Upload
claudia-khansa
View
14
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Teorema 6.3.2
Jika S adalah basis ortonormal untuk ruang hasil kali dalam V berdimensi n dan ),....,,()( 21 nS uuuu
,
),....,,()( 21 nS vvvv
vektor-vektor di V maka berlaku:
1. 22
3
2
2
2
1 ....... nuuuuu
2. 22
22
2
11 )(.......)()(),( nn vuvuvuvud
3. nnvuvuvuvu ........, 2211
Contoh: Menghitung Norm dengan menggunakan basis ortonormal
1. Jika u
= (1, 1, 1) maka dengan menggunakan hasil kali dalam Euclid di 3 didapat
3111 =++=•=2222
1
uuu
Jika S adalah basis ortonormal, maka didapat koordinat )5
7,
5
1,1()( Su
(dari contoh diatas).
Dengan menggunakan teorema diatas juga diperoleh 325
75)()
5
1(-1 ==
5
7++=
222u
2. Misal },,{ 321 vvvS
dengan )6
1,
6
1,
6
1(=1v
, )
6
1-,
6
1,
6
1(=2v
, )0,
6
1-,
6
2(=3v
.
Buktikan:
S adalah basis ortonormal untuk 3 dengan hasil kali dalam yang didefinisikan sebagai
332211 ++= vuvuvuvu 32,
Jika u
= (1, -1, 2), hitung norm u
secara langsung dan menggunakan vektor koordinat Su)(
Jika },......,,{ 21 nvvvS
adalah basis ortogonal untuk ruang vektor V dan setiap vektor iv
dinormalisasi, maka diperoleh basis ortonormal =2
2
1
1
n
n
v
v
v
v
v
vS
,........,,' .
Berdasarkan teorema 6.3.1, untuk sembarang Vu∈
dapat ditulis sebagai
n
n
n
n
v
v
v
vu
v
v
v
vu
v
v
v
vuu
,.......,, +++=2
2
2
2
1
1
1
1 atau
n
n
nv
v
vuv
v
vuv
v
vuu
222
2
2
12
1
1+++=
,.......
,,. Ini menyatakan u
sebagai kombinasi linier dari vektor-
vektor basis ortogonal },......,,{ 21 nvvvS
Teorema 6.3.3
Jika },......,,{ 21 nvvvS
adalah himpunan ortogonal di ruang hasil kali dalam V dengan ivi ∀,0≠
,
maka S bebas linie
Contoh:
Untuk 1v
= (0, 1, 0), )2
1,0,
2
1(=2v
dan )
2
1-,0,
2
1(=3v
, maka },,{ 321 vvvS
adalah
himpunan ortonormal terhadap hasil kali dalam Euclid di 3.
Menurut teorema 6.3.3, S bebas linier, 3 ruang vektor berdimensi 3, maka S merupakan basis dan
merupakan basis ortonormal
Teorema 6.3.4: Teorema Proyeksi
Jika W adalah sub-ruang berdimensi hingga dari ruang hasil kali dalam V, maka setiap vektor Vu∈
dapat dinyatakan ”tepat satu cara” sebagai 21 += wwu
dimana Ww ∈1
dan ⊥
2 Ww ∈
1w
disebut proyeksi ortogonal u
pada W, uw W
proj=1 dan 2w
disebut komponen u
yang ortogonal
ke W, uwW
⊥=2 proj
Sehingga dapat ditulis u
= uW
proj + u
W
⊥proj
uW
⊥proj = u
- uW
proj maka didapat u
= uW
proj + (u
- uW
proj ) yang di 3 dapat digambar seperti
gambar di bawah ini.
uu W
proj-
uW
proj
u
W
Teorema 6.3.5
Misal W adalah sub-ruang berdimensi hingga dari ruang hasil kali dalam V
1. Jika { }rvvv
,......,, 21 adalah basis ortonormal untuk W dan Vu∈
, maka uW
proj =
rr vvuvvuvvu
,......,, +++ 2211
2. Jika { }rvvv
,......,, 21 adalah basis ortogonal untuk W dan Vu∈
, maka uW
proj =
r
r
rv
v
vuv
v
vuv
v
vu
222
2
2
12
1
1+++
,.......
