Upload
florin-scripcaru
View
569
Download
6
Embed Size (px)
Citation preview
Puncte, direcţii, plane şi sisteme de coordonate principale
utilizate în astronomia geodezică
Sfera cerească
Din orice punct al Globului terestru ar fi privit cerul înstelat, acesta ne apare
ca o calotă sferică infinită, în al cărui centru se află observatorul. Sfera corespondentă a
primit denumirea de sferă cerească, pe care se proiectează stelele. Stelele, inclusiv
Soarele, au mişcări proprii foarte lente, care pot fi puse în evidenţă prin observaţii
astronomice precise, efectuate la intervale relativ mari de timp. De aceea, în multe situaţii,
poziţia stelelor pe sfera cerească este considerată fixă, ipoteză valabilă numai pentru studii
şi determinări de o precizie limitată.
Stelele sunt caracterizate prin anumite proprietăţi, care sunt studiate în amănunt de
specialiştii în astronomie, dintre care le vom specifica pe acelea care au o
importanţă deosebită pentru astronomia geodezică, în general, pentru geodezie în
particular.
O primă proprietate a stelelor derivă din depărtarea acestora faţă de Pământ,
depărtare care poate fi apreciată ca foarte mare. Cea mai apropiată constelaţie (din cele 88
constelaţii catalogate pe sfera cerească) se află la cca 4,3 ani lumină de Pământ (ceea
ce ar corespunde, la o distanţă e≈ 4 • 1013km).
Figura 1
Observarea stelelor pe sfera cerească
Dacă se presupune că din două observatoare M şi M’, situate diametral opuse pe
suprafaţa Pământului (în aproximaţia formei sale sferice), se fac observaţii simultane spre
steaua σ ar rezulta un unghi Δ cu o valoare foarte mica :
1
M’
M
Δ''=ρ''
ρ" = 206 264,806 = numărul de secunde sexagesimale cuprinse într-un radian;
R = 6370 km = raza medie (aproximativă) a Pământului.
Instrumentele actuale nu permit măsurători unghiulare cu o precizia rezultată din
relaţia de mai sus .
Consecinţă: Direcţiile măsurate, la un anumit moment, din 2 observatoare
situate chiar diametral opuse pe suprafaţa Pământului, spre o stea oarecare de pe
sfera cerească, pot fi considerate paralele.
Consecinţa se poate extinde asupra unui unghi dintre două stele, observat de pe
Pământ, care va rezulta cu mărime fixă, indiferent de poziţia observatorului pe suprafaţa
Pământului (a nu se uita condiţiile iniţiale: observaţii la acelaşi moment, efectuate, desigur,
asupra aceloraşi două stele).
O a doua proprietate a stelelor, care are relevanţă în geodezie, se referă la faptul că
acestea au lumina lor proprie, caracterizată, printre altele, de străluciri specifice
proprii. Planetele nu au lumina proprie, fiind corpuri cereşti stinse, luminate de către
Soare.
Aparent sfera cerească execută o mişcare diurnă uniformă de la răsărit spre apus(în
sens trigonometric negativ, numit în astronomie sens retrograd). În realitate, Pământul este
cel care execută mişcarea de rotaţie de la apus spre
răsărit(sens trigonometric pozitiv sau sens direct).
Rotaţia sferei cereşti se poate pune în evidenţă
îndreptând un aparat fotografic spre pol şi folosind o
expunere mare.
Datorită mişcării diurne vedem stelele descriind
cercuri paralele, ale căror centre se află pe o dreaptă numită
axa lumii, aflată în prelungirea axei de rotaţie a
Pământului. Axa lumii intersectează sfera cerească în două
puncte fixe, numite poli cereşti.
2
Planul perpendicular pe axa lumii ce trece prin centrul O al sferei cereşti(adică prin
centrul Pământului) taie sfera cerească după un cerc mare EE’, numit ecuator ceresc. Firul
cu plumb, într-un loc dat, ne dă direcţia verticalei acelui loc. Această dreaptă intersectează
sfera cerească în două puncte: unul Z, deasupra capului, numit zenit, iar al doilea N,
diametral opus primului, numit nadir. Planul perpendicular pe verticala locului, într-un
punct dat de pe Pământ, se numeşte planul orizontului. El taie sfera cerească după un cerc
mare HH’, numit orizont matematic.
