ASCS Seminar 2013

Ediia 1 - Galai -2013

Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor

Exerciii pentru seminar

Autor:

Aiordchioaie Dorel

Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar

2

Cuprins Nr. Denumire Tematica Pag.

1. Reprezentarea sistemelor dinamice. Recapitulare.

Transformata Laplace / Z Conversie modele: fdt > zpk, Conversie modele intrare-iesire fdt Caracteristici de frecventa Calculul functiei de transfer pentru sisteme in timp continuu si in timp discret Ecuatia in diferente

3

2. Analiza sistemelor si

circuitelor prin grafuri de semnal

Calculul functiei de transfer cu ajutorul grafurilor de fluenta Analiza circuitelor cu grafuri de semnal

23

3.

Analiza circuitelor elementare cu

amplificatoare operationale ideale.

Conversia: funcie de

transfer caracteristici Bode asimptotice

Analiza circuitelor I1, I2, D1, D2 si D3. (ec. diferentiala si fdt) Trasarea caracteristicilor Bode pentru aceste circuite.

33

4.

Reprezentari de stare forme canonice

Conversia functie de transfer modele de stare canonice Trasarea caracteristiclor asimptotice plecand de la functia de transfer

46

5. Discretizarea sistemelor i evaluarea stabilitii Discretizarea cu metodele extrapolator si Tustin Evaluarea stabilitatii cu Hurwitz si Nyquist 58

6. Analiza uniporilor i diporilor

Echivalena i inversarea uniporilor Diagrame poli-zerouri Calculul parametrilor Z Valori normalizate Echivalena diporilor Teorema lui Bartlett

78

7. Sinteza uniporilor LC i RC Metode Foster si Cauer

95

8. Anexa 1 Transformata Laplace 106 9. Anexa 2 Transformata Z 107

3

Seminar 1. Reprezentarea sistemele dinamice. Recapitulare

Mrimile fizice care intervin ntr-un proces fizic (in general) sau circuit (in particular) pot fi clasificate n: mrimi cu variaie independent, numite mrimi de intrare, i mrimi care sunt dependente de cele de intrare, numite mrimi de ieire. Notaia generic a marimilor de intrare este u(t), iar a mrimilor de ieire, y(t).

Legtura ntre mrimile de intrare i cele de ieire (transferul intrare-ieire) este dat de modelul matematic al sistemului/procesului fizic respectiv. In accepiunea teoriei sistemelor, acest model matematic se numete sistem sau sistem dinamic. Mrimile de intrare sunt mrimi cauz, iar cele de ieire sunt mrimi efect. O condiie care se impune unui model (deci,unui sistem dinamic), pentru ca el s poat reflecta un proces fizic, este cauzalitatea. Cauzalitatea implic faptul c un efect nu poate apare independent de cauz i naintea cauzei. Se spune c un sistem este strict cauzal, dac efectul apare strict dup cauz. Dac exist efecte sau componente ale efectelor care apar simultan cu cauza, sistemul se numete la limit cauzal. O mrime de intrare aplicat la intrarea unui sistem strict cauzal produce modificarea mrimii de ieire printr-un regim dinamic, astfel nct nu exist un transfer instantaneu intrare-ieire. Transferul instantaneu poate caracteriza parial relaia intrare ieire, doar n cazul sistemelor la limit cauzale. Pentru sistemele uzuale se pot specifica: (1) ecuaia intrare-ieire ; (2) rspunsul la impuls i (3) funcia indicial, (4) funcia de transfer; (5) distribuia poli-zerouri ; (6) rspunsul la frecven; (7) expresiile amplificrii; (8) defazajului; caracteristicile (9) Nyquist i (10) Bode. Sistemele liniare se prezint distinct pentru cazurile: timp continuu i, respectiv, timp discret.

1. Modele intrare-ieire pentru sisteme liniare Pentru un sistem liniar de ordinul n, in timp continuu, modelul intrare-ieire este

1 1

1 0 1 01 1d d d... ...d d d

n n n

n nn n ny y ua a y b b u

t t t

(1)

Dac sistemul este la limit cauzal, n partea dreapt a ecuaiei (1) intervine i termenul

dd

n

n nub

t. Mrimea de intrare u(t), t 0, determin un rspuns al sistemului care depinde i de

condiiile iniiale : n-10 01d d0 ; ; ;d dt tn

y yyt t

(1.a)

In timp discret, modelul intrare-ieire n domeniul timp este dat ecuaia n diferene liniar :


4

1 2 11 2 ... 1 ...n ny k a y k a y k a y k n b u k b u k n (2)

La aplicarea unei mrimi de intrare u[k], k0, evoluia rspunsului, y[k], depinde i de condiiile iniiale

0 , 1 , , 1y y y n (2.a)

Atunci cnd sistemul este la limit cauzal, n partea dreapt a ecuaiei (2) intervine i termenul

0 ( )b u k .

2. Funcia de transfer

Pentru sistemele cu timp continuu, se aplic transformata Laplace ecuaiei (1), considernd condiiile iniiale nule :

1 11 0 1 0n n nn ns Y s a s Y s ... a Y s b s U s ... b U s (3) Prin definiie, functia de transfer este raportul transformatelor Laplace

Y sH s

U s

= 11 01

1 0

nn

n nn

b s ... bH ss a s ... a

(4) unde Y(s) i U(s) sunt deduse n condiii iniiale nule. Pentru un sistem cu timp discret, funcia de transfer este raportul transformatelor z ale variabilelor de ieire i de intrare, deduse n condiii iniiale nule :

Y z

H zU z

(5) Pornind de la ecuaia n diferene (2), prin aplicarea transformatei z n condiii iniiale nule, se obine:

1 2 1 21 2 1 2n nn nY z a z Y z a z Y z ... a z Y z b z U z b z U z ... b z U z (6) de unde rezult :

1 21 21 21 2

...1+ ...

nn

nn

b z b z b zH za z a z a z

(7)

sau, n raport cu variabila z :

1 21 2 11 2 11 2 1

...+ ...

n nn n

n n nn n

b z b z b z bH zz a z a z a z a

(8)

Observaie: Caracterul cauzal al unui sistem se remarc uor, dup cum urmeaz. Dac se noteaz cu n i m gradele polinoamelor de la numitorul, respectiv numrtorul funciilor de transfer n s sau n z, se disting trei situaii :

Seminar 1. Reprezentarea sistemelor dinamice. Recapitulare.

5

nm : sistemul este est cauzal (strict cauzal).

3. Distribuia poli-zerouri Considernd c toi coeficienii din funcia de transfer (4) sunt nenuli, modelul intrare-

ieire al unui sistem cu timp continuu strict cauzal de ordinul n se pune sub forma:

1 2 1 2

1 2 0 2 01 1

1 0 1 0

... ...... ...

n n n nn n n

n n n nn n

P sb s b s b s b s bH s K KQ ss a s a s a s a

(1) unde 1nK b . Notnd prin , 1, 1iz i n , zerourile i prin , 1,ip i n , polii lui H(s), modelul intrare-ieire n domeniul s se poate exprima, pn la constanta K, prin mulimea polilor i zerourilor sistemului. In mod similar, funcia de transfer a sistemului strict cauzal cu timp discret poate fi poate fi descris, pn la o constant, de distribuia poli-zerouri n planul z. Reprezentrile prin distribuii poli-zerouri n planul s sau n planul z (fig. 1) presupun utilizarea funciilor de transfer de tipul :

1

1

1

ni

in

ii

s zH s K

s p

, respectiv

1

1

1

ni

in

ii

z zH z K

z p

(2)

n care cei 2n parametri ce definesc modelul sistemului strict cauzal sunt: , 1,ip i n , , 1, 1iz i n i K.

Figura 1. Distribuia poli-zerouri pentru sisteme cu timp continuu (a) i cu timp discret (b)

4. Rspunsul la impuls i rspunsul indicial Fie un sistem cauzal de ordinul n, avnd funcia de transfer H(s). Prin definiie, transformatele Laplace ale variabilelor de intrare i de ieire, deduse n condiii iniiale nule, sunt legate prin relaia


6

Y s H s U s (1) Considernd sistemul n condiii iniiale nule, se vor analiza, consecutiv, rspunsurile sistemului la trei tipuri de semnale aplicate la intrare. I. Cazul cnd la intrare se aplic un impuls unitar, u(t) = (t). Intruct 1U s t L , imaginea Laplace a rspunsului la impuls este Y s H s , iar rspunsul la impuls se obine prin transformata Laplace invers a funciei de transfer :

1y t h t H s L (2) Pentru deducerea expresiei analitice a rspunsului la impuls, h(t), se va admite, pentru

nceput, ca exemplu, c funcia de transfer are poli distinci. n acest caz, adica prin descompunere in fractii simple, H(s) se poate pune sub forma:

1

nk

kk

rH ss p

(3) n care pk i rk sunt polii funciei de transfer i reziduurile aferente. Rspunsul la impuls are expresia analitic :

11 1

e kn n p tk

kk kk

rh t rs p

L (4)

fiind definit prin 2n parametri, ca i funcia de transfer (n funcia de transfer se consider i coeficienii nuli). Dac ntre cei n poli simpli, exist poli compleci conjugai, de forma , 1k k k kp j , atunci reziduurile aferente vor fi complexe conjugate : , 1k k k kr a jb , iar termenii afereni din expresia (3) pot fi pui sub forma :

1

2 21

k k k k

k k k k

r r A s Bs s s s s

(5) Polii , 1k kp introduc urmtoarea component n rspunsul la impuls :

1

2 2e sinktk k k k k

k k

A s B D ts

L (6)

n care

; arctgsin

k kk k

k k k k

ADB A

(6.a)

Rspunsul la impuls a crei form parametric este dat de relaia (4) este complet definit prin 2n parametri: 1i ir ,s ,i ,n .


