CALCULO I Usach

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEFACULTAD DE CIENCIA Departamento de Matemtica y Ciencia de la Computacin a o

CALCULO Versin Final (En Revisin) o o

Continuidad y Diferenciabilidad

Tomo I

Gladys Bobadilla A. y Rafael Labarca B.

Santiago de Chile 2008

PrefacioEl cero es el silencio antes del nmero u El nmero es el verbo matemtico u a Lo matemtico es el clculo de la realidad a a La realidad es lo unico incre ble Lo incre ble es lo que no podemos Y lo que no podemos es lo que queremos. Patricio Manns. Este texto es producto - en elaboracin an - del proyecto de desarrollo de la docencia o u Texto de clculo anual para ingenier civil, nanciado por la Vicerrector de Doa a a cencia y Extensin de la Universidad de Santiago de Chile. o Gran parte de los contenidos de los cap tulos 1 y 2 estn sacados del antiguo texto de a Clculo I escrito por Gladys Bobadilla y Jorge Billeke (Q.E.P.D.). a La idea motriz de los autores para emprender esta tarea es el profundo convencimiento que sta es una forma de contribuir a una cultura nacional independiente. e Aunque los temas tratados - generados en Europa entre los siglos 17 y 19 - forman parte del patrimonio universal y existe una amplia y variada literatura, no es una razn o suciente para que la universidad renuncie a crear su propio material docente. Esta labor es tan importante como la creacin de nuevos conocimientos y necesita, como esta ultima, o de una tradicin para la cual se debe recorrer un largo camino de errores y recticaciones. o Adems, queremos compartir con los jvenes estudiantes que usarn este libro, la rea o a exin del lsofo Gastn Bachelard (1884 - 1962) sobre lo que signica enfrentarse al o o o conocimiento cient co: Frente al misterio de lo real el alma no puede, por decreto, tornarse ingenua. Es entonces imposible hacer, de golpe, tabla rasa de los conocimientos usuales. Frente a lo real, lo que cree saberse claramente ofusca lo que debiera saberse. Cuando se presenta ante la cultura cient ca, el esp ritu jams es joven. Hasta es muy a i

viejo, pues tiene la edad de sus prejuicios. Tener acceso a la ciencia es rejuvenecerse espiritualmente, es aceptar una mutacin brusca que ha de contradecir a un pasado.1 o Agradecemos los valiosos comentarios de la Dra. Cecilia Yarur, la profesora Graciela Escalona y el seor Luis Riquelme que nos ayudaron a mejorar la presentacin de este n o texto. Agradecemos adems, el apoyo tcnico en la escritura digital, de la seorita Evelyn a e n Aguilar y el seor Leonelo Iturriaga. n Finalmente, siendo sta una versin preliminar, agradeceremos a quienes detecten ee o rrores nos lo hagan saber.

Gladys Bobadilla A y Rafael Labarca B. Santiago, marzo de 2002.

1

Gastn Bachelard: La formacin del esp o o ritu cient co. Ed. Siglo XXI, 1997.

AgradecimientosEsta versin del texto ha sido nanciada por la Vicerrector de Docencia y Extensin de o a o la Universidad de Santiago de Chile, a travs del proyecto de desarrollo docente 2006-2007, e Versin nal del texto gu de clculo para ingenier civil y ciencias. o a a a

i

Indice general1. Los n meros reales u 1.1. La aritmtica de los nmeros reales: axiomas de cuerpo . . . e u 1.1.1. Comparacin de los nmeros reales: axiomas de orden o u 1.1.2. Resolucin de ecuaciones de grado mayor que uno . . o 1.1.3. Desigualdades e inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Una distancia en R: el valor absoluto . . . . . . . . . . 1.1.5. La continuidad de R: el Axioma del Supremo . . . . . 2. L mites y continuidad 2.1. L mites de funciones numricas de variable discreta. . . . e 2.1.1. Las variables discretas y el conjunto N . . . . . . . 2.1.2. Sucesiones montonas no acotadas . . . . . . . . . o 2.1.3. Sucesiones montonas acotadas . . . . . . . . . . . o 2.1.4. Sucesiones convergentes no montonas . . . . . . o 2.1.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Las funciones numricas de variable continua . . . . . . . e 2.2.1. Deniciones bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.2.2. Representacin grca de funciones . . . . . . . . . o a 2.2.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. L mites de funciones numricas de variable continua . . . e 2.3.1. L mites innitos cuando |x| crece indenidamente . 2.3.2. L mites innitos en una vecindad de un punto . . . 2.3.3. L mites nitos cuando |x| crece indenidamente . . 2.3.4. L mites nitos en un punto x0 . . . . . . . . . . . 2.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 1 1 8 14 17 32 42 59 59 59 63 65 69 83 102 105 105 112 115 130 133 133 136 141 145 155 168 171

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2.4.1. 2.4.2. 2.4.3. 2.4.4. 2.4.5. 2.4.6.

Deniciones bsicas . . . . . . . . . . a Continuidad de funciones elementales Discontinuidades removibles . . . . . . Propiedades de las funciones continuas Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . .

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171 174 175 175 179 192

3. Funciones Trascendentes 3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2. Las funciones circulares o trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.1. Denicin de las funciones circulares o trigonomtricas . . . . . . o e 3.2.2. Propiedades bsicas de seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . a 3.2.3. Clculo de los valores ms usuales de las funciones seno y coseno a a 3.2.4. Ceros y signo de las funciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante . . . . . 3.2.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.8. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. L mites y continuidad de las funciones trigonomtricas . . . . . . . . . . e 3.3.1. L mites de referencia de las funciones circulares . . . . . . . . . . 3.3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Continuidad de las funciones circulares . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5. Las inversas de las funciones circulares . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Funcin Exponencial y Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.4.1. Potencias de exponente entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Potencias de exponente racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Propiedades delas potencias de exponente racional . . . . . . . . 3.4.4. Los nmeros irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 3.4.5. Funcin Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.4.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.8. Funcin Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.4.9. Relacin entre las diferentes funciones exponenciales . . . . . . . o 3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Las funciones hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.7. Las funciones hiperblicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o

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195 . 195 . 196 . 198 . 199 . 201 . 204 . 206 . 213 . 220 . 225 . 244 . 244 . 249 . 254 . 254 . 255 . 256 . 257 . 259 . 259 . 260 . 262 . 263 . 264 . 269 . 271 . 271 . 273 . 273 . 274 . 279

4. La derivada y sus aplicaciones 4.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2. Denicin y frmulas bsicas de la derivada . . . . . . . . . . . . o o a 4.2.1. Deniciones bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 4.2.2. Frmulas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2.3. Las derivadas de las funciones trigonomtricas . . . . . . e 4.2.4. Las derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Propiedades de las funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Teoremas principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Derivadas de las inversas de las funciones trigonomtricas e 4.3.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Aplicaciones I: La regla de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . o 4.5. Aplicaciones II: Grcos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . a 4.6. Aplicaciones III: Anlisis de curvas en el plano . . . . . . . . . . a 4.6.1. Elementos de Geometr Anal a tica . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Anlisis de curvas en coordenadas rectangulares . . . . . a 4.6.3. Anlisis de curvas dadas por ecuaciones paramtricas . . a e 4.6.4. Curvas expresadas en coordenadas polares . . . . . . . . . 4.7. Aplicaciones IV: problemas de mximo y m a nimo . . . . . . . . . 4.8. Aplicaciones V: Razn de cambio y diferenciales . . . . . . . . . o 4.8.1. Razones de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2. Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Aplicaciones VI: F sica del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Bibliograf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a

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283 283 286 286 292 297 298 299 306 310 310 322 326 331 336 343 364 364 413 422 434 453 471 471 473 478 487

Cap tulo 1

Los nmeros reales uEn este cap tulo daremos, de manera muy sucinta, las propiedades de los nmeros u reales que constituyen la base sobre la cual se construye el clculo diferencial e integral. a Las propiedades aritmticas de estos nmeros han formado parte de la enseanza bsica e u n a y media. Algo menos, posiblemente, se ha visto del orden y nada de su propiedad ms a trascendente - su continuidad - la que est reejada en el Axioma del Supremo. La actual a presentacin de los nmeros reales fue formalizada durante el siglo 19, dos siglos ms tarde o u a de la creacin del clculo. Como arma el lsofo L. Geymonat: o a o El desarrollo de la teora de los nmeros reales contribuy a que el anlisis innitesi u o a mal dejara de ser la tcnica imprecisa e intuitiva que haban forjado sus descubridores del e siglo 17, para erigirse en autntica ciencia y, lo que es ms, en una de la ms rigurosas y e a a perfectas construcciones del espritu cientco modermo.

1.1.

La aritmtica de los n meros reales: axiomas de cuerpo e u

Aceptaremos la existencia de un conjunto no vac R, que llamaremos conjunto o de los n meros reales. Sobre l se ha denido una relacin de igualdad y dos operaciones u e o algebraicas. La relacin de igualdad =satisface las propiedades de: o (I1 ) Reexividad: a = a (I2 ) Simetr si a = b, entonces b = a a: (I3 ) Transitividad: si a = b y b = c, entonces a = c. Las dos operaciones denidas sobre R son la suma (+) y la multiplicacin (). o 1

2

CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALES

+: RR (a, b) : RR (a, b)

R a+b R ab

Estas operaciones satisfacen las reglas siguientes, llamadas axiomas de cuerpo. (C1 ) Ley asociativa para la suma: a + (b + c) = (a + b) + c. (C2 ) Existencia de un elemento identidad para la suma: a + 0 = 0 + a = a (C3 ) Existencia de inversos para la suma: a + (a) = (a) + a = 0. (C4 ) Ley conmutativa para la suma: a + b = b + a. (C5 ) Ley asociativa para la multiplicacin: a (b c) = (a b) c. o (C6 ) Existencia de un elemento identidad para la multiplicacin: a1 = 1a = a; 1 = 0. o (C7 ) Existencia de inversos para la multiplicacin: a a1 = a1 a = 1, para a = 0. o (C8 ) Ley conmutativa para la multiplicacin: a b = b a o (C9 ) Ley distributiva: a (b + c) = a b + a c. Estas operaciones son compatibles con la relacin de igualdad, es decir, si o a = b entonces a + c = b + c y a c = b c. A partir de estos axiomas y las reglas de la lgica formal se pueden obtener todas o las otras propiedades de la aritmtica usual que Ud. ha aprendido durante la enseanza e n bsica y media. Los siguientes teoremas, que no se demostrarn, sern enunciados con el a a a propsito de recordar las propiedades ms importantes que se derivan de los axiomas de o a cuerpo . Teorema 1.1.1 Dado a R se cumple : 0 a = 0 Teorema 1.1.2 Dados a, b R , se tienen las siguientes propiedades: (i) (a) = a. (ii) (a) b = (ab). (iii) a (b) = (ab). (iv) (a)(b) = ab.

1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO Teorema 1.1.3 Dados a, b R , a = 0, b = 0, se tienen las siguientes propiedades: (i) (a1 )1 = a. (ii) a1 b = (a b1 )1 . (iii) a b1 = (a1 b)1 . (iv) a1 b1 = (a b)1 . Teorema 1.1.4 Leyes de cancelacin. Dados a, b, c R se cumple : o (i) a + b = a + c b = c. (ii) ab = ac , a = 0 b = c. Teorema 1.1.5 Dados a, b R se cumple: ab = 0 (a = 0) (b = 0).

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Denicin 1.1.6 Dados a, b R, escribiremos a b para simbolizar el nmero a + (b); o u a tal nmero lo llamaremos la diferencia Diferencia de a y b. u Teorema 1.1.7 Dados a, b R se tienen las siguientes propiedades: (i) a (b) = a + b (ii) a b = 0 a = b (iii) a (b + a) = a b a. Demostracin: o (i) Por denicin 1.1.6 o a (b) = a + ((b))

= a + b por Teorema 1.1.2 (i).

