CAPÍTULO 1

TEORÍA DE GRUPOS

Matrices

Una matriz es un arreglo cuadrado de números o funciones que obedecen a cierto tipo de leyes, estos es que:

Am×n(m , filas y n , comlumnas)

Es decir

A=(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⋯ ⋯ a1n

⋯ ⋯ a2n

⋯ ⋯ a3n

⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮

am1 am2 am3

¿ ⋮¿ ⋮⋯ ¿

amn

¿)

Matrices con sus elementos:A=aij

B=b ij

C=c ij

A=B ssi aij=b ij

Am×n , Bm× n

SUMA DE MATRICES

A+B=Cssia ij+b ij ¿c ij. ∀ i , j

A+B=B+A

Asociatividad ( A+B )+C=A+(B+C)

MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR

αA=α a ij=(αA )

Propiedad : αA=Aα ; α ϵ R

αA=α (a11 a12

a21 a22)

o Determinante : puede ingresar al determinante como podría ir a una fila o a otra fila , o ir

a una columna o a otra.

α|A|=α|a11 a21

a21 a22|=|αa11 a21

α a21 a22|MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Amxn+Bnxl ¿C ssi c ij=¿.∑k

aikbkj

ejemplo:

σ 1=(0 11 0), σ 3=(1 0

0 −1),

σ 1σ 3=(0 −11 0 )

σ 3σ 1=( 0 1−1 0)

Esto implica que la multiplicación de matrices no es conmutativa es decir:

AB≠ BA

[ A ,B ]=AB−BC→ [ A ,B ] ≠0

Ley asociativa ( AB )C=A (BC )

Ley distributiva A (B+C )=AB+AC

PRODUCTO DIRECTO

Un segundo procedimiento para multiplicación de matrices se denomina el producto directo o también llamado producto tensor. Amxn,Bmxn

Entonces el producto tensor viene propuesto con: A⊗B=C donde: Cmnxmn

Es decir C ik , jl=Aij Bkl

Ejemplo:

A⊗B=(a11 B a12 Ba21 B a22 B)=(

a11b11 a11b12 a12 b12a12b12

a11b21 a11b22

a21b11 a21b12

a21b21 a21b22

a12b21a12b22

a22 b11a22 b12

a22b21a22b22)

Producto directo asociativo

( A⊗B )⊗C=A⊗(B⊗C)

El producto directo no es continuo

A⊗B≠ B⊗ A

CASOS ESPECIALES

Cuando la matriz n=filas y una columna esto es el vector columna:

{X }nx1=(X1

X2

⋮Xn)

Cuando la matriz tiene una fila y n= columnas , a esto se lo conoce como vector fila:

[ X ]1xn=(X1 X2 ⋯ Xn )

Si la Anxn entonces podemos decir que Anxn {X }nx 1⏟

nx 1 ; también

[ X ]1xn Anxn⏟1xn

, se cumple.

MATRIZ UNITARIA ¿

δ ij=delta de knonecker={1 si i= j0 si i ≠ j}

¿

¿

MATRIZ 0 O NULA

0 , ∀ A , A0=0→nula

En muchos casos el producto de dos matrices puede ser nula aun cuando ninguna de las dos sea nula.

(1 10 0)( 1 0

−1 0) ¿(0 00 0)

MATRICES DIAGONALES

Un tipo importante de matriz es la matriz cuadrada en que todos los elementos no diagonales son 0.

A3 x3=(a11 0 00 a22 00 0 a33

)Aquí se cumple la conmutatividad siempre y cuando sean diagonales.

AB=BA

TRAZA

En cualquier matriz cuadrada la suma de los elementos en la diagonal se denomina traza, una propiedad importante de la traza es:

traza (AB )=traza(BA)

Esto se cumple cuando no se da la igualdad: AB≠ BA

La notación matricial: se utiliza ampliamente en la representación de grupos.

La traza de la matriz que represente el elemento del grupo, en esta teoría se la conoce como carácter.

INVERSIÓN DE UNA MATRIZ

Sea A la matriz por conocerse el problema consiste en calcular A−1 la misma que se debe cumplir con la igualdad:

AA−1=A−1 A=1

EJEMPLO

1. Demuestre que (A¿¿ +B)( A−B )=A2−B2 ssi cuando A ,B se comutan . ¿

sol: (A¿¿ +B)( A−B )=A2+BA−AB−B2=A2−B2 ¿

BA−AB=0

BA=AB

(A¿¿ +B)( A−B )=A2+BA−AB−B2¿

(A¿¿ +B)( A−B )=A2−B2¿

2. Demuestre que la matriz A es un operador lineal al demostrar

A(c¿¿1 r1+c2 r2)=c1 Ar1+c2 A r2.¿

operador lineal: ζ (a¿¿+b)=¿¿ ζ (a)+ζ (b)

A(c¿¿1 r1+c2 r2)=A c1⏟αA

r1

+Ac2⏟Aα

r2.¿ =c1 Ar1+c2 Ar2.

Se demostró que A si es un operador lineal

NOTA: cuando hablamos de matrices, también decimos que cada matriz es un operador lineal.

Matrices OrtogonalesConocemos que en el espacio x, y, z se describe las coordenadas respectivas, consideremos un segundo espacio con las coordenadas x’, y’, z’; con origen en el mismo.Cosenos de Dirección o DirectoresUn vector unitario a lo largo del eje x’ que es el i’, puede resolverse en las componentes a lo largo de los ejes x, y, z.

Sen (α+γ )= yr

⟹Sen=αCosγ+CosαSenγ= yr

cos (α+γ )= xy

⟹CosαCosγ−SenαSenγ= xr

Senα= y '

r

Cosα= x '

rReemplazamos en (*):

rSenαCosγ+rCosαSenγ= yCosγ y '+Senγ x '= y

x '⇒ Senγ x '= y−Cosγ y '

x '= y−Cosγ y '

x '=Senγ

rCosαCosγ−rSenαSenγ=xCosγ x '−Senγ y'=xy '⇒Cosγ x '−Senγy=x−Senγ y '=x−Cosγ x '

y '=x−Cosγ x '

y '=Senγ

x '= ySenγ+xCosγy '=−xSenγ+ yCosγ

Sist

ema

Nor

mal

(*)

Para pasar el sistema a 3 dimensiones y posteriormente a 4 o más dimensiones, es posible utilizar un método más compacto donde a la x se la toma x1, a la y se la toma como y2y a la z se la toma como z3 y así sucesivamente, donde además podemos decirnos y podemos conocer que se cumple:x−x1

y−x2 { a11=Cosγ a12=Senγa21=−Senγ a22=Cosγ (14)

Y entonces en la nueva notación, podemos proponer al sistema obtenido en la nueva notación, la misma que viene propuesta así:

⟹ {x1'= x1a11+x2 a12

x2'=x1a21+ x2 a22

(15)

Los coeficientes a ij son los cosenos de dirección, es decir el Coseno del ángulo:

x i ' y x j; a ij=cos(x i' , x j) (16)

, es decir:

a12=cos (x1' , x2 )=Senγ

a21=cos (x2' , x1 )=−Senγ

Y la ventaja de esta notación es para permitir el uso de la sumatoria donde la ecuación queda:

x i'=∑

j=1

2

a ij x j ; i=1,2 (17)

x i'=a i1 x1+ai2 x2

i=1⟶x1'=a11 x1+a12 x2

i=2⟶x2'=a21 x1+a22 x2

Para el caso Tridimensional:

i'=iCos (x ' , x )+ jCos (x ' , y )+kCos (x ' , z ) (18)Por un acuerdo se expresa que se cumple:

cos (x ' , x )=a11

cos (x ' , y )=a12

cos (x ' , z )=a13

cos ( y' , x )=a21

cos ( y' , y )=a22

cos ( y' , z )=a23

cos ( z ' , x )=a31

cos ( z ' , y )=a32 (19)

cos ( z ' , z )=a33

La nueva (18 )queda:

i'=i a11+ j a12+k a13

j'=i a21+ j a22+k a23

k '=ia31+ j a32+k a33 (20)

⟹ i=a11+ ia12(20)

Podemos esto aplicar a vectores, por lo tanto tenemos:

i'=iV x+ j V y+k V z (22)

V ' ( x' , y' , z' )=i ' V x' '+ j' V y ' '+k ' V z' 'Y entonces puedo proponerme:V x

' =a11V x+a12V y+a13V z

V y' =a21V x+a22V y+a23V z (23)

V z'=a31V x+a32V y+a33 V z

x '=a11 x+a12 y+a13 zy '=a21 x+a22 y+a23 z (24)

z '=a31 x+a32 y+a33 z

Y con la otra notación es:

x1'=a11 x1+a12 x2+a13 x3

x2'=a21 x1+a22 x2+a23 x3 (25)

x3'=a31 x1+a32 x2+¿ a33 x3¿

x i'=∑

j=1

3

a ij x j ; i=1,2,3 (26)

Y si nuevamente analizamos y hacemos va a salir (25).