7

II. Cazul cnd la intrare se aplic o trapt unitar, u(t)= (t). Deoarece

1U s u t s L (1) rezult c /Y s H s s iar rspunsul sistemului, numit rspuns indicial, se poate deduce analitic cu relaia

1 1 1y t Y s H ss L L (2)

Intruct factorul 1/s are semnificaie operaional de integrare, rezult relaia dintre rspunsul indicial i rspunsul la impuls:

t10

dy t h t h (3) Se poate defini urmatoare metodologiei schematizata de conversie a modelelor prezentate:

III. Cazul cnd la intrare se aplic un semnal oarecare, u(t). Transformata Laplace a rspunsului este dat de relaia general Y s H s U s i rezult

1 1y t Y( s ) H s U s L L (4) iar relaia intrare-ieire a sistemului este exprimat prin produsul de convoluie :

y t h t u t (5) Avnd n vedere c h(t) i u(t) sunt egale cu zero pentru t


8

Astfel, dac funcia de transfer H(z) a unui sistem cauzal are polii simpli, , 1,ip i n , i reziduurile , 1,ir i n , atunci ea poate fi pus sub forma:

1 11 11

n ni i

i ii i

r r zH zz p p z

(7) i rspunsul la impuls al sistemului cu timp discret este

11 1 11 1n i

i i

r zh k H z Zp z

Z 1

11,2,... .

n ki i

ir .p , k

(8)

Deoarece transformata z a treptei unitare cu timp discret este 111U z z , rezult funcia indicial a sistemului cu timp discret:

1 1 11 01 ( )1 kiy k h k H z h iz Z (9) Dac semnalul de intrare este oarecare, atunci pe baza relaiei Y z H z U z se obine

1 1y k Y z H z U z h k u k Z Z (10)

i modelul intrare-ieire se prezint prin expresia convoluiei discrete :

0

k

iy k h i u k i

(11)

5. Reprezentarea frecvenial a sistemelor

Modelele frecveniale au la baz o alt abodrare n caracterizarea transferului: intrare u(t) ieire y(t). Variabilele u(t) i y(t) sunt descrise prin funciile spectrale U(j) i, respectiv Y(j) (transformatele Fourier ale variabilelor de intrare - ieire). Este tiut c aceste funcii complexe exprim:

- caracteristicile densitilor spectrale de amplitudine:

U ; Y , i

- caracteristicile spectrale de faz.:

arg ; argu yU Y . Modelul frecvenial este definit prin intermediul a dou caracteristici:


9

- caracteristica de amplificare, A(), care permite determinarea funciei Y , cunoscnd pe U :

Y A U (1)

- caracteristica de faza (mai exact, de defazaj), )( , prin care se determin funcia y , cunoscnd pe u :

y u (2) Deci, n esen, modelul frecvenial definete legtura dintre semnalele u(t) i y(t), modelate spectral, utiliznd caracteristici de frecven, i anume : caracteristica de amplificare i caracteristica de defazaj. Determinarea rspunsului la frecven se face nlocuind s=j n funcia de transfer i calculnd modulul i argumentul funciei H(j). Fie H(s) funcia de transfer a unui sistem, sunt valabile relatiile

YA H jU

(3)

arg H j (4) Funcia H(j) numit rspuns la frecven furnizeaz cele dou caracteristici care descriu transferul intrare-ieire, i anume: caracteristica de amplificare, A(), i caracteristica de faz, (). Ea poate fi pus sub forma

e jH j A (5) Se poate arata ca

e jH j A (6) deci A() este o funcie par, iar () impar. Rspunsul la frecven poate fi pus si sub forma

H j P j Q (7) unde P() este par iar Q() impar.

6. Reprezentri grafice ale rspunsului la frecven In general, reprezentarea grafic a rspunsului la frecven se face n dou moduri: locul de transfer (caracteristica Nyquist) caracteristicile logaritmice de frecven (caracteristicile Bode)

Locul de transfer (caracteristica Nyquist) este locul geometric n planul complex al vrfului vectorului H(j), atunci cnd variaza de la - la +. Uzual se utilizeaz ramura aferent domeniului de frecven [0 +). In figura 2 se prezint un exemplu de loc de transfer. Pentru


10

un punct M de pe locul de transfer, cruia i corespunde pulsaia *, amplificarea i defazajul se determin direct din diagram : amplificarea A(*) este dat de *OM H j iar defazajul este * *arg H j .

Figura 2. Caracteristica Nyquist

Caracteristicile logaritmice de frecven (caracteristicile Bode)

Reprezentarea Bode a rspunsului la frecven implic dou caracteristici distincte (fig. 3) :

caracteristica amplificrii exprimat in decibeli [dB] n funcie de pulsaie:

20log 20logdBA A H j (1) caracteristica de faz

arg H j (2)

Figura 3. Caracteristici Bode

La ambele caracteristici, pulsaia n abscis se consider n scar logaritmic. Fie H(j) rspunsul la frecven al unui sistem, exprimat ca produsul funciilor de transfer

1H j i 2H j . Caracteristicile Bode pentru 1 2H j H j H j se deduc pe baza celor aferente funciilor 1( )H j i 2H j , astfel:

1 220log 20log 20logH j H j H j (3)

1 2arg arg argH j H j H j (4) sau


11

1 2dB dB dBA A A , 1 2 (5) Deci, caracteristicile Bode ale sistemului se obin prin nsumare, din cele aferente funciilor de transfer 1H j i 2H j .

Rspunsul la frecven al sistemelor cu timp discret Fie H(z) funcia de transfer a unui sistem discret, unde esTz e , Te fiind perioada de eantionare. Prin substituia s j se impune ca punctul curent din planul complex s s fie situat pe axa imaginar. Intruct semnalele de intrare-ieire sunt eantionate, este necesar ca s fie n domeniul

2 2e e , care corespunde fiei de baz (fig. 4.a). Pulsaia e/2 se mai

numete pulsaie Shannon. Substituia s j n e esTz plaseaz variabila z pe cercul unitar n planul z (fig. 4.b).

Figura 4. Traiectoriile punctului curent n planurile s i z, asociate rspunsului la frecven

Rspunsul la frecven al sistemelor cu timp discret se obine prin nlocuirea variabilei z cu e ej T n funcia de transfer in z:

( ) ( )e j Te

j Tz eH e H z

(1)

Caracteristicile de amplificare i de faz sunt definite prin relaiile:

20loge ej T j TdBA H e ; A H e (2)

arg e ej TH ; 0 2e (3) i genereaz reprezentrile grafice prezentate anterior.


12

2: Exercitii

Obiectiv: Recapitulare despre sisteme dinamice liniare: reprezentare prin ec. diferentiale, functii de transfer, calculul raspunsului la impuls. Exercitiu 1-2: Sa se stabileasca diverse modele matematice (ecuatie diferentiale, functie de transfer, raspuns la impuls, raspuns la treapta unitara, etc) pentru circuitele fizice din figurile urmatoare si valorile: R1=1 kOhm; R2 = 2 kOhm; C = 100 uF; L = 100 H.

(a) (b)

Solutie pentru (a): Trebuie sa stabilim o legatura intre iesirea circuitului y(t) si intrarea acestuia u(t). Relatia se obtine usor folosindu-ne de relatiile de legatura dintre tensiuni si curenti, precum si de relatiile constitutive (functionale) ale elementelor de circuit: Pentru figura (a):

)(2200

)(1)( 3 tiRcUt

diC

ty (1) )(3)(2)(1 tititi (2) )()(11)( tytiRtu (3)

In conditii initiale nule, 00 cU . Scotand curentii din (1) si (2) si inlocuind in (3) se obtine:

2

)()(2;)()(3 R

tytidt

tdyCti (4) )()(31)(21)( tytiRtiRtu (5.a) )()(1

)(1)(

2ty

dttdyCR

RtyRtu (5.b)

1)()()(

2

11 R

Rtydt

tdyCRtu (5.c)

sau, expresia finala:

)(1)()(

112

21 tuCR

tyCRRRR

dttdy (5.d)

ceea ce corespunde formei simbolice generale:


13

)()()( 00 tubtyadttdy (5.e)

cu

1010100101

11;1510100102

103631

063

3

21

210

CRbCRRRRa (5.c)

Calculul functiei de transfer: In conditii initiale nenule, se aplica transformata Laplace ecuatiei (5.d) si se obtine:

)()()( 00 sUbsYasYs (7) Rezulta

1510

)()()(

0

0 sas

bsUsYsH (8)

Calculul raspunsului la impuls:

0),()}({)( 000

011

ttueb

asb

LsHLth ta (9)

Modelul in timp discret: Ec. dif. in timp cont inuu poate fi transformata in ecuatie in diferente tinand cont de definitia derivatei (backward):

TTkykTy

dttdy ))1(()()( (9.a)

sau forward

TkTyTky

dttdy )())1(()( (9.b)

cu T perioada de esantionare. Cu formula (9.a) rezulta:

)()())1(()( 00 kTubkTyaTTkykTy (10)

sau )())1(()(1 00 kTubTTkykTyaT (11) sau

)(1))1((11)(

0

0

0kTu

aTbT

TkyaT

kTy (11)

sau

][1]1[11][

0

0

0ku

aTbT

kyaT

ky (11)

sau ][]1[][ 01 kubkyaky dd (11)


14

unde

0099,01

;9852,01

1

0

00

01

TabT

bTa

a dd (5.c)

Functia de transfer in timp discret este

)()()( 01

1 zUbzYzazY dd (12.a) sau

11

0

1

0

1)()()(

za

baz

zbzUzYzH

d

d

d

d (12.b)

Observatie: Cu formula (9.b) rezulta un model instabil (pol in afara cercului de raza unitara !)

)()()())1(( 00 kTubkTyaTkTyTky (10)

sau )()(1))1(( 00 kTubTkTyaTTky (11) sau ][][1]1[ 00 kubTkyaTky (11) sau

][][]1[ 00 kubkyaky dd (11) unde

01.0;015,11 0000 bTbTaa dd (5.c) Functia de transfer in timp discret este

)()()( 00 zUbzYazYz dd (12.a) sau

015.101.0

015.1101.0

1)()()( 1

1

10

10

zzz

zazb

zUzYzH

d

d (12.b)

Rezultate obtinute prin simulare numerica. Programul de simulare si rezultatele sunt prezentate in continuare. clc; clear; clf; % parametrii fizici: R1 = 1000; R2 = 2000; C = 100e-6; %1). simularea modelului bazat pe ecuata diferentiala: % coeficientii ec. diferentiale: b0 = 1/R1/C; b = [b0]; a0 = (R1+R2) / R1 /R2 / C; a = [1 a0]; N = 100; T = 0.01; t = 0:T:(N-1)*T; N0 = round(N/5); u = [zeros(1,N0) ones(1,N-N0)]; u = ones(1,N);


15

y = lsim(b,a,u,t); % functia de baza; % plot results: subplot(221),plot(t,1.1*u); title('Intrarea'); subplot(222),plot(t,y); title('Iesirea'); % 2) calculul raspunsului la semnal treapta via H(s); num = [b0]; den = [1 a0]; sys = tf(num,den); hm = impulse(sys,t); ht = b0 .* exp(-a0*t); a = step(sys, t); subplot(221), plot(t,ht);title('raspuns la impuls (teoretic)' ); subplot(222), plot(t,hm); title('raspuns la impuls (simulat)') subplot(223), plot(t,y, t,a); title('raspunsuri indiciale (ODE+TF)'); subplot(224), plot(t,ht, t,hm); title('semnale pondere (suprapunere)');

Pentru circuitul din figura (b):

)(2200

)(1)( 3 tiRcUt

diC

ty (1) )(3)(2)(1 tititi (2)

)()()(11)(1 tydt

tdiLtiRtu (3) In conditii initiale nule, 00 cU . Scotand curentii din (1) si (2) si inlocuind in (3) se obtine:


16

2

)()(2;)()(3 R

tytidt

tdyCti (4)

)()()()(31)(21)(32 tydt

tdiLdt

tdiLtiRtiRtu (5.a)

)()()()(1)(

1)( 22

22

tydt

tydLCdt

tdyRL

dttdyCR

RtyRtu (5.b)

)(11)()()(2

12

2

2

tyR

R

dttdyCR

RL

dttydLCtu

(5.c)

Sau, in forma finala:

)()(11)()(

21

22

2

tutyR

R

dttdyCR

RL

dttydLC

(5.d)

