BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM 

KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 

 

 

ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN   

SZERZŐ: 

DR. ZOBORY ISTVÁN Apáczai Csere János díjas egyetemi tanár 

SZERKESZTŐ: 

DR. SZABÓ ANDRÁS RAJZOLÓ: 

KISS CSABA A MINTAFELADATOKAT KIDOLGOZTA: 

CSÁSZÁR LÁSZLÓ LEKTORÁLTA: 

DR. KULCSÁR BÉLA 

2012. 

A II. Nemzeti Fejlesztési Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program

TÁMOP-4.1.2/A/2-10/1-2010-0018

azonosító számú programja keretében készült jegyzet.

A projekt címe:

„Egységesített Jármű- és mobilgépek képzés- és tananyagfejlesztés”

A megvalósítás érdekében létrehozott konzorcium résztvevő:

a Kecskeméti Főiskola

a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

az AIPA Alföldi Iparfejlesztési Nonprofit Közhasznú Kft.

Tartalomjegyzék 

Tartalomjegyzék ..............................................................................................................0 Előszó ................................................................................................................................1 0 Bevezetés .................................................................................................2 1 Fizikai mennyiségek megadása, mértékrendszerek.............................4

1.1 járműgéptanban használt fizikai mennyiségek .........................................4 1.2 A fizikai mennyiség dimenziója, mértékegysége és mérőszáma...............7 1.3 Prefixumok .............................................................................................12 1.4 Mértékrendszerek ...................................................................................13

2 Méréstechnikai alapok .........................................................................14 2.1 Bevezető megjegyzések ...........................................................................14 2.2 A mérőrendszer felépítése ......................................................................15 2.3 A mérési hibák két fő csoportja ..............................................................17

2.3.1 A rendszeres hibák .................................................................................17 2.3.2 A véletlen hibák .....................................................................................18

2.4 A mérési adatok csoportosítása – hisztogramok ....................................24 2.4.1 A gyakorisághisztogram.........................................................................24 2.4.2 A relatív gyakoriság hisztogram.............................................................25 2.4.3 A relatív gyakoriság sűrűséghisztogram.................................................26 2.4.4 A valószínűségi sűrűségfüggvény bevezetése ........................................26

2.5 A véletlen hibával terhelt mérési eredmények gyakorlati kezelése.........29 2.6 Abszolút és relatív hiba ..........................................................................29 2.7 A közvetett mérés, a hibaterjedés jellemzése ..........................................30

2.7.1 Egyváltozós függvénykapcsolat esete ....................................................30 2.7.2 Többváltozós függvénykapcsolat esete ..................................................33

2.8 A jelleggörbe kimérése ...........................................................................36 3 Járművek mechanikai folyamatai.......................................................39

3.1 Az anyagi pont mozgásjellemzői.............................................................39 3.1.1 A helyvektor mint az idő függvénye ......................................................40 3.1.2 Az elmozdulásvektor, mint kétváltozós függvény..................................41 3.1.3 A sebességvektor, mint az idő függvénye ..............................................41 3.1.4 A gyorsulásvektor mint az idő függvénye..............................................43

3.2 Speciális síkbeli mozgások .....................................................................46 3.2.1 A körmozgás ..........................................................................................46 3.2.2 A szögsebesség, mint az idő függvénye .................................................46 3.2.3 A szöggyorsulás, mint az idő függvénye................................................47 3.2.4 Az egyenletes körmozgás .......................................................................48 3.2.5 A határozatlan integrálról .......................................................................49 3.2.6 Állandó gyorsulású haladó mozgás ........................................................50 3.2.7 Állandó szöggyorsulású forgómozgás....................................................55

3.3 Járművek mozgásciklusa – menetábra ...................................................56 3.4 Egyszerű hajtásrendszerek .....................................................................58

3.4.1 A fogaskerékhajtás .................................................................................59

3.4.2 A szíjhajtás.............................................................................................64 3.4.3 A dörzskerekes hajtás.............................................................................67

3.5 Járművek működési ciklusának erőhatásviszonyai ................................67 3.6 Járművek ideális működési ciklusának energetikai viszonyai ................69 3.7 Gépek energiahasznosítása változó veszteségek esetén .........................71 3.8 Gépek periodikus mozgásai....................................................................76

3.8.1 Harmonikus lengőmozgás ......................................................................77 3.8.2 A kulisszás hajtómű ...............................................................................83 3.8.3 A forgattyús hajtómű .............................................................................87 3.8.4 A gépek forgásának egyenlőtlensége – lendítőkerék .............................89

4 Járművek áramlástani folyamatai ......................................................94 4.1 A nyugvó folyadék egyensúlya................................................................94

4.1.1 A folyadék nyomása...............................................................................94 4.1.2 Nyugvó folyadék energiatartalma és munkaképességei.........................98 4.1.3 Nyugvó folyadék és szilárd test egyensúlya, hajók úszása és

stabilitása..............................................................................................100 4.2 Folyadékáramlások..............................................................................102

4.2.1 Alapfogalmak.......................................................................................102 4.2.2 Áramvonal, áramcső kontinuitás..........................................................105 4.2.3 Az ideális folyadékra vonatkozó Bernoulli egyenlet............................106 4.2.4 Folyadékszállítás dugattyús szivattyúval .............................................110 4.2.5 Valóságos folyadékok veszteséges áramlása .......................................114 4.2.6 A veszteséges Bernoulli egyenlet, csővezetéki áramlások...................115

4.3 Az impulzus tétel és alkalmazásai ........................................................118 4.3.1 Impulzustétel áramcsőre.......................................................................118 4.3.2 Az impulzus tétel alkalmazásai, egyszerű turbinák..............................121

5 Járművek hőtani folyamatai .............................................................124 5.1 Az ideális gáz állapotegyenlete ............................................................124 5.2 Hőmennyiség, fajlagos hőkapacitás .....................................................125 5.3 A hőtan első főtétele .............................................................................128 5.4 Elemi állapotváltozások .......................................................................131

5.4.1 Az izochor állapotváltozás ...................................................................132 5.4.2 Az izobár állapotváltozás .....................................................................133 5.4.3 Az izotermikus állapotváltozás ............................................................134 5.4.4 Az adiabatikus állapotváltozás .............................................................134 5.4.5 A politropikus állapotváltozás..............................................................135

5.5 Hőerőgép létrehozhatósága .................................................................136 5.6 Motorikus körfolyamatok .....................................................................137

6 Gépek együttműködése és irányítása................................................142 6.1 A gépek jelleggörbéinek alaptípusai ....................................................142 6.2 Gépek együttműködése, munkapont, stabilitás.....................................145 6.3 Vezérlés és szabályozás........................................................................147

7 Mintafeladatok ...................................................................................150 7.1 1. Gyakorló feladat: mérési eredmények feldolgozása.........................150 7.2 2. Gyakorló feladat: regressziós görbe illesztése mérési adatokra......153 7.3 3. Gyakorló feladat: csavarvonal menti mozgás vizsgálata .................158 7.4 4. Gyakorló feladat: hajtásrendszer vizsgálata....................................162 7.5 5. Gyakorló feladat: lendítőkerék méretezése ......................................170 7.6 6. Gyakorló feladat: több merev testből álló rendszer vizsgálata ........175

7.7 7. Gyakorló feladat: tartály oldalfalán elhelyezett tisztítónyílás fedelének vizsgálata..............................................................................................180

7.8 8. Gyakorló feladat: Síklapátozású vízikerék vizsgálata ......................184 7.9 9. Gyakorló feladat: Dízelmotorban lezajló termodinamikai folyamatok

vizsgálata..............................................................................................197 Ábrajegyzék .................................................................................................................206 Táblázatjegyzék ...........................................................................................................210 Irodalomjegyzék ..........................................................................................................210

1

Előszó Az „Általános járműgéptan” c. tárgy heti két órás előadással és heti egy órás laborfoglalkozással szerepel a BME Közlekedésmérnöki Karán a közlekedésmérnöki BSc szak és a járműmérnöki BSc szak tantervében. A tantárgy bevezető ismereteket ad a további mérnöki tanulmányokhoz. Célja a középiskolában tanult fizikai és matematikai ismeretekre alapozva megismertetni a hallgatóságot a közlekedést megvalósító járművek egy-szerű műszaki folyamataival, bevezetést adni a méréstechnika elemeibe, fejleszteni a járművek működésével kapcsolatos elemi fizikai folyamatok felismerését, és számítási feladatok megoldásával való gyakorlat kezelé-sét. Gyakorlati célja még a tárgynak az eltérő középiskolai fizikai ismere-tek egyetemi szintű homogenizálása és a matematikai tárgyalásmód – bár visszafogott – továbbfejlesztése. A jelen jegyzet azon előadásaim anyagát tartalmazza, amelyeket a BME Közlekedésmérnöki Karán az elsőéves hallgatóknak tartottam a 2006/2007 tanév őszi félévtől kezdődően.

Budapest, 2010. szeptember 17.

a szerző

2

0 Bevezetés A járművek az összes gépek G sokaságának egy J részsokaságát képezik. Minden jármű gép, de nem minden gép jármű. A viszonyokat az 1. ábra síkbeli ponthalmazok J ⊂ G relációjával szemlélteti. A gép fogalmának megadása a következőképp történhet: „ A gép tervezett fizikai folyama-toknak ad keretet valamilyen közvetlen vagy közvetett emberi szükséglet kielégítésére”. Ilyen értelemben kell az előzőek szerint a gépnek bizonyu-ló járművek kérdéskörét is megközelíteni. Azon emberi szükséglet, ame-lyet a járművek kielégítenek a közlekedési szükséglet. Idézzük fel ezért, hogy mi is a közlekedés? A közlekedéstudomány meghatározása szerint a közlekedés „személyek és dolgok rendszeres ismétlődő helyváltoztatá-sa”. Egyrészről fizikai szempontból tehát itt bizonyos tömegek nem egy-beeső pontok közötti térbeli áthelyezéséről van szó. Másrészről a megha-tározásban lényeges dolog a rendszeres ismétlődő jelleg szerepeltetése, ugyanis az egyedi mozgásfolyamat – legyen az járművel történő akár sze-mély vagy árú áthelyezés – a gyakorító jelleg hiánya miatt nem minősül közlekedésnek! A fentiekből következően azt mondjuk, hogy a közlekedés tömegjelenség.

J a járművek sokasága

G a gépek sokasága

1. ábra Gépek és járművek

Ilyen meggondolások után visszatérve a közlekedés fizikai jelentéséhez világosan kirajzolódik, hogy tömegek rendszeres mozgással megvalósuló térbeli áthelyezése egy adott közlekedési pályán tömegáram értékkel jel-lemezhető, melynek jele m& és mértékegysége [ ]m& = kg/s vagy a nagyság-rendeket célszerű mérőszám elérése érdekében figyelembe véve t/h lehet. A jármű mint gép jellemzője, hogy minden esetben rendelkezik egy, az utasokat vagy dolgokat befogadó szerkezeti egységgel, nevezzük ezt kép-letesen „tartálynak”, és ennek a tartálynak a közel vízszintes helyzetét, és a közlekedési pálya menti vezérelt mozgását további, a „tartály” körül el-

3

helyezett alkalmas gépi egységek biztosítják: a hordmű, a hajtómű és a fékmű.

A fentiek alapján közelebbről behatárolható az „Általános járműgéptan” c. tárgy célja: a járművek üzeme során megvalósuló egyszerű fizikai folyamatok megismerését célul kitűző ismeretanyag elsajátíttatása. Mint az a fentiekből következik, feltételezve a hallgatóság járműtechnikai érdeklődését a tárgy alapvetően épít a középiskolából megszerzett fizikai és matematikai ismeretekre.

Az „Általános járműgéptan” c. tárgy a következő fejezetekből épül fel:

1. Fizikai mennyiségek megadása, mértékrendszerek

2. Méréstechnikai alapok

3. Járművek mechanikai folyamatai

4. Járművek áramlástani folyamatai

5. Járművek hőtani folyamatai

6. Gépek együttműködése és irányítása

4

1 Fizikai mennyiségek megadása, mértékrendszerek

1.1 járműgéptanban használt fizikai mennyiségek Valamely fizikai mennyiség tulajdonságot vagy állapotot határoz meg. A tulajdonságot meghatározó mennyiségek legtöbbje anyagjellemző (pl. hőtágulási együttható, viszkozitás, stb.). Az állapotot meghatározó meny-nyiségek (az állapotjellemzők) kétfélék lehetnek:

• extenzív jellemzők: kiterjedéssel kapcsolatosak, valamely térrész disz-junkt felbontásán additivitás érvényesül. Pl.: energia, tömeg, stb. Az extenzív mennyiségekre megmaradási törvények érvényesülnek (pl. energia-megmaradás, tömegmegmaradás, stb.). Az additivitási tulaj-donság szemléltetésére a 2. ábra egy téglalap alakú tartomány egy V térfogatot jellemez. A V térfogatú tartományt elemidegen (diszjunkt) részekre bontjuk, de úgy, hogy a Vi résztérfogatok egyesítése kiadja a teljes V térfogatot. Adva tehát a nVVV ,...,, 21 térfogat sorozat, amelyre

jihaVV ji ≠∅= ,I

és VVn

ii =

=U

1

teljesül. Legyen a V térfogatba foglalt össz-tömeg m(V),

az egyes Vi résztérfogatokba foglalt tömeg pedig mi(Vi), i=1,2,…,n,

akkor az additivitás azt jelenti, hogy m(V) = ∑=

n

iii Vm

1)( teljesül, azaz a

teljes térfogatba foglalt tömeg a résztérfogatokba foglalt tömege ösz-szege. A V térfogatba foglalt m össz-tömeg helyett a V térfogatba fog-

lalt E össz-energiára hasonlóképpen az m(E) = ∑=

n

iii Em

1)( összefüg-

gést kapjuk.

V V1 V2 V3

V4 V5

V6 ... … … Vn

2. ábra A vizsgált térrész felbontása

5

• intenzív jellemzők: hatás erősségére jellemzők, a kiterjedéstől függet-len mennyiségek. (Pl.: hőmérséklet, nyomás, tömegsűrűség, stb.)

Valamely adott V térrészben (térfogatban) jelen lévő extenzív és intenzív jellemzők között sajátos viszony áll fenn, amelyet a következő tétel fo-galmaz meg.

Tétel: A jelenlévő extenzív mennyiség áramlásának szükséges fel-tétele a vele kapcsolatban álló valamely intenzív mennyiség térbeli inhomogenitása.

A tétel tehát azt állítja, hogy ha valamely térrészben áramlik egy extenzív jellemző, akkor a vele kapcsolatban lévő valamely intenzív jellemző el-oszlása nem lehet egyenletes (azaz homogén) a vizsgált térrészben.

A tétel érvényesülésére két egyszerű, szemléletes példát mutatunk be. Az első példa – amely egy hidrosztatikai rendszerre vonatkozik – azt szemlél-teti, amikor az intenzív jellemző adott térbeli inhomogenitása nem biztosít egyben elégséges feltételt is a vele kapcsolatban lévő extenzív jellemző áramlásához.

p0 p

p0 ρgz

ρ

3. ábra Inhomogén intenzív jellemző I.

A 3. ábrán felrajzolt nyitott tartályban a folyadék nyugalomban van. A fo-lyadék V térfogatú térrészt tölt ki. A hidrosztatikus nyomás – mint inten-zív jellemző – eloszlása inhomogén a V térrészben, hiszen a folyadékfel-szín alatti mélységgel lineárisan növekszik. Folyadékáramlás – tömeg-áram – mégsem alakul ki, mert a tartályban lévő folyadékrészek egyensú-lyának feltételei az inhomogén nyomásviszonyok ellenére biztosítottak Tehát a vizsgált példában az intenzív jellemző inhomogenitása nem veze-tett a extenzív jellemző áramlásához!

6

T1

T2

T3

4. ábra Inhomogén intenzív jellemző II.

A második példa – amely egy termikus rendszerre vonatkozik – azt mu-tatja be, hogy egyes esetekben a térrészben jelenlévő intenzív jellemző inhomogenitása esetén beáll a vele kapcsolatban álló extenzív jellemző áramlása, tehát esetenként az intenzív jellemző inhomogenitása elégséges feltételt ad a vele kapcsolatban lévő extenzív jellemző áramlásához. A 4. ábrán felrajzoltunk egy téglalap alakú szilárd testet, melynek kezdeti hő-mérséklet eloszlását a környezeti hőmérséklet értékével azonos homogén (a térrészben egyenletes) eloszlásúnak tekinthetjük. Egy meghatározott időpontban kezdjük el hegesztőpisztoly lángjával melegíteni a test jobb alsó sarkát. A lánggal bevitt hőenergia a testben vezetéssel terjed tova, és eközben megvalósul a test felmelegedési folyamata (belső energia növe-kedés), mely folyamat előbb időfüggő, majd állandósult hőmérséklet el-oszláshoz vezet a test belsejében. Az állandósult – de nem egyenletes (nem homogén) – hőmérséklet eloszlás akkor áll be a test belsejében, amikor a test felszínén a konvekcióval ugyanannyi hő áramlik ki a kör-nyező légtérbe, mint amennyit a láng bevezet a testbe. A példában az áramlásba jövő extenzív jellemző a hőenergia, amely az inhomogén hő-mérsékletmező mint intenzív jellemző eloszlás hatására jön áramlásba. Hőmérsékletkülönbség ugyanis vezetésképes szilárd testben szükségsze-rűen hőenergia áramlást okoz, amely a hőmérséklet kiegyenlítődés irá-nyába indul meg, mindig a melegebb helytől a hidegebb hely felé. A 4. ábrán feltüntettük az állandósult hőáramlás esetén jelentkező állandó hő-mérsékletű (izoterm) vonalakat, és ezekre merőlegesen feltüntettük az adott helyen érvényesülő hőáram vektorokat is. Összefoglalva: a most vizsgált termikus rendszerben az intenzív jellemző (a hőmérséklet elosz-lás) inhomogenitása maga után vonta a vele kapcsolatban álló extenzív jellemző (a hőenergia) áramlását. Most tehát az intenzív jellemző inho-mogenitása nem csupán szükségesnek, de egyidejűleg elégségesnek is bi-zonyult a vele kapcsolatban lévő extenzív jellemző áramlásához.

7

1.2 A fizikai mennyiség dimenziója, mértékegysége és mérőszáma A fizikai mennyiségek jellemzésének egyik fontos módját adja a mennyi-ségek dimenziójának értelmezése.

Definíció: Valamely fizikai mennyiség dimenzióján annak mérő-számtól és mértékegységtől független tartalmát – a minőségének azonosítását – megadó információt értjük. A dimenzió mennyiségi-leg határozatlan. Az x-szel jelölt fizikai mennyiség dimenziójának jele: Dim(x).

A fizikai mennyiségek közül ésszerűen kiválasztott alapmennyiségekre származtatott mennyiségek rendszere építhető. Az alapmennyiségekhez alapdimenziókat, a származtatott mennyiségekhez pedig az alapdimenzi-ók függvényeként kiadódó származtatott dimenziókat lehet rendelni.

Tekintsük a következő tárgyalásunk szempontjából alapvető három ha-gyományos alapmennyiséget, a távolságot, a tömeget és az időt. A jelölé-seket a következők szerint vesszük fel:

1. távolság, jele: s , dimenziója: Dim(s) = L,

2. tömeg, jele: m , dimenziója: Dim(m) = M,

3. idő, jele: t , dimenziója: Dim(t) = T.

Tekintsünk ezek után példákat az alapmennyiségekből képzett származta-tott mennyiségek és azok származtatott dimenzióinak képzésére. Előre bocsátjuk, hogy ha egy fizikai mennyiség betűjele elé a ∆ jelet írjuk, az azt jelenti, hogy a szóban forgó mennyiség kis növekményét tekintjük. Pl. ∆s egy kis távolságnövekményt, ∆t pedig egy kis időnövekményt jelent.

1. sebesség, értelmezése: v =ts

∆∆ , dimenziója:

Dim(v) = 1-T L TL

)Dim()Dim(

==∆∆

ts ,

2. gyorsulás, értelmezése: a =tv

∆∆ , dimenziója:

Dim(a) = 2--1

T L TT L

)Dim()Dim(

==∆∆

tv ,

8

3. erő, értelmezése: F = m a, dimenziója:

Dim(F) = Dim(m) Dim(a) = M L T -2

4. nyomás, értelmezése: p =AF

∆∆

, dimenziója:

Dim(p) = 2-1-2

-2

T L M L

T L M )Dim()Dim(

==∆∆

AF .

Rögzítsük azt az eredményt, hogy a vizsgált példák esetében a származta-tott dimenziók mindenkor az alapdimenziók hatványszorzataként voltak felírhatók. Általános esetben is ugyanez a helyzet, valamely x fizikai mennyiség dimenziója mindig felírható az alapdimenziók hat-ványszorzataként a következő alakban:

Dim(x) = L i M j T k ,

ahol i, j, k kitevők egész számok.

A tárgyalásunknak ezen a pontján fontos hangsúlyozni, hogy valamely fi-zikai mennyiség dimenziója nem egyenlő a tekintett mennyiség mérték-egységével.

Az x fizikai mennyiség dimenziója ugyanis a megadott definíció szerint mennyiségileg határozatlan minőség azonosító szimbólum (amelyre szimbolikus algebrai műveletek vannak értelmezve). Az x fizikai mennyi-ség mértékegysége ezzel szemben a tekintett fizikai mennyiség megálla-podásszerűen egységnyinek tekintett részét határozza meg. Az x mérték-egységébe foglalt mennyiséget [x] jelöli. Ezzel a mértékegység fogalom-mal lehetővé válik a fizikai mennyiségek numerikus értékekkel történő jellemzése. Egy x mennyiség numerikus jellemzése úgy történik, hogy megadjuk azt az {x} valós számértéket – az x mennyiség mérőszámát –, amellyel meg kell szorozni a mértékegységbe foglalt mennyiséget, hogy a tekintett x-ben jelen lévő mennyiséget kapjuk. Képletben:

x = {x} [x] = mérőszám × mértékegység .

A mérőszámnak tehát csak a tekintett adott mértékegység megválasztásra nézve van értelme. Természetszerűen adott fizikai mennyiség esetén a mértékegység elvileg sokféleképp megválasztható. Legyen adva pl. [x]1 és [x]2 az x mennyiség két különbözőnek választott mértékegysége. Ezek fi-

9

gyelembe vételével az x mennyiség a következő alakban írható fel:

x = {x}1 [x]1 = {x}2 [x]2 .

A most felírt összefüggés adja meg az alapját a x fizikai vizsgált mennyi-ség különböző mértékegységekhez tartozó mérőszámai átszámításának. Amennyiben a két különböző mértékegységbe foglalt mennyiség arányát ismerjük, és adott az [x]1 -hez tartozó {x}1 mérőszám is ismert, akkor az [x]2 -höz tartozó keresett {x}2 mérőszámot a nyilvánvaló

{x}2 = {x}1 2

1

][][

xx = {x}1 k

kifejezés szolgáltatja. A bevezetett k szorzó neve: átszámítási szorzó, és a két különböző mértékegységbe foglalt mennyiség arányszámaként van ér-telmezve.

Az elmondottakat egy, az erő mérőszámának meghatározásával kapcsola-tos példával szemléltetjük. A régebben általánosan használt „műszaki mértékrendszerben” az erő mértékegység az 1 kp erő volt. Az 1 kp erő-egység meghatározását az adta, hogy ekkora erő egy 1 kg tömegű testet 9.80665 m/s2 gyorsulással mozgat. Az erő mértékegysége a jelenleg szab-ványos mértékrendszerben az 1 N. Az 1 N erőegység meghatározását – mint ismeretes – az adja, hogy az 1 N nagyságú erő 1 kg tömegű testet 1 m/s2 gyorsulással mozgat. Ha tehát [F]1= kp és [F]2 = N , akkor feltehető a kérdés, hogy 10 kp erő hány N? Az eddigi jelöléseink szerint tehát is-mert az erő kp-ban mért mérőszáma: {F}1 = 10 és keresett az {F}2 szám-értéke. Tekintetbe véve, hogy most a korábban bevezetett átszámítási szorzó értékére a k = [F]1/[F]2 = 9,80665/1 = 9,80665 szám adódik, a ke-resett {F}2 számérték felírható:

{F}2 = {F}1 k = 10 . 9,80665 = 98,0665 .

Tehát 10 kp az 98, 0665 N.

A mértékegység és a mérőszám kérdéskörét még egy analógia bemutatá-sával szemléltetjük. Ismeretes, hogy a fizikában vektormennyiségeket és skalármennyiségeket különböztetünk meg. A vektormennyiségek meg-adásához nagyságuk, irányuk és értelmük megadása szükséges. A skalár mennyiségeket mérőszámuk (skálán leolvasható előjeles nagyságuk) egy-értelműen jellemzi. A szokásos 3-dimenziós geometriai tér vektorait irá-nyított egyenesdarabokként foghatjuk fel. Ebben az esetben a vektor

10

nagysága az irányított egyenesdarab (nem negatív) hossza, abszolút értéke jellemzi. A vektor iránya azon tartóegyenessel van megadva, amelyre az irányított egyenesdarab illeszkedik. A vektor értelme azzal van megadva, hogy az irányított egyenesdarab nyílhegye az irány-egyenesen merre mu-tat. Attól függően, hogy a hosszegységet miképp választjuk meg, beszél-hetünk különböző egységvektorokról. A legegyszerűbb esetet tekintve vizsgáljuk az 5. ábra szerinti vízszintes egyenesre illeszkedő x vektort. Az ábrán feltüntettünk két különbözőnek választott ugyancsak vízszintes egységvektort, az e1 és e2 vektorokat. A bevezetett két egységvektor vál-tozat mindegyike vektorjelleg hordozó, és ezekre támaszkodva alkalmas előjeles x1 és x2 skalár szorzószámok segítségével kétfélképp is előállítha-tó a tekintett x vektor:

x = x1 e1, x = x2 e2 . x

x 0

1e2e

22

11

exxexx

⋅=⋅=

5. ábra Vektormennyiség

Mivel azonban a két előállítás ugyanazon vektort adja, a két kifejezés jobb oldalai egymás között is egyenlők kell, hogy legyenek, azaz

x1 e1 = x2 e2 .

A kapott egyenlőség alkalmas arra, hogy ismerve az egységvektorok hosszainak arányát az előjeles skalár szorzószámok (az adott egységvek-torra vonatkozó koordináták) összefüggését is megadhassuk. Ha pl. x1-et ismerjük, akkor x2 kifejezhető a következő alakban:

x2 = x1 2

1

ee = x1 k .

A kapott kifejezés tökéletes analógiát mutat a fizikai mennyiségek külön-böző mértékegységhez tartozó mérőszámai összefüggésének levezetése-kor kapott képlettel. A szereplő k = 21 e/e hányados itt is átszámítási szorzóként értelmezhető. Ezek szerint az egységvektorok, mint vektorjel-leg hordozó objektumok analógiában állnak a mértékegységekkel, amely utóbbiak szintén a vizsgált fizikai mennyiség jellegét hordozzák. A vekto-rok különböző egységvektorokra vonatkozó skalárkoordinátái pedig tö-

11

kéletes analógiában vannak a vizsgált fizikai mennyiség különböző mér-tékegység választáshoz tartozó mérőszámaival.

Az eddigiekben a mértékegység és a mérőszám összefüggését általános vonatkozások előtérbe helyezésével tárgyaltuk, és megismertük a fizikai mennyiség különböző mértékegység választások esetén adódó mérőszá-mai közötti átszámítás képletét. A következőkben a mértékegységek kér-déskörét abban az összefüggésben vizsgáljuk, hogy a már tárgyalt alap-mennyiségekhez alapmértékegységeket rendelve, a származtatott mennyi-ségek mértékegységeit visszavezetjük az alapmértékegységektől függő ki-fejezésekre. Nézzük tehát rendre a már korábban is tekintett alapmennyi-ségeket és adjuk meg a hozzájuk tartozó alapmértékegységeket:

1. távolság, jele: s , [s] = m,

2. tömeg, jele: m , [m] = kg,

3. idő, jele: t , [t] = s.

A példánkban korábban is vizsgált származtatott mennyiségek mérték-egységei mármost a következők lesznek:

1. sebesség, v =ts

∆∆ , [v] = 1-s m

sm

][][

==∆∆

ts ,

2. gyorsulás, a =tv

∆∆ , [a] = 2-

2 s m sm

s /sm

][][

===∆∆

tv ,

3. erő, F = m a, [F] = kg m/s2 = kg m s -2 = N,

4. nyomás, p =AF

∆∆ , [p] = 2-1-

2

-2

s m kg m

s m kg ][][

==∆∆

AF = Pa.

A bemutatott származtatási példák meggyőzően mutatják, hogy a szár-maztatott mennyiségek dimenzióinál tárgyaltakhoz hasonlóan a származ-tatott mennyiségek mértékegységei is kifejezhetők az alapmértékegységek hatványszorzataiként. Figyeljünk fel arra, hogy a hatványszorzatos kifeje-zéseket az erő és a nyomás esetében egyszerűbb, egy betűs jelöléssel el-látva bevezettük a jól ismert N mértékegységet, amelybe foglalt erő az 1 kg tömeget 1 m/s2 gyorsulással mozgatja, és a Pa mértékegységet, amely-be foglalt nyomást az 1 m2-re ható 1N nyomóerő okozza.

12

1.3 Prefixumok A fizikai mennyiségekkel való gyakorlati munka esetében célszerű olyan mértékegységeket választani, amelyek egyrészről jól meghatározott és szabványos kapcsolatban vannak a választott kiindulási mértékegységek-kel vagy egyenesen az alapmértékegységekkel, és biztosítják annak lehe-tőségét, hogy alkalmazásuk mellett szemlélettel átfogható (nem csillagá-szati nagyságú, vagy elképzelhetetlenül kicsi) nagyságú mérőszámok lép-jenek be.

A fenti követelményt teljesíti a mértékegységhez kapcsolt prefixumokkal képzett mértékegység-választék bevezetése a mértékegységeket növelő és csökkentő új mértékegységek alkalmazásával. Az új mértékegységeket a mértékegységbe foglalt mennyiségnek tíz bizonyos hatványai szerinti szorzóval változtatott értékei eredményezik. A prefixumok szabványos betűjelölését mindig – mint azt neve is mutatja – a mértékegység elé írjuk. Egyes prefixumok a mértékegységbe foglalt mennyiséget növelik. Ezek a következők: Exa 1018 jele: E Peta 1015 jele: P Tera 1012 jele: T Giga 109 jele: G Mega 106 jele: M kilo 103 jele: k ---------------------------------- hekto 102 jele: h deka 101 jele: da A prefixumok másik csoportjának elemei a mértékegységbe foglalt meny-nyiséget csökkentik. Ezek a következők:

atto 10-18 jele: a femto 10-15 jele: f piko 10-12 jele: p nano 10-9 jele: n mikro 10-6 jele: µ milli 10-3 jele: m ---------------------------------- centi 10-2 jele: c deci 10

-1 jele: d

A prefixumok mindkét megadott táblázatában szaggatott vonal választja el a tíz harmadik illetve mínusz harmadik hatványával változó prefixu-

13

mokat, a tíz- és százszoros illetve egy tized- és egy századszoros mérték-egység értékeket indikáló prefixumoktól. Az utóbbi prefixumok csak a szokásos összetételekben alkalmazhatók, (pl. cm, hl, dg, stb.). A daN mértékegység alkalmazását a Magyar Mérésügyi Törvény egyenesen megtiltja. A tíz harmadik illetve mínusz harmadik hatványával változó prefixumok viszont korlátozás nélkül használhatók. Felhívjuk azonban a figyelmet a prefixumok alkalmazásával kapcsolatban egy fontos korláto-zásra: kettős prefixum nem használható!

1.4 Mértékrendszerek A fizikai mennyiségek átfogó kezelését mértékrendszer alkalmazása kere-tében lehet megvalósítani. Előző tárgyalásunkban bemutattuk, hogy az alapmennyiségekből hogyan lehet származtatott mennyiségeket képezni. Az alapmennyiségekhez tartozó alapmértékegységek megválasztása után a származtatott mennyiségek mértékegységeinek – a származtatott mér-tékegységeknek – az alapmértékegységre történő visszavezetését is meg-mutattuk. A jelzett származtatási eljárással a mértékegységeknek az ösz-szes szóba jöhető fizikai mennyiségre kiterjedő összefüggő rendszerét kapjuk, amelyet mértékrendszernek nevezünk. A fizika és a műszaki tu-domány fejlődése során több mértékrendszer is kidolgozásra és alkalma-zásra került. A különböző metrikus alapú mértékrendszereken kívül az angolszász mértékrendszer elterjedtsége volt jelentős a XX.-században.

Nem célja a jelen tárgynak a különböző mértékrendszerek ismertetése. A következőkben a koherens (összehangolt) mértékrendszer definícióját adjuk meg annak fontossága miatt.

Definíció: Egy mértékrendszert akkor nevezünk koherensnek, ha a származtatott mennyiségek mértékegységei előállíthatók az alap-mértékegységek konstans együtthatók nélküli hatványszorzatai-ként.

A Magyarországon törvénnyel bevezetett SI (System International) mér-tékrendszer koherens. Alapmennyiségei és alapmértékegységei:

• hosszúság m • szög rad • tömeg kg • idő s

14

Néhány fontos származtatott mennyiség:

• sebesség m/s → m s-1

• szögsebesség rad/s → rad s-1

• gyorsulás m/s2 → m s-2

• szöggyorsulás rad/s2 → rad s-2

• erő N → kg m s-2

• nyomaték Nm → kg m2 s-2

• nyomás Pa =N/m2 → kg m-1 s-2

• munka J=N m → kg m2 s-2

• teljesítmény W=J/s → kg m2 s-3

2 Méréstechnikai alapok

2.1 Bevezető megjegyzések A mérnöki munkának igen fontos része a mérésekkel történő információ-szerzés a műszaki objektumok – esetünkben a járművek – sajátosságainak széles spektrumáról. A mérések célját tekintve két lényegi osztály külö-níthető el:

1. Adatgyűjtés;

2. Ellenőrzés.

Az adatgyűjtés a műszaki objektum működését meghatározó adatok mé-réses felvételét jelenti, mintegy ténymegállapító numerikus adatsokaság generálását valósítja meg. Az ellenőrzés funkciója a tudatosan létrehozott, tervezett műszaki objektumok és az azokban végbemenő tervezett folya-matok megvalósítása (gyártás, kivitelezés) közben és a megvalósult üzem során ténylegesen kialakult jellemzőinek felvételével, a tervezett értékek-kel való megegyezés mértékét hivatott értékelni.

A méréssel vizsgált műszaki fizikai jelenségek köre két lényegi osztályba sorolható:

1. Determinisztikus jelenségek;

2. Sztochasztikus jelenségek

Determinisztikus jelenségek esetén a tekintetbe vett körülmények a jelen-ség kimenetelét elvileg egyértelműen meghatározzák. Sztochasztikus je-lenségek esetében a tekintetbe vett körülmények rendszere nem határozza meg egyértelműen a jelenség kimenetelét, több különböző valószínűség-

15

gel bekövetkező kimenetel lehetséges. A sztochasztikus jelenség kimene-tele véletlen esemény, melynek elemzéséhez valószínűségszámítási fo-galmak és statisztikai eljárások szükségesek. Tárgyalásunk során ki fog derülni, hogy a determinisztikus jelenségek méréses vizsgálatában a min-denkor felmerülő véletlen hibák miatt végül is a sztochasztikus jelenség kategóriájára találunk. Végül is érvényesül a mérnököt tudatos óvatos-ságra intő sajátos elv: „minden csupán valószínű, semmi sem teljesen bi-zonyos”.

2.2 A mérőrendszer felépítése A mérési tevékenység megvalósításához célszerűen összeállított mérő-rendszer szükséges. A vizsgálandó fizikai mennyiséget a mérőrendszer bemenetére kapcsolva a kimeneten megjelenik a mérési eredmény. A mé-rőrendszer legfontosabb része a mérőátalakító, amely a bevezetett fizikai mennyiség hatására kiadja a mérési jelet. Bár sok esetben az átalakítás egyszerű geometriai vagy mechanikai transzformációt jelent, mégis a ki-menő mérési jel legtöbbször villamos mennyiség (feszültség, áramerős-ség, stb.) formájában jelenik meg. Maga az átalakítás tehát legtöbbször azt jelenti, hogy a bemenetre kapcsolt, nem szükségképp villamos meny-nyiséget a bemeneti jellemzővel lehetőleg arányosan változó villamos jel-lé alakítsuk.

vizsgált mennyiség → → mérési eredmény

↑ környezeti zavarás

"zaj"

mérőátalakító

6. ábra Mérőrendszer vázlata

A 6. ábrán vázolt módon a mérőátalakító tehát az a mérőrendszer elem, amely a mérendő mennyiséggel közvetlenül kapcsolatba kerül, és amely-nek bemenő jele (gerjesztése) a mérendő mennyiség, kimenő jele a mérési eredmény pedig a mérendő mennyiséggel ismert – kívánatos módon line-áris – függvénykapcsolatban álló (leggyakrabban villamos) mennyiség.

Ha a mérőrendszer ideálisan pontos jelátalakítást végezne és a mérési eredmény információtorzulás nélkül kerülne leolvasásra, még akkor is számolni kell a mérési funkció megvalósulása közben a mérőrendszert érő külső zavaróhatásokkal (szaknyelven: „zajjal” ), és ezért a mérési ered-mény még akkor is bizonyos hibával terhelt lesz, még a fentebb említett két ideális feltétel fennállása esetén is.

16

A gyakorlati mérőrendszerek azonban nem ideálisan pontosak, és a méré-si eredmények leolvasása során is keletkeznek bizonyos hibák. Így mérési a hibák három fő forrását az alábbiak adják:

• a mérőrendszer tökéletlensége,

• leolvasási pontatlanság,

• környezeti zavarás.

A mérőrendszer tökéletlenségével kapcsolatosan utalunk arra, hogy szá-mos műszer esetében számítani kell a csapágyak vagy más vezetőelemek súrlódás okozta határozatlan beállására, az egyes szerkezeti elemek mé-rettűréseivel behatárolt geometriai hibákra, a beépített villamos alrendsze-rek nemlinearitásaival, stb.

7. ábra Leolvasási hiba

A leolvasási pontatlanság szemléletes magyarázatát adja a 7. ábrán vázolt elrendezés, aholis a függőlegesen mozgó mutató helyzetének a mellette lehelyezkedő skála jelzővonalaitól való távolságot kellene leolvasni. Ha a leolvasó személy nem merőlegesen, hanem ezen merőlegestől β szöggel eltérő ferde irányból néz a skálára, akkor a helyes értéktől δ távolsággal eltérő skálapontot azonosítana. Ha a mutatónak a sálától vett vízszintes távolsága h, és leolvasó szem skálától vett ugyancsak vízszintes távolsága H, továbbá a leolvasó szem a merőleges rátekintés helyétől függőlegesen Y távolságban végzi a leolvasást, akkor a δ leolvasási hiba és az Y elhe-lyezkedési hiba között egyszerű függvénykapcsolat adódik a tg β = Y/(H-h) = δ /h összefüggés alapján:

δ = YhH

h−

.

Mivel a leolvasó személy helyzetét megadó Y távolság a szándékolt merő-leges rátekintéshez tartozó Y = 0 érték körül leolvasásról leolvasásra vé-letlenszerűen oszlik el, ezért a származtatott δ hiba is véletlen hiba lesz.

17

A környezeti zavarás vonatkozásában a mérőrendszer mechanikai és vil-lamos elemeinek működésviszonyait befolyásolja a mindig változó kör-nyezeti hőmérséklet és páratartalom, valamint a műszereket alátámasztó rendszer pillanatnyi rezgésállapota. A mondott változások nagyrészt vé-letlenszerű zavaróhatásként azonosíthatók, és hozzájárulnak a mérési eredményt terhelő bizonytalan nagyságú véletlen hibákhoz.

2.3 A mérési hibák két fő csoportja A fentiekben áttekintettük a mérési hibák létrejöttének három fő forrását. Most más szempontból vizsgálva a kérdést, mérési hibákat a rendszeres (szisztematikus) hibák és a véletlen hibák osztályának megkülönbözteté-sével két lényegi osztályba soroljuk.

2.3.1 A rendszeres hibák

A rendszeres hibák a mérőrendszer tökéletlenségével kapcsolatosak és a mérés megismétlésekor a mérési eredményt szisztematikusan, minden esetben ugyanúgy torzítják. A rendszeres hibát elvileg korrigálni lehet ka-librálási diagram alkalmazásával, amely diagram úgy készül, hogy ugyanazon mennyiséget egy szisztematikus hibával terhelt mérőrendszer-rel és egy nagyon pontos (igen kis szisztematikus hibájú) mérőrendszerrel egyidejűleg mérjük és a két mérőrendszer által mutatott kimenő értékeket egy diagram két tengelyére feltéve kalibrálási görbét határozunk meg. A 8. ábrán felrajzolt diagram koordináta rendszerének vízszintes tengelyére kalibrálandó (gyengébb minőségű, nagy szisztematikus hibájú) műszer ál-tal kiadott x1 mérési eredményt tesszük fel. A koordinátarendszer függő-leges tengelyére pedig a pontosabb, kalibráló műszerrel nyert x2 mérési e-redményt tesszük fel. Elegendően sok különböző bemenő érték mellet mérve, a két összetartozó koordinátaérték felrajzolt pontsorozata alapján megrajzolható a g kalibrálási görbe, amelyik lényegét tekintve a két mű-szer szolgáltatta mérési eredmények összefüggését megragadó az x2 = g(x1) függvénykapcsolat megjelenítője. A diagram konstrukciója alapján nyilvánvaló, hogy abban az esetben, amikor a két műszer azonos kialakítású – pl. mind a kettő igen pontos – akkor a kiadódó x2 = g(x1) függvény képe a 45°–os egyenes lesz. A ténylegesen vizsgált műszerek esetében adódó kalibrálási görbék is a 45°–os egyenes környezetében szi-gorúan monoton növekedést és folytonos lefutást mutatnak, ami biztosítja a gyakorlati kalibrálási függvény inverzének létezését. Mármost a pontat-lan műszer skálázását a kalibráló műszeren mért y2i skálaponti értékeinek a kalibrálási függvény g-1 inverz függvényének alkalmazásával y1i = g-1(y2i) alakban tudjuk meghatározni, ahol tehát y2i befutja pontos ka-

18

libráló műszer skálaosztásait.

45°

x2

x1

pontos kalibráló műszerrel mért eredmény

a skála már a pontos értékeket mutatja

gyengébb, kalibrálandó műszerrel mért

x2=g(x1) hitelesítő vagy kalibráló görbe

8. ábra Kalibrálási görbe

A vázolt eljárás lényege abban foglalható össze, hogy a pontos műszer sa-játosságait mintegy „átvetíthetjük” a gyengébb műszerre, és így mindig meg lehet mondani, hogy a tökéletlen műszerrel (a szisztematikus hibával dolgozó műszerrel) mért érték nagyon jó közelítéssel milyen tényleges ér-téknek felel meg.

2.3.2 A véletlen hibák

A véletlen hibák oka a bizonytalansággal jelentkező környezeti zavarás-ban és leolvasási pontatlanságban van. A véletlen hibák jelenléte az egye-di mérési eredmények megbízhatatlanságát okozza. A véletlen hibák min-denkori jelenléte miatt érvényes a mérnökök között közismert mondás:

„egy mérés nem mérés !”.

A véletlen hiba nem küszöbölhető ki, azonban azonos körülmények kö-zött megismételt mérések eredményének kiértékelésével a véletlen hibát statisztikailag jellemezni lehet.

Tekintettel arra, hogy a méréssel kapcsolatos rendszeres (szisztematikus) hibákról feltételezhetjük, hogy azokat a kalibrálással elhanyagolhatóan kicsire csökkentettük, a további tárgyalásunkban csak a véletlen hibákkal terhelt mérési eredmények jellemzésére, azaz a véletlen hibák kezelésére szorítkozunk.

A matematikai jellemezhetőség érdekében a véletlen hibával terelt bi-zonytalan alakulást mutató mérési eredményt valószínűségi változónak

19

tekintjük. Az alábbiakban megadjuk a valószínűségi változó definícióját.

Definició: az olyan x-eket, amelyek nagyságát előre megadni nem lehet, de amelyek megadott [a,b] intervallumba esésük va-lószínűségét függetlenül megismételt kimenetelek szolgáltatta adatsorozat alapján statisztikailag becsülni lehet, valószínűségi változóknak nevezzük.

A megismételt mérések szolgáltatta adatsorozatban lévő információ ad alapot a véletlen hibák alakulásával kapcsolatos bizonytalanság elhárítá-sára.

0

pontos értékxp

x1 xn 9. ábra Szóródó mérési eredmények

Legyen az azonos körülmények között egymástól függetlenül n-szer meg-ismételt mérés véletlen hibával terhelt eredmény sorozata az x1, x2,…, xn számsorozat. Azt mondjuk, hogy ez az adatsorozat az x mérési eredmény valószínűségi változóra vonatkozó n-elemű realizációs sorozat. A kiadó-dó realizációs sorozat véletlen hibával terhelt elemei a vizsgált fizikai mennyiség ismeretlen és általunk meghatározni kívánt xP pontos értéke körül jobbra és balra körülbelül egyenlő arányban fognak szóródni. A 9. ábrán a felvett félegyenesre kis függőleges vonalakkal bejelöltük a szóban forgó szóródó mérési eredmények értékeit. Rátekintve az ábrán látható függőleges vonalakra, érzékelhető a vonalak sűrűsödési helyénél az x valószínűségi változó ingadozási középpontja, amelyhez tartozó vé-letlentől már nem függő konstans értéket az x valószínűségi változó vár-ható értékének nevezzük és M(x)-szel jelöljük. Ezen megállapítás után a méréssel vizsgált mennyiség ismeretlen xP pontos értékét megalapozottan azonosíthatjuk az x mérési eredmény valószínűségi változó M(x) várható értékével, azaz érvényesnek vehetjük az

xP = M(x)

egyenlőséget. A további vizsgálatok egzakt keretekben történő folyatatása most már azt a kérdést veti fel, hogy miképpen lehet az x1, x2,…, xn reali-zációs sorozatból (az x valószínűségi változóra vett n-elemű mintából) matematikailag megalapozott becslést adni az M(x) várható értékre nézve, és ezzel együtt az M(x)-szel egyenlő, számunkra lényeges és meghatá-rozni kívánt xP pontos értékre.

20

Jelen tárgyalásunkban nem bocsátkozunk a matematikai statisztikai becs-lések elméleti taglalásába, azonban megadjuk az M(x) várható érték köze-lítő meghatározására a mért n-elemű x1, x2,…, xn realizáció sorozat eleme-inek számtani középértékével definiált becslést:

M(x) ≈ nx =n

xxx n+++ ...21 = ∑=

n

iix

n 1

1 .

Az így bevezetett nx maga is egy valószínűségi változó realizációs érté-keként tekintendő, hiszen a véletlen ingadozásnak alávetett realizációs ér-tékek függvényeként (számtani átlagaként) van értelmezve. Ennek fényé-ben rögzítsük azt a tényt, hogy egy adott n-elemű minta esetén kiszámolt ( nx )1 számtani középértékkel egy másik - ugyancsak x-re nézve az előző méréssorozattól függetlenül vett – ugyancsak n-elemű realizációs soro-zatból számolt újabb ( nx )2 számtani közép érték általában nem lesz egyenlő! Így tehát a különböző n-elemű mintasorozatokból számított számtani átlagok is véletlen ingadozást mutatnak. A szokásos méréstech-nikai esetekben ezen utóbbi ingadozás középpontja az eredeti x mérési eredmény M(x) várható értékkel azonosnak adódik. Azonban mint később látni fogjuk a mondott számtani átlagok M(x) körüli szóródása a jóval ki-sebb mint az x-re vett eredeti mintasorozat elemek ugyancsak M(x) körüli szóródása.

Az nx ≈ M(x) közelítés a mérések n számának növelésekor egyre javul, mivel érvényesül a nagy számok gyenge törvénye, miszerint annak való-színűsége, hogy a minta számtani átlaga a várható értéktől abszolút érték-ben tetszőlegesen kicsi ε-nál nagyobb mértékben tér el n → ∞ esetén zé-rushoz tart.

A mérési eredményeknek a várható érték körüli elhelyezkedésének jel-lemzésére – a szóródás jellemzésére – elvileg öt különböző mennyiség jöhet szóba.

1. A terjedelem (rendzs)

Az n számú x1, x2,…, xn mérési eredmény az x valószínűségi változó n elemű realizációs sorozata. Kiválasztva a mérési sorozat legkisebb és leg-nagyobb elemét értelmezhetjük a minta terjedelmét az

{ } { }ii xxr minmax −=

számértékkel.

21

2. Az átlagtól vett előjeles eltérések számtani közepe

Mivel a mintaelemek átlagtól vett eltérései előjeles mennyiségek, köny-nyen kimutatható hogy ez a dn –nel jelölt középérték mindig zérust ad, és ezért ez nem alkalmas a szóródás jellemzésére. A számtani közép definí-ciója szerint ugyanis:

. 0 11)(111

=−=−=−= ∑∑==

nnn

n

iin

n

iin xxxn

nx

nxx

nd

3. Átlagos abszolút eltérés

A mintaelemek átlagtól vett eltéréseinek előjeles voltából fakadó fenti ne-hézséget azáltal lehet pl. kiküszöbölni, hogy az eltérések abszolút értékét vesszük. Az így adódó mindig δn nemnegatív szóródási jellemző alakja :

=nδ ∑=

≥−n

ini xx

n 1

. 01

4. Az átlagos négyzetes eltérés – a tapasztalati szórás

A mintaelemek átlagtól vett eltéréseinek előjeles értékeiből négyzetre emeléssel is kaphatunk nemnegatív értékeket. A négyzetre emelést meg-valósító függvény folytonos differenciálhatósága miatt több szempontból előnyösebb tulajdonságokat biztosít, ezért a következő módon járhatunk el. Először képezzük a mintaelemek átlagtól vett eltérései négyzeteinek számtani átlagát. Ez a mennyiség az n számú mérési eredmény tapaszta-lati (idegen szóval empirikus) szórásnégyzete, amely szintén mindig nem-negatív:

=2nσ ( )∑

=

≥−n

ini xx

n 1

2 . 01

A most meghatározott empirikus szórásnégyzetből négyzetgyököt vonva kapjuk az n számú mérési eredmény tapasztalati szórását, amelyet méltán nevezhetünk a mérési eredmények számtani átlagtól vett átlagos négyze-tes eltérésének:

( )2

1

21 ∑=

−=n

inin xx

nσ .

Természetszerű, hogy a szereplő négyzetgyök pozitív értékét kell tekinte-nünk.

