas en la mam-
postera que soportan, acumulacin de agua de lluvia o
funcionamiento incorrecto de instalaciones. Por estas
razones es conveniente limitar las "echas a una fraccin
de la longitud o luz de la viga:
siendo f la "echa, l la luz de la viga y el factor un valor
lmite $jado por los reglamentos segn diversas conside-
raciones.
Tengamos en cuenta que la lnea que dibujamos como
viga representa el eje de la misma: segn Navier Las
secciones planas y perpendiculares al eje de la viga antes
de la deformacin, siguen siendo planas y perpendicula-
res al eje de la viga despus de la deformacin [Figura 6].
Por otro lado, al estar simplemente apoyada, la viga gira
libremente en sus extremos, en ngulos iguales y de
sentido contrario. Observemos que los ngulos se miden
(cualitativamente) comparando la viga en reposo y
despus de la aplicarle la carga y se representan con una
cruz [Figura 7] compuesta por la tangente de la linea que
simboliza la deformada y su perpendicular que represen-
ta la seccin.
Por ltimo, observemos que por debajo de la deformada
se marca con linea de trazo, la zona traccionada.
Esquema de
Cargas de viga
simplemente
apoyada con
carga
distribuida
Flecha
Deformada
Eje de la viga
Giros
Tangentes
Tracciones
Carga q
A
90
Bl
90
l
f
Zona Traccionada
f
nBnAnBnA =
Tangentecon accin
Secc
in
con
acc
in
Tangente
en reposo
S
e
c
c
i
n
e
n
r
e
p
o
s
o
[Figura 4]
[Figura 5]
[Figura 7]
[Figura 6]
f l( )= factor
04
-
Giros en vigas
simplemente apoyadas
Las magnitudes de los giros dependen de las cargas, la
luz entre apoyos, el momento de inercia, el material y
adems, del tipo de apoyo (por ahora nos centraremos
en si el apoyo es articulado o empotrado, y mas adelante
veremos otros tipos de apoyos)
Variacin de la carga distribuida
Ahora comparemos dos vigas a las que se le aplicamos
cargas uniformemente distribuidas de distinta magni-
tud y mantenemos constante la luz, el momento de iner-
cia (es decir mismas secciones), igual apoyos y material.
Veremos que los giros son mayores cuando mayor es la
carga que se le aplica a la viga [Figura 8].
Consecuentemente, como los giros son mayores cuando
mayor es la carga, tambin ser mayor la "echa y mayor
la deformacin.
Variacin de la luz
De la misma manera podemos intuir que si variamos la
luz entre apoyos y mantenemos todas las dems varia-
bles constantes, tambin van a cambiar las magnitudes
de los giros, siendo estos menores cuando menor es la
luz a salvar [Figura 9].
Tambin, la "echa ser menor. Esto, si bien es cuanti#ca-
ble mediante frmulas o programas computacionales,
buscamos que se comprenda de manera intuitiva. Haga
el siguiente experimento: tome una hoja, apyela hori-
zontalmente en los dedos ndices de cada mano, vare la
distancia entre ellos y ver como la hoja se deforma ms
o menos en funcin de la separacin entre los dedos.
f1
nB1nA1
l 3
f 3
nB3nA3
l 4
f 4
nB4nA4
f2
nB2nA2
Deformada
comparativa
con diferentes
luces
[Figura 9]
[Figura 8]
nA1 nA2
>
l 4l 3
f 3 f 4
Deformada
comparativa
con diferentes
magnitudes de
cargas unifor-
memente
distribuidas
05
-
f 6
nB6nA6
f 5
nB5nA5
I =12
3b . h
Variacin del momento de inercia ( I )
El momento de inercia es la medida de la inercia rotacio-
nal de un cuerpo. En el caso de una viga, depender de la
forma, dimensin y posicin de la seccin transversal de
la misma.
As, las secciones pueden ser rectangulares, cuadradas,
circulares, ovales, elpticas, etc, llenas o huecas. Si
trata-
mos con vigas de hormign armado, mayoritariamente
usaremos secciones cuadradas o rectangulares, en cuyo
caso el momento de inercia se calcula como se ve en la
[Figura 10].
Ahora, analicemos como in#uye eso en la deformada y en
los giros: pensemos en las dos secciones que estn dibu-
jadas en la [Figura 10] Cul cree que tiene mayor
momento de inercia?. Si dijo el caso b, esta en lo correcto,
y eso es debido a que h esta elevado al cubo mientras
que b no. Suponiendo que cada seccin corresponde a
vigas distintas. Cul piensa que se deformar menos?...
