-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
1/44
Cálculo de
dσ/dΩ paradiferentes
potencialespor
simulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotenciales
centralesDispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de la
sección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Cálculo de la sección eficaz diferencial para
diferentes potenciales por simulación
(Componente teórica)
Sebastián Quintero1
Carlos Conde1
Introducción a la investigación teórica
1Universidad Nacional de Colombia
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
2/44
Cálculo de
dσ/dΩ paradiferentes
potencialespor
simulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotenciales
centralesDispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de la
sección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Tabla de contenido
1 IntroducciónResumen del proyecto
2 Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centralesDispersión de
RutherfordSección eficaz diferencial de RutherfordCorrección
relativista
3 SimulaciónCálculo de la sección eficaz
diferencial
4 Bibliograf́ıa
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
3/44
Cálculo de
dσ/dΩ paradiferentes
potencialespor
simulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotenciales
centralesDispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de la
sección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Introducción
Resumen del proyecto
Análisis teórico de la dispersión clásica de
Rutherford ymott.
Diseño del algoritmo y el programa que determina la
trayectoria de una part́ıcula dispersada por un blancoestático
teniendo en cuenta los parámetros de entrada b
yE .
Cálculo de la sección eficaz diferencial para un
conjunto de
part́ıculas que inciden sobre un blanco fijo a partir delliteral
anterior.
Comparación de los resultados de la simulación con
lasecuaciones teóricas clásicas y correcciones relativistas.
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
4/44
Cálculo de
dσ/dΩ paradiferentes
potencialespor
simulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotenciales
centralesDispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de la
sección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centrales
Cuando dos cuerpos interactúan debido a una fuerza
mutua a distancia que depende sólo de la distanciarelativa
entre ambos, se dice que la fuerza es central yapunta sobre la
ĺınea que los une.
Una fuerza central es aquella que puede derivarse de
unpotencial que depende sólo de la coordenada radial y por
lo tanto existe simetŕıa azimutal V (r)
= V (r)
Un cuerpo que es sometido únicamente a un
potencialcentral, el momento angular se conserva y el
movimientoyace en un plano.
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
5/44
Cálculo de
dσ/dΩ paradiferentes
potencialespor
simulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotenciales
centralesDispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de la
sección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centrales
El problema entre dos cuerpos bajo una fuerza central
mutua puede desacoplarse escogiendo un sistema decoordenadas
generalizadas adecuadas.
El problema queda descrito por un lagrangiano asociado
ados part́ıculas imaginarias, la M -part́ıcula y la
µ-part́ıcula.
Se tratarán part́ıculas dispersadas por una esféra
estáticade modo que la masa reducida se aproxima a la masa de
lapart́ıcula incidente (µ m1 = m).
Es posible reducir el problema a una dimensión con
elpotencial efectivo.
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
6/44
Cálculo de
dσ/dΩ paradiferentes
potencialespor
simulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotenciales
centralesDispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de la
sección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centrales
Teniendo en cuenta lo anterior, el lagrangiano asociado a
unapart́ıcula en coordenadas polares está dado por:
L = 12
m
ṙ2 + r2 θ̇2
− V (r)Las ecuaciones de movimiento son:
mr̈ = mr θ̇2 − V (r) ddt
(mr2 θ̇) = 0
ConL = mr2 θ̇ → constante
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
7/44
Cálculo de
dσ/dΩ paradiferentes
potencialespor
simulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotenciales
centralesDispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de la
sección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centrales
Teniendo en cuenta lo anterior, el lagrangiano asociado a
unapart́ıcula en coordenadas polares está dado por:
L = 12
m
ṙ2 + r2 θ̇2
− V (r)Las ecuaciones de movimiento son:
mr̈ = mr θ̇2 − V (r) ddt
(mr2 θ̇) = 0
ConL = mr2 θ̇ → constante
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
8/44
Cálculo de
dσ/dΩ paradiferentes
potencialespor
simulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotenciales
centralesDispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de la
sección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centrales
Reemplazando θ̇ en la primera ecuación de
conservación, luegomultiplicando por ṙ e integrando
respecto al tiempo se obtiene:
1
2mṙ2 +
L2
2mr2 + V (r)
V eff (r)
= E
Las ecuaciones de conservación son:
mr2 θ̇ = L 1
2mṙ2 +
L2
2mr2 + V (r)
= E
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
9/44
Cálculo de
dσ/dΩ paradiferentes
potencialespor
simulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotenciales
centralesDispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de la
sección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centrales
Reemplazando θ̇ en la primera ecuación de
conservación, luegomultiplicando por ṙ e integrando
respecto al tiempo se obtiene:
1
2mṙ2 +
L2
2mr2 + V (r)
V eff (r)
= E
Las ecuaciones de conservación son:
mr2 θ̇ = L 1
2mṙ2 +
L2
2mr2 + V (r)
= E
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
10/44
Cálculo de
dσ/dΩ paradiferentes
potencialespor
simulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotenciales
centralesDispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de la
sección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centrales
Aplicando separación de variables en la ecuación para
E :
t(r)−t0 = r
r0
dr
(2/m) [E − V eff (r)],
t0 = t(r0) , t(r) ↔ r(t)
Haciendo uso de la ecuación para L:
θ(t) − θ0 = Lm
t
t0
dt
r2(t) , θ0 = θ(t0)
Para obtener θ(r) se hace dθ/dtdr/dt a
partir de las ecuaciones deconservación:
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
11/44
Cálculo de
dσ/dΩ paradiferentes
potencialespor
simulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotenciales
centralesDispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de la
sección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centrales
Aplicando separación de variables en la ecuación para
E :
t(r)−t0 = r
r0
dr
(2/m) [E − V eff (r)],
t0 = t(r0) , t(r) ↔ r(t)
Haciendo uso de la ecuación para L:
θ(t) − θ0 = Lm
tt0
dt
r2(t) , θ0 = θ(t0)
Para obtener θ(r) se hace dθ/dtdr/dt a
partir de las ecuaciones deconservación:
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
12/44
Cálculo de
dσ/dΩ paradiferentes
potencialespor
simulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotenciales
centralesDispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de la
sección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centrales
Aplicando separación de variables en la ecuación para
E :
t(r)−t0 = r
r0
dr
(2/m) [E − V eff (r)],
t0 = t(r0) , t(r) ↔ r(t)
Haciendo uso de la ecuación para L:
θ(t) − θ0 = Lm
tt0
dt
r2(t) , θ0 = θ(t0)
Para obtener θ(r) se hace dθ/dtdr/dt a
partir de las ecuaciones deconservación:
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
13/44
Cálculo de
dσ/dΩ paradiferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centrales
θ − θ0 = rr0
Ldr
mr2 (2/m) (E −V eff (r))
En particular, si V (r) = −α/r2 de la ecuación
para E esposible despejar ṙ2 y dividir
entre el cuadrado de la ecuaciónpara L:
1r2
drdθ2
= 2mE L2
− 1r2
+ 2mαrL2
Como d(1/r)/dθ = −(dr/dθ)/r2 y haciendo y ≡
1/r entonces:
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
14/44
Cálculo de
dσ/dΩ paradiferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centrales
θ − θ0 = rr0
Ldr
mr2 (2/m) (E −V eff (r))
En particular, si V (r) = −α/r2 de la ecuación
para E esposible despejar ṙ2 y dividir
entre el cuadrado de la ecuaciónpara L:
1r2
drdθ2
= 2mE L2
− 1r2
+ 2mαrL2
Como d(1/r)/dθ = −(dr/dθ)/r2 y haciendo y ≡
1/r entonces:
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
15/44
Cálculo de
dσ/dΩ paradiferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centrales
θ − θ0 = rr0
Ldr
