CHÖÔNG 2MOÂ HÌNH HOÙA

2.1 Giôùi thieäu2.2 Phaân tích chöùc naêng caùc khoái vaø lieân keát ngoaøi heä thoáng2.3 Phaân tích vaät lyù heä thoáng ñieän2.4 Phaân tích toaùn hoïc heä thoáng ñieän2.5 Moät soá ví duï veà moâ hình hoùa heä thoáng Taøi lieäu tham khaûo: chöông 2, 4 _ Introduction To Dynamic Systems Modeling For Design_David L.Smith

Moâ hình hoùa laø phöông phaùp xaây döïng moâ hình toaùn hoïc cuûa heä thoáng baèng caùch phaân tích heä thoáng thaønh caùc khoái chöùc naêng, trong ñoù moâ hình toaùn hoïc caùc khoái chöùc naêng ñaõ bieát hoaëc coù theå ruùt ra ñöôïc töø caùc qui luaät vaät lyù. Sau ñoù caùc khoái chöùc naêng ñöôïc keát noái toaùn hoïc ñeå coù ñöôïc moâ hình toaùn cuûa heä thoáng.

• 2.1 Giôùi thieäu

3 böôùc thöïc hieän moâ hình hoùa

Phaân tích chöùc naêng Phaân tích vaät lyù Phaân tích toaùn hoïc

Phaân tích chöùc naêng laø phaân tích heä thoáng caàn moâ hình hoùa thaønh caùc heä thoáng con goàm nhieàu boä phaän chöùc naêng (funtional component).

• 2.2 Phaân tích chöùc naêng

• 2.2.1 Khaùi nieäm

Khi phaân tích chöùc naêng caàn ñeå yù ñeán lieân keát vaät lyù (connectivity) vaø quan heä nhaân quaû (causality) giöõa caùc thaønh phaàn beân trong heä thoáng.

3 böôùc phaân tích chöùc naêng:

Coâ laäp heä thoáng Phaân tích heä thoáng con Xaùc ñònh caùc quan heä nhaân quaû

Xaùc ñònh giôùi haïn cuûa heä thoáng caàn moâ hình hoùa Caét keát noái cuûa heä thoáng vôùi moâi tröôøng ngoaøi Moãi keát noái bò caét ñöôïc thay theá baèng moät coång

moâ taû söï töông taùc giöõa heä thoáng vaø moâi tröôøng.

• 2.2.2 Coâ laäp heä thoáng – Lieân keát ngoaøi

Heä thoáng coù moät coång lieân keát vôùi moâi tröôøng

Coù 4 loaïi coång thöôøng gaëp: Cô khí (Machenical, Structural), Ñieän (electrical), Nhieät (thermal), Löu chaát (fluid).

Coång (port): laø moät caëp ñaàu cuoái maø qua ñoù naêng löôïng hoaëc coâng suaát ñi vaøo hoaëc ñi ra khoûi heä thoáng. Moät heä thoáng coù theå coù nhieàu coång.

Ví duï 1: Coâ laäp heä caùnh tay maùy

Sô ñoà lieân keát ngoaøi caùnh tay robot

- Phaân tích heä thoáng sau khi coâ laäp thaønh caùc heä thoáng con (subsystem).

• 2.2.3 Phaân tích heä thoáng con – Lieân keát trong

- Phaân tích heä thoáng con chi tieát ñeán töøng boä phaän (component).

- Thay theá lieân keát giöõa caùc boä phaän baèng caùc coång.

Ví duï 2: Phaân tích lieân keát trong heä caùnh tay robot.

Sô ñoà khoái caùnh tay maùy chi tieát ñeán töøng heä thoáng con.

Sô ñoà khoái caùnh tay maùy chi tieát ñeán töøng boä phaän

• Quan heä nhaân quaû cuûa coång ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc bieán ñònh nghóa coâng suaát taïi coång.

• 2.2.4 Quan heä nhaân quaû – Caùc bieán cuûa heä thoáng

Ví duï 3: Caùnh tay maùy – Sô ñoà khoái hoaøn chænh

Heä thoáng vaät lyù coù theå chia thaønh 4 loaïi: Ñieän (Electrical), Cô (Mechanical), Nhieät (Thermal), Löu chaát (Fluid). Moät heä thoáng phöùc taïp coù theå goàm caùc heä thoáng con thuoäc 4 loaïi treân.

