Apunte_Fluidos

8/19/2019 Apunte_Fluidos

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Caṕıtulo 1

Introducción

La Mecánica de Fluidos es la disciplina que estudia el comportamiento estático y dinámico deun fluido. Entenderemos como fluido cualquier substancia (lı́quida o gaseosa) que se deforma enforma continua cuando se ejerce sobre ella un esfuerzo de cizalle. Los fluidos se diferencian delos sólidos básicamente por su estructura molecular. Estos últimos poseen una gran densidadmolecular con fuerzas intermoleculares cohesivas fuertes que permiten que el sólido mantengasu forma y que sea muy difı́cil deformarlos.

Los lı́quidos poseen un espacio intermolecular mayor que el de los sólidos con fuerzas cohesivasmenores por lo que las part́ıculas tienen mayor libertad de movimiento. Además ocupan unvolumen fijo independiente de la forma de éste. Los Gases poseen un espacio intermolecularaún mayor. La atracción intermolecular es prácticamente despreciable por lo que se deformanfácilmente, son compresibles y llenan el volumen del recipiente que los contiene.

Si bien la estructura molecular de los fluido es importante no sirve para describir el compor-

tamiento de éstos en reposo o movimiento. Es por ésto que el estudio de los fluidos se realizacaracterizando el valor medio o macroscópico de la variable de inteŕes (velocidad, presión, etc.),donde éste valor medio se evalúa en un volumen pequeño con un gran número de moléculas1.Supondremos además que las propiedades del fluido como las variables del flujo varian en formacontinua y homogénea de un punto a otro del fluido2.

1.1 Sistema de Unidades

Se utilizará en este apunte preferentemente el Sistema Internacional de unidades (SI). Sin em-bargo y debido a que existe aún mucha literatura técnica como manuales de operación, diseño,

etc. donde se utilizan otros sistemas de unidades será necesario revisar también estos sistemas deunidades. Como en todo sistema de unidades, en el SI existen magnitudes b ásicas de las cualesse derivan todas las maginutes necesarias. En la tabla 1.1 se encuentran tabuladas alguna delas magnitudes básicas del SI, su unidad y el śımbolo utilizado para representarlas. La tabla 1.2muestra algunas magnitudes derivadas importantes para la mecánica de fluidos.

Dado que el tamaño real de las cantidades f́ısicas cubre una amplia variedad, se utilizan prefijospara designar múltiplos y fracciones decimales de las distintas magnitudes como se muestra enla tabla 1.3. En el SI se usan, por lo general, variaciones de 10±3. La relación que existe entre

1El espacio intermolecular es del orden de 10−6 y 10−7mm para los gases y ĺıquidos respectivamente en

condiciones normales de presión y temperatura. El número de moléculas por mm3 es del orden de 1018 en los

gases y 1021 en los ĺıquidos2Se supone que el fluido es un continuo

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1.1 Sistema de Unidades 2

Magnitud Dimensión Unidad SI Abreviación

Longitud L metro mtiempo T segundo smasa M kilogramo kgtemperatura θ Kelvin K

materia Mol mol

Tabla 1.1: Unidades del sistema internacional de unidades (SI) de algunas magnitudes básicas.

Magnitud Unidad SI Abreviación

tiempo minuto minhora hd́ıa d

Frecuencia Hertz Hzpresión Pascal Pa

Bar barviscosidad dinámica Pascalsegundo Pa sEnerǵıa, trabajo,calor Joule JPotencia, flujo de energı́a,flujo de calor Watt W

Tabla 1.2: Unidades del sistema internacional de unidades (SI) de algunas magnitudes derivadas.

las unidades básicas y las unidades derivas es la siguiente

1 min = 60 s

1 h = 60 min = 3600 s

1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s

1 Hz = 1/s

1 N = 1 kgm/s2

1 P a = 1 N/m2 = 1kgm

s21

m2 = 1

kg

ms2

1 bar = 105 N/m2 = 105 kgm

s21

m2 = 105

kg

ms2

1 P a s = 1 Ns/m2 = 1 kg ms 1m2 = 1 kgms

1 J = 1 W s = 1 N m = 1 kg m

s2 m = 1

kgm2

s2

1 W = 1 J/s = 1 Nm/s = 1 kgm

s2m

s = 1

kg m2

s3

Relación Peso–Masa

La masa m es una propiedad de un cuerpo que se mide por su resistencia a un cambio de

movimiento. Es por lo tanto también una medida de la cantidad de fluido.

C. Gherardelli U. de Chile


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1.2 Propiedades de los Fluidos 3

Factor Prefijo Abreviación Factor Prefijo Abreviación

1012 tera T 10−1 deci d109 giga G 10−2 centi c106 mega M 10−3 milli m103 kilo k 10−6 micro µ

102

hecto h 10−9

nano n10 deca da 10−12 pico p

Tabla 1.3: Múltiplos y fracciones de unidades utilizados

El peso w es la fuerza con que un cuerpo es atraido hacia la tierra por la acción de la gravedadg.

w = m · g

En el SI g = 9.81 m/s2.

1.2 Propiedades de los Fluidos

1.2.1 Densidad, ρ

Definición

La densidad se define como la masa m por unidad de volumen V

ρ = m

V

.

Las dimensiones de la densidad son por lo tanto

masa

Longitud3 =

M

L3,

de donde, la unidad en el SI es

kg

m3 .

La densidad de un fluido depende de las variables de estado presión y temperatura

dρ

ρ = β T · dp − β p · dT , (1.1)

donde β T y β p son los coeficientes de compresibilidad isotérmico e isobárico respectivamente.Para los ĺıquidos la dependencia de la densidad con la temperatura y sobre todo con la presiónes pequeña. Para los gases sin embargo, esta dependencia es fuerte.

Densidad de Ĺıquidos

La dependencia de la densidad de los ĺıquidos con la temperatura se puede describir medianteel coeficiente de compresibildad isobárico β p

∆V = V 0 β p ∆T ,



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donde V 0 es el volumen inicial.

⇒

V = V 0 + ∆V = V 0 (1 + β p ∆T )

como

ρ = m

V =

m

V 0 (1 + β p ∆T )

y

m

V 0= ρ0

⇒

ρ =

ρ0

1 + β p ∆T (1.2)

donde ρ0 es la densidad del lı́quido a una temperatura de referencia T 0 y ∆T es la diferencia detemperatura con respecto a la temperatura de referencia (∆T = T − T 0).Los ĺıquidos presentan, al igual que los sólidos, una baja compresibilidad. Suponiendo unarelación lineal entre una variacíon del volumen y una variación de la presión se obtiene lasiguiente dependencia de la densidad con la presión

∆V = β T V 0 ∆ p

⇒V = V 0 − ∆V = V 0(1 − β T ∆ p) .

Desarrollando se obtiene

ρ = ρ0

1 − β T ∆ p . (1.3)

Combinando las ecuaciones 1.2 y 1.3 se obtiene la dependencia de la densidad tanto con lapresión como con la temperatura para los ĺıquidos

ρ = ρ0

(1 + β p ∆T ) (1 − β T ∆ p) . (1.4)

Densidad de Gases y Vapores

Los gases son altamente compresibles en comparación a los lı́quidos. La relación más sencilla quepermite relacionar variaciones en la densidad con variaciones de la presi ón p y la temperaturaT es la ecuación de estado para gases ideales o perfectos

p = ρ · Rg · T (1.5)

⇒

ρ = p

Rg T


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donde p es la presión absoluta, Rg la constante particular del gas y T la temperatura ter-modinámica o absoluta. La constante del gas se obtiene a partir de la constante universal de losgases R y el peso molecular P M g de cada gas de la siguiente forma:

Rg =

R

P M g .

En muchas aplicaciones prácticas es posible suponer que los gases se comportan como gasesideales. Sin embargo, para presiones muy elevadas y temperaturas muy bajas la ecuación 1.5es poco precisa. El comportamiento real de los gases se describe introduciendo un factor decorrección denominado factor de compresibilidad Z en la ecuación de estado de la siguientemanera:

p = Z ρ R T

de donde

ρ = p

Z R T

Cuando un gas se comprime ( p ↑) o expande ( p ↓) la relación que existe durante este procesoentre la presión y la densidad dependerá de la naturaleza del proceso. Por ejemplo, si éste serealiza a temperatura constante (proceso isotérmico) se obtiene

p

ρ = cte.

Si el proceso es isoentrópico (entropı́a constante) se tiene

p

ρk = cte. ,

donde k = C p/C v depende de cada gas. Para gases ideales se tiene que R = C p − C v.

Densidad del Aire

El aire es una mezcla compuesta de nitrógeno, ox́ıgeno, monóxido de carbono, gases nobles ycontiene por lo general vapor de agua. La cantidad máxima de vapor de agua que puede contenerel aire depende de la presión y la temperatura. Si el aire contiene ésta cantidad máxima se dice

que el aire esta saturado. La densidad del aire húmedo se puede determinar mediante la siguienterelación:

ρh = ρs

1 − 0.377 ϕ pd

p

(1.6)

donde ρs es la densidad del aire seco, ϕ la humedad relativa, pd la presión de saturación delagua y p la presión atmosférica local.

1.2.2 Volumen espećıfico, v

El volumen espećıfico se define como el volumen por unidad de masa


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⇒

v = 1

ρ .

La unidad de v en el SI es por lo tanto

m3

kg .

1.2.3 Peso espećıfico, γ

El peso espećıfico se define como el peso por unidad de volumen y se relaciona con la densidadmediante la siguiente relación:

γ = ρ

·g

donde g representa la aceleración de gravedad.

