Capitolo 2 Caratterizzazione del rumore nei sistemi elettroottici

1 del Caratterizzazione rumore nei sistemi elettro ottici...........................................................1

2 Rivelazione diretta e coerente (eterodina) ...............................................................................3

3 Rumore nei fotorivelatori..........................................................................................................6

4 Photon counting: caratterizzazione statistica dei fotoelettroni emessi da un rivelatore ottico ....................................................................................................................................................9

1 del Caratterizzazione rumore nei sistemi elettro ottici Come è noto dalla fisica, la propagazione elettromagnetica ha una doppia natura, nel senso che può essere assimilata a un treno di onde, come avviene alle microonde, oppure a pacchetti di energia, come è usuale nei segnali ottici; in questo caso la radiazione elettromagnetica ha una natura granulare e l’energia della sua più piccola entità è il fotone, con un valore hν in cui h è la costante di Planck e ν è la frequenza della radiazione. Quindi, mentre alle frequenze tipiche delle microonde si parla di Watt, alle frequenze ottiche si parla di numero di fotoni al secondo. Tale valore si ottiene dividendo la potenza ricevuta per il valore hν. Graficando l’energia del fotone in funzione di λ si ottiene il diagramma di figura 1.1 dove si vede che, al crescere della frequenza, l’energia del fotone aumenta. Nel grafico è rappresentato y(f)=h•υ [Wsec/photon] in funzione della frequenza ed è stata inserita l’energia del rumore termico alla temperatura di 290 °K (y1) . Dalla figura si evidenzia che, essendo kT il limite inferiore del rumore a temperatura T, non è possibile rivelare un fotone alle microonde, dato che la sua energia è inferiore a kT. In figura 1.1 si vede come l’andamento del contributo di photon noise comincia a divenire sensibile rispetto al rumore termico intorno a frequenze dell’ordine di grandezza di 1013 Hz, equivalenti a lunghezze d’onda di 300 µm.

1 .10101 .10111 .10121 .10131 .10141 .10151 .10161 .10 241 .10 231 .10 221 .10 211 .10 201 .10 191 .10 181 .10 17

y f( )

y1

f Figura 1.1

Tale aspetto è confermato dalla meccanica quantistica la quale esprime lo spettro della densità di potenza del rumore come segue:

(1.1)

][]sec[1038.1costante

][]sec[106256.6costante

][1

)(

123

234

1

KassolutaatemperaturTKWBoltzmanndik

HzfrequenzafWPlanckdih

HzWfhe

fhfTkfh

°=°⋅⋅⋅=

=⋅⋅=

⋅⋅+−

⋅=

−−

−

−

⋅⋅ψ

La densità spettrale di rumore include sia il rumore termico che il photon noise.

1 .10 21

1 .10 20

1 .10 19

1 .10 18

1 .10 170

0

ψ f( )

ψ1 T( )

1 1016×1 1010× f Figura 1.2 Espandendo in serie l’ esponenziale si ottiene:

(1.2) .........12

+

⋅⋅

+⋅⋅

+=⋅⋅

Tkh

Tkhe Tk

h ννν

Quindi, alle microonde, kT>> hν e lo sviluppo in serie è circa uguale a:

Tkh⋅⋅

+ν1

da cui segue che: ][)( 1−⋅⋅≅ HzWTkfψ

Dalla figura 1.2, in cui è illustrato l’andamento di ψ(f), si evince quanto detto. E’ utile fare un confronto fra i valori di SNR di un ricevitore a microonde e di uno ottico coerente che raggiunge il limite quantico (ricevitore eterodina ottico descritto nel successivo paragrafo). Si ha:

(1.3)

Tkh

SNRSNR

BhP

SNR

BTkP

SNR

qheto

w

sqheto

sw

⋅⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅=

ηην

νηη

µ

µ

Per un sistema ottico con qhet ηη ⋅ =0.5 funzionante a λ=10.6 µ si ha che il precedente rapporto vale 10, per cui il sistema a microonde ha una sensibilità maggiore rispetto a quello ottico.

2 Rivelazione diretta e coerente (eterodina) Nella rivelazione diretta l’intensità di tutto il segnale che incide sul rivelatore, pesato con le curve di sensibilità spettrale ed angolare del rivelatore, viene trasformata in un segnale elettrico, la cui ampiezza segue la curva di risposta del rivelatore (ampiezza del segnale elettrico in funzione del segnale ottico in ingresso ed in funzione del tempo). In figura 2.1 è mostrato la schema di principio della rivelazione diretta.

Figura 2.1 Nel caso della rivelazione coerente (eterodina o omodina), alla radiazione incidente sul rivelatore viene sovrapposta la radiazione di un “oscillatore locale”. La radiazione incidente può interferire con l’oscillatore locale, a condizione che abbiano in comune almeno una componente della polarizzazione. Le radiazioni che interferiscono producono una frequenza di battimento pari alla differenza delle frequenze della radiazione incidente e dell’oscillatore locale (figure 2.2, 2.3 e 2.4).

Ps (R) Segnale di Backscattering Ottica

detector LPF

B PBG Background

R

RL

SNRD

Figura 2.2

Figura 2.3

detector

Media frequenza

VI

VQ

SNRh

+

sinωift

segnale

Oscillatore locale

Beam splitter Livello di segnale + OL

Livello di rumore

Ps (R) Segnale di Backscattering

cosωift

Ottica

Beam splitter

Oscillatore locale

LPF

LPF

E

SNRh’ PB

Figura 2.4 Le componenti senωift e cosωift nell’oscillatore locale a media frequenza sono utilizzate per convertire il segnale nella banda IF in due segnali I e Q in banda video. L’uso dei canali I e Q è necessario per:

• Riduzione della frequenza di campionamento • Stima dello spostamento della frequenza Doppler positiva e negativa • Demodulazione ottima in presenza di spettri di segnale non simmetrici (modulazione

simultanea di frequenza e ampiezza) • Eliminazione di velocità cieche (un segnale è sempre presente in uno dei due canali) • Elaborazione coerente del segnale con un algoritmo FFT o con un ‘covariance processing’

In applicazioni quali Doppler wind lidar il ricevitore deve fornire le tre stime più importanti dei momenti spettrali che sono:

• La potenza del segnale di ritorno o momento zero dello spettro Doppler. Tale parametro è un indicatore del contenuto aerosolico o rate di precipitazione nella cella di volume risolta.