Planul determinat de axa lumii şi verticala locului taie sfera cerească după
meridianul locului(cercul mare PZP’) şi planul orizontului după meridiana locului. Ea taie
orizontul în două puncte: punctul nord H’, de aceeaşi parte cu polul nord, şi punctul sud H,
diametral opus.
O stea în mişcarea sa diurnă aparentă descrie un cerc paralel cu ecuatorul, numit
paralel ceresc. El taie meridianul locului în două puncte: unul la sud de pol, numit punctul
de culminaţie superioară(Cs), altul la nord de pol, numit punctul de culminaţie
inferioară(Ci) a stelei. Intersecţiile cu orizontul ale paralelului descris de stea sunt: punctul
de răsărit(R) şi punctul de apus(A) al stelei. Unele stele, aproape de poli, descriu cercuri
aflate în întregime deasupra orizontului(cercul C’sC’i). Acestea se numesc stele
circumpolare iar celelalte sunt stele cu răsărit şi apus.
Verticala locului este reprezentată (intuitiv) de direcţia firului cu plumb, intr-un
punct dat, sau de direcţia perpendicularei la suprafaţa unui lichid aflat in stare liniştită.
Datorită, in special, structurii interne a Pământului, dar şi a altor cauze care se vor
examina intr-un alt capitol al manualului, verticala locului este o curbă oarecare
3
(denumită şi linie de forţă). Tangenta la linia de forţă intersectează sfera cerească în două
puncte: zenitul (Z) şi nadirul (Z').
După această direcţie se măsoară acceleraţia gravităţii (g) şi se
calează(orizontalizează) în staţie orice instrument topografic sau geodezic în punctul
considerat M.
Din motivele menţionate anterior, indiferent de poziţia observatorului M, pe
suprafaţa Pământului, se poate considera că punctele Z şi Z' ocupă o aceeaşi poziţie
(constantă) pe sfera cerească.
Orizontul locului este planul care trece prin poziţia observatorului M şi este normal la
verticala locului. Zenitul şi nadirul sunt polii orizontului. Orice plan care conţine cei doi
poli este perpendicular pe orizont şi intersectează sfera cerească după un cerc vertical.
Figure 2
Puncte, plane şi cercuri principale pe sfera cerească
Almucantarat este planul care trece prin steaua σ şi este paralel cu orizontul.
Înălţimea stelei deasupra orizontului (h) este unghiul format de direcţia spre stea şi
orizontul locului.
Direcţia zenitală (z) a unei stele este unghiul complementar înălţimii stelei:
z = 90°- h.
Datorită mişcării de rotaţie zilnice a Pământului în jurul axei sale, se crează iluzia că
4
sfera cerească execută o rotaţie completă, în interval de o zi, denumită în astronomic mişcare
aparentă diurnă. Aceasta declanşează răsăritul, respectiv apusul Soarelui, a Lunii precum
şi a celorlalte stele şi planete din univers, care aparent se rotesc de la est la vest, (în sens
invers celui real, specific mişcării de revoluţie a Pământului).
Direcţia care uneşte centrul orbitei pe care are loc mişcarea de rotaţie aparentă a
stelelor şi observatorul terestru M este denumită axa lumii sau axa polilor. Această axă
înţeapă sfera cerească în două puncte PN şi PS denumite polul nord ceresc şi respectiv
polul sud ceresc, fiind denumite şi polii lumii. La latitudinea medie a ţării noastre, polul
nord ceresc PN se află situat in imediata apropiere de Steaua Polară din constelaţia Ursa
Mare (cunoscută curent sub denumirea de Carul Mare).
Cercul orar al unei stele σ din figură este intersecţia planului care trece prin
punctele PN, σ, PS cu sfera cerească.
Ecuatorul ceresc este intersecţia dintre un plan care trece prin centrul sferei cereşti
şi este perpendicular pe axa lumii.