1.2.4 Gravedad espećıfica, SG

La gravedad especı́fica es la razón entre la densidad del fluido y la densidad del agua a algunatemperatura especificada (por lo general se utiliza T = 4◦C ).

SG = ρ

ρH 2O,4◦C

1.2.5 Compresibilidad

La compresibildad de un fluido mide el cambio de volumen V que experimenta una substanciaque esta sujeta a un cambio de presión. Se representa por el módulo volumétrico de elasticidado simplemente módulo volumétrico E v:

E v = − dp

dV/V [P a] .

Como m = ρ V se obtiene

E v = dpdρ/ρ

.

Como se mencionó anteriormente, los ĺıquidos son en la práctica muy poco compresibles. Gasessometidos a bajas presiones también pueden ser considerados como incompresibles. Para gases,y dependiendo de la naturaleza del proceso, E v se puede determinar de la ecuación de estado.Para un proceso isotérmico y considerando un gas ideal se obtiene E v = p y para un procesoisoentrópico E v = k p.

1.2.6 Velocidad del sonido

Una consecuencia importante que se desprende de la compresibilidad de los fluidos es que unavariación pequeña de la presión se expande o propaga en forma de una onda longitudinal en



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el fluido con una velocidad finita. La velocidad con que se propaga esta onda se denominavelocidad acústica o velocidad del sonido c, que para una compresión isoentrópica, es decir sinfricción y sin transferencia de calor, es

c = dp

dρ .

A partir de esta formulación general se pueden deducir las siguientes relaciones para ĺıquidos ygases.

Lı́quidos. Si se desprecian los cambios de temperatura que se producen en una compresiónisoentrópica diferencial dp, es decir dT = 0, se obtiene, a partir de la ecuación 1.1, la siguienterelación

dρ

ρ ≈ β T · dp ,

de donde

dp ≈ 1β T ρ

.

⇒

c =

dp

dρ ≈

1

β T ρ .

Por definición el rećıproco del coeficiente de compresibilidad isotérmico β T es el módulo de

elasticidad volumétrico E v⇒

c ≈

1

β T ρ =

E vρ

.

Gases. La compresión isoentrópica de un gas ideal se describe mediante la ecuación de estado

pvk = p

ρk = cte.,

de donde

dp

dρ = cte · k · ρk−1 = p

ρk · k · ρk−1

= p k

ρ = p v k = R T k .

Reemplazando en la ecuación para la velocidad del sonido se obtiene

c =

p v k =

p k

ρ =

√ k R T ∝ T 1/2 .


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1.2.7 Presión de vapor

Si un liquido, como agua o bencina por ejemplo, es dejado en un recipiente abierto a la atmósfera,éste comienza a evaporarse. La evaporación ocurre como efecto del movimiento de las moléculasen el fluido. Algunas moléculas que se encuentran en la superficie del ĺıquido poseen suficiente

cantidad de movimiento para vencer las fuerzas cohesivas y escapar a la atmósfera. Si el mismorecipiente es sellado y se extrae el aire que queda sobre la superficie del lı́quido provocando unvacio, se generará una presión debido a las moléculas que escapan del fluido. Cuando se alcanzael equilibrio, es decir que el número de moĺeculas que sale es igual al número de moléculasque entran al fluido, se dice que el vapor esta saturado y la presi ón que el vapor ejerce sobrela superficie del ĺıquido se denomina presíon de vapor. La presión de vapor depende de latemperatura (actividad molecular) y aumenta con ella. Cuando la presión sobre un ĺıquido,que se encuentra a una temperatura dada, es igual a la presión de vapor del ĺıquido ocurrela ebullición. Para la mecánica de fluidos éste es un punto de importancia ya que, como severa más adelante, en fluidos en movimiento las presiones involucradas pueden llegar a ser muypequeñas, incluso debajo de la presión de vapor, lo que genera ebullición. Este fenómeno se

denomina cavitación. Las burbujas producidas en la ebullición pueden viajar a zonas de mayorpresión donde colapsan con suficiente intensidad como para producir problemas operacionalesy/o estructurales.

1.2.8 Viscosidad

Para que exista movimiento de un cuerpo a través de un fluido (flujo externo) o para elmovimiento de un fluido dentro de un canal o tubeŕıa (flujo interno) se debe ejercer una fuerzaque sobrepase la resistencia ofrecida por el fluido. La magnitud de la resistencia ofrecida por elfluido es una resistencia a la deformación y estará determinada por la velocidad de deformación

como por una propiedad del fluido denominada viscosidad. En la práctica se utilizan dos tiposde viscosidad:

a) viscosidad dinámica µ

b) viscosidad cinemática ν

Viscosidad dinámica, µ

Entre dos placas paralelas de igual superficie y separadas por una distancia b se encuentra unfluido homogéneo a temperatura constante (Fig. 1.1). A la placa superior se le aplica una fuerza

F por lo que ésta se mueve con una velocidad U . La placa inferior permanece quieta. Dadoque el fluido en contacto con una superficie tiene la misma velocidad que la superficie, el fluidoentre las placas se deforma generando un perfil de velocidades lineal entre las placas. La fuerzaF resulta ser proporcional a la velocidad de la placa superior U , a la superficie de las placas Ae inversamente proporcional al espesor del fluido b

F ∝ A U b

.

Como constante de proporcionalidad se introduce la viscosidad dinámica µ

⇒

F = µ A U

b .


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Figura 1.1: Esfuerzo de corte entre dos placas planas paralelas.

Reemplazando la fuerza F por el producto del esfuerzo de tangencial τ y el área de la placa seobtiene

F = τ A = µ A U

b ,

de donde

τ = µ U

b .

La razón U/b se denomina velocidad angular de deformación o rapidez de deformación del fluido.Esta velocidad es equivalente al la variación temporal del ángulo δβ o la velocidad angular dela linea ab. Para un tiempo δt pequeño y por lo tanto para una variación del ángulo pequeñase tiene

tan δβ ≈ δβ = δab

.

Como

δa = U · δt

⇒

δβ = U

b δt

de donde

δβ

δt = β̇ =

U

b .

La formulación presentada para el flujo completo entre las placas también es aplicable a unelemento diferencial de fluido, como el que muestra la Figura 1.2,

τ = µ lim∆y→0

∆u

∆y = µ

u2 − u1dy

= µ u1 + du − u1

dy

⇒

τ = µ du

dy


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Figura 1.2: Esfuerzo de corte entre dos elementos diferenciales de fluido.

La ecuación anterior se denomina Ley de viscosidad de Newton.

La viscosidad dinámica, denominada también viscosidad absoluta o simplemente viscosidad, esuna propiedad caracteŕıstica de cada fluido y es además dependiente de la temperatura y lapresión ⇒ µ = µ( p, T ). La unidad de la viscosidad en el SI es el Pascalsegundo.

[µ] = P a · s .

Dependiendo de la relación funcional que exista entre la viscosidad y la velocidad de deformaciónlos fluidos se pueden clasificar en fluidos newtonianos y fluidos no newtonianos. Para un fluidonewtoniano la viscosidad dinámica es independiente de la velocidad de deformación por lo queexiste una relación lineal entre la magnitud del esfuerzo cortante aplicado y la velocidad de

deformación (Fig. 1.3). En un fluido no newtoniano la relación entre la magnitud del esfuerzocortante y la velocidad de deformación no es lineal (Fig. 1.4). Para efectos de estos apuntes seconsideraran solo los fluidos newtonianos.

Figura 1.3: Dependencia de la viscosidad µ y el esfuerzo de corte τ con la velocidad de defor-mación para un fluido Newtoniano.


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Figura 1.4: Dependencia de la viscosidad aparente µap con la velocidad de deformación para unfluido no Newtoniano.

Viscosidad cinemática, ν

La viscosidad cinemática se define como el cuociente entre la viscosidad dinámica y la densidad

ν = µ

ρ .

Las unidades son por lo tanto

[ν ] = P a s

kg/m3 =

N/m2 s

kg/m3 =

kgm/s2 s

m2 kg/m3 ,

[ν ] = m2

s .

Dependencia de la viscosidad con la temperatura

Si bien la viscosidad de los fluidos depende tanto de la presi ón como de la temperatura, ladependencia con la presión es, por lo general, despreciable. La viscosidad dinámica de losĺıquidos decrese con la temperatura y la de los gases crece. Esta diferencia puede ser explicadapor la diferencia de la estructura molecular. La resistencia al corte o deformación depende de

1. la cohesión molecular y

2. de la rapidez de transferencia de cantidad de movimiento molecular.

En los ĺıquidos predominan las fuerzas cohesivas entre las moléculas y como éstas decrecen conla temperatura la viscosidad también decrece con la temperatura (Fig. 1.5).

La actividad molecular da origen a la viscosidad en los gases. Como ésta aumenta con latemperatura, la viscosidad también aumenta con la temperatura.

En la literatura es posible encontrar diversas relaciones empı́ricas que dan cuenta del efecto dela temperatura sobre la viscosidad como por ejemplo las siguientes:

Gases

µ ≈ µ0 · T 0 + T S T + T S

·

T

T 0

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Figura 1.5: Dependencia de la viscosidad µ para gases y ĺıquidos con la temperatura.

donde µ0 es la viscosidad dinámica a la temperatura T 0 = 273 K y T S una constante empı́rica

con unidades de temperatura que depende de cada gas.

