Métodos matemáticos avanzados

7/25/2019 Mtodos matemticos avanzados

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Metodos Matematicos Avanzados

Facultad de Economa y Negocios - Universidad de Chile
http://goforward/http://find/http://goback/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


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Contenidos

Preliminares

Topicos de Algebra Lineal

Topicos de Calculo Multivariado

Optimizacion sin Restricciones

Optimizacion con Restricciones

Optimizacion Dinamica
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Contenidos

PreliminaresTrigonometraNumeros Complejos

Topicos de Algebra Lineal

Topicos de Calculo Multivariado

Optimizacion sin Restricciones

Optimizacion con Restricciones

Optimizacion Dinamica
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


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Trigonometra

Considere el triangulo rectanguloOABde la figura.Definiremosfunciones trigonometricasasociadas a cada uno de los angulosagudos del trianguloOAB.Estas funciones, llamadas seno, coseno y tangente, se obtendran a partir de lasrazones entre los lados delOAB.

-1

1

1-1

a

B

O A

C
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


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Trigonometra

Aunque es posible medir los angulos en grados sexagesimales, nosotros siemprelos representaremos en radianes.

Esto nos permitira asociar el tamano del angulo con el segmento de

circunferencia que este abarca.


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Trigonometra

Aunque es posible medir los angulos en grados sexagesimales, nosotros siemprelos representaremos en radianes.

Esto nos permitira asociar el tamano del angulo con el segmento de

circunferencia que este abarca.La relacion entre grados sexagesimales y radianes viene dada por:

a radianes

180a

.


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Funcion Seno

Elseno del angulo a se define como

la razon entre el cateto opuesto ABy la hipotenusa OB:

sen(a) = AB

OB.

Como el angulo se mide en radianes,el dominio de la funcion seno es R,y su recorrido es el intervalo [1, 1].

La funcion seno es periodica, puessus valores se repiten en cada vueltaal crculo unitario:

sen(a) =sen(a+ 2).

-1

1

1-1

a

B

O A

C


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Funcion Coseno

Elcoseno del angulo a se define co-

mo la razon entre el cateto adyacen-te OAy la hipotenusa OB:

cos(a) = OA

OB.

El dominio de la funcion coseno esR, mientras que su recorrido es elintervalo [1, 1].

La funcion coseno es periodica, puessus valores se repiten en cada vueltaal crculo unitario:

cos(a) =cos(a+ 2).

-1

1

1-1

a

B

O A

C


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Funcion Tangente

La tangente del angulo a se definecomo la razon entre AB y OA.

tan(a) = AB

OA=

sen(a)

cos(a).

Note que la funcion tangenteesta definida para los angulos quetienen un coseno diferente de cero.

Cuando circunscribimos

AOB auna circunferencia unitaria, por si-militud de triangulos tenemos quetan(a) =DC.

-1

1

1-1

a

B

O A

C

D


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Seno y CosenoGraficos

Note que sen(x) =cos

x+ 2

.


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TangenteGrafico


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Ejercicio

Complete la siguiente tabla:

Radianes Grados sen cos tan0 0o 0

/6 1/2 3/345o

2/2 1

/3 60o 1/2

/2 1 +


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Identidades Fundamentales
http://find/http://goback/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


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Las siguientes identidades son muy utiles al trabajar con funcionestrigonometricas:

sen2(x) +cos2(x) = 1,

sen(x y) = sen(x)cos(y) cos(x)sen(y),cos(x y) = cos(x)cos(y) sen(x)sen(y),

sen(2x) = 2sen(x)cos(x),

cos(2x) = cos2(x) sen2(x).


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Pitagoras 2.0:

sen2(x) +cos2(x) = AB2

+OA2

OB2

= 1

-1

1

1-1

a

B

O A

C

D


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Identidades FundamentalesDados angulos x e y, considere la siguiente figura donde AD= 1:


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Por construccion, tenemos que sen(x+y) =DE=DF+BC.