• La velocità Doppler media o il primo momento dello spettro normalizzato di potenza. Questo parametro è uguale alla mobilità media degli elementi scatteranti pesati dalla loro cross section. E essenziale che vi sia una componente di velocità radiale nei confronti del ricevitore ottico.

• La larghezza spettrale σ, ossia la radice quadrata del secondo momento che identifica la dispersione delle velocità delle particelle intorno al loro valore medio.

I valori di SNR diretto e eterodina si possono scrivere come segue:

s

OL

n

s+n

Rumore di fase e ampiezza più grande del livello del segnale

OL

s

s+n

Rumore di fase e ampiezza inferiori al livello di segnale

(2.1)

otticoarsbg

qhet

qheteqdbgsOL

OLsqhethet

Tdbgs

sqd

BANP

BhP

eh

RFTkPPPPBh

PPSNR

PPPPBhP

SNR

⋅⋅⋅⋅Ω⋅=

⋅⋅

⋅⋅≅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

++++⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

+++⋅⋅⋅

⋅=

ττ

νηη

ην

ην

ηη

νη

λ 0

2

2

)2

(

)(

in cui: Ps Potenza del segnale ricevuto POL Potenza dell’ oscillatore locale Pbg Potenza della radiazione di background dovuta alla radiazione dell’ ambiente in cui si opera

che incide sull’ ottica del ricevitore Pd Potenza dovuta alla corrente di buio del fonorivelatore, cioè quella corrente prodotta anche

quando su di esso non incide alcuna radiazione PT Potenza del rumore termico dovuta alla parte elettronica del ricevitore ηhet Efficienza di mixing eterodina F Figura di rumore dell’ amplificatore Req Resistenza di carico dell’amplificatore E Carica dell’ elettrone Nλ Brillanza spettrale della sorgente di background Ωs Angolo solido con cui è vista dal ricevitore Ar Area della pupilla del ricevitore Bottico Banda del filtro ottico del ricevitore τa ,τ0 Trasmissività rispettivamente dell’ atmosfera e delle ottiche di ricezione Al denominatore dell’espressione di SNRhet la potenza dell’oscillatore locale è di gran lunga superiore a tutte le altre cause di rumore (figura 5). Inoltre il filtraggio operato a livello di frequenza intermedia elimina la potenza di background anche se essa è di valore notevole. Si consideri che, nella rivelazione diretta, il filtraggio sulla potenza di background è solo un filtraggio ottico.

3 Rumore nei fotorivelatori La corrente totale di rumore del fotorivelatore e dell'elettronica a basso rumore associata In(rms) è, come definito precedentemente, dovuta essenzialmente a quattro contributi gaussiani di densità di potenza di rumore, come mostrato dalla seguente relazione:

(3.1) ( ) )( )( 22222rmsnnpnsnbknthndkn AfIIIIIrmsI ∆⋅++++=

in cui : Indk2 Corrente di rumore di buio

Inth2 Corrente di rumore termico o Johnson

Inbk2 Corrente di rumore dovuta alla radianza di background

Ins2 Corrente di rumore di shot

Inp2 Corrente di rumore dei circuiti associati al detector, riferita all' ingresso ∆f Banda equivalente di rumore Densità di potenza della corrente di rumore di buio Indk2

Tale quantità rappresenta il contributo di rumore generato dal flusso nel fotorivelatore della componente in continua (dc) della corrente di buio, dovuta cioè al rumore prodotto dal fotorivelatore in assenza di radiazione presente al suo ingresso, ed è pari a : Indk2 =2•e•Idk2 (A2/Hz) in cui : Idk corrente di buio in dc (A)

e carica dell' elettrone pari a 1.6•10-19 (Coulomb) Valori tipici per la corrente di buio sono Idk =50•10-9 A. Segue che: Indk2 =2•1.6•10-19•50•10-9=1.6•10-26 A2/Hz La densità di potenza di rumore di corrente di buio, radice quadratica media del precedente valore, vale pertanto: Irmsndk=1.26•10-13 A/(Hz)1/2. Densità di potenza della corrente termica (Johnson) Inth2 Tale quantità è relativa alla componente termica ed è dovuta al fatto che l’elemento resistivo di ingresso a temperatura diversa dallo zero termico assoluto (0 °K) emette una corrente pari a: Inth2 =(4•k•T)/R (A2/Hz) in cui: k Costante di Boltzmann pari a 1.3•10-23 J/°K T Temperatura (°K) R Resistenza di rumore del fotodetector Valori tipici per R sono R =104 ohm da cui segue che: Inth2 =(4•1.38•10-23•290•10-9)=1.6•10-24 A2/Hz La densità di potenza di rumore di corrente di buio, radice quadratica media del precedente valore, vale pertanto: Irmsnth=1.26•10-12 A/(Hz)1/2. Densità di potenza della corrente di rumore dovuta alla radianza di background Inbk2 Tale contributo è dovuto alla corrente dc ottenuta dalla fotoconversione del flusso radiometrico continuo del background che illumina il fotorivelatore. Generalmente la radianza di background, prima di raggiungere il fotodetector, è limitata angolarmente dall'angolo di accettazione FOV dell'ottica ed è spettralmente filtrata da un filtro passabanda, per rigettare la radianza fuori dalla banda spettrale di interesse. Nel caso laser il 100% della energia dello spot laser si può considerare spettralmente allocato entro ± 0.005 µ rispetto alla lunghezza d'onda emessa. Inbk2=2•e•Ibk2 (A2/Hz) Numericamente si ha: Inbk2 =2•1.6•10-19•354•10-9=1.13•10-25 A2/Hz La densità di potenza di rumore di corrente di buio, radice quadratica media del precedente valore, vale pertanto: Irmsnbk=3.4•10-13 A/(Hz)1/2. Il valore di Ibk si calcola in base alla seguente relazione:

Ibk =τa(λspot,R)•La(λspot)•to(λspot)•∆λfil•Rλspot•FOV2•Ao in cui: τa(λspot,R) Trasmittanza spettrale per un cammino atmosferico R

La(λspot) Radianza spettrale (W•cm-2•sr-1•µm-1)del background in vicinanza dello spot laser

alla lunghezza d'onda del laser (3•10-3) to(λspot) Trasmittanza atmosferica delle ottiche alla lunghezza d'onda del laser ∆λfil Banda ottica del filtro al 50% di trasmissione Rλspot Responsivity del fotodetector in presenza di un flusso continuo alla lunghezza d'onda

del laser FOV2 Angolo di accettazione dell'ottica Ao Superficie effettiva della pupilla di ingresso Assumendo i seguenti valori : τa(λspot,R)=1 (considerando un cammino atmosferico breve)

La(λspot) 3•10-3 W•cm-2•sr-1•µm-1

to(λspot) 0.5 Trasmittanza ottica del filtro ottico ∆λfil ∆λfil 0.01 µm Rλspot 0.48 A/W Responsivity media all'interno della banda del filtro ottico ∆λfil

FOV2 2•10-3 sr (FOV2(sr)= π•sin2(FOV/2)) essendo FOV=50•10-3 rad, FOV/2=25•10-3 rad, FOV2(sr)= π•sin2(25•10-3)

Ao 24.6 cm2 Avendo assunto una pupilla di ingresso di 5.6 cm con una distanza focale effettiva di (EFL) pari a 4 cmm (ossia un f# 0.71)

Si ha pertanto: Ibk=τa(λspot,R)•La(λspot)•to(λspot)•∆λfil•Rλspot•FOV2•Ao=1•3•10-3•0.5•0.01•0.48•2•10-3•

•24.6=354•10-9 Densità di potenza della corrente di shot dovuta alla irradianza del segnale laser Ins2 Ins2=2•e•Is2 (A2/Hz)

in cui Is è la corrente di picco generata dalla irradianza N (λspot) (W/cm2) del minimo segnale laser rivelabile all' ingresso dell' ottica Is=N(λspot)•to(λspot)•Rλspot•Ao

N (λspot)=1µW/cm2

Numericamente si ha: N(λspot)=1µW/cm2

e assumendo per gli altri parametri i valori già definiti si ha: Is =10-6•0.5•0.48•26.6=6•10-6 A/Hz Da cui segue: Ins2 =2•1.6•10-19•6•10-6=2•10-24 A2/Hz La densità di potenza di rumore di corrente di buio, radice quadratica media del precedente valore, vale pertanto: Irmsns=1.4•10-12 A/(Hz)1/2.

Densità di potenza della corrente dovuta ai circuiti associati riportata in ingresso Inp2 Utilizzando un’ espressione semplificata in cui si assumono trascurabili le altre componenti, si ha : Inp2=(en2/R2+in2) (A2/Hz) in cui: en2 densità di potenza equivalente di tensione dello stadio di preamplificazione

in2 densità di potenza equivalente di corrente dello stadio di preamplificazione R resistenza del fotodetector Numericamente, assumendo le seguenti caratteristiche per il preamplificatore: en2 10-18 V2/Hz

in2 10-18 A2/Hz R 10000 Ohm Inp2 =10-26•10-24=10-24 A2/Hz Segue che: Irmsnp =1•10-12 A/Hz1/2 Riportando i vari contributi si ha : Indk2 =1.6•10-26 A2/Hz

Inth2 =1.6•10-24 A2/Hz

Inbk2 =1.13•10-25 A2/Hz

Ins2 =2•10-24 A2/Hz

Inp2 =1•10-24 A2/Hz Assumendo inoltre una banda equivalente di rumore ∆f=25 MHz derivante da : Durata impulso laser 30 nsec Banda segnale B3dB=0.5/τ= 16 MHz si ha che la corrente di rumore totale al fotorivelatore vale: Inrms=(1.6•10-26+1.6•10-24+1.13•10-25+2•10-24+1•10-24)1/2=10-8 Arms Dai precedenti contributi si può ricavare la NEP che è pari a : NEP(∆f,λspot)=Inrms/Rλspot=21•10-9 Watt

4 Photon counting: caratterizzazione statistica dei fotoelettroni emessi da un rivelatore ottico

Come visto nel paragrafo precedente, anche in presenza di un segnale ottico di potenza costante esiste una fluttuazione di rumore (shot) all’uscita del rivelatore. Questo effetto, che non si presenta nei sistemi a microonde, è dovuto alla natura statistica del processo di generazione di fotoelettroni da parte del rivelatore quando questo è investito dal flusso di fotoni di ingresso. Maggiore è il segnale ottico di ingresso più grande è il rumore di shot. Il modello di questo processo può essere ottenuto mediante il photon counting. La teoria dell'interazione Fotone Elettrone mostra che la produzione di fotoelettroni da parte di un rivelatore è un processo caratterizzato da tempi di emissione aleatori. In particolare, nel caso in cui il campo ottico incidente sulla superficie fotosensibile sia di tipo coerente (cioè sinusoidale) con ampiezza e fase non fluttuanti, risulta che la probabilità di emissione

di n fotoelettroni in un intervallo di tempo [t0,t0+T] di durata T è governato da una distribuzione di Poisson:

(4.1)

( )

( )

P n Wn

e

dove

W t dt

nW

t

t T

= ⋅

=

−

+

∫

!:

λ0

0

W esprime il numero totale di fotoelettroni emessi nell'intervallo [t0,t0+T] e λ(t) esprime il numero di fotoelettroni emessi nell'unità di tempo(e•λ(t) è la corrente emessa dal detector), cioè il rate medio. Il rate medio è legato alle caratteristiche del campo ottico incidente dalla seguente relazione:

(4.2) ( ) ( ) xdtxIh

tA

q ,∫⋅⋅=

νη

λ

in cui ηq è l'efficienza quantica del detector e I(x,t) è l'intensità del campo ottico incidente sull'area A del detector. Il rivelatore è, dunque, sensibile all'integrale di I(x,t) sulla sua area, cioè alla potenza ottica intercettata dal rivelatore (l'intensità I è la potenza ottica per unità di superficie, cioè il vettore di Pointing E H E× ≈

2).