V i'=∑

j=1

3

aijV j; i=1,2,3 (27)

x i=x i' (28)⟶ si secumple⟹

∑i

x i2=∑

ix '

i2=∑

i (∑jaij x j)(∑k aik xk)=(∑jk x j xk )=(∑i a ijaik )(29)

∑i(a¿¿ij aik)=¿ δ jk={1 si j=k

0 si j ≠ k(30)¿¿

(29) es verdadero para todo punto si y solo si se cumple la (30), con j=1,2,3.Esta es la llamada Condición de Ortogonalidad.

LA LONGITUD VA A PERMANECER CONSTANTE EN UN SISTEMA ROTADO.Los a ij indicados en la forma de la matriz A constituyen una matriz ortogonal.En (30) esta no es una multiplicación de matrices, es un producto escalar y entonces de la (26) en la notación de matriz podemos decir que se cumple:

{x ' }=A {x }(31)⟶ Relaci ónd eortogonalidad

CONDICIONES DE ORTOGONALIDADCaso BidimensionalSe puede lograr un mejor entendimiento de los términos y la condición de Ortogonalidad, al considerar la rotación en dos dimensiones.Este puede considerarse como un sistema tridimensional con los ejes x1, x2 rotando alrededor de x3

y por lo tanto:

{ x1 '=x1Cosφ+x2 Senφx2 '=−x1 Senφ+x2Cosφ(32)

A=( Cosφ Senφ−Senφ Cosφ)(33)

a12=cos (x1' , x2 )=Senφ(34)

∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

aij aik=∑i=1

2

∑j=1

2

(aijai1+a ijai2 )=∑i=1

2

(ai1 ai1+ai1a12+ai2ai1+ai2 ai2)=(a11a11+a11a12+a12 a11+a12a12+a21 a21+a21 a12+a22+a21+a22 a22 )=δ jk

cos2φ+CosφSenφ+SenφCosφ+Sen2φ+Sen2φ+Sen2 φ−SenφCosφ−CosφSenφ+cos2φ

⟹ { 2Sen2 φ+2cos2φ=1CosφSenφ−SenφCosφ=0

(35)

Con esto demostramos que se cumple la condición de ortogonalidad

La extensión a 3 dimensiones para mi matriz A sería:

A=( Cosφ Senφ 0−Senφ Cosφ 0

0 0 1)(36)

Esto garantiza que x1’, x2’, esto significa el x3=x3’.Bidimensional:

A−1=(a11 a12

a21 a22)=( Cosφ Senφ

−Senφ Cosφ)Cosenos Directores

Tridimensional:

A=(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)Cosenos Directores

Matriz Inversa (A¿¿−1)¿La inversa se la define como A−1 y es tal que se cumple:

A−1⟶ {x }=A−1 {x }' (37 )A−1 Describe la inversa de la rotación determinada por A y regresa al sistema de coordenadas, a su posición original.La (31) y la (37) se combinan para dar lugar a {x }=A−1 A {x }' (38 ) y como sabemos que {x } es

arbitrario obtenemos que A−1 A=1(39) de modo similar se cumple la conmutatividad

A . A−1=1(40), utilizando (31) y (37)

{x ' }=A {x }(31)A−1⟶ {x }=A−1 {x }' (37 )A {x }=A−1 {x ' }

Matrices hermíticas

Conocemos que los elementos de una matriz son reales, pero en el estudio de la mecánica cuántica se presentan variables complejas.

Es decir podemos darnos matrices con elementos complejos y por lo tanto podemos definir nuevas propiedades.

1) Conjugado Complejo (A*) La misma que se forma dado el complejo y esta va al complejo conjugado donde ya conocemos que i= √−1 .

2) Adjunta de A denotada como (A +) formada por la transposición de la conjugada:

A¿=A¿

3) Matriz hermítica o hermitiana, se la denota como:

A= A+

4) Matriz unitaria, denotada como:

U = U -1

Si los elementos de la matriz son complejos conjugados en física se interesa más en las matrices hermíticas, matrices adjuntas y matrices unitarias.

Si la matriz de transformación de una transformación de similaridad es es unitaria la transformación se la denomina transformación unitaria y se tiene que:

A’ = UAU’

Matrices de PAULI.

Cuatro de las matrices complejas se las utiliza formalmente en las teorías relativistas, un punto de partida conveniente es el desarrollo de las matrices 4x4, pero estas vienen propuestas inicialmente mediante el conjunto de las matrices de PAULI 2x2. Las mismas que vienen propuestas de esta forma:

σ 1=0 11 0

σ 2=0 −i−i 0

σ 3=1 00 −1

Estas fueron introducidas por PAULI para introducir una partícula con spin de ½, esto en la teoría no relativística, y se puede demostrar que estos términos σ de PAULI satisfacen las siguientes propiedades:

σ iσ j + σ jσ i = 2∫ij

❑

1 i,j= 1,2,3

σ iσ j = iσ k (i,j,k)= (1,2,3), (3,1,2), (2,3,1)

σ i2 = 1

Matrices de DIRAC.

Por los años XX DIRAC extendió el formalismo de las matrices de PAULI requiriendo 4 matrices anticonmutativas.

Las 3 matrices de PAULI además de la matriz unitaria forman un grupo o conjunto completo, es decir, cualquier matriz M constante 2x2 puede indicarse:

M= c0 1 + c1σ 1 + c2σ 2 + c3σ 3

Las matrices de PAULI son inadecuadas para el cálculo formal (2x2), la misma situación se puede indicar para las matrices 3x3, esto es porque no pueden proporcionar un conjunto de anticonmutación.

Regresando a las matrices 4x4 se puede formar un conjunto completo aplicando el producto directo, de las matrices de PAULI y la unitaria.

σ i, DIRAC = 1 σ i, PAULI

ρ i,DIRAC = σ j, PAULI 1

Ejemplo

1 σ 1, PAULI = (1(0 11 0) 0

0 1(0 11 0))=((

0 11 0) (0 0

0 0)(0 00 0) (0 1

1 0))= σ 1, DIRAC

Se puede demostrar que estas matrices 4x4 satisfacen las relaciones que hemos visto

σ iσ j + σ jσ i = 2∫ij

❑

1

ρ iρ j + ρ jρ i = 2∫ij

❑

1

[ A ,B ]= AB – BA = 0

[σ i , ρ j ] = σ iρ j - ρ j σ i = 0

σ iσ j = iσ k

ρ iρ j = iρk

DIRAC seleccionó originalmente el uso del conjunto de 4 matrices α 1, α 2, α 3, α 4 donde:

α i = ρ1 σ i y α 4 = ρ3

Ejemplo:

1) α i = ρ1 σ i i= 1 α i = ρ1 σ 1

ρ j, DIRAC = σ j, PAULI 1 = (0 (1 00 1) 1(1 0

0 1)1(1 0

0 1) 0(1 00 1)) = (

0 00 0

1 00 1

1 00 1

0 00 0

)α i = ρ1 σ 1 = (

0 00 0

1 00 1

1 00 1

0 00 0

) (0 00 0) = (0 1

1 0)

2)Demuestre que (AB)+ = B+ A+

Sol. (AB)+ = ( AB )¿= (AB )¿=(B A )¿= (B )¿ ( A )¿=B+¿ A+¿¿¿

Teoría de Grupos

La teoría de grupos finita es para formalizar conceptos físicos y además para el desarrollo de las simetrías, tiene su aplicación fundamental en la cristalografía y también en el estado sólido cuando se introducen representaciones específicas como las matrices.

La mayor importancia en física es extender estos grupos a los llamados grupos continuos (grupos con infinitos elementos), los mismo que se aplican en la teoría cuántica y en la física de alta energía.

La invarianza es una clave en la compresión y en el desarrollo de la teoría de grupos, la herramienta matemática en el tratamiento de la invarianza y la simetría de la teoría de grupos; y estas representan principios tales como:

1) Paridad, la misma que se relaciona con la invarianza bajo la inversión, esto es también que la propiedad de una función de onda deberá ser par o impar bajo la inversión de las coordenadas.

En coordenadas cartesianas esta inversión u operador de paridad que actúa en un punto P, no es más que esta igualdad:

P(x,y,z) = (-x, -y, -z)

2) El momento angular es una consecuencia directa de la simetría rotacional lo cual significa invarianza bajo las rotaciones.