• 2.3 Phaân tích vaät lyù• 2.3.1 Phöông phaùp phaân tích vaät lyù

• 2.3.1.1 Caùc qui luaät vaät lyù• Quan heä cô baûn giöõa löôïng, theá vaø doøng

Caùc phaàn töû cô baûn naøy ñöôïc ñònh nghóa döïa treân 3 bieán: Löôïng (Quantity), Theá (Potential), Thôøi gian (Time).

Moãi loaïi heä thoáng coù 3 phaàn töû cô baûn: Trôû (Resistance), Dung (Capacitance), Caûm (Inductance) hay Quaùn tính (Inertia).

• Baûng 2.1: Caùc bieán ñöôïc söû duïng ñeå ñònh nghóa caùc yeáu toá cô baûn cuûa caùc loaïi heä thoáng treân.

Cöôøng ñoä doøng laø bieán thieân löôïng trong moät ñôn vò thôøi gian.

)löôïng(dtd

doøngñoäcöôøng

Coâng suaát laø tích cuûa theá vaø cöôøng ñoä doøng

doøngñoäcöôøngxtheásuaátcoâng

Caùc bieán khaùc ñöôïc ñònh nghóa döïa treân 3 bieán cô baûn.

Ñònh nghóa caùc phaàn töû cô baûn (quan heä giöõa löôïng, theá vaø doøng)

Trôû laø choáng laïi söï chuyeån doøng vaät chaát hay naêng löôïng.

• Trôû ñöôïc ño baèng theá caàn thieát ñeå chuyeån moät ñôn vò löôïng trong moät ñôn vò thôøi gian (giaây)

doøngñoäcöôøngtheá

trôû

Dung bieåu dieãn moái quan heä giöõa löôïng vaø theá.

• Dung ñöôïc ño baèng löôïng caàn thieát ñeå cho theá bieán thieân moät ñôn vò.

theálöôïng

dung dt)doøngñoäcöôøng(dung

theá1

Caûm hay quaùn tính laø söï choáng laïi söï thay ñoåi traïng thaùi chuyeån ñoäng.

• Caûm ñöôïc ño baèng theá caàn thieát ñeå toác ñoä bieán thieân cöôøng ñoä doøng thay ñoåi moät ñôn vò.

)doøngñoäcöôøng(dtd

caûmtheá

Caùc phöông trình caân baèng

Caùc ñònh luaät baûo toaøn khoái löôïng, naêng löôïng vaø xung löôïng thöôøng ñöôïc söû duïng khi moâ hình hoùa. Phöông trình caân baèng coù daïng toång quaùt nhö sau:

radoøngvaøodoøngluõytíchdoøng

Neáu trong heä thoáng khoâng coù caùc phaàn töû tích tröõ khoái löôïng, naêng löôïng vaø xung löôïng thì phöông trình caân baèng coù daïng:

radoøngvaøodoøng 0

Neáu trong heä thoáng coù caùc phaàn töû tích tröõ khoái löôïng, naêng löôïng vaø xung löôïng thì naêng löôïng tích tröõ naøy laøm thay ñoåi traïng thaùi heä thoáng:

radoøngvaøodoøng)thaùitraïngbieán(dtd

• Caùc nguyeân taéc lyù töôûng hoùa:

• 2.3.1.2 Lyù töôûng hoùa caùc phaàn töû vaät lyù

Nguyeân taéc thuaàn hoùa: nhaän ra aûnh höôûng vaät lyù cô baûn chi phoái hoaït ñoäng cuûa ñoái töôïng vaø duøng caùc phaàn töû thuaàn ñeå bieåu dieãn.

Moâ hình tuï ñieän goàm caùc phaàn töû thuaàn

Nguyeân taéc taäp trung hoùa: caùc aûnh höôûng vaät lyù thaät luoân phaân boá trong moät mieàn hay trong moät vuøng khoâng gian nhaát ñònh (duø nhoû). Caùc aûnh höôûng phaân boá naøy coù theå lyù töôûng hoùa baèng caùch moâ hình hoùa taäp trung.

Ví duï 4: Moâ hình vaùn nhaûy

Nguyeân taéc tuyeán tính hoùa: taát caû caùc heä thoáng thöïc ñeàu laø heä thoáng phi tuyeán. Lyù töôûng hoùa heä thoáng thaønh heä thoáng tuyeán tính baèng pheùp tuyeán tính hoùa.