Lı́quidos

µ = D eB/T

donde D y B son constantes emṕıricas particulares para cada ĺıquido y T la temperatura abso-luta.

Dependencia de la viscosidad con la presión

La dependencia de la viscosidad con la presión se hace manifiesta solo a altas presiones. Parala mayoŕıa de los ĺıquidos la viscosidad aumenta con la presión en forma exponencial por lo quese utiliza la siguiente relación para representar esta dependencia

µ p ≈ µ0 · eαp

donde µ p es la viscosidad a la presión p, µ0 la viscosidad a la presíon p0 = 1 bar y la temperaturaT y

α = 1

µT

dµ pdp

T

.



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Caṕıtulo 2

Estática de Fluidos

La estática de fluidos considera que el fluido está en reposo ( V = 0) o en un movimiento tal queno existe movimiento relativo entre part́ıculas adyacentes. En ambos casos no existirán esfuerzosde corte y las fuerzas existentes serán causadas sólo por la presión. La presión p ejercida sobreuna superficie es la fuerza total F perpendicular a la superficie por unidad de superficie, es decir

p = F · n̂

A

donde F · n̂ es la componente normal a la superficie de

la fuerza F y A el área de la superficie.Fuerza sobre un elemento de área.

La unidad de la presión en el SI se denomina Pascal y resulta de

[ p] = [F/A] = N

m2 ≡ P a

otras unidades de presión y su conversión al SI son

atm = 1.01325 · 105 P a (atmósferas)

bar ≡ 105 P a

psi = lbf

in2 = 6.8948 · 103 P a

psf = lbf

f t2 = 4.7880 · 10 P a

mmHG = 1.3332 · 102 P a (mm de columna de mercurio)

mm.c.a. = 9.8067 P a (mm de columna de agua)


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2.1 Presión en un punto 14

Los instrumentos que miden presión no lo hacen, por lo general, directamente si no que entreganla diferencia de presión del fluido (presión absoluta) y la presión del medio o atmosférica. Estadiferencia se denomina presíon diferencial, relativa o manométrica ⇒

pabs = pman + patm

A pesar de que la presión atmosférica no es constante de un lugar a otro, ésto no tiene mayorinfluencia para muchos propósitos en ingenieŕıa. Existen casos, sobre todo cuando se trabajacon gases, donde es necesario considerar la presión absoluta. La figura 2.1 muestra gráficamentela relación que existe entre la presión absoluta y relativa para niveles superiores e inferiores a lapresión atmosférica.

Figura 2.1: Relación entre la presión absoluta y la presión relativa.

2.1 Presión en un punto

Como se mencionó anteriormente la presión se utiliza para indicar la fuerza normal a una super-ficie por unidad de superficie. Para analizar como vaŕıa la presión en un punto con la orientaciónde la superficie analizaremos el esquema de la figura 2.2.

Figura 2.2: Elemento de fluido.

Las componentes de la ecuación de movimiento ( F = ma) en las direcciones y y z son

δF y = py δxδz − ps δxδs sin θ = ρ

δxδy δz

2 ay


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2.2 Campo de presiones 15

δF z = pz δxδy − ps δxδs cos θ − ρ

δxδy δz

2 g = ρ

δxδy δz

2 az .

De la geometŕıa del problema se tiene que

δy = δs cos θ y

δz = δs sin θ .

Reemplazando se obtiene

py − ps = ρayδy

2

pz − ps = ρ(az + g)δz

2 .

Dado que lo que interesa obtener es la presión en un punto se aplica el lı́mite cuando δy,δx,δz →0 resultando

py = ps ,

pz = ps .

Este resultado es independiente del ángulo θ el cual fue además, elegido en forma arbitraria. Loanterior indica que la presión en cualquier punto de un fluido en reposo o en movimiento tal que

no existan esfuerzos de corte, es independiente de la dirección⇒

px = py = pz = p

Si el fluido esta en un movimiento tal que existen esfuerzos de corte, los esfuerzos normales noserán, por lo general, iguales en todas las direcciones. En estos casos se define la presión comoel promedio de los esfuerzos normales mutuamente perpendiculares en un punto, es decir

p = px + py + pz

3 .

2.2 Campo de presiones

Sabiendo como vaŕıa la presión en un punto de un fluido con la dirección se requiere saber cómovaŕıa ésta entre un punto del fluido y otro, para lo cual se analiza la figura 2.3 en donde se harealizado un desarrollo de Taylor de primer orden para la presíon a partir del centro de la figuray en todas las direcciones. La fuerza resultante en la direcci ón y es

δF y =

p−

∂ p

∂y

δy

2

δxδz −

p +

∂ p

∂y

δy

2

δxδz

δF y = −∂p

∂y δx δ y δz .


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Figura 2.3: Variación de la presión en torno a un elemento de fluido.

Para las demás direcciones se obtiene en forma análoga

δF x = −∂p

∂x δxδy δz

y

δF z = −∂p

∂z δxδy δz − γ δxδy δz .

El vector elemental de fuerza δ F resulta por lo tanto

δ F = −

∂p

∂xı̂ +

∂p

∂yˆ +

∂ p

∂zk̂

δxδy δz − γδxδyδzk̂

ó, por unidad de volumen,

δ F

δxδy δz = f = −

∂p

∂xı̂ +

∂ p

∂yˆ +

∂ p

∂zk̂

− γ ̂k .

El grupo de términos entre paréntesis representa el gradiente de la presión, el cual se abreviautilizando el operador ∇ (nabla)

∇() = ∂ ()

∂xı̂ +

∂ ()

∂y ˆ +

∂ ()

∂zk̂ ,

por lo que la ecuación anterior queda

δ F

δxδy δz = −∇ p− γ ̂k .

Para un elemento de fluido en movimiento sin esfuerzos de corte se tendrá que

−∇ p− γ ̂k = ρa ,

donde a es la aceleración del elemento de fluido. Si el fluido esta en reposo o en movimientouniforme entonces a = 0 por lo que

−∇ p− γ ̂k = 0 .



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Las componentes escalares de ésta ecuación son

∂p

∂x = 0 ,

∂p∂y

= 0 ,

∂p

∂z = −γ .

Estas ecuaciones nos dicen que la presión no depende de las coordenadas x e y . Por lo tanto, sinos movemos sobre un plano horizontal paralelo al plano x−y la presión no cambia siempre quehaya continuidad en el fluido como se muestra en la figura 2.4. Vemos también de esta figuraque la distribución de presiones es también independiente de la forma o tamaño del recipienteque contenga el ĺıquido. La ecuación según k̂ puede escribirse, por lo tanto, como una ecuación

diferencial ordinaria

dp

dz = −γ (2.1)

Figura 2.4: Variación de la presión hidroestática con la presión y forma del recipiente.

Fluido incompresible

Para un fluido homoǵeneo e incompresible γ puede considerarse constante. Integrando laecuación 2.1 entre los puntos 1 y 2 de la figura 2.5(a) se obtiene

p2 −

p1

= γ (z2 −

z1

)

o

p1 − p2 = γ (z2 − z1) = γ h

p1 = p2 + γh .

De la ecuación anterior se desprende que la presión puede ser expresada como una altura decolumna de ĺıquido

h = p1 − p2γ


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(a) Variación de la presión entre dos nive-les de profundidad distintos.

(b) Distribución de la presión atmosféricay la hidroestática con la profundidad.

Figura 2.5: Presión hidroéstatica para un ĺıquido en reposo.

h representa la altura de una columna de lı́quido de peso especı́fico γ que produce un diferencialde presion p1 − p2.

Cuando se tiene una superficie libre es conveniente utilizarla como plano de referencia. Lapresión que actúa sobre este plano de referencia se denomina presión de referencia p0.

p = p0 + γh

donde h se mide desde la superficie libre hacia abajo como indica la figura 2.5(b). p representaen este caso la presión total o absoluta, la presión relativa resulta prel = p − p0 = γ h. Vemosque la presión p0 se distribuye en forma cont́ınua mientras que la presión relativa aumenta conla profundidad. La presión total puede por lo tanto ser analizada como la superposición de unadistribución uniforme de presiones de magnitud p0 y una distribución de presiones que aumentaen forma lineal con la profundidad.

Fluido compresible

Integrando la ecuación 2.1 para gases y considerando un gas ideal en reposo, es decir que secumple la ecuación de estado para los gases ideales, se tiene

dp

dz = −

g p

R T .

Separando variables e integrando

p2 p1

dp

p = −

g

R

z2 z1

dz

T

ln p2 p1 = −

g

R

z2

z1

dz

T .


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2.3 Fuerzas hidroestáticas sobre superficies sumergidas 19

Se ve que se debe explicitar como vaŕıa la temperatura del gas con la elevación. Si se supone,por ejemplo, que para el rango z1, z2 T = T 0 = cte. (condición isotérmica) se tendrá

p2 = p1 exp

−

g(z2 − z1)

R T 0

.

