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Ejercicios de Mtodos Matemticos para la Empresa.
Curso 2011/2012
Versin 12-01-2012
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ndice general
I Algebra de matrices 2
1. Vectores y matrices. Aplicaciones. 3
2. Formas cuadrticas. 16
II Clculo diferencial 20
3. Funciones de varias variables. 21
4. Funciones compuestas y funciones implcitas. 27
5. Aplicaciones del clculo diferencial. 35
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Parte I
Algebra de matrices
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Captulo 1
Vectores y matrices. Aplicaciones.
1. Dibujar los vectores (4,2), (2, 1) de R2 y (1, 3, 2), (5,
1,4) de R3. Hallar el ngulo queforman.
2. Dados los vectores u = (2,1, 3) y v = (1, 3,2) .
Calcular:
a) u +v
b) u 2vc) mdulo de u y de v
d) u ve) el ngulo que forman
f ) dibujar dichos vectores en el espacio.
3. Sean x = (4, 0, 3), y = (2,1,2), 12x, x y.
a) Represntalos grficamente.
b) Encuentra el vector z que satisface 2x 3z + y = 0c) Obtn la
longitud de cada uno de los vectores anteriores.
d) Encuentra un vector unitario con la misma direccin y sentido
que x y.e) Encuentra un vector con la misma direccin y sentido
contrario a x y con longitud 3.
4. Los vectores u y v de R2 forman un ngulo de 60o y el mdulo de
u es 3. Determinar el mdulode v para que v u sea ortogonal a u.
5. Dado el paralelogramo OABC, dos de cuyos vrtices estn en los
puntos OA = (1, 2, 1), OC =(1, 1,1), calcule la posicin del vrtice
OB. De qu tipo de paralelogramo se trata?
6. Son los vectores (1, 2, 3), (1, 1, 1) combinacin lineal de
los vectores del sistema S = {(1, 0, 2), (0, 2, 2)}?7. Estudiar si
los siguientes vectores son linealmente dependientes o
independientes:
(a) (1, 2), (2, 3), (5, 8) (d) (1,2, 1, 1), (3, 0, 2,2), (0,
4,1, 1)(b) (1, 2, 3), (2, 0,1), (0, 4, 7) (e) (1, 2, 3, 0), (1, 0,
0, 1), (1, 0, 0,1), (0, 2, 3, 1)(c) (1, 2, 1), (3, 1, 1), (1, 0,1)
(f) (0, 2, 2, 2), (1, 3, 4, 1), (5,1, 4,6)
8. Encontrar subconjuntos de vectores linealmente independientes
de los conjuntos de vectores delejercicio anterior que hayan
resultado ser linealmente dependientes.
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9. Sean los vectores a = (1, 1) y b = (1, 2). Puede ser el
vector (3, 5) combinacin lineal de ambos?Puedes poner un ejemplo de
un vector que no dependa linealmente de a y b?
10. Poner el vector (1, 2, 3) como combinacin lineal de (1, 3,
0), (0, 2,1), (4, 0, 3)11. a) Si u,v y w son vectores linealmente
dependientes. Se puede asegurar que u depende
linealmente de v y w? Y que uno de los tres vectores es
combinacin lineal de los otrosdos?
b) Si {u,v, w} son linealmente independientes. Estudiar si {u+v,
u+ w,v+ w} son linealmenteindependientes o no.
12. Una empresa tiene dos plantas que producen tres bienes. Sus
recursos laborales son constantes.Cuando se asigna a la primera
planta una fraccin , 0 1, de estos recursos laborales, yuna fraccin
(1) a la segunda, la produccin total de los tres bienes est dada
por el vectory = (y1, y2, y3) = (8, 4, 4) + (1 )(2, 6, 10). Diga si
las siguientes producciones son posibles:(5, 5, 7) y (7, 5, 5).
13. Una fbrica produce dos artculos textiles diferentes. En una
jornada normal, la fbrica necesitapara su produccin 200 metros de
tela, 100 bobinas de hilo y 15 personas trabajando. Los
costesasociados a estas materias primas son de 10 euros por metro,
50 cntimos de euro por metroy 250 euros por persona y da,
respectivamente. Las unidades producidas son 90 pantalones y120
faldas, que se venden en el mercado a 45 y 30 euros,
respectivamente.
a) Representa las cantidades de materias primas en un vector, as
como sus costes asociados.
b) Representa las unidades producidas en otro vector, as como
sus precios asociados.
c) Con estos vectores, calcula los costes de la fbrica en un da,
as como sus ingresos y elbeneficio neto suponiendo que vende toda
la mercanca.
14. Si u,v y w son vectores linealmente dependientes .
a) Se puede asegurar que u depende linealmente de los otros dos
vectores?
b) Se puede asegurar que uno de los tres vectores es combinacin
lineal de los otros dos?
15. Escribe las matrices traspuestas de:
A =
3 12 57 6
B = (2 5 74 1 0
)C =
1 3 5 10 2 4 16 1 0 3
D =
7 4 12 1 00 1 76 3 2
E =1 7 47 1 04 0 3
F = (5 4 6 1)
16. Calcular el rango de las siguientes matrices:
A =
0 5 3/20 1 10 32 7
, B = ( 4 5 6 16 7 8 3
), C =
1 1 1 0 24 1 1 1 32 2 0 0 1
.17. Dada la matriz
A =
(1 21 3
)calcula AAt 5A1 , siendo At y A1 las matrices traspuesta e
inversa de A, respectivamente.
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18. Se consideran las matrices
A =
1 21 00 2
, B = 4 5 16 7 8
1 1 1
, C = ( 6 5 11 2 1
).
Calcular: (a) 4A+ 2Ct, (b) (BA)t C, (c) B +AC, (d) CA, (e) (B
2I)2, (f) (CA)1.Explicar por qu las siguientes operaciones no
tienen sentido: 2AB, AB, A 2I y C2.
19. Sean las matrices:
A =
(2 1 00 2 1
)B =
(2 12 2
)C =
1 20 22 0
Justificar si son posibles los siguientes productos:
(At B)C(B Ct)At
20. Hallar las matrices que conmutan con A, es decir AB = BA,
donde
A =
( 1 23 4
)
21. Estudiar el rango de las matrices siguientes:
A =
1 0 00 2 00 0 5
B = 2 1 0 12 1 3 3
0 0 3 2
C =1 1 1 22 3 5 111 1 6 29
D =
2 1 34 2 16 3 2
E =1 3 1 11 5 3 31 1 1 13 7 5 5
F =1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
22. Hallar a y b para que A sea la matriz inversa de B,
siendo
A =
1/2 1 1a 1 b3 0 1
, B = 1 1 05/2 7/2 1
3 3 1
.23. Calcular las inversas de las siguientes matrices:
A =
5 0 20 0 13 1 0
B =1 0 00 2 00 0 3
C =1 2 10 1 02 0 3
D =
1 1 11 0 32 5 3
E =4 1 00 2 11 5 3
F =1 1 00 1 02 0 1
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24. Calcular la inversa (si existe) de las siguientes matrices
utilizando el mtodo de GaussJordan:
A =
1 1 23 1 45 1 8
, B =
1 1 1 01 1 1 11 0 0 01 1 0 0
, C = 3 2 44 1 5
1 4 2
, D =
3 1 2 41 1 0 3
2 4 1 56 4 1 2
E =
1 0 0 02 1 0 01 1 1 21 1 2 2
25. Sea la matriz A =
(2 21 5
).
a) Calcula B, si existe, que cumpla (A 2I)B = I.b) Repite el
apartado anterior para la matriz A =
(2 03 2
).
26. Estudiar si alguna de las siguientes matrices es triangular,
simtrica o antisimtrica:
A =
1/10 1 11 1 11 1 31
, B = 1 0 05/2 7/2 0
3 3 1
, C = 6 1 40 7 5
0 0 1
,D =
1 5/2 05/2 2 10 1 1
, E = 0 5 85 0 18 1 0
, F = 4 10 110 2 1
1 1 1
.27. Dar un ejemplo de una matriz A M22 tal que A2 = A3 = 0 pero
A = 0.28. Sean A y B dos matrices tales que AB2 = 2I.
a) Demuestra que las matrices deben ser cuadradas. Pista: Qu
pasara si B no fuesecuadrada? Tendra sentido esa expresin? Qu pasa
entonces con A?
b) Demuestra que las matrices deben ser invertibles. Pista: Qu
significa la inversa deuna matriz? Se podra obtener ese resultado
si A no fuese invertible? Y si B no fueseinvertible?
c) Encuentra la expresin de sus inversas.
29. Sean A =
(0 0 1
1/2 1/2 1)
y B =
1 11 ba 0
, encuentra a y b tales que AB = I.30. Estudiar si alguna de las
siguientes matrices es ortogonal, idempotente, unipotente o
nilpotente:
A =
2 2 41 3 41 2 3
, B = ( 0 11 0
), C =
(1 02 1
), D =
1 1 01 1 02 2 0
.31. Dadas las matrices
A =
2 1 11 0 32 1 1
B = 0 2 21 1 01 1 3
calcula:
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a) tr(AB)
b) tr(A+ 2B)
c) tr(2BA)
d) tr(2A+B)
32. Dadas las matrices A, B, C , D , E y F
A =
1 3 50 2 24 0 1
B = ( 7 13 9
)C =
3 2 4 59 1 1 00 0 2 7
D =
1 1 30 2 14 0 1
E = ( 2 1 41 3 0
)F =
(1 1 30 1 2
)
Se pide:
a) Calcular su traza (si existe)
b) Calcular la traza (si existe) de A+ 2B, A+ 3D y 125E 14F.
33. Sea I3 la matriz identidad. Calcular I23 = I3I3 y deducir
que, en general,
tr(AB) = tr(A) tr(B)
34. Dadas las matrices
A =
(1 21 1
), B =
(0 11 1
), C =
(2 02 1
),
Calcula tr(ABC), tr(BAC) y tr(CBA), y compara los
resultados.
35. Calcular el determinante de las siguientes matrices:
A =
(1 32 7
), B =
(0 11 2
)C =
(4 00 3
)D =
(2 32 3
)
E =
1 2 23 0 75 4 1
F = 1 1 04 2 2
1 3 2
G = 1 2 31 0 1
1 1 0
36. Dadas las matrices A =
(1 32 1
), B =
(2 10 1
), deducir que |A+B| = |A|+ |B|.
37. Calcula el determinante de las siguientes matrices
A =
3 1 70 0 01 11 4
B =45 11 104 1 1
5 1 0
C =3 7 3 114 2 0 74 6 2 20 4 6 5
D =
0 2 4 62 1 3 51 1 2 34 6 5 7
E =a 1 1 11 a 1 11 1 a 11 1 1 a
F =x x+ 1 x+ 2x x+ 3 x+ 4x x+ 5 x+ 6
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38. Dada la matriz
(2 a1 b
), encuentra los valores de a y b tales que tr(A) = 0 y det(A) =
4.