Definición de grupo. Un grupo puede definirse como un conjunto de operaciones que pueden combinarse o multiplicarse para formar un producto bien definido y que satisface las siguientes condiciones:

(:) : G x G G ……..

(x, y) x : y

Debe cumplir ciertas propiedades:

1) ∀ x , y ϵG→xy ϵ G

2) ∀ ( x , y , z ) ϵ G→ ( xy ) z=x ( yz)

3) ∃ I ϵ G (elemento unitario) /∀ xϵ , xI=Ix=x

4) ∀ xϵ G∃ y ϵG / xy= yx=I

Ejemplito:

1 a b C1 1 a b Ca a b c 1b b c 1 ac c 1 a B

1 i -1 -i1 1 i -1 -ii i -1 -i 1-1 -1 -i 1 I-i -i 1 i -1

Esto nos indica que las 4 coordenadas dadas de grupo se satisfacen para este ejemplito; y podemos decir entonces que este conjunto G es un grupo.

G= {1 ,i ,−1 ,−i }es ungrupo

G= {1 , a , b , c }

Ya que la multiplicación de elementos de un grupo es conmutativo se lo denomina grupo conmutativo Abeliano.

Nuestro grupo obtenido es también un grupo cíclico en cuanto a que los elementos pueden indicarse como potencias sucesivas de un elemento; para nuestro caso tenemos:

in, n= 0, 1, 2, 3…

i0= 1, i-1= 1, i2= -1… {1 ,i ,−1 ,−i }

Para reconocer que los elementos de este grupo, puede interpretarse como rotaciones de 90° sucesivas se tiene lo siguiente:

Como ya conocemos anteriormente la rotación bidimensional habíamos obtenido:

(x 'i=∑j=1

2

aij x j)❑⇔ {x ' }=A {x }❑⇒

A=( cos e sen e−sene cose )

Entonces establecemos el conjunto de 4 matrices 2x2 dadas con la matriz base A

Con el elemento 1: A=( cose sene−sene cose)=(1 0

0 1)=1

Con el elemento i: A=(0 11 0)=C

Con el elemento -i: A=(−1 00 −1)=B

Con el elemento -i: A=( 0 −1−1 0 )=A

Este conjunto de 4 matrices forman un grupo donde la ley de combinación es la multiplicación de matrices; y entonces tenemos la siguiente representación.

1 1 1

a i C

b -1 B

c -i A

= 270°

= 0°

1

= 90°

-i

= 180°

-1

-i

1 C B A1 1 C B AA C B A 1B B A 1 CC A 1 C B

Homomorfismos

Si la correspondiente entre los elementos de 2 grupos es de uno a uno, es decir, inyectiva con cada conjunto de elementos satisfaciendo la misma tabla de multiplicación de grupos se dice que los grupos son isomosfos.

Si la correspondencia es de dos a uno, o de muchos a uno y si aún se conocen las relaciones de multiplicación de grupos, entonces a estos se los llama homomorficos.

Definición homomorfismo. Sean y ’ grupos, un homomorfismo f va de G en G’ es una aplicación con la propiedad de:

f: G G’ ∀ x , y ϵG/ f(x,y) = f(x) f(y) producto

f(x+y) = f(x) + f(y) suma

Ejemplo:

f: (C, .) (C, .)

Z f(z) = |z|

Se tiene un homomorfismo:

∀ z1 , z2ϵC→f ( z1 z2 )=f |z1 z2|=|z1||z2|=f ¿

Si f: G G’ es un homomorfismo de grupos se dice que f es isomorfo si existe un homomorfismo de : G’ G / (fog) y (gof) son las aplicaciones identidad de G’ y de G respectivamente.

G f→G' g

→G

x→f ( x )→g ( f ( x ) )=(gof )(x)

Representación matricial: reducible e irreducible

La representación de los elementos de un grupo por medio de matrices es una técnica exacta, se puede mostrar que los elementos de cualquier grupo finito y de los grupos continuos pueden representarse por medio de matrices y en particular en matrices unitarias

En el caso de que exista una transformación unitaria nuestras matrices a la forma diagonal o de bloqueo diagonal ese momento se dice que la representación original es reducible

(r11r 12 r13 r 14r 21 r22 r 23r 24r 31 r32 r 33r34r 41r 42 r 43r 44 ) (

r 110 000 r 22000 0 r33 000 0 r 44 ) Transformacion unitaria

En caso de que no exista la transformación unitaria la representación es irreducible.

Dentro de las matrices de Dirac la∂1, ∂2, ∂3 se encuentran en forma reducible

∂2Dirac= 1x∂2Pauli= (1∂100 1∂2) (

0 i 00i 0 000 00 i0 0 i 0)

Carácter.- Hemos visto que una matriz se transforma bajo la rotación de coordenadas por medio de una transformación de similaridad ortogonal.

De acuerdo a la traza de una matriz esta permanece invariante bajo la transformación de similaridad y donde la traza de cada elemento es invariante bajo la trasformación unitaria

A´=UAU+

Un subgrupo se le llama a un subconjunto G1 que está incluido en G; G1<G donde G1 debería contener el elemento unitario y por lo tanto debe satisfacer la propiedad de grupo.

Operaciones posibles en el plano

Sin cambio X X

Y Y

Inversión X -X

Y -Y

Reflexión X -X

Y Y

Reflexion X X

Y -Y

Conmutativa

a,b E G a,b=b,a

Asociativa

a,b,c E G (a,b)c=a(b,c)

Elemento neutro

aI=Ia=1

Elemento inverso

a*a-1

Grupos discretos

En física los grupos normalmente aparecen como un conjunto de operaciones que llevan a un sistema invariante y sin cambio esto es la exprecion de la simetría, veamos la simetría de los conjuntos de objetos por ejemplo tomando dos objetos sean estos átomos de moléculas y cuando tenemos esta opción se tiene doble eje de simetría a su vez eje de doble simetría si tenemos es caso bidimensional. ¿Cuáles son las rotaciones que pueden aplicarse para lograr que este sistema sea invariante? 0° y 180°para que los grados no varían.

Una rotación de ∏ radianes alrededor del eje Z cumple con estas condiciones así como también de 0° (0 radianes) por lo tanto el eje z ejerce doble simetría.

((1,0), (-1,0)) (-1,1)

(-1,0) (1,0)

Cada eje corresponde ahora a un eje de doble simetría si llamamos Rx(∏) la rotación de ∏ rad alrededor del eje x, tendríamos entonces que mi matriz se forma como:

Rx(∏)=( 1 0 00−1 00 0−1)

Ry(∏)=( 10 00−1 00 0−1)

Rz (∏)=( 1 000−1000−1)

G1=(1, Rx(∏),Ry(∏) ,Rz (∏)¿

1 Rx(∏¿ Ry(∏¿ Rz(∏¿1 1 Rx Ry RzRx(∏¿ Rx 1 Rz RyRy(∏¿ Ry Rz 1 RxRz(∏¿ Rz Ry Rx 1

Rx, Ry, Rz elemento de G

Las matrices obtenidas cuando hemos hecho las rotaciones en el plano complejo estas 4 matrices (1,A,B,C) se les conoce como las matrices Vieregroup

Los subgrupos propuestos: (1,Rx), (1,Ry), (1,Rz) son invariantes en términos de simetría si x,y,z son ejes de doble simetría automáticamente deberá ser otro eje de doble simetría este grupo de simetría que es el Vieregropu se denomina D2 donde D2es el grupo diedral.

D2=(D=grupo diedral y el dos es el eje de doble simetría)

II VARIABLE COMPLEJA

La importancia de la variable compleja se la tiene principalmente en la resolución de ecuaciones con derivadas parciales principalmente que satisfagan la ecuación de la place, muchas ecuaciones de segundo orden de interés para la física se pueden resolver mediante series de potencias las mismas que se pueden emplear en el campo comlejo.

Las integrales en el campo complejo tiene variedad de aplicaciones las cuales son: evolución de integrales definidas como también su evaluación, inversión de series de potencias; oscilatorios.

Algebra compleja

Un numero complejo es un par ordenado de números reales que viene propuesto de esta forma: numero complejo = (a,b) = a+ib donde i=√−1 de modo similar una variable compleja es un par ordenado de dos variables reales dados de esta forma:

Variable compleja = z = (x,y) = x+iy donde podemos decir que el orden es importante.

