Cal_I_A07

Andr Gustavo Campos Pereira

Joaquim Elias de Freitas

Roosewelt Fonseca Soares

Clculo ID I S C I P L I N A

Mais aplicaes Grficos de funes

Autores

aula

07

Aula 07 ClculoICopyright 2007 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorizao expressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Diviso de Servios TcnicosCatalogao da publicao na Fonte. UFRN/Biblioteca Central Zila Mamede

Governo Federal

Presidente da RepblicaLuiz Incio Lula da Silva

Ministro da EducaoFernando Haddad

Secretrio de Educao a Distncia SEEDCarlos Eduardo Bielschowsky

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

ReitorJos Ivonildo do Rgo

Vice-Reitorangela Maria Paiva Cruz

Secretria de Educao a DistnciaVera Lcia do Amaral

Secretaria de Educao a Distncia- SEDIS

Coordenadora da Produo dos MateriaisMarta Maria Castanho Almeida Pernambuco

Coordenador de EdioAry Sergio Braga Olinisky

Projeto GrficoIvana Lima

Revisores de Estrutura e LinguagemEugenio Tavares BorgesJnio Gustavo BarbosaThalyta Mabel Nobre Barbosa

Revisora das Normas da ABNT

Vernica Pinheiro da Silva

Revisoras de Lngua Portuguesa

Janaina Tomaz CapistranoSandra Cristinne Xavier da Cmara

Revisores Tcnicos

Leonardo Chagas da SilvaThasa Maria Simplcio Lemos

Revisora TipogrficaNouraide Queiroz

IlustradoraCarolina Costa

Editorao de ImagensAdauto HarleyCarolina Costa

Diagramadores

Bruno de Souza MeloDimetrius de Carvalho Ferreira

Ivana LimaJohann Jean Evangelista de Melo

Adaptao para Mdulo MatemticoAndr Quintiliano Bezerra da SilvaKalinne Rayana Cavalcanti Pereira

Thasa Maria Simplcio Lemos

ColaboradoraViviane Simioli Medeiros Campos

Imagens UtilizadasBanco de Imagens Sedis - UFRN

Fotografias - Adauto HarleyStock.XCHG - www.sxc.hu

Pereira, Andr Gustavo Campos Clculo I / Andr Gustavo Campos Pereira, Joaquim Elias de Freitas, Roosewelt Fonseca Soares. Natal, RN: EDUFRN Editora da UFRN, 2008.

220 p.

1. Clculo. 2. Funes reais. 3. Reta real. 4. Funes compostas. I. Freitas, Joaquim Elias de. II Soares, Roosewelt Fonseca. III. Ttulo.

ISBN: 978-85-7273-398-4

CDD 515RN/UF/BCZM 2008/12 CDU 517.2/.3

Aula 07 ClculoI Copyright 2007 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorizao expressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Diviso de Servios TcnicosCatalogao da publicao na Fonte. UFRN/Biblioteca Central Zila Mamede

Governo Federal

Presidente da RepblicaLuiz Incio Lula da Silva

Ministro da EducaoFernando Haddad

Secretrio de Educao a Distncia SEEDCarlos Eduardo Bielschowsky

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

ReitorJos Ivonildo do Rgo

Vice-Reitorangela Maria Paiva Cruz

Secretria de Educao a DistnciaVera Lcia do Amaral

Secretaria de Educao a Distncia- SEDIS

Coordenadora da Produo dos MateriaisMarta Maria Castanho Almeida Pernambuco

Coordenador de EdioAry Sergio Braga Olinisky

Projeto GrficoIvana Lima

Revisores de Estrutura e LinguagemEugenio Tavares BorgesJnio Gustavo BarbosaThalyta Mabel Nobre Barbosa

Revisora das Normas da ABNT

Vernica Pinheiro da Silva

Revisoras de Lngua Portuguesa

Janaina Tomaz CapistranoSandra Cristinne Xavier da Cmara

Revisores Tcnicos

Leonardo Chagas da SilvaThasa Maria Simplcio Lemos

Revisora TipogrficaNouraide Queiroz

IlustradoraCarolina Costa

Editorao de ImagensAdauto HarleyCarolina Costa

Diagramadores

Bruno de Souza MeloDimetrius de Carvalho Ferreira

Ivana LimaJohann Jean Evangelista de Melo

Adaptao para Mdulo MatemticoAndr Quintiliano Bezerra da SilvaKalinne Rayana Cavalcanti Pereira

Thasa Maria Simplcio Lemos

ColaboradoraViviane Simioli Medeiros Campos

Imagens UtilizadasBanco de Imagens Sedis - UFRN

Fotografias - Adauto HarleyStock.XCHG - www.sxc.hu

Pereira, Andr Gustavo Campos Clculo I / Andr Gustavo Campos Pereira, Joaquim Elias de Freitas, Roosewelt Fonseca Soares. Natal, RN: EDUFRN Editora da UFRN, 2008.

