Astronomija i astrofizika II

BIJELI PATULJCI

BIJELI PATULJCI

- Zvijezde vrlo slabog sjaja: L 0.02 LSun

- Vrlo kompaktne zvijezde velike gustoće, veličine Zemlje (R 5000 km) i Sunčevih masa

- Poznate karakteristike bijelih patuljaka unutar 10 pc

OTKRIĆE

Friedrich W. Bessel prvi odredio udaljenost zvijezde metodom zvjezdane (trigonometrijske) paralakse (61 Cyg)

Sirius: p'' = 0.379'' d = 2.64 pc- položaj Siriusa se mijenja mimo vlastitog gibanja 1844. Sirius je dvojna zvijezda s periodom 50 god.

- nevidljiv pratioc otkriven 1862. (A. Clark)

Sirius

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson

IK Peg

SIRIUS A SIRIUS BM (MSun) 2.3 1.0 (1.053 0.028)L (LSun) 23.5 0.03 Teff 9910 K 27 000 KR (RSun) 0.008 (veličine Zemlje) (kg/m3) 3 · 109

- Sirius A je 1000 puta sjajniji od pratioca – Siriusa B- Sirius B otkriven u apastronu- W. Adams spektar Siriusa B (Mt. Wilson, 1915.):

Polumjer Siriusa B:

𝐿 = 4𝜋𝑅2𝜎𝑇𝑒𝑓𝑓4

𝐿 𝐿𝑆𝑢𝑛 = 𝑅2 𝑅𝑆𝑢𝑛𝑇𝑒𝑓𝑓

𝑇𝑆𝑢𝑛

4 𝑅 𝑅𝑆𝑢𝑛 =

𝑇𝑆𝑢𝑛

𝑇𝑒𝑓𝑓

2

𝐿 𝐿𝑆𝑢𝑛

Sirius B: R = 5500 km 0.008 RSun!!

Sirius B: Masa Sunca u volumenu veličine Zemlje!- Vrlo velika gustoća B = 3.0 · 109 kg/m3

gB = 4.6 · 106 m/s2

- Čajna žlica bijelog patuljka: 16 tona!!- Sila teža na površini bijelog patuljka je 470 000 puta

veća nego na Zemlji

Spektar: vrlo široke linije vodika uslijed visokog tlaka (širenje tlakom) zbog snažne gravitacijske sile na površini

VRSTE BIJELIH PATULJAKA

HR dijagram: usko područje ispod glavnog niza

Spektralni tip D:1. DA - 2/3 svih bijelih patuljaka

- vodikove apsorpcijske linije proširene tlakom2. DB - 8% svih bijelih patuljaka

- izostanak vodikovih linija, prisustvo apsorpcijskih linije helija

3. DC - 14%- odsustvo bilo kakvih linija, prisutan samo kontinuum

DQ (ugljik u spektru), DZ (metalne linije)

FIZIKALNI UVJETI U SREDIŠTU BIJELOG PATULJKA

Hidrostatska ravnoteža: 𝑑𝑃

𝑑𝑟= −

𝐺𝑀𝑟𝜌 𝑟

𝑟2

Konstantna gustoća: 𝑑𝑃

𝑑𝑟= −

𝐺4

3𝑟3𝜋𝜌 𝜌

𝑟2= −

4

3𝜋𝐺𝜌2𝑟

Rubni uvjeti uz P = 0 na površini (r = RWD):

𝑃 𝑟 =2

3𝑃𝐺𝜌2 𝑅𝑊𝐷

2 − 𝑟2

Tlak u središtu (r = 0):

𝑃𝑐 ≈2

3𝜋𝐺𝜌2𝑅𝑊𝐷

2 ≈ 3.8 ∙ 1022 N/m2

1.5 milijuna puta veći tlak nego u središtu Sunca!