22

Tárgyalásunk ezen pontján kell rámutatni arra nyilvánvaló összefüggésre, hogy maga az x valószínűségi változóként tekintett mérési eredményt és ennek az M(x) várható értékét elvileg is vizsgálhatjuk, és képezhetjük az x-M(x) kifejezést. Ebben a különbségben az x egy valószínűségi változó, míg M(x) ennek konstans (véletlentől már nem függő, „kiközepelt”) vár-ható értéke, azonban az x-M(x) különbség nyilvánvalóan örökli első tag-jának, az x-nek a véletlentől való függését, és ezért maga is valószínűségi változóként azonosítható. Az így kapott x-M(x) valószínűségi változót négyzetre emelve a kiadódó mennyiség egy újabb, most már nemnegatív valószínűségi változót ad. Ezen utóbbi nemnegatív valószínűségi változó várható értéke definálja az eredeti x valószínűségi változó mindig nemnegatív elméleti szórásnégyzetét (varianciáját) a következő kifejezés szerint:

0)]([)( 22 ≥−= xxxdef

MMD .

Figyelembe véve az elméleti szórásnégyzet jelentését, azonnal adódik, hogy ez az x valószínűségi változó saját várható értékétől vett eltérése négyzetének várható értéke, és így jelentésében közel áll a 2

nσ tapasztalati szórásnégyzethez, és az utóbbinak mintegy az elméleti értékét definiálja. Gyakorlatban tehát azt várnánk, hogy az n-elemű mintából számított 2

nσ tapasztalati szórásnégyzet közel lesz az elméleti szórásnégyzethez. Mivel a tapasztalati szórásnégyzet a véletlen mintaelemektől függ, így maga is valószínűségi változó, felmerül az a kérdés, hogy a kiadódó 2

nσ valószí-nűségi változó ingadozási középpontja, azaz a várható értéke megegye-zik-e a )(2 xD elméleti szórásnégyzettel? A válasz sajnos nemleges, azaz mint az itt nem tárgyalt módon kimutatható, az:

)( 2nσM ≠ )(2 xD

összefüggés érvényes. Ezt a matematikai statisztikában úgy fogalmazzuk, hogy 2

nσ nem torzítatlan becslése a )(2 xD elméleti szórásnégyzetnek, és ez a torzítottság főként kis n megfigyelési számnál, kevés mérési eredmény esetén lényeges. Ezen torzítás azonban könnyen kiküszöbölhető a követ-kezőkben bevezetésre kerülő korrekcióval.

5. A korrigált tapasztalati szórás

Először a korrigált tapasztalati szórásnégyzet értelmezését adjuk meg, amely nagyon hasonlít a tapasztalati szórás képletéhez, azonban most a

23

nevezőben n helyett n-1 szerepel:

=∗2ns ( )∑

=

≥−−

n

ini xx

n 1

2 . 01

1

Mint könnyen látható, az új korrigált tapasztalati szórásnégyzet a fentiek-ben definiált tapasztalati szórásnégyzettel az alábbi képlet szerint függ össze:

=∗2ns

1−nn 2

nσ .

A képletre tekintve látható, hogy a tapasztalati szórásnégyzet – különösen kis n mintaszám esetén – alábecsüli a szórásnégyzet értékét, ami a tapasz-talati szórásnégyzet megbízhatóságát nyilvánvalóan csökkenti.

A most bevezetett korrigált tapasztalati (empirikus) szórásnégyzet már torzítatlan becslése az elméleti szórásnégyzetnek, és érvényes a

)( 2ns∗M = )(2 xD

összefüggés. Ez azt jelenti, hogy az n-elemű mintákból számított korrigált tapasztalati szórás értékek ingadozási középpontja – várható értéke – megegyezik az elméleti szórásnégyzettel, tehát 2

ns∗ kiszámításával való-ban torzítatlan becslést kapunk )(2 xD -re.

A fent írtak alapján szabályként rögzítjük, hogy a mérnöki gyakorlatban, ha n ≤ 30, akkor mindig a korrigált empirikus szórásnégyzetet, illetve a belőle gyökvonással adódó korrigált empirikus szórást használjuk, mely-nek képletét az alábbiakban adjuk meg:

( )2 1

2

1−

−=

∑=∗

n

xxs

n

ini

n .

A szóródási viszonyok tárgyalásának befejezéseképp még egy fontos ösz-szefüggést mutatunk meg. Mivel alapjában véve a méréssel vizsgált isme-retlen xp pontos értéket a véletlen hibával terhelt mérési eredmény M(x) várható értékével azonosítottuk, továbbá az M(x) becslésére bevezettük a mérési adatsorozatból számítható nx számtani középértékkel definiált torzítatlan becslést, vizsgálható az a kérdés is, hogy az nx számértéknek

24

mekkora a )( nxD szórása. Bizonyítás nélkül közöljük az erre vonatkozó nevezetes eredményt:

nxxn)()( DD = .

A gyakorlati számításokhoz a középérték szórását az n-elemű mintából számított korrigált empirikus szórással helyettesítjük, azaz a

nsx n

n

∗

≈)(D

képletet alkalmazhatjuk.

2.4 A mérési adatok csoportosítása – hisztogramok

2.4.1 A gyakorisághisztogram

Tekintsük ismét az n-elemű x1, x2,…, xn mérési adatsorozatot, és vigyük fel a számértékeket a 10. ábra szerinti vízszintes valós félegyenesre. Ké-szítsünk még egymásba nem nyúló (diszjunkt) ∆x1, ∆x2,…, ∆xm balról zárt és jobbról nyitott intervallumokból felépített m-elemű felosztást az ábra félegyenesén oly módon, hogy az intervallumok érintsék egymást, és ösz-szességük fedje le az összes mérési adatot.

n 2 1

fj

x 0 ∆x1, ∆x2, . . . , ∆xj, . . ., ∆xm

nfm

jj =∑

=1

10. ábra A mérési tartomány felosztása és a gyakoriság hisztogram

A vázolt helyzetben minden egyes ∆xi intervallumra nézve megállapítható a benne tartalmazott mintaelemek fi száma, azaz a mintaelemeknek az in-tervallumba esésnek gyakorisága. Táblázatosan:

intervallum ∆x1 ∆x2 . . . ∆xm

gyakoriság f1 f2 . . . fm

1. Táblázat Gyakoriság értékek az egyes intervallumokban

25

A 10. ábrán az egyes osztásintervallumok felett függő változóként felrak-tuk az ott érvényes gyakoriság értékeket. A jelzett eljárás a gyakoriságok eloszlását bemutató nemnegatív egészértékű lépcsős függvényhez (osz-lopdiagramhoz) vezetett, melynek neve: gyakoriság hisztogram. A gyako-riságok kiértékelésekor alkalmazott eljárás nyilvánvaló következménye,

hogy érvényes a nfm

ii =∑

=1

összefüggés, hiszen a gyakoriságok összegé-

nek ki kell adnia az összes mérési adat számát.

2.4.2 A relatív gyakoriság hisztogram

A gyakoriság hisztogramhoz a fentiekben kiértékelt gyakoriságokat az n mintaszámmal normálva jutunk a relatív gyakoriságok eloszlásához. A táblázat most a következőképp egészíthető ki:

intervallum ∆x1 ∆x2 . . . ∆xm

relatív gyakoriság n

fr 11 =

nfr 2

2 = . . . nfr m

m =

2. Táblázat Relativ gyakoriság értékek az egyes intervallumokban

A relatív gyakoriságok értelmezéséből adódik, hogy egyrészt 10 ≤≤ ir minden i=1,2,…,m -re teljesül, másrészt pedig érvényes, hogy

1 11111

==== ∑∑∑===

nn

fnn

frm

ii

m

i

im

ii ,

rj

x 0

j=1,2,…,m

∆x1, ∆x2, . . . , ∆xj, . . ., ∆xm

111'11

==== ∑∑∑===

nn

fnn

fr

m

jj

m

j

jm

jj

1

;nf

r jj =

11. ábra Relatív gyakoriság hisztogram

26

azaz a relatív gyakoriságok összege egyet ad. A 11. ábrán felrajzoltuk a relatív gyakoriságok lépcsős függvényét a relatív gyakoriság hisztogra-mot.

2.4.3 A relatív gyakoriság sűrűséghisztogram

További fontos jellemző diagram származtatható a relatív gyakoriság hisztogramból, ha a tekintett intervallum-felosztáshoz tartozó relatív gya-koriságokat leosztjuk az intervallumok hosszával. A táblázat most így alakul:.

intervallum ∆x1 ∆x2 . . . ∆xm

relatív gyako-riság sűrűség

1

11 xn

ffs ∆=

2

22 xn

ffs ∆= . . .

m

mms xn

ff∆

=

3. Táblázat Relatív gyakoriság sűrűség értékek

A relatív gyakoriság sűrűségek értelmezéséből adódik, hogy isf≤0 min-den i=1,2,…,m -re teljesül, továbbá érvényes, hogy

1 11111

===∆∆

=∆ ∑∑∑===

nn

fn

xxn

fxfm

ii

m

ii

i

ii

m

iis ,

ami igazolja, hogy a 12. ábrán felrajzolt relatív gyakoriság sűrűség hisztogram esetén a lépcsős függvény alatti terület egységnyi.

sj

x 0

;j

jj x

rs

∆= j=1,2,…,m

∆x1, ∆x2, . . . , ∆xj, . . ., ∆xm

TERj=sj·∆xj=rj

111

== ∑∑==

m

jj

m

jj rTER

12. ábra Relatív gyakoriság sűrűség hisztogram

2.4.4 A valószínűségi sűrűségfüggvény bevezetése

A relatív gyakoriság sűrűség hisztogramból kiindulva származtathatjuk a mérési eredményt reprezentáló folytonos eloszlású valószínűségi változó

27

valószínűségi sűrűségfüggvényét. A származtatás határátmenettel történik, éspedig két mozzanat figyelembevételével. A határátmenet úgy történik, hogy egyrészt a hisztogramok készítésénél használt intervallum-felosztás elemeinek hosszát minden határon túl csökkentjük – azaz minden i-re ∆xi → 0 – és ezzel egyidejűleg a felosztás-intervallumok számát is úgy növeljük, hogy a végpontok érintkezése és a mérési adatrendszer teljes le-fedése mindig teljesüljön (eközben m → ∞ is teljesül). Másrészt eközben a mérési adatok számát is minden határon túl növeljük, azaz n → ∞ is tel-jesül. A jelzett összetett határátmenet három mozzanatát és a határátmenet eredményeként kiadódó f(x) határfüggvényt – a valószínűségi sűrűség-függvényt a 13. ábrán mutatjuk be. Fontos hangsúlyozni, hogy a határát-menet eredményeként kiadódó valószínűségi sűrűségfüggvény a követke-ző három tulajdonsággal rendelkezik:

fsj

x0

n1

)1(jx∆

fsj

x0

n2=2⋅n1

)1()2(

21

jj xx ∆=∆

)2(jx∆

fsj

x0

n3=4⋅n1

)1()3(

41

jj xx ∆=∆

)3(jx∆

f

x

TER

a b

1)( == ∫b

a

dxxfTER

13. ábra Valószínűségi sűrűségfüggvény

1. nemnegatív, azaz rexxf −≥ minden ,0)( ,

2. annak valószínűsége, hogy x az [a,b] intervallumba esik:

P(a ≤ x ≤ b)= TER ∫=b

a

ba dxxf )( ,

28

3. A sűrűségfüggvény alatti teljes terület egységnyi:

TER 1)( == ∫R

dxxf .

A mérnöki gyakorlatban a mérési hibák eloszlása az esetek túlnyomó többségében a Gauss-féle normális eloszlást követi. Másképp fogalmaz-va: a mérési eredményt reprezentáló x valószínűségi változó sűrűségfügg-vénye a Gauss-féle haranggörbe szerint változik. A Gauss-féle harang-görbének két konstans paramétere van és ezek egyben az x valószínűségi változó várható értékével és szórásával egyenlők. A két paraméter: m = M(x) és σ = D(x). A sűrűségfüggvényt a következő képlet szolgáltatja:

2

2

2)(

21)( σ

πσ

mx

exf−

−=

A Gauss-eloszlású valószínűségi változóval kapcsolatban két, a műszaki méréstechnikában jellegzetes intervallumba esés valószínűségét adjuk meg:

1. A mérési eredménynek a várható érték körüli I1 = [m-2σ, m+2σ] inter-vallumba esési valószínűsége:

P(I1) = P(m-2σ ≤ x ≤ m+2σ) ≈ 0,95,

2. A mérési eredménynek a várható érték körüli I2 = [m-3σ, m+3σ] inter-vallumba esési valószínűsége:

P(I2) = P(m-3σ ≤ x ≤ m+3σ) ≈ 0,998 .

A mérési feladattal kapcsolatosan tehát a következő gyakorlatias kijelen-tések tehetők: a keresett xp = M(x) pontos érték körüli 2σ félhosszúságú I1 intervallumba az összes mérései eredmény kb. 95%-a fog beleesni, míg az xp = M(x) pontos érték körüli 3σ félhosszúságú I3 intervallumba a mérési eredmények. 99,8%-a , azaz gyakorlatilag az összes bele fog esni.

További fontos kijelentés tehető mármost az n-elemű méréssorozat esetén kiértékelt nx számtani középre, mint az ismeretlen xp = M(x) pontos érték becslését adó számított mennyiségre. Mint azt már említettük a nx szórá-sát általánosan a D(x)/ n képlet szolgáltatja, most a Gauss-eloszlásnál alkalmazott jelöléssel a mérési eredmények nx átlagának szórását a σ / n képlettel kapjuk. Ennek figyelembevételével az nx mérési eredmény kö-

29

zépértéknek az m várható érték – vagy ami ugyanaz: a keresett xp pontos érték – körüli J1=[m-2(σ / n ), m+2(σ / n )] intervallumba esésének va-lószínűsége:

P(J1 ) = P(m-2(σ / n ) ≤ nx ≤ m+2(σ / n )) ≈ 0,95,

és a J2 = [m-3(σ / n ), m+3(σ / n )] intervallumba esésének valószínű-sége:

P(J2) = P(m-3(σ / n ) ≤ nx ≤ m+3(σ / n )) ≈ 0,998.

2.5 A véletlen hibával terhelt mérési eredmények gyakorlati kezelése A fentiekben bemutatott összefüggéseket mármost a konkrét mérési ered-mény kiértékelés során a következő lépések szerint alkalmazzuk:

0. Általános megjegyzés: törekedni kell a mérések n számának lehetőség szerinti növelésére, minimum 6…10 független mérés végzésére,

1. Az n-számú független mérés végrehajtásával az x1, x2,…, xn adatsorozat meghatározása,

2. Kiszámítjuk ∑=

=n

iin x

nx

1

1 és ( )

2 1

2

1−

−=

∑=∗

n

xxs

n

ini

n értékét,

3. Meghatározzuk az m ≈ nx és σ ≈ ∗ns közelítések elfogadásával a P=0,95

vagy a P = 0.998 valószínűséghez tartozó mérési eredmény lefedő kö-zelítő intervallumot: I1 ≈ [ nx -2 ∗

ns , nx +2 ∗ns ], vagy I2 ≈ [ nx -3 ∗

ns , nx +3 ∗

ns ].

4. Meghatározzuk az m ≈ nx és σ ≈ ∗ns közelítések elfogadásával a P=0,95

vagy a P = 0.998 valószínűséghez tartozóan a mérési eredmények nx átlagára támaszkodó J1 =[ nx -2( ∗

ns / n), nx +2( ∗ns / n)], vagy J2 ≈ [ nx -

3( ∗ns / n), nx +3( ∗

ns / n)] közelítő megbízhatósági intervallumokat.

2.6 Abszolút és relatív hiba A további tárgyalásunkban az x mérési eredmény abszolút hibáját – amely egyébként mindig előjeles mennyiség – az alábbi definícióval értelmez-zük:

30

p

def

x xxH −= .

A gyakorlati munkában sokszor a xH x ∆= rövidebb jelölés is szokásos. Mindenesetre rögzítjük, hogy az abszolút hiba akkor pozitív, ha a hibával terhelt mért érték nagyobb, mint a pontos érték.

Az x mérési eredmény relatív hibáját az abszolút hibának a pontos érték egységére történő vonatkoztatásával definiáljuk:

1−=−

=pp

pdef

x xx

xxx

h .

A gyakorlati munkában sokszor a px xxh /∆= rövidebb jelölés is szoká-sos. Itt is emeljük ki, hogy a relatív hiba is előjeles mennyiség.

A fent megadott definíciók feltételezik, hogy a pontos érték ismert, azon-ban mint az a korábbi tárgyalásunkból ismeretes, a pontos érték nem is-mert, azt a mérési eredményekből becsülnünk kell, legtöbbször a mérési

adatok ∑=

=n

iin x

nx

1

1 számtani középértékével. Az elmondottakból követ-

kezik, hogy a gyakorlati alkalmazásokban mind az abszolút hibát mind a relatív hibát az egyes xi mérési eredmények vonatkozásában csak közelí-tőleg tudjuk számítani, éspedig az xp ≈ nx közelítés alkalmazásával. Ezért az abszolút hiba helyett látszólagos (virtuális) abszolút hibáról és relatív hiba helyett látszólagos (virtuális) relatív hibáról beszélünk a kö-vetkező kifejezésekkel összhangban:

ni

def

ixl xxH −= , és 1−=−

=n

i

n

nidef

ixl xx

xxxh .

Az így számított látszólagos abszolút és relatív hiba nyilvánvalóan való-színűségi változóként azonosítható.

2.7 A közvetett mérés, a hibaterjedés jellemzése

2.7.1 Egyváltozós függvénykapcsolat esete

A mérnöki gyakorlatban nagyon sokszor adódik olyan mérési feladat, hogy a vizsgálandó y mennyiség közvetlen mérése igen körülményes, vagy egyáltalán nem lehetséges, mérhető azonban egy másik x mennyi-

31

ség, amely a vizsgálandó mennyiséggel ismert y = f(x) függvénykapcso-latban van. Ez a helyzet fogalmazza meg a közvetett mérés szükségessé-gének esetét. Mivel az említett helyzetben az yp = f(xp) összefüggés fenn-áll, és az x mennyiség kis mérési hibával mérhető, a vizsgálatokat nagy-ban egyszerűsíti az f(x) függvény xp helyi linearizálása.

f, e

x

e y=f(x)

α

f(xp) f(xp+∆x)

( ) ( )

( ) ( ) )(tg

limtg0

pp

pp

x

xxxfxex

xfxxf

−⋅+=∆

−∆+=

→∆

α

α

0 xp xp+∆x

∆x

14. ábra Egyváltozós függvény linearizálása

A 14. ábrán felrajzoltuk a vizsgált helyzetnek megfelelő f(x) függvényt. Az xp abszcisszájú pontnál az f(x) függvény görbéjéhez húzott e(x ) érintő egyenest is ábrázoltuk. Mivel az xp abszcisszájú pontnál az érintő egyenes tg α iránytangense az f(x) függvény differenciálhányadosának az xp he-

lyen felvett pxxdx

xdf=

)( értékével azonos, felírható az xp abszcisszájú pont-

ban az érintő egyenes egyenlete:

)()()()( )()( pxx

ppp xxdx

xdfxfxxtgxfxep

−+=−α+==

.

Mivel a mérés ∆x = x - xp abszolút hibája kicsi, az xp pont kis környezeté-ben az f(x) függvényt jó közelítéssel helyettesíteni lehet az e(x) érintő egyenes egyenletével, azaz elfogadható az f(x) ≈ e(x) közelítés. Ezt az el-járást nevezik linearizálásnak. A származtatott y mennyiséget ennek alap-ján a lineáris e(x) függvénnyel kapjuk a mérhető és hibával terhelten mért x értékből:

)()()()( pxx

p xxdx

xdfxfxeyp

−+=≈=

.

32

Vegyük figyelembe, hogy most yp = f(xp), és jelöljük az y mennyiség ab-szolút hibáját ∆y -nal, ahol ∆y = y - yp, akkor az x abszolút hibáját hason-lóan a ∆x = x - xp jelöléssel felírva a linearizálás alapján a következő ösz-szefüggés írható fel:

∆y = y - yp = y - f(xp) = pxxdx

xdf=

)( ( x - xp) = pxxdx

xdf=

)( ∆x .

Röviden:

azaz linearizált összefüggés esetén az abszolút hiba terjedésében az erede-ti f(x) függvény xp-helyi deriváltja arányossági tényezőként kulcsszerepet játszik.

Az y mennyiség relatív hibáját a fentiekre támaszkodva egyszerűen vissza lehet vezetni az x abszolút hibája ismeretére a következő összefüggés sze-rint:

xdx

xdfxf

xdx

xdfy

yyy

yhpp xxpxxppp

y ∆=∆=∆≈∆

===

)()(

1)(11

A származtatott mennyiség relatív hibájának meghatározására nézve há-rom speciális, de gyakran előforduló esetre nézve adunk meg összefüg-gést:

1. y = állandó függvény esetén hy = 0,

2. y = c x függvény esetén hy = hcx = hx ,

3. nxy = hatvány függvény esetén hy = nxh = n hx.

A megadott összefüggések bizonyítását az olvasóra bízzuk, és a megadott összefüggések alkalmazására két konkrét példát mutatunk be.

1. Adott egy tengely. A tengely d átmérőjét hd relatív hibával terhelve mérjük. A keresett mennyiség a tengely A keresztmetszeti felületének közvetett mérésekor elkövetett hA relatív hiba.

Mivel a keresett A keresztmetszeti felület A = 4

2πd , itt a konstans-

szoros és a hatványfüggvény szerinti (2. és 3. eset szerinti) relatív hiba-terjedési törvényszerűség érvényesül. Ezek szerint ddA hhh 22 == .

∆y =pxxdx

xdf=

)( ∆x,

33

2. Egy víztartályból kilépő folyadéksugár sebességét kívánjuk méréses úton vizsgálni. Az áramlás veszteségmentesnek tekinthető. A kifolyási sebesség a kifolyócső és a szabad tartálybeli vízfelszín L magasságkü-lönbségétől valamint a g nehézségi gyorsulástól függ, a gLv 2= képlet szerint. Itt is a hatványfüggvényre és a konstans-szorosra vonat-kozó (2. és 3. eset szerinti) relatív hibaterjedési törvény érvényesül, ezért: LLv hhh )2/1(==

2.7.2 Többváltozós függvénykapcsolat esete

Sok járműtechnikában fellépő fizikai problémánál előtérbe lép az a hely-zet, hogy valamely z mennyiségre vagyunk kíváncsiak, de az közvetlenül nem mérhető, azonban létezik egy z = f(x, y) kétváltozós függvény, amelynek x és y független változója azonban már mérhető. Itt is felmerül a korábban már vizsgált kérdés, nevezetesen ha az x és y értékét hibával terhelten mérjük, mit lehet mondani a jelzett hibáknak a z mennyiség hi-bájába történő átszármazásáról.

Tekintettel arra, hogy az x és y mérésekor elkövetett hibáról feltehetjük, hogy azok kicsik, itt is alkalmazható a linearizálás technikája. Most a két-változós f(x,y) függvény esetén a két független változó pontos értékét je-lölje xp és yp. A függő változó zp pontos értékét xp és yp f függvénybe való behelyettesítésével adódik: zp = f(xp, yp). A linearizálás most azt jelenti, hogy a kétváltozós f(x,y) függvény jellegfelületének az xp, yp koordinátájú pontjánál érvényes érintősíkját tekintjük. Az érintősík egyenlete az f(x,y) függvény x-szerinti és y-szerinti parciális deriváltjainak az xp, yp koordiná-tájú pontban felvett értékei segítségével felírható a következő alakban:

s(x,y) = f(xp, yp) + pp yyxxx

yxf==∂

∂

,

),( .(x − xp) + pp yyxxy

yxf

==∂∂

,

),( .(y − yp).

Ezek után a ∆z = z – zp = f(x,y) - f(xp, yp) abszolút hiba az f(x,y) ≈ s(x,y) közelítő egyenlőség alapján s(x,y) - f(xp, yp) alakban származtatható, és ezért s(x,y) fenti kifejezését figyelembe véve adódik a ∆z abszolút hiba számítások végzésére alkalmas közelítő kifejezése:

∆z ≈ pp yyxxx

yxf==∂

∂

,

),( .(x − xp) + pp yyxxy

yxf

==∂∂

,

),( .(y − yp) .

34

A nyert képlet konkrét alkalmazását a teljesítménynek a nyomaték és a szögsebesség mérésre való visszavezetése példáján mutatjuk be. Tehát a példabeli esetben P = f(M,ω) = M ω. Meghatározzuk a parciális deriváltak számértékét az Mp és ωp helyen:

pMM

pMM

MMfMMf

pppp

=∂

∂=

∂∂

==== ωωωω ωωωω

,

,

),( ,),( .

Ezek alapján a keresett abszolút hiba:

∆P ≈ ωp (M - Mp) + Mp(ω -ωp) = ωp ∆M + Mp ∆ω.

Áttérünk a relatív hiba tárgyalására. Először az általános összefüggést te-kintjük, természetesen a közelítő linearizálást a továbbiakban is elfogad-va. A fentiekben levezetett abszolút hibát a zp = f(xp, yp) pontos érték egy-ségére vonatkoztatva a következő számításokra alkalmas képlet adódik:

pzz∆

≈),(

1pyxf p

[pp yyxxx

yxf==∂

∂

,

),( .(x−xp) + pp yyxxy

yxf

==∂∂

,

),( .(y−yp)] .

Alkalmazzuk a kapott képletet a z = f(x,y) = x y szorzatfüggvény esetére. Ebben az esetben az zp = f(xp, yp) = xp yp összefüggés érvényes. A szereplő parciális deriváltak értékei:

pyyxx

pyyxx

xy

yxfyx

yxf

pppp

=∂

∂=

∂∂

==== ,

,

),( ,),( .

Ezen értékek alkalmazása mellett, és a szokásos ∆x=(x−xp) és ∆y = (y−yp) jelölésekkel:

pzz∆ ≈

pp yx1 [ py .∆x + px . ∆y] =

pp yy

xx ∆

+∆ .

A nyert eredmény így olvasható ki: „szorzat relatív hibája egyenlő a té-nyezők relatív hibáinak összegével”.

Alkalmazzuk a kapott képletet a z = f(x,y) = x/y hányados-függvény eseté-re. Ebben az esetben az zp = f(xp, yp) = xp / yp összefüggés érvényes. A szereplő parciális deriváltak értékei:

ppyyxxpyyxx

xyy

yxfyx

yxf

pppp

2, ,

1),( ,1),( −=∂

∂=∂

∂

====

.

35

Ezen értékek alkalmazása mellett, és a szokásos ∆x = (x−xp) és ∆y = (y−yp) jelölésekkel:

pzz∆ ≈

p

p

yx1 [

py1 .∆x − 2

pyxp . ∆y] =

pp yy

xx ∆−∆ .

A nyert eredmény így olvasható ki: „hányados relatív hibája egyenlő a számláló relatív hibája mínusz a nevező relatív hibája”. Ha hx jelöli az x

mennyiség pxx∆ relatív hibáját, akkor ezen jelölés szellemiségében az

utóbbi két szabály a következőképp is írható:

yxx/yyxxy hh hhhh −=+= és .

Végül egy példa keretében mutatjuk meg, hogy a relatív hibával kapcsola-tos eddigi szabályok milyen egyszerűen alkalmazhatók egy általánosabb kétváltozós probléma megoldására. Tegyük fel, hogy egy jármű konstans a gyorsulással zéró sebességről indulva t ideig mozog miközben egy kije-lölt, a kísérlet során befutását tekintve megfigyelhető de ismeretlen s hosszúságú utat fut be. A gyorsulást ha , az időt pedig ht relatív hibával mérjük, keressük a befutott út relatív hs hibáját.

Ismeretes, hogy a zérus sebességről induló állandó a gyorsulással mozgó

pont által t idő alatt befutott út az s = 2

2ta képlettel meghatározott. Mivel

a képlet s = 2

21 at alakban is felírható, látható, hogy itt a konstans

21

szorzóval szorzott 2at mennyiség relatív hibáját kell számítani. Mivel va-lamely mennyiség konstans-szorosának relatív hibája megegyezik magá-nak a szorzandó mennyiségnek a relatív hibájával, ezért írható, hogy:

2ats hh = . Az 2at kifejezés az a és a t2 szorzata, így ezen szorzat relatív hi-bája a tényezők relatív hibáinak összege: 22 taat hhh += . Marad hátra még a t2 hatványkifejezés relatív hibájának felírása, azonban erre a tárgyalá-sunkban bemutatott módon érvényes, hogy tt

hh 22 = . Mindent egybevet-

ve ezért a befutott út relatív hibája tehát a következő képlettel számítható: tas hhh 2+= .

36

Foglalkozzunk végül a befutott út ismeretlen sp hossza közelítő értékének meghatározásával. Mérjük n-szer függetlenül megismételve a kísérletet az a gyorsulást és a t időt, a kapott a1,a2,…,an és t1,t2,…,tn adatok alapján ki-számítjuk az ap és tp pontos értékek becsléseit a mérési eredmények szám-tani átlagaként, azaz meghatározzuk az ap ≈ na és tp ≈ nt számtani köze-peket, majd ezekkel megadjuk a befutott út pontos értékének becslését:

22

22n

np

pp tat

as ≈= .

Az egyes ai, ti mérési adatpárokból kiszámítható és a pontos sp úthossz kö-rül szóródó si = (1/2) aiti

2 úthossz becslések relatív hibáit a tiaisi hhh 2+= , i=1,2,…,n értékek szolgáltatják.

2.8 A jelleggörbe kimérése Valamely elvi ok alapján létezőnek felismert y = f(x) függvénykapcsolat konkrét lefutásáról méréssel tájékozódhatunk. Kérdés lehet egyrészt a függvénykapcsolat struktúrája, másrészt az adott struktúrán belül a tény-leges változási viszonyokat meghatározó konstansok értéke, az un. para-méterrendszer.

A jelen tárgyalásunkban csak az ismert struktúrájú függvénykapcsolat pa-raméterei méréssel történő meghatározásának kérdésével foglalkozunk. Ilyen feladat lehet pl. egy acélból készült hengeres csavarrúgó s merev-ségének méréssel történő meghatározása, mely esetben tudjuk, hogy a ru-gó y besüllyedése és az alkalmazott F nyomóerő között a homogén lineá-ris F = s y kapcsolat áll fenn a Hooke törvény értelmében.

A mérnöki gyakorlatban a vizsgálandó ismert struktúrájú függvénykap-csolat sokszor eltér az egyszerű lineáristól. A 15. ábrán felrajzoltunk egy ilyen nemlineáris struktúrájú függvénykapcsolatra vonatkozó mérési eredményeket ábrázoló diagramot. Mint az látható, az x1,x2,…,xi,…,xn abszcisszákhoz felraktuk ordinátaként a méréssel meghatározott y1,y2,…, yi,…,yn értékeket. A kiadódó „mérési pontfelhőbe” kell a lehető legked-vezőbben elhelyezni az egyébként ismert struktúrájú f(x) függvényt.

Értelmezzük most az x1,x2,…,xi,…,xn abszcisszáknál a mért y1,y2,…, yi,…,yn ordináták és az f(x) függvény f(x1),f(x2), …,f(xi),…,f(xn) helyettesí-tési értékeinek eltérésével meghatározott előjeles eltérés sorozatot:

)(),...,(),...,(),( 222111 nnniii xfyxfyxfyxfy −=−=−=−= δδδδ .

37

x xi xn

y1 yi yn

f(x)

x

y

15. ábra Mérési eredmények és a közelítő görbe

Az f(x) függvény konstans paramétereit úgy kell felvenni, hogy a függ-vény grafikonja a lehető legjobban illeszkedjen a véletlen mérési hibával terhelt pontfelhőbe. Az a kérdés, hogy mit jelent a lehető legjobb illesz-kedés, többféleképp megválaszolható. A jelen tárgyalásunkban a legjobb illeszkedés kritériumaként a δi eltérések négyzetre emelésével kapott nemnegatív tagok összegének minimumát biztosító görbe-elhelyezési pa-ramétereket keressük. Ez a kritérium a Gauss-féle „legkisebb négyzetek elve”. Képletben megfogalmazva a következő un. célfüggvényt tűzzük ki:

min!)]([1

2

1

2 =−= ∑∑==

n

iii

n

ii xfyδ

Az elmondottak alkalmazását az f(x) = mx + b struktúrájú lineáris függ-vény példáján mutatjuk be részletesebben. Az így felvett függvénynek két konstans paramétere m és b jelenti az optimalizálás szabad paramétereit. Másképp fogalmazva a feladat abban áll, hogy meg kell keresni azon m̂ és b̂ értékeket, amelyek mellett az ordináta eltérések négyzeteinek össze-ge a lehető legkisebb lesz. A jelzett feladatot tehát a következő részlete-sebb felírással jeleníthetjük meg:

min!),()]([1

2

1

2 =Φ=+−= ∑∑==

bmbmxyn

iii

n

iiδ .

A képletsor a bevezetett ),( bmΦ kétváltozós függvény minimumhelyé-nek keresését jelöli ki, keresendő tehát azon m̂ és b̂ érték, amelyek mel-lett a )ˆ,ˆ( bmΦ függvényérték a lehető legkisebb! Ismeretes, hogy vala-mely kétváltozós függvény lokális szélső érékének helyén a két független változó szerinti parciális derivált zérus értéket vesz fel. Tekintsük tehát a

38

),( bmΦ függvény m és b szerinti parciális deriváltjainak kifejezését, és tegyük őket egyenlővé zérussal. Így két független egyenlet adódik az is-meretlen m̂ és b̂ értékek meghatározására.

1. , 0)(- )]([2

)]([)]([),(

1

1

2

1

2

=+−=

=+−∂∂=+−

∂∂=

∂Φ∂

∑

∑∑

=

==

i

n

ii

n

ii

n

ii

xbmxy

bmxym

bmxymm

bm

2. . 01)- ( )]([2

)]([)]([),(

1

1

2

1

2

=+−=

=+−∂∂

=+−∂∂

=∂

Φ∂

∑

∑∑

=

==

n

ii

n

ii

n

ii

bmxy

bmxyb

bmxybb

bm

A fenti két egyenletet rendezve a következő lineáris inhomogén egyenlet-rendszert kapjuk:

. )( )(

),()()(

11

111

2

∑∑

∑∑∑

==

===

=+

=+

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

ybnmx

yxbxmx

A szereplő szummák értéke a mérési adatsorozatok ismeretében kiszámít-hatók, és a lineáris egyenletrendszerből kiszámítható a keresett m̂ és b̂ érték. Szigorúan véve csak azt mutattuk ki, hogy a kapott m̂ és b̂ értékek mellett a ),( bmΦ függvénynek szélső értéke lehet, azonban itt nem rész-letezett további meggondolások alapján állítani lehet, hogy az m̂ és b̂ ér-tékeknél van is szélső értéke ),( bmΦ -nek éspedig )ˆ,ˆ( bmΦ =min! Az el-mondottak szerint tehát a legkisebb négyzetek elve alapján az

bxmxf ˆˆ)( +=

egyenes illeszkedik legjobban a mérési koordináta-párokkal megadott pontfelhőbe. A jelzett helyzetet a 16. ábra szemlélteti.

39

yn

f(x) = bxm ˆˆ + f

x1 x2 . . . . . . . . xn x

y1 y2

21δ

22δ

2nδ

16. ábra Pontfelhőre illeszkedő egyenes

3 Járművek mechanikai folyamatai A mechanikai tudományának felosztását a 17. ábrán vázoltuk fel. Jelen előadásban előbb a mozgástan (kinematika) összefüggéseit, majd az erő-tanon (a dinamikán) belül a mozgások és az erők kapcsolatát tárgyaló ki-netika témaköre lép előtérbe.

MECHANIKA

MOZGÁSTAN (kinematika)

ERŐTAN (dinamika)

STATIKA (erők egyensúlyi

feltételei)

KINETIKA (erők és mozgások

összefüggése)

17. ábra A mechanika felosztása

A mechanikában a dinamikai folyamatokat állandóan energiaáramlási fo-lyamatok kísérik, ezért természetszerű, hogy az energetikai viszonyok jel-lemzése is fontos helyet kap tárgyalásunkban. Az anyag néhány jármű-mérnöki szempontból fontos alapszerkezet mechanikai viszonyainak be-mutatásán keresztül igyekszik a lehetséges alkalmazásokra is rávilágítani.

3.1 Az anyagi pont mozgásjellemzői Az anyagi pont fogalma absztrakció eredménye: kiterjedés nélküli, de tömeggel bírónak tekintett pontról van szó. Az így meghatározott anyagi pont térbeli helyzetét a térbeli derékszögű koordinátarendszerben értel-mezett helyvektorral adjuk meg.

40

3.1.1 A helyvektor mint az idő függvénye

Legyen a vizsgálat kezdő időpontja t0. Valamely tekintett t időpontra le-gyen érvényes, hogy t0 ≤ t ≤ t0 + T. Ekkor a mozgó anyagi pont t időpont-beli helyzetét az alkalmasan felvett koordinátarendszer origójából felra-kott r(t) helyvektor nyílhegy oldali végpontja adja meg. A bevezetett helyvektor x, y és z koordinátatengely irányú összetevő vektorkomponen-seit jelölje rendre rx(t), ry(t) és rz(t). Nyilvánvalóan fennáll a helyvektor vektorösszegként való következő előállítása:

)()()()( tttt xyx rrrr ++= .

Ha az alkalmazott derékszögű koordinátarendszer tengelyein felvesszük még az origó támadáspontú, tengelyirányú i, j és k egységvektorokat, amelyek a megadott sorrendben jobbsodrású ortonormált bázist alkotnak, akkor az r(t) helyvektor egyes vektorösszetevőit felírhatjuk

krjrir )()( ,)()( ,)()( tzttyttxt zyx ===

alakban. Ezek tekintetbevételével most már előáll az r(t) helyvektor előál-lítása az i, j és k bázison a báziselemek lineáris kombinációjaként a kö-vetkező alakban:

kjir )()()()( txtytxt ++= .

A viszonyokat a 18. ábra szemlélteti.

z

x

yr(t0)

g: mozgáspályaa mozgó pont helyzetea t időpontban

i

k j

r(t0+T)

r(t) rz(t)

ry(t)

rx(t)

18. ábra A helyvektor

41

3.1.2 Az elmozdulásvektor, mint kétváltozós függvény

Tekintsük most a tömegpont elmozdulását a vizsgálat t kezdő időpont és a t +∆t befejező időpont közötti ∆t > 0 időtartam alatt! Ezt az elmozdulást a 19. ábra mutatja.

x

z t0+T

t0

( )0tr

t t+∆t

( )tr ( )tt ∆+r( )Tt +0r

( )tt ∆∆ ,r

y

0 19. ábra Az elmozdulásvektor

Az ábra szerint a helyvektor függvény növekményét a t kezdő időpont és az elmozdulás ∆t időtartama függvényében megadott kétváltozós kifeje-zés azonosítja:

)()(),( tttttdef

rrr −∆+=∆∆ .

3.1.3 A sebességvektor, mint az idő függvénye

Első lépésben a t időpontbeli sebességvektor ),( tt ∆∗v közelítő értékét értelmezzük a t időpontban induló és ∆t időtartamú elmozdulás segítségé-vel a

tttt

ttttt

∆−∆+

=∆

∆∆=∆∗ )()(),(),( rrrv

különbségi hányados alakjában. A t időpontbeli pontos sebességet a ∆t időtartam minden határon túli csökkentésével, vagy ami ugyanaz, ∆t → 0 határátmenettel kapjuk. Amennyiben a jelzett határérték létezik és véges, a t időpontbeli sebesség az r(t) helyvektor idő szerinti első derivált-vektora lesz:

. )()()(lim),(lim)(00 dt

tdt

tttt

ttttt

rrrrv =∆

−∆+=∆

∆∆=→∆→∆

42

A kapott sebességvektor a pályagörbét meghatározó r(t) vektorfüggvény által előírt térgörbe t időparaméterű pontjához tartozó pályaérintő egye-nesre, mint tartó-egyenesre illeszkedik. A 20. ábrán felrajzoltuk a t időpa-raméterű ponthoz rendelt v(t) sebességvektort és ábrázoltuk az origóba tolt változatát is, mivel ennek a vektorösszetevői adódnak ki vx(t), vy(t) és vz(t) értékekként a differenciálás tényleges elvégzése után. Valóban, ha az

)()(),( tttttdef

rrr −∆+=∆∆ elmozdulást az r(t) –nek az i, j, k egységvek-torok bázisán írjuk fel, adódik a

)( )( )()( v)( v)(v)()()(

)()(lim)()(lim )()(lim

)()(lim)(

000

0

ttttttdt

tdzdt

tdydt

tdxt

tzttzt

tyttyt

txttxt

tttt

zyxzyx

ttt

t

vvvkjikji

kji

rrv

++=++=++=

=∆

−∆++

∆−∆+

+∆

−∆+=

=∆

−∆+=

→∆→∆→∆

→∆

összefüggés sor. Ez az összefüggés sor rávilágít a sebességvektor koordi-nátairányú összetevő vx(t), vy(t) és vz(t) vektorai, valamint azok előjeles

)(tvx , )(tvy és )(tvz skalárnagyságai közötti összefüggésre, amelyeket külön kiemelve is megadunk:

(t))( )( , (t))()( ),()()(zzyyxx tv

dttdztv

dttdyttv

dttdx vkkvjjvii ====== .

z

0

x

y

ep

v(t)

vx(t)

P

r(t)

v(t) az origóba tolva

vy(t) vz(t)

20. ábra A sebességvektor

43

3.1.4 A gyorsulásvektor mint az idő függvénye

A gyorsulás fogalma a sebesség megváltozásának jellemzését adja. A t kezdő időpont és a t időpont utáni t+∆t időpont közötti ∆t időtartam alatt a sebességvektor megváltozását a kétváltozós

)()(),( tttttdef

rvv −∆+=∆∆ .

kifejezéssel adjuk meg, amelynek szerkezete lényegileg megegyező a ko-rábban konstruált elmozdulásvektor szerkezetével. A t időpontbeli gyor-sulásvektor ),( tt ∆∗a közelítő értékét mármost az

tttt

ttttt

∆−∆+

=∆

∆∆=∆∗ )()(),(),( vvva

vektor-értékű különbségi hányados alakjában kapjuk. A t időpontbeli pon-tos gorsulásvektort a ∆t időtartam minden határon túli csökkentésével, vagy ami ugyanaz, ∆t → 0 határátmenettel kapjuk. Amennyiben a jelzett határérték létezik és véges, a t időpontbeli gyorsulásvektor a v(t) sebes-ségvektor idő szerinti első deriváltvektora lesz:

. )()()(lim),(lim)(00 dt

tdt

tttt

ttttt

vvvva =∆

−∆+=

∆∆∆

=→∆→∆

A gyorsulásvektor koordinátarendszerben való előállításhoz a sebesség-vektor előállításakor tárgyalt gondolatmenetet követő összefüggés-sor ér-vényesül:

. (t) (t) (t)(t)a (t)a (t)a)()()(

)()(lim)()(

lim )()(lim

)()(lim)(

zyxzyx

000

0

aaakjikji

kji

vva

++=++=++=

=∆

−∆++

∆−∆+

+∆

−∆+=

=∆

−∆+=

→∆→∆→∆

→∆

dttdv

dttdv

dttdv

ttvttv

ttvttv

ttvttv

ttttt

zyx

zz

t

yy

t

xx

t

t

Ez az összefüggés sor rávilágít a gyorsulásvektor koordinátairányú össze-tevő ax(t), ay(t) és az(t) vektorai, valamint azok előjeles ax(t), az(t) és az(t) skalárnagyságai közötti összefüggésre, amelyeket külön kiemelve is meg-adunk:

)()( )( , )()()(

),()()( ttadt

tdvttadt

tdvtta

dttdv

zzz

yyy

xxx akkajjaii ====== .

44

A kinematikai jellemzők általános szintű tárgyalását egy példa megoldá-sával zárjuk. A vizsgált mozgás a 21. ábra szerinti függőleges tengelyű csavarvonal mentén végbemenő, állandó abszolút értékű sebességvektor-ral megvalósuló mozgás lesz.

x

y

z

t=0

g: csavarvonal

rx

trz

ry

21. ábra Csavarvonal-mozgás

A mozgást az {x,y} síkban értelmezhető vetületi egyenletes körmozgás és egy a z tengely mentén felfelé állandó sebességgel végbemenő mozgás szuperpozíciójaként írjuk fel.

A mozgó pontot a t =0 időpontban az x(0)= r >0 értékű és az y(0)=z(0)=0 koordinátákkal bíró pontban találjuk (kezdeti helyzet). A csavarvonal mozgáspályához tartozó koordináta függvények a következők lesznek:

)( ,sin)( ,cos)( vttztrtytrtx === ωω .

A mozgó pont r(t) helyvektorának felírása ezek után könnyen adódik:

)()sin( )cos()()()()( kjikjir vttrtrtztytxt ++=++= ωω .

A fent bevezetett csavarvonal mentén felfelé mozgó pont sebességvekto-rát t szerinti deriválással kapjuk:

45

. )()cos( )sin(

])()sin( )cos[(])()()([)(

kji

kjikjiv

vtrtr

vttrtrdtdtztytx

dtdt

++−=

=++=++=

ωωωω

ωω

A gyorsulásvektort újabb t –szerinti deriválás szolgáltatja:

]. )(sin)[(cos)sin( )cos(

])()cos( )sin[(])()()([)(

222 jiji

kjikjia

ttrtrtr

vtrtrdtdtvtvtv

dtdt zyx

ωωωωωωω

ωωωω

+−=−+−=

=++−=++=

A gyorsulásvektorra vonatkozó fenti eredmény mutatja, hogy annak füg-gőleges komponense zérus, tehát a gyorsulásvektor most megegyezik a vízszintes síkban r sugáron végbemenő, ω szögsebességű egyenletes körmozgás komponens centripetális gyorsulásával.

Az anyagi pont mozgásjellemzőinek származtatását szemléletesen lehet bemutatnia a 22. ábra szerinti blokk-diagramon, a bal oldali bemeneti mennyiség a mozgó pont r(t) helyvektorát megadó vektorértékű időfügg-vény.

dtd dt

d r(t)

v(t)=dtd r(t) a(t)=

dtd

v(t)

22. ábra Az anyagi pont mozgásjellemzőinek származtatása

Az első blokk operátora a d/dt differenciáloperátor hatva a bemeneti függvényére a blokk kimenetén kiadja a mozgó pont v(t) sebességvekto-rának időfüggvényét. A második blokk bemenetként fogadja a sebesség-vektor v(t) időfüggvényét és a d/dt differenciáloperátor hatására a kime-neten kiadja a mozgó pont a(t) gyorsulásvektorának időfüggvényét. A gyorsulásfüggvényt az r(t) helyvektor függvényből közvetlenül is szár-maztathatjuk, éspedig az idő szerinti második differenciálhányadosaként:

2

2

2

2 )()()]([)()(dt

tdtdtdt

dtd

dtdt

dtdt rrrva ==== .

Amennyiben a származtatás irányát meg kívánjuk fordítani, akkor a gyor-sulás függvényből a sebességet, majd a sebességből a helyvektor alakulá-sát idő szerinti integrálással kaphatjuk meg.

46

3.2 Speciális síkbeli mozgások

3.2.1 A körmozgás

A járművekkel kapcsolatos géptani problémák sok esetben körmozgással kapcsolatos kérdések vizsgálatára vezetnek. A kérdéskör vizsgálatához tekintsük a 23. ábrán vázolt helyzetet, amikor az anyagi pont a t = 0 idő-pontban az r sugarú körpályának a vízszintes tengellyel való metszéspont-jában volt, majd onnan tovamozdulva a kerület mentén a t > 0 időpilla-natban a ϕ(t) szöggel azonosított kerületi pontban van.

t=0 ϕ(t)

∆ϕ tt+∆t

23. ábra Körmozgás

Tekintsük a tömegpont elmozdulását a vizsgálat t kezdő időpont és a t+∆t befejező időpont közötti ∆t > 0 időtartam alatt! Ekkor a kerületi pont szöghelyzetét leíró ϕ(t) szöghelyzet jellemző függvény ∆ϕ növekményét a vizsgálat kezdetét kijelölő t időpont és az elmozdulás ∆t időtartama függvényében megadott kétváltozós kifejezés azonosítja:

)()(),( tttttdef

ϕϕϕ −∆+=∆∆ .

3.2.2 A szögsebesség, mint az idő függvénye

Első lépésben a t időpontbeli szögsebesség ),( tt ∆∗ω közelítő értékét ér-telmezzük a t időpontban induló és ∆t időtartamú ),( tt ∆∆ϕ szögelfordu-lás növekmény segítségével az

tttt

ttttt

∆−∆+

=∆

∆∆=∆∗ )()(),(),( ϕϕϕω

skaláris értékként adódó különbségi hányados alakjában. A t időpontbeli

47

pontos szögsebességet a ∆t időtartam minden határon túli csökkentésével, vagy ami ugyanaz, ∆t → 0 határátmenettel kapjuk. Amennyiben a jelzett határérték létezik és véges, a körmozgás t időpontbeli szögsebessége a ϕ(t) szöghelyzet-azonosító függvény idő szerinti első deriváltja lesz:

. )()()(lim),(lim),(lim)(000 dt

tdt

tttt

tttttttt

ϕϕϕϕωω =∆

−∆+=

∆∆∆

=∆=→∆→∆

∗

→∆

3.2.3 A szöggyorsulás, mint az idő függvénye

A szöggyorsulás értelmezéséhez első lépésben a t időpontbeli szöggyor-sulás ),( tt ∆∗ε közelítő értékét értelmezzük a t időpontban induló és ∆t időtartamú )()(),( ttttt ωωε −∆+=∆∆ szögsebesség növekmény segítsé-gével az

tttt

ttttt

∆−∆+

=∆

∆∆=∆∗ )()(),(),( ϕϕϕε

skaláris értékként adódó különbségi hányados alakjában. A t időpontbeli pontos szöggyorsulást a ∆t időtartam minden határon túli csökkentésével, vagy ami ugyanaz, ∆t → 0 határátmenettel kapjuk. Amennyiben a jelzett határérték létezik és véges, a körmozgás t időpontbeli szöggyorsulása az ω(t) szögsebesség függvény idő szerinti első deriváltja lesz:

. )()()(lim),(lim),(lim)(000 dt

tdt

tttt

tttttttt

ωωωωεε =∆

−∆+=∆

∆∆=∆=→∆→∆

∗

→∆

Nyilvánvaló, hogy a szöggyorsulást a ϕ(t) szögelfordulás függvényből közvetlenül is származtathatjuk, éspedig annak az idő szerinti második differenciálhányadosaként:

2

2

2

2 )()()]([)()(dt

tdtdtdt

dtd

dtdt

dtdt ϕϕϕωε ==== .

Megjegyezzük még, hogy ha a szöggyorsulás értéke pozitív, az pillanat-nyi szögsebesség növekedést, míg ha a szöggyorsulás értéke negatív az pillanatnyi szögsebesség csökkenést azonosít. A forgó mozgás jellemzői-nek összefüggését a következő képletsor szemlélteti:

)( )( (t) tεtωdtd

dtd

→→ϕ .

