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BREMSSTRAHLUNG INVERSO
Assorbimento collisionale nei plasmi, in regime lineare e non lineare.
Ciro D’Amico, seminario di Ottica Quantistica
A.A. 2001-2002
Docente del corso: Prof. Danilo Giulietti
Sommario
Introduzione La legge di Kirchhoff L’emissione di Bremsstrahlung (cenni) L’assorbimento lineare L’assorbimento non lineare Processi multifotonici nel Bremsstrahlung
non lineare Un elegante esperimento Conclusioni
Introduzione (1)
Con i laser di potenza oggi si possono raggiungere intensità dell’ordine di
La relazione che lega l’intensità di un onda all’ampiezza del campo elettrico che trasporta è
Questo significa che si possono raggiungere campi el. Dell’ordine di
21716 1010 cmW
22100 5,27 cmWIcmVE
cmV9109
Introduzione (2) Campi di simile ampiezza riescono a ionizzare gli atomi; se un
impulso laser di grande potenza è focalizzato su un bersaglio solido, in breve tempo, si formerà un plasma di elevata densità iniziale.
Necessità di studiare l’interazione laser-plasma. Quando si ha a che fare con radiazione di elevata intensità, grande importanza vengono ad assumere, soprattutto, i fenomeni non lineari.
Parleremo di un particolare processo di assorbimento, causato dalle collisioni nei plasmi (soprattutto quelle elettrone-ione). Lo esamineremo sia in regime lineare che in regime non lineare.
Tale processo di assorbimento prende il nome di “Bremsstrahlung inverso”
Introduzione (3) In un plasma valgono le equazioni
di Maxwell.
è legato ad :
e si riferiscono a tutte le cariche e le correnti presenti nel plasma:
è anche legata al campo elettrico da una relazione non locale temporalmente:
è il “Tensore conducibilità elettrica, che è legato al “tensore dielettrico dalla relazione
0 E
tBE
0 B
tEJH
0
HB
0B
H
J
0
Jt
J
EJ
0
1 j
Introduzione (4) Combinando opportunamente le equazioni di maxwell, per plasmi
isotropi, si trova la relazione di dispersione delle onde e.m trasversali:
L’indice di rifrazione di un plasma è, di solito, una grandezza complessa
tr
cK
2
22
22ˆ jnn tr
Kc
n Re
Kc
Im
trn Re22
trn Im2
Introduzione (5) Onda di intensità che attraversa un plasma ( intensità iniziale)
Il coefficiente di assorbimento è legato a e a e dalle relazioni:
Approssimazione di plasma freddo: . Il plasma può essere pensato come l’insieme di un fluido di elettroni, immerso in un background di carica positiva stazionaria, rappresentata dagli ioni.
I 0I
zAII exp0
cKA 2Im2
0
ReIm
cncnA tr
tr A
KVth
Introduzione (6) Il modello fluido collisionale descritto dalle equazioni:
predice
eeiee
e uvmEet
um
~~
22
2
ei
ei
e
e
v
jv
m
en
22
2
22
2
1
ei
pe
ei
pe
vj
v
212221 1 pen
2122
2
zc
zzvzA
pe
peei
eipe v
; ee uenJ
La legge di Kirchhoff. Plasmi isolati in equilibrio termodinamico con le pareti, a temperatura
T , irraggiano di corpo nero secondo la “legge di planck”:
La stessa radiazione attraverserà il plasma venendo assorbita secondo la legge esponenziale
All’equilibrio l’emissione deve bilanciare l’assorbimento; si trova, quindi, un “rate” di emissione (Legge di Kirchhoff) :
2
1
23
32
1exp4
Tkc
nII
B
bb
AI
dz
dI
smorz
.
bbAIS
Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (1). Le particelle cariche che attraversano la materia vengono diffuse per
collisione. Durante una collisione tali particelle vengono accelerate e irraggiano radiazione elettromagnetica secondo la formula classica di Larmor
La radiazione emessa da particelle cariche durante gli urti viene chiamata “Bremsstrahlung” (radiazione di frenamento).
Se l’urto avviene contro una seconda particella carica, anche quest’ultima essendo accelerata irraggierà e bisognerà costruire una sovrapposizione coerente delle due radiazioni, ma noi supponiamo che una delle due particelle abbia massa “infinita”.