220 p.

1. Clculo. 2. Funes reais. 3. Reta real. 4. Funes compostas. I. Freitas, Joaquim Elias de. II Soares, Roosewelt Fonseca. III. Ttulo.

ISBN: 978-85-7273-398-4

CDD 515RN/UF/BCZM 2008/12 CDU 517.2/.3

Apresentao

Temos tantas aplicaes para derivadas que apenas uma aula para tratar desse tpico seria at um pecado. Nesta aula, usaremos as derivadas para ajudar-nos a esboar grficos de funes, pois, muitas vezes, precisaremos apenas de um esboo do grfico de uma funo para obter informaes iniciais sobre: em que intervalos a funo decresce ou cresce, de que forma tal crescimento/decrescimento acontece (concavidade); em que pontos ocorrem seus mximos ou mnimos etc.

ObjetivoEsperamos que ao final desta aula voc possa esboar grficos de funes simples.

Aula 07 ClculoI Aula 07 ClculoI

Crescimento e concavidade de funes

Voc estudou na disciplina Pr-Clculo vrios tipos de funes e at esboou os grficos de muitas delas, lembra?

Por exemplo, na aula 9 (Funes II) voc estudou zeros, sinal, crescimento e decrescimento e, logo em seguida, construiu alguns grficos e utilizou tcnicas para construo de um grfico a partir de outro (cisalhamento horizontal e translao); e, a partir da aula 11 (Funes afins), todas as aulas apresentavam grficos.

Nesta aula, ento, refaremos alguns daqueles exemplos para recordar, pois recordar viver!

Dada uma funo f : I R , sabemos (de acordo com a aula 8 da disciplina Pr-Clculo Funes I) que seu grfico o subconjunto Graf(f) =

(x, y) R2 : x I e y = f(x)

.

Ou seja, se o domnio I tiver uma infinidade de pontos, teremos tambm uma infinidade de pontos que compor o grfico da funo. Se quisermos realmente traar esse grfico, deveremos plotar no plano todos os seus pontos, que uma tarefa impossvel. Entretanto, se quisermos apenas estudar as propriedades das funes como comportamento (crescimento/decrescimento, pontos extremos etc.) a preciso absoluta do local dos pontos do grfico no ser mensurada, mas os intervalos de crescimento, bem como o modo pelo qual a funo cresce (concavidade) e onde se localizam exatamente os pontos extremos so informaes que sero checadas com rigor, a partir das perguntas seguintes:

1. quais so os intervalos onde a funo cresce e os intervalos onde ela decresce?

2. e se ela cresce, como esse crescimento? Segundo uma reta ou segundo uma curva que no uma reta?

3. onde se localizam exatamente os pontos crticos?


Neste momento pedimos que voc relembre os conceitos de funo crescente e decrescente estudadas na aula 9 da disciplina Pr-Clculo.

Para respondermos primeira pergunta, utilizaremos o teorema seguinte.

Teorema 1Teste da primeira derivada Seja f uma funo contnua no intervalo fechado [a, b] e derivvel no intervalo aberto (a, b):

a) se f (x) > 0 para todo x em (a, b), ento f crescente em [a, b] ;

b) se f (x) < 0 para todo x em (a, b), ento f decrescente em [a, b] ;

c) se f (x) = 0 para todo x em (a, b), ento f constante em [a, b] .

Demonstrao - Dados x1 < x2 , com x1 e x2 em [a, b] , ento, pelo teorema do valor mdio, existe c entre x1 e x2 ,conseqentemente, c em (a, b), de modo que f(x2) = f(x1) + f (c)(x2 x1) ou f(x2) f(x1) = f (c)(x2 x1) ,

ento:

a) se f (c) > 0 para todo c em (a, b), ento f(x2) f(x1) = f (c)(x2 x1) > 0 e f(x1) < f(x2) , portanto, f crescente em [a, b] ;

b) se f (c) < 0 para todo c em (a, b), ento f(x2) f(x1) = f (c)(x2 x1) < 0 e f(x1) > f(x2) , portanto, f decrescente em [a, b] ;

c) se f (c) = 0 para todo c em (a, b), ento f(x2) f(x1) = f (c)(x2 x1) = 0 e f(x1) = f(x2) , portanto, f constante em [a, b] .

