Upload
others
View
44
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
1
BÖLÜM IX
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ
Laplace tekniği lineer, toplu-parametreli devrelerde kullanılan güçlü bir
analiz tekniğidir. Laplace dönüşümü, birden fazla düğüm-voltaj veya göz-
akım diferansiyel denklemlerinin ihtiyaç duyulduğu devrelerin geçici
cevabının incelenmesinde kullanılabilir.
Ayrıca Laplace dönüşümü; integrodiferansiyel denklemler takımına, zaman
domeninden frekans domenine cebrik denklemler olarak geçiş imkanı da
sağlar.
0( ) { ( )} ( ) stF s L f t f t e dt
(9.1)
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
2
Devre uygulamalarında Laplace, ele alınan problemi zaman domeninden
frekans domenine taşır.
Lineer devrelerin analizinde Laplace dönüşümü alınabilen kaynaklar
kullanılır. tt veya 2te gibi Laplace dönüşümü olmayan fonksiyonlar
kaynak olarak kullanılmaz.
Eşitlik (1)’de alt sınır 0 olduğundan, Laplace t ’nin negatif değerlerini
ihmal eder. ( )F s ile devrenin sadece t ’nin pozitif değerleri ile davranışına
bakılır. Bu sebeple burada kullandığımız Laplace tek taraflı (one sided)
veya (unilateral) Laplace dönüşümüdür. İki taraflı (two sided) veya
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
3
bilateral Laplace’da alt sınır ’dır. Burada ( )F s dediğimizde tek taraflı
Laplace olduğu anlaşılmalıdır.
Orijinde bir süreksizlik varsa, alt sınır bu durumda (0) veya (0)
alınmalıdır.
Orijinde bir darbe fonksiyonu ( ( )t ) yoksa 0’den 0’ya integral sıfırdır.
( )f t
0
1.0
t
ate-
( )f t
0
1.0
t
, 0ate t- >
0, 0t <
Şekil 9.1: a) Orijinde sürekli b) Orijinde süreksiz
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
4
Fonksiyonel dönüşüm: sin( ), , atwt t e gibi fonksiyonların dönüşümünü
ifade eder.
İşlemsel dönüşüm: Matematiksel işlemlerin dönüşümünü ( ( )f t t ’nin
dönüşümü gibi) ifade eder.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
5
9.1 Basamak Fonksiyonu
Şekil 9.2: Basamak Fonksiyonu
( ) 0, 0Ku t t
( ) , 0Ku t K t
( )u t , birim basamak fonksiyonu (unit step response).
( )f t
0 t
K
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
6
Basamak cevabı 0t ’da tanımlı değildir. Eğer 0 ile 0 arasında bir geçiş
tanımlanması gerektiği durum olursa; bu geçiş lineer kabul edilerek;
(0) 0.5Ku K olarak alınabilir.
( )f t
0- t
K
0+
Şekil 9.3: Basamak fonksiyonuna lineer yaklaşım
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
7
( )f t
0 t
K
a( 0)a>
( )f t
0 t
K
a( 0)a>
( ) 0,Ku t a t a ( ) 0,Ku a t t a
( ) ,Ku t a K t a ( ) ,Ku a t K t a
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
8
Örnek:
( )f t
0 ( )t s
2
2-
1 23 4
( ) 2 [ ( ) ( 1)] ( 2 4)[ ( 1) ( 3)] (2 8)[ ( 3) ( 4)]f t t u t u t t u t u t t u t u t
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
9
( )f t
0 ( )t s
10
0.51.5
( ) 10sin( )[ ( ) ( 2)]f t t u t u t
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
10
( )f t
0 ( )t s
20
5
( ) 4 [ ( ) ( 5)]f t t u t u t
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
11
9.2 Dürtü (Darbe) Fonksiyonu (Impulse Function)
Örneğin bir fonksiyonda aşağıdaki gibi sonlu bir süreksizlik mevcut olsun.
