Audiencia - Ediasa · 4 CAPÍTULO 1 El modelo de programacioń lineal OBJETIVOS Despertar el intere´s por la metodolog´ıa de la optimización. Aprender a enfocar problemas reales

PROLOGO

Audiencia

Este libro tiene como objetivo principal servir de texto base para la asig-naturaProgramacion lineal y enteradel grado de Matematicas que se impar-te en la Universidad Nacional de Educacion a Distancia (UNED) de Espana.Esta dirigido tambien al lector interesado en una introduccion a los modelosde Programacion lineal y algunas de sus principales aplicaciones.

El planteamiento del texto tiene principalmente caractermatematico, ha-ciendo especial enfasis en los desarrollos teoricos y su base formal. Se suponeuna formacion matematica propia de quienes estan cursando el grado de Ma-tematicas. En concreto, son precisos los conocimientos deAlgebra lineal, Geo-metrıa analıtica y Analisis matematico obtenidos en los primeros semestres delgrado.

Contenidos

La Investigacion Operativaconstituye hoy en dıa una de las partes de lasMatematicas con mayor numero de aplicaciones. Aunque muchos de los resul-tados que actualmente se engloban dentro de esta materia sonconocidos desdeantiguo, puede decirse que el auge de la disciplina como parte diferenciadade las Matematicas es relativamente reciente, pues se remonta a mediados delsiglo veinte en las postrimerıas de la segunda guerra mundial. En un ambientede conflicto y con recursos escasos, muchos investigadores de diferentes cam-pos del saber se esforzaron en buscar la mejor manera de hacerfuncionar lossistemas, es decir, conjuntos de hombres y maquinas que actuaban coordinada-mente a fin de lograr un objetivo determinado. A este nuevo enfoque destinadoa optimizar la operativa de los sistemas contribuyeron de manera fundamentallas Matematicas, dando origen a una nueva rama que pronto sedesarrollo nota-blemente y permitio plantear nuevos problemas, junto con un amplio abanicode metodos de resolucion, aplicables en los mas diversoscontextos. Por ellono resulta extrano que en la formacion de los graduados universitarios en Ma-tematicas se considere fundamental el conocimiento de losprincipales meto-dos y tecnicas de Investigacion Operativa, junto con la vision practica acercade como aplicarlos en situaciones reales.

Entre las asignaturas de la materia Investigacion Operativa que se encuen-tran en el plan de estudios del grado de Matematicas de la UNED ocupa unlugar destacado laProgramacion lineal y entera. Sin duda, los modelos de pro-

IX

gramacion lineal son los modelos mas importantes de la Investigacion Operati-va. Varias razones avalan esta afirmacion. De ellas, podemos senalar la elegan-cia y solidez del planteamiento y desarrollo de las teorıasmatematicas que lossustentan, la existencia de potentes algoritmos numericos que resuelven pro-blemas de grandes dimensiones, la multitud de aplicacionesreales que encajandentro de dichos modelos, la posible utilizacion de los mismos como subrutinaen otros modelos de Investigacion Operativa y otras muchas.

El programa de la asignaturaProgramacion lineal y enteracomprende lostemas que se consideran fundamentales para comprender con profundidad di-chos modelos. El estudio se estructura en tres grandes apartados: planteamien-to y solucion teorica del problema, algoritmos numericos de resolucion y apli-caciones practicas de los mismos. La extension y profundidad de la materia seajusta a los condicionamientos derivados de la ubicacion de la asignatura en elplan de estudios del grado de Matematicas.

En la primera unidad didactica se tratan los aspectos generales de los pro-blemas de optimizacion, exponiendo diversas consideraciones sobre el procesocompleto de un estudio de optimizacion. Luego se estudia desde el punto devista teorico el problema de programacion lineal, fundamentado en el analisisconvexo.

La segunda unidad didactica se dedica a analizar aquellos aspectos que tie-nen que ver con la resolucion numerica del problema de programacion lineal.En concreto, se estudia con detenimiento el algoritmo del simplex y sus prin-cipales variantes: la forma revisada, el metodo para el tratamiento de variablesacotadas y el algoritmo de descomposicion. En los desarrollos teoricos se haceuso de la teorıa de la dualidad que se incorpora tambien a launidad didacti-ca, incluyendo el algoritmo dual del simplex. Para concluir, se abordan diver-sas cuestiones relativas al analisis de la solucion optima estructuradas en tresepıgrafes: postoptimizacion, analisis de sensibilidad y analisis parametrico.

Finalmente, en la tercera unidad didactica se presentan varias aplicacionesde los modelos de programacion lineal, en particular, el problema de progra-macion lineal entera, el problema de transporte y el problema de asignacion.La presentacion de los mismos responde a un esquema comun:planteamientodel problema, estudio de la solucion teorica y desarrollode algoritmos para laresolucion numerica.

Metodo de estudio

El texto esta concebido para el estudio individual, segunla metodologıapropia de la ensenanza a distancia. Cada tema se desarrollade manera auto-suficiente, motivando los conceptos y resultados introducidos y presentandoejemplos de los mismos. Las demostraciones y ejemplos se exponen con de-talle, deteniendose incluso en aspectos elementales, conobjeto de facilitar lomas posible la comprension del texto en las primeras lecturas. Es aconsejableleer el texto de manera activa, reflexionando sobre los problemas planteados

X

y tratando de adelantarse a la solucion de los mismos. Esta recomendaciones especialmente util para la lectura de los ejemplos. Al finalizar cada unidaddidactica se incluye un breve conjunto de problemas de autoevaluacion quepermiten comprobar tanto el grado de asimilacion de los conocimientos co-mo el nivel de desarrollo de las habilidades practicas que persigue el estudiode la asignatura. Aunque se presentan unas indicaciones sucintas de la solu-cion de los mismos, es recomendable realizar un detenido analisis de dichosproblemas.

Agradecimientos

La composicion tecnica del libro se ha realizado medianteel software TEX,utilizando el formato LATEXy diversos comandos desarrollados por el autor.En la preparacion del original ha sido inestimable la colaboracion de EugenioTranchero a quien hacemos constar nuestro agradecimiento.

La presente edicion del libro recoge la correccion de las erratas adverti-das en la primera edicion, ası como diversas sugerencias ymejoras debidas,principalmente, a los estudiantes de la Universidad Nacional de Educacion aDistancia, a quienes hacemos constar nuestro agradecimiento.

Madrid, Diciembre de 2016.

XI

UNIDAD DIDACTICA I

El modelo de programacionlineal

Introduccion 3

INTRODUCCION

Los modelos matematicos de optimizacion constituyen hoyen dıa uno delos campos de las matematicas con mayor numero de aplicaciones. Ası, pro-blemas de planificacion de la produccion, transporte de mercancıas, asignacionde tripulaciones, gestion de inventarios, organizacionde lıneas de espera, man-tenimiento y reemplazamiento de equipos, etc. son solo unabreve muestra dealgunos de los campos en que se aplican con exito los modelosmatematicosde optimizacion.

George B. Dantzig(1914,2005)

La presente unidad didactica comienza con un amplio apartado en que sepresentan los modelos matematicos de optimizacion. De unmodo general, elobjeto de esta rama de las Matematicas es estudiar el mejor modo de hacerfuncionar unos entes que se denominan sistemas, por lo que esnecesario co-menzar con algunas consideraciones basicas sobre dichos sistemas, los mode-los para su representacion y su tipos, hasta llegar a la nocion de modelo deoptimizacion matematica. Estas ideas, expuestas bajo elpunto de vista de laoptimizacion, sintetizan en realidad el modo general de proceder de los mode-los matematicos, por lo que son de gran interes para comprender el alcance delas matematicas para resolver problemas reales.