Deoarece s-a arătat că indiferent de poziţia pe Pământ a observatorului M, se poate
considera că acesta se află în centrul sferei cereşti, planul ecuatorului ceresc trece prin
centrul Pământului, determinând prin intersecţie cu suprafaţa sa ecuatorul (astronomic)
terestru.
Polul nord ceresc şi respectiv polul sud ceresc sunt polii ecuatorului ceresc.
Ecuatorul ceresc împarte sfera cerească în două emisfere: emisfera nordică şi respectiv
emisfera sudică.
Planul meridian al observatorului M este determinat de verticala locului şi
axa lumii. Aceasta intersectează sfera cerească după meridianul locului, fiind
perpendicular şi pe ecuatorul ceresc şi pe orizontul locului. Intersecţia planului meridian cu
suprafaţa terestră se numeşte meridian astronomic al punciului M.
Mişcarea de revoluţie a Pământului
Pământul, la fel ca toate planetele, se mişcă în univers după legi care au fost
formulate de marele învăţat Johannes Kepler (1571-1630):
Legea 1. Traiectoria după care se deplasează planetele în univers are forma
unei elipse, Soarele fiind situat într-o poziţie fixă într-unul dintre cele două focare
(mişcarea heliocentrică)
5
Legea 2. Raza vectoare a planetei descrie arii egale în intervale de timp egale.
Legea 3. Raportul dintre pătratul perioadei de rotaţie (T) şi cubul semiaxei mari a
elipsei (a) este o mărime constantă:
T2/a3=constant,
pentru toate planetele din univers.
Legile lui Kepler, deduse din observaţii proprii pe perioade îndelungate de timp
(1609-1619) au la bază mai multe ipoteze principiale: acţiunile forţelor de atracţie
exterioare sunt neglijate, planetele sunt considerate corpuri punctiforme şi omogene
ş.a. Mai târziu, Isaac Newton (1643-1727) a completat şi generalizat formulările lui
Kepler prin celebra sa lege a gravitaţiei universale.
Traiectoria pe care se roteşte Pământul in jurul Soarelui intr-un an se numeşte
ecliptică. În Fig. 3 sunt reprezentate punctele caracteristice ale eclipticii, care poate fi
aproximată printr-un cerc cu raza de cca. 150 000 000 km.
Figure 3 Ecliptica
Ecuatorul ceresc şi ecliptica se intersectează sub un unghi ε ≈ 23°27', denumit
oblicitatea eclipticii. Aceasta se modifică in timp, cu cca. 47"/secol, datorită, în special,
atracţiei exercitate de planetele Venus şi Jupiter, fenomen denumit în astronomie
precesie planetară. Acest fenomen este permanent studiat şi anticipat cantitativ de
către astronomie. Astfel, s-a preconizat pentru anul 2000 oblicitatea eclipticii va avea
valoarea e = 23°26'21",448. Datorită unor cauze complexe şi incomplet elucidate, a căror
descriere nu face obiectul cursului, durata în care Pământul execută mişcarea de revoluţie
6
Echinocţiu de primăvară(~21 martie)
Periheliu (~3 ianuarie)
Echinocţiu de toamnă (~23 septembrie)
Afeliu (~3 iulie)
pe ecliptică este în scădere permanentă. Este adevărat că această scădere este mică, de
cca. 0",0016/secol, dar influenţa sa este luată în consideraţie in calculele care intervin
în studiile astronomice precise:
Punctele în care ecliptica intersectează ecuatorul ceresc, notate γ şi respectiv γ', se
numesc puncte echinoxiale, deoarece la acele momente (~21 martie, respectiv ~23
septembrie) ziua este egală cu noaptea pe întregul Pământ. Punctul γ este denumit punct
vernal şi îndeplineşte un rol deosebit în astronomic.
Cu noţiunile introduse până acum se poate defini sistemul de coordonate
ecuatoriale (fig. 4) folosit frecvent în astronomic pentru poziţionarea stelelor pe sfera
cerească în cataloagele de stele şi anuarele astronomice:
· α = ascensia dreaptă;
· β = declinaţia;
· γ = distanţa polară:
p = 90° — α
Pentru a simplifica, într-o oarecare măsură, studiile complexe care se întreprind în
astronomia geodezică, în etapele de început se acceptă unele aproximaţii, care sunt, în
continuare, eliminate succesiv.