( )f t
0 t
Şekilden görüldüğü üzere ( )f t fonksiyonu 0t ’da süreksizdir ve bu
fonksiyonun süreksizlik noktasında yani 0t ’da türevi tanımlanamaz.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
12
Dürtü fonksiyonu kabulü, bir süreksizlik noktasında türevi
tanımlamamıza yardımcı olur. Bu sayede, bir fonksiyonun süreksizlik
noktası olsa da Laplace’ı tanımlanabilir. Hatta fonksiyonun yüksek dereceden
türevleri dahi tanımlanabilir. Bu sebeple dürtü fonksiyonu ( ( )t ) devre
analizinde kullanışlı bir kavramdır.
Bir süreksizlikte türevi tanımlamak için, öncelikle fonksiyonun süreksizlik
noktasında lineer değiştiği kabul edilir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
13
Şekil 9.4: ile arasındaki lineer geçişin olduğu durum
Şekil 9.4’den görüleceği üzere, 0 durumunda ani süreksizlik meydana
gelir. Fonksiyonun ile arasında türevi alındığında sonuç 12
çıkar.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
14
t için ' ( ) 0f t ’dır.
t için ' ( )( ) a tf t ae ’dur.
sıfıra yaklaştıkça, ' ( )f t , arasında sonsuza yaklaşır.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
15
Öte yandan, ' ( )f t ’nin arasında kalan alanı, 0 , sabit kalır ve bu
alan birim alandır, 1’dir. Bu “birim dürtü veya darbe fonksiyonu (unit
impulse function)” olarak adlandırılır ve dürtü fonksiyonu ( )t ile
gösterilir.
Kısaca 0 ’a giderken ' (0) ( )f t olur.
Ayrıca dürtü cevabına, “Dirac Delta Fonksiyonu” da denir.
Özetleyecek olur isek; değişken parametreli bir fonksiyonun parametresi sıfıra
yaklaşırken bir dürtü fonksiyonu üretebilmesi için aşağıdaki 3 özelliği
sağlaması gerekir.
Fonksiyonun genliği sonsuza yaklaşacak.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
16
Fonksiyonun aralığı sıfıra yaklaşacak.
Fonksiyonun altında kalan alan parametre değiştikçe sabit kalacak.
Böyle bir fonksiyona örnek ( )2
tKf t e
fonksiyonu verilebilir. Bu
fonksiyon dürtü fonksiyonu üretir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
17
Matematiksel olarak dürtü fonksiyonu:
( )K t dt K
( ) 0, 0t t
ile tanımlanır. Yukarıda tanımlanan integral dürtü fonksiyonun altında kalan
alanın sabit olduğunu gösterir. Bu alan dürtünün gücünü temsil eder.
( ) 0, 0t t durumu ise dürtünün 0t ’ın harici her yerde sıfır olduğunu
belirtir. t a ’da oluşan bir dürtü ise ( )K t a ile belirtilir. Dürtü fonksiyonu
için kullanılan grafiksel sembol oktur.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
18
( )f t
0 ta
( )K t ad -( )K td
Dürtü fonksiyonun en önemli özelliği:
( ) ( ) ( )f t t a dt f a
ile ifade edilen eleme (sifting) özelliğidir. Burada, ( )f t fonksiyonu a ’da
sürekli kabul edilir ve bu nokta dürtünün yeridir. Görüldüğü üzere dürtü
fonksiyonun t a dışında tüm zamanda ( )f t ’nin değerlerini elemektedir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
19
Dürtü fonksiyonun Laplace’ı:
0 0{ ( )} ( ) (0) 1stL t t e dt dt
{ ( )} 1L t
Dürtü fonksiyonun türevinin Laplace’ı: '{ ( )}L t s ( ){ ( )}n nL t s (n’inci dereceden türevin Laplace’ı)