,,
Contoh: Perhitungan proyeksi
3 dengan hasil kali dalam Euclid, W adalah sub-ruang yang direntang oleh vektor-vektor ortonormal
1v
= (0, 1, 0) dan )5
3,0,
5
4-(=2v
. Jika u
= (1, 1, 1) maka uW
proj =
)25
3-,1,
25
4()
5
3,0,
5
4-)(
5
1-()0,1,0)(1(,, =+=+ 2211 vvuvvu
uW
⊥proj = = u
- uW
proj = (1, 1, 1) - )
25
3-,1,
25
4( = )
25
28 0, ,
25
21(
Jika diperiksa maka uW
⊥proj akan ortogonal dengan 21 vv
dan
Teorema 6.3.6
Setiap ruang hasil kali dalam V berdimensi hingga selalu mempunyai basis ortonormal
Bukti: Karena V berdimensi hingga n maka ada basis { }nuuu
,......,, 21 . Untuk menghasilkan basis
ortogonal digunakan proses Gram Schmidt berikut.
Proses Gram-Schmidt: untuk { }nuuu
,......,, 21 yang bebas linier
Step 1: Tetapkan 11 = uv
Step 2: Mencari komponen 2u
yang ortogonal terhadap ruang W1 yang direntang oleh 1v
, diperoleh
vektor 2v
yang ortogonal dengan 1v
berdasarkan rumus
2v
= 2u
- 21uW
proj = 2u
- 12
1
12v
v
vu
,
0≠
2v karena jika 0
=2v didapat 2u
= 12
1
12v
v
vu
,
= 2 1
12
1
,u vu
u yang berarti 2u
kelipatan dari
1u
. Ini kontradiksi dengan { }nuuu
,......,, 21 yang bebas linier
Step 3: Bentuk vektor 3v
yang ortogonal terhadap 1v
dan 2v
, yaitu dengan mencari komponen dari
3u
yang ortogonal terhadap ruang W2 yang direntang oleh 1v
dan 2v
. Dengan menggunakan
teorema 6.3.5 bagian 2 didapat:
3v
= 3u
- 32uW
proj = 3u
- 22
2
23
12
1
13v
v
vuv
v
vu
,
-,
Sesuai dengan step 2, karena { }nuuu
,......,, 21
yang bebas linier maka 0≠
3v
Step 4: Bentuk vektor 4v
yang ortogonal terhadap 1v
, 2v
dan 3v
, yaitu dengan mencari komponen dari
4u
yang ortogonal terhadap ruang W3 yang direntang oleh 1v
, 2v
dan 3v
. Dengan
menggunakan teorema 6.3.5 bagian 2 didapat:
4v
= 4u
- 43
uW
proj = 4u
- 32
3
34
22
2
24
12
1
14v
v
vuv
v
vuv
v
vu
,
-,
-,
Proses dilanjutkan sampai diperoleh himpunan vektor yang ortogonal { }nvvv
,......,, 21 . Karena V
berdimensi n dan setiap himpunan ortogonal bebas linier, maka didapat basis ortogonal { }nvvv
,......,, 21
Dengan menormalisasi setiap vektor di basis ortogonal akan didapatkan basis ortonormal .
Contoh:
Jika 3 dengan hasil kali dalam Euclid mempunyai basis S ={ }321 uuu
,, dengan
1u
= (1, 1, 1), 2u
= (0, 1, 1) dan 3u
= (0, 0, 1). Maka ubahlah S menjadi basis ortonormal },,{ 321 qqq
.
Jawab:
Step 1: 11 = uv
= (1, 1, 1),
Step 2: 2v
= 2u
- 21uW
proj = 2u
- 12
1
12v
v
vu
,
= (0, 1, 1) - )1 1, 1,(3
2= )
3
1,
3
1,
3
2(-
Step 3: 3v
= 3u
- 32uW
proj = 3u
- 22
2
23
12
1
13v
v
vuv
v
vu
,
-,
3v
= (0, 0, 1) - )1 1, 1,(3
1-
32
31
)3
1,
3
1,
3
2(- = )
2
1,
2
1- (0,
Sehingga didapat { }321 vvv
,, basis ortogonal 3.