Uno de los modelos matematicos de optimizacion mas utilizados es el mo-delo deprogramacion lineal. Su paternidad se debe al estadounidense GeorgeDantzig (1914, ), quien en las postrimerıas de la Segunda guerra mundial con-tribuyo de manera notable a la historia de las Matematicascon elmetodo delsimplexpara la solucion de problemas de programacion lineal. Actualmente,la programacion lineal presenta un desarrollo muy importante, hasta el puntode haberse convertido en una de las herramientas matematicas con un cam-po de aplicacion mas amplio. Los modelos de programacionlineal se utilizanpara estudiar sistemas en areas tan dispares como la industria, la agricultura,el transporte, la economıa o las ciencias sociales. Su exito radica tanto en susencillez matematica, como en la posibilidad de disponer de programas de or-denador con capacidad para resolver de manera eficiente problemas con ungran numero de variables y de restricciones.

El estudio comienza con la presentacion del modelo y su solucion grafica,que permite ilustrar intuitivamente el problema de programacion lineal. A con-tinuacion se incluye un apartado dedicado a estudiar aquellas propiedades delos conjuntos convexos que sirven de base teorica para caracterizar las solu-ciones optimas del problema de programacion lineal. Parafinalizar la unidaddidactica, se estudia la forma general del problema y se desarrolla la solucionteorica del mismo mediante la aplicacion de los resultados de convexidad pre-viamente obtenidos.

4 CAPITULO 1 El modelo de programacion lineal

OBJETIVOS

Despertar el interes por la metodologıa de la optimización.

Aprender a enfocar problemas reales como modelos de optimizacion.

Conocer el modelo de programacion lineal.

Saber resolver teoricamente el problema de programacionlineal.

CONTENIDOS

1.1 Modelos de optimizacion1.1.1 Optimizacion, sistemas y modelos

1.1.1.1 Sistemas1.1.1.2 Modelos

1.1.2 Modelos matematicos de optimizacion1.1.2.1 Analisis del sistema1.1.2.2 Formulacion del modelo1.1.2.3 Solucion del modelo1.1.2.4 Validacion del modelo1.1.2.5 Puesta en practica de la solucion

1.1.3 Elementos de un modelo matematico de optimizacion1.1.3.1 Funcion objetivo1.1.3.2 Variables1.1.3.3 Restricciones1.1.3.4 Datos1.1.3.5 Solucion

1.1.4 Planteamiento de un modelo de programacion matematica1.1.4.1 Caso practico: un modelo de inversion1.1.4.2 Formulacion general del problema de optimizacion

matematica

1.2 El problema de programacion lineal1.2.1 Hipotesis de la programacion lineal

1.2.1.1 Formulaciones equivalentes1.2.2 Ejemplos de problemas de programacion lineal

1.2.2.1 Problema de planificacion de la produccion1.2.2.2 Problema de la dieta1.2.2.3 Problema de los patrones de corte1.2.2.4 Problema de planificacion de los turnos del servicio

de autobuses1.2.2.5 Problema de programacion continua de la produc-

cion1.2.2.6 Problema de planificacion de la produccion con con-

diciones no lineales

Introduccion 5

1.2.2.7 Problema de control de la contaminacion1.2.3 Solucion grafica del problema de programacion lineal

1.2.3.1 Situaciones especiales en los problemas de progra-macion lineal

1.3 Conjuntos convexos1.3.1 Definiciones y resultados basicos1.3.2 Propiedades topologicas de los conjuntos convexos1.3.3 Separacion y soporte de conjuntos convexos

1.3.3.1 Soporte de conjuntos convexos en puntos frontera1.3.3.2 Teoremas de separacion de conjuntos convexos

1.3.4 Conjuntos poliedricos1.3.4.1 Puntos extremos y direcciones extremas1.3.4.2 Caracterizacion de puntos extremos y direcciones

extremas1.3.5 Representacion de conjuntos poliedricos

1.4 Solucion teorica del problema de programacion lineal

Modelos de optimizacion 7

1.1 Modelos de optimizacion

1.1.1 Optimizacion, sistemas y modelos

Los seres que disfrutan de libertad de eleccion eligen siempre lo mejor,segun su criterio y dentro de sus posibilidades. Este principio de comporta-miento esta profundamente enraizado en la naturaleza: lasplantas buscan laluz, los animales los pastos mas fecundos y los hombres persiguen obtener sumaxima utilidad. Claro esta que lo que se entiende por mejor dependera delsujeto que elige, de las circunstancias, etc., pero hay que admitir que los sereslibres son seres que toman decisiones optimas.

De un modo general, un problema de decision optima se presenta cuando undecisor, —individuo, grupo, institucion— tiene que elegir entre diversas alter-nativas, disponiendo para ello de un determinado criterio para comparar dichasalternativas. El objetivo del decisor es encontrar la solucion del problema, esdecir, la alternativa que resulte mejor segun el criterio.

EJEMPLO 1.1 Un ejemplo clasico de problema de decision optima es el denomina-do problema de seleccion de la cartera. En este problema el decisor es un individuo,o una institucion financiera, que dispone de un capital que desea invertir de la mejormanera posible. Las alternativas son los diferentes activos que puede encontrar en elmercado: letras del tesoro, acciones, bonos, pagares, inmuebles, metales preciosos,antiguedades, objetos de arte, etc. Como criterio para comparar las alternativas puedeutilizar la rentabilidad que producen, y buscar inversiones de rentabilidad maxima.Desde otro punto de vista, puede considerar como criterio decomparacion el riesgoque presenta la inversion, y buscar inversiones de mınimoriesgo. Con frecuencia, lasinversiones de alta rentabilidad suelen llevar aparejado un alto riesgo, por lo que laidea de conjugar ambos criterios simultaneamente resultainaplicable.

Como podemos vislumbrar en el ejemplo anterior, plantear y resolver unproblema de decision optima puede ser muy complejo. Por ello, al enfrentarsecon un problema de decision optima, el decisor suele recurrir a su experiencia,al consejo de expertos, etc., intentando una aproximacioncualitativa al plan-teamiento y solucion del problema. Pero, cuando el problema presenta unasciertas caracterısticas, el metodo mas apropiado para el planteamiento y solu-cion es el metodo cientıfico. Este es el metodo que utilizan las Matematicaspara resolver los problemas de decision optima.

1.1.1.1 Sistemas

Los problemas de decision optima tienen como marco la denominadaTeo-rıa de sistemas. Precisemos que se entiende por sistema.

SISTEMA Definicion 1.1. Un sistemaes un conjunto dehombresy maquinasqueactuan de modo interactivo en un determinado ambito.

En la definicion anterior tanto la palabrahombrecomo la palabramaquinatienen un significado amplio, mas alla de su sentido literal. Hombre puede

8 UNIDAD DID ACTICA 1 El modelo de programacion lineal

ser un individuo, un grupo, una institucion, un gobierno, etc.; por su partemaquina puede ser un simple ingenio mecanico que ejecuta una cierta tarea, ouna estructura social compleja que responde a unas reglas deconducta comun-mente aceptadas.

EJEMPLO 1.2 Un ejemplo de sistema es el denominadosistema economico. Esta in-tegrado por los diferentes agentes economicos que persiguen el objetivo de obtener elmayor bienestar social. Como hombres que forman parte del sistema pueden consi-derarse los individuos, las empresas, las entidades financieras, las multinacionales,los gobiernos, etc., etc.; como maquinas que actuan en el sistema pueden citarse loselementos mecanicos que utilizan las empresas para producir bienes, los productos fi-nancieros: cuentas corrientes, medios de pago, creditos,etc., las disposiciones legales,los impuestos y aranceles, los mercados bursatiles, las diferentes monedas, el tiempometeorologico, el azar, y un sin fin de elementos que intervienen de manera directao indirecta en el resultado de cada una de las decisiones de caracter economico quepueden tomar los hombres.

La actuacion de los hombres sobre las maquinas y la respuesta de estasproduce determinados efectos en los sistemas. El objetivo consiste en encon-trar la mejor manera de disenar y operar el sistema. El metodo que empleaes el metodo cientıfico: observacion del sistema, formulacion de teorıas so-bre el comportamiento del sistema, evaluacion de dichas teorıas y obtencionde consecuencias para poder tomar decisiones que aprovechen al maximo losrecursos del sistema.