Ceea ce corespunde unui sistem de ordinul doi. Intrucat forma generala este

)()()()( 00122

tubtyadt

tdyadt

tyd (5.e) Se rescrie (5.d) prin impartirea termenilor la coeficientul derivatei a doua:

LCtuty

LCRR

dttdy

LCCR

RL

dttyd 1)()(111)(1)(

21

22

2

(5.f)

Coeficientii sunt:

1001;15011;151 02

101

21

LCb

LCRRa

LCCR

RLa (5.e)

Pentru calculul raspunsului y(t) este nevoie de conditiile initiale ale circuitului:

dtdysiy )0()0( (6)

Pentru circuitele electrice, conditiile initiale sunt uzual specificate prin tensiunile pe capacitati si prin curentii prin bobine. In acest exemplu s-a ales tensiunea u(t) ca intrare si tensiunea y(t) ca iesire. Ca marime de iesire, putea fi insa aleasa oricare dintre curentii sau tensiunile din circuit. Calculul functiei de transfer: In conditii initiale nenule, se aplica transformata Laplace ecuatiei (5) si se obtine:

)()()()( 0012 sUbsYasYsasYs (7)

Rezulta

15015100

)()()( 2

012

0

ssasasb

sUsYsH (8)

Pentru calculul raspunsului la impuls se scrie functia de transfer sub forma de produse la numitor si se descompune in fractii simple. Pentru fiecare fractie simpla se scrie originalul transformtei Laplace:


17

21012

0)()()(

psB

psA

asasb

sUsYsH (8)

0),()()()( 211 ttueBtueAsHLth tptp (8)

Calculul ecuatiei in diferente. Folosind aproximarea derivatei de ordinul doi cu relatia

22

2 ))1(()(2))1(()(T

TkykTyTkydt

tyd (8) Se obtine ecuatia

][]1[)1(][)2(]1[ 20112

0 kuTbkyTakyTaTaky (8) ][]1[][]1[ 010 kubkyakyaky ddd (8)

Cu 0001.0;9850.0;9849.1 010 ddd baa (8)

si functia de transfer in timp discret

21

10

10

110

0

1)()()(

zazazb

zaazb

zUzYzH

dd

d

dd

d (8)

Rezultatele obtinute prin simulare sunt prezentate in continuare. % Exercitiul 2, seminar 1; exemplul 2: clc; clear; clf; % parametrii fizici: R1 = 1000; R2 = 2000; C = 100e-6; L = 100; %1). simularea modelului bazat pe ecuatiei diferentiale: % coeficientii ec. diferentiale: b0 = 1/L /C; b = [b0]; a0 = (R1 / R2 +1 ) / L / C; a1 = (L / R2 + R1*C) / L / C; a = [1 a1 a0]; N = 1000; T = 0.001; t = 0:T:(N-1)*T; N0 = round(N/5); u = [zeros(1,N0) ones(1,N-N0)]; u = ones(1,N); y = lsim(b,a,u,t); % functia de baza % plot results: subplot(221),plot(t,1.1*u); title('Intrarea'); subplot(222),plot(t,y); title('Iesirea'); subplot(212),plot(t,1.1*u,t,y); title('Intrarea si iesirea'); %3). Simulare parte discreta: % formula backward pentru aprox. derivatei % y(k+1) = - a0d * y(k) - a1d * y(k-1)+ b0d * u(k); a0d = (a0*T*T + a1*T - 2); a1d = 1 - T*a1; b0d = T * b0 * T; ydb = zeros(1,N); for k = 2:N,


18

ydb(k) = - a0d * y(k) - a1d * y(k-1)+ b0d * u(k); end; clf; subplot(221), plot(t,u,t,y); title('lsim'); subplot(222), plot(t,u,t,ydb); title('discret backward'); subplot(212), plot(t,y,t,ydb); title('continuu; discret backward');

Exercitiul 3: Sa se calculeze functia de transfer a circuitului de tip filtru trece sus de ordinul 2. Valorile componentelor sunt: R1 = 6.8 kOhmi, R2 = 15 kOhmi, C1 = 10 nF, C2 = 22 nF. Sa se traseze caracteristicile de frecventa Bode cu Matlab.

Pentru stabilirea functiei de transfer se lucreaza in domeniul s, domeniul transformatelor Laplace ale marimilor implicate in circuit. Se scriu relatii de functionare bazate pe teoremele de tensiune si curenti ale lui Kirchoff. Se elimina, apoi variabilele intermediare, astfel incat, in final, sa se obtina o relatie intre marimea de iesire si marimea de intrare. Se scriu relatiile:

111

1 )()(1)()( sCsYsI

sCsIsY


19

12222122

221 )()()(1)()( CCsRsYCsRsIsI

sCsIRsI

221122121 1)()()()()()( CsRsCsYCCsRsYsCsYsIsIsI )()(1)()()()()( 122211121 sYsCsYRCsRsCsYRsYsIRsIRsU

Rezulta

11

111

)()()(

2112

2211122211 RRsCsCRCRsCRCsRsCRSU

sYsH

sau in forma standard

22

2

22112211

21122211

211

)()()(

nn

n

ssCRCRCRCR

RRCss

CRCRSUsYsH

cu

2211

2 1CRCRn

; 2211

2112 CRCR

RRC ; 1K Valorile obtinute si programul de simulare sunt prezentate in continuare. omegan = 6.6756e+003; csi = 0.7276; clc; clear; clf; R1= 6.8e3; R2=15e3; C1=10e-9; C2=22e-9; omegan = 1/sqrt(R1*R2*C1*C2); csi = C1 * (R1+R2) / 2 / sqrt(R1*R2*C1*C2); K = 1; num = K * omegan ^2; den = [1 2*csi*omegan omegan^2]; sysc = tf(num, den); bode(sysc); grid;


20

Exercitiul 4: Sa se scrie functia de transfer a circuitului din figura, ce reprezinta un fitru trece sus de ordinul doi. Valorile componentelor sunt: R1 = 15 kOhmi, R2 = 6.8 kOhmi, C1 = 22 nF, C2 = 10 nF. Sa se traseze caracteristicile de frecventa Bode cu Matlab.

1111 /)()()()( RsYsIRsIsY

221221222

21

)(1)()()(1)(CRsR

sYCsR

sIsIsIRsC

sI

221

22

221

22

221121

1)(1)()()()()()(CRRsCRssY

CRsRCsRsY

CRsRsY

RsYsIsIsI


21

)()(11)()()(1)(1)(211221

221

21sY

CsRsY

sCCRRsCRssYsYsI

sCsI

sCsU

Rezulta

222

21212211

2212

2

12222

2211

21212

211221

22

21

111111

)()()(

nnsssK

CCRRCRCRRCCss

s

CsRRsCsCRCRCCRRs

CRssCCRRsCRsSU

sYsH

cu

2211

2 1CRCRn

; 1;2 2211

212 KCRCR

CCR Valorile obtinute sunt si programul de simulare sunt prezentate in continuare. omegan = 6.6756e+003; csi2 = 0.7263; clc; clear; clf; R1= 15e3; R2=6.8e3; C1=22e-9; C2=10e-9; omegan = 1/sqrt(R1*R2*C1*C2); csi = R2 * (C1+C2) / 2 / sqrt(R1*R2*C1*C2); K = 1; num = [K 0 0]; den = [1 2*csi2*omegan2 omegan2^2]; sysc = tf(num, den); bode(sysc); grid;


22

Exercitii pentru acasa

E1) Dinamica miscarii ochiului (muschi + ochi + orbita) poate fi modelata printr-un sistem reprezentat de ecuatia:

)(1)(1)(11)(

2121212

2

tutydt

tdydt

tyd

(1)

Unde ms131 si ms2242 sunt constantele de timp minima si maxima. Marimea y(t) este pozitia ochiului in grade, u(t) este forta de stimulare a ochiului in grade (influenta pozitie-ochi, pozitie tinta). Sa se calculeze prin simulare numerica raspunsul la un semnal sinusoidal si unul dreptunghiular cu frecventa de 2 Hz si amplitudinea de +/- 1 V..

E2: Un exemplu de sistem neliniar este modelul unui pendul simplu descris prin ecuatia diferentiala neliniara:

0)(sin)(22

tmg

dttd (1)

Unde g=9.8 m/s2 este acceleratia gravitationala, m este masa pendulului si teta este unghiul pendulului. Sistemul dinamic este neliniar din cauza functiei sinus ce este o functie neliniara. Sa se calculeze prin simulare numerica raspunsul la un semnal sinusoidal si unul dreptunghiular cu frecventa de 2 Hz si amplitudinea de +/- 1 V.

23

Seminar 2 Analiza sistemelor i circuitelor cu grafuri de semnal Obiectiv: Aplicarea grafurilor de fluenta la analiza circuitelor si sistemelor. 2.1. Introducere

Analiza i simplificarea unei scheme bloc poate fi uurat simitor prin utilizarea grafurilor de

semnal. Acestea sunt grafuri orientate, numite i grafuri de fluen, avnd n componena lor noduri i arce (laturi). In figura alaturata se prezinta un arc orinetat cu doua noduri. Grafurile de semnal sunt foarte utile la analiza expeditiva a

schemelor bloc. Un graf de semnal (de fluenta) este o retea formata din noduri legate prin arce orientate. Nodurile initial si final ale unui arc au semnificatia de marimi de intrare, respectiv de iesire. Nodurilor le sunt ataate semnale din schema bloc. Se numete nod surs nodul cruia i se asociaz (care genereaz) semnalul de intrare n sistem. Semnalului de ieire din sistem i corespunde nodul sarcin. In structura unui sistem reprezentat prin grafuri de fluen intervin i noduri mixte. Un nod mixt poate avea unul sau mai multe semnale care converg spre nod. Suma semnalelor ce converg n nod se consider a fi semnalul aferent nodului. El poate fi direcionat, prin arce, spre unul sau mai multe noduri din schem. Arcele definesc transferul ntre noduri, avnd asociat sensul de transfer al semnalelor. Fiecare arc este caracterizat prin funcia de transfer, care exprim legtura ntre semnalele aferente nodurilor. O succesiune de arce parcurse de semnal formeaz o cale. Dac ntr-o cale toate nodurile sunt parcurse o singur dat, calea se numete cale deschis. Se numete bucl sau cale nchis, calea care pornete i se termin n acelai nod. O bucl cu o singur latur se numete bucl proprie. 2.2. Formula generala (Mason ) de calcul a transmitantei unui graf Arcul orientat este caracterizat de functia sa de transfer (in general, de transmitanta arcului orientat). Valoarea transmitantei Tij dintre nodurile i si j, respectiv dintre marimile xi si xj se obtine cu formula lui Mason:

N

k kijkijij CT 1

1 (1)

in care: (1) Suma dupa k se face dupa numarul maxim de cai intre nodurile intrare i si iesire j. Fie

acesta N; (2)

kijC este transmitanta caii directe, de indice k, intre nodul de intrare i si nodul de

iesire, j; (3) este determinantul grafului, calculat cu formula

...1,,

,

1,1

tsr tsrQM

qmqm

N

nn BBBBBB (2)


24

unde nB , n=1,N, sunt transmitantele buclelor existente in graf. Regula de calcul a determinantului este:

= 1- suma transmitantelor buclelor + + suma produselor combinatiilor de cate doua blucle, fara noduri comune (3)

(4) kij

este cofactorul (relativ la ) al caii k. Acesta se determina din eliminand buclele care au noduri comune cu calea k.