)3
1,
3
1,
3
1(1) 1, 1,(
3
1===
1
1
1v
vq
)6
1,
6
1,
6
2-()
3
1 ,
3
1,
3
2-(
6
3===
2
2
2v
vq
)2
1,
2
1-,0()
2
1 ,
2
1- 0,(2 ===
3
3
3v
vq
dan },,{ 321 qqq
adalah basis ortonormal 3
Catatan:
Dari proses Gram-Schmidt dapat dilihat bahwa untuk 2≥k , },......,,{ kqqq
21 adalah basis
ortonormal untuk ruang vektor yang direntang oleh { }kuuu
,......,, 21
vektor kq
ortogonal terhadap 121 ,......,, kuuu
Dekomposisi QR
Problem: Jika A adalah matriks m x n dengan vektor-vektor kolom yang bebas linier dan Q adalah
matriks dengan vektor-vektor kolom yang ortonormal hasil dari proses Gram-Schmidt dari
vektor kolom A. Maka akan dilihat hubungan antara A dan Q
Misal vektor-vektor kolom dari A adalah nuuu
,......,, 21 dan vektor-vektor kolom yang ortonormal
dari Q adalah },......,,{ 21 nqqq
]......21 nuuuA
dan nqqqQ
,......21
Berdasarkan teorema 6.3.1 dapat ditulis:
nn qquqquqquu
,........,, 12211111
nn qquqquqquu
,........,, 22221122
:
nnnnnn qquqquqquu
,........,, 2211
Atau
]......21 nuuu
= nqqq
,......21
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
1 2
, , ........ ,
, , ........ ,
, , ......... ,
n
n
n n n n
u q u q u q
u q u q u q
u q u q u q
atau A = Q R
Karena vektor kq
ortogonal terhadap 121 ,......,, kuuu
untuk setiap k ≥ 2 maka didapat
R =
1 1 2 1 1
2 2 2
, , ........ ,
0 , ........ ,
0 0 ......... ,
n
n
n n
u q u q u q
u q u q
u q
Teorema 6.3.7 ( Dekomposisi QR )
Jika A adalah matriks m x n dengan vektor-vektor kolom yang bebas linier, maka A dapat dinyatakan
sebagai QRA dimana Q adalah matriks m x n dengan vektor kolomnya ortonormal dan R matriks
n x n yang berupa matriks segitiga atas yang invertible
Contoh:
Jika
111
011
001
A , dan det A ≠ 0 maka vektor-vektor kolom A bebas linier yaitu;
1
1
1
1u
,
1
1
0
2u
dan
1
0
0
3u
.
Dengan proses Gram-Schmidt diperoleh vektor-vektor ortonormal
31
31
31
1q
,
61
61
62
2q
dan
21
21
0
3q
Sehingga didapat matriks
R =
n
n
n
qu
ququ
quququ
,.........00
,........,0
,........,,
1
222
11211
=
2100
61
620
31
32
33
Dekomposisi Q R dari A adalah
111
011
001
A =
321
21
0
61
61
62
31
31
31
2100
61
620
31
32
33
6.4 Best Approximation: Least Square
Misal P adalah titik di R3, W adalah bidang yang melalui titik asal, titik Q adalah titik yang terdekat
dengan titik P
Jika u
=OP maka OQuW
proj dan uu W
proj adalah jarak minimal antara titik P dengan bidang
W
Misal u
akan di aproksimasi oleh vektor di W, berarti akan ada vektor error yaitu wu
dengan Ww
Aproksimasi terbaik dari u
adalah vektor yang mempunyai wu
minimal yaitu uW
proj
Teorema 6.4.1: Teorema Aproksimasi Terbaik
Jika W adalah subspace berdimensi hingga dari suatu ruang hasil kali dalam V, dan jika u
adalah
vektor di V maka uW
proj adalah aproksimasi terbaik dari u
di W karena wuuu W
proj
untuk Ww
yang berbeda dengan uW
proj
Bukti:
Ww
dapat ditulis )proj()proj( wuuuwu WW
dengan
Wuu W )proj(
dan WwuW )(proj
Sehingga )proj( uu W
dan )(proj wuW
saling ortogonal yang sesuai dengan teorema Pythagoras
berlaku: 222
projproj wuuuwu WW
Jika uw W
proj maka 0proj wuW
. Sehingga didapat
22proj uuwu W
atau
uuwu W
proj atau uuwu W
proj
Least Square Problem
Diberikan suatu sistem persamaan linier bxA
dengan m persamaan dan n unknown, akan dicari
vektor x
yang meminimumkan bxA
terhadap hasil kali dalam Euclid di m. Vektor x
dinamakan
solusi least-square dari persamaan bxA
Misal W ruang kolom dari A. Untuk setiap matriks x
berukuran n x 1, perkalian xA
adalah kombinasi
linier dari vektor-vektor kolom dari A.