Radijativni temperaturni gradijent:𝑑𝑇

𝑑𝑟= −

3

4𝑎𝑐

𝜅𝜌

𝑇3𝐿𝑟

4𝜋𝑟2𝑇𝑊𝐷 − 𝑇𝑐𝑅𝑊𝐷 − 0

= −3

4𝑎𝑐

𝜅𝜌

𝑇𝑐3

𝐿𝑊𝐷

4𝜋𝑅𝑊𝐷2

Za TWD ≪ Tc i 𝜅 = 0.02 m2/kg za elektronsko raspršenje (X = 0): 𝜅𝑒𝑠 = 1 + 𝑋 ∙ 0.02 m2/kg:

𝑇𝑐 ≈3 𝜅𝜌

4𝑎𝑐

𝐿𝑊𝐷

4𝜋𝑅𝑊𝐷

1/4 7.6 · 107 K

Vodik ne može biti prisutan ispod površine jer bi nastupilenuklearne reakcije luminozitet bi postao nekoliko redovaveličine veći od opaženog!

Izvor energije u bijelom patuljku NISU termonuklearne reakcije!

Središte bijelog patuljka mora biti građeno od čestica koje pri ovim temperaturama i gustoćama neće fuzionirati

- Bijeli patuljci nastaju u središtima zvijezda srednjih i malih masa (M < 8-9 MSun) pri kraju evolucije na AGB grani HR dijagrama

- Većina bijelih patuljaka je građena od ioniziranog ugljika i kisika produkt fuzije helija

Bijeli patuljak je središte AGB zvijezde nastalo otpuhivanjem vanjskih slojeva u fazi planetarne

maglice

DA tip: 0.42 – 0.70 MSun, maksimum na 0.56 MSun (masa središta potrebna za fuziju helija > 0.5 MSun

DA tip: 0.42 – 0.70 MSun, maksimum na 0.56 MSun (masa središta potrebna za fuziju helija > 0.5 MSun

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson(Data from Bergeron & Saffer, 1992, Ap. J., 394, 228

SPEKTAR I SASTAV POVRŠINE

DA tip: vodikov spektar vertikalna stratifikacija atmosfere zbog snažne gravitacije: teže jezgre su privučene dublje u atmosferu vodik u tankoj vanjskoj ovojnici na površini ispod koje je tanka helijeva ovojnica pa ugljik-kisik (CO) središte

Ostali tipovi bez prisustva vodika: efikasan gubitak vodikove ovojnice u fazi terminalnih AGB pulseva i supervjetra, konvektivno miješanje

PULSIRAJUĆI BIJELI PATULJCI

Bijeli patuljci s Teff 12 000 K traka nestabilnosti u HR dijagramu

- Pulsacijske periode P = 100 – 1000 s ZZ CetiDAV zvijezde A. Landolt (1968.)- pulsacije: neradijalni g-modovi između površinskih

slojeva vodika i helija polumjer se NE MIJENJA- Horizontalni pomaci male promjene sjaja zbog

promjene temperature

Mehanizam pulsacija (D. Winget):Zona parcijalne ionizacije vodikaZona parcijalne ionizacije helija bijeli patuljci viših

temperatura DBV zvijezde (Teff 27 000 K)

FIZIKA DEGENERIRANE TVARI

Hidrostatska ravnoteža u bijelom patuljku tlak idealnog plina i tlak zračenja nedostatni su za uravnoteženje gravitacijske sile!

Sir Ralph H. Fowler (1926.) tlak degeneriranog elektronskog plina Primjena Paulijevog principa isključenja na elektrone u bijelom patuljku

Sustav čestica plina: kvantna stanja opisana de Broglievimstojnim valovima (px, py, pz) i pripadajućim kvantnim brojevima

Paulijev princip isključenja: samo jedan fermion može zauzeti određeno kvantno stanje

Odvođenje energije sustavu snižavanje temperature fermioni zauzimaju sve niža kvantna stanja

T 0 K fermioni zauzimaju stanja od najnižeg prema višem dio fermiona se nalaze u pobuđenim višim stanjima: netermalno gibanje

Rezultat takvog netermalnog gibanja nastanak tlaka u fermionskom plinu - degeneracija

FERMIJEVA ENERGIJA (F): najveća energija koju elektron može imati u potpuno degeneriranom plinu pri T = 0 K

3D kutija dužine L elektronska valna funkcija kao stojnival:

𝜆𝑥 =2𝐿

𝑁𝑥; 𝜆𝑦 =

2𝐿

𝑁𝑦; 𝜆𝑧 =

2𝐿

𝑁𝑧Nx, Ny, Nz cjelobrojni kvantni brojeviDe Broglieva valna duljina:

𝑝 =ℎ

𝜆

𝑝𝑥 =ℎ𝑁𝑥2𝐿

; 𝑝𝑦 =ℎ𝑁𝑦2𝐿

; 𝑝𝑧 =ℎ𝑁𝑧2𝐿

;

Ukupna kinetička energija čestice:

𝜀 =𝑝2

2𝑚; 𝑝2 = 𝑝𝑥

2 + 𝑝𝑦2 + 𝑝𝑧

2

𝜀 =ℎ2

8𝑚𝐿2𝑁𝑥2 +𝑁𝑦

2 +𝑁𝑧2 =

ℎ2𝑁2

8𝑚𝐿2; 𝑁2 = 𝑁𝑥

2 +𝑁𝑦2 +𝑁𝑧

2

Ukupan broj elektrona = 2 x ukupan broj kvantnih stanja Nx, Ny, Nz faktor 2 zbog spina elektrona (ms = ½)N 'udaljenost' u N-dimenzionalnom prostoru (sfera)Ukupan broj elektrona:

𝑁𝑒 = 21

8

4

3𝜋𝑁3

Elektroni se nalaze u stanjima od N = 0 do N

𝑁 =3𝑁𝑒𝜋

1/3

𝜀𝐹 =ℏ2

2𝑚3𝜋2𝑛 2/3

𝑛 =𝑁𝑒

𝐿3 broj elektrona po jediničnom volumenu

UVJET ZA DEGENERACIJU

T > 0 K neka stanja s E > F biti će prazna jer će fermioni popuniti viša stanja zbog termalne energije Plin pri T > 0 K nikada nije potpuno degeneriran DJELOMIČNA DEGENERACIJA

Za vrlo visoke gustoće u bijelom patuljku potpuna degeneracija je dobra aproksimacija velika većina čestica osim onih s najvišim energijama imat će E < F

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson

Potpuno ionizirani plina:

𝑛𝑒 = broj elektrona po nukleonu ∙broj nukleona

volumen

𝑛𝑒 =𝑍

𝐴

𝜌

𝑚𝐻(1)

Z broj protona (elektrona) u atomskoj jezgri koju gradi bijeli patuljakA broj nukleona u atomskoj jezgri

𝜀𝐹 =ℏ2

2𝑚𝑒3𝜋2

𝑍

𝐴

𝜌

𝑚𝐻

2/3

𝜀𝐹 ∝ 𝜌2/3

Usporedba Fermijeve energije elektrona s prosječnom termalnom energijom elektrona:

Uvjet degeneracije:3

2𝑘𝑇 < 𝜀𝐹

Prosječan elektron ne može preći u slobodno više stanje s energijom E > F elektronski plin je degeneriran

3

2𝑘𝑇 <

ℏ2

2𝑚𝑒3𝜋2

𝑍

𝐴

𝜌

𝑚𝐻

2/3

𝑇

𝜌2/3<

ℏ2

3𝑚𝑒𝑘

3𝜋2

𝑚𝐻

𝑍

𝐴

2/3

= 1261 Km2/kg2/3 (za 𝑍

𝐴= 0.5)

Definiramo 𝒟 ≡ 1261 Km2/kg2/3

UVJET ZA DEGENERACIJU: 𝑻

𝝆𝟐/𝟑< 𝓓

Primjer: Koliko iznosi degeneracija u središtu Sunca i Siriusa B?

Sunce: Tc = 1.57 · 107 Kc = 1.527 · 105 kg/m3

𝑇𝑐

𝜌𝑐2/3

= 5500 Km2/kg2/3 > 𝒟

- Vrlo slaba degeneracija u Sunčevom središtu- Sunce će razviti degenerirano središte na RGB grani

helijev bljesak ugljik-kisik središte u AGB grani

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson (Data from Mazzitelli & D'Antona, 1986, Ap. J., 311, 762)

Sirius B: Tc = 7.6 · 107 Kc = 3 · 109 kg/m3

𝑇𝑐

𝜌𝑐2/3

= 37 Km2/kg2/3 ≪ 𝒟

- Kompletna degeneracija!!