Z=r ϵ iθ 4 Es una representación polar de un numero complejodonde r es el modulo o magnitud del complejo Z y que también se denota d esta formas

Z=|Z|

Y donde θ es el angulo o fase de Z

Se sabe que se tiene la propiedad esta |Z1|−|Z2|≤|Z 1+Z 2|≤|Z1|+|Z 2|

Si utilizamos la ecuación 4 podemos demostrar que |Z1Z 2|=|Z 1||Z 2|

Argumento de Z1.Z2 = argumento de Z1+ argumento de Z2

Deacuerdo con nuestra variable compleja Z se puede entonces ahora construir la función compleja f(z), w(z)

W(z ) = u(x,y)+iv(x,y)

Donde u(x,y) es la parte real y es la parte imaginaria

FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA

Todas las funciones de variable real, se pueden ampliar al plano complejo, sustituyendo la x real por el Z complejo.

Fórmula de Moivre

Z=r¿si elevamos a la enésima

Z= r¿=rn e inθ

e inθ=¿

¿

El logaritmo de una variable compleja se lo desarrolla, tomando una representación polar es decir Z=re inθ, tomando logaritmo en ambos miembros tengo:

ln Z=ln r+iθ

Pero esta fórmula no es compleja, ya que el ángulo de fase se lo puede agregar un múltiplo de 2π sin que cambie la variable Z, por lo tanto la nueva fórmula viene propuesta así:

ln Z=ln (r einθ¿+2π )=lnr+i(θ+2n π )¿

EJEMPLO:

1) Demostrar |Z1|−|Z2|≤|Z1+Z2|≤|Z1|+|Z2|

Sol: Se conoce que (Z1+Z2 )=(Z1+Z2 ) y (Z¿¿1 Z2)=|Z|¿

|Z1+Z2|2=(Z1+Z2 ) (Z1+Z2 )=(Z1+Z2) (Z1+Z2 )

=Z1 Z1+Z1 Z2+Z2 Z1+Z2 Z2

=|Z1|2+|Z2|

2+Z1 Z2+Z1Z2

=|Z1|2+|Z2|

2+2ℜ(Z1 Z2)

Por la propiedad 2:

≤|Z1|2+|Z2|

2+2|Z1 Z2|=|Z1|2+|Z2|

2+2|Z1||Z2|

PROPIEDAD:

1) Z+Z=2ℜ(Z)Z+Z

2=ℜ (Z )→x≤ x2+ y2

2) ℜ (Z )≤|Z|3) Img(Z)≤|Z|

≤(|Z1||Z2|)2

Entonces:

|Z1+Z2|2≤(|Z1|+|Z2|)

2

|Z1+Z2|≤|Z1|+|Z2|

2) Se conoce que sin Z=∑s=0

∞

(−1)s Z2 s+1

(2 s+1)! cos Z=∑

s=0

∞

(−1)s Z2 s

(2 s)!

sin hz=∑s=0

∞ Z2 s+1

(2 s+1)! cos hZ=∑

s=0

∞ Z2s

(2 s)!

a) Demuestre que i sin z=sin hiz

Sol: i sin z=i∑s=0

∞

(−1)s Z2 s+1

(2 s+1)!=∑

s=0

∞

(−1)s Z2 s+1

(2 s+1)!i∗i2 s

i2 s

¿∑s=0

∞

(−1)s Z2 s+1

(2 s+1)!i∗i2 s

−1s

¿ i∑s=0

∞ Z2 s+1i2 s+1

(2 s+1)!=∑

s=0

∞

¿¿¿

¿ sin hiZ

2. CONDICIONES DE CAUCHY-RIEMANNYa sabemos cuáles son las funciones de variable compleja, hora procedamos a diferenciarlas ya sabemos que:

f ´ (Z )=dfdz= lim

dz→ 0

df (Z )dz

¿ limdz→0

df (Z+dZ )−f (Z)dz →efinicióndederivada envariable compleja

Para variables reales en cambio conocíamos que:

f ´ (x0 )= limdh→0

df ( x+∆ x )−f (x0)h

→definicióndederivada envariable real

Y las derivadas parciales de esta función deben ser iguales para que exista la derivada de la función en un punto.Para el caso de variable compleja definámonos df y dz, es decir df= du+idv, dz=dx+idy, nos proponemos estas ecuaciones para reemplazar en el límite propuesto, es decir:dfdz=du+idv

dx+idy

Consideremos esta ecuación mediante dos procedimientos de operaciones

Primero hagamos cuando dy=0 en este caso conocemos que dx→0, entonces mi límite

lim dfdz

=z→0

lim f (Z+dx+idy )−f (z)Z+dx+ idy−Z

=lim∂x→0

f (Z+∂ x )−f (z )

Z+∂ x−Z

¿lim∂ x→0

du+idv

dx+idy=

lim∂x→0

du+idv

dx=du

dx+i dv

dx

La segunda aproximación es cuando ∂ x=0 y ∂ y→0

lim dfdz

∂z→0

=lim

∂ y→0du+idv

dx+idy=

lim∂ y→0

du+idv

idy= i

iduidy

+ dvdy

¿ i dudy

+ dvdy

Ya que las dos ecuaciones son iguales tenemos que:∂u∂x

= ∂v∂ y

∂u∂ y

=−∂ v∂ x

CONDICIONES NECESARIAS PARA LA EXISTENCIA DE LA DERIVADA DE F EN X

Es decir para que exista la derivada es cuando las condiciones de Cauchy-Riemann y sus derivadas parciales sean continuas, con esto se dice que existe la derivada.

d2 f∂ x ∂ y

= d2 f∂ y ∂ x

Por lo tanto, me tomo df= derivada total =df∂x

∂x= df∂ y

∂ y

df∂ x

∂x+ df∂ y

∂ y=( dudx +i dvdx )dx+( dvdy +i dudy )dy

df= df∂ x

∂ x+ df∂ y

∂ y=(dudx +i dvdx )dx+( dvdy +i dud y

)dy

dfdz=( dudx +i dvdx )dx+( dvdy +i dudy )dy

dx+idy=

( dudx +i dvdx ) [dx+( dvdy + i dudy)dy

( dudx +i dvdx ) ]dx (1+i dy

dx)

(dudx+i dv

dx

1+ i dydx

)( dx (dudy+ i dv

dydudx+ i dv

dx)dy

dx)=( dudx +i dvdx1+i dy

dx)( dxdx+i dydx (

dudy+i dv

dy)

dudx+i dv

dx)

(dudx+i dv

dx

1+ i dydx

)(1+ dydx (−i du

dy+ dvdy

dudx+i dv

dx))= du

dx+ i dv

dx

1+ i dydx

(1+i dydx )

¿ dudx+ i dv

dx

FUNCIONES ANALÍTICAS

Si f(z) puede diferenciarse en Z=Z0 y en una vecindad de Z0, se dice entonces que f es

analítica en Z=Z0

Si f(z) es analítica en en cualquier parte del plano complejo se dice que la f es completa.

Si f´(z) no existe en Z=Z0, entonces Z0 es un punto singular.

GRADIENTE

En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial. El vector gradiente de evaluado en un punto genérico del dominio de , ( ), indica la dirección en la cual el campo varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente con la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y

el campo). También puede representarse mediante , o usando la notación .

DIVERGENCIA

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial.

Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas,

el resultado es sencillo:

ROTACIONAL

En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de

un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es

que se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:

APLICACIONES

Ya hemos obtenido lo que es el gradiente de la función, divergente del factor y rotacional del vector entonces hagamos que este operador se combine para cada una de estas cantidades, teniendo:

a) ∇ .∇φ Divergencia del gradienteb) ∇ x∇ φ Rotacional del gradientec) ∇∇ .V Gradiente de la divergenciad) ∇ .∇ xV Divergencia del rotacionale) ∇ x (∇ xV ) Rotacional del rotacional

∇ .∇φ=( ddx

i+ ddy

j+ ddz

k ) .( d φdx

i+ d φdy

j+ d φdz

k)¿ d2φ

dx2 +d2φdy2 +

d2φdz2

Si φ es potencial eléctrico se obtuviera la ley de lapalce del potencial eléctrico.

∇ .∇ g1=∇ π 0dgdr

¿ ∇∗πr

dgdr

¿∇∗πf (r )

f (r )=1r. dgdr

dfdr=−1

r2dgdr+ 1

r. d

2gdr 2

∇ x∇ φ

∇ x∇ φ =

i j kddx

ddy

ddz

d φdx

dφdy

d φdz

-∇ x∇ φ=i( d2 φdydz

− d2φdydz )+ j ( d2 φ

dxdx− d2 φ

dxdz )+k ( d2φdxdy

− d2φdxdy )

¿ io+ jo+ko=o

-∇ x∇ φ=i ddy

dφdy

+ j ddz

d φdx

+k ddx

d φdy

¿ i (o )+ j (0 )+k ( 0 )=0

Esto significa que todos los gradientes del rotacional valen 0.