mr2 (2/m) (E −V eff (r))
En particular, si V (r) = −α/r2 de la ecuación
para E esposible despejar ṙ2 y dividir
entre el cuadrado de la ecuaciónpara L:
1r2 drdθ
2= 2mE L2 − 1r2 + 2mαrL2
Como d(1/r)/dθ = −(dr/dθ)/r2 y haciendo y ≡
1/r entonces:
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
16/44
Cálculo de
dσ/dΩ
paradiferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centrales
dy
dθ
2= −y2 + 2mα
L2 y +
2mE
L2
Completando el cuadrado en la parte derecha y definiendoz ≡
y − mα/L2 se obtiene:
dz
dθ2
=
−z2 + B2 , B
≡ mα
L2
1 +
2EL2
mα2
La anterior ecuación puede resolverse por separación
devariables y obtener:
z = B cos(θ − θ0)Sebastián Quintero Carlos Conde
Cálculo de dσ/dΩ para diferentes potenciales
por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
17/44
Cálculo de
dσ/dΩ
paradiferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centrales
dy
dθ
2= −y2 + 2mα
L2 y +
2mE
L2
Completando el cuadrado en la parte derecha y definiendoz ≡
y − mα/L2 se obtiene:
dz
dθ2
=
−z2 + B2 , B
≡ mα
L2
1 +
2EL2
mα2
La anterior ecuación puede resolverse por separación
devariables y obtener:
z = B cos(θ − θ0)Sebastián Quintero Carlos Conde
Cálculo de dσ/dΩ para diferentes potenciales
por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
18/44
Cálculo de
dσ/dΩ
paradiferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centrales
dy
dθ
2= −y2 + 2mα
L2 y +
2mE
L2
Completando el cuadrado en la parte derecha y definiendoz ≡
y − mα/L2 se obtiene:
dz
dθ2
=
−z2 + B2 , B
≡ mα
L2
1 +
2EL2
mα2
La anterior ecuación puede resolverse por separación
devariables y obtener:
z = B cos(θ − θ0)Sebastián Quintero Carlos Conde
Cálculo de dσ/dΩ para diferentes potenciales
por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
19/44
Cálculo de
dσ/dΩ
paradiferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centrales
Finalmente reemplazando los valores de z y y
se obtiene unaecuación que relaciona r y
θ:
1
r =
mα
L2 (1 + cos θ) , ≡
1 +
2EL2
mα2 , θ0 = 0
Si > 0 =⇒ E > 0 y la
trayectoria es una hipérbola cuyarepresentación cartesiana
es:
(x − ka)2a2
− y2
b2 = 1
a = k
2 − 1 , b = k√
2 − 1k ≡ L2/mα
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
20/44
Cálculo de
dσ/dΩ
paradiferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Problema de dos cuerpos y potenciales centrales
Finalmente reemplazando los valores de z y y
se obtiene unaecuación que relaciona r y
θ:
1
r =
mα
L2 (1 + cos θ) , ≡
1 +
2EL2
mα2 , θ0 = 0
Si > 0 =⇒ E > 0 y la
trayectoria es una hipérbola cuyarepresentación cartesiana
es:
(x − ka)2a2
− y2
b2 = 1
a = k
2 − 1 , b = k√
2 − 1k ≡ L2/mα
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
21/44
Cálculo de
dσ/dΩ
paradiferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Dispersión de Rutherford
Θ
β b
aǫ a
Θ = π − 2β = π − 2 arctan
b
a
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
22/44
Cálculo de
dσ/dΩ
paradiferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Dispersión de Rutherford
b
a =
2 − 1 =
2EL2
mα2 =
2(mυ20/2)(mυ0b)
2
mα2 =
υ20mb
α
Dividiendo entre 2 y sacando la cotangente a ambos lados:
Θ
2 =
π
2 − arctanbmυ20
α ⇒ b =
Ze2
4π0mυ20 cotΘ
2
Con α el potencial de Coulomb: α =
Ze2
4π0
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
23/44
Cálculo de
dσ/dΩ
paradiferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Dispersión de Rutherford
b
a =
2 − 1 =
2EL2
mα2 =
2(mυ20/2)(mυ0b)
2
mα2 =
υ20mb
α
Dividiendo entre 2 y sacando la cotangente a ambos lados:
Θ
2 =
π
2 − arctanbmυ20
α ⇒ b =
Ze2
4π0mυ20 cotΘ
2
Con α el potencial de Coulomb: α =
Ze2
4π0
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
24/44
Cálculo de
dσ/dΩ para
diferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Sección eficaz diferencial de Rutherford
dφ
bdφ
db
b
Θ
RdΘ
R sin ΘdφdA
dσ
dσ = [bdφ][db]
dΩ = sin ΘdΘdφ
dσ
dΩ
= bdbdφ
sinΘdΘdφ
= b
sinΘ
db
dΘ
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
F d ´ i
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
25/44
Cálculo dedσ/dΩ para
diferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Sección eficaz diferencial de Rutherford
dφ
bdφ
db
b
Θ
RdΘ
R sin ΘdφdA
dσ
dσ = [bdφ][db]
dΩ = sin ΘdΘdφ
dσ
dΩ
= bdbdφ
sinΘdΘdφ
= b
sinΘ
db
dΘ
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
F d ´ i
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