Miremos la [!gura 11], all notaremos que cuando menor
es el momento de inercia, mayor es la deformada. Enton-
ces podramos decir que el caso A corresponde a la defor-
mada cuya #echa es f 5 y el caso B a la deformada cuya
#echa es f 6.
Variacin del mdulo de elasticidad ( E )
En este apunte, no explicaremos como se obtiene el
modulo de elasticidad longitudinal (tambin conocido
como mdulo de Young), pero pretendemos que se
entienda es un parmetro que caracteriza la rigidez de
un material elstico.
Bsicamente podemos decir que cuando mayor es este
parmetro, menor ser su deformacin, por lo tanto el
giro ser menor. Habitualmente en las obras de arquitec-
tura, el material es uno solo, por lo que no necesitaramos
compararlo.
Hasta aqu, hemos analizado 4 variables, y su
relacin con la deformada. Esta relaciones las
podramos cuanti!car mediante las frmulas que
se muestran aqu arriba.
Momento de
Inercia
CASO A CASO B
Deformada
comparativa
diferente
momento de
inercia
[Figura 10]
[Figura 11]
Eje de giro
nA5 nA6>
nB5 nB6>
I5 I6
f 5 f 6
I=
E
4
.
.q 5
384
l f I
=E
3
.
.P1
48
l f
h
b
b
h
Flecha de una viga
simplemente apoyada
con carga distribuida q.
Flecha de una viga
simplemente apoyada
con carga puntual P.
06
-
Carga q
A Bl
Carga q
A Bl
Empotramiento perfecto
Ya hemos visto como inuyen la carga, la luz, la seccin y
el material sobre la deformada, ahora veremos como
intervienen los apoyos. Hemos analizado las distintas
variables con articulaciones en los dos apoyos; ahora
veremos como es la deformada con empotramientos
perfectos. Qu es un empotramiento perfecto en la
prctica? Bien podra ser el caso de una viga unida mono-
lticamente a un tabique de hormign, en cuyo caso la
viga tiene mucho menor momento de inercia o rigidez
que el tabique.
Al estar los extremos empotrados, los apoyos no giran es
decir que la tangente y la normal en reposo, es la misma
que cuando se le aplica la carga. Esto genera un cambio
en la curvatura de la deformada, creando un punto de
inexin (Pi) donde la deformada cambia de cncavo
hacia arriba a cncavo hacia abajo. Este Pi estar al quinto
de la luz en las vigas que reciben carga distribuida.
Observamos tambin, que cuando cambia la curvatura,
las tracciones cambian, ya que stas siempre estarn del
lado convexo de la deformada.
Del mismo modo, esto inuye en la echa, observando
un descenso mucho menor comparado con en el caso de
la viga simplemente apoyada.
En la viga simplemente apoyada con carga distribuida,
por nuestro conocimiento ya adquirido, sabemos que
tiene reacciones verticales en los apoyos. En el empotra-
miento perfecto, estas reacciones son iguales, pero se le
suman unas reacciones adicionales: las de momento, ya
que el empotramiento restringe el giro. Aparecern un
momento reactivo externo a la viga y un momento inter-
no, que sern de igual magnitud y sentido contrario para
cumplir la ley de la esttica en la que la sumatoria de
momentos es igual a 0.
f 7
nB7nA7
q
2l q
2l
f 8
l /5~l /5~
nA8 nB8= = 0
Pi
M ext. M ext.M int. M int.
Pi
q
2l q
2l
[Figura 13]
[Figura 12]
Esquema de
cargas de viga
simplemente
apoyada con
carga
distribuida
Deformada de
viga simple-
mente
apoyada con
carga
distribuida
Esquema de
cargas de viga
con empotra-
mientos
perfectos
Deformada de
viga con
empotramien-
tos perfectos y
carga
distribuida
07
-
f 9
l /5
-
f 10
l /5~l /5
14
-
l /5> l /5>
nG nH l /5>
M02 3
M0 MT
-
Carga puntual al medio de la luz
Diagrama de MomentosAntes hemos analizado vigas con cargas
uniformemente
repartidas, ahora veremos un breve anlisis de carga puntual.En
carga distribuida empezamos viendo como son los diagramas de
momento en los casos en que el la viga esta simplemente apoyada y
cuando esta perfectamente empotrada. Esto es porque desde el
anlisis de estos casos extremos se desprenden los diagramas de
vigas con empotramiento elstico y empotramiento mas que
perfecto.