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Por construccion, tenemos que sen(x+y) =DE=DF+BC.Ademas, como AD= 1,

sen(x) = BC

cos(y), cos(x) =

BF

sen(y).

Id id d F d l


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Por construccion, tenemos que sen(x+y) =DE=DF+BC.Ademas, como AD= 1,

sen(x) = BC

cos(y), cos(x) =

BF

sen(y).

Por lo tanto,sen(x+y) =sen(x)cos(y) +cos(x)sen(y).

D i d d l F i T i i


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Derivadas de las Funciones Trigonometricas

Queremos probar que las funciones trigonometricas son derivables y encontrarformulas para sus derivadas.

D i d d l F i T i t i


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Note que, por la regla de la cadena, es suficiente encontrar las derivadas de lasfunciones senoy coseno:

sen(x) := lmh0

sen(x+h) sen(x)h

cos

(x) := lmh0

cos(x+h)

cos(x)

h

D i d d l F i T i t i


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Note que, por la regla de la cadena, es suficiente encontrar las derivadas de lasfunciones senoy coseno:

sen(x) := lmh0

sen(x+h) sen(x)h

cos

(x) := lmh0

cos(x+h)

cos(x)

h

Ahora, usando las identidades trigonometricas, dado h = 0 obtenemos quesen(x+h) sen(x)

h = sen(x)

cos(h) 1

h

+cos(x)

sen(h)

h

cos(x+h) cos(x)h

= cos(x)

cos(h) 1

h

sen(x)

sen(h)

h

Por tanto, basta encontrar el lmite cuando h converge a cero de lasexpresiones entre parentesis.

D i d s d l s F i s T ig t i s


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Note que:

areaOBC area de la region OBC areaODC

sen(a) a tan(a)

-1

1

1-1

a

B

O A

C

D



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Por lo tanto, como

sen(a) a tan(a),obtenemos que:

cos(a) sen(a)a 1Comocos(0) = 1, concluimos que

lma0

sen(a)

a = 1.



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A partir de este resultado, tenemos que

lmx0

cos(x) 1x

= lmx0

cos(x) 1x

cos(x) + 1

cos(x) + 1

= lmx0

cos2(x) 1x(cos(x) + 1)

= lmx0

sen2(x)x(cos(x) + 1)

= lmx0

sen(x)

x lm

x0

sen(x)(cos(x) + 1)

= 0.



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Por lo tanto, las derivadas de las funciones senoy cosenovienen dadas por:

sen(x) = sen(x)

cos(h) 1

h

+cos(x)

sen(h)

h

= cos(x)

cos

(x) = cos(x)cos(h) 1h sen(x)

sen(h)

h

= sen(x)

Ademas, la regla de la cadena nos permite concluir que

tan(x) = 1

cos2

(x)

.

Arcoseno Arcocoseno y Arcotangente


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Arcoseno, Arcocoseno y ArcotangenteEn ocaciones es necesario conocer el angulo (en radianes) asociado a un valornumerico para alguna de las funciones trigonometricas.



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Por esta razon, se definen las siguientes funciones:

Arcosenoes la funcion inversa del seno:arcsen(x) : [1, 1]

2,

2

,

arcsen(sen(a)) =a, sen(arcsen(z)) =z.



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2,

2

,


Arcocosenoes la funcion inversa del coseno:arcos(x) : [1, 1] [0, ],

arcos(cos(a)) =a, cos(arcos(z)) =z.



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2,

2

,


Arcocosenoes la funcion inversa del coseno:arcos(x) : [1, 1] [0, ],

arcos(cos(a)) =a, cos(arcos(z)) =z.

Arcotangentees la funcion inversa de la tangente:

arctan(x) : (,)

2,

2

,

arctan(tan(a)) =a, tan(arctan(z)) =z.

Derivadas de Arcoseno, Arcocoseno y Arcotangente


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Si ges la funcion inversa de f, entonces para todo xen el dominio de ftenemos que g(f(x)) =x.



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Por lo tanto, si y =f(x), derivando y aplicando la regla de la cadena,obtenemos que

g

(y)f

(x) = 1 = g

(y) = 1

f (g(y)) .



