Całki – pojęcia i przykłady

Całki – pojęcia i przykłady

www.wkuwanko.pl 1

Pojęcia całki - jest to działanie odwrotne do pochodnej.

f x x x

F x

F xx x

C

( )

( ) ?

( )

5 2 6

53

3

6

2

Obliczyć całkę to odpowiedzieć na pytanie jak wyglądała funkcja która ma taką pochodną.

gdzie stała C może byc dowolną liczbą

f x dx F x C

F x f x

( ) ( )

( ) ( )

Wzory:

1. xndxxn

nC n

1

11 dla

2.

gdy x = -1 to

1

xdx x Cln| |

3. Cf x dx C f x dx( ) ( )

4. f x g x dx f x dx g x dx( ) ( ) ( ) ( )

5. 1

11

xdx x dx Cln( )

Przykład:

15 2 1

5 2 53

3

11

2

11

2

5

3

3 3

2

3

2

xx x dx

xdx x dx xdx x

x xC

x x x C

ln| |

ln| |

Przykład:

( )x dx xdx dxx x

Cx

x C1 12

2

0 1

0 1

2

2


www.wkuwanko.pl 2

Przykład:

3 5 5

2

13

1

5 5 2

1

2xx x

dx dx x dx x x

30 1

0 1

1

51

11

5

52 1

2 1

1

21

1

21

35

6

6

5 5 1 1 2

1

2x x x xC x x x x C( )

35

6

6

5 5 1 2

1

2x x x x C

Przykład:

1

11

1 1

xdx x t

x dx

dx dt

podstawiamy liczymy pochodną stronami:

( )

( )

1

11

xdx dt t C x dx C

1

tln| | ln( )

Przykład:

1

3 23 2

3

3

xdx x t

dx dt

dxdt


( )

1

3

1

3

1 1

3

1

33 2

t

dt

tdt t C

x C

ln| |

ln| |

Przykład:

3 5 3 5

3

3

x dx x t

dx dt

dxdt


( )


www.wkuwanko.pl 3

3 51

3

1

3

1

2 1

3

1

21

1

21

1

3

2

3

3

2 2

9

3

2

2

93 5

3

2

x dx dx tdt t dtt

C t C t C

x C

t

Przykład:

x x dx x t

x dx dt

dxdt

2 3 5 3 5

3 2

3


x2

( )

tdt

tt dt

tC t C x C

1

3

1

2 1

3

1

21

1

21

1

3

2

3

2

3 2

9

3 5

3

2

Uproszczenia możliwe w obliczeniach:

Uproszczenie 1.

Wyprowadzenie:

Rozwiążmy poniższy przykład:

1

2 12 1

2

2

xdx x t

dx dt

dxdt


( )

1

2

1

22 1

t

dtx Cln| |

Uproszczenie 1.

Końcowy wzór:

Jeżeli w mianowniku jest funkcja a w liczniku jest pochodna tej funkcji to całka jest równa:

ln| ( )|f x C

Przykład1: 1

2 1

1

2

2

2 1

1

2

2

2 1

1

22 1

xdx

xdx

xdx x C ln| |


www.wkuwanko.pl 4

Przykład2: 1

2 5

1

2

2

2 5

1

2

2

2 5

1

2

2 5x

dxx

x

dxx

x

dx x C ln| |

Uproszczenie 2.

Wyprowadzenie:

Rozwiążmy następujący przykład: dx

x x2 5 6

Nie możemy zastosować poznanych wcześniej wzorów. Stosujemy metodę rozkładu na

ułamki proste.

Sprowadzamy mianownik do postaci rozłożonej.

b ac2 4 25 24 1 1 x15 1

23 x1

5 1

22

dx

x xdx

dx

x x x xdx

dx

x xdx

2 5 6 1 2 3 2( )( ) ( )( )

Gdyby wyrażenie: 1

3 2( )( )x x

można było przedstawić jako sumę dwu wyrażeń A

x

B

x( ) ( )3 2

to można by było zastosować znane już wzory.

Zakładamy, że są takie wartości A i B które spełniają te wyrażenia. Dokonajmy więc

przekształcenia takiej sumy wyrażeń:

1

3 2 3 2

2 3

3 2

2 3

3 2

2 3

3 2( )( ) ( ) ( )

( ) )

( )( ) ( )( )

( )

( )( )x x

A

x

B

x

A x B( x

x x

Ax A Bx B

x x

x A B A B

x x

czyli:

1

3 2

2 3

3 2( )( )

( )

( )( )x x

x A B A B

x x

Jeżeli strony równania są równe przy jednakowych mianownikach, więc liczniki są też równe.

Możemy więc napisać:

1 2 3x A B A B( )

Obliczamy wartość A i B dla których równanie będzie prawdziwe. Aby „x” nie miał wpływu

na wyrażenie musi być spełniony warunek : x(A+B) = 0

będzie to zawsze spełnione gdy: A + B = 0


www.wkuwanko.pl 5

Przy takim warunku całe wyrażenie 1 2 3x A B A B( ) będzie prawdziwe gdy 2A+3B = 1

Możemy napisać układ równań z których wyliczymy wartość A i B :

A B

A B

0

2 3 1

| (-2)

2 2 0

2 3 1

0 1

1

A

A B

B

B

A B

A

A

0

1 0

1

Całe nasze wyrażenie przybierze postać:

dx

x xdx

xdx

xdx

xdx

xdx x x C

( )( )ln| | ln| |

3 2

1

3

1

2

1

3

1

23 2

Uproszczenie 2.

Końcowy wzór:

dx

x xdx x x C

( )( )ln| | ln| |

3 23 2

Temat: Pojęcia całki - część dalsza

Wzory:

exdx ex C

sin cosxdx x C

cos sinxdx x C

tgxdxx

xdx

sin

cos

cos

sin

sin

x t

xdx dt

xdx dt

obl. pochodną z obu stron

dt

tx C

tgxdx x C

ln|cos |

ln|cos |


www.wkuwanko.pl 6

f x g x dx g x F x F x g x dx( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Przykład:

x exdx

f x e x F x ex

g x x g x x

x exdx x ex xexdx

2

2 2

2 2 2

- mamy tu całkę z mnożenia

- mamy tu następną całkę z mnożenia, postępujemy podobnie

( ) ( )

( ) ( )

f x ex F x ex

g x x g x

( ) ( )

( ) ( ) 1

x ex xexdx x ex xex exdx

x ex xex ex C

2 2 2 2

2 2

Przykład:

x x dx

f x x F xx

g x x g xx

3

34

4

1

ln

( ) ( )

( ) ln ( )


xx

x

xdx

xx x dx

xx

xC

4

4

4

4

1 4

4

1

4

3

4

4

1

4

4

4

ln ln

ln

=

Przykład:

ln ln lnx dx x dx x dx - nie mamy wzoru na taką całkę, ale możemy ją zapisać jako: = 1

mamy więc całkę z mnożenia :

Rozwiązujemy ją w znany sposób:

1

1

1

1

ln

ln

( ) ( )

( ) ln ( )

x dx

x dx

f x F x x

g x x g xx

x x xx

dx x x dx

x x x C

ln ln

ln

1=


www.wkuwanko.pl 7

x x xx

dx x x dx

x dx x x x C

ln ln

ln ln

1=

Przykład:

x x dx

f x x F x x

g x x g x

sin

( ) sin ( ) cos

( ) ( )


1

x x x dx x x xdx

x x x C

cos ( cos ) cos cos

cos sin

1 =

1

1 2xdx arctgx C Wzór do zapamiętania!

Co to jest arctg?

tg arctg300 3

3

3

3300

tg arctg450 1 1 450

Przykład:

dx

x2 4dx - wykorzystamy powyższy wzór:

dx

x

dx

x

dx

x

xt

x= t

dx= dt

2 44

2

41

1

4

2

21

2

2

2

dx dx dx

| 2

1

4

2

2 1

1

2 2 1

1

2 2

dt

t

dt

tarctg

xCdx dx

Przykład:


www.wkuwanko.pl 8

dx

x

dx

x

dx

x

x t

dx dt

dt

dt

tarctg x C

2 2 5 2 2

51

2

5

2

1

2

5

2

5

5

2

5

2 2 1

5

2

2

5

dx =1

5dx =

1

5dx

dx =

1

5dx

1

5

Matematyka.

Ćwiczenia - Rozwiązywanie całek..

Przykład:

3 2 5 71

3 2 5 71

1

x xx

x dx x xdx dxx

dx x x dx

33

35

2

27

3

2

3

2

3 52

27

2

3

3

2x xx x

xC x

xx x x Cln| | ln| |

Przykład:

7 3 21 5 1

2

57 3 21

1

5 2 5

1

2 7 4

421

2

2x x x

x xdx x dx xdx x dx x x

x xC

Przykład: 1

2 12 1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

22 1

xdx x t

dx dt

dxdt

t

dt dt

tt C

x C

. ( )

ln| |

ln| |


Przykład:


www.wkuwanko.pl 9

6

5 76

6

5 75 7

5

61

5

6

5

1 6

5

6

55 7

xdx

xdx x t

dxdt

t

dt

tdt t C

x C


5dx = dt

ln

ln| |

Przykład:

7 9 7 9

7

7

1

7

1

2 1

7

3

2

3

2

1

7

2

3

3

2

2

217 9

3

2

x x t

dx dt

dxdt

t dxt

C t C

x C

podstawiamy liczymy pochodną stronami

Przykład: 1

2 3 9

1

2

1

3 91

2

3 9

3

3

xdx

x

dx x t

dx dt

dxdt


1

2

1

1

2

3

1

2

1

2 1

2

1

3

1

21

1

21

1

2

1

3

1

2

1

2

1

2

1

3

2

1

1

2

1

33 9

1

2

t

dtt dt

tC

tC t C

x C

Przykład: 1

1 2( )( )

..............................

x xdx

??????????????????????????????????

1

3

1

1

1

3

1

2( ) ( )xdx

xdx

1

31

1

32ln| | ln| |x x C


www.wkuwanko.pl 10

Przykład: 2 1

2 6 536 20 16 4

16 4

21 2

6 4

25

2 1

2 6 5

2 1

1 5

2

1

1

52

1 52

5 1

1 5

x

x xdx

x

x

x xdx

x

x xdx

A x

xdx

B

x

Ax

xdx

B

x

Ax x B x

x xdx

x

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

A x Ax Bx B

x x

B

A B

A

A

dxx

dx dxx

dx

2 2 10

1 5

2

5 1

4 1

1

42

1

4

21

4

52

1

4

1

5

( )( )??????????????????

............................................

A dodajemy stronami

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

B

-1

4

x -1-

1

4

1

x -1

= -1

4ln| | ln| |x x C1 2

1

45

Przykład: dx

x x x

x x x

A

x

B

x

C

x

A x x B( x x C x x

x x x

( )( )( )

( )( )( )

( )( ) )( ) ( )( )

( )( )( )

1 1 2

1

1 1 2 1 1 2

1 2 1 2 1 1

1 1 2

A(x x x B( x x x C x

(x )(x )(x )

(Ax Ax A Bx Bx B Cx C

(x )(x )(x )

Ax Ax A Bx Bx B Cx C

(x )(x )(x )

x A B C x A B A B C

(x )(x )(x )

2 2 2 2 2 2 2 1

1 1 2

2 3 2 2 2 2

1 1 2

2 3 2 2 2 2

1 1 2

2 3 2 2

1 1 2

) ) ( ) ) ( ) ( )

( ) ( )

Jeżeli ułamki:

1

1 1 2

2 3 2 2

1 1 2( )( )( )

( ) ( )

x x x

x A B C x A B A B C

(x )(x )(x )

są równe to i liczniki tych ułamków są równe. Możemy więc napisać:

x A B C x A B A B C2 3 2 2 1( ) ( )

Obliczamy wartość A, B, C

A + B + C = 0


www.wkuwanko.pl 11

3A + B + 0 = 0

2A - 2B - C = 1

______________

Z drugiego równania obliczamy B:

B = -3A

A - 3A + C = 0

2A - 2(-3A) - C = 1

__________________

-2A +C = 0

8A - C = 1

_______________

6A = 1

A = 1/6

B = -3A = - 3(1/6) = - 1/2

B = - 1/2

A + B + C = 0

A + B = - C

1

6

1

2

1 3

6

C

C

1

3

1

3

C

C

A1

6

1

2

1

3 B C

Nasze równanie przybierze więc postać:

dx

x x x xdx

xdx

xdx

x x x C

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

ln| | ln| | ln| |

1 1 2

1

6

1

1

2

1

1

3

2

1

61

1

21

1

32

Przykład: 5 7

4 256

5 7

2 16 2 16

5 7

4 4 2 16

x

xdx

x

x x

dxx

x x x

dx

A

x

B

x

Cx D

xdx

A x x B x x Cx D x x

x x x

dx4 4 2 16

4 2 16 4 2 16 4 4

4 4 2 16

( )( ) ( )


www.wkuwanko.pl 12

4 2 16 64 3 4 2 16 64 3 16 2 16

4 4 2 16

Ax A A Bx Bx Bx B Cx Cx Cx D

x x x

dx

x A B C x A B D x A B C A B D

x x x

dx3 2 4 4 16 16 16 64 64 16

4 4 2 16

( ) ( ) ( )

Aby obliczyć wartości A, B, C, D, piszemy układy równań:

A B C

A B D

A B C

A B D

0

4 4 0

16 16 16 5

64 64 16 7

16

16

Dodajemy pierwsze i trzecie równanie :

16 16 16 0

16 16 16 5

32 32 5

A B C

A B C

A B

Dodajemy drugie i czwarte równanie :

64 64 16 0

64 64 16 7

128 128 7

A B D

A B D

A B

W wyniku tych działań otrzymujemy dwa równania:

32 32 5

128 128 7

128 128 20

128 128 7

256 13

13

256

A B

A B

A B

A B

A

A

4

Z równania 32 32 5A B obliczamy B


www.wkuwanko.pl 13

3213

25632 5

13

832 5

513

8

32

40 13

8

32

27

8 32

27

256

27

256

B

B

B

B

Z równania A + B + C = 0 obliczamy C

C A B

C

13

256

27

256

13 27

276

40

256

40

256

Z równania 4A - 4B + D = 0 obliczamy D

413

2564

27

2560

13

64

27

640

13

64

27

64

14

64

7

32

7

32

D

D

D

D

Podstawiamy obliczone wartości A, B, C, D do równania:

A

x

B

x

Cx D

xdx

xdx

xdx

x

xdx

xdx

xdx

x

xdx

4 4 2 16

13

256

4

27

256

4

40

256

7

322 16

13

256

1

4

27

256

1

4

40

256

7

322 16

13

2564

27

2564

40

256

7

322 16

ln| | ln| |x x

x

xdx

a b

x

xdx a b

x

xdx a b

x

x xdx

a b

x

xdx

x

40

256

7

322 16

40

256

1

22

7

32

2 16

40

5122

2 16

7

322 16

40

5122

2 16

7

322 16

dx a bx

xdx

xdx

40

512

2

2 16

7

32

1

2 16

c

a b


www.wkuwanko.pl 14

a b xx

dx a b c

x

dx

a b cdx

x

xt x t dx dt

a b cdt

t

40

512

2 167

32

1

2 16

7

32

1

162

161

7

32

1

16

4

21

44 4

7

32

1

16

4

2 1

ln| |

podstawiamy

a b cdt

ta b c arctgt a b c arctg

x

a b c arctgx

7

32

4

16 2 1

7

32

1

4

7

32

1

4 4

7

128 4

Przykład: dx

x

dx

x

dx

x

xt

x t

dx dt

dt

t

dt

t

arctgt C arctgx

C

2 77

2

71

1

7

7

2

1

77

7

7

1

7

7

2 1

7

7 2 1

7

7

7

7 7

Przykład: dx

x

dx

x

x t xt

dxdt

dt

t

dt

t

arctgt C arctg x C

2 2 1 22

1

22 2

2

2 1

1

2 2 1

1

2

1

22

| |

Przykład:


www.wkuwanko.pl 15

dx

x

dx

x

dx

x

x t xt dt

dt

dt

t

dt

t

arctgt C arctg x C

3 2 55

3

5

2

1

1

53

5

2

1

3

5 3

5

3

5

5

3

1

5

5

3

2 1

1

5

5

3 2 1

1

5

5

3

1

5

5

3

5

3

dx dx

| |

Przykład:

dx

x xa ab b

x x x x x x x

dx

x x

dx

x

dx

x

dx

x

xt x

tx

2 6 24

2 2 2 2

2 6 24 2 6 9 15 2 6 9 15 3 2 15

2 6 24 3 2 1515

3

15

2

1

1

15 3

15

2

1

3

153

153

15

15

a + b

t x dt

dt

tarctg t C arctg

xC

arctgx

C

d

+

15

15

1

15

15

152 1

1

15

15

15

1

15

15

15

3

15

15

15

3

15

.........................

| | | |

| |

Temat: cd całki.

Powtórka: 1

1 2xdx arctgx C

Przykład: dx

x x2 3 79 28 19 delta ujemna, do rozwiązania należy wykorzystać inną

metodę.


www.wkuwanko.pl 16

Wykorzystać można wzór: a b a ab b2 2 2 2

dx

x x

dx

x x

dx

x x

dxdx

x

dx

x

x

t x

2 3 7 2 23

2

9

4

9

47 3

2

219

4

4

19

3

2

219

4

19

4

4

19 3

2

2

19

4

1

4

193

2

19

2

2

1

3

2

19

2

3

2

19

2

=

podstawiamy za t dx dt 19

2

4

19

19

22 1

4

19

19

2 2 1

2 19

19

2 3

2

19

2

dt

t

dt

tarctg

x

C

Przykład:

5 7

2 7 20

x

x xdx

Przypomnienie wzoru: f x

f xf x C

( )

( )ln| ( )|

pochodna z mianownika naszego przykładu była by: x x x2 7 20 2 7

licznik z naszego przykładu jest : 5 7x

aby doprowadzić go do postaci: 2 7x

należy dokonać przekształcenia:

5 7 51

22 7

7

27

5

22 7

5 7

27

5

22 7

35

2

14

2

5

22 7

21

2

x x

x

x x

x

Wracamy do naszej całki:

5 7

2 7 20

5

22 7

21

22 7 20

5

2

2 7

2 7 20

21

2 2 7 20

x

x xdx

x

x xdx

x

x xdx

dx

x x


www.wkuwanko.pl 17

5

2

2 7 2021

2 2 27

2

49

4

49

4

80

4

21

2 7

2

231

4

ln| |x x

K

dx

x x

B

Kdx

x

B

Bdx

x x

dxdx

x

dx

x7

2

231

4

4

31

7

2

231

4

31

4

4

31 7

2

2

31

4

1

4

317

2

31

2

2

1

x

t x t

dx dt

7

2

31

2

7

2

31

2

31

2

| całkujemy stronami

Bdx

x

dt

tarctg

x

C4

317

2

31

2

2

1

4

31

31

2 2 1

2 31

31

7

2

31

2

| |

Przykład:

dx

x x

dx

xx t dx dt

2 2 1 12

1

dt

tt dt

tC

xC

22

1

1

1

1

Temat2: Całki oznaczone.

Wszystkie poznane do tej pory całki to całki nieoznaczone.

Całka oznaczona to całka dla której określa się przedział. Musi być różniczkowalna.

f x dx

a

bF b F a( ) ( ) ( )

Przykład:


www.wkuwanko.pl 18

xdxx

1

3 2

2 1

3 32

2

12

2

9

2

1

2

8

24|

Przykład:

1

15

10

xdx podstawiamy:

x t

dx dt

1

dla x

x

5

10

t

t

( )

( )

5 4

10 9

Przy metodzie podstawiania trzeba zmienić granice całkowania bo zmienia się zmienna.

Wracamy do przykładu:

1

15

10 1

4

9

4

99 4

9

4

xdx

tdt

ln | ln ln ln | t |

Twierdzenia: f x dx f f dx

a

cf f dx

c

b

a

bc a b( ) ( ) ( ) ( , )

f x dx

a

a( ) 0

f x a b( ) ( , )0

P

a b

| | ( )P f x dxa

b

Przykład:

Mamy dwie funkcje: f x x

g x x

( )

( )

2

4


www.wkuwanko.pl 19

x2

4x

Obliczyć pole zawarte między jednym a drugim wykresem w obszarze między przecięciami

się tych wykresów.

Wykresy przecinają się dla x który jest równy: x x2 4

x x

x x

x

x

2 4 0

4 0

0

4

( )

Pole będzie równe różnicy :

Pole xdx x dx

x x

4

42 3

4 8 064

30

3232 2

332 1

2

3

32

3

2

0

4

0

4

2

0

4 3

0

4

| | ( )

25.04.98 ćwiczenia Przykład:

f x g x g x F x F x g x dx C( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x xdx f x Fx

g x gx

xx

x

xdx

xx x dx

xx

xC

xx C

2 23

3

1

3

3

1 3

3

3

3

1

3

23

3

1

3

3

3

3

3

1

3

ln

ln

ln ln ln ln

Przykład:

x xdx f x F x

g x g

x x xdx x x x C

sin sin cos

cos cos cos sin

1

Miejsce przecięcia się obu

wykresów


www.wkuwanko.pl 20

Przykład:

1

1

1 1 1

x xdx x t

xdx dt

dt

x xdx

dx

x x

dx

x tdt

t

dt

tt C x C

lnln

ln lnln ln(ln )

dx

x

Przykład:

1

2

22

1

1

1 1

x xdx x t

dx dx

dt

tt dt

tC

tC

xC

lnln

ln

1

x

Przykład:

dx

x x x x

A

x

B

x

A x B( x

x x

Ax A Bx

x x

x A B A B

x x

x t x z

x dt

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) )

( )( )

( )( )

( )

( )( )

5 1

1

5 1 5 1

1 5

5 1

5

5 1

5

5 1

5 1

d dx dz

A B

A B

0

5 1

(-1) A B

A B

0

5 1

6 1

1

6

B

B

A

A

1

60

1

6


www.wkuwanko.pl 21

1

6

1

5

1

6

1

1

1

6

1 1

6

1

xdx

xdx

tdt

zdz

1

6

1

6

1

65

1

61ln ln ln lnt z C x x C

Przykład:

1

2 11

1

2 1 10

1

1 10

1

10 1

101

1

10 1

101

2 2 2 2 2x xdx

x xdx

xdx

dx

x

dx

x

xt x t dx dt

1

101 10 10

1

10

10

1

10

10 1

10

10

1

102 2

dt

t

dt

tarctg

xC

Przykład:

dx

x x

x x xx

xx

2 2 7

2 2 7 2 2 2

2 2

7

22 2 2

4

1

16

1

16

7

2

wyciągnijmy przed mianownik 2 i przedstawmy go w postaci:

2 2 24

1

16

1

16

7

22

1

4

21

16

8 7

162

1

4

255

16x

xx x

Podstawiamy do naszego przykładu:

dx

x x2 2 7 255

16

1

2 255

16

1

2

16

55 2

55

16

55

1655

16

dx

2 x +1

4

dx

x +1

4

dx

x +1

4

1

2

16

552

55

16

21

8

55

55

4

2

1

55

4

55

4

55

4

dx

x +1

4x +

1

4

podstawiamy:

x +1

4 x +1

4 różniczkujemy:

dx

t t dx dt


www.wkuwanko.pl 22

8

55

55

42 1

8

55

55

4 2 1

2 55

55

2 55

55

1

4

55

4

dt

t

dt

tarctg t C arctg

x

C

Przykład:

3 7

6 2 4

x

x x zastosujemy wzór

f x

f xf x C

( )

( )ln| ( )|

Obliczamy pochodną mianownika:

6 2 4 12 1

3 7 31

1212 1

1

127

1

412 1

1

47

1

412 1

27

4

x x x

x x x x

aby licznik doprowadzić do takiej wartości,

należy dokonać w nim następujących przekształceń:

Podstawiamy obliczoną wartość w miejsce licznika:

1

412 1

27

4

6 2 4

1

412 1

6 2 4

27

4

6 2 4

1

4

12 1

6 2 4

27

4 6 2 4

x

x xdx

x

x xdx

x xdx

x

x xdx

dx

x xdx

1

46 2 4

27

4 6 2 4

1

46 2 4ln lnx x

dx

x xdx x x oznaczmy A =

Adx

x xdx

27

4 6 2 4

Rozpisujemy mianownik aby można było zastosować wzór: 1

1 2xdx arctgx C

6 2 4 6 2 22 6

4

66 2 2

12

1

144

1

144

2

36

1

12

21

144

2

36

1

12

295

144x x x

xx

xx x

Wracamy do obliczeń całki:

Adx

x xdx A

dx

x

Adx

x

Adx

x

27

4 6 2 4

27

46

1

12

295

144

27

4

1

6

144

95 1

12

2

95

144

1

162

951

12

2

95

12

21


www.wkuwanko.pl 23

Podstawiamy:

x

t x t dx dt

1

12

95

12

1

12

95

12

95

12

Wstawiamy to do przykładu:

Adx

x

A

dt

t

Adt

t

A arctg t C

A arctg

x

C

162

951

12

95

12

2

1

162

95

95

122 1

162

95

95

12 2 1

81 95

6 95

81 95

6 95

1

12

95

12

A =1

46 2 4ln x x

Rozwiązaniem 3 7

6 2 4

x

x x jest: =

1

46 2 4ln x x

81 95

6 95

1

12

95

12

arctg

x

C

Przykład:

Obliczyć pole między wykresami funkcji: y x2

y x7

7

Obliczamy miejsca przecięcia się tych wykresów (wspólne wartości X dla obu wykresów):

x x

x x

x x

2 7

2 7 0

7 0( )

Dla x1 0 oraz x2 7 wykresy tych funkcji przecinają się.

Pole między wykresami tych funkcji będzie równe różnicy całek oznaczonych tych funkcji

dla przedziału 0,7


www.wkuwanko.pl 24

P xdx x dxx x

P

7

0

72

0

77

2

2 0

7 3

3 0

77

72

27

02

2

73

3

03

3

7 49

2

343

3

343

6

343

6

| |

Przykład:

Obliczyć pole między wykresami funkcji: y x

y x2

1/4

Obliczamy miejsca przecięcia się tych wykresów (wspólne wartości X dla obu wykresów):

x x

x x

x x

x x

2

4 2

4 2 0

4 1 0( )

Dla wartości:

wykresy przecinają się.

x

x

1 0

21

4

Pole między wykresami tych funkcji będzie równe różnicy całek oznaczonych tych funkcji

dla przedziału 01

4,

P xdx xdx x dx xdx x

0

1

42

0

1

41

2

0

1

42

0

1

4 2

3

2

3

0

1

4

0

1

4| | 2

x2

2

2

3

1

64

1

16

2

3

1

8

1

16

1

12

1

16

4 3

48

1

48

1

48P


www.wkuwanko.pl 25

Wzory na obliczanie całek:

1. xndxxn

nC n

1

11 dla

gdy x = -1 to

1

xdx x Cln| |

2. Cf x dx C f x dx( ) ( )

3. f x g x dx f x dx g x dx( ) ( ) ( ) ( )

4. 1

11

xdx x dx Cln( )

5. Jeżeli w mianowniku jest funkcja a w liczniku jest pochodna tej funkcji to całka jest

równa:

f x

f xf x C

( )

( )ln| ( )|

6. 1

3 23 2

( )( )ln| | ln| |

x xdx x x C

7. exdx ex C

8. sin cosxdx x C

9. cos sinxdx x C

10. tgxdx x Cln|cos |

11. f x g x dx g x F x F x g x dx( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12. ln lnx dx x x x C

13. 1

2 1xdx arctgx C

14. f x dx

a

bF b F a( ) ( ) ( )

15. Twierdzenia: 1. f x dx f f dx

a

cf f dx

c

b

a

bc a b( ) ( ) ( ) ( , )


www.wkuwanko.pl 26

2. f x dx

a

a( ) 0

Documents

Całki – pojęcia i przykłady