Las armaciones (ii) y (iii) se dejan de ejercicio. Denicin 1.1.8 Dados a, b R, b = 0, escribiremos o a b1 a , , a : b para simbolizar el nmero o u b y lo llamaremos el cuociente entre a y b, , a dividido por b. o

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Teorema 1.1.9 Dados a, a1 , a2 , b1 , b2 R, se tienen las siguientes propiedades: (i) a = a. 1

1 = a1 . a a (iii) Si a = 0, entonces = 1. a (ii) Si a = 0, entonces (iv) Si a2 = 0, b2 = 0, entonces (v) Si a2 = 0, b = 0, entonces (vi) Si a2 = 0, b2 = 0, entonces (vii) Si a2 = 0, b2 = 0, entonces (viii) Si a2 = 0, b2 = 0, entonces b1 a1 = a1 b2 = b1 a2 . a2 b2 a1 b a1 = a2 a2 b a1 b1 a1 b1 = a2 b2 a2 b2 a1 b2 b1 a2 a1 b1 = a2 b2 a2 b2 a1 b1 a1 b2 : = . a2 b2 a2 b1

Resolucin de ecuaciones algebraicas de primer grado. o La ecuacin de primer grado, o ax + b = c, tiene una unica solucin dada por: o x= cb a a = 0, (1.1)

Frmulas bsicas de factorizacin o a o 1. (x + y)(x y) = x2 y 2 2. (x y)(x2 + xy + y 2 ) = x3 y 3 3. (x + y)(x2 xy + y 2 ) = x3 + y 3

1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO 4. (xn y n ) = (x y)(xn1 + xn2 y + xn3 y 2 + xn4 y 3 + . . . . . . + y n1 )

5

5. Si n es par: (xn y n ) = (x + y)(xn1 xn2 y + xn3 y 2 xn4 y 3 + . . . . . . y n1 ) 6. Si n es impar: (xn + y n ) = (x + y)(xn1 xn2 y + xn3 y 2 xn4 y 3 + . . . . . . + y n1 ) 7. (x y)2 = x2 2xy + y 2 8. (x y)3 = x3 3x2 y + 3xy 2 y 3 9. (x + y + z + . . . . . .)2 = x2 + y 2 + z 2 + . . . + 2(xy + xz + yz + . . .) 10. Frmula del binomio: on

(x + y)n =k=0

n nk k x y . k n! . k!(n k)!

donde n, k son nmeros naturales y u

n k

=

Ejercicios de repaso1. Usando la notacin x2 = x x, demuestre que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . o Solucin: o (a + b)2 = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b = aa + ba + ab + bb = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 . 2. Dados los nmeros reales a, b, c; demuestre que: ax2 + bx + c = 0, para todo x R u si y slo si a = b = c = 0. o Solucin: o Supongamos a = b = c = 0. Entonces usando la propiedad de la multiplicacin por o cero, tenemos: ax2 + bx + c = 0x2 + 0b + c = 0, Reciprocamente, supongamos que para todo x R se cumple que ax2 + bx + c = 0. (1.2) Cualquiera sea x R.

6 Haciendo x = 0 en (1.2), tenemos:


a0 + b0 + c = 0, de lo que podemos deducir: c = 0. Si x = 0, entonces ax2 + bx = x(ax + b) = 0 ; por lo tanto ax + b = 0. Haciendo sucesivamente x = 1 y x = 1 en ax + b = 0, obtenemos las igualdades: a+b = 0 a + b = 0. Lo que implica a = b = 0. 3. Dados los nmeros reales a, b, c, a , b , c ; demuestre que: u ax2 + bx + c = a x2 + b x + c , para todo x R si y slo si a = a , b = b , c = c . o

Solucin: ax2 +bx+c = a x2 +b x+c es equivalente a (aa )x2 +(bb )x+(c+c ) = 0, o lo que a su vez por el ejercicio (2), es equivalente a a = a , b = b , c = c . a b 3x + 1 = + . (x 1)(x 2) x1 x2

4. Encuentre a, b de modo que para todo x R, x = 1, x = 2:

Solucin: o Siguiendo las reglas de la sumas de cuocientes dadas por el teorema 1.1.9, podemos escribir: a(x 2) + b(x 1) 3x + 1 = (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) (a + b)x + (2a b) . = (x 1)(x 2) (a + b)x + (2a b) = 3x + 1. En virtud del ejercicio (3), se tienen las igualdades: a+b = 3 2a b = 1, que nos dan los valores buscados de a, b: a = 4, b = 7. Se deja al lector el trabajo de comprobar que verdaderamente estos valores satisfacen la condicin pedida. o

Por tanto, usando la ley de cancelacin, obtenemos la igualdad de los numeradores: o

1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO 5. Encontrar una condicin necesaria y suciente para que la expresin: o o ax2 + bx + c , a x2 + b x + c

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Solucin: Supongamos que, cualquiera sea x, la expresin sea igual a una constante o o k, diferente de cero. Es decir, ax2 + bx + c = k, a x2 + b x + c Por denicin de cuociente tenemos: o ax2 + bx + c = ka x2 + kb x + kc . Como esta igualdad se cumple cualquiera sea x, segn ejercicio (3) concluimos: u a = ka , b = kb , c = kc . Esto nos dice que la condicin buscada es : los coecientes de las mismas poo tencias de x deben ser proporcionales. Para completar el ejercicio debemos demostrar que la condicin es suciente. o a c b c ax2 bx En efecto, si: = = = k, entonces tambin se cumple: 2 = = = k, e a b c ax bx c por teorema 1.1.9. De estas tres igualdades se obtiene : ax2 + bx + c = ka x2 + kb x + kc = k(a x2 + b x + c ). Por tanto, la expresin o ax2 + bx + c a x2 + b x + c

sea independiente de cualquier x R.

es independiente de x.

Ejercicios propuestos1. Demuestre que 2. Demuestre que 3. Demuestre que xa ax = y exprese esta regla en palabras. by yb

ax xa = y exprese esta regla en palabras. by by

ac ab 2abc bc + + + = 1. (a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) (a + b)(a + c)(b + c)

8 4. Demuestre que xy x+y + x+y xy


x2 + y 2 +1 2xy

xy x+y = . x2 + y 2 xy a+b : 2

5. Demuestre que la siguiente expresin se anula cuando x = o xa xb 6. Simplique la expresin o x2 1x2 + 1 3

x 2a + b . x + a 2b

+ 1 x 1 1 x

x2 2 1 x2 1 x x 1 x

x+

7. Encuentre a, b de modo que para todo x R, x = 4, x = 3: 6x 2 a b = + . x2 + x 12 x+4 x3 8. Factorice los siguientes polinomios en factores lineales y cuadrticos con coecientes a en R. a) x2 1, x3 1, x4 1, x3 + 1, x3 + 8.

b) x4 + 1. Indicacin: sume y reste 2x2 . o c) x4 + 4. Indicacin: sume y reste 4x2 . o

d) x4 + x2 + 1. Indicacin: sume y reste x2 . o e) x4 x2 + 1. Indicacin: sume y reste 2x2 . o f ) x6 1, x6 + 1.

1.1.1.

Comparacin de los nmeros reales: axiomas de orden o u

Siguiendo la presentacin axiomtica, aceptaremos la existencia de un subcono a junto de R, llamado conjunto de los n meros reales positivos, denotado por R+ , que u satisface las propiedades siguientes:

1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO

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(O1 ) R+ es cerrado para la suma, es decir, si a, b pertenecen a R+ , entonces a + b pertenecen a R+ . (O2 ) R+ es cerrado para la multiplicacin, es decir, si a, b pertenecen a R+ , entonces o a b pertenece a R+ . (O3 ) Ley de Tricotom Para todo nmero real a se cumple una y slo una de las a: u o armaciones: (i) a = 0 (ii) a pertenece al conjunto R+ (iii) a pertenece al conjunto R+ . Observacin 1.1.10 El axioma O3 se llama propiedad de tricotom de los n meo a u ros reales Denicin 1.1.11 o (i) a b si y slo si a b R+ o Teorema 1.1.12 Dados los nmeros reales a, b se cumple una y slo una de las siguientes u o armaciones: (i) a = b (ii) a b Demostracin: Aplicando el axioma (O3 ) o propiedad de Tricotom al nmero ab, o a u se tiene una y slo una de las armaciones. o (i) a b = 0 (ii) a b R+ (iii) (a b) R+ Las cuales se traducen en a = b, a > b, a 0 (iii) a < 0


Demostracin: Es consecuencia directa del teorema 1.1.12 tomando b = 0. o Teorema 1.1.14 La relacin b) (a = b) o Teorema 1.1.17 La relacin es: o (i) Reexiva: a a

1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO (ii) Antisimtrica: Si a b y b a, entonces a = b e (iii) Transitiva: Si a b y b c, entonces a c Demostracin: o (i) Como a = a, entonces a a

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(ii) Si a b, entonces (a < b) (a = b) y si b a, entonces (b < a) o (a = b). Por o tanto, por teorema 1.1.13(ii) slo es posible a = b. o (iii) Si a b y b c tenemos cuatro posibilidades:

a < b y b < c. En este caso la transitividad se obtiene del teorema 1.1.13(ii).

a < b y b = c. En este caso b a R+ y c b = 0, por tanto (b a) + (c b) = c a R+ y tenemos a < c. a = b y b < c. Para este caso la demostracin es semejante a la anterior. o a = b y b = c. La conclusin se sigue de la transitividad de la igualdad y la o denicin de la relacin . o o Teorema 1.1.18 a b si y slo si a + c b + c o Demostracin: Si a b entonces a 0 (iii) Si a > 0, entonces a1 > 0 (iv) Si a < 0, entonces a1 < 0 Demostracin: o (i) Si a > 0 = a R+ = a R (ii) Si a < 0 = a R+ = a > 0 (iii) Sea a > 0, supongamos a1 < 0, entonces por teorema 1.1.19 (i) a a > 0. Por teorema 1.1.19(ii) (a1 a) a < 0 1a < 0 a < 0 Lo que contradice nuestra hiptesis. Por tanto a1 > 0. o (iv) Se usan los mismos argumentos que en (iii). Teorema 1.1.21 a b > 0 si y slo si (a > 0 y b > 0) (a < 0 y b < 0). o o Demostracin: () Si a b > 0, sabemos por teorema 1.1.5 que a = 0, b = 0. Si o a > 0, entonces usando teorema 1.1.19, a1 (a b) > 0. Lo que implica (a1 a) b > 0 y por tanto b > 0. De manera similar si a < 0, se concluye que b < 0 con lo cual tenemos nuestra implicancia. () Si a > 0 y b > 0, por axioma (O2 ) a b > 0. Si a < 0 y b < 0, entonces a > 0 y b > 0, por axioma (O2 ) (a) (b) > 0; por teorema 1.1.2 (iv) a b > 0. Teorema 1.1.22 a b < 0 si y slo si (a < 0 y b > 0) o (a > 0 y b < 0) o Demostracin: Se deja como ejercicio. o Teorema 1.1.23 El cuadrado de un nmero real no nulo es positivo: Si a R, a = 0, u 2 R+ . entonces a