33/117

, y g



g

(y)f

(x) = 1 = g

(y) = 1

f (g(y)) .

Al aplicar este resultado a los funciones trigonometricas inversas, obtenemos:



34/117

, y g



g

(y)f

(x) = 1 = g

(y) = 1

f (g(y)) .


arcsen(y) = 1

1 y

2



35/117

, y g



g

(y)f

(x) = 1 = g

(y) = 1

f (g(y)) .


arcsen(y) = 1

1 y

2, arccos(y) =

1

1 y2



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y g



g

(y)f

(x) = 1 = g

(y) = 1

f (g(y)) .


arcsen(y) = 1

1 y

2, arccos(y) =

1

1 y2, arctan(y) =

1

1 +y2.

Aplicacion


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La circunferencia de la Tierra

Aplicacion


38/117


En el ano 250 a.c., Eratostenes infirio que la Tierra no es plana y estimo en40.000 km el tamano de su circunferencia, utilizando dos varas y un batallon dehombres contando pasos.

Aplicacion


39/117



Hoy, con nuestro instrumental moderno, sabemos que Eratostenes seequivoco en menos de 100 km.

Aplicacion


40/117




Como lo hizo? Aplicando trigonometria!!!!

Aplicacion


41/117





Todo comenzo en la Biblioteca de Alejandra, donde Eratostenes encontro undato aparentemente irrelevante: en Siena (800 km al sureste de Alejandra) unavara no produca sombra al medio dia del solsticio de verano.

Aplicacion


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Todo comenzo en la Biblioteca de Alejandra, donde Eratostenes encontro undato aparentemente irrelevante: en Siena (800 km al sureste de Alejandra) unavara no produca sombra al medio dia del solsticio de verano.

Con alma cientfica, su curiosidad lo llevo a comprobar que esto no era ciertoen Alejandra.

Aplicacion


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AplicacionL f d l T


44/117


As, suponiendo correctamente que el Sol estaba a una gran distancia, y que portanto sus rayos llegaban en forma casi paralela a la tierra, se dio cuenta que launica forma de conciliar las dos observaciones era que la tierra no fuera plana.

AplicacionL i f i d l Ti


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As, suponiendo correctamente que el Sol estaba a una gran distancia, y que portanto sus rayos llegaban en forma casi paralela a la tierra, se dio cuenta que launica forma de conciliar las dos observaciones era que la tierra no fuera plana.

AplicacionL i f i d l Ti


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No se quedo conforme con eso.

AplicacionLa ci c fe e cia de la Tie a


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No se quedo conforme con eso.

Instalando una vara de tamano y en Siena, midio el angulo que los rayos de solformaban con la vara al medio da del solsticio de verano.

a

y

x

a=cotan

x

y

= 7,2o

AplicacionLa circunferencia de la Tierra


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Luego, estimo en 800 km la distancia entre ambas ciudades.

AplicacionLa circunferencia de la Tierra


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Luego, estimo en 800 km la distancia entre ambas ciudades.

Asumiendo que la Tierra era esferica, utilizo estos datos para calcular eltamano de su circunferencia.

800 km

a

a

800 = 7,2

360X = X = 40,000

Numeros Complejos


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Numeros Complejos


51/117

Las soluciones a la ecuacion ax2 +bx+c= 0 estan dadas por:

b+

b2

4ac

2a , b

b2

4ac

2a .

Numeros Complejos


52/117


b+

b2

4ac

2a , b

b2

4ac

2a .

Note que estas expresiones son numeros reales si y solamente si b2 4ac 0.

Numeros Complejos


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b+

b2

4ac

2a , b

b2

4ac

2a .

Note que estas expresiones son numeros reales si y solamente si b2 4ac 0.Entonces, no hay solucion para la ecuacion cuadratica cuando b2 4ac


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b+

b2

4ac

2a , b

b2

4ac

2a .



55/117


b+

b2

4ac

2a , b

b2

4ac

2a .