Ca i n cazul schemelor bloc, la care s-au definit reguli de simplificare bazate pe transformri elementare (conexiunile serie, derivaie i n circuit nchis), reducerea grafurilor de fluen are ca obiectiv obinerea unui graf soluie, compus din arce simple, care fac legtura dintre nodurile surs i nodurile sarcin. In Tabelul 1. sunt sintetizate cteva reguli elementare de transformare a grafurilor de fluen. Tabelul 1 Reguli elementare de transformare a grafurilor de fluen Nr. Denumirea Graful iniial Graful echivalent

1

Inlocuirea arcelor conectate n paralel

2 Inlocuirea arcelor conectate n serie

3 Inlocuirea unei bucle

1 2

1 3

.1 .

H HH H

4 Inlocuirea unei bucle

proprii

1 2

3

.1H H

H

5

Inlocuirea unor bucle nseriate

H1 H2 H1.H2

H1+H2H1

H2

H1 H2

H3

H1 H2

H3

H11 H2

H4

H3

H5

H1H2 H3

H2.H4+H3.H5

Seminar 2: Analiza sistemelor i circuitelor cu grafuri de semnal

25

6 Transformarea stea-triunghi

Exercitiul 1: Sa se calculeze transmitanta grafului de mai jos, cu regula lui Mason.

Solutie:

Numarul de bucle este M=3. Transmitantele buclelor sunt: 521 GGB , 432 GGB , 63213 GGGGB Determinantul grafului: 63214352321 1)(1 GGGGGGGGBBB

(ceilalti termeni nu apar pentru ca toate buclele au noduri in comun) Caile directe sunt:

o de la U1 la Y: 32111 GGGC 111 o de la U2 la Y: 312 GC 112

Cele doua functii de transfer (transmitante), conform relatiei (1), au expresiile:

321

101

GGGUYG ,

3

202

GUYG

Exercitiul 2: Sa se calculeze transmitanta grafului cu regula lui Mason.

Exista trei bucle, M=3.

H15 H35

H52

H54

2

3

4

5

1

H15.H52 H35.H52

2

3

4H15.H54 H35.H54

1


26

Transmitantele buclelor sunt: 6321 GGGB , 5432 GGGB , 743213 GGGGGB Determinantul grafului : 3211 BBB Calea directa , de la U la Y este: 432111 GGGGC 11 Functia de transfer:

43210

GGGGUYG

Observatii: 1). Grafurile de fluenta din exemplele anterioare fac parte dintr-o clasa caracterizata prin:

(i) toate buclele au noduri comune. Ca urmare, determinantul este diferenta dintre valoarea 1 si suma transmitantelor buclelor;

(ii) Toate caile directe au noduri comune cu buclele. Ca urmare Nkk ,1,1 . Pentru aceasta clasa de grafuri, se utilizeaza urmatoarea regula simplificata 1:

Functia de transfer echivalenta intre marimea de intrare si marimea de iesire este egala cu raportul dintre suma functiilor de transfer ale cailor directe dintre cele doua marimi si (1-

suma algebrica a f.d.t. ale buclelor). Exercitiul 3: Pentru sistemul din figura de mai jos se cere functia de transfer

Solutie : Se pot gandi mai multe solutii, din care una bazata pe graful de fluenta. Graful de fluenta (semnal) corespunztor este

1). Urmnd regulile de simplificare ale blocurilor, se obine :

34

3 812 5

31 6 4 73 8

( ) ( )1 ( )( ( ))( )( ) 1. ( ) ( ).1( )1 ( )( ( )) 1 ( )( ( ))

1 ( )( ( ))

H s H sH s H sH sH s H s H sH sH s H s H s H s

H s H s

sau, dup simplificri, 1 2 3 4 5

1 6 3 8 3 4 7

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

(1 ( ) ( ))(1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))H s H s H s H s H s

H sH s H s H s H s H s H s H s

1 (Voicu, 1998)

2). Folo n T D C F

Exercitiesirea y

Solutie:forma a

Rezulta

Pentru s

S

osind regulanumarul deTransmitanDeterminanCalea direcFunctia de t

1)( CsH

tiul 4: Sa sy(t).

: Folosind ra doua suma

a schema ech

schema loca

Seminar 2: An

a lui Mason: bucle este N

ntele buclelontul grafuluita , de la R transfer:

1

111 H

se calculeze

regulile de atoare cu cat

hivalenta

ala formata

naliza sistem

: N = 3;

or sunt: 1B i : 1 Bla Y este: C

361 HHH

e functia d

simplificarte doua intr

din Ha si H

)(sHe

melor i circu

27

61HH , 21 BBB

111 HHC

438

1HHHHHH

de transfer,

re a blocurirari ca in fig

Hc se aplica f

)(1(

sHH

a

a

uitelor cu gra

32 HHB 213 BBB 5432 HHHH

617

432HHHHHHH

H(s), pentr

lor, sumatogura de mai

formula une

)())(

sHs

c

furi de semn

8H , 3B 31BB 5

836

5HHH

H

ru sistemul

orul cu trei jos:

ei conexiuni

nal

743 HHH

4361 HHHH

l cu intrare

intrari se s

i cu reactie:

74H

a x(t) si

scrie sub

:

Functia

A doua

Caile: BucleleDetermiBucelel

Cofacto

Transm

Exercitgraful dieire, amplific

Solutie:stabilire Caile: C Buclele

An

de transfer

)(sHe

metode folo

C 1: aHB 1inantul: e au noduri

orul caii: 1

mitanta garfu

tiul 5: Fie sdin figura. Spolii i zecrii.

Se folosesea functiei d

1 11 zC

: 1 1 zB

naliza i sinte

este

1

)(1)(HsH

sH

e

e

oseste grafu

a HH 1cH )(B (1 1

i in comun c

011 Bului : T

1

sistemul disS se deducerourile, pr

ste formulade transfer:

1 115.0 1 16.1

eza circuitelo

)(

()()()

HsHH

HsHsH

ca

db

b

ul echivalen

ab HH 1ca HH

BB 1)2cu calea C1.

10,0 2B

C 111

scret in timpc ecuaia irecum i e

a lui Mason

15.0 z ; 16.1 z , B

or i sistemel

28

()()(

11

1)(

sHsHsH

s

ac

ba

nt circuitulu

bH , aHB 2

BB 121.

1

ca

aHH

H

mp avnd intrare expresia

n pentru

2 11 zC1

2 1 zB

lor. Exerciii

)())(

)()()(1

)(

HsHs

HsHsH

HsHsH

b

ca

aa

a

ui si, apoi, re

db HH (ca HH

ba

baHH

H

11 ( zz1 6.0( z

pentru semi

)(

)()(

()(

)

sH

sHs

HsH

d

b

bc

egula lui Ma

ad HH )ba HHH

dH

111)25.0

6.01.1)6

inar

)(

)(

sH

s

d

ason.

db HH dH

25.01 z26 z

2z


29

Determinantul: 212121 6.06.111)(1 zzBBBB

Bucelele au noduri in comun cu calea C1 si C2.

Cofactorul cailor: 10,0 21

1 BB ; 10,0 212 BB

Transmitanta grafului : 2121

22116.06.11

25.05.01)(

zzzzCCzT

2). Pentru ecuatia intrare-iesire se pleaca de la H(z-1) si se aplica transformata z inversa:

21

21

6.06.1125.05.0

)()()(

zz

zzzUzYzH

)(25.0)(5.0)(6.0)(6.1)( 2121 zUzzUzzYzzYzzY

Prin aplicarea tranformatei in z inverse:

]2[25.0]1[5.0]2[6.0]1[6.1][ kukukykyky

]2[25.0]1[5.0]2[6.0]1[6.1][ kukukykyky

3). Calculul polilor se face din functia de transfer scriind in forma factorizata numitorul si numaratorul:

)6.0)(1()5.0(5.0

6.06.125.05.0

6.06.1125.05.0

)()()( 221

21

zz

zzz

zzz

zzzUzYzH

deci avem 2 poli: p1=1, p2=0.6; si un zero : z1=0.5; 3) Expresia amplificrii:

2

2

2 2

2 2

0.5 0.25( ) ( )1 1.6 0.6

0.5cos( ) 0.25cos(2 ) 0.5sin( ) 0.25sin(2 )

1 1.6cos( ) 0.6cos(2 ) 1.6sin( ) 0.6sin(2 )

e ee

e e

j T j Tj T

j T j T

e e e e

e e e e

e eA H ee e

T T T T

T T T T

Exercitiul 7: Fie graful unui sistem cu timp discret, prezentat n figura. Sa se calculeze transmitanta grafului.

Solutie : Problema poate fi rezolvata prin doua cai : (a) prin transformari elementare ale grafului ; (b) prin aplicarea regulii luui Mason. Folosind transformarile elementare, dac se elimin arcele cu transfer unitar, atunci acest graf poate fi desenat i sub forma din fig a. Se aplic transformarea stea-triunghi la steaua care


30

conine arcele cu transfer z-1, a2 i b2, obinndu-se schema din fig. b. Aici, avem dou perechi de arce conectate n paralel : cele cu transfer 1a i

12a z

, i respectiv cele cu transfer 1b i 12b z . In consecin, graful poate fi redesenat ca n fig. c. In continuare, se aplic din nou transformarea stea-triunghi, la steaua care conine arcele cu funciile de transfer z-1, 11 2a a z

i 11 2b b z , obinndu-se graful din fig. d. Aici sunt dou conexiuni:

bucl care are pe calea direct transfer unitar i pe calea invers funcia de transfer 1 21 2a z a z ;

dou arce n paralel, cu funciile de transfer b0 i 1 21 2b z b z . Funcia de transfer a ntregului sistem este

1 21 2 0 1 2

0 1 21 2 1 21 2 1 2

1( ) 1. ( ).11 ( ) 1

b b z b zH z b b z b za z a z a z a z

Pentru folosirea formulei lui Mason, se scriu caile si buclele din graf : 1). exista trei cai, toate adiacente :

001 111 bbC 1

111

2 1111 zbbzC


31

222

113 11111

zbbzzC 2). Exista doua bucle adiacente cu caile :

111

11 11

zaazB 2

2211

2 111 zaazzB

3). Determinantul grafului :

22

1121 1)(1

zazaBB 4). Transmitanta grafului :

22

11

22

110321

1

zazazbzbbCCC

T

Exercitiul 8: Se da ecuatia in diferente a unui filtru numeric cu Te = 1e-6:

]2[5.0]1[]2[1.0]1[5.0][ kukukykyky , k=0,1,2, 1). Sa se calculeze functia de transfer in z, prin aplicarea transformatei z. 2). Sa se deseneze graful de fluenta. 3). Sa se calculeza transmitanta grafului. Este egala cu fdt de la pct 1? 4). Sa se calculeza raspunsul la impuls. 5). Sa se calculeze raspunsul la semnalul numeric u = [0 1 1 1 0 0 0], k=0,1,2, 6). Sa se scrie programul Matlab pentru calculul raspunsului la impuls, calculul raspunsului la semnal treapta, trasarea diagramei Nyquist, a diagramei Bode, a raspunsului la un semnal sinusoidal si la un semnal dreptunghiular de frecventa f0 fs/20; Solutie: 1). Fdt din aplicarea transformatei z este

)(5.0)()(1.0)(5.0)( 2121 zUzzUzzYzzYzzY

1.05.05.0

1.05.015.0

)()()( 221

21

zzz

zzzz

zUzYzH

2). Raspunsul la impuls

1.05.05.0)(][ 2

11

zzzZzHZkh

Polii fdt rezulta din ecuatia 01.05.02 zz

cu polii:

153.0;653.0

4031,025.0265.025.0

21.0425.05.0

242

2,1

aacbbp

Se descompune fdt in fractii simple

1pz

z

Rezulta

Unde s-

Exercit T1: Sa s T2: Sa mai jos.