Nel caso di campo ottico coerente, polarizzato linearmente, la I(x,t) può essere assunta uniforme sull' area A (si suppone inoltre che il fronte d'onda sia parallelo ad A) e quindi si può scrivere:

(4.3) ( ) ( )ν

ην

ην

ηλ

⋅⋅

=⋅⋅

=⋅⋅

= ∫ hP

hI

xdtxIh

t sqq

A

q ,

dove Ps è la potenza ottica. Il numero totale di fotoelettroni emessi è allora dato da

(4.4)W T P T

hN

s= ⋅ =⋅⋅

= ⋅ =

= ⋅ ⋅

λ ην

η

η η

Energia totale fotoni incidentiEnergia di un singolo fotone

Numero di fotoni incidenti nell ' intervallo di tempo T =

L'efficienza quantica ηq può essere interpretata come il numero di fotoelettroni emessi per ciascun fotone incidente. Il numero di elettroni emessi è dunque una variabile aleatoria governata dalla probabilità P(n); il valore medio <n> di n e la varianza σn2 sono pari a:

(4.5)W

hTPNWn

n

sqq

=⋅⋅

⋅=⋅=>=<

2σν

ηη

Il valore medio del numero di elettroni emessi è proporzionale (tramite la costante ηq) al numero di fotoni N incidenti, ovvero alla potenza ottica incidente Ps e al tempo di osservazione T. Il tempo di osservazione è pari a 1/2B dove B è la banda del filtro elettrico posto dopo il detector. Le fluttuazioni di n (caratterizzabili quantitativamente dalla varianza di σn

2) sono una conseguenza del fatto che i fotoelettroni vengono emessi dal rivelatore ad istanti di tempo aleatori e quindi il numero di elettroni contati in un intervallo di tempo di durata T può variare da intervallo a intervallo. Questo fatto dipende esclusivamente dal meccanismo quantico di produzione dei fotoelettroni (si ricordi che si sta analizzando il caso di luce coerente non fluttuante in cui il numero di fotoni incidenti N è costante) ed esso rappresenta quello che viene comunemente chiamato shot noise.

La corrente (e la corrispondente fluttuazione di shot noise) prodotta dal rivelatore, può essere calcolata come segue:

(4.6)i

Unità di tempoe nT

i e nT

e WT

eT

P Th

eh

Pss

= =⋅

< >=⋅ < >

=⋅

= ⋅⋅ ⋅⋅

=

⋅⋅

⋅

Cariche elettriche

ην

ην

Tale espressione è la relazione normalmente usata per caratterizzare il fotorivelatore da un punto di vista elettrico. La varianza di della corrente è pari a :

(4.7)σ σi neT

eT

W eT

eT

W eT

i e B i2 22

2 2= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ < >= ⋅ ⋅ ⋅ < >

Le due componenti della corrente i (valore medio e fluttuazioni) producono su un carico R due contributi di potenza. Indicando con if la parte fluttuante si ha: i(t)=<i>+if(t) in cui <if>=0 e <if

2>=σi2

La potenza dissipata su R è data da: P=<R•i2(t)>R•<2(t)>=R•<<i2>+if

2(t)+2•<i>•if(t)>=R•<i>2+R•<if2(t)>=R<i>2+R•σi

2 in cui R•<i>2 è il contributo dovuto al valore medio di corrente e R•σi

2 è il contributo dovuto alle fluttuazioni di shot noise: Il fotorivelatore può essere modellizzato con una funzione di trasferimento lineare η che lega il numero di fotoni incidenti N al numero di fotoelettroni n (figura 3.1). Figura 4.1 Tale schematizzazione deve tenere conto inoltre che: • Il fotorivelatore produce fluttuazioni di n (shot noise) che nascono al suo interno • Il numero di fotoni incidenti N è proporzionale alla potenza ottica Ps :

N P Th

s=⋅⋅ ν

e, quindi, rispetto al campo ottico incidente E, esiste, di fatto, una operazione non lineare di quadratura che lega il campo E con la potenza P Es ≈

2.

Il modello completo del fotorivelatore assume quindi la configurazione mostrata in figura 3.2.

Numero di fotoni incidenti sulla superficie del detector

Numero di fotoelettroni prodotti

N n

ηq

Figura 4.2 In uscita dal blocco di conversione ηq è stato direttamente riportato il valore medio di n in quanto, nel caso particolare che si sta analizzando, il numero di fotoni N è costante (non fluttuante). Modelli più realistici che prevedono un campo ottico E, e quindi un numero di fotoni N con una componente aleatoria, verranno analizzati in seguito. In tale caso l’uscita della conversione ηq•N riprodurrà (a meno della costante ηq ) la statistica di N e il numero di fotoni prodotti n risulterà fluttuante sia a causa della shot noise sia a causa delle fluttuazioni del campo ottico. In termini quantitativi varrà, in generale, la seguente relazione: σn

2=η2•σn2+shot noise=ηq

2•σn2+<n>=ηq

2•σn2+ηq•N

Per caratterizzare quantitativamente le prestazioni del fotorivelatore è necessario definire il rapporto segnale-rumore SNR0 in uscita. Tale rapporto può essere espresso in tensione o potenza come segue:

(4.8)SNR n

n0 =

< >σ

(tensione)