56/117


b+

b2

4ac

2a , b

b2

4ac

2a .



57/117


b+

b2

4ac

2a , b

b2

4ac

2a .



58/117


b+

b2

4ac

2a , b

b2

4ac

2a .



59/117


b+

b2

4ac

2a , b

b2

4ac

2a .



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Numeros Complejos


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Definiciones

Unnumero complejoes un numero de la forma z=a +bi, donde a y bson

numeros reales.

Numeros Complejos

fi


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Definiciones

Unnumero complejoes un numero de la forma z=a +bi, donde a y bsonnumeros reales. El numero a es la parte realde z, mientras que bes su parteimaginaria.

Numeros Complejos

D fi i i


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Definiciones


Dado un numero complejoz=a+bi, suconjugadose define por z=a bi.

Numeros Complejos

D fi i i


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Definiciones



Note que R es un subconjunto de C.

Numeros Complejos

Definiciones


65/117

Definiciones




Por lo tanto, las operaciones de suma y producto entre numeros complejos sonextensiones naturales de la suma y producto de numeros reales:

(a1+b1i) + (a2+b2i) = (a1+a2) + (b1+b2)i

(a1+b1i)(a2+b2i) = (a1a2 b1b2) + (a1b2+a2b1)i.

Numeros Complejos

Definiciones


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Definiciones




Por lo tanto, las operaciones de suma y producto entre numeros complejos sonextensiones naturales de la suma y producto de numeros reales:

(a1+b1i) + (a2+b2i) = (a1+a2) + (b1+b2)i

(a1+b1i)(a2+b2i) = (a1a2 b1b2) + (a1b2+a2b1)i.

No es recomendable aprenderse la regla de multiplicacion de memoria, es mejormultiplicar los terminos recordando que i2 = 1.

Numeros Complejos


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Numeros Complejos

A partir de las definiciones de suma y multiplicacion, podemos calcular la


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p y p , pdiferencia de dos numeros complejos:

(a1+b1i) (a2+b2i) = (a1+b1i) + (1)(a2+b2i)= (a1+b1i) + ((a2) + (b2)i)= (a1 a2) + (b1 b2)i.

Numeros Complejos



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p y p pdiferencia de dos numeros complejos:


Dado un numero complejo (c+di), con c2 +d2

= 0, denotaremos por

(c+di)1 a su inverso, el cual queda biunvocamente caracterizado por laecuacion (c+di)(c+di)1 = 1

Numeros Complejos



70/117

diferencia de dos numeros complejos:





Note que, dividir (a+ bi) por (c+ di), es lo mismo que multiplicar (a+ bi) porel inverso de (c+di).

Numeros Complejos



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Note que, dividir (a+ bi) por (c+ di), es lo mismo que multiplicar (a+ bi) porel inverso de (c+di). As, para dividir numeros complejos hay que sabermultipicar y encontrar inversos.

Numeros Complejos



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Note que, dividir (a+ bi) por (c+ di), es lo mismo que multiplicar (a+ bi) porel inverso de (c+di). As, para dividir numeros complejos hay que sabermultipicar y encontrar inversos.

Ahora, como (c+di)(c+di) = (c+di)(c di) =c2 +d2, podemos concluirque

(c+di)1 = c

c2 +d2 d

c2 +d2 i.

Numeros Complejos


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Numeros Complejos

Por lo tanto, la division de dos numeros complejos es caracterizada por:


74/117

, p j p

a+bi

c+di = (a+bi)(c+di)1 =

ac+bd

c2 +d2 +

bc adc2 +d2

i.

Numeros Complejos



75/117

, p j p

a+bi


ac+bd

c2 +d2 +

bc adc2 +d2

i.

Ejercicios

(1) Encuentre la parte real e imaginaria de los siguientes numeros complejos:

(3 + 2i)1, 5 3i

2 +i ,

1

1 +i.

Numeros Complejos



76/117

j

a+bi


ac+bd

c2 +d2 +

bc adc2 +d2

i.

Ejercicios


(3 + 2i)1, 5 3i

2 +i ,

1

1 +i.