48

Amennyiben a származtatás irányát meg kívánjuk fordítani, akkor a szög-gyorsulás függvényből a szögsebességet, majd a szögsebességből a szög-elfordulás jellemző függvény alakulását idő szerinti integrálással kaphat-juk meg.

Tekintsük még a most bevezetett jellemzők mértékegységeit! A ϕ szög mértékegysége a radián, azaz [ϕ] = rad (360° = 2π rad), az ω szögsebes-ség mértékegysége már származtatott mértékegység:

[ω] =s

radt

=∆∆

][][ ϕ .

Hasonlóképpen, a szöggyorsulás mértékegysége is származtatott mérték-egység:

[ε] = 2/

][][

srad

ssrad

t==

∆∆ω .

3.2.4 Az egyenletes körmozgás

Ha a mozgó pont ω szögsebessége állandó (konstans), egyenletes kör-mozgásról beszélünk. Tekintettel arra, hogy a konstans függvény idő sze-rinti deriváltja az azonosan nulla függvény, adódik, hogy az egyenletes körmozgás esetén a szöggyorsulás azonosan zérus. Az egyenletes kör-mozgást végző pontnak azonban mégis van gyorsulása, ugyanis a kerületi sebesség vektorának iránya folyamatosan változik a körmozgás során, ezért a gyorsulásvektor nem lesz zérus. Valóban, ha felírjuk az {x,y} sík-beli r sugarú körpályán ω szögsebességgel mozgó pont

)sin( )cos()()()( jijir trtrtytxt ωω +=+=

helyvektorát, akkor a gyorsulásvektort az idő szerinti második derivált-ként származtatva:

. )(-] )sin()cos[(-

] )sin( )cos[(])()([)(

22

2

2

2

2

ttrtr

trtrdtdtytx

dtdt

rji

jijia

ωωωω

ωω

=+=

=+=+=

Az eredményül kapott gyorsulásvektorról jól látható, hogy minden t idő-pontban a mozgó pont helyvektorával (mely mindig centrifugálisan, azaz a középpontból a mozgó ponthoz mutató értelmű) ellentett értelmű vektor lesz a mínusz előjel miatt. Ezért az egyenletes körmozgás gyorsulásvekto-rát méltán nevezzük centripetális (a mozgó pontból a forgási középpont

49

felé mutató értelmű) gyorsulásnak. Az egyenletes körmozgás esetén ter-mészetesen minden pillanatban a körpálya érintőjének irányába eső gyor-sulás összetevő zérusvektor. Ez utóbbi állításunk könnyen belátható, hi-szen a tv kerületi sebesség vektorának abszolút értékét mindig felírhatjuk a szögsebesség és az r körpályasugár szorzataként ωrt =v alakban. Mi-vel pedig egyenletes körmozgás esetén a dω/dt szöggyorsulás azonosan zérus, ezért formálisan is kiadódik, hogy a kerületi gyorsulás nagysága is azonosan zérus, ugyanis:

. 00 ==== rdtdrr

dtd

dtd

tωωv

Most vizsgáljuk meg azt a kérdést, hogy ha ismert az egyenletes körmoz-gás állandó ω szögsebessége, akkor milyen lesz a pont ϕ(t) szöghelyzet azonosító függvényének az alakulása az idő függvényében. Mivel a szög-sebesség a szöghelyzet jellemző függvény idő szerinti deriváltja, és most az egyenletes körmozgás szögsebessége állandó, csak olyan függvény le-het a szöghelyzet jellemző függvény, amelynek a deriváltja miden idő-pontban azonos konstans. Ilyen függvény azonban végtelen sok különbö-ző változatban létezhet. Valóban, tetszőleges c valós szám esetén a ϕ(t,c) = ω t + c függvény megfelel, hiszen ezt t szerint deriválva bármilyen c va-lós konstans esetén visszakapjuk a kívánt konstans ω értéket:

. 01 ) (),( ωωωωϕ =+=+=+=dtdc

dtdtct

dtdct

dtd

A kapott eredményünk helyesen tükrözi azt a tényt, hogy egyenletes kör-mozgás esetén a pont által befutott körívhez tartozó középponti szög az idő függvényében lineárisan növekszik.

3.2.5 A határozatlan integrálról A ϕ(t,c) függvény keresésével kapcsolatos, előzőekben tárgyalt azon egy-szerű feladat, amelyet „ellenőrző deriválással” oldottunk meg, a határo-zatlan integrál kiszámításának feladatát vetíti előre. Általánosabb megfo-galmazásban tekintve a kérdést: adott f(x) függvényhez kereshető egy olyan F(x) függvény, amelyet ha x-szerint deriválunk, megkapjuk a kiin-dulási adott f(x) függvényt, azaz amelyre:

).()( xfxFdxd

=

50

Tekintettel arra, hogy a konstans függvény deriváltja az azonosan zérus függvény, az F(x) függvény nincs egyértelműen meghatározva, mivel ha F(x) -hez tetszőleges c konstans értéket hozzáadunk, arra is érvényes lesz a

)(])([ xfcxFdxd

=+

összefüggés. Tehát az adott f(x) kiindulási függvényhez egy végtelen sok elemű

RccxF

∈+ })({ függvényrendszer rendelhető hozzá, melynek bár-

mely elemét deriválva a kiindulási f(x) függvényt kapjuk. Az ilyen tulaj-donságú

RccxF

∈+ })({ függvényrendszert az f(x) függvény határozatlan in-

tegráljának nevezzük. A határozatlan integrál jelölése:

∫ ∈+=

RccxFdxxf })({)( .

A megadott Rc

cxF∈

+ })({ függvényrendszer elemeit a f(x) -hez rendelt „pri-mitív függvényeknek” nevezzük.

A fentiekben elmondottakat alapján így fogalmazhatjuk meg a határozat-lan integrálást: „az f(x) függvényt integrálni annyit tesz, mint keresni egy olyan F(x) függvényt, amelyet ha deriválunk, deriváltként a kiindu-lási f(x) függvényt kapjuk”.

3.2.6 Állandó gyorsulású haladó mozgás

Fontos speciális mozgásfajtát jelent azon mozgás, amelynek gyorsulás-vektora az időtől nem függ, azaz állandó érték. Legyen a mozgás állandó gyorsulásvektora a és írjuk ezt fel a gyorsulásvektor tartóegyenesére il-leszkedő e egységvektor segítségével a = a e , éspedig a előjeles gyorsu-lásnagyság feltüntetése mellett. Attól függően, hogy az a előjeles nagyság milyen értéket vesz fel, három esetet kell megkülönböztetni:

a.) a = 0, ekkor az a gyorsulásvektor is zérus, és ezért a v sebesség-vektor csak konstans lehet. Ebben az esetben a vizsgált pont egye-nes vonalú egyenletes mozgást végez,

b.) a > 0, ekkor a vizsgált pont sebessége növekszik,

a < 0, ekkor a vizsgált pont sebessége csökken.

51

t

aa >0

24. ábra Állandó gyorsulású mozgás

A fenti esetek közül tekintsük a b.) alattit. Adott tehát a 24. ábra szerint a

gyorsulás előírt a = dtdv

> 0 értéke, keressük a sebesség v = v(t) előjeles

nagyságának időbeli alakulását. A feladat másképp megfogalmazva egy olyan v(t) függvény keresését jelenti, amelynek deriváltja egy pozitív konstans. Az integrál feladatot egyelőre kísérletező feltevéssel (Ansatz) oldjuk meg. Tekintsük hipotetikus megoldásnak a v(t) = a t + c lineáris függvényt a megadott a > 0 gyorsulásnagyság és tetszőleges c valós kons-tans szerepeltetésével. Az „ellenőrző deriválás” elvégzése most is kimu-tatja, hogy a lineáris sebességfüggvényre vonatkozó hipotézisünk helyes, ugyanis bármilyen c valós konstans esetén deriválással visszakapjuk a kívánt konstans a értéket:

. 01) ()( aadtdc

dtdtacta

dtdtv

dtd

=+=+=+=

Így valóban az Rc

ca∈

+ } t{ egyparaméteres függvénysereg minden eleme megfelel a kívánalmaknak, ami más szavakkal azt jelenti hogy a megol-dásként megfelelő v(t) függvénysereg éppen a konstans a > 0 függvény t szerinti határozatlan integráljával egyenlő:

== ∫ dtatv )( a t + c,

ahol c tetszőleges additív valós konstans. Ez a példa mutatja, hogy a deri-váltakból való „visszaszámítást” a határozatlan integrálás elvégzésével végezhetjük. A probléma megoldása szempontjából ezzel kétségtelenül előre léptünk, de mivel végtelen sok „visszaszámított” függvényhez jutot-tunk, a „bőség zavara” áll fenn. A konkrét mozgásviszonyok leírására ezen végtelen elemű függvényseregből pontosan egy elem kiválasztása úgy lehetséges, ha a feladat sajátosságai alapján a 25. ábrán vázolt módon előírjuk, hogy valamely t0 időpontra az ott felvett sebesség v0 értéke mi-lyen legyen.

52

v(t)=v0+a·(t-t0)c-paraméteres függvénysereg

t

v

v0

t0

25. ábra A sebesség megadása egy adott időpontban

Helyettesítsük be a kapott primitív függvénybe a megadott t0 időpontot és az ott előírt v0 sebesség értékét, ekkor a v(t0) = v0 = a t0 + c egyenlőségből a c konstans konkrét értéket nyer: c = a t0 – v0. Az előírt értékekkel kife-jezett konstanst beírva a sebesség kifejezésébe már egyetlen függvény adódik megoldásként:

)()( 00 vatattv −+= ,

amiből rendezéssel az ismert alakú

)()( 00 ttavtv −+=

képletet kapjuk, amely azt posztulálja, hogy a t időpontbeli v(t) sebesség a t0 -ban érvényes v0 sebesség és a t – t0 időköz alatt végbemenő gyorsuló mozgás )( 0tta − sebességnövekményének összegeként adódik.

Az állandó gyorsulású mozgás vizsgálatában logikusan merül fel az a to-vábbi kérdés, hogy ha már a v(t) sebességfüggvényt az előírt t0 és v0 un. kezdeti érékek beszerkesztésével egyértelművé lehetett tenni, akkor ho-gyan lehet mármost a vizsgált pont által befutott úthosszat is megkapni, és esetleg valamely további „konstanskiszűrő” érték előírásával egyértelmű-en meghatározni.

A feladat megoldását a formális integrálás helyett most is úgy oldjuk meg, hogy egy hipotetikus kísérletező feltevéssel felvett x(t) függvényről kimutatjuk, hogy deriváltja éppen a fenti )()( 00 ttavtv −+= függvény. A kísérletező feltevés (Ansatz) azon az alapon jelölhető ki, hogy figye-lembe vesszük a hatványfüggvények deriválási szabályát, miszerint a de-riválás a hatványfüggvény fokszámát eggyel csökkenti. Mivel a sebesség-függvényünk konstans és t-ben lineáris tagokból áll, ezért e kísérletező

53

feltevésbeli függvényt lineáris és másodfokú tagokból megfelelő konstan-sok szerepeltetésével célszerű felépíteni.

A fenti előzetes meggondolások alapján – figyelembe véve, hogy derivá-lás után a )()( 00 ttavtv −+= függvényt kell kapnunk – a következő x(t) függvényt vesszük fel:

,)(21)( 2

00 Rccttatvtx ∈+−+= tetszőleges .

Tekintsük most az így felvett függvény t-szerinti deriváltját:

. )(01)(2 2110])[(

21

][])(21[][])(

21[)]([

00002

00

200

200

ttavttavttdtda

dtdtv

cdtdtta

dtdtv

dtdcttatv

dtdtx

dtd

−+=+−+=+−+

=+−+=+−+=

Mint látható, a helyes meggondolásokkal felvett kísérletező feltevésünk szerinti függvényünk t szerinti deriváltja visszaadta a kívánt sebesség-függvényt.

Rögzítsük azonban, hogy most is egy végtelen elemű függvénysereg sze-repelt a kísérletező feltevésünkben, hiszen c tetszőleges valós szám volt. Mégis kiadódott, hogy bármely c érték esetén érvényes a deriválás után kapott helyes eredmény. A megoldás egyértelművé tételét a már korábban is követett eljárással érhetjük el, nevezetesen előírjuk a 26. ábrán szemlél-tetett módon, hogy a t0 időpontban az x(t) függvény vegye fel az x0 érté-ket. Érvényesítsük tehát behelyettesítéssel a jelzett előírást, ekkor:

, )(21)( 00

2000000 ctvcttatvxtx +=+−+==

ahonnan c értékét ki lehet fejezni: 000 tvxc −= , ezt az értéket behelyette-sítve a kísérletező feltevésünk képletébe, előbb adódik a

)(21)( 000

200 tvxttatvtx −+−+=

kifejezés, és ebből kis rendezéssel kapjuk az egyértelmű megoldást:

20000 )(

21)()( ttattvxtx −+−+= .

54

t

x

x0

t0

másodfokú parabola sereg

26. ábra Az befutott távolság kezdeti értéke.

x = 2

2ta

a > 0

t

t

t

v = a t dtd

dtd

∫

∫

a

v

x

27. ábra Állandó gyorsulású mozgás foronómiai görbéi

Tehát a a t időpontig befutott x(t) távolság a t0 -ban érvényes x0 kezdeti helyzet és a t – t0 időköz alatt v0 állandó kezdeti sebesség esetén adódó

)( 00 ttv − útnövekmény, továbbá a t – t0 időköz alatt az állandó a gyorsu-

lás jelenlétében befutott 20 )(

21 tta − útnövekmény összegeként adódik.

55

A pont mozgásviszonyainak az idő függvényében való alakulását nagyon szemléletesen jelenítik meg a foronómiai görbék, amelyeket úgy kapunk, hogy közös időléptékű három diagramot rajzolunk egymás alá, legfelül a gyorsulás, alatta a sebesség, legalul a befutott út időfüggvényét. Az adott időpillanatban – „időkeresztmetszetben” – megvalósuló kinematikai jel-lemzőkről igen jó áttekintést nyerünk. A 27. ábrán egy, a t0 = 0 időpont-ban v0 = 0 kezdősebességről az x0 = 0 kezdeti helyzetből induló jármű konstans pozitív gyorsulás melletti foronómiai görbéit szemléltetjük.

3.2.7 Állandó szöggyorsulású forgómozgás Fontos speciális mozgásfajtát jelent a járműgéptanban a konstans szög-gyorsulású forgómozgás. Jelölje ε a vizsgálandó forgómozgás állandó szöggyorsulását. A fentiekben tárgyalt állandó gyorsulású haladó mozgás esetén alkalmazott azon gondolatmenet, amely a konstans a gyorsulásból integrálással és alkalmas kezdeti értékek beiktatásával vezette le az egyér-telmű mozgásjellemző függvényeket most is értelemszerűen alkalmazható a konstans ε szöggyorsulásból kiindulva. Most a t0 időponthoz az ω0 szögsebesség értéket és a ϕ0 szög értéket írjuk elő. A mozgásjellemzők ekkor a következőképp alakulnak:

1. ε = állandó,

2. )()( 00 ttt −+= εωω ,

3. 20000 )(

21)()( ttttt −+−+= εωϕϕ .

Példaként vizsgáljuk a t0 = 0 időpontban ω0 > 0 szögsebesség értékről ε < 0 állandó szöglassulással fékezett kerék esetét. Kérdés lehet, hogy mekko-ra össz szögelfordulást tesz meg a kerék a fékezés megkezdésétől a meg-állásig. A feladat megoldásához először meg kell határozni a forgás meg-szűnésének időpontját az 0)()( 00 =−+= ttt εωω egyenlet t-re történő megoldásával. Mivel a kiindulási adatok szerint t0 = 0 volt, ezért elegendő az 0 0 =+ tεω egyenletet megoldani. Tekintetbe véve, hogy ε < 0, a meg-

oldás: t = ε

ω0 . Ha fékezés megkezdésének időpontjában a ϕ0 szög értéket

zérusnak írjuk elő, fékezés kezdetétől a megállásig megtett szögelfordulás kifejezhető:

εω

εω

εε

εω

εωε

εωωϕ

21

21]1

211[)(

21 2

020

20

2000 ==+=+= sign .

A fenti levezetésben figyelembe vettük, hogy a lassulás miatt signε = -1.

56

3.3 Járművek mozgásciklusa – menetábra A járművek rendeltetésszerű üzemében kialakuló ideális mozgásciklust a t = 0 időpontban zérus kezdeti sebességről induló, t1 időpontig ag > 0 ál-landó gyorsulással a vmax = a t1 sebességig gyorsuló, majd onnan a t2 > t1 időpontig állandó vmax sebességgel haladó, végül a t2 időponttól af < 0 ál-landó lassulással a t3 időpontban bekövetkező megállásig csökkenő sebes-ségű mozgásciklus adja.

Az így jellemzett ideális mozgásciklusnak a [0, t3] intervallum felett érvé-nyes a(t) gyorsulásfüggvényét, v(t) sebességfüggvényét és x(t) befutott út függvényét esetszétválasztásos definícióval az alábbiakban adjuk meg:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<<≤<≤≤>

=

32

21

1

00

00)(

tt thaattha tttha a

ta

f

g

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<−+≤<=≤≤

=

3221

211max

1

)(

0)(

tt thattatattha ttavttha ta

tv

fg

g

g

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤<−+−+

≤<−+

≤≤

=

322

21121

211121

12

)(2

)(2

)(2

02

)(

tt thatta

tttata

ttha ttttata

ttha ta

tx

fg

g

gg

g

A fenti függvénydefinícióknak megfelelő foronómiai görbéket a 28. ábrán adjuk meg.

A konstans gyorsulás mellett befutott út időfüggvényét másodfokú para-boladarab ábrázolja. Itt csak emlékeztetünk a másodfokú parabola sajátos tulajdonságára, miszerint egy origócsúcspontú másodfokú parabola bár-mely x0 abszcisszájához tartozóan készített e érintő egyenese felezi az érintési ponthoz tartozó abszcisszát.

57

a

t

ag>0

a=0

af<0

t

v

t1 t2 t3

v=ag·t vmax=ag·t1v=ag·t1+af··(t-t2)

t1 t2 t3

t

s

t1 t2 t3

2

2t

ag ⋅

( )11212

tttata

gg −⋅⋅+⋅

( ) ( )22121

21 22

tta

tttata f

gg −⋅+−⋅⋅+⋅

28. ábra Az ideális mozgásciklus foronómiai görbéi.

A jelzett tulajdonságot a 29. ábra vázlata szemlélteti. Az ideális működési ciklus befutott út diagramjának helyes megrajzolását segíti annak a tények a szem előtt tartása, hogy mind a t1 mind pedig a t2 abszcisszájú pontban a középső konstans sebességhez tartozó lineáris út függvény vonala érintő-legesen csatlakozik a diagram kezdeti és befejező szakaszánnál lévő para-bola darabokhoz.

x0 x0/2

p

e

29. ábra Parabola és az érintője

58

3.4 Egyszerű hajtásrendszerek A járművek nagy részénél a hajtó teljesítmény aktivizálásának helye bi-zonyos távolságban van jármű hajtott egységeitől. Pl. a dízelmotor a hajó-test közepénél található, és a hajtó teljesítményt el kell juttatni („át kell vinni”) a hajó hátsó részénél elhelyezkedő hajócsavarokhoz. Az mondjuk, hogy a hajtó erőgép és a hajtó energia felhasználási helye közé hajtás-rendszert kell elhelyezni. A hajtásrendszer szükségessége a gépegységek elhelyezkedésével kapcsolatos kérdésen túl azzal is kapcsolatos, hogy a hajtó erőgép a teljesítményt nem pont olyan fordulatszám mellett szolgál-tatja, mint amire a felhasználás helyén szükség van. Ezért a hajtásrend-szernek az adott teljesítmény minél kisebb veszteség melletti átvitelén túl sokszor a szögsebességet, és ezzel együtt a hajtó nyomatékot is lényege-sen módosítani kell. A teljesítményt, mint energiaáramot ismertnek téte-lezzük fel, itt csupán a fogalom pontosítását adjuk meg. Tekintsünk egy ∆t kicsi pozitív időnövekményt és tegyük fel hogy a [t, t+∆t] időinterval-lumban ∆W(t,∆t) nagyságú energia került betáplálásra egy hajtott gépegy-ségbe. A gépegység által a t időpontban felvett teljesítmény (ami tulaj-

donképpen energiaáram) közelítő értékét a t

ttWttP∆

∆∆≈∆∗ ),(),( diffe-

renciahányadossal kapjuk, és a pontos értéket ∆t→0 határátmenet után az energiabevezetés W(t) időfüggvényének az idő szerinti első differenciál-hányadosával értelmezzük:

dttdW

tttWtP

t

)(),(lim)(0

=∆

∆∆=

→∆ .

Mivel az M(t) hajtó nyomaték egy elemi dφ(t) szögelfordulás során vég-zett munkája a gépbe történő differenciálisan kicsi dW(t) energiabeve-zetést jelent, irható, hogy )()()( tdtMtdW ϕ= , és így a teljesítmény-bevitel képlete a

)()()()()()()(),(lim)(0

ttMdt

tdtMdt

tdtMdt

tdWt

ttWtPt

ωϕϕ====

∆∆∆=

→∆

eredményre vezet. A nyert képlet visszaadja a jól ismert tényt, miszerint egy adott időpillanatban a teljesítmény az adott időpillanatban érvényes nyomaték és szögsebesség szorzata. Amennyiben a fordított kérdés merül fel, azaz hogy ismert P(t) teljesítmény-alakulási időfüggvény esetén meg kell határozni a t1 és t2 időpontok között a rendszerbe bevezetett energia ∆W értékét, akkor a vizsgálatot a

59

ττ dPtWtWWt

t∫=−=∆ 2

1

)()()( 12

integrálkifejezés meghatározásával lehet elvégezni. Speciálisan, ha a P teljesítmény a [t1, t2] intervallumban konstans értékű, akkor a jelzett in-tegrál az ismert egyszerű )( 12 ttPW −=∆ szorzatkifejezést szolgáltatja.

Vizsgálatainkban az energia mértékegysége: [W] = J (dzsúl), a teljesítmé-nyé pedig [P] = W (Watt).

Következő tárgyalásunkban a forgás-, nyomaték- és teljesítmény-átvitelre alkalmas megoldások közül fogaskerékhajtást, a szíjhajtást és a dörzshaj-tást tárgyaljuk.

3.4.1 A fogaskerékhajtás

A 30. ábrán vázolt fogaskerekek a fogak kapcsolódása miatti kényszer következtében közös kerületi sebességgel forognak. A fogak profilját kör-evolvens görbeként alakítják ki, mert a körevolvensek a kerekek tengely-távolságának állandó értéke mellett le tudnak egymáson gördülni. Az áb-rán jól látható a két kerék egymást érintő osztóköre. A két keréken kiala-kított fogak kapcsolódásba lépése, a két osztókör érintési pontján átmenő kapcsolási vonal mentén megy végbe.

M2

M1

ω1

ω2

r1

r2

P2 = M2 ω2

P1 = M1 ω1

30. ábra Fogaskerék kapcsolat

60

A két kerék helyes kialakításának egyik kritériuma azt fogalmazza meg, hogy a kapcsolási vonalnak a két osztókör érintési pontjára nézve centrá-lisan szimmetrikusnak kell lennie. A helyes kapcsolódás másik feltétele a fogazat t-vel jelölt osztásával kapcsolatos. Az osztás az osztókörön mért azon ívhosszúság, amely áthidal egy fogat és a mellette lévő fogárkot. A viszonyokat a 31. ábra mutatja.

osztókör

t fog

fogárok

ívhossz az osztókörön

31. ábra Fogosztás

Ha kerék osztókörének sugara r és fogszáma z , akkor az osztókör kerüle-tét elosztva a fogszámmal kapjuk az osztás t értékét:

zrt π2= .

Az osztásra, mint jellemzőre támaszkodva értelmezzük a fogaskerék to-vábbi fontos jellemzőjét a modulust, röviden a: modult. Az osztás képle-téből kifejezve az osztókör átmérőjét, a

modul" fogszám átmérő" :szavakban , )(2 ⋅==== mztzrdπ

képlet adódik, ahol tehát az m = t/π szorzótényező adja fogaskerék modul-ját. A definiáló összefüggés alapján látható, hogy a modul a d = 2r osztó-körátmérő és a z fogszám viszonyszáma. A fogaskerékpár helyes kapcso-lódásának a másik alapfeltétele a két kerék moduljának azonossága.

A hajtásrendszerek esetében az energiaáramlás irányát tekintve mindig megállapítható a rendszer bemenő oldala és kimenő oldala. A tárgyalá-sunkban a bemenő oldali jellemzők mindig 1-es indexet kapnak míg a kimenőoldali jellemzőket a 2-es index fogja azonosítani. A fogaskerékpár esetében tehát a behajtó tengely jellemzői kapják az 1-es indexet, a kihaj-tó tengely jellemzőit pedig a 2-es index azonosítja.

61

A fogaskerékpár átviteli tulajdonságait a következő három alapjellemző-vel adjuk meg:

1. (szögsebesség) módosítás: 1

2

ωω

==égszögsebessbemenőégszögsebesskimenői

2. nyomatékmódosítás: 1

2

MM

nyomatékbemenőnyomatékkimenők ==

3. hatásfok: 1

2

PP

nyteljesítmébemenőny teljesítmékimenő

==η

A most bevezetett három átviteli jellemző közül csak kettő független, mi-vel érvényes az

ikMM

PP

11

22

1

2 ===ωωη

összefüggés. Így tehát

kkhi

iigkikikf ηηηηη ====== ),( és ) ,( , ) ,( .

ω1

ω2

r1

r2

d1=2·r1

d2=2·r2

v = r1 ω1 =

= r2 ω2

32. ábra Kerületi sebesség a fogaskerék kapcsolatban

62

A fenti három átviteli jellemző közül az i módosítás kiszámítható a kere-kek geometriai jellemzői alapján is. A 32. ábrán vázoltuk a két kerék su-gara mentén kialakuló kerületi sebességek sugár függvényében lineáris eloszlását, és látható a fogkapcsolat által létrehozott kinematikai kényszer miatt a két kerék osztóköri kerületi sebességének megegyezése. Ezt a ke-rületi sebesség azonosságot formálisan a 2211 ωω rrv == összefüggés rög-zíti. Az i módosítás eredeti értelmezését a kerületi sebesség megegyezés és a modul jelentésének figyelembevételével ki lehet egészíteni:

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

22

zz

mzmz

dd

rr

rr

rvrv

i =======ωω .

Hangsúlyozni kell, hogy a most bevezetett geometriai jellemzők segítsé-gével értelmezett módosítás számlálójába kerül a bemenő oldali kerék geometriai jellemzője és nevezőjébe a kimenő oldali kerék jellemzője. Így a geometriai jellemzőkkel értelmezett módosításnál az eredeti értelmezés szerinti indexsorrend megfordul!

A fogaskerékhajtás sokszor több fogaskerékből épül fel. Ez akkor szüksé-ges, ha egy fogaskerékpárral a szükséges módosítás nem valósítható meg, vagy ha a kimenő oldali tengely elhelyezésével kapcsolatban sajátos geometriai elrendezést kell megvalósítani. Ez utóbbi esetre ad példát a 33. ábrán felrajzolt fogaskerékhajtás elrendezés, ahol is a be- és kihajtó tenge-lyek egy közös tartóegyenesre illeszkednek, és a be és kihajtó tengely forgásirány is megegyező.

i1

i2

ω1 M1 P1

ω2M2P2

ωxMxPx

33. ábra Fogaskerék hajtás felépítése több fogaskerékből

63

Az ábrán alkalmazott jelölésekkel a hajtásrendszer eredő módosítását az alapdefiníció alkalmazásával és a közvetítőtengely ωx szögsebességével történő bővítés után kapjuk:

211

2

1

2 iii x

x

===ωω

ωω

ωω .

Az eredő módosítás tehát a fokozati részmódosítások szorzataként adódik. Hasonlóképpen adódik az eredő nyomatékmódosítás és az erdő hatásfok is:

211

2

1

2 kkMM

MM

MMk x

x

=== , 211

2

1

2 ηηη ===PP

PP

PP x

x

.

Az is adódik, hogy az eredő átviteli jellemzők között is fennáll az ik =η összefüggés, és itt is csak két jellemző független, a harmadik már a két másikkal mindig meghatározott.

Ha egy bonyolultabb hajtásrendszer több mint két fogaskerékpárból épül fel, vagy a kerekek közös síkban forogva láncszerűen kapcsolódnak, ak-kor is hasonló szerkezetű összefüggések érvényesek az eredő árviteli jel-lemzőkre. A 34. ábrán több fogaskerékpár alkotta hajtásrendszert vázol-tunk.

34. ábra Több fogaskerékpár alkotta hajtásrendszer

Az eredő átviteli jellemzőket tetszőleges (véges) n fogaskerékpár esetére az alábbiakban adjuk meg:

, ... 1

21 ∏=

==n

jjn iiiii , ...

121 ∏

=

==n

jjn kkkkk ∏

=

==n

jjn

121 ... ηηηηη .

64

A közös forgási síkban láncszerűen kapcsolódó fogaskerekekkel kialakí-tott hajtásrendszert a 35. ábrán vázoltunk fel.

z1

zα zβ

zγ zδz2v1α

vαβ

vβγ

vγδ

vδ2

r2ω2

ω1

ωα ωβ ωγ

ωδ

r1

v1α = vαβ = vβγ = vγδ = vδ2

35. ábra Láncszerűen kapcsolódó síkbeli fogaskerék rendszer

Az ilyen rendszer módosítása csak a láncban első helyen és az utolsó he-lyen szereplő fogaskerék fogszámáról függ. Ezt a tényt annak alapján le-het belátni, hogy az összes kapcsolódó kerék kerületi sebessége azonos kell, hogy legyen, hiszen a fogkapcsolatok ezt a kényszert tartják fenn. Mármost ha az első kerék sugara r1 és szögsebessége ω1 az utolsó kerék sugara pedig r2 és szögsebessége ω2, akkor a lánc minden fogkapcsolatán közös v kerületi sebesség figyelembevételével:

2

1

2

1

1

2

1

2

zz

rr

rvrv

i ====ωω .

Az ∏=

==n

jjn

121 ... ηηηηη képlet rendszer hatásfokára viszont érvényben

marad. Az eredő nyomatékmódosítást most a k = η / i formula alapján le-het számítani.

3.4.2 A szíjhajtás

A forgás, nyomaték és teljesítmény-átvitel klasszikus eszköze a lapos szí-jas szíjhajtás. Ezen hajtásrendszernél a behajtó tengelyre és a kihajtó ten-gelyre egy-egy dobot ékelnek, mely dobok külső felületének meridián-metszete nem a forgástengellyel párhuzamos egyenes, hanem enyhén görbült, a hordó alakjára emlékeztet. A két dobot végtelenített lapos haj-

65

tószíjjal kötjük össze. A 36. ábrán vázolt rendszerben a bal oldali kisebb r1 sugarú dob a hajtó dob, a jobb oldali nagyobb r2 sugarú pedig a hajtott dob.

M 1

ω1P 1

n 1

M 2

ω2

P 2

n 2

r 1 r 2

v

F F

F0 F0

Ff Ff

1

v 2

36. ábra Lapos szíjas szíjhajtás

Az ilyen elrendezésnél a kimenő tengelyen megjelenő ω2 szögsebesség kisebb lesz, mint a bemenő tengely ω1 szögsebessége. Tekintettel azonban a hajtószíj rugalmas voltára, nem lehet állítani, hogy a két dob kerületi sebessége megegyezik, ezért további meggondolásokra van szükség a haj-tás i módosításának felírásához. Valóban, a behajtó oldal rajzunkon fel-vett forgási iránya esetén a hajtó szíj felső ágában üzem közben mindig nagyobb húzóerő ébred, mint az alsó ágban, ezért azután a szíj elemeinek az alsó ágból a felső ágba való átkerülése során beálló szíjerő-növekedés – ha kis mértékben is, de – a szíj megnyúlását okozza, ezért a két dob ke-rületi sebességei eltérőek lesznek, azaz v1 ≠ v2.

A kerületi sebességek eltérését figyelembe véve értelmezzük a látszólagos „csúszás”, a látszólagos „szlip” fogalmát:

1

2

1

21 1vv

vvvs −=

−= .

A látszólagos jelző arra utal, hogy itt alapvetően nem a dobfelület és a szíj között fellépő felületi csúszásról van szó, hanem a szíj rugalmas alakvál-tozásából adódik a szlip értékét kialakító kerületi sebesség eltérés. Nor-mális üzemmódban a lapos szíjhajtás szlipje kicsi érték, 0.02…0.03 nagy-ságrendű. A szíjhajtás módosításjellemzői mármost rendre a következő-képp alakulnak:

66

1. A módosítás az ismert definíció szerint a szlip jelentésének figye-lembevételével:

)1(2

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

2 srr

vr

rv

rvrv

i −====ωω .

2. A nyomatékmódosítás levezetéséhez a 37. ábrán kiemeltük a rend-szerből a behajtó oldali dobot és feltüntettük a hajtószíj két ágát.

M 1

r1

F

F0

Ff

37. ábra A behajtó oldali dob

3. A felső szíj ágban – az un. „feszes” ágban – fellépő húzóerőt jelöl-je F, míg az alsó ágban – az un. „laza” ágban – fellépő erőt jelölje F0. A hajtás állandósult állapotában a két dob esetében a rájuk ha-tó külső nyomaték (a behajtó ill. a terhelő nyomaték) és a szíjága-kon átvitt erők nyomatéka egyensúlyban van. Ennek megfelelően érvényes, hogy:

202101 )( , )( rFFMrFFM −=−= .

A nyomatékmódosítás ezért:

1

2

10

20

1

2

)()(

rr

rFFrFF

MMk =

−−== .

Adódott, hogy a nyomatékmódosítást a szíjhajtás esetében a dobok sugárviszonya egyértelműen meghatározza.

4. A hatásfokot legegyszerűbben a most is érvényes ik =η össze-függés alapján kaphatjuk meg:

)1()1( 2

1

1

2 ssrr

rrik −=−==η .

67

3.4.3 A dörzskerekes hajtás

A fogaskerékhajtásnál a kerekek fogazatának kapcsolódása alakzárási kényszert jelentett, ezért két kerék kerületi sebessége megegyező volt. A dörzskerekes hajtásnál más a helyzet: az egymáshoz szorított görgők súr-lódási kölcsönhatásában kialakuló kerületi erő biztosítja a két kapcsolódó kerék makroszkópikus csúszás nélküli együttforgását. A dörzskerekek működési elve úgy is felfogható, hogy a kerekek érdes gördülőfelületein a mikro-egyenetlenségek egymásba kapcsolódó „csenevész fogazatként” alakítják ki a súrlódásos kölcsönhatást. Ha Fn jelöli a mindkét kerék kö-zéppontjára illeszkedő hatásvonalú, az érintkezési felületre merőleges összeszorító erőt, akkor a kapcsolatra jellemző súrlódási határerőt – a kapcsolaton átvihető kerületi erőt maximumát kijelölő erőt – a nyugvósúr-lódási tényező µ0 értéke esetén az Fs = µ0 Fn képlet adja, és értelemszerű-en a felületen makroszkópikus csúszás nélkül átvihető F kerületi erő ab-szolút értékét az ⏐F⏐≤ µ0 Fn összefüggés korlátozza.

3.5 Járművek működési ciklusának erőhatásviszonyai

Az előzőekben tárgyaltuk az ideális működési ciklus gyorsulásviszonyait. A 38. ábrán ismét felvázoltuk a gyorsulás időfüggvényét. Newton 2. axi-ómája szerint az eredő erő megegyezik a tömeg és a gyorsulás szorzatá-

val: amFn

ii

1=∑

=

. Ezen összefüggés már mutatja, hogy az ideális működé-

si ciklus során a járműre ható eredő erő időbeli változását leíró függvény arányos lesz a jármű gyorsulásfüggvényével, ahol az arányossági tényező a jármű gyorsítás szempontjából mérvadó tömege.

ag > 0

t1

t2 t3 a ≡ 0

af < 0

t

a

38. ábra A gyorsulás-idő függvény.

A 39. ábra a menetciklus megvalósításához szükséges eredő erő lefutását mutatja.

68

ΣFi

Ff < 0

F ≡ 0 Fgy > 0

t1

t2 t3

t

39. ábra Az eredő erő a menetciklus során.

Az ideális mozgásciklus megvalósításához szükséges eredő erő több komponensből tehető össze.

1. A járműre mindig működik a mozgását akadályozni igyekvő Fe < 0 alapellenállás erő. Jelen tárgyalásunk egyszerűsítése érdekében az alapellenálláserőt állandó értékkel vesszük figyelembe. Fontos azon-ban hangsúlyozni, hogy sok gépnél (pl. járműveknél) a sebesség jelen-tősen befolyásolja az ellenálláserő alakulását.

2. A járművet hajtó erőgép (pl. motor) által kifejtett Fm gépezeti vonóerő az ideális működési ciklus három fázisa során eltérő konstans értékeket vesz fel. A 0 ≤ t ≤ t1 időintervallumban a szükséges Fm gépezeti vonó-erő az Fe alapellenálláserő leküzdéséhez és a konstans gyorsulás bizto-sításához szükséges Fg= mag gyorsítóerő összetevőkből adódik. Állan-dó ag > 0 gyorsulás esetén az említett két erő összege konstans nagy-ságú pozitív érték kell, hogy legyen: Fm = |Fe| + Fg > 0. A ciklus t1 < t ≤ t2 időintervallumában a szükséges hajtóerő csak az ellenálláserő le-küzdésére fordítódik: Fm = |Fe| > 0. A ciklus harmadik t2 < t ≤ t3 inter-vallumában az erőgép felől gépezeti vonóerő bevezetése nem szüksé-ges: Fm = 0.

3. A jármű ideális működésciklusa során csak a t2 < t ≤ t3 időintervallum-ban kell a fékberendezéssel erőt kifejteni. Az ekkor működő Ff erő ne-gatív, mert a mozgást gátolni igyekszik. A 0 ≤ t ≤ t2 időintervallumban a fék nincs működésben, ekkor Ff = 0. A t2 < t ≤ t3 időintervallumban a jármű mozgását az e < 0 alapellenálláserő és az Ff < 0 fékezőerő ne-gatív előjelűre adódó összege határozza meg kialakítva az af < 0 kons-tans lassulást.

A 40. ábrán az Fe < 0 alapellenálláserő, a 41. ábrán az Fm ≥ 0 gépezeti vo-nóerő, a 42. ábrán pedig az Ff < 0 fékezőerő időbeli lefutását vázoltuk fel.

69

t1

Fe t2 t3

t

40. ábra Az alapellenálláserő időbeli változása a mozgásciklus során.

t1

Fm

t2 t3 t

41. ábra A gépezeti vonóerő időbeli változása a mozgásciklus során.

t1

Ff t2 t3

t

42. ábra A fékezőerő időbeli változása a mozgásciklus során.

3.6 Járművek ideális működési ciklusának energetikai viszonyai

Az ideális működési ciklus teljesítményviszonyainak jellemzésére a P = F v képlet alapján számítható a járműre ható előjeles eredő erő P előjeles teljesítménye. A 43. ábra ezen eredő teljesítmény időbeli változását mu-tatja. Figyelemre méltó, hogy a gyorsítási szakaszon a járműbe bevitt ere-dő teljesítmény függvény alatti pozitív terület, ellentetten egyenlő nagy-ságú a fékezési fázisban a fékezőerő és az alapellenálláserő összege által elvont eredő teljesítmény függvényvonala és a vízszintes tengely közé zárt negatív területtel.

+

−

P

t1

t2 t3

t

43. ábra Az eredő erő teljesítménye

70

Mivel az ideális működési ciklusban működő erőfüggvények feltételezé-sünk szerint szakaszonként konstans-értékűek, és a sebességfüggvény pe-dig szakaszonként lineáris, nyilvánvaló, hogy a szóban forgó teljesítmény időfüggvények is szakaszonként lineárisak lesznek. A 44. ábrán felrajzol-tuk a szóban forgó teljesítmény időfüggvényeket. Az ábra i.) részén az alapellenállás által felemésztett Pe ≤ 0 teljesítmény alakulását, a ii.) részén a gépezet által bevezetett Pm ≥ 0 teljesítmény lefutását, a iii.) részen a fé-kezőerő által elvont Pf ≤ 0 teljesítmény időbeli változását rajzoltuk fel. Az ábra iv.) részén a teljesítmény ábrák összesítve láthatók.

t2 t3

Pm

t1 t

t3

Pf

t1

t2

t

−

t3+

ΣP

t1 t2

t

t3

Pe

t1 t2

t

menetellenállás teljesítmény

motor teljesítmény

fékteljesítmény

összegző ábra

i.)

ii.)

iii.)

iv.)

44. ábra Az egyes teljesítmény összetevők az idő függvényében.

71

A P = P(t) eredő teljesítmény függvény integrálásával kiadódik a jármű-ben tárolt mozgási (kinetikus) energia alakulásának időfüggvénye. Mivel az erdő teljesítmény felfutása időben lineáris, a mozgási energia felfutása origócsúcspontú másodfokú parabolával jelentkezik. A sebességciklus t1-től kezdődő középső, állandó sebességű szakaszán a mozgási energia is állandó. A t2-től kezdődő fékezési szakaszban a lassulást kiváltó eredő tel-jesítmény lineáris változása miatt a mozgási energia ismét másodfokú pa-rabola mentén éri el a zérus értéket a jármű megállásának t3 időpontjában, mely parabola csúcspontja most a t3 pontra illeszkedik. A 45. ábrán felraj-zoltuk a mozgási energia alakulásának most taglalt szerkezetű időfüggvé-nyét.

t3

Wkin max

kinW

t1 t2 t 45. ábra A mozgási energia változása.

3.7 Gépek energiahasznosítása változó veszteségek esetén

A gép bemenő P1 teljesítménye (a bemenő energiaáram) fedezi a P2 hasz-nos kimenő teljesítményt (energiaáramot) és a gép Pv veszteség-teljesítményét. Az energiaáram megmaradásának elve alapján érvényes a P1 = P2 + Pv teljesítmény-mérleg. A viszonyokat a 46. ábra blokk-diagramja szemlélteti. Általános esetben a Pv veszteség-teljesítmény a P2 hasznos kimenő teljesítmény függvénye, azaz Pv = f(P2) = Pv0 + Pvv(P2). A képletben Pv0 az állandó veszteség, a Pvv(P2) pedig a változó veszte-ség.

P1 P2

Pv

GÉP

46. ábra A teljesítmény-mérleg.

72

A gépek fontos alapjellemzője a P2n névleges teljesítmény. Ez a P2n azon legnagyobb kimenő (hasznos) teljesítmény, amelyet a gép időbeli korlá-tozás nélkül, tartósan kifejteni képes. A 47. ábrán felrajzoltunk egy nö-vekvő veszteségteljesítmény függvényt és a gép hatásfok függvényének egy darabját.

B A

PvA

P2A P2B P2

Pv η(P2)

ηmax

PvB

Pv(P2)

αA

47. ábra Veszteség teljesítmény.

Az ábrán a veszteségfüggvény görbéjén felvett A ponthoz az origóból

egyenest húztunk. Ezen egyenes tgαA = A

vA

PP

2

iránytangense fizikai tartal-

mat hordoz: megadja az A pontban az egységnyi hasznos teljesítmény ki-fejtésére eső veszteségteljesítményt. Természetszerű, hogy ezen jelentés alapján a veszteségfüggvény azon pontjai lehetnek relatíve kedvezőbb ha-tásfokot eredményező pontok, ahol ez a tgα iránytangens kicsi, sőt, a le-hető legkisebb. Ezen gondolatmenet alapján a veszteségfüggvényhez az origóból húzott alsó érintőhöz tartozó B pont lesz a legkedvezőbb. Való-ban, ebben a pontban lesz a hatásfok a lehető legnagyobb. A hatásfok ki-fejezését felírva:

vPPP+

=2

2η .

Ha P2 ≠ 0, akkor a képlet az

2

1

1

PPv+

=η

alakba írható. A nevezőben szereplő 2P

Pv hányados éppen a veszteség-

függvény görbéjének a P2 abszcisszájú pontjához az origóból húzott sugár

iránytangensét adja. Közvetlen szemléletből adódik, hogy a 2P

Pv hányados

73

a lehető legkisebb értékét éppen a veszteséggörbét alulról érintő egyenes B érintési pontjában vesz fel, tehát a hatásfok ott lesz maximális, és érté-ke:

B

Bv

PP

2

max

1

1

+=η .

A fentiekből adódok, hogy a veszteségfüggvény alakja jelentősen befo-lyásolja a hatásfok viszonyok alakulását. A következőkben különböző esetekre vizsgáljuk a hatásfok viszonyokat a változó veszteség P2 függ-vényében való változásának jellegzetes eseteire.

1. A változó veszteség azonosan zérus. Ekkor a gép hatásfoka a P2 hasz-nos teljesítmény szigorúan monoton növekvő függvénye, a gép az ηmax legjobb hatásfokát a P2n névleges teljesítmény kifejtése mellett éri el. A viszonyokat a 48. ábra szemlélteti. A kialakuló η = η(P2) hatásfok függvénnyel kapcsolatban két összefüggés emelendő ki:

n

v

PP

2

0max

1

1

+=η , 1)(lim 2

2

=∞→

PP

η .

η(P2)

A B

P2A P2B

η 1

Pv

αA αB

Pv = Pv0

P2n P2

ηmax

P2

48. ábra A hatásfok zérus változó veszteség esetén.

2. A változó veszteség a P2 hasznos teljesítmény lineáris függvénye: Pv = Pv0 + cP2. Ekkor a gép hatásfoka ismét szigorúan monoton növekvő függvénye a P2 hasznos teljesítmény-leadásnak, a gép az ηmax legjobb hatásfokát a névleges teljesítmény kifejtése mellett éri el, de a csúcsha-

74

tásfok értéke kisebb, mint a váltózó veszteség nélküli esetben. Az itt vizsgált lineáris változó veszteségteljesítmény alakulás a mechanikai elven működő gépeknél jellegzetes. A viszonyokat a 49. ábra szemlél-teti. A kialakuló η = η(P2) hatásfok függvénnyel kapcsolatban két ösz-szefüggés emelendő ki:

n

nv

PcPP

2

20max

1

1+

+=η , 1

11)(lim 2

2

<+

=∞→ c

PP

η .

Pv = Pv0 + cP2

P2

P2n P2

Pv

η 1

A B

c+11

ηmax

P2A P2B

49. ábra A hatásfok lineárisan változó veszteség esetén.

3. A változó veszteség a kimenő teljesítmény másodfokú függvénye. Ek-kor a gép hatásfokának A P2 hasznos teljesítmény egy adott P2* érté-kénél lokális maximuma van, a gép ebben az üzemállapotban dolgozik a legjobb hatásfokkal. Ennél a P2* értéknél kisebb vagy nagyobb ki-menő teljesítménynél a hatásfok csökken. Az itt vizsgált másodfokú változó veszteségteljesítmény alakulás a villamos gépeknél jellegzetes. A maximális hatásfok helyére és nagyságára nézve számszerű eredmé-nyek nyerése érdekében a veszteségteljesítményt leíró Pv(P2) =

220 PcPv

∗+ másodfokú parabola és az origóból Pa = λ P2 indított egye-nes B pontbeli érintési feltételének vizsgálata szükséges. Tekintettel ar-ra, hogy az érintő határhelyzetű szelő, elsőnek megoldjuk a másodfokú veszteségparabola és az origón átmenő egyenes metszéspontjai megha-tározására alkalmas másodfokú egyenletet. Ez után érvényesítjük azt a feltételt, hogy az érintés fennállása miatt csak egy metszéspont lehet, tehát másodfokú egyenlet λ-tól függő diszkriminánsa zérus kell, hogy legyen. Innen az érintő egyenes λ meredeksége számítható, és kiadódik

75

az érintési abszcissza is, ami egyben a legkedvezőbb (optimális) terhe-lést, a P2* kimenő teljesítmény értékét is megadja. A parabola és az egyenes metszési problémája a két alakzat egyenletének egyenlővé té-tele alapján:

22

20 PPcPv λ=+ ∗ ,

majd rendezve a következő másodfokú algebrai egyenlet adódik:

0022

2 =+−∗vPPPc λ .

Mivel érintéskor egy (kétszeres) valós gyök van, ezért az egyenlet diszkriminánsa zérus: D = 04 0

2 =− ∗cPvλ . Ebből a λ együtthatót kife-

jezve: ∗= cPv02λ . A λ ismeretében a hatásfok maximumhelyét adó P2* kimenő teljesítmény:

∗∗ =

cPP v0

2 .

A legkedvezőbb P2* kimenő teljesítmény ismeretében a maximális ha-tásfok képlete azonnal adódik:

∗

∗

∗∗+

=+

+=

cPP

PcPvv 0

2

220

max21

1

1

1η .

A viszonyokat az 50. ábra szemlélteti.

1

Pv

P2

P2n P2 ∗

2P

ηmax

220 PcPP vv

∗+=

Pv0

22∗∗Pc

η(P2)

η

50. ábra A hatásfok másodfokú parabola szerint változó veszteség esetén.

76

4. A változó veszteség a kimenő teljesítmény harmadfokú függvénye. Eb-ben az esetben a gép hatásfokának a hasznos teljesítmény egy adott ér-

tékénél, a∧

2P helyen lokális maximuma van, a gép a legjobb hatásfok-

kal a∧

2P teljesítmény kifejtésekor dolgozik, ennél kisebb vagy nagyobb terheléseknél a hatásfok csökken. Ez az eset a hidraulikus gépeknél jel-

legzetes. A hatásfok∧

2P maximumhelyének meghatározását a hatásfok függvény első differenciálhányadosának eltűnési helye adja. A hatás-fok függvény deriválását az alábbiakban jelöljük ki:

0ˆ1

1

2

3202

=+

+P

PcPdPd

v

.

A feladat megoldását az olvasóra bízzuk.

Valamely gép terhelési viszonyait legegyszerűbb formában az x = P2/P2n hányadossal értelmezett un. terhelési tényező jellemzi. A normális üze-met megfogalmazó 0 ≤ P2 ≤ P2n esetben 0 ≤ x ≤ 1. Túlterheléskor, ha P2 > P2n , akkor x > 1. Az e pontban tárgyaltak szerint ha létezik, P2* vagy

∧

2P optimális kimenő-teljesítmény a gépet ezen teljesítmény környezeté-ben célszerű üzemeltetni.

3.8 Gépek periodikus mozgásai Tárgyalásunk kezdetén rögzítsük a periodikus folyamat fogalmát. Vala-mely y(t) függvénnyel leírt folyamat periodikus, ha megadható olyan T periódusjellemző szám, hogy az y(t) értelmezési tartományába eső bár-mely t és a hozzá kapcsolt t + T érték mellett fennáll az y(t + T) = y(t) egyenlőség. Az időben végbemenő periodikus mozgásra ezt úgy fogal-mazhatjuk, hogy található egy T periódusidő, amellyel tetszőleges, a mozgáslefutás értelmezési időintervallumába eső t és t + T időpontban a mozgás tetszőleges kinematikai jellemzőjének értéke megegyezik.