T3:. Undistribu

An

5.0

2pz

a

][ Zkh

-a folosit pe

tii pentru a

se demonstr

se calculeze.

n filtru numutia poli-zero

Fig

naliza i sinte

1pzA

)(1

ZzH

erechea

Z

acasa

reze echiva

e functia sis

meric are grouri si sa se

gura 1

eza circuitelo

1.0

5.0

2

BA

B

pzB

1

1

1

BkpA

pzzZ

1

1

pzA

lenta grafur

stem H(s) a

raful din fige calculeze e

or i sistemel

32

806153.0

1

1 ApBBA

[

5.0

2

21

pB

pzk

1 pA k

rilor de pe u

sistemului

gura 1. Sa expresia am

lor. Exerciii

1898.08102.0

5.02

AB

p

2,1],[

.01

kk

zZ

,1,0],[ kk

ultimele 3 li

cu intrarea

se scrie funmplificarii A

pentru semi

1

1pBA

,..2

0653.0

1898. z

,...2,

nii ale tabel

x(t) si iesire

nctia de tran(w).

Figur

inar

2 ppA

B

153.08102.0

lului 1.

ea y(t) din f

ansfer, sa se

ra 2

5.0

21

2ppp

figura de

e deduca

33

Seminar 3 - Analiza circuitelor elementare cu amplificatoare operationale ideale.

Obiective:

1). Analiza circuitelor elementare cu amplificatoare operationale. 2). Conversia: funcie de transfer > caracteristica Bode asimptotic

Exercitiul 1: (Circuite integratoare). 1) Pentru fiecare din circuitele din figura 1 sa se scrie/calculeze: ecuatia diferentiala si functia de transfer. 2). Sa se calculeze si sa se traseze raspunsul la impuls si functia indiciala. Sa se compare cu rezultatele generate de Matlab pentru ]10;0[ Tt . 3). Sa se traseseze diagramele Bode si sa se compare cu rezultatele Matlab. 4). Sa se reprezinte grafic raspunsurile la un semnal sinusoidal si rectangular, cu urmatoarele frecvente unghiulare: fff 10,,1.0 unde f este pulsatia de frangere.

Figura 1. Circuite integratoare cu AO (R=R1=1000 Ohm; C= 100 nF).

Solutie: Considerand amplificatorul operational ideal, se pot scrie relatiile de legatura in domeniul timp si frecventa. Pentru primul circuit I1:

tt

c duRCdi

Ctuty

00)(1)(1)()( ,

TssH 1)(

Raspunsul la impuls

0),(1111)()( 111

tt

TsL

TsTLsHLth

Raspunsul indicial:

0,11)()(00

tTtd

Tdhta

tt Pentru circuitul I2 avem relatiile:

ttt

Cc dRty

Rtu

Cdtiti

Cdi

Ctuty

0 101

0

)()(1)()(1)(1)()( Prin aplicarea transformatei Laplace, in conditii initiale nule, se obtine:

sRCsU

sCRsYsY

sCRsY

sRCsUsY

)()(1)(,)()()(

11


34

RRKsT

KsCRR

RsUsYsH 1

11

1 ,11

1)()()(

Caracteristicile de frecventa pentru cele doua circuite integratoare sunt prezentate in figura 2. (R=R1=1000 Ohm; C= 100 nF). Circuitul I1 lucreaza ca integrator in toata gama de frecventa. Circuitul I2 lucreaza ca integrator numai pentru frecvente mai mari de 1.6 kHz. Pentru ultimul circuit, raspunsul la impuls este

0,/1

1/)()( 111

11

teTK

sTTKLsHLth T

t

Raspunsul indicial:

0,10

)()( 11)1(1

10

110

teKteT

KdeTKdhta T

tTT

tT

t

2). Codul Matlab pentru calculul marimilor de interes este prezentat in Anexa 1. Pentru circuitul I2 se obtine semnalele

Figura 2. Caracteristici pentru integratorul I2

Seminar 3 Analiza circuitelor cu amplificatoare operaionale ideale

35

Figura: Circuitul I2. Raspunsul la semnal sinusoidal: f1 = 0.1ff, ff si 10ff

Figura: Circuitul I2. Raspunsul la semnal dreptunghiular: f1 = 0.1ff, ff si 10ff


36

Figura 2. Caracteristicile de frecventa ale integratoarelor I1 si I2

Exercitiul 2: (Circuite derivatoare). 1) Pentru fiecare din circuitele din figura 1 sa se scrie/calculeze: ecuatia diferentiala si functia de transfer 2). Sa se calculeze si sa se traseze raspunsul la impuls si functia indiciala. Sa se compare cu rezultatele generate de Matlab. 3). Sa se traseseze diagramele Bode si sa se compare cu rezultatele Matlab. 4). Sa se reprezinte grafic raspunsurile la un semnal sinusoidal si rectangular, cu urmatoarele frecvente unghiulare: fff 10,,1.0 unde f este pulsatia de frangere.


37

Figura 3. Circuite derivatoare cu AO: D1 (simplu), D2 (cu oprire), D3 (cu dubla oprire) (R=10 kOhmi; R1=1000 Ohm; C= 100 nF; C1 = 10 nF).

Solutie: Circuitele sunt descrise de relatiile: Pentru D1 (standard):

dttduT

dttduRCty )()()( ; sTsH )(

Raspunsul indicial este

0),(1)()( 11

ttTTL

ssHLta

Raspunsul la impuls:

0,)()( tTdt

tdath

Pentru D2 (cu oprire):

)()()()()(;)(

)()( 1 RRtitytutudttdu

CRtiRty CC

dttduRCtyCRCR

dttdyRC

dttdy

dttduCRtyCRCR

RRRtyRC

dttdyRC

dttduRCty

RRRty

dttdy

dttduCRty

)()(1)(

)()()(1

)()()()(

)()()()(

1

1

1

1

TTsT

sTsCR

sRCsH

111

;11

)(


0,1

111

1)()( 111

1

1

11

teTT

sTLT

ssTsTL

ssHLta T

t


0,1)()( 121

111

teTTe

TTT

dttdath T

tTt

Pentru D3 (cu dubla oprire):

212111 ;1111)( TTTsTsTsT

sRCsCRsRCsH


sTB

sTALT

sTsTTL

ssHLta

21

1

21

111111

1)()(

Calcule simple indica

12

2

12

1 ,TT

TBTT

TA


38

Rezulta

0,)( 2112

22

11

tee

TTTe

TBe

TATta T

tTt

Tt

Tt


0,11)()( 22

1112

te

Te

TTTT

dttdath T

tTt

Din cauza cresterii castigului cu cresterea frecventei, derivatorul simplu (D1) este sensibil in conditii de zgomot, adica zgomotul de frecventa mare este amplificat, ceea ce poate genera probleme de instabilitate (oscilatii) in timpul functionarii. Derivatoarele D2 si D3 isi propun sa scada amplificarea la frecvente inalte, prin intoducerea unui pol (pentru D2) sau a doi poli (varianta D3) la frecvente mari. Caracteristicile de frecventa rezultate sunt prezentate in figura

4. Frecventa maxima de lucru ca derivator este kHz6.12

1

1max Tf . Frecventa de

castig 0 (intersectia cu axa Ox) este Hz1602

1 TfT .

Figura: Caracteristicile pentru D3


39

Raspunsul D3 la semnal sinusiodal: 0.1ff, ff si 10 ff

Raspunsul D3 la semnal dreptughiular: 0.1ff, ff si 10 ff


40

Figura 4. Caracteristicile de frecventa ale derivatoarelor D1, D2 si D3

Figura 5. Raspunsul derivatorului la un semnal dreptunghiular (f = 400 Hz)

Exercitiul 3: Sa se traseze caracteristicile Bode asimptotice pentru sistemul descris prin functia de transfer:

)105.0)(10(10)(

ss

ssH

Solutie: Exercitiul se rezolva prin parcurgerea urmatorilor pasi. 1). Se scrie fdt in forma standard, pentru evidentierea termenilor elemenatri de tipn monom, binom si trinom precum si a contantelor de timp:


41

)()()(

)101.0)(11.0()101.0)(11.0(10/10

)105.0)(10(10)(

21 sBsBsM

sss

sss

ssssH

2). Se calculeaza pulsatiile de frangere corespunzatoare celor trei termeni sunt si se verifica conditia de separare a pulsatiilor de frangere (distanta la mai mult de o decada):

]/[1)( 0 sradsM f ]/[101.0/1)( 11 sradsB f

]/[10001.0/1)( 22 sradsB f 3). Pentru fiecare din cei trei termeni se traseaza cu line subtire caracteristicile asimptotice de amplificare si faza. 4). Se sumeaza punct cu punct caractersticile elementare. 5). Se traseaza caracteristicel reale tinand seama de valoriel asimptotice precum si de valorile de la pulsatiile de frangere. Rezultatul este prezentat in figura.