Not: Basamak fonksiyonun türevi dürtü fonksiyonunu verir. ( )( ) du ttdt
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
20
Birim Basamak fonksiyonun Laplace’ı:
0 00
1 1 1{ ( )} ( ) (1) [0 ( )]st st stL u t f t e dt e dt es s s
1{ ( )}L u ts
ate fonksiyonun Laplace’ı:
( ) ( )
0 00
1 1 1{ } [0 ( )]at at st a s t a s tL e e e dt e dt es a s a s a
1{ }atL es a
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
21
Sinüs fonksiyonun Laplace’ı:
0{ in } (sin ) stL s wt wt e dt
0 2
jwt jwtste e e dt
j
( ) ( )
0 2
s jwt s jwte e dtj
2 2
1 1 12
wj s jw s jw s w
2 2{sin } wL wts w
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
22
Fonksiyonel Dönüşümler
( ),( 0 )f t t Fonksiyon ( )F s ( )t darbe (dürtü) 1 ( )u t basamak 1 s
t rampa 21 s ate exponansiyel 1 ( )s a
sin wt sinüs 2 2( )w s w cos wt kosinüs 2 2( )s s w
atte sönümlü rampa 21
( )s a
sinate wt sönümlü sinüs 2 2( )w
s a w
cosate wt sönümlü kosinüs 2 2( )s a
s a w
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
23
Lineerlik özelliği:
Sabitle Çarpım:
{ ( )} ( ) { ( )} ( )L f t F s L Kf t KF s (K sabit)
Toplama (Çıkarıma):
1 1{ ( )} ( )L f t F s
2 2{ ( )} ( )L f t F s
3 3{ ( )} ( )L f t F s
Böylece;
1 2 3 1 2 3{ ( ) ( ) ( )} ( ) ( ) ( )L f t f t f t F s F s F s
Not: Yukarıda verilen bu iki özellik lineerlik sağlar.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
24
Türev:
( ) ( ) (0 )df tL sF s fdt
İspat:
0
( ) ( ) stdf t df tL e dtdt dt
stu e , ( )df tdvdt
(0
uv vdu
yöntemini kullanacak olursak)
0 0
( ) ( ) ( )( )st stdf tL e f t f t se dtdt
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
25
0
( )
(0 ) ( ) st
F s
f s f t e dt
( ) ( ) (0 )df tL sF s fdt
olarak elde edilir.
Not: Bu özellik sayesinde zaman domeninde tanımlan bir diferansiyel
denklem, s-domeninde cebrik bir ifadeye dönüşmüştür. Buda bize önemli
bir işlem kolaylığı sağlar.
( )f t fonksiyonunun ikinci dereceden türevi bulunacak olur ise;
Öncelikle ( )( ) df tg tdt
olarak tanımlanır.
( ) ( ) (0 )G s sF s f
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
26
2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 )dg t d f t dg t d f tL L sG s gdt dt dt dt
22
2
( ) (0 )( ) (0 )d f t dfL s F s sfdt dt
olarak elde edilir.
Böylece bir ( )f t fonksiyonun n’inci dereceden türevi aşağıdaki gibi
genelleştirilir. 2 1
1 2 32 1
( ) (0 ) (0 ) (0 )( ) (0) ...n n
n n n nn n
d f t df d f d fL s F s s f s sdt dt dt dt
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
27
İntegral:
0
( )( )t F sL f x dx
s
İspat:
0 0 0( ) ( )
t t stL f x dx f x dx e dt
0( ) ( )
tu f x dx du f t dt
stst edv e dt v
s
0 0( )
tL f x dx uv vdu
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
28
0 00( ) ( )
st stte ef x dx f t dts s
10 ( )F ss
0
( )( )t F sL f x dx
s
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
29
Zaman domeninde öteleme:
Zaman domeninde öteleme, frekans domeninde bir eksponansiyel ile
çarpıma denk düşer.