1.1.1.2 Modelos

La observacion de un sistema puede llevarse a cabo experimentando direc-tamente sobre el. Las ventajas de la experimentacion directa son evidentes: lasituacion observada es la situacion real, los resultadosobtenidos son fiables,precisos y se interpretan facilmente. Sin embargo, no está exenta de inconve-nientes: la manipulacion directa del sistema puede comportar riesgos, la expe-rimentacion puede ser cara, lenta e incluso imposible, el numero de alternativasque pueden examinarse es limitado, etc.

Como alternativa a la observacion directa de un sistema cabe realizar unestudio de un modelo del sistema.

MODELO Definicion 1.2. Un modeloes una representacion aproximada de un siste-ma real.

Un modelo recoge las caracterısticas esenciales de un sistema y se convierte enel objeto de estudio. Las ventajas e inconvenientes de utilizar un modelo parala observacion de un sistema son la otra cara de la moneda de las detalladas enel caso de la experimentacion directa. Trabajar con modelos es mas economi-co y rapido, permite evaluar un mayor numero de alternativas y no entranariesgos para el sistema. Como contrapartida, se pierde precision, fiabilidad, losresultados pueden ser de interpretacion confusa y, principalmente, puesto quelo que se observa es una aproximacion del sistema real, los resultados seran


relevantes en tanto en cuanto el modelo capte los aspectos clave del sistemareal.

Tipos de modelos

Los modelos pueden clasificarse en dos amplias categorıas:

Modelos fısicos, en los que la representacion del sistema es tangible,material, como las maquetas y los prototipos.

Modelos formales, en los que la representacion del sistema se obtienemediante las herramientas que los hombres han desarrolladopara la abs-traccion: descripciones verbales, dibujos, logica y matematicas; comolos esquemas, los lenguajes de computador y las formulas matematicas.

EJEMPLO 1.3 Para observar un sistema de comunicaciones ferroviarias, puede di-senarse una maqueta que replique los diferentes modelos detren, estaciones, calculara escala los tiempos de viaje, etc. y estudiar la respuesta del sistema en diferentessituaciones; serıa un modelo fısico. Alternativamente,se puede disenar un programade computador que simule los elementos anteriores; serıa un modelo formal.

1.1.2 Modelos matematicos de optimizacion

Los modelos formales para resolver los problemas de decisión optima sonlos modelos matematicos de optimizacion.

MODELO

MATEMATICO DE

OPTIMIZACION

Definicion 1.3. Un modelo matematico de optimizaciones un objetoformal cuyos elementos son:

Un conjunto devariables, cuyos valores son numeros reales y sirvenpara representar cada una de las alternativas del sistema.

Un conjunto derestricciones, que tienen la forma de igualdades odesigualdades, que ligan las variables y sirven para representar lasrelaciones entre estas e incluir las condiciones del sistema.

Una funcion objetivo, que depende de los valores de las variables,toma valores en el conjunto de los numeros reales y sirve para com-parar las alternativas.

La finalidad del modelo es encontrar, si existen, aquellos valores de lasvariables que, verificando todas las restricciones, dan el valor optimo de lafuncion objetivo.

La elaboracion y utilizacion de un modelo matematico de optimizacion pararepresentar y operar un sistema real es una tarea compleja. Para llevarla a caboson necesarias diversas fases que se esquematizan en la figura 1.1:analisisdelsistema,formulaciondel modelo,soluciondel modelo,validaciondel modelo


Mundo real

Sistema real

Sistema realsimplificado

MODELO MATEMATICO

CONCLUSIONES SOBRE EL MODELO

CONCLUSIONES SOBRE EL SISTEMA REAL

MODELO ADECUADONO

SI

PUESTA EN PRACTICA DE LA SOLUCION

Formulacion

Solucion

Validacion

ReformulacionAnalisis

Figura 1.1: Fases del desarrollo de un modelo matematico para representar un sistema real.

y puesta en practicade la solucion. Vamos a describir brevemente cada una deestas fases.

1.1.2.1 Analisis del sistema

El punto de partida es constatar la existencia de un sistema real cuyo funcio-namiento puede ser mejorado y vislumbrar las posibles vıasde actuacion paraconseguirlo. Puesto que cualquier sistema real puede considerarse un subsis-tema de otro mas complejo, es necesario comenzar por acotarel campo deactuacion. Ademas, a fin de obtener un modelo manejable, hay que limitarse atener en cuenta unicamente aquellos aspectos que son relevantes para el estudioque se pretende realizar. Esto conduce en la practica a lo que se puede llamarunsistema real simplificadoque es el que realmente se somete a observacion.

EJEMPLO 1.4 Supongamos que el sistema objeto de estudio es una empresa que fa-brica un producto de consumo. El empresario esta interesado en tomar decisiones queconduzcan al funcionamiento optimo de la empresa. Hay muchas decisiones que afec-tan a dicho funcionamiento optimo, pero cuantos mas aspectos se contemplen mayorsera la complejidad del modelo que habrıa que desarrollar. Supongamos, para simpli-ficar, que el interes del empresario se reduce a fijar el precio de venta de cada unidadde producto. En este caso, es natural considerar que la optimizacion consiste en obte-ner el maximo beneficio. Ello puede, inicialmente, hacer pensar que hay que vender


el producto al mayor precio posible; pronto se comprende quecuanto mayor sea elprecio, menos unidades se venden; por tanto, ademas del precio, hay que considerartambien el numero de unidades vendidas. Admitamos que la empresa ha realizadounos estudios de mercado, que le permiten suponer que el producto se dirige, poten-cialmente, an clientes y que el numero de unidades vendidas estara relacionado conel precio del producto. Todas estas consideraciones constituyen lafase de analisis delsistema.

1.1.2.2 Formulacion del modelo

El paso siguiente es convertir el sistema real simplificado en un objeto ma-tematico, es decir, describir el sistema mediante variables, funciones, ecuacio-nes, igualdades, etc. Esta fase es muy importante y debe abordarse con especialcuidado. En esta fase se toman, practicamente, todas las decisiones tecnicasque afectaran a la viabilidad del modelo. La utilidad de un modelo matemati-co para analizar el comportamiento de un sistema real resideen la habilidaddel disenador del modelo para traducir, de manera adecuada, la realidad a unproblema matematico que se pueda resolver. En este sentidocabe hablar delarte de modelar, es decir, disenar modelos matematicos supone ciertas cuali-dades artısticas ademas de conocimientos tecnicos. La mayor parte del exitoen la aplicacion de la Investigacion Operativa a sistemasreales descansa en laposibilidad de disponer de un modelo matematico adecuado.

EJEMPLO 1.5 Continuando con el ejemplo anterior, abordamos la fase de formula-cion de un modelo matematico para el problema de la empresa. Podemos representarlos aspectos relevantes del sistema mediante los siguientes entes matematicos:

a) Variables:El modelo pretende determinar el precio unitario del producto y elnumero de unidades vendidas. Podemos llamarp al precio yv al numero deunidades vendidas. Estas son las variables del modelo: cadapar de valoresp,vsignifica una posible alternativa del sistema.

b) Restricciones:

• Podemos considerar quep y v estan relacionados de la manera siguiente:si el producto se regalase, es decir, si tuviese un precio igual a cero, todoslos clientes lo adquirirıan; mientras que, a medida que aumenta el pre-cio, el numero de compradores disminuye proporcionalmente, de formaque por cada unidad de aumento de precio, el numero de ventasdisminu-ye ena unidades, dondea es un numero real positivo. Admitiendo estahipotesis y dado que el mercado potencial es den clientes, obtenemos lasiguiente restriccion de igualdad que liga las variablesv y p:

v = n− ap.