39. Calcula el determinante de las siguientes matrices, primero
haciendo ceros mediante operacionescon filas y columnas y luego
mediante el mtodo de los adjuntos:
A =
2 1 3 41 2 1 00 1 2 54 3 1 2
, B =
1 0 1 12 1 2 01 0 2 1
2 1 2 1
40. Calcular el determinante de las siguientes matrices
A =
1 0 2 10 1 1 00 0 3 20 0 0 7
B =
1 0 3 1 42 2 1 2 35 0 1 0 23 0 0 4 12 3 1 0 4
C = 3 0 02 2 0
1 3 3
D =
1 a b+ c1 b c+ a1 c a+ b
, E =2 0 3 10 a 1 00 0 3 220 0 0 b
, F =
7 8 9 1012 13 14 1517 18 19 2022 23 24 25
G =
1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
41. Resolver las siguientes ecuaciones:
1 x 11 1 x = 0,
1 x 2 22 1 x 22 2 1 x
= 0,1 x 2 20 2 x 20 0 3 x
= 0,2 x 0 3 01 2 x 0 30 0 2 x 00 0 1 2 x
= 042. Sean A y B matrices de Rnn tales que det(A) = 1 y det(B)
= 2. Calcular:
a) det(3A)b) det(2AB)c) det(BAT )d) det(A1BA)e) det((AB1)T )
43. Localice, si los hubiese, los errores cometidos en los
siguientes clculos:
a)
a bc d = a bc d
= 2 a/2 b/2c/2 d/2
b)
a bc d = 0 b0 d
+ a bc d =
a 0 b1 1 0c 0 d
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c)
a bc d = a b0 0
+ 0 0c d
d)
(a bc d
)=
( a b0 0
)+
(0 0c d
)44. Dadas las matrices
A =
5 3 4 21 0 7 40 1 3 58 2 1 1
, B = ( 1 48 1), C =
5 3 41 0 48 2 1
a) Cul de las matrices B y C son submatrices de A?
b) Es B submatriz de C?
c) Se puede decir que, si B es submatriz de A y C es submatriz
de B, entonces C essubmatriz de A?
d) Son cuadradas las submatrices de una matriz cuadrada? Y para
una matriz rectangular?
45. Demostrar las siguientes propiedades: Sea A = (aij) Mna) Si
A es una matriz ortogonal entonces detA = 1 1b) Si A es una matriz
idempotente entonces detA = 0 1
c) Si A es una matriz unipotente entonces detA = 1 1d) Si A es
una matriz nilpotente entonces detA = 0
46. Calcula el rango de las siguientes matrices
A =
( 1 21 2
), B =
1 2 11 2 30 0 0
, C = 1 2 11 2 3
0 1 0
D =
1 0 1 22 3 1 22 4 2 1
, E =1 1 22 1 33 0 51 2 1
F =
1 1 1 1 22 4 1 5 31 0 1 0 21 0 1 0 2
, G =
1 2 0 1 11 2 0 1 32 4 0 3 22 4 0 5 01 2 0 1 5
47. Dados los vectores u = (1, 4,2), v = (2, 5,2) y w = (3,
6,2),
a) Calcular el determinante de la matriz (u v w).
b) En vista del resultado del apartado anterior, son los
vectores u, v y w linealmente inde-pendientes?
c) Cul es el rango de los vectores?
48. Hallar los valores de a para los que los vectores
(2, a, 2, a), (1, 0, 1, a), (1, 0, 1, 0) y (1 a, 1, 0, 0)sean
linealmente independientes.
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49. Determinar los valores de y para que el rango de la
siguiente matriz sea lo ms pequeoposible:
M =
1 0 3 4
1 1 5 40 0 2 2 0 1
50. Determinar los valores del parmetro a para los que la
matriz
A =
2 1 1 1 aa 0 0 12 1 1 01 1 0 0
tiene rango completo. Para a = 2 calcular la matriz inversa
A1.
51. Determinar el rango de las siguientes matrices.
A =
(1 1 11 1 0
), B =
1 1 11 1 02 0 1
, C = 1 0 12 1 0
0 0 2
, D =
1 0 0 0 01 1 0 0 01 0 1 0 10 0 0 1 00 0 1 0 1
Calcule, si fuese posible, C1, D1, (AB)T , det(AB)
52. Sea la matriz A =
b 0 0 01 1 0 02 2 1 01 1 1 a
a) Determine el rango de A segn los valores de los parmentros a
y b.
b) Considere a = 1, b = 1. Halle, si existiesen, dos matrices
C1, C2 tales que
AC1 = C2A = I4
siendo I4 la matriz identidad 4 4
53. Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices y
comprueba el resultado
A =
(4 31 1
)B =
(1 23 4
)C =
2 0 10 3 01 0 1
D =
1 0 22 0 10 2 0
E =1 2 10 1 02 0 3
F =2 1 00 1 32 1 1
54. Determinar para que valores de a son invertibles las
matrices:
A =
a 1 22 a 21 a 1
B =
a 0 1 11 2 0 20 3 2 01 a 3 a
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55. Calcular el rango de las matrices A y B y de la matriz C en
funcin del parmetro a.
A =
1 1 1 1 22 4 1 5 31 0 1 0 21 0 1 0 2
, B =
0 0 0 0 12 1 1 1 10 0 2 1 41 3 1 1 3
, C = 1 1 0 22 2 a 1 2
a 4 2 a
.56. Resuelve la ecuacin
X
1 1 23 4 64 2 9
2 0 01 1 22 0 1
=1 1 00 1 00 1 2
57. Dadas las matrices
A =
(2 0 11 1 5
)B =
3 10 11 2
C = (1 23 4
)D =
(9 38 17
)
Hallar la matriz X que verifica AB +CX = D
58. Justifique si son verdaderas o falsas las siguientes
afirmaciones.
a) Sea A Mn triangular. Si tr(A) = 0 entonces det(A) = 0.b) Si A
Mn es regular entonces A1 tambin es regular.c) Si A es ortogonal
entonces det(A) = 0.d) Si A Mn es idempotente, tambin lo son las
matrices de la forma B = P1AP, siendo
P Mn no singular.
59. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
i)
2x+ 3y z + 5t = 03x y + 2z 7t = 04x+ y 3z + 6t = 0x 2y + 4z 7t =
0
ii)
3x+ 4y 5z + 7t = 02x 3y + 3z 2t = 0
4x+ 11y 13z + 16t = 07x 2y + z + 3t = 0
iii)
x 2y + z + t = 23x+ 2z 2t = 84y z t = 1
x+ 6y 2z = 7iv)
x 2y + z + t = 23x+ 2z 2t = 84y z t = 15x+ 3z t = 0
60. Resolver los siguientes sistemas utilizando la regla de
Cramer
i)
x 2y + z = 72x y + 4z = 173x 2y + 2z = 14
ii)
2x+ 3y z = 13x+ 5y + 2z = 8x 2y 3z = 1
61. Dadas A Mmn y b Mm1 y el sistema lineal de ecuaciones Ax = b
es homogneo si b = 0.Dado el sistema homogneo
(I) Ax = 0
se pide:
a) Demostrar que todos los sistemas homogneos son
compatibles.
b) Si el sistema (I) es compatible y determinado cul es su
solucin?
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c) Probar que si n > m entonces el sistema (I) tiene
infinitas soluciones.
d) Es cierto el recproco de (iii), es decir que si el sistema
(I) tiene infinitas soluciones,entonces n > m ?
62. Discutir y resolver (cuando sea posible) los siguientes
sistemas lineales homogneos.
(i)
{x1 x2 + 7x3 x4 = 0
2x1 + 3x2 8x3 + x4 = 0 (ii)
x1 2x2 + x3 + x4 = 0
3x1 + 2x3 2x4 = 04x2 x3 x4 = 0
5x1 + 3x3 x4 = 0
63. Considere el sistema 2x 3y + 5z = 0x+ 7y 3z = 04x 11y +Kz =
0
Qu valor de K har que el sistema tenga soluciones no
triviales?
64. Determinar los valores de k para que los siguientes sistemas
tengan: a) solucin nica; b) infinitassoluciones; c) ninguna
solucin.
i)
x+ y z = 1
2x+ 3y + kz = 3x+ ky + 3z = 2
ii)
2x+ y z = 3x+ 2y + 3z = 2x y + kz = 13x+ 2y + 2z = 2
65. Resolver, mediante el mtodo de Gauss, los siguientes
sistemas de ecuaciones:
a)
3x+ 4y 5z = 72x+ 3y 7z = 15x 2y + 4z = 7
b)
x+ y = 0
2x+ y + z = 13x y + 4z = 4
66. Resolver, utilizando la regla de Cramer y el mtodo de la
matriz inversa, los siguientes sistemasde ecuaciones:
a)
x+ y z = 1x y + z = 1
x+ y + z = 1b)
x+ y = 1y + z = 2x+ z = 3
67. Hallar la condicin que deben verificar a, b y c para que los
siguientes sistemas sean compatibles:
i)
x+ 2y 3z = a
2x+ 6y 11z = bx 2y + 7z = c
ii)
x+ y + z = 2
2x+ y + 3z = 5x 2y + az = b
68. La Consejera de Pesca proporciona tres tipos de alimento a
tres especies de peces protegidasque habitan en un lago. Cada pez
de la especie 1 consume por semana un promedio de unaunidad del
alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 del alimento C. Los de la
especie 2, 3unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C. Y los de la
tercera especie, consumen cada semana2 unidades del alimento A, 1
unidad del B y 5 del C. Cada semana se vierten en el lago
25,000unidades del alimento A, 20,000 del alimento B y 55,000 del
alimento C. Suponiendo que todala comida se consuma, cuantos
ejemplares de cada especie pueden convivir en el lago?Y si
sevierten 15,000 unidades del A, 10,000 del B y 35,000 del C?
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69. Clasificar y resolver, cuando sea posible, los siguientes
sistemas de ecuaciones segn los valoresdel parmetro a:
a)
x+ y z = 1
2x+ 3y + az = 3x+ ay + 3z = 2
b)
x+ y + az = 0
3x+ 2y + 4mz = 02x+ y + 3z = 0
c)
x+ 3y + z = 5
ax+ 2z = 0ay z = a
d)
x+ ay + z = 2x ay + z = 0ax+ y + z = 2a
70. Discutir los siguientes sistemas de ecuaciones
a)
x y z = kx y + 2z = 12x+ y + kz = 0
b)
x 2y + z = 1mx+ y z = 1
3x+ 4y 2z = 3
c)
3x+ 2y + az = 15x+ 3y + 3z = 2x+ y z = 1
71. Discutir y resolver (cuando sea posible) los siguientes
sistemas lineales en funcin de losparmetros k y m.
