ÉCOLE POLYTECHNIQUE –

Calcul differentiel et fonctions holomorphesMAT 431

David Renard

28 aout 2017

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1 Les documents (polys actualises, feuilles d’exercices, etc) sont disponibles a l’adresse sui-vante :

http ://www.cmls.polytechnique.fr/perso/renard/MAT431

2 N’hesitez pas a me contacter pour toute question ou probleme, mais surtout pour me fairepart des erreurs dans les polys :david.renard@polytechnique.edu

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Objectifs du cours

(i) Se faire plaisir en faisant de jolies mathematiques. Nous etablirons quelques beaux theoremesclassiques (inversion locale, fonctions implicites, equations d’Euler-Lagrange, theoreme deCauchy-Lipschitz pour le calcul differentiel, theoreme fondamental de l’algebre, formule desresidus pour l’analyse complexe) et nous ferons un peu de geometrie, en developpant latheorie des sous-varietes.

(iii) Le calcul differentiel et l’analyse complexe sont centrales dans les mathematiques et sont unpre-requis pour des theories plus avancees (geometrie differentielle, equations aux deriveespartielles, geometrie algebrique, etc).

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Objectifs du cours

(iii) Consolider sa maıtrise du calcul differentiel, outil fondamental en mathematiques, maisaussi en physique, mecanique, economie formalisee, etc ; en fait, dans tous les domainesou apparaissent des fonctions dont on souhaite etudier les variations ou des problemesd’evolution modelisables par des systemes d’equations differentielles.

(iv) Comprendre les bases de l’analyse complexe et savoir utiliser les outils de calcul (par exempled’integrales) que fournit cette theorie.

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Plan du cours

Fonctions holomorphes

Cours 1 : Fonctions holomorphes. Conditions de Cauchy-Riemann. Integrale le long d’unchemin. Formule de Cauchy. Analyticite.

Cours 2 : Principes des zeros isoles et du maximum. Fonctions meromorphes. Formuledes residus.

Cours 3 : Existence de primitives. Logarithme complexe. Applications.

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Plan du cours

Calcul differentiel

Cours 4 : Calcul differentiel dans les espaces de Banach. Differentielles, differentiellessuperieures. Theoreme de Picard.

Cours 5 : Theoremes des fonctions implicites. Theoreme d’inversion locale. Immersions,submersions. Sous-varietes. Calcul differentiel sur les sous-varietes.

Cours 6 : Calcul differentiel sur les sous-varietes (suite) : Hessienne.

Cours 7 : Equations differentielles. Theoreme de Cauchy-Lipschitz

Cours 8 : Equations differentielles sur les sous-varietes. Flot.

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Evaluation

P= Note de participation basee sur le devoir a la maison et les passages au tableau en PC.

E= Note de d’examen.

M= note de module = sup (E , (3E + P)/4)

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