TLAK ELEKTRONSKE DEGENERACIJE

1. Paulijev princip isključenja samo jedan elektron u 2. Heisenbergov princip neodređenosti:

∆𝑥∆𝑝𝑥~ℏ- Lokalizirani elektron ima veliku neodređenost u impulsu! lokalizirani elektroni imaju veći impuls: 𝑝min ≈ ∆𝑝

Ukupan tlak svih čestica s impulsom p i brzinom v:

𝑃 =1

3 0∞𝑛𝑝𝑑𝑣𝑑𝑝

np broj čestica s impulsom p do p+dp

Ako svi elektroni imaju sličan impuls (aproksimacija):

𝑃𝑒 ≈1

3𝑛𝑒𝑣𝑝 (2)

Kompletno degenerirani plin elektroni su vrlo lokaliziranii što je moguće gušće razmješteni gustoća je vrlohomogena: ne const.

Udaljenost između susjednih elektrona 1/ne3

Elektroni se moraju razlikovati (Paulijev princip): x ≲ udaljenost između susjednih elektrona

∆𝑥 ≈ 𝑛𝑒−1/3

∆𝑥∆𝑝𝑥 ≈ ℏ ⟹ 𝑝𝑥 ≈ ∆𝑝𝑥 ≈ℏ

∆𝑥≈ ℏ𝑛𝑒

13 (3)

3D plin ekviparticija energije, svi su smjerovi jednakopravni:

𝑝𝑥2 = 𝑝𝑦

2 = 𝑝𝑧2

𝑝2 = 𝑝𝑥2 + 𝑝𝑦

2 + 𝑝𝑧2 = 3𝑝𝑥

2

𝑝 = 3𝑝𝑥

𝑝 ≈ 3ℏ𝑍

𝐴

𝜌

𝑚𝐻

13

(4)

(1), (3), (4) u (2):

𝑃 ≈1

3𝑛𝑒

3ℏ

𝑚𝑒𝑛𝑒1/3

3ℏ𝑛𝑒1/3

𝑷 ≈ℏ𝟐

𝒎𝒆𝒏𝒆𝟓/𝟑

𝑷 ≈ℏ𝟐

𝒎𝒆

𝒁

𝑨

𝝆

𝒎𝑯

𝟓𝟑

Točan izrazi za potpuno degenerirani elektronski plin:

𝑷 =𝟑𝝅𝟐 𝟐/𝟑

𝟓

ℏ𝟐

𝒎𝒆𝒏𝒆𝟓/𝟑

𝑷 =𝟑𝝅𝟐 𝟐/𝟑

𝟓

ℏ𝟐

𝒎𝒆

𝒁

𝑨

𝝆

𝒎𝑯

𝟓𝟑

(5)

CO bijeli patuljak: 𝑍

𝐴= 0.5 Pe 1.9 · 1022 N/m2

Sirius B: Pe 3.8 · 1022 N/m2

HIDROSTATSKU RAVNOTEŽU U BIJELOM PATULJKU ODRŽAVA TLAK DEGENERIRANOG ELEKTRONSKOG

PLINA

CHANDRASEKHAROVA GRANICA

Chandrasekhar (1931.) postojanje najveće moguće mase bijelog patuljka

Bijeli patuljak je u središtu degeneriran (Pc = Pe):

𝑃𝑐 ≈2

3𝜋𝐺𝜌2𝑅𝑊𝐷

2

𝑃𝑒 =3𝜋2 2/3

5

ℏ2

𝑚𝑒𝑛𝑒5/3

2

3𝜋𝐺𝜌2𝑅𝑊𝐷

2 =3𝜋2 2/3

5

ℏ2

𝑚𝑒𝑛𝑒5/3

𝜌 =𝑀𝑊𝐷

43𝑅𝑊𝐷

3 𝜋

Pretpostavka: const.

Polumjer bijelog patuljka:

𝑅𝑊𝐷 ≈18𝜋 2/3

10

ℏ2

𝐺𝑚𝑒𝑀𝑊𝐷1/3

𝒁

𝑨

𝟏

𝒎𝑯

𝟓𝟑

1 MSun CO bijeli patuljak RWD 2900 km𝑀𝑊𝐷𝑅𝑊𝐷

3 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ⟹𝑴𝑾𝑫𝑽𝑾𝑫 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕.

𝑀𝑊𝐷 ∝1

𝑅𝑊𝐷3 masivniji bijeli patuljci su manji!!