1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO Demostracin: Si a R+ , entonces a > 0. Por axioma (O2 ), a a > 0, o es decir, a2 > 0. Si a R , entonces a < 0. Por teorema 1.1.21, a a > 0, as nuevamente a2 > 0. Teorema 1.1.24 1 R+ . Demostracin: Por axioma (C6 ), 1 = 0, o 1=11 1 = 12 El teorema anterior implica que 1 > 0. Teorema 1.1.25 Sean a, b R. Si a < b, entonces a < a+b 0, la ecuacin (1.3) tiene dos ra o soluciones reales distintas, dadas o ces por: x= b b2 4ac 2a a=0 (1.3)2. Si b2 4ac = 0, la ecuacin (1.3) tiene una unica ra real dada por: o z x= b 2a3. Si b2 4ac < 0, la ecuacin (1.3) tiene ra o ces complejas conjugadas. En este caso diremos que el polinomio cuadrtico no es factorizable en R. a Ejemplo 1.1.27 1. Resuelva en R la ecuacin. o x2 + x = 1 Solucin: Se debe llevar a la forma ax2 + bx + c = 0 entonces queda. o x2 + x 1 = 0 Su discriminante b2 4ac vale: 1 4(1)(1) = 5 Por lo tanto, la ecuacin tiene dos ra o ces reales distintas 1 5 x= 2 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO 2. Resuelva en R, la ecuacin: o x2 + x = 1 Solucin: x2 + x + 1 = 0 o Su discriminante b2 4ac vale 1 4(1)(1) = 3 < 0. Por lo tanto, la ecuacin no tiene solucin en R. o o 3. x2 2x + 1 = 0 Su discriminante b2 4ac = (2)2 4(1)(1) = 0. Entonces, tiene una unica ra real : x = 1. z 4. Resolver en R la ecuacin: o x3 8 = 0 Factorizando el polinomio x3 8. x3 8 = (x 2)(x2 + 2x + 4) x3 8 = 0 (x 2)(x2 + 2x + 4) = 0 x2 = 0 x=2 o o 2 2 x + 2x + 4 = 0 x + 2x + 4 = 0 b2 4ac = 4 4 4 = 4 16 < 0. 15La ecuacin x2 + 2x + 4 tiene discriminante: oPor lo tanto, la ecuacin no tiene ra reales. As la ecuacin x3 8 = 0 tiene slo o ces , o o una ra real x = 2. z16 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALESResolucin de ecuaciones algebraicas de grado mayor o igual a 3 o La solucin de ecuaciones de tercer y cuarto grado pueden ser resueltas con reglas o anlogas, aunque mucho ms complicadas que las de segundo grado. Estas frmulas fueron a a o encontradas por los algebristas italianos del siglo 16. Para la ecuacin de tercer grado o existe la frmula de Cardano-Tartaglia. Cardano (1501-1576), Tartaglia (1500 - 1557). La o ecuacin general de cuarto grado fue resuelta por Ferrari (1522 - 1565). En el ao 1824 el o n matemtico noruego Abel (1802 - 1829), demostr que para el caso general de una ecuacin a o o algebraica completa de grado mayor o igual a 5, an xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 = 0 , ai R, no existe ninguna expresin en trminos de radicales de los coecientes que sea ra de la o e z ecuacin. o El lector interesado en conocer ms detalles matemticos - histricos de este tema puede a a o consultar el libro de A.D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, M.A. Laurentiev y otros: La matemtica su contenido, mtodos y signicado, tomo I, pg.315. a e a Ciertos casos particulares pueden resolverse con algunos articios, como mostraremos en los siguientes casos. Resolucin de ecuaciones rec o procas c bicas Estas ecuaciones tienen una de las u formas siguientes: ax3 + bx2 + bx + a = 0 o ax3 bx2 + bx a = 0. (1.4)Al factorizar segn los coecientes se obtendr como ra 1 o 1. Enseguida se resuelve la u a z ecuacin cuadrtica correspondiente. o a Ejemplo 1.1.28 1. La ecuacin x3 + 6x2 + 6x + 1 = 0, se resuelve factorizando: ox3 + 6x2 + 6x + 1 = (x3 + 1) + 6x(x + 1) = (x + 1)(x2 x + 1) + 6x(x + 1) = (x + 1)(x2 x + 1 + 6x) Luego, x3 + 6x2 + 6x + 1 = 0 (x + 1) = 0 (x2 + 5x + 1) = 0. o 5 21 . x = 1 x = o 2 2. La ecuacin x3 6x2 + 6x 1 = 0, se resuelve de manera anloga. o a x3 6x2 + 6x 1 = (x3 1) 6x(x 1) = (x 1)(x2 + x + 1) 6x(x 1) = (x 1)(x2 + x + 1 6x) 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO Luego, x3 6x2 + 6x 1 = 0 (x 1) = 0 (x2 5x + 1) = 0. o 5 21 . x = 1 x = o 2 Para encontrar una ra de la ecuacin general de tercer grado z o y 3 + ay 2 + by + c = 017a , que transforma la ecuacin original en o 3 2 3 a ab 2a una de la forma x3 + px + q = 0, donde p = b y q = c + . Se demuestra con 3 3 27 clculos algebraicos directos que a debemos hacer el cambio de variable y = x x=3q + 2q2 p3 + + 4 273q 2q2 p3 + , 4 27(1.5)verica que x3 + px + q = 0. Que dicha ra sea real o compleja depende del signo de z p3 q2 + . La ecuacin (1.5) se llama frmula de Cardano-Tartaglia. o o 4 27 Ejemplo 1.1.29 La ecuacin x3 + 9x 2 = 0 tiene una ra real de la forma: o z x=3 1+2 7+3 1 2 7.Algunos casos accesibles de ecuaciones de cuarto grado se vern en los ejercicios resueltos. a1.1.3.Desigualdades e inecuacionesLa diferencia entre una desigualdad es la misma que entre una igualdad o identidad y una ecuacin. Es decir, una desigualdad es una relacin de orden que tiene un rango de o o validez y una importancia de cierta trascendencia en alguna rama de la matematica. Por ejemplo, el cuadrado de un binomio es una igualdad que s cumple para todo nmero real u y de ella se deduce una desigualdad vlida para todo nmero real: a u 2ab a2 + b2 . De esta se puede obtener otra desigualdad: a+ 1 2, a si a > 0.En cambio una ecuacin inecuacin es una relacin ms circunstancial. Por esto, en o o o o a rigor, una desigualdad se demuestra y una inecuacin se resuelve. o18 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALESDenicin 1.1.30 o 1. Llamaremos inecuacin a cualquier expresin relacionada con o o los s mbolos < , >, y que contenga una incgnita est en grado 1, se llama o a inecuacin de primer grado. si est en grado n se llama de grado n. Dos inecuaciones o a se dicen equivalentes si tienen el mismo conjunto solucin. o 2. Llamaremos desigualdad a cualquier expresin relacionada con los s o mbolos < , >, que tenga una validez general. Para resolver una inecuacin los pasos previos obligatorios son: o 1. Reducir trminos semejantes. e 2. Factorizar el respectivo polinomio cuando el grado es mayor o igual a dos. En principio para resolver inecuaciones de grado igual o superior a dos se debe aplicar los teoremas 1.1.21 y 1.1.22 analizando las distintas posibilidades de signo de los factores. A este mtodo le llamaremos axiomtico. Pero, en general este mtodo resulta largo si e a e se aplica al pie de la letra. A continuacin expondremos la forma ms rpida de resolver o a a dichas inecuaciones, llamado mtodo reducido. e 1. Resolucin de una inecuacin de primer grado o o Despus de reducir los trminos semejantes, una inecuacin de primer grado puede e e o escribirse como: 0 ax + b Usando el teorema (1.1.18), se tiene que (1.6) b ax(1.7)Para despejar completamente la variable x, se debe multiplicar la inecuacin (1.7) o por el inverso multiplicativo de a. Por lo tanto, en virtud del teorema (1.1.19 )se tiene que: x b si a > 0 a 0 ax + b x b si a < 0 a 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO Signo de ax + b Si a > 0: b a Si a < 0: + + R19R b a 2. Resolucin de una inecuacin de segundo grado general. o o Dados los nmeros a, b, c, encuentre todos los nmeros reales x que satisfacen la u u desigualdad: ax2 + bx + c > 0. Solucin: o Primer caso: Supongamos que el trinomio puede escribirse en la forma: ax2 + bx + c = a(x r1 )(x r2 ), Donde r1 , r2 R y r1 < r2 . (Ra reales y distintas). Si a > 0, entonces el trinomio ces es positivo si los dos factores en x tienen el mismo signo, por lo tanto, la inecuacin o se cumple cuando x es menor que ambas ra ces o cuando x es mayor que ambas ra ces. Es decir, la solucin al problema es: o x < r1 x > r2 . o Si a < 0, el trinomio es positivo cuando los dos factores en x tienen distintos signos. Por tanto, la inecuacin se cumple para x comprendido entre r1 y r2 . o Si a > 0 +sSi a < 0 +s+s sr1r2r1r2Segundo caso: Si r1 = r2 = r, ra ces reales e iguales , entonces ax2 + bx + c = a(x r)2 .20 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALES Como todo cuadrado es positivo o nulo, tenemos que la inecuacin se cumple para o todo x = r si a > 0 y no se cumple nunca cuando a < 0. Tercer caso: Si el trinomio no es factorizable en factores de primer grado con coecientes reales, es decir, sus ra ces son complejas conjugadas. Lo primero que debemos observar es que la expresin no se anula nunca y tampoco cambia de signo, o esto ultimo se justicar en seccin de continuidad. Por tanto el trinomio es siempre a o positivo o siempre es negativo. Como el cuadrado de un nmero grande crece mucho u ms que el nmero, es el coeciente a que determina el signo. Si a > 0, la inecuacin a u o se cumple para todo x R; si a < 0 no existen nmeros reales que satisfagan la u inecuacin. o Ejemplo 1.1.31 a) Resolver la inecuacin x2 + x 6 > 0. o Solucin: o Como x2 + x 6 = (x + 3)(x 2), los nmeros que satisfacen la inecuacin son u o los x tales que x < 3 x > 2. o + 3 x2 2 +b) Resolver la inecuacin o + 3x 4 < 0. Solucin: o 2 + 3x 4 = (x + 4)(x 1), el mtodo reducido implica que la inecuacin se x e o cumple para 4 < x < 1. 4 1c) Resolver la inecuacin x2 + 2x + 2 < 0. o Solucin: o 2 + 2x + 2 = 0 no tiene soluciones reales y su coeciente a = 1 es positivo, por x tanto el trinomio slo toma valores positivos y el problema propuesto no tiene o solucin. o 3. Resolucin de una inecuacin de tercer grado factorizada. o o Dados los nmeros a, b, c, encuentre todos los nmeros reales x que satisfacen la u u inecuacin: o (x a)(x b)(x c) > 0. Solucin: o 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO Supongamos que a < b < c. Si x < a, los tres factores son negativos y, por tanto, su producto es negativo. Si x = a, entonces el producto es nulo. Si a < x < b, entonces el producto es positivo.21Si x = b, entonces el producto es nulo. Si b < x < c, entonces el producto es negativo. Si x = c, entonces el producto es nulo. Si x > c, entonces el producto es positivo. Del anlisis anterior podemos concluir que la desigualdad se cumple cuando a < x < a b c < x. o Observe que es importante ordenar las ra ces a, b y c de menor a mayor, pues as es ms rpido analizar los signos de los factores. a a s+ss+ cab4. Resolucin de inecuaciones en forma de cuocientes de trminos de primer o e grado Resolver la inecuacin o ax + b > 0. a x + bSolucin: o El cuociente es positivo si y slo si ambos factores tienen el mismo signo, por lo que o la inecuacin del enunciado es equivalente a o (ax + b)(a x + b ) > 0. Otra manera de transformar la inecuacin fraccionaria en un producto, es multiplicar o la inecuacin por (a x + b )2 , que por ser un cuadrado es siempre positivo salvo para o b x = . a As debemos resolver la inecuacin: , o (ax + b)(a x + b ) > 0 usando el mtodo del ejercicio resuelto 2. e (ax + b)(a x + b ) = aa x + b a x+ b a > 0.22 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALES Si aa < 0, entonces los valores de x buscados estan comprendidos entre b y ab . Si aa > 0, entonces los valores de x que satisfacen la inecuacin estn en el o a a b b complemento del conjunto comprendido entre y . a a5. Inecuacin que contienen la variable en el denominador de una expresin o o Si una inecuacin contiene a la variable en algn demoninador de un cuociente, o u conviene reducir todos los trminos en un unico cuociente de modo que en uno de e los lados se tenga un cero y, posteriormente multiplicar la inecuacin por el cuadrado o del denominador. Ejemplo 1.1.32 Resolver la inecuacin o 4 7 0. x2 x1 Solucin: o 4 2x + 1 7 = . x2 x1 (x 2)(x 1) 2x + 1 0; (x 2)(x 1)Entonces, la inecuacin puede escribirse como: o x = 2, x = 1.multiplicndola por el cuadrado del denominador, se tiene una forma equivalente: a (3x + 1)(x 2)(x 1) 0. Ordenando las ra ces: 3 x+ 1 3 (x 1)(x 2) 0.Segn el mtodo reducido, la inecuacin tiene como conjunto solucin: u e o o xR:x 1 3 1 1 o 1 0 = = ab > 0 por teorema 1.1.21 (ab)1 > 0 por teorema 1.1.20Como a 0 (por denicin 1.1.11), luego (ab)1 (b a) > 0 por o teorema 1.1.21. Por lo tanto, a1 b1 > 0 = b1 < a1 . 