Figura 4
Sistemul de coordonate ecuatoriale
7
cercul orar al stelei σ
axa lumii
sfera cerescăpunctul vernal
ecliptica
Ecuatorul ceresc
cercul orar al punctului
vernal
PS
PN
Modelul simplificat al astronomiei geodezice conţine următoarele ipoteze
(Grafarend, 1988):
1. Pământul este un corp rigid şi cu potenţial constante în timp;
2. Direcţia axei de rotaţie a Pământului este fixă în interiorul său şi în spaţiu;
3. Viteza de rotaţie a Pământului este constantă;
4. Centrul de masă al Pământului se deplasează pe o orbită plană în jurul Soarelui;
5. Stelele ocupă poziţii fixe pe sfera cerească;
6. Stelele sunt infinit depărtate(o primă excepţie acceptată este Soarele);
7. Viteza luminii este infinită;
8. Propagarea razelor de lumină se face în linie dreaptă.
Unele dintre ipotezele menţionate se pot elimina relativ uşor, ca urmare a
recomandărilor. periodice pe care le face Asociaţia lnternaţională de Geodezie (AIG), în
colaborare cu alte organisme internaţionale.
Astfel, la a XXI -a Adunare Generală a AIG, desfâşurată la Boulder
(Colorado-SUA) în perioada 2-14 iulie 1995 s-au recomandat:
ω = viteza de rotaţie a Pământului = 7 292 115.10-11 rad s-1,
cu o variaţie în timp de:
(-4,5 ± 0,1) * 10-22 rad s-1
Pentru viteza de propagare a luminii (in vid înaintat) se foloseşte valoarea:
c = 2, 99792458 • 108 ms-1
În continuare se va examina, doar descriptiv şi succint, ipoteza 2, care are o
8
deosebită semnificaţie pentru astronomia geodezică.
Mişcarea polului
La fenomenul de precesie planetară, definit mai sus, se adaugă precesia luni-
solară determinată de acţiunile de atracţie exercitată de către Lună şi Soare asupra
Pământului. Suma acestor fenomene este denumită precesie generală sau mai simplu
precesie.
Figura 5
Precesia şi nutaţia
Dintre efectele multiple ale precesiei menţionăm în continuare doar pe cele mai
semnificative.
Punctul vernal γ se deplasează pe ecliptică, în sensul creşterii ascensiei drepte cu cca
0",13/an.
Axa de rotaţie a Pământului nu rămâne fixă ci, descrie o mişcare conică, care se
închide după cca. 26 000 ani, având o rată de cca. 50",37/an.
Datorită, în special, înclinării orbitei Lunii în raport de ecliptică (cu 5°) peste
fenomenul de precesie se suprapune o oscilaţie permanentă a axei de rotaţie a
9
Pământului, denumită nutaţie. Deci conul precesiei nu este neted, ci este un con ondulat
cu perioada de cca. 18,6 ani.
Examinând mai în amănunt aceste modificări temporale ale poziţiei axei
de rotaţie a Pământului şi, îu consecinţă, a poziţiei polului ceresc pe sfera
cerească, astronomia a pus în evidenţă că aceasta din urmă efectuează,
suplimentar, o mişcare de rotaţie proprie, sub forma unei spirale neregulate, cu
perioada de aproximativ 437 zile (renumita perioadă Chandler).
Prin urmare, măsurătorile astronomice trebuie să introducă noţiuni suplimentare:
- axa instantanee (momentană) de rotaţie a Pământului;
- poziţia instantanee (momentană) a polului ceresc.
Din acest motiv, AIG a hotărât în anul 1960 adoptarea unui pol mediu
determinat din media observaţiilor continuie de latitudine, efectuate în perioada
1900-1905 în cinci observatoare astronomice fundamentale, situate în jurul Globului,
la latitudini foarte apropiate.