𝝆 ∝ 𝑴𝑾𝑫𝟐

Elektroni u masivnijem bijelom patuljku moraju biti još gušće poslagani kako bi osigurali dovoljan tlak degeneriranog elektronskog plina za očuvanje ravnoteže- Povećanje mase smanjenje polumjera bijelog patuljka- Postoji granica na masu bijelog patuljka!

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson

Brzina elektrona (Sirius B):

𝑣 =3ℏ

𝑚𝑒

𝑍

𝐴

𝜌

𝑚𝐻

1/3

= 1.1 ∙ 108 m/s

- Za veće mase veća gustoća brzina elektrona bliska brzini svjetlosti!

- Potrebno je uzeti u obzir RELATIVISTIČKE EFEKTE!- Elektroni se gibaju sporije nego nerelativistički elektroni manji elektronski tlak manji polumjer masivnigbijelog patuljka nego što predviđa MV relacija

DINAMIČKA NESTABILNOST

Tlak degeneriranog elektronskog plina politropski oblik:

𝑃 = 𝐾𝜌5/3

𝑃 = 𝐾𝜌𝛾 ⟹ 𝛾 = 5/3

Za = 5/3 DINAMIČKA STABILNOST vračanje u ravnotežu uslijed male perturbacije (nerelativističkagranica)Relativistička granica: v c

𝑃 =3𝜋2 1/3

4ℏ𝑐

𝑍

𝐴

𝜌

𝑚𝐻

4/3

𝑃 = 𝐾𝜌𝛾 ⟹ 𝛾 = 4/3

Za = 4/3 DINAMIČKA NESTABILNOST gravitacijski kolaps degenerirane jezgre (supernova)

𝑃𝑐 ≈2

3𝜋𝐺𝜌2𝑅𝑊𝐷

2

𝜌 =𝑀𝑊𝐷

43𝑅𝑊𝐷

3 𝜋

Pc = P (relativistička granica) granica za dinamičku nestabilnost

3𝜋2 1/3

4ℏ𝑐

𝑍

𝐴

𝜌

𝑚𝐻

4/3

=2

3𝜋𝐺𝜌2𝑅𝑊𝐷

2

𝑴𝑪𝒉~𝟑 𝟐𝝅

𝟖

ℏ𝒄

𝑮

𝟑/𝟐𝒁

𝑨

𝟏

𝒎𝑯

𝟐

= 𝟎. 𝟒𝟒𝑴𝑺𝒖𝒏

Djelovanje efekata kvantne fizike, relativnosti i gravitacije na strukturu bijelog patuljka!

Chandrasekharova granica mase bijelog patuljka:MCh = 1.44 MSun

- Degenerirani elektronski plin ne ovisi o temperaturi!- Tlak idealnog plina i tlak zračenja ovise o temperaturi- Mehanička struktura bijelog patuljka ne ovisi o termičkim

svojstvima

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson

- Temperaturna neovisnost helijev bljesak: nema povećanja tlaka kada započne gorenje u helijevoj jezgri nema ekspanzije jezgre i pada temperature omogućuje porast temperature i naglo oslobađanje energije dok se ne ukloni degeneracija

HLAĐENJE BIJELIH PATULJAKA

- Velika većina zvijezdi završi kao bijeli patuljak- Odsustvo nuklearnih reakcija u unutrašnjosti polagano

hlađenje uz konstantni polumjer: gubitak termičke energije

- Brzina hlađenja određuje vrijeme života i vrijeme nastanka bijelog patuljka

- Određivanje povijesti nastanka zvijezda u galaksiji statistika temperatura ("zvjezdana arheologija")

PRIJENOS ENERGIJE

- U zvijezdama fotoni efikasno prenose energiju: srednji slobodni put fotona je puno veći od veličine atoma prijenos zračenjem

Bijeli patuljci: prijenos energije elektronima veliki srednji slobodni put elektrona jer je većina elektronskih stanja nižih energija popunjena:

PRIJENOS ENERGIJE VOĐENJEM ELEKTRONIMA

Elektronsko vođenje unutrašnjost patuljka je gotovo izotermnaSamo u tankom površinskom nedegeneriranom sloju temperatura je niža

Carroll, B.W., Ostlie, D.A., 2006, 'Introduction to Modern Astrophysics', Pearson

PRIJENOS ENERGIJE

- Veliki temperaturni gradijent uz površinu konvekcijske zone, miješanje i promjena spektra