A gépek és járművek működésekor igen sok esetben lép fel periodikus mozgás. A periodikus mozgások egy része lengésképes rendszerek esetén jelentkezik, másik részük a rendszerre kényszerített állandó ω szögsebes-ségű forgómozgással kapcsolatos. A következőkben először a harmonikus lengőmozgást, majd a haladó és forgómozgás egymásba történő átalakítá-

77

sára alkalmas kulisszás és forgattyús hajtóművek mozgásfolyamatait, vé-gül pedig a periodikus mozgás egyenlőtlenségének lendítőkerék alkalma-zásával történő csökkentési módját tárgyaljuk.

3.8.1 Harmonikus lengőmozgás

Mechanikai lengőrendszert úgy alakíthatunk ki, hogy egy tömeget alkal-mas húzó-nyomó rugóval egy helyt álló ponthoz kapcsolunk. Ha a töme-get kimozdítjuk az eredeti nyugalmi helyzetéből, akkor a kimozdítás so-rán a rugó ellenében munkát kell végeznünk, és ez a munka a rugóban, mint deformációs munka tárolódik mindaddig, amíg kezünkkel a tömeg mozgását meggátolva a rúgóerőt ellensúlyozzuk. Ha most elengedjük a tömeget, akkor a rugó visszatérítő ereje következtében a tömeg mozgásba kezd, és sebességének növekedésével kinetikus energiára tesz szert. A magára hagyott lengőrendszerben tehát energiaátalakulási folyamat indult el. A mozgás kezdetén csak a rúgóban volt felhalmozva deformációs munka, a megindult mozgás során ennek egy rész kinetikus energiává alakult. A megindult mozgásfolyamatnak azonban lesz egy pillanata, amikor a mozgó tömeg abba a helyzetbe kerül, ahol a kézzel történt kitérí-tés előtt nyugalomban volt. Mivel ebben a helyzetben nem volt rugódeformáció, ebben a helyzetben nincs deformációs munka a rugóban, hanem a kezdeti össz-energia most a középhelyzeten véges sebességgel átlendülő tömeg kinetikus energiájaként azonosítható. A középhelyzeten átlendült tömeg sebessége csökkenni kezd, mert a rugó most ismét defor-málódik. Elérkezik egy pillanat, amikor a tömeg sebessége zérusra csök-ken (ez a mozgás irányváltásának pillanat). Ekkor a rendszer össz-energiája ismét deformációs munka formájában a rugóban található. A tömegben tárolt kinetikus energia ebben az időpillanatban zérus. Az így elért helyzetből a mozgás indításakor kialakult folyamat ismétlődik meg a ellenkező mozgásértelem mellett. A zéró sebességről visszafelé induló tömeg kinetikus energiája növekszik, és a rugó megfeszítettségének csök-kenése miatt a rugóban tárolódó deformációs munka a kialakult kinetikus energia nagyságával csökken, hiszen az energiamegmaradás elve érvé-nyesül. A mozgás-indítás után T idő elteltével a vázolt folyamat arra ve-zet, hogy a tömeg ismét eléri a mozgás indulásakor felvett pillanatnyi helyzetét. A jelzett fizikai folyamatok – ha egyéb energiaelvezetés vagy energia hozzávezetés nem befolyásolja rendszert – egybevágó formában ismétlődnek T idővel jellemzett periódussal, és egy hosszabb, több perió-dust átfogó mozgásfolyamat alakul ki. Érzékelhető tehát, hogy a kialakult lengőmozgással párhuzamosan folyamatos energiaáramlás és energiafor-ma átalakulás megy végbe. A lengőrendszer tehát két energiatárolót tar-

78

talmaz, a tömeget, mint kinetikusenergia-tárólót és a rugót, mint deformá-ciósenergia-tárolót.

Jelen vizsgálatainkban csak lineáris karakterisztikájú rugókkal bíró lengő rendszerrel foglalkozunk. Az 51. ábrán felrajzoltuk ugyanazt a hengeres csavarrúgót deformálatlan és az F nyomóerővel deformált állapotban, fel-tüntettük továbbá a deformáció és a rugóerő kapcsolatát magadó F = F(y) lineáris rugódiagramot is.

y

F=0

α

Fs = tgα

F = s y

F

51. ábra Lineáris karakterisztikájú rugó és rugódigramja.

Az y deformáció függvényében homogén lineáris változású F rugóerő az F = s y függvénykapcsolattal adható meg, ahol a szereplő s együttható a rugó „merevsége”, mely merevség mértékegysége nyilvánvalóan: [s] = N/m. Az s merevség mellett c = 1/s reciprokát is használhatjuk a rugó jel-lemzésre. Ez a reciprokként értelmezett mennyiség az un. „rugóállandó”, melynek mértékegysége: [c]= m/N. A rugó merevsége tehát „egységnyi rugódeformációt okozó erő nagyságával” van definiálva, míg a rugóál-landó mint „egységnyi erő által okozott rugódeformáció nagyságával” van meghatározva.

A lengőrendszer mozgásviszonyainak tanulmányozásához tekintsük az 52. ábrát! A felső ábrarész a lengő rendszer nyugalmi állapotát jeleníti meg, az alsó ábrarész pedig a tömegközéppontot jobbra y-nal kitérített ál-lapotban a lengés megindulását megelőző helyzetben ábrázolja.

Az egyensúlyi helyzetéből jobbra az y elmozdulás-vektorral jellemzett helyzetben lévő tömegre F = − s y vízszintes irányú, balra mutató értelmű visszatérítő erővektor működik. Mivel más erőhatás a tömegre nem hat, ez a „kitérésfüggő” F erő egyben a tömegre ható vízszintes eredő erő is. Newton II. axiómája szerint az eredő erő egyenlő a tömeg és a gyorsulás szorzatával.

79

F

y

s m

52. ábra Lengőrendszer.

Érvényesítsük ezt a törvényt a lengő rendszerünk tömegére. A tömeg gyorsulása az időfüggő y(t) kitérés-vektor időszerinti második deriváltja. Ezzel és a rugalmas visszatérítő erőre kapott előbbi F = − s y összefüggés szerint az F = m a összefüggés a következő vektoros függvényegyenlet alakot nyeri:

)()( )((t) ),()( tstmt-stmt yyyFyF −=⇒==... .

.

Valamely függvényegyenlet ismeretlene egy függvény az értelmezési tar-tománya feletti teljes menetében. A lengési kitérésre felírt függvény-egyenlet megoldása egy olyan y(t) vektorértékű időfüggvény megtalálását jelenti, amelyet második deriváltjával együtt visszahelyettesítve a függ-vényegyenletbe, azt mindet t-re azonosan kielégíti.

A nyert vektoros függvényegyenletet az egyszerűbb kezelés érdekében skalár függvényegyenletté alakítjuk. Tekintsük ehhez a jobbra mutató po-zitívnak tekintett e egységvektort, ezzel a kitérés és a gyorsulás vektorér-tékű időfüggvények így írhatók fel:

eyey )()( , )()( tyttyt....

== ,

Ahol )( és )( tyty.. már skalárértékű időfüggvények. A mozgást jellemző

vektoros függvényegyenlet a bevezetett kifejezésekkel rendezés után az

eeeeeyy 0)]()([)()()()( =+=+=+ tsytymtsytymtstm..... .

alakot nyeri. Figyelembe véve az egyenlőség-sor jobb oldali két utolsó ki-fejezésével kapcsolatosan azt a tényt, hogy azonos e egységvektorral kife-jezett két mennyiség minden t időpontra fennálló egyenlősége (azonos egyenlősége) maga után vonja az együtthatóként szereplő skalár szorzók

80

minden t-re való egyenlőségét a már skaláris y(t)ismeretlen függvényre vonatkozó

ttsytym ∀=+ , 0)()(. .

függvény-egyenletet kapjuk.

A kívánt y(t) megoldásfüggvényt kísérletező feltevés alkalmazásával, és a megoldás kritérium teljesülésének ellenőrzésével határozzuk meg.

A kísérletező feltevést a kialakuló lengési folyamat periodikusságára vo-natkozó fizikai ismeretünk alapján célszerű szinuszos függvény alakjában keresni. Ennek megfelelően tekintsük hipotetikus megoldásnak az

)sin()( εα += tAty

skalár függvényt, ahol A, α és ε három egyelőre ismeretlen konstans pa-raméter.

A kísérletező feltevés helyességének ellenőrzése céljából kétszer derivál-juk a megválasztott hipotetikus megoldásfüggvényt:

) sin()( , ) cos()( 2 εααεαα +−=+= tAtytAty... .

A hipotetikus megoldásfüggvényt és második deriváltját most visszahe-lyettesítjük a függvényegyenletbe, és megvizsgáljuk, hogy az ismeretlen paraméter-hármas valamilyen értéke mellett teljesíthető-e a megkívánt azonosan nulla tulajdonság. A behelyettesítés után az

ttAstAm ∀=+++− , 0)]sin([)]sin([ 2 εαεαα

egyenlőség azonosan, minden t-re való fennállását kellene érvényesíteni. Mivel a tényleges időfüggést adó sin függvény mindkét tagban azonos ar-gumentummal szerepel, a feladat sikeres megoldása nem látszik lehetet-lennek. Az együtthatókat kell tehát összehasonlítani, és megfelelő kritéri-umot előírni a bevezetett A, α és ε paraméterekre. Valóban, ha érvényesít-jük az

sAmA =2α

követelményt, akkor a visszahelyettesítéssel nyert egyenlőség azonosság-gá válik. Az A konstanssal egyszerűsíteni lehet és kritériumot kapunk arra vonatkozóan, hogy a lengő rendszerünk fontos paraméterei az s merevség és az m tömeg ismeretében milyen körfrekvenciájú szinusz függvények

81

lehetnek a függvényegyenlet hipotetikus megoldásában. Kifejezve α érté-két, a nevezetes

ms

=α

képletet kapjuk a sajátlengés körfrekvenciájára, másképp: sajátkörfrek-

venciájára. A sajátkörfrekvencia mértékegysége: [α] = s

rad . A lengés sa-

játfrekvenciáját a T periódusidő reciproka értelmezi: f = 1/T, mértékegy-sége: [f] = 1/s = Hz. A lengés sajátkörfrekvenciája és sajátfrekvenciája szorosan összefügg: α =2π f .

Az eddigi lépéseink tehát megoldásra, sőt végtelen sok megoldásra (meg-oldásfüggvény seregre) vezettek, melyek az α sajátkörfrekvencia ismere-tében a következő képlettettel vannak meghatározva:

és , )sin()( εε AtmsAty += tetszőleges lehet .

Egy konkrét mozgás meghatározásához – a jelzett kétparaméteres függ-vényseregből való kiválasztásához – tehát további feltételek hozzávételével konkretizálni kell a vizsgált mozgás esetén érvényes A és ε értékét. A feltételeket az által adjuk meg, hogy előírjuk egy rögzített t0 kezdeti időpontra az akkor fennálló helyzet 00 )( yty = és sebesség

00 )( vty =. értékét. A jelzett feltételek előírását a „kezdeti értékek” meg-

adásának nevezzük. Valóban, ha érvényesítjük a két kezdeti értékekre vo-natkozó előírást, akkor egy két egyenletből álló egyenletrendszert kapunk a keresett A és ε érték meghatározására az alábbiak szerint:

, )( )sin()( 01000 yA,εFytmsAty =⇒=+= ε

. ),( )cos()( 0200 vAFvtms

msAty =⇒=+= εε

.

Rátekintve az egyenletrendszerre, azonnal látható, hogy a megoldásként adódó A és ε érték az előírt y0 és v0 értékeken kívül függ a rendszert meg-határozó s merevség és m tömeg értékétől is.

82

Az elmondottak alkalmazását egy példán keresztül mutatjuk be. Legyen az előírt kezdeti időpont t0 = 0, a kezdeti helyzet legyen egy y0 > 0 pozitív érték, a kezdeti sebesség pedig legyen zérus: v0 = 0. A tömeget tehát ki-mozdítjuk az y0 > 0 helyzetbe, és ott egyensúlyban tartjuk (v0 = 0) az indí-tás t0 = 0 időpontjáig. Érvényesítsük az A és ε értékekre fent konstruált egyenletrendszert a most előírt kezdeti feltételek tekintetbe vételével! Ek-kor behelyettesítés után az alábbi egyenletrendszer adódik:

, 0 )0sin( 0 >=+ ymsA ε

. 0 )0cos( =+ εms

msA

A zérus értékű részeket elhagyva az alábbi egyenletrendszerre jutunk:

, 0 )sin( 0 >= yA ε

. 0 )cos( =εmsA

A szereplő egyenletek közül először a második egyenletet szemügyre vé-ve, megállapítható, hogy végtelen sok ε érték megfelelhet megoldásként, a legkisebb pozitív megoldást a ε = π/2 érték adja, a többi ettől ± k π -vel különbözik, ahol k egész szám. Elegendő mármost az ε = π/2 érték to-vábbvitele az első egyenletbe, ahonnan meghatározhatjuk a mozgás A konstansát. Mivel sin(π/2) = 1, kapjuk, hogy az előírt kezdeti feltételek esetén A = y0. A végigvitt gondolatmenet alapján kapott konstansok figye-lembe vételével az előírt kezdeti feltételeket kielégítő mozgás kitérésfügg-vénye a következő lesz:

. 0 , )cos( )2

sin()( 00 ≥∀=+= ttmsyt

msyty π

A megoldásként kapott mozgás )(ty.

sebességfüggvényét és )(ty. .

gyorsu-lásfüggvényét is meghatározzuk a megfelelő deriválások végrehajtásával:

83

, 0 , )sin(- )]cos([)( 00 ≥∀== ttms

msyt

msy

dtdty

.

. 0 , )cos(- )]cos( [)( 002

2

≥∀== ttms

ms

msyt

msy

dtdty

. .

Az 53. ábrán felrajzoltuk a tekintett kezdeti értékekkel meghatározott T periódusidejű harmonikus lengőmozgás foronómiai görbéit.

t T

y&&

y y(t) , )cos( 0= t

msy y0

ms

T π2=

T

)cos(-)( 0 tms

ms

msyty =&&

t

T

)sin(-)( 0 tms

msyty =&

t

y&

53. ábra A harmonikus lengőmozgás foronómiai göbéi.

3.8.2 A kulisszás hajtómű

Mér említést tettünk azokról a mozgásátalakítókról, amelyek az egyenle-tes körmozgást egyenes menti periodikus ide-oda (alternáló) mozgássá alakítják. Ezek jellegzetes reprezentánsa az 54. ábrán felrajzolt kulisszás hajtómű.

A kulisszás hajtómű részeit rövid magyarázattal azonosítjuk:

• egyenesbe vezető támaszok (1)

• egyenesbe vezetett rúdfelek (az egyenesbe vezető támaszokon elcsúszhatnak) (2)

84

• kulissza (az egyenesbe vezetett rúdfelekhez kötve) (3)

• kulisszakő (a kulissza vezetékben függőlegesen elcsúszhat) (4)

• forgattyú csap (a kulisszakő furatába illeszkedve elfordulhat) (5)

• forgattyú kar (6)

• forgattyús tengely (fix állványon csapágyazva) (7)

ωϕ

v

r0 xx

65432

1 1

ϕ

vx

7

54. ábra A kulisszás hajtómű.

A kulisszás hajtómű kinematikai törvényszerűségeinek vizsgálatához azt a koordináta rendszert választjuk, amelynek vízszintes tengelyére illesz-kedik a forgattyús tengely középpontja, függőleges tengelye pedig a for-gattyúkör bal oldali érintő egyenese. A viszonyokat az 55. ábra szemlélte-ti.

r

ω

2r

ϕ

y

x

v = r ω

vk=v sinϕ

55. ábra A kulisszás hajtómű mozgásviszonyai.

Legyen a forgattyúkör sugara r. Jelölje a forgattyús tengely szög-sebességét ω. Ha a t = 0 időpillanatban a forgattyúkar vízszintesen balra mutat, a t > 0 időpontban a vízszintestől az óramutató járásával azonos ér-telemben mért szögelfordulása ϕ = ω t. Jelölje a forgattyúcsap kerületi

85

sebességét v. Ekkor a kulissza elvezetési irányú mozgásjellemzői, az x elmozdulás, a vk sebesség és az ak gyorsulás könnyen felírható. Egyszerű geometriai meggondolás adja az x elmozdulás, mint a t idő függvénye:

x(t) = r[1 - cos ϕ(t)] = r(1 - cos ω t) .

A kulissza sebessége az x(t) elmozdulás ismeretében idő szerinti differen-ciálással adódik:

vk(t) = trtrdtdtx

dtd sin )]cos - (1 [)]([ ωωω == .

A kulissza gyorsulása t szerinti ismételt differenciálással:

ak (t) = tcrtrdtdtv

dtd

k os ) sin ( )]([ 2 ωωωω == .

Mindhárom fent meghatározott mozgásjellemző függvényhez T = 2 π / ω periódusidő tartozik. Nem szorul különösebb bizonyításra, hogy a kulisz-sza mozgására kapott kitérés-, sebesség- és gyorsulásjellemzők időfüggé-se az ω sajátkörfrekvenciájú harmonikus lengőmozgás törvényszerűségét követi. Ennek a kulisszás mechanizmusnak tehát fennáll az a tulajdonsá-ga, hogy az egyenletes körmozgást végző forgattyú középpont kerületi sebességét „levetíti” a kulissza harmonikus lengőmozgáshoz tartozó se-bességébe. Ezért helyes az a megállapítás, hogy a harmonikus lengőmoz-gás felfogható „az egyenletes körmozgás vetületeként”.

Sok gyakorlati kérdés megválaszolásához szükséges a kulissza sebesség- és gyorsulás lefutásának a kulissza x kitérése (a lökete) függvényében tör-ténő megadása. Tekintsük e célból a vk kulisszasebesség és az x kulissza-kitérés kifejezéseit a ϕ forgattyúszög függvényében, és fejezzük ki belő-lük sinϕ és cosϕ értékét, majd emeljük ezeket négyzetre:

2

22

)(sinsin sin

ωϕ

ωϕϕω

rv

rvrv kk

k =⇒=⇒= ,

2

22 )(

cosos )cos1(r

rxr

xrcrx−

=⇒−

=⇒−= ϕϕϕ .

A két négyzetes szögfüggvény összege ismert trigonometrikus azonosság szerint:

1cossin 22 =+ ϕϕ ,

86

Behelyettesítve a kinematikai jellemzők megfelelő kifejezéseit adódik a vk és az x között fennálló

1)(

)(),( 2

2

2

2

=−

+=r

rxrvxvF k

k ω

implicit összefüggés, amely egy ellipszis egyenlete. Az ellipszis közép-pontja az (r,0) pontban van, tehát az x tengelyen éppen a forgattyús ten-gely középpontjával fedésben.

A vk kulisszasebességet az x kitérés függvényében az 56. ábra mutatja. Ha ω = 1, akkor az ellipszis körré válik. Ha ω > 1, akkor az ellipszis függőle-gesen megnyúlt, ha ω < 1, akkor pedig a körhöz képest lapított alakot vesz fel.

ω<1

ω=1

ω>1

r x

vk

2r

56. ábra A kulissza sebessége a kitérés függvényében.

A kulissza ak gyorsulásának az x kitérés függvényében való változását az idő függvényében megadott alakból kiindulva a cosϕ kitérésfüggésének figyelembe vételével kapjuk. Tekintsük tehát az ak(t) korábban felírt kife-jezését:

ak (t) = ϕω cos 2r .

Mivel ϕcos = (r-x)/r , ezért a keresett x-függő kulisszagyorsulás a követ-kező alakban írható fel:

ak (x) =r

r-xr 2ω .

Mint az leolvasható a kapott képletből, a kulissza gyorsulása a löket men-

87

tén lineáris, x = 0 -nál éppen 2ωr , míg x = 2r -nél értéke – 2ωr . A gyorsu-lás zéróátmenete éppen az x = r helyen van. A kulissza gyorsulás x függ-vényében való alakulását az 57. ábrán mutatjuk be.

rω2

ak

r

x

-rω2

2r

57. ábra A kulissza gyorsulása a kitérés függvényében.

3.8.3 A forgattyús hajtómű

Az egyenletes körmozgás és az egyenes menti alternáló mozgás kölcsö-nös átalakítására alkalmas a forgattyús hajtómű. Például dugattyús belső-égésű motoroknál a dugattyú ide-oda váltakozó mozgását alakítjuk át for-gattyús hajtóművel a motor főtengelyének forgó mozgásává. A fordított irányú mozgás átalakításra a dugattyús légsűrítő (kompresszor) példája említhető, amikor is a kompresszor forgattyús tengelyének forgómozgását alakítjuk át a kompresszor dugattyújának ide-oda váltakozó mozgásává. A forgattyús hajtómű mechanizmusát az 58. ábrán mutatjuk be. A szerkezeti részeket rövid magyarázattal azonosítjuk:

• forgattyús tengely (1)

• forgattyú kar (2)

• forgattyú csap (3)

• hajtórúd (4)

• keresztfej (dugattyú) (5)

• egyenesbevezető (henger) (6)

ϕ

r

ω l

1

2 3 4

5

6

x(ϕ)

x=0, ha ϕ=0

58. ábra A forgattyús hajtómű.

88

Legyen a forgattyúkör sugara r, a hajtórúd hossza pedig l. Értelmezzük az λ = r/l hányadost. Ha l → ∞ , akkor λ → 0, és így a hajtórúd egyenesbe vezetett végpontjának mozgása egyre közeledik a kulisszás hajtómű ku-lisszájának mozgásához.

A véges l hajtórúdhossz deformálja a kulisszás hajtóműnél jelentkező ki-nematikai jellemzők alakulását. Az 59. ábra szerint az egyenesbe vezetett hajtórúdvég sebesség maximuma az x elmozdulás függvényében a kulisz-szás hajtóműnél érvényes x = r helyről az r+ε helyre tolódik előre (ε >0), és a maximális sebesség nagysága: vmax ≈ rω(1 + λ2/2), azaz a maximális sebesség megnövekszik a kulisszás hajtóműnél érvényes rω értékhez ké-pest.

xε

v

0 r 2r

vmax

59. ábra A sebesség változása forgattyús hajtómű esetén.

Ezzel egyidejűleg az egyenesbe vezetett hajtórúdvég gyorsulás függvé-nyének zérushelye is a 60. ábrán vázolt módon az r + ε pontba tolódik előre, a forgattyú oldali maximuma rω2(1-λ), keresztfej oldali szélső érté-ke −rω2(1+λ). A mozgás periódusideje azonban T = 2 π / ω marad.

rr+ε

a

0 2r x

rω2(1-λ)

−rω2(1+λ)

60. ábra A gyorsulás változása forgattyús hajtómű esetén.

89

3.8.4 A gépek forgásának egyenlőtlensége – lendítőkerék Belsőégésű motorok nyomatékszolgáltatása a hengerben uralkodó gáz-nyomástól és a hajtó mechanizmus gyorsulási viszonyaitól függően peri-odikus ingadozást mutat. Kétütemű motornál minden második ütemben történik hasznos nyomaték-bevezetés, négyütemű motornál pedig minden negyedik ütemben. A motor szögsebessége még állandó nyomatékterhelés mellett is periodikusan ingadozó lesz. A 61.ábrán felrajzoltuk egy több-hengeres motor forgattyús tengelyére működő eredő hajtónyomaték Φ szöggel periodikus Mh(ϕ) lefutását a forgattyús tengelyének ϕ szögelfor-dulása függvényében. Feltüntettük továbbá a ϕ szögelfordulástól függet-len konstans terhelőnyomatékot megjelenítő vízszintes vonalat is.

Mh(ϕ)

Mt

Mt

W+

Φ Φ Φ

ϕ ϕ0 ϕ0+Φ

Mh(ϕ)

61. ábra A nyomaték periodikus változása.

A 62. ábrán vázolt, a ϕ szögelfordulás függvényében periodikus szögse-bességű forgó mozgás jellemzése az egy perióduson belül előforduló ωmax legnagyobb és ωmin legkisebb szögsebesség alapján az

2minmax ωωω +

=k

képlettel definiált közepes szögsebességgel történik. A forgómozgás egy perióduson belüli egyenlőtlenségét pedig a

kωωωδ minmax −

=

egyenlőtlenségi fok jellemzi.

90

A periodikus hajtónyomaték betáplálást jellemző Mh(ϕ) függvény akkor van megfelelő összhangban a konstans Mt terhelőnyomatékkal, ha az Mh(ϕ) függvénynek a Φ periódusra vett integrálátlaga megegyezik a Mt terhelőnyomaték értékkel, azaz érvényes az

t

Φ

h MdMΦ

=∫+

ϕϕϕ

ϕ

0

0

)(1

összefüggés. Ekkor az egy periódus alatt bevitt hajtóenergia éppen meg-egyezik a terhelés által egy periódus alatt felhasznált energia abszolút ér-tékével, így a kvázi-stacionárius üzem fenntartásának feltétele teljesítve van.

ωmin

ω

ϕ

ωmax ωk

62. ábra A szögsebesség periodikus változása.

A 61. ábrán sraffozással jelöltük azt a W+ munkaterületet, amely a hajtó és terhelő nyomatéki függvény különbségével meghatározott, a forgó rend-szer gyorsítására fordítódó nyomaték munkájának grafikus megjelenítése. Valóban, a szögelfordulás függvényében felrakott Mh(ϕ) hajtónyomatéki függvény alatti terület – amelyet matematikailag határozott integrálással kapunk – fizikailag a nyomaték által a rendszerbe vezetett munkát adja meg. Hasonlóképp, a konstans Mt terhelő nyomaték által a rendszerből kivezetett munka is egy munkaterülettel jelentkezik, azonban mivel Mt konstans, itt egy téglalapterület adódik. Azon [ϕ1,ϕ2] szögelfordulás in-tervallum felett, ahol az Mh(ϕ) hajtónyomatéki függvény magasabban ha-lad, mint az állandó Mt terhelő nyomaték, az Mh(ϕ) által bevezetett munka nagyobb mint az Mt terhelő nyomaték által elvont munka, és az így je-lentkezett W+ munkatöbblet a rendszer kinetikus energiájának növekedé-sében jelenik meg. A W+ munkatöbblet hagyományos neve: „munka-

91

túlmány”. Ezt a tényt fogalmazza meg a munkatétel, amely kimondja, hogy „a forgó rendszerre ható eredő nyomaték egy adott szöginterval-lumban végzett munkája egyenlő a munkavégzés végén és a munkavégzés elején a forgó rendszerben jelen lévő kinetikus energia különbségével”. Mivel a 63. ábra szerint a ϕ1 szöghelyzetben a forgó rendszer szögsebes-sége ωmin, és a ϕ2 szöghelyzetben a forgó rendszer szögsebessége ωmax , a munkatétel a következő alakot nyeri:

W+ = 2min

2max 2

121])([

2

1

ωωϕϕϕ

ϕ

Θ−Θ=−∫ dMM th .

ϕ1 ϕ2

W+

ϕ

ωk

ω

Mh

ωmax

ωmin

63. ábra A nyomaték és a szögsebesség változása.

A munkatételben szereplő Θ mennyiség a forgó rendszer össz-tehetetlen-ségi nyomatéka. A munkatétel jobb oldalán álló kifejezést nevezetes szor-zat formára hozva a következő összefüggés sor adódik:

).)((21

)(21

21

21

minmaxminmax

2min

2max

2min

2max

ωωωω

ωωωω

+−Θ=

=−Θ=Θ−Θ=+W

Szorozzuk meg a jobboldali kifejezést formális bővítésként az egységnyi értékű ( kk ωω / ) törttel, ekkor a következő alakot kapjuk:

W+ = kk

ωωωω

ωω2

)()( minmaxminmax +−Θ .

92

A kapott kifejezés első törtje a korábban bevezetett δ egyenlőtlenségi fo-kot jelenti, a második törtben pedig az ωk közepes szögsebesség definíció-ja ismerhető fel. Ezekkel a képletünk a következő tömör alakot ölti:

W+ = 2kδωΘ .

A most kapott formulánk megadja a lehetőséget arra, hogy méretezzük az adott δ egyenlőtlenségi fok-korlát betartását lehetővé tevő lendítőkeret. Ha ugyanis a δ egyenlőtlenségi fok és az ωk közepes szögsebesség értéke rögzített, akkor W+ ismeretében kiszámítható a megadott kinematikai fel-tételek teljesítéséhez szükséges azon

Θ = 2k

Wδω

+

össz-tehetetlenségi nyomaték érték, amelynek a rendszerben jelen kell lennie. Amennyiben a lendítőkerék nélküli forgó rendszerben a szerkezeti adottságokból adódóan jelen lévő tehetetlenségi nyomaték értéke Θg, ak-kor két gyakorlati eset lehetséges:

1.) Ha Θg ≥ Θ, akkor a megadott δ és ωk feltételek biztosításához nincsen szükség lendítőkerékre,

2.) Ha Θg < Θ, akkor a megadott δ és ωk feltételek biztosításához Θl = Θ − Θg tehetetlenségi nyomatékú lendítőkerékre van szük-ség.

A lendítőkerék kialakításánál azon alapelv érvényesítendő, hogy a tömeg zömét a fogástengelytől a lehetőleg távolra helyezzük. Ezt azzal magya-rázhatjuk, hogy a forgástengelytől távolabbi tömegelemek hatékonyabban vesznek részt a test össz-tehetetlenségi nyomaték értékének kialakításá-ban, ugyanis hozzájárulásuk az össz-tehetetlenségi nyomaték értékéhez a forgástengelytől vett távolságuk négyzetével arányos.

A motor forgattyús tengelyének végére csavarkötéssel felerősíthető lendí-tőkereket a 64. ábrán vázoltunk fel. A tehetetlenségi nyomaték fogalmát és [Θ] = kg m2 mértékegységét a hallgatóság megismerte a középiskolai fizika tanulmányozása során.

93

64. ábra Lendítőkerék.

A fogalom felfrissítése érdekében a 65. ábrán az r sugarú körpályán moz-gó m tömegpont esetére és a különböző ri sugarú körpályákon egymással kényszerkapcsolatban közös forgástengely körül forgó mi tömegpontok rendszerére adjuk meg a tehetetlenségi nyomaték számítására alkalmas formulákat.

mr

Θ = mr2

m2r1

m1

r2

ri

mi

mn

rn

∑=

=Θn

iiirm

1

2

65. ábra Tömegpontok tehetetlenségi nyomatéka.

Végül a 66. ábrán a műszaki munkában alapvetően fontos R külső sugarú, m tömegű „telihenger” alakú testnek a henger tengelyére mint forgásten-gelyre vett tehetetlenségi nyomatékát adjuk meg.

R

telihengerΘ = 0,5 mR2 Θ = Θ1 – Θ2 − Θ3

Θ2Θ3 Θ1

m

66. ábra Lendítőkerék tehetetlenségi nyomatékának számítása.

94

A 66. ábra szerinti lendítőkerék tehetetlenségi nyomatékát ki lehet számí-tani a teli-hengerre vonatkozó képlet többszöri alkalmazásával, oly mó-don, hogy előbb a befoglaló telihenger Θ1 tehetetlenségi nyomatékát szá-mítjuk ki, majd ebből kivonjuk az üreges részek kialakítása céljából eltá-volítandó ugyancsak telihenger alakú részek Θ2 és Θ3 tehetetlenségi nyo-matékát.

4 Járművek áramlástani folyamatai Az áramlástani vizsgálatok első részében a folyékony közeg tulajdonsága-it egyszerűsítve, az „ideális folyadék” tulajdonságok érvényességének fel-tételezésével élünk. Az ideális folyadékot az alábbi négy tulajdonság jel-lemzi:

1. homogén kontinuum,

2. benne súrlódás nem lép fel,

3. csak nyomófeszültséget képes átvinni,

4. kohéziós hatás nem lép fel.

A későbbi tárgyalásunkban pontosítani fogjuk az ideális folyadék feltéte-lezésével nyert eredményeket, és figyelembe vesszük az áramlásai veszte-ségeket is.

4.1 A nyugvó folyadék egyensúlya

4.1.1 A folyadék nyomása

A folyadéktér valamely adott P pontjának környezetként felveszünk egy kicsi ∆A területű négyzet alakú síkdarabot, úgy, hogy a P pont a felület középpontjában helyezkedjen el. A viszonyokat a 67. ábra mutatja. A fel-vett működő nyomóerő legyen ∆F nagyságú. A P pontban értelmezett

nyomás közelítő értékét a∆A∆AP∆F∆APp ),(),( =∗ hányados értelmezi.

∆A

∆F ∆F ⊥ ∆A

P

67. ábra A nyomóerő a P pontban.

95

A P pontbeli nyomás pontos meghatározása határátmenettel adódik:

PA dA

dF∆A∆AP∆FPp ==

→∆

),(lim)(0

.

Mint az a definiáló összefüggésből leolvasható a nyomás felületegységre ható fajlagos erő. A nyomás nem függ a definiálásához használt felülete-

lem térbeli állásától. A nyomás mértékegysége: [p] = 2mN

= Pa.

Sok gyakorlati problémánál a nyomásviszonyok olyanok, hogy a nehéz-ségi erőtér jelenléte miatti nyomásváltozások elhanyagolhatók. Ebben az esetben Pascal tétele szerint a folyadék által kitöltött teljes folyadéktér minden pontjában a folyadéknyomás megegyezik. A Pascal tétel gyakorla-ti bizonyítását adja a Heron-labdával végzett kísérlet. Egy gömb alakú edényre a 68. ábra szerint hengeres kivezető csövet forrasztunk, a henge-res csőbe jól záró, de nem szoruló dugattyút helyezünk, mely dugattyúhoz elegendően hosszú, a gömbbel ellentétes irányban kivezetett dugattyúrúd kapcsolódik, hogy a dugattyú a csőben tengely-irányban így mozgatható legyen. A gömb alakú edényre a meridiángörbéi mentén egyenletes osz-tásban igen kis átmérőjű lyukakat készítünk. Mármost a gömb alakú edényt vízzel megtöltve és a dugattyút a gömb felé mozgatva folyadék-nyomás keletkezik és a folyadék a gömbön készített kis lyukakon ke-resztül radiálisan kilövell, megfigyelhetően a tér minden irányában gya-korlatilag azonos hosszú folyadéksugár távozik. A kialakuló kép meg-győzheti a szemlélőt, hogy a gömb alakú edényben a kifolyónyílásoknál azok eltérő iránya ellenére a nyomáseloszlás egyenletes.

68. ábra Heron-labda.

96

4.1.2 A súlyos folyadék egyensúlya – a hidrosztatika alaptétele

A tartályban nyugvó folyadék esetén a nyomás változása a mélység függ-vényében kimutathatóan lineáris. Ha p a nyomás és z a mélységi koordi-náta, akkor válasszunk egy kisméretű, függőleges tengelyű hengeres fo-lyadékrészt, melynek súlyát ∆G jelöli. A kis henger z mélységben lévő felső lapjára a p1 folyadéknyomásból lefelé ∆F1 erő működik. A henger z + ∆z mélységben lévő alsó lapjára pedig az ott uralkodó p2 folyadéknyo-másból felfelé ∆F2 erő működik. A 69. ábrán jelzett három erő egyensúly-ban van, ezért érvényes, hogy

∆F1 + ∆G − ∆F2 = 0.

z

zA∆

A∆

F1∆

F2∆

p1

p2

G∆∆

ρ

0 p0 p

z

zp( )

α

p0

69. ábra A hidrosztatikai nyomás.

Figyelembe véve a henger alap és fedőlap ∆A felületét, és hogy a nyo-másból származó erőt a nyomás és a felület szorzata adja, továbbá, hogy a súlyerőt pedig a térfogat és a sűrűség szorzataként kapott tömegnek a g nehézségi gyorsulással vett szorzatként számíthatjuk, a következő egyen-let adódik:

p(z)∆A + ∆A∆zρg − p(z + ∆z)∆A = 0.

A ∆A –val elosztva mindkét oldalt, majd kifejezve a nyomás növekményt a bal oldalon, előbb a

p(z + ∆z) − p(z) = ρg∆z ,

majd mindkét oldalt ∆z-vel elosztva és ∆z→ 0 határátmenet után a

gdz

zdp ρ=)(

97

függvényegyenletet kapjuk az ismeretlen p(z) nyomásfüggvény meghatá-rozására. A kapott egyenlet mindkét oldalát z-szerint integrálva, és figye-lembe véve, hogy a határozatlan integrálásnál egy tetszőleges valós kons-tans belép, kapjuk a

p(z) = ρgz + c

c paraméteres függvénysereget. A kapott végtelen sok függvényből a pe-remfeltétel figyelembevételével tudjuk kiválasztania a számunkra érdekes egyetlen nyomásfüggvényt. A peremfeltétel most azt rögzíti, hogy a nyo-másnak a z = 0 mélységben, azaz a folyadéktükörnél meg kell egyeznie a p0 környezeti nyomással. Behelyettesítve a peremfeltételeket a p(z) függ-vénybe, a c meghatározására alkalmas

p(0) = p0 = ρ g 0 + c = c

egyenlőségsor adódik, ahonnan: c = p0. Így a folyadéktérbeli nyomásnak a mélység függvényében való változását a

p(z) = p0 + ρ g z

kifejezés – a hidrosztatika alaptörvényeként ismert – képlet adja meg.

A következő alkalmazási példa a 70. ábra szerinti hidrosztatikus emelő működését mutatja be. A működés elve Pascal tételében rejlik, miszerint összefüggő súlytalan folyadéktérben a nyomás mindenütt ugyanakkora. Így ha az összefüggő folyadéktér nyomása két különböző méretű dugaty-tyúra hat, akkor a nyomással kapcsolatos két felületi erő (a két dugattyú-erő) is eltérő lesz. Legyen F1 az A1 felületű kisebb átmérőjű dugattyún ki-fejtett erő, ekkor a nagyobbik, A2 felületű dugattyún fellépő erő: F2= F1A2/A1, mert a p nyomás Pascal törvénye szerint a teljes folyadéktérben azonos, és ezért akár p = F1/A1, akár p = F2/A2 alakban felírható. Adódik az emelő k = F2/F1 > 1 erőmódosítása.

... ...... ...... ... ... ...

... ...... ... ... ... ... ...... ...... ...

F1

pA1p A2

F2

70. ábra Hidrosztatikus emelő.

98

4.1.2 Nyugvó folyadék energiatartalma és munkaképességei

A 71. ábra szerinti A keresztmetszeti felületű hengeres tartályban nyugvó ρ sűrűségű folyadék esetén a folyadéktükör alatti a z mélységben felvett ∆h vastagságú réteg tömege ∆m = ρ A ∆h. A vizsgált folyadékréteg súlya ∆G = g ∆m, ahol g a nehézségi gyorsulás. A vizsgált ∆G súlyú folyadék-réteg valamely alapszinttől számított h magasság esetén ∆W = ∆m g h helyzeti energiatöbblettel bír a h = 0 szinten elhelyezkedő azonos ∆m tö-megű folyadékrészhez viszonyítva. Az említett ∆W helyzeti energia érté-ket a vizsgált folyadékréteg ∆G súlyával elosztva megkapjuk a vizsgált folyadékrétegben elhelyezkedő egységnyi súlyú folyadék w = ∆W/∆G = h fajlagos helyzeti energiáját. A mértékegységeket tekintve: [w] = [h] = [∆W]/[∆G]= Nm/N = m. A súlyegységre eső helyzeti energia tehát ma-gasság mértékegységű, ez indokolja az „energiamagasság” megnevezés használatát.

z

h

G∆

∆ h

H

......

......

......

......

......

......

...

...

...

...

...

...

...

...

......

......

...

...ρ

71. ábra A nyugvó folyadék helyzeti energiája és energiamagassága.

A z mélységben elhelyezkedő folyadékrésznek azonban további munka-képesség összetevője is van. A 72. ábra szerint a z mélységben uralkodó p - p0 túlnyomás a tartály falára merőleges f keresztmetszeti felületű víz-szintes kivezető csőbe helyezett f felületű dugattyú súrlódásmentes ∆x elmozdulása esetén a folyadék ∆L = (p − p0) f ∆x = ρ g z f ∆x nagyságú munkát végez (munka = erő · elmozdulás). Ha ezt a munkát a kicsi ∆V = f ∆x térfogatban lévő folyadékrész ∆G súlyával elosztjuk, akkor az l = ∆L/∆G = ρg z f ∆x/ρg f ∆x = z = (p − p0)/ρg nyomásból származó fajlagos munkaképességet kapjuk. Az egységnyi folyadéksúlyra vonatozó z = (p - p0)/ρg munkaképesség mértékegysége a z mértékegységével egyezik meg, így szintén magasság mértékegységű, ezért méltán nevezik „nyo-másmagasságnak”.

99

zF

G∆

∆

......

......

......

......

......

......

...

...

...

...

...

...

......

......

.........

...

...

f

x∆ ρ

...

...

...

72. ábra A nyomásból származó munkavégző.

Tekintetbe véve, hogy a folyadéktükör alapszinttől számított H magasság esetén a H = h + z összeg tetszőleges folyadékszint kiválasztása esetén mindig teljesül, adódik a H = w + l egyenlőség is, ha a magasság értékek helyett beírjuk a levezetéseink eredményeként meghatározott, és velük megegyező mérőszámú egységnyi folyadéksúlyra vonatkozó fajlagos munkaképességeket. Ebből kiolvasható a következő tétel:

A tartályban nyugvó folyadék esetén a tartály aljától számított tetszőleges 0 ≤ h ≤ H magasságban elhelyezkedő egységnyi súlyú folyadékrész mun-kaképessége a h megválasztásától függetlenül ugyanakkora, és a tekintett h geometriai magasság, valamint a z = (p - p0)/ρg nyomásmagasság ösz-szegével, azaz levezetésünk szerint a folyadéktükör H magasságával egyenlő (73. ábra).

0

z

h

G∆

∆ h

H

H w

h

... ...

... ...

... ...

... ...

... ...

... ...

...

...

...

...

...

...

... ...

... ...

... ...

...

...

z

0

z h

ρ

73. ábra A folyadék össz munkavégző képessége.

100

4.1.3 Nyugvó folyadék és szilárd test egyensúlya, hajók úszása és stabi-litása

A 74. ábra szerint elképzelhetjük, hogy a nyugvó folyadéktérben elhatáro-lunk egy zárt felülettel körülhatárolt (az ábrán vonalkázott) folyadéktérfo-gatot. Tekintettel arra, hogy a nyugvó folyadéktér egyensúlyban van, ezért az elhatárolt térfogatban elhelyezkedő folyadék G súlyát a zárt felület pontjaiban fennálló helyi folyadéknyomásból származó, a felületre merő-leges felületi erőrendszer F eredője éppen kiegyensúlyozza, azaz G és F vektoriális összege zérusvektor.

G

F

ρ p0

....

....

....

....

....

....

........

..

..

..

..

....

....

....

....

....

..

..

..

74. ábra Nyugvó folyadék és szilárd test egyensúlya.

Amennyiben az elhatárolt térfogatból a folyadékot eltávolítanánk, és va-lamely, a folyadék sűrűségétől eltérő más sűrűségű szilárd anyaggal tölte-nénk ki, akkor a G erő megváltozna. Ha a behelyezett szilárd anyag sűrű-sége nagyobb lenne, mint a folyadék sűrűsége, akkor mivel a felületen működő nyomásból származó F erő nem változna, a nagyobb G miatt egy lefelé mutató értelmű eredő erő keletkezne és a behelyezett test lefelé mozogna, és elsüllyedne. Ha azonban a behelyezett szilárd anyag sűrűsé-ge kisebb lenne, mint a folyadék sűrűsége, akkor mivel az F erő ekkor sem változna, a kisebb G miatt egy felfelé mutató értelmű eredő erő ke-letkezne és a behelyezett test felfelé mozogna, és a felszínre emelkedve végül is részleges bemerülés melletti egyensúlyi állapot, úszás következne be. A folyadéktér felszínére emelkedett hasábszerű szilárd test úszását jel-lemző egyensúlyi helyzetet a 75. ábra mutatja.

101

ρ

p0

......

......

......

......

......

...

......

...

...

...

...... ... ......

...

...

... ...

...

...

......

......

......

......

......

...... ...

...

...

G

Ff

ρ s

ab

A

75. ábra A szilárd test részleges bemerülése – úszása.

Az úszás ténye miatt a szilárd test ρs sűrűsége most szükségképp kisebb, mint a folyadék ρf sűrűsége. Legyen az ábrán vázolt hasáb rajz síkjára merőleges síkokban fekvő alsó és felső felülete A, ekkor a folyadékba me-rült alsó felületre felfelé ható F1 felhajtóerő b bemerülési mélység esetén F1 = ˙(p0 +ρ g b) A. A folyadék felszínen és annak közel környezetében érvényes p0 nyomás figyelembe vételével a hasáb felső vízszintes felület-re a nyomásból származóan ható erő nagysága F2 = p0A. A tekintett ha-sábra a vízszintes felületeire működő nyomásból adódó eredő felületi erő:

F = F1 – F2 = (p0 +ρf g b)A - p0A =ρ g b A.

Vegyük most figyelembe, hogy az úszó hasáb lefelé irányuló súlyereje G = ρs g a A alakban adódik. Mármost a felfelé ható F és a lefelé ható G erő eredője egyensúly esetén zérust kell, hogy adjon. Az így felírható F − G = ρf g b A – ρs g a A = 0 egyenlet alapján már a keresett b bemerülési mély-ség meghatározható:

f

sabρρ

= .

A kapott képletből is látható, hogy a részleges bemerülés melletti egyen-súly – az úszás – megvalósulásának feltétele az, hogy teljesüljön a ρs/ρf < 1 reláció, vagy ami ugyanaz, álljon fenn a ρs < ρf reláció.

A folyadékban részleges bemerülés mellett úszó test egyensúlyának stabi-litása a test tömegközéppontjának és a metacentrumának relatív helyzeté-től függ.

A test M metacentrumát a 76. ábra szerint az F felhajtóerő hatásvonalának és az egyensúlyából ∆ϕ szöggel a hossztengely körül kibillentett úszó test S tömegközéppontján átmenő (az egyensúlyi helyzetben eredetileg függő-leges) szimmetriasíkjának metszéspontja definiálja. Ha a metacentrum a test tömegközéppontja felett van, akkor az úszó test egyensúlyi helyzete

102

stabilis, míg ha alatta van, az egyensúlyi helyzet labilis. A 76. ábrán vá-zolt esetben M magasabban van, mint S ezért tehát az eredeti egyensúlyi helyzet stabilis, mivel a ∆ϕ szöggel kibillentett állapotban az F felhajtó erő hatásvonalának az S tömegközépponttól mért vízszintes távolságaként adódó k karral számítható k F nyomaték az egyensúlyi állapotot visszaál-lítani igyekszik. Hasonló gondolatmenettel belátható, hogy ha a test S tö-megközéppontja magasabban van, mint az M metacentrum, akkor az egyensúlyi helyzet labilis, mert a ∆ϕ szöggel történő kibillentés után a ki-alakuló k F nyomaték a ∆ϕ szöget tovább kívánja növelni, és bekövetke-zik az oldalra borulás.

....

....

....

..

....

..

..

.... ..

......

..

..

..

..

....

....

....

.. .. ..

G

F

dM

∆ϕ

k

S

sf

76. ábra Az úszás stabilitása.

4.2 Folyadékáramlások

4.2.1 Alapfogalmak

A folyadékáramlások vizsgálatában három alapmennyiség játszik fontos szerepet. A vizsgálat időszakában a folyadéktér pontjaiban a nyomás, a sebesség és gyorsulás alakulásának ismeretére törekszünk. A nyomásvi-szonyokat a hely és az idő függvényében változó p(r,t) nyomásmező jel-lemzi. A sebességi viszonyokat szintén a hely és az idő függvényében változó v(r,t) sebességi mező ismerete alapján lehet vizsgálni. A gyorsu-lási viszonyok vizsgálatához pedig az ugyancsak kétváltozós a(r,t) gyor-sulásmező megadása szükséges. Amikor az áramlási viszonyokat vizsgál-juk, nem bocsátkozunk az egyes folyadékelemek mozgástörténetének fel-tárásába és elemzésébe, hanem arra koncentráljuk figyelmünket, hogy az áramlási tér adott r helyvektorú pontjában a t időpillanatban milyen az éppen ott tartózkodó folyadékelemre ható nyomás, milyen az áramlás so-rán éppen ott áthaladó folyadékelem sebesség- és gyorsulás vektora. Az ilyen szemlélettel történő tárgyalást Euler-féle tárgyalásmódnak nevez-zük, megkülönböztetést téve az egyes folyadékelemek egyedi történetét vizsgáló Lagrange-féle tárgyalásmódtól. Összefoglalva az elmondottakat

103

a folyadékáramlás viszonyainak tanulmányozásakor a következő három helytől és időtől függő függvénnyel kapcsolatosan kell vizsgálódnunk:

1. A nyomást jellemző p = p (r,t) skalármező,

2. a sebességet jellemző v = v(r,t) vektormező, és a

3. a gyorsulást jellemző a = a(r,t) vektormező.

A szereplő függvényekben az r helyvektor befutja a vizsgált áramlási te-ret, míg a t idő a vizsgálat [t0, t0+T] időintervallumát.

A három jellemző mező közül a gyorsulásmező igényel bővebb magyará-zatot. Az áramlási tér valamely adott pontjában jelenlévő folyadékelem gyorsulása általános esetben ugyanis két vektorkomponens összegeként adódik. Az egyik komponens, az al(r,t) lokális gyorsulás vektor a rögzí-tett r helyen a sebességvektor időbeli változását méri, ennek megfelelően a rögzített r helyen érvényes v(r,t) sebességmező idő szerinti parciális de-riváltját kell meghatározni. A definiáló képlet ezek szerint:

tttl ∂

∂=

),(),(f e d rvra .

