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Capítulo 7 O Modelo de Regressão Linear Múltipla · PDF filesemana p = representa o preço naquela semana a = nível de gastos com propaganda durante aquela semana. Tanto RT como

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  • Quando tornamos um modelo econmico com mais de uma varivel explanatria em um modelo estatstico correspondente, ns dizemos que ele um modelo de regresso mltipla.

    Grande parte dos resultados desenvolvidos para o modelo de regresso simples pode ser estendido naturalmente para esse caso geral. Existem pequenas mudanas na interpretao dos parmetros , os graus de liberdade para a distribuio t mudaro e ns necessitaremos modificar as hipteses concernentes as caractersticas das variveis explanatrias (x).

    Captulo 7

    O Modelo de Regresso Linear Mltipla

  • 7.1 Especificao do Modelo e os Dados

    7.1.1 O Modelo Econmico

    Cada semana, o gerente de uma rede de lanchonetes deve decidir quanto gastar com propaganda e que promoes deveria oferecer.

    Como se altera a receita total medida que o nvel de gastos com propaganda muda? Um aumento nos gastos com propaganda elevaria a receita total? Se afirmativo, o aumento na receita total suficiente para justificar uma elevao nos gastos com propaganda?

    O gerente tambm est interessado na estratgia de preos. Reduzir os preos aumentar ou diminuir a receita total? Se uma reduo de preo levar a uma diminuio da receita total, ento a demanda inelstica; se uma reduo de preo levar a um aumento da receita total, ento a demanda elstica.

  • Ns, inicialmente, assumimos que a receita total, RT, linearmente relacionada com o preo (p) e com os gastos em propaganda (a). Assim, o modelo econmico :

    1 2 3RT p a (7.1.1)

    RT = representa a receita total para determinada semana p = representa o preo naquela semana a = nvel de gastos com propaganda durante aquela semana. Tanto RT como a so mensurados em termos de milhares de unidades monetrias.

    Vamos assumir que o gerente construiu uma nica srie de preos semanal, p, mensurada em unidades monetrias e que representa os preos gerais. Os itens remanescentes em (7.1.1) so os parmetros desconhecidos 1, 2 e 3, que descrevem a dependncia da receita (RT) em relao aos preos (p) e propaganda (a).

  • No modelo de regresso mltipla, o parmetro intercepto, 1, o valor da varivel dependente quando cada varivel explanatria assume o valor zero. Em muitos casos, esse parmetro no tem uma interpretao econmica clara, mas ele quase sempre includo no modelo de regresso. Ele ajuda a estimao global do modelo e na previso.

    Os outros parmetros no modelo mensuram a variao no valor da varivel dependente dado a mudana de uma unidade em uma varivel explanatria, todas as outras variveis mantidas constantes.

    Por exemplo, em:

    2 = a mudana em RT ($ 1000) quando p aumentado em uma unidade ($1) e a mantido constante, ou

    ( mantido constante)a

    RT RT

    p p

    2 =

    1 2 3RT p a

  • O sinal de 2 pode ser positivo ou negativo. Se um aumento nos preos levar a um aumento da receita, ento 2 > 0, e a demanda para a rede de lanchonetes inelstica. Inversamente, uma demanda elstica em relao ao preo ocorre se um aumento nos preos conduzir a uma queda na receita, que o caso de 2 < 0.

    O parmetro 3 descreve a resposta da receita a mudanas no nvel de gastos com propaganda; isto ,

    3 = a mudana em RT ($1000) quando a aumentado em uma unidade ($1000), e p mantido constante 3 =

    ( mantido constante)p

    RT RT

    a a

    Ns esperamos que o sinal de 3 seja positivo.

    1 2 3RT p a

  • 7.1.2 O Modelo Economtrico

    O modelo econmico (7.1.1) descreve o comportamento esperado de muitas franquias individuais. Como tal, ns deveramos escrever o modelo como , onde E(RT) o valor esperado da receita total.

    Dados semanais para a receita total, preo e propaganda no seguiro uma relao linear exata. A equao 7.1.1 descreve, no uma reta como nos Captulos 3-6, mas um plano.

    O plano intercepta o eixo vertical em 1. Os parmetros 2 e 3 mensuram a inclinao do plano nas direes eixo do preo e eixo da propaganda, respectivamente.

    1 2 3( )E RT p a

  • Para permitir a diferenciao entre a receita total observada e o valor esperado da receita total, ns acrescentamos um termo de erro aleatrio, Esse erro aleatrio representa todos os fatores que fazem a receita total semanal diferir do seu valor esperado. Esses fatores podem incluir o clima, o comportamento dos concorrentes, um relatrio de uma agncia importante sobre os efeitos mortais do consumo de gorduras, etc. Denotando as ts observaes semanais pelo ndice t, ns temos

    ( )e RT E RT

    1 2 3( )t t t t t tRT E RT e p a e (7.1.2)

    7.1.2a O Modelo Geral No modelo de regresso mltipla geral, uma varivel dependente yt relacionada com um nmero de variveis explanatrias atravs de uma equao linear que pode ser escrita como:

    1 2 2 3 3t t t K tK ty x x x e (7.1.3)

    Os coeficientes 1, 2,, K so parmetros desconhecidos.

  • O parmetro mede o efeito de uma mudana na varivel sobre o valor esperado de yt, E(yt), todas as outras variveis mantidas constantes.