26/44
Cálculo dedσ/dΩ para
diferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Sección eficaz diferencial de Rutherford
dφ
bdφ
db
b
Θ
RdΘ
R sin ΘdφdA
dσ
dσ = [bdφ][db]
dΩ = sin ΘdΘdφ
dσ
dΩ
= bdbdφ
sinΘdΘdφ
= b
sinΘ
db
dΘ
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
F d t t ´ i
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
27/44
Cálculo dedσ/dΩ para
diferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teórico
Sección eficaz diferencial de Rutherford
b
Θ
b = Ze2
4π0mυ20cot
Θ
2 ⇒ dσ
dΩ =
Ze2
8π0mυ20
2csc4
Θ
2
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
F d t t ´ i
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
28/44
Cálculo dedσ/dΩ para
diferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teorico
Sección eficaz diferencial de Rutherford
b
Θ
b = Ze2
4π0mυ20cot
Θ
2 ⇒ dσ
dΩ =
Ze2
8π0mυ20
2csc4
Θ
2
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
F d t t ´ i
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
29/44
Cálculo dedσ/dΩ para
diferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teorico
Corrección relativista
x
x′
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
Fundamento teórico
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
30/44
Cálculo dedσ/dΩ para
diferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teorico
Corrección relativista
El diagrama incluye todas las posibles interacciones que
se
acoplen a la corriente electromagnética. El cálculo se
realiza perturbativamente a primer orden en
α.
Se trata clásicamente el campo electromagnético
A
generado por el núcleo.
Hint = e
d3x ψ̄(x) /A ψ(x)
/A = Aµγ µ
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
Fundamento teórico
-
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31/44
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diferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teorico
Corrección relativista
El diagrama incluye todas las posibles interacciones que
se
acoplen a la corriente electromagnética. El cálculo se
realiza perturbativamente a primer orden en
α.
Se trata clásicamente el campo electromagnético
A
generado por el núcleo.
Hint = e
d3x ψ̄(x) /A ψ(x)
/A = Aµγ µ
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para diferentes potenciales por simulación
Fundamento teórico
-
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Cálculo dedσ/dΩ para
diferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teorico
Corrección relativista
γ 0 = 0 I
I 0 γ i =
0 σi
−σi
0
Aµ = (φ,A)
φ = −Ze
4π|x|
A = 0
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para diferentes potenciales por simulación
Fundamento teórico
-
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diferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teorico
Corrección relativista
p
p′
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para diferentes potenciales por simulación
Fundamento teórico
-
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34/44
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diferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teorico
Corrección relativista
Se calcula la amplitud de probabilidad
0| ψ̄(x)ψ(x)Hint(y) |0 M = −i Ze2
|p
−p
|2 ūs( p
)γ 0us( p)
dσ
dΩ = 2π
|M|22 p
p2dp
(2π)32E pδ (E p −
E p) = |M|
2
16π2
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para diferentes potenciales por simulación
Fundamento teórico
-
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diferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teorico
Corrección relativista
Se calcula la amplitud de probabilidad
0| ψ̄(x)ψ(x)Hint(y) |0 M = −i Ze2
|p
−p
|2 ūs( p
)γ 0us( p)
dσ
dΩ = 2π
|M|22 p
p2dp
(2π)32E pδ (E p −
E p) = |M|
2
16π2
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-
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diferentespotenciales
porsimulación
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Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teorico
Corrección relativista
Se calcula la amplitud de probabilidad
0| ψ̄(x)ψ(x)Hint(y) |0 M = −i Ze2
|p
−p
|2 ūs( p
)γ 0us( p)
dσ
dΩ = 2π
|M|22 p
p2dp
(2π)32E pδ (E p −
E p) = |M|
2
16π2
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-
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diferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teorico