(i)
x1 + x2 + x3 = 3x1 x2 + x3 = 1
2x1 +mx3 = k(ii)
x1 + x2 + x3 = 5
2x1 x2 + x3 = 2mx1 2x2 = 3
3x1 + 3x2 x3 = m
(iii)
2x1 3x2 + 5x3 = kx1 + 7x2 x3 = 0
42x1 11x2 +mx3 = 0(iv)
kx1 + x2 + x3 = 0x1 + kx2 + x3 = 0x1 + x2 + kx3 = 0
72. Supongamos tres pases A, B, C. Sean SA, SB y SC los saldos
de sus balanzas de pagos respec-tivos tal que:
a) Dar los valores de las rentas RA, RB y RC que sitan las
balanzas de pago de los trespases en equilibrio.
b) Calcular los valores de las rentas RA, RB y RC que generan un
supervit igual a 50 y a100 para los pases A y B respectivamente, y
un dficit igual a 150 para el pas C.
73. Una compaa tiene tres camiones (P , Q y R), en los que caben
exactamente un cierto nmerode contenedores de tres tipos (A, B y
C), de acuerdo con la siguiente tabla:
A B C
P 5 3 4
Q 2 5 5
R 4 3 6
Si se han de transportar 45 contenedores del tipo A, 44 del tipo
B y 58 del tipo C, cuntosviajes han de hacer cada camin si todos
los viajes los hacen totalmente llenos?
74. El seor Garca deja a sus hijos herederos de todo su dinero
con las siguientes condiciones: almayor le deja la media de lo que
les deja a los otros dos ms 30000C=; al mediano, exactamentela
media de los otros dos, y al pequeo, la media de los otros dos
menos 30000C=. Conociendoestas condiciones solamente, pueden los
hijos saber cunto dinero ha heredado cada uno?
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75. Una fbrica de chocolates emplea, para una determinada marca,
leche, cacao y almendras,siendo la proporcin de leche el doble que
la de cacao y almendras juntas. Los precios de losingredientes en
euros por kg son: leche, 0,80; cacao, 4; y almendras, 10. En un da
se fabrican9 000 kg de chocolate de dicha marca con un coste total
de 22 800 euros. Cuntos kg se utilizande cada componente?
76. Un pas importa 21 000 vehculos mensuales de 3 marcas A, B y
C, al precio de 7 500, 9 500 y12 000 euros, respectivamente. Si el
total de la importacin asciende a 201,8 millones de eurosy de la
marca A importa el 40% de las otras dos marcas juntas, cuntos
vehculos de cadamarca entran en el pas?
77. Un grupo de personas se renen para ir de excursin, juntndose
un total de 20 entre hombres,mujeres y nios. Contando hombres y
mujeres juntos, su nmero resulta ser el triple del nmerode nios.
Adems, si hubiera acudido una mujer ms, su nmero igualara al de
hombres.Cuntos hombres, mujeres y nios han ido de excursin?
78. Nuestro proveedor de pilas nos cobra por una pequea, dos
medianas y una grande 1, 83C= enotra ocasin, por dos pequeas, tres
medianas y dos grandes 3, 3C= .
a) Cul es el precio de una pila mediana?
b) Cul sera la solucin del sistema y para qu valores se
considerara vlida la solucin?
c) Si aadimos la condicin de que una grande vale el doble de una
pequea Cul es elprecio de cada uno de los tipos de pilas?
79. En cierta heladera, por una copa de la casa, dos horchatas y
cuatro batidos te cobran 34 C= unda. Otro da, por cuatro copas de
la casa y cuatro horchatas te cobran 44C=, y un tercer da,te piden
26 C= por una horchata y cuatro batidos. Tienes motivos para pensar
que alguno delos tres das te han presentado una cuenta
incorrecta?
80. Un cajero automtico contiene 95 billetes de 10, 20 y 50C= y
un total de 2000C=. Si el nmerode billetes de 10C= es el doble que
el nmero de billetes de 20 C=, averigua cuntos billetes hayde cada
tipo.
81. Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 1 euro. Se
sabe que en total hay 36C=. Elnmero de monedas de A excede en 2 a
la suma de las monedas de las otras dos cajas. Si setraslada 1
moneda de la caja B a la caja A, esta tendr el doble de monedas que
B. Averiguacuntas monedas haba en cada caja.
82. Se combinan tres factores segn tres procesos productivos
obteniendo en cada proceso un pro-ducto diferente. La informacin de
la tabla adjunta indica las unidades de cada factor necesariaspara
obtener una unidad de producto en cada proceso:
ProcesoFactor 1 2 3
1 2 4 8
2 6 11 6
3 8 1 2
Las disponibilidades de los factores son: 122, 178 y 68 unidades
respectivamente. Los preciosde venta de cada unidad de producto
son: 360, 400 y 480 respectivamente.
a) Hallar el plan de produccin con el que se agotan las
disponibilidades de los factores.
b) Hallar los precios imputables a los factores para que los
ingresos de cada unidad producidaigualen a los costes en el plan de
produccin anterior.
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83. Un almacn distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas
distintas: A, B y C. La marca Alo envasa en cajas de 250 gramos y
su precio es de 100C=, la marca B lo envasa en cajas de 500gramos a
un precio de 180C= y la marca C lo hace en cajas de 1 kg a un
precio de 330C=.
El almacn vende a un cliente 2,5 Kg de este producto por un
importe de 890C=. Sabiendo queel lote iba envasado en 5 cajas,
plantea un sistema par determinar cuantas cajas de cada tipose han
comprado y resuelve el problema.
84. Una empresa dispone de 27200C= para actividades de formacin
de sus cien empleados. Despusde estudiar las necesidades de los
empleados, se ha decidido organizar tres cursos: A, B y C.La
subvencin por persona para el curso A es de 400C=, para el curso B
es de 160C=, y de 200C=para el C. Si la cantidad que se dedica al
curso A es cinco veces mayor que la correspondienteal B, cuntos
empleados siguen cada curso?
85. Dada la matriz y se consideran los sistemas de
ecuaciones
(I) Ax =b y (II) Ax = 0
Suponiendo que los dos sistemas son compatibles, se pide:
a) Probar que si s1 es solucin de (I) y s2 es solucin de (II)
entonces s1 + s2 es tambinsolucin de (I).
b) Probar que si s1 y s2 son soluciones de (II) entonces 2s1-
5s2 es tambin solucin de (II).
c) Probar que si s1 y s2 son soluciones de (I) entonces s1- s2 y
s2s1 son tambin solucionesde(II).
d) Probar que si s1 y s2 son soluciones de (II) entonces s1 + s2
es tambin solucin de(II) , R.
86. Modelo de desempleo (markoviano). Se supone que los
individuos de cierto pas pueden estarempleados o desempleados. Un
individuo, que hoy est desempleado, encuentra trabajo maanacon
probabilidad p (0, 1) . Un individuo, que hoy est empleado, pierde
su trabajo maanacon probabilidad q (0, 1) . Sean (y1, y2) el nmero
de ocupados y desempleados hoy, y sean(x1, x2) el nmero de ocupados
y desempleados maana. Se supone que no hay cambios en eltamao total
de la poblacin.
a) Escriba un sistema lineal de ecuaciones que exprese las
variables (x1, x2) como funcin de(y1, y2).
b) Encuentre las distribuciones de ocupados/desempleados de
manera que no se alteren conel paso del tiempo.
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Captulo 2
Formas cuadrticas.
1. Hallar la matriz simtrica asociada a las siguientes formas
cuadrticas:
a) q1(x1, x2, x3) = 2x21 x1x3 + x22 + 4x2x3 4x23
b) q2(x, y) = 2x2 + xy + y2
c) q3(x1, x2, x3) = x21 + 2x1x2 + x1x3 + x22 + 5x2x3 x23d) q4(x,
y) = x2 y2 + xye) q5(x1, x2, x3, x4) = 3x
21 + 6x1x4 + x
22 + 2x2x3 + 4x2x4 + 6x3x4 + 2x
23 + 8x
24
f ) q6(x, y) = x2 + y2 4xy
g) q7(x, y, z) = x2 2xy + 2y2 2yz + z2
h) q8(x, y, z) = x2 2xy + 2y2 2yz + z2
i) q9(x, y, z) = 5x2 + 5y2 + 2z2 + 8xy + 4xz + 4yz
j ) q10(x, y, z) = 5x2 + 5y2 + 2z2 + 8xy + 4xz + 4yz
k) q11(x, y, z, t) = 7x2 + 7z2 + 4t2 4xy 18xz 4yz
2. Dadas las matrices A1, A2 y A3
A1 =
2 0 12 1 13 0 3
, A2 = 2 1 23 1 0
0 1 3
, A3 = 2 3 35 1 2
1 1 3
y la forma cuadrtica q(x1, x2, x3) = 2x21 2x1x2 + x22 2x1x3 x2x3
+ 3x23 , se pide:
a) Comprobar que q(x) = xtA1x = xtA2x = x
tA3x para todo x = (x1, x2, x3) R3.b) Obtener la matriz simtrica
Q tal que q(x) = xtQx y relacionar Q y A1, A2, A3.
3. Dadas las siguientes matrices:
A1 =
1 2 01 3 10 1 1
A2 =2 1 03 2 00 0 4
A3 =
5 6 61 4 23 6 4
A4 = 4 4 62 2 6
1 2 5
Determinar los autovalores o valores propios de cada una.
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4. Clasificar, si es posible, las formas cuadrticas
siguientes:
a) q1(x1, x2, x3) = 2x21 + 2x
22 + x
23 4x1x2
b) q2(x1, x2, x3) = 3x21 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x22 6x2x3 + 7x23c)
q3(x1, x2, x3, x4) = 2x
21 + x
22 + 3x
23 + 8x1x3 3x24
d) q4(x1, x2, x3) = 2x21 + 2x1x2 + x
22 + 2x2x3 + 3x
23
e) q5(x1, x2, x3) = x21 + 3x22 + 4x1x3 2x1x2 + 3x23f ) q6(x1,
x2, x3) = 3x
21 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x
22 6x2x3 + 7x23
g) q7(x1, x2, x3, x4) = 4x21 + 4x1x2 x22 9x23 + 6x3x4 x24h)
q8(x1, x2, x3) = 3x21 + 2x1x2 4x22i) q9(x, y, z) = 3x2 + 6xy 4y2 +
2yz z2j ) q10(x, y, z) = 2x2 + 2xz + 3z2k) q11(x, y, z) = x
2 2xy + 2y2 2yz + z2l) q12(x, y, z) = 5x2 + 5y2 + 2z2 + 8xy +
4xz + 4yz
5. Se considera la matriz
A =
1 1 01 1 00 0 2
Calcular el polinomio caracterstico de A, as como sus valores
propios.