Exercitii pentru acasa: Sa se traseze caracteristicile Bode pentru sistemele descrise prin functiile de transfer :

)105.0)(10(5.0)(1 ss

ssH ;)101.0)(11.0(

2.0)(2 ssssH ;

)1002)(10()1()(

23

sssssH


42

Anexa 1 Condul Matlab pentru studiul integratoarelor % seminar 3; exemplul 1: circuite integratoare clc; clear; clf; % parametrii fizici: R = 1000; R1 = 1000; C = 0.1e-6; % definirea sistemului I1: T = R * C; num = [-1]; den = [T 0]; sys1 = tf(num, den); % paramteri de simulare: Te = T / 10; N = ceil(10*T/Te); t = (0:N-1)*Te; % axa timpului % valori analitice si ale Matlab: for i = 1:N, ha(i) = -1/T; aa(i) = -t(i) / T; end; hm = impulse(sys1,t); am = step(sys1,t); % comparatie: figure(1); subplot(221), plot(t,ha,t,hm,'r'); title('Raspunsul la impuls');grid subplot(222), plot(t,aa,t,am,'r'); title('Raspunsul la treapta');grid eroarea = sum(aa-am') % Caracteristicile Bode: omegaf = 1 / T ; omega = [omegaf/100:10:100*omegaf]; [M, P] = bode(sys1, omega); M = squeeze(M); P = squeeze(P); M_dB = 20*log10(M); subplot(223), semilogx(omega, M_dB); grid;title('Amplificarea'); subplot(224), semilogx(omega, P); grid; title('Faza'); %2). Integratorul I2. % =======================================> T1 = R1 * C; K = R1 / R; num2 = [-K]; den2 = [T1 1]; sys2 = tf(num2, den2); % valori analitice si ale Matlab:


43

for i = 1:N, ha(i) = -K/T1*exp(-t(i)/T1); aa(i) = K*(exp(-t(i)/T1)-1); end; hm = impulse(sys2,t); am = step(sys2,t); % comparatie: figure(2); subplot(221), plot(t,ha,t,hm,'r'); title('Raspunsul la impuls');grid; subplot(222), plot(t,aa,t,am,'r'); title('Raspunsul la treapta'); grid eroarea = sum(aa-am') % Caracteristicile Bode: omegaf = 1 / T ; omega = [omegaf/100:10:100*omegaf]; [M, P] = bode(sys2, omega); M = squeeze(M); P = squeeze(P); M_dB = 20*log10(M); subplot(223), semilogx(omega, M_dB); grid;title('Amplificarea'); subplot(224), semilogx(omega, P); grid; title('Faza'); % 3). Raspunsuri la diverse semnale: % ============================================ figure(3); NP = 4; %numarul de perioade pentru vizualizare TF = NP / (0.01*omegaf / 2 / pi); N = ceil(TF / Te); t=(0:N)*Te; omegav = [0.1*omegaf, omegaf, 10*omegaf] ; fv = omegav ./ 2 ./ pi; for i =1:3, u(:,i) = sin(2*pi*fv(i)*t); y(:,i) = lsim(sys1, u(:,i), t); end; subplot(311), plot(t,u(:,1),t, y(:,1),'r') subplot(312), plot(t,u(:,2),t, y(:,2),'r') subplot(313), plot(t,u(:,3),t, y(:,3),'r') figure(4) for i = 1:3, u(:,i) = sign(sin(2*pi*fv(i)*t)); y(:,i) = lsim(sys1, u(:,i), t); end; subplot(311), plot(t,u(:,1),t, y(:,1),'r') subplot(312), plot(t,u(:,2),t, y(:,2),'r') subplot(313), plot(t,u(:,3),t, y(:,3),'r') %===========================================================|


44

Anexa 2 Codul pentru studiul derivatoarelor % seminar 3; exemplul 1: circuite derivatoare clc; clear; clf; % parametrii fizici: R = 10e3; R1 = 1e3; C = 100e-9; C1 = 5e-9; % sistemul D1 nu poate si simulat; T = R * C; % numai Bode pot fi trasate. % definirea sistemului D2: % ================================> T1 = R1 * C; if T1 > T, disp('Error 1'); break; end; num2 = [-T/T1 0]; den2 = [1 1/T1]; sys2 = tf(num2, den2); % paramteri de simulare: Te = T / 20 ; N = 100; t = (0:N-1)*Te; % axa timpului % valori analitice si ale Matlab: for i = 1:N, ha(i) = T/T1/T1*exp(-t(i)/T1); aa(i) = - T/T1 * exp(-t(i) / T1); end; hm = impulse(sys2,t); am = step(sys2,t); % comparatie: figure(1); subplot(221), plot(t,ha,t,hm,'r'); title('Raspunsul la impuls');grid subplot(222), plot(t,aa,t,am,'r'); title('Raspunsul la treapta');grid eroarea = sum(aa-am') % Caracteristicile Bode: omegaf = 1 / T ; omega = [omegaf/100:10:100*omegaf]; [M, P] = bode(sys2, omega); M = squeeze(M); P = squeeze(P); M_dB = 20*log10(M); subplot(223), semilogx(omega, M_dB); grid;title('Amplificarea'); subplot(224), semilogx(omega, P); grid; title('Faza'); %2). Derivatorul D3. % =================================> T1 = R1 * C; T2 = R* C1; num3 = [-T 0]; den31 = [T1 1]; den32 = [T2 1]; den3 = conv(den31, den32); sys3 = tf(num3, den3);


45

% valori analitice si ale Matlab: for i = 1:N, ha(i) = exp(-t(i)/T1)/T1 - exp(-t(i)/T2)/T2; aa(i) = -exp(-t(i)/T1) + exp(-t(i)/T2); end; ha = -T/(T2-T1) .* ha; aa =- T/(T2-T1) .*aa; hm = impulse(sys3,t); am = step(sys3,t); % comparatie: figure(2); subplot(221), plot(t,ha,t,hm,'r'); title('Raspunsul la impuls');grid; subplot(222), plot(t,aa,t,am,'r'); title('Raspunsul la treapta'); grid eroarea = sum(aa-am') % Caracteristicile Bode: omegaf = 1 / T ; omega = [omegaf/100:10:100*omegaf]; [M, P] = bode(sys3, omega); M = squeeze(M); P = squeeze(P); M_dB = 20*log10(M); subplot(223), semilogx(omega, M_dB); grid;title('Amplificarea'); subplot(224), semilogx(omega, P); grid; title('Faza'); % 3). Raspunsuri la diverse semnale: % ============================================ figure(3); NP = 4; %numarul de perioade pentru vizualizare TF = NP / (0.01*omegaf / 2 / pi); N = ceil(TF / Te); t=(0:N)*Te; omegav = [0.1*omegaf, omegaf, 10*omegaf] ; fv = omegav ./ 2 ./ pi; for i =1:3, u(:,i) = sin(2*pi*fv(i)*t); y(:,i) = lsim(sys3, u(:,i), t); end; subplot(311), plot(t,u(:,1),t, y(:,1),'r') subplot(312), plot(t,u(:,2),t, y(:,2),'r') subplot(313), plot(t,u(:,3),t, y(:,3),'r') figure(4) for i = 1:3, u(:,i) = sign(sin(2*pi*fv(i)*t)); y(:,i) = lsim(sys3, u(:,i), t); end; subplot(311), plot(t,u(:,1),t, y(:,1),'r') subplot(312), plot(t,u(:,2),t, y(:,2),'r') subplot(313), plot(t,u(:,3),t, y(:,3),'r')

%===========================================================|

46

Seminar 4 Reprezentari de stare Obiective: 1). Reprezentrari de stare ale sistemelor si circuitelor 2). Conversia modelelor fdt ecuatii de stare Exercitiul 1: Pentru circuitele RLC serie si paralel de mai jos, sa se scrie ecuatia diferentiala pentru modelul intrare-iesire, modelul de stare si sa se calculeze, prin simulare in Matlab, raspunsul la semnal treapta. Se considera valorile R= 100 Ohm, L = 0.1 uH, C=10 nF.

Solutie: Circuitul RLC serie este comandat in tensiune si este citit in curent, de obicei. Trasatura de baza a circuitului este rezonanta de curenti, astfel incat curentul prin circuit devine maxim la frecventa de rezonanta LC/10 . Se pot scrie ecuatiile de circuit:

)(/)( tidttduC C (1) Rtutututi CL /)()()()( (2)

)(/)( tudttdiL L (3) Considerand variabila de iesire )()( tuty C si variabila de intare u(t), rezulta ecuatiile diferentiale

Rty

dttdi

RL

RtudttdyC )()()(/)( (4)

22 )()()()(dt

tydR

LCRtu

Rty

dttdyC (5)

Rtu

Rty

dttdyC

dttyd

RLC )()()()(

2

2 (6)

LC

tuLC

tydt

tdyLR

dttyd )()()()(

2

2 , )()()()( 0012

2tubtya

dttdya

dttyd (7)

Sistemul fiind de ordinul 2 rezulta ca trebuie definite 2 variabile de stare. Considerand variabilele de stare )()(),()()( 21 titxtutytx C se obtin ecuatiile


47

)()()()(),()( 12221 txRtxtudttdxLtx

dttdxC (8)

sau

)()(),(1)()(1)(),(1)( 121221 txtytuLLRtxtx

Ldttdxtx

Cdttdx (9)

Matricele modelului de stare sunt:

01,/10

,//1

/10

CBA LLRL

C , D = [0]; (10)

Folosind codul de mai jos se obtin rezultatele din figura, in ceea ce priveste raspunsul la impuls. Se oberva ca modelul de stare si modelul inrare-iesire furnizeaza aceleasi valori pentru h(t). S-au reprezentat si starile circuitului, avand semnal treapta unitate la intrare.

clc; clear; clf; Ts = 1e-7; N = 50; t = (0:N-1) .* Ts; % 1. circuitul RLC serie: % ====================================> % R= 100 Ohm, L = 0.1 uH, C=10 nF. % x1 = uC(t); x2 = i(t); R=100 ; L = 0.1e-6; C =10e-9; a1 = R/L; a0 = 1/L/C; b0 = 1 / L / C; den = [1 a1 a0]; num = [b0]; sys=tf(num, den); % in descriere de stare: Am = [0 1/C; -1/L -R/L]; Bm=[0 1/L]'; Cm =[1 0]; Dm = [0]; sys_ss = ss(Am,Bm,Cm,Dm); % comparatie in h(t): ht = impulse(sys,t); hs = impulse(sys_ss,t); subplot(221), plot(t,ht); title('h(t) din ec.dif.') subplot(222), plot(t,hs); title('h(t) din ec.stare') % evolutia starilor: u = ones(1,N); [y,t,x] = lsim(sys_ss,u,t); % for state-space models only subplot(223), plot(t,x(:,1)); title('x1(t)'); subplot(224), plot(t,x(:,2)); title('x2(t)');

Seminar 4. Reprezentari de stare

48

Circuitul RLC paralel este comandat in tensiune iar marimea de iesire este tensiunea pe

bobina. Intrucat marimea de intrare este notata de obicei - cu u(t) iar aici semnalul de intrae este curent, s-au schimbat notatiile in ce priveste tensiunile. In loc de u(t) se va folosi v(t). Marimea de intrare este u(t)=i(t) si marimea de iesire este y(t)=vL(t). Se pot ecrie ecuatiile de circuit pentru ecuatia diferentiala, deci pentru o legatura intrare-iesire:

)()( titu , dt

tdiLty L )()( , )()()( tititi CL (1), (2), (3)

dttdv

Cti CC)(

)( , )()()( tvRtitv LLC (4), (5)

Rezulta

2

2

2

2

2

2 )()()()()()()()(dt

tydLCdt

tidLCRdt

tdiLdt

tvdLC

dttdiL

dttdi

Ldt

tdiLty LCC (6)

dttdiLty

dttdyCR

dttydLC

dttydLC

dttdyCR

dttdiLty )()()()(,)()()()( 2

2

2

2 (7)


49

dttdu

Cty

LCdttdy

LR

dttyd )(1)(1)()(2

2 ,

dttdubtya

dttdya

dttyd )()()()( 1012

2 (8)

Se aleg urmatoarele variabile de stare:

)()(),()( 21 tvtxtitx CL (9) Se pot scrie ecuatiile in marimi fizice pentru calculul derivatelor de stare

)()()(),()()(

,)()()( tiRtvtvtitidt

tdvCRtitv

dttdiL LCLL

CLC

L (10) si-n variabile de stare

)()()(),()()(,)()()( 1212121 txRtxtytxtudttdxCRtxtx

dttdxL (11)

)()()(),(11)()(),(1)()( 2112211 txtxRtytuCCtx

dttdxtx

LLRtx

dttdx (12)

Matricele modelului de stare sunt:

1,/10

,0/1/1/

RCC

LLR

CBA (13)

Prin simulare se obtin rezultatele din figura


50

Exercitiul 2: Sa se scrie modelul intrare-iesire, modelul de stare si sa se calculeze, prin simulare in Matlab, raspunsul la semnal treapta. Se considera valorile R1= 100 Ohm, R2 = 10 kOhm, L = 0.1 uH, C=10 nF.

