BECERRIL_HERNANDEZ_HUGO_SERGIO_Campos_vectoriales_y_tensoria.pdf

A b e l a r d o R o d r g u e z S o r i aH u g o S e r g i o B e c e r r i l H e r n n d e zN i c o l s F a l c n H e r n n d e z

UNIVERSIDADAUTONOMA

METROPOLITANA

Casa abierta al tiempo AzcapotzalcoDERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia [email protected]

DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia [email protected]

Casa abierta al tiempo

Este material fue dictaminado y aprobado porel Consejo Editorial de la Divisin de CienciasBsicas e Ingeniera, el 29 de marzo de 2000.



A b e l a r d o R o d r g u e z S o r i aH u g o S e r g i o B e c e r r i l H e r n n d e zN i c o l s F a l c n H e r n n d e z

UNMERSK>\DAUTNOMA

e O OCasa abierta al tiempo

Divisin de Ciencias Bsicas e IngenieraDepartamento de Ciencias Bsicas



UAM-AZCAPOTZALCO

RECTORAMtra. Mnica de la Garza MaloSECRETARIOLic. Guillermo Ejea MendozaCOORDINADOR DE EXTENSIN UNIVERSITARIALic. Enrique Lpez AguilarJEFA DE LA SECCIN DE PRODUCCIN Y DISTRIBUCIN EDITORIALESLic. Silvia G. Lona Perales

ISBN 970-654-679-0

UAM-AzcapotzalcoAbelardo Rodrguez SoriaHugo Sergio Becerril HernndezNicols Falcn Hernndez

CORRECCINMarisela Jurez Capistran

DISEO DE PORTADAHugo Adrin brego Garca

Universidad Autnoma MetropolitanaUnidad AzcapotzalcoAv. San Pablo 180Col. Reynosa TamaulipasDelegacin AzcapotzalcoC.P. 02200Mxico, D.F.Tel. 5318-9222 y 23Fax 5318-9222

1a. edicin, 2000

Impreso en Mxico



CONTENIDOPREFACIO IX

REFERENCIAS XI

CAPTULO 1. VECTORES1.1 Introduccin 11.2 Espacio vectorial real 2

Problemas 61.3 Vector separacin 71.4 Interpretacin grfica de las operaciones vectoriales 101.5 Vector de posicin 141.6 Independencia lineal de vectores. Bases vectoriales 151.7 Producto escalar y producto vectorial 181.8 Triples productos 26

Problemas 29

CAPTULO 2, EL ALGEBRA VECTORIAL EN LA GEOMETRA CLSICAY ANALTICA

2.1 Aplicaciones a la geometra clsica 31Problemas 36

2.2 Aplicaciones a la geometra analtica 38Problemas 43,47

CAPTULO 3. VECTORES FSICOS3.1 Introduccin ,.493.2 Vectores fsicos y marco de referencia 503.3 Invariabilidad de las cantidades fsicas vectoriales 533.4 Significado comn de las componentes de un vector a lo largo

de ejes arbitrarios . 55Problemas 62

3.5 Ley de transformacin de las coordenadas 643.6 Ley de transformacin de las componentes de vectores 70

Problemas ....72

CAPTULO 4. TENSORES4.1 Introduccin 754.2 Tensor de proyeccin sobre un plano 784.3 Notacin y nomenclatura de los tensores 804.4 Tensores de orden n 854.5 lgebra tensorial 90

Problemas 94



VI

CAPTULO 5. EL TENSOR PSILON5.1 Tensores isotrpicos 975.2 Propiedades del tensor psilon 1005.3 Producto vectorial y triples productos 102

Problemas 104

CAPITULO 6. ALGUNOS TENSORES DE SEGUNDO ORDEN6.1 El tensor de rotacin 1076.2 Obtencin del eje y el ngulo de rotacin a partir del tensor de

rotacin 1096.3 Relacin del tensor de rotacin con la matriz de

transformacin 1106.4 Rotaciones infinitesimales 1116.5 Derivada de un vector dependiente del tiempo 1126.6 Velocidades y aceleraciones de los puntos del cuerpo rgido. ..1136.7 Derivadas temporales de un vector relativas a dos

referenciales distintos 1156.8 El tensor de inercia 118

Problemas 124

CAPTULO 7. OPERADORES DIFERENCIALES7.1 Gradiente 1277.2 Propiedades del gradiente 1317.3 El operador diferencial "del" o "nabla"V 1357.4 El desarrollo de Taylor en tres variables 1377.5 Frmulas relativas al gradiente 138

Problemas 1427.6 Divergencia 1457.7 Clculo de divergencias 1517.8 La ecuacin de continuidad 153

Problemas 1547.9 Rotacional 1567.10 Clculo de rotacionales 160

Problemas 1617.11 Laplaciano 162

Problemas 164

CAPTULO 8. CURVAS, SUPERFICIES Y COORDENADAS CURVILNEAS8.1 Curvas 165

Problemas 1728.2 Superficies 1748.3 Coordenadas curvilneas 1808.4 Operadores diferenciales en coordenadas curvilneas 183

Problemas 185



VII

CAPTULO 9. TEOREMAS INTEGRALES9.1Conexividad.. 1879.2 La integral de lnea 1899.3 Ejemplos 1949.4 Teoremas de Gauss y Stokes en el plano 1969.5 Campos conservativos planos 1999.6 Teoremas de Gauss y Stokes en el espacio tridimensional 2049.7 Potencial escalar y potencial vectorial 211

Problemas 216

APNDICE I. EL TENSOR DE DEFORMACIONES1.1. Campo de desplazamientos u(r) 2211.2. Variacin de un pequeo segmento vectorial 2231.3. Desplazamientos pequeos 2241.4. Tensor de desplazamientos 2251.5. Traslacin, rotacin y deformacin 2261.6. Deformaciones longitudinales y angulares 2281.7. Clculo de las deformaciones a partir del tensor

de deformaciones 2301.8. Interpretacin de los elementos del tensor de deformaciones .. 2321.9. Deformacin uniforme 232LIO. Transformacin de coordenadas 2341.11. Deformaciones principales 235

APNDICE n. EL TENSOR DE ESFUERZOSII. 1. Definicin del vector esfuerzo 23711.2. Caractersticas generales del vector esfuerzo 23911.3. Campo de esfuerzos sobre superficies coordenadas 24111.4. Estado de esfuerzos 24311.5. Representacin grfica de un estado de esfuerzos plano 24611.6. Ecuacin de equilibrio de un cuerpo material 24711.7. Transformacin del tensor de esfuerzos 248



IX

PREFACIOEl plan de estudios de la carrera de Ingeniera Fsica en la Universidad AutnomaMetropolitana en Azcapotzalco incluye un curso de matemticas dedicado a los mtodosvectoriales, herramientas de gran utilidad en la obtencin, expresin y transformacinmatemtica de las leyes fsicas. Estos mtodos son particularmente tiles en relacin conlas leyes mecnicas y termodinmicas del medio continuo y las ecuaciones de Maxwell delelectromagnetismo.

Las ecuaciones fsicas contienen en general tres clases de cantidades que,atendiendo a la cuenta de los nmeros reales empleados para su descripcin, se clasificanen escalares, vectores y tensores. De hecho, los escalares y los vectores son casosparticulares de los tensores. Los escalares son tensores de orden 0, descritos por un nmeroreal, y los vectores son tensores de orden 1, descritos por tres nmeros reales o"componentes". Son frecuentes en la fsica e ingeniera los tensores de orden 2,constituidos por 9 componentes. El elemento unificador del gnero es la nocin deinvariabilidad de las cantidades fsicas, en el sentido que explicaremos en los Captulos 3 y4. Es el concepto de invariabilidad (o "invarianza") el que nos permite conocer ms a fondolas propiedades matemticas de las cantidades fsicas, y con ello facilitar su aplicacin.

Mencionemos un par de ejemplos de tensores de segundo orden.Cuando un cuerpo deformable sufre

una deformacin "infinitesimal", un pequeoprisma rectangular en su seno experimentaun cambio de forma y dimensiones,convirtindose en un pequeo paralele-ppedo. Para describir esta deformacinhabra que dar las variaciones de las tresaristas del prisma original, junto con lasvariaciones de los tres ngulos rectos queconforman dicho prisma.

Para describir la deformacin, pues, son necesarios ms de 3 nmeros reales. Dehecho son 9 nmeros, que forman un tensor de segundo orden denominado el "tensor dedeformaciones". Este tensor guarda una relacin estrecha con el "tensor de esfuerzos",usado para describir las fuerzas internas en los materiales. Ambas clases de tensores sonfundamentales en la mecnica de slidos y la teora de la elasticidad y plasticidad.

Las propiedades inerciales de una partcula o punto-masa se describen mediante unescalar, la masa de la partcula. Por otra parte, los cuerpos rgidos (trompos, cohetes,elementos de mecanismos o mquinas, satlites de comunicaciones, etc.) poseenpropiedades inerciales ms complejas, descritas por un tensor de segundo orden llamado"tensor de inercia". Este tensor interviene en las ecuaciones de movimiento del cuerpo, y enlas expresiones de la energa cintica y el momento angular del mismo, como funciones dela velocidad angular.



XEn muchos de los mtodos matemticos de gran utilidad en la fsica, como son losteoremas de Gauss y Stokes en sus formas ms amplias; la teora general de los camposvectoriales solenoidales y/o rotacionales; los diversos sistemas de coordenadas de mtricaeucldea; la geometra diferencial, etc., son imprescindibles los tensores. Sin embargo, estoes un tema que se prefiere excluir en muchos programas de estudio, sobre todo los deingeniera. La nica razn que se descubre al hacer las cosas de esta manera, "sacndole lavuelta" a los tensores, es evitar la dificultad que afrontan los estudiantes en el manejo dendices, tan caracterstico del lgebra tensorial. Sin embargo, esto es como si se renunciaraa estudiar el lgebra de matrices por la misma razn. Basta considerar el producto de 2matrices de orden 3 x 3, A = (aij) y B = (by), dado por

(AB)j=akbyk=l

para convencerse de que los ndices son "ineludibles". En una poca pasada tambin seintent representar los tensores de segundo orden mediante las "didicas", bichosalgebraicos cuya manipulacin pronto se volva demasiado artificial.