(2) Muestre que z=zsi y solamente si z R.

Numeros Complejos



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a+bi


ac+bd

c2 +d2 +

bc adc2 +d2

i.

Ejercicios


(3 + 2i)1, 5 3i

2 +i ,

1

1 +i.

(2) Muestre que z=zsi y solamente si z R.

(3) Verifique las siguientes propiedades:

z1+z2 =z1+z2, z1z2 =z1z2.

Numeros Complejos y Races de Polinomios


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TeoremaConsidere la siguiente ecuacion polinomial:

xn +cn1xn1 + +c1x+c0 = 0,donde los coeficientes son todos reales. Entonces, z=a +bi es una solucion siy solamente si su complejo conjugado z=a bi tambien lo es.



80/117


xn +cn1xn1 + +c1x+c0 = 0,donde los coeficientes son todos reales. Entonces, z=a +bi es una solucion siy solamente si su complejo conjugado z=a bi tambien lo es.Demostracion:



81/117



z=a +bies solucion de la ecuacion sii c0+c1z+c2z2

+zn

= 0.



82/117




+zn

= 0.Como los coeficientes{c0, . . . , cn1} son numeros reales, conjugando amboslados de la igualdad anterior y utilizando las propiedades previamentedemostradas, concluimos que z=a +bi es una solucion de la ecuacionpolinomial si y solamente si c0+c1z+ +cn1zn1 +zn = 0.



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+zn

= 0.Como los coeficientes{c0, . . . , cn1} son numeros reales, conjugando amboslados de la igualdad anterior y utilizando las propiedades previamentedemostradas, concluimos que z=a +bi es una solucion de la ecuacionpolinomial si y solamente si c0+c1z+ +cn1zn1 +zn = 0.

CorolarioTodo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menosuna raz real.

Teorema Fundamental del Algebra


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Cuando motivamos la extension del conjunto de los numeros reales hacia los

numeros complejos, hicimos notar que no toda ecuacion polinomial de segundogrado tiene races reales. Por ejemplo, x2 + 1 = 0.



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El siguiente resultado muestra que, el conjunto de los numeros complejos es losuficientemente grande para incluir todas las posibles races de ecuacionespolinomiales.



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El siguiente resultado muestra que, el conjunto de los numeros complejos es losuficientemente grande para incluir todas las posibles races de ecuacionespolinomiales.

Teorema Fundamental del AlgebraToda ecuacion polinomial

xn +cn1xn1 + +c1x+c0 = 0

tiene n races en el conjunto de los numeros complejos (no necesariamentediferentes).

Representacion Geometrica de un Numero Complejo


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Podemos representar todo numero complejo en un plano donde las partes real eimaginaria se miden en cada eje, analogo a lo que ocurre con la primera y


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g j , g q p ysegunda coordenada de un vector en R2.




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g j g q p ysegunda coordenada de un vector en R2.

Elargumentode z=a +bies el angulo que forma su representaciongeometrica con el eje horizontal.




91/117

segunda coordenada de un vector en R2.

Elargumentode z=a +bies el angulo que forma su representaciongeometrica con el eje horizontal.

Elmodulode z=a +bi, denotado por r, es el tamano del vector que lorepresenta. As, r=

a2 +b2.

Forma Polar de un Numero Complejo


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93/117

Note que,

z=a +bi=

a2 +b2

aa2 +b2

+ ba2 +b2

i

= r(cos() +isin()).



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Note que,

z=a +bi=

a2 +b2

aa2 +b2

+ ba2 +b2

i

= r(cos() +isin()).

A esta manera de escribir el numero complejo z=a +bi, la cual solamentedepende de su modulo y argumento, se le llamaforma polarde z.



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Note que,

z=a +bi=

a2 +b2

aa2 +b2

+ ba2 +b2

i

= r(cos() +isin()).

A esta manera de escribir el numero complejo z=a +bi, la cual solamentedepende de su modulo y argumento, se le llamaforma polarde z.