A másik gyorsuláskomponens az ak(r,t) konvektív gyorsulás vektor pe-dig azzal kapcsolatos, hogy az adott pontba érkező folyadékelemnek a ∆t idővel előbbi r − ∆r helyzetében más, ∆v -vel eltérő sebessége volt, mint az adott, vizsgált r helyvektorú pontban fennálló v sebesség. A konvektív gyorsulás általános megadása tenzormennyiségekre vonatkozó ismerete-ket kíván. Mivel ezen matematikai objektumok tárgyalása csak a felsőbb évfolyamon kerül sorra, ezért a jelen tárgyalásunkban a konvektív gyorsu-lás kérdését csak az előírt görbe menti folyadékáramlás v = v(s,t) két ska-lár változós függvényként jellemzett sebességi mező egyszerű esetére vizsgáljuk. Az előírt pályagörbén a vizsgált helyet most a kezdőponttól a vizsgált pontig terjedő s pályaívhossz azonosítja. Ha ∆s jelöli az adott ponthoz érkező folyadékelem ∆t idő alatt befutott kicsi pálya-ívelemét, akkor az s helyen és a t időpontban a konvektív gyorsulás közelítő értékét az ak ≈ (∆v/∆s)(∆s/∆t) szorzat értelmezi, és ebből ∆t → 0 határátmenettel a pontos konvektív gyorsulást az

),(),(),(lim),(0

tsvs

tsdtds

sts

ts

svdef

tstk ∂

∂=

∂∂

=∆∆

∆∆

=→∆

vva

határérték adja. A kifejezésben szereplő első tényező a sebességvektor ív-

104

hossz szerinti parciális deriváltja, míg a második tényező az s helyen a t időpontban fennálló sebesség előjeles nagysága. A 77. ábrán egy áramlási tér egy darabját vázoltuk fel, ahol az áramlás sebességét a csőszerű térrész középvonalának s ívhosszával adtuk meg. Az áramlási tér alakja olyan, hogy valamely összenyomhatatlan folyadék állandósult, folytonos áram-lása esetén a jelzett középvonal menti sebesség nem lesz állandó, mivel a nagyobb keresztmetszetű részen időegység alatt ugyannyi folyadéktö-megnek kell áthaladnia, mint a szűkebb részen. Ebből a meggondolásból adódóan a nagyobb keresztmetszetnél a sebesség kisebb abszolút értékű kell, hogy legyen, mint a kisebb keresztmetszetben.

v3

v2 s2 s1 v1

s3

0 s1

s3

77. ábra A sebesség változása az ívkoordináta mentén.

Ha a vizsgált áramlási tér pontjaiban az al(r,t) lokális gyorsulás minde-nütt zérus, akkor az áramlást időállónak, idegen szóval stacionáriusnak nevezzük. Ellenkező esetben az áramlás instacionárius. Fontos megje-gyezni, hogy időálló áramlásban a konvektív gyorsulás akár az áramlási tér minden pontjában is zérustól különböző lehet. A 78. ábrán felrajzolt változó keresztmetszetű áramlási térben stacionárius áramlás megy végbe. A kiválasztott 1, 2 és 3 jelű pontokban érvényesülő sebességek eltérő elő-jeles nagyságai azonban időfüggetlen konstans értékek.

tt

t

t t

t

v2 v1

v3 v1=állandó1 v2=állandó2 v3=állandó3

1 2

3

78. ábra A sebesség változása stacionárius áramlás mellett.

105

4.2.2 Áramvonal, áramcső kontinuitás

Az áramlási tér minden pontjában képzeljük el felrakva az ott uralkodó áramlási sebesség vektorát. Ekkor a 79. ábra szerint az áramlási térben ha-ladó azon görbe vonalakat, amelyek minden pontjában az ott uralkodó se-besség vektorának tartóegyenese az adott pontban érinti a görbét, áram-vonalaknak nevezzük.

v1

v2

v3 v4

79. ábra Áramvonal.

Vegyünk fel a 80. ábra szerint az áramlási térben egy zárt g görbét. Az így felvett zárt görbe minden pontján futtassunk keresztül áramvonalat. Eljá-rásunk egy csőszerű felülethez vezet, amely az áramlási térben áramcsö-vet jelöl ki. Az elmondottak szerint az áramcső palástja áramvonalakból épül fel. Tekintettel arra, hogy az áramvonalak érintői mindenkor sebes-ségirányúak, és így az áramvonalak alkotta paláston elhelyezkedő folya-dékelemek a palástra merőleges sebesség összetevővel nem rendelkezhet-nek, ezért folyadék az áramcső paláston nem léphet át. Ebből az követke-zik, hogy az áramcsőbe folyadék csak a palástot metsző felület (speciáli-san sík) zárt metszésgörbéje által meghatározott "keresztmetszeti" felüle-ten át léphet be- vagy ki.

S

g

80. ábra Áramcső.

Tekintsünk most egy olyan vékony áramcsövet, amelynek a keresztmet-szetei mentén a 81. ábra szerint a sebesség eloszlás már egyenletesnek te-kinthető. Jelölje a vékony áramcső valamely keresztmetszetének felületét A, akkor az A keresztmetszet minden pontjában közel egyenletes eloszlású v sebesség figyelembevételével összenyomhatatlan közeg esetében bár-mely keresztmetszetben érvényes az A v = állandó összefüggés. Ez a fo-lyadékáramlás folytonossági (kontinuitási) tételének legegyszerűbb alakja.

106

Mivel az A v szorzat az A keresztmetszeten időegység alatt átáramló fo-lyadéktérfogatot adja meg, ez értelmezi a Q& = A v térfogatáramot. Ha Q& értékét megszorozzuk a közeg ρ sűrűségével, akkor az m& tömegáramot kapjuk. Könnyen adódik, hogy a mértékegységeket tekintve [Q& ] = m3/s, ill. [ m& ] = kg/s. Összenyomható közeg vékony áramcső menti stacionárius áramlására a kontinuitási tétel az m& = ρ A v = állandó alakban érvényes.

A

v

ρ 1

1

1

Av

ρ 22

2

∆

∆

81. ábra A folytonosság tétele.

4.2.3 Az ideális folyadékra vonatkozó Bernoulli egyenlet

A 82. ábrán vázolt vékony áramcsőben kialakuló stacionárius áramlás jel-lemzéséhez tekintsük az áramcső két, nem egybeeső keresztmetszetét.

A vizsgált áramcső belépő keresztmetszetét az 1, a kilépő keresztmetszet-ét pedig a 2 index azonosítja. Az 1 jelű pontban az áramlási sebesség v1 nagyságú, a nyomás p1 nagyságú, míg a pont valamely referenciasíktól számított magassága h1. A 2 jelű pontot hasonlóképpen a v2, p2 és h2 ér-ték-hármas jellemzi. Az áramló folyadék fajlagos össz-munkaképességét leggyakrabban a folyadéksúlyegységére eső mozgási energia (kinetikus energia) értékéből, a súlyegységére eső helyzeti energia értékéből és a fo-lyadék súlyegységre vonatkoztatott nyomásból származó (külső), munka-képességéből számított összeggel jellemezzük.

A v ρ 1

1

A v

ρ 22p 2

h 2p 1 h 1

82. ábra Bernoulli egyenlet.

107

A most bevezetett, a folyadék súlyegységére fajlagos munkaképességek magasság mértékegységet kapnak, mivel W munka és FG súlyerő esetén a W/FG hányados mértékegysége: [W/FG] = Nm/N = m. A elmondottak alapján mindig szem előtt kell tartani a bevezetett "magasság" megneve-zések energetikai tartalmát. Hangsúlyozni kell, hogy míg a fajlagos kine-tikus energia és a fajlagos helyzeti energia a tekintett súlyegységbe zárt anyagmennyiséghez kötött érték, addig a nyomásból származó fajlagos munkaképesség nem a tekintett súlyegységbe zárt anyagmennyiséghez kötött érték, hanem kívülről, a vizsgált, egységnyi súlyú anyagmennyiség-re kívülről, a környezetében uralkodó folyadéknyomásból eredő átvitt munkaképesség. Ezek után megadjuk a bevezetett fajlagos munkaképes-ségek rövid megnevezéseit:

• fajlagos mozgási energia: v2/2g → sebességmagasság,

• nyomásból származó fajlagos munkaképesség: p/ρg → nyomásmagasság,

• fajlagos helyzeti energia: h → geometriai magasság.

A fentiekben elmondottak alapján a veszteségmentes, stacionárius áram-lásra vonatkozó Bernoulli egyenletet, mint az össz-munkaképesség áram-cső menti megmaradási tételét fogalmazhatjuk meg. Ha a szóbanforgó össz-munkaképesség e = v2/2g + p/ρg + h, akkor alkalmazva az össz-munkaképesség megmaradására vonatkozó elvet az 1 és 2 jelű kereszt-metszetekre, akkor előbb az e1 = e2 egyenlőséget, majd kifejtett alakban a

v12/2g + p1/ρg + h1 = e1 = e2 = v2

2/2g + p2/ρg + h2 .

egyenlőségsort írhatjuk fel, ami a stacionárius áramlásra vonatkozó Ber-noulli-egyenlet alapformája. A felírt összefüggésben a vékony áramcső-darab végkeresztmetszetein érvényes 6 fizikai jellemző közötti implicit függvénykapcsolat került megfogalmazásra a következő elvi felírás sze-rint:

F(v1,p1,h1,v2,p2,h2) = 0.

A Bernoulli egyenlet konkrét alkalmazásai során azonban a szereplő 6 változó közül végül is csak egy változó maradhat ismeretlen, a többi ötöt vagy az előfeltételek (pl. geometriai magassági viszonyok), vagy a konti-nuitási tétel (a térfogatáram állandósága) vagy mérések szolgáltatta ada-tok (pl. mért nyomások) alapján ismernünk kell.

108

Pl. 1.) A Bernoulli-egyenlet alkalmazása a Venturi-cső esetére

A géptani vizsgálatokban sok esetben szükség van valamely csővezeték-ben kialakuló térfogatáram méréses meghatározása. Ezt a méréses vizsgá-latot teszi lehetővé a Venturi-cső. A 83. ábra szerint a vízszintesen veze-tett állandó keresztmetszetű csővezetékbe egy szorosan egymáshoz kap-csolódóan kialakított kúposan szűkülő majd bővülő csőrészt építünk be (konfúzor és diffúzor).

ρm∆ h

ρ

1 v

p 1

A 2v

p2

a 1 2

83. ábra Venturi-cső.

A csővezeték még eredeti alakú keresztmetszeténél és a kúpos szűkítő (konfúzor) legszűkebb, torkolati keresztmetszeténél a vizsgált csőrész tengelyére merőleges irányban nyomáskivezető csővégződést készítünk. Így lehetővé válik a konfúzorba történő belépés előtt és a konfúzor torko-latánál fennálló nyomás kivezetése és a fennálló nyomáskülönbség méré-ses meghatározása. A nyomáskülönbség mérése az ábra szerinti U-csöves manométerrel történik. A vázolt elhelyezkedésű Venturi cső esetén is-merve a konfúzor előtti A keresztmetszeti felületet és konfúzor torkolat a keresztmetszeti felületét, a v2 torkolati sebesség kifejezhető a kivezetett p1 és p2 nyomás ∆p = (p1−p2) különbségének ismeretében:

v2 = ))/( (1 )/((2 21 )− 2Aa-pp ρ .

A v2 sebesség ismeretében az időegység alatt átáramló térfogat (a térfo-gatáram) aQ& = a v2 összefüggés alapján számítható. A képlet alkalmazá-sához szükséges ∆p = (p1−p2) nyomáskülönbség az U−csöves manométer ∆h szinteltérése és a mérőfolyadék (pl. higany) ρm sűrűsége ismeretében (p1−p2) = ρm g∆h alakban számítható.

109

Pl. 2.) Kiömlés tartályból

Sok mérnöki feladatok megoldása során szükséges valamely nagyméretű tartály kifolyónyílásán jelentkező térfogatáram ismerete. Amennyiben igen nagyméretű tartályt (elvileg végtelen nagy térfogatú tartály) vizsgá-lunk, akkor a tartálybeli folyadéktükör szintjének süllyedése a kifolyás el-ső rövid időszakában elhanyagolható. Feltételezve a jelzett időszakban a kifolyás stacionaritását, Bernoulli egyenlet írható fel a tartálybeli folya-déktükör 1 jelű és a kifolyónyílás 2 jelű keresztmetszete között (84. ábra).

A tartály nagy mérete miatt elfogadható, hogy v1≈ 0. Így a kiömlési se-besség:

v2 = )(2/)(2 1221 hhgpp −+− ρ .

A fenti képlet alapján két speciális kérdésre könnyen kaphatunk választ. Az első kérdés: mi a helyzet, ha a tartály nyitott, azaz p1 = p0 is teljesül? A választ a Torricelli–féle kifolyási törvény adja:

v2 = )(2 12 hhg − .

. .... . . .

.. . ... . . .

... .... .

. .

p11

p2 p0=v2

A2

h2

2

ρ

h1

84. ábra Kifolyás tartályból.

A második kérdés: mi a helyzet, ha a tartály légnemű közeggel van töltve, melynek súlya elhanyagolható. Ekkor a h1 – h2 helyzetienergia változás zérusnak vehető és kapjuk a gázkiáramlásra érvényes Bunsen–féle kifo-lyási törvényt:

v2 = ρ/)(2 21 pp − .

110

4.2.4 Folyadékszállítás dugattyús szivattyúval

Számos mérnöki rendszerben szükséges folyadéktömegek áthelyezése. Az áthelyezendő folyadéktömeget szivattyú alkalmazásával hozhatjuk moz-gásba és juttathatjuk el a kívánt helyen lévő tartályba. Ezen tantárgyban a térfogatkiszorítás elvén működő dugattyús szivattyú működését a 85. ábra alapján vizsgáljuk. A működés alapelve az, hogy külső energiaforrás fel-használásával a szivattyú periodikusan változtatott térfogatú térrészével kapcsoljuk össze az elszállítandó folyadékteret. A változó térfogatot a henger fala és változó helyzetű dugattyú felülete határolja. A munkatér növekedésekor a hengerben nyomáscsökkenés (depresszió) következik be és a külső folyadéktérből térfogatáram indul meg a munkatér felé. A hen-ger ezen szívási ütem alatti feltöltődése után a dugattyú ellenkező irányú mozgásba kezd és így a munkatér térfogata csökkenni kezd.

s

r

ω

AH

h ny

h sz

p 0

ρ

sz ny

85. ábra Dugattyús szivattyú.

A csökkenő térfogat miatt kialakuló túlnyomás következtében folyadék-áramlás indul meg a munkatérből kifelé. A távozó folyadéktérfogatot azu-tán alkalmas csővezetékkel a kívánt helyen lévő tartályba vezetjük. A tér-fogatáram időbeli lefolyását a dugattyú mozgása határozza meg. A folya-matos működéshez a dugattyú periodikus ide-oda mozgatását a 85. ábra szerinti kulisszás hajtómű biztosítja. A nyomó- és a szívócsőben kialakuló térfogatáramlás időbeli lefutása instacionárius lesz, mivel a sebességi vi-szonyok a kulisszás hajtómű szinuszos sebesség-törvényét követik. Ha a dugattyúfelület A és a kulisszasebesség vx(t), akkor a pillanatnyi folyadék-szállítás a nyomócsőben a

)( )( tvAtQ x=&

képlettel írható fel. A 88. ábrán felrajzoltuk a nyomócsőben és a szívó-csőben megvalósuló térfogatáramok időbeli alakulását. Látszik, hogy a

111

gép lévén egyszeres működésű, a nyomócsőben csak minden második félperiódus alatt van zérustól különbözö térfogatáram, azaz csak minden második löket „hasznos”. A szívócsőben kialakuló térfogatáram éppen egy félperiódussal van eltolódva a nyomócsőbeli térfogatáramtól. Itt is érvényes, hogy csak minden második löket „hasznos”. A diagramban víz-szintes szaggatott vonallal tüntettük fel a nyomócsőben és a szívócsőben azonos nagyságú közepes térfogatáram szintjét. A közepes térfogatáram értéke azonban könnyen felírható képletben is a kulisszás hajtómű tenge-lyének n másodpercenkénti fordulatszáma, az A dugattyúfelület, az s du-gattyúlöket tekintetbe vételével:

Q& = A s n.

Q Qsz Qny

Q . _

0 t

π/ω 2π/ω 4π/ω

. . .

86. ábra Egyszeres működésű dugattyús szivattyú térfogatszállítása.

Ha a szivattyúval az alsó tartály folyadékszintje fellett H magasságban lé-vő folyadékszinttel bíró nyílt tartályba kell a folyadékot feljuttatni, azaz a szállítómagasság H, akkor a folydékszállításhoz szükséges közepes hajtó-teljesítmény

P = ρ g H Q& η

alakban adódik, ahol η a szivattyú eredő hatásfoka. Fontos megjegyezni, hogy a szivattyú Hsz szívómagassága behatárolt érték, hiszen a szívócső-ben nem csökkenhet a nyomás az aktuális üzemi hőmérsékleten érvényes telített gőznyomás pt értéke alá, mert ellenkező esetben a folyadékoszlop elszakad. Ezért érvényesnek kell lennie a

gpH t

sz ρ<

relációnak. Tekintettel a folyadékszállítás instacionárius voltára, az űr-képződés elkerüésére adott fenti feltételen túlmenően még tovább kell korlátozni a szivattyú megengedett szívómagasságát, ennek a kérdésnek a részleteibe azonban most nem bocsátkozunk.

112

A dugattyús szivattyú folyadékszállítása növelhető, és egyenletesebbé te-hető kettős működésű kialakítással. Ennél a géptípusnál a 87. ábra szerint a dugattyú mindkét oldalán munkateret biztosítunk.

A vázolt hengerkialakítás, szelepelrendezés és csővezeték-kapcsolat ese-tén a gép a kulisszamozgás minden félperiódusában hasznos folyadék-szállítás történik mind a szívó-, mind pedig a nyomócsőben, azaz minden löketbefutás „hasznos”. A kettős működésű dugattyús szivattyú nyomó-csövében megvalósuló folyadékszállítás időfüggvényét és a közepes fo-lyadékszállítást megjelenítő konstans vonalat a 88. ábrán rajzoltuk fel. Ekkor a közepes folyadékszállítás: Q& = 2 A s n.

s

sz

ny

87. ábra Kettős működésű dugattyús szivattyú.

Q . _

0 t

π/ω 2π/ω 4π/ω

ny

Q ny

.

88. ábra A folyadékszállítás kettős működésű dugattyús szivattyúval.

A dugattyús szivattyú nyomócsövében igen nagy a folyadékszállítás in-gadozása. A folyadékszállítás egyenletességét jelentősen növelni lehet légüst (légrugós energiatároló) alkalmazásával. A 89. ábrán egy egyszeres működésű szivattyú nyomóvezetékébe épített légüstöt mutat.

113

q._

0t

π/ω 2π/ω

q∆

q.

q sz .

q ny .

pköz

p∆

t

. .

. . . . . . . . .

. . p ∆ V q ∆

... ... ... ...

... ...... ...

... ...

... ...

... ...

... qny.

qsz.

89. ábra Légüst alkalmazása.

A légüst működése azon alapul, hogy abban az időintervallumban, amikor a szivattyú pillanatnyi folyadékszállítása nagyobb a közepes folyadékszál-lításnál, a dugattyú által a nyomócsőbe továbbított folyadék egy része a légüstbe hatol az ott uralkodó levegőnyomás engedte mértékig (légrugó). Amikor azután a pillanatnyi folyadékszállítás lecsökken a közepes folya-dékszállítás alá, akkor a légüstben jelen lévő folyadékot a légüstbe történt előző betöltési folyamat során megnövekedett levegőnyomás részben ki-tolja a légüst térfogatból, és ezzel a nyomócsőben kialakuló folyadékszál-lítás hiányt mintegy utánpótolva azt egyenletesebbé teszi.

Jelölje ∆q a légüstben kialakuló legnagyobb levegőtérfogat-változás mér-tékét, a légüstbeli levegőnyomás változás legnagyobb értékét pedig ∆p. Feltételezve, hogy a légüstben a levegő állapotváltozása izotermikus (ál-landó hőmérsékleten végbemenő), a térfogatváltozási- és a nyomásválto-zási folyamatok egyenlőtlenségi fokainak

pközközköz

V pp

Vq

VV

δδ =∆

≅∆

=∆

=

közelítő egyenlősége adódik. Ebből az előírt δp nyomásegyenlőtlenség el-éréséhez szükséges minimális légüstbeli levegőtérfogatot a következő képlet adja:

pköz

qVδ∆

= .

114

4.2.5 Valóságos folyadékok veszteséges áramlása

A gépekben végbemenő áramlások közege valóságos folyadék. További vizsgálataink során figyelembe kell venni a folyadéksúrlódás okozta energiaveszteséget is. Hasonlóképp, a csővezetékekben alkalmazott kü-lönféle elzáró szerkezetek és idomdarabok is áramlási energiaveszteséget okoznak, ezek hatását is tekintetbe kell venni.

Viszkózus folyadék egyenes tengelyű, állandó keresztmetszetű vízszintes csőben végbemenő stacionárius áramlása során megvalósuló folyadéksúr-lódással kapcsolatos energia-disszipációs hatás a csővezeték két végpont-ja közötti nyomásesés tényében nyilvánul meg. Az a helyzet ugyanis, hogy a csőkeresztmetszet állandósága miatt a folytonosság tétele szerint a sebesség nem változhat a csővezeték mentén, ezért a sebességmagassá-goknak is meg kell egyezniük a cső két végpontjában. A kinetikus energia rovására tehát nem jelentkezik veszteség. Hasonlóképp, mivel a cső víz-szintes, a két cső végen a geometriai magasságok megegyezőek, ezért a helyzeti energia rovására sem jelentkezhet veszteség. Marad egyedüli harmadik lehetőségként a nyomásból származó munkaképesség rovására kialakuló veszteség. A 90. ábrán felrajzoltuk a szóban forgó r0 belső suga-rú csőben egy l hosszúságú vízszintes tengelyű hengeres folyadékelemre annak stacionárius tovaáramlása során fellépő fajlagos felületi erőket. Ezek a henger két kör alakú fedlapján működő nyomások és a henger pa-lástján működő, csőtengely irányú és egyenletes eloszlású, a hengerbe zárt folyadék mozgását gátolni igyekvő viszkózus csúsztatófeszültségek.

τη ρ

r 0 l v

v_

p 1

p2

90. ábra Súrlódásos folyadék áramlása csővezetékben.

Bizonyítható, hogy a vizsgált l hosszúságú, r0 sugarú körkeresztmetszetű egyenes cső esetén, ha abban η dinamikai viszkozitású folyadék ál-landósult

_v keresztmetszetmenti átlagsebességgel áramlik, az áramlás

fenntartásához szükséges nyomáskülönbség:

p1 − p2 = 8 η l v / r02.

115

A korábban tárgyalt ideális folyadékra vonatkozó Bernoulli egyenlet veszteségi taggal való kiegészítéséhez célszerű a veszteségmagasság fo-galmát. A definíció azon alapszik, hogy a veszteség miatt fellépő p1 − p2 csőtengely menti nyomásesést a ρg konstanssal normálva magasság mér-tékegységben adódó fajlagos – a folyadék súlyegységére számított – munkaképesség csökkenést, veszteségjellemzőt kapunk. Az így értelme-zett veszteségmagasság képlete: h' = (p1 -p2) /ρg, mértékegysége [h'] = m.

4.2.6 A veszteséges Bernoulli egyenlet, csővezetéki áramlások

A veszteséges áramlások esetén a folyadéktér valamely áramvonala men-tén a folyadék össz-munkaképessége nem maradhat állandó, hanem a disszipáció miatt az áramlás irányában csökkennie kell. Az ideális áram-lásra vonatkozóan az előzőekben bevezetett munkaképességi mérleg-egyenletet egy munkaképesség-veszteségi tag bevezetésével módosítani kell:

e1 = e2 + e',

ahol e' a folyadék munkaképesség veszteségét magadó tag. A folyadék súlyegységre vetített munkaképességeivel magasság mértékegységben megfogalmazott alak a következőképp alakul:

v12/2g + p1/ρg + h1 = e1 = e2 + e' = v2

2/2g + p2/ρg + h2 + h'.

A h' veszteségmagasságot célszerű kifejezni valamelyik sebességmagas-ság segítségével h' = λ (l/d)(v2/2g) alakban, ahol λ a csősúrlódási tényező, l a vizsgált egyenes csőszakasz hossza, d pedig a cső belső átmérője.

A λ csősúrlódási tényező függ az áramlás réteges (lamináris 91. ábra) vagy gomolygó (turbulens 92. ábra) voltától. Az áramlás ezen két struktu-rális változatát a Reynolds féle szám kiszámításával tudjuk azonosítani.

vv_

91. ábra A lamináris áramlás sebességprofilja.

116

vv _

92. ábra A turbulens áramlás sebességprofilja.

A Reynolds számot csőáramlás esetén a

Re =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρηvd

összefüggés értelmezi, ahol v a d belső átmérőjű csőben végbemenő áramlás keresztmetszetmenti átlag-sebessége. Ha Re < 2320, akkor az áramlást laminárisnak nevezzük, és a csősúrlódási tényezőt a λ = 64/Re képlettel számíthatjuk. Ha Re ≥ 2320, akkor az áramlást gomolygónak, keveredőnek vagy turbulensnek nevezzük. A Re < 105 tartományban a Blasius-formula használható, mely szerint λ ≈ 0,316/(Re)1/4. A turbulens áramlásban különböző felületi érdességű csövek esetén érvényesülő cső-súrlódási tényezőről az r0/k paraméter paraméterrel jellemzett görbesereg tájékoztat. Itt r0 a cső névleges belső sugara, k pedig a legnagyobb felületi érdesség terjedelem félértéke. Minél simább a cső belső felülete, annál nagyobb az r0/k paraméter értéke.

turbulens

lamináris

0,0015

0,05

Re64=λ

λ log

Lépték

Re log lépték 2320 2·105

500

15

130

r0/k

93. ábra A csősúrlódási tényező a Reynolds szám függvényében.

117

A csővezetékben lévő idomdarabok és elzáró szerkezetek okozta áramlási veszteségeket a h' = ζ v2/2g veszteségmagassági tag formában jellemez-zük, ahol a ζ veszteségtényezőt a csőidom geometriájának ill. a zárás mértékének függvényében táblázatból lehet kiolvasni. A 94. ábrán egy-szerű blokkvázlattal érzékeltetjük a veszteséges Bernoulli egyenlet által megfogalmazott munkaképesség mérleget, miszerint az 1-jelű keresztmet-szetben az egységnyi súlyú folyadék rész össz-munkaképessége fedezi a 2-jelű keresztmetszetben az oda érkezett egységnyi súlyú folyadékban meglévő össz-munkaképességet és az 1 → 2 áramlás során keletkező munkaképesség veszteséget.

e1 e2

e'

94. ábra Munkaképesség mérleg veszteséges áramlás esetén.

A súlyegységre vonatkoztatott munkaképességekkel megfogalmazott veszteséges Bernoulli-egyenlet alap alakja mármost a következő:

+22

22

22

11

21 hh

gp

gvh

gp

gv ′++=++

ρρ.

A veszteséges áramlások kezelését a nagyméretű tartályból csővezetéken át történő, veszteséges kiáramlás példája szemlélteti. A 95. ábra szerinti nagyméretű tartály esetén ismét élni lehet a v1≈ 0 közelítéssel. Ismert p0 és p1 nyomás, valamint adott l1, l2 és l3 csőhossza, továbbá ismert ζk cső-könyök ellenállási tényező mellett a feladat megoldható.

p1

1 p2 p0=

v2 A2

h2

2ρ

h1

..

.

.. . . . . . . ... . . .... .

.. . .. .

l2l1

l3ζk

ζk

λ,d

95. ábra Veszteséges kiáramlás tartályból.

118

Elsőnek meghatározzuk a veszteségmagasság kifejezését, figyelembe vé-ve, hogy mind a három csőszakasznak azonos d átmérője van, és ezért a bennük kialakuló sebesség végig v2 lesz:

gv

gv

dlllh k 2

22

22

22321 ζλ +

++=′ ,

Majd ezzel a veszteséges Bernoulli egyenlet a következő alakot nyeri:

hhg

pg

vhg

pg

v ′+++=++ 20

22

11

21

22 ρρ

Elvégezve a szükséges behelyettesítést és a rendezést, a v2 kiömlési se-besség képlete előáll:

kdlllhhgppv

ζλρ

2/)(1)(2/)(2

321

12012 ++++

−+−= .

A kifolyónyíláson távozó térfogatáramot a 22vAQ =& képlet m3/s −ban a tömegáramot pedig az 22 vAm ρ=& képlet kg/s -ban szolgáltatja.

4.3 Az impulzus tétel és alkalmazásai

4.3.1 Impulzustétel áramcsőre

Valamely m tömegű és v sebességvektorú anyagi pont impulzusvektora I = m v alakban meghatározott. Iránya a sebességvektor tartóegyenesére illeszkedik, és értelme megegyezik a sebességvektor értelmével. Az m tömeg, mint skalár együttható szerepel.

Tekintsük most az áramlási térben elhatárolt áramcsőrészbe zárt folyadék tömeg impulzusát a t időpontban. Ez a kiterjedt tömeg anyagi pontok vég-telen összességeként fogható fel, és ha a benne szereplő mi tömegű és vi (t) sebességű anyagi pont impulzusa Ii(t) = mi vi(t), akkor az egész kiter-jedt folyadéktömegre a szereplő pontok impulzusvektorait vektoriálisan összegezni kell, és a t időpontbeli össz-impulzus I(t) = Σ mi vi(t) alakban adható meg. A 96. ábrán a vizsgált áramcsőben tekintetbe vett folyadék-tömeg a folytonos vonallal megrajzolt A(t) zárt felület által határolt tér-részt foglalja el.

119

v 1

ρ

I0

m ∆

m ∆

A ( )t

A 1

A 2v2

Α(t+∆t)

96. ábra Folyadéktömeg impulzusa.

Egy kicsi pozitív ∆t > 0 időnövekmény figyelembe vételével tekinthetjük a t időpontban az A(t) felülettel határolt folyadékelemek új helyzetét, a vizsgálatunk tárgyát képező folyadéktömeg a ∆t idő alatt ugyanis tova-mozdul az áramcsőben és a t + ∆t időpontban a szaggatott vonallal rajzolt A(t + ∆t) zárt felülettel határolt térrészt tölti ki. Mivel a tömeg tovamoz-dult az áramcső mentén, az ellenőrzött tömegpontok most a t + ∆t idő-pontbeli végállapotban az áramcső más sebességű pontjaiban vannak, mint a vizsgálat kezdeti t időpontjában voltak. Ebből következik, hogy az ellenőrzött folyadéktömeg t + ∆t időpontbeli végállapotban fennálló I(t + ∆t) össz-impulzusa különbözni fog a kezdeti t időponban fennálló I(t) össz-impulzustól. A ∆t idő alatt tehát az impulzusvektorban változás történt. Figyelembe véve, hogy a tömegre ható eredő erőt az impulzus-vektor idő szerinti deriváltja definiálja, tekintsük a t időponttól és a ∆t időtartamtól függő )()(),( ttttt III −∆+=∆∆ impulzusváltozást, és ké-szítsük el ennek a ∆t időtartam egységére vonatkoztató különbségi hánya-dost:

tttt

ttt

∆−∆+=

∆∆∆ )()(),( III .

Ezen különbségi hányados ∆t → 0 melletti határértékét képezve kapjuk a t időpontban az A(t) felületben jelenlévő „ellenőrzött” folyadéktömegre ható eredő erőt :

tttt

tttt

∆t∆t ∆−∆+

=∆

∆∆=

→→

)()(lim),(lim)(00

IIIF .

120

Stacionárius áramlás esetén a fenti határértéket könnyen meg tudjuk hatá-rozni.

Legyen az áramlás stacionárius, és összhangban a 96. ábrával az áramcső belépő keresztmetszeti sebessége legyen v1, kilépő keresztmetszeti sebes-sége pedig legyen v2 , a stacionárius tömegáram legyen m& . Ekkor ∆t idő alatt a vizsgált áramcsőben lévő tömegpontok tovamozdulnak az áramcső mentén. Jelölje I0 az eredeti helyzetben lévő áramcső határoló felülete (A(t)) és a ∆t idő után a tovamozdult helyzetben lévő áramcső határoló fe-lülete (A(t+∆t)) által körülzárt térfogatok közös részében lévő folyadék össz-impulzusát (96. ábra vonalkázott rész). A ∆t idő alatti impulzus vál-tozás:

∆I = I0 + ∆m v2 - (I0 + ∆m v1) = ∆m (v2 - v1).

Itt ∆m a ∆t idő alatt tovamozdult folyadéktömeg azon részét jelöli, amely a kilépő keresztmetszeten átlépve elhagyta az eredeti A(t) ellenőrző felü-lettel körülhatárolt térrészt. Behelyettesítve a nyert összefüggést a folya-déktömegre ható eredő )(tF erőre korábban általánosan megfogalmazott kifejezésbe, kapjuk a keresett erő explicit kifejezését:

,vvlim)()(lim),(lim)( 1020

000 tmm

tttt

tttt

t∆t∆t ∆∆−−∆+

=∆

−∆+=∆

∆∆=→∆→→

IIIIIF

Elvégezve a lehetséges egyszerűsítéseket és képezve a határértéket

).vv(lim)( 120−

∆∆

=→∆ t

mtt

F

Figyelembe véve még, hogy a stacionárius áramcső két vizsgált kereszt-

metszetében a v1 és v2 sebesség állandó, és hogy a tm

t ∆∆

→∆ 0lim határérték

éppen a stacionárius tömegáram értékét adja, kiadódik, hogy a t időpont-ban az eredeti kezdeti helyzetben lévő áramcsődarabba zárt folyadéktö-megre ható eredő erő az

F(t) = m& (v2 - v1)

képlettel van meghatározva.

121

4.3.2 Az impulzus tétel alkalmazásai, egyszerű turbinák

Az impulzustétel alkalmazás lehetőséget ad az egyszerű turbinák nyoma-ték, teljesítmény és hatásfok viszonyainak meghatározására. A 97. ábrán a folyadék hozzávezetést biztosító un. sugárcső kifolyónyílásán kilépő sza-badsugár radiális síklapátozású egyszerű akciós turbinát hajt.

A

p 0

ω

1

F* u v 2v 1

F=-

2

r

ρ

97. ábra Lapátos kerék.

A vizsgált szabadsugár egy áramcső darabját elhatároló ellenőrző felület az 1 jelű ponttól a 2 jelű pontig tart. Tekintettel arra, hogy a lapátos ke-rékben véges számú lapát helyezkedik el, a kialakuló áramlás a lapátok periodikus bemerülése és kilépése miatt szaggatott jelleget ölt, a vizsgált áramcsőbeli áramlás instacionárius. Azonban, mivel a kerék egyenletes szögsebességű üzemével foglalkozunk, kijelenthető, hogy az áramcsőbeli sebességkép időbeli középértéke állandónak vehető – és az áramlás így un. „kvázi-stacionárius” (mintegy stacionárius) tulajdonságú. A stacioná-rius áramcsőre ható eredő erőre levezett impulzustétel kvázi stacionárius áramlás esetén is érvényes, azonban ekkor csupán az eredő erő időbeli középértéke adódik eredményként.

A fentek előrebocsátása után meghatározzuk a lapátos kerék által leadott hajtónyomaték és hajtóteljesítmény időbeli középértékének nagyságát. Tekintsük ehhez először az ellenőrzött folyadéktömegre a lapátozás és a folyadéksugár kölcsönhatása következtében ható erő középértékben vett alakulását az impulzustétel szerint. Mivel a vizsgált ellenőrző felület a 2-jelű keresztmetszetén a folyadék közepes kilépési sebessége mindig a ke-rék u kerületi sebességével egyezik meg, ezért az impulzustétel szerint az ellenőrzött folyadéktömegre ható közepes eredő erő

122

)( 1vumF −= &

alakban adódik. Mármost a lapátos kerékre ezzel az erővel ellentetten a folyadékból kiinduló F∗ = −F erő működik és fejti ki az M = F∗r =

rvum )( 1−− & hajtó nyomatékot. Figyelembe véve a lapátos kerék köze-pes sugaránál a kerületi sebesség és a kerék szögsebessége közötti u = rω kapcsolatot, felírható a lapátos kerékre ható hajtó nyomaték a szögsebes-ség függvényében:

ωω 211)( rmrvmrvrmrFM &&& −=−−== ∗ .

Ezzel meg van határozva a vizsgált egyszerű turbina M(ω) nyomatéki jel-leggörbéje. Mint az leolvasható a kapott képletről, a hajtó nyomaték a ke-rék forgási szögsebesség függvényében lineárisan csökken és a hajtó nyomaték eltűnik, ha ω eléri a v1/r értéket, vagy ami ugyanaz, ha a kerék közepes sugarának u kerületi sebessége eléri a sugárcsőből érkező folya-dék 1-jelű pontbeli v1 sebességét. A kereket hajtó P2 teljesítményt az M(ω) nyomatéki függvény ω szögsebességgel való beszorzása adja:

2212 ωωω rmrvmMP && −==

A képletről leolvashatjuk, hogy a turbina teljesítménye parabolikusan vál-tozik a kerék szögsebessége függvényében. A turbinateljesítmény maxi-mum helyét a P2(ω) függvény ω szerinti deriváltjának zérussal történő egyenlővé tétele után kapjuk:

02)()( )( 21

2212 =−=−== ωωω

ωωω rmrvmrmrvm

ddM

dωdP

dωd

&&&& ,

egyszerűsítés után: ,022 11 =−=− ωω rvrv majd megoldva az egyen-letet adódik a legnagyobb hajtó teljesítményhez tartozó szögsebesség:

rv

m 21=ω .

Maga a maximális leadott teljesítmény: P2max= 4

21vm&

.

Szemléletesebb jelentést adhatunk a legnagyobb teljesítmény leadást biz-

123

tosító üzemállapotnak, ha r-rel átszorozva azt az um = r mω lapátkerék ke-rületi sebességet írjuk fel, amely mellett a leadott teljesítmény a legna-gyobb. A képlet ily módon az

21vum =

alakot ölti, amely tehát azt mondja, hogy a legnagyobb turbinateljesít-mény akkor vehető le a lapátos kerék tengelyéről, ha a kerék közepes su-gáron érvényes kerületi sebessége éppen a fele a sugárcsőből kilépő fo-lyadéksugár sebességének.

rv1 ω

P2max= 4

21vm&

rv2

1

P2

rv1

M rvm 1&

ω

η P2(ω)

η(ω) ηmax= 1/2

98. ábra A lapátos kerék nyomatéka és teljesítménye.

A vizsgált egyszerű turbina hatásfokfüggvénye is a kimenő teljesítmény-hez hasonló parabolikus változású, és csúcsértéke ηmax = 0,5. Ez abból látható be, hogy a sugárcsőből kilépő szabadsugár időegységenként P1 = 0,5 2

1vm& kinetikus energiát hoz be a rendszerbe. A turbina legnagyobb

hasznos teljesítménye pedig a P2max= 4

21vm&

érték. Innen a maximális tur-

bina hatásfok r

vm 2

1=ω szögsebességnél:

5,021

2

421

21

1

max2 ====vm

vm

PP

&

&

η .

124

5 Járművek hőtani folyamatai

5.1 Az ideális gáz állapotegyenlete A járművekben alkalmazott hőerőgépekben végbemenő energiaátalakulá-si folyamatok fizikai hátterét első megközelítésben ideális gáz munkakö-zeg feltételezésével elemezzük. Az ideális gázt az a tulajdonság definiálja, hogy az maradéktalanul követi a ideális gáz p V = m Rs T állapotegyenle-tét, mely állapotegyenletet a fizika tudománya a valóságos gázok viselke-désének megfigyelése alapján, lényegkiemelő absztrakcióval alakította ki.

Az ideális gáz-állapotegyenletben p a gáz nyomását, V a térfogatát, m a tömegét, T az abszolút hőmérsékletét, Rs pedig a gáz specifikus gázál-landóját jelöli. A p, V és T mennyiségeket a hőtanban az ideális gáz ter-mikus állapotjellemzőinek nevezzük. Az ideális gáz állapotegyenletében szereplő termikus állapotjelzők és paraméterek mértékegységei rendre: [p] = Pa, [V] = m3, [T] = K; [m] = kg és [Rs] = Nm/(kgK) = J/(kgK).

Az ideális gáz-állapotegyenletre tekintve azonnal adódik, hogy a három termikus állapotjellemző között fennáll egy F(p,V,T) = 0 implicit függ-vénykapcsolat, azaz csak kettőt lehet szabadon megválasztani közülük, a harmadik már szükségszerűen adódik a megválasztott kettőből. Így a kö-vetkező három kétváltozós függvénykapcsolat adódik:

VTmRTVfp s== ),( ,

pTmRpTgV s== ),( ,

smRpVVphT == ),( .

Leggyakrabban a ),( TVfp = függvénykapcsolatot használjuk, éspedig oly módon, hogy a T hőmérséklet állandó értéke mellett nézzük a p nyo-másnak a V térfogat függvényében való változását. Állandó T0 mellett a

),( TVfp = függvény konkrét felírásakor a p értékét megadó tört szám-lálójába a konstans k = mRsT0 érék kerül, a nevezőben pedig a V térfogat szerepel. Így a „p-V” diagram mezőben ábrázolható az állandó T0 hőmér-

séklet esetén érvényes p = Vk

kapcsolatot megjelenítő függvénygörbe,

amely nyilvánvalóan egy hiperbola lesz (lásd 99. ábra).

125

p0

V0 V

p

T0 = áll.

A bejelölt ponthoz rendelt összetartozó állapotjellemzők:

p0, V0, T0

99. ábra A „p-V” diagram állandó T0 mellett.

A fentekben ismertetett összefüggések alapján nyilvánvaló, hogy ha meg-adunk a „p-V” pozitív síknegyedben egy pontot a p0 nyomás és V0 térfo-gat-koordinátákkal, akkor egyértelműen számítható az ezen ponthoz tar-tozó hőmérséklet T0 értéke. Mivel az állandó hőmérsékletű pontok hiper-bolán helyezkednek el, ezért jogos az az elképzelés, hogy a diagram pozi-tív síknegyedét egymást nem metsző, és az állandó hőmérséklet értékkel paraméterezett hiperbola-sereggel befedettnek tekintjük. Ha egy ábrában ezeket a hiperbolákat bizonyos hőmérsékletlépcsőzéshez tartozó konstans hőmérsékletekhez tartozóan meg is rajzoljuk, akkor a gáz állapotváltozási kérdések tanulmányozásához célszerű hiperbola hálózású munkalap nyerhető.

5.2 Hőmennyiség, fajlagos hőkapacitás Valamely tömegben a hőenergia jelenlétének ténye a tömeg hőmérsékleti állapotának méréses vizsgálatával válik érzékelhetővé. A testben tárolt hőenergiát a test belső energiájaként azonosíthatjuk. Azonos nagyságú tömeg esetén valamely megelőző állapothoz képesti magasabb hőmérsék-leti érték tapasztalása a tömegben tárolt nagyobb mennyiségű hőenergia jelenlétét implikálja. A hőmérsékletemelkedés a testben tárolt hőenergia megnövekedését indikálja. Hasonlóképpen, ha a vizsgált tömeg hőmér-séklete egy megelőző állapothoz képest csökken, akkor energiatartalmá-nak csökkenése valósult meg.

Vizsgáljunk most két szilárd testet, egyiknek a tömege legyen m1 a mási-ké pedig m2. Az m1 tömegű test hőmérséklete legyen minden pontjában T1, az m2 tömegű testé pedig ugyancsak minden pontjában legyen T2. Te-gyük fel, hogy a hőmérsékletek viszonyára a T1 > T2 rendezés érvényes. Hozzuk érintkezésbe a két különböző hőmérsékletű tömeget. Egy idő

126

múlva azt tapasztaljuk, hogy hőmérsékletkiegyenlítődés történt. A na-gyobb hőmérsékletű testből hőenergia áramlott át az alacsonyabb hőmér-sékletű testbe, és kialakult az m1 + m2 össz-tömeg közös T hőmérséklete. A jelenség mennyiségi leírásához jelölje a magasabb hőmérsékletű m1 tömeg által leadott hőenergiát ∆Q1 és jelölje a hidegebb test által felvett hőenergiát ∆Q2. Az energiamegmaradási tétel lapján írhatjuk, hogy a po-zitívnak tekintett hőenergia változásokra érvényes a ∆Q1 = ∆Q2 e-gyenlőség. Tekintetbe véve a végállapotként előálló közös T hőmérsékle-tet, és a kezdetben melegebb tömegből távozó ∆Q1 hőenergiának a ∆T1 = (T1 – T ) hőmérséklet változással és az m1 tömeggel való arányosságát, a

∆Q1 = c1m1 (T1 – T) = c1m1∆T1

képletet kapjuk, ahol a c1 arányossági tényező az m1 tömeg anyagi tulaj-donságként érvényesülő hőtároló képességét tükröző állandó. Hasonló-képp, figyelembe véve a kezdetben hidegebb tömeg által felvett ∆Q2 hő-energiának a ∆T2 = (T – T2) pozitív hőmérséklet változással és az m2 tö-meggel való arányosságát, a

∆Q2 = c2m2 (T – T2) = c2m2∆T2

képlet adódik, ahol a c2 arányossági tényező most az m2 tömeg hőtároló képességét tükröző, az anyagra jellemző állandó. A két tömegre beveze-tett, a hőtároló képességre jellemző c anyagi állandó neve fajlagos hőkapacitás, átlagos értékének képletszerű származtatása a véges ∆Q energianövekményre és ∆T hőmérsékletnövekményre támaszkodva a

c =TQ

m ∆∆1

képlettel történhet. Szavakban: valamely anyag átlagos fajlagos hőkapacitása az egységnyi tömeg egységnyi hőmérséklet változtatásához szükséges hőenergia értékével van meghatározva. A fajlagos hőkapacitás fogalmának pontos értelmezéséhez azonban még figyelembe kell venni, hogy ez az anyagi tulajdonság a T hőmérséklettől függő értéknek bizo-nyul, ezért a vizsgált anyag T hőmérsékleti állapothoz tartozó c(T) fajla-gos hőkapacitását ∆T→ 0 határátmenettel, differenciálhányadosként kap-juk:

c(T) =dT

TdQmT

TTQm∆T

)(1),(1lim0

=∆

∆∆→

.

127

A fenti definíciós összefüggések alapján a fajlagos hőkapacitás mérték-egysége megadható. Amennyiben a hőenergiát [∆Q] = J (dzsúl) mérték-egységgel mérjük:

[c] = [ ][ ][ ] kgK

J=

∆∆

TmQ .

Vegyük végül tekintetbe a már megállapított hőenergia kiegyenlítődés ∆Q1 = ∆Q2 egyenletét, amelyre támaszkodva meg lehet határozni a ki-egyenlítődés végállapotában kialakuló közös T hőmérsékletet is:

∆Q1 = ∆Q2 ⇒ c1m1(T1 – T) = c2m2(T – T2) ,

ahonnan a közös T hőmérsékletre a

2211

222111

mcmcTmcTmcT

++

=

kifejezést, azaz a tömegek eredetileg eltérő hőmérsékleteinek a tömegekre jellemző cimi abszolút hőkapacitásokkal súlyozott számtani átlagát kap-tuk.

A szilárd testek hőmérséklet-kiegyenlítődésével kapcsolatos fenti gondo-latmenet a gázok esetére csak lényeges kiegészítéssel vihető át. Az ugyan-is a helyzet, hogy a gázok belső energia változását ugyan a szilárd testek-hez hasonlóan a konstans térfogat jelenlétében végbemenő folyamatként értelmezzük, ezért az eddig végigvitt, a fajlagos hőkapacitással kapcsola-tos gondolatmenet a gázokra csak az állandó térfogaton megvalósult hőbevitel vagy hőelvezetés esetére érvényes. Azonban a gázok esetén a hőbevitel vagy hőelvezetés nem csupán állandó térfogaton, hanem végte-len sokféleképpen, változó térfogat és változó nyomás mellett is megvaló-sulhat egy adott hőmérsékleti állapot kis környezetében, és ezen nem konstans tétfogaton megvalósuló hőcsere esetében a gázba bevitt vagy el-vezetett hő már nem lesz egyenlő a belső energia megváltozásával, hanem az − mint nemsokára látni fogjuk − a térfogatváltozási munkával is kap-csolatba lép.

A gázok esetén elvileg lehetséges végtelen sokféle fajlagos hőkapacitás közül az állandó térfogat esetére meghatározott, és most v indexet nyerő cv fajlagos hőkapacitáson kívül csupán az állandó nyomáson meghatáro-zott, és p indexet nyerő cp állandó nyomáson értelmezett fajlagos hőkapacitás játszik döntő szerepet a következő vizsgálatainkban. Képlet-szerűen felírva tehát a cv és cp fajlagos hőkapacitások, mint a gáz lényeges

128

anyagjellemzői a következő differenciális alakban származtathatók:

cv =.

1állVdT

dQm =

és cp =.

1állpdT

dQm =

.

A most értelmezett két jellemző fajlagos hőkapacitás a hőtani vizsgála-tokban további két fontos paraméterrel is kapcsolatban van. Egyrészt ér-vényes az Rs = cp - cv összefüggés, vagyis az ideális gáz Rs specifikus gázállandója éppen az állandó nyomáson és az állandó térfogaton értel-mezett fajlagos hőkapacitás különbsége. Másrészt fontos jelentésű meny-nyiség, a később bevezetésre kerülő κ (kappa) adiabatikus kitevő a két jel-lemző fajlagos hőkapacitás hányadosaként κ = cp/cv alakban van értel-mezve.

5.3 A hőtan első főtétele A hőerőgépek munkafolyamata a munkaközeg – most ideális gáz – nyo-másának, térfogatának és hőmérsékletének jellegzetes alakulásával meg-valósuló állapotváltozási szakaszokból épülnek fel. Az állapotváltozáso-kat energetikai folyamatok kísérik. Nevezetesen: egyrészről az állapotvál-tozás során a környezettel hőcsere (hőfelvétel vagy hőleadás) valósulhat meg, a hőcsere következtében a gáz tömegéhez kötött belső energiaszintje változhat. Továbbá tekintettel a nyomás (=fajlagos erő) és a térfogatválto-zás (elmozdulással járó) jelenlétére mechanikai energia kerülhet beveze-tésre vagy elvonásra.

Az energetikai viszonyok tárgyalásához alapvető fontosságú a termodi-namika első főtétele, amely differenciális formában bármely állapotválto-zásra érvényes:

dQ = dU + dW,

ahol dQ a differenciálisan kicsi állapotváltozási folyamatelem során a gázzal közölt vagy tőle elvont hőenergia, dU a folyamatelem során a gáz belső energiájának megváltozása, dW pedig a folyamatelem során bekö-vetkezett térfogatváltozás miatti elemi mechanikai munka növekmény, amelyet méltán nevezünk „térfogatváltozási munkának”. A dQ hőenergia növekmény pozitív, ha az a tekintett folyamatelem megvalósulása során a gázba bevezetésre kerül, és negatív, ha elvonásra kerül. A dU belső ener-gia növekmény pozitív, ha egy korábbi belsőenergia szinthez képest a fo-lyamatelem megvalósulása során a belső energia megnövekszik, és dU negatív, ha a jelzett értelemben a belső energia szint csökken.

129

p 1

p2

V 1 V2

F

V∆

1

2

:. :. :. ..

..

∆s

p i

p

V

W1,2

p V( )

100. ábra A térfogatváltozási munka.