Hidrostatska ravnoteža:𝑑𝑃

𝑑𝑟= −𝐺

𝑀𝑟𝜌

𝑟2= −𝜌𝑔

Površinski slojevi prijenos energije zračenjem:𝑑𝑇

𝑑𝑟= −

3

4𝑎𝑐

𝜅𝜌

𝑇3𝐿𝑟

4𝜋𝑟2

Površina: Mr Ms

Lr Ls

𝑑𝑃

𝑑𝑇=16𝜋𝑎𝑐

3

𝐺𝑀𝑠

𝐿𝑠

𝑇3

𝜅

Doprinos opacitetu (Kramersov zakon):

1. Vezano-slobodni prijelazi: 𝜅𝑏𝑓 =𝐴𝑏𝑓𝜌

𝑇3.5

2. Slobodno-slobodni prijelazi: 𝜅𝑓𝑓 =𝐴𝑓𝑓𝜌

𝑇3.5

𝐴 = 𝐴𝑏𝑓 + 𝐴𝑓𝑓

𝜅 =𝐴𝜌

𝑇3.5

𝑃𝑔 =𝜌𝑘𝑇

𝜇𝑚𝐻5 (vrijedi samo za površinu)

𝑑𝑃

𝑑𝑇=16𝜋

3

𝐺𝑀𝑠

𝐿𝑠

𝑎𝑐𝑘

𝐴𝜇𝑚𝐻

𝑇7.5

𝑃

Ms MWD; Ls LWD; A 0

𝑃 =4

17

16𝜋𝑎𝑐

3

𝐺𝑀𝑊𝐷

𝐿𝑊𝐷

𝑘

𝜅0𝜇𝑚𝐻

Dominiraju vezano-slobodni prijelazi:0 = 4.34 · 1021 Z(1+X) m2/kg

Uz (5)

𝜌 =4

17

16𝜋𝑎𝑐

3

𝐺𝑀𝑊𝐷

𝐿𝑊𝐷

𝜇𝑚𝐻

𝜅0𝑘

1/2

𝑇13/4 (6)

Prijelaz između nedegeneriranog površinskog sloja i izotermne degenerirane unutrašnjosti temperature Tc:

𝑇

𝜌2/3= 𝒟 ⟹ 𝜌 =

𝑇

𝒟

32

(7)

(7) u (6)

𝐿𝑊𝐷 =4𝒟3

17

16𝜋𝑎𝑐

3

𝐺𝑚𝐻

𝜅0𝑘𝜇𝑀𝑊𝐷𝑇𝑐

7/2

𝑳𝑾𝑫 = 𝑪𝑻𝒄𝟕/𝟐

(𝟖)

𝐶 =4𝒟3

17

16𝜋𝑎𝑐

3

𝐺𝑚𝐻

𝜅0𝑘𝜇𝑀𝑊𝐷

𝑪 = 𝟔. 𝟔𝟓 ∙ 𝟏𝟎−𝟑𝑴𝑾𝑫

𝑴𝑺𝒖𝒏

𝝁

𝒁 𝟏 + 𝑿

𝐿𝑊𝐷~𝑇𝑐7/2

; 𝐿𝑊𝐷~𝑇𝑒𝑓𝑓4 ⇒ 𝑇𝑒𝑓𝑓~𝑇𝑐

7/8

Površina bijelog patuljka sporije se hladi nego unutrašnjost!

Primjer: Temperatura u unutrašnjosti bijelog patuljka mase 1 MSun i luminoziteta 0.03 LSun

X = 0; Y = 0.9; Z = 0.1 za nedegeneriranu ovojnicu ( 1.4)

𝑇𝑐 =𝐿𝑊𝐷

𝐶

2/7

𝑇𝑐 =𝐿𝑊𝐷

6.65 ∙ 10−3𝑀𝑆𝑢𝑛

𝑀𝑊𝐷

𝑍 1 + 𝑋

𝜇

2/7

= 2.8 ∙ 107 K

Gustoća na dnu nedegenerirane ovojnice:

𝜌 =𝑇𝑐𝒟

3/2

= 3.4 ∙ 106 kg/m3

Nekoliko redova veličine niže od srednje gustoće bijelog patuljka 3 · 109 kg/m3

- Ovojnica je tanka i rijetka!