Pero sobre todo, si la manera ms adecuada y natural de describir una cantidadfsica es mediante un tensor, pues debe definirse como tensor! Con ello no solamente segana en comprensin, sino que tambin se pueden aplicar unos mtodos de clculo que lesson ms naturales a esas cantidades. El lgebra de matrices entra como un auxiliar en elmanejo matemtico de los tensores de segundo orden. Algunos "misterios" que rodean a losconceptos de deformacin y esfuerzo en la mecnica de slidos, tal como se discuten enmuchos de los textos estndar de ingeniera, provienen de no tratarlos desde el principioconforme al enfoque matemtico ms adecuado, y de hecho ms prctico, esto es, comotensores.

En este escrito nos limitaremos a los llamados "tensores cartesianos", basados enuna mtrica eucldea. El tratamiento general no es muy riguroso matemticamente, sino quese apoya principalmente en la intuicin. Se deja al estudiante completar las condicionesbajo las cuales son permitidas algunas operaciones matemticas.

Es preciso que el estudiante adquiera un buen grado de comprensin de lasdefiniciones, usos y propiedades de los vectores y tensores, as como suficiente habilidaden cuanto a su mecanizacin matemtica. Esperamos que el presente texto contribuya aello. Hemos discutido con bastante detalle los aspectos conceptuales.

El texto contiene ms temas que los que es razonable abarcar en un curso trimestraltipo UAM de 9 crditos, que consta de 30 sesiones de clase de 1.5 horas cada una, ms elmismo tiempo de estudio en casa por parte del estudiante. Se incluye un apndice que tratasobre el tensor de deformaciones.

En este texto se asumen unos conocimientos previos elementales sobre vectores; noobstante, en el captulo 1 se da un repaso a los principales.



XI

El libro incluye suficientes ejemplos resueltos y problemas a resolver. En las dosprimeras referencias citadas abajo se podr encontrar muchos otros ejemplos y problemas.

Los errores que se colaron a la piata de los vectores/tensores no son invitadosnuestros. Agradeceramos nos los sealaran, as como tambin mandaran sus sugerencias acualquiera de los autores a

Universidad Autnoma Metropolitana-Unidad AzcapotzalcoDepartamento de Ciencias Bsicas, Cubculos H-341 y H-339Ave. San Pablo 180, Col. Reynosa-Tamaulipas. C.P. 02200Mxico, D.F.

O bien a los telfonos 5318-9507 y -08, o al correo [email protected] texto est dedicado, con nuestro agradecimiento, a las generaciones de

estudiantes de ingeniera fsica de la UAM-Azcapotzalco que lo fueron estructurando, y alos Profrs. Violeta Gaftoi, Rubn Lazos y Andrzej Myszkowski, quienes han impartido elcurso basndose en unas notas preliminares.

Al Profr. Pedro Pereyra nuestro agradecimiento por sus valiosos comentarios ydiscusiones acadmicas en relacin con este escrito.

REFERENCIASAnlisis vectorial y tensores cartesianosD. E. Bourne y P. C. KendallEditorial Limusa, Mxico, 1976

Anlisis vectorialMurray R. SpiegelSerie SchaumEditorial McGraw-Hill

Tensorrechnung in analytischer DarstellungA. Duschek y A. HochrainerVols. I, II, IIISpringerVerlag, 1960



CAPTULO 1 VECTORES

1.1 INTRODUCCINEn los cursos elementales de fsica se suele definir el vector en estos trminos:

"El vector es una cantidad que posee magnitud, direccin y sentido"Estos atributos son fciles de identificar en cantidades fsicas familiares como la velocidady la fuerza, que son vectores. La definicin es adecuada en ese nivel elemental.

No es esta, sin embargo, la nocin matemtica ms general de vector. Los vectoresson elementos de conjuntos denominados espacios vectoriales. Estos espacios poseen unaestructura algebraica especfica (unas reglas de operacin con sus elementos), caracterizadapor un sistema de axiomas. Si los elementos se combinan con nmeros reales en unaoperacin de multiplicacin, se dice que el espacio vectorial es real.

En muchas disciplinas se identifican o disean objetos matemticos cuyas reglasnaturales de operacin algebraica corresponden a las de un espacio vectorial real. A estosobjetos no necesariamente se les asignan propiedades de magnitud, direccin y sentido.Existen espacios vectoriales cuyos elementos (los vectores) son las oscilaciones de unpndulo doble, los coeficientes de los polinomios de grado "n", algn conjunto depolgonos en el plano, etc.

Qu tienen los vectores que los hace tan tiles en disciplinas muy diversas?Podramos citar, entre otras, esta cualidad:

"Todos los vectores de un espacio vectorial real pueden generarse a partir de unoscuantos vectores bsicos mediante las operaciones de suma vectorial y producto de vectorespor nmeros reales".

Por otra parte, en lo que concierne a la fsica, las operaciones de suma vectorial yproducto de vector por nmero real corresponden a leyes fsicas. Por ejemplo, el efectoconjunto de dos fuerzas equivale al de una sola fuerza que es la suma vectorial de aquellas.

El concepto matemtico de vector abarca, por supuesto, los vectores que empleamosen la fsica y la geometra elemental, los cuales son materializaciones especiales de lanocin abstracta. Especficamente, los que denominaremos vectores "fsicos" en esteescrito sern ternas ordenadas de nmeros reales (multiplicados por una unidad de medidafsica). Estas ternas, denominadas "componentes" del vector, determinan su magnitud,direccin y sentido.

En este captulo estudiaremos una clase especial de vectores denominados "vectoresseparacin". El objetivo principal es dar un repaso a las operaciones y mtodos vectoriales.En el captulo 2 presentaremos unas aplicaciones geomtricas del lgebra vectorial, tras locual hablaremos sobre los vectores fsicos en el captulo 3.



1.2 ESPACIO VECTORIAL REAL

Para construir un espacio vectorial real "F" es menester:

Definir los elementos del espacio (crear una especie nueva de vectores). Definir una relacin de igualdad de dos elementos.

Definir una operacin de adicin de dos elementos.

Definir una operacin de multiplicacin de un elemento por un nmero real.

Hacer lo anterior de modo que se satisfagan los axiomas del espacio vectorial real.Las cuatro primeras tareas son especficas de la clase de espacio vectorial en

construccin. Los axiomas son los mismos para todo espacio vectorial real.He aqu los axiomas del espacio vectorial real (X, \i, ... denotan nmeros reales

cualesquiera; a, b, c, . . . denotan vectores cualesquiera del espacio V):

(i) La suma de a y b, indicada con a + b, es cerrada y nica.

(ii) El producto de un nmero real Xyun vector a, indicado con Xa X a,es cerrado y nico.

(iii) a + b = b + a (conmutatividad de la adicin)

(iv) (a + b) + c = a + (b + c) (asociatividad de la adicin)

(v) Existe un elemento de F, denotado con 0, tal que para todo a,

a + 0 = a (existencia de un elemento nulo)

(vi) Para todo a existe un elemento de F, denotado con na, tal que

a + na = 0 (existencia de un elementonegativo para cada a)

(vii) X(ia) - (Xji)a (asociatividad del producto)

(viii) X(a + b) = Xa + Xb (distributividad 1 del producto)

(ix) (X + ji)a = Xa + ja (distributividad 2 del producto)

(x) Para todo a se tiene

1 a = a (elemento neutro del producto)



Discusin de los axiomasLos axiomas anteriores conducen a un lgebra vectorial con mucha semejanza al

lgebra de los nmeros reales.Lo primero que observamos es que no estn definidas las operaciones de producto

de vectores (algo como ab) ni divisin de vectores (algo como ).b

En los axiomas anteriores se usa el mismo signo "+" que se emplea en el lgebra delos nmeros reales. Pero no hay riesgo de confusin, porque si el signo "+" enlaza dosvectores [o dos nmeros reales], indica suma vectorial [o suma de reales]. Por ejemplo, seadvierte inmediatamente que en el axioma (X + |n)a = A,a + jxa, el primer signo "+" indicasuma de nmeros reales, el segundo suma vectorial. Lo mismo podemos decir con respectoa los signos "=", " " y a las barras de valor absoluto (|a| y \X\).Igualdad

La igualdad a = b significa en particular que en cualquier expresin donde ocurra apodemos poner en su lugar b, y viceversa. La negacin de la igualdad se escribe a * b.

Si a = b, entonces a + c = b + c. Para demostrarlo, sustituyamos b por a en el ladoderecho, lo que da la relacin a + c = a + c. Por el axioma de unicidad de la adicin, losvectores en ambos lados de esta relacin son uno mismo, QED.

Se deduce que a + c * b + c => a * b.El recproco del teorema tambin es cierto: si a + c = b + c, entonces a = b. Para

demostrarlo es necesaria una regla que justifique cancelar el vector c en ambos miembrosde la primera relacin. Ms adelante emerger esta regla.Notacin

En ocasiones se escribe el producto X a en la forma a X. Convenimos en que ambossmbolos son lo mismo. Ejemplo de ello es sacar de "factor comn" una unidad fsica como"metro" (abreviada "m") en esta forma: a = (5m, -2m, Om) = (5, -2 , 0) m.

El producto de un nmero negativo y un vector debe indicarse por ahora encerrandoel nmero en un parntesis, como por ejemplo (-5)a.

La suma de tres vectores puede escribirse sin parntesis, a 4- b + c, puesto que por elaxioma (iv) el resultado es el mismo no importa qu pareja se sume primero. Por induccinmatemtica se puede extender esta regla a cualquier nmero de sumandos.

TeoremaDel axioma ?i(|ua) = (X\x)a y de la propiedad de conmutatividad del producto de

nmeros reales se sigue que X(jia) = |(A,a). As que huelgan los parntesis enX(fxa) = (A,ji)a = X \x a

En los axiomas (v) y (vi) se exige que exista al menos un elemento nulo del espacioy al menos un elemento negativo para cada vector. Demostraremos que, de ser as, taleselementos son nicos.



Teorema de unicidad del elemento nuloSupongamos que el espacio V contuviese dos elementos nulos, O y O2. En el axioma

3 + 0 = 3, vlido para todo a, tomemos a = O y como elemento nulo el elemento O2.Tenemos entonces que O + O2 = O. De modo similar sea a = O2 y ahora O el elementonulo, que nos da O2 + O = O2. Ahora, por el axioma de conmutatividad de la suma tenemosque O + O2 = O2 + O, es decir, tomando en cuenta las relaciones anteriores, O = O2, QED.