A térfogatváltozási munka magyarázatához tekintsük a 100. ábrát. A „p-V” diagramban az 1 állapotból nyomáscsökkenés és térfogat növekedés mellett a munkaközeg (ideális gáz) a 2 állapotba érkezik. A folyamat egy munkahengerben játszódik le, melynek jobb oldali végét egy elmozdulni tudó súrlódásmentes dugattyú zárja le. Mozduljon most el a pi nyomás ha-tására az A felületű dugattyú jobbra kicsi ∆s úton. Ezen kis elmozdulás során a dugattyúra jobbra mutató F = pi A erő hat, amelynek a ∆s úton végzett ∆W munkája, figyelembe véve, hogy A∆s =∆V , a következőképp írható fel:

∆W = F ∆s = pi A∆s = pi ∆V.

Ennek alapján a folyamatelemre a térfogatváltozási munka

dW = p dV

differenciális növekményét kapjuk.

A kapott térfogatváltozási munkanövekmény pozitív, ha azt a gáz végzi, azaz a folyamatelem megvalósulása során a gázból energiakivezetés tör-ténik, megfordítva, a térfogatváltozási munkanövekmény negatív, ha a fo-lyamatelem megvalósulása során a gázba kívülről kezdeményezett mun-kavégzés mellett energia bevezetés történik. Vizsgáljuk most a nyomás-csökkenés (expanzió) mellett végbemenő teljes 1 → 2 állapotváltozás alatt a hengerben lévő gáz által végzett teljes térfogatváltozási munkát!

130

Az 1 → 2 folyamatot kis ∆Wi munkavégzések sorozatának tekintve előbb a

W1,2 ≈ ∑∑ ∆=∆i

ii

i VpW

közelítő összeget, majd a felosztás finomságát minden határon túl növelve és folytonos összegzésre (=határozott integrálásra) térve a

W1,2 = ∫2

1

)(V

V

dVVp

képletet nyerjük. Ez a térfogatváltozási munka pozitív. A hengertérbe zárt gáz csökkenő nyomás mellett a dugattyút elmozdítva végezte. Ezzel a gázból külső felhasználásra hasznosítható energiakivezetés történt.

Vizsgáljuk most a termodinamika első főtételében szereplő differenciális dU belső energia változás felírását a termikus állapotjellemzők segítségé-vel. Az állandó térfogaton definiált cv fajlagos hőkapacitással kapcsolato-san mondottak figyelembevételével a hőmérsékletfüggő U(T) = cv m T belső energia függvény differenciáljaként adódik, hogy:

dU = cv m dT.

Ennek alapján az első főtétel mérlegegyenletében szereplő jobb oldali összeg már a termikus állapotjellemzők szerepeltetésével jelenik meg:

dQ = dU + dW ⇒ dQ = cv m dT + p dV .

A kapott formula alapján elmondható, hogy a gázzal közölt elemi dQ hő-mennyiség két dologra fordítódik: egyrészt a közeg belső energiáját növe-li, mely belső energiaváltozás hőmérsékletváltozással jár, másrészt pedig a megvalósult térfogatváltozással kapcsolatosan a nyomás általi mechani-kai munkavégzésre fordítódik. Ez az összefüggés már mutatja, hogy a hő-energiából mechanikai munka nyerhető. Ez a munkanyereség akkor ne-vezhető maximálisnak, ha az állapotváltozás során a gáz hőmérséklete ál-landó marad, és ezért a belső energia nem változik. Ez utóbbi esetben a bevitt hőenergia teljes egészében a térfogatváltozási munkát fedezi, és ki-vezethető a rendszerből. Az első főtételből következő összefüggéseket a különböző elemi állapotváltozás típusokra vonatkozó vizsgálatainkban hasznosítani fogjuk.

131

5.4 Elemi állapotváltozások Az alábbiakban felsoroljuk azokat az elemi állapotváltozásokat, amelyek alapján az ideális motorikus körfolyamatokat már tanulmányozni lehet. Az egyes állapotváltozás típusokhoz megadjuk a termikus állapotjellem-zőkre vonatkozóan fennálló összefüggéseket is. A termodinamika első fő-tételével kapcsolatos energetikai jellemzők alakulására nézve most csupán az adiabatikus folyamatot jellemző dQ ≡ 0 azonosságot emeljük ki, ami azt mondja, hogy a gáz adiabatikus állapotváltozása során a környezettel nem valósul meg hőcsere. Mármost a jelzett elemi állapotváltozások a következők:

• izochor, állandó térfogaton végbemenő állapotváltozás, azaz V = állandó,

• izobár, állandó nyomáson végbemenő állapotváltozás, azaz p = állandó,

• izotermikus, állandó hőmérsékleten végbemenő állapotváltozás, azaz T = állan-dó, amiből a gáz állapotegyenlet alapján azonnal adódik a p = p1V1/V összefüggés is.

• adiabatikus, a környezettől elszigetelve, hőcserementesen megvalósuló állapot-változás, azaz dQ ≡ 0, a nyomás és a térfogat összefüggése ekkor p = p1V1κ/Vκ. A szereplő adiabatikus hatványkitevőt a κ = cp/cv há-nyados értelmezi, értéke kétatomos gázra κ ≈ 1,4.

• politropikus állapotváltozás, p = p1V1n/Vn, ahol n adott kitevő. Könnyű belátni, hogy a politropikus állapotváltozás az n kitevő alkalmas megválasz-tásával magába foglalja az előbbi négy állapotváltozást is.

A gáz állapotváltozását valamely véges V1 < V2 térfogathatárok között is-mert p = p(V) „nyomás-térfogat” függvénykapcsolat esetén vizsgálva a 100. ábrával kapcsolatban tárgyalt módon kapjuk meg a térfogatváltozási munkát. Az ott értelmezett határozott integrál a „p-V” diagramban a nyo-másfüggvény görbéje és a V tengely közötti W1,2 munkaterületet határoz-za meg.

132

A következő tárgyalásunk előkészítéseképp megjegyezzük, hogy a V = ál-landó esetben (izochor folyamat) az 1 és 2 jelű állapotok közötti nyomás-változás mindig meghatározott hőmérsékletváltozással jár együtt, és ek-kor a közölt vagy elvont hőmennyiséget a Q1,2= cvm(T2 - T1) képlet szolgáltatja. Ha pedig p = állandó (izochor folyamat), akkor a hőmennyi-ség számításakor a cp fajlagos hőkapacitás lép be a hőmérsékletváltozás és a tömeg mellé: Q1,2 = cpm(T2 - T1), a belső energia változásának szá-mításakor azonban az izobár esetben is az U1,2 = cvm(T2 - T1) kifejezés érvényes.

5.4.1 Az izochor állapotváltozás

Az állandó térfogaton végbemenő ( áll.=V ) állapotváltozásról van szó (101. ábra). Az ideális gázok állapotegyenletéből most

áll.2

2

1

1 ====V

mRTp

Tp

Tp s

Az állandó térfogat miatt nyilvánvaló, hogy 0=2,1W . A termodinamika első főtételnek megfelelően pedig a gázba bevitt 2,1Q hőenergia meg-egyezik a gáz belső energiájának ∆U megváltozásával, azaz

)(== 122,1 TTmcUQ v −∆ .

p1

pT1

T2

V

p2

0

1

2

Q1,2

V1=V2

101. ábra Izochor állapotváltozás.

133

5.4.2 Az izobár állapotváltozás

Az állandó nyomáson végbemenő ( áll.=p ) állapotváltozásról van szó (102. ábra). Az ideális gáz állapotegyenletéből:

áll.2

2

1

1 ====p

mRTV

TV

TV s

A belső energia megváltozását a cv fajlagos hőkapacitással kapjuk az adott hőmérséklethatárok figyelembe vételével: )(= 12 TTmcU v −∆ . A térfogatváltozási munka pedig a p1 = p2 = p állandó nyomást, és a pV = mRsT gázállapotegyenletet is figyelembe véve:

)()(= 12122,1 TTmRVVpW s −=− .

Az első főtétel alapján a cp állandó nyomáson érvényes fajlagos hőkapaci-tással:

)()( =)()(

)(=

12

1212

122,12,1

TTmRcTTmRTTmc

TTmcWUQ

sv

sv

p

−+=−+−=

=−⇒+∆

,

Amiből leolvasható a már megelőlegezett: svp Rcc += összefüggés.

p 1

p

T1

V1

T2

V2 V

p 2

0

1 2

Q1,2

=

W1,2

102. ábra Izobár állapotváltozás.

134

5.4.3 Az izotermikus állapotváltozás

Az állandó hőmérsékleten végbemenő ( áll.=T ) állapotváltozásról van szó (103. ábra), Az állapotegyenlet alapján:

áll.2211 ==== TmRpVVpVp s ,

tehát a p(V) függvény hiperbola. Az állandó hőmérséklet miatt belső energia változás nincs: 0=∆=∆ TmcU v . A termodinamika első főtétele szerint:

2,12,1 WQ = ,

azaz a közölt hőenergia teljes egészében térfogatváltozási munkává ala-kul. A térfogatváltozási munka meghatározása a folyamat elemi részekre osztásával végezhető el. Integrálás után a

2

1

1

22,1 lnln

ppTmR

VVTmRW ss ==

eredmény adódik.

p1

p T 1

V1

T 2

V2 V

p 2

0

1

2

Q1,2

=

W 1,2

103. ábra Izotermikus állapotváltozás.

5.4.4 Az adiabatikus állapotváltozás

Ebben az esetben hőbevezetés és hőelvezetés nélkül (dQ ≡ 0) végbemenő állapotváltozásról van szó, a környezethez képest hőszigetelt rendszer ál-lapotváltozását vizsgáljuk (104. ábra). A gáz állapotegyenlet és ∆Q ≡ 0

135

feltétel alapján: áll.2211 === κκκ pVVpVp , ahol v

p

cc

=κ az adiabatikus

kitevő (kétatomos gázokra κ ≈ 1,4).

A Q1,2 = 0 miatt az első főtétel szerint a belső energia változás ellentetten egyenlő a térfogatváltozási munkával:

( )22112,112 11)(= VpVpWTTmcU v −−

−=−=−∆κ

.

p 1

p T1

V1

T 2

V2 V

p 2

0

1

2W1,2

104. ábra Adiabatikus állapotváltozás.

5.4.5 A politropikus állapotváltozás

Ezen állapotváltozás csupán a áll.=npV feltétel teljesülését köti ki, ahol n a politropikus kitevő. A politropikus folyamat során közölt vagy elvont hőenergiát a ( )122,1 TTmcQ n −= képlettel adjuk meg, ahol

1−−

=nncc vn

κ

a politropikus fajlagos hőkapacitás. A politropikus állapotváltozás az n kitevő alkalmas megválasztásával magába foglalja az előbbi négy állapot-változást is. Ha n = 1, akkor az izotermikus állapotváltozás adódik. Ha n =κ, akkor az adiabatikus folyamatot kapjuk. Ha n → ∞, akkor az álla-potváltozás tart az izochor állapotváltozáshoz. Ha n = 0, akkor pedig az izobár folyamat adódik.

136

5.5 Hőerőgép létrehozhatósága Ha az ideális gáz a nyomás- és térfogatváltozási folyamatát úgy alakítjuk, hogy a folyamat valamely kezdőpontból indulva változó termikus állapo-tokon átfutva visszaér a kezdőpontba, és így a „p-V” síkon egy zárt hu-rokkal jelenik meg, akkor azt mondjuk, hogy a gáz állapotváltozások kör-folyamatot teljesítettek. A 105. ábrán egy ilyen körfolyamatot ábrázol-tunk. A körfolyamat térfogathatárai a V1 és V2 térfogat értékek.

p

V1 V2 V0

1

2

W 1,2

W2,1

W

Qbe

Q ki

105. ábra Körfolyamat.

A jelzett irányítás szerint lefutó körfolyamatnál azonosítható a felső ág, amely az 1 → 2 állapotváltozást írja le, és az alsó ág, amely a 2 → 1 álla-potváltozást jeleníti meg. A felső ágon Qbe nagyságú hőbevezetés valósult meg, ezért a termodinamika első főtétele szerint a Qbe = U2 − U1 + W1,2 energiamérleg írható fel, ahol W1,2 az 1 → 2 átmenet során végzett (pozi-tív) térfogatváltozási munkaterület.

Mármost a visszafelé lezajló 2 → 1 állapotátmenet során a gázból Qki ne-gatív értékű hőelvonás történt, és a W2,1 térfogatváltozási munka került bevezetésre, ahol W2,1 a 2 → 1 átmenet során jelentkező (pozitív) térfogatváltozási munkaterület. Ha most a teljes 1 → 1 körfolyamatot te-kintjük, akkor mivel visszaérve a kiindulási állapotba a véghőmérséklet megegyezik a kezdőhőmérséklettel, ezért a gáz belső energiája a végálla-potban megegyezik a kiindulási állapotban fennálló belső energiatarta-lommal.

137

A körfolyamat befutása során tehát az összes belsőenergia-változás tehát zérus. A teljes körfolyamat során érvényesült hőcsere a Qbe − ⎢Qki ⎢képlet-tel meghatározott. A körfolyamat során végzett össz-térfogatváltozási munkát pedig a W1,2− W2,1 különbség adja, melynek értéke pozitív. Figye-lembe véve, hogy a körfolyamatban kialakult belsőenergia változások összege a ciklus záródásakor zérust ad, a termodinamika első főtétele ér-telmében a Qbe − ⎢Qki ⎢ = W1,2 − W2,1 összefüggést kapjuk.

Vezessük be a térfogatváltozási munkaterületek különbségére a

W = W1,2 − W2,1

jelölést, mely W nyilvánvalóan a körfolyamat görbéje által körülzárt hu-rok területe, és egyben az egy ciklusból nyerhető mechanikai munka nagyságát adja meg. Így megkapjuk a hőerőgép létrehozhatóságát posztuláló

W = Qbe − ⎢Qki ⎢ egyenletet. A most kapott eredményt úgy összegezhetjük, hogy ha egy körfolyamat során Q1 hőmennyiséget vezetünk be a munkaközegbe és Q2 hőmennyiséget vonunk el, akkor a gép egy működési ciklusa alatt W = Q1 − |Q2| munkát nyerünk.

A gép termikus hatásfokát ezek után a nyert hasznos munka és az ennek érdekében bevezetett hőenergia hányadosa adja:

ηt 1

2

1

21

1

1QQ

QQQ

QWdef

−=−

== .

5.6 Motorikus körfolyamatok A hőerőgép létrehozhatóságának tárgyalásakor láttuk, hogy a gázt egy zárt körfolyamaton kell végigvinni, és meg kell valósítani a Qbe = Q1 hőbevezetést és a Qki = Q2 hőelvezetést. A következőkben azokat, az egy-szerű állapotváltozás szakaszokból felépülő ideális hőerőgép körfolyama-tokat tárgyaljuk, amelyek a járművekben alkalmazott belsőégésű motorok és gázturbinák folyamat-elemzésének kiinduló pontjául szolgálnak. A je-len tárgyban alapvetően az egyes körfolyamatok termikus hatásfokának meghatározását tűzzük ki célul. A következő körfolyamatokat tesszük vizsgálat tárgyává:

138

1. Otto körfolyamat Állapotváltozás szakaszai: adiabatikus kompresszió, izochor hőbevezetés, adiabatikus expanzió, izochor hőelvonás.

2. Diesel körfolyamat Állapotváltozás szakaszai: adiabatikus kompresszió, izobár hőbevezetés, adiabatikus expanzió, izochor hőelvonás.

3. Seiliger − Sabathier körfolyamat Állapotváltozás szakaszai: adiabatikus kompresszió, izochor majd izobár hőbevezetés, adiabatikus expanzió, izochor hőelvonás.

4. Humphrey körfolyamat Állapotváltozás szakaszai: adiabatikus kompresszió, izochor hőbevezetés, adiabatikus expanzió, izobár hőelvonás.

5. Joule körfolyamat Állapotváltozás szakaszai: adiabatikus kompresszió, izobár hőbevezetés, adiabatikus expanzió, izobár hőelvonás.

A 106. ábra az Otto körfolyamat és a Diesel körfolyamat diagramját mu-tatja. Az ábrákon jól azonosíthatók a hőenergia bevezetést és kivezetés megvalósító folyamatszakaszok. Az 1 és 3 jelű pontokon át szaggatott vonallal megrajzoltuk az izotermákat is. Látható, hogy az azonos ponton átmenő izoterma és adiabata közül mindig az adiabata rendelkezik mere-dekebb érintővel.

p

V 1

Q be

V0

3

2

4 1

V 2

Qki

W

p

V1

Qbe

V 0

2

4 1

V2

Q ki

W

V3

3

106. ábra Ottó és Diesel körfolyamatok.

139

A 107. ábrán a Seiliger-Sabathier, a Humphrey és a Joule körfolyamatok diagramjait mutatjuk be. A bemutatott körfolyamatok közül a Seiliger-Sabathier körfolyamat némiképp összetettebb szerkezetű a többinél, mivel a hőbevezetés két folyamatszakasz során, részben állandó térfogaton részben pedig állandó nyomáson megy végbe.

p

V1

Q' be

V0

2

51

V 2

Qki

W

V 3

3 Q''be

4 p

Qbe

V0

3

2

41 Q ki

W

p

Qbe

V0

2

41Qki

W

3

107. ábra Seiliger-Sabathier, a Humphrey és a Joule körfolyamatok.

A fentiekben beutatott motorikus körfolyamatok termikus hatásfokok ala-kulását az alábbiakban adjuk meg.

1. Otto körfolyamat Az otto körfolyamatnál mind a hőbevezetés, mind a hőelvonás izochor ál-lapotváltozás során valósul meg, és az adiabatikus szakaszokon sem hőközlés, sem hőelvonás nincs. Ezért Qbe = cvm(T3-T2) és |Qki| = cvm(T4-T1). A termikus hatásfok :

23

14

23

14t 1

)()(11

TTTT

TTmcTTmc

QQ

v

v

be

ki

−−

−=−−

−=−=η .

140

2. Diesel körfolyamat Ennél a körfolyamatnál a hőbevezetés izobár állapotváltozás mellet, a hő-elvonás pedig izochor állapotváltozás során valósul meg, és az adiabati-kus szakaszokon sem hőközlés, sem hőelvonás nincs. Ezért: Qbe = cpm(T3−T2) és |Qki| = cvm(T4−T1). A termikus hatásfok:

)()(11

23

14

TTcTTc

QQ

p

v

be

ki

−−

−=−=η .

3. Seiliger – Sabathier körfolyamat

A Seiliger-Sabathier körfolyamatnál a hőbevezetés két részben megy végbe Egyrészt állandó izochor, majd az ahhoz csatlakozó izobár szakasz mentén, és az adiabatikus szakaszokon sem hőközlés, sem hőelvonás nincs. Ennek megfelelően a hőbevezetést két tag összege adja: Qbe = Q'be + Q''be = cvm(T3 −T2) + cpm(T4 −T3). A hőelvonás most is izochor, tehát |Qki| = cvm(T4-T1). A termikus hatás-fok kifejezése ebben az összetettebb esetben a következő lesz:

)()()(11

3423

15t TTcTTc

TTcQQ

pv

v

be

ki

−+−−

−=−=η .

4. Humphrey körfolyamat A Humphrey gázturbina körfolyamat esetében a hőbevezetés izochor ál-lapotváltozás mellett, a hőelvonás pedig izobár állapotváltozás mellett megy végbe. Az adiabatikus szakaszokon sem hőközlés, sem hőelvonás nincs. Ezért: Qbe = cvm(T3 −T2) és |Qki| = cpm(T4 −T1). A termikus hatás-fok képlete a következőképp alakul:

)()(

1123

14t TTc

TTcQQ

v

p

be

ki

−−

−=−=η .

5. Joule körfolyamat A Joule körfolyamatot állandó nyomású gázturbina körfolyamatnak is ne-vezik. Ennél a körfolyamatnál mind a hőbevezetés, mind a hőelvonás izo-bár állapotváltozás során valósul meg, és az adiabatikus szakaszokon sem hőközlés, sem hőelvonás nincs. Ezért Qbe = cpm(T3 − T2) és |Qki| =

141

cpm(T4 −T1). A termikus hatásfok az alábbi lesz:

23

14

23

14t 1

)()(

11TTTT

TTcTTc

QQ

p

p

be

ki

−−

−=−−

−=−=η .

A vizsgált ideális motorikus körfolyamatok helyesen ragadják meg a va-lóságos körfolyamatok lényegét, azonban a valóságos nyomás–térfogat körfolyamatoknál az ideális körfolyamat diagramokban megjelenő törés-pontok eltűnnek, a töréspontok helyén lekerekített átmenetek valósulnak meg. A valóságos folyamatok termikus hatásfoka alatta marad az ideális folyamatoknál számítható értékeknek.

A belsőégésű motorok tényleges „nyomás–térfogat” körfolyamatáról a nyomás mérésével tudunk információt szerezni. A nyomásmérés eszköze a nyomás indikátor, amely kivezeti a motor munkatérbeli nyomását, és mérhetővé teszi azt a dugattyúhelyzet függvényében. A mérések eredmé-nye alapján megrajzolható a motor indikátor diagramja.

Az indikátordiagram alapján értelmezhető az indikált középnyomás, és-pedig a következő gondolatmenet alapján. A 108. ábra szerint keressük azt az indikált középnyomásnak nevezett konstans pi nyomásszintet, amely a lökettérfogat mentén ugyanakkora W munkát végez, mint maga a körfolyamat. Képletben:

pi = W/VL

ahol VL = V1 – V2 a lökettérfogat.

p

V1 V 0

p i W

V2

W......

...... ... ...... ...... ... ............ ......

108. ábra Az indikált középnyomás.

142

6 Gépek együttműködése és irányítása A gépek üzemi tulajdonságainak jellemzésére meg kell adni a fontos üzemi jellemzők közötti függvénykapcsolatokat. A függvénykapcsolat megfogalmazása alapesetben képlet formájában megadott utasítással tör-ténik, de nagyon sokszor adjuk meg a függvénykapcsolat diagram formá-jában, grafikusan. Ezen utóbbi esetben a gép jelleggörbéjének megadásá-ról beszélünk. Azt a kérdést, hogy két gép − pl. a motor és a meghajtandó jármű alkotta un. „gépcsoport” − milyen feltételek mellett tud probléma-mentesen együttműködni, a két gép jelleggörbéjének közös diagramban történő ábrázolásával, és a jelleggörbék metszéspontjával meghatározott „munkapontnak” több szempontú értékelésével lehet megválaszolni.

A gépek működését sokszor eleve úgy tervezzük meg, hogy a jelleggörbé-ik alakulásába valamely, a működés fizikai feltételeit befolyásoló meny-nyiség megváltoztatásával be lehessen avatkozni, azaz a gép vezérelhető legyen. Ebben az utóbbi esetben a gépet nem egyetlen jelleggörbe, hanem a vezérlő paraméter értékeivel indexezett jelleggörbe sokaság jellemzi.

Ha a vezérlő paraméter értékét valamely kívánt rendszerállapot fenntartá-sa érdekében az aktuális rendszerállapot-jellemző folyamatos mérése, és a kívánt állapotjellemzővel való összehasonlítás alapján úgy változtatjuk, hogy a kívánt állapot és az aktuális állapot jellemzőjének eltérése egy kor-lát alatt maradjon, akkor a rendszer szabályozásáról beszélünk.

6.1 A gépek jelleggörbéinek alaptípusai A gépek jelleggörbéjének alakulása igen sokféle lehet. Mégis a jelzett nagyszámú lehetőség közül érdemes kiemelni a gép által leadott vagy fel-vett nyomaték alakulásának és a gép fordulatszámának összefüggését megragadó jelleggörbéket. Ha a gép n fordulatszámát tekintjük független változónak, akkor az adott fordulatszámhoz tartozó M(n) nyomatéki érték ismeretében a gép adott fordulatszám mellett kialakuló dinamikai- és energetikai viszonyait jellemezni lehet.

Ha ugyanis pl. egy erőgép (pl. motor) által kifejtett Me(n) nyomatékról van szó, és ismert az ugyanezen n fordulatszámnál a hajtott munkagép ál-tal igényelt Mm(n) terhelő nyomaték is, akkor a gép tengelyének ε szög-gyorsulása Newton II. törvényének a forgómozgásra felírt

[Me(n) − Mm(n)] = Θε

143

alakja alapján számítható. Másrészt a hajtó erőgép n fordulatszám és Me(n) nyomaték kifejtés mellett Pe(n) = c Me(n)⋅n teljesítményt (energia-áram leadást) valósít meg, ahol c a szögsebesség és a fordulatszám ω = c n lineáris kapcsolatát meghatározó együttható. Ennek a teljesítménynek a megjelenítése a fordulatszám-nyomaték diagramban a szorzat jelentésére gondolva az (n, Me) koordinátapárral kijelölt csúcspontra és az origóra va-lamint a koordinátatengelyekre illeszkedő téglalap területtel lehetséges, mert ez a terület arányos az adott jelleggörbe pontban érvényesülő ener-giaáram értékével, ugyanis TER = Me(n)⋅n = Pe(n)/c.

A sok lehetséges nyomaték-fordulatszám jelleggörbe alak közül célszerű a következő három esethez tartozó ideális jelleggörbe alak megkülönböz-tetése:

1. nyomatéktartó, 2. fordulatszámtartó, 3. teljesítménytartó.

A nyomatéktartó ideális jelleggörbe – nevével összhangban – valamely fordulatszám intervallum felett a fordulatszámtól független állandó (kons-tans) nyomatékleadást vagy nyomatékigényt határoz meg.

A fordulatszámtartó ideális jelleggörbe bármely nyomaték érték megva-lósulása esetén is megtartja az állandó fordulatszámot.

A teljesítménytartó ideális jelleggörbe a fordulatszám függvényében hi-perbolikus változást mutat az M = P/ω = P/(cn) összefüggés szerint, mi-vel ha P = P0 állandó, akkor

0)(

PPnM

= =

nállandó

cnP

=0 .

Ez azt jelenti, hogy az ideális teljesítménytartó jelleggörbe esetén bármely fordulatszámnál akkora a nyomaték, hogy a gép teljesítmény leadása vagy teljesítmény igénye elvileg a fordulatszám értékétől függetlenül állandó marad, azonban valamely tényleges gép teljesítménytartó tulajdonsága csak egy pozitív n0 fordulatszámkorlátnál nagyobb fordulatszámoknál áll-hat fenn.

A fentiek szerinti ideális jelleggörbe alakok a valóságos gépek esetében csak közelítőleg, valamely véges üzemállapot tartományon adhatnak meg-felelő közelítést, mégis a gép jellemzőiről alkotott kép kialakításához, ill. a tendenciák helyes értékeléséhez előnyösen használhatók fel.

144

A 109. ábrán az ideális nyomatéktartó jelleggörbét ábrázoltuk, és szagga-tott vonallal berajzoltuk, hogy egy dugattyús gép – pl. egy dízelmotor – esetében a nyomatéktartó jelleg miképp érvényesül. A 110. ábrán az ideá-lis fordulatszámtartó jelleggörbe esetét vázoltuk fel, és a diagramba szag-gatott vonallal berajzoltuk egy valóságos esetben, pl. egy aszinkron villa-mos motor esetében a fordulattartó jelleg egy szakaszon történő érvénye-sülését. Az ideális teljesítménytartó gép hiperbolikus jelleggörbéjét a 111. ábra mutatja. A diagramba szaggatott vonallal berajzoltunk egy valóságos turbina jelleggörbét is, amely egy szakaszon közelítőleg teljesítménytartó sajátosságot mutat.

M = áll. M

n

dízelmotor

109. ábra Nyomatéktartó jelleggörbe.

n = áll.

M

n

aszinkron motor

110. ábra Fordulatszámtartó jelleggörbe.

n0

turbina

n

M P = áll.

111. ábra Teljesítménytartó jelleggörbe.

145

6.2 Gépek együttműködése, munkapont, stabilitás Mondottuk fentebb, hogy egy gépcsoportban együttműködő két gép mű-ködési viszonyainak jellemzésére igen alkalmasak a jelleggörbék. A 112. ábrán közös diagramban rajzoltuk fel a hajtó erőgép Me(n) nyomatéki jel-leggörbéjét a meghajtott munkagép Mm1(n) nyomatéki jelleggörbéjével. Ebben az esetben az Me(n) jelleggörbe az erőgép által különböző n fordu-latszámokon leadható nyomatékot jeleníti meg, míg az Mm1(n) a munka-gép n fordulatszámon megvalósuló üzeme esetén igényelt nyomatékot ad-ja meg.

Ha a két jelleggörbe metszi egymást, az azt jelenti, hogy a metszésponti n0 fordulatszámnál az erőgép által leadható nyomaték megegyezik a mun-kagép által igényelt nyomatékkal, azaz Me(n0) = Mm1(n0). Ebben az eset-ben az erőgép által szolgáltatott teljesítmény is megegyezik a munkagép által igényelt teljesítménnyel, azaz energetikai egyensúly áll fenn. Az ilyen esetben kialakult Q0 jelleggörbe metszéspontot munkapontnak ne-vezzük. A gépcsoportnak ebben az n0 fordulatszámú munkapontjában el-vileg állandósult (stacionárius) üzem tartható fenn. A tekintett jelleggör-bék Q0 metszéspontjának létezése csak szükséges feltétel az állandósult üzem gyakorlati feltételek közötti megvalósíthatóságának.

−

− +

++

n1

Me

n2 n0

Mm2

Mm1

Me Mm1 Mm2

Q1

Q2

n

Q0

112. ábra Erőgép és munkagép együttműködése.

146

Az állandósult üzem biztosításához még egy további feltétel, a munkapont stabilitása is szükséges. A stabilitás feltétele az ábrán megjelenő Q0 mun-kapontban teljesül, mert ha gondolatban a gépcsoport n fordulatszámát ki-térítjük az n0 munkapontból, a jelleggörbék aktuális relatív helyzete most biztosítja azt, hogy a megzavart rendszerben a kialakuló nyomatékeltéré-sek hatására az együttműködés vissza fog térni a n0 fordulatszámú mun-kapontba. Valóban, ha a megzavarás eredményeként n>n0 fordulatszám alakulna ki, akkor Mm1(n) > Me(n) nyomatékviszony adódna, ami a miatt az Me(n) − Mm1(n) különbség negatívra adódna, így a kialakuló szöggyor-sulás is negatív lenne, ezért a gépcsoport „vissza lassulna” az eredeti n0 munkaponti fordulatszámra.

Ha most megfordítva, a megzavarás eredményeként n<n0 fordulatszám alakulna ki, akkor Mm1(n) < Me(n) nyomatékviszony adódna, ami a miatt az Me(n) − Mm1(n) különbség pozitívra adódna, így a kialakuló szöggyor-sulás is pozitív lenne, ezért a gépcsoport „vissza gyorsulna” az eredeti n0 munkaponti fordulatszámra. Az elmondottak szerint a Q0 munkapont a megzavarásokkal szemben stabil.

Ha most az ábrán szereplő Mm2(n) munkagép nyomatéki jelleggörbét te-kintjük, akkor ez az erőgép Me(n) jelleggörbéjével két metszéspontot ad, a Q1 és Q2 metszéspontokat az n1 és n2 új munkaponti fordulatszámokkal. A Q1 munkapontban a jelleggörbék relatív elhelyezkedése lényegileg azonos a Q0 munkaponttal kapcsolatban megvizsgált esetben talált elhelyezkedés-sel, tehát a Q1 munkapont is stabil.

Más a helyzet a kialakult Q2 munkapont esetében. Ha valamely megzava-rás miatt n > n2 fordulatszám alakulna ki, akkor Mm2(n) < Me(n) nyoma-tékviszony adódna, ami miatt az Me(n) − Mm1(n) különbség pozitívra adódna, így a kialakuló szöggyorsulás is pozitív lenne, ezért a gépcsoport nem tér vissza az n2 munkaponti fordulatszámhoz, hanem gyorsulni kezd, és irányt vesz az n1 munkaponti fordulatszám felé.

Ha most n < n2 fordulatszám alakulna ki, akkor Mm2(n) > Me(n) nyoma-tékviszony adódna, ami a miatt az Me(n) − Mm1(n) különbség negatívra adódna, így a kialakuló szöggyorsulás is negatív lenne, ezért a gépcsoport nem tér vissza az n2 munkaponti fordulatszámhoz, hanem lassulni kezd, és a lassuló mozgást egészen a leállásig folytatja. Az elmondottak alapján az n2 munkapont a megzavarásokkal szemben nem stabil, azaz labilis munkapont. Természetszerű, hogy járműveinkben alkalmazott gépcsopor-tok munkapontjainak stabilitását a tervezés során körültekintően biztosí-tani kell.

147

6.3 Vezérlés és szabályozás A gépek üzemébe szükség szerint be kell avatkozni a kívánt üzemállapo-tok beállítása céljából. Mondottuk fentebb, hogy már a gépek tervezése folyamán biztosítani kell a jelleggörbék szükség szerinti változtathatósá-gát valamely, a működés fizikai feltételeit befolyásoló paraméter megvál-toztatásával.

A gép üzeme során valamely paraméternek a jelleggörbék befolyásolására irányuló megváltoztatását a gép vezérlésének nevezzük. A vezérlési pa-raméter megváltoztatásával a gép eredeti jelleggörbéje megváltozik, és így a vezérlési paraméterrel meghatározott jelleggörbe sokaság adódik.

Példaként tekintsünk egy dízelmotort, ahol az égéstérbe ciklusonként be-fecskendezett gázolaj mennyiségét változtatva a motor nyomatéki jelleg-görbéi megváltoznak. Jelölje a gázolaj-befecskendezési jellemzőt az u pa-raméter. A 113. ábrán felrajzoltuk a szóban forgó motor Me(n,ui) nyoma-téki jelleggörbéit négy különböző u1, u2,…,u4 vezérlési paraméter érték figyelembe vételével.

2

1

u4

Mm

n n2

Me Mm

Me

n1

u1

u2

u3

113. ábra A dízelmotor nyomatéki jelleggörbéi.

A dízelmotorok üzemében a jelleggöbe azonosítására bevezetett ui para-méternek az i-edik beállításhoz tartozóan egy ciklus során befecskende-zett gázolajtömeg és az egy ciklus alatt maximálisan befecskendezhető gázolajtömeg hányadosaként értelmezett töltés értékét választhatjuk. Az ábrán feltüntetett Mm(n) függvény a dízelmotorral hajtott jármű menetel-lenállásának a motortengelyre átszámított nyomatéki megfelelője, azaz a

148

motort terhelő nyomaték. Ha motor az 1-jelű munkapontban üzemel, ak-kor az u3 vezérlési jellemző szerinti jelleggörbével az n1 motorfordulat-szám fennállása mellett alakul ki a jármű haladó mozgásának v1 sebessé-ge. Ha jármű vezetője el akarja érni a nagyobb v2 sebességet, akkor felté-ve, hogy a sebességváltó azonos fokozatban maradt, a motor vezérlését az u2 értékre kell változtatnia, aminek hatására a motor nyomatéka megnö-vekszik és eléri a 2-jelű munkapontot, ahol az n2 motorfordulatszám fenn-állása mellett biztosítható a jármű haladó mozgásának v2 sebessége.

Az elmondottakból kiolvasható, hogy a kiadott vezérlés-változtatás hatá-sára a jármű mozgásállapotát kívánt irányban befolyásolni lehetett. Maga a vezérlés, mint irányítási akció az ismertetett nyílt hatáslánc menti hatás-terjedéssel magyarázható, és a vezérlés végeredménye nem kerül önmű-ködően ellenőrzésre, azaz nem csatolódik vissza a ténylegesen elért sebes-ség érték a vezérlés esetleges további korrigálása céljából. A vezérlésnél tehát nincs visszacsatolás.

Amennyiben az irányított rendszer valamely állapotának a lehetőség sze-rinti pontos fenntartása a cél, akkor a rendszert szabályozni kell! A beve-zetett vezérlő paraméter változtatása továbbra is feladat marad, hiszen a rendszer működését ezen vezérlőparaméter változással lehet befolyásolni. Szabályozásnál azonban a célállapot jellemzői folyamatosan mérésre ke-rülnek és a vezérlésváltoztatás mértéke az elért aktuális állapot és a kívánt célállapot eltérése függvényeként automatikusan kerül beállításra, éspedig oly módon, hogy az aktuális és a célállapot eltérése mindig csökkenjen. Az elmondottak alapján világos, hogy a szabályozás hatáslánca zárt kell, hogy legyen, és a kiadott vezérlési érték okozta állapotváltozási eredmény folyamatosan vissza kell hogy csatolódjon magára a további vezérlés ki-alakításra. A szabályozásnál tehát van visszacsatolás!

A dízelmotoros jármű példáját tekintve ki lehet tűzni a konstans haladási sebességre pl. a v1 sebességre történő szabályozás feladatát. Ekkor azt mondjuk, hogy az előírt (vagy parancsolt) rendszerállapot a v1 = áll. se-bességű haladás. A motor fordulatszáma a jármű sebességével meghatá-rozott függvény szerint kényszerkapcsolatban van, és az előírt v1 sebessé-gű haladás állapotában n1–gyel egyenlő. A szabályozási feladatot most úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a motor n1 fordulatszámát a lehető legpon-tosabban tartani kell, és ezért folyamatosan mérjük az aktuális n motor-fordulatszámot, és kiértékeljük az előírt n1 fordulatszámtól vett ∆n = n - n1 eltérést, és ha ez pozitív értéket ad, akkor a motor töltését csökkentjük, ha pedig negatív értéket ad akkor a motor töltését növeljük az u vezérlés

149

megfelelő, automatikus változtatásával. A vezérlés mindaddig változik, amíg az előírt n1 fordulatszámértéktől vett ∆n = n - n1 eltérés abszolút ér-tékében valamely előírt ε pontossági korlátnál nagyobb eltérés van jelen.

A 114. ábrán blokkvázlatokkal érzékeltetjük a vezérlés és a szabályozás hatásláncának jellegzetes eltérését, nevezetesen azt, hogy a vezérlés ha-táslánca nyitott és nincs visszacsatolás, míg a szabályozás hatáslánca zárt és van visszacsatolás. Az alkalmazott jelölések megfelelnek a koráb-bi magyarázatban szereplő mennyiségeknek, csupán a x értékel kapcso-latban kell elmondani, hogy az a kívánt fordulatszám érték eléréséhez a befecskendező szivattyú állító karján a megfelelő elmozdulás értéket jelö-li, amelyik majd kialakítja a megfelelő u töltés-vezérlést.

vezérlő egység

motor munka-folyamat

befecskende-ző szivattyú

tehetelen tömegek

uvezérlő egység

motor munka-folyamat

befecskende-ző szivattyú

tehetelen tömegek

vezérlő egység

motor munkafo-

lyamat befecskende-ző szivattyú

tehetetlen tömegek

x Me

Mm

n1 u

A vezérlés nyílt hatáslánca

A szabályozás zárt hatáslánca

Me

Mm

n u n1 tehetetlen tömegek

motor munkafo-

lyamat befecskende-ző szivattyú

szabályozó egység

x

n

114. ábra A vezérlés és a szabályozás blokkvázlata.

150

7 Mintafeladatok

7.1 1. Gyakorló feladat: mérési eredmények feldolgozása

Egy hengeres alkatrészeket gyártó szerszámgép beállításait méréssel kí-vánjuk ellenőrizni. Ehhez egy 10 darabból álló mintát veszünk a gép által készített alkatrészekből, melyek átmérőjét ezredmilliméteres pontossággal megmérjük. A 10 független mérés eredményét a táblázat tartalmazza.

i 1 2 3 4 5

di (mm) 99.983 99.951 99.962 99.968 99.970

i 6 7 8 9 10

di (mm) 99.957 99.976 99.984 99.965 99.979 4. Táblázat. Az átmérőmérés adatai

a.) Határozza meg a mért eredmények számtani átlagát és korrigált ta-pasztalati szórását!

b.) Adja meg az első 5 mérésre vonatkozóan a relatív hiba számértékét!

c.) Az átmérőmérés relatív hibáiból kiindulva határozza meg a kereszt-metszetek relatív hibáit az első 5 mérésre vonatkozóan!

d.) Feltételezzük, hogy a mérési eredmények Gauss-eloszlást követnek. Írja fel az alkatrészek átmérőinek jellemzésére alkalmas valószínűségi sűrűségfüggvényt!

e.) A szerszámgép beállításai akkor megfelelőek, ha az általa készített al-katrészek legfeljebb 5%-a selejt. Az átmérőre vonatkozó előírás Ø100 h8 = Ø 0

054.0100− , vagyis a névlegesen 100 mm-es átmérővel rendelke-ző alkatrész megfelelő, ha átmérője 99.946 mm és 100.000 mm között van. A minta alapján megfelelőek a szerszámgép jelenlegi beállításai?

f.) A gép által gyártott alkatrészeket két különböző sorozatban gyártott berendezésbe építik be. Ebből az egyik típusba csak az Ø100 g6 = Ø 012.0

027.0100−− tűrésmezőbe eső alkatrész a megfelelő, vagyis a kész dara-

bok átmérőinek 99.973 mm és 99.988 mm között kell lenniük. A je-lenlegi beállításokkal működő szerszámgép a minta alapján várhatóan mekkora részben készít ebbe, a szigorúbb tűrésmezőbe eső alkatré-szekből?

151

Megoldás:

a.) A mérések számtani átlaga (2.3.2. fejezet)

mm 9695.9910

979.99965.99951.99983.9911

=++++

== ∑=

Kn

iin d

nd ,

korrigált empirikus szórása pedig

( )

( ) ( ) .µm 11mm 011.09

9695.99979.999695.99983.99

11*

22

1

2

=≈−++−

=

=−⋅−

= ∑=

K

n

inid dd

ns

b.) Jelen esetben csak a látszólagos relatív hiba értéke adható meg, mivel a pontos érték nem ismert, csupán annak torzítatlan statisztikai becslé-se, a véges minta számtani átlaga áll rendelkezésünkre (2.6. fejezet).

n

nidi d

ddh

−= , például 000135.0

9695.999695.99983.99

1 ≈−

=dh = 0.0135%.

hd2 ≈ -0.000185, hd3 ≈ -0.000075, hd4 ≈ -0.000015, hd5 ≈ 0.000005.

c.) A keresztmetszet nagysága az átmérő négyzetének konstansszorosa. A linearizált hibaterjedés alkalmazásával a hatványkifejezés relatív hibá-ja megadható a hatványalap relatív hibája és a hatványkitevő szorzata-ként (2.7.1. fejezet). Esetünkben

diAiii

i hhdkd

A ⋅=→⋅== 24

22π

, például hA1 = 2·hd1 = 2·(0.000135) =

= 0.00027 = 0.027%.

hA2 = -0.00037, hA3 = -0.00015, hA4 = -0.00003, hA5 = 0.00001.

d.) A Gauss- vagy normális eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye

( )( )

2

2

2

21 σ

σπ

mx

exf−

−⋅

⋅= , ahol az eloszlás két paramétere az m várható

érték és a σ szórás (2.4.4. fejezet). A rendelkezésünkre álló véges min-ta esetén ezek torzítatlan becsléseit, vagyis a számtani átlagot és a kor-rigált tapasztalati szórást használhatjuk. Így ndm ≈ és σ ≈ sd* helyet-tesítéssel a keresett sűrűségfüggvény

152

( )( )

( ) ( )22

2

9695.9963.4081*2 04475.36*2

1 −⋅−

−−

⋅≈⋅⋅

= xsdx

d

ees

xf d

n

π lesz.

e.) A korábban tanultak szerint normális eloszlás esetén a várható érték körüli ±2 szórásnyi intervallumba esés valószínűsége 95.4%. Esetünk-ben tehát a minta szerint felvett sűrűségfüggvény értelmében a szer-számgép által készített alkatrészek 95.4%-ának átmérője

mm 9474.990111.029695.99*22 =⋅−=⋅−≈− dn sdm σ és

mm 9916.990111.029695.99*22 =⋅+=⋅+≈+ dn sdm σ között lesz. Mivel ez az intervallum keskenyebb, mint a h8 tűrésmező által kijelölt [99.946 mm, 100.000 mm] intervallum, ezért a gép jelenlegi beállításai megfelelőek.

f.) A valószínűségi sűrűségfüggvény területarányos az intervallumba esés valószínűségével (2.4.4fejezet). Tehát annak a valószínűsége, hogy a ξ valószínűségi változó értéke az [a,b] zárt intervallumba esik, éppen egyenlő az f(x) sűrűségfüggvény görbéje alatti területtel az [a,b]

intervallum felett. Matematikailag kifejezve: [ ]{ } ( )∫=∈b

a

dxxfba,ξP .

Feladatunk tehát a megadott intervallum felett az f(x) sűrűségfüggvény Riemann szerinti határozott integráljának kiszámítása. Mivel f(x) zárt alakban nem integrálható, vagyis nem határozható meg a primitív függvénye, ezért a keresett integrált csak numerikus közelítéssel adhat-juk meg. A keresett területet trapézzal közelítjük.

TER = [ ]{ }bad ,∈P

115. ábra A gép által gyártott alkatrészek átmérőinek f(x) valószínűségi

sűrűségfüggvénye

153

Ennek lényege, hogy az integrál numerikus közelítése könnyen megha-tározható az intervallum határain felvett f(a) és f(b) függvényértékek, ill. az intervallum (b-a) szélessége segítségével. Ezt szemléltetik a 115. és 116. ábrák.

116. ábra. Az adott intervallumba esés valószínűségének becslése a sűrű-

ségfüggvény alatti terület trapézzal történő közelítésével

Esetünkben az alkatrészek d átmérőjének kell az a = 99.973 mm és a b = 99.988 mm határok közé esnie. Az f(x) sűrűségfüggvény görbéje alatti terület közelítően az ábrán vázolt trapéz területével egyenlő:

[ ]{ } ( ) ( ) ( ) ( )

%.40.323240.0015.02

916.8287.342

,

==⋅+

≈

≈−⋅+

≈=∈ ∫ abbfafdxxfbadb

a

P

Az ábráról az is leolvasható, hogy az így kiszámított terület a tényle-gesnél valamivel kisebbre adódik.

Megjegyzés: A trapézzal való közelítés csak olyan esetben használható nagy biztonsággal, ha a függvény görbéje az adott szakaszon jó közelí-téssel egyenes. Egyéb esetben az eredmény nagyon messze eshet a kö-zelített terület valódi nagyságától.

7.2 2. Gyakorló feladat: regressziós görbe illesztése mérési adatokra

Egy vasúti személykocsi alapellenállásának meghatározását méréssel kí-vánjuk elvégezni. A mérés során a kocsit sík, egyenes pályán, szélcsendes időben, adott értékekre beállított sebességgel vontattuk és mértük a vonó-

154

készüléken átadott erő nagyságát. A mérés vázlatát a 117. ábra mutatja. A méréssel meghatározott összetartozó sebesség- és vonóerő értékeket a táb-lázat tartalmazza.

117. ábra. Vasúti kocsi alapellenállásának mérése

vi (km/h) 20 40 60 80 100

Fvi (kN) 0.81 1.06 1.38 1.87 2.29 5. Táblázat. Mért menetellenállás értékek

a.) Fizikai ismeretekre alapozva tudjuk, hogy a kocsi alapellenállása a ha-ladási sebesség kvadratikus függvénye lesz. Írja fel a legkisebb négyze-tek módszere értelmében a célfüggvényt az alapellenállás Fv0(v) = a·v2 + b alakú közelítő sebesség-függvénye esetére! Az összefüggésben [Fv0] = kN és [v] = km/h .

b.) Vezesse le a közelítő függvény a és b együtthatójának meghatározásá-ra alkalmas összefüggéseket és határozza meg a két paraméter optimá-lis értékét!

c.) Mennyi a célfüggvény minimális értéke?

Megoldás:

a.) Feladatunk egy kétparaméteres parabola illesztése a méréssel meghatá-rozott ponthalmazba úgy, hogy a görbe „összességében” a legjobban közelítse azt (2.8. fejezet).

Megjegyzés: FONTOS! A regressziós görbe illesztése nem interpolá-ció, azaz előfordulhat, hogy az eredményül kapott optimális görbe egyetlen mérési ponton sem megy keresztül. A görbe optimális volta most annyit jelent, hogy az előírt alakú görbe – az illesztési feltételek-nek megfelelően – a lehető legközelebb halad minden mérési ponthoz.

A legkisebb négyzetek módszere az ordinátairányú eltérések minimali-zálását jelenti. Eszerint minden (xi, yi) mérési pont távolsága az illesz-tett f(x) regressziós görbétől y irányban mérendő, előjeles nagysága

155

pedig di = yi - f(xi). Tekintve, hogy a pozitív és negatív eltérések egy-szerű összegzés esetén kiolthatnák egymást, a négyzeteiket vesszük fi-gyelembe. Így az i-edik mérési ponthoz tartozó négyzet területe TERi = [yi - f(xi)]2. A cél ezen területek összegének minimalizálása, vagyis a legkisebb négyzetek elve szerinti célfüggvény n mérési pont esetében

általánosan a ( )[ ]∑ ∑∑= ==

=−===Φn

i

n

iiii

n

ii xfydTER

1 1

22

1

min! alakba ír-

ható. A Φ célfüggvény változói az illesztendő f(x) görbe paraméterei lesznek. Az ismertetett eljárást a 118. ábra szemlélteti.

118. ábra. A legkisebb négyzetek módszere

A feladatban a független változó a v sebesség, az illesztendő görbe pe-dig az alapellenállás Fv0(v) = a·v2 + b alakú sebesség-függvénye. A cél-

függvény tehát most a ( ) ( )[ ] min!,1

22 =+⋅−=Φ ∑=

n

iivi bvaFba alakot ölti.

b.) Általános esetben egy kétváltozós függvény globális minimumhelyé-nek megkeresése igen összetett feladat. Az általunk vizsgált esetben azonban – tekintettel a feladat természetére és a felvett célfüggvény alakjára – a minimumhely azonosításához elégséges feltételt jelent a célfüggvény parciális deriváltjainak eltűnése.

A Φ(a,b) célfüggvény parciális deriváltjait akkor kapjuk meg, ha a függvényt először az a független változója szerint differenciáljuk úgy, hogy közben a másik, b változót konstansnak tekintjük; illetve fordít-va. Az így kapott a-tól és b-től függő két kifejezést zéróval egyenlővé téve egy két egyenletből álló algebrai egyenletrendszerre jutunk a két

156

ismeretlen paraméterre nézve. Ez az ún. Gauss-féle normálegyenletek rendszere. Ennek megoldása adja meg a paraméterek keresett optimális értékeit.

A célfüggvény tehát a ( ) ( )[ ]∑=

+⋅−=Φn

iivi bvaFba

1

22, , melynek parciá-

lis deriváltjai rendre a következők:

( ) [ ] [ ]

[ ] ( ) [ ] 022

,

1

242

1

22

1

22

1

22

=⋅+⋅+⋅−⋅=−⋅−⋅−⋅=

=−⋅−∂∂

=−⋅−∂∂

=Φ∂∂

∑∑

∑∑

==

==

n

iiiivi

n

iiivi

n

iivi

n

iivi

vbvavFvbvaF

bvaFa

bvaFa

baa

és

( ) [ ] [ ]

[ ] ( ) [ ] 0212

,

1

2

1

2

1

22

1

22

=+⋅+−⋅=−⋅−⋅−⋅=

=−⋅−∂∂

=−⋅−∂∂

=Φ∂∂

∑∑

∑∑

==

==

n

iivi

n

iivi

n

iivi

n

iivi

bvaFbvaF

bvaFb

bvaFb

bab

Megjegyzés: A deriváláskor alkalmaztuk az összetett függvények diffe-renciálására vonatkozó lánc-szabályt és kihasználtuk a differenciálás összegtartó tulajdonságát.