VRIJEME HLAĐENJA

Termalna energija bijelog patuljka: kinetička energija atomskih jezgara

Nedegenerirani elektroni ne mogu osloboditi energiju jer su sva niža stanja zauzeta!

Jednoliki homogen sastav broj jezgara 𝑁 =𝑀𝑊𝐷

𝐴𝑚𝐻

Termička energija U =3

2𝑁𝑘𝑇𝑐

𝑈 =𝑀𝑊𝐷

𝐴𝑚𝐻

3

2𝑘𝑇𝑐

Za Tc = 2.8·107 K i A = 12 (ugljik) U = 6 · 1040 J

Vremenska skala za hlađenje:

𝜏𝑐𝑜𝑜𝑙 =𝑈

𝐿𝑊𝐷=3

2

𝑀𝑊𝐷𝑘

𝐴𝑚𝐻𝐶𝑇𝑐5/2

cool 170 · 106 godina podcijenjeno!!

Luminozitet potječe od gubitka termičke energije jezgara:

𝐿𝑊𝐷 = −𝑑𝑈

𝑑𝑡

−𝑑

𝑑𝑡

𝑀𝑊𝐷

𝐴𝑚𝐻

3

2𝑘𝑇𝑐 = 𝐶𝑇𝑐

7/2

Za t = 0 s temperatura je T0

Temperatura jezgre bijelog patuljka kao funkcija vremena:

𝑇𝑐 𝑡 = 𝑇𝑜 1 +5

3

𝐴𝑚𝐻𝐶𝑇05/2

𝑀𝑊𝐷𝑘𝑡

−2/5

= 𝑇𝑜 1 +5

2

𝑡

𝜏0

−2/5

(9)

0 je vremenska skala hlađenja na početnoj temperaturi T0: 0 = cool u vremenu t0

(9) u (8)

𝐿𝑊𝐷 𝑡 = 𝐿𝑜 1 +5

3

𝐴𝑚𝐻𝐶2/7𝐿0

5/7

𝑀𝑊𝐷𝑘𝑡

−7/5

= 𝐿𝑜 1 +5

2

𝑡

𝜏0

−7/5

𝐿0 = 𝐶𝑇07/2

početni luminozitet u t = 0 s

Ugljični bijeli patuljak 0.6 MSunCrtkano – realističan račun (tanki površinski sloj vodika, helijev sloj iznad ugljika) usporava hlađenje za 15%

Winget et al., 1987, Ap. J. Lett., 315, L77

Luminozitet brzo opada na početku, kasnije sve sporije

KRISTALIZACIJA

Kristalizacija atomskih jezgara od središta prema površini pri luminozitetu LWD/L0 10-4

Nuklearne jezgre se kristaliziraju u KRISTALNU STRUKTURU pravilna struktura uslijed odbojnih elektrostatskih sila između jezgara minimizacija energije

Oslobađa se latentna toplina kristalizacije usporava se hlađenje!

Pri nižim temperaturama: koherentne vibracije u kristalu ubrzavaju hlađenje jer pospješuju prijenos energije

Hladna tamna sfera veličine Zemlje sastavljena od kristaliziranog ugljika i kisika

USPOREDBA S OPAŽANJIMA

Široke linije, velika površinska gravitacija otežano određivanje površinske temperature

Hlađenje pulsirajućeg bijelog patuljka:𝑑𝑃

𝑑𝑡∝

1

𝑇

DOV tip: 𝑃

𝑑𝑃/𝑑𝑡= 1.4 ∙ 106 godina (izmjereno) u

suglasnosti s teorijom!!

Hlađenje bijelih patuljaka povijest nastanka zvijezda u galaksiji

Winget et al., 1987, Ap. J. Lett., 315, L77

- Nagli pad broja (populacije) bijelih patuljaka niskih

luminoziteta: log𝐿𝑊𝐷

𝐿𝑆𝑢𝑛< −4.5

- Zvijezde se nisu kontinuirano stvarale u prošlosti!- Prvi bijeli patuljci nastali su prije 9.0 1.8 milijardi godina- Početak nastanka zvijezda u Mliječnom putu: prije 9.3

2.0 milijardi godina 3 milijarde godina kasnije nego starost Mliječnog puta određen iz starosti zvijezda u kuglastim skupovima