Ñaëc tính phi tuyeán cuûa ñieän trôû

Caùc bieán trong heä thoáng ñieän:

• 2.3.2 Phaân tích vaät lyù heä thoáng ñieän

• 2.3.2.1 Caùc phaàn töû ñieän

Caùc phaàn töû ñieän cô baûn:

dtdq

i

bNr

L

dS

C

Sl

R

22

Ñieän trôû R [] Ñieän dung C

[F] Ñieän caûm L [H] Nguoàn aùp lyù töôûng Nguoàn doøng lyù töôûng

Ñieän löôïng q [C] Ñieän theá u [V] Cöôøng ñoä doøng ñieän i [A]

Ñònh luaät Kirchoff 1 (doøng taïi 1 nuùt): i = 0 Ñònh luaät Kirchoff 2 (aùp trong voøng kín): e =

u

• 2.3.2.2 Phöông trình caân baèng ñieän

dtiC

Ridtdi

LRiee

uuuuee CRLR

3332

21121

332121

1

• 2.3.2.3 Phöông phaùp giaûi tích maïch ñieän Phöông phaùp doøng voøng (duøng ñònh luaät Kirchoff 2)

)II(ZI.ZE baa 211

)II(ZIZE abb 233

• Voøng Ia:

• Voøng Ib:

Phöông phaùp ñieän theá nuùt (duøng ñònh luaät Kirchoff 1)

X4

R1

X2

1JR2 R4

R3

2J

1 2

32313211 )Y()YYY(J• Nuùt 1:

242132 )YY()Y(J• Nuùt 2:

j

ii

)j,inuùtgiöõanaïpdaãntoång(

)inuùttôùinoáinaïpdaãntoång(J

ZY

U.YIvôùi

1

• 2.3.3 Phaân tích vaät lyù heä thoáng cô

• 2.3.3.1 Caùc phaàn töû cô

• Chuyeån ñoäng thaúng

Caùc bieán:

dtdx

v

Caùc phaàn töû:

Khoaûng caùch x [m] Löïc f [N] Toác ñoä v [m/sec]

Trôû RM = b [N.sec/m]

b: heä soá ma saùt nhôùt

DungCM = 1/k [N/m]

k: ñoä cöùng loø xo

Quaùn tính cô m [kg]

• Chuyeån ñoäng quay Chuyeån ñoäng thaúngMomentGoùc quayVaän toác goùcGia toác goùcMoment quaùn tính

LöïcKhoaûng caùchVaän toácGia toácQuaùn tính

• 2.3.3.2 Phöông trình caân baèng cô Phöông trình caân baèng löïc (moment). Phöông trình caân baèng Euler – Lagrange:

qL

)qL

(dtd

L = T - UU: theá naêng; T: ñoäng naêngq: toïa ñoä toång quaùt: ngoaïi löïc hay moment

• Ví duï 5: Moâ hình hoùa heä thoáng sau

• Caùch 1: Duøng ñònh luaät Newton• AÙp duïng ñònh luaät II Newton chieáu

leân phöông chuyeån ñoäng ta coù:

sinP)t(F)t(xm

• Caùch 2: Duøng coâng thöùc Euler – Lagrange:

sinmgxU:naêngTheá

xmT:naêngÑoäng 22

1

sinmgxxmUTL 22

1

• AÙp duïng coâng thöùc Euler – Lagrange:

Fsinmgxm

Fsinmg)xm(dtd

FxL

)xL

(dtd

• Ví duï 6: Moâ hình hoùa heä thoáng giaûm soác xe maùy

•Caùch 1: Duøng ñònh luaät Newton•AÙp duïng ñònh luaät Newton II chieáu leân phöông chuyeån ñoäng ta coù:

)t(f)t(kx)t(xb)t(xm

)t(xb)t(kx)t(f)t(ma)t(xm

222

1

2

1kxxmUTL

• AÙp duïng coâng thöùc Euler – Lagrange:

fkxxbxm

xbfkx)xm(dtd

FxL

)xL

(dtd

•Caùch 2: Duøng coâng thöùc Euler – Lagrange:

2

2

2

12

1

kxU:naêngTheá

xmT:naêngÑoäng

•Caùch 3: AÙp duïng söï töông ñoàng giöõa heä thoáng ñieän vaø heä thoáng cô

•Theá: fU•Löôïng: x q•Dung: 1/k C •Trôû: b R•Caûm: m L

Ta coù:

)t(u)t(qC

)t(qR)t(qLU)C

LsRs(Q

U)C

LsRs(sI

U)Cs

LsR(I

11

11

2

2

Suy ra phöông trình caân baèng trong heä cô:

)t(f)t(kx)t(xb)t(xm

• 2.3.4 Phaân tích vaät lyù heä löu chaát loûng

• 2.3.4.1 Caùc phaàn töû löu chaátCaùc bieán:

aùp suaát p [0C]theå tích V [J]löu löôïng q [J/sec]

Caùc phaàn töû:löu trôû ñöôøng oáng

dtdV

q

]msec/.N[d

lRL 4

128

Coâng thöùc treân chæ ñuùng vôùi tröôøng hôïp löu chaát chaûy taàng (coù höôùng) vaø ñöôøng oáng daãn löu chaát daøi (l>20d). laø ñoä nhôùt tuyeät ñoái cuûa löu chaát

löu trôû van: phi tuyeán

löu dung ]N/m[g

ACL

5

qdtC

p

pV

C

L

L

1

quaùn tính

dtdq

Ip

]m/secN[al

I

L

L

52

• 2.3.4.2 Phöông trình caân baèng heä löu chaát

;dtdh

AQQ oi thoaùtloãdieäntieátlaøavôùi;gh.aQo

laø maät ñoä chaát loûng (kg/cm3)

• Ví duï 7: Moâ hình hoùa heä thoáng sau•A: tieát dieän boàn chöùa•a: tieát dieän van xaû•k: heä soá bôm

dtdh

Aqq outin • Phöông trình caân baèng löu löôïng:

xaûsoáheälaøCvôùigh.a.Cq ddout • Löu löôïng ra:

• Löu löôïng vaøo: )t(u.kqin

)gh.a.C)t(u.k(A

h d

• Vaäy:

• 2.4 Phaân tích toaùn hoïc heä thoáng ñieän

Keát hôïp taát caû caùc heä phöông trình moâ taû ñaëc tính ñoäng cuûa caùc boä phaän chöùc naêng ñeå ñöôïc heä phöông trình moâ taû heä thoáng.

Xeùt heä phi tuyeán baäc n coù p ngoõ vaøo vaø q ngoõ ra ñöôïc moâ taû bôûi heä phöông trình traïng thaùi:

))t(u),t(x(h)t(y

))t(u),t(x(f)t(x

x(t) laø vectô traïng thaùiu(t) laø vectô tín hieäu vaøo; y(t) laø vectô tín hieäu ra

Tuyeán tính hoùa quan heä phi tuyeán ñeå coù ñöôïc moâ taû toaùn hoïc tuyeán tính.

f(.) vaø h(.) laø vectô haøm moâ taû ñaëc tính ñoäng cuûa heä thoáng phi tuyeán.

Duøng phöông phaùp tuyeán tính hoùa, khai trieån Taylor xung quanh ñieåm laøm vieäc tónh ta coù moâ taû heä thoáng baèng phöông trình traïng thaùi tuyeán tính:

)u,x(

)u,x(hy(y)t(y)t(y~u)t(u)t(u~x)t(x)t(x~:vôùi

)t(u~D)t(x~C)t(y~)t(u~B)t(x~A)t(x~

A, B, C, D laø caùc ma traän traïng thaùi heä tuyeán tính gaàn ñuùng.

)u,x(n

nnn

n

n

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

A)u,x(

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

)u,x(p

nnn

p

p

uf

uf

uf

uf

uf

uf

uf

uf

uf

uf

B)u,x(

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

)u,x(n

qqq

n

n

x

h

x

h

x

h

xh

xh

xh

xh

xh

xh

xh

C)u,x(

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

)u,x(p

qqq

n

p

u

h

u

h

u

h

uh

uh

uh

uh

uh

uh

uh

D)u,x(

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

Ñaïi soá sô ñoà khoái – Phöông phaùp sô ñoà doøng tín hieäu vaø coâng thöùc Mason ñeå tìm haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä tuyeán tính.

Ñaùnh giaù söï phuø hôïp cuûa moâ hình.

Duøng moâ hình ñeå döï baùo ñaùp öùng cuûa heä thoáng ñoái vôùi tín hieäu vaøo cho tröôùc.