• Una condicion natural que podemos imponer a las variablesp y v esque tomen valores no negativos, ya que no tendrıa sentido real un preciomenor que cero, ni un numero de unidades negativo. Entonces, podemosintroducir en el modelo las siguientes restricciones de desigualdad

p ≥ 0, v≥ 0


c) Objetivo: El objetivo de la empresa es alcanzar el maximo beneficio posible.Consideraremos que la funcion que da el beneficio,f (v, p), es igual al productodel numero de unidades vendidas por el precio de cada una, esdecir

f (v, p) = vp

Con este planteamiento el estudio del sistema puede reducirse al estudio del siguienteproblema o modelo matematico:

Maximizar f (v, p) = vp

sujeto av+ ap = n

p,v≥ 0

p,v ∈ IR

1.1.2.3 Solucion del modelo

Una vez planteado el modelo, hay que encontrar su solucion.Para ello hayque utilizar las herramientas matematicas precisas: sistemas de ecuaciones, de-rivacion, metodos para buscar maximos, combinatoria, calculo de probabilida-des, estadıstica, etc.Esta es la fase en la que se aplican las tecnicas propiamen-te matematicas, al objeto de resolver el problema matematico planteado. Dehecho, en esta fase se puede prescindir del significado real de los objetos ma-tematicos que se estan utilizando. Los resultados que se obtengan seran validosporque son consecuencia logica de la teorıa matematica,llegando a conclusio-nes que son validas desde el punto de vista matematico. Ello no quiere decirque tengan que ser validas para el sistema real, como comentaremos en la fasesiguiente.

EJEMPLO 1.6 Como hemos visto en el ejemplo anterior, para encontrar el preciooptimo de venta del producto hay que encontrar el maximo dela funcion f (v, p) = vp.Teniendo en cuenta la restriccion de igualdadv = n−ap, podemos sustituir este valordev en la expresion def , resultando

f (v, p) = vp = (n− ap)p = np− ap2

de forma que la funcion objetivo es ahora unicamente una funcion dep, que podemosdenotar, abusando del lenguaje,f (p). Tenemos ahora que encontrar el valor maximode f (p). Para ello hay que encontrar los valores en que se anula la primera derivadade la funcion. Esta primera derivada es:

f ′(p) = n−2ap.

Entonces hay que resolver la ecuacion enp

n−2ap = 0


La solucion de la ecuacion anterior es:

p =n2a

.

Este valorp es efectivamente un maximo def (p), ya que la derivada segunda def

f ′′(p) = −2a

es menor que cero, pues hemos supuesto quea es un numero positivo. Ademaspverifica la restriccion de desigualdad del modelo, ya quep ≥ 0, porquen y a son

positivos. La solucion del modelo indica que el precio optimo del producto esn2a

.

Para este precio, el numero de unidades vendidas previsto por el modelo es:

v = n− ap = n− an2a

=n2

que tambien cumple la restriccion de desigualdad,v≥ 0, al sern positivo, y el benefi-cio que alcanza la empresa es

f (v, p) =n2

n2a

=n2

4a

1.1.2.4 Validacion del modelo

Como se senalo en la fase anterior, con la solucion del modelo matematicono se da por finalizado el estudio del sistema. Una vez encontrada la solucionhay que contrastar la validez de los resultados obtenidos con el sistema real. Silas conclusiones logicas que se derivan de los analisis matematicos son com-patibles con los resultados que se observan en la realidad, podemos confiaren que el modelo disenado es adecuado para describir el sistema. Pero si seobservan discrepancias importantes entre lo previsto por las conclusiones delmodelo y el sistema real, hay que pensar que el modelo no es apropiado parael sistema estudiado y hay que revisarlo, o sea, hay quereformularel mode-lo matematico. Este ciclo formulacion-solucion-validacion ha de efectuarse,posiblemente, varias veces hasta conseguir un modelo idoneo para el sistema.Cuando se dispone de informacion sobre el funcionamiento del sistema en elpasado, la fase de validacion puede llevarse a cabo comparando los resultadoshistoricos con lo previsto por el modelo. Si no se dispone deinformacion so-bre el pasado, la validacion de un modelo puede resultar difıcil; en este caso,puede ser preciso recurrir a realizar diversas pruebas con conjuntos de datosdiferentes y decidir si los resultados son satisfactorios.

EJEMPLO 1.7 Continuando con el ejemplo anterior, la fase de validacionconsis-tirıa en comprobar si las ventas previstas por el modelo coinciden, aproximadamente,con las observadas realmente. En ese caso, podemos pensar que el modelo describeadecuadamente el comportamiento del sistema y dar por satisfactorio el estudio reali-zado. En otro caso, habrıa que revisar las hipotesis y considerar un nuevo modelo masacorde con la situacion real.


1.1.2.5 Puesta en practica de la solucion

Cuando el estudio ha superado todas las etapas anteriores, llega el momentode poner en practica la solucion encontrada. La ejecucion de esta fase puedeser muy delicada y arruinar un buen modelo. En ocasiones, quienes tienen queaplicar la solucion no se sienten identificados con el proyecto, por razones dediversa ındole: novedad, rutina, desacuerdo con los nuevos modos de operarel sistema, etc. Una posible vıa de actuacion cuando se estudia un sistema enfuncionamiento es mantener de manera transitoria el antiguo modo de funcio-namiento junto con el modo optimo deducido por el modelo. Deesta forma,se consigue disponer de una etapa de aprendizaje para los usuarios del siste-ma que permita una paulatina adaptacion y aceptacion de los resultados delmodelo.

1.1.3 Elementos de un modelo matematico de optimizacion

En el apartado anterior se han comentado las fases por las quediscurre laresolucion completa de un problema de optimizacion. Las fases de analisis yconstruccion del modelo son las claves del exito del proyecto. De hecho, esmas frecuente el error en el enfoque del problema, que la obtencion de unasolucion equivocada del problema correctamente planteado.

Para que un problema pueda ser resuelto mediante un metodo de optimi-zacion es necesario plantearlo en un formato rıgido que admita un tratamientoteorico y algorıtmico adecuado. No todos los problemas reales son suscepti-bles de admitir dicho planteamiento. La razon hay que buscarla de nuevo en lafigura 1.1. Si no se puede, o no se sabe, simplificar un sistema real complejohasta el punto de que pueda ser representado mediante un sistema simple queadmita un modelo matematico de optimizacion, el problemadebe resolversepor otros medios.

En los parrafos siguientes vamos a pasar revista a una seriede caracterısti-cas que presentan normalmente las situaciones reales y cual puede ser su tra-tamiento para encajarlas dentro de los modelos de optimizacion.

1.1.3.1 Funcion objetivo

Un problema real suele presentar de entrada multiples objetivos, probable-mente un tanto difusos y en conflicto entre sı. La frase topica del compradorque desea algo “bueno, bonito y barato”, el afan de mantenerlimpio de conta-minacion el medio ambiente sin estar dispuesto a prescindir de industrias con-taminantes, el sueno de invertir en un activo solido, de alta rentabilidad, bajo,o incluso nulo, riesgo y liquidez inmediata, son ejemplos claros de situacionesen que los objetivos no estan bien definidos y compiten entreellos.

El objetivo de alcanzar multiples optimos simultaneos se enfrenta con el he-cho de que el orden natural en un espaciom−dimensional es un orden parcial,por lo que pueden existir alternativas que no sean comparables.


Se han desarrollado diversas teorıas deoptimizacion multiobjetivoy opti-mizacion difusa. En ultima instancia la solucion de un modelo de este tipo pasapor la consideracion de uno o varios problemas monoobjetivo. La exigencia deuna unica funcion criterio es un requisito de las tecnicas de solucion de losmetodos de optimizacion.

