Upload
hoangtuyen
View
215
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Rozdział6
Całki Iter owanei Wielokrotne
W rozdzialetrzecimprzedstawili smyteorie całki Riemannafunkcji jednejzmiennej.Całke in-terpretowalismy jako polepodwykresu(tj. figury ograniczonejwykresemfunkcji i osia
���, z
uwzglednieniemznakufunkcji). Jestto niewystarczajacedo badaniabardziejzłozonych figurczy brył przestrzennych,alezachowamypomysł,by dzielic badana figure nacienkieplasterkioktórychumiemycosorzec.
Pózniej, w rozdziale7. obok zastosowan geometrycznych opowiemy o zastosowaniachdofizyki np. do praw zachowaniai objasnimynapisy������� div �� �� ����oznaczajaceprawo ciagłosci przepływucieczytj. prawo zachowaniamasy. Symboldiv
�oz-
naczadywergencje (zródłowosc) polawektorowego����� ����� � ���
,
div� � ��� ��� � �
��� ��!Takzew rozdziale7. skomentujemytakieobiekty, jak ów magiczny operatordiv
�. Najpierw
przedstawimy niezbednepodstawy, czyli całki wielokrotne.
6.1 Całka Iter owana
Zaczniemyodpomocniczejdefinicji. Niech "�#%$ � � # oznacza(uogólniony) prostopadłoscian"�# �'&)( �+*-,.�0/21 &3(54 *-, 4 /21 !6!7! 1 &3( # *-, # /gdzie
( �98 , � . Wprowadzananowa notacjadopuszczaprzypadekwielowymiarowy, alenajwaz-niejszyjestten,gdy : �<; lub : �<= .
Niech > � "%# �?� �bedziefunkcja ciagła,kładziemyteraz@ A> * "�# ���BDCFEG E BDCFE0HJIG E0HJI !6!7! BKC IG I >L �+* M4 * !7!6! * # ONP � QNP M4 * !7!6! ONP #
1
2 ROZDZIAŁ 6. CAŁKI ITEROWANE I WIELOKROTNE
uzasadnimy, zeliczba@ A> * "�# oznaczamiarepodwykresu > , tj. zbioruR S> L�UT �V* !W!W! * # * #-X � ZY "%# 1 � �[� �]\^ #-X � \ >L �V* !6!6! * # lub >_ �+* !7!6! * # Z\` #-X � \a�cb !
Pojawiaja sie jednaknatychmiastpytania:1. Czy
@ S> * "%# zalezy od kolejnoscicałkowania?2. Dla jakiej klasyfunkcji liczba
@ S> * "%# jestdobrzeokreslona?3. Czymozliwe sauogólnienia?
Liczbe@ A> * "�# bedziemynazywali całka iterowana funkcji > naprostopadłoscianie"�# . Jesli
nie bedzieprowadzic to do niejasnosci, to bedziemypomijali "%# w oznaczeniu.
Przykład 1. Przyjmujac geometryczna interpretacje@ S> * " 4. obliczmy dla wprawy objetosc
ostrosłupao podstawie kwadratu,majacego wierzchołki w Ad]e * �5 * � * d]e i wysokosci 1. Dlawygodyrachunkowej zajmiemysie jego czescia lezaca w pierwszejcwiartceukładu
� ��f. Za-
uwazmy, zescianabocznajestwykresemfunkcjig *ih j�lk e�maVn n � n h n * gdy�K\` *oh oraz n n � n h n \ e� * gdy�K\` *oh 8 e oraz n n � n h nPp�e .
Wtedy, kładziemy " 4q�r&s� * e / 4 i mamy@ g * " 4V t� B �u B �u g *oh ON h ONP v�<B �u B �Ow5xu ye�m m h QN h NP � B �u zye{m | 4 m h 4;<}}} �Ow5xu QN5 ~� e; B �u ye{m | 4 � e�Potej rozgrzewceodpowiemynapierwszez zadanych pytan.
Twierdzenie1. Jesli > � "�# �?� �jestciagła,to
@ A> * "�# nie zalezy od kolejnoscicałkowania.
Dowód. Podamytylko jegoszkic.Rozpatrzymy> szczególnejpostaci,>_ | _� g � � �� !W!.! � g #J # ! ye Wtedy @ A> * "�# t� BDCFEG E BDCFE0HJIG E0HJI !6!7! BKC IG I g � � j� g 4 M4� �� !6!7! � g #� # QNP � !6!7! NP #� BDCFEG E g #P # QN5 # !6!7! BKCF�G � g 4 M4. ONP M4�BDC IG I g � � QNP �� B C��i� EA�G �i� EA� B C��i� EyH�I7�G �i� EyH�I7� B C��i� I7�G �i� I7� g � � !6!7! g #� # ONP ��.� �A� !7!6! ONP ��.� # �gdzie � jestdowolnapermutacjazbioru
T e * !7! * : b . Tym samymnaszetwierdzeniejestprawdziwedla funkcji postaci(1).
6.1. CAŁKA ITEROWANA 3
Zauwazmy, ze naszetwierdzeniejest prawdziwe dla sumfunkcji postaci(1). W dalszymciagupotrzebny nambedziefakt,który pozostawimy bezdowodu.
Twierdzenie2. Dowolna funkcje ciagła > � "�# �?� �moznaprzyblizac funkcjamipostaci� � �� � ���c� � > � ;P
gdzie � � Y � � * zas > � sapostaci(1), tj. dla dowolnej funkcji ciagłej > i dowolnego �]p � istniejetakafunkcja
�danawzorempostaci(2), któraspełnian7n)>�m � n�n � \ � !
Wtedy n @ A> * "�# m @ � * "%# n � n @ A>�m � * "%# n � }}}}} BKCFEG E !6!7! BKC IG I A>�m � | ONP � !W!W! N5 # }}}}} !Z własnosci całki Riemanna(twierdzenie3.44)dostaniemyn @ S> * "%# m @ � * "%# n \ B CFEG E !W!W! B C IG I n�S>9m � n NP � !7!6! N5 # \ B CFEG E !W!W! B C IG I � N5 � N5 # � � vol S"%# =5 gdzievol "%# � ,W� m ( � �� !W!W! � , #�m ( # , (patrztez 2.5.4).
Skoro@ � * "%# nie zalezy od kolejnosci całkowania,to i
@ S> * "%# nie zalezy od kolejnoscicałkowania.Aby sie o tym przekonac połozymy@ � A> * "%# _� BKC��i� EQ�G �i� EQ� !W!.! BDC��i� I7�G �i� I7� >_ �+* !W!W! * # ONP �.� �A� !W!.! NP �.� # �Wtedydla
�takiego, jak w (2)n @ � A> * "�# m @ A> * "�# n � n @ � S> * "%# m @ � � * "%# � @ � * "�# m @ A> * "�# n\ n @ � A>�m � * "%# n � n @ S>�m � * "�# n
z mocy (3) dostaniemy n @ � A> * "�# m @ A> * "�# n \�; �dla dowolnego � , stad
@ � S> * "%# L� @ S> * "%# .Zauwazmy, zew istocierzeczyw przykładzie1 policzylismyBW� g * gdzie � �UT *oh �Y � � 4 � *ih�� � * � h \ e b *
bo funkcja g była równa0 poza � .Zapomocacałki iterowanejmozemyokreslic �o�%>_ | �N5 wzoremB � >_ | �N5 �� @ A> * "%# _��BDC EG E !W!W! BKC IG I >_ �V* !W!W! * # ONP � !W!W! NP # *
4 ROZDZIAŁ 6. CAŁKI ITEROWANE I WIELOKROTNE
jesli tylko > na brzegu � jest równa zero, bo wtedy > mozna łatwo przedłuzyc na dowolnyprostopadłoscian"%# zawierajacy � , amianowicie�>L | _� k >L | * gdy
�Y �� * gdy �Y "�#¡ �� £¢
Wtedy�> � "�# � jestciagłai
@ �> * "%# jestdobrzeokreslona.Jednakw ogólnosci funkcja
�> danawzorem(4) nie jest ciagław "%# . Moznaten problempróbowac obchodzic dlazbiorów � specjalnejpostaci,np. gdy� �¤T �+* M4� -¥o(�\` � \ , i ¦§ � ¡\^ M4¨\^© � ib *to wtedymozemypołozycB � >_ �V* M4. �NP � NP M4§� B CG�ª BK« � x I �¬ � x I � >_ �V* M4. ONP M4i�NP �Co robic w ogólnosci? W odpowiedzi uwazniej przyjrzymy sie całceiterowanej. Dla prostotyprzyjmiemy ® �'; !
Niech �¯$ � � 4 bedzie(dosc) dowolnym zbioremograniczonym i > � � �� �niechbedziefunkcja ciagła. Dzieki temu,zezbiór � jestograniczony, istniejetaki prostokat" , ze �°$±" . Okreslamy
�> � " � � �wzorem(4). Chcemyobliczyc objetosc zbioru ² �R �> $ � ��³ . W tym celuwprowadzamypodziałodcinka
&3( �+*-,.�O/ , ( � u 8 � !7!6! 8 !6!7! \^ � � ,.� ikładziemy� � �a � X � m � . Dzielimy ² nacienkieplasterki ² � o grubosci � � (jak narysunku1).
´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´µ µ µ µ µ µµ µ µ µ µ µ ¶¶¶···¸¹ x
y
Q
f(x,y)
iGZ
Rys.1. Plastereko grubosci � � .
6.2. MIARA ZBIORÓW W� �»º
5
Ich przyblizonaobjetosc, to wysokosc razypolepowierzchni.Wysokosc równasie � � , polepowierzchni,to B CF�G � �>L�¼ � *ih QN h A½ gdzie ¼ � Yl& � * � X �Q/ . Zauwazmy tez, ze w (5) całkujemykonieczniefunkcje nieciagła, nawetjesli > funkcja była ciagła. Tak wiec całkaRiemannafunkcji nieciagłychokazałasie zwykłazyciowakoniecznoscia! Oznaczmyobjetosc plasterka² � przez ¾9S² � ) mamywiec¾�A² � _� � � BDCF�G � �>LF¼ � *oh ON h !Zauwazmy, zeprawastronamapostac � � � ¦qF¼ � *gdzie ¦qF¼ � _� BKCF�G � �>LF¼ � *oh ON hi ¼ � Y¿& � * � X �O/ . Zatemsuma��� ��� ¾9S² � _� �� � ��� � � B CF�G � �>_F¼ � *oh ON h � �� � ��� � � ¦qF¼ � jestsumaRiemanowska. Az prosisie,abynapisac, zeobjetosc podwykresu² , to¾�A² L�[BKC IG I ¦q | QNP À��BDC IG I BDCF�G � �>j *oh ON h ONP �� @ �> * " Tyle zenie wiemywieleo ciagłosci funkcji ¦ alboraczejo z zbiorzepunktównieciagłosci.
Wyrazenie � C IG I � CF�G � �>L *oh ON h N5 nazwiemyiterowana całka Riemanna. Poniewaz rozszerza-my > zerem,to bedziemychcieli napisacB � >_ *ih �NP MN h � @ �> * " *gdzieprostokat "ÂÁ�� jestdowolny.
Zajmiemysie terazustaleniemkiedy iterowanacałkaRiemannaistniejei nie zalezy od ko-lejnosci całkowania. Spodziewac sie nalezy, ze odpowiedz zalezy i od funkcji > , i od zbioru� .
6.2 Miara zbiorów w ÃÅÄ ®Podejrzewamy, ze miare, bedaca uogólnieniemdługosci odcinka,pola powierzchniczy obje-tosci, bedziemyprzypisywali, byc mozenie wszystkim,ale tylko „dobrym” zbiorom. Nie jestwszaknaszymcelemwchodzeniew subtelnosci ogólnej teorii. O zbiorach,które maja miare
6 ROZDZIAŁ 6. CAŁKI ITEROWANE I WIELOKROTNE
bedziemymówili, zenaleza do DobrejKlasy Zbiorów, tj. Æ�ÇȲ . Ponizej opiszemypostulaty,którychwypełnieniaoczekujemyod Æ�ÇȲ .
(DKZ1) É * � � � Y Æ�ÇȲ ;(DKZ2) jesli ² �V* ² 4ÊY Æ�ÇȲ , to ² �|Ë ² 4 * ² �|Ì ² 4 i ² � P² 4 saw Æ�ÇȲ ;
(DKZ3) jesli " jestdowolnym prostopadłoscianem,to " i Í" saelementamiÆ�ÇȲ .
Trzebaw tym miejscuprzypomniec, ze Í" oznaczawnetrzezbioru � (patrz§4.1.2.definicja5).Oczekujemyzeımiaraspełnianastepujacewarunki:(M1) dla dowolnego ² Y Æ�ÇȲ mamy ¾�A² � � i ¾9£É L�<� ;(M2) jesli Î i Ï Y Æ�ÇȲ , nadtoÎ Ì Ï � É , to ¾9FÎ Ë Ï _� ¾9£Î � ¾9£Ï ;(M3) jesli " jestuogólnionym prostopadłoscianem,to ¾9S" _� vol " .
Wynikastad,zezawsze ¾�£Î Ë Ï §\ ¾�£Î � ¾9SÏ * � bo Î Ë Ï � £ÎÐ ÊÏ Ë SÏ� �Î Ë £Ï Ì Î , skadwypływa teza,po zastosowaniu(M2). Dalszywniosekjestnastepujacy. Jesli Τ$aÏ i dodatkowo ¾9£Î 8^Ñ , to ¾9£Î^mÒÏ �� ¾9£Î m~¾9SÏ .
Aby uniknac nieporozumien bedziemypisac ¾ � dla oznaczeniamiary zbiorów� � �
.Chcielibysmymiec praktyczny sposóbobliczania¾ � S² , gdy ² Y Æ�ÇȲ . Jesli ² jestogra-
niczony, to dosc naturalnym pomysłemjestpołozyc,¾ � A² L� BÔÓ%Õ2Ö | ONP gdzie "ÂÁ�² jestdowolnymprostokatemzawierajacym ² , zas
Õ2Öjestfunkcjacharakterystyczna
zbioru ² . W tym momenciejestjasnym, zenieunikniemydokładnejcharakteryzacjiwarunkówistnieniacałekiterowanych.
Zaczniemyoddefinicji. Dla u Y � � � i ×Øp � zbiór"v u * × L�UTÙ �Y � � � ¥ n � m u � n 8 ×; b
nazwiemykostka otwarta o srodkuw punkcie u i krawedzi × . Wierzchołkamikostki nazwiemy
punkty u d'Ú4ÔÛ � , Ü � e * !W!W! * ® .
Definicja 1. Powiemy, zezbiórR Y � � �
mamiare zero, jesli dla dowolnego �Kp � istniejetakarodzinakostek
T "v � * × � ob �� ��� , zeR $ Ë �� ��� "� � * × � i�� � ��� vol S"v � * × � i _� ��� ��� × �� 8 � !
Przykład 2. JesliR � &)( *-,o/Z1 TÞÝÔb $ � � 4
, to wykazemy, ze ¾ 4 R K�ß�. Niech
(à�á u 8 � !6!7! 8 � � , bedzierozbiciemprzedziału&3( *-,o/ zadanym wzorami
� �t( � C w G� Ü . Wtedykostki "� � * 4� , Ü �<� * !.!W! * ® pokrywaja
R, vol "v � * 4� _� â� � nadto�� � � u vol "� � * ;® L� ¢M£® � e ® 4
6.2. MIARA ZBIORÓW W� �»º
7
zbiegado0, gdy ® � Ñ. Innymi słowy dostalismy:
Wniosek 3. Brzeg kwadratumamiare zero.
Dowód. Wynika to natychmiastz poprzedniegoprzykładui z własciwoscimiary. ãäPrzykład 3. Niech
R �UT *oh ¡Y � � 4 ¥å 4 � h 4 � e b ! Wykazemy, ze ¾ 4 R _��� . Kładziemy �� *ih �� L� Fæ.ç�è ;Þé Ü® * èzê7ë ;Þé Ü® Ü �<� * e * !6!7! * ®�m^e * × � ��;ì� ¢ é® !Z twierdzeniacosinusówi zewzoruTayloranietrudnosprawdzic, zedla dostatecznieduzych ® ,mamyze í � w��� � u "vi �� *oh �� * × � Á R . Dalej vol "�z �� *ih �� * × � ��ïî âOð �� � , zatem� w���� � u vol "vi � *oh � * × � _� � ¢ é 4® � � *gdy ® � Ñ
. Szczegółowe rachunkipozostawiamyczytelnikowi.
Przykład 4. NiechR �Â&)� * e / 4 1 TÞ�cb $ � � ³ , wtedy ¾ 4 R _��� . Połózmyñ �3ò � Ü® *5ó® * �� ó * Ü ��� * e * !6!6! * ® !
Wtedy ���)ò � u vol "� ñ �)ò * ;® L� F® � e 4ìô® ³ � � * gdy ® � Ñ !Mozemytakzewysłowic warunkiistnieniacałki iterowanej.
Twierdzenie4. Niech �õ$ � � � b"dziezbioremograniczonym, > � � � � �i " jestdowolnym
prostopadłoscianemzawierajacym � . Kładziemy�>L | _� k >_ | * gdy �Y �� * gdy �Y "a {� .
IterowanacałkaRiemanna@ A> * " istniejei nie zalezy od kolejnosci całkowaniawtedy i tylko
wtedy, gdy funkcja�> jestograniczonai zbiórö ��TÙ ÷Y " � �> nie jestciagław punkcie
øb Aù mamiare0. (Bezdowodu).
Od tego momentubedziemypisac �o��>_ | QN5 zamiast@ A> * " i bedziemynazywac całke�o��>_ | ONP całka wielokrotna.
Zastosujmyprzedstawionawyzej charakteryzacje domiary zbioru ²�$a" ,¾ � S² _�<B Ó Õ�Ö | ô
8 ROZDZIAŁ 6. CAŁKI ITEROWANE I WIELOKROTNE
Wynika z niego, ze funkcjaÕ2Ö
musi miec zbiór nieciagłosciö
, spełniajacy ¾9 ö v���. Za-
uwazmy, ze w przypadkufunkcji charakterystycznejzbioru ² mamyö �ú� ² . Uzasadniato
nastepujaceokreslenie.
Definicja 2. Powiemy, zezbiór �ú$ � � �jestmierzalnyw sensieJordana-Riemanna, jesli
� �mamiarezero.
Uwaga. Od tej chwili uznajemy, ze zbiory mierzalnew sensieJordana-Riemannanaleza doÆ�ÇȲ ! Aczkolwiek, byc moze nie wyczerpuja one tej klasy zbiorów. Nie bedziemyzgłebiactego tematu.
Widaczatem,zemozemycałkowac tylkopozbiorachmierzalnychw sensieJordana-Riemanna.Chcielibysmymiec warunekistnienia �o��>_ | �NP nie w terminach
�> , alesamejfunkcji > . Jeslizbiór
öjestokreslony tak, jak w (7), to od razuwidac, zeö � ö u Ëüû
gdzie ö u �¤TÙ �Y � � > nie jestciagław punkcie øb *
zas û $ � � . Zakładajacmierzalnosc � dostaniemy, ze ¾� û 9\ ¾9 � � ���� . Zatemz (M2)��� ¾9 ö L� ¾9 ö u Ë�û � ¾9 ö u _�<� !Zatemz powyzszegotwierdzeniadostajemynastepujacy wniosek.
Wniosek 5. Załózmy, ze �?$ � � �jest mierzalny w sensieJordana-Riemannai ograniczony.
Wtedy, istnienie B � >_ | �NP jestrównowaznetemu,zezbiór
ö(taki jak w (7)) mamiare 0 i funkcja > jestograniczona.
6.3 Własciwoscicałek i miary
Sformułujemyterazszereg własciwosci całekbedacych uogólnieniamiznanych cechcałekRie-mannana przedziałach.Zakładamyponizej, ze zbiór �t$ � �{�
jest ograniczony i mierzalny wsensieJordana-Riemannaa funkcje > * g � � � � �
sa calkowalnetj. całki �-�%> * �o� g sa dobrzeokreslone.
Stwierdzenie6. Niech � *oý Y � � , wtedyB � � >_ | � ý g | i �NP �� � B � �>_ | �NP � ý B � �g | �N5 !Dowód. Niech " bedzietakakostka, ze "ÂÁa� i
�> * �g sadanewzorem(4), wtedy
6.3. WŁASCIWOSCI CAŁEK I MIARY 9þ � BÙÓ � �>_ | � ý �g | i QN5 ÿ� B C��G � !7!6! B C IG I � �>L | � ý �g | i QN5 � !7!6! NP � � � dzieki własciwosciomcałekRiemannanaprzedziałach � ß� BDC��G � !6!6! � BKC IG I �>L | ONP � � ý BDC IG I �g | QNP � ONP M4 !6!6! N5 � �� � B C �G � !7!6! B C IG I �>_ | ONP � NP � � ý B C �G � !7!6! B C IG I �g | QNP � NP � �� � B � >L | �NP � ý B � g | �NP ����
ãäStwierdzenie7. Niech � � � �JË � 4 , gdzie � ��Ì � 4q� É i � �V* � 4 samierzalne.Jesli > � � � � �jestcałkowalna,to B � >_ | �NP ÿ�[B � I >_ | �NP � B � � >L | �NP !Dowód. Mierzalnosc zbiorów � � i � 4 zapewnia, zefunkcje g � � > Õ ��� , Ü � e * ; sa całkowalne.Dzieki stwierdzeniu6 mamyB � >_ | �NP �� B � g � � g 4+ | �NP ÿ� B � g � | �N5 � B � g 4 | �NP À� B � I >_ | �NP � B � � >_ | �NP ! ãäStwierdzenie8. Jesli funkcje > * g � � �?� �
sacałkowalnei >_ | Z\ g | dlawszystkich ÷Y � ,
to wtedy B � >_ | QNP �\�B � g | ONP !Dowód. Wynika on z analogicznejwłasciwosci dla całek po przedziałachzastosowanej do
schematudowodustwierdzenia6. Mianowicie, z załozeniawynika�> \ �g , anastepnieB � >_ | QN5 ÿ� @ �> * " Z\ @ �g * " L� B � g | QN5 ! ãä
Stwierdzenie9. Niech � \ >L | Z\�dla wszystkich
÷Y � . Wtedy
�ÿ¾9S� ¡\�B � >_ | QN5 �\� ¾9£� !Dowód. Wynikaonbezposredniozestwierdzenia8 i z faktu � � >L | �NP À� ¾9S� . ãäStwierdzenie10.Jesli ¾9£� L��� i funkcja > jestograniczona,to � � >L | �NP ÿ��� .
10 ROZDZIAŁ 6. CAŁKI ITEROWANE I WIELOKROTNE
Dowód. Skoro m � \ > \�, to ze stwierdzenia9 mamy m¨¾9£� �� \ � � > NP a\�� ¾�S� .
Stadi z załozenia¾9£� L�<� , wypływateza. ãäTwierdzenie11. (o wartosci sredniej).Załózmy, ze > jestcałkowalna,nadto >_ | §Y & � * � / dlapewnych � * � Y � �
i wszystkich ÷Y � . Wtedyistniejetakie ¼ Y¿& � * � / , zeB � > NP ÿ� ¼�¾9£� !
Dowód. Ze stwierdzenia9 mamy, ze �i�>L | ONP aY'& �ÿ¾9S� * � ¾9S� / . Terazistnieniezadanejliczby jestoczywiste. ãäStwierdzenie12. Jesli > * g � � � � �
sa całkowalnei zbiór ² �±TÙ àY � � >_ | � � g | ob mamiare zero,to wtedy �o��> NP �� �o� g NP .
Dowód. Kładziemy� | _� >L | m g | . Zestwierdzenia7 mamy,B � � | ONP À�[B ��� Ö � | ONP � B Ö � | QN5 À��� � B Ö � | ONP !
Zestwierdzenia10 dostaniemy� Ö � | QN5 ÿ�<� , zatemw mysl stwierdzenia6��<B � � | QN5 ÿ�[B � A>L | m g | z ONP ÿ�<B � >L | m B � g | ONP *stadwypływa teza. ãä6.4 Inter pretacjageometrycznamierzalnosciw sensieJordana-
Riemanna
Wprowadzimyw� ���
siatki zbudowanez wierzchołkówkosteko boku � * � p � , tj.� �� L�UTÙ �Y � � � � ÿ� ��� * � Y�� � b !Badamyzbiór �r$ � ��� . Tworzymyzbiory:���Ô�� zamierajacy � abedacy sumakosteko boku � i o wierzchołkachz siatki
� �� ;
������������
������������
�����������
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !" " " " " " " " " " " "" " " " " " " " " " " "# # # # # # # # # # # #$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $
% % % % % % % % % % % % %& & & & & & & & & & & & &' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( () ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )* * * * * * * * * * * * *
6.4. INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA MIERZALNOSCIW SENSIEJORDANA-RIEMANNA11
Rys.2. Zbiór � � �� � � �� bedacy sumakosteko boku � i o wierzchołkachz siatki� �� zawartychw � .
++++++++++++
,,,,,,,,,,,,
-----------
............
/ / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / /0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 34 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 45 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 56 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 67 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 77 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 78 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 88 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
Rys.3. Zbiór � � �� Na rysunku2. w � � �� jest18 kostek;rysunek3. pokazujew � � �� 4 kostki, w � � :94 jest ich62 w � � 94 - 30.
;;;;;;;;;;;
<<<<<<<<<<<
===========
>>>>>>>>>>>
???????????
@@@@@@@@@@@A A A A A A A A A A A AA A A A A A A A A A A AB B B B B B B B B B B BB B B B B B B B B B B B
C C C C C C C C C C C CD D D D D D D D D D D DE E E E E E E E E E E EE E E E E E E E E E E EF F F F F F F F F F F FF F F F F F F F F F F F
G G G G G G G G G G G G GH H H H H H H H H H H HI I I I I I I I I I I I IJ J J J J J J J J J J JK K K K K K K K K K K K KL L L L L L L L L L L L
M M M M M M M M M M M MN N N N N N N N N N N NO O O O O O O O O O O O OO O O O O O O O O O O O OP P P P P P P P P P P PP P P P P P P P P P P PQ Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q QR R R R R R R R R R R RS S S S S S S S S S S S SS S S S S S S S S S S S ST T T T T T T T T T T TT T T T T T T T T T T T
UUUUUUUUUUU
VVVVVVVVVVV
WWWWWWWWWWW
XXXXXXXXXXX
YYYYYYYYYYY
ZZZZZZZZZZZ
[[[[[[[[[[[
\\\\\\\\\\\
]]]]]]]]]]]^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `a a a a a a a a a a a ab b b b b b b b b b b bc c c c c c c c c c c cd d d d d d d d d d d dd d d d d d d d d d d de e e e e e e e e e e ee e e e e e e e e e e ef f f f f f f f f f f f fg g g g g g g g g g g gh h h h h h h h h h h h hh h h h h h h h h h h h hi i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i ij j j j j j j j j j j j jk k k k k k k k k k k kl l l l l l l l l l l l lm m m m m m m m m m m mn n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n no o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o op p p p p p p p p p p p pq q q q q q q q q q q q
Rys.4. Zbiory rtsvu 9wyx oraz r s u 9wyxJesli mamy
r s u�z x|{~}|��������� u�� ��� z x � r s u�z x�{ } ��������� u�� ��� z x �to ��� u�r s x�{�� s vol � u�� ��� z x|{�� s z
��� ��� u�r s x�{�� s z�
Jestfaktem,który podamybezdowodu, ze zbiór r jest mierzalny w sensieJordana-Riemanawtedyi tylko wtedy, gdy �����
9����� u�r s u�z x�x�{��¡ £¢9¤���
� u�r s u�z x¥x§¦Natomiast,zawszejestprawda, ze
�����9¤���
� u�r s u�z x�x©¨ª�« £¢ 9¤���� u�r�s¬u�z x¥x .
12 ROZDZIAŁ 6. CAŁKI ITEROWANE I WIELOKROTNE
Takie pojeciemierzalnosci jak w/g Jordana-Riemannajest pogladowe, lecz ma wady, np.zbiór r {� w¯®±°³² �µ´µ¶ w , tj. zbiór punktówz kwadratuo obu współrzednych wymiernych nie jestmierzalny, bo dladowolnego z¸· ²
� w u�r s u�z x¥x� ´�� zas
� w u�r s u�z x¥x�{ ²Zastosowaniado teorii całkowaniasanastepujace.
Twierdzenie 13. Niech r ¹»º ¼�
bedziemierzalny wg. Jordana-Riemannaa ½¿¾�r À º ¼całkowalna.Załozmy, zw ÁÃÂÅÄ bÃÆÄ ��� jesttakim ciagiemrodzinkostek
ÂÅÄ { Á � u�� ��� zÇÄ x bÉÈ�Ê����� �ze Ë
�¡ÌÄvÍ Æ zÎÄ { ² � iÈ�Ê������ � u�� ��� zÇÄ x ¹Ïr oraz
Ë�¡ÌÄ¬Í ÆÑÐ Äyz
�{ ��� u�r x§¦
Wtedy ÒÓ ½|u�� x�Ô � {
Ë�¡ÌÄvÍ Æ
È ÊÕ�����ÒÖ�×ÙØÇÚÜÛ 9 ÊvÝ ½|u�� x�Ô �
Dowód. Załózmy, ze ÌßÞÃà Ó�á ½ á ¨â . Wezmy dowolne 㸷 ². Badamyróznice
ä Ä {ÒÓ ½�u�� x�Ô �æå È ÊÕ �����
ÒÖ�×çØÇÚ�Û 9 Ê Ý ½|u�� x�Ô � {
ÒÓ�è�éÃê ÊÚçëíì Ö�×çØÇÚ�Û 9 Ê Ý ½|u�� x�Ô �
Mozemydzieki mierzalnosci r tak dobrac zÎÄ , aby��� u�rïîñð È Ê����� � u�� ��� zÎÄ x¥x©¨ ãâ ¦Wtedy á ä Ä á ¨�â òôóõ { ã . ö÷
Odnotujmytez (bezdowodu).
Twierdzenie14. Jesli r jestmierzalny, ÁÃÂÅÄ bÃÆÄ ��� jestciagiemkostektakim jak wyzej i punktyø Ä��ù � u�� ��� zÇÄ x sadowolne,to wtedydlacałkowalnejfunkcji ½ú¾ûrüÀ º ¼ mamyÒÓ ½|u�� x�Ô � {
Ë�¡ÌÄ¬Í Æ
ȤÊÕ �ý��� vol � u�� ��� zÎÄ x ½|u ø Ä� xþ¦Tenfakt lezy u podstaw teorii całki rozwijanejw niniejszymopracowaniu: kazdacałkajest
suma nieskonczeniewielu przyczynków, któresa postaci:stałafunkcjaokreslonanakwadracie(lub równoległoboku,którajestobrazemkwadratu).
6.5. MIARA ZBIORÓW NIEOGRANICZONYCHI CAŁKI NIEWŁASCIWE 13
6.5 Miara zbiorów nieograniczonychi całki niewłasciwe
Chcemyodpowiedziec napytanie: czy zbiór nieograniczony mozemiec dobrzeokreslonepole(objetosc itd)? Odpowiedz jest twierdzaca,aczkolwiek szczegółowo zbadamywyłacznieprzy-padekzbiorównieograniczonych,któresapodwykresamifunkcji. Do wyłozeniamysli przewod-niej przydasienowy jezyk:powiemy, zerodzinaprostopadłoscianówÁ � È�ÿ ÆÈ ��� wyczerpuje º ¼ Ä ,jesli dla kazdego Ð mamy � È�� ��� � È i � Æ����� � � { º ¼ Ä .
Załózmy teraz,ze � ¹ªº ¼ Ä jestnieograniczony, aletaki, ze
dla dowolnej rodziny prostopadłoscianów Á � ÈÉÿ ÆÈ ��� wyczerpujacej º ¼ Ä , przeciecie
� È ® � jestmierzalnew sensieJordana-Riemanna. (O)
Wtedykładziemy � Ä�u�� x�{ Ë�¡ÌÈ Í Æ
� Ä�u�� ® � È xþ¦Musimy zastanowic sie, czy jest to dobrzeokreslonawielkosc, tj. czy zalezy od wyboruciaguÁ � È�ÿ ÆÈ ��� .Stwierdzenie15. Przydotychczasowych załozeniachna � liczba
� �u�� x jestdobrzeokreslona(choc nie wykluczamyprzypadku
� �u�� x|{� ).
Dowód. Niech beda dane2 ciagi spełniajace(O), Á � � È ÿ ÆÈ ��� i Á � w È ÿ ÆÈ ��� . Zauwazmy, ze ciagiliczbowe
� Ä�u�� ® � �È x ,� Ä�u�� ® � wÈ x sa rosnace,awieczbiezne.Trzebapokazac, zegraniceË�«ÌÈ Í Æ
� Ä�u�� ® � �È x�{ ¾� � � Ë
�¡ÌÈ Í Æ� Ä�u�� ® � wÈ x�{ ¾
� wsa równe.Wykazemy, ze � � ¨ � w ¦ u� xZ definicji granicy wynika, zedla dowolnego ã · ²
istniejetakie � ó , ze� � å ã ¨ � Ä£u�� ® � �È xdla Ð
�� ó . Nadto,
� Ä�u�� ® � �È x ¨� �
, cowynikaz monotonicznosciciagu.Poniewaz obaciagiprostopadłoscianówÁ � � È ÿ ÆÈ ��� i Á � w È ÿ ÆÈ ��� wypełniaja º ¼ Ä , to dladowolnego Ð istniejetakie � , ze
� �È ¹ � w� . Dlatego � � å ã ¨ � Ä�u�� ® � �È x©¨� Ä£u�� ® � w� x ¨ � w �
gdy Ð�� ó . Poniewaz ã jestdowolne,to wnosimystadnierównosc (9). Tensamargumentdaje
i nierównosc przeciwna� w ¨ � �
, astadwynika równosc� w { � �
. ö÷Zastosujemytenwynik dorozszerzeniapojeciacałkiRiemannanaprzypadekfunkcji nieogranic-
zonych.
Definicja 3. Niech ¹�º ¼ Ä bedziezbioremnieograniczonym spełniajacym (O). Załózmy, ze� ¾� À º ¼ jest funkcja ograniczona i nieujemna, której zbiór nieciagłosci ma miare zero.Powiemy, ze � jestcałkowalnaw sensieniewłasciwymRiemanna, jesli
� Ä � � u��æu � x¥x���� .
14 ROZDZIAŁ 6. CAŁKI ITEROWANE I WIELOKROTNE
Z mocy stwierdzenia15, jesli Á � ÈÉÿ ÆÈ ��� jestdowolnym ciagiemprostopadłoscianówwyczer-pujacych º ¼ Ä�� º ¼ , to � Ä � � u���u � x¥x Ë �¡ÌÈ Í Æ � Ä � � u��æu � x ® � È x§¦Zauwazy, zewtedy, gdy � È { � � È � °�� È ��� È ¶ i ½�u�� x ù °�� È ��� È ¶ dla Ð
� ´ , mamy� Ä � � u��æu � x ® � È x�{ Ò ��� Ö�� ê � u�� x�Ô � ¦KładziemyÒ � � u�� x�Ô � { Ë
�¡ÌÈ Í ÆÒ ��� Ö � ê � u�� x�Ô � � Ë
�¡ÌÈ Í Æ� Ä � � u���u � x ® � È x � � Ä � � u��æu � x¥x§¦
Całkepo lewej stronienazwiemy całka w niewłasciwymsensieRiemanna.W praktycemamydo czynienianie tylko z funkcjaminieujemnymi, dlatego musimyrozsz-
erzyc powyzszadefinicje, takabyobejmowałafunkcjeo zmiennym znaku.
Definicja 4. Załózmy, ze zbiór ¹ º ¼ Ä jest taki, jak poprzednio,zas funkcja ½ ¾! À º ¼jestograniczonai jej zbiór nieciagłosci mamiare zero.Powiemy, ze ½ jestcałkowalnaw sensieniewłasciwymRiemanna, jesli Ò � á ½|u�� x á Ô � ����¦Wtedycałkew sensieniewłasciwymRiemannafunkcji ½ okreslamywzoremÒ � ½|u�� x�Ô � { Ò � ½ � u�� x�Ô �æå Ò � ½#" u�� x�Ô � �gdzie ½ � u�� x { Ì ÞÉà Á�½�u�� x � ² ÿ , ½ " u�� x { ÌßÞÃà Á ² � å�½|u�� x ÿ . Łatwo jest zauwazyc, ze ½|u�� x {½ � u�� x 媽 " u�� x . Nadto,
² ¨ ½ � u�� x � ½ " u�� x ¨ á ½|u�� x á . Czyli powyzszadefinicjajestpoprawna.Jesli Á � ÈÃÿ ÆÈ ��� jestdowolnym ciagiemwyczerpujacym º ¼ Ä , to dostaniemyÒ � ½|u�� x�Ô � {
Ò � ½ � u�� x�Ô � å Ò � ½ " u�� x�Ô �{
Ë�¡ÌÈ Í Æ
Ò ��� Ö ê ½ � u�� x�Ô �æå Ë�«ÌÈ Í Æ
Ò ��� Ö ê ½#" u�� x�Ô �{Ë�¡ÌÈ Í Æ
Ò ��� Ö ê u�½ � u�� x å ½#" u�� x¥x�Ô � {{
Ë�¡ÌÈ Í Æ
Ò ��� Ö ê ½|u�� x�Ô � ¦Trzebatu podkreslic, zejesli ½ ¾$ À º ¼ jestdowolna funkcja ograniczona i zmiennegoznaku,której zbiór nieciagłosci mamiare zero,to granicapo prawej stroniemozew ogólenie istniec.Mozetez siezdarzyc, zegranicaistnieje,mimoiz funkcja ½ niejestcałkowalnaw niewłasciwymsensieRiemanna. Powiemy, ze istnieje wtedy niewłasciwa całka Riemannafunkcji ½ na .Przykłademtakiej sytuacjisa całki Fresnela.
6.5. MIARA ZBIORÓW NIEOGRANICZONYCHI CAŁKI NIEWŁASCIWE 15
Przykład 5. Ò Æ�
� �« �� Ô ��¾ {Ë�¡Ì% Í Æ Ò %� � �¡ �� Ô � {'&( �
alefunkcja )+*�, ØØ nie jestcałkowalnaw sensieniewłasciwymRiemanna!
Przykład 6.Sprawdzimykiedyfunkcje ½|u�� x|{ � "$- naprzedziale° ´y� �x sacałkowalnew sensie
niewłasciwymRiemanna.Zakładamy, ze . · ². Dostaniemy,/�0 %� � "$- Ô � { " �-1" � � � "$- á %� � gdy .32{ ´ ;0 %� � " � Ô � { Ë
54 � gdy . { ´ ¦Granica
Ë�«Ì % Í Æ 0 %� � "$- Ô � jestwiecskonczonawtedyi tylko wtedy, gdy . · ´ .
W podobny sposóbpostepujemyz funkcjaminieograniczonymi nazbiorachograniczonych.
Definicja 5. Załózmy, ze ¹�º ¼ Ä jest mierzalny w sensieJordana-Riemanna,zas nieujemnafunkcja � ¾6 À º ¼ , ¹º ¼ Ä ma zbiór nieciagłosci miary zero. Jesli
� Ä � � u���u � x�x7�8� , topowiemy, zefunkcja � jestcałkowalnaw niewłasciwymsensieRiemanna.
Aby rozszyfrowac znaczenietego okresleniarozpatrzmyciag wypełniajacy � È { � � È �° å Ð � Ð ¶ , gdzie � { � � � jestdowolnym prostopadłoscianemzawierajacym . Wtedy,� Ä � � u��æu � x¥x�{ Ë�«ÌÈ Í Æ
� Ä � � u���u � x ® � È x�{ Ë�¡ÌÈ Í Æ
Ò � � È u�� x�Ô � �gdzie � È sa zdefiniowanenastepujaco� È u�� x|{'9 � u�� x � gdy � u�� x ¨ Ð ;Ð � gdy � u�� x · Ð .
Powyzszadefinicjemoznarozszerzyc nafunkcjezmiennegoznaku.
Definicja 6. Jesli jest takim zbiorem,jak wyzej i ½ ¾5 À º ¼ jest funkcja majaca zbiórnieciagłoscimiaryzeroi á ½ á jestcałkowalnaw niewłasciwymsensieRiemanna,to powiemyo ½ ,ze jestcałkowalnaw niewłasciwymsensieRiemanna. Całke z ½ okreslamywzoremÒ � ½|u�� x�Ô � { Ò � ½ � u�� x�Ô �æå Ò � ½#" u�� x�Ô � ¦Odpowiadato obliczeniunastepujacejgranicy,Ò � ½|u�� x�Ô � { Ë
�¡ÌÈ Í ÆÒ � ½ È u�� x�Ô � � u ´ ² x
gdzie
½ È u�� x|{ :;< ;= ½|u�� x � gdy á ½|u�� x á ¨ Ð ;Ð � gdy ½|u�� x · Ð ;å Ð � gdy ½|u�� x>� å Ð .
16 ROZDZIAŁ 6. CAŁKI ITEROWANE I WIELOKROTNE
Jednakw praktyce(10)nie jestdogodnew obliczeniach.Lepiej jestmiec doczynieniaz granicaË�«ÌÈ Í Æ
Ò �7?6@ AB@ C È ½|u�� x�Ô � ¦Trzebaspradzic, zeobiegranicesa równe.Istotnie,mamy
Twierdzenie16. Przy załozeniachna takich jak wyzej, jesli ½ jest całkowalnaw niewłasci-wym sensieRiemanna,toÒ � ½�u�� x�Ô � { Ë
�«ÌÈ Í ÆÒ � ?6@ AB@ C È ½|u�� x�Ô � { Ë
�¡ÌÈ Í ÆÒ � ½ È u�� x�Ô � ¦
Pozostawimy ten fakt bez dowodu. Zajmiemy sie zas prostymi zastosowaniami. Przydatnewnioski z tego faktuujrzymy w rozdziale7.
Przykład 7. Zbadac całkowalnosc0 �� � "$- Ô � , . ù º ¼ . Liczymy, gdy .�2{ ´ ,Ò �
ó � "$- Ô � { å ´´ åD. � � "$- á �ó { ´. å ´ u ´ å ã � "$- x �gdy . { ´ , Ò �
ó � " � Ô � { åË ã ¦
Granica
Ë�«Ì ó Í � 0 �ó � "$- Ô � jestskonczonawtedyi tylko wtedy, gdy . � ´ .
6.6 Zamiana zmiennychw całcewielokrotnej
Bedziemyzajmowali sie wyłacznieprzypadkiemdwuwymiarowym, choc wyniki sa prawdziwew wielu wymiarach.
6.6.1 Całka na równoległoboku
Niech 4 u � ��� x ¹ªº ¼ w bedzierównoległobokiem.Chcemyobliczyc0 % ×FEþÛ G Ý ½|u�� x�Ô � ¦ Podejrzewamy,
zeprosciejby było liczyc tecałkenakwadracie� { � u¥u �w � �w x �µ´ x . Zauwazmy, ze 4 u � ��� x|{IH � ,
gdzie H jestprzekształceniemliniowym, takim mianowicie, ze HKJ ��ML { � i HKJ � � L { � . Załózmynapoczatek,zefunkcja ½ jeststałarównaN . Wtedykorzystajaczewzorunapolerównoległobokudostaniemy Ò % N Ô � { � u 4�x ò N { N áMO�PRQ u � ��� x á { N áMOSPTQ H á { Ò
Ö N áMO�PTQ H á ÔVU ¦Zanimopowiemyo przypadkuogólnym przedstawimy pewienpomocniczyfakt.
Twierdzenie17. Niechzbiór r ¹ªº ¼ Ä bedziedomknietyi ograniczony oraz ½ ¾ûr�À º ¼ . Wtedyponizszewarunkisa równowazne.
6.6. ZAMIAN A ZMIENNYCH W CAŁCE WIELOKROTNEJ 17
(i) ½ jestfunkcja ciagła;(ii) dla kazdego ã · ²
istnieje takie z · ², ze dla wszystkich � � U ù r spełniajacychÔ u�� � U�x�� z mamy Ô u ½�u�� x � ½|u U�x¥xW� ã ¦
Jesli funkcja ½ spełnia(ii), to mówi sie, zejest jednostajnieciagła.
Uwagi. (1) Funkcja� À �Ø � � ù u ² �¬´ x nie jestjednostajnieciagła,tj. istotnajestdomknietosc iograniczonosc .
(2) Jesli funkcja ½�¾ r À º ¼ spełniawarunekLipschitzazestała X , to jest automatyczniejednostajnieciagła.
Wracamydocałkowania.Niech � �ZY { � u�� �ZY�� �Ä x gdzie � �ZY { u � � ì[Ä � Y � ì[Ä x �]\¥�_^ { ² � ¦«¦¡¦ �a` å ´Ò % ½�u U�x�ÔVU {ÒcbÖ ½�u U�x�ÔVU¸{ Ä " �Õ�ZY¥� � Òcb Ö�Ú d ½|u U x�Ô$U{ Ä " �Õ��Y¥� � u Ò b Ö�Ú d ½|u H � �ZY x�ÔVUfe Ò b
Ö Ú d u ½|u U x å ½|u H � �ZY x�ÔVU x { uhg xNiech teraz ã bedziedowolna liczba dodatnia. Dobieramytakie � , aby á ½|u U�x 媽|u H � �ZY x á � ãdla dowolnego U ù � �ZY i ` · � . Moznato osiagnac dzieki twierdzeniu17. Wtedy
u_g x�{ Ä " �Õ� Û Y¥� � ½|u H � �ZY x Ò Ö�Ú d áMO�PTQ H á Ô � e bład�gdzie ábład� á �ji Ä " ��ZY¥� � ã ò vol � �ZY
{ Ä " �Õ� Û Y¥� ��k Ò Ö�Ú d ½|u H � x áMO�PRQ H á Ô � e ÒÖ�Ú d u ½�u H � ��Y x å ½�u H � x�x O�PTQ HúÔ �ml e bład� ¦
OstatecznieÒ % ½|u U�x�ÔVUï{ Ò
Ö ½�u H � x áMO�PTQ H á Ô � e bład � e bładw ¦gdzie ábładÈ á ¨ ã vol � , Ð { ´y� ( .
Skoro ã było dowolne,to Ò % ½|u U x�Ô$U¸{ ÒÖ ½|u H � x áMO�PRQ H á Ô � ¦ u ´�´ x
Jestto wzórna zamianezmiennych w całcewielokrotnej.Zastosujmyzdobytawiedze.
Przykład 8. ObliczmyÒ % u U � å U w x w Ô$U � ÔVU w �
gdzie 4 { Á u U �Ç� U w x ¾ ² ¨nU � ¨ ´�� U � ¨nU w ¨oU � e ´ ÿ . Zauwazmy, ze 4 {pH � � � { ° ² �¬´µ¶ woraz H�{rq ´ ´² ´ts �
18 ROZDZIAŁ 6. CAŁKI ITEROWANE I WIELOKROTNE
tj. H J Ø ìØ [ L { J Ø ì � Ø [Ø [ L { JMu ìu [ L � nadtoO�PRQ H�{ ´ . Stosujemywzór (11),Ò % u U � å U w x w Ô$U � ÔVU w {ÒÖ u�� � e � w å � w x w áMO�PTQ H á Ô � � Ô � w
{ÒÖ � w � Ô � � Ô � w {
Ò �� �
w � Ô � �Ò �� Ô � w { ´v ¦
6.6.2 Mierzalnosc obrazu zbioru
Zanimzajmiemysieogólnym wzoremnazamianezmiennychmusimyzastanowic sie,czyobrazzbiorumierzalnego jestmierzalny. W tym celuwykazemynastepujacy fakt.
Lemat 18. Załózmy, ze w ¾ � u�� � � z x ¹ º ¼ Ä À º ¼�
jest funkcja spełniajaca warunekLipschitzazestała X . Wtedy w�u � u�� � � z x¥x ¹ xy u�w�u�� � x � X z x�x ¹ � u�w�u�� � x � X z xDowód. Drugainkluzja jestoczywistymfaktemgeometrycznym, pozostajenamwykazac pier-wszezawieranie.Niech U ù � u�� � � z x , wtedyz załozeniaz w u�� � x å{w u U�x z ¨ X z � � å U z ¨ X z ¦Oznaczato, ze w u U�x ù xy u�w�u�� � x � X z x . ö÷
Mozemyterazsformułowac zasadniczywynik.
Stwierdzenie 19. Załózmy, ze ¹ º ¼ Ä jest mierzalny w sensieJordana-Riemanna.Nadto,wú¾íº ¼ Ä À º ¼ Ä jestróznowartosciowa funkcja spełniajacawarunekLipschitzazestała X . Wtedyw�u� x jestzbioremmierzalnym w sensieJordana-Riemanna.
Dowód. Niech ãæ· ²bedziedowolnei Á � u�� È � z È x ÿ ÆÈ ��� jestciagiemkostekpokrywajacych |}
takim,ze i ÆÈ ��� vol u � u�� È � z È x¥x>� ã . Zauwazmy, zewtedynamocy poprzedniegolematurodzinaÁ � u~w�u�� È x � X z È x ÿ ÆÈ ��� pokrywa w�u�|� x , cowiecej,ÆÕÈ ��� vol u � w�u�� È x � X z È x ¨ ÆÕÈ ��� vol u � u�� È � z È x�x X Ä � ã�X Ä ¦A wieczbiór w u�|} x jestmierzalny w sensieJordana-Riemanna.Trzebanamjeszczewiedziec, zew�u�|} x|{ |�w�u� x . Jestto faktogólno–geometrycznejnatury, korzystajacy z róznowartosciowosciw , jegodowódpomijamy. ö÷
Wykazemyterazodpowiednik twierdzenia13.
Twierdzenie20. Niech r ¹ªº ¼�
bedziemierzalny wg. Jordana-Riemannaafunkcja ½ú¾ûr�À º ¼bedziecałkowalna.Załozmy, ze ÁÃÂ Ä ÿ ÆÄ ��� jesttakimciagiemrodzinkostek
ÂÅÄ { Á � u�� ��� zÇÄ x ÿ È�Ê����� �
6.6. ZAMIAN A ZMIENNYCH W CAŁCE WIELOKROTNEJ 19
zeË�«ÌÄvÍ Æ zÎÄ { ² � i
ȤÊ��ý���í� u�� � � zÎÄ x|{ r s u�zÎÄ x ¹Ïr oraz
Ë�«ÌÄvÍ Æ ��� u�r s u�zÎÄ x¥x|{
Ë�«ÌÄ¬Í ÆÑÐ Ä�z
�{ ��� u�r xþ¦
Jesli w ¾íº ¼ � À º ¼�
jestróznowartosciowa funkcja klasy � � , to wtedyÒB�× Ó Ý ½|u U x�ÔVUï{ Ë
�«ÌÄvÍ ÆÈ ÊÕ �ý���ÒB�× Ö ÊÚ Ý ½�u U�x�Ô$U ¦
Dowód. Załózmy, ze Ì ÞÉà�× Ó Ý á ½ á ¨¿â . Z przyjetychzałozen wynika, ze w rozpatrywanana
kuliy u ² � 4�x zawierajacej r spełniawarunekLipschitzaz pewnastała X .
Badamyróznice ä Ä {Ò �× Ó Ý ½|u�� x�Ô �æå
Ò �×ýÓ�× 9 Ê Ý«Ý ½|u�� x�Ô � ¦
Odnotujmy w�u�r x î�w�u�r s u�zÎÄ x¥x�{ w�u�rÏî�r s u�zÇÄ x�x , gdziewykorzystujemyróznowartosciowosc w .Rozpatrzmytez rodzinekostek Á � u�� YÃ� zÎÄ x ÿ È �Y���� , której sumadaje r s u�zÇÄ x . Wtedy,w�u�rªîñr s u�zÎÄ x¥x|{ w u�r ® u�r s u�zÇÄ x îñr s u�zÎÄ x¥x|{ �� Y�� Ö�×ÙØ�d§Û 9 Ê Ý+� Ó � × 9 Ê Ý ÛR�_������ Ó}� w u � ÄY ® r xþ¦Na mocy lematu18
��� u~w u � u�� YÉ� zÎÄ x�x ¨ X � vol u � u�� YÉ� zÎÄ x¥x . Natomiastilosc kostek � ÄY w r s u�zÎÄ xspełniajacych � ÄY 2¹Ïr jestrówna Ð s|å Ð Ä . Skoro r jestmierzalny, to u Ð s|å Ð Ä x z
�Ä dazy dozera,
gdy ` À � . Zatem
á ä Ä á ¨Ò �× Ó�è�Ó
�× 9 ÊvÝ¡Ý á ½�u�� x á Ô � ¨ u Ð s å Ð Ä x z
�Ä â À ²
gdy ` À ��¦ ö÷6.6.3 Wzór na zamiane zmiennychw całce
Przedstawimy terazprzypadekogólny wzorunazamianezmiennychw całcewielkrotnej.Niechr ¹ º ¼�
bedzieograniczonym zbioremmierzalnym i niech ÁÃÂÅÄ ÿ ÆÄ ��� bedzierodzina kostek,Â Ä { Á � Ä� ÿ ȤÊ����� , gdzie � Ä� { � u�� Ä� � zÇÄ x . O tej rodziniezakładamy, ze zÇÄÑÀ ²i dla dowolnego㸷 ²
istniejetakie � , ze � u�r î È Ê������y� Ä� x�� ã dla ` · � ¦Wiemy, zeprzyzałozeniachpoprzedniego twierdzenia,Ò �
× Ó Ý ½|u U x�ÔVUï{ Ë�«ÌÄvÍ Æ
È ÊÕ �ý���Ò �× Ö ÊÚ Ý ½�u U�x�Ô$U ¦
Zajmiemysie terazcałkanaobraziekwadratu,w�u � Ä� x ,Òc�×ýÖ ÊÚ Ý ½|u U x�ÔVUï{ Ò % ÊÚ ½�u U�x�Ô$U5eD� � u�zÎÄ x �
20 ROZDZIAŁ 6. CAŁKI ITEROWANE I WIELOKROTNE
gdzie 4 Ä� { Kw u�� � x � Ä� e w u�� � x . Nadtobład� � u�zÎÄ x�{ Òc�× Ö ÊÚ Ý ½�u U�x�Ô$U å Ò % ÊÚ ½|u U�x�ÔVU �
mozemyoszacowac i dostaniemy
á � � u�zÎÄ x á ¨ ÌßÞÃà�× Ö ÊÚ Ý á ½�u U�x á ò � u 4 Ä�$� w�u � Ä� x¥x �
gdzieH � y oznaczaróznicesymetryczna: H � y { u H î y x ðñu y î Htx . Miareróznicy symetrycznejmozemyoszacowac dzieki temu,zedladostateczniemałych zÇÄ zbiór w u � Ä� x mapostacw�u � Ä� x�{ Á u�� �Î� � w x ¾f� � u�� � x ¨ � w ¨ � w u�� � x ÿ �gdziefunkcje � � i � w saciagłe,(patrztez rysunekponizej).
(Q)φ
D φ (Q)
Rys.5. Zdeformowany równoległobok.Moznasprawdzic (szczegóły pozostawiamyCzytelnikowi), ze� u 4 Ä� � w�u � Ä� x¥x ¨ � � u� Kw x z��Ä �
gdzie � � u� w x jestpewnastałaod pochodnej Kw i obszarur .Zatem
Òc�×ýÖ ÊÚ Ý ½|u U�x�ÔVU¸{ Ò
Ö ÊÚ ½|u~w u�� � x¥x á Kw�u�� � x á Ô � eD� � u�zÎÄ x�e{� �� u�zÎÄ x �gdzie � �� u�zÎÄ x jest błedemwynikłym z przyblizania ½|u�w�u�� x¥x funkcja stała ½|u~w u�� � x¥x na � Ä� , tymsamym á � �� u�zÎÄ x á ¨ � w u� Kw x z �Ä ¦Pozsumowaniuwzgledem\ dostaniemy,ȤÊÕ �ý���
Ò��× Ö ÊÚ Ý ½�u U�x�Ô$Uï{ ȤÊÕ�����
ÒÖ ÊÚ ½|u�w�u�� � x¥x á Kw u�� � x á Ô � e È�ÊÕ ����� u � � u�zÇÄ x�eD� �� u�zÎÄ x¥x|{I� Ä e bładÄ ¦
Wiemy, (patrztwierdzenie14), zeË�«ÌÄvÍ Æ � Ä { Ò
Ó ½|u�w�u�� x¥x á Kw�u�� x á Ô � �
6.6. ZAMIAN A ZMIENNYCH W CAŁCE WIELOKROTNEJ 21
zas ábładÄ á ¨ ȤÊÕ ����� �tz��Ä { � Ð Äyz��Ä ¦Skoro ´ e � u�r x � � u�r s u�zÎÄ x¥x|{ Ð sÄ z wÄ , to dladostatecznieduzych ` dostaniemyoszacowanie
Ð Ä ¨ Ð sÄ ¨ ´ e � u�r xz wÄ �tj. ábładÄ á ¨ � z �Äz wÄ u ´ e � u�r x�x�{ ��zÇÄ�u ´ e � u�r x�x À ² � gdy ` À ��¦
Tym samymwykazalismynastepujacy fakt.
Twierdzenie21.Niech r~¹º ¼�
bedzieograniczonym zbioremmierzalnym i niech ½ ¾ r À º ¼bedziefunkcja ciagła. Jesli odwzorowanie w ¾ º ¼ � À º ¼
�jestklasy � � i róznowartosciowe, to
mamywtedyÒc�×ýÓ Ý ½|u U�x�ÔVU¸{ Ò
Ó ½|u�w�u�� x�x á Kw�u�� x á Ô � ¦ö÷
Teprzydługierachunkiobrazujataktyke,którabedziemystosowac w nastepnychrozdziałachposwieconychcałkowaniuw róznychsytuacjach.Moznaja strescic nastepujaco:� badamyzachowaniesiemałegowycinkazbioru:odcinka,kwadratu,który przekształcamy
w sposóbliniowy. Kwadracikamimozemybowiem przyblizac badany zbiór mierzalny wsensieJordana-Riemanna.� nastepniemozemyustalic cosiedziejez kwadracikiem,który jestprzekształcany w sposóbgładki. Przekształceniarózniczkowalnemoznadobrzeprzyblizac odwzorowaniamilinio-wymi.� dostajemyoczekiwany wzórplusbładi pokazujemy, zebładdazy dozera.
Zastosujmyw praktycenowy wzór.
Przykład 9. Obliczyc � ¾ { ÒÓ�� ( å U w� å U ww ÔVU � ÔVU w �
gdzie r jestwycinkiemkołowym (patrzrys. 6):
r { Á u U �Ç� U w x ¾ U w� e{U ww ¨ ( � U w � á U � á ÿ ¦Wprowadzamywspółrzednebiegunowe:U � {������ � w � U w {�� � �¡ w � � ù °³² �R� ( ¶�� w ù ° & ��¡ � v & ��¡ ¶ ¦
22 ROZDZIAŁ 6. CAŁKI ITEROWANE I WIELOKROTNE
¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ £
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
Rys.6. Wycinekkołowy r .Piszemy¥ôu � � w x�{ u U �Ç� U w x , wtedy K¥ôu � � w x�{§¦ �T� � w å � � �« w� �« w ���T� � w©¨ �i OSPTQ K¥ôu � � w x�{I� . Dostaniemy�¸{ Ò �_ªB«~¬ªB«~¬ Ò® w
� � ( å � w � Ô$�ÃÔ w { å &( (v u ( å � w x �M« w á w� { & v ( �M« w ¦