• Baøi Taäp 1: Moâ hình hoùa heä thoáng maïch ñieän sau:

• Bieán traïng thaùi trong phöông trình laø uC vaø i.

• Phöông trình bieán traïng thaùi cuûa maïch ñieän treân laø:

cL

c

uRiudtdi

Lu

dtdu

Ci

•AÙp duïng Kirchoff 2 ta coù:

uLi

u

LR

L

C

dtdidt

duc

c

10

1

10

• Baøi Taäp 2: Moâ hình hoùa heä thoáng maïch ñieän sau:

32V R2C

L2R1 L1

+-

i1 i2uc

222

22

111

11

21

iRudtdi

Lu

uiRudtdi

Lu

iidtdu

Ci

cL

cL

cc

• AÙp duïng Kirchoff 1,2 ta coù:

uL

u

i

i

CC

LLR

LLR

dtdudtdidtdi

cc

0

0

11

011

10

10

2

1

22

211

1

2

1

• Bieán traïng thaùi trong phöông trình laø uC, i1 vaø i2.

• Phöông trình bieán traïng thaùi cuûa maïch ñieän treân laø:

Baøi Taäp 3: Moâ hình hoùa ñoäng cô ñieän DC kích töø ñoäc laäp

ua

Ra La

+-

Rf Lf

+-

uf

dtd

kkke

eiRudtdi

Lu

mbmbmma

aaaaa

aaL

• AÙp duïng Kirchoff II ta coù:

• Xem töø thoâng cuûa maùy khoâng ñoåi.

• AÙp duïng ñònh luaät Newton II ta coù:

dtd

BMMdt

dJ

ikikMvôùiBMMdt

dJ

mmLm

mm

abammmmLmm

m

2

2

• Moâ hình toaùn ñoäng cô:

mmLmm

m

mbmba

aaaaa

a

BMMdt

dJ

dtd

kke

eiRudtdi

L

• Trong ñoù Bm laø heä soá ma saùt

• Caùc bieán traïng thaùi laø m, m, ia.

Lm

a

m

m

a

m

m

m

b

a

b

a

a

m

m

a

MJ

uLi

JB

Jk

Lk

LR

dtddt

ddtdi

0

10

0

0

1

010

0

0

• Phöông trình bieán traïng thaùi laø:

• Baøi taäp 4: Moâ hình hoùa heä tay maùy 2 baäc töï do

m1, m2: khoái löôïng [kg]

l1, l2: chieàu daøi 2 caùnh tay maùy [m]

1, 2: goùc quay caùc khôùp caùnh tay[rad]

1, 2: moment laøm quay caùc khôùp noái [Nm]

• Toïa ñoä caùnh tay maùy trong heä toïa ñoä Decac:

• x1 = – l1sin1 x2 = – l1sin1 – l2sin2

• y1 = l1cos1 y2 = l1cos1 + l2cos2

Chuù yù: goùc quay döông ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà.

• Vaän toác:

222111

222111

2

22

111

111

1

11

sinlsinl

coslcosl

y

xv

sinl

cosl

y

xv

• Ñoäng naêng:

)sinsincos(cosllm

lmlmlm

)yx(m)yx(mT

212121212

22

222

21

212

21

211

22

222

21

211

2

1

2

1

2

12

1

2

1

• Theá naêng:

)coslcosl(gmcosglmU 22112111

222

111

L)

L(

dtd

L)

L(

dtd

• Phöông trình Euler – Lagrange:

)coslcosl(gmcosglm

)sinsincos(cosllm

lmlmlmUTL

22112111

212121212

22

222

21

212

21

211 2

1

2

1

2

1

singlm)sincoscos(sinllm

)sinsincos(cosllmlm

singl)mm()sincoscos(sinllm

)sinsincos(cosllml)mm(

• Vaäy moâ hình toaùn heä thoáng:

• Baøi taäp 5: Moâ hình hoùa heä thoáng sauA1: tieát dieän döôùi cuûa thuøng.A2: tieát dieän treân cuûa thuøng.

k: heä soá coâng suaát bôma: tieát dieän van xaû

dtdh

Aqq outin

• Phöông trình caân baèng löu löôïng:

)gh.a.C)t(u.k())AA).(Hh(A(

h

dtdh

)).AA).(Hh(A(gh.a.C)t(u.k

d

d

Vaäy:

Chuù yù: (x) = 0 neáu x 0 vaø (x) = 1 neáu x 0

Hh

qout

qi

nu(t)

A1

A2

H

Van xaû 1 Van xaû 2a1 a2 q02q01

q12

qi1 qi2

Bôm 1 Bôm 2

• Baøi taäp 6: Moâ hình hoùa heä thoáng sau

• q12 : löu löôïng ñoái löu giöõa thuøng 1 vaø thuøng 2 qua van ñoái löu 12.