La solucion que se puede adoptar consiste en construir a partir de los multi-ples objetivos una unica funcion, que incluya una ponderacion de cada unode los objetivos individuales. Mediante coeficientes de ponderacion se jerar-quiza la importancia relativa que cada objetivo parcial tiene para el decisory se construye una funcion-ındice que incluye todos los objetivos. Esta es laidea empleada usualmente cuando los objetivos incluyen aspectos relativos al“bienestar social” de difıcil cuantificacion. La prensa publica periodicamente“ındices de satisfaccion” del paıs, obtenidos medianteencuestas, en las que serecoge la opinion de los ciudadanos sobre diferentes factores que se refieren asu calidad de vida, movimiento economico, etc. El aspecto negativo que pre-senta recurrir a un ındice como funcion objetivo es que, con frecuencia, talesnumeros ındices representan una cantidad medida en una escala meramente or-dinal, o incluso nominal, por lo que las comparaciones entrelos valores puedenno ser utiles para el problema.

Otra manera de reconciliar en un unico criterio multiplesobjetivos es laop-timizacion por metas. La idea consiste en fijar unos niveles mınimos aceptablespara todos los objetivos menos uno, y optimizar este, sometido a la condicionde que se alcanzan los mınimos exigidos en los demas. Por ejemplo, cuando elobjetivo de un ciudadano es “comprarse la vivienda mas grande, en el centrode la ciudad al menor precio posible”, el metodo de solucion que suele em-plear consiste en fijar unos niveles mınimos, digamos, en metros cuadrados desuperficie y distancia al centro, y buscar la solucion de menor costo.

En definitiva, para aplicar los metodos de optimizacion esnecesario en al-guna fase, disponer de una unica funcion objetivo, que mida la utilidad deldecisor. Una medida normalmente aceptada es el dinero, que cuesta, o pro-duce, cada una de las alternativas. En el primer caso se tratara de buscar laalternativa de menor coste y nos enfrentaremos con un problema deminimiza-cion, y en el segundo caso se tratara de buscar la alternativa de mayor beneficioy nos enfrentaremos con un problema demaximizacion.

1.1.3.2 Variables

Lasvariablesde un problema de optimizacion son una representacion nu-merica de cada una de las alternativas del modelo. La eleccion de un determi-nado conjunto de variables define un aspecto clave del modelo.

Por ejemplo, si se desea planificar la mejor polıtica de inversion de un capi-tal en un plazo determinado, las variables del problema pueden representar lascantidades invertidas en cada activo financiero durante cada perıodo de tiempo,los impuestos, las comisiones de los intermediarios, etc.


Unas variables soncontrolablespor el decisor el cual, dentro de las limita-ciones del modelo, puede fijar libremente sus niveles; tal esel caso, en el ejem-plo anterior, de las cantidades invertidas en cada opcion del mercado. Otras encambio sonincontrolablespor el decisor, lo cual no quiere decir que otros nolas puedan controlar; en el problema de inversion, serıa el caso de los impues-tos y comisiones de los intermediarios. En un modelo tambien pueden influirvariables que nadie controla, como pueden ser las situaciones accidentales queimpidan una determinada inversion.

El numero de variables a considerar es una cuestion fundamental en la via-bilidad del modelo. La dimensionalidad del problema, que nosupone una ma-yor complicacion teorica, puede condicionar fuertemente la resolucion numeri-ca del mismo. Teoricamente, es incluso posible pensar en unproblema coninfinitas variables. Por ejemplo, el numero de variables del problema de inver-sion optima depende de que se pretenda iniciar o madurar una inversion cadaano, mes o dıa. Incluso, en un mercado continuo, cabe la posibilidad teorica deconsiderar posible la actualizacion de la cartera en cada instante infinitesimalde tiempo. Habrıa asi que considerar un problema con infinitas variables o,matematicamente hablando, una funcion que de el nivel deinversion en un de-terminado activo a lo largo del tiempo. Se puede, pues, plantear un problemade optimizacion infinita cuya solucion pertenece a un espacio de dimensioninfinita, es decir, a un espacio de funciones.

No obstante, la resolucion numerica del problema pasarıa por una discre-tizacion del dominio en que estan definidas dichas funciones convirtiendo enfinita, aunque posiblemente muy grande, la dimension del problema.

Alguna variables pueden tomar exclusivamente valores enteros. Se hablaası de un problema de optimizacion entera. Ello puede ser debido a que lavariable representa una cantidad que por su misma naturaleza es entera, talcomo numero de personas, o bien a exigencias del diseno delmodelo. Porejemplo, cuando al resolver el problema de inversion optima, tan solo sea deinteres el conocer si se ha de efectuar o no una determinada inversion, puedeutilizarse una variable restringida a tomar unicamente elvalor 0, significandola no realizacion de la inversion o bien el valor 1, en cuyo caso se decideinvertir.

Junto con las variables hay que considerar lasconstantesdel modelo, es de-cir, las cantidades que influyen en el modelo, pero que nadie puede modificar,por representar alguna condicion natural, fısica o de definicion inamovible.Por ejemplo, si se quiere disenar un contenedor de forma esferica que cum-pla determinadas condiciones relativas a su volumen, en el modelo tendra queaparecer el numeroπ que es una constante de la naturaleza con un valor deter-minado que no se puede cambiar bajo ninguna circunstancia.

Finalmente en la especificacion del modelo intervienen losparametros. Losparametros son cantidades que el decisor fija libremente enun determinadovalor, al considerar una aplicacion concreta del modelo. Por ejemplo, al deter-minar la mejor polıtica de inversion, el decisor puede incluir en el modelo la


condicion de que el porcentaje invertido en valores de renta fija deba ser co-mo mınimo elα % del total. Este numeroα es un parametro del modelo. Enuna realizacion concreta del modelo, el decisor debe dar unvalor numerico,digamosα = 70, para obtener la solucion.

Es importante distinguir en un modelo de optimizacion las variables de losparametros. Mientras que, antes de resolver el problema, hay que decidir enque valores se fijan los parametros, los valores de las variables se obtienen co-mo producto de la solucion. Que cantidades se deben considerar variables ycuales parametros es una decision subjetiva que atane al diseno del modelo ydepende de la utilizacion del mismo. Otro tanto puede decirse de los valoresconcretos en que se deben fijar los parametros antes de resolver el problema.En este sentido, hay que volver a insistir en que, una vez obtenida la soluciondel problema, es indispensable realizar un analisis de sensibilidad para obser-var el impacto en la solucion de posibles cambios en los parámetros.

1.1.3.3 Restricciones

La tarea mas delicada en la fase de construccion del modeloes la determina-cion de las restricciones. Las restricciones son las condiciones que describenel comportamiento del modelo. Matematicamente consistenen ecuaciones einecuaciones que relacionan las variables, las constantesy los parametros delmodelo. Las condiciones pueden ser de varios tipos.

RESTRICCIONES

DE DEFINICION

Definicion 1.4. Se llamarestricciones de definiciona aquellas que descri-ben identidades fısicas o simplemente obedecen a convenios de notacion.

EJEMPLO 1.8 Un ejemplo de este tipo de restricciones serıa:

Rentabilidad=Precio venta - Precio compra + Dividendos

Precio compra

RESTRICCIONES

EMPIRICAS

Definicion 1.5. Se llamarestricciones empıricasa aquellas que describenrelaciones causa-efecto entre las variables, constantes yparametros.

Estas restricciones estan basadas en los datos historicos, el analisis tecnico,la evidencia experimental, la normativa legal, etc.

EJEMPLO 1.9 La relacion que liga el impuesto con los beneficios puede serdel tiposiguiente:

Impuesto =

0 si Beneficio≤ 1.000.0000.25Beneficio si 1.000.000< Beneficio≤ 10.000.0000.50Beneficio si Beneficio> 10.000.000


RESTRICCIONES

NORMATIVAS

Definicion 1.6. Se llamanrestricciones normativaslas condiciones quedescriben cual debera ser el comportamiento del sistema en el futuro. Obe-decen a las exigencias del decisor sobre requisitos mınimos, inversionesmaximas, etc.

