TEI106 Bab 3 Aljabar Boolean

  • View
    227

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Boolean Algebra

Text of TEI106 Bab 3 Aljabar Boolean

  • 3 ALJABAR BOOLEAN

    3.0 Pendahuluan

    3.1 Kaidah Boolean & Gerbang Logika Dasar

    3.2 Fungsi Logika Boolean & Tabel Kebenaran

    lts15 1

  • 3.0 Pendahuluan George Boole (1815 - 1864), seorang ahli matematik,

    memperkenalkan konsep aljabar logika melalui publikasi tulisan, 'An Investigation of the Laws of Thought (1854)..

    Aljabar Logika Boolean menggunakan

    pendekatan biner, dengan variabel-variabel

    dua harga ( 0 1, Benar Salah , On Off,

    Ya Tidak, ) dan tiga operasi dasar

    AND (perkalian logika), OR (penjumlahan l

    ogika), NOT (pengingkaran/pembalikan logika).

    Sedemikian sederhananya konsep aljabar Boolean tsb , sehingga menuai banyak kritikan dan pengabaian dari komunitas ahli matematik pada masa itu.

    lts15 2

  • Claude Shannon (1916-2001), seorang engineer ,

    mempublikasikan tesis S2nya A Symbolic Analysis of Relay and

    Switching Circuits (1938).

    Tesis tsb memanfaatkan aljabar Boolean sebagai dasar

    matematis untuk analisis & perancangan

    rangkaian penyaklaran.

    embrio perancangan komputer digital

    lts15 3

  • Aljabar Boolean memberikan dasar matematis untuk

    merepresentasikan fungsi fungsi bervariabel biner (fungsi

    logika biner, fungsi logika Boolean)

    logika

    Boolean

    x1 x2 xN-1

    y1 y2 yM-1 xi dan yj adalah variabel

    variabel biner

    Variabel biner hanya punya

    dua nilai . 0 atau 1,

    benar atau salah

    ya atau tidak

    ada atau tidak ada

    logika biner (logika dua nilai)

    Fungsi logika biner :

    yi = Fi(x1 , x2 , ..., xN-1)

    Nilai logika biner :

    lts15 4

  • Contoh : logika pengambilan

    keputusan

    x1 x2 x3

    y

    x1

    x2

    x3

    0 , jelek = 1 , cakep

    0 , miskin = 1 , kaya

    0 , bodoh = 1 , pinter

    0 , mundur = 1 , jadian

    y

    0 0 0

    0 0 1

    0 1 0

    0 1 1

    1 0 0

    1 0 1

    1 1 0

    1 1 1

    x1 x2 x3 y

    Tabel Kebenaran

    input output

    input output

    lts15 5

  • Contoh :

    Dalam sebuah ruang dg kapasitas 8 orang, Fan dan AC

    dikendalikan berdasarkan jumlah orang yang ada didalam ruang,

    dengan logika sbb

    Logika pengendalian fan &

    AC

    jumlah

    orang

    Kendali

    X < 2 Fan off, AC off

    2< X < 4 Fan on, AC off

    4< X < 6 Fan off, AC on

    X = 7 Fan on, AC on

    Pengendali x y

    input 8 nilai

    output 4 nilai

    lts15 6

  • jumlah

    orang

    sandi biner

    x2 x1 x0

    0 0 0 0

    1 0 0 1

    2 0 1 0

    3 0 1 1

    4 1 0 0

    5 1 0 1

    6 1 1 0

    7 1 1 1

    0 , AC dioffkan y0 = 1 , AC dionkan

    Penyandian input : Penyandian output :

    0 , fan dioffkan y1 = 1 , fan dionkan

    8 nilai sandi 3 bit 4 nilai sandi 2 bit

    Fan AC y1 y0

    off off 0 0

    off on 0 1

    on off 1 0

    on on 1 1 lts15 7

  • #orang

    X

    input output

    x2 x1 x0 y1 y0

    0 0 0 0 0 0

    1 0 0 1 0 0

    2 0 1 0 0 0

    3 0 1 1 1 0

    4 1 0 0 1 0

    5 1 0 1 0 1

    6 1 1 0 0 1

    7 1 1 1 1 1

    Tabel Kebenaran

    logika pengendalian fan & AC

    X < 2

    2< X < 4

    4< X < 6

    X = 7

    Pengendali

    x0 y0

    y1

    x1 x2

    x3

    lts15 8

  • Fungsi fungsi logika Boolean disusun berdasarkan

    operasi operasi logika dasar (operator operator)

    AND, OR dan NOT.

    Operasi operasi dasar Boolean

    Operasi Operator

    Pembalikan logika NOT, Invert

    Penjumlahan logika OR

    Perkalian logika AND

    3.1 KAIDAH BOOLEAN

    lts15 9

  • X F

    input output

    X F = X

    0 1

    1 0

    Fungsi logika NOT : F = X

    Tabel Kebenaran NOT :

    Operasi NOT (Invert , Pembalikan , Pengingkaran)

    Simbol gerbang NOT :

    Operasi-operasi Logika Dasar

    lts15 10

  • Input Output

    X1 X0 F

    0 0 0

    0 1 1

    1 0 1

    1 1 1

    Fungsi logika OR :

    Tabel Kebenaran OR :

    (Contoh : OR 2-input)

    Simbol gerbang logika OR :

    Operasi OR (Penjumlahan logika)

    F = X0 + X1 + ... + XN-1

    X0 X1

    XN-1

    F

    X1

    X0 F = X0 + X1

    lts15 11

  • Input Output

    X2 X1 X0 F

    0 0 0 0

    0 0 1 1

    0 1 0 1

    0 1 1 1

    1 0 0 1

    1 0 1 1

    1 1 0 1

    1 1 1 1

    Tabel Kebenaran OR 3-input

    Tabel Kebenaran OR 4-input ?

