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Cálculo diferencial e integral de una variable
Cálculo de volumen
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Cálculo diferencial e integral de una variable
INTRODUCCIÓN
Al tratar de calcular el volumen de un sólido enfrentamos el mismo problema que al tratar de calcular un área.Debemos usar el Cálculo Integral para llegar a una definición exacta.
Para ello, recordaremos los volúmenes de sólidos sencillos como cilindros y prismas.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ah
Cilindro RectoV = Ah
rh
Cilindro circularV = r2h
ab
c
ParalelepípedoRectangular
V = abc
El volumen de un sólido cualquiera podrá descomponerse en la suma de volúmenes de sólidos elementales como los anteriores
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Cálculo diferencial e integral de una variable
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una región del plano alrededor de una recta del plano llamada eje de revolución.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Diferencial de volumen
∆xi
f(xi)
2[ ( ) ]i i iV f x x 2[ ( ) ]i i iV f x x
a xi b
xi
y=f(x)
f(xi)
MÉTODO DEL DISCO
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Cálculo diferencial e integral de una variable
TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje X la región limitada por la curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:
2
1
2
lim [ ( )]
[ ( )]
n
i ini
b
a
V f x x
f x dx
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 1:Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región acotada por la curva y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.
88
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 2:Calcule el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0, y = 1.
y
99
Cálculo diferencial e integral de una variable
3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar la región R, alrededor del eje y.
y
xyyxR2
0412 ;/,
1010
Cálculo diferencial e integral de una variable
Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:
El volumen obtenido al girar la región limitada por la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d (c<d), alrededor del eje Y será igual a:
2[ ( )]d
cV g y dy
1111
Cálculo diferencial e integral de una variable
MÉTODO DE LA ARANDELA
Cuando la región a girar está limitada por dos funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b.
a bx
y
x
(*)
Diferencial de volumen
f(xi)g(xi)
xi
i22
i x))]x(g[)]x(f[(V
1212
Cálculo diferencial e integral de una variable
TEOREMA
Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y x=b será:
2 2
1
2 2
lim ([ ( )] [ ( )] )
([ ( )] [ ( )] )
n
i i ini
b
a
V f x g x x
f x g x dx
1313
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 4:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X la región acotada por la parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 5
1515
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 6:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por las curvas x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
1616
Cálculo diferencial e integral de una variable
x
xi
A(b)A(a)
ba xi
A(xi)
El diferencial de volumen
A(xi)
xi
Vi = A(xi) xi
Cálculo de volúmenes de sólidos que no son de revolución
1717
Cálculo diferencial e integral de una variable
El volumen del sólido será aproximadamente:
Se define el volumen V como el límite de la suma de Riemann
1818
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 7: Calcular el volumen de una esfera de radio R.
x
y
x
Ry
1919
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 8: Utilice la definición anterior para calcular el volumen de una pirámide de altura h y base cuadrada de lado b.
h
b
yi
2020
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 9:Halle el volumen del sólido que se obtiene al girar la región limitada por y=0, y=2x2 - x3, alrededor del eje y.
MÉTODO DE LOS CASCARONES CILINDRICOS
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Cálculo diferencial e integral de una variable
MÉTODO DE LOS CASCARONES CILINDRICOS
En algunos casos se desea calcular el volumen de una región limitada por una función y = f(x) al girar alrededor del eje y, para lo cual se deben hallar los extremos locales de f(x) y despejar x en términos de y (x=g(y)). Esto muchas veces es muy complicado por lo que se usará otro método: los cascarones cilíndricos.
¿Cómo escogería el elemento diferencial
de volumen?
2222
Cálculo diferencial e integral de una variable
xixi
f(xi)
Diferencial de volumen
xixi
f(xi)
Para espesores lo suficientemente pequeños, el volumen será igual a:
iiii xxfxV )(2
2323
Cálculo diferencial e integral de una variable
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Cálculo diferencial e integral de una variable
TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo [a, b]. Suponga que f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b], si la región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b gira alrededor del eje Y, el volumen obtenido será:
1
lim 2 ( )
2 ( )
n
i i ini
b
a
V x f x x
x f x dx
2525
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 10:Determine el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y la recta y = 2.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 11:La región limitada por la curva y = x2, las rectas y = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3. Calcule el volumen generado.
y = -3