A kapott egyenletrendszer megoldásával az optimális a és b paraméte-reket a mérési adatokra támaszkodva meghatározó összefüggésekre ju-tunk.

[ ]

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=+⋅+−⋅

=⋅+⋅+⋅−⋅

∑

∑

=

=

02

02

1

2

1

242

n

iivi

n

iiiivi

bvaF

vbvavF

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⋅+⋅+−

=⋅+⋅+⋅−

∑∑

∑∑∑

==

===

0

0

1

2

1

1

2

1

4

1

2

nbvaF

vbvavF

n

ii

n

ivi

n

ii

n

ii

n

iivi

(*)

Az elvégzett műveleteket könnyebb áttekinteni, ha a (*) egyenletrend-szerben szereplő konstansokat egyszerűbb jelölésekkel helyettesítjük. Legyen például:

157

. és , , , 41

23

12

1

41

1

2 kvFkFkvkvn

iivi

n

ivi

n

ii

n

ii =⋅=== ∑∑∑∑

====

Ekkor a megoldandó egyenletrendszer a ⎭⎬⎫

=⋅+⋅+−=⋅+⋅+−00

13

124

nbkakkbkak

lesz.

Kifejezve a második egyenletből b-t: n

kakb 13 ⋅−

=

ezt behelyettesítve az első egyenletbe: 02

11324 =

⋅−⋅+⋅+−

nkakk

kak

azaz 0132

124 =

⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+−

nkk

nk

kak , melynek átrendezésével

212

134

kknkkkn

a−⋅

⋅−⋅= és 2

12

41232

12

21

341

3

kknkkkk

kkn

knk

kk

nk

b−⋅

⋅−⋅=

−⋅

⋅−⋅−= .

Az együtthatók számértékei a mérési adatok alapján a következők:

.h

kmkN 41856

10029.22081.0

kN 41.729.206.181.0

hkm 1566400001004020

hkm 220001004020

2

2

22255

211

5

1

24

521

5

13

4

44444

542

41

5

1

42

2

22222

522

21

5

1

21

⋅=

=⋅++⋅=⋅++⋅=⋅=

=+++=+++==

=+++=+++==

=+++=+++==

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

KK

KK

KK

KK

vFvFvFk

FFFFk

vvvvk

vvvvk

vvi

ivi

vvvi

vi

ii

ii

Ezekkel a paraméterek optimális értékei pedig az alábbiak lesznek:

2

2

2212

134

kmhkN 0001546.0

2200015664000052200041.7418565 ⋅

≈−⋅

⋅−⋅=

−⋅⋅−⋅

=kkn

kkkna

.kN 8017.0220001566400005

418562200015664000041.722

12

4123 ≈−⋅

⋅−⋅=

−⋅⋅−⋅

=kkn

kkkkb

Tehát az alapellenállás legkisebb négyzetek módszere értelmében op-

158

timális paraméterekkel rendelkező közelítő függvénye az

lesz, amelybe a v sebesség értékét km/h-ban kell behelyettesíteni. Ezt mutatja a 119. ábra.

119. ábra. A mérési adatokra illesztett regressziós parabola

c.) A célfüggvény értéke a fent kapott optimális paraméter-értékek behe-lyettesítése esetén lesz minimális, hiszen a célfüggvény a regressziós görbe és a mérési pontok ordinátairányú eltéréseinek négyzetösszegét adja meg.

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( )[ ]( )[ ] .kN 013.08017.01000001546.029.2

8017.0200001546.081.0

8017.00001546.08017.0,0001546.0

min!,

222

22

5

1

22

1

22

≈+⋅−+

+++⋅−=

=+⋅−=Φ

=+⋅−=Φ

∑

∑

=

=

K

iivi

n

iivi

vF

bvaFba

7.3 3. Gyakorló feladat: csavarvonal menti mozgás vizsgálata

Egy állandósult üzemállapotban működő hajócsavar egyik pontjának ki-nematikai viszonyait szeretnénk feltérképezni. A vizsgálat során alkalma-zott koordináta-rendszer origója a t0 = 0 s időpillanatban a hajócsavar sík-

Fv0(v) = 0.0001546·v2 + 0.8017 (kN)

159

jában, a forgástengely középpontjában van a 120. ábra szerinti elrende-zésben. A hajó (x irányú) haladási sebessége v = 50 km/h és állandónak vehető. A hajócsavar átmérője D = 8 m, állandó fordulatszáma pedig n = 120 1/min. Tekintsük az egyik csavarlapát kerületi pontját, melynek hely-

zete a t0 időpillanatban az kjir0 ⋅+⋅+⋅=2

00 D helyvektorral adható

meg.

x

y

z

n

120. ábra. A hajócsavar vizsgálatának koordináta-rendszere

a.) Írja fel a vizsgált pont hely- és sebességvektorának időbeli változását leíró összefüggéseket és ezek alapján határozza meg a vizsgált pont hely- és sebességvektorát a t = 1.25 s időpillanatban!

b.) Határozza meg a csavarlapát vizsgált pontja által a fenti idő alatt befu-tott út nagyságát!

Megoldások:

a.) A vizsgált pont csavarvonal mentén fog egyenletesen mozogni. A helyvektor felírásához célszerű a mozgást két komponensére bontva elemezni, azaz az x irányú egyenes vonalú egyenletes mozgást és az y-z síkkal párhuzamos, x tengely mentén mozgó síkban zajló egyenletes körmozgást kell jellemezni.

A mindenkori helyvektor x koordinátáját tehát az ( ) tvt xx ⋅=r össze-függés adja meg, miközben az y és z koordináták értékeit a 121. ábra szerinti egyenletes körmozgást leíró összefüggésekből nyerhetjük.

Ha az egyenletes körmozgás állandó szögsebessége ω, akkor a t0 = 0 s időpontban éppen a z tengelyen, az origótól R távolságra tartózkodó pont koordinátái rendre ( ) ( )tRty ⋅⋅= ωsinr és ( ) ( )tRtz ⋅⋅= ωcosr lesz-nek, mivel a ϕ szögelfordulás a t⋅= ωϕ összefüggéssel számítható.

160

ϕ

R·sin(φ)

R·co

s(φ)

R

121. ábra. Az egyenletes körmozgás jellemzői

Ha figyelembe vesszük még azt is, hogy a körpálya R sugara éppen a hajócsavar D átmérőjének a fele, továbbá az egyenletes körmozgás szögsebessége a fordulatszám 2π-szerese, vagyis n⋅⋅= πω 2 , akkor az r helyvektor tetszőleges t időpontbeli értéke a következő lesz:

( ) ( ) ( ) kjir ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅= tDtDtvt x ωω cos2

sin2

.

A vizsgált pont sebességvektorát definíció szerint a helyvektor idő sze-rinti első deriváltjaként kapjuk meg:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .sin2

cos2

cos2

sin2

kji

kjirv

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅==

tDtDv

tDtDtvdtdt

dtdt

x

x

ωωωω

ωω

A fenti összefüggésekbe helyettesítve az adott mennyiségeket a hely-vektor és a sebességvektor koordinátáinak számértékeit is meghatároz-hatjuk.

A hajócsavar szögsebessége

srad 566.124

6012022 ≈⋅=⋅⋅=⋅⋅= πππω n ,

a csavarlapát vizsgált pontjának helyzetét megadó vektor a t = 1.25 s időpontban:

161

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ), 4036.175cos45sin425.16.3

50

cos2

sin2 25.1

25.1

m

tDtDtvtt

xt

kjikji

kjir

⋅−⋅+⋅≈⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅==

=

ππ

ωω

sebességvektora pedig

( ) ( ) ( )

( ) ( ) .sm 026.5089.135sin165cos16

6.350

sin2

cos2 25.1

25.1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⋅−⋅≈⋅⋅−⋅⋅+⋅=

=⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅==

=

kjikji

kjiv

ππππ

ωωωωt

xttDtDvt

A kapott eredményeket a 122. ábra szemlélteti, melyen feltüntettük a vizsgált pont mozgásának pályáját, valamint a helyzet- és sebességjel-lemző vektorokat a t = 0 s és a t = 1.25 s időpillanatokra vonatkozóan.

v(t)

r(t)

v0

r0

122. ábra. Csavarvonal menti mozgás eredménye

b.)A csavarlapát vizsgált kerületi pontja által befutott út nagysága a fent ábrázolt csavarvonal-darab hosszával egyenlő. Mivel az ív-hossz-koordináta mentén egyenletes mozgásról van szó, a megtett út kiszámításának talán legegyszerűbb megoldása az, ha az időben állandó nagyságú sebességvektor abszolút értékét megszorozzuk a mozgás időtartamával. Ha tehát az előző pontban kapott v(t) sebes-ségvektor hossza

( )sm 144.52026.5089.13 222222 =++≈++= zyx vvvtv , akkor a

keresett út, vagyis a mozgáspálya ívhossza ( ) ( ) m 180.6525.1144.52 =⋅≈⋅= ttts v .

162

7.4 4. Gyakorló feladat: hajtásrendszer vizsgálata

Egy villamosmotor szíj segítségével kétfokozatú fogaskerék-hajtóművet hajt. Az elrendezés vázlatát a 123. ábra mutatja.

123. ábra. A vizsgált hajtáslánc elrendezése

A motor névleges fordulatszáma nm = 3600 1/min, üresjárási vesztesége Pv0 = 1.4 kW, teljes terheléskor a hálózatból P1100 = 39 kW villamos telje-sítményt vesz fel, miközben félterhelés mellett P150 = 19.8 kW a teljesít-mény-felvétele. A motor tengelyére ékelt szíjtárcsa átmérője dsz1 = 175 mm, a fogaskerék-hajtómű behajtótengelyén elhelyezett tárcsa átmérője dsz2 = 350 mm, a szlip értéke s = 4 %. A szíjban legfeljebb F = 1500 N erő ébredhet. A fogaskerék-hajtómű két azonos fokozatot valósít meg. A kisfogaskere-kek fogszáma zf1 = 25, gördülőköri átmérőjük df1 = 275 mm. Egy fogaske-rék-kapcsolat hatásfoka η fok = 99 %.

a.) Határozza meg a hajtó villamosmotor névleges terhelését és hatásfo-kát! Adja meg a motor optimális terhelésének és hatásfokának értékét! Írja fel és ábrázolja a motor hatásfokának alakulását a hasznos telje-sítmény függvényében a megadott pontokban, illetve 0, 10, 20 és 30 kW terhelésnél!

b.) Mekkora legnagyobb erővel szabad a szíjat előfeszíteni?

c.) Határozza meg a fogaskerék-hajtómű nagyfogaskerekeinek gördülőkö-ri átmérőjét és fogszámát, ha a rendszer kihajtótengelyének fordulat-száma névleges motorfordulatszám mellett nki = 570 1/min! Adja meg az erőátvitel eredő fordulatszám- és nyomatékmódosításának, illetve hatásfokának értékét!

163

Megoldás:

a.) Villamosmotor esetében a változó veszteségteljesítmény a hasznos (le-adott) teljesítmény másodfokú függvénye (3.7. fejezet), így az össz-veszteség a hasznos teljesítmény függvényében ( ) 2

202 PcPPP vv ⋅+= alakban írható fel. A feladat szerint ismert a motor által a hálózatból

felvett P1 teljesítmény a P2n teljes (névleges) és a 22nP

félterhelés mel-

lett. Ha az előbbit kifejezzük a hasznos teljesítmény segítségével, ak-kor az alábbi egyenletrendszer adódik:

( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⋅++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

⋅++=+=

4222

22

0222

150

2202221100

nv

nnv

n

nvnnvn

PcPPPPPP

PcPPPPPP.

A fenti algebrai egyenletrendszer két ismeretlene a P2n névleges hasz-nos teljesítmény és a változó veszteség kifejezésében szereplő c együttható. Ha kivonjuk a második egyenlet négyszeresét az első egyenletből, akkor a

021501100 34 vn PPPP ⋅−−=⋅−

egyenletet kapjuk, melyet rendezve a névleges hasznos:

kW 0.360.394.138.19434 110001502 =−⋅−⋅=−⋅−⋅= PPPP vn

lesz. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe a c konstans is megha-tározható: 2

2021100 nvn PcPPP ⋅++= , melyből c-t kifejezve

kW1 1023457.1

0.360.364.10.39 3

222

201100 −⋅≈−−

=−−

=n

nv

PPPPc .

A motor hatásfoka a névleges teljesítmény leadásakor:

% 31.9292308.00.390.36

1100

2 =≈==PP n

nη .

Az előzőek alapján a villamosmotor hatásfoka felírható a hasznos tel-jesítmény függvényeként is:

( )22202

2

1

2 PfPcPP

PPP

vm =

⋅++==η .

164

A motor optimális terhelése az a P2* hasznos teljesítmény lesz, mely

mellet hatásfokának értéke maximális. A hatásfokfüggvény maximu-mának szükséges feltétele, hogy deriváltja zérus legyen:

( ) ( )

( ) .0

2

22202

220

22202

222

2202

2202

2

22

2

=⋅++

⋅−=

=⋅++

⋅⋅−−⋅++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅++

=

PcPPPcP

PcPPPcPPcPP

PcPPP

dPdP

dPd

v

v

v

v

vmη

Megjegyzés: A deriváláskor alkalmaztuk a törtfüggvények differenciá-lására vonatkozó szabályt:

2gfggf

gf ⋅′−⋅′

=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

A kapott tört csak akkor lehet egyenlő nullával, ha a számlálója zérus, vagyis 02*

20 =⋅− PcPv , azaz 2*20 PcPv ⋅= . Fogadjuk most el további

magyarázat nélkül, hogy esetünkben ezen feltétel teljesülése elégséges a hatásfok maximumhelyének azonosításához. Így az optimális terhe-lés értéke

kW 675.331023457.1

4.13

0*2

2*20 =

⋅≈=⇒⋅= −c

PPPcP vv .

Megjegyzés: Az optimális terhelés értéke meghatározható „geometriai” úton is. A motor korábbiakban felírt hatásfokfüggvénye átalakítható a következőképpen:

( )2

2

2

220

2202

2

1

2

1

1

1

1

PPP

PPcPPcPP

PPP

vvvm

+=

⋅++

=⋅++

==η .

A hatásfok tehát a veszteség- és a hasznos teljesítmény arányától függ. Minél kisebb a Pv/P2 arány, a hatásfok annál nagyobb lesz. Ha most ábrázoljuk a gép veszteségteljesítményét a hasznos teljesítmény függ-vényében, akkor láthatjuk, hogy ez a hányados éppen egyenlő az origót a függvény görbéjének bármely pontjával összekötő egyenes α szögé-nek tangensével. Így a hatásfok értéke akkor lesz maximális, ha tg α = min! Ez akkor áll fenn, ha az origóból húzott egyenes éppen érinti a veszteségfüggvény görbéjét. A viszonyokat a 124. ábra szemlélteti.

165

α P2*

Pv0

Pvv

22

0tanPP

PPP vvvv =

+=α

124. ábra. Villamos gép optimális terhelésének meghatározása

Vegyük még figyelembe, hogy a parabola bármely pontbeli érintője mindig felezi az érintési abszcisszát. Tehát kimondhatjuk, hogy az áb-rán kék színnel rajzolt érintő a 0-tól P2

*-ig Pv0 magasságban húzott vízszintes vonalat felezi. Az így létrejött két egyforma hosszúságú sza-kaszt jelöltük pirossal. Ekkor viszont annak a két derékszögű három-szögnek, melyeknek egy-egy befogója ez a két szakasz, továbbá ezen befogó melletti hegyesszögük az ábrán is megjelölt α, szükségképp egybevágónak kell lenniük. Így tehát azt olvashatjuk le az ábráról, hogy optimális terhelés esetén a villamos gép Pv0 állandó (üresjárási) és Pvv változó vesztesége azonos nagyságú lesz! Vagyis 2*

20 PcPv ⋅= , ahogy azt az előző megoldás szerint is kaptuk.

A motor maximális hatásfokát ezek után az alábbi összefüggés adja meg:

% 323.9292323.04.1267492.33

67492.332 0

*2

*2

max ==⋅+

≈⋅+

=vPP

Pη .

A megadott további terhelések esetén is ugyanígy számítható a hatás-fok értéke. Az eredményeket és a hatásfok változását a terhelés függ-vényében a 125. ábra mutatja.

η0 = 0, mivel P2 = 0 W.

166

2202

2

xvx

xx PcPP

P⋅++

=η , például

%. 276.92 %, 350.91

%, 779.8686779.0101023457.14.110

10

3020

2310

==

=≈⋅⋅++

= −

ηη

η

125. ábra. Villamos gép hatásfokának alakulása a terhelés függvényében

b.) A szíjhajtással történő erőátszármaztatás lényege, hogy két tárcsa kerü-letére egy „végtelenített” szíjat feszítünk (3.4.2. fejezet). Ha az egyik tárcsára ekkor teljesítményt vezetünk be, akkor annak átadása a szíj és a tárcsák között fellépő tapadási/súrlódási erő segítségével a szíjon, mint „kötélen” keresztül valósul meg. Ezért szükséges a szíjhajtás elő-feszítése. A tárcsák közötti két ágban a szíj tehát nem egyformán fe-szül meg. A viszonyokat a 126. ábra szemlélteti.

Feszes ág

Laza ág

M1, n1

v1

v2

HAJTÓ tárcsa

HAJTOTT tárcsa

dsz2 dsz1

126. ábra. Szíjhajtás

Figyelembe véve, hogy a szíj az erőátvitel során megnyúlik, a hajtó tár-csa v1 kerületi sebessége nem fog megegyezni a hajtott tárcsa v2 kerü-leti sebességével, hanem annál nagyobb lesz. Azaz v1 > v2 mindig

167

fennáll. A hajtó és a hajtott szíjtárcsa kerületi sebességének v1-v2 kü-lönbségét a hajtó szíjtárcsa kerületi sebességével normálva kapjuk a re-

latív „csúszást” vagy más néven szlipet: 1

2

1

21 1vv

vvv

sdef

−=−

= .

Ezek alapján a szlip definíciója segítségével a szíjhajtás – később szükséges – fordulatszám-módosítása már könnyen felírható (3.4.2. fe-jezet, 1. pont):

( )2

1

2

1

1

2

1

1

2

2

1

2 12

2

sz

sz

sz

sz

sz

szszíj d

dsdd

vv

dv

dv

i ⋅−=⋅=⋅

⋅

==ωω .

A nyomatékmódosítás meghatározásához képzeletben vágjuk el a haj-tószíjat és rajzoljuk fel így az egyes tárcsákra ható erőket! Az ered-ményt a 127. ábra mutatja.

F F

F0 F0

M1 M2

r2 r1

127. ábra. A szíjhajtásban fellépő főbb erők és nyomatékok

Jelenleg csak a szíjhajtás stacionárius (időben állandósult) üzemét vizsgáljuk, amikor is a szögsebességek állandóak, így Newton II. axi-ómája értelmében az egyes tárcsákra ható nyomatékok eredőinek zé-rusnak kell lenniük. Így a hajtó illetve a hajtott tárcsára:

010111

=⋅+⋅−=∑=

rFrFMMn

ii , azaz ( )

21

01szdFFM ⋅−= .

Az előző pontban meghatároztuk a hajtó villamosmotor névleges telje-sítményét, mely Pmn = 36 kW-ra adódott. Az adatok szerint a motor névleges fordulatszáma nmn = 3600 1/min, ezért a motor névleges nyomatéka, mely egyben a szíjhajtás hajtó tárcsáján átvitt nyomaték is:

168

.Nm 493.9536002

603600021 ≈

⋅⋅⋅

=⋅⋅

==⇒⋅=ππω

ωmn

mn

mn

mnmnmnmn n

PPMMP

A szíj terhelésére nézve mértékadó a feszes ágban keletkező erő lesz. Ezért ha az Msz1 nyomatékot, valamint a szíjban keletkező erő maximá-lis, F = 1500 N-os értékét behelyettesítjük a hajtótárcsa nyomatékára korábban kapott összefüggésbe, a szíjhajtás laza ágában ébredő F0 erőt is egyszerűen meghatározhatjuk:

( ) .N 65.408175.0

493.952150022 1

10

101 =

⋅−≈

⋅−=⇒⋅−=

sz

szsz

dMFFdFFM

Amikor az előfeszített szíjhajtásra rákapcsoljuk a hajtónyomatékot, akkor a feszes ágban az Fef előfeszítő erő F értékre megnövekszik, míg a laza ágban Fef előfeszítő erő ugyanilyen mértékben lecsökkenve lesz F0. Emiatt a szíjban ébredő előfeszítő erő legnagyobb megengedett ér-téke a fenti feltételek szerint a feszes és a laza ágban ébredő szíjerők számtani közepeként azonosítható:

NFF

Fef 33.9542

65.40815002

0max =

+≈

+= .

c.) A fogaskerék-hajtással történő erőátszármaztatás lényege, hogy a ke-rekek a fogkapcsolaton keresztül viszik át a teljesítményt, azaz a haj-tott kerék mozgását a hajtó kerék fogával való közvetlen érintkezés idézi elő, vagyis egy geometriai kényszer (3.4.1. fejezet). Külső foga-zású fogaskerekek kapcsolódását mutatja a 128. ábra. Ennek követ-kezménye, hogy a kapcsolódó fogaskerekek kerületi sebességeinek a d1, illetve d2 átmérőjű osztókörök (gördülőkörök) érintkezési pontjában azonosnak kell lenniük (lásd 32. ábra)!

128. ábra. Fogaskerék-kapcsolat

A kerületi sebességek azonosságára alapozva könnyen levezethető a fogaskerék-kapcsolat fordulatszám-módosítása, ami a fogszámokkal kifejezve is megadható:

169

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

2

2

f

f

f

f

ff

f

f

ffog z

zdd

dd

vv

dv

dv

i ==⋅=⋅

⋅

==ωω .

Mivel az eredő módosítás mindig a rész-módosítások szorzata, így a feladatban szereplő kétfokozatú fogaskerék-hajtómű ie fog eredő módo-sítását a teljes hajtáslánc ie eredő módosítása segítségével számíthatjuk ki, mely a kihajtás nki és a motor nmn fordulatszámának arányával meg-határozott. Így a szíjhatás módosítására korábban felírt összefüggést figyelembe véve:

( ) ( ).3299.0

48.01583.0

35017504.01

3600570

12

1

=≈⋅−

=⋅−

==

⇒⋅=

sz

sz

mn

ki

szíj

efoge

fogeszíje

dds

nn

iii

iii

Tekintve, hogy a fogaskerék-hajtómű két fokozatának módosítása jelen esetben azonos, a fokozati módosítás a következő lesz:

5743.03299.0 2

21 ≈≈=⇒=⋅= fogefokfokfokfokfoge iiiiii .

Mivel ez egyben a kis- és a nagyfogaskerék fogszámának az aránya, ezért a nagyfogaskerék keresett fogszáma a következő lesz:

40046.405743.0251

22

1 ≈=≈=⇒=fok

ff

f

ffok i

zz

zz

i .

Megjegyzés: A fogszám értéke természetesen csak egész szám lehet, így ilyenkor az eredményt mindig a legközelebbi egész értékre kerekít-jük annak tudomásul vételével, hogy ezáltal a tervezett módosítás érté-ke kis mértékben megváltozik.

A nagyfogaskerekek gördülőkörének átmérője is a fokozati módosítás alapján számítható:

mm 479mm 81.4785743.02751

22

1 ≈=≈=⇒=fok

ff

f

ffok i

dd

dd

i .

A teljes erőátvitel ie eredő módosítását a fogaskerék-hajtómű fokozati módosításának meghatározásakor már kiszámítottuk. A fordulatszám-módosítással azonos módon az erőátvitel ke eredő nyomatékmódosítá-

170

sa is a rész-nyomatékmódosítások szorzataként áll elő. Figyelembe véve a szíjhajtásra a 3.4.2. fejezet, 2. pontban kapott összefüggést és a fogaskerék hajtásra is érvényes kfok=ηfok / ifok összefüggést:

.943.55743.099.0

175350 22

1

22 ≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅≈⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅=⋅=

fok

fok

sz

szfokszíjfogeszíje id

dkkkkk

η

Az erőátvitel ηe eredő hatásfoka az előzőekkel teljesen analóg módon adható meg:

7.5 5. Gyakorló feladat: lendítőkerék méretezése

Egy gépcsoport kihajtótengelyére rögzített lendítőkerék méretezését kí-vánjuk elvégezni. Adott a gépcsoportban ébredő hajtónyomaték fordula-tonként periodikus változása a 129. ábrán látható. A gépcsoportban fellé-pő terhelő nyomaték a szögelfordulás függvényében nem változik.

129. ábra. A vizsgált gépcsoport nyomatéka

A gépcsoport közepes fordulatszáma nk = 600 1/min, teljes saját tehetet-lenségi nyomatéka Θg = 1.46 kgm2. Az egyenlőtlenségi fok megkívánt ér-téke δ = 1%. A tervezett lendítőkerék tömör acélkorong, melyet egy, a gépcsoport dg = 75 mm átmérőjű tengelyére szerelt, a lendkerékbe süly-lyesztve elhelyezendő db = 200 mm külső átmérőjű és v = 25 mm vastag-ságú tárcsa segítségével rögzítünk. A lendítőkerék központi furatának át-mérője d0 = 80 mm, a kereket a tárcsához 8 darab M10-es belső kulcsnyí-lású csavar rögzíti. A rögzítőtárcsa forgástengelyére vett tehetetlenségi nyomatékát a gépcsoport teljes Θg tehetetlenségi nyomatéka már tartal-mazza. A csavarok, illetve furataik tehetetlenségi nyomatéka elhanyagol-ható. Az acél sűrűsége ρ = 7860 kg/m3.

a.) Határozza meg az alkalmazandó lendítőkerék tehetetlenségi nyomaté-kának nagyságát!

171

b.) Mekkora legyen a lendítőkerék axiális (tengelyirányú) mérete, ha a rendelkezésre álló hely miatt átmérője legfeljebb dk = 350 mm lehet?

Megoldás:

a.) A lendítőkerék funkcióját tekintve egy kinetikus energiatároló. Az a feladata, hogy a periodikusan változó nyomatékigényű vagy ugyan-ilyen módon nyomatékot szolgáltató gépek (pl. dugattyús gépek) futá-sát egyenletesebbé tegye, azaz fordulatszámuk ingadozását csökkentse. Ezt oly módon valósítja meg, hogy az üzemi periódus azon szakaszá-ban, amikor a maximális fordulatszám környezetében munkatöbblet je-lentkezik, azt forgási energiaként tárolja, majd a minimális fordulat-szám környezetében visszaadja (3.8.4. fejezet).

Az ingadozó szögsebességű gépek üzemének egyik legfontosabb jel-lemzője az egyenlőtlenségi fok, amely a gép maximális és minimális szögsebességének különbsége a közepes szögsebességre normálva, va-

gyis k

def

ωωωδ minmax −

= . Az 2

minmax ωωω +=

def

k összefüggés ugyanakkor a

közepes szögsebességet definiálja.

Amint az a 3.8.4. fejezetben megtanultuk, az előírt egyenlőtlenségi fok esetében szükséges tehetetlenségi nyomaték meghatározásához a mun-katúlmány ismeretére is szükség van. Ennek kiszámítása a feladat sze-rint adott változó hajtónyomatéki függvény és az ennek közepes nyo-matékával egyező, állandó terhelő nyomaték ismeretében lehetséges.

A közepes nyomaték a nyomatéki függvény integrál-átlaga. Értéke esetünkben a 129. ábrán vázolt nyomatéki függvény alatti terület segít-ségével adható meg, vagyis két trapéz és két téglalap területét kell meghatároznunk, majd osztanunk a periódus 2π nagyságú hosszával. Az ábráról leolvasható, hogy a nyomaték maximális értéke 200 Nm, minimális értéke pedig 120 Nm. Ezek alapján a közepes nyomaték a következő lesz:

172

( )

.Nm 4535.1578160163

24024021

348072240200

3400

3320256

21

346.021201

32200

326.1

2200120

21

21 2

0

≈−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⋅⋅=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−−⋅+−⋅++⋅=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

+⋅=

=⋅= ∫

πππ

π

ππππ

πππππ

ϕϕπ

π

dMMk

A munkatúlmány a közepes nyomatékot jelölő vízszintes egyenes és a nyomatéki függvény görbéje közötti terület nagyságával egyezik meg, mely esetünkben ismét egy trapéz területe lesz. A trapéz hosszabb alapjának meghatározása a 130. ábrán vázolt hasonló háromszögek felhasználásával a legegyszerűbb.

φy

φx

1

32π

32π

130. ábra. A munkatúlmány meghatározása

Az ábra szerint a trapéz φa alapja a yxa ϕϕπϕ −−=3

4 összefüggéssel

számítható, ahol a sárgával és pirossal jelölt háromszögek hasonlósá-

ga miatt 150200150

1 −−

= kx Mϕ és 120200120

23

−−

= ky Mπϕ

. Ebből

( )rad 1491.050

1504535.15750

150=

−≈

−= k

xMϕ és

( )rad 9805.03

280

1204535.1573

280

120≈⋅

−≈⋅

−=

ππϕ ky

M .

Így a trapéz alapjának hossza

173

( )rad 0592.39805.01491.03

43

4≈−−≈−−=

πϕϕπϕ yxa ,

mellyel a munkatúlmány keresett értéke

( ) ( )

.J3602.88

4535.1572002

13

20592.3200

2

13

2

≈

≈−⋅−+

≈−⋅−+

=+

ππϕk

aMW

Az előírt egyenlőtlenségi fokot a gépcsoportnak a lendítőkerékkel fel-szerelve kell teljesítenie, ezért a munkatúlmány korábban megismert kifejezésében a gép Θg saját tehetetlenségi nyomatéka mellett a lendí-tőkerék Θl tehetetlenségi nyomatékát is szerepeltetni kell, vagyis

( ) 2klgW ωδ ⋅⋅Θ+Θ=+ . Figyelembe véve, hogy a közepes szögsebes-

ség a közepes fordulatszám 2π-szereseként áll elő, a lendítőkerék által biztosítandó tehetetlenségi nyomaték az alábbiak szerint számítható:

( )

.kgm 7782.0

46.1

60600401.0

3602.884

2

22

222

2

≈

≈−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅

≈Θ−⋅⋅⋅

=Θ−⋅

=Θ

⇒⋅⋅Θ+Θ=++

+

ππδωδ

ωδ

gk

gk

l

klg

nWW

W

b.) Az előző pontban meghatároztuk az alkalmazandó lendítőkerék tehe-tetlenségi nyomatékának nagyságát. Most az ennek megfelelő geomet-riai méreteket kell megadnunk. Ehhez elsőként el kell készítenünk a lendítőkerék rögzítésének módját bemutató összeállítási rajzot, leg-alább egy vázlat erejéig.

A feladat szerint elkészítendő lendítőkerék kialakítását és méreteit a 131. ábra szemlélteti.

A furatok és a rögzítőcsavarok elhanyagolásával a lendítőkerék tehe-tetlenségi nyomatéka a legkönnyebben úgy számítható, hogy a dk = 350 mm külső átmérőjű, b szélességű henger tehetetlenségi nyomaté-kából kivonjuk a db = 200 mm átmérőjű és v = 25 mm vastagságú tár-csa, valamint a d0 = 80 mm átmérőjű és b-v szélességű furat tehetetlen-ségi nyomatékát.

Egy henger szimmetriatengelyére vett tehetetlenségi nyomatéka a hen-ger tömegének fele szorozva sugarának négyzetével, vagyis

174

2

21 rmhenger ⋅⋅=Θ .

131. ábra. A lendítőkerék kialakítása és összeállítási rajza

A szóban forgó hengerek tömege nem ismert, ugyanakkor a méreteik alapján a térfogatuk meghatározható és így a felépítő acél ρ sűrűségé-nek ismeretében tömegük már számítható lesz. A korong, a tárcsa és a furat tehetetlenségi nyomatéka így a következő:

,.321

481

81

,321

481

81

422

2

422

2

πρρπ

πρρπ

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅=Θ

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅=Θ

vddvddm

bddbddm

bbb

btt

kkk

kkk

175

( ) ( ) .321

481

81 4

020

202

0 πρρπ⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅

⋅⋅=⋅⋅=Θ vbddvbddm ff

Ezeket felhasználva a lendítőkerék tehetetlenségi nyomatéka már felír-ható, majd a kapott összefüggés a lendkerék b szélességére nézve megoldható.

( ) [ ].321

321

321

321

40

40

4440

44

vdbdvdbdvbd

vdbd

bk

bkftkl

⋅+⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅−

−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=Θ−Θ−Θ=Θ

ρππρ

πρπρ

Ebből a lendítőkerék keresett axiális mérete pedig az alábbi lesz:

[ ]

( )( )( ) ( )

( )( ) .mm 70m 06993.0025.0

08.035.008.02.0

08.035.078607782.03232

321

44

44

4440

4

40

4

40

4

40

40

44

≈≈⋅−−

+

+−⋅⋅

⋅≈⋅

−−

+−⋅⋅

Θ⋅=

⇒⋅+⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅=Θ

πρπ

ρπ

vdddd

ddb

vdbdvdbd

k

b

k

l

bkl

7.6 6. Gyakorló feladat: több merev testből álló rendszer vizsgálata

A 132. ábrán vázolt lift rakományának és emelőkasának együttes tömege M = 800 kg. Az ellensúly tömege m = 650 kg. A D = 700 mm átmérőjű kötélcsiga tehetetlenségi nyomatéka Θ1 = 60 kgm2. A kötéldob és a haj-tómotor forgórészének össz-tehetetlenségi nyomatéka Θ2 = 15 kgm2. A kötéldob átmérője d = 400 mm. A kas vezetéken csúszva mozog, a veze-ték veszteségi tényezője λv = 0.1. A tengelyeknél fellépő csapsúrlódás el-hanyagolható. A nehézségi gyorsulás értéke g = 9.81 m/s2.

a.) Mekkora lesz a nyugalmi helyzetből felfelé induló rakott kas a gyorsu-lása, ha a hajtómotor Mh = 500 Nm állandó nyomatékot fejt ki?

b.) Mekkora a motor által leadott Pm teljesítmény a megindulás utáni t1 = 4 s elteltével és mennyi lesz a t1 idő alatt a motor által a rendszerbe ve-zetett Wm munka?

Megoldás:

a.) Több merev testből álló rendszerek vizsgálata során mindig ugyanazt a módszert kell követnünk a mozgásviszonyok felderítése érdekében. Az egyes testek közötti, első lépésben ismeretlen kapcsolati erőket megje-

176

löljük, majd a merev testekre egyenként, mind a haladó, mindpedig a forgó mozgásokra alkalmazzuk Newton II. axiómáját az ismert erőha-tások figyelembe vételével. Emlékeztetőül Newton II. törvényének transzlatorikus (haladó) és rotatorikus (forgó) mozgásra vonatkozó skalár alakja:

∑=

⋅=n

ii amF

1 és ∑

=

⋅Θ=m

jjM

1ε .

Mh

132. ábra. A vizsgált lift egyszerűsített vázlata

Azaz egy merev testre ható erők eredőjének nagysága egyenlő a test tömegének és gyorsulásának szorzatával, illetve a merev testre ható, adott tengelyre vett nyomatékok eredője megegyezik a test adott ten-gelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékának és szöggyorsulásának szorzatával. Az így kapott dinamikai egyenletrendszert ezek után ki kell egészíteni a kinematikai viszonyokat leíró egyenletekkel, mint például kényszerek által előidézett azonos gyorsulások és sebességek figyelembe vételével, vagy a szöggyorsulás/szögsebesség és a kerületi gyorsulás/sebesség kapcsolatával. Ezt követően az így nyert egyenlet-rendszert meg kell oldani. A megoldás során a rendszer gyorsulásvi-szonyai mellett a rendszerben működő belső erők is minden esetben kiadódnak.

A fizikai feladatok megoldásának első lépése a vizsgálat koordináta-rendszerének rögzítése. Esetünkben ez annyit jelent, hogy először fel kell vennünk a rendszert alkotó merev testek haladó és/vagy forgó mozgásának irányát. Nem baj, ha e tekintetben bizonytalanok vagyunk,

177

mivel a helyesen elvégzett további számítások eredményeként kiadódó gyorsulásérték(ek) negatív előjele megmutatja, ha a felvettel ellentétes irányban valósul meg a mozgás.

Jelen feladatban a 132. ábrán kékkel jelölt irányban, azaz „felfelé” vesszük fel az emelőkas gyorsulásának irányát. A newtoni axiómát a M tömegű kas és a m tömegű ellensúly haladó mozgására, illetve a Θ1 te-hetetlenségi nyomatékú csiga és a Θ2 tehetetlenségi nyomatékú kötél-dob + motor forgórész forgó mozgására kell felírnunk. A forgatónyo-matékokat minden esetben a csigák középpontjára nézve határoztuk meg, azaz a kerületi erő és az adott csiga sugarának szorzataként írtuk fel. A rakott kas vezetéséből származó ellenálláserő az vell gMF λ⋅⋅= összefüggéssel számítható. A kötél nem nyúlik meg, így minden pont-jának gyorsulása, tehát a kasé és az ellensúlyé, illetve a csigák kerületi gyorsulása is azonos lesz. A felvett kötélerőket a 133. ábrán vázoltuk.

133. ábra. A rendszerben működő belső erők és a felvett gyorsulások

178

Az ábra alapján a következő egyenletek írhatók fel:

( )

( )

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅Θ=⋅−

⋅=−+⋅

⋅Θ=⋅−

⋅=+⋅⋅−

223

23

1112

1

2:4

:32

:2

1:1

ε

ε

λ

dKM

amKKgm

DKK

aMgMK

h

v

és

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⋅

=⋅

ad

aD

2 :6

2 :5

2

1

ε

ε

A fenti, hat egyenletből álló rendszerben hat darab ismeretlen szere-pel:, az ε1 és ε2 szöggyorsulások, valamint az a gyorsulás. A kapott egyenletrendszer tehát egyértelműen megoldható.

Helyettesítsük be például az 5. és 6. egyenletet a 2. és 4. egyenletbe, és 2. egyenletet szorozzuk meg 2/D értékkel, a 4. egyenletet pedig 2/d ér-tékkel. A így kapott két új egyenlet:

aD

KK 21124:2 ⋅Θ=− és a

dK

dM h 223

42:4 ⋅Θ=−

Adjuk most össze az így előállt 1-4 egyenleteket. Mivel a K1, K2 és K3 belső erők mind pozitív, mind negatív előjellel szerepelnek, az összeg-zés során kiesnek, így:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Θ⋅

+Θ⋅

++⋅=+⋅⋅−⋅+⋅ 22

21 4412

dDmMagMM

dgm vh λ ,

amiből a keresett gyorsulás:

( )

.sm 10528.0

4.0154

7.0604650800

)1.01(81.98004.0

500281.9650

44

12

2

2222

21

≈

≈⋅

+⋅

++

+⋅⋅−⋅

+⋅=

Θ⋅+

Θ⋅++

+⋅⋅−⋅+⋅=

dDmM

gMMd

gma

vh λ

b.) A motor pillanatnyi teljesítménye a jól ismert ω⋅= MP összefüggés-sel számítható, azaz a pillanatnyi nyomaték és szögsebesség szorzata-ként. A feladat szerint a motor állandó Mh nagyságú hajtónyomatékot fejt ki, így Newton II. törvénye szerint a rendszer gyorsulása is az előző pontban meghatározott állandó a érték lesz. Mivel a rendszer a t = 0 s időpillanatban v0 = 0 m/s kezdősebességgel indul, ezért t1 idő elteltével a pillanatnyi sebessége

179

( )sm 42112.0410528.0111 =⋅≈⋅== tavtv

lesz. Tekintve, hogy ez a sebesség egyben a d átmérőjű kötéldob kerü-leti pontjainak sebessége is, a motor pillanatnyi teljesítménye ekkor

( )

.kW 053.1

W8.10524.0

42112.025002 1211

=

==⋅

⋅≈⋅

⋅=⋅==dvMMPtP hhm ω

A hajtómotor által a rendszerbe bevezetett munka meghatározása leg-egyszerűbben a motor teljesítményének alapján számítható. A korábbi-ak szerint a motor nyomatéka állandó, így a rendszer gyorsulása is az. A zéró kezdősebesség miatt tehát a pillanatnyi sebesség nagysága – és ezért a hajtómotor szögsebessége is – az idővel egyenesen arányosan növekszik. Mivel a motorteljesítmény még mindig a konstans nyoma-ték és a kötéldob szögsebességének szorzata, így a teljesítmény is az idővel egyenesen arányosan fog nőni. Tekintve, hogy

( ) ( )∫=t

dPtW0

ττ ,

azaz a motor által végzett munka az idő függvényében ábrázolt telje-sítménygörbe alatti terület nagyságával egyenlő, a keresett munka számértéke egyszerűen számítható a fent meghatározott Pm teljesít-mény és a t1 idő szorzatának feleként:

( ) .J 6.210542

8.10522 1

0

1

=⋅≈⋅== ∫ tPdPW mt

m ττ

Az elmondottakat a 134. ábra szemlélteti.

t1

P(t1) = Pm

134. ábra. Munkaszámítás a teljesítmény függvény segítségével

180

7.7 7. Gyakorló feladat: tartály oldalfalán elhelyezett tisztítónyílás fedelének vizsgálata

A 135. ábrán vázolt téglatest alakú tartály hosszúsága a = 5 m, szélessége b = 3 m és magassága c = 4 m. A tartályban H = 3 m magasságban víz áll. A tartály oldalán egy x = 2 m széles és y = 1.8 m magas nyílás található, melyet egy felül csuklókkal, alul csavarokkal rögzített fedél zár le. A nyí-lás felső éle a vízszint alatt z = 0.8 m mélységben van. A tartályt felül egy m = 38.4 t tömegű síklap zárja le. A légmentesen záró síklap függőleges irányban súrlódásmentesen mozoghat. A tartályban lévő víz sűrűsége ρ = 1000 kg/m3, a környezeti nyomás p0 = 100 kPa, a nehézségi gyorsulás ér-téke g = 9.81 m/s2.

a x

y

z

b

H c

m

d

ρ

p0

135. ábra. A vizsgált víztartály vázlata

a.) Mekkora a tartályba szorult levegőoszlop d magassága?

b.) Mekkora a nyílást lezáró fedélre ható eredő erő?

c.) Mekkora a rögzítőcsavarokat terhelő erő?

Megoldás:

a.) A tartályba szorult levegőben létrejött túlnyomás „lebegteti” a síklapot, vagyis a síklap súlyából származó, a tartály keresztmetszetén fellépő nyomással a levegőnek kell egyensúlyt tartania. Ezért a levegőben fel-lépő túlnyomás értéke:

181

kPa 25.1136 Pa 6.2511335

81.938400=≈

⋅⋅

=⋅⋅

==⇒=⋅bagm

AGpGAp tt .

A beszorult levegő abszolút nyomása tehát

kPa 1136.1251136.251000 =+≈+= tl ppp .

A tartályban lévő levegő a síklap ráhelyezésekor a lap súlyának hatásá-ra komprimálódik. Az egyensúly beállása után a beszorult levegő hő-mérséklete megegyezik a környezet hőmérsékletével, miközben nyo-mása a fenti értékkel megnövekedett és térfogata lecsökkent. A levegő, mint ideális gáz, tehát izotermikus kompresszión esett át, amelyre a nyomás és a térfogat szorzatának állandósága érvényes (5.4.3. fejezet):

tl VpVp ⋅=⋅ 00 .

A beszorult levegő kezdeti V0, majd későbbi Vt térfogatának a tartály baA ⋅= keresztmetszete és a levegőoszlop kezdeti c-H magassága se-

gítségével történő kifejezésével a levegőoszlop keresett d magassága meghatározható:

( )( ) ( ) .m 7993.0

1136.125341000

0

=−⋅

≈−⋅

=

⇒⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅

l

l

pHcpd

dbapHcbap

b.) A nyílás fedelére ható eredő erő nagyságát a víz által a fedél felületére gyakorolt nyomás határozza meg. A síklap által a vízfelszínre gyako-rolt nyomás a Pascal-elv szerint a vízben, mint ideális folyadékban, minden irányban és gyengítetlenül terjed. Emellett figyelembe veendő, hogy a hidrosztatika alaptétele szerint a ρ sűrűségű ideális folyadék-ban, g térerősségű gravitációs térben, a folyadékfelszíntől számított h mélységben az abszolút nyomás nagysága a (4.1.2. fejezet)

ghpph ⋅⋅+= ρ0

összefüggéssel számítható, ha a felszínen p0 nyomás uralkodik.

A hidrosztatika alaptétele szerint tehát a súlyos folyadékban a túlnyo-más a mélységgel egyenesen arányosan nő. Így a nyílás z mélységben lévő felső élénél a túlnyomás értéke

Pa 6.329618.081.910006.25113 =⋅⋅+≈⋅⋅+= zgpp tz ρ = = 32.9616 kPa

lesz, amíg a z+y mélységben lévő alsó élénél

182

( ) ( ).kPa6196.50Pa 6.50619

8.18.081.910006.25113

==

=+⋅⋅+≈+⋅⋅+=+ yzgpp tyz ρ

Az abszolút nyomás értékét is meghatározhatjuk tetszőleges mélység-ben, ha az előzőekben számított túlnyomáshoz hozzáadjuk a környezeti nyomás értékét. Az abszolút nyomás alakulását szemlélteti a tartály ol-dalán lévő nyílás fedelére vonatkozóan a 136. ábra.

z

z+y

zgpl ⋅⋅+ ρ ( )yzgpl +⋅⋅+ ρ

136. ábra. A folyadék által a nyílás fedelére gyakorolt nyomás változása a

folyadékfelszíntől számított mélység függvényében

A fedélre tehát belülről a fentiek szerint változó nyomást fejti ki a tar-tályban lévő víz, ugyanakkor kívülről a teljes felületen állandónak ve-hető p0 környezeti nyomás érvényesül. Ezért a fedélre ható eredő nyo-móerő nagysága a tartályban uralkodó túlnyomás közepes értékének és a nyomot felület, azaz a nyílás keresztmetszetének szorzataként állítha-tó elő. Mivel a mélység függvényében a túlnyomás értéke lineárisan nő, ezért a fedélre vonatkozó közepes értéke a felső és az alsó élen fel-lépő túlnyomások számtani átlagával azonosítható. Így az eredő erő nagysága a következő lesz:

.kN 45.150N 2.150446

8.122

6.506196.329612

≈=

=⋅⋅+

≈⋅⋅+

=⋅= + yxpp

ApF yzzftff

c.) A fedelet alul rögzítő csavarokat terhelő erő meghatározása statikai egyensúlyi egyenletek megoldásával lehetséges. Mivel a fedél nyuga-lomban van, így Newton II. törvénye alapján a rá ható erők eredője, valamint bármely tengelyre vett nyomatékok eredője is zérus kell le-gyen. Ha csak a csavarokat terhelő erőre vagyunk kíváncsiak, elegendő

183

a fedél felső élének csuklós rögzítésére, mint forgáspontra vonatkozó nyomatéki egyenlet felírása:

0)(

=∑i

PiM , vagyis 0=⋅−⋅ kFyF fcs

Ennek megoldásához szükségünk lenne a fedélre ható nyomásból származó megoszló terhelést helyettesítő koncentrált erő támadáspont-jának helyére, vagyis az előző pontban meghatározott Ff eredő erő vek-torának k távolságára a P csuklóponttól. Mivel a feladat esetünkben ezt külön nem kéri, elkerülhetjük k kiszámítását, ha a nyomatéki egyenlet-ben az eredő erő helyett annak helyettesítésére alkalmas két olyan kon-centrált erőt veszünk figyelembe, melyek támadáspontját ismerjük. Ezt mutatja a 137. ábra.

z

2y

y32

y

Fcs

Fpz Fpy

z+y

P pz

pz+y

137. ábra. A nyílás fedelét rögzítő csavarok terhelésének meghatározása

Tehát tekinthetjük külön a nyílás felső élénél fellépő pz túlnyomásból a teljes Af felületre ható, az ábrán pirossal jelölt Fpz eredő erőt, továbbá a mélységgel arányosan növekvő hg ⋅⋅ρ hidrosztatikai nyomáskompo-nensből származó, az ábrán kékkel jelölt Fpy eredő erőt. Mivel az Fpz erő a nyílás egész felületén állandó pz nyomásból származik, támadás-pontja az ábrán pirossal rajzolt téglalap súlypontjának mélységében,

vagyis a nyílás magasságának felénél, azaz a P ponttól 2y távolságra

lesz. Nagyságát ismét a konstans nyomás és a nyomott felület szorza-taként kapjuk: yxpF zpz ⋅⋅= . Ugyanakkor az Fpy erő a lineárisan nö-vekvő hidrosztatikai nyomásból származik, így támadáspontja az ábrán kékkel rajzolt háromszög súlypontjának mélységében, azaz a nyílás

magasságának kétharmadánál, vagyis a P ponttól y32 távolságra lesz.

184

Értéke az ( )

yxpp

F zzypy ⋅⋅

−= +

2 összefüggés alapján számítható. A

csavarok által kifejtett Fcs erő a P ponttól y távolságban lép fel. A 137. ábra szerint az óramutató járásával ellentétesen forgató nyomatékot te-kintjük pozitívnak. Felírva tehát a három koncentrált erő nyomatékát P-re, a keresett Fcs erő meghatározható:

0)(

=∑i

PiM azaz 032

2=⋅⋅−⋅−⋅ yFyFyF pypzcs

.kN 52.80N 48.80520

8.122

6.329613

6.329616.5061923

032

22

≈=

=⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−≈⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⇒=⋅⋅⋅⋅−

−⋅⋅⋅−⋅

+

+

yxppF

yyxppyyxpyF

zyzcs

zyzzcs

7.8 8. Gyakorló feladat: Síklapátozású vízikerék vizsgálata

Egy végtelen nagynak tekinthető tartályból víz távozik a 138. ábrán vázolt módon. A tartályban a víz H = 4 m magasságban áll, a tartályból kivezető cső átmérője D = 200 mm, a csősúrlódási tényező értéke λ = 0.06. Az el-ső, függőleges csőszakasz hossza l1 = 2 m; a második, vízszintes szakasz l2 = 1.8 m hosszú. A két egyenes csövet egy csőkönyök köti össze, mely-nek veszteségtényezője ζcsk = 0.12. A vízszintes csőszakasz végére egy elzárószelepet követően egy d = 100 mm végátmérőjű konfúzor lett fel-szerelve. A szelep ellenállás-tényezője ζsz = 0.15, a konfúzor belépő ke-resztmetszetére számított veszteségtényezője pedig ζk1 = 0.1. A kiáramló vízsugár Dk = 3 m középátmérőjű, síklapátozású vízikereket hajt.