Ahora bien, por los conocimiento ya adquiridos, sabe-mos que el
diagrama de momento ector de una viga simplemente apoyada con una
carga puntual P al centro de la luz, nos dara un tringulo como se
muestra en la [Figura 33].Cuando empotramos los dos extremos de la
viga, lo que sucede es que en ese diagrama la lnea de cierre se
levan-ta, uniendo ahora los momentos ME y MF de la [Figura 34], que
este caso especi!co valen 1/8 . P . .
Conociendo los estos dos casos extremos, podemos
suponer como seran los empotramientos elsticos, pen-
sndolos como situaciones intermedias entre empotra-
miento perfecto y articulacin. Podemos decir que
cuando el momento en el apoyo se acerca al valor del
empotramiento perfecto, ese nudo tiende a ser un
empotramiento perfecto, y cuando el momento dismi-
nuye, hasta llegar casi a cero, tiende a ser articulado.
En el caso de empotramiento mas que perfecto, los
momentos en los apoyos son mayores que el perfecto, y
lo que tenemos que hacer, es colgar el diagrama de
momento de Mo (momento isosttico). Estos diagramas
se pueden ver en el Resumen comparativo de la pg. 19.
P
A Bl
l 2
A MA = MB = 0
M0 =
B
P
4l.
[Figura 33]
Esquema de
cargas de una
viga simple-
mente apoya-
da con una
carga puntual
P al medio de la
luz, y su
diagrama de
momento
ector caracte-
rstico.
[Figura 34]
Esquema de
cargas de una
viga con
empotramien-
tos perfectos y
una carga
puntual P al
medio de la luz,
y su diagrama
de momento
ector caracte-
rstico.
E Fl
Pl2
ME = MF =
MFME
= MT
M0 = P4l.
l /4 l /4
M01 2
l
16
-
PA Bl
l 2
RBRA = P/2 P/2 =
VA = VB = P/2 VA
VB/2l
P
VC < VD
VD =
VC =
<
VC
VD/2l
(MD - MC)-
P
2 l(MD - MC)
+P
2 lP
(MD - MC)l
(MD - MC)l
q2l. q
2l.
C DMDMC
(MD - MC)l
(MD - MC)l
Carga puntual al medio de la luz
Diagrama de Esfuerzos de Corte (D.E.C.)Como ya hemos visto, para
analizar el corte, ya tenemos
que haber resuelto el diagrama de momentos. Esto es
porque segn como sean los momentos en los apoyos
van a ser las reacciones y en funcin de como sean las
reacciones, ser el diagrama de esfuerzo de corte.
Ahora, una viga simplemente apoyada con carga puntual
al medio de la luz, tendr momentos nulos en los apoyos
(ya que al ser estos articulados, no toman momento), por
lo tanto las reacciones sern P/2. Por lo tanto el D.E.C. es
el que se muestra [Figura 35].
En el caso que tengamos una viga con empotramientos
elsticos diferentes, debemos analizar cual de los
momentos en los apoyos es mayor para saber hacia
donde girara la viga, y colocar una cupla reactiva equili-
brante [Figura 36]. Esta cupla la sumamos y restamos a las
reacciones isostticas dependiendo del sentido.
Ahora que sabemos el valor de las reacciones, empeza-
mos a confeccionar el D.E.C., teniendo en cuenta que ste
representa todas las fuerzas que se encuentran a la
izquierda de determinada seccin. Cuando nos paramos
justo al lado del apoyo, veremos que la nica fuerza es la
reaccin Rc, si continuamos avanzando hacia la derecha,
no aparece ninguna fuerza hasta que llegamos a P, por lo
tanto, el corte es constante hasta P. All, justo despus de
pasar P, bajamos y continuamos constante hasta llegar a
RD y subimos cerrando el D.E.C.
Si miramos el resumen comparativo para cargas unifor-
memente distribuidas, veremos que las vigas simple-
mente apoyadas y las de empotramiento perfectos,
tienen el mismo diagrama de esfuerzo de corte; esto es
porque son simtricos sus momentos en los apoyos, por
lo tanto no se genera un giro.
[Figura 35]Esquema de
cargas de una
viga simple-
mente apoyada
y una carga
puntual P al
medio de la luz
con las reaccio-
nes y el diagra-
ma de esfuerzo
de corte
caracterstico.
Esquema del
giro de la viga
en funcin de la
magnitud de los
momentos en
los apoyos y su
cupla reactiva.
Reacciones
D.E.C. de una
viga con carga
puntual al
medio de la luz,
y momentos
diferentes en los
apoyos.
[Figura 36]
17
-
f (AB)
nBnA
nA nB=
RBRA
f (CD)
l /4
Pi Pi
nC nD
RDRC
P
A Bl
l 2C D
l
Pl 2
A MA = MB = 0
M0 =
B
P
4l.