Teorema de unicidad del elemento negativoSupongamos que el vector a tuviese dos negativos na y ma, es decir, que fuesen

vlidas ambas ecuaciones a + na = 0 y a + ma = 0, con na * ma. Aadiendo ma a ambosmiembros de la primera ecuacin,

(rl) ma + (a + na) = ma + 0

Usando el axioma a + 0 = a tenemos que el segundo miembro de (rl) es ma, as que

(i2) ma + (a + na) = ma

Por otra parte, transformemos el primer miembro de (r2) mediante los axiomas deasociatividad y conmutatividad de la suma y el axioma de existencia del elemento nulo,

(r3) ma + (a + na) = (ma + a) + na = 0 + na = na

Comparando (r2) con (r3) se deduce que ma = na, QED.

Teorema. 0 a = 0.Abreviemos c = 0 a. Deseamos demostrar que c = 0. Sumando c consigo mismo y

usando el axioma (X + ]Li)a = A,a + pa tenemos que c + c = 0a + 0 a = (0 + 0)a = 0a = c.Ahora aadamos a ambos lados de la ecuacin c + c = c el negativo de c, o sea nc;obtenemos c + c + nc = c + nc, o sea c + 0 = 0 de donde, por el axioma a 4- 0 = a,obtenemos c = 0, QED.

Teorema. El negativo de a es na = (-l)a.Demostracin:

Qu axiomas y teoremas se emplearon en esta demostracin? (Son tres axiomas yun teorema).



DefinicionesAdvierta que los axiomas no contemplan el smbolo " - a". Lo introduciremos ahora

y daremos unas reglas para manejar el signo "-".El teorema recin enunciado, junto con el teorema de unicidad del elemento

negativo, nos permiten hacer la siguiente definicin,

la cual es vlida para todo vector a. Por ejemplo, poniendo en esta relacin definitoria "o bien "c + d" en lugar de a tendramos estos significados:

- (Al,) = (- l)(Xb) y - (c + d) = (- l)(c + d)

Podemos desarrollar ms, con ayuda de algunos axiomas:

De esta manera, los parntesis salen sobrando en - (A,b), porque es lo mismo que (- X)b.Ambas asociaciones pueden escribirse - Xb.

Resta de dos vectores.La resta o diferencia de dos vectores a y b se define a travs de una suma:

a - b s a + (-b)Automticamente tendremos que - c + d = d + ( -c) = d - c , y tambin que

- (c + d) = - c - d, la cual es una regla para "quitar parntesis".

Divisin de vector por real.La divisin de un vector a por un nmero real X * 0 se define a travs de una

multiplicacin:

a 1 s aX X

DespejeDe la relacin a + r = b podemos despejar r en la forma r = b - a:

a + r + (- a) = b + (- a)



O + r = b - ar = b - a

Con las reglas expuestas hasta aqu hemos desarrollado un lgebra para manejarecuaciones de la forma general

Xa + (uib + ve + pd + ... + an = 0

Sabemos "quitar parntesis" y despejar vectores de este tipo de ecuaciones. Evidente-mente, no es vlido despejar un nmero real X, |i, v, ..., porque su factor vectorial no puedepasarse "dividiendo" al otro miembro.

Problemas

1. Demostrar las siguientes propiedades:

(a) -Xa = X(-a).

(b) Si Xa = 0, entonces X = 0 o a = 0.

(c) Si Xa == A,b y X * 0, entonces a = b.

(d) Si Xa = p,a y a # 0, entonces X = JI.



1.3 VECTOR SEPARACINA continuacin construiremos un espacio vectorial real muy simple, el espacio de

los "vectores separacin".Siguiendo el programa descrito al principio de la seccin 1.2, empezaremos por

definir estos vectores. Para ello nos valdremos de un sistema de coordenadas cartesianas,con origen O y ejes X, Y, Z.

Se define el vector separacin entre los puntos A(XA, yA> ZA) y B(XB, yB> ZB) comola terna de coordenadas cartesianas del punto B, calculadas como si el origen O del sistemacartesiano estuviese en A, mantenindose invariables las direcciones de los ejes.

Fig. l

En la Fig. 1, imaginemos que el sistema cartesiano se trasladara de modo que suorigen O viniera a coincidir con el punto A. Entonces las coordenadas cartesianas de B eneste sistema trasladado seran (XB - XA, yB - YA> ZB - ZA). Esto es por definicin el vectorseparacin entre A y B, que escribiremos en la forma

AB = (xB - XA, yB - YA, zB - zA)O)Los nmeros XB - XA, yB - YA> y ZB ~ ZA se denominan respectivamente la

componente X, componente Y y componente Z del vector AB. Este vector se representageomtricamente por la flecha cuyo punto inicial es A y cuya punta es B1, a la cualllamaremos "flecha AB". Geomtricamente, las componentes del vector AB son lasproyecciones de la flecha AB sobre los ejes coordenados. Para obtener estas proyeccionespodemos proyectar directamente los puntos A y B sobre los ejes, o bien proyectar primero

1 O convencionalmente por cualquier flecha con la misma longitud y orientacin que la flecha AB.



la flecha AB sobre cada uno de los planos XY, XZ y YZ y luego volver a proyectar estasproyecciones, ahora sobre los ejes. Por ejemplo, en la Fig. 1, al proyectar la flecha sobre elplano XY obtenemos el segmento ApBp, y al proyectar este segmento sobre los ejes X y Yobtenemos las cantidades XB ~ XA y yB - YA- Estas proyecciones son "algebraicas", esto es,tienen signo algebraico positivo o negativo segn el punto-proyeccin de B caiga delante odetrs del punto-proyeccin de A, con respecto al sentido positivo del eje considerado.

En un contexto cinemtico el vector separacin se nombra vector desplazamiento.El trmino "desplazamiento" es sinnimo de "cambio de posicin" (ubicacin espacial) yes una cantidad fsica vectorial cuyas componentes poseen unidades de "metros". Cuandouna partcula se desplaza de un punto A a un punto B, sea cual sea la trayectoria que losenlaza o el tiempo invertido en ello, decimos que ha efectuado un desplazamiento dado porel vector AB definido en (1). Por ahora las componentes de AB son nmeros reales puros,sin unidades fsicas; sus valores son relativos a la escala de longitud definida sobre los ejescoordenados. Ms adelante explicaremos cmo aadir las unidades.

Se define la magnitud del vector AB en la forma

(2) AB=

Como vemos, es igual a la distancia entre los puntos A y B, o longitud de la flecha AB.Los ngulos directores del vector AB son los ngulos a i , 0C2 y 0C3 que forma la

flecha AB con los ejes coordenados X, Y y Z, respectivamente. Se tiene

XR-XA YR-yA ZD-ZA(3) eos oti = - &- eos ot2 = / B yK eos a 3 = S

1 |AB | l |AB | 5

eos ot2 eos a 3AB| l |AB | 5 |AB |

Por (2) existe la relacin

(4) eos a i + eos a2 + eos 0C3 = 1

en virtud de la cual basta con dos ngulos directores para especificar la direccin de laflecha AB, misma cosa que la direccin del vector separacin AB.2

Advierta la distincin entre el vector AB, un objeto algebraico definido por unaterna ordenada de componentes, y la flecha AB, un objeto geomtrico que representavisualmente al vector. No habr inconsistencia en fundir ambos conceptos en uno slo, yllamar * Vector AB" tanto a la terna como a su flecha representante. Esto es anlogo a "ver"un plano en vina ecuacin del tipo Ax + By + C = 0.

2 En nuestro uso, el trmino direccin englobar ambas cosas que en los cursos elementales se denominan

direccin y sentido. As por ejemplo, el eje X de un sistema cartesiano define dos direcciones: la direccinhacia donde crece la coordenada "x" es la direccin positiva del eje X (o direccin +X); la opuesta a sta es ladireccin negativa del eje X (o direccin -X). Anlogamente en relacin con los ejes Y y Z. De todasmaneras seguiremos usando el trmino "sentido" cuando sea particularmente aclarativo.



Prosiguiendo con la construccin del espacio de los vectores separacin, nuestrastareas siguientes consisten en definir la igualdad, la suma vectorial y el producto de vectorpor nmero real.

Para simplificar la notacin escribiremos el vector separacin general en la forma

(5) a s (ax, ay, az)

El signo de identidad "=" en (5) expresa que el smbolo "a" es un nombre, abreviatura oreferencia para la tema (ax, ay, az). No obstante, conviene usar para esta funcin el signo deigualdad, como en a = (ax, ay, az). Ello para ser consistentes con el uso de este signo enrelaciones simblicas como a = b,c = a + b, etc.

Sean a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz) y c = (Cx, Cy, cz) vectores separacin cuales-quiera, y X y \i nmeros reales cualesquiera.

IgualdadPor definicin, el vector a es igual al vector b si y slo si

&x *^ x 8y "^ y Y &z *^ z

La igualdad se expresa sucintamente en la forma a = b.

SumaPor definicin, la suma de dos vectores a y b es otro vector c = (cx, Cy, cz) tal que

Vx **x O^C ^^/ V ^y Z **"Zi ^ Z

Se expresa esta relacin en la forma c = a + b = (ax + bx, ay + by, az + bz).

Multiplicacin por un realPor definicin, el producto del nmero real X y el vector a es el vector

Se indica este producto en la forma X o bien X a.

Finalmente, tendremos un espacio vectorial real si el conjunto de las ternas (5)satisface los axiomas del espacio vectorial real. Se deja al estudiante demostrar queefectivamente as es. El elemento nulo de este espacio es el vector 0 = (0, 0, 0), y elelemento negativo del vector a es (- ax, - ay, - az) = (- 1) (ax, ay, az) = - (%, ay, a^).



10

1.4 INTERPRETACIN GRFICA DE LAS OPERACIONES VECTORIALESDescribiremos en esta seccin unos mtodos geomtricos para efectuar las

operaciones de suma vectorial y producto de vector por nmero real. Lo haremos en uncontexto bidimensional; el lector puede extender los mtodos a vectores en tresdimensiones.