( ) ( ) ( ), 0asL f t a u t a e F s a
Örnek: 2
1L ts
2( ) ( )aseL t a u t a
s
0
( ) ( ) ( ) ( ) stL f t a u t a u t a f t a e dt
( ) st
ax
f t a e dt
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
30
t a x dx dt t a ’da 0x dolayısıyla;
( )
0( ) ( ) ( ) s x aL f t a u t a f x e dx
0( )sa sxe f x e dx
( ) ( ) ( )asL f t a u t a e F s
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
31
Frekans domeninde öteleme:
Frekans domeninde öteleme, zaman domeninde bir eksponansiyel ile
çarpımına denk düşer.
( ) ( )atL e f t F s a
İspat:
( )
0 0( ) ( )at st s a te f t e dt f t e
( ) ( )F F s a
Örnek: 2 2cos sL wts w
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
32
2 2cos( )
at s aL e wts a w
Ölçeklendirme (Scaling):
1( ) , 0sL f at F aa a
İspat:
0( ) st
x
f at e dt
dxat x dx adt dta
0 0t x dolayısıyla;
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
33
0 0
1( ) ( ) ( )x xs sa adxL f at f x e f x e dx
a a
1 1( ) sF Fa a a
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
34
İşlemsel Dönüşümler
( )f t ( )F s( )Kf t ( )KF s
1 2 3( ) ( ) ( )...f t f t f t 1 2 3( ) ( ) ( )...F s F s F s ( )df t dt ( ) (0 )sF s f
2 2( )d f t dt 2 ( ) (0 ) (0 )s F s sf df dt ( )n nd f t dt 1 1 1( ) (0 )... (0 )n n n ns F s s f d f dt
0( )
tf x dx ( )F s s
( ) ( ), 0f t a u t a a ( )ase F s ( )ate f t ( )F s a
( )tf t ( )dF s ds ( )nt f t ( 1) ( )n n nd F s ds
( )f tt
( )s
F u du
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
35
Örnek:
dcI( )V t
Şekildeki devrede ( )V t ’yi 0t için bulunuz (Not: Başlangıç koşulları 0
alınmaktadır.)
0
( ) 1 ( )( ) ( )t
dcV t dV tV d C I u t
R L dt
0
( ) 1 ( ) 1[ ( ) (0 )] ( )dcV s V s C sV s V I
R L s s
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
36
1 1( ) dcI CV s sCR sL s
2( ) 1 1
dcIV ss s
RC LC
Not: ( )V t ifadesini bulabilmek için 1( ) ( )V t L V s işleminin yapılması
gerekir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
37
9.3 Ters Laplace Dönüşümü
Lineer, toplu-devrelerde, zamanla değişmez devrelerde bilinmeyen voltaj veya
akımın s-domenindeki ifadesinde fonksiyon her zaman s’in rasyonel
fonksiyonudur. 1
1 1 01
1 1 0
...( )( )( ) ...
n nn n
m mm m
a s a s a s aN sF sD s b s a s b s b
, , ,a b m n
m n düzgün rasyonel (proper rational)
m n düzgün olmayan rasyonel (improper rational)
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
38
Sadece düzgün rasyoneller kısmi çarpanlara ayrılabilir. Düzgün
olmayanlar, bölmeden sonra düzgünleştirilip ondan sonra kısmı çarpanlara
ayrılırlar.
Kısmi Çarpanlara Ayırma;
2
6( 3)( 1)
ss s s
, Paydanın 4 kökü vardır ve her biri ayrıdır.