Karena vektor x
bervariasi di n, maka vektor xA
juga bervariasi dari semua kemungkinan kombinasi
linier dari vektor-vektor kolom A yaitu vektor xA
bervariasi dari seluruh ruang kolom W.
Secara geometri, mencari vektor x
sedemikian sehingga xA
adalah vektor terdekat dengan b yaitu
bxA
minimal merupakan least-square problem atau x
adalah solusi least-square.
Teorema 6.4.1 mengatakan agar x
menjadi solusi least square dari bxA
maka bxA W
proy
bbxAb W
proy adalah ortogonal terhadap ruang kolom A.
Sesuai dengan teorema 6.2.6 maka xAb
ada di nullspace dari AT. Sehingga 0)( xAbAT atau
bAxAA TT
→ persamaan ini disebut sistem normal yang bersesuaian dengan bxA
Catatan:
Sisten normal terdiri dari n persamaan dengan n unknown
Sisten normal konsisten karena dipenuhi oleh solusi least square dari bxA
Sisten normal mungkin mempunyai banyak solusi.
Teorema 6.4.2:
Untuk sembarang sistem persamaan linier bxA
, sistem normal yang bersesuaian
bAxAA TT
selalu konsisten dan semua solusi dari sistem normal adalah solusi Least-square
dari bxA
Jika W adalah ruang kolom dari A dan x
adalah sembarang solusi Least-square dari bxA
maka proyeksi ortogonal dari b
pada W adalah xAbW
=proy
Teorema 6.4.3:
Jika A adalah matriks m x n, maka persamaan berikut ekivalen
1. A mempunyai vektor kolom yang bebas linier
2. AAT invertible
Bukti:
)2()1( →
A mempunyai vektor kolom yang bebas linier maka AAT berukuran n x n
Akan dibuktikan AAT invertible atau persamaan 0
=xAAT mempunyai solusi trivial.
Jika x
adalah solusi dari 0
=xAAT, maka
xA
ada di nullspace TA atau xA
ada di ruang kolom A
0
=xA karena null-space dari TA dan ruang kolom A saling ortogonal komplement
0
=xA dan A mempunyai vektor kolom yang bebas linier maka 0
=x .
Jadi 0
=xAAT hanya mempunyai solusi trivial atau AAT invertible
)1(→)2(
AAT invertible, maka 0
=xAAT hanya mempunyai solusi trivial 0
=x
Akan dibuktikan A mempunyai vektor kolom yang bebas linier atau 0
=xA hanya mempunyai solusi
trivial 0
=x
Misal x
adalah solusi dari 0
=xA , maka 0)0(
==TT AxAA . Karena AAT invertible maka 0
=x
atau A mempunyai vektor kolom yang bebas linier
Teorema 6.4.4 (Ketunggalan dari solusi Least Square)
Jika A adalah matriks m x n dengan vektor kolom yang bebas linier maka untuk setiap matriks b
(n x 1), sistem persamaan linier bxA
= mempunyai solusi Least Square yang unik yaitu
bAAAx TT -1)(=
Jika W ruang kolom dari A maka proyeksi ortogonal dari b
pada W adalah
bAAAAxAb TT
W
-1)(proj ==
Contoh: Cari solusi Least Square dari sistem linier
342-
123
4-
=+
=+
=
21
21
21
xx
xx
xx
dan cari proyeksi ortogonal dari b
pada ruang kolom dari A
Jawab:
1 -1
3 2
-2 4
A
dan
4
1
3
b
Vektor-vektor kolom A bebas linier, maka solusi Least Square yang unik.