6. Intenta clasificar las formas cuadrticas asociadas a las
siguientes matrices mediante el mtodode los menores y mediante el
mtodo de los autovalores:
A =
2 0 20 0 02 0 1
, B = 8 4 04 2 0
0 0 1
.7. Clasifique, utilizando el signo de los autovalores, la forma
cuadrtica
q(x, y, z) = x2 + 2y2 + z2 2xy 2yz
Cambia el signo si la clasificamos ahora restringida a que x+ y
= 0?
8. Clasificar las siguientes formas cuadrticas:
a) q1(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2 + 2xy
b) q2(x, y, z) = 4x2 5y2 2z2 + 4xzc) q3(x, y) = x
2 4xy + 4y2d) q4(x, y, z, t) = 4x2 + 4xy y2 9z2 + 6zt t2e) q5(x,
y, z) = 3x
2 + 2y2 2xy + 5z2f ) q6(x, y, z) = x2 + y2 + 2yz + 2z2
9. Sea A =
a a 0a a 00 0 1
la matriz asociada a una forma cuadrtica. Clasifquela mediante
elsigno de los valores propios en funcin del parmetro a R.
10. Determine el valor del parmetro a R para que:
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a) la forma cuadrtica q1(x, y, z) = 3x2 2xy + 3xz + y2 4yz + z2
sea definida positiva.
b) la forma cuadrtica q2(x, y, z) = 2y2 4x2 + az2 + 4yz sea
semidefinida negativa.c) la forma cuadrtica q3(x, y, z) = x
2 + ay2 + az2 + 2yz sea semidefinida, ya sea positiva
onegativa.
11. Dada la forma cuadrtica:
q (x1, x2, x3) = 4x21 + 2x
22 + 4x1x2 x2x3 + ax23
calcular el valor del parmetro a R para que sea definida
positiva.12. Clasificar las formas cuadrticas en funcin de los
valores de los parmetros a y b:
a) q1(x1, x2, x3) = ax21 + ax
22 + ax
23 + 6x1x2 + 8x1x3
b) q2(x1, x2, x3) = x21 + ax
22 + x
23 2bx1x2 + 2x1x3 + 2x2x3
c) q3(x1, x2, x3) = ax21 + ax
22 + ax
23 + 2x1x2 + 2x1x3
13. Sea una forma cuadrtica cuya matriz simtrica asociada es A
M2. Indique si son posibleslas siguientes afirmaciones, y en caso
afirmativo clasifique la forma cuadrtica.
a) det(A) > 0 y Tr(A) = 0.
b) det(A) < 0 y Tr(A) = 0.
c) det(A) > 0 y Tr(A) > 0.
d) det(A) > 0 y Tr(A) < 0.
14. Con el fin de conseguir una reduccin del dficit pblico, el
gobierno est estudiando la posi-bilidad de introducir un nuevo
impuesto T complementario del impuesto sobre la renta de
laspersonas fsicas y el impuesto sobre el patrimonio, de tal forma
que dependa de ellos segn laecuacin:
T (P,R) = 2R2 + 4P 2 4PRdonde R y P son, respectivamente, las
cantidades ingresadas por el impuesto sobre la renta yel de
patrimonio. Justifique que ningn contribuyente conseguir, con este
nuevo impuesto, quesu declaracin le salga a "devolver".
15. El nivel de contaminacin que produce una empresa se mide
mediante la siguiente funcinndice:
K = x21 3x22 2x23 2x1x2donde x1, x2, x3, son, respectivamente,
las cantidades de las materias primas A, B, C utilizadasen el
proceso yK es el nivel de contaminacin. Adems, en su proceso de
produccin, la empresautiliza la misma cantidad de la materia prima
A que la suma de las de B y C. El gobierno noautoriza los procesos
productivos que generen niveles de contaminacin con ndice K
positivo.Si usted es el gerente de este empresa, pedira la
autorizacin para su apertura?
16. Un estudio de mercado estima que la demanda de un nuevo
producto est determinada por lasiguiente forma cuadrtica:
d (x, y, z) = x2 2mxz + (1m) y2 +mz2 con m R.
a) Clasificar la forma cuadrtica d en funcin de todos los
posibles valores de m R..
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b) Si la empresa slo considera rentable un ndice de demanda
positivo, determine los posiblesvalores de m R con los proceder a
comercializar el nuevo producto.
17. Un estudio de mercado determina que el ndice estimado de los
beneficios de un nuevo productoviene dado por la siguiente forma
cuadrtica:
b (x, y, z) =mx2 + 2mxy + y2 + z2 con m R.
a) Clasificar la forma cuadrtica b en funcin de todos los
posibles valores de m R.b) Si la empresa no considera rentable un
ndice de beneficios negativo, determine los posibles
valores de m R con los proceder a comercializar el nuevo
producto.
18. Una empresa maderera estima que el nivel de recuperacin de
los bosques que explota para suproduccin se mide mediante un ndice
que viene dado por la siguiente forma cuadrtica:
q (x, y, z) = mx2 + y2 + 2xy +mz2
donde x, y, z son variables que dependen tanto del volumen de
explotacin como de condicionesambientales y m R.
a) Clasificar la forma cuadrtica q en funcin de los posibles
valores de m R.b) Si la empresa asume una produccin sostenible de
forma que no autoriza niveles de re-
cuperacin negativos, determine los posibles valores de m R con
los que mantendr laproduccin.
19. Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o
falsas, razonando la respuesta:
a) Sea q (x) = xtQx una forma cuadrtica con matriz simtrica
asociada Q de orden 2, talque |Q| > 0 y = 1 es un autovalor de
Q. Entonces q es una forma cuadrtica indefinida.
b) Sea q (x) = xtQx una forma cuadrtica con matriz simtrica
asociada Q de orden 3, talque |Q| > 0 y = 1 es un autovalor de
Q. Entonces q es una forma cuadrtica indefinida.
c) Sean q1 y q2 dos formas cuadrticas de Rn tales que q1 es
definida positiva y q2 es semidefini-da positiva, entonces se
cumple que la forma cuadrtica q1 + q2 definida por
(q1 + q2) (x) = q1 (x) + q2 (x)
es una forma cuadrtica semidefinida positiva.
d) Sea q (x) = xtQx una forma cuadrtica con matriz simtrica
asociada Q de orden 2, talque |Q| > 0 y = 1 es un autovalor de
Q. Entonces q es una forma cuadrtica indefinida.
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Parte II
Clculo diferencial
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Captulo 3
Funciones de varias variables.
1. Determinar y dibujar los dominios de las siguientes
funciones:
a) f (x, y) = x2 + y2
b) f (x, y) = 4x2 y3c) f (x, y) = y
1+x2
d) f (x, y) = 1x2+y2
e) f (x, y, z) = x2 + y3 + 1zf ) f (x, y, z) = x2 + y2 + 2
g) f (x, y) = ex
y
h) f (x, y) = log(xy + x2
)i) f (x, y) =
xyx+y 1
j ) f (x, y) =(x2 + y2
) log (x2 + y2 1)2. Indicar el dominio, los espacios inicial y
final, y la expresin de las funciones que se describen
a continuacin:
a) Los beneficios de una empresa que produce 3 bienes con unos
costes de 090 euros, 050euros y 120 euros por unidad
respectivamente y unos respectivos precios de venta de 150euros, 1
euro y 210 euros, en funcin de su produccin.
b) El rea de un tringulo de vrtices (0, 0), (a, 0) y (0, b) en
funcin de a, b R.c) El valor real de un automvil que sufre una
depreciacin del 20% anual en funcin del
precio de compra y del tiempo de uso.
3. Encontrar la expresin de la funcin y su dominio para la
funcin de costes totales de unaempresa que produce 3 bienes A, B y
C cuyos costes de produccin unitarios respectivos son15 euros, 3
euros y 2 euros.
4. Determinar y representar el dominio de definicin de las
siguientes funciones:
a) f(x, y) = ln(x+ y)
b) g(x, y) =x2 y2 +
x2 + y2 1
c) h(x, y) =2 (x2 + y2)
5. Dibujar algunos conjuntos de nivel de las siguientes
funciones:
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a) f (x, y) = x+ y
b) f (x, y) = 2x yc) f (x, y) = xy
d) f (x, y) = x2 + y2
e) f (x, y) = log(x2 + y2
)f ) f (x, y) = exy
g) f(x, y) = 4 (x+ 1)2 (y 2)2h) f(x, y) = 2 log(xy)
i) f(x, y) = mn{3x, 2y}
6. Dibujar las curvas de nivel para x > 0 e y > 0 de las
siguientes funciones de utilidad:
a) f (x, y) = 12x+ y
b) f (x, y) = logx+ log y
c) f (x, y) = mn {x, y}d) f (x, y) = mn {2x, y}
7. Represente en R2+ algunas isocuantas de las siguientes
funciones de produccin.
a) f (x1, x2) = 2x1x21/2
b) f (x1, x2) = x1 + 2 log x2.
8. Represente grficamente los siguientes conjuntos de R2+.
a) El conjunto de cestas (x1, x2) accesibles para un consumidor
con renta 50, que se enfrentaa unos precios p1 = 2 y p2 = 1.
b) El conjunto de cestas preferidas a la cesta (1, 1) si la
funcin de utilidad del individuo esU (x1, x2) = x1x2.
c) El conjunto de cestas preferidas o indiferentes a la cesta
(1, 1) si la funcin de utilidad delindividuo es U (x1, x2) =
x1x2.
d) El conjunto de cestas accesibles y preferidas o indiferentes
a la cesta (1, 1) si la funcin deutilidad del individuo es U (x1,
x2) = x1x2 y su conjunto presupuestario es el dado en elapartado
(a).
e) El conjunto de cestas accesibles y no preferidas a la cesta
(1, 1) si la funcin de utilidaddel individuo es U (x1, x2) = x1x2 y
su conjunto presupuestario es el dado en el apartado(a).
9. Considere la funcin de utilidad lineal U (x1, x2) = ax1+ bx2,
donde (x1, x2) R2+, y a y b sonconstantes positivas.
a) Represente grficamente algunas curvas de indiferencia.
b) Demuestre que si las cestas(x01, x
02
)y(x11, x
12
)le resultan indiferentes al consumidor en-
tonces x2/x1 = a/b, donde (x1,x2) =(x11 x01, x12 x02
).
c) Suponga que a < 0. Represente grficamente algunas curvas
de indiferencia e interprtelas.
10. Estudiar razonadamente la continuidad de las siguientes
funciones:
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a) f (x, y) = x4 + y
b) f (x, y, z) = cos (xy) + z2
c) f (x, y) = ex2+y2 + x2 2
d) f (x, y) = log(x2 + y2 + ex
)e) f (x, y) =
(x2 + y2
) log (x2 + y2 1)f ) f (x, y) =
{xy si (x, y) = (1, 1)2 si (x, y) = (1, 1)
11. Explicar por qu las curvas de nivel de una funcin f(x, y)
para las cotas co y c1 no se cortan.