SNR n

n0

2

2=< >σ

(potenza)

In linea di principio può essere usata indistintamente l’una o l’altra definizione. Il significato fisico di SNR0 è quello di rapportare il valore medio di elettroni emessi con l’ampiezza delle sue fluttuazioni La sensibilità del ricevitore ottico verrà definita dalla condizione: SNR0=1 in cui si individua un livello minimo di segnale (N minimo, ovvero Ps=NEP) che soddisfa la condizione <n>=σn e che rappresenta convenzionalmente il minimo livello rivelabile. Nel caso esaminato (campo ottico costante), adottando la seconda definizione risulta:

(4.9)Bh

PhTPNn

nnSNR q

sqq

n ⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅

⋅=⋅>==<><

><=

νη

νηη

σ 2>n<=

2

2

2

0

Numero di elettroni

+ 1

2 ⋅ ⋅ ⋅B h ν

ηq

Shot noise (σn

2=<n>) Campo ottico

Potenza ottica

Numero di fotoni

E

Ps≅E2

N <n>

n

Conversione fotoni/elettroni

Tale situazione, in cui non è presente il background e il thermal noise, è indicata in letteratura come shot noise limited in cui l’unica causa di limitazione della sensibilità del ricevitore è il rumore di shot prodotto dal detector. In tale caso la sensibilità è data da:

(4.10)q

BhNEPην ⋅⋅⋅

=2

e rappresenta la massima sensibilità ottenibile con un detector di caratteristiche date e con una fissata banda B del ricevitore (quantum limited sensitivity). La situazione analizzata è rappresentativa di un modello molto semplificato del target ottico. Infatti si è ipotizzato un segnale di eco perfettamente sinusoidale con ampiezza e fase costanti nel tempo e nello spazio. E A ej t= ⋅ ⋅ ⋅ω 0 (polarizzazione lineare) che dà luogo ad una potenza ottica incidente costante pari a : Ps≅E2 =A2 Questo modello è rappresentativo di quei bersagli che mantengono perfettamente la coerenza del segnale laser trasmesso (si ipotizza che questo sia idealmente coerente) quale, ad esempio, una superficie riflettente perfetta. Più in generale l’eco ottico sarà costituito da una componente riflessiva del tipo di quella precedentemente analizzata, più una componente diffusiva determinata dallo scattering prodotto dalla irregolarità della superficie del target. Questa seconda componente sarà caratterizzata da una distribuzione di ampiezza e fase variabili nel tempo e nello spazio, e sarà esprimibile solo in termini statistici, cioè definendo le relative densità di probabilità, funzioni di auto e mutua correlazione, etc. Un caso limite è costituito dal LIDAR, dove il segnale del target è praticamente costituito solo dalla componente di backscattering atmosferico che ha caratteristiche totalmente diffusive. Inoltre si deve notare che al segnale di eco utile è sempre sovrapposto lo sfondo di background, con caratteristiche statistiche simili a quelle prodotte da un target diffusivo. Un modello largamente usato per caratterizzare questa componente diffusiva è la thermal light o chaotic light che è descritta da un campo ottico avente l’ampiezza complessa costituita da un processo stocastico stazionario e Gaussiano. Più precisamente, indicando con V(x,t) la rappresentazione complessa del campo ottico, e nel caso di polarizzazione lineare, si ha: E=V(x,t) dove x è un vettore spaziale che è, in generale, costituita da un inviluppo complesso V(x,t) e da un vettore armonico ej•ω come mostrato di seguito: V x t v x t e j t( , ) ( , )= ⋅ ⋅ ⋅ω 0 Le componenti reali vc(x,t) e immaginaria vs(x,t)

v x t v x t j v x t v x t v x t ec s c s

j arctgv x tv x t

s

c( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , )( , )= + ⋅ = + ⋅

⋅

2 2 sono variabili aleatorie indipendenti a distribuzione Gaussiana con uguale varianza. L’intensità del campo ottico I x t V x t v x t v x t v x ts c( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )≅ = = +2 2 2 2 è fluttuante con una statistica data dalla somma dei quadrati di due variabili aleatorie Gaussiane. La densità di probabilità p(I) di I è del tipo esponenziale

p II

eII( ) =

< >⋅ ≥

−< >1 0 con I

dove <I> è il valore medio di I e risulta inoltre che σI2=<I>.

Quando, come nel caso del thermal light, l’intensità I(x,t) è fluttuante, tale risulta anche la W (numero totale di fotoelettroni emessi nell’intervallo t0,t0+T

[ ]Wh

I x t dx dtAt

t T=

⋅⋅ ∫∫

+ην

( , )0

0

Nota allora la densità di probabilità p(W) di W (calcolata a partire da p(I) supposta nota), la probabilità P(n) di emissione di n fotoelettroni diviene:

P n Wn

e p W dWn

W( )!

( )= ⋅ ⋅ ⋅−

−∞

+∞

∫

Essa è, cioè, ottenuta mediante la distribuzione di Poisson rispetto alla distribuzione dei valori che può assumere W per effetto delle fluttuazioni statistiche del campo ottico incidente. Come verrà illustrato in seguito, la principale conseguenza delle fluttuazioni dell’intensità è che vi sarà un incremento delle fluttuazioni σn

2 del numero di fotoelettroni emessi dal rivelatore che si aggiungerà allo shot noise prodotto internamente:

I → W → N → N Intensità del campo ottico

Numero totale di fotoeletroni

emessi in t0,t0+T

Numero di fotoni

incidenti

Numero di elettroni prodotti

σI2 σW

2 σN2 σn

2=η2•σN2+shot

noise

Wh

A T I=⋅

⋅ ⋅ ⋅ην

N=W/η n=η•N

Vengono illustrate le conseguenze pratiche, quantificate in termini di SNR0 e sensibilità del ricevitore, relative all’assunzione dei seguenti modelli di campo ottico incidente: • Campo diffusivo (thermal light)

E’ il caso del segnale atmosferico del LIDAR qualora si trascuri l’effetto del background • Campo coerente +diffusivo

Può rappresentare il caso di un bersaglio perfettamente riflessivo+ la componente diffusiva del b ackground, ovvero un bersaglio con una componente diffusiva prodotta dalla rugosità della superficie riflettente

• Campo diffusivo1 + campo diffusivo2. E’ il caso del segnale LIDAR sovrapposto alla componente di segnale di background.