A tartályban lévő víz sűrűsége ρ = 1000 kg/m3, a környezeti nyomás p0 = 100 kPa, a nehézségi gyorsulás értéke g = 9.81 m/s2.

a.) Határozza meg a víz vki áramlási sebességét a konfúzorból való kilépé-sekor!

b.) Mekkora és milyen irányú erő terheli a konfúzort rögzítő csavarokat?

c.) Mekkora legyen a vízikerék n fordulatszáma, ha maximális hatásfokkal kívánjuk üzemeltetni a rendszert? Mekkora nyomaték és teljesítmény vehető le ez esetben a kerék tengelyéről?

185

H l1

l2

øD

ød

øDk

ζcsk

ζsz

ρ

ζk1

p0

λ

n

138. ábra. A vízikerék hajtásának elrendezése

Megoldás:

a.) A víz áramlási sebességének meghatározása a veszteséges áramlásokra alkalmazott Bernoulli-egyenlet segítségével lehetséges (4.2.6. fejezet).

A munkatételből levezethető Bernoulli-egyenlet az energiamegmara-dás törvényét fejezi ki összenyomhatatlan áramló közegekre vonatko-zóan, így elsősorban folyadékáramlásokra alkalmazható.

Ideális folyadék esetében a Bernoulli-egyenlet tartalma úgy fogalmaz-ható meg, hogy az áramló közeg össz-munkaképessége az áramvonal (vagy áramcső) mentén állandó. Azaz egy áramvonal két tetszőleges pontja között felírható a teljes energiatartalom változatlansága: e1 = e2. Nyilvánvaló módon ez csak akkor állhat fenn, ha a vizsgált áramvonal-szakaszon az áramló közeggel külső energiacsere nem valósul meg.

A valóságos áramlásokat jobban modellező Bernoulli-egyenlet ener-giamérlege annyiban különbözik az előzőekben ismertetett e1 = e2 azo-nosságtól, hogy most a tekintett áramvonal-szakasz végpontjában az áramló közeg össz-munkaképessége kevesebb lesz a kezdőpontbeli ér-téknél az áramlási veszteségek jelenléte miatt. Így tehát a „valóságos” energiamérleg az e1 = e2 + e’ lesz, melyben e’ az 1-es pontból a 2-esbe áramlás során kialakult energiaveszteséget jelenti. Természetesen az energiaveszteséget is az egyenlet alkalmazott alakjának megfelelő di-menzióban kell kifejezni. Az elmondottakat a 139. ábra szemlélteti.

186

e’

e'ee 21 +=

139. ábra. Ideális és a veszteséges áramlás energiamérlege

A Bernoulli-egyenlet tehát egy áramvonal-szakaszra vonatkozó ideális energiaegyenlet, melynek három alakját szoktuk a gyakorlatban alkal-mazni. Stacionárius áramlás esetében ezek a következők:

1. A Bernoulli-egyenlet ún. „alap” alakja a tömegegységre vonatkozó

fajlagos munkaképességet adja meg. Mértékegysége kgJ .

eghpvghpv ′+⋅++=⋅++ 22

22

11

21

22 ρρ, ahol

2

2v a tömegegységre vonatkoztatott kinetikus (mozgási) energia,

ρp a tömegegységre vonatkoztatott nyomási munkaképesség,

gh ⋅ a tömegegységre vonatkoztatott potenciális (helyzeti) energia és

e’ a tömegegységre vonatkoztatott energia-veszteség.

2. A nyomásdimenziós alak a térfogategységre vonatkozó fajlagos

munkaképességet adja meg. Mértékegysége PamN

mNm

mJ

233 === .

'22 22

22

11

21 pghpvghpv

+⋅⋅++⋅=⋅⋅++⋅ ρρρρ , ahol

ρ⋅2

2v a térfogategységre vonatkoztatott kinetikus (mozgási) energia vagy dinamikus nyomás,

p a térfogategységre vonatkoztatott nyomási munkaképes-

187

ség vagy statikus nyomás, gh ⋅⋅ ρ a térfogategységre vonatkoztatott potenciális (helyzeti)

energia és

p’ a térfogategységre vonatkoztatott energia-veszteség, a nyomásveszteség.

3. A magasságdimenziós alak a súlyegységre vonatkozó fajlagos mun-

kaképességet adja meg. Mértékegysége mN

NmNJ

== .

'22 2

222

11

21 hh

gp

gvh

gp

gv

+++=++ρρ

, ahol

gv2

2

a súlyegységre vonatkoztatott kinetikus (mozgási) ener-gia vagy sebességmagasság,

gp

ρ a súlyegységre vonatkoztatott nyomási munkaképesség

vagy nyomásmagasság,

h a súlyegységre vonatkoztatott potenciális (helyzeti) ener-gia, vagyis a geometriai magasság és

h’ a súlyegységre vonatkoztatott energia-veszteség, vagyis a veszteség-magasság.

Az állandó keresztmetszetű, egyenes csőszakaszban fellépő, a viszkó-zus folyadék belső súrlódásából származó áramlási veszteséget a λ cső-súrlódási tényező, a d csőátmérő és az l csőhossz ismeretében, v áram-lási sebesség mellett a következők szerint számíthatjuk, tehát:

2

2vdle ⋅⋅=′ λ a tömegegységre vonatkoztatott energiaveszteség, így

a nyomásveszteség, és a veszteség-magasság:

ρλ ⋅⋅⋅=′2

2vdlp illetve

gv

dlh

2

2

⋅⋅=′ λ

Minden egyéb elem, idomdarab által okozott áramlási veszteséget az adott elemre vonatkozó, általában ζ-val jelölt veszteség- vagy ellenál-lás-tényezővel vesszük figyelembe. Ennek meghatározás sokszor kísér-leti úton, méréssel lehetséges. A ζ veszteségtényező alkalmazása a fen-tiekkel teljesen analóg módon történik, vagyis a Bernoulli-egyenlet há-rom alakjában az energiaveszteség kifejezése

188

2

2ve ⋅=′ ζ , ρζ ⋅⋅=′2

2vp és g

vh2

2

⋅=′ ζ .

Megjegyzés: Az eddig tárgyalt esetekben az áramlási sebesség a figye-lembe vett idomdarabokon állandó volt, így a veszteségek kifejezése viszonylag egyszerűen alakult. Vannak azonban olyan elemek, melye-ken az áramlási keresztmetszet változása miatt az áramlási sebesség is változni fog. Ilyen például a konfúzor és a diffúzor.

A folytonosság vagy kontinuitás tétele kimondja (4.2.2. fejezet), hogy összenyomhatatlan közeg áramlása esetén az áramlási sebesség és az áramlási keresztmetszet fordítva arányosak, azaz változó keresztmet-szet esetén a sebesség is változik. Így a konfúzor folyamatosan szűkülő keresztmetszete és a diffúzor folyamatosan táguló keresztmetszete mi-att az előbbin az áramlási sebesség növekedése, míg az utóbbin az áramlási sebesség csökkenése figyelhető meg. Így e két idomdarab esetében nincs egy konstans áramlási sebesség, mellyel a veszteség egyértelműen felírható lenne. Ezért a konfúzoron és a diffúzoron ke-letkező energiaveszteséget vagy a belépő, vagy a kilépő sebességgel szokás megadni. Mivel a két sebesség különböző, a hozzájuk tartozó ellenállás-tényezők is el fognak térni. Így konfúzor és diffúzor eseté-ben mindig meg kell adni, hogy a veszteségtényező melyik kereszt-metszetre vonatkozik! Az elmondottakat a 140. ábra mutatja.

Konfúzor Diffúzor

v1 v1 v2 v2

22

22

2

21

1vve ⋅=⋅=′ ζζ

22

22

2

21

1vve ⋅=⋅=′ ζζ

140. ábra. Konfúzor és diffúzor veszteségének meghatározása

A feladat megoldásának első lépése tehát annak az áramvonal-szakasznak a meghatározása, amelynek kezdő- és végpontja között a Bernoulli-egyenletet felírjuk. Ilyen típusú kifolyási feladatok esetében a tartályban lévő folyadék szabad felszíne és a kifolyási keresztmetszet között célszerű kijelölni a vizsgált áramvonalat, amint ez a 141. ábráról is leolvasható.

189

141. ábra. A vizsgált áramvonal felvétele

A megoldáshoz a Bernoulli-egyenlet bármelyik alakja használható. Mi a továbbiakban a tömegegységre vonatkozó „alap” alakot fogjuk al-kalmazni. Ennek veszteségeket is tartalmazó változatát felírva a kije-lölt áramvonal 1-es kezdőpontja és 2-es végpontja között az alábbi formulát kapjuk:

eghpvghpv ′+⋅++=⋅++ 22

22

11

21

22 ρρ.

A fenti egyenlet egy F(v1, p1, h1, v2, p2, h2) = 0 alakba írható implicit függvénykapcsolat a hat változó, azaz a kezdő- és végpontbeli sebes-ség, statikus nyomás és nullszinttől mért magasság között. Ahhoz, hogy egyértelműen megoldható legyen, az ismeretlenek számát egyre kell redukálnunk. Ehhez tekintsük át az egyes változók jelentését és a feladat adatrendszerének figyelembe vételével csökkentsük az ismeret-lenek számát! • A tartály végtelen nagynak tekinthető, így a tartálybeli vízszint

csökkenése elhanyagolható, vagyis 01 ≈v .

• A tartály nyitott és a konfúzor végén a kiáramlás is a szabadba tör-ténik, így mindkét pontban a statikus nyomásnak meg kell egyeznie a környezeti nyomással. Tehát 021 ppp == , ezért a statikus nyo-mást tartalmazó tagot az egyenlet mindkét oldalából kivonva elimi-nálhatjuk.

• Általánosan elmondható, hogy ha a vizsgált áramvonal kezdő- és végpontja nem egy vízszintes egyenesre illeszkedik, akkor a két pont közül az egyiket – leggyakrabban a végpontot – célszerű ma-

190

gassági nullszintnek választani. Ha az ábrák mérethálózata szerint a h2 = 0 választással élünk, akkor a kezdőpont magassága h1 = H is-mert érték lesz.

A fentiek figyelembe vételével az egyenlet a következőképp alakul:

evgH ′+=⋅2

22 .

A megoldás következő lépése az áramlási veszteségek meghatározása. Esetünkben veszteség az l1 és l2 hosszúságú, egyaránt D átmérőjű egyenes csőszakaszokon, a ζcsk ellenállás-tényezőjű csőkönyökön, a ζsz veszteségtényezőjű szelepen és a ζk1 ellenállású konfúzoron keletkezik. A Bernoulli-egyenlet alkalmazott alakjának megfelelően a felsorolt elemeken keletkező energiaveszteségeket tömegegységre vonatkoztat-va kell megadnunk.

Az egyes elemek veszteségeit mindig azzal az áramlási sebességgel kell kifejezni, amellyel a közeg az adott elemen keresztülhaladt. Ve-gyük észre, hogy jelen feladatban ez nem a keresett vki kiáramlási se-besség lesz! A víz ugyanis a kiömlési sebességgel csak a konfúzor vé-gén lévő d átmérőjű keresztmetszetben mozog! A folytonosság köve-telményét, azaz a tömegáram állandóságát szem előtt tartva kijelent-hetjük, hogy bármely korábbi pontban az áramlás sebessége a vki se-bességnél kisebb lesz, mivel az áramlási keresztmetszet nagyobb.

A két tekintett egyenes csőszakasz, a csőkönyök és a szelep vesztesé-gét tehát a D átmérőjű keresztmetszetbeli áramlási sebességgel kell megadni. Jelölje ezt a sebességet a továbbiakban vcs! Mivel esetünkben a konfúzor veszteségtényezője annak belépő, azaz D átmérőjű ke-resztmetszetére vonatkozóan van megadva, ezért a rajta keletkező veszteséget is a vcs sebességgel lehet megadni.

A fentiek alapján tehát a veszteségeket az alábbiak szerint lehet felírni:

.2

222222

121

2

1

222

221

cskszcsk

csk

cssz

cscscsk

cs

vD

ll

vvvDlvv

Dle

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

+⋅=

=⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=′

ζζζλ

ζζλζλ

Ezzel a Bernoulli-egyenletben már csupán két ismeretlen maradt: a csőbeli áramlás vcs sebessége és a keresett vki = v2 kiáramlási sebesség. A két sebesség között ugyanakkor egyértelmű kapcsolatot teremt a ko-rábbiakban már bemutatott kontinuitás törvénye:

191

222

44⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⇒

⋅⋅=

⋅⋅⇒⋅=⋅

DdvvdvDvAvAv kicskicsdkiDcs

ππ .

Behelyettesítve a fent kapott eredményeket a Bernoulli-egyenletbe, a kiömlés vki sebessége már meghatározható.

⇒⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

+⋅+⋅=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

+⋅+=⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

+⋅+=⋅

4

121

2

42

121

2

2

121

2

12

22

22

Dd

DllvgH

Ddv

DllvgH

vD

llvgH

kszcskki

kikszcsk

ki

cskszcsk

ki

ζζζλ

ζζζλ

ζζζλ

.sm 468.8

2001001.015.012.0

2.08.1206.01

81.942

1

2

4

4

121

≈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

+⋅+

⋅⋅=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

+⋅+

⋅⋅=

Dd

Dll

gHv

kszcsk

ki

ζζζλ

b.) A konfúzort az egyenes csőszakasz végére karimás kötéssel, csavarok segítségével erősítjük fel a 142. ábrán vázolt módon. A rögzítő-csavarok méretezéséhez elengedhetetlen az áramló folyadék által rájuk gyakorolt erőhatás ismerete. Ennek meghatározása az áramcsőre leve-zetett impulzustétel alkalmazásával lehetséges (4.3. fejezet) .

142. ábra. A csővégre szerelt konfúzor

Az impulzustétel alkalmazása során elsőként mindig az ellenőrző felü-letet kell megválasztani, vagyis le kell határolni a vizsgálat alá vont fo-lyadéktérfogatot. Legyen ez most az éppen a konfúzorban tartózkodó

192

folyadékot határoló csonkakúp alakú felület, melyet a 143. ábrán szem-léltettünk. Ez megfelelő a konfúzorra ható erő meghatározásához, mi-vel a benne foglalt folyadékra ható felületi erők kúppaláston ébredő összetevője Newton III. törvénye értelmében éppen a konfúzorra ható erő ellentettje lesz.

p1, A1

p2, A2

v1 v2 e

1 2

p0

143. ábra. A konfúzorra ható erő meghatározásához felvett

ellenőrző felület

A felvett ellenőrző felületbe zárt folyadékra felírható impulzustétel szerint a sebességvektor megváltozásának és a tömegáramnak a szor-zata épp a közegre ható felületi és térfogati erők eredőjét adja:

( ) tf FFvvm +=−⋅ 12. .

Tekintve, hogy a konfúzor tengelye vízszintes elrendezésű, a gravitá-ciós tér okozta térfogati erő nincs hatással az ellenőrző felületbe zárt folyadéktömeg impulzusára. Így a továbbiakban csak a felületi erőket kell elemeznünk.

Bontsuk fel az Ff felületi erőt a kúppaláston ébredő Fp és a fedlapokon ébredő Fl erők összegére! Ekkor a 143. ábrán felvett e egységvektor segítségével az Fl erő a következőképp fejezhető ki:

( ) eApApF l ⋅⋅−⋅= 2211 .

Ezzel az impulzustétel felírt alakja az

( ) ( ) eApApFFFvvm plp ⋅⋅−⋅+=+=−⋅ 221112.

formát ölti. A korábbiak szerint a kúppaláston ébredő Fp erő a folyadék által a konfúzorra gyakorolt erőhatás ellentettje, így a konfúzorra az áramló közeg által kifejtett erő

( ) ( ) eApApvvmFF pp ⋅⋅−⋅+−⋅−=−= 221112* .

193

lesz. Nem szabad azonban elfelejtenünk, hogy a konfúzorra a benne áramló folyadékon kívül a külső környezet p0 légnyomása is erőt fejt ki. Ennek tengelyirányú komponense

( ) eAApF p ⋅−⋅= 1200 , ezért a konfúzorra ható külső erők eredője az alábbi lesz:

( ) ( ) ( ) eAApeApApvvmFFF ppk ⋅−⋅+⋅⋅−⋅+−⋅−=+= 1202211120* .

Ezt a vektoregyenletet átírhatjuk skaláregyenletté az erők előjeles nagyságának és az e egységvektor irányának figyelembe vételével:

( ) ( )120221112 AApApApvvmFk −⋅+⋅−⋅+−⋅−= . .

Ahogy azt már az előző pontban megállapítottuk, a kifolyási A2 ke-resztmetszetben a statikus nyomás megegyezik a külső légnyomással: p2 = p0. Ugyanakkor a fenti erő meghatározásához szükség van a kon-fúzor A1 belépő keresztmetszetében kialakult csvv ≡1 áramlási sebes-ség és p1 statikus nyomás ismeretére is.

A vcs sebesség az előző pontban már felírt kontinuitási tétel alkalmazá-sával adható meg:

sm

Ddvv kics 117.2

200100468.8

22

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= .

A p1 nyomás a jelenlegi 1-es ponttól a 2-es pontig felírt Bernoulli-egyenlet alapján számítható. A kijelölt áramvonal-szakaszt a 144. ábra mutatja.

144. ábra. A konfúzorra felírt Bernoulli-egyenlethez kijelölt áramvonal

A tömegegységre vonatkozó alakban felírt Bernoulli-egyenlet a koráb-ban használttal megegyező:

eghpvghpv ′+⋅++=⋅++ 22

22

11

21

22 ρρ.

194

Mivel a felvett áramvonal-szakasz vízszintes helyzetű (h1 = h2), így a Bernoulli-egyenletből a helyzeti energiát tartalmazó tagok elhagyható-ak. Veszteségként most csak a konfúzoron keletkező energiavesztesé-get kell figyelembe vennünk, mely ez esetben is a belépő sebességgel számítható. Ezért

222

2

10

21

2cs

kkics vpvpv

⋅++=+ ζρρ

,

melyből a belépő keresztmetszeti statikus nyomás értéke:

( )

( ) .kPa 8392.13310000010002

117.211.02

468.8

21

222

0

2

1

2

1

≈+⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−+≈

≈+⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−+= pvvp cs

kki ρζ

A tömegáram értéke egy adott keresztmetszetben fennálló áramlási se-besség, a keresztmetszet nagysága és az áramló közeg sűrűségének szorzataként számítható.

skg 51.66468.8

41.01000

4

22

≈⋅⋅

⋅≈⋅⋅

⋅=⋅⋅=ππρρ kikid vdvAm. .

Így a konfúzort rögzítő csavarokat terhelő erő nagysága már meghatá-rozható:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) .N 67.6404

2.01000002.133839117.2468.851.66

42

2

01

10202011

120221112

≈⋅

⋅−+−⋅−≈

≈⋅

⋅−+−⋅−=

⋅−⋅+⋅−⋅+−⋅−=

−⋅+⋅−⋅+−⋅−=

π

πDppvvmF

ApApApApvvmF

AApApApvvmF

cskik

cskik

k

.

.

.

c.) Az impulzustételt kell alkalmaznunk akkor is, ha egy síklap által merő-legesen eltérített szabadsugár által a síklapra gyakorolt erőt kívánjuk meghatározni. Ennek az erőnek az értéke v1 sebességű és m& tömeg-áramú szabadsugár és álló síklap esetén

2111

* )0( vAvmvmFF ⋅⋅=⋅=−−=−= ρ.. ,

ahol ρ az áramló közeg sűrűsége, A pedig az áramlási keresztmetszet.

195

Ha a síklap a szabadsugár irányával azonos irányban u = áll. sebesség-gel mozog, akkor az áramlás csak a síklaphoz kötött koordináta-rendszerben maradhat stacionárius. A síklappal együtt mozgó koordi-náta-rendszerből végezve a vizsgálatot az előzővel analóg esetre ju-tunk, azonban ekkor a szabadsugár belépő sebessége v1 - u nagyságúra adódik, mivel az ellenőrző felület a síklappal együtt mozog. Az impul-zustétel tehát az alábbi alakban írható fel:

( ) ( )211

* uvAuvmF −⋅⋅=−⋅= ρ. .

A szabadsugár hajtóerejének egyik legegyszerűbb hasznosítási módja, hogy a síklapokat egy kerék kerületén sugárirányban helyezzük el, így a folyadéksugárból származó erőhatás kerületi erő formájában forgató-nyomatékot szolgáltat. A feladatbeli elrendezést a 145. ábra mutatja.

e v1 v2

øDk

ω

145. ábra. A vízikereket hajtó szabadsugárra vonatkozó impulzustétel

Ha a vízikerék állandó ω szögsebességgel forog, akkor a konfúzorból távozó szabadsugár sebességi tere kvázistacionárius lesz és a berajzolt álló ellenőrző felületre alkalmazható az impulzustétel megismert alak-ja. Az ellenőrző felületbe való belépés v1 sebessége megegyezik a su-gárcsőből kilépő szabadsugár sebességével, az ellenőrző felületből va-ló kilépés v2 sebessége azonban időben periodikus változást mutat, de középértéke a vízikerék ω⋅= Ru kerületi sebességével azonosítható. Ezzel a folyadék által átadott kerületi erő időbeli középértékének elője-les nagyságát a következő egyenlet adja meg:

( ) ( ) ( )uvvduvvAuvmFF kikikikid −⋅⋅⋅

⋅=−⋅⋅⋅=−⋅=−=4

2

1* πρρ. .

196

A fenti erő által a vízikerék tengelyére kifejtett forgatónyomaték az erő nagyságának és a vízikerék közepes sugarának szorzataként áll elő:

uDvADvADFM kkid

kkid

k ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅=222

2* ρρ .

A kapott összefüggés szerint tehát a forgatónyomaték értéke – nem te-kintve a külső erő hatására a szabadsugár mozgásával ellentétes irány-ba forgó kerék esetét – álló (u = 0) kerék esetén a legnagyobb, majd li-neárisan zéróra csökken a vízsugár vki kiömlési sebességének eléréséig. A vízikerék tengelyéről levehető teljesítmény u kerületi sebesség ese-tén

( )uvumuvAuvAD

uMMP kikidkidk

−⋅⋅=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅=⋅=.22

12 ρρω

lesz. Mivel a teljesítmény fenti függvénye egy negatív főegyütthatójú másodfokú parabola u = 0 és u = vki zérushelyekkel, ezért azonnal ki-

mondhatjuk, a függvény maximumhelye 2kivu = kerületi sebességnél

lesz, vagyis a vizsgált síklapátozású vízikerék a legnagyobb teljesít-ményt akkor adja le, ha a középátmérőn vett kerületi sebessége éppen a kereket hajtó szabadsugár sebességének a fele. A hatásfok értéke ekkor éppen η = 0.5 (lásd 98. ábra).

Ezek szerint a vízikerék fordulatszáma a maximális, η = 0.5 hatásfokú üzemben

min1 95.261 449.0

32468.8

22

2

2=≈

⋅⋅≈

⋅⋅=

⋅=

⋅

==sD

vD

uDu

nk

ki

k

k

πππππω ,

a vízikerék tengelyéről levehető nyomaték értéke ekkor

( )

, 39.4224

3468.851.664

222

NmvDm

vvDmuvDvAM

kik

kiki

kki

kkid

≈⋅⋅

≈⋅⋅

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=−⋅⋅⋅⋅=

.

.ρ

miközben a tengelyről levehető teljesítmény pedig

197

( )

.kW 1923.1 W3.11924

468.851.66422

22

=≈

≈⋅≈⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=−⋅⋅= kiki

kiki

kivmvvvmuvumP ...

Az M nyomaték és az η hatásfok u kerületi sebességtől való függését a 146. ábrán vázoltuk fel.

146. ábra. Síklapátozású vízikerék nyomaték- és hatásfokfüggvénye

7.9 9. Gyakorló feladat: Dízelmotorban lezajló termodinamikai fo-lyamatok vizsgálata

A 147. ábrán látható négyütemű, 16 hengeres dízelmotorban lejátszódó munkafolyamatot Seiliger-Sabathier körfolyamattal közelítjük (5.6. fe-jezet, 107. ábra). A motorba ciklusonként beszívott munkaközeg mennyisége mc = 0.23 kg, a környezeti nyomás p1 = 96.5 kPa, a kör-nyezeti hőmérséklet T1 = 302 K. A kompresszióviszony értéke ε = V1/V2 = 22.1, az előzetes expanzióviszony pedig ϕ = V4/V3 = 1.2. A hengerben kialakuló maximális nyomás értéke p3 = 9.4 MPa. A gáz specifikus gázállandója Rs = 287 J/kgK, adiabatikus kitevője κ = 1.4.

a.) Rajzolja fel a körfolyamatot p-V diagramban!

b.) Határozza meg a termikus állapotjellemzők értékét a körfolyamat sa-rokpontjaiban!

c.) Mekkora a körfolyamatba bevezetett Qfel és az abból elvezetett Qle hő-mennyiség, illetve a körfolyamat által végzett W munka?

d.) Határozza meg a körfolyamat ηt termikus hatásfokát és pi indikált kö-zépnyomását!

198

147. ábra. A modellezett dízelmotor

Megoldás:

a.) A jelen tantárgy keretei között tárgyalt termodinamikai kérdéskörök vizsgálatához alapvetően az alábbiak ismerete szükséges (5. fejezet):

i.) az ideális gázok állapotegyenlete (5.1. fejezet): TRmVp s ⋅⋅=⋅ , FONTOS: Bár elfogadott a hőmérséklet Celsius-fokban történő megadása, a termodinamikai összefüggések kivétel nélkül az ab-szolút, azaz Kelvinben megadott hőmérsékletre vonatkoznak! Ezért a °C-ban adott értéket mindig át kell váltani K-re. A két hő-mérsékleti skála osztása azonos és KC 15.2730 ≈° .

ii.) a termodinamika I. főtétele (5.3. fejezet): dW dU dQ += , A helyes megoldáshoz elengedhetetlen a fenti formulához tartozó előjelszabály konzekvens alkalmazása: a gáz által felvett hő pozi-tív, a leadott negatív; a gáz által végzett munka pozitív, a gázon végzett munka negatív ( dVpdW ⋅= ); a belső energia változása a hőmérséklet növekedésekor pozitív, egyébként negatív

( dTmcdU v

def⋅⋅= ).

iii.) a fentiek alapján a 4 „elemi” állapotváltozás, így az izochor, az izobár, az izoterm és az adiabatikus állapotváltozás jellemzői (5.4. fejezet),

iv.) a fajlagos hőkapacitás fogalma és alkalmazásai (5.2.fejezet): TncQ ∆⋅⋅=∆ .

A termodinamikai folyamatok egyik elterjedt szemléltetési módja a nyomás alakulásának felrajzolása a térfogat függvényében, vagyis a p-

199

V diagram. Ez kiváló lehetőséget biztosít a termikus állapotjellemzők kapcsolatának és a folyamatok által igényelt vagy szolgáltatott munká-nak a szemléltetésére.

Ennek megoldása előtt érdemes megvizsgálni a motor hengerében vég-bemenő valóságos munkafolyamatot, melyet a 148. ábra (indikátor di-agram) mutat be.

Dízelmotor

p [bar]

V

80

60

40

20

Szívás

Égés

0

Kitolás

148. ábra. Dízelmotor indikátordiagramja

A feladat megoldása során a dízelmotorban lezajló munkafolyamat kö-zelítő modelljeként az ideális Seiliger-Sabathier körfolyamatot választ-juk (5.6. fejezet, 107. ábra). A motor működését modellező ideális kör-folyamat felépítésekor a következő közelítő egyszerűsítéseket alkal-mazzuk: a hengerben lévő munkaközeg ideális gáz, a közeg mennyisége és összetétele a teljes munkaciklus alatt válto-

zatlan, az égésből felszabaduló hőmennyiséget külső hőközléssel helyette-

sítjük, a szívás és a kitolás folyamatát nem vesszük figyelembe, ezeket a

hengerben lévő gáz lehűtése helyettesíti.

Tekintve, hogy a munkaciklus időbeli lefutása igen gyors, a henger-ben lévő munkaközeg és környezete közötti hőcsere elhanyagolható mértékűnek vehető. Így a kompressziót és az expanziót adiabatikus folyamattal modellezhetjük. A közelítő körfolyamatot a 149. ábrán ismételten felrajzoltuk.

A körfolyamat környezeti nyomású és környezeti hőmérsékletű gáz-zal indul az 1-es pontban, amikor a dugattyú alsó holtponti helyzeté-ben van, vagyis a hengerbeli térfogat a legnagyobb. Ezután fél főten-gely-fordulatig tart a sűrítés, mely során a dugattyú felső holtponti helyzetbe kerül, a munkaközeg pedig adiabatikus kompresszióval a 2-

200

es állapotba jut. Ezt követően az égést a 3-as pontig tartó izochor hőközlés, majd a 4-es állapotba vezető izobár hőbevezetés modellezi. A gáz az égést követő terjeszkedése során végzi a hasznos munkát miközben a dugattyú egy újabb fél főtengely-fordulattal ismét alsó holtponti helyzetébe jut. A folyamatot az 5-ös állapotig tartó adiaba-tikus expanzió modellezi. A következő teljes főtengely-fordulat során végbemenő kipufogást és a friss munkaközeg beszívásának folyama-tát izochor hőelvonás helyettesíti, mellyel visszajutunk a kiindulási ál-lapotba.

1

2

3 4

5

V1 = V5V4 V2 = V3

p1 p5

p2

p3 = p4

TER=W

Qfel1

Qfel2

Qle

Q45 = 0

Q12 = 0

149. ábra. A Seiliger-Sabathier körfolyamat p-V diagramja

b.) Feladatunk a p nyomás, a V térfogat és a T abszolút hőmérséklet meg-határozása a körfolyamat öt sarokpontjában.

A kiindulási pontban ismert a p1 nyomás és a T1 hőmérséklet, továbbá adott a munkaközeg mc tömege is. Ezek alapján az állapotegyenletből a dugattyú alsó holtponti helyzetében a hengerben lévő gáz V1 = V5 tér-fogata felírható:

.dm 58.206m 20658.096500

30228723.0 33

1

11

111

=≈⋅⋅

=⋅⋅

=

⇒⋅⋅=⋅

pTRmV

TRmVp

sc

sc

Ezzel az 1-es pont termikus állapotjellemzői ismertek. Mivel a komp-resszió-viszony értéke is adott, a V2 = V3 kompressziótérfogat is köny-nyen meghatározható:

3312

2

1 dm 35.9m 00935.01.22

20658.0=≈≈=⇒=

εε VV

VV .

201

Az 1-esből a 2-es sarokpontba vezető állapotváltozás adiabatikus kompresszió. Erre a korábbiak szerint érvényes a .áll=⋅ κVp össze-függés. Így a 2-es állapotbeli p2 nyomás értéke az alábbi lesz:

.MPa 357.7Pa 73565891.2296500

.áll

4.11

2

1122211

≈=⋅=⋅=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⇒⋅=⋅⇒=⋅

κ

κκκκ

εp

VVppVpVpVp

Az állapotegyenlet segítségével – a nyomás és a térfogat ismeretében – a gáz T2 hőmérséklete a kompresszió végén a következő lesz:

.K 75.104128723.0

00935.07356589222

222

≈⋅⋅

=⋅⋅

=

⇒⋅⋅=⋅

sc

sc

RmVpT

TRmVp

Most már a 2-es állapot jellemzői is ismertek. A 2-esből a 3-as sarok-pontba izochor hőbevezetéssel jutunk el. Mivel adott a p3 = p4 csúcs-nyomás értéke, ezért az izochor folyamatra vonatkozó korábbi megál-lapításaink szerint a T3 hőmérséklet is számítható:

.K 11.13317356589940000075.1041.áll

2

323

3

3

2

2 ≈⋅≈⋅=⇒=⇒=ppTT

Tp

Tp

Tp

Ezzel a 3-as pont termikus állapotjellemzői is meghatározottak.

A 3-as pontból a 4-es állapotba izobár expanzió visz át. A V4 térfogat az előzetes expanzióviszony segítségével kifejezhető:

3334

3

4 dm 22.11m 01122.000935.02.1 =≈⋅≈⋅=⇒= VVVV ϕϕ .

A 4-es állapotbeli T4 hőmérséklet pedig az állapotegyenlet alapján adódik ki:

.K 34.159728723.0

01122.09400000444

444

≈⋅⋅

≈⋅⋅

=

⇒⋅⋅=⋅

sc

sc

RmVpT

TRmVp

Mivel most már a 4-es állapot összes jellemzője is adott, következhet az utolsó, 5-ös pont állapotjelzőinek meghatározása. A 4-es pontból az 5-ös sarokpontba adiabatikus expanzióval jutunk el. Figyelembe véve, hogy V5 = V1, a p5 nyomás értéke az alábbiak szerint számítható:

202

.kPa 16.159 4.15915920658.001122.09400000

.áll

4.1

5

4455544

≈=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⇒⋅=⋅⇒=⋅

Pa

VVppVpVpVp

κκκκ

A T5 hőmérséklet pedig az állapotegyenlet újbóli alkalmazásával hatá-rozható meg:

.K 10.49828723.0

20658.04.159159555

555

≈⋅⋅

≈⋅⋅

=

⇒⋅⋅=⋅

sc

sc

RmVpT

TRmVp

A kapott eredményeket célszerű táblázatos formában összesíteni:

1. 2. 3. 4. 5. p (kPa) 96.5 7356.6 9400.0 9400.0 159.2 V (dm3) 206.58 9.35 9.35 11.22 206.58 T (K) 302.00 1041.75 1331.11 1597.34 498.10

6. Táblázat. A vizsgált Seiliger-Sabathier körfolyamat sarokpontjainak termikus állapotjellemzői

A 150. ábra a körfolyamat számszerű eredményei tükrében mutatja a folyamat p-V diagramját.

150. ábra. A vizsgált motor munkafolyamatát közelítő Seiliger-Sabathier

körfolyamat p-V diagramja

203

c.) Az eddigiek alapján a körfolyamatba hőbevezetés a 2-3 izochor, illetve a 3-4 izobár szakaszokon történik. A két állapotváltozás során felvett hőmennyiség az izochor és izobár folyamatokra az I. főtétel alapján korábban elmondottak szerint határozható meg. Ehhez célszerű a mun-kaközeg állandó nyomáson és állandó térfogaton mért fajhőjének meg-határozása a két fajhő, valamint a specifikus gázállandó és az adiabati-kus kitevő közötti kapcsolatok felhasználásával (5.4.2. fejezet):

.Kkg

kJ 0045.1Kkg

J 5.100414.1

2874.11

,Kkg

kJ 7175.0Kkg

J 5.71714.1

2871

,11

⋅=

⋅=

−⋅

=−⋅

=

⋅=

⋅=

−=

−=

−⋅

=∧−

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=−

κκκ

κκ

κκ

sp

sv

sp

sv

v

p

svp

Rc

Rc

RcRccc

Rcc

Ezek segítségével a felvett hőmennyiség már könnyen számítható. Az izochor hőbevezetés szakaszában

( ) ( ),kJ 75163.47

75.104111.133123.07175.0.231

≈

≈−⋅⋅≈−⋅⋅= TTmcQ cvfel

az izobár expanzió esetében pedig

( ) ( ).kJ 50845.61

11.133134.159723.00045.1.342

≈

≈−⋅⋅≈−⋅⋅= TTmcQ cpfel

A teljes felvett hőmennyiség ezek összege lesz:

kJ 2601.10950845.6175163.4721 =+≈+= felfelfel QQQ .

A körfolyamatból elvezetett hőmennyiség az 5-1 izochor hűtés során távozik a rendszerből, így értéke a következő:

( ) ( ) kJ 3569.321.49830223.07175.0.51 −≈−⋅⋅≈−⋅⋅= TTmcQ cvle .

A körfolyamat által végzett munka értéke a 149. ábrán is látható mó-don a folyamat p-V diagramban ábrázolt görbéje által határolt területtel egyenlő. Az izochor folyamat-szakaszokon nincs térfogatváltozás, ezért az össz-munka az 1-2 adiabatikus kompresszió, a 3-4 izobár ex-panzió és a 4-5 adiabatikus expanzió során történt munkavégzések elő-jelhelyes összege lesz. Eszerint az adiabatikus kompresszióra

204

( )

( ) ,kJ 12284.12220658.0500.9600935.0589.73564.11

11

1112212

−=⋅−⋅⋅−

≈

≈⋅−⋅⋅−

= VpVpWκ

az izobár expanzióra

( ) ( ) kJ 578.1700935.001122.0940034334 =−⋅≈⋅−⋅= VVpW ,

az adiabatikus expanzióra pedig

( )

( ) .kJ 47213.18101122.0940020658.01594.1594.11

11

1445545

=⋅−⋅⋅−

≈

≈⋅−⋅⋅−

= VpVpWκ

Így a körfolyamat által végzett munka értéke az alábbi lesz:

.kJ 92728.7647213.181578.1712284.122453412 =++−≈++= WWWW

A kerekítésekből származó eltéréstől eltekintve ugyanerre az ered-ményre jutunk, ha a körfolyamatból nyerhető munka és a be- illetve elvezetett hőmennyiségek között kapcsolatra az 5.5. fejezetben kapott összefüggést használjuk fel:

W = Qbe − ⎢Qki ⎢= Qfel - ⎢Qle ⎢= 109.2601 – 32.3614 = 76.9032 kJ

d.) Egy hőerőgép-körfolyamat termikus hatásfokán a körfolyamat által szolgáltatott munka és a körfolyamatba bevezetett hő hányadosát ért-jük(5.5. fejezet). Az adott körfolyamat termikus hatásfoka tehát

% 4.70704.02601.109

92728.76=≈≈=

felt Q

Wη .

Megjegyzés: Érdemes észrevenni, hogy a tekintett erősen idealizált hő-erőgép-körfolyamat hatásfoka is milyen kicsire adódott. Emiatt mond-hatjuk azt, hogy ha figyelembe vesszük még a valóságos motorban le-zajló kémiai folyamatokat és a környezettel megvalósuló hőcserét, il-letve az alkatrészek közötti súrlódást is, akkor egy dízelmotor hatásfo-ka 32-43 % lesz. Egy Otto-körfolyamat hatásfoka még ennél is kisebb, így a benzinmotor hatásfoka 24-35 % lehet.

Egy hőerőgép-körfolyamat indikált középnyomása az a konstans nyo-másérték, amelyen a körfolyamat térfogathatárai között végbemenő izobár folyamat éppen annyi munkát végezne, mint maga a körfolya-

205

mat (5.6. fejezet, 108. ábra). Ezt mutatja a 151. ábra is.

TER1

TER2

pind

Vmin Vmax

TER1 = TER2 = W

p(V)

V0

151. ábra. Az indikált középnyomás meghatározása

Az indikált középnyomás tehát a

( )minmax

minmax VVWpVVpW indind −

=⇒−⋅=

összefüggéssel számítható. Értéke esetünkben a következő lesz:

kPa 0384.39000935.020658.0

92728.76

21

≈−

≈−

=VV

Wpind .

206

 Ábrajegyzék 1. ábra Gépek és járművek......................................................................... 2 2. ábra A vizsgált térrész felbontása .......................................................... 4 3. ábra Inhomogén intenzív jellemző I....................................................... 5 4. ábra Inhomogén intenzív jellemző II. .................................................... 6 5. ábra Vektormennyiség ......................................................................... 10 6. ábra Mérőrendszer vázlata ................................................................... 15 7. ábra Leolvasási hiba............................................................................. 16 8. ábra Kalibrálási görbe .......................................................................... 18 9. ábra Szóródó mérési eredmények ........................................................ 19 10. ábra A mérési tartomány felosztása és a gyakoriság hisztogram....... 24 11. ábra Relatív gyakoriság hisztogram................................................... 25 12. ábra Relatív gyakoriság sűrűség hisztogram...................................... 26 13. ábra Valószínűségi sűrűségfüggvény................................................. 27 14. ábra Egyváltozós függvény linearizálása........................................... 31 15. ábra Mérési eredmények és a közelítő görbe ..................................... 37 16. ábra Pontfelhőre illeszkedő egyenes .................................................. 39 17. ábra A mechanika felosztása.............................................................. 39 18. ábra A helyvektor............................................................................... 40 19. ábra Az elmozdulásvektor.................................................................. 41 20. ábra A sebességvektor........................................................................ 42 21. ábra Csavarvonal-mozgás .................................................................. 44 22. ábra Az anyagi pont mozgásjellemzőinek származtatása .................. 45 23. ábra Körmozgás ................................................................................. 46 24. ábra Állandó gyorsulású mozgás ....................................................... 51 25. ábra A sebesség megadása egy adott időpontban .............................. 52 26. ábra Az befutott távolság kezdeti értéke. ........................................... 54 27. ábra Állandó gyorsulású mozgás foronómiai görbéi ......................... 54 28. ábra Az ideális mozgásciklus foronómiai görbéi. .............................. 57 29. ábra Parabola és az érintője................................................................ 57 30. ábra Fogaskerék kapcsolat ................................................................. 59 31. ábra Fogosztás.................................................................................... 60 32. ábra Kerületi sebesség a fogaskerék kapcsolatban ............................ 61 33. ábra Fogaskerék hajtás felépítése több fogaskerékből ....................... 62 34. ábra Több fogaskerékpár alkotta hajtásrendszer................................ 63 35. ábra Láncszerűen kapcsolódó síkbeli fogaskerék rendszer................ 64 36. ábra Lapos szíjas szíjhajtás ................................................................ 65 37. ábra A behajtó oldali dob ................................................................... 66 38. ábra A gyorsulás-idő függvény. ......................................................... 67 39. ábra Az eredő erő a menetciklus során. ............................................. 68

207

40. ábra Az alapellenálláserő időbeli változása a mozgásciklus során.....69 41. ábra A gépezeti vonóerő időbeli változása a mozgásciklus során......69 42. ábra A fékezőerő időbeli változása a mozgásciklus során. ................69 43. ábra Az eredő erő teljesítménye .........................................................69 44. ábra Az egyes teljesítmény összetevők az idő függvényében. ...........70 45. ábra A mozgási energia változása. .....................................................71 46. ábra A teljesítmény-mérleg. ...............................................................71 47. ábra Veszteség teljesítmény................................................................72 48. ábra A hatásfok zérus változó veszteség esetén. ................................73 49. ábra A hatásfok lineárisan változó veszteség esetén. .........................74 50. ábra A hatásfok másodfokú parabola szerint változó veszteség

esetén. .........................................................................................75 51. ábra Lineáris karakterisztikájú rugó és rugódigramja. .......................78 52. ábra Lengőrendszer.............................................................................79 53. ábra A harmonikus lengőmozgás foronómiai göbéi...........................83 54. ábra A kulisszás hajtómű. ...................................................................84 55. ábra A kulisszás hajtómű mozgásviszonyai. ......................................84 56. ábra A kulissza sebessége a kitérés függvényében.............................86 57. ábra A kulissza gyorsulása a kitérés függvényében. ..........................87 58. ábra A forgattyús hajtómű. .................................................................87 59. ábra A sebesség változása forgattyús hajtómű esetén. .......................88 60. ábra A gyorsulás változása forgattyús hajtómű esetén.......................88 61. ábra A nyomaték periodikus változása...............................................89 62. ábra A szögsebesség periodikus változása. ........................................90 63. ábra A nyomaték és a szögsebesség változása. ..................................91 64. ábra Lendítőkerék. ..............................................................................93 65. ábra Tömegpontok tehetetlenségi nyomatéka. ...................................93 66. ábra Lendítőkerék tehetetlenségi nyomatékának számítása. ..............93 67. ábra A nyomóerő a P pontban. ...........................................................94 68. ábra Heron-labda. ...............................................................................95 69. ábra A hidrosztatikai nyomás. ............................................................96 70. ábra Hidrosztatikus emelő. .................................................................97 71. ábra A nyugvó folyadék helyzeti energiája és energiamagassága......98 72. ábra A nyomásból származó munkavégző. ........................................99 73. ábra A folyadék össz munkavégző képessége....................................99 74. ábra Nyugvó folyadék és szilárd test egyensúlya.............................100 75. ábra A szilárd test részleges bemerülése – úszása...........................101 76. ábra Az úszás stabilitása. ..................................................................102 77. ábra A sebesség változása az ívkoordináta mentén. .........................104 78. ábra A sebesség változása stacionárius áramlás mellett...................104 79. ábra Áramvonal. ...............................................................................105

208

80. ábra Áramcső. .................................................................................. 105 81. ábra A folytonosság tétele................................................................ 106 82. ábra Bernoulli egyenlet. ................................................................... 106 83. ábra Venturi-cső. .............................................................................. 108 84. ábra Kifolyás tartályból.................................................................... 109 85. ábra Dugattyús szivattyú.................................................................. 110 86. ábra Egyszeres működésű dugattyús szivattyú térfogatszállítása. ... 111 87. ábra Kettős működésű dugattyús szivattyú...................................... 112 88. ábra A folyadékszállítás kettős működésű dugattyús szivattyúval. . 112 89. ábra Légüst alkalmazása. ................................................................. 113 90. ábra Súrlódásos folyadék áramlása csővezetékben.......................... 114 91. ábra A lamináris áramlás sebességprofilja....................................... 115 92. ábra A turbulens áramlás sebességprofilja....................................... 116 93. ábra A csősúrlódási tényező a Reynolds szám függvényében......... 116 94. ábra Munkaképesség mérleg veszteséges áramlás esetén................ 117 95. ábra Veszteséges kiáramlás tartályból. ............................................ 117 96. ábra Folyadéktömeg impulzusa. ...................................................... 119 97. ábra Lapátos kerék. .......................................................................... 121 98. ábra A lapátos kerék nyomatéka és teljesítménye. .......................... 123 99. ábra A „p-V” diagram állandó T0 mellett. ........................................ 125 100. ábra A térfogatváltozási munka. .................................................... 129 101. ábra Izochor állapotváltozás........................................................... 132 102. ábra Izobár állapotváltozás............................................................. 133 103. ábra Izotermikus állapotváltozás.................................................... 134 104. ábra Adiabatikus állapotváltozás. .................................................. 135 105. ábra Körfolyamat. .......................................................................... 136 106. ábra Ottó és Diesel körfolyamatok................................................. 138 107. ábra Seiliger-Sabathier, a Humphrey és a Joule körfolyamatok. .. 139 108. ábra Az indikált középnyomás....................................................... 141 109. ábra Nyomatéktartó jelleggörbe..................................................... 144 110. ábra Fordulatszámtartó jelleggörbe................................................ 144 111. ábra Teljesítménytartó jelleggörbe................................................. 144 112. ábra Erőgép és munkagép együttműködése. .................................. 145 113. ábra A dízelmotor nyomatéki jelleggörbéi..................................... 147 114. ábra A vezérlés és a szabályozás blokkvázlata. ............................. 149 115. ábra A gép által gyártott alkatrészek átmérőinek f(x)

valószínűségi sűrűségfüggvénye ........................................... 152 116. ábra. Az adott intervallumba esés valószínűségének becslése a

sűrűségfüggvény alatti terület trapézzal történő közelítésével .......................................................................... 153

117. ábra. Vasúti kocsi alapellenállásának mérése ................................ 154

209

118. ábra. A legkisebb négyzetek módszere...........................................155 119. ábra. A mérési adatokra illesztett regressziós parabola..................158 120. ábra. A hajócsavar vizsgálatának koordináta-rendszere.................159 121. ábra. Az egyenletes körmozgás jellemzői ......................................160 122. ábra. Csavarvonal menti mozgás eredménye .................................161 123. ábra. A vizsgált hajtáslánc elrendezése ..........................................162 124. ábra. Villamos gép optimális terhelésének meghatározása ............165 125. ábra. Villamos gép hatásfokának alakulása a terhelés

függvényében.........................................................................166 126. ábra. Szíjhajtás................................................................................166 127. ábra. A szíjhajtásban fellépő főbb erők és nyomatékok .................167 128. ábra. Fogaskerék-kapcsolat ............................................................168 129. ábra. A vizsgált gépcsoport nyomatéka..........................................170 130. ábra. A munkatúlmány meghatározása...........................................172 131. ábra. A lendítőkerék kialakítása és összeállítási rajza....................174 132. ábra. A vizsgált lift egyszerűsített vázlata ......................................176 133. ábra. A rendszerben működő belső erők és a felvett gyorsulások..177 134. ábra. Munkaszámítás a teljesítmény függvény segítségével ..........179 135. ábra. A vizsgált víztartály vázlata ..................................................180 136. ábra. A folyadék által a nyílás fedelére gyakorolt nyomás

változása a folyadékfelszíntől számított mélység függvényében.......................................................................182

137. ábra. A nyílás fedelét rögzítő csavarok terhelésének meghatározása .....................................................................183

138. ábra. A vízikerék hajtásának elrendezése .......................................185 139. ábra. Ideális és a veszteséges áramlás energiamérlege...................186 140. ábra. Konfúzor és diffúzor veszteségének meghatározása .............188 141. ábra. A vizsgált áramvonal felvétele ..............................................189 142. ábra. A csővégre szerelt konfúzor ..................................................191 143. ábra. A konfúzorra ható erő meghatározásához felvett

ellenőrző felület......................................................................192 144. ábra. A konfúzorra felírt Bernoulli-egyenlethez kijelölt

áramvonal...............................................................................193 145. ábra. A vízikereket hajtó szabadsugárra vonatkozó impulzustétel.195 146. ábra. Síklapátozású vízikerék nyomaték- és hatásfokfüggvénye ...197 147. ábra. A modellezett dízelmotor ......................................................198 148. ábra. Dízelmotor indikátordiagramja..............................................199 149. ábra. A Seiliger-Sabathier körfolyamat p-V diagramja ..................200 150. ábra. A vizsgált motor munkafolyamatát közelítő Seiliger-

Sabathier körfolyamat p-V diagramja ....................................202 151. ábra. Az indikált középnyomás meghatározása..............................205

210

Táblázatjegyzék 

1. Táblázat Gyakoriság értékek az egyes intervallumokban....................24 2. Táblázat Relativ gyakoriság értékek az egyes intervallumokban ........25 3. Táblázat Relatív gyakoriság sűrűség értékek.......................................26 4. Táblázat. Az átmérőmérés adatai .......................................................150 5. Táblázat. Mért menetellenállás értékek .............................................154 6. Táblázat. A vizsgált Seiliger-Sabathier körfolyamat

sarokpontjainak termikus állapotjellemzői .........................202

Irodalomjegyzék 

1. Pattantyús-Ábrahám Géza: A gépek üzemtana, Egyetemi tan-

könyv, Tankönyvkiadó, Budapest, 1973.

2. Horváth K.- Simonyi A.- Zobory I.: Mérnöki fizika, Egyetemi jegy-

zet, Műegyetemi Kiadó, 1997., J7-1004.

3. Szabó András: Mérnöki fizika feladatgyűjtemény, Egyetemi jegy-

zet, Műegyetemi kiadó, 2006., J-75006.