23
0
2
||6
uc
ne
dt
dW
Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (2). Si può dimostrare che vale la relazione
dove abbiamo indicato con la trasformata di fourier di .
Per calcolare consideriamo un semplice modello di scattering di un’elettrone su uno ione di carica Ze:
23
02
2
||6
uc
ne
d
dW
u tu
tu
u
u
Ze
,fotone
b0t
Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (3). Grandi parametri d’impatto piccole deflessioni
Per cui si ricava:
Dove e sono delle funzioni di Bessel modificate, rispettivamente, del primo e dello zeresimo ordine.
23222
0
2
4 tub
b
m
Zetu
e
23222
0
2
|| 4 tub
ut
m
Zetu
e
u
bK
u
bK
um
nZ
c
e
d
ubdW
e
2
02
142
223
0
2 4
43
2,,
1K 0K
Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (4). Per (basse frequenze) e hanno i seguenti valori
asintotici (Abramowitz e Stegun )
possiamo inoltre pensare che se ( t è il tempo di durata di una collisione ) il contributo maggiore venga da , quindi possiamo approssimare a
che è l’energia emessa per elettrone e per unita di intervallo spettrale
1ub1K 0K
5772.0
2ln0 u
bK
b
u
b
uK
2
2
11
ubt 11K
222
23
0
2 4
43
2,
bum
nZ
c
e
d
ubdW
e
Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (5). Il numero di ioni con parametro d’impatto compreso tra e ,
che un elettrone incontra, per unità di volume, muovendosi nel plasma è dato da
è la potenza emessa da un elettrone, per unità di volume e di intervallo di frequenza.
e sono il massimo e il minimo dei parametri d’impatto, rispettivamente.
bdbundn ii 2
b dbb
min
max
3
0
22
ln43
162
,, max
min b
b
c
e
um
nZnbdb
d
ubdWun
d
ubdP
e
ib
bi
B
minbmaxb
Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (6). Il numero di elettroni, per unità di volume, aventi velocità compresa
tra
e è dato da:
= funzione di distribuzione delle velocità degli elettroni
,4 2duuufnudn ee
u duu
0min
max
3
0
2
2
2
4ln3
433
16duuuf
b
b
c
e
m
nnnZ
d
dP
e
ieB
Tot
uf
Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (7). “THERMAL BREMSSTRAHLUNG”: distribuzione di Maxwell-
Boltzann.
è la potenza totale emessa, per unità di volume e di intervallo di frequenza.
eB
e
eB
e
TK
um
TK
muf
2exp
2
223
min
max
21
2330
3
62
ln3
32323
16
b
b
TK
m
mc
ennnZ
d
dP
eB
e
e
ieB
Tot
Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (8). La potenza totale emessa per
unita di intervallo spettrale non dipende dalla frequenza.
Effetti quantistici possono essere trascurati se
2
2
1umhv e
eB
offcut
TK
eBeB
e
e
ieB
Tot
TKb
b
TK
m
mc
ennnZ
d
dP
expln
3
32323
16
min
max
21
2330
3
62
I
offcutLog
taglio
di
frequenza
e
lungBremsstrah
di
emissione
di
Spettrofig .2.
Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (9). Calcolo di e :
con riferimento a fig.1:
“FATTORE DI GAUNT”: termine correttivo. I parametri e sono funzioni di per cui deve essere mediato sulle velocità. Per thermal Bremsstrahlung è:
1ub ub max
bum
Ze
tub
bdt
m
Zeu
ee
2
23222
2 2
uu 22min 2 umZeb e
2
3
2ln
3
Ze
Vmg the
ff
minbmaxb
maxb minbu
L’assorbimento lineare (1). Quando un elettrone viene accelerato nel campo columbiano di uno
ione emette un fotone. Sovente può succedere che l’elettrone accelerato assorba un fotone; tale processo di assorbimento viene chiamato “Bremsstrahlung inverso”.
L’emissione o l’assorbimento di radiazione da parte di una particella carica, a bassi campi, è un processo a singolo fotone; cioè l’elettrone può emettere o assorbire un solo fotone alla volta. Come vedremo, invece, per intensi campi laser (regime non lineare) l’emissione e l’assorbimento di radiazione sono processi a molti fotoni.
Abbiamo gia calcolato tutto ciò che ci serve per ricavare il “coefficiente di assorbimento di Bremsstrahlung inverso” in regime lineare.