En dos dimensiones el vectorseparacin entre los puntos A(*A, y A) y

(6) AB = (xB - xA, ya -J>A)

Esta expresin es vlida no importa qusignos algebraicos tengan las coordenadasdeAyB(Fig. 2).

La magnitud de AB se reduce a

(7)

i

7B

7A

0

Y

! xB-xf1I

B

i

j\ i

i

7 B - 7 A

X

Fig. 2

La direccin del vector AB es por definicin el ngulo 9 que forma la flecha ABcon el eje X (Fig. 3). Este ngulo se expresa en radianes y se mide en sentido antihorario (o"levgiro") desde la direccin positiva del eje X. Toma valores en el intervalo [0, oo).

Note que de acuerdo con lo que entendemos por "direccin", las flechas ilustradasen la Fig. 4 tienen direcciones opuestas; corresponden a ngulos que se diferencian en180. Claro est, tambin es vlido decir que tienen sentidos opuestos.

210*

Direccinpositivadel eje X

Fig. 3 Fig. 4

En la "notacin de magnitud y direccin" o "notacin de fasores", alternativa a lanotacin (6), el vector AB se escribe(8) AB = (AB Z 9)



11

290

Si las direcciones 9 se usan como argumentos de funciones trigonomtricas quetienen una periodicidad de 2% radianes, se puede limitar la direccin 9 al intervalo [0, 27c], obien a [0, 360o] si se mide en grados.

Ms aun, se puede medir el ngulo tambin en sentido horario (o "dextrgiro"), casoen que deber tomarse con signo negativo.

Como vemos en la Fig. 5, la direccin9 = - 70 ser la misma que 9 = 290. Comodijimos, esto proviene de propiedades como laexpresada en la igualdad

sen 290 = sen(290 - 360) = sen(- 70)Para obtener la direccin de una flecha

a partir de sus componentes, conviene dibujarla flecha en el papel, como se hace en la Fig. 5figura 6, luego calcular el ngulo agudo y quese muestra all, y finalmente obtener 9 ajustando y apropiadamente.

Al usar la calculadora electrnica tenga presente que la funcin arctan(x) devuelveun ngulo en el intervalo [- 90, 90]. Mejor use la frmula 9 = atan2(c, d)9 donde lafuncin atan2(c, d) se define as:(9)

atan2(c,d) =

Aqu y es el ngulo agudo positivo dado por

y = arctan

Y180-Y

-180 +Y-Y

sisisisi

c,d>0cc,d0,d (X + ji + v)a + (Xti + \&2 + vt3)b + (Xs\ + ps2 + vs3)c = 0

En virtud de que a, b y c son linealmente independientes por hiptesis, se sigue de la ltimarelacin que cada coeficiente debe ser igual a cero. Se obtiene as un sistema homogneo detres ecuaciones para X, JLL y v. Si este sistema posee una solucin no trivial, entonces Ri, R2y R3 son linealmente dependientes, y son linealmente independientes en caso negativo. Lacondicin para que exista solucin no trivial es que el determinante del sistema sea igual acero.



18

1.7 PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIALProducto escalar

Consideremos el siguiente problema:Calcular el ngulo 6 que forman los

vectores A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz)(Vase la Fig. 18).

Definamos el vector C ^ A - B yapliquemos la ley de los cosenos al tringulocuyos lados son A, B y C: Pig# jg

B 2 - 2 A B c o s 6Ahora bien,

Se obtiene una relacin de la que ya podemos obtener el ngulo 6, a saber,

AB eos 0 = AXBX + AyBy + AZBZ

La combinacin AXBX + AyBy + AZBZ se denomina el producto escalar de losvectores A y B. Se escribe

(11) A B = AxBx + AyBy + AzBz = ABcos6

Se deducen de (11) las siguientes propiedades del producto escalar:

A B = B A (XA) (JIB) = ty (A B) A#(B + C) = A * B + A # C

He aqu unos usos del producto escalar:

La magnitud de un vector A se puede poner

(12) |A | 2 = A2 = AX2 + Ay2 + Az 2= A A

o sea A = VA*A

En particular, para un vector diferencia B - C tenemos



19

Podemos expresar que los vectores A y B (distintos de 0) son mutuamente perpen-diculares mediante la relacin

Para obtener la componente de un vector A alo largo de (la direccin de) un vector unitariou (Fig. 19 arriba), formamos el productoescalar

Au = A u = A eos 9 == componente de A a lo largo de u.

Por otra parte, la descomposicin de un vectoren dos componentes vectoriales, una paralela yla otra perpendicular al unitario u, tiene laforma A = (A u) u + (A - (A u) u), comovemos en la Fig. 19 abajo.

(A u) u

Fig. 19

Ejemplo 4.| El cubo mostrado en la Fig. 20 tiene lado "a". Qu ngulo forma la diagonalAE con cada uno de los vectores AD, AG y AB?

El vector AE obviamente forma unngulo de 90 con el vector AD y un ngulode 45 con AB.

Para calcular el ngulo entre AE yAG, definamos el eje X a lo largo de AB, eleje Y a lo largo de AC, y el eje Z a lo largodeAD.

Tendremos entonces que

= (a,a,0)y AG = (a,0,a)Entonces,

AE#AG

Fig. 20

eos 9 = (a,a,0)#(a,0,a)AE|-|AG



20

[Ejemplo 5] Dos vigas articuladas entre s en C y a una pared en A y B (Fig. 21) soportanel peso de una caja. Las longitudes de las vigas, antes de aplicar la carga, son AC = 0.8 m yBC = lm. Se sabe que por efecto de la carga, la viga BC se elonga 82 = 0.002 m y la vigaAC se acorta 61 = 0.001 m. Calcular la posicin del punto C en la configuracin deformadadel sistema. Utilizar la aproximacin "cateto = hipotenusa" para resolver el problema.

A 0.8 m

CJ

Fig. 21 Fig. 22

La solucin geomtrica exacta del problema la obtenemos as (Fig. 22):Acortemos la viga AC en un pequeo segmento CQ = 5i. Elonguemos la viga BC

en un pequeo segmento CC2 = 82. Con centros en A y B tracemos sendos arcos decircunferencia de radios ACi y BC2. El punto donde estos arcos se intersecan es adonde vaa dar el punto C despus de la deformacin, puesto que AC = AC - 81 y BCf = BC + 82.Las lneas punteadas en la Fig. 22 representan la posiciones finales de las vigas (lasdeformaciones se han exagerado para mejor visualizacin).

Ahora bien, la elongacin 82 y la contraccin 81 son mucho muy pequeas encomparacin con las longitudes de las vigas. Podemos hacer una aproximacin que consisteen trazar, en lugar de arcos de circunferencia Q C y Q&C, unos segmentos perpendicu-lares a las direcciones originales de las vigas (En la Fig. 22 figrese los arcos C\C y C2Ccomo si fuesen segmentos rectos trazados desde Ci y C2 perpendicularmente a las vigas).

Esta se denomina la aproximacin "cateto-hipotenusa" porque en un tringulorectngulo, como el que vemos en la Fig. 23, viene siendo equivalente a igualar el catetoOP a la hipotenusa OQ. La aproximacin es muy buena si el ngulo a = . POQ es muypequeo. Tambin equivale a sen a tan a. Como si PQ fuese un "arco" de circunferenciaen vez de un segmento o cateto recto.

Fig. 23



21

Resolveremos el problema conforme a esta aproximacin. Primeramente logeneralizaremos como se muestra en la Fig. 24, en la que suponemos que las vigas formaninicialmente ngulos 81 y 82 con la direccin horizontal (+X), y que ambas sufrenelongaciones, dadas por los segmentos 81 = CCi y 52 = CC2.

Se trata de calcular eldesplazamiento del punto C, esdecir, el vector CC. Para obtenerC geomtricamente, trazamos porCi el "arco" CiC de radio ACi, ycentro A, y luego trazamos por C2el "arco" C2C de radio BC2 ycentro B. El punto de interseccinde estos arcos (segmentos rectosperpendiculares a AC y BC) es C.

Definamos los vectoresunitarios u\ y 112, en las direccionesAC y BC, respectivamente, o sea

ui = (eos 81, sen 81)

112 = (eos 82, sen 82)

Tenemos los datos CC ui = CCi = 81

Fig, 24

CC u2 = CC2 = 82

Abreviando C C s d = (dx, dy) y desarrollando los productos escalares tenemos

dx eos 0i + dy sen 0i = 81 dx eos 02 + dy sen 02 = 82

Este es un sistema de ecuaciones para dx y dy, cuya solucin es

- 82sen 0j A _ - bx eos 02x~ sen

y ~ sen (02^0!)

En nuestro problema tenemos 81 = - 0.001 m, 81 = 0, 82 = 0.002 m y 0 2 = - 36.87.Sustituyendo en las frmulas anteriores hallamos

= - 0.001 m dy = ~ 0.00466 m

Note que 81 es negativa porque es una contraccin, y que 02 es negativo porque se midi apartir de la direccin horizontal en sentido horario.



22

Ejemplo ftj ABCD es un tetraedro regular de lado "a". Demostrar que las lneas que partende los vrtices A, B y C hasta el punto medio M de la altura tirada desde el cuarto vrtice Dson todas perpendiculares entre s.

Fig. 25

En la Fig. 25 a la izquierda est el tetraedro considerado. DP es la altura tirada desdeD y M es el punto medio de DP.

Coloquemos un sistema cartesiano con su eje X a lo largo de AB, y su plano XY enel plano del tringulo ABC, tal como vemos en la Fig. 25 a la derecha. Calculemos ahoralos vectores de posicin de todos los vrtices. Estos son triviales: A = (0, 0, 0), B = (a, 0, 0).

El punto P, que es la proyeccin de D sobre el plano XY, divide la mediana CPQque vemos en la Fig. 25 derecha en una relacin de 2 a 1. Por otra parte, AP = BP = CP.Con esto obtenemos ya

n fa V3 22 6 V3

( = , a ,

2 ' 6 '

Obtengamos ahora los vectores en cuestin:

= A-M=--,-a,-4=2' 6 V- , -^a ,U2' 6 V6

= C - M = 0 , a,j=

Se comprueba ahora que MA MB = MA MC = MB MC = 0, QED.