Observatoare astronomice fundamentale
Observatorul latitudine longitudine
Carloforte/Italia 39°08' 8°19'
Gaithersburg/SUA 39°08' 282°48'
Kitab/Rusia 39°08' 66°53'
Mizusawa/Japonia 39°08' 141°08'
Ukiah/SUA 39°08' 236°48'
Pentru observatorul astronomic Kitab a fost considerată perioada 1935-1940. Polul
mediu definit astfel de către Asociatia lnternatională de Astronomie (AIA) a fost însuşit
de AIG în anul 1960.
Una dintre problemele fundamentale ale astronomiei moderne constă în
determinarea coordonatelor x, y ale polului instantaneu de rotaţie în raport de
Originea Conventională Internatională (CIO), reprezentată de poziţia polului nord
ceresc mediu. Această activitate de cercetare permanentă este coordonată de Serviciul
International al Mişcării Polului (cu sediul la Mizusawa). În prezent, datorită
tehnologiilor perfecţionate utilizate, puterea de rezoluţie a determinării perioadelor
de mişcare a polului a crescut deosebit de mult (Fig. 6).
10
Figure 6
Determinări recente ale mişcării polului
Determinări „de poziţie" ale astronomiei geodezice
Astronomia geodezică are un obiect de studiu deosebit de complex, în care
poziţionarea punctelor geodezice pe suprafaţa Pământului ocupă un loc principal,
preocupările respective fiind încadrate în capitolul denumit astronomie de poziţie. Aceste
mărimi sunt preluate apoi în calculele laborioase care se efectuează în marile reţele
astronomo-geodezice de sprijin.
În fig. 7 se aduc unele completări la noţiunile introduse până acum, astfel încât să se
poată defini determinările la care ne-am referit anterior. Observatorul astronomic Greenwich
(situat în apropiere de Londra) îndeplineşte un rol deosebit de important în astronomie.
Meridianul astronomic al punctului Greenwich a fost adoptat ca meridian origine.
Meridianul locului (al punctului M) intersectează orizontul locului în două puncte:
· punctul mai apropiat de polul nord ceresc este denumit punctul cardinal
nord (N);
· celălalt punct este denumit punctul cardinal sud (S). Dreapta N-S
este denumită meridiană.
Ecuatorul ceresc intersectează orizontul locului, de asemenea în două puncte:
· punctul din care răsar stelele deasupra orizontului este denumit punctul
cardinal est (E);
11
· celălalt punct, diametral opus, este denumit punctul cardinal vest (W)
Primul vertical este planul determinat de verticala locului şi de direcţia EW.
Intersecţia sa cu sfera cerească este denumită cercul primului vertical.
Coordonatele de poziţie determinate de astronomia geodezică sunt coordonate
naturale, deoarece se raportează la mărimi care există în universul real.
Latitudinea astronomică Φ poate fi definită in următoarele moduri (fig. 7):
- unghiul format de axa lumii cu orizontul locului (al punctului M);
- înălţimea polului (nord ceresc) deasupra orizontului (locului);
Figura 7
Determinări de poziţie
- unghiul format de verticala locului cu planul ecuatorului ceresc.
Longitudinea astronomică Λ este reprezentată de unghiul diedru format de
meridianul locului cu meridianul origine.
Coordonatele Φ , Λ, definesc poziţia verticalei locului în punctul oarecare M.
Azimutul astronomic a al direcţiei M-σ este unghiul a format de direcţia M σo cu
12
direcţia N-S. Punctul σo este reprezentat de intersecţia cercului vertical al stelei σ cu
orizontul locului. În astronomie se alege ca origine, pe orizontul locului, punctul S, iar ca
sens pozitiv sensul S, W, N, E, astfel încât se poate considera că azimutul astronomic
variază între 0° şi 360°. Uneori se consideră variaţia sa numai între 0° şi 180°, azimutele
determinate spre W primind semnul (+) iar cele spre E semnul (-).
Azimutul astronomic a al direcţiei M- σ mai poate fi definit şi ca unghiul diedru
format de cercul vertical al stelei σ cu meridianul locului.