12. La estimacin de la produccin de un centro pesquero de
langostas viene dado por:
F (S,E) = 2, 26S0,44E0,48
donde S designa el nmero de capturas y E el trabajo invertido y
F (S,E) las capturas. Cculesela F (tS, tE) para t R. En particular
proporcione un significado para t = 2.
13. Considere la funcin de produccin f (x1, x2) = Ax1x
2 , donde (x1, x2) R2+, y A, y son
constantes positivas.
a) Represente grficamente algunas curvas de nivel (isocuantas)
en los siguientes casos:
i) = 1/4, = 1/4; ii) = 1/2, = 1/2; iii) = 1, = 1.
b) Si A = = = 1, represente el conjunto de combinaciones (x1,
x2) que permiten produciral menos 4 unidades de bien.
14. Calcular las derivadas parciales de primer y segundo orden
en el punto (x, y) R2 de lassiguientes funciones:
a) f (x, y) = x2 + 3y4 xy2.b) f (x, y) = ex+y.
c) f (x, y) = exy.
d) f (x, y, z) = z(2x3 5y)+ 2.
e) f (x, y) = sen (xy) + cos (x+ y).
15. Un estudio de la demanda de leche en los Estados Unidos
realizado por R. Frisch y T. Haavelmohall la relacin
x = Ar2,08
q1,5(A constante positiva)
donde x es el consumo de leche, p es el precio relativo y r es
la renta familiar.
a) Calcule las derivadas parciales de la funcin x con respecto a
q y a r.
b) Estudie el signo de dichas derivadas parciales y seale su
significado econmico.
16. Sea f(x, y) = 2x2 + 3xy + 5y2.
a) Hallar f(1, 2), f(a, a), f(a+ h) f(a).b) Probar que f(2x, 2y)
= 22f(x, y) y, en general f(tx, ty) = t2f(x, y). (Se dice que f
es
una funcin homognea de grado 2).
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17. Sea f(x) una funcin de una variable y definamos g(x, y) =
f(x).Obsrvese que y no apareceen la definicin de g.
a) Explique cmo se puede obtener la grfica de g a partir de la
grfica de f .
b) Aplicar al caso de f(x) = sin(x).
c) Cmo cambia la situacin descrita en (a) si se definiera g(x,
y) = f(y)?
18. Para las siguientes funciones probar que se cumple que
2z
x2+
2zy2
= 0 (Ecuacin de Laplace).
a) z = 12 ln(x2 + y2).
b) z = ex sin y
c) z = arctg(xy )
19. Sea f(x, y) = x ln yy22xy. Hallar las derivadas parciales
primeras y segundas de f en (x, y) =(1, 1).
20. Probar que si z = (ax+ by)2, entonces xzx + yzy = 2z.
21. Consideremos la siguiente figura, que muestra algunas curvas
de nivel de la funcin f(x, y).Sobre la base de esta figura,
responder a las siguientes preguntas:
a) Qu signos tienen f x(x, y) y fy(x, y) en P (2, 4) y Q(3, 1)
?
b) Qu soluciones tienen las ecuaciones f(3, y) = 4 y f(x, 4) = 6
?
c) Qu valor mximo puede alcanzar f(x, y) para x = 2 y para qu
valor de y lo alcanza?
22. Hallar las derivadas parciales de primer y segundo orden de
las funciones siguientes:
a) f(x, y) = sinx cos y
b) g(x, y) = xyex2+y
2
2
c) h(x, y) = ln(x+yxy )
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23. Si u = Axayb es la funcin de produccin Cobb-Douglas, probar
que se cumple
1
ux
(
x
(uxyuxuy
))=
1
uy
(
y
(uxyuxuy
))
24. Calcularf yHf y decir si existeDuf (0, 0) para cualquier
vector unitario u para las siguientesfunciones:
a) f (x, y) = ex+y.
b) f (x, y) =
{xy2
x2+y2si (x, y) = (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
25. Calcular f y Hf para las siguientes funciones:
a) f (x, y) = ex
y .
b) f (x, y) = sen(x2 y2) cos (x+ y).
c) f (x, y, z) = xez + y cos (x+ z).
26. Aproximar el incremento f = f (x, y) f (x0, y0) siendo:
a) f (x, y) = xy2 + x2y en los puntos (x, y) = (11, 09), (x0,
y0) = (1, 1).
b) f (x, y) = x+ 4y 3 en los puntos (x, y) = (001, 201), (x0,
y0) = (0, 2).c) f (x, y) = log
(xy y2) en los puntos (x, y) = (199, 101), (x0, y0) = (2,
1).
27. Mediante la funcin f (x, y) = exy, aproximar el valor de
e001.
28. Aproximar el valor de log (1, 01) mediante la funcin f (x,
y) = log (1 + xy).
29. La frutera del barrio mide el nmero de clientes en funcin de
tres variables: p el precio medio deventa de sus productos, s el
dinero invertido en personal y d el dinero invertido en la
decoracindel local. As, la funcin del nmero de clientes es C (p, s,
d). Interpretar cmo variar el nmero
de clientes si suponemos queC
p(p, s, d) < 0,
C
s(p, s, d) > 0 y
C
d(p, s, d) = 0.
30. La cantidad de tomates producidos en una finca de Almera
viene dada por la funcin
f(x, y) = 64x1/2y1/4 32x y,
donde x indica la cantidad de fertilizante e y los litros de
agua por metro cuadrado.
Actualmente se estn empleando 1 kg de fertilizante y 16 litros
de agua.
a) Calcule f(1, 16). Interesar aumentar la cantidad de
fertilizante? y la de agua?b) Calcule H(1, 16) e indique si son
verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
1) Si aumenta y, el producto adicional de una unidad extra de y
disminuira.
2) La productividad marginal del agua es creciente en x
31. Sea la funcin de produccin f(K,L) = 16K1/2L3/2, siendo K y L
las cantidades empleadasde capital y trabajo respectivamente.
a) Calcule el gradiente y la matriz hessiana de f en el punto
(K0, L0) = (4, 1).
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b) Justifique, usando las derivadas calculadas en el apartado
(a), si son ciertas o falsas lassiguientes afirmaciones.
1) Empleando (K0, L0) = (4, 1) la empresa produce la mayor
cantidad posible.
2) La productividad marginal del capital es creciente en L pero
la productividad marginaldel trabajo decrece cuando K aumenta.
3) Aumentando L, el producto adicional de una unidad extra de
trabajo aumentara.
4) El producto adicional de una unidad extra de trabajo sera
mayor si disminuyese lacantidad empleada de capital.
32. Sea x un ndice de la cantidad total de bienes producidos y
consumidos en una sociedad y seaz una medida del nivel de
contaminacin ambiental. Si U(x, z) mide el bienestar social,
qusignos cabe esperar que tengan las derivadas U/x y U/z? Cul
parece razonable que seala hiptesis que hacen los economistas sobre
el signo de 2U/zx? Encuentre una funcin quesatisfaga las
condiciones anteriores
33. Un consumidor tiene una funcin de utilidad U(C,L), donde C
es el nmero de unidadesconsumidas de cierto bien y L es el nmero de
horas trabajadas. Suponga que: (i) el consumidorsiempre prefiere
aumentar C y disminuir L, y (ii) valora ms una unidad extra del
bien C cuandotrabaja poco que cuando trabaja mucho. Exprese en
trminos de derivadas parciales primerasy/o segundas los hechos (i)
y (ii). Justifique su respuesta
34. Un comerciante compra dos bienes X e Y a precios qx y qy, y
los vende a precios px y py. Lasfunciones
G = xqx + yqy, I = xpx + ypy y B = I G,representan el gasto, el
ingreso y el beneficio que obtiene como resultado de comprar (y
luegovender) x unidades del bien X e y unidades del bien Y. Se
pide:
a) Espacio inicial y final de las funciones G, I y B.
b) Dominio natural de definicin de las funciones G, I y B.
c) Variacin del beneficio si x aumenta infinitesimalmente.
d) Variacin del beneficio si y aumenta infinitesimalmente.
e) Resulta siempre rentable aumentar las cantidades x e y ?
f ) Calcule el gradiente de la funcin B.
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Captulo 4
Funciones compuestas y funcionesimplcitas.
1. Sea z = f (x, y) = x2 + y2 donde x = eu+v y adems y = u2 + v.
Calcular zu yzv en el punto
(u, v) = (0, 0).
2. Sea f (x, y) = ex24y2 donde x (t) = t2+1 e y (t, u) = t+
cosu. Calcular ft y fu en el punto
(t, u) =(1, 2 ).
3. Sea f (x, y, z) = x cos yz donde x (t, u) = t1+u2
; y (t, u) = ut y z (t, s) = t2+ s2. Calcular ft ,fu
y fs en cualquier punto (t, u, s).
4. Sea la funcin f (x, y) = 8xy. Si x e y son, a su vez,
funciones de t tales que
x = 2t+ 1y = 1 tet
calcular, mediante la regla de la cadena, la derivada de f (x
(t) , y (t)) respecto de la variable ten t = 0.
5. Calcular z/t y z/s para z = F (x, y) = x2 + 2y2, x = t s2, y
= ts.6. Sea y = f (x1, x2, t) , donde x1 = 2t
4 + t, x2 = 2t1/2 + 3, y t = g(u, v). Suponga que f y g son
diferenciables. Encuentre las expresiones para y/t y y/u.
7. Considere la funcin y = x1x22 + 2x2x3 + log (x1x2x3) , siendo
x1 = (uv)
1/2 , x3 = uv + v,v = et + cos t, t = 4u.
a) Escriba el diagrama de dependencia entre las variables
involucradas.
b) Calcule y/x2, y/u, y/v, x1/t y x1/u.
8. Dada la funcin w = F (x, y, z) = xz + yz x2 siendo
x = f (t) = 1 + t y = g (t, s) = ts z = h (t) = et
Calcular las derivadas parciales de w respecto de s y t cuando s
= 1, t = 1.
9. Sea q = F (L,K) una funcin diferenciable. Suponga que K =
f(t) y L = g(t), siendo t lavariable tiempo, y f y g funciones
derivables en todo punto.
a) Encuentre la tasa de variacin temporal de q.
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b) Sea q0 = F (L0,K0). Se sabe que F (L0,K0) = (1, 2), K0 =
f(0), L0 = g(0). Ademsf (0) = 2 y g(0) = 1/4. Calcule dq/dt en t =
0.
10. En cada uno de los siguientes casos, sea h la funcin que
relaciona la variable y con la variableu.
a) y = 2x21 + x22, siendo x1 = 3u, x2 = 4u 5;
b) y = x1ex2, siendo x1 = 3+ u, x2 = (u 1)2 .