L’assorbimento lineare (2). Il coefficiente di assorbimento per radiazione poco intenza, in plasmi
all’ equilibrio termico, viene calcolato mediante la legge di Kirchhoff
= Intensità spettrale di corpo nero
= Intensità spettrale per emissione di Bremssteahlung
e
bbe
B
e TI
TITA
bbI
BI
effeBe
eie
B TGTKmn
ennZTA ,
3
1
2
1
6
2321
230
62
L’assorbimento lineare (3).
Caratteristiche importanti dell’assorbimento in regime lineare:
1) è meno efficace ad alte temperature
2) è meno efficace ad alte frequenze
3) è più efficace per alte densità del plasma
inoltre
4) a basse temperature, contributi dalla radiazione di ricombinazione
5) effetti quantistici di sovrapposizione si trascurano per
eBe TKmb
min
L’assorbimento lineare (4). Massimo assorbimento in quegli strati del plasma a densità più elevata in
cui il laser può penetrare, cioè vicini alla densità critica:
(coefficiente di assorbimento massimo)
nella nostra trattazione classica ( e temperature al di sotto dei
eV) il fattore di Gaunt si può scrivere come:
ffeB
eLe
B GTK
m
nc
ZeTA
L 3
1
26
~2321
0
22
4
20
242
e
mnnZn eL
cie
20
23254
781,1
2ln
3,
Ze
m
m
TKTG e
e
eBeff
eBTK250Z
L’assorbimento lineare (5). La teoria di Vlasov e la teoria fluida, al primo ordine, ricavano il
coefficiente di assorbimento lineare come una funzione della frequenza di collisione elettrone-ione:
ora, eguagliando tale coefficiente a quello calcolato per l’assorbimento di Bremsstrahlung inverso possiamo calcolare una frequenza efficace di collisione elettrone-ione:
2
peei
cn
vA
ffeBe
eeffei G
TKm
eZnv
3
1
2
1
6
2321
20
4
,
eVT
Zcmnv
e
eeffei 23
15
, 102
L’assorbimento lineare (6). UN SEMPLICE ESERCIZIO!
Si consideri della radiazione monocro
matica ( ) poco intensa ( ) che
incide normalmente su un plasma
isotermo con un gradiente lineare di
densità ,e spesso .
fig.3.
Sia per e per
. Vogliamo sapere la
percentuale di radiazione che esce dal
plasma in .
l
0z lz
0I lIAplasma,
z
0en 0z ce nn lz
lz
!Soluzione
ce
e
nn
nl dzzAII00 2exp
2122
2
zc
zzvzA
pe
peei
lvl
zzv
l
zz
eiei
pe22
c
llvdzzA ei
nn
n
ce
e 15
322
0
c
llvII ei
l 15
32exp0
2232
05102 Le
eei Te
Zmlv
L’assorbimento lineare (7). ESEMPIO 1: laser a Nd ( , )
ESEMPIO 2: laser a ( , )
m 1 11510 sradL
ml 10
Hzlvei12108
56.00 II l
ml 3 84.0ol II
2CO m 10 11410 sradL
Hzvei1110
ml 100 94.00 lII
L’assorbimento non lineare (1). Elettrone libero in un campo elettrico oscillante di ampiezza massima
velocità di quiver
velocità termica
Quando >> il moto dell’elettrone sarà determinato in primo luogo da campo di radiazione, e tutte le formule ricavate fino ad ora non sono più valide! (regime non lineare).
Un parametro che misura il grado di non linearità del problema è
12210 25 scmcmWImm
eEu
eE
0E
e
eBth m
TKV
thE Vu
1 linearenontoassorbimen
Eu thV
L’assorbimento non lineare (2). Radiazione di lunghezza d’onda in un plasma a temperatura ; si può
mostrare che
E’ facile mostrare anche che quando e allora
Come tutti i fenomeni non lineari anche l’assorbimento multifotonico è assai ostico per una accurata trattazione analitica. Daremo qualche accenno di calcolo, ma soprattutto delle referenze riguardo al problema, in seguito. Adesso ci limitiamo a fare dei discorsi qualitativi.
eT
1 m
eVTI e
212103
1 ce nn
2oeBe cETKn
L’assorbimento non lineare (3) Per campi laser intensi il coefficiente di assorbimento diventa una funzione
dell’ intensità del laser. Qualitativamente possiamo trovare una espressione approssimata del coefficiente di assorbimento, con la sostituzione
tenendo conto del fatto che è diverso anche il fattore di Gaunt.