• Cd1, Cd2, Cd12 : heä soá xaû cuûa caùc van.

• xc1, xc2: bieán moâ taû traïng thaùi van xaû 1, 2.

• xc12, xc21, xc22: bieán moâ taû traïng thaùi möùc nöôùc.

HhvaøHhneáu

HhvaøHhneáuxc

HhvaøHhneáu

HhvaøHhneáuxc

HhvaøHhneáuHhvaøhhneáu

Hhvaøhhneáuxc

dt

dhAhhsignxhhxHh

xHhgaCxghaCtuk

dt

dhAqqq

cc

cdcd

i

11212221212

1211212111111

1112011

)](...

.[2...2..)(.

• Phöông trình caân baèng löu löôïng vaøo ra thuøng 1:

dtdh

A)]hh(sign.x.hhx.Hh

x.Hh[g.a.Cx.gh.a.Cu.k

dtdh

Aqqq

cc

cdcd

i

• Phöông trình caân baèng löu löôïng vaøo ra thuøng 2:

• Heä phöông trình bieán traïng thaùi cuûa heä thoáng:

)]}hh(sign.x.hhx.Hh

x.Hh[g.a.Cx.gh.a.Cu.k{Adt

dh

cc

cdcd

)]}hh(sign.x.hhx.Hh

x.Hh[g.a.Cx.gh.a.Cu.k{Adt

dh

cc

cdcd

• Baøi taäp 7: Moâ hình hoùa heä con laéc ngöôïc

M: troïng löôïng xe [kg]x: vò trí cuûa xeF: löïc taùc duïng vaøo xe [N]m: troïng löôïng con laéc [kg]l: chieàu daøi con laéc [m]g: gia toác troïng tröôøng

[m/s2]: goùc giöõa con laéc vaø

phöông thaúng ñöùng [rad]

•Caùch 1: Duøng ñònh luaät Newton

• Neáu goïi (xp, yp) laø toïa ñoä con laéc, ta coù:

• xp = x + lsin vaø yp = lcos

• Ñònh luaät Newton II cho chuyeån ñoäng tònh tieán theo truïc x:

Fdt

xdm

dt

xdM p

2

2

2

2

F)sinlx(dt

dm

dt

xdM

2

2

2

2

F)(cosml)(sinmlx)mM( 2

• Ñònh luaät Newton II cho chuyeån ñoäng quay quanh truïc:

sinmglsinldt

ydmcosl

dt

xdm pp

2

2

2

2

sinmglsinl)cosl(

dt

dmcosl)sinlx(

dt

dm

2

2

2

2

sinmglmlcosxm

l)mM()(cosml

)sin(cosml)(sing)mM(cosF

)(cosmmM

sincosmg)(sinmlFx

2

2

2

2

• Vaäy moâ hình toaùn heä con laéc ngöôïc:

•Caùch 2: Duøng phöông phaùp Euler - Lagrange

222

2222

2

1

2

12

1

2

1

2

1

2

1

mlcosxmlxm

)sinl(m)coslx(mymxmT ppm

2

2

1xMTM

cosmglU

•Ñoäng naêng cuûa con laéc:

•Ñoäng naêng cuûa xe:

•Theá naêng cuûa heä:

•Ñoäng naêng cuûa heä: T = Tm+ TM

cosmglmlcosxmlx)mM(

cosmglxMmlcosxmlxmL

222

2222

2

1

2

12

1

2

1

2

1

00

2

sinmgmlcosxm

F)(sinml)(cosmlx)mM(L

)L

(dtd

FxL

)xL

(dtd

l)mM()(cosml

)sin(cosml)(sing)mM(cosF

)(cosmmM

sincosmg)(sinmlFx

2

2

2

2

• Vaäy moâ hình toaùn heä con laéc ngöôïc:

• Phöông trình Euler – Lagrange: