CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ PHÉP DỜI … · Web viewTitle CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ PHÉP DỜI HÌNH- BIẾN HÌNH Author SVN-Team Last modified by User

TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ PHÉP DỜI HÌNH- BIẾN HÌNH

BÀI TOÁN : QUỸ TÍCH CỦA 1 ĐIỂM I.PHÉP TỊNH TIẾNBài toán : Cho một hình H , trên hình H có một điểm M . Tìm quỹ tích của điểm M khi trên hình H có một điểm A thay đổi . ( Thường điểm A chạy trên một đường (C ) cho sẵn ).Cách giải :- Dựa vào các tính chất đã biết , ta tìm ra một véc tơ cố dịnh nằm trên hình H ( Với điều kiện : véc tơ này có phương song song với đường thẳng kẻ qua A ).- Sau đó dựa vào định nghĩa về phép tịnh tiến ta suy ra M là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véc tơ cố định .- Dựa vào tính chất thay đổi của A ta suy ra giới hạn quỹ tích .

Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định .

Giải- Kẻ đường kính BB’ .Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ cố định , cho nên B’C là một véc tơ cố định . Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo - Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau đó dựng véc tơ : . Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm .Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường tròn (O;R). Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi .

Giải :- Theo tính chất hình bình hành : BA=DC . Nhưng theo giả thiết A,B cố định , cho nên cố định . Ví C chạy trên (O;R) , D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo , cho nên D chạy trên đường tròn O’ là ảnh của đường tròn O - Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng // với AB , sau đó dựng véc tơ . Từ O’ quay đường tròn bán kính R , đó chính là đường tròn quỹ tích của D.Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B . Tìm điểm M trên (O;R) và điểm M’ trên (O’R’) sao cho .

Giảia. Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R). Theo giả thiết , thì M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc tơ . Nhưng do M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến . Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì thế M’ là giao của đường tròn ảnh với đường tròn (O’;R’).b/ Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường tròn (O’;R’) thì ta tìm được N trên (O;R) là giao của (O;R) với đường tròn ảnh của (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB c/ Số nghiệm hình bằng số các giao điểm của hai đường tròn ảnh với hai đường tròn đã cho . Ví dụ 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Một đường kính MN thay đổi . Các đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q . Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ ?

Sưu tầm và biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 1

TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHGiải

- Tam giác MPQ có QA là một đường cao , vì vậy nếu ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’ cắt QA tại trực tâm H . OA là đường trung bình của tam giác MNH suy ra :

. Vậy phép tịnh tiến theo biến điểm M thành điểm H . Nhưng M chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên đường tròn ảnh của (O;AB) qua phép tịnh tiến . - Tương tự đối với tam giác NPQ .- Giới hạn quỹ tích . Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ đi hai điểm ảnh của A,B .

. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤCBài toán : Cho hình H và một điểm A thuộc hình H thay đổi . Tìm quỹ tích của điểm M khi A thay đổi .Cách giải .

Bước 1: Xét một vị trí bất kỳ của A và M . Sau dó tìm trên H có một đường thẳng cố định là trung trực của đoạn thẳng AM ( Chính là trục đối xứng ).

Nếu A chạy trên một đường (C ) nào đó , theo tính chất của phép dối xứng trục , thì M chạy trên đường (C’) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục .

Ví dụ 1. ( Bài 10-tr13-HH11NC ) .Cho hai điểm B,C cố định nằm trên đường tròn (O;R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H nằm trên một đường tròn cố định .

Giải- Vẽ hình . Gọi H là giao ba đường cao của tam giác ABC . Kéo dài AH cắt (O;R) tại H’ . Nối CH’ - Chứng minh IH=IH’ . Thật vậy

Ta có : ( Góc nội tiếp chẵn cung BH’ ).(1)

Mặt khác : . Từ (1) và (2) suy ra :

Chứng tỏ tam giác HCH’ là tam giác cân . Do BC vuông góc với HH’ , cho nên BC là đường trung trực của HH’ . Hay H và H’ đối xứng nhau qua BC . Cho nên khi A chạy trên đường tròn (O;R) thì H’ cũng chạy trên (O;R) và H sẽ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục BC - Giới hạn quỹ tích : Khi A trùng với B và C thì tam giác ABC suy biến thành đường thẳng . Vì thế trên đường tròn (O’;R) bỏ đi 2 điểm là ảnh của B,C .* Chú ý : Ta còn có cách khác chứng minh H và H’ đối xứng nhau qua BC .- Kẻ AA’ ( là đường kính của (O) ) suy ra BHCA’ là hình bình hành , cho nên BC đi qua trung điểm I của A’H .- A’H’ song song với BC ( vì cùng vuông góc với AH ) - Từ đó suy ra BC là đường trung bình của tam giác AHH’ – Có nghĩa là BC đi qua trung điểm của HH’ . Mặt khác AH vuông góc với BC suy ra BC là trục đối xứng của HH’ , hay H và H’ đối xứng nhau qua BC.Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có trực tâm H a/ Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB,HBC,HCA có bán kính bằng nhau b/ Gọi là tâm các đường tròn nói trên . Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Giải .

Sưu tầm và biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218Trang 2

TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHa/ Giả sử là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC , thì theo bài taons của ví dụ 1 chính là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục BC . Cho nên bán kính của chúng bằng nhau . Tương tự hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác còn lại có bán kính bằng bán kính của (O) .b/ Ta hoàn toàn chứng minh được là các ảnh của O qua phép đối xứng trục BC,CA,AB . Vì vậy bán kính các đường tròn này bằng nhau . Mặt khác ta chứng minh tam giác ABC bằng tam giác .

.PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

Bài toán : Cho hình H và một điểm M thay đổi trên đường (C ) ( thuộc H ). Tìm quỹ tích của điểm N khi M thay đổi .Cách giải :

Bước 1: Tìm một điểm I cố định sao cho I là trung điểm của MN Bước 2: Dựa vào tính chất của phép đối xứng tâm I ta suy ra quỹ tích của N

Ví dụ 1. ( bài toán 2-tr17-HH11NC).Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A,B cố định . Với mỗi điểm M , ta xác định điểm M’ sao cho . Tìm quỹ tích điểm M’ khi điểm M chạy trên (O;R) .

Giải- Gọi I là trung điểm của AB . Theo tính chất của véc tơ trung tuyến thì :

, suy ra : . Có nghĩa là I là trung điểm của MM’ - Ví A,B cố định , cho nên I cố định . Do đó . Nhưng M chạy trên

(O;R) cho nên M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I sẽ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R)

- Cách xác định (O’;R) như sau : Nối IO kéo dài , đặt IO’=IO . Sau đó lấy O’ làm tâm , quay đường tròn có bán kính R .

Ví dụ 2. ( Bài 17-tr19-HH11NC).Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R)và một điểm A thay đổi tren đường tròn đó . Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định . ( Hay : tìm quỹ tích của H khi A thay đổi ).

Giải- Vẽ hình theo giả thiết cho . Nối đường kính AM , tìm vị trí của H . Ta thấy CH

∟AB và MB∟AB suy ra CH//BM . Tương tự BH//MC và tứ giác BHCM là hình bình hành , do đoa hai đường chéo BC và MH cắt nhau tại trung điểm I của BC .

- Do B,C cố định cho nên I cố định . Vậy H là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I . Mặt khác M chạy trên (O;R) do đó H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng tâm I .

Ví dụ 3. ( Bài 34-tr10-BTHH11NC) .Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a . Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a?

Giải- Vẽ hình . Từ hình vẽ và tính chất của tam giác đều ta thấy góc . Như vậy phép quay tâm G với góc quay bién A thành C và biến A thành B . Nhưng A chạy trên d vì thế B và C chạy trên đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay

.

Ví dụ 4. ( Bài 35-tr10-BTHH11NC).Sưu tầm và biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 3

TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHCho đường tròn (O) và tam giác ABC . Một điểm M thay đổi trên (O) . Gọi là điểm đối xứng với M qua A, là điểm đối xứng với qua B và là điểm đối xứng với

qua C . Tìm quỹ tích điểm ?Giải .

- Vẽ hình . Từ hình vẽ ta có : Do , đối xứng nhau qua B cho nên - Vì và đối xứng nhau qua C cho nên : (2) . Từ (1) và (2) chứng tỏ BC là đường trung bình của tam giác , có nghĩa là BC// (3) . - Gọi D là trung điểm của M thì AD là đường trung bình của tam giác

(4) . Từ (3) và (4) suy ra AD//BC và tứ giác ABCD là hình bình hành . Có nghĩa là D cố định. Như vậy : . Mà M chạy trên (O) cho nên Chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng tâm D .