La variación de la temperatura en la atmósfera terrestre con la altura vaŕıa en los distintosestratos de ésta como indica la tabla 2.1. Para la tropósfera y hasta una altura de 11 km(valor que depende de la ubicación geográfica y de la estación del año) se puede suponer que elgradiente de temperatura es constante y dado por

dT

dz = −0.0065K/m

⇒

T = T 0 + β z

donde β =−

0.0065 K/m. Reemplazando y resolviendo la integral a partir del nivel z = 0 donde p = patm y T = T atm se obtiene

p = patm

1 −

β z

T atm

g/Rβ

Como una forma de standarizar los resultados de c álculos y experimentos, donde intervienenparámetros atmosféricos, se define una atmósfera standart, es decir una atmósfera para la cualse fija la temperatura, presión, densidad y otras propiedades del aire al nivel del mar (z =0). Existen principalmente dos definiciones que se denominan Atmósfera Normal y AtmósferaStandart. Los valores de T , p , ρ para z = 0 para la Atmósfera Standart son

patm = 101325 P a

T atm = 15◦C

ρatm = 1.225 kg/m3

Altura (z) Nombre Temperatura

0 a 11 km Tropósfera Decreciente con la altura de +15◦C a −56.5◦C .11 a 20 km Estratósfera Constante a −56.5◦C .20 a 50 km Creciente con la altura de −56.5◦C a 0◦C (Inversión)50 a 60 km Constante en torno a 0◦C 60 a 80 km Decreciente con la altura de 0◦C a −80◦C

80 a 400 km Creciente con la altura, sobre 1000◦ a 200 km de altura

Tabla 2.1: Variación de la temperatura en distintos estratos de la atmósfera.

2.3 Fuerzas hidroestáticas sobre superficies sumergidas

Para fluidos en reposo sabemos que la fuerza resultante es perpendicular a la superficie, ya queno existen esfuerzos de corte, y que la presión aumenta en forma lineal con la profundidad.Se analizará en esta sección las fuerzas que se ejercen sobre superficies planas y curvas que se

encuentran sumergidas en un fluido. Se verán además los conceptos de empuje y estabilidad enla flotación.


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2.3.1 Superficies Planas

Para una superficie plana cualquiera, como la que se muestra en la figura 2.6, que se encuentrasumergida en un fluido e inclinada en un ángulo θ con respecto a la horizontal, se requieredeterminar la fuerza resultante, que actúa sobre la superficie, y su punto de aplicación.

Figura 2.6: Fuerza sobre una placa plana.

A una profundidad arbitraria h, la fuerza que actúa sobre un elemento diferencial de área dA es

dF = γ hdA

la cual es perpendicular a la superficie. Integrando sobre toda la superficie se puede determinarla magnitud de la fuerza total o resultante F R

F R =

A

γhdA =

A

γy sin θdA.

Para valores constantes de γ y θ se obtiene

F R = γ sin θ A

ydA.

La integral es el momento de primer orden del área A con respecto al eje x y puede ser escritocomo

A

ydA = yc A ,

donde yc es la coordenada y del centroide, o centro de masa o de gravedad, medida desde el ejex que pasa por O . F R resulta por lo tanto

F R = γ A yc sin θ hc

= γ hc pc

A = pc A .


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Cabe hacer notar que la magnitud de la fuerza es independiente del ángulo θ y depende sólo delpeso del fluido y la profundidad del centroide del área bajo la superficie libre.

La coordenada y de la fuerza resultante, yR, se puede determinar realizando la suma de momentosalrededor del eje x

F R yR = A

y dF = A

γ sin θy2 dA .

Reemplazando el resultado anterior para F R y reordenando se obtiene

yR =

A

y2 dA

yc A .

La integral del numerador es el momento de inercia de segundo orden1 I x con respecto al ejeformado por la intersección del plano que contiene la superficie con el de la superficie libre x

⇒

yR = I xyc A

.

Utilizando el teorema de ejes paralelos I x puede expresarse como

I x = I xc + A y2

c ,

donde I xc es el mometo de segundo orden del área c/r a un eje que pasa por el centroide yparalelo al eje x. Reemplazando se obtiene

yR = I xcyc A

+ yc .

Como I xc/ycA > 0, se ve que la fuerza resultante no pasa por el centroide sino que se encuentradesplazada hacia abajo.

Análogamente para la coordenada x se obtiene

F R xR =

A

x dF ,

de donde

xR =

A

x y d A

yc A =

I xyyc A

.

I xy es el producto de inercia c/r al eje x e y . Utilizando el teorema de ejes paralelos se obtiene

xR = I xycyc A

+ xc .

1El momento de inercia de un área con respecto a un eje particular se define como la suma de los productos

obtenidos al multiplicar cada elemento infinitesimal de ella por el cuadrado de su distancia al eje, es decir, es unafunción de la ubicación del área con respecto a un eje.



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2.3.2 Superficies curvas

En superficies curvas la fuerza elemental o por unidad de área vaŕıa su dirección ya que la presiónsigue siendo perpendicular a la superficie en todo punto de ésta. Si bien es posible realizaruna integración a través de la superficie de las fuerzas diferenciales de presión esto puede ser

muy complejo y tedioso. Es preferible separar las fuerzas en las correspondientes componentesperpendiculares. Suponiendo una superficie curva sumergida como la de la figura 2.7, donde elplano x − y es paralelo al plano de la superficie libre y el eje z es perpendicular a éste plano yapunta hacia abajo, tendremos que las fuerza sobre un elemento diferencial de área según el ejex es

dF x = pdA cos θ .

dA cos θ es la proyección del área dA sobre un plano formado por los ejes y − z perpendicularal eje x, es decir dA cos θ = dAx.

Figura 2.7: Fuerza sobre un placa curva.

⇒

dF x = pdAx = ρ g z dAx .

Integrando sobre toda la superficie se tiene

F x =

dF x = ρ g

zdAx .

El término

z dAx es igual al momento de primer orden de la proyecci ón de área A sobre elplano y − z y puede ser ecrito por

zdAx = zc,xAx ,

donde zc,x es la coordenada z del centroide de Ax. Se obtiene por lo tanto

F x = ρ g zc,x Ax .


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Para F y se obtiene análogamente

F y = ρ g zc,y Ay .

Para el eje z se obtiene

F z = ρ g V

donde V es el volumen de ĺıquido que se encuentra sobre la superficie. Vemos que F z es igualal peso del ĺıquido que se encuentra sobre la superficie. En el desarrollo anterior se omitió lapresión que existe sobre la superficie libre ya que ésta actúa a ambos lados de la placa por loque su efecto neto es nulo.

2.3.3 Empuje y Flotacíon

Empuje estático

Si un cuerpo está parcial o totalmente sumergido en un fluido la resultante de fuerzas causadaspor la presión que actúan sobre el cuerpo se denomina fuerza de empuje o de flotaci ón (E ).Analizando la figura 2.8 vemos que como la proyección del área sobre cualquier par de planosparalelos y opuestos es la misma, es decir A p1 = A p2, las fuerzas según el eje x se anulanmutuamente. Lo anterior indica que la fuerza de empuje será siempre vertical. Analizando elprisma de sección transversal δA se tiene

δE = ( p2 − p1) δA = γ hδA δV

= γ δV .

Suponiendo que γ es constante se puede integrar la ecuación anterior obteniéndose

E = γ V .

Figura 2.8: Fuerza de empuje.

Se ve que la fuerza de empuje es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo. Realizandoun balance de momentos se determina que el punto de aplicación de la fuerza es el centro demasa o centriode del volumen del fluido desplazado

x̄ = 1

V

V

xdV .


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El punto de aplicación de la fuerza de empuje se denomina también centro de presiones (CP ).Debido a la existencia del empuje un cuerpo parece perder peso al sumergirse en un fluido. Estapérdida aparente de peso ∆W es igual al empuje

∆W = E = γ V .

El peso aparente W a del cuerpo sumergido es por lo tanto

W a = W −∆W = W −E = W − γ V .

De la ecuación anterior es posible determinar el volumen de ĺıquido desplazado V

V = W −W a

γ .

Este volumen es, para cuerpos totalmente sumergidos, igual al volumen del cuerpo, de donde es

posible determinar la densidad media ρc de el o los materiales de que esta compuesto el cuerpo

ρc = W

W −W aρ .

2.3.4 Flotación

Si la fuerza de empuje que experimenta un cuerpo en un fluido es igual a su peso, éste flotará siparte de su volumen está sobre la superficie y se encontrará suspendido si está completamentesumergido. La condición de equilibrio es por lo tanto para ambos casos

E = W .

Si estas fuerzas son diferentes existen dos posibilidades

a) E < W el cuerpo se hunde y

b) E > W el cuerpo sale a flote.

Estabilidad en la flotación

Si un cuerpo se encuentra en equilibrio, ya sea flotando o suspendido, la fuerza de empuje y elpeso estan aplicadas sobre una misma ĺınea vertical. Debido a que los puntos de aplicación de lafuerza de empuje y el centro de gravedad no coinciden necesariamente, este equilibrio puede serestable o inestable. Un cuerpo estará en equilibrio estable si al desplazarlo en forma angular ésterecupera su posición original e inestable si éste se mueve a una posición distinta de la original.

Para cuerpos totalmente sumergidos, como los que se muestran en la figura 2.9, si el centro degravedad está por debajo del centro de aplicacíon de la fuerza de empuje, ambas fuerzas crean unmomento que tiende a restaurar la posición original del cuerpo, si éste se desplaza angularmente,es decir el equilibrio es estable si el centro de gravedad del cuerpo está por debajo del puntode aplicación de la fuerza de empuje. Si el centro de gravedad está por encima del punto deaplicación de la fuerza de empuje se crea un momento que tiende a volcar el cuerpo por lo queel equilibrio es inestable.

En cuerpos que estan parcialmente sumergidos o flotando la estabilidad en la flotaci ón puededarse incluso si el centro de gravedad está por encima del punto de aplicación de la fuerza de


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2.4 Fluido en Movimiento 25

Figura 2.9: Estabilidad en la flotación para cuerpos totalmente sumergidos.