Sostituendo si ottiene:
E’ solo una espressione approssimata, ma l’andamento con è in accordo con le espressioni che si ottengono con calcoli più accurati.
2theeB VmTK 22
022 eEe mEeum
Eie
eB G
ncE
ennZTA
32
1
6
21
30
30
32
30E
L’assorbimento non lineare (4). proprietà importante:
proprietà importante:
potenza assorbita =
Intensità più grandi vengono assorbite meno efficacemente. Un assorbimento ottimale si ha dunque quando
BA
aI
LaII
BA 30E BA 23I
IAB
21I
1
L’assorbimento non lineare (5). Come abbiamo fatto in precedenza possiamo calcolare l’assorbimento
massimo, che si presenterà, ancora una volta, in quelle zone del plasma vicine alla densità critica:
EeLB G
ncEe
ZmEA
32
1
6
~21
300
5
0
laserdelfrequenzadalladipendenzaforte
L’assorbimento non lineare (6).
yxFAA BL
BMF ,,,
01
1
210 2!!!2122
!221sinh
sinh
3,
kkn
knk
n
nyKy
nx
kknknkn
knnyn
yKyyxF
eBq TKWx 2 eBTKy 22eeq meEmW
Metodo quantistico di Osborn: hamiltoniano di un elettrone nel campo columbiano di uno ione, in presenza di radiazione elettromagnetica intensa + teoria delle perturbazioni al primo ordine, per il potenziale columbiano. (Osborn R.K. 1972 Phys. Rev. A.5 1660-2).
RISULTATI:
; ;
jK jordinediificataBesseldifunzione mod
L’assorbimento non lineare (7). Brysck 1975 usa alcune proprietà matematiche delle funzioni di Bessel e
delle funzioni ipergeometriche confluenti (Abramowitz, Stegun) e calcola (Brysck H., 1975, J. Phys. 1260):
xFF ,2,
2
5,
2
3,
2
322
1
12321
!
2321222ln4ln
2
3
jjxjj
jjyxxF
!211
11
!11,,,,
2
22
xxxF
grandix
ermediepiccolix int
L’assorbimento non lineare (8) F è un fattore correttivo del coefficiente di assorbimento multifotonico
rispetto a quello lineare, per campi deboli. Resta confermato allora che l’assorbimento ottimale si ha quando
Ecco ciò che ha ottenuto Brysck
1 1x
x
F
Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (1)
Argomento: scattering di elettroni da un potenziale V debole, in presenza di un campo elettromagnetico intenso. (N.M.Kroll, K.M.Watson, Phys. Rev. A8, 804, 1973). Utilizzo dell’equazione di Schrödinger per calcolare gli stati dell’elettrone prima e dopo l’urto.
L’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo, per il nostro problema è
Potenziale vettore forte: processi indotti dominano i processi spontanei. Inoltre supponiamo il campo spazialmente uniforme. Come risultato possiamo trascurare nell’equazione l’effetto di . Possiamo scrivere:
tjVA
c
ej
m
2
2
1
2A
ttdAmc
ejt
t
2
2
2
2exp
tjVA
mc
je
m
2
2
2
Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (2)
Per V=0 la soluzione è un’onda piana, corrispondente ad un impulso mediato nel tempo
Per risolvere l’equazione completa usiamo il metodo della funzione di Green ritardata, , definita da:
kq
t
ktdAk
c
ek
m
jrkj
2
2expexp 2
ttrrGt
jAmc
je
m
22
2
00,, ttperttrrG
causalitàdiprincipio
ttrrG ,,
Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (3)
Specializzandoci al caso , la funzione di Green si può scrivere come
SOLUZIONE:
onda piana corrispondente ad un impulso iniziale dell’elettronevogliamo la soluzione essere un’onda piana nel remoto passato ( )
taA cos
takc
etk
m
j
takc
etk
m
jrrkjkd
jG
sin2
2exp
sin2
2expexp
2
2
23
trrGVtdrdk
t
kk ,
000
00 kq
t
Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (4)
trtrtakc
etk
m
jkkk
,,sin
2
2exp
,
20
00
2periodo
diperiodicafunzione
Fourierdiserie
inespanderepossiamo
tjnrtrn
nkkkk
exp,,,, 00
Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (5)
Il secondo termine nella soluzione generale si potrà allora scrivere come una somma infinita
dove, per il solito modello di scattering, per grandi r
trSn nk
,,0
rrVrnkjrd
tankm
etnk
m
jrnjk
r
mtrS
nnkk
nk
,,
22,
0
0
exp
sin2
2expexp
1
2,
nkm
nkm
20
2
2
1
2
1 scattering
didiffsezionedella
calcolonellefondamentaruolo
ungiocafattoreultimoques
.