4. Demuestre que, si 0 < a < b, entonces a2 < b2 . Solucin: Como b a y b + a son positivos por hiptesis, entonces (b a)(b + a) = o o b2 a2 > 0 por teorema 1.1.21, luego a2 < b2 . 5. Demuestre que si a R es tal que 0 a < para todo > 0, entonces a = 0. Solucin: Supongamos por contradiccin que a = 0. Luego como a 0 y a = 0, o o entonces a > 0 por denicin 1.1.16. Usando el teorema 1.1.25 con a = 0 y b = a o tenemos que existe 0+a a a a a+b = = tal que 0 < < a. Ahora si tomamos = concluimos que c= 2 2 2 2 2 < a, lo que contradice la hiptesis. Luego, la suposicin inicial es falsa y a = 0. o o 6. Demuestre que, si x > 0, entonces x + 1 2. x24 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALES Solucin: Previamente observemos que: o 1 x + 2 x x2 + 1 2x x2 2x + 1 0 (x 1)2 0Por tanto, por teorema (1.1.23) sabemos que (x 1)2 0 y por el ejercicio de repaso 1, (x 1)2 = x2 2x + 1 0. Por teorema 1.1.18, x2 + 1 2x, como 1 x > 0 = x1 > 0 y multiplicando por x1 obtenemos x + 2. x 7. Demuestre que, si a, b, c son no negativos y no todos iguales, entonces (a + b + c)(bc + ca + ab) > 9abc. Solucin: o (a + b + c)(bc + ca + ab) 9abc = a(b2 + c2 ) + b(c2 + a2 ) + c(a2 + b2 ) 6abc = a(b c)2 + b(c a)2 + c(a b)2 . Como a, b, c no son todos iguales, al menos uno de los trminos b c, c a, a b es e distinto de cero y como todo cuadrado es no negativo y a, b, c 0, entonces resulta la desigualdad buscada. 8. Determine el conjunto A = {x R : x2 + x > 2}. Solucin: o Mtodo axiomtico e a x2 + x > 2 x2 + x 2 > 0 por teorema 1.1.18 (x + 2)(x 1) > 0 [(x + 2) > 0 y (x 1) > 0] o [(x + 2) < 0 y (x 1) < 0] x > 2 y x > 1 por teorema 1.1.18 x>1 x < 2 y x < 1 x < 2Si x + 2 > 0 y x 1 > 0 Si x + 2 < 0 y x 1 < 0 Por tanto A = {x R : x > 1 o x < 2} = {x R : x > 1} {x R : x < 2}. 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO25Mtodo reducido. Una vez factorizado el polinomio y ubicadas sus ra en e ces la recta real, se recorre R en el sentido de su orden obteniendose rpidamente a el signo del polinomio en las distintos subintervalos de R determinados por sus ra ces. + + R 9. Determine el conjunto A = {x R : (2x + 1)/(x + 2) < 1}. 2 1Solucin: Claramente la expresin (2x + 1)/(x + 2) no est denida para x = 2 o o a luego 2 A. Mtodo axiomtico e a 2x + 1 0] por teorema 1.1.22Mtodo reducido eSi x 1 > 0 y x + 2 < 0 x > 1 y x < 2 (por teorema 1.1.18), sin embargo no existe x R que satisfaga ambas condiciones. Si x 1 < 0 y x + 2 > 0 x < 1 y x > 2 (por teorema 1.1.18). Por tanto A = {x R : 2 < x < 1}. 2 1 R10. Resolver la desigualdad: x(x2 5x + 6) > 0. Solucin: o x(x2 5x + 6) = x(x 2)(x 3), aplicando el mtodo reducido, tenemos que la e inecuacin se satisface para los x tales que: 0 < x < 2 x > 3. o o + 0 2 3 + R26 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALES11. Resolver la inecuacin: (x 2)(x2 6x + 8)(x2 4x 5) > 0. o Solucin: o Como x2 6x + 8 = (x 2)(x 4) y x2 4x 5 = (x + 1)(x 5), tenemos que: (x 2)(x2 6x + 8)(x2 4x 5) = (x 2)(x 2)(x 4)(x + 1)(x 5) + 1 = (x 2)2 (x 4)(x + 1)(x 5). +12. ResolverCompare con el ejercicio resuelto 9. 13. Resolver x2 8x + 15 < 0. x4 Solucin: ox1 > 0. x+2 Solucin: Como a = a = 1 tenemos aa > 0, por ejercicio resuelto 4 , los valores o buscados son x < 2 x > 1. oR 4 5 El factor que aparece elevado al cuadrado no inuye en el signo del producto, por tanto, nuevamente se puede aplicar el mtodo reducido y obtenemos que la inecuacin e o se satisface para los x tales que: 1 < x < 4 x > 5 y x = 2.. oSuponiendo x = 4, multiplicamos la inecuacin por (x 4)2 y la transformamos en: o (x2 8x + 15)(x 4) < 0. (x2 8x + 15)(x 4) = (x 3)(x 4)(x 5) < 0. R 5 3 4Segn el mtodo reducido se obtiene que la inecuacin se satisface para x < 3 u e o o 4 < x < 5. 14. Resolver 3 + 1 1 > . x1 2x + 1Solucin: Efectuando la suma del primer miembro 3+ o queda como 1 3x 2 > . x1 2x + 13x 2 1 = , la inecuacin o x1 x1 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO Luego, 1 3x 2 x1 2x + 1 = = = (3x 2)(2x + 1) (x 1) (x 1)(2x + 1) 2x2x+1 6x (x 1)(2x + 1) 6x2 x + 1 > 0. (x 1)(2x + 1)27Multiplicando la inecuacin por (x 1)2 (2x + 1)2 tenemos: o (6x2 x + 1)(x 1)(2x + 1) > 0.El polinomio 6x2 x + 1 tiene discrinante negativo y por lo tanto, es positivo para cualquier valor de x.As la desigualdad se reduce a: (x 1)(2x + 1) > 0. Usando el , mtodo reducido tenemos que el conjunto solucin es: e o {x R : x > 1} {x R : x < 1/2}. 15. Resolver la inecuacin x4 + 3x2 4 0. o Solucin: o Para factorizar el polinomio debemos resolver la ecuacin bicuadrtica x4 +3x2 4 = o a 0. x4 + 3x2 4 = 0 (x2 1)(x2 + 4) = 0 (x2 1 = 0) x2 1 = 0; ya que x2 + 4) > 0. (x 1)(x + 1) = 0 x = 1. o (x2 + 4) = 0Luego, x4 + 3x2 4 0 (x2 1)(x2 + 4) 0 x2 1 = 0 0 (x 1)(x + 1) 0 1 x 1. 16. Resolver el sistema de inecuaciones: 2x 1 2 3x 6x 5 < 9x + 1. ySolucin: o28 2x 1 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALES 2 (2x 1)(3 x) 2 2 implica 2x 1 0. 0. Efectuando el 3x 3x 3x producto y reduciendo trminos semejantes, nos queda: e 2x2 + 7x 5 0. 3x (2x2 7x + 5) 0. (3 + x) (2x2 7x + 5) 0. (x 3)Multiplicando la inecuacin por (x 3)2 , con x = 3, o (2x2 7x + 5)(x 3) 0. 2 x2 7 5 + 2 2 (x 3) 0,Factorizando el factor de segundo grado podemos obtener una expresin a la cual o aplicar el mtodo del ejercicio 3. e 2 (x 1) x 5 2 (x 3) 0.Utilizando el mtodo reducido con tres factores tenemos que la solucin de la primera e o inecuacin es: o 5 x < 3. x1 o 2 Para completar el ejercicio debemos encontrar la solucin a la segunda inecuacin e o o intersectar los conjuntos solucin . o6x 9x < 1 + 5 3x < 6 x > 2.6x 5 < 9x + 1La solucin al sistema es: o 2 < x 1 o 5 x < 3. 2 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO 17. Si x R , resuelva la inecuacin (x 4)2 (2x + 1)2 . o Solucin: o29[(x 4) + (2x + 1)] [(x 4) (2x + 1)] 0(x 4)2 (2x + 1)2 0 (3x 3)(x 5) 0(x 4)2 (2x + 1)23(x 1)(x + 5) 0. As tenemos: [x 1 0 y x + 5 0] [x 1 0 y x + 5 0] o Esto es: [x 1 y x 5] [x 1 y x 5]. o nalmente, x 1 x 5. o Teniendo en cuenta que slo debemos encontrar soluciones negativas, tenemos que o x 5 satisface el enunciado.(3x 3)(x + 5) 0Ejercicios propuestos1. Demuestre que, si a > 1, entonces a2 > a. 2. Demuestre que si a < b y c < d, entonces ad + bc < ac + bd. 3. Demuestre que si a, b R, entonces a2 + b2 = 0 si y slo si a = 0 y b = 0. o 4. Demuestre que si 0 a < b, entonces a2 ab < b2 . 5. Demuestre que si a, b, c, d son nmeros positivos tales que u a+c c a < < . b b+d d 6. Demuestre que si 0 < a < b y 0 < c < d, entonces a+bc+d ac + bd < . 2 2 2 c a < , entonces b d30 Indicacin: o CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALES Para comenzar observe que ba 2 , dc 2 y su producto sonnmeros positivos. u 7. Si a, b, c son nmeros positivos, demuestre que a2 + b2 + c2 > ab + bc + ac y que u (a + b)(b + c)(a + c) > 8abc. 8. Demuestre que si a, b > 0, entonces 2 a b + . b a9. Use el ejercicio anterior para demostrar que si a, b, c > 0, entonces 1 1 4 (a + b)( + ) a b y 1 1 1 9 (a + b + c)( + + ). a b cAdems, demuestre que ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) > 6abc. a 10. Demuestre que 1 1 x2 + 2 3 x x para todo x > 0. Cundo se cumple la igualdad ? a x3 +11. Demuestre que si a, b, c son nmeros reales jos con a > 0, el menor valor del u polinomio cuadrtico Q(x) = ax2 + 2bx + c es (ac b2 )/a. De saberse que Q(x) 0 a para todo nmero real x, qu podr concluirse de los coecientes a, b, c ? u e a 12. Demuestre que si x < 0, entonces x + 1 2. x13. Determine el conjunto {x R : (x + 1)(x 2) > 0}. 14. Determine el conjunto {x R : (x + 1)(2 x) > 0}. 15. Determine el conjunto {x R : (4x 7)(x + 2) < 0}. 16. Determine el conjunto {x R : (3x 8)(3x + 8) < 0}. 17. Determine el conjunto {x R : 2x2 x 15 < 0}. 18. Resuelva la inecuacin 6 + 7x 2x2 > 0. o 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO 19. Resuelva la inecuacin o 20. Resuelva la inecuacin o 21. Si a > 0 resuelva (x 1)(x + 2) > 0. x2 x2 2x 0. + 3x + 231xa 0. x+a22. Resuelva la inecuacin 2x3 3x2 0. o 23. Resuelva la inecuacin o x2 4 0. x24. Determine el conjunto {m R : mx2 + (m 1)x + (m 1) < 0 ; x R}. 25. Resuelva la inecuacin 4x4 12x2 + 9 < 0. o x 0. 26. Resuelva la inecuacin o x+2 27. Resuelva la inecuacin o 28. Resuelva la inecuacin o 29. Resuelva la inecuacin o 30. Resuelva la inecuacin o 31. Resuelva la inecuacin o 2 2x 1. x x1 1 2x 1. x+3x2 + 4x 12 1. x2 6x + 8 x3 9 0. x2 x3 6x2 + 12x 8 0. x2 1 2x 1 x+3 x x 4 3. 3 432. Resuelva el sistema de inecuaciones33. Resuelva el sistema de inecuaciones x2 + 6x 7 0x2 x 0.32 34. Resuelva el sistema de inecuaciones CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALESx3 x2 + 2x 0. 35. Demuestre el teorema 1.1.19 (ii). 36. Demuestre el teorema 1.1.20 (iv). 37. Demuestre el teorema 1.1.22.x2 2x 3 01.1.4.Una distancia en R: el valor absolutoLos axiomas de orden nos permiten comparar nmeros reales y gracias a la u densidad de R sabemos que si a < b, entre ellos podemos insertar una innidad de nmeros u reales distintos. Esto puede hacer perder la perspectiva de cun lejos o cercanos estn estos a a nmeros. Aun cuando el estar cerca o lejos es una cuestin relativa al problema concreto u o en que estamos involucrados, es util tener un mtodo para poder discernir en cada caso. e Para ello se dene una distancia en R eligiendo como punto de referencia, en principio, el cero. Esta idea la realiza el llamado valor absoluto de un nmero. u Denicin 1.1.33 Llamaremos valor absoluto del nmero a R, denotado por | a | al o u nmero: u a si a 0 | a |= a si a < 0 Existen formas equivalentes de denir el valor absoluto. Por ejemplo, |a| = mx{a, a} a o |a| = a2 .La denicin 1.4.1 nos dice en particular que | 0 |= 0, | 4 |= 4, | 4 |= 4. En general, o podemos apreciar que el nmero a y su inverso aditivo a estn a igual distancia del u a cero. Usando algunas consecuencias del orden de R , sabemos que todo nmero negativo u es menor que uno positivo. As podemos hacer el siguiente grco: , aqs s s s s -0a = |a|a0a = |a|Figura 1.1: Valor absoluto Todav no hay ninguna razn, que pueda deducirse de los axiomas, para pensar a R como a o el continuo geomtrico de una l e nea recta. 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO Teorema 1.1.34 (ii) |a| = | a|. (iii) |a| a |a|. (iv) |a| = 0 a = 0. (v) |a b| = |a| |b|. (vi) Si b 0, |a| b b a b. (vii) Si b 0, |a| b a b a b. o (viii) |a + b| |a| + |b| (desigualdad triangular) . Demostracin: o (i) |a| 0.33(i) Si a R, por tricotom tenemos las posibilidades: a > 0 o a = 0 o a < 0. Analicemos a cada una de ellas. Si a > 0 entonces |a| = a > 0 Si a < 0 entonces a = |a| > 0 Si a = 0 entonces |0| = 0 As en todos los casos |a| 0 (ii) Nuevamente, y as se recomienda en toda demostracin relativa al , separaremos los o casos usando el axioma de tricotom a. Si a > 0 entonces a < 0, por tanto: |a| = a y | a| = (a) = a, por teorema1.1.2. As en este caso se cumple |a| = | a| , Si a = 0 entonces |0| = | 0| = 0 Si a < 0 entonces a > 0, por tanto: |a| = a, | a| = a y as vemos que tambin se tiene en este caso, |a| = | a|. e(iii) Si a 0 entonces |a| = a. Adems, siendo a positivo (a) es negativo o cero, por a tanto |a| a |a|.Si a < 0 entonces |a| = a y a > 0. Por tanto a < a y tenemos que |a| = a < a = |a|, cumplindose tambin en este caso la propiedad. e e(iv) () Si a = 0, por denicin |a| = |0| = 0 o34 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALES () a R, por tricotom a > 0 a < 0 o a = 0. Para tener la conclusin debemos a o o descartar las posibilidades a > 0 y a < 0. Si a > 0 entonces |a| = a > 0, lo que contradice la hiptesis, por tanto no o puede darse a > 0. Si a < 0 entonces |a| = a > 0, tambin contradice la hiptesis. e oAs lo unico posible es que a = 0. , (v) Dados a, b R, por tricotom se tiene que (a b > 0) (a b = 0) (a b < 0). a o o Si a b > 0 entonces por teorema 1.1.21, (a > 0 y b > 0) (a < 0 y b < 0). Por o denicin de valor absoluto se tiene: |a b| = a b y para la primera posibilidad o |a| = |a| y |b| = b, por lo que |a| |b| = a b, cumplindose el teorema. Si se da la e segunda posibilidad, entonces |a| = a y |b| = b as |a||b| = (a)(b) = ab. Nuevamente obtenemos la conclusin. o Si ab = 0 entonces por teorema 1.1.5, a = 0 o b = 0, entonces |ab| = 0 = |a||b|. Si a b < 0 se deja como ejercicio, pues es anloga al caso a b > 0. a (vi) () Si a 0 entonces |a| = a y por hiptesis |a| b lo que implica que a b. o Como b 0 entonces b 0 y por tanto b a b. Si a < 0 entonces |a| = a y por hiptesis a b y como a 0 y b 0 o se tiene b a a b, es decir, b a b. Si a 0 entonces |a| = a. Por hiptesis |a| b. o Si a < 0 entonces |a| = a. Por hiptesis a b y por tanto |a| b. o b 0 b()Distancia al cero menor o igual a b. (vii) () Supongamos |a| b. Si a 0 entonces |a| = a y por tanto a b. Si en cambio a < 0, entonces |a| = a y en este caso a b, por teorema 1.1.19, a b. () Es anloga a la correspondiente implicacin de (vi). a ob Distancia al cero mayor o igual a b.0b(viii) En virtud de (vi), demostrar (viii) es equivalente a demostrar: (|a| + |b|) a + b |a| + |b|, que es lo que haremos. 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO Por (iii) |a| a |a| |b| b |b| sumando miembro a miembro ambas desigualdades se obtiene (viii). Si a y b son positivos. 0a b |a+b|=|a|+|b|35aba Si a y b son negativos. a+b b|a+b|=aba0|a|=a Si a y b tienen distintos signos. a > 0, b < 0b|a + b| = distancia al cero de a + b = a b.|b|=baba a + b|a+b|0baba|a|+|b|=ab|a + b| < |a| + |b|.Ejercicios resueltos1. Analice en qu casos la desigualdad triangular se transforma en una igualdad. e Solucin: (i) Si a y b son nmeros positivos, a + b es positivo, entonces tenemos: o u |a + b| = a + b = |a| + |b|36 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALES (ii) Si a y b son nmeros negativos, a + b es negativo, entonces tenemos: u |a + b| = (a + b) = (a) + (b) = |a| + |b| (iii) Si a y b tienen signos diferentes, la desigualdad es una desigualdad estricta. Por ejemplo, si a = 4 y b = 2, entonces |a + b| = |(4) + 2| = | 2| = 2, en cambio, |a| + |b| = 4 + 2 = 6 2. Demuestre que ||a| |b|| |a b| |a| + |b|. Solucin: Aplicando la desigualdad triangular tenemos, |a| = |ab+b| |ab|+|b|. o Luego |a||b| |ab|. Anlogamente |b| = |ba+a| |ba|+|a| = |ab|+|a| por a desigualdad triangular y teorema 1.1.34 (ii). Entonces |a b| |a| |b|. Por tanto, de estas dos desigualdades y el teorema 1.1.34 (vi) concluimos que ||a| |b|| |a b|. Finalmente, |a b| = |a + (b)| |a| + | b| = |a| + |b| por desigualdad triangular y teorema 1.1.34 (ii).3. Resuelva la ecuacin |x 1| = 3. oSolucin: Por denicin de valor absoluto |x 1| = 3 implica x 1 = 3. Si o o x 1 = 3, tenemos x = 4. Si x 1 = 3, tenemos x = 2.4. Resuelva la ecuacin |3x 5| + 3 = 0. oSolucin: Como el valor absoluto no toma valores negativos, la ecuacin propuesta o o no tiene solucin. o5. Resuelva la ecuacin |x + 2| = |x 4|. oSolucin: Debemos analizar dos casos: Primer caso. Las cantidades entre barras o tienen el mismo signo, entonces x + 2 = x 4, por tanto, 2 = 4. Como esto es imposible, en este caso no hay solucin. Segundo caso. Las cantidades entre barras o tienen distinto signo, entonces x + 2 = (x 4) = x + 4, por tanto, x = 1. Solucin: o6. Resuelva la ecuacin |x2 4x| = 4|x 4|. o |x2 4x| = 4|x 4||x||(x 4)| = 4|x 4||x(x 4)| = 4|x 4|As |x| = 4, si x = 4. , 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO Luego, x = 4 es una solucin y la otra es |x 4| = 0.esto es x = 4. o 7. Determine el conjunto A = {x R : |2x + 3| 6}.37Solucin: Si |2x + 3| 6 por teorema 1.1.34 (vi) tenemos que 6 2x + 3 6 o 3 9 9 2x 3 x . 2 2 9 3 Por lo tanto, A = {x R : x }. 2 2 Solucin: Por teorema 1.1.34 (vii), tenemos que: o 5x 8 > 4 o 5x 8 < 4 5x > 12 o 5x < 4 4 12 o x< x> 5 58. Resuelva la inecuacin |5x 8| > 4. o9. Resuelva la inecuacin |x 4| |2x 1|. oSolucin: Como las expresiones entre barras cambian de signo cuando x = 4 y o 1 cuando x = , analizaremos las distintas posibilidades que esto implica. 2 1 Si x , ambas expresiones son negativas, entonces la inecuacin queda como o 2 (x 4) (2x 1), 1 . 2que da los valores x 3. Por tanto, tenemos que 3 x 1 Si < x < 4, las expresiones entre barras tienen distintos signos y nos queda la 2 inecuacin: o 2x 1 4 x, 5 que tiene solucin x . Junto a la suposicin bajo la cual estamos trabajando , o o 3 5 1 da la solucin < x . o 2 3 Si x > 4, ambas expresiones son positivas y la inecuacin toma la forma: o x 4 2x 1. Lo que implica 3 x que es incompatible con x > 4, por tanto, en este caso no hay solucin. o 5 En s ntesis, la inecuacin dada tiene por solucin :3 x . o o 338 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALES10. Determine el conjunto B = {x R : |x 1| |x|}.Solucin: Como toda inecuacin que contiene ms de un valor absoluto, la manera o o a ms rpida de resolverla es encontrando los puntos de cambio de signo de las exprea a siones entre barras. Luego, se ordenan estos puntos sobre la recta real y se estudia la inecuacin sobre cada subintervalo. o Los puntos de cambio de signo de x1 es 1 y x cambia de signo en cero. As tenemos , tres subintervalos: Si x < 0, entonces |x| = x y x 1 < 0, por lo que |x 1| = (x 1) = 1 x. En este caso la inecuacin queda escrita como: o 1 x < x 1 < 0.Este resultado contradictorio, nos dice que la inecuacin no tiene solucin en o o los reales negativos. Si 0 x < 1, entonces |x| = x y x 1 < 0, por lo que |x 1| = (x 1) = 1 x. En este caso la inecuacin queda escrita como: o 1 < x. 2 Si 1 x, entonces |x| = x y x 1 > 0, por lo que |x 1| = x 1. En este caso la inecuacin queda escrita como: o 1 x < x 1 < 2x x 1 < x 1 < 0.Como la ultima inecuacin se satisface independientemente de los valores de x, o la inecuacin se satisface para todo x 1. o En virtud del anlisis realizado, tenemos que a B= 11. Resuelva la inecuacin x + o xR : x 1 2 .1 4. x 1 |x2 + 1| x2 + 1 Solucin: Si x = 0, |x + | = o = , pues x2 + 1 es positivo para x |x| |x| x2 + 1 todo x R. Por tanto, la inecuacin enunciada se puede escribir como o 4. |x| Multiplicando la inecuacin por |x|, obtenemos: o x2 + 1 4|x|, lo que da origen a dos inecuacines: o 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO a) x2 4x + 1 0, si x > 0. b) x2 + 4x + 1 0, si x < 0. Ambas deben ser resueltas con el mtodo del ejercicio 2 de la seccin 2.2. e o3912. Si a, b, c son nmeros dados tales que a < b < c. Encuentre los distintos valores que u puede tomar f (x) = |x a| + |x b| + |x c|. Solucin: o Si x a, todas las expresiones entre barras son negativas o nulas, por tanto, f (x) = (x a) (x b) (x c) = 3x + a + b + c. Si a < x b, f (x) = x a (x b) (x c) = x a + b + c. Si b < x c, f (x) = x a + x b (x c) = x a b + c. Si x > c, f (x) = x a + x b + x c = 3x a b c. 13. Escriba f (x) = |x + 1| + |x 1| 2|x| sin que aparezcan los signos del valor absoluto . Solucin: Siguiendo un procedimiento similar al del o ejercicio 12, obtenemos: 0 2x + 2 f (x) = 2 2x 0 si si si si x < 1 1 x < 0 0x1 x > 1.14. Sea f (x) =2x2 3x 1 para 2 x 3. 2x 1 Encuentre una constante M de modo que |f (x)| M para todo x tal que 2 x 3. Solucin: Como |f (x)| = o |2x2 3x 1| . Por la desigualdad triangular |2x 1||2x2 3x 1| 2|x2 | + 3|x| + 1 2 32 + 3 3 + 1 = 2840 ya que |x| 3. Por otro lado, Por lo tanto, |f (x)| 28 . 3 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALES|2x 1| 2|x| 1 2 2 1 = 3, ya que |x| 2. Luego1 1 para x 2. |2x 1| 328 28 Luego, podemos escoger M = . Observemos que cualquier M > resuelve el 3 3 28 no sea la eleccin m o nima posible para M . problema, y es probable que 3 15. Resuelva Solucin: o x2 4x + 3 1. x2 2x + 1(x 3)(x 1) x3 x2 4x + 3 = = , cuando x = 1 . Por tanto la 2 2x + 1 x (x 1)(x 1) x1 inecuacin se redude a: o |x 3| |x 1|, la que es equivalente a |x 3| |x 1|. Analizaremos los distintos casos: Si x 1, ambas expresiones entre barras son negativas, por lo cual tenemos: (x 3) (x 1). Si 1 < x 3, las expresiones entre barras tienen signos distintos, por tanto: x + 3 x 1. Lo que nos da 2 x que junto a la suposicin 1 < x 3 nos da 2 x 3. El ultimo o caso por analizar es x > 3, que conduce a 3 1, que se cumple siempre. As la , solucin es x 2. o Esto implica 3 1, como esto es imposible, no hay solucin en este caso. oEjercicios propuestos1. Demuestre que |a| = mx{a, a} = aa2 .2. Demuestre que si a, b R, entonces: a) |a2 | = a2 b) |a + b|2 + |a b|2 = 2|a|2 + 2|b|2 |a| a si b = 0 = c) b |b| 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO d) |a + b| = |a| + |b| si y solo si ab 0 e) a|b| |ab|. 3. Demuestre que, y est entre x y z si y slo si |x y| + |y z| = |x z|. a o 4. Demuestre que si a < x < b y a < y < b, entonces |x y| |x + 1| 11. 2|x| + |x 1| = 2 12. |x| + |x + 1| < 2 13. 14. 15. 16. 17. 18. x2 1 3. x+1 x2 1 3. x1 x2 2x 3 5. x2 4x + 3 x2 5x + 6 < 2. x2 11x + 30 x2 5x + 6 = 2. x2 11x + 30 x2 5x + 6 > 2. x2 11x + 3042 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALES19. Si f (x) = |x 2| + |1 2x|. Encuentre una expresin para f (x) o que no contenga valores absolutos. 20. Si x = 8a + 4b 3 , y = 5a + 13b + 420, 84 < a < 20, 85 y 5, 64 < b < 5, 63. Encuentre nmeros K; M tales que: u |x + y| < K y |x y| < M.21. Encuentre el valor mximo de y de modo que para todo x se cumpla: a |x a1 | + |x a2 | + . . . + |x an | y, con a1 < a2 < . . . < an . Cundo se cumple la igualdad ? a 22. Demuestre que si |x| < para todo > 0, entonces x = 0. 23. Si d(x, y) = |x y| representa la distancia entre x e y. Demuestre que a) d(x, y) = 0 x = y x, y R b) d(x, y) = d(y, x) x, y R c) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) x, y, z R.1 d) Encuentre el conjunto A = {y R : d(y, ) 3}. 2 e) Encuentre el conjunto B = {y R : d(y, 4) < 5}.f ) Dados x0 , r R, encuentre el conjunto C = {y R : d(y, x0 ) < r}.1.1.5.La continuidad de R: el Axioma del SupremoCon el Axioma del Supremo se completa el conjunto de axiomas que caracterizan totalmente a R, es decir, R es el unico conjunto que verica los axiomas de cuerpo, de Orden y el Axioma del Supremo. Las consecuencias de mayor trascendencia del Axioma del Supremo son la existencia de nmeros irracionales y la propiedad arquimediana de los nmeros reales. u u De los axiomas de cuerpo solamente puede deducirse, en primera instancia, la existencia de al menos dos nmeros distintos el 0 y el 1. La suma de unos da origen a los nmeros u u naturales. La resta de nmeros naturales da origen a los nmeros enteros y nalmente la u u divisin de enteros genera la aparicin de los nmeros racionales. En s o o u ntesis, para tener el conjunto de los nmeros racionales bastan los axiomas de cuerpo y orden. Pero, estos u nmeros no son sucientes para la construccin del clculo diferencial e integral cuyos u o a conceptos bsicos necesitan la continuidad de los nmeros reales . Esta propiedad de R la a u 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO43proporciona el Axioma del Supremo. En particular, para tener una idea intuitiva de esto, solamente podemos pensar R como un continuo geomtrico: la recta nmerica, lo que e u se obtiene una vez que al conjunto de los nmeros racionales se le agregan los nmeros u u irracionales que pueden ser concebidos como supremos de ciertos conjuntos de nmeros u racionales. Denicin 1.1.35 Si A es un conjunto de nmeros reales, entonces y es una cota supeo u rior de A si y slo si y es un nmero real y para cada x A, x y. o u Ejemplo 1.1.36 1. El conjunto {2, 4, 6, 8, 10} es acotado superiormente por cualquier nmero mayor o igual a 10. u 2. El conjunto {x R : x < 3} es acotado superiormente por cualquier nmero mayor u o igual a 3. 3. El conjunto {x2 + 1, 1 x 1} es acotado superiormente por cualquier nmero u mayor o igual a 2.Cotas superiores de AAUna observacin importante es que si un conjuntro tiene una cota superior entonces existen o innitas cotas superiores del conjunto. Por lo tanto, tiene sentido la siguiente denicin. o Denicin 1.1.37 Si A es un conjunto de nmeros reales, el nmero y es el supremo o u u de A si y slo si y es una cota superior de A y para cada z que es cota superior de A se o tiene y z. Es decir el supremo es la menor de las cotas superiores . La denicin de supremo , salvo en casos elementales, no es fcil de usar, para nes ms o a a prcticos suele usarse la siguiente caracterizacin del supremo. a o Teorema 1.1.38 Caracterizacin del supremo o Si A es un conjunto de nmeros reales entonces y es el supremo de A si y slo si y es una u o cota superior de A y para cada nmero real positivo existe un x en A tal que y < x. u Demostracin: o44 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALES() Sea y el supremo de A. Entonces por denicin y es una cota superior. o Sea R, > 0. Supongamos por contradiccin que no existe x A tal que o y < x, en tal caso, esto es equivalente a armarque x y , para todo x en A, por tanto y es una cota superior de A pero y < y, lo que contradice la hiptesis que y es el supremo de A. As debe existir o al menos un x A mayor que y . () Por hiptesis y es una cota superior. Para que y sea el supremo de A, debe ser la o menor de las cotas superiores . Supongamos que existe una cota superior de A, z menor que y. Entonces z < y y x < z para todo x A. Como z < y entonces y z > 0. Aplicando la hiptesis con o = y z, tenemos que existe x A, x > y (y z). Es decir, existe x A tal que x > z. Pero esto contradice que z es cota superior de A. La contradiccin proviene o de suponer la existencia de una cota superior de A menor que y. As y es la menor , cota superior de A y, por tanto, su supremo .A Ay x A y = sup Azz = sup ATeorema 1.1.39 Un conjunto de nmeros reales puede tener a lo ms un supremo. u a Demostracin: Supongamos que un conjunto A R tenga dos supremos: y, z; y = z. o Ms precisamente supongamos z < y. Como en la demostracin del teorema 1.1.38 se tiene a o y z > 0. Tomando este nmero positivo como un particular, por denicin de supremo u o podemos concluir que existe x A tal que x > y (y z), lo que implica que x > z, que contradice que z sea supremo de A. Por tanto, existe a lo ms un supremo de un conjunto a de nmeros reales. u Es interesante observar que el conjunto vac es acotado superiormente por cualquier o nmero real. Esto se obtiene usando reduccin al absurdo. Luego, no existe un nmero u o u real que sea el supremo del vac o. Axioma del Supremo : Si un conjunto no vac de nmeros reales tiene una cota o u superior, entonces tiene supremo en R. Cada una de las deniciones y conclusiones relativas a cotas superiores y supremos tiene un paralelo en la denicin de cota inferior e o nmo. Las demostraciones de los teoremas son totalmente similares a las ya demostradas, por lo que se deja como ejercicio. 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO45Denicin 1.1.40 Si A es un conjunto de nmeros reales, entonces y es una cota inferior o u de A si y slo si y es un nmero real y para cada x en A, x y. o u Denicin 1.1.41 Si A es un conjunto de nmeros reales, entonces y es el o u nmo de A si slo si y es una cota inferior de A y para cada z que es una cota inferior de A, y z. o Es decir, el nmo es la mayor de las cotas inferiores . Teorema 1.1.42 Si A es un conjunto de nmeros reales, entonces y es el u nmo de A si y slo si y es una cota inferior de A y para cada nmero real positivo existe un x en A o u tal que x < y + . Demostracin: Ejercicio. o Teorema 1.1.43 Un conjunto de nmeros reales puede tener a lo ms un u a nmo . Demostracin: Ejercicio. o Observemos que el conjunto vac es acotado inferiormente por cualquier nmero real. o u Luego, no existe un nmero real que sea el u nmo del conjunto vac o. Teorema 1.1.44 Si un conjunto no vac de nmeros reales tiene una cota inferior , o u entonces tiene nmo en R. Demostracin: Ejercicio. o Denicin 1.1.45 Si A es un conjunto de nmeros reales, entonces p es el primer eleo u mento (respectivamente u es el ultimo elemento) de A si y slo si p es un elemento de o A y para cada x en A, p x (respectivamente u A, x u). Teorema 1.1.46 Un conjunto de nmeros reales tiene a lo ms un unico primer elemento u a (respectivamente ultimo ). Teorema 1.1.47 Todo conjunto de nmeros reales que tiene primer (respectivamente u ultimo) elemento tiene nmo (respectivamente supremo). Supremo e nmo de conjuntos nitos Si A es un conjunto nito de R, entonces podemos contar sus elementos y escribirlo como A = {a1 , a2 , a3 , . . . , . . . an }. Adems, podemos ordenarlos y conocer el mayor o ultimo elemento del conjunto que a podemos simbolizar como mx A = mx{ai : i = 1, . . . , n}. Anlogamente su menor o a a a primer elemento es m A = m i : i = 1, . . . , n}. En virtud del teorema 1.1.47, el n n{a46 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALESconjunto A tiene supremo e nmo. Es decir, todo conjunto nito tiene supremo e nmo . Adems, a sup A = mx A a A = m A nf n As los conjuntos nitos no son muy interesantes desde el punto de vista de sus supremo , e nmo. Corolario 1.1.48 Si un conjunto contiene una cota superior (respectivamente inferior) entonces sta es su supremo (respectivamente e nmo). El rec proco del teorema 1.1.47 es falso. Pues, existen conjuntos de nmeros u reales que poseen nmo y supremo sin tener primer y/o ultimo elemento . Por ejemplo, el conjunto {x R : a < x < b} tiene supremo , pero no ultimo elemento y tambin tiene e nmo , sin tener primer elemento . Ver ejercicio. Este ejemplo, adems, nos muestra claramente que supremos o a nmos no son necesariamente elementos del conjunto. Pero si pertenecen al conjunto, son a la vez ultimo o primer elemento segn el caso. Esto puede visualizarse en el conjunto: u {x R : a x b}. Los casos ms importantes de aplicacin del Axioma del Supremo son aquellos para los a o cuales el supremo ( nmo) no pertenece al conjunto. Este es el caso en que surgen los nmeros irracionales como supremos o u nmos de ciertos conjuntos de nmeros racionales. u Denicin 1.1.49 Llamaremos intervalos acotados a cualquiera de los siguientes cono juntos: {x R : a < x < b} = ]a, b[{x R : a b. Si en particular tenemos a = 1, entonces dado b siempre existe n tal que n > b. Son diferentes maneras de expresar una misma propiedad. Con este principio, estamos excluyendo magnitudes innitamente pequeas (o n grandes) en comparacin con otras. Como veremos ms adelante, esta propiedad juega un o a rol fundamental en nuestra aritmtica y en la geometr euclidiana. e a Por cierto existen situaciones no arquimedianas, la ms simple de todas es tratar a de medir un segmento con longitud positiva mediante puntos. Otras ms complejas pueden a verse en el libro de Fraenkel, pgina 123. a El siguiente prrafo puede ser omitido. aPotencias de exponente racionalEl objetivo de este prrafo es mostrar que la existencia de ra a ces es una consecuencia del Axioma del Supremo y con ello aparecen los nmeros irracionales ms elementales. u a48 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALESTodas las ra ces de nmeros naturales que no son cuadrado de otro nmero natural son u u irracionales. En la poca de Platn se conoc la naturaleza irracional de 2 hasta 17. e o a Para extender las potencias a exponente racional debemos, en primer lugar, 1 considerar los nmeros racionales no enteros, de la forma , q N. u q Denicin 1.1.53 o tal que y q = a (i) Si a R+ , q N, denotaremos por a q1 1o qa al unico y R+ (ii) Si a R , q N, q impar, denotaremos por a q yq = ao qa al unico y R tal que 1 (iii) Si a = 0 se dene 0 q = q 0 = 0. 1 de a. El nmero q a se lee raz q-sima de a o la potencia u e q Teorema 1.1.54 1. Si x > 0, n N, 0 < 1 entonces (x + )n xn + K y (x )n xn K, donde K es una constante positiva que slo depende de n y x. o 2. Si x < 0, n N impar, 0 < 1, entonces (x + )n xn + K y (x )n xn K, donde K es una constante positiva que slo depende de n y x. o El siguiente teorema justica la denicin 3.4.5. o Teorema 1.1.55 Existencia de ra ces. (i) Si a > 0 y n N, entonces existe un unico x R+ tal que xn = a. (ii) Si a < 0 y n N es impar, entonces existe un unico x R tal que xn = a. Demostracin: o 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO (i) Sea A = {y R : y 0 , y n a}.49A es no vac pues 0 A. Demostremos ahora que A es acotado superiormente. Si o, a 1, entonces si A no es acotado superiormente, debe existir y A tal que a < y lo que implica en este caso que a < y n . Pero esto contradice el hecho que y A. Por tanto, para a 1, A debe ser acotado superiormente. Ahora, si 0 < a < 1, como y n a, se tiene que y n 1, lo que implica que y 1 usando ejercicio resuelto 1. Como lo anterior vale para cualquier y A, 1 es una cota superior para A cuando 0 < a < 1. Por lo tanto, si a > 0, A es acotado superiormente. Luego el axioma del Supremo nos asegura la existencia en R de sup A. Sea x = sup A. Ntese que por la denicin de x, l es unico. Demostremos a continuacin que o o e o xn = a. Si nuestra armacin anterior fuera falsa tendr o amos por tricotom a que xn > a o xn < a. Analicemos ambos casos. Caso xn < a: Por teorema 1.1.54, para 0 < 1 se tiene que (x + )n xn + K, donde K es una constante positiva que slo depende de n y x. Como a xn > 0 por hiptesis, o o a xn }. por la propiedad arquimediana de R existe de > 0 tal que < m n{1 , K Luego: xn + K a xn K = a xn . KPor tanto, (x + )n a y x + A. Lo que contradice que x es una cota superior de A. Caso a < xn : Por teorema 1.1.54, para 0 < 1 se tiene que (x )n xn K, donde K es una constante positiva que slo depende de n y x. Como xn a > 0 por hiptesis, o o la propiedad arquimediana de R nos asegura la tal existencia de > 0 tal que xn a < m n{1, }. Como x = sup A, para > 0 debe existir y0 A tal que K x < y0 + . La expresin anterior implica que x < y0 . Luego: on y0 > (x )n xn K > xn (xn a) K = xn xn + a = a. KDe analizar los dos casos y en ambos llegar a contradicciones, concluimos que xn = a.Lo que contradice el hecho que y0 A.50 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALESEjercicios resueltosAnalice la existencia de cotas inferiores, superiores, mayor y menor elemento, supremos e nmo para los siguientes conjuntos, donde a, b son nmeros jos. u 1. A1 = {ax + b; 2 x 3}Solucin: Si a > 0, entonces o 2 x 3 2a 3a 2a + b ax + b 3a + b, para todo 2 x 3.Por tanto, 2a + b es una cota inferior y 3a + b es una cota superior de A1 . Adems, a estas cotas pertenecen al conjunto , por lo que son el menor y mayor elemento, respectivamente y tambin el e nmo y el supremo de A1 . Si a < 0, entonces 2 x 3 3a x 2a. Por tanto, los roles de 2a + b y 3a + b se inverten y se tiene que: A1 = 3a + b, sup A1 = 2a + b. nf 2. A2 = {ax + b; 2 < x 3}Solucin: Si a > 0, se tiene como en el caso anterior: o 2a + b < ax + b 3a + b, para todo 2 < x 3.La unica diferencia con el respectivo caso anterior es que 2a + b no pertenece al conjunto, por lo cual aunque sigue siendo cota inferior e nmo de A2 , no es el menor elemento. Ms an , a u A2 , no tiene el menor elemento. En efecto, supongamos que x es el menor elemento de A2 . Entonces, 2 < x y 2a + b < 2x + b < 2x + b, para todo 2 < x 3. Pero, la propiedad de densidad de los nmeros reales asegura la existencia de un z u tal que 2 < z < x , lo que a su vez implica 2z + b < 2x + b. Pero, esto contradice el hecho que x s el menor elemento de A2 . 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO 3. A3 = {ax + b; 2 x < 3}51Solucin: Usando los mismos argumentos se obtiene: o sup A3 = 3a + b, A3 = 2a + b, si a > 0. nf A3 = 3a + b, sup A3 = 2a + b, si a < 0. nfSi a > 0, A3 no tiene mayor elemento; si a < 0, A3 no tiene menor elemento. 4. A4 = {ax + b; 2 < x < 3} Solucin: o El nmo y el supremo son los mismos que en los casos anteriores, pero A4 no tiene menor ni mayor elemento. 5. Demuestre que el conjunto A5 = {ax + b, x R} no es acotado ni superior ni inferiormente. Solucin: Supongamos que A5 es acotado superiormente y que a > 0. Entonces, o existe M R tal que: ax + b M, para todo x R, lo que implica, x M b , para todo x R. aM b es una cota superior de R, lo cual es una contradiccin. o Pero, esto nos dice que a De la misma forma se demuestra que A5 no es acotado inferiormente. 6. Encuentre cotas superiores e inferiores para el conjunto {x2 + x 2; 2 x 1}.Solucin: x2 + x 2 = (x + 2)(x 1), del mtodo para analizar el signo de un o e trinomio de segundo grado, visto en el ejercicio 2 de la seccin 2.2, sabemos que o este trinomio es negativo para 2 < x < 1, se anula en x = 2 y x = 1 y para los restantes valores de x es positivo. Por tanto, 0 es una cota superior del conjunto. Para encontrar una cota inferior, que si existe, es negativa; Debemos encontrar un nmero k tal que para todo z < k, la ecuacin u o x2 + x 2 = z no tenga solucin en R. x2 + x 2 z = 0 no tiene ra o ces reales si 1 + 4(2 + z) < 0,52 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALES 9 u es decir, z < = 2, 25 = k, el nmero buscado. 4 En consecuencia, para todo z < 2, 25 no existe x tal que x2 + x 2 = z. Por tanto, cualquier nmero menor o igual que 2, 25 es una cota inferior de nuestro conjunto. u Ahora veamos si 2, 25 pertenece al conjunto. Para ello debemos resolver la ecuacin o x2 +x2 = 2, 25, que tiene por solucin x = 0, 5. As 2, 25 es el menor elemento o , del conjunto y por tanto, su nmo . 6(x2 + 2x 1) , 2x2 37. Dada la expresin f (x) = oa) Para qu valores de x tiene sentido f (x) ? e b) Demuestre que f (x) est acotada superiormente por 3 e inferiormente por -4. a c) Cmo elegir x para que f (x) = 3? o d) Cmo elegir x para que f (x) = 4? o Solucin: o a) Para que la expresin f (x) tenga sentido es necesario excluir los valores de x o que anulan el denominador. 2x2 3 = 0 es equivalente a 2x2 + 3 = 0, pero como todo nmero al cuadrado es positivo o nulo, 2x2 + 3 no se anula para u ningn valor de x. Por tanto, f (x) vale para todo x R. u e) Cul es el supremo y el a nmo del conjunto {f (x); x R}?b) Para poder demostrar que f (x) es acotada superiormente por 3, supondremos que esto es verdad, as podremos encontrar una expresin para iniciar la de o mostracin. o 6(1 2x x2 ) 6(x2 + 2x 1) = 23 2x 2x2 + 3 6(1 2x x2 ) < 3 2x2 + 3 6 12x 6x2 < 6x2 + 90 < 12x2 + 12x + 3 0 < 3(2x + 1)20 < 3(4x2 + 4x + 1)Como la ultima desigualdad es siempre vlida, en rigor sta debe ser el punto a e de partida de la verdadera demostracin. o 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO53Para demostrar que f (x) es acotada inferiormente por -4, supondremos que en borrador hicimos el procedimiento ya mostrado y ahora haremos la demostracin : o 0 < 2(x 3)20 < 2(x2 6x + 9)4(2x2 + 3) < 6 12x 6x2 6(1 2x x2 ) 4 < 2x2 + 3 1 c) La ecuacin f (x) = 3 es equivalente a 2x + 1 = 0, lo que nos da x = . La o 2 1 ecuacin f (x) = 4, tiene solucin x = 3. Es decir, f (3) = 4 y f ( ) = 3. o o 2 Por lo tanto, 4 y 3 pertenecen al conjunto {f (x); x R} y en virtud del corolario 1.1.48 estos nmeros son , respectivamente, el u nmo y el supremo . 8. Demuestre que en los conjuntos nitos ultimo elemento y supremo coinciden. Solucin: Sea F un subconjunto nito de R. Sea u F el mayor de todos los o elementos de F . Como el conjunto es nito, basta comparar los elementos de F todos con todos y hallar tal u. Luego x u para todo x F . Por tanto, u es el ultimo elemento . Por otro lado, u es cota superior de F y si consideramos otra cota superior c de F ella satisface que x c para todo x F . En particular u F , luego u c. Por tanto, u es la menor cota superior . Luego u = sup F . 9. Si A R es un conjunto no vac denimos por A al conjunto {x : x A}. o, Demuestre que si A es acotado inferiormente, entonces A es acotado superiormente e A = sup(A). nf Solucin: Si A es acotado inferiormente, sea c una cota inferior de A, entonces o c x para todo x A. Luego x c para todo x A. Esto implica que c es una cota superior de A, y por axioma del supremo, existe el supremo de A. Sea a = sup(A) y b = A, como b es la mayor cota inferior de A, b x para todo nf x A. Luego x b para todo x A, lo que implica que b es cota superior de A. Si c es una cota superior de A, x c, para todo x A, lo que implica que c x para todo x A. Por tanto, c es una cota inferior de A y como b = A, debemos tener que c b. Lo anterior implica que b c; y siendo c nf una cota superior arbitraria de A, concluimos que b es el supremo de A. Como8x2 12 < 6 12x 6x20 < 2x2 12x + 1854 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALES el supremo de un conjunto es unico, por teorema 1.1.39, b = a, como quer amos demostrar.10. Demuestre que sup R = R+ = 0. nf Solucin: Como R+ = R , por ejercicio resuelto 2, tenemos que sup R = R+ . o nf Demostremos que sup R = 0. Supongamos que no es as como 0 es una cota superior , sup R satisface de R , entonces sup R < 0. Del teorema 1.1.25 tenemos que x = 2 que sup R < x < 0. Luego, x R y sup R < x, lo que contradice la denicin de o sup R . Por tanto, sup R = 0 como quer amos demostrar. 11. Demuestre que nf{ 1 : n N} = 0 . nSolucin:: 0 es cota inferior del conjunto pues, 0 < o1 para todo n N. Supongamos n 1 que I > 0, entonces por el teorema 1.1.52 existe n N tal que 0 < < I. Lo cual n es una contradiccin con la denicin de I. Por tanto, I = 0. o o12. Sean a y b nmeros reales. Demuestre que si para todo > 0, a 0, a b es cota inferior de R+ . Por el o ejercicio anterior, R+ = 0. Por lo tanto, a b 0 y luego a b. nf13. Demuestre que R no es acotado superior ni inferiormente. Solucin: Supongamos que R es acotado superiormente, entonces existe M R tal o que x M para todo x R. Luego, como M + 1 R tendr amos que M + 1 M , lo que implica que 1 0; pero esto es una contradiccin con el teorema 1.1.24. Por o tanto, R no puede estar acotado superiormente. Ahora si R fuera acotado inferiormente, entonces por ejercicio resuelto 2 R estar a acotado superiormente y como R = R, tendr amos que R es acotado superiormente. Por tanto, R no puede estar acotado inferiormente. 