23

Producto vectorialConsideremos ahora el siguiente problema: dados dos vectores A = (Ax, Ay, Az) y

B = (Bx, By, Bz), obtener un vector perpendicular a ambos.Denotando con C el vector buscado, tenemos las condiciones

C A = 0 C * B = 0

V By Cy """ 0

Expresemos Cx y Cy en trminos de Cz:

_ A y B z - A z B y cA x B y - A y B x z

Q = Z X

As, para obtener el vector C escogemos un valor arbitrario para Cz y calculamos Cx y Cyde estas frmulas.

Se define ti producto vectorial de los vectores A y B, escrito A x B, como el vector4

(13) A x B = (AyBz - AzBy, AzBy - AyBz, AxBy - AyBx)

(que corresponde a tomar Cz = AxBy AyBz en las frmulas anteriores).Podemos escribirlo tambin en la forma

(14) AxB =

B x B y Bz

De la definicin se siguen estas propiedades del producto vectorial:

A x B = ~-BxA (No es conmutativo!)

En (13) el producto A x B se ha definido a travs de sus componentes. Se puededefinir tambin en trminos de magnitud y direccin. Para hacerlo as, coloquemos elvector A a lo largo del eje X y el vector B en el plano XY (Vase la Fig. 26).

4 No cualquier terna es un vector; en todo caso hay que demostrarlo. Ms adelante demostraremos que la terna

(13) es efectivamente un vector.



24

Entonces,

A = (A,0,0)

B = (B eos 9, B sen 9, 0)

Sustituyendo en (13) obtenemos

(15) A x B = (0, 0, A B sen 9) =

= (AB sen9)k

A x B

Fig. 26Es decir, la magnitud de A x B es igual al rea del paralelogramo determinado por losvectores A y B.5 La direccin de A x B se obtiene con la regla de la mano derecha: en elplano de A y B se rota el primer factor, A, en el menor ngulo (9) que lo hace coincidir conel segundo factor, B; entonces A x B est en la direccin en que se movera un tornillo derosca derecha cuya seccin transversal fuera el plano de A y B.

En la Fig. 27 tenemos un tringulo de vrtices P, Q y R. Poniendo PQ = a y PR = bdefinimos el "vector rea9' del tringulo en la forma

(16) = a x b2

La magnitud de A es el rea del tringulo, y la direccin de A es perpendicular al planodefinido por el tringulo, de acuerdo con la regla de la mano derecha. Proyectemos eltringulo PQR sobre el plano XY, obteniendo eltringulo P'Q'R' mostrado en la figura. El rea deP'Q'R' es igual a la componente Z del vector A,como es fcil demostrar a partir de las expresiones

' = (ax,ay,0)

Anlogamente, la proyeccin del tringulo PQRsobre el plano XZ es un tringulo cuya rea es Ay, yla proyeccin sobre el plano YZ es un tringulo derea Ax. Del hecho que A es un vector se deduceque la proyeccin del tringulo PQR sobre un planoarbitrario es un tringulo cuya rea es lacomponente de A perpendicular a dicho plano.

5 Esta interpretacin no depende de la manera especial como hemos colocado los vectores A y B en relacin

con el sistema de coordenadas, puesto que A, B y 9 son invariantes geomtricos.



25

reas de tringulos y polgonos en el planoConsideremos un tringulo situado en el plano XY (Fig. 28), de vrtices conocidos

A(xi, yi), B(x2, y2) y C(x3, y3).El rea del tringulo viene dada

por Y

. 1

XLa podemos expresar tambin as:

(17) A = ^x l X2 X3 x l

Yi Y3 yiA(x,, y,)

donde el peculiar "determinante" sedefine como una suma de determinantesde segundo orden:

o

Fig. 28

(18)x i x2yi y2

X 2

y2

X 3

y3

x3

ys

x i

yi

Ojo: A resulta positiva si los vrtices del tringulo se colocan en (17) conforme al sentidode rotacin antihorario A - B ~> C. El orden horario corresponde a A negativa.

Un polgono de N lados situado en el plano XY viene determinado por los vrticesVi(xi, yi)5 V2(x2, y2)>. > VN(XN> yN)- Su rea viene dada por la expresin

Fig. 29

(19) N

De nuevo, el determinante de 2 renglones yN + 1 columnas se define como la suma dedeterminantes de segundo orden

+x2 x3 XN x l

La demostracin se deja como ejercicio. Note que los vrtices deben darse en ordenantihorario.



26

1.8 TRIPLES PRODUCTOSTriple producto escalar

El volumen "V" del paralele-ppedo definido por los vectores A, B yC es igual al rea de la base (dada por|A x B|) multiplicada por la altura "h", lacual es igual a C eos y (Fig. 30).

Entonces

(20) V = |AxB |Ccosy == (A x B) C

Anlogamente, colocando la base del paraleleppedo en el plano de C y A o bien B y C ,encontraramos las relaciones

Como se ve, se puede hacer una sustitucin cclica A - B, B - C y C - A s i n que elproducto (21) se altere. Tambin se pueden intercambiar el punto y la cruz x y suprimirlos parntesis,

(22) V = A # B x C = A x B t CSe sobreentiende, por supuesto, que primero debe hacerse el producto vectorial y luego elproducto escalar, que es la nica manera como la relacin (22) tiene sentido.

Un producto de tres vectores como

A B y. C

se denomina el triple producto escalar de los mismos. Este tipo de producto es igual a cerocuando dos de los factores tienen la misma direccin o direcciones opuestas,

A ( X B x B ) 0

La razn est muy clara geomtricamente: dos vectores paralelos, junto con un vectorarbitrario, no determinan un paraleleppedo sino una figura plana cuyo volumen es cero.



27

Triple producto vectorialExiste otro producto de tres vectores llamado el triple producto vectorial. Tiene la

forma

A x (B x C)

El resultado de este producto esobviamente un vector, digamos D.Sabemos que el vector B x C e s perpen-dicular a B y a C9 y como D esperpendicular a B x C , tendremos que Dcaer en el plano de B y C (Fig. 31). Seve inmediatamente que en el tripleproducto vectorial los parntesis no sepueden suprimir, puesto que el vector(A x B) x C es un vector muy distinto alvector A x (B x C); el primero cae en elplano de A y B, y el segundo en elplano de B y C.

A x (B x C)

X

La siguiente descomposicin es sumamente til:

(23) A x (B x C) = (A C) B - (A B) C

Fig. 31

Base recprocaA toda base vectorial {a, b, c} se le puede asociar una base recproca {a', b', c'},

definida por los vectores

(24)

donde

(25)

a1

V

Notemos

a

bxcV

= a b x c

que

a' = l

b1- cxaV

b * b' = 1

axbV

c c' = 1



28

Por otra parte, definiendo

(26) V = a' b' x c'tenemos

(27) V'=4Entonces la base recproca de {a', b', c'} es {a, b, c}.Consideremos el problema de expresar el vector arbitrario d en la base {a, b, c}. Se

trata de calcular los nmeros X, |ii y v tales qued = X a +1 b + v c

Multipliquemos ambos miembros escalarmente por un vector perpendicular a los vectores by c, por ejemplo, el vector b x c; obtenemos

d (b x c) = X a (b x c) + JJ, b (b x c) + v c (b x c)Como los dos ltimos trminos son iguales a cero, encontramos que

d#bxca*bxc

Anlogamente se encuentra que

d*cxa d*axby v==H y

abxc

En otra forma,

(28) d = (d a') a + (d b') b + (d c') cdonde {a', b', c'} es la base recproca de {a, b, c}.

Se advierte de las expresiones para X, i y v que si los vectores a, b y c no formanuna base (o sea no son linealmente independientes) no tiene sentido la expresin (28),puesto que a (b x c) = 0 y por tanto no existen a', b' y c\



29

Problemas1. Demostrar la igualdad del triple producto escalar y el determinante de orden tres:

a (b x c) =ax ay az

b x b y bz

2. Usando la definicin (24) de la pg. 27, demostrar que la base recproca de {a', b', c'} es{a,b,c}.3. Demostrar el desarrollo

A x (B x C) = (A C) B - (A B) C

mediante sustitucin directa de A = (Ax, Ay, Az), etc. en el primer miembro.

4. Demostrar la frmula (19) de la pg. 25 (para el rea de un polgono plano).

5. Sean A, B, C, D puntos del espacio tridimensional y A, B, C, D sus vectores de posicinrespectivos. Efectuemos una traslacin del sistema de coordenadas, en la que el origen O vaa dar a Of (con OO' = d). Obtener los vectores de posicin de A, B, C y D en el nuevosistema (llmeles A', Bf, etc.). Cmo se transforma la expresin

XA + pB 4- vC + pD X, H, v, p>0

y cmo interpretara Ud el resultado?

6. Un algoritmo computacional eficientepara averiguar si un punto P est incluido enun tringulo ABC consiste en comparar lossignos de las reas de los tringulos ABP,BCP y CPA, dadas por la frmula (17) de lapg. 25. Cul sera el criterio de inclusin?D un algoritmo para averiguar si un punto Ppertenece a un segmento AB.



30

7. Hallar un vector unitario n perpendicular al plano formado por los vectores

A = 2 i - 3 j + 8k y B = - i + 4 j + 5 k

(a) A partir de las condiciones n * A = n B = 0.(b) Usando el producto vectorial.8. {u, v, w} es una base ortonormal. Demostrar la representacin

A = (A u) u + (A v) v + (A v) v

Cul es la base recproca de {u, v, w}?

9. Sean ABCD un tetraedro arbitrario y Ai, A2, A3, y A4 los vectores-rea de sus caras,dirigidos convencionalmente hacia fuera del tetraedro. Demostrar que

Ai + A2 + A3 + A4 = 0

10. Demostrar que

(A x B) (C x D) = (A C) (B D ) - ( A D) (B C)

11. SeanP ,QyRlos vectores de posicin de tres puntos P, Q, Rno colineales. Demostrarque el vector

PxQ+QxR+RxP

es perpendicular al plano determinado por P, Q y R.