Exemplo 1Verifique os intervalos de crescimento das seguintes funes (exemplos presentes na

aula 9 de Pr-Clculo):

a) f(x) = 3x 1 .

b) f(x) = x2 .

c) f(x) = x3 .


Atividade 1

Soluo

a) Calculando a derivada da funo f, teremos f (x) = 3 . Para quais valores de x temos f (x) > 0 ?

Ora, f (x) = 3 para qualquer valor da varivel x, logo f (x) = 3 > 0 para todo valor de x. Pelo Teorema 1, se f (x) > 0 para todo x em (a, b) , ento f crescente em [a, b] , portanto, temos que f(x) = 3x 1 crescente em todos os pontos de seu domnio.

b) Calculando a derivada da funo f, teremos f (x) = 2x . Para quais valores de x temos f (x) = 2x > 0 ?

Resolvendo essa inequao, conforme aprendemos na aula 7 de Pr-Clculo (Inequaes algbricas e intervalos), temos 2x > 0 x > 0 .

Logo, para os valores positivos de x, temos que a funo f(x) = x2 crescente.

c) Calculando a derivada da funo f, teremos f (x) = 3x2 . Para quais valores de x temos f (x) = 3x2 > 0?

Resolvendo essa inequao, temos

3x2 > 0 x2 > 0 x = 0 .

Logo, a funo f(x) = x3 crescente nos intervalos (, 0) e (0,).

Verifique os intervalos de decrescimento das mesmas funes apresentadas no exemplo 1.

Volte aula 9 de Pr-Clculo e visualize os grficos das funes dos itens b) e c) nas pginas 7 e 8, respectivamente, para constatar graficamente o que voc j havia detectado analiticamente.

Para convencer-se de que a questo 2 proposta importante, considere a seguinte situao: sabemos que uma funo est crescendo e que no ponto x = 0 ela vale 0 e no ponto x = 1 ela vale 1. Com essas informaes, voc perceberia que qualquer um dos grficos a seguir poderia representar essa funo.


Figura - Trs possibilidades de uma funo, saindo de (0, 0), atingir (1, 1) . Para entender o que essas funes tm de diferente, precisamos saber o que significa concavidade.

J vimos na aula 4 (A derivada) que se f derivvel no intervalo I a reta tangente ao grfico no ponto (p, f(p)) dada por

y = f(p) + f (p)(x p).Denotemos essa reta por T (x) = f(p) + f (p)(x p).

Definio 1Dizemos que f tem concavidade para cima no intervalo aberto I se f(x) > T (x)quaisquer que sejam x e p em I, com x = p .

Tal situao pode ser interpretada geometricamente como: a reta tangente ao grfico em qualquer ponto sempre se encontra abaixo do grfico da funo em todos os pontos diferentes do ponto de tangncia.

Na figura 2, traamos o grfico da funo f : [1, 1] R definida por f(x) = x2 e trs retas tangentes a esse grfico para ilustrar o que foi dito.

Figura - Funo f : [1, 1] R definida por f(x) = x2 e trs retas tangentes a esse grfico.


Atividade 2

Utilizando o grfico da funo f : [1, 1] R definida por f(x) = x2 , com uma rgua, trace retas tangentes em diversos pontos e observe que a reta traada se encontra sempre abaixo do grfico da funo.

Da mesma forma, chegamos seguinte definio.

Definio 2

Dizemos que f tem concavidade para baixo no intervalo aberto I se f(x) < T (x) , quaisquer que sejam x e p em I, com x = p .

Essa situao pode ser interpretada geometricamente como: a reta tangente ao grfico em qualquer ponto sempre se encontra acima do grfico da funo em todos os pontos diferentes do ponto de tangncia.

Na figura 3, traamos o grfico da funo f : [1, 1] R definida por f(x) = x2 e trs retas tangentes a esse grfico para ilustrar o que foi dito.

Figura 3 - Funo f : [1, 1] R definida por f(x) = x2 e trs retas tangentes a esse grfico.

Aula 07 ClculoI Aula 07 ClculoI 7

Atividade 3

Utilizando o grfico da funo f : [1, 1] R definida por f(x) = x2 , com uma rgua, trace retas tangentes em diversos pontos e observe que a reta traada se encontra sempre abaixo do grfico da funo.

Voc deve estar se perguntando: eu terei que traar as retas tangentes em todos os pontos do grfico para saber a concavidade, mas como o grfico possui infinitos pontos terei que traar infinitas tangentes, ou seja, no acabarei nunca de fazer isso?.