Corrección relativista
Dadas las limitaciones experimentales, se calcula la
sección
eficaz diferencial no polarizada
d̄σ
dΩ
= 1
2ss
Z 2e4
16π2
1
|p− p
|4
|ūs( p
)γ 0us( p)
|2
s
us( p)ūs( p) = / p + m
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Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Fundamento teorico
Corrección relativista
Dadas las limitaciones experimentales, se calcula la
sección
eficaz diferencial no polarizada
d̄σ
dΩ
= 1
2ss
Z 2e4
16π2
1
|p− p
|4
|ūs( p
)γ 0us( p)
|2
s
us( p)ūs( p) = / p + m
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Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
u da e to teo co
Corrección relativista
Dadas las limitaciones experimentales, se calcula la
sección
eficaz diferencial no polarizada
d̄σ
dΩ
= 1
2ss
Z 2e4
16π2
1
|p− p
|4
|ūs( p
)γ 0us( p)
|2
s
us( p)ūs( p) = / p + m
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-
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diferentespotenciales
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Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Corrección relativista
La dependencia angular se obtiene del momento
transferido y del producto punto de los 4-momentos.
p
· p = E 2
− p2 cos θ = m2 + 2β 2E 2 sin2
θ
2
d̄σdΩ
Mott
= Z 2α2
4β 2E 2 sin4(θ/2)
1 − β 2 sin2(θ/2)
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-
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diferentespotenciales
porsimulación
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Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
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Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Corrección relativista
La dependencia angular se obtiene del momento
transferido y del producto punto de los 4-momentos.
p
· p = E 2
− p2 cos θ = m2 + 2β 2E 2 sin2
θ
2
d̄σdΩ
Mott
= Z 2α2
4β 2E 2 sin4(θ/2)
1 − β 2 sin2(θ/2)
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-
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diferentespotenciales
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Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Corrección relativista
La dependencia angular se obtiene del momento
transferido y del producto punto de los 4-momentos.
p
· p = E 2
− p2 cos θ = m2 + 2β 2E 2 sin2
θ
2
d̄σdΩ
Mott
= Z 2α2
4β 2E 2 sin4(θ/2)
1 − β 2 sin2(θ/2)
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Simulación
-
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Introducción
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Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficaz
diferencial
Biblio rafı́a
Cálculo de la sección eficaz diferencial
Método iterativo
Cuando la part́ıcula entra en la región de interacción:
Se cálcula la fuerza en un primer instante de tiempo. Se
obtiene la velocidad a partir de la fuerza calculada y
posteriormente la posición.
El proceso se repite para pequeños pasos en el
tiemporeconstruyendo la trayectoria hasta que la part́ıcula
salga
de la región de interacción.
Realizando un histograma del número de
part́ıculasdispersadas para diferentes intervalos angulares se
puededeterminar la sección eficaz diferencial.
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Bibliograf́ıa
-
8/19/2019 Cálculo de la sección eficaz diferencial
44/44
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diferentespotenciales
porsimulación
SebastíanQuintero
Carlos Conde
Introducción
Resumen delproyecto
Fundamentoteórico
Problema dedos cuerpos ypotencialescentrales
Dispersión deRutherford
Sección eficazdiferencial deRutherford
Correcciónrelativista
Simulación
Cálculo de lasección eficazdiferencial
Biblio rafı́a
Merrill, J. Morrow, A. An Introductory
Scattering Experiment by Simulation. American Journal of
Physics38. 9. 1970.
Morin, D. (2004). Introductory Classical Mechanics,
with
problems and solutions . David Morin Strauch, D.
(2009). Classical Mechanics, An Introduction.
Berĺın. Springer.
Kibble, T. Berkshire, F. Classical
Mechanics . Singapore.
Imperial College Press Matthew D. Schwartz, Quantum Field
Theory and the
Standard Model, Harvard University, Cambridge
UniversityPress.
Sebastián Quintero Carlos Conde Cálculo de dσ/dΩ
para diferentes potenciales por simulación