L’ analisi seguente è condotta supponendo assenti i termini aggiuntivi di rumore quali il thermal noise, dovuto alla presenza di un amplificatore elettrico dopo il rivelatore, e il dark noise, prodotto dal rivelatore stesso.

1- Campo ottico diffusivo (thermal light) Si ipotizza, per semplicità, che l’intervallo di conteggio T sia molto più piccolo del tempo di coerenza τc del campo ottico: (T<<τc)) e che l’ area del detector sia molto minore dell’ area di coerenza Ac (A<<Ac) del campo ottico. Le ipotesi fatte equivalgono ad assumere che il contributo al numero totale di fotoelettroni emessi in t0,t0+T dall’intensità del campo ottico incidente I(x,t) è prodotto da un solo campione spazio-tempo di I(x,t):

[ ]Wh

I x t dx dth

T I A T A AAt

t T

c c=⋅

⋅ ≅⋅

⋅ ⋅ ⋅ << <<∫∫+η

νην

( , ) ,0

0 con T

Sarà visto successivamente l’effetto dell’integrazione spaziale sull’area A del detector e dell’integrazione temporale [t0,t0+T] sull’intervallo di osservazione T=1/(2B) sui risultati ottenuti in questo caso particolare.

Poichè I è distribuito secondo una densità di probabilità esponenziale, tale è anche la densità di probabilità di W=(η•I •A)/(2•B•h•ν)

p WW

eWW( ) =

< >⋅ ≥

−< >1 0 con W

in cui il valore medio di W è dato da :

><⋅⋅⋅⋅

=⋅><⋅⋅

>=< sqq PBh

AIh

Wν

ην

η2

La corrispondente densità di probabilità di n risulta, quindi:

( )P n W

ne p W dW W

W

nW

n

n( )!

( )= ⋅ ⋅ ⋅ =< >

+ < >−

+∞

+∫0

11

che è di tipo Bose-Einstein. Il valore medio e la varianza di n sono pari a:

2222 ><⋅+><⋅=><+>=<

><⋅=⋅><⋅⋅

>=>=<<

NNnn

WTPh

Wn

qqn

qsq

ηησ

ην

η

dove <N> rappresenta il valore medio del numero di fotoni incidenti. Si deve notare che N è una variabile aleatoria (a causa delle fluttuazioni del campo ottico) poichè risulta:

NP Th

A I Th

N A I Th

P Th

s s=⋅⋅

=⋅ ⋅⋅

⇒ < >=⋅ < > ⋅

⋅=< > ⋅

⋅ν ν ν ν

σN2=<N>2

dove l’ultima relazione deriva dal fatto che la varianza di una distribuzione esponenziale (che è la distribuzione di I e quindi anche di N) è uguale al valore medio al quadrato. Quanto detto permette di interpretare la σN

2 come somma dello shot noise <n>=η•<N> prodotto dal detector più la fluttuazione del campo ottico (σN

2=<N>2) riportate in uscita η•σN2=η2•<N>2

σn2= <n> + <n>2

shot noise fluttuazioni Il modello ingresso-uscita del rivelatore, in tal caso, è mostrato in figura 3.3.

Figura (4.3) Di conseguenza il rapporto segnale rumore assume l’espressione seguente:

112

2

2

2

0 <><⋅+

><⋅=

><+><><

=><

≅NN

nnnnSNR

q

q

n ηη

σ

Pertanto la fluttuazione del segnale (termine <n>2 al denominatore) produce una limitazione del rapporto segnale rumore che risulta sempre inferiore a uno. Quando il livello di potenza del segnale è molto alto (<N> >>1), e quindi lo shot noise diviene trascurabile, risulta SNR0≅1. Tali conclusioni valgono solo nelle ipotesi di assenza di integrazione spaziale (area del detector molto piccola) e temporale (banda elettrica molto grande). La trattazione del caso generale in cui A e T assumono valori qualsiasi è molto complicata. Tuttavia il risultato che si ottiene può essere sintetizzato come segue: Indicando con Ns=A/Ac e Nt=T/τc il numero di campioni spaziali e temporali rispettivamente integrati sull’area A e nel tempo T risulta che le fluttuazioni del campo ottico riportate in uscita al detector sono ridotte del prodotto tra il numero di campioni integrati Ns•Nt:

σ nt

n nN N

22

=< > +< >

⋅

Pertanto, nel caso generale, il rapporto segnale rumore assume la seguente espressione:

SNR n n

n nN N

N N nn N N nn

s t

s ts t

0

2

2

2

2

2

2≅< >

=< >

< > +< >

⋅

= ⋅ ⋅< >

< > + ⋅ ⋅ < >σ

Se l’area dell’ottica e/o il tempo di integrazione sono sufficientemente grandi (Ns•Nt>><n>) risulta: SNR0≅<n> che coincide con quella relativa al campo ottico coerente. La sensibilità del ricevitore vale : SNR0=1→<n>=( Ns•Nt)/( Ns•Nt-1) Il valore di tale espressione nei casi limite vale:

<n>=ηq•<N> σn

2=<n>+ηq•σN2

N n ηq•<N>

ηq

σn2=<n> (shot

noise)

< >=< > ⋅

⋅=< >

N P Th

N

s

N

νσ 2

+

=∞ (caso Ns•Nt=1 con assenza di integrazione) =1 (caso Ns•Nt>>1 con elevato grado di integrazione) In conclusione si ha che se il ricevitore integra molti campioni , cioè se:

• L’ area del detector contiene molti campioni spaziali di speckle (grande FOV) • Il filtro elettrico ha una banda B molto minore della banda di coerenza Bc=1/τc

possono essere trascurate le fluttuazioni del campo ottico e le prestazioni del ricevitore sono limitate solamente dallo shot noise come nel caso di campo ottico coerente. 2-Campo ottico costituito da una componente coerente più una componente diffusiva Sempre partendo dalle ipotesi A<<Ac e T<<τc cioè:

TPh

ITAh

W sqq ⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

=ν

ην

η

risulta che W è distribuita secondo una Rician

p WW

e IW WWth

W WW

oc

th

c

th( ) =< >

⋅ ⋅⋅ ⋅

< >

−+

< >1 2

in cui Io(•) è la funzione di Bessel modificata Wth è la W relativa alla componente diffusiva (thermal light) che ha un valore medio dato da

AIhT

PTh

W thq

thq

th ⋅><⋅⋅⋅

>=<⋅⋅⋅

>=<ν

ην

η

Wc è la W relativa alla componente coerente, che risulta costante e pari a

cq

c PTh

W ⋅⋅⋅

=ν

η

Il calcolo del valore medio e della varianza di W porta ai seguenti risultati:

[ ]

[ ] 222

22 22 AIIIhT

WWW

AIIhT

WWW

thcthq

thcthW

thcq

thc

⋅><⋅⋅+><⋅

⋅⋅

>=<⋅⋅+>=<

⋅><+⋅⋅⋅

>=<+>>=<<

νη

σ

νη

Il valore medio <W> del numero totale di fotoelettroni emessi nell’intervallo t0,t0+T risulta pari alla somma del contributo coerente Wc e del valore medio <Wth> del contributo diffusivo. La varianza di W è costituita dal termine di fluttuazione termica <Wth>2 più un termine di mixing 2•Wc•<Wth> che risulta dal battimento tra le due componenti di campo ottico. Il termine di mixing è intrinsecamente presente nelle fluttuazioni del campo ottico totale ed il rivelatore non fa altro che trasferire in uscita questo termine di fluttuazioni presente in ingresso. La probabilità P(n) che governa la statistica di emissione di fotoelettroni è data dalla seguente espressione:

( )P n W

ne p W dW

n

ne L

nnn

nW th

n

thn

nn

n

c

th

th

c

th( )!

( )= ⋅ ⋅ ⋅ =< >

+ < >⋅ ⋅

−< >

+ < >

−+∞

+

−+< >∫

01

1

1 1

in cui Ln(•) è il polinomio di Laguerre. Il calcolo dei valori medi e varianza di n porta al seguente risultato: < >=< > + < >

= < > + < > + + ⋅ ⋅ < >

n n n

n n n n nc th

n th th c c thσ 2 2 2( )

La prima relazione indica che il valore medio dei fotoelettroni è dato dalla somma del contributo dovuto alla componente coerente:

n W A Th

I Th

Pc c c c= =⋅ ⋅⋅

⋅ =⋅⋅

⋅η

νην

e della componente diffusiva:

< >=< >=⋅ ⋅⋅

⋅ < >=⋅⋅

⋅ < >n W A Th

I Th

Pth th th thη

νην

Soltanto il primo termine è considerato come termine utile (cioè termine di segnale) nel calcolo del rapporto SNR0. L’ espressione di σn

2 indica che le fluttuazioni di n sono costituite da: • un termine dovuto alla componente coerente che rappresenta lo shot noise prodotto da tale

componente: nc • un termine dovuto alla componente diffusiva costituito dal relativo shot noise <nth> più le

fluttuazioni proprie del campo diffusivo riportate in uscita <nth>2: <nth>+<nth>2 • un termine di battimento o mixing fra componente coerente e componente diffusiva:

2•nc•<nth> Da un punto di vista input-output il detector può essere schematizzato come mostrato in figura 3.4.

Figura 4.4 Il numero N di fotoni incidenti è stato diviso nella componente coerente Nc e in quella diffusiva Nth. Ciascuna componente, da sola, ha le seguenti caratteristiche statistiche.

Nc <Nth> σNc

2=0 σNthy2=<Nth>2 (distribuzione

esponenziale) Le fluttuazioni di N contengono anche il termine di mixing σNc•Nth

2: σN

2=σNc2+σNth

2+σNc•Nth2=<Nth>2+2•Nc•<Nth>

Fotoni Elettroni

Shot noise

n N=Nc+Nth

ηq +

Il rapporto segnale rumore SNR0 in uscita al rivelatore vale:

( )

><⋅⋅⋅+⋅+><⋅+><⋅

⋅=

=><⋅⋅++><+><

=≅

thcqcqthqthq

cq

thccthth

c

n

NNNNNN

nnnnnnSNR

222

22

2

2

2

2

0

2

2utile partealla relativo n di medio Valore

ηηηη

η

σ

Ricordando che:

><⋅⋅⋅

>=>=<<

⋅⋅⋅

==

thq

thth

cq

cc

PhT

WN

PhT

WN

νη

νη

e sostituendo nella precedente espressione, si ottiene SNR0 in termini potenze ottiche:

[ ] ><⋅⋅++><⋅

⋅⋅

+><

=

thccthq

th

c

PPPPT

hP

PSNR22

2

0

ην

Si possono considerare i seguenti casi particolari • Componente coerente >> della componente diffusiva nc>><nth>

><⋅≅

th

c

nn

SNR20

In tal caso il termine che limita la sensibilità è quello di mixing • Componente diffusiva >> della componente coerente <nth>>>nc

SNRnn

c

th0

2

2≅< >

In tal caso il termine che limita la sensibilità è quello relativo alle fluttuazioni della componente diffusiva. Un interessante aspetto del problema che si sta analizzando è quello di vedere come viene trasformato il rapporto segnale rumore nel passaggio attraverso la conversione ottico elettrica operata dal rivelatore. Per fare ciò è necessario definire il rapporto SNRi all’ingresso, cioè a livello di segnale ottico ricevuto. A tale scopo, osservando che il campo ottico E è costituito dalla componente di segnale utile Ec e da quella interferente di rumore Eth E=Ec+Eth. La definizione più naturale di SNRi è quella del rapporto fra le relative potenze di queste due componenti: SNRi≅Pc/<Pth> Sostituendo tale relazione in SNR0 si ottiene:

><+><

⋅⋅⋅

+⋅+=

2

2

0

21th

cth

qi

i

PPP

ThSNR

SNRSNR

ην

Trascurando l’ultimo termine a denominatore originato dai due contributi di shot noise (e quindi prodotto all’interno del rivelatore) la precedente espressione diviene:

SNRSNR

SNRi

i0

2

1 2=

+ ⋅

che è del tutto analoga a quella che lega SNR0 ad SNRi nel caso di rivelatore elettrico quadratico. Estendendo i risultati al caso generale in cui l’area del rivelatore A sia molto maggiore dell’area di coerenza Ac relativa al campo ottico al caso, cioè, in cui vi sia integrazione spaziale su A. Il numero di campioni spaziali integrati è pari a Ns=(r/rc)2 dove r è il raggio del detector ed rc è il raggio di coerenza. Il risultato di questa integrazione spaziale è quello di ridurre la varianza σN

2 di un fattore Ns. Il rapporto segnale rumore diviene:

SNRn

n nn n n

N

c

th cth c th

s

0

2

2 2=< > + +

< > + ⋅ ⋅ < >

dove il termine di shot noise <nth>+nc non viene ovviamente ridotto dall’integrazione. In termini di potenze ottiche la precedente espressione può essere scritta come segue:

s

thcthcth

q

c

NPPPPPBh

PSNR><⋅⋅+><

++><⋅

⋅⋅⋅⋅

=2)(2 2

2

0

ην

Questa espressione generale può essere specializzata a due casi tipici di ricevitori ottici: • Quelli che lavorano con campo di vista FOV piccolo (ad esempio nelle comunicazioni su fibra

ottica) • Quelli che lavorano con FOV grandi (la maggior parte dei sistemi che lavorano su segnale in

atmosfera) a-FOV piccolo Il raggio di coerenza del campo diffusivo rc=λ/FOV è molto maggiore del raggio del detector e si è in assenza di integrazione spaziale:

N rr

r FOV FOVrs

c

=

=

⋅

≅ ≤2 2

1λ

λ ( )

In questo caso lo shot noise può essere trascurato rispetto ai termini di fluttuazione e mixing: ( )< > >< > ⋅ ⋅ < >>

=< > + ⋅ ⋅ < >

=< > + ⋅ ⋅ < >

n n n n n

SNRn

n n nP

P P P

th th c th c

c

th c th

c

th c th

2

0

2 2

2

2

2 2

La sensibilità del ricevitore è principalmente limitata dalla potenza del campo diffusivo: NEP≅<Pth> b-FOV grande, Ns>>1 In questo caso le fluttuazioni del campo ottico diffusivo ed il termine di mixing vengono ridotte dall’integrazione spaziale e possono essere trascurati rispetto allo shot noise:

cth

cc

q

cth

cq

cth

c

thcs

thcth

PPPP

BhPPP

BhnnnSNR

nnN

nnn

+><⋅

⋅

⋅⋅⋅=

+><⋅

⋅⋅⋅=

+><=

><+<<><⋅⋅+><

νη

νη

22

2

22

0

2

Tale espressione è normalmente usata nei sistemi di ricezione ottica che lavorano in atmosfera. La sensibilità del ricevitore è limitata dallo shot noise dello sfondo e si ha:

><⋅⋅⋅⋅

= thq

PBhNEPην2

Poiché I valori tipici di (2•h•ν•B)/η sono dell’ordine di 10-12, questo valore di NEP risulta molto minore di quello calcolato nelle condizioni precedenti. c-Campo ottico costituito da componenti diffusive (LIDAR) In questo caso anche il segnale utile (backscattering atmosferico) è di tipo aleatorio, con caratteristiche statistiche simili a quelle di sfondo. Nel computo delle fluttuazioni di N occorre allora aggiungere anche il termine relativo alle fluttuazioni di segnale:

σN2 = <NA>2 + <Nth>2 + 2•<NA>•<Nth>

fluttuazione del segnale atmosferico di backscattering

fluttuazioni del background

mixing

I fotoni relativi al segnale sono stati indicati con NA, facendo riferimento al caso LIDAR, dove A indica atmosfera. Conseguentemente il rapporto segnale rumore è dato da:

[ ]s

AthAththA

q

A

s

thAthA

s

thA

A

NPPPPPPBh

P

Nnnnn

Nnn

nSNR

><⋅><⋅+><+><+><+><⋅

⋅⋅⋅

><=

=><⋅><⋅

+><+><><+><

><=

22

2

22

2

22

2

0

ην

Il termine <PA> è il valore medio della potenza ottica di backscattering atmosferico. Da notare che i termini relativi alle fluttuazioni totali all’ingresso del rivelatore sono stati ridotti dall’integrazione spaziale. La turbolenza atmosferica pone severi limiti sui parametri del radar ottico. Una volta stabilite le grandezze che consentono di quantificare gli effetti della turbolenza atmosferica, è necessario trovare i legami con i parametri di sistema sia a rivelazione eterodina che diretta. La turbolenza atmosferica dà luogo a fluttuazioni di ampiezza e fase della radiazione ottica che si traducono, se si considera l’apertura del ricevitore di tipo puntiforme (D< λ ), in due effetti:

• Multipath dovuto alla non omogeneità atmosferica • Dispersione dovuta alle variazioni dell’indice di rifrazione

Quando il ricevitore non può essere considerato puntiforme (D> λ ) si deve considerare un ulteriore fenomeno legato al fatto che la radiazione di ritorno può giungere in diversi punti dell’apertura ottica dopo aver subito cammini diversi con le loro non omogeneità.