'
Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (6)
La sezione differenziale di scattering è definita da
Inoltre si dimostra che
Correnti di probabilità associate, rispettivamente, all’onda piana incidente, e all’onda sferica presente in , per grandi r:
.
2
...
..
incid
diffuse
J
Jr
tempodieareadiunitàperincidpartdin
dintempodiunitàperdiffusepartdind
d
d
t
knkknknnkkVVdtrrVrnkjrd
2
0,, 000,,
2exp
nkS
,0
mcAemq
0
2rmcAemnq
temponel
mediatevannoaledifferenzi
sezionedellacalcolonel
Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (7)
Formula finale per la sezione differenziale di scattering di scattering
Approssimazione di potenziale debole: possiamo pensare che, quando il potenziale V è debole, non si commetta un grosso errore operando la sostituzione
2
0
2
20
0,
2
,knk
Vq
nqm
d
qnqd
0k
0k
),(0knk
V ),(0knk
V
Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (8)
deboleV
rkjVrnkjJ
rkjVrnkj
tjntjV
n
tknk
0
0
2
0
exp,exp
exp,exp
sinexp2
,0
d
qnqdJ
q
nq
d
qnqd Bn
)(, 02
0
0
mcqnqacmMWIm )(352.0 02212
..mecampo
delionepolarizzaz
..mecamposenzaelastico
scatteringdisezione
Borndi
zioneApprossima
Un esperimento elegante (1) Weingartshofer et al. (A. Weingarsthofer, J.K.Holmes, G.Caudle, E.M.Clarke,
1977, Phys. Rev. Lett. 39, 269) Fascio monoenergetico ( ) di elettroni su Ar ; rivelati elettroni
scatterati a Sui centri di scattering era presente un laser a ,impulsato e focalizzato:
50 MW ( e ). Studiati i due processi multifotonici
(emissione di n fotoni)
(assorbimento di n fotoni)
eV11iE 0153
2CO2910 cmWI
laserArnhvEelaserArEe ii
laserArnhvEelaserArEe ii
Un esperimento elegante (2)• Per campi deboli: assorbimento o emissione di un singolo fotone alla volta
(H.Kruger, M.Schulz, 1976, J. Phys. B 9, 1899)
d
d
p
p
d
del
i
fff 2
1
2
24132
21086.4
i
fii p
ppeVEcmWIm
Un esperimento elegante (3). Per campi intensi erano attesi processi multifotonici. Un calcolo semiclassico
da (N.M.Kroll, K.M.Watson, Phys. Rev. A8, 804, 1973)
d
dJ
p
p
d
del
ni
fn
ff 2
121
220
nnJJ
d
d
d
del
n
nff
0n
0n
emessifotonin
assorbitifotonin
Un esperimento elegante (4)• Risultati sperimentali:
eVhv 117.0
scatterati
elettronili
impulsoall
opolarizzat
mecampo
deg
'||
..
Conclusioni.Il Bremsstrahlung inverso, sia in regime
lineare sia in regime non lineare, è stato un fenomeno molto studiato; il fenomeno ha destato interesse soprattutto presso i fisici teorici, ma oggi non sono poche le sue applicazioni in svariati campi della fisica che vanno dalla spettroscopia all’astronomia, a qualsiasi disciplina scientifica in cui l’interazione laser-plasmi occupa un ruolo di primissimo piano.
“Lo scienziato non sfida l’universo; lo accetta. E’ un piatto da assaporare, un regno da esplorare; è un’avventura e una gioia senza fine. Esso è
compiacente ed elusivo, ma mai monotono. E’ meraviglioso sia nel piccolo sia nel grande. In breve, la sua esplorazione è la più elevata occupazione per
un gentiluomo”
I. I. RABY