Voc est certo, o procedimento seria esse, se no tivssemos as derivadas para nos ajudar!

Uma conseqncia imediata do Teorema 2, apresentado mais adiante, que o grfico de uma funo f derivvel em um intervalo aberto I :

a) cncavo para cima, se f crescente em I;

b) cncavo para baixo, se f decrescente em I.

Por cncavo para cima, entenderemos: tem concavidade para cima; e por cncavo para baixo: tem concavidade para baixo.

Na Figura 4, mostraremos os grficos da funo e de sua derivada, e perceberemos que quando a derivada decrescente a funo ter concavidade para baixo neste mesmo intervalo e quando a derivada crescente a concavidade para cima neste mesmo intervalo. Vejamos.

Figura 4 - Grficos das funes f(x) = x4 + 2x3 x2 2x 1, 5 e f (x) = 4x3 + 6x2 2x 2 . Destacam-se as curvaturas para cima e para baixo da funo f, correspondendo, respectivamente, aos valores de x, sendo sua derivada f crescente e f decrescente.


Veja que quando particionamos o domnio em sub-intervalos de crescimento e decrescimento da derivada, nestes mesmos intervalos vemos que o grfico da funo apresentar concavidades definidas.

Como j havamos mencionado anteriormente, o teorema a seguir ser nosso ponto de apoio no estudo de concavidades.

Teorema 2

Teste da Concavidade Seja f uma funo definida no intervalo aberto I que possui derivadas de ordens 1 e 2 no intervalo I:

a) se f (x) > 0 para todo x em I, ento o grfico de f cncavo para cima;

b) se f (x) < 0 para todo x em I, ento o grfico de f cncavo para baixo.

Demonstrao - A demonstrao deste teorema uma conseqncia do teorema anterior, pois se f (x) > 0 para todo x em I, ento f crescente em I, portanto, a inclinao da tangente ao grfico de f cresce com x, logo, o grfico de f cncavo para cima. Se

f (x) < 0 para todo x em I, ento f decrescente em I, portanto, o grfico de f cncavo para baixo.

A seguir, na Figura 5, destacamos nos grficos que quando a derivada segunda positiva a funo tem curvatura para cima e quando negativa a curvatura para baixo.

Figura - Grficos das funes f(x) = x4 + 2x3 x2 2x 1, 5 e f (x) = 12x2 + 12x 2 . Destacam- se as curvaturas para cima e para baixo da funo f, correspondendo, respectivamente, aos valores de x, sendo f (x) > 0 e f (x) < 0 .


Veja que quando particionamos o domnio em sub-intervalos em que a derivada segunda positiva ou negativa, nestes mesmos intervalos vemos que o grfico da funo apresentar concavidades definidas.

Note que at o momento, em todas as situaes estudadas, estvamos preocupados com os pontos onde a concavidade era para cima ou para baixo. E o que acontece com o ponto no qual a concavidade muda, quer dizer, se antes de um dado ponto a concavidade era de um tipo e depois desse ponto ela mudou para o outro tipo, teremos algum interesse nesse ponto? Claro que sim, podemos dizer que este o ponto de guinada, ou seja, o ponto em que houve uma ruptura no processo. Veja a situao a seguir.

Imagine que seu negcio estava com o grfico do lucro com concavidade para baixo e a partir de um certo ponto a concavidade muda para cima, ser que saber onde essa mudana ocorreu importante? Pois , esse ponto to importante que at temos um nome s para ele, conforme apresentamos na definio a seguir.

Definio 3

Uma funo f definida em um intervalo I tem um ponto de inflexo em x0 se o grfico da f muda de concavidade em x0 .

Se em um ponto x0 do domnio de f, f contnua, positiva de um lado de x0 e negativa do outro temos um ponto de inflexo em x0 , pois existe uma mudana de concavidade, conseqentemente, f (x0) = 0 . Observe que onde

f positiva f crescente e onde f negativa f decrescente, portanto,

nos pontos de inflexo f tem um extremo local.

Considere uma funo f definida em um intervalo I que possui derivada de segunda ordem em I, os pontos de inflexo de f so solues da equao f (x0) = 0 , podendo haver casos em que f

(x0) = 0 e x0 um ponto de mximo ou mnimo local.

E para responder ltima pergunta proposta no incio da aula, como estaremos trabalhando com funes derivveis, os pontos crticos sero aqueles da soluo da equao f (x) = 0 , como vimos na aula 6 (Aplicaes da derivada).

Agora, com as respostas prontas

podemos construir os grficos.