Figura 2.10: Estabilidad en la flotación de un cuerpo flotante.

empuje. Esto se debe a que el punto de aplicación de la fuerza de empuje está asociado alcentro de gravedad del ĺıquido desplazado y éste se desplaza al cambiar el volumen desplazado.Analizando la figura 2.10 vemos que el punto de aplicación del empuje cambia desde punto Ba B pero el punto de aplicación del peso se mantiene en C . Si el punto M , que se denominaMetacentro y que es el punto de intersección de una ĺınea vertical que pasa por B y la ĺıneavertical original, se encuentra sobre C , se crea un momento restaurador y el cuerpo se encontarápor lo tanto en un equilibrio estable. La distancia M C se denomina altura metacéntrica. Porlo tanto si

1. M esta sobre C existe equilibrio estable.

2. M esta bajo C existe equilibrio inestable.

3. M esta en C existe equilibrio neutro.

La distancia M C se obtiene de

M C = γ I yy

W − l .

2.4 Fluido en Movimiento

La ecuación de movimiento de un fluido que se encuentra en un movimiento tal que no existenesfuerzos de corte es

−∇ p− γ ̂k = ρa .


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Esta ecuación se cumplen cuando el fluido está en movimiento, lineal o rotatorio, tal comosi fuera un cuerpo ŕıgido. Las componentes de esta ecuación, para un sistema cartesiano ysuponiendo k̂ vertical hacia arriba, son

−∂p

∂x = ρ ax

−∂p

∂y = ρ ay

−∂p

∂z = γ + ρ az .

La superficie libre generada es una superficie de equilibrio, por lo que la fuerza total ejercidasobre las part́ıculas de fluido es normal a la superficie en todo punto de ésta. Lo anterior indica,y dada la curvatura terrestre, que la superficie que se genera sobre un ĺıquido que sólo estasometido a la aceleración de gravedad tiene la forma de un casquete esférico. Este fenómeno

es, sin embargo, despreciable a escalas pequeñas, donde se puede considerar que la superficie esplana, y sólo es posible de apreciar en supericies muy grandes como los océanos.

Considerando el recipiente de la figura 2.11, el cual está sometido a una aceleración constantea = ayˆ + azk̂ con ay = a cos α y az = a sin α. El diferencial de presión en un pto cualquiera y, zes

dp = ∂p

∂y dy +

∂p

∂z dz .

Reemplazando

dp = −ρ ay dy − ρ(g + az)dz .

l

h

z

y

a

Figura 2.11: Ĺıquido sometido a una aceleración lineal constante.

Esta ecuación se puede integrar conociendo la presión p0 en un punto. A lo largo de una ĺıneade presión constante, como la superficie libre por ejemplo, se tiene que dp = 0 por lo que

dz

dy = −

ayg + az

= − a cos α

g + a sin α


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o

tan β = a cos α

g + a sin α ,

donde β es el ángulo que adquiere la superficie libre y las superficies isobáricas del ĺıquido. Se veque la presión vaŕıa en forma hidroestática en el ĺıquido. La variación en altura h que adquiereel lı́quido entre un extremo y otro del recipiente se puede obtener de

h = l · tan β = l a cos α

g + a sin α ,

donde l es el ancho del recipiente.

Para el caso particular de una aceleración horizontal, es decir α = 0 se obtiene

tan β = a

g .

Si el fluido se encuentra en un movimiento vertical (ay = 0) no habrá inclinación y

dp

dz = −ρ(az + g) .

Se ve que la presión vaŕıa en este caso en forma lineal con la profundidad pero bajo la accióncombinada de az y g . Si el fluido cae en caı́da libre entonces az = −g y se tendrá

dp

dz = 0

de donde vemos que la presión será, en todo el lı́quido, igual a la presión que rodea el fluido.

Analizaremos ahora el caso de un fluido que se encuentra en un recipiente el cual gira con unavelocidad angular constante ω como se muestra en la figura 2.12. Dado que estamos suponiendoque no hay movimiento relativo entre las part́ıculas del fluido, cada part́ıcula de fluido tendrála velocidad angular ω y el ĺıquido se estará moviendo como un bloque. La aceleración deuna part́ıcula situada a una distancia r del eje tendrá una aceleración rω2 en dirección radial.Utilzando coordenadas cilı́ndricas tenemos

∇ p = ∂p

∂rr̂ +

1

r

∂p

∂θθ̂ +

∂ p

∂zk̂

y

ar = −rω2 ,

aθ = 0 ,

az = 0 .

De la ecuación de movimiento obtenemos

∂p

∂r = −rω2 ,

∂p

∂θ = 0 ,


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Figura 2.12: Ĺıquido sometido a una velocidad angular ω constante.

∂p

∂z = −γ .

El diferencial de presión resulta por lo tanto

dp = ∂p

∂r dr +

∂ p

∂z dz

dp = ρrω2 dr − γdz.

Integrando esta ecuación se obtiene

p = ρω2

2 r2 − γ z + cte .

Se ve que la presión vaŕıa con la distancia al eje y que para un radio constante la presión varı́a enforma hidroestática en la dirección vertical. Las superficies isobáricas se obtienen de la condicióndp = 0

⇒

dz

dr = r ω2

g

de donde la ecuación de la superficie resulta

z = ω2

2g r2 + cte .

Vemos que las superficies isobáricas, y por lo tanto la superficie libre, tiene la forma de unparaboloide de revolución o en dos dimensiones una parábola. Se puede ver además que laforma de la curva es independiente del fluido. El valor de la constante se puede determinar dela condición para r = 0 donde z = zmin ⇒ cte = zmin.

z = ω2

2g r2 + zmin .



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La ecuación anterior se puede expresar en función del nivel del lı́quido en reposo h por la siguienterelación

z = h + ω2

4g(2r2 − r20)

de donde

zmin = h − ω2r2

0

4g

y

zmax = h + ω2r2

0

4g .



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30

Caṕıtulo 3

Cinemática de Fluidos

La cinemática estudia varios aspectos de un fluido en movimiento como velocidad, posici ón yaceleración sin analizar las fuerzas necesarias para que se produzca dicho movimiento.

En una primera parte describiremos el movimiento en términos del movimiento de una part́ıculafluida y posteriormente se realizara un análisis macroscópico para la descripción de un flujo.

La descripción de cualquier propiedad del fluido puede ser descrita como una función de suposición. En particular se utilizan coordenadas espaciales (x,y ,z por ejemplo) para identificarlas partı́culas de fluido y sus propiedades. Esta representación se denomina representación decampo. Aśı por ejemplo, el campo de velocidades vendŕa dado por V = V (x,y ,z). Como larepresentación de una part́ıcula puede ser diferente en tiempos diferentes la representación debeser también una función del tiempo. Para el campo de temperaturas y velocidades por ejemplo

T = T (x,y ,z ,t)

V = V (x,y ,z ,t)

V = u(x,y ,z ,t)ı̂ + v(x,y ,z ,t)ˆ + w(x,y ,z ,t)k̂

El movimiento de una part́ıcula puede ser descrito en términos de la velocidad y la aceleración.Por definición la velocidad de una part́ıcula es la variación temporal del vector posición

V = dr

dt .

La rapidez es el módulo de la velocidad | V |. Si las propiedades de un flujo, en todos los puntosdel espacio, permanecen invariantes en el tiempo, se dice que el flujo es permanente. En casocontrario se llama no–permanente. Un campo de velocidades permanente estar á dado por

V = V (x,y ,z) .

Para el caso permanente se cumple (∂/∂t = 0).

Como se mencionó anteriormente las propiedades de un fluido y las caracteŕısticas del flujo sepueden representar como una función de la posición y del tiempo. Se desprende de lo anteriordos formas de posibles de representación:

1. La primera, utiliza el concepto de campo mencionado anteriormente. La descripción delflujo está dada por la descripción de las propiedades de éste como una función de la posicíon


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3.1 Velocidad, Rotación, Deformación 31

y del tiempo. De esta manera se obtiene información del flujo en términos de qué pasaen un punto fijo del espacio en un tiempo t cuando el flujo pasa por él. Este método dedescripción se denomina descripción Euleriana. La velocidad queda representada por elcampo de velocidades dado por

V = V (x,y ,z ,t) .

2. El segundo método, denominado Lagrangiano, analiza una part́ıcula genérica del flujo paraanalizar y caracterizar el flujo. En esta representación la posición x, y, z no son fijas sinovaŕıan en el tiempo. Las coordenadas espaciales serán por lo tanto funciones del tiempoy de una posición preescrita xo, yo, zo en un instante to. Para la velocidad se tiene por lotanto

V = V (x(t), y(t), z(t), t) .

V

V V

A

Ĺıneas y tubo de corriente

Para representar el flujo en forma gráfica se utiliza el conceptode ĺınea de corriente. Las ĺıneas de corriente son las envolventesde los vectores de velocidad de las part́ıculas fluidas, es decir,el vector de velocidad es siempre tangente a las ĺıneas de corri-ente. Si el flujo es permanente (∂/∂t = 0) las ĺıneas de corrienteestarán fijas en el tiempo y coincidirán con la trayectoŕıa de laspart́ıculas. Si el flujo no es permanente (∂/∂t = 0) las ĺıneas decorriente serán solo una representación instantánea del flujo.

Se llama tubo de corriente al conjunto de ĺıneas de corriente quepasan por el contorno de un área A, en un tiempo determinado.Dado que la velocidad es tangente a las ĺıneas de corriente, no

existirá flujo a través del manto de un tubo de corriente por loque se cumple que

V × dr = 0 ,

donde dr es el desplazamiento diferencial de una partı́cula fluida que tiene una velocidad V . Dela ecuación anterior resulta

dx

u =

dy

v =

dz

w , (3.1)

que representan las ecuaciones para determinar las ĺıneas de corriente.

3.1 Velocidad, Rotación, Deformación

Como se menciono en el caṕıtulo 1 un fluido es una substancia que se deforma al aplicar sobreésta un esfuerzo de cizalle. Debemos esperar por lo tanto que una part́ıcula fluida se encuentresometida a movimientos de traslación, rotación, deformación lineal y angular como se muestraen la figura 3.1. Este tipo de movimientos esta asociado a variaciones complejas de las diferentescomponentes de la velocidad (u,v,w) en todas las direcciones. Lo anterior nos indica que, engeneral, (∂V i/∂x j ) = 0 ∀i, j. Analizaremos ahora cada uno de estos efectos por separado y surelación con la variación de la velocidad según los distintos ejes coordenados.


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Figura 3.1: Superposición de movimientos de una part́ıcula fluida.

Traslación.

El movimiento mas sencillo al cual se puede encontrar sometida una part́ıcula fluida es elmovimiento de traslación. En la figura 3.2 se muestra una part́ıcula que viaja con una ve-

locidad constante desplazándose desde su posición original una nueva posición dada por lospuntos O AC B.

Figura 3.2: Movimiento de traslación de una part́ıcula fluida.

Deformación lineal.

Analizaremos la deformación lineal según el eje x, como se muestra en la figura 3.3. Nos interesapor lo tanto analizar la variación de la velocidad según el mismo eje, es decir (∂u/∂x). Comose muestra en ésta figura, y debido a la diferencia de velocidad existente entre las ĺıneas OB yAC el elemento de fluido se deforma en un tiempo δt. La variación del volumen resulta

δV = ∂u∂x

δx δyδzδt.

Figura 3.3: Deformación lineal de una part́ıcula fluida.


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El cambio de volumen en el tiempo por unidad de volumen y tiempo es

1

V

d(δV )

δt = lim

δt→0

(∂u/∂x)δt

δt

=

∂u

∂x .

El cambio de volumen, por unidad de volumen, según todos los ejes es la superposición de loscambios según cada eje y por lo tanto igual a

1

V

d(δV )

δt =

∂u

∂x +

∂ v

∂y +

∂ w

∂z = ∇ · V .

Vemos como la divergencia de la velocidad, ∇ · V , se encuentra asociada a la deformación linealde la part́ıcula fluida. Como un cambio de volumen a masa constante significa una variación dela densidad, se debe cumplir que

∇ · V = 0 para un flujo incompresible y

∇ · V = 0 para un flujo compresible.

Rotación.

La velocidad angular de la ĺınea OA, ΩOA, de la figura 3.4 queda definida por

ΩOA = limδt→0

δα

δt .

Para δα pequeños y de la figura se tiene que

tan α ≈ δα =∂v∂x

δxδt

δx =

∂v

∂xδt ,

⇒

ΩOA = ∂v

∂x .

Figura 3.4: Rotación de una part́ıcula fluida.

Análogamente la velocidad angular de la linea OB, ΩOB , resulta

ΩOB = limδt→0

δβ

δt =

∂u

∂y .


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La velocidad angular en torno al eje z, Ωz, se define como el promedio aritmético de ΩOA yΩOB , es decir

Ωz = 1

2 (ΩOA + ΩOB )

= 12

∂v∂x − ∂ u

∂y

. (3.2)

Se puede observar de la ecuación 3.2 que la part́ıcula fluida rotará en torno al eje z como uncuerpo ŕıgido, es decir sin deformación, sólo si ∂u/∂y = −∂v/∂x. En otro caso la rotaciónestará asociada a una deformación. Se ve además que cuando ∂u/∂y = ∂v/∂x la rotación entorno al eje z es cero.

Para los otros ejes se obtiene

Ωy = 1

2 ∂u

∂z −

∂ w

∂x ,

Ωx = 1

2

∂w

∂y −

∂ v

∂z

.

De las ecuaciones anteriores se puede ver que

Ω = 1

2∇× V .

Un flujo para el cual ∇× V = 0 se llama irrotacional y representa un tipo especial de flujo comose vera mas adelante.

La vorticidad ω de un flujo se define como

ω = 2 Ω = ∇× V .

Deformación angular.

Se ve de la figura 3.4 que las derivadas ∂u/∂y y ∂v/∂x pueden causar, además de la rotaciónde la part́ıcula, una deformación. La tasa de deformación angular de una part́ıcula se midepor la rapidez de cambio del ángulo que se forma entre las ĺıneas OA y OB. Si OA gira a unvelocidad angular distinta a OB la part́ıcula se esta deformando. Para el plano xy de la figura

la deformación xy resulta

xy = 1

2 (ΩOA − ΩOB )

= 1

2

∂v

∂x +

∂ u

∂y

.

La deformación se representa mediante un tensor de deformación, ¯̄, cuya componente genéricaij está dada por

ij = 1

2 ∂v j

∂xi

+ ∂vi

∂x j .


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Las componentes de la diagonal de éste tensor representan la deformación lineal por compresióny/o traccíon en los distintos ejes vista anteriormente y esta dada por

ii = ∂vi∂xi

.

Se verá mas adelante cómo este tensor de esfuerzos está relacionado con los esfuerzos normalesy de corte.

Velocidad

Haciendo un desarrollo de Taylor del campo de velocidades y despreciando los término de orden2 y superiores se obtiene

vi(x, t) = vi(xo, t) +

∂vi∂x j

xo

∆xi ∀i, j .

El primer término del lado derecho de la ecuación anterior representa la traslación por lo que elsegundo debe representar la rotacíon y la deformación. En forma matricial la ecuación anteriorqueda

u(x)v(x)w(x)

=

u(xo)v(xo)

w(xo)

+

∂u/∂x ∂u/∂y ∂u/∂z∂v/∂x ∂v/∂y ∂v/∂z

∂w/∂x ∂w/∂y ∂w/∂z

xo

∆x∆y

∆z

.

La matriz

∂vi∂xj

xo

se puede dividir en dos matrices, una antisimétrica, que representa la rotación,

y otra simétrica, que representa la deformación, de la siguiente manera:

∂u/∂x ∂u/∂y ∂u/∂z∂v/∂x ∂v/∂y ∂v/∂z

∂w/∂x ∂w/∂y ∂w/∂z

=

0 1

2

∂u∂y − ∂v

∂x

12

∂u∂z − ∂w

∂x

−1

2

∂u∂y − ∂v

∂x

0 1

2

∂v∂z − ∂w

∂y

−1

2

∂u∂z − ∂w

∂x

−1

2

∂v∂z − ∂w

∂y

0

+

∂u∂x

12

∂u∂y

+ ∂v∂x

12

∂u∂z

+ ∂w∂x

12

∂u∂y

+ ∂v∂x

∂v

∂y12

∂v∂z

+ ∂w∂y

12

∂u∂z

+ ∂w∂x

12

∂v∂z

+ ∂w∂y

∂w

∂z

La velocidad de un fluido queda, por lo tanto, de la siguiente forma

u(x)v(x)w(x)

= u(xo)v(xo)

w(xo)

+ 0 −Ωz ΩyΩz 0 −Ωx−Ωy Ωx 0

∆x∆y

∆z

+ ¯̄ ∆x∆y

∆z

.Recordando los resultados de la mecánica del sólido, donde sólo se consideran movimientos detraslación y rotación, la velocidad esta dada por

V x = V xo + Ω × r ,

donde Ω es el vector de velocidad angular. En forma matricial esta ecuaci ón queda

u(x)v(x)w(x)

= u(xo)v(xo)w(xo)

+ 0 −Ωz ΩyΩz 0 −Ωx−Ωy Ωx 0

∆x∆y∆z

.



36/180

3.2 Aceleración 36

Vemos que este resultado es un caso particular de la ecuación para un fluido donde no existedeformación.

3.2 Aceleración

La velocidad de una part́ıcula cualquiera será una función de la posición asi como del tiempo

V = V (r, t) .

La aceleración a es la variación temporal de la velocidad

a = d

dt V (r, t) =

d

dt V (x,y ,z ,t) .

Aplicando la regla de la cadena se obtiene

a = ∂ V

∂x

∂x

∂t u

+∂ V

∂y

∂y

∂t v

+∂ V

∂z

∂z

∂t w

+∂ V

∂t

a =

∂ V

∂x u +

∂ V

∂y v +

∂ V

∂z w

aceleraciónconvectiva

+

∂ V

∂t

aceleraciónlocal

.

Se ve que existen dos efectos superpuestos en la aceleración:

• Aceleración local: representa la variacíon de la velocidad de una part́ıcula en la posiciónocupada por esta, es decir, representa los efectos no permanentes existentes en un flujo.

• Aceleración convectiva: representa el hecho de que una propiedad asociada a una part́ıculafluida puede cambiar debido al movimiento de ésta de un punto en el espacio a otro.

Las componentes escalares de esta ecuación son

ax = ∂u

∂x u +

∂ u

∂y v +

∂ u

∂z w +

∂u

∂t ,

ay =

∂v

∂x u +

∂ v

∂y v +

∂ v

∂z w

+

∂v

∂t

,

aw =

∂w

∂x u +

∂ w

∂y v +

∂ w

∂z w

+

∂w

∂t

.

La ecuación para la aceleración puede escribirse de la siguiente forma

a = ∂ V

∂t

+ V · ∇ operador

V .