VA = VB = VA
VB/2l
P
2P
VC < VD
VD =
VC =
<
VC
VD/2l
(MD - MC)-
P
2 l(MD - MC)
+P
2 lP
MC < MD l /4>
nG nH l /4>
M01 2
M0 MT
-
EMPOTRAMIENTO ELSTICO
f (AB)
nBnA
nA nB=
RBRARDRC
P3
A Bl
lP
3l 3l
C D
l
P3l
P3l 3l
A MA = MB = 0
M0 =
B
P
3l.
VA = VB = P VA
VB/3l
P
P
VC
VD
MDMC
Ejercicio de vigas (aisladas de su contexto) con dos cargas
puntuales P iguales
Esquemas
de cargas
Deformada
con sus
reacciones
Diagrama
de momento
ector
Diagrama
de esfuerzo
de corte
VIGA SIMPLEMENTE APOYADA
Siguiendo la metodologa explicada anteriormente y conociendo los
casos de viga simplemente apoyada y empotramiento perfecto,
complete los casos en blanco.
20
-
RHRG
G Hl
2P 2P3l 3l 3l
E Fl
P3l
P3l 3l
VE = VF = P
VE
VF/3l
P
P
(ME - MF)+ -
l
VG
VH
ME = MF =
MFME M0 = P
3l.
l /5l /4 >Pi> l /5l /4 >Pi>
M02 3
MHMG
f (EF)
= 0nE nF=
RFRE
Pi Pi
l /5l /4 >Pi>l /5l /4 >Pi>
Ejercicio de vigas (aisladas de su contexto) con dos cargas
puntuales P iguales
Esquemas
de cargas
Deformada
con sus
reacciones
Diagrama
de momento
ector
Diagrama
de esfuerzo
de corte
Siguiendo la metodologa explicada anteriormente y conociendo los
casos de viga
simplemente apoyada y empotramiento perfecto, complete los casos
en blanco.
EMPOTRAMIENTO PERFECTO EMPOTRAMIENTO MAS QUE PERFECTO
21
-
lMapl.
l
Mapl.
[Figura 38]
[Figura 37] Barras sin carga
Hasta el momento hemos analizado vigas que de una u
otra forma reciben carga directamente, ahora analizare-
mos aquellas que no tienen cargas (considerando el peso
propio despreciable) pero las vigas contiguas le transmi-
ten un giro.
El anlisis que haremos, se centrar principalmente en
vigas, pero tambin es aplicable a columnas, teniendo en
cuenta que la continuidad puede ser viga-viga o viga
columna.
En la [Figura 37] vemos dos ejemplos estructurales en
vista y su esquema de carga correspondiente. Veremos
comparativamente como se comporta uno y otro, y llega-
remos a la conclusin de que conceptualmente son
iguales.
Analicemos su deformada [Figura 38]: primero analiza-
mos la viga cargada aisladamente. El nudo de la derecha
(C) gira libremente como si fuera una viga simplemente
apoyada, por lo que no hay cambio de curvatura ni punto
de inexin (vease caso de la pg. 14). El nudo de la
izquierda (B), tiene continuidad con la viga AB, por lo
tanto se comporta como empotramiento elstico, con
cambio de curvatura y punto de inexin menor a la
luz/5.
Ahora, para analizar la viga descargada AB, lo que vamos
a hacer es aislarla de su contexto y reemplazar la viga BC
por el momento aplicado que provoca el giro del nudo.
De aqui en adelante, cada vez que veamos esta simbolo-
ga, signi&ca que la viga tiene continuidad y una viga o
columna le esta aplicando un momento.
En la [Figura 39] se muesta el mismo comportamiento de
la viga EF (con las mimas carcteristicas que la viga BC), y
vemos en la &gura que la columna DE trabaja igual. Al
lado vemos como representamos esquemticamente
esta situacin.22
Pi
Pi
A B C
muro muro muro
E
D
F
columna muro
Carga q Carga q
Ejemplos
estructurales
en vista y sus
esquemas
de cargas
Deformada
de la viga
ABC de la
!gura 37
Esquema de
carga de la
viga AB
aislada de su
contexto.
[Figura 39]
Deformada
del prtico
DEF de la
!gura 37
Esquema de
carga de la
columna DE
aislada de su
contexto.
-
Barra sin carga con un momento
aplicado en un extremo y el otro
articulado.
Este es el caso de la hoja anterior donde un momento
aplicado genera un giro sobre el nudo [Figura 40].
El giro deforma la viga como se muestra en la [Figura 41],
transmitiendo al otro extremo de la barra un giro de
sentido contrario. Como el nudo A es una articulacin,
este giro ser la mitad del giro producido en el nudo B.