Calcule h(u) y h(1).
11. En cada uno de los siguientes casos, sea h la funcin que
relaciona la variable y con las variablesu = (u1, u2, u3) .
a) y = x2, siendo x = u1 + u2 + 2u3;b) y = x2 sin(x 5), siendo x
= u1 + u2 + u3;c) y = x2ex, siendo x = u2 (u1 + 2u3) .
Sea u0 = (2, 0, 3) . Calcule h(u) y h(u0) usando la regla de la
cadena12. Tenemos una funcin f(x, y) de la que sabemos que fx(1, 1)
= 2, y que
fy (1, 1) = 1. Adems,
sabemos que x depende a su vez de las variables (u, v) de la
forma x = 2u+ev, y que y dependede las variables (u, v) de la forma
y = 1+ v. Con estos datos, calcular fu y
fv en u = 0, v = 0.
13. Halla ut yus en los siguientes casos:
a) u = x2 xy, donde x = set, y = tes.b) u = x2 xy + z2, donde x
= set, y = tes, z = ets.
14. Probar que la funcin F : R2 R definida como:
F (u, v) = f(uv,u2 v2
2)
dnde f es una funcin diferenciable de R2 en R, verifica la
siguiente igualdad:(F
u
)2+
(F
v
)2= (u2 + v2)
((f
x
)2+
(f
y
)2)
15. Sea f(, ) una funcin definida de R2 en R diferenciable. Se
define F : R2 R de la siguienteforma:
F (x, y) = f(, ) = f(
x2 + y2, arctg(yx
))conx = 0
a) Demostrar que se cumple:(F
x
)2+
(F
y
)2=
(f
)2+
1
2
(f
y
)2b) Comprobar la frmula anterior para f(, ) = .
16. El nivel de calidad de vida de una sociedad viene dado por
la funcin
w = f (x, c) = 6 + 10x2 cdonde x es la cantidad total de bienes
producidos y consumidos, y c es una medidad del nivel
decontaminacin ambiental que depende, a su vez, de x de la forma c
(x) = 4+ x3. Determina latasa de variacin de la calidad de vida w
respecto de la cantidad total de los bienes producidosy consumidos
x.
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17. La funcin de ingresos de un comerciante que vende dos
productos es:
I(x, y) = xy +xy2 100 euros al mes,
donde x representa el nmero de unidades vendidas mensualmente
del primer producto e yrepresenta el nmero de cantidades vendidas
del segundo producto. Si se sabe que tanto xcomo y dependen del
nmero t de meses que los dos productos estn en el mercado de tal
formaque: x = t2, y = 3t, calcula la tasa de variacin del ingreso
mensual cuando t = 6 meses.
18. La demanda del bien X viene dada por la funcin
x = f(p, q,m) =m 2q + p
2p,
donde p es el precio del bien X, q es el precio de otro bien de
consumo Y y m es la renta. Se sabeque el precio del bien Y es una
funcin diferenciable de p y w, q = g(p,w). Actualmente p = 2,q = 1,
w = 5 y m = 80. Adems, g(2, 5) = (1, 2). Usa la regla de la cadena
para calcularaproximadamente la cantidad demandada del bien X si p
aumenta en un 2% y w aumenta endos dcimas.
19. Sea la funcin de produccin q = 6L1/2K1/3, w el salario por
hora de trabajo L empleada, r elprecio de cada unidad de capitalK,
y p el precio del bien producido. Se sabe queK = f(w, r, p) yL =
g(w, r, p), siendo f y g funciones diferenciables. Actualmente L =
1, K = 1, w = r = p = 1.Se sabe adems que
f(1, 1, 1) = (1,1, 2) y g(1, 1, 1) = (1, 0, 1)
Cul sera aproximadamente la variacin en la cantidad producida si
el salario aumenta hasta1,2 y r disminuye un 3%?
20. Sea B = px wL 2K el beneficio obtenido por cierta empresa
cuando produce x unidadesdel bien X empleando L unidades de trabajo
y K unidades de capital. Los precios p y w sonfunciones
diferenciables de las cantidades de bien producido y del trabajo
contratado, tenindoseque p = 10 x y w = 2 + 2L. Por otra parte, la
funcin de produccin con la que opera laempresa es x = f(L,K) =
4L1/2K1/2. Actualmente la empresa emplea 4 unidades de trabajoy 1
de capital.
Suponga que la empresa decide aumentar L en un 4% y disminuir K
en 4 dcimas. Use la reglade la cadena para calcular el beneficio
aproximado que obtendra la empresa en ese caso.
21. La funcin de beneficios de una empresa viene dada por
B(K,L, p, r,w) = 3pK1
3L1
3 rK wL
donde K es el capital, L es el trabajo y p, r y w son los
precios del output, capital y trabajorespectivamente. Por otra
parte se sabe que
K =p3
wr2y L =
p3
rw2.
a) Suponga que los precios son p0 = 1, w0 =12 y r0 =
12 . Diga si el capital aumenta o
disminuye si los tres precios aumentan en 0,1 euros.
b) Suponga que p = g(t) y que los precios del capital y el
trabajo no varan con el tiempo yvalen w0 = 1/2 y r0 = 1/2. Sabiendo
que en t = 0 el precio del output es p0 = 1 y queg(0) = 1/12,
calcule cul es aproximadamente el capital en t = 1/2.
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c) Considere la funcin que proporciona el beneficio como funcin
nicamente de los precios.Si actualmente los precios son (p0, w0,
r0) = (1, 1/2, 1/2) utilice la regla de la cadena paracalcular cul
es aproximadamente la variacin en el beneficio si w aumenta en un
4%.
22. Considere las funciones de demanda
x1 = xD1 (p1, p2,m) =
p2p1 + p2
m
p1; x2 = x
D2 (p1, p2,m) =
p1p1 + p2
m
p2,
donde x1, x2 son las unidades consumidas de dos bienes X1 y X2,
siendo p1, p2 sus respectivosprecios y m la renta total del
consumidor. Suponga que p1 = 1, p2 = 2.
a) El efecto precio en el consumo de un bien es la variacin del
consumo en ese bien debidoa un incremento unitario de un precio.
Calcula los efectos precio de cada uno de los dosprecios para el
primer bien, indicando si son positivos o negativos. Qu efecto
tiene unabajada de p2 en x1?
b) Suponga que un consumidor tiene una funcin de utilidadU(x1,
x2) con ulilidades marginalespositivas. Sea V (p1, p2,m) = U(x
D1 (p1, p2,m), x
D2 (p1, p2,m)). Calcule V/m. Puede dis-
minuir la satisfacin de este consumidor si aumenta su renta?
Calcule V/p2.
23. Usar la regla de la cadena para hallar el coeficiente de
variacin de f(x, y) = x3 + y3 conrespecto a t a lo largo de la
curva r(t) = (a cos t, b sin t).
24. Sea h(x, y) = 5ex22y2 la altura de un monte en la posicin
(x, y) R2, estando x e y en km y
h en cientos de metros. Supongamos que comenzamos a andar desde
la posicin (2, 1, h(
2, 1)
y nos ponemos a andar por la ladera del monte de forma que x(t)
= 2 2t, y(t) = 1 t, siendot en horas. Cul es el ritmo de ascensin
del monte? Exprsalo en km/h.
25. Sea la funcin de produccin Y = F (K,L), donde Y representa
la cantidad producida, K elcapital y L el trabajo. Supongamos que K
y L son funciones del tiempo: K = K(t) y L = L(t).
a) Utilizar la regla de la cadena para encontrar la expresin
general de la derivada total deY respecto de t.
b) Para el caso particular de la funcin de Cobb-DouglasF (K,L) =
AKaLb demostrar que:
1
Y
dY
dt= a
1
K
dK
dt+ b
1
L
dL
dt
(Indicacin: utilizar (a) y dividir la expresin obtenida por Y =
AKaLb).
c) Utilizar los apartados anteriores con Y = 10KLKL suponiendo
que K = 0, 2t+5y L = 5e0,1t para calcular dYdt en t = 0.
26. Sea U(x, y) = 2xy + 2x la funcin de utilidad de un
consumidor. Las cantidades demandadasde los bienes X e Y son
funciones de los precios px y py de estos bienes y de la renta m
delconsumidor, y vienen dadas por
x = xD(px, py,m) =m+ py2px
e y = yD(px, py,m) =m py2py
, m py.
Sea V (px, py,m) = U(xD(px, py,m), y
D(px, py,m)) la funcin indirecta de utilidad. Actual-mente px =
3, py = 2 y m = 10.
a) Cmo deben variar los precios y la renta para que la demanda
del bien X aumente enla mayor cantidad posible? Se pueden modificar
los precios y la renta de modo que laderivada direccional de xD(px,
py,m) aumente en
3/2 unidades?
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b) Cul sera la variacin aproximada en xD si px y m disminuyen en
una unidad?
c) Calcule la variacin aproximada en la utilidad indirecta si px
aumenta un 5%.
d) Calcule la variacin aproximada en la utilidad indirecta si m
disminuye un 5%.
27. Una empresa produce el bienX empleando trabajo (L) como nico
input. Sean w y p los preciosdel input L y del producto X
respectivamente. Cuando emplea L unidades de trabajo incurreen unos
costes de wL. Por otra parte, para producir x unidades del bien X,
deben emplearseL = x2 unidades de trabajo. Adems, la cantidad
producida es una funcin de los precios (w, p)y viene dada por
x =p
2w.
a) Exprese, sin sustituir, los costes como funcin de (w, p).
b) Sea C(w, p) la funcin de costes resultante. Use la regla de
la cadena para probar que elcoste es decreciente en w y creciente
en p.
c) Suponga que actualmente, w = 1, p = 2. Calcule la variacin
aproximada de los costes siw disminuye en 3 dcimas y p aumenta un
2%.
28. Sea z : R2 R diferenciable. Demostrar que la ecuacin:
22z
x2+
2z
yx
2z
y2+z
x+z
x= 0
se transforma en:
32z
uv+z
u= 0
bajo el cambio de variables u = x+ 2y + 2 y v = x y 1.29. Sean
las curvas F (x, y) = 0 las representadas por las siguientes
grficas. Indicar grficamente
en qu puntos de dichas curvas la variable y se define
implcitamente como funcin de x. Y lavariable x como funcin implcita
de y?
a) b)
c) d)
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30. Determinar si en los puntos (1, 0) y (0, 1) la ecuacin
e(x2+y21) = 1 define a y como funcin
implcita de x. Y a x como funcin implcita de y?