37/180

3.3 Sistemas y Volúmenes de Control 37

V · ∇

es un operador matemático, que en el caso de la ecuación anterior se encuentra operando

sobre la velocidad V . De lo anterior se puede decir que

∂ ()

∂t

+ V · ∇ ()es también un operador que opera sobre la velocidad. Este operador se denomina derivadamaterial, sustancial o total y se representa por

D()

Dt .

⇒

a = D( V )

Dt .

El concepto de derivada total es aplicable a distintos parámetros del flujo y no solo a la acel-eración. Para la temperatura T (x,y ,z ,t) por ejemplo, que se diferencia de la velocidad por serun campo escalar, la derivada total resulta

DT

Dt =

∂T

∂t + V · ∇T

y para la presión p(x,y ,z ,t)

Dp

Dt =

∂p

∂t + V · ∇ p

donde vemos que el operador ∇ opera primero sobre el campo escalar.

3.3 Sistemas y Volúmenes de Control

Como cualquier materia el comportamiento de un fluido es gobernado por un set de leyes f́ısicasfundamentales, las cuales son expresadas por relaciones matemáticas. Las ecuaciones básicasque gobiernan el movimiento de un fluido son

• Conservación de la masa

• Segunda ley de movimiento de Newton (cantidad de movimiento)

• Conservación de la enerǵıa

• Segundo principio de la termodinámica

Además de estas leyes fundamentales existen relaciones secundarias como ecuaciones de estado,dependencias de propiedades del fluido con la temperatura, etc.

Análogamente a lo que se vió para la descripción del movimiento de una part́ıcula la aplicaciónde estas leyes pueden ser aplicadas a un fluido principalmente mediante los conceptos de Sistemao Volúmenes de Control.



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Sistema

Sistema

Un Sistema es una cantidad de materia fija e identificable, lacual puede cambiar de forma y tamaño pero no en la canti-dad de masa. Las ecuaciones se deben satisfacer para todas laspart́ıculas del sistema. La descripción mediante Volúmenes deControl (VC) considera un volumen en el espacio (independi-

ente de la masa) a través del cual fluye el fluido. Las ecuacionesdeben cumplirse en este caso para el volumen de control. Lasuperficie que encierra el volumen de control se denomina su-perficie de control (SC). Por convenio se define el vector normala la superficie de control positivo hacia el exterior del volumen.

Volumen de Control

Se ve que un sistema es equivalente a la descripción Lagrangianadel flujo y el Volumen de Control a la descripción Euleriana. Enel lı́mite cuando el sistema y el volumen de control son infinites-imales ambas descripciones deben coincidir. Es por lo tantode gran utilidad encontrar una relación que nos permita cam-

biar entre estos dos tipos de representación. Consideramos paraeste efecto el análisis de la variación de un parámetro N de unflujo que tiene un campo de velocidades V medido c/r a un sis-tema coordenado ( ı̂, ˆ , k̂). Sea η la cantidad de N por unidad demasa1, es decir, N = η m o N = η ρ V donde m es la masa, ρ ladensidad y V el volumen. En forma infinitesimal esta relaciónes δN = ηρδV . Se verifica por lo tanto que

N =

V

ηρdV .

Para encontrar la relación deseada suponemos un volumen de control y un sistema coincidentesen t = t. En un tiempo t = t + δt el sistema se desplaza con el flujo y el volumen de controlqueda fijo en el espacio como se muestra en la figura 3.5. La variación de N en el sistema quedaexpresada por

I

II

III

VC

t

t+dt

A

B

R

Sistema

Figura 3.5: Volumen de Control y Sistema en t y t + dt.

1Cualquier parámetro que es dependiente de la masa se dice que es un par ámetro extensivo. Un parámetro

que es independiente de la masa se dice intensivo.


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dN

dt Sistema =d

V

ηρdV

S

dt

= DN

Dt S= lim

∆t→0

II I

ηρdV +

II

ηρdV

t+∆t

−

I

ηρdV +

II

ηρdV

t

∆t

Reordenando adecuadamente se obtiene

DN

Dt

S

= lim∆t→0

II ηρdV

t+∆t−

II ηρdV

t

∆t

+ lim∆t→0

II I

ηρdV

t+∆t

∆t

− lim∆t→0

I

ηρdV

t

∆t

Cuando ∆t → 0 el volumen I I tiende al volumen seleccionado como volumen de control, por loque en el ĺımite se tendrá

lim∆t→0

II

ηρdV

t+∆t

−

II

ηρdV

t

∆t =

∂

∂t

V C

ηρdV

El segundo término representa la cantidad de N que atraviesa la superficie delimitada por ARB .Si ∆t → 0 la relación se transforma por lo tanto en el flujo de N por la superficie ARB. Eltercer término representa análogamente la cantidad de N que entra en el volumen de control.

⇒Los dos últimos términos dan el flujo neto de N , por unidad de tiempo, que atraviesa por lasuperficie de control.

El flujo de masa a través de dA es ρ V · d A. Multiplicando por η se obtiene

η

unidades de N

masa

ρ V · d A

masa

unidad de tiempo

que representa el flujo de N por unidad de tiempo que pasa a través de dA. El flujo neto de N que pasa a través de la superficie de control es por lo tanto

SC

η ρ V · d A



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3.4 Conservación de la masa / Ecuación de Continuidad 40

⇒ DN

Dt

S

= ∂

∂t

V C

ηρdV +

SC

η

ρ V · d A

Esta ecuación, que relaciona la variación temporal de un parámetro N de un flujo en un sistemay un volumen de control, se denomina Teorema de transporte de Reynolds.

Análogamente al caso de la derivada total, el teorema de transporte de Reynolds esta formado porun término que involucra una derivada c/r al tiempo, que representa los efectos no permanentesdentro del volumen de control, y un término espacial que representa los efectos convectivosasociados al flujo del sistema a través de la superficie de control.

DN

Dt

S

= ∂

∂t

V C

ηρdV

variación nopermanente

+

SC

η

ρ V · d A

variaciónconvectivaSi el flujo es permanente (∂/∂t = 0)

DN

Dt

S

=

SC

η

ρ V · d A

En el desarrollo anterior se supuso que el volumen de control estaba fijo c/r a la referencia(ı̂, ˆ , k̂) por lo que V se mide c/r al volumen de control ⇒DN/dt es un efecto observado desdeel volumen de control, por lo que todas las velocidades y derivadas c/r al tiempo son c/r alvolumen de control.

Si el volumen de control se encuentra en movimiento con una velocidad uniforme V V C la velocidadque se debe utilizar, el en teorema de transporte de Reynolds, es la velocidad relativa al volumende control. Si V es la velocidad del flujo, c/r a un sistema de referencia fijo, entonces la velocidadrelativa al volumen de control será W = V − V V C ⇒

DN

Dt

S

= ∂

∂t

V C

ηρdV +

SC

η

ρ W · d A

3.4 Conservación de la masa / Ecuación de Continuidad

El principio de conservación de la masa dice que para un sistema la cantidad de masa m novarı́a. Matemáticamente esto se expresa por

Dm

Dt

S

= 0

Aplicando el teorema de transporte de Reynolds tenemos que la propiedad extensiva es la masam y la propiedad intensiva es igual a la unidad ⇒

N = m

η = 1



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42/180

3.4 Conservación de la masa / Ecuación de Continuidad 42

z

xy

x

y

z

( -u x zy)2( )u

x u

v

w

(u + x zy)2( )u

x

Figura 3.6: Volumen de Control diferencial.

Volumen diferencial

Si se considera ahora un volumen diferencial como el de la figura 3.6 y aplicamos la ecuación decontinuidad obtenemos

∂ ∂t

V C

ρdV = ∂ρ∂t

δ xδ yδ z

y analizando el plano y z se tiene que el flujo neto en dirección ı̂ a través de la superficie es

∂ρ u

∂x δ xδ yδ z

Para los otros planos se obtiene análogamente

∂ρ v

∂y δ xδ yδ z

∂ρ w

∂z δ xδ yδ z

Reemplazando todo en la ecuación de continuidad y reoordenando se obtiene

∂ρ

∂t +

∂ (ρ u)

∂x +

∂ (ρ v)

∂y +

∂ (ρ w)

∂z = 0

Esta ecuación es la forma diferencial de la ecuación de continuidad o de conservación de masa.

Utilizando ecuación vectorial se puede escribir de la siguiente manera

∂ρ

∂t + ∇ · ρ V = 0


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43

Caṕıtulo 4

Dinámica de Fluidos

4.1 Dinámica elemental

Se analizará en ésta sección la ecuación de cantidadde movimiento lineal para una part́ıcula fluida que sedesplaza sobre una lı́nea de corriente. Supondremosque el régimen es permanente, por lo que las ĺıneas decorriente son fijas en el tiempo. Se utilizará un sistemacoordenado (ŝ, n̂) coincidente con la lı́nea de corriente,donde s es la posición de la part́ıcula a lo largo de laĺınea de corriente. La velocidad de la part́ıcula en éstesistema coordenado estará dada por

Partı́cula fluida sobre una ĺınea de

corriente

V = V (s, t) ŝ ,

dado que la velocidad es tangente a la ĺınea de corriente. El vector unitario ŝ es, sin embargo,una función tanto de s como n, es decir, ŝ = ŝ(s, n). La aceleración de la part́ıcula esta dada,por lo tanto, por

a = D V

Dt =

D(V ŝ)

Dt =

DV

Dt ŝ + V

Dŝ

Dt .