Aula 07 ClculoI0 Aula 07 ClculoI

Esboo do grfico de funes usando propriedades das derivadas

A visualizao dos conceitos apresentados muito importante para a sua compreenso e memorizao.

Grfico de f(x) = 0, 25x5 x4 + x3 + 0, 25

Grfico de f(x) = 1, 25x4 4x3 + 3x2

Observe que quando:

a) f (x) > 0 , f crescente;

b) f (x) < 0 , f decrescente;

c) f muda de sinal em x0 , f(x0) um extremo local.

Grfico de f(x) = 5x3 12x2 + 6x

Observe que quando:

a) f (x) > 0 , o grfico de f cncava para cima e f crescente;

b) f (x) < 0 , f cncava para cima e f decrescente;

c) f muda de sinal em x0 , f (x0) um extremo local. Portanto, x0 um ponto de inflexo de f.

Figura - Grfico de uma funo e de suas duas primeiras derivadas


Aps os trs exemplos que apresentaremos a seguir, proporemos algumas atividades mais simples.

Exemplo 2Esboar o grfico da funo f(x) =

x4

4 0, 4x3 2, 7x2 + 10 , inicialmente

determinando os pontos crticos, estudando o crescimento e decrescimento da funo.

Soluo

Calculemos a primeira derivada

f (x) =4x41

4 0, 4 3x31 2, 7 2x21 + 0 = x3 1, 2x2 5, 4x

f (x) = x3 1, 2x2 5, 4x

Encontremos os pontos crticos, inicialmente determinando as razes da equao

f (x) = 0

f (x) = x3 1, 2x2 5, 4x = 0

x(x2 1, 2x 5, 4) = 0

Tem-se uma raiz x2 = 0 e, resolvendo a equao do segundo grau, encontramos mais duas razes x1 = 1, 8 e x3 = 3 , totalizando trs pontos crticos, os ndices de x foram escolhidos de modo que x1 < x2 < x3 . No grfico de f, temos os pontos crticos:

P1(x1, f(x1)), P2(x2, f(x2)) e P3(x3, f(x3)) .

Substituindo x1 , x2 e x3 nos pontos anteriores e seus respectivos f(x) listados a seguir

f(1, 8) = 6.2, f(0) = 10 e f(3) = 4, 8.

Substituindo esses valores, obtemos os pontos crticos:

P1(1, 8 ; 6, 2), P2(0 ; 10) e P3(3 ;4, 8).

Temos agora trs pontos importantes para esboar o grfico. As trs razes x1 , x2 e x3 determinam quatro intervalos abertos, onde a derivada f (x) tem o mesmo sinal; para conhecermos esse sinal, basta saber o sinal de f (c) , sendo c um nmero qualquer no intervalo em questo. A seguir, construiremos um quadro.


Intervalo um c do intervalo f (c) sinal de f Concluso

(;1, 8) -2 -2 - f decrescente em (;1, 8]

(1, 8; 0) -1 3,2 + f crescente em [1, 8; 0]

(0, 3) 1 -5,6 - f decrescente em [0, 3]

(3,) 4 23,2 + f crescente em [3,)

Quadro - Encontrando as respostas s perguntas 1, 2 e 3 para a funo f(x) =x4

4 0, 4x3 2, 7x2 + 10

Neste ponto de nosso estudo, conhecemos os pontos crticos, suas tangentes horizontais e comportamento da funo, crescente ou decrescente nos intervalos delimitados por tais pontos.

A partir do quadro anterior e confirmao do grfico ao lado, analisando os crescimentos e decrescimentos da funo, podemos ver que P1(1, 8 ; 6, 2) um mnimo local, P2(0, 10) um mximo local e P3(3 ;4, 8) um mnimo local e absoluto.

Figura 7 - Grfico da funo f(x) =x4

4 0, 4x3 2, 7x2 + 10

Exemplo 3Esboar o grfico da funo f(x) =

x5

5 0, 3x4 1, 8x3 + 10 , inicialmente

determinando os pontos crticos, estudando o crescimento, decrescimento e

concavidade da funo.


Soluo

Calculemos a primeira derivada

f (x) =5x51

5 0, 3 4x41 1, 8 3x31 + 0 = x4 1, 2x3 5, 4x2

f (x) = x4 1, 2x3 5, 4x2

Encontremos os pontos crticos, inicialmente determinando as razes da equao f (x) = 0 .

f (x) = x4 1, 2x3 5, 4x2 = 0

x2(x2 1, 2x 5, 4x) = 0

Tem-se uma raiz dupla x2 = 0 , a raiz dupla ser muito importante no estudo das concavidades e, resolvendo a equao do segundo grau, encontramos mais duas razes x1 = 1, 8 e x3 = 3 , totalizando trs pontos crticos. No grfico de f, temos os pontos crticos:

P1(x1, f(x1)), P2(x2, f(x2)) e P3(x3, f(x3)).