1 -11 3 -2 14 -3
3 2-1 2 4 -3 21
-2 4
TA A
41 3 -2 1
1-1 2 4 10
3
TA b
Sistem normal bAxAA TT
menjadi 1
2
14 -3 1
-3 21 10
x
x
Sehingga didapat 285
143,
95
17== 21 xx dan proyeksi ortogonal b
pada ruang kolom A adalah
92-2851 -1 17
95 4393 2285143
-2 4 285 9457
Ax
1. Cari proyeksi ortogonal vektor u
= (-3, -3, 8, 9) pada subruang dari 4 yang direntang oleh vektor-
vektor 1) 0, 1, 3,(=1u
)1 1, 2, 1,(=2u
1)- 2, 0, -1,(=3u
Jawab: W subruang dari 4 yang direntang oleh vektor-vektor 321 uuu
,, adalah ruang kolom dari
matriks
3 1 -1
1 2 0
0 1 2
1 1 -1
A
dan
-3
-3
8
9
u
Proyeksi u
pada subruang tersebut xAbW
=proj (Lanjutkan)
Definisi:
Jika W adalah subruang dari m, maka transformasi WRP m →: yang memetakan setiap vektor
∈x
Rm ke proyeksi ortogonal xW
proj di W disebut proyeksi ortogonal dari m pada W.
Matriks standard untuk proyeksi ortogonal dari m pada W adalah [ ] TT AAAAP -1)(= dimana A
dibentuk dengan menggunakan sembarang basis untuk W sebagai vektor-vektor kolom.
Contoh:
Matriks standard untuk proyeksi ortogonal di 3 pada bidang xy adalah
1 0 0
0 1 0
0 0 0
P
Jika W = bid xy, ambil 1
1
0
0
u
, 2
0
1
0
u
sebagai basis untuk W maka
1 0
0 1
0 0
A
,
1 01 0 0 1 0
0 10 1 0 0 1
0 0
TA A
-1
1 01 0 0
( ) 0 10 1 0
0 0
T TP A A A A I
1 0 0
0 1 0
0 0 0
6.5 Matriks Ortogonal dan Perubahan Basis
Definisi:
Suatu matriks bujur sangkar A disebut matriks ortogonal jika bersifat TAA =-1
Matriks bujur sangkar A ortogonal ⇔ AAAA TT= = I
Contoh: 1.
1 -12 2
1 12 2
A
maka
1 -1 1 11 02 2 2 2
1 1 -1 1 0 12 2 2 2
TAA
Jadi A disebut matriks ortogonal dan -1
1 12 2
-1 12 2
A
2. Periksa ortogonalitas dari matriks dibawah ini dan cari -1A
a.
10 12
1 0 0
10 02
b.