12. Sean {ai, a2, ^ 3}, {bi, b2, b3} y {ci, c2, C3} las representaciones de los vectores A, B yC, respectivamente, en la base {a, b, c}. Demostrar que

a l a 2 a3b2 b3c2 c3

(a*bxc)



31

CAPTULO 2 EL LGEBRA VECTORIAL EN LAGEOMETRA CLSICA Y ANALTICA

B-A

2.1 APLICACIONES A LA GEOMETRA CLSICAAlgunos teoremas de geometra clsica se pueden demostrar mediante mtodos

vectoriales. Para ello debemos aprender a traducir relaciones geomtricas a relacionesvectoriales y viceversa. Consideraremos a continuacin un par de entradas de estediccionario. Todos los vectores que manejaremos en esta seccin son vectores de posicin ovectores separacin.

Para empezar, un convenio. En lostringulos, cuadrilteros y polgonos en generalescogeremos algn vrtice como "origen",desde el cual emanarn los vectores de posicinde todos los dems vrtices. El vector deposicin de un punto cualquiera P se denotarcon esa misma letra en negrita, o sea P. Porejemplo, en el tringulo de la Fig. 1 situemos elorigen O en un vrtice. Entonces A y B son losvectores mostrados all. Las frases "punto A" y"punto A" significarn lo mismo.

El vector que une A y B, o sea el vector separacin AB, es obviamente

(1) AB = B - ACmo expresamos en forma de

relacin vectorial el hecho de que el punto Cest contenido en el segmento recto AB?(Vase la Fig. 2). Partimos de

B

Fig.l

y expresamos AC en la formaB

Fig. 2

donde A, es un nmero positivo y menor que la unidad. Entonces,

o sea que la respuesta a la pregunta recin formulada es

(2) C = (1 -X)A + XB con O

32

(3)

En particular, si C es el punto medio del segmento AB se verifica que

C = T: (A + B) (C es el punto medio del segmento AB)

(Nota. Toda relacin de la forma C = JLI A + v B, donde \i y v toman valores entre 0 y 1,inclusive, y \x + v = 1, corresponde a un punto C situado en el segmento determinado por Ay B. Si se permiten cualesquiera valores para jx y v, el punto C puede caer fuera delsegmento AB.)

EjemplosEs mucho lo que podemos hacer con las relaciones (1), (2) y (3). Veamos algunos

ejemplos.

Ejemplo l.[ Demostrar que los puntos medios de los lados de un cuadriltero arbitrarioforman un paralelogramo (Fig. 3).

Habr que demostrar las siguientesigualdades vectoriales:

(rl)

La ecuacin (rl) significa que el segmentoMiM2 tiene la misma longitud que elsegmento M4M3, y adems que ambossegmentos son paralelos. Cosa anlogasignifica la ecuacin (r2). Fig. 3

Empecemos por expresar los "datos"en forma vectorial. Las siguientes relaciones identifican a Mi, M2, etc. como los puntosmedios de los segmentos OB, BC, etc. (Vase la ecuacin (3)). Hemos tomado como origenel vrtice O.

(r3) 1 1

(r5) (r6)

Ahora bien, MiM2 = M2 - Mi = x (B + C) - ~ B = ^ C. Del mismo modo obtenemos

M4M3 = x ( C + D) - 9 D = o ^ ' ^ a n t 0 MiM2 como M4M3 son iguales a ^ C , por lo queMiM2 = M4M3. Lo mismo hacemos para demostrar la relacin (r2).



33

Ejemplo 2.1 Sean O A y OB dos segmentos rectos que parten del mismo punto O. Tiremosdesde los extremos A y B sendas lneas hasta el punto medio del segmento ajeno respectivo(Fig. 4). Demostraremos que el punto de interseccin G de estas lneas divide las mismasen una relacin de uno a dos.

Sean Mi y M2 los puntos mediosde OB y OA, respectivamente. Vamos ademostrar que

(rl) M 2 G=~GB=|M 2 BMi

M2

Fig. 4Escojamos el punto O como el origen delos vectores de posicin de todos los puntos (o sea A s OA, G s OG, etc.)

Expresemos primeramente los "datos" en forma vectorial:

Mi es el punto medio de OB:

M2 es el punto medio de OA:

El punto G est en la lnea

El punto G est en la lnea BM2:

(Con respecto a las dos ltimas relaciones consulte la ecuacin (2)).Las dos expresiones para G insinan que las igualemos, y las expresiones para Mi y

M2 insinan que las sustituyamos en las dems. Respondiendo a estas insinuaciones,

Como A y B son linealmente independientes, sus respectivos coeficientes en esta ecuacindeben ser iguales a cero:

1 1 2 1 2Se encuentra X = x = T Entonces G = i A + t Mi = x B + x M2. De aqu es fcil llegar a



34

[Ejemplo 3j Expresar la altura de un tringulo rectngulo en trminos de los catetos,considerados todos como vectores.

En la Fig. 5 hemos trazado el tringulorectngulo OAB y su altura OH, perpen-dicular a la hipotenusa AB.

Tomemos el punto O como origen delos vectores de posicin de todos los puntos.Entonces los catetos son los vectores A y B yla altura es el vector H. Deseamos expresar Hen trminos de A y B.

B H

O

Fig. 5

Los datos del problema son los siguientes:

OAB es un tringulo rectngulo:

OH es una altura de este tringulo:

(rl) A B = 0

(r2)

El punto H est sobre el segmento AB: (r3) H = (1 - X) A + X B

El problema consiste en calcular la constante X. Poniendo la expresin (r3) para Hen la expresin (r2) y usando la (rl) obtenemos

de donde

A 2 + B 2 A 2 + B 2

Por lo tanto,

-A +A 2 + B 2 A2 + B2

B

Otro modo de escribirla es

H = sen2 9A A + sen2 0B B

donde 9A y 9B son los ngulos que forman los catetos A y B con la hipotenusa.



35

[Ejemplo 4\ Demostrar que las tres alturasde un tringulo se intersecan en un mismopunto H (denominado ortocentr). Obteneruna expresin vectorial para calcular laposicin del ortocentr a partir de lasposiciones de los vrtices (Fig. 6).

Tomemos el punto O como el origenpara expresar los vectores de posicin detodos los dems puntos, es decir, OH = H,OA = A, OB = B, etc.

Expresemos los datos del problemavectorialmente:

HA es perpendicular al lado OB:

HB es perpendicular al lado OA:

( A - H ) # B =

( B ~ H ) * A =

De estas relaciones se obtiene H (B - A) = 0, esto es, que OH es perpendicular allado AB y por tanto OH es la tercera altura del tringulo. Convnzase ahora de que con ellotambin queda demostrado que las tres alturas pasan por H.

Procedamos a obtener el vector H en trminos de A y B. Escribamos

donde "pe" es un vector unitario perpendicular6 al vector B y X = |AH|. Ahora bien, lalongitud del vector AH es

APeos 0

PBA

Entonces el vector H solicitado es

A(B-A= A+ -i U

I A # P B J

Qu pasa si intercambiamos A

36

Problemas1. En la figura, las seis divisiones del ladoBC miden lo mismo.

Tome el punto O como origen paralos vectores de posicin de los dems puntosy haga ver que

(D "se parece ms" a C que a B, por ello elfactor de C es mayor).Escriba anlogamente por inspeccin elvector E en trminos de B y C.

2. ABCD es un paralelogramo. M es el puntomedio del lado AD. En el punto E seintersecan la diagonal AC y el segmentoBM. Demostrar que

AE = "r AC

Fig. Probl. 1

D

B

Fig. Probl. 2

3. Demostrar que las medianas de un tringulo se intersecan en un mismo punto G, el cualdivide a cada mediana en una relacin de uno a dos. Demuestre que si A, B y C son losvrtices del tringulo, entonces

(4) 1

El punto G se denomina el baricentro o centroide del tringulo. Si el tringulo es unalmina plana homognea, G es su centro de gravedad.Sugerencia. Use el resultado del Ejemplo 2. Complete en la Fig. 4 el tringulo OABuniendo A y B. Sea M3 el punto medio del lado AB. Demuestre que los puntos O, G y M3estn sobre una lnea recta. Luego obtenga (4) renombrando los vrtices.

4. Demuestre que las medianas de un tringulo se pueden acomodar (trasladarse) de modoque formen un tringulo.



37

5. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es igualal doble de la suma de los cuadrados de dos lados no paralelos.

6. Demuestre que las diagonales de un paralelogramo se intersecan en un punto que lasdivide ambas a la mitad.

7. Sea ABC un tringulo con baricentro G, y P unpunto arbitrario del plano (o del espacio). Demuestreque la expresin

(AP)2 + (BP)2 + (CP)2 - 3 (SP)2

tiene un valor independiente de la ubicacin de P.Sugerencia. Escoja un punto O fijo del plano comoorigen de los vectores de posicin. Use la ecuacin (4)del problema 3 para demostrar que la expresin vale

Fig. Probl. 7

8. ABCD es un trapecio y S es el punto deinterseccin de sus diagonales AC y BD. Setraza el segmento MSN paralelo a DC.Demostrar que

9. El centro del crculo circunscrito a untringulo es el punto de interseccin de lasmediatrices, que son las rectas trazadasdesde los puntos medios de cada lado,perpendicularmente a cada uno.

Encuentre una expresin vectorialpara el vector de posicin del circuncentro.Sugerencia. Introduzca vectores perpendi-culares a los lados, tal como se hizo en elEjemplo 4. Fig. Probl. 9



38

Recta L

2.2 APLICACIONES A LA GEOMETRA ANALTICA

Ecuaciones paramtricas de la rectaUna recta L viene determinada por alguno de sus puntos, A, y por su orientacin,

misma que la de un vector a que llamaremos el "vector orientador" de la recta (Fig. 7). Elvector orientador puede ser unitario o no.

Vectorialmente, tal recta L se describemediante la relacin

{?) r - A +1 a

donde r = (x, y, z) es un punto P arbi-trario o "variable" de la recta, y "t" es unparmetro que toma valores

t (-00 , oo)

La relacin (5) se puede interpretar as:Para llegar al punto P r, a partir delorigen O, nos vamos primero al punto A,y luego aadimos un mltiplo "t a" del

Observe la Fig. 8. Para obtener laecuacin vectorial de la recta que pasapor dos puntos dados A y B notemos queel vector orientador es el vector AB.Entonces,

Fig. 7

vector a. Esto se descubre fcilmente en la Fig. 7.

o bien, poniendo AB = B - A,

t ( B - A )

Fig. 8o tambin

(6)

(Compare (6) con la ecuacin inmediatamente anterior a (2)).El valor t = O corresponde segn (6) al punto r = A, el valor t = 1 al punto r = B. Paravalores t [O, 1] obtenemos puntos fuera del segmento AB. Qu puntos se obtienen paravalores de t menores que O? mayores que 1?