Substituindo x1 , x2 e x3 nos pontos anteriores e seus respectivos f(x) listados a seguir

f(1, 8) = 13, 6 , f(0) = 10 e f(3) = 14, 3 ,

obteremos os pontos crticos:

P1(1, 8; 13, 6) , P2(0, 10) e P3(3;14, 3) .

Da mesma forma que no exemplo anterior, temos trs pontos importantes para esboar o grfico. As trs razes x1 , x2 e x3 determinam quatro intervalos abertos, onde a derivada f (x) tem o mesmo sinal; para conhecermos esse sinal, basta saber o sinal de f (c) , sendo c um nmero qualquer no intervalo. A seguir, construiremos um quadro.


Intervalo um c do intervalo f (c) Sinal de f Concluso

(;1, 8) -2 4 + f crescente em (;1, 8]

(1, 8; 0) -1 -3,2 - f decrescente em [1, 8; 0]

(0, 3) 1 -5,6 - f decrescente em [0, 3]

(3,) 4 92,8 + f crescente em [3,)

Quadro - Encontrando as respostas s perguntas 1, 2 e 3 para a funo f(x) =x5

5 0, 3x4 1, 8x3 + 10

Procuremos agora os possveis pontos de inflexo de f que so solues da equao f (x) = 0, lembrando que pode haver casos em que f (x0) = 0 e x0 um ponto de mximo ou mnimo local.

Neste caso, j vimos que

f (x) = x4 1, 2x3 5, 4x2

e

f (x) = 4x3 3 1, 2x2 2 5, 4x

f (x) = 4x3 3, 6x2 10, 8x

Vamos agora resolver a equao f (x) = 0 , isto ,

4x3 3, 6x2 10, 8x = 0,

4x(x2 0, 9x 2, 7) = 0.

Encontramos trs razes nessa equao, inicialmente x4 = 0 e, resolvendo a equao do 2 grau x2 0, 9x 2, 7 = 0, encontramos mais duas razes x5 = 1, 25 e x6 = 2, 15.No grfico de f (Figura 5), vemos os possveis pontos de inflexo:

P4(x4, f(x4)), P5(x5, f(x5)) e P6(x6, f(x6))

Substituindo x4, x

5 e x

6 nos pontos anteriores e seus respectivos f(x) listados

a seguir

f(1, 25) = 12, 4, f(0) = 10 e f(2, 15) = 5.

Temos, ento, P4(1, 25 ; 12, 4), P5(0, 10) e P6(2, 15 ;5).


Atividade 4

A partir do Quadro 2 e confirmao do grfico ao lado, analisando os crescimentos e decrescimentos da funo, podemos ver que P1(1, 8; 13, 6) um mximo local e

P3(3;14, 3) um mnimo local.

Analisando a variao das curvaturas nos possveis pontos de inflexo P4(1, 25 ; 12, 4), P5(0, 10) e P6(2, 15 ;5).

P4(1, 25 ; 12, 4), P5(0, 10) e P6(2, 15 ;5)., vemos que os trs so pontos de inflexo.

Um mesmo ponto no pode ser ponto de inflexo e extremo local simultaneamente, como P5(0, 10) um ponto de inflexo e P2(0, 10) = P5(0, 10),como vemos no grfico, P2(0, 10) foi um candidato a extremo local que no teve sucesso.

Figura - Grfico da funo f(x) =x5

5 0, 3x4 1, 8x3 + 10

a) Esboce o grfico da funo f(x) = x3 12x 4, inicialmente determinando os pontos crticos, estudando o crescimento e decrescimento da funo.

b) Esboce o grfico da funo f(x) = x(x 1)2 , inicialmente determinando os pontos crticos, estudando o crescimento e decrescimento da funo.


Propriedades das derivadas de ordem superior

A seguir, apresentaremos alguns teoremas que nos serviro de suporte quando o que estudamos anteriormente no puder ser usado.

Teorema 3

Teste da segunda derivada Sejam f uma funo com derivadas contnuas at a ordem dois em um intervalo aberto (a, b) e x0 um ponto em (a, b). Se f (x0) = 0 e f (x0) = 0 , ento f(x0) um extremo local em x0 e, alm disso:

a) se f (x0) = 0 e f (x) > 0, ento, f(x0) um mnimo local em x0 ;

b) se f (x0) = 0 e f (x) < 0, ento, f(x0) um mximo local em x0 .