Observemos que la deformada no tiene punto de
inexin, es decir que no hay cambio de curvatura en la
deformada. Por lo tanto, las tracciones estarn de un solo
lado(estaran arriba o abajo, segun el sentido del Mapl. ),
arriba en este caso.
Como dijimos anteriormente, el D.M.F. est relacionado
directamente con las tracciones: por lo tanto como las
tracciones estan siempre del mismo lado, el D.F.M. estar
del mismo lado [Figura 42]. Notese que en el nudo A el
momento vale 0, esto es porque es una articulacin y en
nudo de la derecha, el momento vale MB, es decir lo que
la viga reacciona ante el momento aplicado. En este caso
particular, MB vale lo mismo que Mapl.
Cuando analizamos las reacciones, vemos que como no
hay carga, la nicas fuerzas reactivas que encontramos
son las de la cupla que equilibra el momento interno de
la viga MB [Figura 43].
Con las reacciones podemos armar el D.E.C., mirando la
viga de izquierda a derecha: la primer fuerza que nos
encontramos es RA, entonces la colocamos partiendo de
su inicio, y en el sentido en que se encuetra. No vamos
desplazando hacia la derecha, y la nica fuerza que
encontramos es RB, la cual colocamos llegando al nudo B
[Figura 44].
23
[Figura 40]
[Figura 42]
A BMB
MB
l
MB
l
MA = 0MBMA
VA = VB = MB/l
VA VB
A BlMapl.
nA nBnBnA =
2
Mapl.
MB
RBRA
Esquema de
carga de
viga simple-
mente
apoyada y
momento
aplicado
[Figura 41]
Deformada
de la viga de
la Figura 40
D.M.F. de la
viga de la
Figura 40
[Figura 43]
Reacciones:
cupla
reactora
[Figura 44]
D.E.C. de la
viga de la
Figura 40
-
Barra sin carga con un momento
aplicado en un extremo y el otro
empotrado perfectamente.
Un momento aplicado genera un giro sobre el nudo y el
otro nudo est empotrado perfectamente [Figura 45]. El giro
deforma la viga como vemos en la [Figura 46] y el empotramiento en
el otro nudo le impide el giro. Esto genera un cambio en la
curvatura de la deformada, gene-randose un punto de inexin
exactamente al tercio de la luz de la viga.Tambin el empotramiento
perfecto toma momento, por lo tanto habr un momento de
empotramiento o reacti-vo.
En cuanto al diagrama de momento, vemos que el momento aplicado
genera un momento interno (MB), que se ve reejado en el DMF. El
momento de empotra-miento del otro nudo tambin genera un momento
interno (MA) de valor absoluto igual a la mitad del momento
aplicado [Figura 47].
Cuando analizamos las reacciones, al igual que en el caso
anterior, vemos que como no hay carga, las nicas fuer-zas reactivas
son las de la cupla que equilibra la suma de los momentos internos
de la viga MB y MA [Figura 48].
Con estas reacciones armamos el D.E.C. [Figura 49].
A BMBMA
MA + MBl
MA + MBl
MA = MBMBMA 2
VA = VB =
VA VB
MA + MBl
B
A
lMapl.
nAnB
Mapl.Memp. MBMA
RBRA
Pi
l /3
24
[Figura 45]
[Figura 47]
Esquema de
carga de
viga con
empotra-
miento
perfecto a la
izquierda y
momento
aplicado
[Figura 46]
Deformada
de la viga de
la Figura 45
D.M.F. de la
viga de la
Figura 45
[Figura 48]
Reacciones:
cupla
reactiva
[Figura 49]
D.E.C. de la
viga de la
Figura 45
-
Barra sin carga con un momento aplicado en un extremo y el otro
con empotramiento elstico.
Al igual que hemos hecho en capitulos anteriores, com-paramos
los casos extremos: empotramiento perrfecto y articulacin.
En cuanto al giro, podemo decir que est entre la entre
cero y la mitad del giro de B.
El Pi, se acerca al nudo A, ya que se encuentra entre 1/3
de la luz y el apoyo.
El momento en A, ser menor que MB/2, debido a que el
nudo es menos rgido.
Al siminuir MA, disminuye (en muy poca medida, pero
disminuye) el valor de las reacciones, por lo tanto dismi-
nuye el valor del corte.
25
A BMBMA
MA + MB
l
MA + MB
l
MA < MBMBMA 2
VA = VB =
VA VB
MA + MB
l
BA
lMapl.
nA nB
Mapl.Melast. MBMA
RBRA
Pi
l /3