-1 1 12 6 3
-2 106 3
1 1 12 6 3
Teorema 6.5.1
Pernyataan berikut ekivalen untuk matriks A (n x n)
(a) A ortogonal
(b) Vektor-vektor baris dari A membentuk himpunan ortonormal di n dengan hasil kali dalam Euclid
(c) Vektor-vektor kolom dari A membentuk himpunan ortonormal di n dengan hasil kali dalam
Euclid
Teorema 6.5.2
(a) Invers dari matriks ortogonal juga ortogonal
(b) Perkalian matriks-matriks ortogonal juga ortogonal
(c) Jika A ortogonal maka det (A) = 1 atau det (A) = -1
Teorema 6.5.3
Pernyataan berikut ekivalen untuk matriks A (n x n)
(a) A ortogonal
(b) nRxxxA ∈=∀,
(c) nRyxyxyAxA ∈∀•=•
,
Bukti:
)()( ba →
A ortogonal , maka IAAT=
xxxxAAxxAxAxA T =•=•=•= 2
12
12
1
)()()(
(b) (c)
Diket. nRxxxA
,
4
1 -
4
1
) (4
1 - )(
4
1
4
1 -
4
1
22
22
22
yx
yxyx
yxAyxA
yAxAyAxAyAxA
(c) (a)
Diket. nRyxyxyAxA
,
0 - yxyAAxyAAxyAxAyx TT
0 )(
0 ) (
yIAAx
yyAAx
T
T
Karena berlaku untuk sembarang x maka berlaku juga untuk
)( yIAAx T , sehingga )( yIAAT
• )( yIAAT = 0
dari sifat inner product diperoleh:
)( yIAAT = 0
Persamaan ini berlaku untuk sembarang nRy
, sehingga
0 IAAT atau IAAT A orthogonal
Jika nn RRT : adalah perkalian oleh matrix orthogonal A, maka T disebut operator orthogonal pada
nR .
Dari Teorema 6.5.3 operator orthogonal pada nR tidak mengubah panjang vektor.
pencerminan dan rotasi di 2R dan 3R mempunyai matrix standard yang orthogonal.
Misal nvvvS
,...,, 21 adalah basis untuk ruang vektor V, maka Vv
dapat dinyatakan sebagai:
nnvkvkvkv
2211
dengan
n
S
k
k
k
v
2
1
disebut matrix koordinat dari v relatif terhadap S.
Masalah Perubahan Basis:
Jika basis dari suatu ruang vector di ubah dari basis lama B menjadi basis baru B’, apa hubungan antara
Bv
dan 'Bv
?
Misal 21,uuB
dan 21,' vvB
, B = basis lama, B’ = basis baru
Misalkan
b
av
B1
dan
d
cv
B2
yaitu 212
211
uducv
ubuav
Misal Vv
dan
2
1
'k
kv B
atau 2211 vkvkv
sehingga )()( 212211 uduckubuakv
221121 )()( udkbkuckak
berarti
2
1
21
21
k
k
db
ca
dkbk
ckakv B
= BB
vv 21
'Bv
Secara umum:
Jika kita mengubah basis lama dari suatu ruang vektor V, nuuuB ,...,, 21
menjadi basis baru nvvvB ,..,,' 21 maka Bv = P 'Bv
dimana P adalah matrix yang kolom-kolomnya adalah matrix koordinat vektor-vektor basis baru
terhadap basis lama, yaitu BnBB
vvv ,...,, 21 .
P disebut matrix transisi basis dari B’ ke B.
Contoh:
21,uuB dan 21,' vvB adalah basis untuk 2R ,
dengan
4
3,
1
2,
1
0,
0
12121 vvuu
Misal P adalah matrix transisi dari B’ ke B P= BB
vv 21
4
3,
1
221
212
211
BBvv
uducv
ubuav
Maka
41
32P
Jika
5
3w cari Bw dan 'Bw
Cara I :
1113
113
5
3
21
34
11
1
41
32
5
3 '''
2211
BBBB
B
wwwPww
ukukw
Cara II : (secara langsung)
111354
113332
4
3
1
2
5
3
221
12121
2211
ccc
ccccc
vcvcw
1113
113
'Bw
Misal Q adalah matrix transisi dari B ke B’, maka
'2'1 BB
uuQ
112
111
113
114
112
113
,
11111
4
'2'1
212
211Quu
vdvcu
vbvauBB
PQ =
41
32
11
211
111
311
4=
10
01 1 PQ
Teorema 6.5.4.
Jika P adalah matrix transisi dari suatu basis B’ ke B maka:
a. P invertible
b. P-1 adalah matrix transisi dari B ke B’
Teorema 6.5.5 Jika P adalah matrix transisi dari suatu basis ortonormal ke basis ortonormal lain pada
suatu ruang vektor, maka P adalah matrix orthogonal, yaitu: P-1 = PT