∇ .∇ xV=Producto Escalar Triple

∇ .∇ xV =

ddx

ddy

ddz

ddx

ddy

ddz

Vx Vy Vz

=ddx ( dVz

dy−dVy

dy )+ ddy ( dVz

dx−dVx

dz )+ ddz ( dVydx

−dVxdy )=0

Esto significa que todos los rotacionales deben ser secuenciales.

∇ x (∇ xV )

∇ x (∇ xV ) =∇∇ . V -∇ .∇V Propiedad∇ .∇V=i∇ .∇Vx+ j∇ .∇Vy+k∇ .∇Vz

Obtengamos la ecuación de la onda electromagnética.

Una aplicación importante de la formula ∇ x (∇ xV ) consiste en la obtención de la onda electromagnética y podemos darnos mediante las llamadas ecuaciones de Maxwell donde las mismas vienen propuestas de esta fórmula.

Ecuaciones de Maxwell

1. ∇ .E=02. ∇ .B=0

3. ∇ xB=ε0 μ0dEdt

4. ∇ .E=−dBdt

Eliminemos la B:

¿ (∇ xE )→∇ x∇ xE=−∇ x dBdt

¿( ddt )→ d

dt(∇ xB )=ε0 μ0

d2 Ed2t

E= campo eléctricoB= inducción electromagnéticaε 0 , μ0= permisibilidad

∇ x=dBdt=ε0 μ0

d2 Ed2 t

Igualando tenemos:

∇ x∇ xE=−ε0μ0d2Ed2t

→∇ .∇E=ε 0 μ0d2Ed2 t

INTEGRACIÓN DE VECTORES

Después de haber visto la diferencia vectorial tenemos ahora la integración.

El método para reducir la integración de vectores es hacerlas integrales escalares. Primeramente si vamos a utilizar un elemento de longitud dr encontramos entonces las siguientes integrales lineales.

a) ∫φdr

b) ∫V dr

c) ∫Vx dr

Estas se las integra para un cierto contorno C que se puede ser abierto o cerrado.

Cada una de estas integrales se las evalúa por ejemplo la primera conociendo que (y) y (z) de pendan de la (x). Esto significa que la trayectoria de integración C debe especificarse el valor que se obtenga dependerá de la selección del contorno tomado.

Si φ=1→∫φdr=∫dr=r=xi+ yj+zk

Para este caso el contorno no representa la distancia vectorial desde el punto inicial hasta el punto vectorial por lo cual la trayectoria es independiente que conecta los puntos extremos fijos.

Para la segunda integral esta es la misma cuando se calcula el trabajo realizado con una fuerza que varía a lo largo de la trayectoria.

w=∫F dr

Ejemplo

Integre desde el origen hasta (1,1) utilizando un incremento de longitud dr .

∫(0,0)

(1,1)

(x2+ y2 )dr=¿∫(0,0)

(1,1)

( x2+ y2 )(idx+ jdy)=¿ i ∫(0,0)

(1,1)

(x2+ y2 )dx+ j ∫(0,0 )

(1,1 )

(x2+ y2 )dy¿¿

¿ i¿

¿ i( 13+0−0)+ j(1+ 1

3−0)

¿ i 13+ j 4

3

¿ i ∫(0,0)

(1,1)

( y2+ y2 )dy+ j ∫(0,0)

(1,1)

( y2+ y2 )dy

¿ i∫0,0

1,1

(2 y2)dy+ j∫0,0

1,1

(2 y2)dy

¿ 23i+2

3j

Las integrales de superficie aparecen en la misma forma que las integrales lineales donde ahora tenemos el elemento de área que viene propuesto:

dσ=ndA (Elemento de área)

Existen dos opciones para seleccionar la dirección positiva:

1. Si la superficie es cerrada se acepta la normal hacia afuera como positiva.2. Si la superficie es abierta la normal positiva dependerá la dirección de donde el perímetro

de la superficie se atraviesa.

La integral de superficie ∫V dσ se la interpreta como un flujo través de una superficie y esta es la

denominada del término de la divergencia.

Las integrales de volumen son más simples ya que el elemento de volumen es un escalar dδ .

∫V dδ=i∫Vx dδ+ j∫Vy dδ+k∫Vzdδ

Una aplicación de las integrales de superficies y volumen viene propuesta:

∇ φ= lim∫dδ→0

∫φdσ

∫ dφ

∇ .V= lim∫dδ→ 0

∫V dϑdδ

∇ xV= lim∫ dδ→0

∫ dσxV

∫ dφ

TEOREMA DE GAUSS

Cuando se tiene una relación de una integral superficial de un vector y una integral de volumen tenemos que tanto \V como ∇ . \V son continuas en la región y entonces el teorema de gauss nos indica que se cumple que la integral de superficie.

∫S

❑

¿ . dσ=∫V

❑

∇ .¿dφ

Donde ∇ .¿ se lo interpreta como un flujo de salida neto del fluido por unidad de volumen y en consecuencia el lado derecho deberá ser la taza total de flujo de fluido fuera del volumen donde se hace la integración.

En cambio el lado izquierdo representa una descripción del fluido de salida a través de la superficie que encierra el volumen dado.

Un corolario de l teorema de Gauss es el teorema de Green.

“si conocemos que u y v son funciones escalares se cumple entonces que u y v e v y u .”

∇ . (u∇ v )=u∇ .∇ v+∇u .∇ v (1)

∇ . ( v∇u )=v∇ .∇u+(∇ v ).(∇u) (2) restamos la (2) de la (1)

∇ . (u∇ v )−∇ . (v∇u )=u∇ .∇ v−v∇ .∇u+∇u .∇v−(∇v ).(∇u)

INTEGRAR CON RESPECTO AL VOLUMEN

∫V

❑

(∇ . (u∇ v )−∇ . (v∇u )¿)dφ=∫V

❑

(u∇ .∇ v−v∇ .∇u)dφ+∇ u .∇v−(∇ v ). (∇u )¿

¿∫V

❑

∇ . (u∇ v )dφ−∫V

❑

∇ . (v∇u )dφ

Por Gauss:

∫S

❑

(u∇v )dσ−∫S

❑

(v∇u )dσ=∫S

❑

(u∇ v )−(v∇u )dσ=∫V

❑

(u∇ .∇ v−v∇ .∇u)dφ

Tenemos nuevamente la primera fórmula e integramos en base al volumen:

∫V

❑

∇ . (u∇v ) dφ=∫V

❑

(u∇ .∇v+∇u .∇v )dφ

∫S

❑

(u∇v )dσ=∫V

❑

(u∇ .∇v )dσ+∫V

❑

(∇u).(∇v )dσ

La fórmula de Gauss implica la divergencia, las integrales de volumen que involucran al gradiente y al rotacional también aparecen dados.

∇×∇ φ=(i j kddx

ddy

ddz

d φdx

dφdx

d φdx

)∇×∇ φ=i( d2φ

dydz− d2 φ

dydz )+ j( d2φdxdz

− d2φdxdz )+k ( d2φ

dxdy− d2φ

dxdy )=0

Esto significa que todos los gradientes del rotacional valen 0.

∇ .∇׿=(ddx

ddy

ddz

ddx

ddy

ddz

V x V y V z

)= ddx ( d V z

dy−

d V y

dz )+ ddy ( dV z

dx−

dV x

dz )+ ddz ( dV y

dx−

d V x

dy )=0

Esto significa que todos los rotacionales deben ser solenoidales.

∇×(∇׿)

∇× (∇× ¿ )=∇∇ .¿−∇ .∇¿ Donde: ¿=V x i+V y j+V z k

∇ .∇¿=i∇ .∇V x+ j∇ .∇V y+k∇ .∇V z

Demuestre que (∇u)×(∇ v) es solenoidal cuando (u ) y (v )son f escalares.

Hipótesis:∇×u=0↔∇=u×u=0→∇∨¿u

∇×v=0↔∇=v ×v=0→∇∨¿v Vectores coplanares en el mismo plano.

Tesis:∇ . (u×v )=0↔∇ perpendicular (u+v )

Nos dice que el producto escalar triple es ¿ A×∨B×∨C=0

El teorema de gauss es el paso de superficie y nos da la divergencia.

TEOREMA DE STOKES

Pasa de superficie a integral de línea.

Consideremos ahora una relación análoga entre la integral de superficie de una derivada y la integral de línea de la función donde la trayectoria de integración es el perímetro que limita la superficie.