EJEMPLO 1.10 Una condicion del modelo de inversion optima puede expresar quela inversion total combinada en valores de renta variable no debe superar un determi-nado porcentaje de la inversion total.

Inversion A+ Inversion B+ Inversion C≤ 0.30× Inversion Total

En la determinacion de la restricciones del modelo, han de tenerse presentesuna serie de observaciones.

En primer lugar, la eleccion de la funcion que liga las variables puede no serevidente. Desde luego, no hay ningun test matematico que informe acerca dela existencia de una relacion causa-efecto entre las cantidades involucradas enel modelo; descubrir estas relaciones puede ser una tarea ardua. No obstante, laestadıstica proporciona diversos metodos para constrastar, con un cierto nivelde confianza, si la relacion observada entre dos o mas variables obedece o no auna determinada forma funcional postulada por el observador, supuesto, claroesta, que se disponga de datos historicos a los cuales aplicarselos.

En segundo lugar, las relaciones derivadas de los datos historicos puedenno ser una descripcion adecuada de las relaciones presentes o futuras. Es mas,puesto que estas relaciones reflejan el comportamiento del sistema bajo unasituacion de funcionamiento que no se considera optima, las consecuenciasextraidas de ellas pueden ser completamente inadecuadas enel optimo. La pe-ticion de principio que implica esta paradoja, denominada“paradoja de losdatos” en la optimizacion de sistemas, ha sido y es motivo de discusionesideologicas acerca de la validez de la metodologıa de la optimizacion para lasolucion de problemas reales. Sin entrar en el fondo de la polemica podemosapuntar que esta paradoja aparece en todas las ciencias en las que el investiga-dor vive dentro del objeto de la investigacion, tal como ocurre, por ejemplo, enla mayor parte de las ciencias sociales: economıa, sociologıa, psicologıa, etc.

En tercer lugar, y de manera obvia, las relaciones utilizadas han de sercomputables, esto es, dados unos valores de las variables, un computador debeser capaz de calcular el valor de la solucion en un tiempo finito. No solo es-to, sino que ademas es deseable que las funciones posean ciertas propiedadestecnicas, tales como la continuidad, diferenciabilidad,convexidad, que facili-ten la resolucion numerica del problema.

Un tipo de condiciones suelen estar presentes de manera natural en la mayorparte de los modelos: son las restricciones de acotacion.


RESTRICCIONES

DE ACOTACION

Definicion 1.7. Se llaman restricciones de acotacion aquellas que expresanque las variables solo pueden tomar valores en un determinado intervalo,del tipoL≤ x≤U .

La mayor parte de los procedimientos numericos de busqueda de solucionexplotan explıcitamente la estructura de este tipo de restricciones para obteneruna mayor eficacia computacional.

EJEMPLO 1.11 En el ejemplo de la inversion optima, es evidente que el nivel de ca-da inversion parcial esta acotado inferiormente por cero ysuperiormente por el capitaldisponible. Tal vez es necesario invertir mınimamente en un activo que se consideradebe formar parte inexcusablemente de la cartera, o quizas, por motivos fiscales, enun determinado activo no sea posible superar un determinadonivel.

En ultima instancia, cualquier problema real es un problema con varia-bles acotadas superior e inferiomente por los valores que determinan el rangodinamico del computador en que se resuelve numericamente.

En algun tipo de problemas las relaciones pueden tener, porsu propia na-turaleza, un componente aleatorio. Por ejemplo, supongamos queA es la can-tidad invertida en renta fija, con un rendimiento del 15% yB la cantidad in-vertida en renta variable, con un rendimiento aleatorior. Si se quiere expresarla condicion de que el rendimiento combinado debe superar una cantidadC,se puede considerar una relacion del estilo siguiente 0.15A+ rB≥C. El modousual de tratar un situacion como esta es sustituir la cantidad aleatoriar, porsu valor esperador, si se conoce o se puede calcular, y tratar ar como parame-tro del modelo. Una practica similar puede emplearse cuando la aleatoriedadesta en el objetivo.

Hay otras maneras de incluir elementos aleatorios en los modelos de opti-mizacion, sin embargo, las posibilidades de tratamiento numerico de los pro-blemas deoptimizacion estocasticason actualmente bastante limitadas.

1.1.3.4 Datos

En el diseno de un modelo de optimizacion hay que tener presente la posi-bilidad de acceder a los datos necesarios. Es responsabilidad del disenador delmodelo determinar donde y como pueden obtenerse los datos. En ocasionesla imposibilidad de disponer de algunos datos obliga a replantear el modelo.Por otra parte, tampoco tiene mucho sentido que la obtencion de un dato de-terminado deba convertirse en un problema en si mismo. No hayque perder devista, una vez mas, la figura 1.1: el modelo tan solo refleja una imagen simpli-ficada del mundo real; por tanto, la incorporacion o no de un determinado datoresponde a una mayor o menor complejidad del modelo.

Los modelos de optimizacion utilizan datos cuantitativos. Si algun aspectodel problema no es cuantificable los metodos de optimización no son adecua-dos para tratarlo.


La precision en la obtencion de alguno de los datos puede ser una cuestionde importancia secundaria en una primera aproximacion al problema. Recor-demos que el analisis de sensibilidad de la solucion optima del modelo permiteexaminar el impacto en dicha solucion de posibles fluctuaciones en las entra-das.

1.1.3.5 Solucion

Muchos problemas de optimizacion que admiten incluso un planteamientosencillo, no pueden resolverse de manera eficiente con los algoritmos de que sedispone actualmente. Las tecnicas de optimizacion estan todavıa lejos de po-der resolver en tiempo y forma adecuados cualquier problemade optimizacion.Esta circunstancia puede condicionar la eleccion del modelo. Por ejemplo, losproblemas en los que se requiere que alguna o todas las variables tomen exclu-sivamente valores enteros, usualmente conducen a un numero muy elevado dealternativas que no se pueden examinar en un plazo de tiempo razonable; si lasrestricciones impuestas carecen de algunas propiedades desuavidad, – comolas que antes hemos comentado: continuidad, diferenciabilidad, etc.–, enton-ces los algoritmos pueden fallar en la busqueda del optimo. El remedio pasapor simplificar el modelo y modificar los requisitos del mismo.

Para finalizar esta seccion debemos hacer una observacionimportante. Eldesarrollo de un proyecto de optimizacion tiene lugar en eltiempo. Este caractertemporal hace que los objetivos, variables, restricciones, etc. puedan variardinamicamente: los objetivos a corto plazo pueden no coincidir o incluso serdiametralmente opuestos a los objetivos a largo plazo; las variables controla-bles pueden dejar de serlo con el paso del tiempo; las restricciones cambiancon la adquisicion de nuevos conocimientos, desarrollo denuevas tecnologıaso modificacion de las condiciones ambientales; los datos, en definitiva, puedendejar de ser representativos.

La influencia del tiempo en el modelo puede tenerse en cuenta introdu-ciendo variables y restricciones dependientes del tiempo.Ello conduce nor-malmente a problemas de grandes dimensiones, para los que sehan ideadoestrategias de solucion especıficas: la denominadaoptimizacion dinamica. Unproblema de optimizacion dinamica se resuelve en etapas,a partir de las cua-les se reconstruye la solucion optima global. El ultimo escalon en la resoluciondel problema de cada etapa lleva a la aplicacion de una tecnica de optimizacionestatica.

1.1.4 Planteamiento de un modelo de programacion mate-matica

Una vez que se han discutido de un modo general los aspectos que han detenerse presentes al abordar el estudio de un sistema utilizando la metodologıade la optimizacion, vamos a ver a continuacion cual es la forma teorica del


modelo matematico. Para ello, nos vamos a ayudar de un ejemplo que recogeun problema muy sencillo de inversion optima.