31 2 42 2
6( 3)( 1) ( 3) ( 1) ( 1)
Ks K K Ks s s s s s s
1 31 2 3 42
6 ( )( 3)( 1)
t t tsL K K e K te K e u ts s s
Burada K katsayısının hesaplanmasında;
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
39
i. Reel ve ayrı kökler (D(s)’in)
ii. Kompleks ve ayrı kökler (D(s)’in)
iii. Reel/kompleks tekrarlı kökler (D(s)’in)
başlıkları altında belirlenir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
40
i) Reel ve ayrı kökler (D(s)’in)
31 296( 5)( 12)( )( 8)( 6) 8 6
Ks s K KF ss s s s s s
Her iki tarafı da s ile çarparsak;
31 21
0 00
96( 5)( 12) (96)(5)(12) 120( 8)( 6) 8 6 (8)(6)s ss
K ss s s K s K s Ks s s s s s
31 2
8 88 8
( 8)96( 5)( 12)( 8) ( 8) ( 8)( 8)( 6) 8 ( 6)( 8)s ss s
K ss s s K s K ss s s s s s s
2(96)( 3)(4) 72
( 8)( 2)K
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
41
31 2
6 66 6
( 6)96( 5)( 12)( 6) ( 6) ( 6)( 8)( 6) 8 ( 6)s ss s
K ss s s K s K ss s s s s s
3 48K
96( 5)( 12) 120 48 72( 8)( 6) 6 8s s
s s s s s s
5s veya 12s için sonuç 0 çıkar ve doğrulama yapılmış olur.
1 6 896( 5)( 12) (120 48 72 ) ( )( 8)( 6)
t ts sL e e u ts s s
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
42
ii) Kompleks ve Ayrı Kökler (D(s)’in):
2
100( 3)( )( 6)( 6 25)
sF ss s s
2 6 25 ( 3 4)( 3 4)s s s j s j
1 2 42
100( 3)( 6)( 6 25) 6 3 4 3 4
s K K Ks s s s s j s j
1 26
100( 3) 126 25 s
sKs s
23 4
100( 3) 100( 4)( 6)( 3 4) (3 4)( 8)s j
s jKs s j j j
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
43
33 4
100( 3) 100( 4)( 6)( 3 4) (3 4)( 8)s j
s jKs s j j j
2
100 12 10 53.13 10 53.13( 6)( 6 25) 6 3 4 3 4s s s s s j s j
1 6 53.13 (3 4) 53.13 (3 4)2
100 ( 12 10 10 ) ( )( 6)( 6 25)
t j j j jL e e e e e u ts s s
53.13 (3 4) 53.13 (3 4) 3 (4 53.13 ) (4 53.13 )10 10 (10 ( )j j j j t j t j te e e e e e e 320 cos(4 53.13 )te t
1 6 32
100 [ 12 20 cos(4 53.13 )] ( )( 6)( 6 25)
t tL e e t u ts s s
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
44
iii) Reel/Kompleks Tekrarlı Kökler (D(s)’in):
31 2 42 2
180( 30)( 5)( 3) 5 ( 3) 3
Ks K K Ks s s s s s s
1 20
180( 30) 120( 5)( 3) s
sKs s
2 25
180( 30) 225( 3) s
sKs s
2 21 2
3 3 4 33 3 3
180( 30) ( 3) ( 3) ( 3)( 5) 5 s
s s s
s K s K sK K K ss s s s
810
4K için her iki tarafı 2( 3)s ile çarp ve s ’e göre her iki tarafın türevini al.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
45
2 21 2
3 33 3 3
4 3
180( 30) ( 3) ( 3)( 5) 5
( 3)
ss s s
s
d s d K s d K s d Kds s s ds s ds s ds
d K sds
42 23
( 5) ( 30)(2 5)180( 5) s
s s s s Ks s
4 105K
2 2
180( 30) 120 225 810 105( 5)( 3) 5 ( 3) 3
ss s s s s s s
1 5 3 32
180( 30) (120 225 810 105 ) ( )( 5)( 3)
t t tsL e te e u ts s s
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
46
Kompleks köklerde de yol aynıdır.
Katlı kökün derecesinden 1 eksiğe kadar türev alınarak kökler bulunur.
( ) ( 1)ns n türevle belirlenir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
47
Düzgün Olmayan Rasyonel Fonksiyonlar:
n m (yani payın derecesi daha büyük) 4 3 2
2
13 66 200 300( )9 20
s s s sF ss s
Burada pay paydaya düzgün rasyonel bir fonksiyon elde edilene kadar bölünür.