Solutie: In sistemul fizic exist dou elemente acumulatoare de energie (o inductivitate i o capacitate), deci ordinul sistemului este n = 2. Modelul matematic se scrie utiliznd ecuaiile teoremelor lui Kirchhoff:

t

diC

Rtity0

122 )(1)()( , )()()( 21 tititi (1), (2)

1/)()()()( R

dttdiLtytuti

(3) Din (1) rezulta

dttdyCti )()(1 si

22

)()(R

tyti (4) si (5) Inlocuind in (3) se obtine:

22

2

1112

)()()()()()(R

tydt

tydCRL

Rty

Rtu

Rty

dttdyC (6)

121122

2

1

)(11)()()(R

tuRRL

RRty

dttdyC

dttyd

RLC

(7)

LCtu

LCRLRRty

dttdy

LR

dttyd 1)()()()(

2

2112

2 (8)

Cu forma generala

)()()()( 00122

tubtyadt

tdyadt

tyd (8.a) Modelul de stare. Fie variabilele de stare

)()();()()( 21 titxtutytx C (9)

Pentru scrierea ecuatiilor de stare se pot scrie relatiile:

22

)()()()()()(

Rtytitititi

dttdu

C CC (10)

si


51

)()()()( 1 tytiRtudttdiL (11)

Ecuatia de iesire: )()( 1 txty (12)

Considerand variabilele de stare se obtin ecuatiile

)(1)()(

22

11 txCCR

txdt

tdx , Ltutx

LR

Ltx

dttdx )()()()( 2112 , )()( 1 txty (13)

Cu parametrii

01,/10

,//1

/1/1

1

2

CBALLRL

CCR (14)

Observaie: Definirea vectorului de stare nu este unic. In exemplul analizat, s-au considerat ca variabile de stare curentul i(t) i tensiunea y(t). Este posibil s fie alese variabilele de stare n alt mod, de exemplu: )()(),()( 221 titxtitx . Se obtine modelul de stare

1 2

22 2

1 0; ;1 1

0

R RL L

LR

R C R C

A b c

(15)

Prin simulare se obtin rezultatele din figura.

Exercitiul 3: S se deduc ecuatia diferentiala si modelul de stare pentru circuitul din figura 3. Se cunosc: R1= 100 kOhm; R2 = 50; L = 0.1e-6; C = 10e-9;


52

Solutie: Sunt valabile ecuatiile

dttdiLtiRty )()()( 2 (1)

)()()( 21 tititi (2)

dt

tdydt

tduCtiR

tytuti )()()(,)()()( 21

1

(3),(4) Inlocuind (2),(3) si (4) in (1) se obtine:

dt

tdydt

tduCR

tytudtdL

dttdy

dttduC

RtytuRty )()()()()()()()()(

112 (5.a)

2

2

2

2

11112

)()()()()()()()()(dt

tyCdt

tudCdtRtdy

dtRtduL

dttdyC

dttduC

Rty

RtuRty (5.b)

)()()()()()()()()(

1

2

122

2

11

222

2tu

RR

dttdu

RL

dttduCR

dttudLCty

dttdy

RLty

RR

dttdyCR

dttyLC

(5.c)

2

2

12

1

2

1

22

12

2 )()()()(1)()(

dttudLC

dttdu

RLCRtu

RR

tyRR

dttdyCR

RL

dttyLC

(5.d)

2

2

1

21

1

2

1

21

1

212

2 )()()()()()(

dttud

dttdu

LCRCRRL

tuLCR

Rty

LCRRR

dttdy

LCRCRRL

dtty (5.e)

2

210012

2 )()()()()()(

dttud

dttdubtubtya

dttdya

dtty (5.f)

Modelul de stare. Numrul variabilelor de stare este n = 2. Fie variabilele de stare

)()(),()( 21 tutxtitx C (6) Se pot scrie ecuatiile

)()()()()()( 22 tiRtututiRtydttdiL C (7)

112 )()()()()()(

Rtutitititidt

tduC C

C (8) )()()( tututy C (9)

In variabile de stare

Figura 3:


53

)(1)(1)()( 2121 tuLtx

Ltx

LR

dttdx (10)

)()(1)( 211

12 txtx

Cdttdx

CR (11)

)()()( 2 tutxty (12) Cu parametrii

]1[,10,0/1

,/1/1

/1/

1

2

DCBA L

CRCLLR

(14)

Observatie: Alegand ca variabile de stare

)()(),()( 221 titxtitx (15)

1 11 2

1 10

; ( )1R C R C u u = UR R

LL L

x x (16.a)

122

0x

y R . ux

(16.b)

Prin simulare se obtin rezultatele din figura.

Exercitiul 4: Fie sistemul dinamic descris prin ecuatia diferentiala.

uuuyyyyyy 473526 )1()3()1()2()4()5()6(


54

unde iii dttydy /)()( . Sa se scrie modelul de stare in forma canonica controlabila.

Solutie: Se scrie ecuatia diferentiala in forma normala:

)3()1()1()2()4()5()6( 743526 uuuyyyyyy sau

)3(3

)1(100

)1(1

)2(2

)4(4

)5(5

)6( ubububyayayayayay La fel ca in metodologia genrala de conversie, prezentata la curs, se considera mai intai o ecuatie simplificata si apoi se aplica principiul suprapunerii efectelor. Ecuatia simplificata este:

uyayayayayay 0)1(1)2(2)4(4)5(5)6( Sistemul este de ordinul 6, deci rezulta 6 variabile de stare. Variabilele de stare sunt:

1122321 /)()(,...,/)()(,/)()(),()(

nnn dttydtxdttydtxdttdytxtytx Derivatele variabilelor de stare:

)(....)()()()()1(....)2()1()()(

)()(),...,()(),()(),()(

1322110

1210)(

1343221

txatxatxatxatunyayayayatuytx

txtxtxtxtxtxtxtx

nn

nn

n

nn

In raport cu modelul de stare descris in curs se obtin, prin identificarea coeficientilor, matricele:

,

100000

620153100000010000001000000100000010

100000010000001000000100000010

543210

BA

aaaaaa Prin aplicarea principiului (teoremei) suprapunerii efectelor, ecuatia de iesire:

)(....)()()()( 1322110 txbtxbtxbtxbty nn deci ]0[,007014543210 DC bbbbbb Solutie Matlab: >> den = [1 6 -2 0 1 -5 3]; >> num = [7 0 1 4]; >> [A,B,C,D ] = tf2ss(num, den); A = -6 2 0 -1 5 -3

B = 1


55

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

C = 0 0 7 0 1 4

D = 0

Se observa ca solutia Matlab corespunde unui vector de stare cu starile numerotate invers fata de solutia noastra.

Exercitiul 5: Fie fdt a unui sistem

)2)(3()1(

)()()(

ss

ssUsYsH

Sa se scrie modelul de stare in forma canonica modala, controlabila si observabila.

Solutie: Forma modala. Se descompune sistemul in fractii simple:

32)2)(3()1()(

s

Bs

Ass

ssH

;212

321;1

11

231

ss

sBss

sA

2

2

1

13

22

1)2)(3(

)1()(ps

rps

rssss

ssH

Sistemul este de ordinul 2, cu doi poli p1= -2 si p2 = -3. Avem doua variabile de stare iesiri ale filtrelor

21

)()()( 11 ssU

sXsH , 3

1)()()( 22 ssU

sXsH

Ecuatiile de stare, in s, sunt

)()(3)()()(2)(

2

1sUsXssXsUsXssX

Ecuatia de iesire:

)(2)(1)( 21 sXsXsY Rezulta matricele

]0[,21,11

,30

12

DCBA

Solutie Matlab: >> num = [1 1]; den1 =[1 3]; den2 = [1 2]; >> den = conv(den1, den2); >> sys = tf(num, den); >> [sys_ss] = canon(sys, 'modal') A = -3 0 0 -2

B = -3.6 -2.8

C = -0.55 0.35 D = 0


56

Forma controlabila. Se scrie fdt sub forma de produs a doi termeni:

)()(

)()(1

651

651

)2)(3(1)(

1

122 sY

sYsUsYs

sssss

ssssH

Pentru prima fractie se scrie:

)()(

651 1

2 sUsY

ss , )()(6)(5)( 111

2 sUsYssYsYs Se definesc variabilele de stare:

)()(),()( 1211 ssYsXsYsX Ecuatiile de stare:

)()()( 211 sXssYssX )(6)(5)()()( 121

22 sXsXsUsYsssX

Ecuatia de iesire rezulta din al doilea subsistem:

)()()()()()1()( 21111 sXsXssYsYsYssY

Rezulta matricele

]0[,11,10

,56

10

DCBA

Solutie Matlab: >> num = [1 1]; den1 =[1 3]; den2 = [1 2]; >> den = conv(den1, den2); >> sys = tf(num, den); >> [sys_ss] = canon(sys, 'companion') % forma controlabila A = 0 -6 1 -5

B = 1 0

C = 1 -4 D = 0

Forma observabila. Se scrie fdt sub forma:

)()(

651

)2)(3(1)( 2 sU

sYss

sss

ssH

1)(65)( 2 ssUsssY

)()()(6)(5)(2 SUssUsYsYssYs

)()(5)()(6)(1)(5)()( 2 sXsYsUsYsUssYsUssY Derivatele variabilleor de stare:


57

)()(5)()( 211 sXsXsUssX )(6)()( 12 sXsUssX

Ecuatia de iesire: )()( 1 sXsY Rezulta matricele

]0[,01,11

,0615

DCBA

Tema pentru acasa: 1) Sa se scrie modelele de stare in forma canonica modala, controlabila si observabila pentru sistemele descrise prin fdt.

)4)(3()2)(1()(,

)2)(1()( 21

sssssH

ssssH

Pentru fiecare model sa se deseneze schema de implementare analogica cu filtre si apoi cu integratoare. Sa se deseneze grafurile de fluenta corespunzatoare.