1.1.4.1 Caso practico: un modelo de inversion

Supongamos que se dispone de un capital, digamos un millon de euros, parainvertir en el mercado de la mejor manera posible. El primer paso que hay quedar es, obviamente, averiguar que activos ofrece el mercado y cuales son suscaracterısticas respecto de aquello que puede interesar al inversor: rentabilidad,liquidez, riesgo, etc. Para fijar ideas y por simplicidad, vamos a suponer quenada mas es posible la inversion en dos tipos de activos quellamaremos A y B.En este caso, parece claro que habremos resuelto el problemacuando sepamosque cantidad del capital total ha de invertirse en A y que cantidad en B. Veamoscomo se determinan cada uno de los ingredientes del problema.

Objetivo

En una primera aproximacion descriptiva, el inversor puede desear que suinversion sea lo “mas rentable” posible, con el “menor riesgo” posible, de“gran liquidez”. Es evidente que, en una situacion real, todos estos objetivos nopueden alcanzarse simultanemente. Las inversiones de alta rentabilidad suelenser las de mayor riesgo y/o plazos mas largos. Por tanto una estrategia a la quese ve forzado el inversor, es la de fijar unos niveles satisfactorios en algunosde los posibles objetivos y tratar de buscar el optimo exclusivamente en uno deellos.

Supongamos que el inversor comienza por decidir que el plazode un ano esun perıodo conveniente. Asimismo, para compatibilizar rentabilidad y riesgocomienza por fijar un nivel mınimo de rentabilidad para su inversion y, unavez fijado, de entre todas las posibles inversiones que proporcionen ese nivelmınimo de rentabilidad, su inversion optima sera la de menor riesgo.

Hay que plantearse a continuacion que se entiende en terminos cuantita-tivos por rentabilidad y riesgo. Aunque se puede discutir grandemente sobreeste tema, aquı vamos a interpretarlo de una manera simple.Una inversionindividual, un bono, una accion, etc., mantiene a lo largo de su historia unacotizacion. El nivel medio de esa cotizacion durante un perıodo de tiempo ade-cuado, puede ser un numero que indique su rentabilidad. Cuanto mas alto seael nivel medio de la cotizacion cabe esperar que mas atrayente sera ese activodesde la optica de la rentabilidad. Por su parte, una medidade la fluctuacionde la cotizacion alrededor de ese nivel medio, puede ser un numero que in-dique su riesgo. Cuanto mayor sea la oscilacion de las cotizaciones alrededorde su nivel medio puede sospecharse que el activo no es muy seguro desdela optica del riesgo. Ahora bien, estamos considerando A y Bcomo posiblesinversiones. Ocurrira sin duda que la evolucion de sus cotizaciones no sea to-talmente independiente. Posiblemente, si pertenecen al mismo sector, ambas


subiran o bajaran en ocasiones similares. Si pertenecen asectores diferentes,la tendencia al alza en una de ellas puede discurrir paralelaa la tendencia ala baja en la otra. Esta posibilidad, puede ser precisamenteuna de las razonespara diversificar la inversion, cubriendose del riesgo que supone “poner todoslos huevos en la misma cesta”. Sera entonces necesario ponderar el riesgo conalguna medida de esta variacion conjunta de las cotizaciones.

La Estadıstica Matematica proporciona cantidades que reunen las cualida-des que estamos proponiendo para describir la inversion: la media aritmeticacomo medida de la rentabilidad, la varianza como medida del riesgo individualy la covarianza como medida del riesgo conjunto. Asimismo laEstadıstica pro-porciona metodos para estimar o predecir la evolucion de estas cantidades apartir de los datos observados en el pasado. A partir de ellas, mediante calcu-los matematicos sencillos, es posible obtener valores para la rentabilidad y elriesgo de una determinada combinacion de activos.

Estamos pues en condiciones de formular de manera precisa elproblemadel inversor:

Basandose en los datos estadısticos historicos, encontrar la inver-sion que, garantizando un determinado nivel rentabilidadmedidoen terminos de la media, resulte ser la de menor riesgo, medido enterminos de la varianza-covarianza.

Variables

Unas cantidades que son candidatas naturales a intervenir en el problemacomo variables son:

x1 = Cantidad a invertir en Ax2 = Cantidad a invertir en B

La solucion del problema debe proporcionar valores optimos parax1 y x2.

Restricciones

Las restricciones que tenemos que exigir al modelo son las siguientes:

1. La cantidad total invertida no puede ser superior a la cantidad disponible.Esta cantidad es un parametro del problema, que viene fijadoen estecaso en un millon de euros.

2. La rentabilidad media de la inversion ha de ser como mınimo un deter-minado nivel prefijado. Este nivel sera otro de los parametros del pro-blema. Su valor se especificara una vez que se haya estimado los datosde la inversiones A y B.


3. Finalmente, en este ejemplo vamos a considerar que no se permite haceruna inversion a credito en un activo, exigiendo las condiciones naturalesde que los valores de las inversiones que se hagan en A y B sean nonegativos.

Datos

Los datos necesarios para el modelo que estamos construyendo se obtendrıancomo ya se ha comentado recurriendo a los archivos historicos de las cotiza-ciones de A y B y utilizando las tecnicas estadısticas paraconocer, a partir deellas las cotizaciones medias de A y B y sus varianzas. Supongamos que, unavez realizado este trabajo, los valores obtenidos son los dela tabla siguiente,en donde los datos vienen dados en porcentajes.

Inversion Rentabilidad Riesgo Individual Riesgo Conjunto(media) (varianza) (covarianza)

A 10 2 -4

B 25 10 -4

El modelo

Estamos ya en condiciones de escribir formalmente el modelomatematicodel problema del inversor

Variables:

x1 = Cantidad a invertir en Ax2 = Cantidad a invertir en B

Restricciones:

1) Inversion total≤ Capital disponible (en millones de euros)

x1+ x2 ≤ 1

2) Rentabilidad media de la inversion total≥Rendimiento mınimo desea-do.

Supongamos que este rendimiento mınimo se fija en un 20%. Si seinvierten x1 euros en A entonces se obtendran 0.10x1 de rentabilidad.Analogamente, si se inviertenx2 euros en B entonces se obtendran 0.25x2

de rentabilidad. La rentabilidad total sera la suma de estas rentabilida-des individuales, que tiene que ser superior al rendimientomınimo. Portanto la restriccion se escribe:

0.10x1+0.25x2 ≥ 0.20


3) La inversion en un activo no puede ser negativa.

Se tienen las condiciones:

x1 ≥ 0x2 ≥ 0

Objetivo:

Minimizar la variabilidad de la inversion.

Dadas las varianzas individuales y la covarianza de A y B, la estadısticanos permite calcular la varianza de la inversion conjuntax1 + x2 queviene dada por la expresion:

f (x1,x2) = 0.02x12+0.10x2

2+2(−0.04)x1x2

Esta es la funcion que hay que minimizar.

En resumen, el modelo matematico para el problema de la inversion optimaes:

Minimizar f (x1,x2) = 0.02x12+0.10x2

2−0.08x1x2

sujeto ax1+ x2 ≤ 1

0.10x1+0.25x2 ≥ 0.20x1 ≥ 0x2 ≥ 0

La figura 1.2 representa graficamente el problema. Como se tienen dos va-riables, es posible representar el problema en el plano(x1,x2).

Cada una de las desigualdades del problema determina un semiplano defi-nido por la recta que se obtiene al escribir la condicion de restriccion en formade igualdad; en particular las condiciones de no negatividad indican que la so-lucion optima ha de hallarse en el cuadrante no negativo del sistema cartesiano.La zona rayada corresponde al conjunto de puntos(x1,x2) que forman una al-ternativa compatible con las condiciones impuestas al problema. De entra ellashay que seleccionar la que haga mas pequena la funcion objetivo.