- distanţa zenitală z a stelei σ;
- înălţimea h a stelei σ.
Recapitulând, astronomia geodezică determină mărimile naturale Φ , A, a, z (h) .
Mărimilor naturale menţionate mai sus le corespund în geodezie mărimile convenţionale
B,L, A, ζ, care se referă la suprafeţe care nu există în lumea reală, şi care vor fi clarificate în
celelalte.
Elipsoidul de referinţă
Figura Pământului este aproximată în mod curent în geodezie cu un elipsoid
de rotaţie cu turtire mică la poli. Elipsoidul cu trei axe, care ar reprezenta o
aproximaţie mai bună pentru acest scop, a cunoscut până în prezent o aplicabilitate
restrânsă. Ca urmare, în decursul timpului s-a dezvoltat un capitol distinct al Geodeziei,
denumit la noi în ţară geodezie elipsoidală, iar în alte ţări Geodezie matematică,
Geodezie superioară sau Geodezie sferoidală. În acest capitol se studiază metodele de
rezolvare a problemelor geodezice pe suprafaţa elipsoidului de referinţă. Trebuie atras
atenţia că, în mod obişnuit, rezolvările pe elipsoidul de referinţă cuprind numai operaţiuni
cu coordonatele geodezice (B, L respectiv X, Y, Z), altitudinile punctelor geodezice
urmând să fie calculate în mod separat. Prin această strategie, geodezia clasică separă
determinarea poziţiei punctelor geodezice în două etape şi anume: problema de
poziţie ,problema de înălţime .
În mod obişnuit în cadrul geodeziei elipsoidale sunt studiate şi reducerile
observaţiilor geodezice efectuate pe suprafaţa fizică a Pământului la suprafaţa
elipsoidului de referinţă (ceea ce ar presupune cunoştinţe dezvoltate de geodezie fizică,
precum şi alte probleme de mai mare complexitate, cum ar fi, de exemplu, calculele
13
de trecere de la un elipsoid de referinţă la altul (aşa - numitele formule diferenţiale).
Deşi în geodezia elipsoidală se operează cu puncte proiectate pe suprafaţa
elipsoidului de referinţă (notate S'0 în Fig. 3), pentru simplificarea notaţiilor în cadrul
expunerilor viitoare, aceste puncte vor prelua notaţia aferentă poziţiei lor de pe elipsoid (în
cazul considerat S).
Similar cu situaţia examinată, în geodezia elipsoidală sistemele locale
îndeplinesc un rol principal, în care se pot descrie măsurătorile efectuate în teren.
Sistemul elipsoidal local se defineşte analog cu sistemul astronomic local, iar
coordonatele elipsoidale polare locale D, A, şi ζe se pot transforma în coordonate
elipsoidale carteziene locale cu ajutorul unei formule :
unde:
· D - distanţa geodezică;
· A - azimutul geodezic;
· ζe - unghiul zenital geodezic.
Figura 8
Sistemul global geodezic (elipsoidal)
Ecuaţiile parametrice ale elipsoidului de rotaţie
Elipsoidul de referinţă, adică elipsoidul folosit la un moment dat, într-o ţară sau în
mai multe ţări, pentru rezolvarea problemelor geodezice, este un elipsoid de rotaţie cu
14
turtire mică la poli. Ecuaţia generală a unui elipsoid de rotaţie, exprimată sub formă
implicită:
este puţin folosită în geodezia elipsoidală.
a b
Figura 9
Elipsoidul de rotaţie de referinţă
Parametrii prin care se poate defini, geometric, un elipsoid de rotaţie sunt:
a = OE = OW - semiaxa mare (raza ecuatorială);
b = OP = OP’ - semiaxa mică;
- turtirea (geometrică);
- excentricitatea liniară;
e= - prima excentricitate (numerică);
- a doua excentricitate (numerică);
15
c= - raza de curbură polară.
Primii trei parametri se mai numesc şi parametri geometrici principali.
Definirea unui elipsoid de rotaţie se poate realiza numai cu doi dintre parametrii
geometrici menţionaţi, dintre care unul trebuie să fie mărime metrică (pentru definirea
dimensiunilor sale).