58

Seminar 5 Discretizarea sistemelor n timp continuu i evaluarea stabilitii sistemelor Obiective 1. Discretizarea sistemelor analogice

2. Analiza sistemelor prin evaluarea stabilitatii

1. Introducere 1.1. Discretizarea sistemelor cu timp continuu Pentru un sistem cu timp continuu dat, se cere deducerea unui sistem cu timp discret care s aproximeze caracteristicile dinamice ale sistemului cu timp continuu. Aceast problem apare atunci cnd se dorete implementarea numeric (soft) a unui sistem dat n realizare analogic. 1.1. Abordarea bazat pe ansamblul eantionator-extrapolator

Figura 1: Sistem cu timp continuu (a) schema de discretizare utiliznd ansamblul

eantionator-extrapolator (b)

EH z H s H sZ (1) 0). Pentru extrapolatorul de ordinul zero (cel mai rspndit) :

11 e 11s eT sH z H s z H ss Z Z (1.a) 1). Pentru extrapolatorul de ordinul unu :

2

11)(

s

seTeT

sTsHe

eE (1.b)

1.2. Abordarea bazat pe metoda Tustin. Transformarea biliniara care proiecteaz axa imaginar s j pe cercul de raz unitar 1z :

e esTz (2) 22

e

e

sTzsT

, 1

12 1

1e

zsT z

(3)

11

2 11e

zsT z

H z H s

(4)

Seminar 5. Discretizarea sistemelor i evaluarea stabilitii

59

Observaii: 1). Sistemul cu timp discret, obinut prin discretizarea cu metoda Tustin a unui sistem strict cauzal cu timp continuu, este un sistem la limit cauzal. 2). Relaia (2.a) poate fi utilizat pentru conversia : funcie de transfer cu timp discret funcie de transfer cu timp continuu. 3). Metoda Tustin genereaza un sistem in timp discret cu acelasi raspuns la impuls cu cel continuu. (Metodele zoh si foh genereaza sisteme discrte cu acelasi raspuns indicial cu cel al sistemului continuu). 4). Transformata biliniara, transformand semiplanul stang al planului s complex in interiorul cercului unitate in planul z, determina obtinerea unor filtre in timp discret care conserva stabilitatea. Un filtru stabil in timp continuu va fi stabil si-n timp discret. 5). Filtrele cu zerourile in semiplanul stang al lui s sunt de faza minima. Prin maparea realizata de transformarea Tustin se obtin deci si filtre in timp discret tot de faza minima, deci se conserva si aceasta proprietate. 6). Ca reguli generale, se pot retine urmatoarele indicatii de utilizare:

Extrapolatorul de ordinul zero 'foh' se foloseste pentru sisteme cu semnale lente (netede);

Extrapolatorul de ordinul unu 'zoh' se foloseste pentru sisteme cu semnale discontinue (impulsuri sau treapta);

7). Conversiile: sisteme cu timp continuu sisteme cu timp discret nu sunt niciodat unice. 8). Funcia Matlab care realizeaz conversia : model liniar cu timp continuu model cu timpdiscret este c2d(), a crei utilizare este: >> sysd=c2d(sys, Te, metoda) unde sys et sysd sunt sisteme cu timp continuu i, respectiv, cu timp discret, Te perioada de eantionare, metoda permite selecia procedurii de discretizare, dup cum urmeaz: zoh utilizarea extrapolatorului de ordinul zero; foh - utilizarea extrapolatorului de ordinul 1 (variant ameliorat); tustin utilizarea metodei Tustin.

1.2.Stabilitatea intrare-iesire (Intrare Marginita Iesire Marginta IMEM) Conditia necesara si suficienta ca sistemul sa fie stabil IMEM este ca radacinile polinomului Q(s) sa fie in seminplanul stang al planului complex. Pentru indeplinirea acestei conditii este necesar, nu insa si suficient, ca toti coeficientii polinomului Q(s) (numitorul functiei de transfer) sa fie strict pozitivi, niai ,...,2,1,0 Stabilitatea sistemelor analogice poate fi analizata utilizand criterii de stabilitate algebrice (tip Hurwitz) sau criterii de modul si faza (grafice) (tip Nyquist). Un sistem analogic, liniar si invariant intimp, avand functia de transfer H(s)=P(s)/Q(s), este strict stabil daca polinomul Q(s) este un polinom strict Hurwitz. Sistemul este stabil in sens larg (la limita de stabilitate) daca Q(s) este polinom Hurwitz in sens larg (are si zerorui simple pe axa jw). Pentru sistemele oarecare, descrise prin fdt H(s)=P(s)/Q(s), se folosesc


60

Fie

nnnnnn asasasasasasQ 13322110 ...)(

Caracterul Hurwitz al polinomului Q(s) se poate aprecia utilizand: 1.2.1). Criteriul algebric Hurwitz, care consta in calculul a n determinanti (n=grad(Q)) construiti din coeficientii lui Q(s); Un polinom Hurwitz are toti determinantii de ordin n,

0n . In sens larg, daca cel putin unul dintre ei este zero, 0k . Determinantul este:

n

n

a

aaaaaaaaaaaaaaaa

aa

...0000.....0...0...0...0...0...00

6789

4567

2345

0123

01

Regului de constructie: - Pe diagonala principala se trec coeficeintii polinomului Q(s), incepand cu a1; - La stanga fiecarui element de pe diagonala principala se plaseaza coeficientii care sunt

la dreapta in polinomul Q(s); - La dreapta fiecarui element de pe diagonala principala, se plaseaza coeficentii care

sunt la stanga in polinomul Q(s); - Spatiile libere se completeaza cu valori nule.

1.2.2). Testul Hurwitz. Acesta este un algoritm carea asociaza lui Q(s) functia rationala impara:

......

)()()( 3

31

1

220

nn

nn

sasasasa

sNsMs

Fractia se dezvolta in fractie continua prin impartiri succesive:

ssss

ss

ss

ssn

1...11

)(1

1)(

1)(32

1

22

11

1

Concluzii: 1). Daca toti coeficientii nkk ,...,2,1, sunt pozitivi atunci polinomul este strict Hurwitz; 2). Daca dezvoltarea se termina prematur, adica nu dureaza n etape, inseamna ca polinoamele M(s) si N(s) au un dizivor in comun. In aceasta situatie, daca toti coeficientii k pana la terminarea prematura sunt pozitivi si divizorul comun are zerouri simple pe axa (jw), atunci Q(s) este un polinom Hurwithz in sens larg. Daca cel putin un coeficient k este negativ sau divizorul comun are zerouri in SPD (semiplanul drept) sau multiple pe axa (jw), Q(s) nu este polinom Hurwitz. 1.2.3. Criteriul de stabilitate Nyquist (pentru sisteme cu reactie negativa)


61

Fie

0 1 d cH s

H sH s

(1) funcia de transfer a sistemului n bucl nchis, n care

c d rH s H s H s (2)

este funcia de transfer a buclei deschise (calea direct n serie cu calea de reacie).

Formularea criteriului Nyquist, dat n cele ce urmeaz, are la baz ipoteza c bucla deschis nu are poli n semiplanul drept, ns poate s aib poli pe axa imaginar. Aceast ipotez privind funcia de transfer cH s este ndeplinit n aproape toate aplicaiile din electronic. Formularea criteriului Nyquist, n ipoteza menionat, este urmtoarea :

Un sistem este stabil n bucl nchis atunci cnd caracteristica Nyquist aferent funciei de transfer n bucl deschis, cH j , las punctul de coordonate 1, 0j , numit punct critic, n partea stng, atunci cnd pulsaia variaz de la zero la . In fig. 2 sunt exemplificate caracteristici Nyquist pentru sisteme stabile i sisteme instabile (1, 2-sisteme stabile; 3, 4-sisteme instabile). Atunci cnd caracteristica Nyquist trece prin punctul critic, sistemul este instabil, ns la limita de stabilitate.

Figura 2: Caracteristici Nyquist pentru sisteme stabile (1,2) i instabile (3, 4)

Evaluarea rezervei de stabilitate Rezerva de stabilitate exprim distana dintre caracteristica Nyquist cH j i punctul critic 1, 0j . Concret, ea se definete prin doi indicatori, numii margine de faz i margine de amplificare. Fie caracteristica Nyquist a unui sistem stabil, reprezentat n fig. 3. Pe aceast caracteristic se definesc dou pulsaii : 1). pulsaia t , numit pulsaie de tiere, pentru care amplificarea buclei deschise este unitar, adic :

1 0c t c t cdB tH j A A (3) 2). pulsaia notat prin , la care defazajul buclei deschise este egal cu (sau 180 ) :

argc cH j (4)


62

Figura 3: Definirea marginii de amplificare i a marginii de faz pe caracteristica Nyquist

Fie cA amplificarea buclei deschise la pulsaia . Dac sistemul este stabil, atunci

1cA (vezi fig. 3). Marginea de amplificare este definit prin relaia

1

cm

A (5) Marginea de faz este unghiul format de semiaxa real negativ i vectorul c tH j (vezi fig. 3):

180 c t (6) La un sistem stabil sunt valabile relaiile:

1; 0; tm (7)

Dac sistemul este instabil, avem : 1; 0; tm , iar pentru un sistem la limita de stabilitate rezult :

1; 0; tm (8) Indicatorii rezervei de stabilitate pot fi definii i pe caracteristicile Bode. Marginea de amplificare exprimat n dB este

120log 20log 20log( )dB c cdBc

m m A AA

(9)

Relaiile (3), (6) i (9) dau regulile de determinare a marginii de amplificare i a marginii de faz pe caracteristicile Bode, aa cum se ilustreaz n fig. 4.a, pentru un sistem stabil, i n fig. 4.b, pentru un sistem instabil.


63

Figura 4: Marginea de amplificare i marginea de faz deduse pe caracteristicile Bode pentru un sistem stabil (a) i pentru un sistem instabil (b)

Observaie : 1). Criteriul Nyquist se aplic i pentru sistemele cu timp discret. Marginea de amplificare i marginea de faz se definesc n acelai mod. Singura diferen este c, n acest caz, caracteristcile de frecven se traseaz n domeniul [0, ] [0, / 2]S e . 2). Funcia Matlab care permite determinarea marginii de amplificare, a marginii de faz i a pulsaiilor sit este margin. Apelarea acestei funcii este margin(sys), unde sys este sistemul n circuit deschis (calea direct nseriat cu calea de reacie).

2. Exercitii Exercitiul 1 (discretizare): Fie un sistem analogic liniar si invariant in timp descris prin functia de transfer

3)(1 s

AsH , 321)(2

ss

ssH , 312)( 23

ss

ssH

a). Sa se calculeze functia de transfer in z, H(z), folosind extrapolatorul de ordin zero. b). Sa se calculeze functia de transfer in z, H(z), prin metoda transformatei biliniare (Tustin). c). Pentru fiecare din functiile obtinute sa se scrie ecuatia in diferente. d). Sa se simuleze in Matlab sistemele in timp continuu si in timp discret obtinute anterior, cu perioada de esantionare Te=0.01, reprezentandu-se: raspunsul la impuls, raspunsul la treapta unitara, si caracteristicile Bode. Sa se compare cu marimile corespunzatoare sistemului in timp continuu.

Solutie: Pentru primul sistem: a). Metoda extrapolatorului de ordin zero:

ssHZzsH

seZsHsHZzH

Tese

)()1()(1)()()( 12


64

3/,3/3)3(

)(21

21 ArArsr

sr

ssA

ssH

eTezzA

zzA

sAZ

sAZ

ssHZ 33133

3/3/)(

9704.0098.01

31

33

Documents

ASCS Seminar 2013