22
30 100( ) ( 4 10)9 20
sF s s ss s
2
30 100 30 100 20 509 20 ( 4)( 5) 4 5
s ss s s s s s
2 20 50( ) 4 104 5
F s s ss s
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
48
24 5
2( ) 4 10 (20 50 ) ( )t td df t e e u tdt dt
F(s)’in Kutupları ve Sıfırları:
1 2
1 2
( )( )...( )( )( )( )...( )
n
m
K s z s z s zF ss p s p s p
n
m
aKb
1 2, ,..., nz z z , payın kökler yeni F(s)’in sıfırları. Bu değerlerde ( ) 0F s .
1 2, ,..., ,mp p p paydanın kökleri yani F(s)’in kutupları. Bu değerlerde
( )F s .
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
49
Sıfırların ve kutupların s-düzleminde yerleştirilmesi bazen uygundur ve sonlu
s-düzleminde çalışılır. Çünkü F(s) sonsuzda r’inci (r n m ) derece sıfır veya
kutuplara sahip olabilir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
50
Örnek: 4( 5)( 10)( )( 1)( 2)( 3)( 4)
s sF ss s s s
Sonsuzda 2’inci dereceden sıfırı vardır, çünkü büyük s değerleri için fonksiyon 24 s ’ye dönüşür ve s , ( ) 0F s olur. Bu sebeple biz sonlu sıfır ve
kutupların olduğu durumda s-düzleminde çalışıyoruz.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
51
Örnek: 10( 5)( 3 4)( 3 4)( )( 10)( 6 8)( 6 8)
s s j s jF ss s s j s j
fonksiyonun sıfır-kutup çizimi
(s plane);
Im
Re05-10-
3 4j- +
3 4j- -
6 8j- -
6 8j- +
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
52
İlk (initial) ve Son (final) Değer Teoremleri:
İlk ve son değer teoremleri bize ( )F s ’den devrenin ( )f t ’deki (0 ve ’da)
davranışı hakkında bilgi verir. Yani ters Laplace olmadan ilk ve son değere (
( )f t ’de) ( )F s ’ten bakabiliriz.
İlk değer teoremi (initial value theorem);
0lim ( ) lim ( )
stf t sF s
Son değer teoremi (final value theorem);
0lim ( ) lim ( )t s
f t sF s
İlk değer teoreminde ( )f t ’nin darbe (dürtü) fonksiyonu içermediği kabul
edilir.
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
53
Son değer teoremi, ( )F s ’in kutuplarının (orijindeki 1’inci dereceden kutup
hariç) s-düzleminin sol tarafında yer aldığı durumda geçerlidir.
İlk Değer Teoreminin İspatı:
0( ) (0 ) stdf dfL sF s f e dt
dt dt
0lim[ ( ) (0 )] lim st
s s
dfsF s f e dtdt
0
0 0lim st st
s
df dfe dt e dtdt dt
s , 0dfdt
, böylece ikinci integral iptal olur. Böylece birinci integral
(0 ) (0 )f f olur (s’den bağımsız).
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
54
0lim (0 ) (0 )st
s
df e dt f fdt
(0 )f ’dan bağımsız olduğundan;
(0 )
lim[ (0 ) (0 )] lim[ ( ) (0 )]s s
f
f f sF s f
0lim ( ) lim ( )s t
sF s f t
Son Değer Teoreminin İspatı:
0 00 0lim[ ( ) (0 )] lim st
s s
df dfsF s f e dt dtdt dt
0 0lim
t
t
df dfdt dydt dy
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
55
lim[ ( ) (0 )] lim[ ( )] (0 )t t
sF s f f t f
0lim[ ( )] (0 ) lim[ ( )] (0 )s t
sF s f f t f
0lim[ ( )] lim[ ( )]s t
sF s f t
Son değer teoremi ( )f var ise geçerlidir. Bu da ( )F s bütün kutupları
(orijindeki tek kutup hariç) s-düzleminin sol tarafında ise doğrudur.