Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis

dibagi 3 atau 5?

Penyelesaian:

A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,

B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,

A B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK –Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),

Masalah:

A B

26 January 2012 MATEMATIKA DISKRIT 1

A = 100/3 = 33,

B = 100/5 = 20,

A B = 100/15 = 6

A B = A + B – A B

= 33 + 20 – 6 = 47

Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5

Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan

500 yang :

a) Habis dibagi 5 dan 7

b) Habis dibagi 5 atau 7

c) Tidak Habis dibagi 5 atau 7

1. Hukum idempoten

a) A A = A b) A A = A

2. Hukum Asosiatif

a) A (B C) = (A B) C

b) A (B C) = (A B) C

3.Hukum komutatif

a) A B = B A b) A B = B A

4. Hukum Distributif

a) A (B C) = (A B) (A C)

b) A (B C) = (A B) (A C)

5. Hukum Identitas

a) A = A b) A U = A

6. Hukum null / Dominasi

a) A U = U b) A =

7. Hukum Involusi

(Ac ) c = A

8.Hukum Komplemen

a) A Ac = U b) A Ac =

9.Hukum 0 / 1

a) Uc = b) c = U

10. Hukum De Morgan

a) ( A B )c = Ac Bc b) ( A B )c = Ac Bc

11. Hukum Penyerapan (Absorpsi)

a) A (A B) = A

b) A (A B) = A

Buktikan bahwa ( S A ) ( B A ) = A !

Bukti

Pernyataan Alasan

( S A ) U ( B A ) = (A U) ( A B ) Hk. komutatif

= A ( S B ) Hk. Distributif

= A ( B U) Hk. Komutatif

= A S Hk. Identitas

= A Hk. Identitas

1. Buktikan bahwa (A B) (A Bc) = A

2. Buktikan Bahwa A (B – A) = A B

Catatan : (B – A) = B Ac

• Himpunan Ganda: adalah himpunan dimana elemen-

elemennya boleh ada yang berulang (tidak harus berbeda)

• Contoh:

• P = { a, a, b, b, b, c, d, d }

• Jumlah kemunculan suatu unsur pada himpunan Ganda

disebut Multiplisitas.

• Pada himpunan P, Multiplisitas unsur a adalah 2,

Multiplisitas unsur b adalah 3, Multiplisitas unsur c adalah

1, dan Multiplisitas unsur d adalah 2

• Himpunan yang telah kita pelajari sebelumnya

adalah contoh khusus dari suatu multiset yang

mana multiplisitas unsur-unsurnya adalah 0 atau 1

• Himpunan yang multiplisitas unsurnya 0 adalah

himpunan kosong.

Misalkan P dan Q adalah multiset:

1. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitaselemennya sama dengan multiplisitasmaksimum elemen tersebut pada himpunan Pdan Q.

Contoh:

P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },

P Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }

2. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama denganmultiplisitas minimum elemen tersebutpada himpunan P dan Q.

Contoh:

P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c }

P Q = { a, a, c }

3. P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitaselemennya

>> sama dengan multiplisitas elemen himpunan P dikurangi multiplisitas elemen himpunan Q, jika selisihnya positif.

>> sama dengan 0, jika selisihnya kurang dari atausama dengan nol.

Contoh:

P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan

Q = { a, a, b, b, b, c, c, d, d, f }

maka

P – Q = { a, e }

4. P + Q, didefinisikan sebagai jumlah duahimpunan ganda, adalah suatu multisetyang multiplisitas elemennya samadengan penjumlahan dari multiplisitaselemen tersebut pada P dan Q.

Contoh:

P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d },

P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }

Diketahui multiset P = {0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3}

dan Q = {0, 1, 2, 3, 3, 3}, tentukan:

a) P Q

b) P Q

c) P – Q

d) P + Q

• Prinsip dualitas dua konsep yang berbedadapat saling dipertukarkan namun tetapmemberikan jawaban yang benar

• AS kemudi mobil di kiri depan

• Inggris (juga Indonesia) kemudi mobil dikanan depan

Peraturan:

(a) di Amerika Serikat,

• Mobil harus berjalan di bagian kanan jalan

• Pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiriuntuk mendahului,

• Bila lampu merah menyala, mobil belok kananboleh langsung

b) di Inggris,

• mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,

• pada jalur yang berlajur banyak, lajur kananuntuk mendahului,

• bila lampu merah menyala, mobil belok kiriboleh langsung

Prinsip dualitas:

• Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkanpada kedua negara tersebut sehinggaperaturan yang berlaku di Amerika Serikatmenjadi berlaku pula di Inggris

• Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S denganmengganti

• ,

• ,

• U,

• U ,

Sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula

1. Hukum identitas:

A = A

Dualnya:

A U = A

2. Hukum null/dominasi:

A =

Dualnya:

A U = U

3. Hukum komplemen:

A Ac = U

Dualnya:

A Ac =

4. Hukum idempoten:

A A = A

Dualnya:

A A = A

5. Hukum penyerapan:

A (A B) = A

Dualnya:

A (A B) = A

6. Hukum komutatif:

A B = B A

Dualnya:

A B = B A

7. Hukum asosiatif:

A (B C) = (A B) C

Dualnya:

A (B C) = (A B) C

8. Hukum distributif:

A (B C)=(A B) (A C)

Dualnya:

A (B C) = (A B) (A C)

9. Hukum De Morgan:

(A B)c = Ac Bc

Dualnya:

(A B)c = Ac Bc

10. Hukum 0/1

c = U

Dualnya:

Uc =