În tabelul de mai jos se prezintă valorile numerice ale parametrilor a şi f pentru
elipsoizii de referinţă care au fost utilizaţi în decursul anilor în ţara noastră, precum şi
pentru elipsoidul recomandat de AIG. în anul 1980, acceptat în mai multe lucrări de
specialitate publicate în ţara noastră (Ghiţău, Ghiţău & Şomârdolea, 1989 ş.a).
Elipsoizi de referinţă folosiţi în România
Denumirea elipsoiduluide referintă
Anuldeterminării
Semiaxa mare a[m]
Turtirea numericăf
Perioada de ut.ilizareîn România
Bessel 1841 6 377 397,115 1:299,1528 1873-1916
Clarke 1880 6 378 243,000 1:293,5 1916-1930
Hayford 1909 6 378 388,000 1:297,0 1930-1951
Krasovski 1940 6 378 245,000 1:298,3 1951-prezentSistemul geodezic dereferintă 1980
,
1980 6 378 137,000 1:298,257 -
WGS - 84 1,984 6 378 137,000 1:298,25722 1990-prezent
Relaţiile principale de legătură dintre parametrii geometrici ai elipsoidului de rotaţie sunt :
b = (1-f);
b2=a2(1-e2);
f=1- ;
e2=2f-f2= ;
;
e=a
E;
16
;
În geodezia elipsoidala se operează frecvent cu ecuaţiile parametrice,în funcţie de
coordonatele B şi L, adică:
X=X(B,L); Y=Y(B,L); Z=Z(B,L)
Pentru deducerea acestora este util sa se determine, în prealabil, ecuaţiile parametrice ale
elipsei meridiene:
x=x(B); z=z(B),
din legătura dintre coordonatele X,Y,Z şi respectiv x,z avem:
X-=xcosL; Y=xsin L; Z=z
x= ,
z= .
Ultimele două relaţii reprezintă ecuaţiile parametrice ale elipsei meridiene în
funcţie de latitudinea geodezică B. Pentru scrierea mai concentrată a acestor ecuaţii,
precum şi pentru uşurarea calculelor practice, se folosesc frecvent următoarele funcţii
auxiliare :
W= ;
În acest mod, ecuaţiile parametrice ale elipsei meridiene se pot exprima şi sub
forma:
x=
z= , rezultă
X=
Y=
Z=
Secţiuni normale
17
În continuare se va prezenta, pe scurt, modalitatea de calcul a razelor de curbură ale
secţiunilor normale principale.
Raze de curbură principale
Liniile de coordonate sunt reprezentate de meridiane (L = const.) şi paralele
(B=const.)
Considerăm un punt S pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie care este proiecţia, după normala
la elipsoid, a unui punct de pe suprafaţa terestră. Prin această normală trec o infinitate de
plane. Toate aceste plane sunt perpendiculare pe planul tangent la suprafaţa elipsoidului în
punctul considerat S.
Curbele plane care rezultă din intersecţia planelor perpendiculare pe
planul tangent la suprafaţa elipsoidului în punctul considerat cu suprafaţa elipsoidului
se numesc secţiuni normale. Dintre aceste secţiuni normale există două,
perpendiculare între ele, care au curbura maximă şi, respectiv, minimă, numite
secţiuni normale principale. Una se numeşte secţiunea meridiană (secţiunea
elipsei meridiene) iar cealaltă secţiunea primului vertical.
Z
18
P'
Figura 10
Secţiuni normale.
Raza de curbură a elipsei meridiane
Planul meridian este definit de axa polilor (PP’) şi normala la elipsoid dusa
prin punctul considerat.
Secţiunea meridiană este dată de intersecţia planului meridian cu elipsoidul
de rotaţie şi are forma unei elipse .
Se consideră două puncte S1, şi, respectiv, S2 infinit apropiate aflate la distanţa
Δs unul de celălalt .