En la figura 1.2 se representan algunas curvas de nivel de la funcion obje-tivo, es decir, las curvas del plano tales que 0.02x1

2+0.10x22−0.08x1x2 = k,

dondek es una constante. Observando el grafico se comprende que la soluciondel problema sera elprimer punto de la region factible que“toque” la curvade nivel cuya constantek sea lo menor posible. Dicho punto es, como puedeapreciarse, el punto de interseccion de las rectas,

0.10x1+0.25x2 = 0.20x1+ x2 = 1


0

1

0 1 2

x1≥ 0

x2≥ 0

x1+ x2≤ 1

0.1x1+0.25x2≥ 0.2

Figura 1.2: Un modelo de optimizacion para un problema de inversion

es decir, el punto

(13

,23

). En la figura se representa la curva de nivel que

corresponde al valor optimof = 0.029

Interpretacion de la solucion

La solucion del problema, obtenida en este caso de forma gráfica, nos con-duce a la siguiente polıtica de inversion:“se debera invertir1/3 del millon deeuros en el activo A y2/3 en el activo B”.El riesgo que conlleva esta decisionen terminos de varianza es del 2.9%. Esto significa que, si las cosas se compor-tan como en el pasado, esta inversion proporcionara una rentabilidad media del20% como mınimo y sera la de menor fluctuacion de entre todas las posiblescombinaciones que pudiesemos considerar con dicho nivel mınimo del 20%.Ello no quiere decir que la inversion necesariamente garantice un rendimientodel 20%. Esto desde luego, en una situacion como esta en quelos activos quese consideran no son de renta fija, sino activos con riesgo, nopuede garanti-zarse en ningun caso pues, en principio, la rentabilidad puede ser cualquiera,en mas o en menos. Lo que asegura la solucion del problema esque el riesgoque se corre en esta inversion es el menor posible de entre las inversiones quetienen un rendimiento medio del 20%. Observese como la diversificacion entreA y B presenta un riesgo que es notablemente inferior al riesgo de la inversionB, la de mas alto riesgo, y al mismo tiempo presenta una rentabilidad mediamucho mayor que la de la inversion A, la de menor rentabilidad.

El analisis de la sensibilidad nos llevarıa a estudiar qué ocurre si se cambianalgunos de los datos del problema. Por ejemplo, podrıamos hacernos pregun-tas del estilo siguiente: ¿que ocurre si modificamos nuestras exigencias en larentabilidad media de nuestra cartera, pasando del 20% a otro valor?; ¿se-guirıa siendo optima la inversion actual?; ¿hasta que punto la solucion optima


se sigue obteniendo como el punto en que se intersecan las dosrectas de res-triccion?; ¿que pasarıa si los datos estimados sobre la rentabilidad media y va-rianza de cada activo se modifican?; ¿podrıa ocurrir que el problema no tuvieseninguna solucion?; ¿como afectarıa a la decision optima si se permitiese la po-sibilidad de hacer inversiones negativas, es decir, si se pudiese “pedir dineroprestado” para invertir?; ¿que impacto tendrıa en la solucion optima la con-sideracion de un tercer activo financiero C con rentabilidad y riesgo dados?;¿que efectos producirıa la inclusion de alguna nueva condicion en el proble-ma?; etc. etc. De responder todas estas cuestiones, sin necesidad de resolver elproblema desde el principio, se ocupan las tecnicas del análisis de sensibilidaden la optimizacion. De cara a la interpretacion de la solucion la importanciade la informacion proporcionada por la respuesta a este tipo de preguntas es,como puede comprenderse facilmente, primordial.

El sencillo ejemplo anterior nos ha ilustrado acerca de buena parte de las ca-racterısticas de los problemas de optimizacion. El modelo considera de entradaobjetivos multiples, y razona sobre la manera de tratar este tipo de situacion.Como se intuye, en una situacion real el numero de variables que podrıan in-cluirse en el modelo es alto, siendo una complicacion numerica importante. Sepodrıan imponer restricciones de integridad en algunas variables, por ejemplo,si de un determinado activo solo fuese posible comprar bonos unitarios no divi-sibles. Otro tipo de restricciones a considerar podrıan referirse a aspectos talescomo liquidez o calidad de la inversion. La manera de obtener y manipular losdatos es asimismo muy ilustrativa de la paradoja de los datosen la optimiza-cion de sistemas: ¿podrıa afirmarse que el comportamientode los valores enel futuro va a seguir las pautas del pasado? A falta de una mejor informacionpuede pensarse que sı, pero este no es –con frecuencia, y precisamente cuandola inversion en renta variable es mas atractiva– el comportamiento del mercadode valores. En resumen, y como se ha venido senalando a lo largo de todo elcapıtulo, la utilidad del modelo reside en la capacidad delmismo para captarla situacion real de una manera adecuada.

1.1.4.2 Formulacion general del problema de optimizacion mate-matica

Finalizamos este apartado presentando el formato general de un modelomatematico de optimizacion.

El problema de optimizacion matematica consiste en encontrar el optimo –maximo o mınimo – de una funcion numericaf den variables reales, y someti-do al cumplimiento de un conjunto de restriccciones de igualdad y desgualdad,definidas por un conjunto de funciones numericas den variables reales.

Formalmente: sean(x1,x2, . . . ,xn) un vector de variables, perteneciente alespacion−dimensionalIRn; seanf : IRn−→ IR1, gi : IRn−→ IR1, i= 1,. . . ,m,h j : IRn −→ IR1 j = 1,. . . , p funciones definidas enIRn, con valores reales.


Entonces el problema de optimizacion matematica se puedeformular de lamanera siguiente:

PROBLEMA DE

OPTIMIZACION

MATEMATICA

Definicion 1.8. La forma general delproblema de optimizacion matemati-caes:

Optimizar f (x1,x2, . . . ,xn)

sujeto agi(x1,x2, . . . ,xn) ≥ 0 i = 1,. . . ,mh j(x1,x2, . . . ,xn) = 0 j = 1,. . . , p

La funcion f se denominafuncion objetivoy las funcionesgi, h j restriccio-nes de desigualdad e igualdad del problema

La palabra optimizacion puede sustituirse indiferentemente por minimiza-cion o maximizacion, pues como veremos mas adelante ambas formulacionesson equivalentes. Asimismo es posible convertir un problema con mezcla derestricciones de desigualdad e igualdad en un problema equivalente con res-tricciones de un unico tipo.

Cualquier vector(x1,x2, . . . ,xn) que verifique todas las restricciones delproblemas se llamasolucion factible, o solucion realizable; la solucion –osoluciones– factible, si existe, que proporciona el optimo de la funcion ob-jetivo se llamasolucion optima.

Una terminologıa establecida desde los primeros tiempos de la optimiza-cion, denominaba a la solucion optima unprograma de acciona poner enpractica; de ahı que la busqueda de un tal programa de accion utilizando meto-dos matematicos se llamaseProgramacion Matematica. Este es el termino mascomun en la bibliografıa para denominar a los metodos de optimizacion ma-tematica.

Segun las caracterısticas de las funciones del problema yde las variablesse tienen diferentes tipos de problemas de programacion matematica. Asi porejemplo, si todas las funciones del problema, objetivo y restricciones, son fun-ciones lineales, es decir, su grafica es una recta, entoncesse tiene unproblemade programacion lineal. Si la funcion del objetivo es una funcion cuadraticay las restricciones lineales, como en el ejemplo de inversión optima estudiadoen esta seccion, se habla de un problema deprogramacion cuadratica. Si al-guna o todas las funciones del problema son no lineales, es decir su grafica esuna curva, se tiene un problema deprogramacion no lineal, etc. Si se anade lacondicion de integridad de alguna variable, es decir, se exige que algunas varia-bles solo puedan tomar valores enteros, se tienen problemas deprogramacionentera–lineal, no lineal, etc.– Si en el planteamiento del problema entran con-sideraciones de probabilidad el problema es deprogramacion estocastica; si seincluye el tiempo en la formulacion del problema, se trata de un problema deprogramacion dinamica.

Documents

Audiencia - Ediasa · 4 CAPÍTULO 1 El modelo de programacioń lineal OBJETIVOS Despertar el intere´s por la metodolog´ıa de la optimización. Aprender a enfocar problemas reales