31. Determinar si el teorema de la funcin implcita nos asegura
que las siguientes ecuacionesdefinen a y como funcin implcita de x
en los puntos indicados. Y a x como funcin implcitade y?
a) x3 2xy + y2 = 18 en los puntos(12 ,12
)y(12 , 0
).
b) x3 y3 = 1 en los puntos (1, 0), (0, 1) y(
372 ,
12
).
c) x3 y2 xy = 1 en el punto (1, 1).d) ex
2+y23xy+1 = 1 en los puntos (1, 1) y (1,1).e) 1
x2+y2= 1 en los puntos (1, 0) y (0,1).
32. Determinar si el teorema de la funcin implcita nos asegura
que las siguientes ecuacionesdefinen a z como funcin implcita de
(x, y) en los puntos indicados. Y a y como funcinimplcita de (x,
z)? Y a x como funcin implcita de (y, z)?
a) xyz = 1 en el punto (1, 1, 1).
b) x+ 1 y z2 + 2x y = 0 en el punto (2, 2, 1).c) x2y + xz2 + y2z
= 3 en el punto (1, 1).
33. De las funciones definidas implcitamente por las ecuaciones
de los ejercicios anteriores (3 y 4)en los puntos indicados,
encontrar sus derivadas de primer orden derivando
implcitamente.
34. Calcula, utilizando derivacin implcita cuando sea posible,
la expresin de las pendientes de lascurvas de indiferencia (relacin
marginal de sustitucin o RMS) para las siguientes funcionesde
utilidad:
a) u(x1, x2) = x0,251 x
0,752 .
b) u(x1, x2) = ln(x1) + bx2, siendo b un parmetro.
c) u(x1, x2) = 10x1 + 5x2.
d) u(x1, x2) = mn{x1, x2}.
35. Dada la ecuacin 2x2 + xy + y2 8 = 0
a) Calcular la ecuacin de la recta tangente a la curva en el
punto (2, 0).
b) Qu puntos de la curva tienen tangente horizontal?
36. Calcula la recta tangente a la curva de nivel de la funcin F
(x, y) = x4 exy31 en el punto(1, 1) de dos formas: utilizando el
teorema de la funcin implcita y despejando la variable y dela
ecuacin resultante.
37. Estudiar si la ecuacin (x + 2y + xy)ex2y = 4 define a x como
funcin implcita de y en un
entorno del punto (1, 1).
38. La funcin z viene dada por la ecuacin x2+ y2 z2 xy = 0.
Hallar zx
yz
ypara el sistema
de valores x = 1, y = 0, z = 1.39. Define la ecuacin
(x3 + y2
)ex2y = 1
e2a x como funcin implcita de y (x = g (y)) en un
entorno del punto (0, 1)? En caso afirmativo calcular g (1).
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40. Dada la ecuacin x2 + y2 + z2 = 1, puede afirmarse que la
variable x es una funcin implcitadiferenciable de las variables y y
z en un entorno del punto (0, 1, 0)? Qu variable puedeponerse como
funcin implcita diferenciable de las otras dos? Calcule su derivada
en el puntoconsiderado.
41. La ecuacin F (x, y) = 2xy x2 y2 = 9 en un entorno del punto
(x, y) = (5, 2):
a) Define a la variable y como funcin implcita de la variable
x?
b) Define a la variable x como funcin implcita de la variable
y?
42. Considera la funcin f (x, y) =(x2 + y2
) log (x2 + y2 1). Estudiar la curva de nivel 0 dela funcin,
define implcitamente a x como funcin de y en un entorno de (1, 1)?
En casoafirmativo calcular la derivada de x con respecto de y en el
punto y = 1.
43. Considere la ecuacin y cos y + x senx = 2. Determinar si la
ecuacin del enunciado defineimplcitamente a x como funcin de y
cerca de (2, 2).
44. Probar que la ecuacin x2 + 5xy + 3zxy = 0 define a la
variable y como funcin implcitadiferenciable de las variables x e z
en un entorno del punto (1, 1,2) . Cal sera el valoraproximado de
la variable y si x = 1,01 y hacemos un z = 0,002?
45. Suponiendo que las siguientes expresiones definen a la
variable y como funcin implcita de lavariable x,calcule en cada
caso dy/dx:
a) F (x, y) = x3 + 2x2 + x+ 2y = 2
b) F (x, y) = cos(xy) exy x2y = 0
46. Suponiendo que la ecuacin F (x, y, z) = 2z2x2y + 3zy2 + zx3
= 1 define relaciones implcitasente las variables, calcule las
derivadas parciales x/y, y/z y 2z/xy.
47. Considere las funciones
F (x1, x2, x3) = x2x3 + ex1x3 + ex1x2 3; F2(x1, x2, x3) = ex1 x2
+ x3 1.
Demuestre que, en un entorno del punto x0 = (0, 1, 1), cada una
de las ecuaciones
F1(x1, x2, x3) = 0F2(x1, x2, x3) = 0
definen respectivamente a la variable x 2 como funcin
diferenciable de las variables (x1, x3).
48. Dada la funcin de produccinP (x, y) = 3x2/3y1/3
Calcular utilizando el teorema de la funcin implcita, el valor
de la pendiente de la isocuantaen el punto (1, 1).
49. Sea U (x, y) = xy la funcin de utilidad de un consumidor,
donde x e y representan las unidadesde consumo de los productos A y
B respectivamente. Determinar si el consumo del productoB depende
del consumo del producto A, es decir, y = g (x), para unos consumos
de x = 2 ey = 3. En caso afirmativo, calclese g (2).
50. Sea f (p, r) = 125 p3r2 y g (p) = 10p + p2 las funciones de
la demanda y la oferta respec-tivamente de un bien en funcin del
precio unitario p y el IVA unitario r. Si el mercado dedicho bien
est en equilibrio cuando p = 5 y r = 25 , y suponiendo que el
precio p depende delimpuesto r, esto es p = h (r), calcular cmo
vara el precio unitario p al variar el impuesto r,es decir h
(25
)sin que se pierda el equilibrio.
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51. Sea f(K,L) = K2L3 + eKL la funcin de produccin de un empresa
donde K y L sonlas cantidades utilizadas de capital y trabajo,
respectivamente. Actualmente se emplean 103
unidades de factor de trabajo y 103 unidades de factor de
capital. La empresa quiere sumarsea un programa estatal que premia
la creacin de puestos de trabajo con incentivos.
a) En cunto tendr que disminuir aproximadamente su inversin de
capital si quiere au-mentar su factor de trabajo en 10 unidades
manteniendo los mismos niveles de produccin?
b) Sean (K0, L0) las nuevas cantidades utilizadas de capital y
trabajo , Est la empresaoptimizando su situacin al aumentar en 10
unidades su factor de trabajo o podra empleara ms personal sin
disminuir su nivel de produccin beneficindose as ms del
programaestatal?
52. La relacin entre el consumo C de un pas y el Ingreso
nacional I viene dada implcitamentepor la ecuacin:
F (I,C) = C3 + 1/3I3 CI2 I + 3 = 0Calcule e interprete la
propensin marginal al consumo ( CI ) cuando I = 12 y C = 9.
53. La funcin de ingresos I de una empresa depende implcitamente
de las cantidades vendidasde los bienes B1 y B2 (q1 y q2
respectivamente) segn la expresin
I + I2 = 36 + 3q1(26 + 2q2)1
2 .
a) Calcule la funcin de ingreso marginal respecto a la cantidad
vendida de cada uno de losbienes.
b) Cules son esos ingresos marginales cuando q1 = 3 y q2 =
5?
54. El output Q producido por una empresa se consigue mediante
la explotacin de los factores decapital K y trabajo L. La relacin
entre la cantidad del bien producida Q y los niveles de losfactores
empleados (K,L) es de la forma
F (Q,L,K) = lnQ K2L
Q+ 1 = 0 Q,L,K > 0
Se sabe que si el nivel de capital y trabajo es la unidad,
entonces la empresa produce unaunidad (Q = 1). Se pide:
a) Comprobar si esta relacin define a Q en funcin de la cantidad
de inputs empleados K yL en un entorno de estos niveles.
b) Hallar si es posible las productividades marginales de los
factores K y L.
55. Sea u(x1, x2), u C2(R2+), la funcin de utilidad de un
consumidor insaciable de ambos bi-enes, es decir con utilidades
marginales positivas (x1, x2) R2+. Sea x0 = (x01, x02) un
puntocualquiera de la curva de indiferencia u(x1, x2) = u0, siendo
u0 constante. Se pide:
a) Demuestre que la variable x2 puede ponerse como funcin
implcita de la variable x1 enun entorno del punto x0.
b) Demuestre que las curvas de indiferencia son
decrecientes.
56. La fabricacin P de un producto depende de las cantidas
utilizadas x e y de las materias primasX e Y respectivamente, segn
la funcin P (x, y) = 4x2 + 5xy + 3x2y + 4y3. Inicialmente
seutilizan 20 unidades de la materia prima X y 30 unidades de la
materia prima Y . Si se decideaumentar en una unidad la cantidad
empleada de x, cmo variar la cantidad de y si no sedesea modificar
la produccin inicial?
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Captulo 5
Aplicaciones del clculo diferencial.
1. Comprobar, utilizando la definicin, si las siguientes
funciones son homogneas. En caso afir-mativo, indicar su grado de
homogeneidad.
a) f (x, y) = xy2 + x2y
b) f (x, y) = 8xy
c) f (x, y) = x+ y 2d) f (x, y) = Cxayb, siendo C R.
e) f (x, y, z) =
x+
y +
z
x+ y + z
f ) f (x, y) =xy4
x6 y6
g) f (x, y) =x2y3
x5 y5
h) f (x, y) = exy4
x6y6
i) f (x, y) = ex2y3
x5y5
j ) f (x, y) = x2y + 5xy2 + 2y3
k) f (x, y) =2x+ y
l) f (x, y, z) = 3x+ 2yz
m) f (x, y) =x2y2
2x4 + 3y4
n) f (x, y) =1
x2 + y2
2. Repetir el ejercicio anterior utilizando, si fuera posible,
el Teorema de Euler.
3. Sea f (x, y) una funcin homognea de grado k, diferenciable y
tal que f (x, y) > 0. Existealgn k tal que la funcin g definida
como g (x, y) = log (f (x, y)) sea homognea de algngrado?
(Indicacin: utilice el Teorema de Euler).
4. Sea f un campo escalar plano diferenciable y homogneo de
grado 4. Calcule la derivada segnel vector (1, 3) en el punto (1,
3) si se sabe que f(2, 6) = 2.
5. Supongamos que f (x, y) y g (x, y) son funciones homogneas de
grados r y s respectivamente.Averiguar si las siguientes funciones
son homogneas y, en caso afirmativo, indicar el grado
dehomogeneidad.