∫S

❑

(∇׿¿)dσ=∮¿ dλ ¿

∫S

❑

(∇׿¿)dσ=∫(i j kddx

ddy

ddz

V x V y V z)dσ=∫ [ i( dV z

dy−

dV y

dz )− j (d V z

dx−

d V x

dz )+k ( dV y

dx−

d V x

dy )]dσ x i+¿d σ y j+dσ z k ¿¿

¿∫s

❑ [( dV z

dy−

dV y

dz )d σ x−( dV z

dx−

dV x

dz )d σ y+(dV y

dx−

d V x

dy )d σ z]

¿∫s

❑ dV z

dyd σ x−

dV y

dzd σ x−

d V z

dxd σ y+

dV x

dzd σ y+

d V y

dxd σ z−

dV x

dzd σ y

Siempre una curva o recta es una intersección la intersección de planos de superficie.

El incremento de x interviene cuando se considera la superficie intersecada entre los planos x=c y x=c+dx.

Plano x:

∫S

❑ d V x

dzd σ y−

dV x

dzd σ z=∫

S

❑ (−dV x

dzdz+

dV x

dzdy)dx

Ya que estamos integrando en el camino de AB lo que tenemos es lo siguiente:

¿∫dx∫A

B

dV x→∫V x (x , yB , zB )dx−∫V x ( x , y A , zA )dx

Mi diferencial de x va a tomar la dirección de λx en el punto B, y dx=λx en λ . Conocemos que dλ es el diferencial vectorial a lo largo del perímetro.

dx=d λx enB

dy=d λen A

Y si mi punto x logra ubicarse en toda la superficie o se desplaza para que cubra toda la superficie, entonces mi integral de cual partimos debe ser igual a la integral de línea V x de la función d λv.

∫S

❑ ( dV x

dzd σ y−

d V x

dzdσ z)=∮V xdλ

Se obtiene resultados similares para derivadas en V y yV z, y por lo tanto sumando todas ellas tenemos lo siguiente.

∫S

❑

(∇׿ )dσ=∮ (V xd λx)+∮ (V yd λ y )+∮ (V zd λ z )=∮¿ λ→T .STOKES

TEORIA POTENCIAL

∇×∨F=0

Campo conservatorio: ¿F=−∇ φ

Potencial escalar

dλ Tramo del diferencial vector a lo largo del perímetro.

∮¿ F d λ=0

Si una fuerza sobre una región S, se lo puede expresar como el gradiente negativo de una función fi, es decir que cumpla ¿ F=−∇ φ se dice que la función fi es el potencial escalar y ¿ F la fuerza conservativa.

Deseamos conocer cuando existe la función potencial escalar∇fi y aparte de eso otras dos fórmulas equivalentes a la anterior.

∇×∨F=0 ,∮¿F d λ=0

Veamos ahora que cada una de ellas implica las otras dos.

¿ F=−∇ φ

∇×∨F=−∇x∇φ=0

∮¿ F d∨r=−∮∇φd∨r=¿−∮ dφ=φ ¿ El signo puede ser (+) o (-) porque es cerrado el

camino.

∫ABCD

❑

|Fd|r=0→ ∫ABC

❑

|Fd|r=−∫ADC

❑

|Fd|r=∫CDA

❑

|Fd|r

Esto implica que el trabajo es igual del punto A al C no importa el camino que sigas y por lo tanto la fuerza se conserva.

∫A

C

|F d|r=¿ φ (C )−φ(A)¿

|F d|r=−d φ=−∇ φd∨r

¿

TEOREMA DE LA INTEGRAL DE CAUCHY

Integral de contorno: (integral de línea). La integral de una variable compleja sobre un contorno es el plano complejo se la define de manera muy parecida a la integral de Reyman de una función real a lo largo del eje x. Y nuevamente podemos tener una curva ZO ´ en la cual podemos subdividirla en n-1 puntos intermedios.

Donde el contorno es de ZO a ZO ´ . Entonces podemos hacer la suma enecima de todos ellos y tenemos.

Sn=∑j=1

n

f (φ j)(z j−z j−1)

limn→∞

Sn=limn→∞

∑j=1

n

f (φ j ) ( z j−z j−1 )=∫ZO

ZO´

f ( z )dz

∫C

❑

f ( z )dz=0→teoremade laintegral deCauchy

La integral de una función compleja en un demonio simplemente conexo, cuyo camino es un circuito cerrado vale cero.

Sea f ( z )=u ( x , y )+ i ( vdx−xdy ) y sea dz=dx+ idy

Entonces remplazamos esto en laEc . teoremade laintegral deCauchy.

∮ (udx+iudy+ivdx−vdy )=∮ (udx−vdy )+i∮ (udy+vdy )

Pero estas integrales de línea se pueden transformar en integrales de superficie por el teorema de STOKES, es decir, podemos proponer que nuestra ¿ sea.

¿=V x i+V y j

∮¿d∨r=∮ (V x i−V y j ) ( idx+ jdy )=∮V x dx−V y dy

∫S

❑

∇׿=∫( d V y

dx−

dV x

dx )dxdy=∮V x dx−V y dy

∮C

❑

f (z )dz=−∫( dvdx + dudx )dxdy+ i∫( dudx+ dv

dx )dxdySi la función f es analítica u y v son llamando funciones armónicas.

f=u+iv

Contornos: un arco continuo se define como un conjunto de puntos x,y tales que x=φ(t) y y=Ψ(t)

→ a≤t≤b

Si fi de a=fib y si Ψa=Ψb, este arco continuo implica que es una curva simple cerrada siempre y cuando se cumpla:

Φ(a)=φ(b) → arco continuo →curva simple cerrada

Ψ(a)=Ψ(b)

Tenemos a demás una línea que esta propuesta de esta forma:

X=t, (0≤t≤2)

y={t , (0≤ t ≤1 )1 , (1≤ t ≤2 )entonces y=x , (0≤x ≤1 ) y=1 ,(1≤ x≤ z)

Esto es el ejemplo de arco de Jordan.

La circunferencia propuesta en forma paramétrica en cambio es un ejemplo de curva simple cerrada.

{x=ro costy=r o sent

, o≤ t ≤2π

Sí y=Ψ(t) que tiene un arco continuo, las funciones tienen derivadas continua, el arco también tendrá una tangente continua y en este caso se lo conoce como arco rectificable.

INTEGRALES CURVILINEAS

Entonces se hace con contorno desde ∝ a β y además sea z=x+iy entonces cuando mi punto z pertenece a este contorno me da que:

Z∈C {x=∅ (t)y=Ψ (t) a=≤t≤b

Entonces con estas opciones definimos la integral como:

∫c

❑

f ( z )dz=∫ f (∅ ( t )+iΨ ( t ) ) (∅ ' ( t )+ iΨ ' ( t ) )dt

Y si sabemos que:

f(z) = u (∅ (t ) ,Ψ (t))+iv (∅ (t ) ,Ψ ( t ))

∫ f ( z )dz=∫a

b

u (∅ ,Ψ )+iv (∅ ,Ψ )(¿¿∅ ' (t )+i Ψ ' (t))dt ¿¿

¿∫a

b

[u∅ '+uiΨ '+iv∅ '−vΨ ' ] dt=∫b

a

(u∅ '−v Ψ ' )dt+i∫a

b

(uΨ '+v∅ ' )dt

¿∫a

b

(udx−vdy )+ i∫a

b

(udy+vdx)

Formula integralde cauchi

Se considera que es una fusión analítica en un contorno cerrado C y en el interior circundada por C

Se quiere demostrar o se quiere obtener que se cumpla de esta integral

∮c f (z)Z−Zo

dz=2πif (Zo)33Formula integral decauchi

Como sabemos f(Z) es analítica pero en cambio ¿) no es analítico en Z = Z

Si sabemos que en el contorno se deforma como en la figura dada anteriormente entonces ahora si se debe cumplir la integral de cauchi

No es

analitico

zcA lo que se abre se hace analítico

Y entonces se puede obtener la siguiente integral formal

Sea Z = Z la usamos como representancnion polar debido a la forma circular y de la trayectoria alrededor de Z o Y. En este caso mi R tiende OO R-o

¿∫2 f (z )z−z

dz=∫ c2 f (Zo±ℜ )ℜ

¿ i∫ c2 f (Zo )Do

¿ f (Zo)∫c 2

2π

clo

¿ if (Zo ) (2π )=i 2πf (Zo)

La formula integral de cauchi se la puede utilizar una experiencia de la derivada de la función f(Z) esto es derivada encima

TERORIA DE MORERA

Si una función f(Z) es continua en una región . Además la integral de este contorno es = o entonces f(z) deber ser analítica en la región. Calcule la integral si sabemos que C

