bai toan luong

8/19/2019 bai toan luong

1/16

Bài toán luồng vớ i chi phí nhỏ nhất

A L G O R I T H M S A N D N E T W O R K S

Hanoi University of Agriculture Operation Research PhD. Trần Đức Quỳnh


2/16

Nội dung bài học

Bài toán luồng vớ i chi phí nhỏ nhất: phát biểu và ứng

dụng. Thuật toán “cycle cancelling”

Một vài biến thể thờ i gian đa thức của “cycle cancelling”

Hanoi University of Agriculture Operation Research PhD. Trần Đức Quỳnh2

Thuật toán áp dụng liên tiếp bài toán đườ ng đi ngắn nhất(the successive shortest paths algorithm)


3/16

Bài toán luồng chi phí nhỏ nhất

Trên một cạnh của đồ thị ta có

Khả năng thông qua (Capacity) c(u,v): giớ i hạn về đại lượ ng có thểthông qua cạnh đó

Giá (Cost) cost(u,v): giá phải trả tính trên đơ n vị của luộng thông quacạnh.


Giá của luồng (Cost of flow) f : Tổng trên tất cả các cạnh (u,v) của f (u,v).cost(u,v)


4/16


5/16

Khả năng thông qua vô hạn Có thể xẩy ra trườ ng hợ p c ó một số cạnh của đồ thị có khả năng

thông qua vô hạn

Nếu c ó một chu trình vớ i giá âm tạo thành chỉ bở i các cạnh có khảnăng thông qua vô hạn thì chúng ta có thể tạo r a một luồng vớ i giánhỏ tùy ý=> đây là trườ ng hợ p suy biến


Trong các trườ ng hợ p khác:Ta có th chuy n v trườ ng hợ p vớ i giáhữu hạn bằng cách đặt khả năng của cạnh vô hạn bằng tổng khả năngcủa tất cả các cạnh hữu hạn


6/16

Trườ ng hợ p có nhiều nút đích

Tươ ng tự nhưbài toán max-flow vớ i nhiều

s1 t1

6

G

sk tr

ts


7/16

Giá trên các cung là không âm

Có thể coi tất cả các cost là không âm.

Nếu có giá âm:giả sử khả năng hữu hạn. Biến đổi mạng vềmạng tươ ng đươ ng vớ i giá không âm:


b a

s b a t

Cost -r

Cost r

Capacity c

Capacity cCapacity c Capacity c

Cost 0 Cost 0


8/16

Ứ ng dụng

Bài toán vận tải

Ghép cặp Matching vớ i giá nhỏ nhất Reconstruction of Left Ventricle from X-ray projections

Ima e: Mản hai chiều các bit; biết tổn hàn , tổn cột và xác


xuất cho từng bit Tìm ảnh vớ i giá trị đúng các cột và các dòng vớ i xác xuất là

lớ n nhất

Bài toán này có thể mô tả như bài toán minimum cost flow


9/16

Mạng thặng dư Khả năng thông qua như trong bài toán luồng cực đại.

Nếu f (u,v)>0 thì cost f (u,v) = cost(u,v), and cost f (v,u) = –cost(u,v).



10/16

Ví dụ

a b

Capacity 5, cost 3

Giả sử chúng ta gửi luồng 1từ a tớ i b


Capacity 2, cost 6

a

apac y , cos

Capacity 2, cost 6

Capacity 1, cost -3

b

In Gf :


11/16

Thuật toán cycle cancelling Tạo r a một luồng khả thi f trên mạng

while G f có một chu trình âm do Tìm một chu trình âm C in G f Gọi D là khả năng thặng dư nhỏ nhất c f của một cạnh trên C Cho thêm D đơ n v vào mỗi c nh trên C:Đâ là m t luồn khả thi


mớ i vớ i chi phí nhỏ hơ n Output f .


12/16

Thuật toán Cycle cancelling là đúng đắn

Định lí : f có giá nhỏ nhất nếu và chỉ nếu G f không có

chu trình âm Nếu G có chu trình âm thì ta có thể cải thiện G để thu đượ c một

luộng có giá nhỏ hơ n.


s m u ng, v m u ng ưu. – m“circulation” trên G f , t ừ đ ây là t ổ hợ p tuyế n tính của các chutrình,và nếu f không phải l à t ố i ư u thì t ổ ng giả của chu trìnhnày là âm do đó tồn tại một chu trình âm trong tập hợ p này đó

là một chu trình âm trong G f .


13/16

Thuật toán cycle cancelling

Thuật toán cycle cancelling không đảm bảo là có thờ i

gian đa tức. Hệ quả:Nếu mọi giá, capacities,và luồng muốn thông

qua là số nguyên thì tồn tại một luồng tối ưu vớ i các giá


trị nguyên. Thuật toán cycle cancelling tìm đượ c một luồng nguyên

Biến thể: sử dụng chu trình giá trung bình nhỏ nhất (the

minimum mean cost cycle) cho thuật toán thờ i gian đathức


14/16

Minimum mean-cost circulation

algorithm

Trong thuật toán cycle cancelling ta tìm minimum mean

cost cycle và sử dụng chúng O(nm) time to find the cycle.

Có một định lí chỉ ra rằng số bướ c lặp là O(nm2 log2 n).


.


15/16

Successive shortest paths

Bắ t đầu vớ i luồng f vớ i f (u,v)=0 cho mọi (u,v).

repeat until value( f ) = r Tìm shortest path P trong G f từ s tớ i t

Đặt q là minimum residual capacity của các cạnh trên P.


Gửi min(q,r – value( f )) giá trị cho lu ng dọc theo P.


16/16

16

On the successive shortest paths algorithm

Có thể sử dụng thờ i giantính toán là số mũ

Giả sử G không có cạnhnáo có cost âm.

Cho lờ i iải tối ưu.

Giả sử thu đượ c f’ từ f bybằng cách gửi theo P.

Đặt f ’’ là luồng vớ i giá nhỏnhất vớ i cùng giá trị vớ i f’. Viết f ’’ – f như tổng trọng số

Đại học nông nghiệp Hà nội Bài giảng Vận Trù Học Phd. Trần Đức Quỳnh

Bất biến: f có giá nhỏ nhấttrong tất cả các luồn có giátrị value( f ).

G f và circuits trong G f .Chứng tỏ cost( f’ – f ) ≤cost( f’’– f ), suy ra:

P is shortest path

Circuits have non-negativecosts, by optimality of f .

Documents

bai toan luong