TEI106 Bab 3 Aljabar Boolean

3 ALJABAR BOOLEAN

3.0 Pendahuluan

3.1 Kaidah Boolean & Gerbang Logika Dasar

3.2 Fungsi Logika Boolean & Tabel Kebenaran

lts15 1

3.0 Pendahuluan George Boole (1815 - 1864), seorang ahli matematik,

memperkenalkan konsep aljabar logika melalui publikasi tulisan, 'An Investigation of the Laws of Thought (1854)..

Aljabar Logika Boolean menggunakan

pendekatan biner, dengan variabel-variabel

dua harga ( 0 1, Benar Salah , On Off,

Ya Tidak, ) dan tiga operasi dasar

AND (perkalian logika), OR (penjumlahan l

ogika), NOT (pengingkaran/pembalikan logika).

Sedemikian sederhananya konsep aljabar Boolean tsb , sehingga menuai banyak kritikan dan pengabaian dari komunitas ahli matematik pada masa itu.

lts15 2

Claude Shannon (1916-2001), seorang engineer ,

mempublikasikan tesis S2nya A Symbolic Analysis of Relay and

Switching Circuits (1938).

Tesis tsb memanfaatkan aljabar Boolean sebagai dasar

matematis untuk analisis & perancangan

rangkaian penyaklaran.

embrio perancangan komputer digital

lts15 3

Aljabar Boolean memberikan dasar matematis untuk

merepresentasikan fungsi fungsi bervariabel biner (fungsi

logika biner, fungsi logika Boolean)

logika

Boolean

x1 x2 xN-1

y1 y2 yM-1 xi dan yj adalah variabel

variabel biner

Variabel biner hanya punya

dua nilai . 0 atau 1,

benar atau salah

ya atau tidak

ada atau tidak ada

logika biner (logika dua nilai)

Fungsi logika biner :

yi = Fi(x1 , x2 , ..., xN-1)

Nilai logika biner :

lts15 4

Contoh : logika pengambilan

keputusan

x1 x2 x3

y

x1

x2

x3

0 , jelek = 1 , cakep

0 , miskin = 1 , kaya

0 , bodoh = 1 , pinter

0 , mundur = 1 , jadian

y

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

x1 x2 x3 y

Tabel Kebenaran

input output

input output

lts15 5

Contoh :

Dalam sebuah ruang dg kapasitas 8 orang, Fan dan AC

dikendalikan berdasarkan jumlah orang yang ada didalam ruang,

dengan logika sbb

Logika pengendalian fan &

AC

jumlah

orang

Kendali

X < 2 Fan off, AC off

2< X < 4 Fan on, AC off

4< X < 6 Fan off, AC on

X = 7 Fan on, AC on

Pengendali x y

input 8 nilai

output 4 nilai

lts15 6

jumlah

orang

sandi biner

x2 x1 x0

0 0 0 0

1 0 0 1

2 0 1 0

3 0 1 1

4 1 0 0

5 1 0 1

6 1 1 0

7 1 1 1

0 , AC dioffkan y0 = 1 , AC dionkan

Penyandian input : Penyandian output :

0 , fan dioffkan y1 = 1 , fan dionkan

8 nilai sandi 3 bit 4 nilai sandi 2 bit

Fan AC y1 y0

off off 0 0

off on 0 1

on off 1 0

on on 1 1 lts15 7

#orang

X

input output

x2 x1 x0 y1 y0

0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0

2 0 1 0 0 0

3 0 1 1 1 0

4 1 0 0 1 0

5 1 0 1 0 1

6 1 1 0 0 1

7 1 1 1 1 1

Tabel Kebenaran

logika pengendalian fan & AC

X < 2

2< X < 4

4< X < 6

X = 7

Pengendali

x0 y0

y1

x1 x2

x3

lts15 8

Fungsi fungsi logika Boolean disusun berdasarkan

operasi operasi logika dasar (operator operator)

AND, OR dan NOT.

Operasi operasi dasar Boolean

Operasi Operator

Pembalikan logika NOT, Invert

Penjumlahan logika OR

Perkalian logika AND

3.1 KAIDAH BOOLEAN

lts15 9

X F

input output

X F = X

0 1

1 0

Fungsi logika NOT : F = X

Tabel Kebenaran NOT :

Operasi NOT (Invert , Pembalikan , Pengingkaran)

Simbol gerbang NOT :

Operasi-operasi Logika Dasar

lts15 10

Input Output

X1 X0 F

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Fungsi logika OR :

Tabel Kebenaran OR :

(Contoh : OR 2-input)

Simbol gerbang logika OR :

Operasi OR (Penjumlahan logika)

F = X0 + X1 + ... + XN-1

X0 X1

XN-1

F

X1

X0 F = X0 + X1

lts15 11

Input Output

X2 X1 X0 F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Tabel Kebenaran OR 3-input

Tabel Kebenaran OR 4-input ?

X1

X0 F = X0 + X1+ X2

X2

seluruh kemungkinan

kombinasi 3 var. biner

X , Y, Z

8 kombinasi

lts15 12

Input Output

X1 X0 F = X1 . X2

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Fungsi logika AND :

Tabel Kebenaran AND :

(Contoh : AND 2-input)

Simbol gerbang AND :

Operasi AND (Perkalian logika)

F

F = X0 . X1 . ... . XN-1

X0 X1

XN-1

F = X0 . X1 X0

X1

lts15 13

input out

X Y Z F

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

AND 3-input : F = X . Y . Z

seluruh kemungkinan

kombinasi 3 var. biner

X , Y, Z

Jumlah kombinasi = 2n ,

n = jumlah variabel biner

8 kombinasi

X

Y F = X .Y . Z

Z

lts15 14

1. X + 0 = X

3. X + 1 = 1

5. X + X = X

7. X + X = 1

9. (X ) = X

10. X + Y = Y + X

12. X + (Y+Z ) = (X+Y ) + Z

14. X.(Y + Z ) = XY + XZ

16. (X + Y ) = X Y

18. X + X.Y = X + Y

2. X 1 = X

4. X 0 = 0

6. X X = X

8. X X = 0

11. X Y = Y X

13. X (Y Z ) = (X Y ) Z

15. X + (YZ ) = (X +Y)(X + Z )

17. (X Y) = X + Y

19. X.(X + Y) = X.Y

Identitas (persamaan dasar) Boolean

dual

Dual adalah pasangan identitas lts15 15

Commutative law: Urutan penulisan variabel tidak

berpengaruh terhadap hasil.

(10) X + Y = Y + X (11) X . Y = Y . X

Associative law: Pengelompokan variabel tidak berpengaruh

terhadap hasil.

(12) X + (Y + Z) = (X + Y) + Z (13) X.(Y.Z) = (X.Y).Z

Distributive law: Variabel bersama dapat dikeluarkan.

(14) X.( Y + Z) = X.Y + X.Z (15) X + Y.Z = (X + Y).(X + Z)

lts15 16

Dual dari suatu identitas Boolean dapat diperoleh melalui

langkah langkah sebagai berikut.

1. Pertukarkan operator AND OR dalam identitas

tersebut,

2. Pertukarkan logika 0 1 dalam identitas tersebut.

3. Hasilnya adalah identitas lain yang merupakan

dual dari identitas pertama.

A + (B . C ) = (B . C ) + D A + A = 1

A . (B + C ) = (B + C ) . D A . A = 0

Bagaimana dual untuk A . (A + B) = A . B ?

Contoh :

lts15 17

Aturan deMorgan

Aturan deMorgan memungkinkan perubahan bentuk

perkalian logika (AND) ke bentuk penjumlahan logika (OR)

dan sebaliknya.

Identitas 16 : ( X + Y ) = X . Y Identitas 17 : ( X . Y ) = X + Y

bentuk AND

bentuk OR

bentuk AND

bentuk OR

dasar aturan deMorgan : identitas 16 dan 17

lts15 18

Perluasan aturan deMorgan untuk fungsi 3 variabel

(X + Y + Z ) = (X + (Y + Z ))

= X . (Y + Z )

= X . (Y . Z )

(X + Y + Z ) = X . Y . Z

identitas 12

identitas 16

identitas 17

identitas 13

bentuk OR bentuk AND lts15 19

(X .Y. Z) = (X . (Y . Z ))

= X + (Y . Z )

= X + (Y + Z )

(X .Y. Z) = X + Y + Z

identitas ?

identitas ?

identitas ?

identitas ?

bentuk OR bentuk AND

lts15 20

Cara penulisan lain : A = A

( X . Y . Z ) = ( X . ( Y . Z ) )

= X + ( Y . Z )

= X + ( Y + Z )

= X + Y + Z

(X + Y + Z ) = ( X + ( Y + Z ) )

= X . ( Y + Z )

= X . ( Y . Z )

= X . Y . Z

lts15 21

Aturan de Morgan dan ekivalensi gerbang logika

( X . Y ) = X + Y

= X X

Y Y F F

( X + Y ) = X . Y

Y

X = F

Y

X F

= F F

X

Y

X

Y

X

Y

lts15 22

1. (A B + A B) = (A . B) . (A . B)

= (A