Demonstrao - Usemos a propriedade 2 do Teorema de Taylor com n = 1 e x no lugar de b:

f(x) = P1(x0) +f (c)(x x0)

2

2!, c entre x0 e x, x0 e x em (a, b).

Como f(x) = f(x0) + f (x0)(x x0), tem-se

f(x) = f(x0) + f (x0)(x x0) +f (c)(x x0)

2

2,

com f (x0) = 0 .

Assim,

f(x) = f(x0) +f (c)(x x0)

2

2,

f(x) f(x0) +f (c)(x x0)

2

2. (1)

Observemos que devido continuidade de f em x0 e f(x0) = 0 podemos admitir

a e b prximos de x0 , de modo que f (x) tem o mesmo sinal em (a, b).

Aula 07 ClculoI Aula 07 ClculoI 7

Seguimos com os dois casos separadamente:

a) se f (x0) = 0 e f (x) > 0 , pela observao anterior, f (c) > 0 e, portanto, para x em (a, b) , tem-se

f(x) f(x0) =f (c)(x x0)

2

2> 0, com x = x0 .

Portanto,f(x) > f(x0) .

Resumindo, para x = x0 e x em (a, b), tem-se f(x) > f(x0) , isto , f(x0) um mnimo local em x0 .

b) se f (x0) = 0 e f (x0) < 0 , pela observao anterior, f (c) < 0 e, portanto, para x em (a, b) , tem-se

f(x) f(x0) +f (c)(x x0)

2

2< 0, com x = x0 .

Portanto,

f(x) < f(x0) .

Resumindo, para x = x0 e x em (a, b) , tem-se f(x) < f(x0) , isto , f(x0) um mximo local em x0.

Exemplo 4Usando o teste da segunda derivada, determine os extremos locais da funo

f(x) = x3 12x 4.

SoluoInicialmente, calculemos a primeira derivada

f(x) = x3 12x 4,

f (x) = 3x2 12.

Em seguida, vamos encontrar os pontos crticos resolvendo a equao f (x) = 0 :f (x) = 0,

3x2 12 = 0,

x2 =123

,

x = 2.Temos ento dois pontos crticos; calculemos seus respectivos valores na segunda derivada:

f (x) = 6.x,

f (2) = 6.2 = 12,

f (2) = 6.(2) = 12.

Pelo sinal de f , conclumos que em x = 2 f tem um mximo local e em x = 2 f tem um mnimo local.


Atividade 5

Usando o teste da segunda derivada, determine os extremos locais da funo f(x) = x(x 1)2 .

O teste da segunda derivada ser generalizado a seguir para o caso em que a derivada de ordem 2k diferente de zero e todas as derivadas de ordem menor que 2k so nulas.

Teorema 4

Teste da derivada de ordem par Sejam f uma funo com derivadas contnuas at a ordem 2k em um intervalo aberto (a, b) e x0 um ponto em (a, b) . Se f (x0) = f (x0) = = f (2k1)(x0) = 0 e f2k(x0) = 0 , ento f(x0) um extremo local em x0 e, alm disso:

a) se f (2k)(x0) > 0 , ento, f(x0) um mnimo local em x0 ;

b) se f (2k)(x0) < 0 , ento, f(x0) um mximo local em x0 .

Demonstrao - Usemos a propriedade 2 do Teorema de Taylor com x no lugar de b, do seguinte modo:

f(x) = P2k1(x0) +f (2k)(c)(x x0)

(2k)

(2k)! , c entre x0 e x, x0 e x em (a, b) .

Como P2k1(x0) = f(x0) + f (x0)(x x0) +f (2k1)(x0)(x x0)

(2k 1)!, tem-se

f(x) = f(x0) + f (x0)(x x0) +f (2k1)(x0)(x x0)

(2k 1)!+

f (2k)(c)(x x0)(2k)

(2k)!

,

mas f (x0) = f (x0) = = f (2k1)(x0) = 0 .

Assim,

f(x) = f(x0) +f (2k)(c)(x x0)

(2)

(2k)!,

f(x) f(x0) =f (2k)(c)(x x0)

(2)

(2k)!. (2)


Observemos que devido continuidade de f2k(x0) em x0 com f2k(x0) = 0 podemos admitir a e b prximos de x0 , de modo que f (2k)(x) tem o mesmo sinal em (a, b). Seguimos com os dois casos separadamente:

a) se f (2k)(x0) > 0 , pela observao anterior, f (2k)(c) > 0 e, portanto, para x em (a, b). , tem-se

f(x) f(x0) =f (2k)(c)(x x0)

2k

(2k)!> 0 , com x = x0 .

Portanto,

f(x) > f(x0) .

Resumindo, para x = x0 e x em (a, b)., tem-se f(x) > f(x0), isto , f(x0) um mnimo local em x0 .

b) se f (2k)(x0) < 0 e, pela observao anterior, f (2k)(c) < 0 e, portanto, para x em (a, b). tem-se

f(x) f(x0) =f (2k)(c)(x x0)

2k

2< 0 , com x = x0 .

Portanto,

f(x) < f(x0) .

Resumindo, para x = x0 e x em (a, b)., tem-se f(x) < f(x0), isto , f(x0) um mximo local em x0 .

Teorema 5

Teste da derivada de ordem mpar Sejam f uma funo com derivadas contnuas at a ordem 2k + 1 em um intervalo aberto (a, b). e x0 um ponto em (a, b).. Se f (x0) = f (x0) = = f (2k)(x0) = 0 e f (2k+1)(x0) = 0 , ento, f tem um ponto de inflexo em x0 .

Demonstrao - Como a derivada de ordem (2k + 1) de f a derivada de ordem (2k) de

f , pelo teorema, temos um mximo ou mnimo local para f em x0, portanto, f muda de crescente para decrescente em x0, ou vice-versa, temos ento um ponto de inflexo em x0.

Aula 07 ClculoI0 Aula 07 ClculoI

Atividade 6

Exemplo 5Dada a funo f(x) = 0, 25x5 x4 + x3 + 0, 25 , cujo grfico apresentamos na

Figura 1, mostremos que x = 0 um ponto crtico e usemos os testes de derivadas de ordens superior para concluir se esse ponto crtico um extremo local ou ponto de inflexo.

Soluo

Temos que

f(x) = 0, 25x5 x4 + x3 + 0, 25,

f (x) = 1, 25x4 4x3 + 3x2, f (0) = 0,

f (x) = 5x3 12x2 + 6x, f (0) = 0,

f (x) = 15x2 24x+ 6, f (0) = 6.

Aplicando o teste da derivada de ordem mpar, como a primeira diferente de zero mpar, com k = 1 , pois f uma funo com derivadas contnuas at a ordem 3 (3 = 2.1 + 1) em um intervalo aberto (1, 1) e 0 um ponto em (1, 1) com f (0) = f (0) = 0 e f (0) = 6 = 0 , temos, portanto, um ponto de inflexo em 0.

Aplique o teste da segunda derivada para concluir se 0 um extremo local da funo f(x) =

x4

4 0, 4x3 2, 7x2 + 10 . Verifique o

resultado no grfico da Figura 7.

Esboce o grfico das funes a seguir, utilizando a derivada primeira e os pontos crticos.

a) f(x) = x2 6x .

b) f(x) = x2 6x+ 9 .

c) f(x) = x2 6x3 .


Resumo

Esboce o grfico das funes seguintes, utilizando derivada, os pontos crticos e os possveis pontos de inflexo (sendo f (x) = 0)). Determine os pontos de mximo, mnimo e inflexo.

a) f(x) = (x 1)3 + 1.

b) f(x) = x4 2x2 + 1.

Dada a funo f(x) = x4 2x5 + x3 , verifique se x = 0 um ponto de mximo mnimo ou ponto de inflexo.

Nesta aula, estudamos como utilizar os conceitos de derivadas (tambm de ordem superior) para esboar o grfico de funes. Para fazer isso, precisamos identificar os mximos e mnimos, as regies onde as funes crescem ou decrescem e a relao entre crescimento e concavidade.

Auto-avaliaoImagine-se um grande empresrio e algum chegando com o grfico do lucro de sua empresa at o momento atual. Supondo que esse grfico seja uma funo derivvel, que pontos voc procuraria destacar no tempo para tentar repeti-lo? (crescimento, decrescimento, mximo, mnimo, ...)?

Logo depois algum trouxe o grfico dos custos operacionais de sua empresa, que pontos voc procuraria destacar no tempo para tentar repetir esse desempenho?


RefernciasANTON, Howard. Clculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v 1.

SIMMONS, George F. Clculo: com geometria analtica. So Paulo: McGraw-Hill, 1987. v 1.

THOMAS, George B. Clculo. So Paulo: Addison Wesley, 2002.

Anotaes


Anotaes

Aula 07 ClculoI

Anotaes

Aula 07 ClculoI

Documents

Cal_I_A07