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a) h (x, y) =f (x, y) g (x, y)
b) h (x, y) =f (x, y) + g (x, y)
c) h (x, y) = f(x,y)(g(x,y))2
d) h (x, y) = log (f (x, y) g (x, y))
e) h (x, y) = log (f (x, y) + g (x, y))
6. Sea f : R3 R diferenciable y homognea de grado 2. Se sabe que
f(x0) = (4, 2, 0) y quef(x1) = (6, 4, 2) , siendo x0 = (2, 1, 0) ,
y x1 = (3, 2, 1) . Sea f = f(x1) f(x0).
a) Calcule f.
b) Use la aproximacin lineal (frmula de los incrementos) en en
el punto x0 para calcularaproximadamente f. Compare este resultado
con el valor exacto obtenido en el apartado(a).
c) Use la aproximacin lineal (frmula de los incrementos) en el
punto x1 para calcular aprox-imadamente f. Compare este resultado
con los obtenidos en los apartados anteriores.
7. Sea f : R3 R diferenciable y homognea de grado 2. Se sabe que
f(x0) = (4, 2, 0) , siendox0 = (2, 1, 0) . Sea x1 = (6, 3, 0) .
a) Calcule f(x1).
b) Use la aproximacin lineal (frmula de los incrementos) para
calcular aproximadamentef(x1). Compare este resultado con el valor
exacto obtenido en el apartado (a).
8. Dada la funcin
f (x, y) =x3 y3xy
Verificar el teorema de Euler x zx + yzy = rf(x, y) para esta
funcin
9. Determinar para qu valores de y las siguientes funciones son
homogneas de grado 1 ycomprobar que stas verifiquen el teorema de
Euler:
a) Funcin de produccin de tipo Cobb-Doublas:
q = f(K,L) = CKL, C constante
b) Funcin de produccin denominada CES (elasticidad de sustitucin
constante):
q = f(K,L) = (aK + bL)1/, a > 0, b > 0
10. La funcin de produccin de Cobb-Douglas (siendo L el trabajo
y K el capital), es una funcinhomognea de grado . + .
Comprubalo para el caso:
Q (K,L) =9
4K1,2L0,8
11. Sea y = f(x1, x2) una funcin de produccin homognea de grado
m > 0 y diferenciable. Ac-tualmente se emplean
(x01, x
02
)unidades de los factores de produccin (X1, X2). Demuestre
que
si aumentamos las cantidades empleadas de ambos factores en un %
(con suficientementepequeo) entonces la cantidad producida
aumentara aproximadamente en un (m) %
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12. Considrese la funcin de produccin Q (K,L) = 54K2
5L4
5 donde K representa el capital y Lel trabajo. Estudiar cmo vara
la produccin si aumentamos el capital y el trabajo en un 7%.Y si la
funcin de produccin es Q (K,L) = 54K
1
5L2
5 ? Y para Q (K,L) = 54K3
5L2
5 ?
13. La demanda de un bien es, para un consumidor, una funcin
diferenciable D(p,w) del precio pdel bien y de la renta w del
consumidor. Se sabe que para > 0, D(p, w) = D(p, w).
a) Si D(p0, w0) = 3, cul es la demanda tras un incremento de un
4% en el precio y larenta?
b) Si se sabe que Dw (2, 3) = 2, cunto valeDp (2, 3)? Calcule
aproximadamenteD(1,99, 3,01)
14. Sea f : Rn+ R+ una funcin de produccin. Una tecnologa se
dice que presenta rendimientosa escala decrecientes si t > 1 y x
Rn++, se tiene que f(tx) < tf(x). Se dice que
presentarendimientos a escala crecientes si t > 1 y x Rn++, se
tiene que f(tx) > tf(x). Se dice quepresenta rendimientos a
escala constantes si t > 1 y x Rn++, se cumple que f(tx) =
tf(x).
a) Suponga que la funcin f es homognea de grado . Demuestre que:
(i) si < 1 entoncespresenta rendimientos a escala decrecientes;
(ii) si > 1 entonces presenta rendimientosa escala crecientes, y
(iii) si = 1 entonces presenta rendimientos a escala
constantes.
b) Encuentre los valores que deben tomar los parmetros para que
las siguientes funcionesde produccin presenten rendimientos a
escala decrecientes
i) f(x, y) = Axayb, a, b > 0;
ii) f(x, y) = A(ax + by
)m/, A, a, b,m > 0, > 1, = 0.
c) Analice el tipo de rendimientos a escala de las siguientes
funciones de produccin.
i) f(x, y) = x2 + 2y; ii) f(x, y) = 2x2 + y2; iii) f(x) = x3 2x2
+ x;iv) f(x, y) = x1/2 + y1/4; v) f(x) = x3 + 1, x > 1; vi) f(x,
y) = x+ y + 4.
15. Calcular los polinomios de Taylor de rdenes 1 y 2 de:
a) f (x, y) = xy2 + x2y en el punto (1, 1).
b) f (x, y) = x+ 4y 3 en el punto (0, 0).c) f (x, y) = x2 en el
punto (1, ) para cualquier R.d) f (x, y) = xy + 2y2 3x en el punto
(0, 0).e) f (x, y) = xexy en el punto (1, 1).
f ) f (x, y, z) = xyz en el punto (0, 0, 1).
16. Calcular los polinomios de Taylor de rdenes 1 y 2 de la
funcin f (x, y) = exy en el punto(x, y) = (0, 0). Aproximar
mediante esos polinomios los valores de e0
01 y e4. Comparar losresultados con los valores reales e0
01 = 1, 010050167084 y e4 = 54, 598150033144. Por qu
laaproximacin de e4 es tan mala? (Indicacin: Se puede considerar
que si xy = 001 entoncesx = 01 e y = 01, y que si xy = 4 entonces x
= 2 e y = 2.)
17. Aproximar el valor de log (1, 01) mediante los polinomios de
Taylor de rdenes 1 y 2 de lafuncin f (x, y) = log (1 + xy).
18. Dada la funcin f (x, y) = x2 + xy log (y2), calcular el
polinomio de Taylor de orden 2 de fen (1, 1). Utilizar dicho
polinomio para calcular un valor aproximado de f (101, 09).
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19. Utilizando el polinomio de Taylor de segundo grado centrado
en el punto apropiado para cadaapartado, escribe el polinomio p(x,
y) = x2 + y2 + 2xy + x+ y + 1 en potencias de:
a) (x 1) e (y 2)b) x e y
c) x e (y + 1)
20. Utilizando el desarrollo de Taylor de segundo orden,
calcular aproximadamente el valor de:
a)1,1 + 3
0,1
b) ln(
11,06
)21. Calcula el desarrollo de Taylor de primer orden de la
funcin f(x, y) =
1
x2 + y2en el punto
(1, 1).
22. Calcula el desarrollo de Taylor a segundo orden de las
siguientes funciones de descuento entorno al punto (r, t) = (0, 0),
donde r es el tipo de inters y t es el tiempo:
a) F1(r, t) =1
(1 + r)t.
b) F2(r, t) = ert.
c) F3(r, t) =1
1 + rt.
d) F4(r, t) = 1 rt.
Qu puedes deducir que pasa cuando r y t son pequeos? Compara los
resultados de lasfunciones para r = 0,02 y t = 0,25.
23. Calcula el desarrollo de Taylor a primer orden de las
funciones del ejercicio 22, entendiendo queel tiempo es un parmetro
constante, t = t0, de forma que las funciones son ahora
funcionesslo del tipo de inters, r: fi(r) = Fi(r, t0).
24. Repite el ejercicio 23 suponiendo ahora que el tipo de
inters es constante, r = r0, y que lanica variable es el tiempo, t:
gi(t) = Fi(r0, t). Ves alguna diferencia?
25. Calcule y clasifique sus puntos crticos de las siguientes
funciones:
a) f (x, y) = x2 2y2 + 2x+ y 20b) f (x, y) = 3x2 + 4y2 + 2xy
5y
c) f (x, y) =x33
+ 2xy 2y2 + 32y + 9.
d) f (x, y) = 2y3 + 2xy x2e) f(x, y) = (x2 y2)exyf ) f(x, y) =
x2y
g) f(x, y) = xyex+2y
h) f(x, y) = 2x2 + y2 + x2y
26. Hallar los mximos y mnimos locales de las siguientes
funciones:
a) z = 2xy x2 3y2 x 3y
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b) f(x, y) = 2x2y 9y2 + 12x 7c) f(x, y) = 4x +
9y + x+ y + 1
d) f(x, y) = x3 + y3 + 6xy
27. Sea f(x, y) = ax3 3bxy2 + 15a2x + 12y. Encuentre, si fuese
posible, los valores de losparmetros a y b tales que la funcin f(x,
y) tenga un mximo local en el punto (2, 1), Es unmximo global?
28. Clasifique segn los valores de los parmetros a, b, y c (a =
0, b = 0 y c = 0) los puntos crticosde la funcin f(x, y, z) = a(x
1)2 + c(y 2)2 + bz2 indicando si se trata de ptimos globales.
29. Considere la funcin f(x, y) = y3 + bxy + 12y, b R. Tiene f
mximos y/o mnimos?30. Un supermercado vende latas de cerveza de dos
marcas distintas A y B. Las de la marca A se
obtienen a un coste unitario de 30 cntimos de euro y las de B a
40 cntimos de euro. Se sabeque si la cerveza de la marca A se vende
a x cntimos de euro por lata y la de la marca B a ycntimos de euro,
las correspondientes demandas vendrn dadas por
fA (x, y) = 70 5x+ 4yfB (x, y) = 80 + 6x 7y
cuyas unidades vienen medidas en latas. Calcula el precio (en
cntimos de euro) al que se debevender cada lata de una y otra marca
para optimizar el beneficio.
31. Determinar los valores de k para que
a) f(x, y) = x2 + kxy + 9y2 tenga un mnimo en (0, 0).
b) f(x, y) = kyex2+y tenga un mximo en (0,1)
c) f(x, y) = 4x2 + ky2 tenga un mnimo local.
32. Una empresa produce dos tipos de bienes. Sabiendo que su
funcin de coste total es:
C(x, y) = x3 + y3 3x 12y + 20Calcular la cantidad que ha de
producir de cada bien para minimizar los costes
33. Suponga que la ganancia procedente de la venta de dos
productos est dada por :
P (x, y) = 100x+ 64y 0,01x2 0,25y2
donde x es el no de unidades vendidas del producto 1 e y el
nmero de unidades del producto2. Cuntas unidades de cada producto
hay que vender para maximizar la ganancia?Cual esla ganancia
mxima?
34. Maximice las ganancias de la empresa Lighting si las
funciones de demanda son p1 para lasbombillas de 20w y p2 para las
bombillas de 15w dadas por
p1 = 50 x p2 = 60 2yy si la funcin de costo conjunto es
C(x, y) = 2xy.
Recordar que x e y se dan en miles de lmparas, p1 y p2 en euros
y C en miles de euros y quelos ingresos se calculan as: I = xp1 +
yp2.
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