39

[Ejemplo 5,1 Deseamos averiguar bajo qu condiciones se intersecan las rectas

r = A + ta y r = B + s b

cuyos parmetros son "t" y "s" y cuyos vectores orientadores son "a" y "b", respectiva-mente. La primera recta pasa por el punto A, la segunda por B (Fig. 9).

Supongamos que efectivamente seintersequen en cierto punto Q. Sean t = ti a ty s = si los valores de los parmetros / /correspondientes a Q segn cada recta, esdecir,

b

Q = B + si b

Se sigue la relacin

De ella se deriva

Fig. 9

o bien

(7) AB = ti a - si b

Hemos obtenido as que para que haya interseccin, el vector AB debe ser una combinacinlineal de los vectores a y b. En otras palabras, AB, a y b deben ser coplanarios.Ejemplo numrico

Hallaremos el punto de interseccin de las rectas ri = A + ta, r2 = B + sb, donde

Se tiene AB = B - A = (-3, -4, 9) - (0,4, 1) = (-3, -8, 8). Imponiendo la condicin(7) tenemos (-3, -8, 8) = t (3,1, -4) - s (1, -2,0), que nos proporciona las relaciones

- 3 = 3t - s = - 4 t

Si estas relaciones son consistentes, existe interseccin. La ltima nos da t = -2.Sustituyendo en la segunda, s = ~ 3. Se comprueba que se satisface la primera, es decir, hayconsistencia. El punto de interseccin se obtiene como el valor de r correspondiente at = -2 (o el de r correspondiente a s = -3) y resulta ser el punto (-6,2, 9).



40

Ejemplo 6j Calcular la distancia de la recta r = A + t a al origen de coordenadas.La distancia "D" entre el origen y un punto P arbitrario de la recta es igual a la

magnitud del vector de posicin P = r. Obtengamos el cuadrado de dicha distancia:

D2 = r r = (A +1 a) (A +1 a) =

donde A y "a" son las magnitudes de los vectores A y a .La distancia de la recta al origen es el valor mnimo de D. Como el mnimo de D

corresponde al mnimo de D impondremos la condicin

dt

Tenemos

dt a

Sustituyendo este valor de "t" en la expresin obtenida arriba para D ,

f

r

Finalmente,

(8) r

) 2 - A 2 - (A.a)2

a2

(A .a)2a2

2 2 2En virtud de la desigualdad (A a) < A a , el radicando es no-negativo.

En trminos del ngulo 9 que forman los vectores A y a, la distancia D esD = A sen 9

Si la recta se da en la forma r = A +1 n, con |n| = 1, la distancia es D = yjA2 - A2 , dondeAn es la componente de A a lo largo de n. Haga una figura que revele esta expresintrivialmente.



41

Ejemplo 7. Qu lugar geomtrico describe el punto medio de un segmento recto delongitud fija que se desliza sobre dos rectas perpendiculares?

Supongamos que los ejes X y Y sonlas rectas perpendiculares dadas. Sean P yQ puntos variables de los ejes X y Y,respectivamente, y M el punto medio delsegmento PQ (Fig. 10). Ambos ejes con-tienen al origen 0 y sus vectoresorientadores son respectivamente i y j , demodo que las ecuaciones paramtricas delos ejes X y Y son

r i = t i y r2 = s j F i g l

El punto medio M viene dado por M = (x,y) = (rx + r 2 )= (ti + s j ) , con lacondicin PQ = |r2 - ri| = constante = c, o bien

X

2 2 2Como t = 2x y s = 2y, las coordenadas (x, y) satisfacen 4x + 4y = c , que es la ecuacinde un crculo con centro en el origen y radio c/2 = PQ/2.[Ejemplo 8J Calcular la distancia entre las rectas 1*1 = A] + tiai y r2 = A2 + t2 a2.

El cuadrado de la distancia D entre sendos puntos cualesquiera de las rectas es

D = |r2 - ri|2 = (r2 - (r2 - rO = |A2 - Ai + t2a2 -

La distancia d entre las rectas es el valor mnimo de "D". Las condiciones del clculo

diferencial para la existencia de un mnimo, = 0, = 0, conducen adU 3t9

2(r2-i

que se traducen en

(r2-ri)#ai=0 (r2 - ri) a2 = 0

o sea que ai y a2 deben ser perpendiculares al vector r2 - ri correspondiente a D mnima,como se seala en la Fig. 11.



42

Distinguiremos dos casos. En el primero supondremos que los vectores ai y a2 sonparalelos (Fig. 12). Para obtener "d" en este caso, simplemente proyectamos el vectorseparacin A1A2 sobre un vector unitario n situado en el plano de ambas rectas y ademsperpendicular a ai a 82.

Fig. 11 Fig. 12

Sea N s X (A2 - Ai) + ai un vector en el plano de las dos rectas, perpendicular a ai, o sea

N ai = 0 = X (A2 - Ai) ai -f ai ai?

Entonces la distancia es d = |(A2 - Ai) n|, donde n es el unitario en la direccin de N.En el segundo caso suponemos que ai y a2 no son paralelos y que las rectas no se

intersecan, es decir, A2 - Ai no est en el plano de ai y a2 (consulte la ecuacin (7)).En este caso la distancia "d" entre ambas rectas es la proyeccin del vector A2 - Ai

a, xa,,sobre un vector unitario u en la direccin del vector mnimo r2 -1*1, o sea

(Un modo algebraico de llegar a esta expresin es poniendo u d = r2 - 1*1, donde 1*1 y T2corresponden al mnimo de "d" (Fig. 11). Multiplicando esta ecuacin escalarmente por use obtiene d = (r2 - r\) u. Luego tomamos en consideracin que ri = Ai + tic ai y quer2 = A2 + t2C 2> donde tic y t2c son valores apropiados de los parmetros ti y t2. Se sigueque ri u = Ai u + tic ai u = Ai u, puesto que ai es perpendicular a u. Se obtieneentonces (r2 - ri) u = (A2 - Ai) u.)



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Problemas1. Obtener la ecuacin paramtrica de la recta que pasa por el punto A y es paralela a larecta r = B +1 c.

2. Hallar una representacin paramtricade la recta cuya distancia al origen decoordenadas es D, y tal que forma nguloa con el eje X. Encuentre tambin el puntoA que es la proyeccin ortogonal delorigen O sobre la recta.

Fig. Probl. 2

3. Hallar la distancia entre las rectas

r = (2,-3,4) + t ( l ,0 ,3) y r = ( - l ,4 ,5) + s (2 ,4 , -7)

4. Obtener una frmula para la distancia del punto C = (cx, Cy, cz) a la recta r = A +1 a.

5. Qu condicin debe satisfacerse para que las rectas

estn en un plano? t , s y u son los parmetros.

6. P es un punto del plano y r = A + t a e suna recta. P no pertenece a sta. Obtener elpunto M que es la proyeccin ortogonal de Psobre la recta.

Fig. Probl. 6



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Ecuaciones paramtricas del planoSe requiere de dos parmetros, "t" y "s", para parametrizar un plano.

Plano P

Fig. 13

Sea Po un punto determinado del plano y sean a y b dos vectores contenidos en elplano, no paralelos. El punto r del plano se obtiene de la relacin r = PQ + PoP, escribiendoPoP como una combinacin lineal de los vectores a y b,

La pareja {t, s} constituye una especie de "coordenadas oblicuas" de los puntos delplano. El punto PQ tiene coordenadas {0, 0}. Para los valores s = 0 y "t" variable seobtienen los puntos del plano que satisfacen r = Po +1 a, cuyo lugar geomtrico es la rectaque pasa por Po y que est orientada al igual que a. Anlogamente, las parejas {0, s} dan larecta a travs de Po y orientada segn el vector b.

Ejemplo 9.| Obtener la traza del plano (9) sobre el plano XY.La interseccin del plano (9) con el plano XY consta de todos los puntos cuya

coordenada "z" es igual a 0. De (9) tenemos en general z = zo + t a 2 + sbz. Igualando "z" acero se obtiene una relacin entre los parmetros, a saber zo + t az + s bz = 0, de tal modoque slo uno de ellos es independiente. Escogiendo Ct" como tal expresamos "s" en la

forma s = y lo sustituimos en (9). Obtenemos as la recta-interseccin:



45

Ejemplo 10.1 En geometra analtica, laecuacin del plano tiene la formageneral

Ax + By + Cz + D = 0

Esta ecuacin se puede poner en formavectorial (llamada forma normal deHess) as:

(10) N * r = - D

donde definimos el vector

(11) N E ( A , B , C )

tz

n

Fig. 14

y r = (x, y, z) es el punto variable del plano.La interpretacin de (10) la tenemos en la Fig. 14: definiendo un vector unitario n

perpendicular al plano dado, tendremos que la proyeccin de r sobre n es constante, igualen valor absoluto a la distancia "d" del plano al origen, o sea r n = d. Comparando estocon (10) vemos que N s N n es un vector normal al plano, y se sigue tambin que | - 771 esla distancia del plano al origen.

La distancia del punto Pi(xi, yi, zi)al plano N r = - D, indicada con L en laFig. 15, es la proyeccin de i*i sobre n,disminuida en el segmento OM = d = -D/N,

L = ri n + D/N

Cuando la ecuacin del plano se da en laforma Ax + By + Cz + D = 0, la distancia Lse transforma en

_ Axx 4- Byx + Czj + DV A 2 + B 2 + C 2

Fig. 15



46

Ejemplo L | Obtener la recta interseccin de los planos 4x - 5y + z = 2 y 2x + y + 3z = 6.Escribamos la ecuacin de la recta-interseccin en la forma r = a +1 b, con a y b a

determinar. Como a es un punto de la recta-interseccin (correspondiente a t = 0), debesatisfacer las ecuaciones de ambos planos. Entonces

4ax - 5ay + az = 2 2ax + ay + 3az = 6

17 4 fn 4 \Escogiendo arbitrariamente az = 1 hallamos ax = yr y ay = , o sea a = ,,1 .

