”EDUARDO ESPINOZA RAMOS RELACIONES Y FUNCIONES

ANALISIS MATEMATICO I www.edukperu.com 214

= ±-

2

2

4yx ,

y 4 analizando los valores que pueda tomar “y” para que x sea real, en

este caso se tiene ³-

2

2

4y0

y 4

" yÎR, ³ Þ =2y 0 y 0 se cumple, ( )( )

³ Þ ³- +-

2

2

4y 10 0

y 2 y 2y 4

22

+

-

-+ →

La solución es y Î< -¥ , 2> È< +¥ >2,

Por lo tanto: { }=< -¥ - >È< +¥ >ÈRR , 2 2, 0

Sí { }=A 2,3,6,9,11 y { }=B 1,4,5,6,12,14

Expresar por extensión cada una de las siguientes relaciones:

a) ( ){ }= Î =R x, y A x B / y 3x

( ){ }=R 2,6

b) ( ){ }= Î + =R x, y A x B / x y 12

( ) ( ){ }=R 6,6 , 11,1

c) ( ){ }= Î =R x, y A x B / y x

( ){ }=R 6,6

Si el universo es { }=U 1,2,3,4,5 determinar por comprensión cada una

de las relaciones:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }=R 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

LA DERIVADA EDUARDO ESPINOZA RAMOS” “

www.edukperu.com ANALISIS MATEMATICO I 551

Calcular ( ) ( ) =f´ x ,si f x [|x+[|x|]|]

Por la propiedad é ù é ù+ = + Û Îë û ë ûx n x n n z como é ù Îë ûx Z

é ùé ù é ù é ù é ùÞ + = + =ë û ë û ë û ë ûë ûx x x x 2 x luego ( ) é ù" Î = ë ûx z, f x 2 x

( )Þ =f´ x 0

Si ( ) ( )pæ ö æ ö

= +ç ÷ ç ÷è ø è ø

2xsenxf x tg sen x cos2x .Hallar f´

2 2

Calculando la derivada de acuerdo a las reglas establecidas:

( ) ( ) ( )æ ö æ ö= +ç ÷ ç ÷

è ø è ø

2

x x

xsenx xsenxf´ x sec D 2sen x cos2x D sen x cos 2x

2 2

( ) ( )( )+æ öæ ö

= + -ç ÷ç ÷è øè ø

2 xsenx x cos x senxsec 2sen x cos 2x .cos x cos 2x cos 2x 2xsen2x

2 2

( )p p p p

p p pæ ö æ ö æ ö

= + - - = + =ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

2 1f´ sec 2 sec cos cos sen 1 0 1

2 4 2 2 2

pæ ö\ =ç ÷

èøf´ 1

2

Si + =3x y 8xy Hallar xD y

Derivando implícitamente se tiene: + = +2 2

x x3x 3y D y 8y 8xD y

donde despejamos -

=-

2

x 2

3x 8yD y

8x 3y

aplicando el otro criterio de: ( )( )

= x

y

E x.ydy

dx E x, y se tiene:

sea ( ) ( )= + - Þ = -3 3 2

xE x, y x y 8xy E x,y 3x 8y y ( ) = -2

yE x, y 3y 8x

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

”EDUARDO ESPINOZA RAMOS RELACIONES Y FUNCIONES

ANALISIS MATEMATICO I

www.edukperu.com

216

8

( )7,4 R 7 4 3 4Î Þ - = £

( )Î Þ - = £4,1 R 4 1 3 4

( )Î Þ - = £7,1 R 7 1 6 4, luego R no es transitiva

Por lo tanto R no es de equivalencia.

Determinar si la relación: ( ){ }R x,y / x y 1,x,y R+= + = Î es reflexiva,

simétrica y transitiva.

a) Reflexiva: Si +Î Þ + ¹ ¹1

x R x x 1,x .4

Luego ( )x,y RÎ no es reflexiva

b) Simétrica: Si ( )x,y R x y 1Î Þ + =

( )y x 1 y,x R+ = Þ Î

Por lo tanto R es simétrica

c)

Transitiva: Si (x,y) ÎR entonces: + =x y 1

( )y,z RÎ entonces ( )

y z 1

x z 2 1 y 1

+ =

+ = - ¹

( )Þ Ïx,z R, por lo tanto no es transitiva.

Discutir y graficar la relación: ( ){ }= Î - + =2R x, y RxR / x y 4y x 0

La relación dada también se escribe así: ( ) 2R x,y x y 4y x 0= - + =

Ahora haremos la discusión correspondiente:

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

LA DERIVADA EDUARDO ESPINOZA RAMOS” “

www.edukperu.com ANALISIS MATEMATICO I 549

715

( ) ( )( )

2 3 3 3 2 2 2 2 2 3

23 2

6x senx cosx 1 cos x 6xcos x senx 1 sen x

1 cos x

+ + +=

+

Dada la función f definida por: ( )

2

3 2

x x 1, si x <1

x af x3

x bx 5x 3 , si 1 x2

ì + +ïï += íï + - + £ £ïî

Hallar el valor de a y b para que f sea diferenciable en 3

,2

ù< -¥ ú

û

La función ( )2

1

x x 1f x

x a

+ +=

+ y ( ) 3 2

2f x x bx 5x 3= ++ - + son diferenciables

en sus dominios respectivos como f debe ser diferenciable en x = 1

entonces debe ( ) f´ 1$ entonces ( ) ( )´ ´f 1 f 1 ,- += donde:

( )( ) ( )

2´

2 2

x 1

x 2ax a 1 3af 1

x a 1 a-

=

+ + -= =

+ +

( ) ( )-

+ == + - = -2

x 1f 1 3x 2bx 5 2b 2

como ( ) ( )( )

´ ´

2

3af 1 f 1 2b 2

a 1- += Þ = -

+ … (1)

si f es diferenciable en = Þx 1 f es continua en x = 1, la función f es

continua en x = 1 ( ) ( )®

Û $ =x 1limf x f 1

( ) ( ) ( )x 1 x1limf x lim f x f 1

-® ®$ Û $ =

23 2

x 1 x 1

x x 1lim lim x bx 5x 3,

x a- +® ®

+ += + - +

+ de donde

3b 1

1 a= -

+ …(2)

SOLUCIÓN