Este cambio de coordenadases muy util al momento de calcular potencias denumeros complejos y entender geometricamente que ocurre.

Potencias de un Numero Complejo


96/117


Utilizando la forma polar, dado z=a +bi, tenemos que

z2 = (r(cos() +isin()))2


97/117

( ( ( ) + ( )))



z2 = (r(cos() +isin()))2


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( ( ( ) ( )))

= r2

(cos2

() sin2

()) +i2 cos() sin()



z2 = (r(cos() +isin()))2


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( ( ( ) ( )))

= r2

(cos2

() sin2

()) +i2 cos() sin()

= r2(cos(2) +isin(2)).

Numeros Complejos y Trigonometra


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El siguiente resultado, que relaciona los numeros complejos y la trigonometra,nos permitira calcular las potencias de un numero complejo.


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Teorema (Formula de DeMoivre)




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Dado n N y z=r(cos() +isin()), tenemos quezn =rn(cos(n) +isin(n)).




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Demostracion

Numeros Complejos y TrigonometraEl siguiente resultado, que relaciona los numeros complejos y la trigonometra,nos permitira calcular las potencias de un numero complejo.

( )


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Demostracion (por induccion en n)


T (F l d D M i )


106/117



Demostracion (por induccion en n)Para n= 1, la propiedad es inmediata.


T (F l d D M i )


107/117



Demostracion (por induccion en n)Para n= 1, la propiedad es inmediata.Asuma que la propiedad se cumple para n=k (Hipotesis de Induccion).


T (F l d D M i )


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Demostracion (por induccion en n)Para n= 1, la propiedad es inmediata.Asuma que la propiedad se cumple para n=k (Hipotesis de Induccion).Queremos probar que la propiedad vale para n=k+ 1.




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Demostracion (por induccion en n)Para n= 1, la propiedad es inmediata.Asuma que la propiedad se cumple para n=k (Hipotesis de Induccion).Queremos probar que la propiedad vale para n=k+ 1.Ahora, zk+1 =zkz=rk(cos(k) +isin(k))r(cos() +isin()).




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Demostracion (por induccion en n)Para n= 1, la propiedad es inmediata.Asuma que la propiedad se cumple para n=k (Hipotesis de Induccion).Queremos probar que la propiedad vale para n=k+ 1.Ahora, zk+1 =zkz=rk(cos(k) +isin(k))r(cos() +isin()).Por lo tanto, como

cos((k+ 1)) = cos(k)cos() sin(k) sin(),sin((k+ 1)) = sin(k) cos() + cos(k)sin(),

concluimos que zk+1 =rk+1 (cos((k+ 1)) +i sin((k+ 1))) .



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La Formula de Moivre nos muestra que al elevar un numero complejo a la


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La Formula de Moivre nos muestra que al elevar un numero complejo a lapotencian, ocurren dos efectos:




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(i) su modulotamano como vector en el plano complejose eleva a n;




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(ii) su argumento se multiplica por n.




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Por lo tanto, si observamos el comportamiento grafico de un numero complejocuando es elevado a potencias cada vez mayores, veremos espirales que seexpande o se contraen, segun el modulo del complejo sea mayor o menor a uno.




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q p jpotencian, ocurren dos efectos:



Por lo tanto, si observamos el comportamiento grafico de un numero complejocuando es elevado a potencias cada vez mayores, veremos espirales que seexpande o se contraen, segun el modulo del complejo sea mayor o menor a uno.

Para un numero complejo con modulo igual a uno, sus potencias semantendran dentro del crculo unitario.


A continuacion ilustramos la evolucion de las potencias de un numero complejoen tres situaciones:

t [0, 10] (1,1(cos(1) + i sin(1)))t = (1,1)t(cos(t) + i sin(t))


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t

[0, 10]

(1,1(cos(1) +isin(1))) (1,1) (cos(t) +isin(t))t [0, 10] (cos(1) +isin(1))t = cos(t) +isin(t)t [0, 10] (0,9(cos(1) +isin(1)))t = (0,9)t(cos(t) +isin(t))

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

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