Δα este unghiul infinit mic dintre tangentele duse prin punctele S1 şi S2, unghi
egal cu cel format de cele două normale:
Δα= Δs
Raza de curbură a elipsei meridiane, notată cu M, se determină prin definiţie, cu
relaţia:
=
Se observă că raza de curbură a elipsei meridiane creşte odată cu variaţia latitudinii
geodezice B de la ecuator spre pol:
M0º = a(1– e2); M 9 0 º =
19
Mărimea razei de curbură a elipsei meridiane se poate extrage din tabele în
funcţie de latitudinea geodezică a punctului considerat .
Raza de curbură a primului vertical
Primul vertical este reprezentat de secţiunea normală perpendiculară pe secţiunea
meridiană. Raza sa de curbura se poate determina prin utilizarea teoremei Meusnier
(Ghiţău, 1983 - pg. 110). Pentru o suprafaţă oarecare, această teoremă se poate scrie sub
forma:
ρ = ρncos ψ ,
· ρ - raza de curbură a unei secţiuni înclinate, care trece printr-un punct oarecare
S;
· ρn - raza de curbură a secţiunii normale, care trece prin acelaşi punct S şi are
tangenta comună cu secţiunea înclinată menţionată, formând cu aceasta unghiul ψ .
Revenind la figura 9, se poate aplica teorema Meusnier în punctul S, deoarece
ambele secţiuni trec prin acest punct şi sunt perpendiculare pe secţiunea meridiană :
- secţiunea normală a primului vertical
- secţiunea înclinată, a paralelului punctului S
au aceeaşi tangentă. Se obţine astfel legătura dintre raza de curbură a primului vertical,
notată N, şi raza de curbură a paralelului r:
r = N cos B
La rândul său, raza de curbură a paralelului este egală cu coordonata x din figura 9:
având o variaţie, în funcţie de latitudinea geodezică, de la ecuator spre pol:
r 0 º = a ; r 9 0 º = 0 .
Prin urmare:
Se observă că raza de curbură a primului vertical are o variaţie de la ecuator spre pol:
N0º = a; N9 0 º =
valorile exacte putând fi extrase din tabele, în funcţie de latitudinea geodezică B a
punctului considerat şi se mai numeşte şi marea normală.
20
Raza de curbură a unei secţiuni normale în funcţie de azimut
Se demonstrează (Ghiţău, 1983 s.a) că raza de curbură a unei secţiuni normale în funcţie de
azimut se determină cu formula Euler:
în care mărimea curburii unei secţiuni normale este exprimată funcţie de azimutul său şi, în
cazul elipsoidului de rotaţie, de curburile secţiunii meridianului şi respectiv primului
vertical. Aşa cum s-a menţionat, din infinitatea secţiunilor normale care trec prin punctul
S, două au razele de curbura minimă şi respectiv maximă, fiind denumite secţiuni
normale principale, iar razele lor de curbură raze principale de curbură.
Poziţiile secţiunilor normale principale pot fi deduse din relaţia de mai sus
prin deducerea condiţiilor de minim (maxim), respectiv:
- curbura minimă;
- curbura maximă.
Valorile extreme se obţin prin urmare pentru:
A = 0g - secţiunea meridiană;
A = 100g - secţiunea primului vertical,
care sunt secţiunile normale principale în cazul elipsoidului de rotaţie de referinţă. Rezultă
că aceste secţiuni sunt perpendiculare între ele
M = N, situaţie întâlnită pentru B = 90°, adică la pol.
În concluzie: M ≤ ρn ≤ N
Figura 11
Secţiuni normale şi raze de curbură pe elipsoidul de rotaţie
21
Raza medie de curbură (raza medie Gauss)
Raza de curbură a unei secţiuni normale oarecare, de azimut A, situată
pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie, rezultă dintr-o transformare simplă a relaţiei lui
Euler
Media aritmetică a razelor de curbură ale secţiunilor normale care trec printr-un
punct situat pe elipsoid, atunci când numărul acestor secţiuni tinde către infinit, se
numeşte rază medie de curbură sau rază medie Gauss, notată R:
R=
R0º = b; R9 0 º = ,
Expresia:
K=
este denumita curbura totală sau curbura Gauss, iar expresia :
H=
curbura medie.
22