    X1

    X0 F = X0 + X1+ X2

    X2

    seluruh kemungkinan

    kombinasi 3 var. biner

    X , Y, Z

    8 kombinasi

    lts15 12

  • Input Output

    X1 X0 F = X1 . X2

    0 0 0

    0 1 0

    1 0 0

    1 1 1

    Fungsi logika AND :

    Tabel Kebenaran AND :

    (Contoh : AND 2-input)

    Simbol gerbang AND :

    Operasi AND (Perkalian logika)

    F

    F = X0 . X1 . ... . XN-1

    X0 X1

    XN-1

    F = X0 . X1 X0

    X1

    lts15 13

  • input out

    X Y Z F

    0 0 0 0

    0 0 1 0

    0 1 0 0

    0 1 1 0

    1 0 0 0

    1 0 1 0

    1 1 0 0

    1 1 1 1

    AND 3-input : F = X . Y . Z

    seluruh kemungkinan

    kombinasi 3 var. biner

    X , Y, Z

    Jumlah kombinasi = 2n ,

    n = jumlah variabel biner

    8 kombinasi

    X

    Y F = X .Y . Z

    Z

    lts15 14

  • 1. X + 0 = X

    3. X + 1 = 1

    5. X + X = X

    7. X + X = 1

    9. (X ) = X

    10. X + Y = Y + X

    12. X + (Y+Z ) = (X+Y ) + Z

    14. X.(Y + Z ) = XY + XZ

    16. (X + Y ) = X Y

    18. X + X.Y = X + Y

    2. X 1 = X

    4. X 0 = 0

    6. X X = X

    8. X X = 0

    11. X Y = Y X

    13. X (Y Z ) = (X Y ) Z

    15. X + (YZ ) = (X +Y)(X + Z )

    17. (X Y) = X + Y

    19. X.(X + Y) = X.Y

    Identitas (persamaan dasar) Boolean

    dual

    Dual adalah pasangan identitas lts15 15

  • Commutative law: Urutan penulisan variabel tidak

    berpengaruh terhadap hasil.

    (10) X + Y = Y + X (11) X . Y = Y . X

    Associative law: Pengelompokan variabel tidak berpengaruh

    terhadap hasil.

    (12) X + (Y + Z) = (X + Y) + Z (13) X.(Y.Z) = (X.Y).Z

    Distributive law: Variabel bersama dapat dikeluarkan.

    (14) X.( Y + Z) = X.Y + X.Z (15) X + Y.Z = (X + Y).(X + Z)

    lts15 16

  • Dual dari suatu identitas Boolean dapat diperoleh melalui

    langkah langkah sebagai berikut.

    1. Pertukarkan operator AND OR dalam identitas

    tersebut,

    2. Pertukarkan logika 0 1 dalam identitas tersebut.

    3. Hasilnya adalah identitas lain yang merupakan

    dual dari identitas pertama.

    A + (B . C ) = (B . C ) + D A + A = 1

    A . (B + C ) = (B + C ) . D A . A = 0

    Bagaimana dual untuk A . (A + B) = A . B ?

    Contoh :

    lts15 17

  • Aturan deMorgan

    Aturan deMorgan memungkinkan perubahan bentuk

    perkalian logika (AND) ke bentuk penjumlahan logika (OR)

    dan sebaliknya.

    Identitas 16 : ( X + Y ) = X . Y Identitas 17 : ( X . Y ) = X + Y

    bentuk AND

    bentuk OR

    bentuk AND

    bentuk OR

    dasar aturan deMorgan : identitas 16 dan 17

    lts15 18

  • Perluasan aturan deMorgan untuk fungsi 3 variabel

    (X + Y + Z ) = (X + (Y + Z ))

    = X . (Y + Z )

    = X . (Y . Z )

    (X + Y + Z ) = X . Y . Z

    identitas 12

    identitas 16

    identitas 17

    identitas 13

    bentuk OR bentuk AND lts15 19

  • (X .Y. Z) = (X . (Y . Z ))

    = X + (Y . Z )

    = X + (Y + Z )

    (X .Y. Z) = X + Y + Z

    identitas ?

    identitas ?

    identitas ?

    identitas ?

    bentuk OR bentuk AND

    lts15 20

  • Cara penulisan lain : A = A

    ( X . Y . Z ) = ( X . ( Y . Z ) )

    = X + ( Y . Z )

    = X + ( Y + Z )

    = X + Y + Z

    (X + Y + Z ) = ( X + ( Y + Z ) )

    = X . ( Y + Z )

    = X . ( Y . Z )

    = X . Y . Z

    lts15 21

  • Aturan de Morgan dan ekivalensi gerbang logika

    ( X . Y ) = X + Y

    = X X

    Y Y F F

    ( X + Y ) = X . Y

    Y

    X = F

    Y

    X F

    = F F

    X

    Y

    X

    Y

    X

    Y

    lts15 22

  • 1. (A B + A B) = (A . B) . (A . B)

    = (A