14. Dados a, b R tal que a < b, considere los siguientes conjuntos denidos en 1.1.49: A1 = ]a, b[ A3 = ]a, b] A2 = [a, b[ A4 = [a, b].Demuestre que : sup A1 = sup A2 = sup A3 = sup A4 = b 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO A1 = A2 = A3 = A4 = a. nf nf nf nf55Solucin: Es fcil ver que b es cota superior de A1 , A2 , A3 y A4 por la denicin de o a o los conjuntos. Ahora, usando el teorema 1.1.38, veamos que b es el supremo de estos conjuntos. Consideremos > 0 arbitrario. Por teorema 1.1.25, tenemos que b< (b ) + b 0} = 2 y nf{x R : x2 + 3x 2 > 0} = 1. 1 c) sup{x2 + 3x 2 : x R} = . 42. Si a y b R, demuestre que: a) (a b)2 0. b) a2 + b2 2|ab|.c) Si adems, a2 + b2 = 1, entonces |a + b| a2.3. Dado el conjunto A = {x R : |x 3| < 4} a) Encuentre cotas superiores e inferiores para A y su complemento Ac . b) Encuentre el sup A, A, sup Ac , Ac si es que existen. nf nf Encuentre cotas superiores e inferiores para los siguientes conjuntos: 4. {x2 + 1; 1 x 1}. 5. {x2 + 1; x R}. 6. 1 ; 1 x 1 . x2 + 1 1.1. LA ARITMETICA DE LOS NUMEROS REALES: AXIOMAS DE CUERPO 7.571 ; xR . +1 En los siguientes tres ejercicios, complete los cuadrados de binomio para analizar la situacin. o x28. {1 x x2 ; 2 x 1}. 9. {x2 + x 1; x R}. 10. {1 x x2 ; x R}. 11. Si x = 3b a + 2, y = 3a b + 7 y los nmeros a y b estn acotados como sigue: u a 2, 50 < a < 2, 51 ; 4, 33 < b < 4, 34. Encuentre cotas superiores e inferiores para x x, y, x + y, x y, xy, . Compare x e y. y 12. Dados los nmeros reales a, b, demuestre que: u a) sup{a, b} = a + b + |a b| . 2 a + b |a b| . b) nf{a, b} = 213. Sean A y B subconjuntos de R y R, entonces consideremos los conjuntos: A + B = {a + b : a A, b B}. A = {a : a A}. AB = {ab : a A, b B}. a) Sea A R no vac y acotado. Muestre que si 0, entonces sup(A) = o sup A y nf(A) = A. Busque contraejemplos para mostrar que no se nf tienen tales igualdades cuando < 0. b) Sean A, B R no vac y acotados. Demuestre que: os sup(A + B) = sup A + sup B y nf(A + B) = A + B. nf nf Cundo sup(AB) = (sup A)(sup B) e a nf(AB) = ( A)( B) ? En tal caso nf nf demuestre que se satisfacen dichas igualdades. c) Sean A, B subconjuntos de R tal que A B y B acotado. Muestre que A es acotado y que B A sup A sup B. nf nf d) Sean A, B subconjuntos no vac y acotados de R . Muestre que os sup(A B) = mx{sup A, sup B} y a nf(A B) = m nf A, B}. n{ nf58 CAP ITULO 1. LOS NUMEROS REALES14. Sea f : A R R una funcin con recorrido acotado. Demuestre que si A0 A, o entonces: nf{f (x) : x A} nf{f (x) : x A0 } sup{f (x) : x A0 } sup{f (x) : x A}. 15. Sean f, g : A R R funciones con recorrido acotado. Demuestre que: nf{f (x) : x A} + nf{g(x) : x A} nf{f (x) + g(x) : x A} nf{f (x) : x A} + + sup{g(x) : x A} sup{f (x) + g(x) : x A} sup{f (x) : x A} + + sup{g(x) : x A}16. Demuestre teorema 1.1.42. 17. Demuestre teorema 1.1.43. 18. Demuestre teorema 1.1.44. 19. Demuestre teorema 1.1.46. 20. Demuestre teorema 1.1.47.Cap tulo 2L mites y continuidad2.1.2.1.1.L mites de funciones numricas de variable discreta. eLas variables discretas y el conjunto NSi una magnitud var mediantes saltos, como por ejemplo el nmero de personas que a u llegan a la caja de un banco en intervalos de tiempos jos, el nmero de nacimientos o u muertes medidos d a d se dice que es discreta. Otra forma de concebir algo discreto a a, es algo que al ser fraccionado pierde su esencia. Por ejemplo: la mitad de una mesa no es una mesa y la tercera parte de 34 nacimientos no son 11,333....nacimientos. En cambio, existen otras magnitudes que permiten, al menos abstractamente, innitas posibilidades de divisin. Las ms t o a pica de las magnitudes continuas son el tiempo y la temperatura. Las variables discretas, en general, aparecen al contar objetos, sucesos o fenmenos y, o por tanto, el modelo matemtico bsico de una variable discreta es el conjunto de los a a nmeros naturales N. u En una relacin funcional de variable independiente y dependiente, cuando la variable o independiente es discreta necesariamente la variable dependiente tambin lo es, este tipo e de asignacin se les llama sucesiones. Una sucesin es una abstraccin de un proceso o o o cuyas etapas se pueden contar y extender indenidamente. Denicin 2.1.1 Se llama sucesin de n meros reales a una funcin denida sobre o o u o N con valores en R, es decir, una regla que pone en correspondencia de manera unica los elementos de N con nmeros reales.En otras palabras, una sucesin es una funcin u o o f : N R tal que a cada n le asigna f (n) = an . Tambin suele denotarse como {an } y a e an se le llama el trmino general de la sucesin. e o 5960CAP ITULO 2. L IMITES Y CONTINUIDADAntes de entrar en el estudio de las sucesiones enunciaremos algunas de las propiedades ms relevantes del conjunto de los nmeros naturales. a u Teorema 2.1.2 Principio de Induccin Sea n N y P (n) una propiedad vericada o por n. Si se cumple lo siguiente: (i) P (1) es verdadera. (ii) El hecho que P (n) es verdadera implica que P (n + 1) es verdadera. Entonces, la propiedad P (n) se satisface para todo n N. Teorema 2.1.3 Principio del Buen Orden N es un conjunto bien ordenado, esto signica que todo subconjunto A no vac de N o tiene primer elemento. El Principio de Induccin es el mtodo ms seguro, a veces el unico, para demostrar o e a propiedades de los nmeros naturales. Existe un teorema paralelo a ste, que nos da la u e posibilidad de garantizar que ciertas funciones sobre los nmeros naturales estn bien u a denidas, tal es el Teorema de Recurrencia, que vamos a enunciar para cultura de los lectores, pero que no demostraremos aqu . Teorema 2.1.4 Teorema de Recurrencia Si x es un nmero real y G una funcin sobre R con valores reales, entonces existe una u o unica F tal que: (i) F es una funcin sobre N. o (ii) F (1) = x. (iii) Para cada n, F (n + 1) = G(F (n)). Ejemplo 2.1.5 Una forma de denir sucesiones es usando el Teorema de Recurrencia. a) Dados los nmeros reales x, d, una progresin aritmtica es la sucesin denida por u o e o recurrencia de la forma siguiente: a1 = x an+1 = an + dEn este caso, la funcin G es G(z) = z + d donde d es una constante real. o 2.1. L IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA.61b) Dados los nmeros reales x, r, se dene una progresin geomtrica de la siguiente u o e manera recursiva: a1 = x an+1 = an r ; En este caso, la funcin G es G(z) = rz donde r es una constante real. o c) La denicin por recurrencia puede involucrar expl o citamente a ms de un trmino a e ya conocido, por ejemplo: a1 = a2 = 1 an+1 = 2an + 3an1 .Esto se obtiene al considerar F (n + 1) = G(F (n 1), F (n)) y G : R R R, G(x, y) = 3x + 2y. El teorema de Recurrencia no slo se usa para denir sucesiones, las siguientes dos denio ciones son otros casos, muy conocidos, en que se usa este util teorema. Denicin 2.1.6 Dado x R, se dene x1 = x y xn+1 = xn x. o Tomando x jo y G(y) = yx, el teorema nos asegura la existencia de una unica funcin o F sobre N tal que F (1) = x y F (n + 1) = G(F (n)) = F (n)x. Por convencin F (n) la o escribimos como xn . Denicin 2.1.7 Se dene el s o mbolo n! mediante el siguiente esquema recursivo: 1! = 1 (n + 1)! = n!(n + 1) Denicin 2.1.8 Diremos que una sucesin es: o o (i) estrictamente creciente si an < an+1 , para todo n. (ii) creciente si an an+1 , para todo n. (iii) estrictamente decreciente si an > an+1 , para todo n. (iv) decreciente si an an+1 , para todo n.62CAP ITULO 2. L IMITES Y CONTINUIDAD(v) montona si satisface cualquiera de las condiciones anteriores. o Ejemplo 2.1.9 1. La sucesin idntica, an = n , para todo n N, es estrictamente o e creciente. En efecto, del orden de R, sabemos que 0 < 1, lo que implica n < n + 1. 2. La sucesin an = o 1 1 1 , es decreciente, ya que n < n + 1, implica > . n n n+13. La sucesin constante an = c , para todo n N, c R es la unica que es creciente o y decreciente a la vez. 4. La sucesin cuyo trmino general est denido por an = n2 , es creciente. En efecto, o e a usando las propiedades de las potencias tenemos que: n < n + 1 = n2 < (n + 1)2 . 5. Como la multiplicacin de desigualdad por un nmero negativo invierte el orden, o u toda sucesin creciente da origen a una decreciente y viceversa. o 6. La sucesin an = (1)n , para todo n; no es creciente ni decreciente. o Una vez conocido el crecimiento de una variable discreta, surge la pregunta si el crecimiento es indenido o no. Para diferenciar el tipo de crecimiento se introduce el concepto de acotamiento para una sucesin. o Denicin 2.1.10 Diremos que una sucesin es acotada si existe un nmero positivo M o o u tal que |an | < M , para todo n N. En palabras, una sucesin es acotada si el recorrido o de la ella es acotado. Ejemplo 2.1.11 1. La sucesin idntica, an = n, para todo n N, no es acotada o e superiormente como consecuencia del Principio de Arqu medes. 2. La sucesin an = o 1 , es acotada inferiormente por 0 y superiormente por 1. n3. La sucesin constante an = c , para todo n N, dado que, en este caso, el recorrido o se reduce al conjunto {c}, esta sucesin es acotada. o 4. La sucesin an = (1)n , para todo n; tiene por recorrido {1, 1}. Por ser conjunto o nito es acotado. 5. La sucesin an = n2 , no es acotada superiormente ya que n 1 implica n < n2 . Si la o sucesin fuera acotada superiormente implicar que la sucesin idntica es acotada o a o e superiormente, lo que ya vimos no es posible. 2.1. L IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA.632.1.2.Sucesiones montonas no acotadas oPara dar una idea de una magnitud que crece o decrece indenidamente necesitamos ampliar el conjunto R introduciendo los s mbolos y + y sus relaciones aritmticas y e de orden. Se dene el conjunto R como R{, +} con las siguientes reglas aritmticas e y de orden: 1. Para todo x R, < x < +. Se preservan las propiedades fundamentales de las desigualdades. 2. (+) + a = +, para todo a R. 3. () + a = , para todo a R. 4. (+) a = +, si a > 0. 5. (+) a = , si a < 0. 6. () a = , si a > 0. 7. () a = +, si a < 0. 8. () () = + 9. () (+) = (+) () = 10. (+) (+) = + Es importante enfatizar que las operaciones con estos s mbolos que no estn expl a citamente denidas no tienen sentido, es decir, cuando ellas aparecen no se puede concluir nada. Por esta razn suele llamrseles formas

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CALCULO I Usach