COORDENADAS CURUILINEAS ORTOGONALES

Hasta ahora hemos estado trabajando en un sistema rectangular, ortogonales coordenadas cartesianas

Consideramos ahora un sistema coordenado más general

Transformemos las coordenadas cartesianas X,Y,Z mediante la siguiente forma

X=X (U,V,W)

Y=Y(U,V,W)

Z=Z(U,V,W)

La ecuación u(X,Y,Z) = cte representa una superficie en el espacio si hacemos que varie la constante obtenemos una familia de superficies de nivel . Analogamente si queremos hacerlo para V=cte y W=cte y entonces cada uno de estas superficies deben pasar por un punto P y se le conoce como las superficies coordenadas y toman la forma del sistema coordenada que se estudie por ejemplo si el sistema coordenado rectangularmente es una caso especial obteniendo al hacer

1U = U(X,Y,Z)

V=V(X,Y,Z)

W=W(X,Y,Z)

2

X=U ; Y=V ; Z=W caso especial

Las curvas coordenada en general nos son líneas rectas Si P(X,Y,Z) es un punto de coordenada . Sean entonces R, Q, S puntos próximos a P donde Q debe ser igual

Q (U, DU, V, W)

R (U, V, DV, W)

S (U,V,W,DW)

Podemos ver que PQ es la línea de intercepción entre la superficie V =constante y la W=cte por lo que solamente varia a U análogamente, PR es la curva coordenada que interseca la superficie P, S es la

La longitud del arco PQ es el elemento de arco o lo largo de PQ es decir lo notamos como

PQ=dS1

PR=dS2

PS=Ds3

Hablemos ahora las longitudes de aras en fundación de las nuevas coordenadas U, V, W

DERIVAMOS

Dx=dydx du

dydx

dv dydx

dw

Dy=dydx du

dydx

dv dydx

dw

Dz=dydx du

dydx

dv dydx

dw

Hallemos expresiones iguales para los elementos de superficie en el sistema cartesiano que conocemos

Uno de los siguientes curvilíneos ortogonales escríbanse las expresiones del elemento de longitud y de volumen para el sistema esférico que viene propuesto esférico.

Rotacional en coordenadas curvilíneas

Los componentes de rotación del vector V en el punto P vienen propuestas de la forma:

h2 h3[ ddv (h3 v3 )−

ddw (h2v2) ]

h1 h3[ ddv (h3 v3 )−

ddw (h1 v1 ) ]

h1 h2[ ddv (h2 v2 )−

ddw (h1 v1 )]

O también

dV= 1h1h2 h3

¿

Coordenadas polares esféricas

r ≥ 0 0 ≤ σ ≤ π 0 ≤ l≤ Ζ π

Serie de Taylor: f ( x )=f (x0 )+(x−x0)

1 !f (x0 )+

(x−x0)2

2 !f ( {x} rsub {0} )

f (a+h )=f (a )+ h1 !

f ' (a )+ h2

2 !f (a) + … Serie de Taylo

x = a + h

h = x – a → x – x0

para f (u1 v1 w y dw)

f (u , v ,w+dw )=f (u1v1w )+df (u1 v1 w )dw+…

dw→derivado parcial conrespecto al quevaria

¿ v3 d3+d2+d (v3d3+ds2)

dwdw

↑

Porque la función es

¿ v3 h1 h2+d (v3 h+h2)

dwdw

¿ v3 h1h2dud v+d (v3h1h2dudv )

dwdw

¿(v¿¿3h1h2+d(v3 h1h2)dw

dw)dudv ¿

Traspasamos la cara de abajo y ola de arriba

PQ s' R+s R ' P'Q'=−V 3ds1 ds2+(V 3h1h2+d (V 3h1h2 )dwdw )dudv

Seis caras { d f 3=d (V 3 h1h2 )

dwdudvdw

¿d f 1=d (V 1h2h3 )

dududvdw

¿d f 2=d (V 2h2h3)

dv dudvdw} Flujo total: dF1+dF2+dF3

dvV= flujo total❑ =

dF1+dF2+dF3

ds1 ds2ds3=[ d (V 1h2h3)

du+d (V 2h1h3)

dv+d (V 3h1h2)

dw ]dudv dw

h1 h2h3dudv dw

dvV= 1h1h2h3

[ ddu (V 1 h2h3 )+

ddv (V 2h1h3 )+

ddw (V 3h1 h2 )] Dice ganancia en coordenadas curvilíneas

b) coordenadas cilíndricas

Vectores cilíndricos: son los que se toman en los puntos Z,ρ , l

g11=( dxd ρ )

2

+( dyd ρ )

2

+( dzd ρ )2

=1

g22=ρ2

g33=1

P .D :∇ .V= 1h1h2 h3

[ d (h2h3h1 )du

+d (h1h3 h2 )

dv+d (h1 h2 h3 )

dw ]Divergencia en coordenada curvilíneas

Sol: tenemos el operador

∇=( dh1du

A+ dh2d v

B+ dd3 dw

C)¿=( d

h1 duA+ d

h2dvB+ d

d3dwV ) . (V 1a+V 2b+V 3c )

Los operadores diferenciales no solamente operan al vector sino también a los vectores unitarios a,b,c y para ver este tipo de cálculo usamos la definición integral de la divergencia del vector.

dvV=limv→0

∫Vdσ

∫dδ

Calculemos la divergencia en el punto P por tratarse de un sistema curvilíneo ortogonal, los bordes opuestos del elemento de volumen noi son iguales en longitud

PQ S' R≠ S R' P' Q'

Vamos a considerar el flujo resultante a través de par de caras

Flujo a través de PQS’R = V.ds

¿ (V 1 A+V 2 B+V 3 C ) . (ds1ds2 C )=−V 3 ds1ds2

↓ ↓

Vector normal sale el flujo

Flujo a través de SR’P´Q’ =V.ds = (V 1 A+V 2 B+V 3 C ). (ds1 ds2 C )=V 3 ds1 ds2=V 3h1h2 . dudV

Pero aquí podemos darnos cuenta que u y v son constantes, cambia w por lo que podemos destacar para este nuevo flujo lo siguiente:

=f(u,v,w+dw)

d) coordenadas esféricas

h1= 1 = hr

h2= v = hϑ

h2= v = hl

Gradiente

Gaa ψ=Aψ= dψh1du

A+ dψh2dv

B+ dψh3dw

C

¿ dψ1dr

A+ dψr dϑ

B+ dψr senϑ dw

C

En coor. Esfericas a,b,c son:r0 , ϑ0 , l0

¿ dψ1dr

r0+dψv dϑ

ϑ0+dψ

r senϑ d wl 0

Divergencia coordenadas cilíndricas

¿=∇ .V= 1h1 h2 h3

[ ddu (h2 h3 h1 )+

ddv (h1 h3 h2 )+

ddw (h1h2 h3 )]

Remplazamos los valores de las coor. esféricas

∇ .V= 1(1 ) (r ) (rsenϑ ) [ ddr ( rsenϑ V r )+

ddϑ (rsenϑ V ϑ )+

dd l (vV l )]

Rotacional

dV=∇xV=1

h1h2h3 | h1 Ah2 Bh3C

¿ ddu

ddv

ddw

¿h1V 1 h2V 2h3V 3|LETRAS

∇x V=1

(1 ) (r ) (rsenϑ )| h1 A h2Bh3 C

¿ ddr

ddϑ

dd l

¿V r rV ϑ rsenϑ V l|

Los coeficientesgi

g11=( dxdr )2

+( dydr )2

+( dzdr )2

g11=( d (rsenϑcosl )dr )

2

+( d (rsenϑsen l )dr )

2

+( d (rcosϑ )dr )

2

g11=(senϑcos l )2+ ( senϑsenl )2+(cosϑ )2

g11=sen2ϑ cos2l+sen2ϑsen2l+cos2 ϑ

g11=sen2ϑ (cos2l+sen2l)+cos2 ϑ

g11=sen2ϑ (1 )+cos2ϑ=1=√g' '=h1

g22=( dxdϑ )2

+( dydϑ )2

+( dzdϑ )2

g22=( d (rsenϑcos l )dϑ )

2

+( d (rsenϑsenl )dϑ )

2

+( d (rcosϑ )dϑ )