Como ∂/∂t = 0 la ecuación anterior queda

D V

Dt =

V

∂V

∂s

ŝ + V

V

∂ ̂s

∂s

.

La derivada del vector unitario ŝ resulta

∂ ̂s

∂s = lim

δs→0

δ ̂s

δs =

n̂

R ,

donde n̂ es el vector normal a ŝ y R el radio de curvatura de la lı́nea de corriente en el punto.


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4.1 Dinámica elemental 44

⇒

a = V ∂V

∂s ŝ

componenteparalela a ŝ+

V 2

R n̂

componentenormal a ŝ.

El término de la aceleración normal a ŝ tiene su origen en el cambio de dirección de la velocidadde una part́ıcula al moverse sobre una trayectoria curva. Si la trayectoria es recta, es decirR → ∞, éste término desaparace.

Analizaremos a continuación la ecuación de cantidad de movimiento lineal (F = ma) según unadirección de movimiento coincidente a la ĺınea de corriente y según una dirección de movimientonormal a la ĺınea de corriente. Para determinar las fuerzas externas en ambas situaciones, esdecir según ŝ y n̂, se analizará el elemento diferencial de la figura 4.1.

4.1.1 Ecuacíon de movimiento según ˆs; Ecuación de Bernoulli

La ecuación de cantidad de movimiento según ŝ es

p −

∂ p

∂s

δs

2

δnδy −

p +

∂ p

∂s

δs

2

δnδy − γδsδnδy sin θ = ρδsδnδyV

∂ V

∂s

n s

W

( p - s

y n

p s ) 2

( p - n

y s

p n ) 2

xy

z

( p + s

y n

p s ) 2

( p + n

y s

p n ) 2

W s

Wn

g

sz

nzn

s

Línea decorriente

Figura 4.1: Balance de fuerzas sobre una partı́cula fluida.

⇒

−γ sin θ − ∂ p∂s

= ρV ∂ V ∂s

.

Se ve que para que exista movimiento debe existir un desbalance entre las fuerzas causadas porla presión y el peso. Analizaremos a continuación la ecuación anterior a lo largo de la ĺınea decorriente. El diferencial de la presión es

dp =

∂p

∂s

ds +

∂p

∂n

dn .

Sobre una ĺınea de corriente se cumple que n = cte de donde resulta dn = 0, por lo que

∂p∂s

= dpds

.


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Análogamente se tiene que

V ∂ V

∂s =

1

2

dV 2

ds

y

sin θ = ∂z

∂s =

dz

ds .

Reemplazando en la ecuación de movimiento se obtiene

−γ dz

ds −

dp

ds =

1

2ρ

d(V 2)

ds .

Eliminando ds obtenemos

−γdz − dp = 12 ρd(V 2)

o

dp + 1

2ρd(V 2) + γdz = 0 .

Integrando sobre la ĺınea de corriente se obtiene

dp

ρ +

1

2V 2 + gz = C , (4.1)

donde C es una constante de integración. Las ecuaciones anteriores son válidas sólo sobre unaĺınea de corriente. Se ve que para poder integrar el primer término de la ecuación anterior esnecesario conocer la relación existente entre la densidad y la presión.

Fluido incompresible.

Si la densidad es constante se obtiene

p + 1

2ρV 2 + ρgz = C . (4.2)

La ecuación anterior se denomina ecuación de Bernoulli (1778) y tiene impĺıcitas las siguienteshipótesis

• efectos viscosos despreciable,

• flujo permanente,

• flujo incompresible,

• aplicable sólo a una ĺınea de corriente.

La última de estas hipótesis significa que la constante de integración será diferente entre una

ĺınea de corriente a otra. La ecuación de Bernoulli dice que para un flujo sin roce la enerǵıa total,que es la suma de la energı́a cinética, la energı́a potencial y la energı́a de presión, se mantiene



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constante. Se ve que la ecuación de Bernoulli, escrita en esta forma, tiene unidades de presión.La constante C de la ecuación de Bernoulli se denomina presión total pT , es decir

pT = p + 1

2ρV 2 + ρgz .

Por lo tanto, la presión total se mantiene constante sobre una lı́nea de corriente en un flujo ideal(µ = 0). Vemos además que la presión total esta compuesta por

1

2ρV 2 = presión dinámica,

p = presión estática y

ρgz = presión hidroestática.

Dividiendo por ρg se obtiene

p

ρg + z +

V 2

2g = cte .

Se puede apreciar que la ecuación de Bernoulli se puede escribir en términos de longitud. Eltérmino de elevación z, que esta relacionado con la enerǵıa potencial se denomina altura to-pográfica. El término (P/ρg) se denomina altura de presíon y representa la altura de la columnade ĺıquido necesaria para producir una presión p. (V 2/2g) se llama altura de velocidad y rep-resenta la altura vertical necesaria para que si el fluido cae libremente, adquiera la velocidadV .

Fluido compresible

Si suponemos ahora que el fluido es un gas ideal podemos utilizar la ecuaci ón de estado de losgases ideales para expresar la dependencia de la densidad con la presi ón y la temperatura. Dela ecuación de estado se obtiene

ρ = p

RT .

Reemplazando en la ecuación 4.1 se obtiene

RT

dp p

+ gz + 12

V 2 = C ,

de donde se ve que debemos explicitar la forma en que vaŕıa la temperatura a lo largo de laĺınea de corriente. Para un flujo isotérmico, es decir T = cte., se obtiene, integrando entre dospuntos sobre una ĺınea de corriente

1

2V 21

+ gz1 + RT ln p1 p2

= 1

2V 22

+ gz2 .

Para un flujo isoentrópico se cumple que

p

ρk = cte.


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4.2 Cantidad de movimiento lineal 47

Reemplazando, integrando entre dos puntos y reoordenando se obtiene

k

k − 1

p1ρ1

+ V 2

1

2 + gz1 =

k

k − 1

p2ρ2

+ V 2

2

2 + gz2 .

Esta ecuación es equivalente a la ecuación para un flujo incompresible salvo por el factor (k/k −1)que multiplica la presión y por el hecho de que las densidades son distintas.

4.1.2 Ecuacíon de cantidad de movimiento según n̂.

Haciendo un desarrollo análogo al realizado en el punto anterior pero ahora según n̂ se obtiene

−γ dz

dn −

∂p

∂n =

ρV 2

R .

Esta ecuación indica que la variación en la dirección del flujo de la part́ıcula esta acompañada de

una combinación apropiada del gradiente de presión y el peso en la dirección normal a la ĺıneade corriente. Si la part́ıcula se mueve por una trayectoria recta (R → ∞) la presión varia enforma hidroestática. Si por ejemplo despreciamos la gravedad o consideramos un flujo horizontalobtenemos

−∂p

∂n =

ρV 2

R ,

que nos dice que la presión aumenta si uno se aleja del centro de curvatura, dado que n̂ apuntahacia adentro del centro de curvatura y el término del lado derecho de la ecuación es positivo.Para un s constante se tiene que ds = 0 y por lo tanto (∂p/∂n) = dp/dn. Por lo tanto, simultiplicamos la ecuación anterior por dn e integramos a través de las lineas de corriente conds = 0 se obtiene

dp

ρ +

V 2

R dn + gz = cte. normal a la ĺınea de corriente.

Si el flujo es incompresible se tiene además que

p + ρ

V 2

R dn + ρgz = C .

Esta ecuación nos dice que cuando una part́ıcula viaja sobre una ĺınea de corriente curva (R < ∞)

se requiere una fuerza neta adicional con dirección hacia el centro de curvatura para vencer losefectos centŕıfugos asociados a la curvatura. Esta fuerza o diferencial de fuerza adicional esproporcionada por la presión. La presíon será, por lo tanto, mayor en la parte externa que enla parte interna de la curvatura.

4.2 Cantidad de movimiento lineal

4.2.1 Ecuacíon diferencial

La segunda ley de movimiento de Newton para un sistema diferencial queda expresada por

d F = D

Dt(dm V ) .



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4.2 Cantidad de movimiento lineal 48

Como la masa de un sistema es constante se tendrá que

d F = dmD V

Dt

= dma = ρd∀a

= ρd∀

∂ V

∂t +

V · ∇

V

.

Como se vió anteriormente las fuerzas externas que actúan sobre un elemento de fluido, enausencia de esfuerzos de corte, esta dada por

d F =

−∇ p − γ ̂k

d∀ ,

de donde reemplazando y reordenando se obtiene

−∇ p − γ ̂k = ρ∂ V

∂t +

V · ∇

V

⇒

− 1

ρ∇ p − g∇z =

∂ V

∂t +

V · ∇

V . (4.3)

Esta ecuación se denomina Ecuación de Euler y representa la forma diferencial de la segundaley de movimiento de Newton para un fluido ideal, donde no existen esfuerzos de corte.

Ecuación de Euler vs. Ecuación de Bernoulli

Una de las restricciones más fuertes en la ecuación de Bernoulli es que es aplicable sólo a unaĺınea de corriente, es decir, la constante es en general distinta entre una lı́nea de corriente y otra.Aplicando la ecuación de Euler para un flujo permanente se obtiene

−1

ρ∇ p − g∇z =

V · ∇

V .

El término del lado derecho de la ecuación anterior se puede desarrollar de la siguiente forma

V · ∇ V = ∇V 22

− V × (∇ × V ) .

Si se cumple que ∇ × V = 0, es decir que el flujo es irrotacional, la ecuación de Euler queda

−1

ρ�

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