MATEMÁTICAS 2ºBACH

MATRICES Y DETERMINANTES

1. Calcula la matriz , siendo I la matriz identidad de orden 2 y

(

)

Solución: (

)

2. Se consideran las matrices:

a) Hallar ( )

b) Calcular haciendo uso del apartado anterior

Solución: a) ( )

b)

3. Determina los valores a y b de forma que la matriz (

) verifique

Solución:

4. Dadas las matrices:

(

) (

)

a) Determinar α y β tales que

b) Calcular utilizando la expresión obtenida en el apartado anterior

Solución: a)

b) (

)

5. Sea la matriz A

a) Comprobar que

b) Hallar

Solución: b)

6. Se consideran dos matrices A y B que verifican:

(

) (

)

Calcula la matriz

Solución: ( ⁄

⁄

⁄

⁄)

7. (Se dice que una matriz cuadrada A es idempotente si se verifica: )

Si A es una matriz de orden n tal que y , siendo I la matriz

identidad de orden n, calcula

Solución:

8. Dada la matriz (

) siendo a y b números reales, calcula para cada n

natural.

Solución: (

)

9. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

siendo (

) (

) y las incógnitas X e Y matrices de

orden 2x2

Solución: (

) (

)

10. Hallar todas las matrices X tales que , siendo A la matriz (

)

Solución: (

)

11. Calcula X tal que , siendo

y

Solución:

12. Determinar dos matrices A y B tales que:

(

) (

)

Solución: ( ⁄

⁄

⁄

⁄) (

⁄

⁄

⁄

⁄)

13. Dadas las matrices (

) (

)

a) Resolver el sistema matricial:

b) Calcular:

Solución: a) (

) (

)

b) (

)

14. Dada la matriz

hallar

Solución:

15. Hallar el rango de la matriz A, siendo

Solución: ( )

16. Calcula el rango de las siguientes matrices aplicando el método de Gauss:

Solución: ( )

( )

17. Calcula el rango de la matriz A, siendo

Solución: ( )

18. Calcula el rango de la matriz A, siendo

Solución: ( )

19. Determina empleando el método de Gauss el rango de la matriz

Solución: ( )

20. Estudia, según los valores de m, el rango de la matriz M, siendo

Solución: ( ) ( )

21. Dada la matriz

estudia según los valores de m el rango de A

Solución: ( ) ( )

22. Estudia, según los valores de m, el rango de la matriz M siendo

Solución: ( ) ( )

23. Estudia el rango de la matriz M según los valores de a. ¿Existe algún valor de a para el cuál sea ( ) ?

Solución: ( ) ( )

24. Estudia según los valores de a el rango de M siendo

Solución: ( )

( )

25. a) Halla los valores de λ para los cuales tiene inversa la matriz

b) Calcular para

Solución: a) Tiene inversa para todo valor real de λ, excepto y

b)

26. Calcula por el método de Gauss-Jordan la matriz inversa de A siendo

Solución:

27. Calcula por el método de Gauss-Jordan la matriz inversa de A siendo

Solución:

⁄

⁄

⁄

⁄

28. a) Halla los valores de λ para los cuáles tiene inversa la matriz

b) Calcular para

Solución: a) y

b)

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

29. Resolver la siguiente ecuación matricial , siendo

(

)

Solución:

30. Hallar una matriz X tal que se verifique:

Solución:

31. Resolver la ecuación matricial ( ) , siendo

Solución: X

32. Dada la matriz

a) Calcula los valores de m para los que A tiene inversa b) Para , calcula la matriz X que verifica

Solución: a) Tiene inversa para y

b)

33. a) Estudia según los valores de m el rango de la matriz

b) Para el valor , resuelve la ecuación matricial , siendo

y la matriz traspuesta de A Solución: a) ( ) ( )

b)

34. Calcula X tal que , siendo

Solución:

35. Dada la matriz

a) Calcula los valores del parámetro m para los cuales A tiene inversa b) Para , calcula la matriz X que verifica , siendo

36. Dada la matriz

a) Determina para qué valores del parámetro m existe b) Para resuelve ( ) Solución: a) Existe siempre independientemente del valor de m

b)

37. Dada la matriz (

) halla dos matrices X e Y que verifican:

Siendo la matriz traspuesta de A

Solución: (

⁄

⁄

) (

⁄

⁄

)

38. Dada la matriz

para calcula la matriz X que verifica

Solución:

39. Dada la matriz (

) busca los valores de m y n que verifiquen:

Solución:

40. a) Dada la matriz (

), obtén todas las matrices X que conmutan con M

b) Calcula la matriz Y que verifica , siendo M la matriz dada en el apartado anterior, la matriz inversa de M e I la matriz unidad de orden 2.

Solución: a) (

)

b) (

⁄

⁄)

41. Dada la matriz

(

), calcula una matriz X tal que

Solución: (

)

42. Calcula los siguientes determinantes:

a)

b)

Solución: a) -29

b) -9

43. Calcula el valor de t para que el determinante de la matriz

valga 0 Solución:

44. Calcula el valor de los siguientes determinantes:

a)

b)

Solución: a) ( )( )( ) b) ( )( )( )

45. Calcula por transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus) el determinante siguiente:

Solución: ( )( )

46. Sean , las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada M de orden 3 con ( ) . Calcula, utilizando las propiedades de los determinantes, el determinante de la matriz cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente . Solución: 7

47. Sean , las filas de una matriz cuadrada M de orden 3, tal que su determinante vale -2. Calcula el valor del determinante de la matriz que tiene por filas . Solución: -4

48. Calcula los siguientes determinantes sabiendo que ( ) a) ( )

b) ( ⁄ )

Solución: a) 15

b) ⁄

49. Si A es una matriz cuadrada de orden 3 y ( ) , ¿cuánto vale ( )? Justifica la respuesta Solución: 40

50. Sean las cuatro columnas de una matriz cuadrada A cuyo determinante vale 5. Calcula: a) El determinante de b) El determinante de la matriz c) El determinante de la matriz cuyas columnas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª son, respectivamente

Solución: a) 125 b) 80 c)-30

51. Sea A una matriz tal que , siendo I la matriz identidad y 0 la matriz nula. Calcula

Solución: 1

52. Halla todas las matrices ( ), cuadradas de orden 3, tales que y

, siendo I la matriz identidad de orden 3 y la matriz traspuesta de A, de las que además, se sabe que su determinante vale 10.

Solución: Existen 2 soluciones:

53. Calcula los siguientes determinantes:

a)

b)

Solución: a) ( ) b)

54. Sean , las filas de una matriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante vale 4. Calcula el valor del determinante de la matriz que tiene por filas Solución: 8