2

g22=(rcosϑcos l )2+ (rcosϑsen l )2+ (−rsenϑ )2

g22=r2 cos2ϑ cos2l+r2 os2ϑsen2 l+r2 sen2ϑ

g22=r2 cos2ϑ (cos2 l+rsen2 l)+rsenϑ

g22=r2 (cos2ϑ+sen2ϑ )

g22=r2=√g' '=h2=r

g33=( dxd l )2

+( dyd l )2

+( dzd l )2

=r 2 sen2ϑ=√ g' '=h3=rsenϑ

(d 1 )2=(dx )2+(dy )2+(dz )2

¿ g11d2u+g22d

2v+g33 d2w+g12…+g23…+g13 …

¿ (rdr )2+ (rdϑ )❑+ (rsenϑdl )2

↓ ↓ ↓

¿h1 h2 h3

Coordenadas Cilíndricas

¿)

Senφ=1δ

y=δsenφ

cos φ= xy

x=δcosφ

z=z

Los vectores unitarios son los que se forman en los puntos Zo , δ o , φo donde δ ≥0 y 0<φ≤2 π rota el cilindro.

g11=( dxdδ )2

+( dydδ )2

+( dzdδ )2

=1

g22=δ 2

g33=1

(dl )2= (dx )2+(dy )2+(dz )2

(dl )2= (1dδ )2+ (δdφ )2+(1dz )2

√ g11=1dδ=h1=1

❑√ g22=δdφ=h2=δ

❑√ g33=1dz=h3=1

Gradiente

Gradψ=∇ψ= dψ1dδ

δo+dψ1dφ

φo+d ψ1dz

zo

Divergencia

∇ .V=1δ [ d (δVδ)

dδ+ d (Vφ)

1dφ+ d (δVz)

dz ]Rotacional

Rot V= ∇×V=1δ | δo δ φoZo

ddδ

ddφ

ddz

Vδ δVφVz|

Laplaciano

∇2ψ=∇ .∇ψ=1δ [ d

dδ (δ dψdδ )+ d

dφ ( dψδdφ )+ d

dz (φ dψdz )]

δ 0=cosφi+senφj

φ0=−senφ+cosφ

z0=k

Ecuación Diferencial de Laplace

Ecuaciones Diferenciales Parciales de Segundo Orden

Para resolver este tipo de ecuaciones tenemos la técnica llamada separación de variables, la misma que puede también darse para cualquier sistema coordenado dado y por ejemplo tenemos la llamada ecuación de HEMMHOLTZ.

∇2ψ+k ²ψ=0 Ecuaciónde Hemholtz

Coordenadas Cartesianas

d ²ψdx ²

+ d ²ψdy ²

+ d ²ψdz ²

+k ²ψ=0

𝛙(x,y,z) Solución a obtener

Por método de separación de variables

𝛙(x,y,z)= X(x)Y(y)Z(z)

Ingresamos a la ecuación diferencial

YZ d ² xdx ²

+XZ d ² ydy ²

+XY d ² zdz ²

+k ² XYZ=0

Dividimos todo para XYZ

1xd ² xdx ²

+ 1y

d ² ydy ²

+ 1zd ² zdz ²

+k ²=0

Despejo X

1xd2 xd x2=−k2− 1

yd2 yd y2−

1zd2 zd z2=−l2

−l2=1x

d2 xd x2=−l2 resolviendo por ecuaciones diferenciales encontramos x

−k 2−1y

d2 yd y2−

1zd2 zd z2=−l2 → 1

yd2 yd y2=−k2−1

zd2 zd z2+l

2=−m2

−m2

1y

d2 yd y2=−m2→ y

−k 2−1zd2 zd z2+l

2=−m2→ 1zd2 zd z2=−k2+l2+m2→ 1

zd2 zd z2=−n ²→z

Solución Formal

ψ l ,m ,n (x , y , z )=X1 ( x )Ym ( y )Zn ( z )

Solución General de Ecuación Diferencial Parcial

𝛙=∑l ,m ,n

a l ,m, nψ l , m ,n

IV ESPACIOS PREHILBERTIANOS

El objeto central de estudio de este tema es el espacio de Hilbert infinito dimensional. La meta principal es dar un análisis riguroso del problema de expandir un vector en un espacio de Hilbert en términos de una base ortogonal que contiene infinitos vectores

Primero revisaremos algunos teoremas sobre espacios vectoriales Segundo investigamos propiedades básicas de los espacios vectoriales sobre el cual se

puede definir un producto interior Tercero se introduce el concepto de métrica, la misma que sirve para definir la

convergencia e un espacio con producto interior

ESPACIO VECTORIAL:

ESPACIOS VECTORIALES SOBRE CAMPOS ESCALARES:

Un espacio matemático es en general un conjunto dotado de alguna estructura dada.

Tal estructura puede venir dada por ciertas operaciones, las cuales están definidas sobre los elementos del conjunto.

1. Def 1: Sea V un conjunto con el cual la operación adicion vectorial y multiplicación por escalar están definidas y a este se lo dice ser un espacio vectorial también llamando espacio lineal.

La operación de adicion vectorial viene propuesta:

V x V V

Es decir sus elementos son:

(f,g) (f+g)

Mientras que la operación multiplicación por escalar en un cuerpo F viene propuesta por:

F x V V

Estas operaciones vectoriales se requiere que satisfagan los siguientes axiomas

Sean . Diremos que son LINEALMENTE INDEPENDIENTES si ninguno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los restantes.

Estas definiciones son muy intuitivas, pero poco OPERATIVAS, ya que nos obligan a ir resolviendo varios sistemas de ecuaciones. Sería deseable obtener una características más operativas. Esta característica, que no es más que una CARACTERIZACIÓN de los conceptos de dependencia e independencia lineal podemos intentarla deducir del siguiente ejemplo.

VECTORES ORTOGONALES Y BASES ORTONORMALES

Algunos conceptos de Geometría válidos para espacios euclideos 2-3 dimensional, pueden ser generalizados para cualquier espacio euclidiano.

Definición 3.- en un espacio euclidiano ξ dos vectores f y g se llaman ortogonales si cumple que el producto interior vale cero ( f ⫠ g ) ,< f │ g>¿0

Dos subconjuntos R y S de este espacio euclidiano se dicen ortogonales si cada vector de R es ortogonal a cada vector de S, R, S ∈ ξ(R⫠ S)

Un conjunto en el cual dos vectores son ortogonales se llama sistema ortogonal de vectores.

Un vector f se dice ser normalizado si la norma de f vale 1, f ∈ ξ→‖f‖=1(normalizado)

Un sistema ortogonal de vectores se llama ortogonal si cada elemento de este está normalizado.

Si conocemos que el sistema o los vectores no son ortogonales podemos hacerlos que sean ortogonales y por ende ortonormales mediante el método de Graham- Schmit.

ISOMORFISMOS DE UN ESPACIO EUCLIDEO

Hace que dos espacios euclideos isomorfos idénticos desde el punto de vista vectorial como también desde el punto de vista del producto interior.

Definición 4.- Dos espacios euclideos ξ1 ,ξ2 con producto interior respectivamente se los lama isomorfos o equivalentes unitarios si existe una aplicación que va de ξ1aξ2 tal que para cualquier f 1 , g1∈ ξ1 el vector f 2∈ ξ2 es la imagen de f 1 y el vector g2∈ξ2 es la imagen de g1, entonces se cumple:

f 1+g1→f 2+g2

a f 1→af 2

¿ f 1│g1>¿<f 2│g2>¿

ESPACIOS MÉTRICOS

Si s es un conjunto dado de función, tenemos la función d de esta forma:

d :S∗S→R

(ξ , n)→d (ξ ,n)

Es una métrica si cumple con las siguientes propiedades:

a) d (ξ ,n )>0 , si ξ ≠nb) d (ξ ,n )=0c) d (ξ ,n )=d (n , ξ )d) d (ξ ,ζ )≤d (ξ ,n )+d (n , ζ )

El conjunto s sobre el cual está definido una métrica se llama espacio métrico.

Definición 5.- Una sucesión en un espacio métrico se dice que es convergente hacia ξ∈Ssi ∀ ε>0∃N (ε )>0/d (ξ ,ξn )<ε∀ n>N (ε )

Definición 6.- una sucesión infinita se llama sucesión de Cauchy si:

∀ ε>0 ,∃M (ε )>0/d (ξm, ξn )<∈∀m ,n>M (ε )

Espacio métrico completo

Definición 7.- Un espacio métrico es completo si toda sucesión de Cauchy converge hacia un elemento de este espacio.

ESPACIO DE HILBERT

Es fácil establecer que en el espacio normado N, se cumple que la métrica de dos elementos es igual a la norma de esos dos elementos restados d (f,g)=‖f−g‖→ Fácil verificar que esto es una métrica.

Un espacio normado completo toma el nombre de espacio de Banach.

Un espacio euclideo el cual es completo en la norma se llama espacio de Hilbert.