Por otra parte, el vector orientador de la recta, b, pertenece a ambos planos y es portanto perpendicular a ambos vectores normales Ni = (4, -5,1) y N2 = (2,1, 3). Entonces

b#Ni = 0 => 4b x -5b y + bz = 0

b N2 = 0 => 2bx + by + 3bz = 0

Tomemos arbitrariamente bz = 1. Hallamos bx = y by = -, o sea8 . 5

y b v = 7 y 7

b= 3 , 1 . La ecuacin de la recta solicitada es r = ,,1 + , , 1 tI 7 7 J 114 7 ) { 7 7 JEjemplo 12.1 Hallar la ecuacin del plano que es perpendicular al plano r c = g y quecontiene a la recta interseccin de los planos r a = e y r b = f.

La familia de planos que contiene a la recta-interseccin puede representarsemediante la ecuacin

(rl) r * a ~ e + A , ( r b - f ) = 0 (X arbitrario, pero * 0)Ello se puede advertir ms claramente poniendo (rl) en la forma normal de Hesse,(r2) r # ( a + Xb) = e + XfEst claro que los puntos "r" que satisfacen (r2) forman un plano y, por (rl), que dichoplano contiene a la recta interseccin de los planos r a = e y r b = f. Vemos en (r2) queel vector normal del miembro "X" de la familia antedicha es a + X b. Este vector normaldebe ser tambin perpendicular al vector normal del plano r c = g. Entonces

a c(a + X b ) # c = 0 dedonde X =

Sustituyendo en (r2) se obtiene ya la ecuacin deseada,( a ^ c , ^ a * c r

!* a b = e fb ) b



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Problemas1. Demostrar que la distancia D del plano r = a + t b + sca l origen de coordenadas vienedada por

^ a 2 , 2(a bX* c)(b c) - (a b)2b2 + (a c):

b 2 c 2 - (b#c) 2

Sugerencia. No es necesario usar elclculo diferencial. Defina tm y %como los valores de los parmetroscorrespondientes al punto D, es decir,D = a4-tmb + smc.Encuentre tm y Sm de las condicionesD b = 0 y D * c = 0. Para simplificarluego el clculo de D5 note que

Fig. Probl. 1

2. Hallar la ecuacin del plano que contiene al punto A y es perpendicular a la rectar = b +1 c.

3. Calcular el punto de interseccin de la recta r = a + t b y e l plano r c = d. Calculartambin el ngulo que forma esta recta con dicho plano.Sugerencia. Ponga tp = valor del parmetro t para el punto-interseccin "P". Obtenga tp y

sustituyalo en la ecuacin de la recta. Debe encontrar rP = a +

4. Una familia de planos posee la mismadistancia D al origen. Sean a, b y c(variables) los segmentos determinadossobre los ejes coordenados por los planos dela familia. Demostrar que

1 1 1-r- + r- + -7T = constantea2 b2 c2

b*cb .

Fig. Probl. 4



48

5. Calcular la distancia del punto P al plano r N = c.

6. Tres puntos P(x, y), A(ai, a2) y B(bi, t>2)estn en el plano XY. Demostrar que un criteriopara que P pertenezca al segmento AB es

- (x-ai)(b2-a2) + (y-a2)(bi-a!) = 0

con

d(P, A) + d(P, B) < AB

donde d(P, A) es la distancia de P a A.

7. Hallar la ecuacin del plano determinado por los puntos

OX

Fig. Probl. 6

B(0, 3, - 5)



49

CAPTULO 3 VECTORES FSICOS

3.1 INTRODUCCINLas cantidades fsicas que poseen una magnitud y una direccin son vectores.

Existen otras clases de cantidades fsicas, denominadas tensores, algunos de los cualesposeen propiedades direccionales ms complejas. Nos ocuparemos de ellas a partir delcaptulo 4.

Para definir una cantidad fsica vectorial es necesario:

Convenir en las unidades fsicas

Estipular el "marco de referencia"

Describir un procedimiento para medir o calcular la magnitud y direccin de lacantidad fsica, o bien dar el significado de sus componentes.

Para el punto anterior es menester:

Introducir un sistema de coordenadas

Segn nuestra eleccin de unidades, marco de referencia y sistema de coordenadas,las cantidades fsicas se expresarn numricamente de distintas maneras. Sin embargo,todas estas representaciones numricas o "analticas" deben desembocar en un mismosignificado fsico. Por ejemplo, es obvio que los nmeros sern distintos segn las unidadesde medida utilizadas. As, el valor de velocidad 36 km/h, si bien es distinto del valorconvertido a metros por segundo, o sea 10 m/s, significa fsicamente lo mismo que ste.

Los sistemas de coordenadas se emplean para expresar numricamente la direccinde la cantidad fsica, y para definir sus "componentes". Los sistemas ms simples son loscartesianos, y son los que usaremos inicialmente. El vector fsico se representageomtricamente por una flecha, cuya longitud corresponde a la magnitud del vector, ycuya direccin es directamente la direccin del vector. Las proyecciones algebraicas de laflecha sobre los ejes coordenados son las componentes del vector. El vector posee trescomponentes que se escriben como ternas ordenadas de nmeros reales en la forma

(1) a = (ax, ay, az)Las componentes ya no son nmeros reales puros, sino productos de nmeros reales

por unidades fsicas. Las unidades fsicas son smbolos algebraicos como "m", "kg", etc.,sujetos a las mismas reglas algebraicas de los nmeros reales.

En lo que respecta al manejo de las unidades de las componentes de un vector fsico,podemos optar entre dos procedimientos. En el primero trabajamos con ternas(ax, ay, az) desprovistas de unidades, pero tenemos cuidado de conservar la homogeneidad



50

de las unidades en toda ecuacin. Conforme al segundo procedimiento inclumos lasunidades como smbolos algebraicos. Por ejemplo, un vector velocidad podra ser elsiguiente:

De acuerdo con la regla A,(ax, ay, az) = (A%, A,ay, A,az), podemos sacar la unidad ~ como

"factor comn" y escribir v = (5, - 2, 8).s

Si modificamos el sistema de coordenadas, trasladndolo y rotndolo, lascomponentes del vector cambiarn. Sin embargo, las componentes del vector en el nuevosistema trasladado y girado deben describir la misma situacin fsica que antes. Parte denuestra tarea en este captulo ser el estudiar cmo se transforman las componentes cuandose modifica el sistema de coordenadas. El criterio para descubrir esta transformacin estribaen que los vectores fsicos describen fenmenos o situaciones fsicas asociadas en ltimonivel con el llamado "marco de referencia", que son los objetos materiales que subyacen atoda medicin fsica.

3.2 VECTORES FSICOS Y MARCO DE REFERENCIACon objeto de comprender cabalmente una cualidad de que goza toda cantidad fsica

vectorial, la de tener un significado independiente de su modo de representacin numrica,es necesario introducir previamente un concepto sumamente importante, el de marco dereferencia.

La necesidad de este concepto se hace muy evidente ya desde la idea demovimiento. Todo movimiento constituye una relacin entre al menos dos cuerpos. Uno deellos es el mvil, cuyo movimiento se desea describir y explicar, y el otro es el marco dereferencia o referencial, cuerpo o "plataforma" desde donde se realizan las observaciones.

El referencial es algn cuerpo rgido que se adopta como soporte (material yconceptual) para la determinacin experimental de todas las cantidades fsicas referentes almvil. Esto es, en el referencial se fijan los instrumentos y aparatos de medicin utilizadospara efectuar las mediciones de tiempos, distancias, ngulos, etc., con que se caracterizanumricamente el movimiento. Al mismo tiempo, el referencial provee de significadopreciso a las definiciones de las cantidades fsicas.

Por definicin, dos referenciales (cuerpos rgidos) que guarden siempre la mismarelacin espacial el uno con el otro (es decir, que estn en reposo relativo mutuo), sonequivalentes: constituyen de hecho un mismo referencial. Si los referenciales estn enmovimiento (segn se observan mutuamente), entonces se trata por definicin de dosreferenciales distintos.



51

El referencial ms comn en ingeniera es una porcin de la superficie terrestre oequivalentemente algn cuerpo fijo a ella, como un laboratorio, un edificio, etc. (Fig. 1).Cuando no se especifica el referencial explcitamente, se supone que es ste. Le llamaremosreferencial Tierra. Otro ejemplo de referencial es un vehculo en movimiento con respectoa Tierra.

Observador Marco de referencia(Teodolito fijo (Tierra)en Tierra)

Fig-1

(Nota. El trmino observador se suele tomar en fsica como sinnimo de referencial. Laexpresin "segn el observador X" significa lo mismo que "segn las mediciones efec-tuadas con base en el referencial X". El trmino se aplica tambin cuando las mediciones seregistran automticamente. Por ejemplo, si el referencial es un satlite artificial, entoncesste o sus instrumentos hacen las veces de "observadores" de fenmenos atmosfricos,meteorolgicos, astrofsicos, etc.).

La distincin entre referenciales tiene un contenido fsico fundamental. Los valoresexperimentales de las cantidades fsicas siempre van ligadas al referencial subyacente, en elsentido de que no se puede afirmar a priori que tales medidas resulten las mismas con baseen otro referencial distinto.

En particular, dado que la distincin entre referenciales se da por sus movimientosrelativos mutuos, todos los conceptos asociados con el desplazamiento tendrn un carcterrelativo evidente. Todos nos damos cuenta, por ejemplo, de que la velocidad de unAutomvil con respecto a Tierra no es la misma que con respecto a un Tren que viajeparalelamente a l. Tampoco es la velocidad del Tren la misma con respecto a Tierra quecon respecto al Automvil (advierta que se puede considerar a un cuerpo unas veces comoel mvil, otras veces como el referencial).

Otro nivel ms profundo de relatividad toca los conceptos de espacio y tiempo.Tiene su expresin en la Teora de la Relatividad Especial de Einstein. Entre sus resultadostenemos que las duraciones de los fenmenos fsicos dependen del marco de referencia, lomismo que las distancias entre los objetos fsicos. Las diferencias entre los valoresobservados en distintos referenciales se vuelven apreciables cuando la diferencia develocidades entre los mismos se aproxima a la ve

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