    O parmetro 1 o termo de intercepto. A varivel xt1 = 1.

    A equao da receita total pode ser visualizada como um caso especial de (7.1.3) onde:

    K = 3, yt = RTt, xt1 = 1, xt2 = pt e xt3 = at. Assim, ns podemos escrever (7.1.2) como:

    ktkx

    1 2 2 3 3t t t ty x x e (7.1.4)

    7.1.2b As Hipteses do Modelo

    Para fazer o modelo estatstico em (7.1.4) completo, hipteses sobre a distribuio do erro aleatrio, et, precisam ser feitas.

    1. E[et] = 0. Cada erro aleatrio tem uma distribuio de probabilidade com mdia zero. Ns estamos assumindo que nosso modelo, em mdia, correto.

    2. var(et) = . A varincia um parmetro des-conhecido e ele mede a incerteza do modelo estatstico. Ela a mesma para cada observao. Erros com essa propriedade so chamados de homocedsticos.

    3. cov(et, es) = 0. A covarincia entre dois erros aleatrios correspondentes a duas observaes diferentes zero. Assim, qualquer par de erros no correlacionada.

    22

  • 4. Em algumas ocasies, ns assumiremos adicionalmente que os erros aleatrios et possuem distribuio de probabilidade normal; isto , . 2~ 0,te N

    As propriedades estatsticas de yt decorrem das do et.

    1. Essa hiptese diz que o valor mdio de yt muda para cada observao e dado pela funo de regresso .

    1 2 2 3 3( )t t tE y x x

    2. var(yt) = var(et) = . 2

    3. cov(yt, ys) = cov(et, es) = 0.

    4. equivalente a assumir que

    2

    1 2 2 3 3~ ( ),t t ty N x x

    2~ 0,te N Adicionalmente s hipteses sobre o termo de erro (e conseqentemente sobre a varivel dependente), ns fazemos duas hipteses sobre as variveis explanatrias. A primeira que as variveis explanatrias no so aleatrias. A segunda hiptese que nenhuma das variveis explanatrias uma funo linear exata de qualquer uma das outras. Essa hiptese equivalente a assumir que nenhuma varivel redundante. Como veremos, se essa hiptese violada, uma condio chamada multicolinearidade exata, o procedimento de mnimos quadrados falha.

  • Hipteses do Modelo de Regresso Mltipla

    1 2 2 , 1, ,t t K tK ty x x e t T RM1.

    1 2 2( ) ( ) 0t t K tK tE y x x E e RM2.

    RM3. var(yt) = var(et) = . 2

    RM4. cov(yt, ys) = cov(et, es) = 0

    RM5. Os valores de xtk no so aleatrios e no so funes lineares exata de outras variveis explanatrias.

    RM6. 2 2

    1 2 2~ ( ), ~ (0, )t t K tK ty N x x e N

  • 7.2 Estimao dos Parmetros do Modelo de Regresso Mltipla

    Ns discutiremos estimao no contexto do modelo da equao 7.1.4, o qual

    1 2 2 3 3t t t ty x x e (7.2.1)

    7.2.1 Procedimento de Estimao de Mnimos Quadrados

    Com o princpio de mnimos quadrados, ns minimizamos a soma de quadrados das diferenas entre os valores observados de yt e seu valor esperado:

    1 2 2 3 3t t tE y x x Matematicamente, ns minimizamos a soma de quadrados da funo S(1, 2, 3), que uma funo dos parmetros desconhecidos, dado os dados,

    2

    1 2 3

    1

    2

    1 2 2 3 3

    1

    , ,T

    t t

    t

    T

    t t t

    t

    S y E y

    y x x

    (7.2.2)

  • Dados as observaes amostrais yt, minimizar a funo da soma de quadrados basicamente um exerccio de clculo. Com o propsito de fornecer expresses para as estimativas de mnimos quadrados, conveniente expressar cada uma das variveis em termos de desvios em relao a suas mdias; isto , seja * * *

    2 2 2 3 3 3, ,t t t t t ty y y x x x x x x As estimativas de mnimos quadrados b1, b2 e b3 so:

    1 2 2 3 3

    * * *2 * * * *

    2 3 3 2 3

    2 2*2 *2 * *

    2 3 2 3

    * * *2 * * * *

    3 2 2 3 2

    3 2*2 *2 * *

    2 3 2 3

    t t t t t t t

    t t t t

    t t t t t t t

    t t t t

    b y b x b x

    y x x y x x xb

    x x x x

    y x x y x x xb

    x x x x

    (7.2.3)

    Encaradas como uma maneira geral de utilizar dados amostrais, referimo-nos s frmulas em (7.2.3) como regras ou procedimentos de estimao e so chamadas de estimadores de mnimos quadrados dos parmetros desconhecidos. Como seus valores no so conhecidos at os dados serem observados e as estimativas calculadas, os estimadores de mnimos quadrados so variveis aleatrias.

  • Quando aplicadas a uma amostra de dados especfica, as regras produzem as estimativas de mnimos quadrados, que so valores numricos.

    Observaes semanais sobre receitas, preos e gastos

  • 7.2.2 Estimativas de Mnimos Quadrados Utilizando os Dados da Rede de Lanchonetes

    Para os dados da Red

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