PHÉP VỊ TỰ* Để giải một bài toán quỹ tích điểm M khi điểm A thay đổi trên một đường (C ) cho sẵn . Trước hết ta cần phải làm một số việc sau 1. Trong hình H đã cho , ta tìm ra một điểm A thay đổi trên một đường (C ) cho sẵn nào đó ( có thể là đường tròn , có thể là một đường thẳng ) sao cho AM nằm trên một đường thẳng đi qua một điểm cố định I nào đó 2. Gán cho A và M cùng với I hai tam giác dồng dạng , từ đó tìm ra một tỉ số không đối k 3. Viết đẳng thức véc tơ : để kết luận M là ảnh của A qua phép vị tự tâm I với tỉ số vị tự là k .4. Nếu A chạy trên (C ) thì M chạy trên (C’) là ảnh của (C ) qua phép vị tự tâm I tỉ số k . Nêu cách dựng (C’) .Ví dụ 1. ( Bài 29-tr29-HH11NC) .Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định khác O . Một điểm M thay đổi trên đường tròn . Tia phân giác góc MOI cắt IM tại N . Tìm quỹ tích điểm N .

Giải- Vẽ hình . Từ hình vẽ và tính chất của đường phân giác trong chia cạnh đối diẹn làm hai doạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề của hai cạnh đó . Ta có kết quả sau :* Do O,I cố định cho nên OI=a không đổi . Gọi N là chân đường phân giác của góc MOI

( N thuộc IM) , từ đó ta có :

Hay : .

Vì I cố định cho nên . Nhưng M chạy trên đường tròn (O;R) cho nên N chạy trên đường tròn (C’) là ảnh của (O;R) qua phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k .* Cách xác định (O’;R’) như sau - Nối OI , tìm O’ sao cho : , từ đó suy ra O’- Bán kính R’ được xác định bằng công thức : k= R’/R suy ra : R’=kR .( Hoặc : lấy O’ làm tâm quay một đường tròn có bán kính là O’N ) Ví dụ 2. ( Bài 8 ÔN chương I-tr35-HH11-NC)Cho đường tròn (O) có đường kính AB . Gọi C là điểm đối xứng với A qua B và PQ là đường kính thay đổi của (O)khác với đường kính AB . Đường thẳng CQ cắt PA ,PB lần lượt tại M và N .a/ Chứng minh Q là trung điểm của CM , N là trung điểm của CQ b/ Tìm quỹ tích của các điểm M,N khi đường kính PQ thay đổi .

GiảiSưu tầm và biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218Trang 4

TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHa. Vẽ hình . Từ hình xẽ ta thấy : Nối AQ, BQ , do C đối xứng với A qua B cho nên ta có B là trung điểm của AC : BA=BC (1) . Mặt khác BQ vuông góc với AQ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) PA vuông góc với AQ ( góc nội tiếp chắn ½ đường tròn ) suy ra PA // BQ do đó BQ là đường trung bình của tam giác ACM , nghĩa là Q là trung điểm của CM . - Tương tự BN là đường trung bình của tam giác ACQ cho nên N là trung điểm của CQ : NC=NQ (2) b/ Từ (1) và (2) ta có các đẳng thức véc tơ :

. Cho nên M chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm C , tỉ số vị tự bằng 2 .

. Vậy N chạy trên đường tròn (O’’) là ảnh của (O) qua

phép vị tự tâm C tỉ số k=1/2 . - Hướng dẫn học sinh cách xác định hai tâm O’ và O’’.Ví dụ 3. ( Bài 9-tr35-HH11NC)Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định . Một dây cung thay đổi của (O;R) có độ dài bằng m không đổi . Tìm quỹ tích các điểm G sao cho .

Giảỉ* Vẽ hình cho học sinh . Từ hình vẽ lấy I là trung điểm của BC , nối OI ( OI vuông góc với BC ) . A là một điẻm cố định ( có thể nằm trên (O) hay không cần nằm trên (O) . Do B,O cố định , góc OIB bằng một vuông cho nên khi BC thay đổi I chạy trên đường tròn

tâm O bán kính R’= . ( Xét tam giác vuông BOI ).

* Từ giả thiết G là trọng tâm của tam giác ABC . Theo tính chất trọng tâm của tam giác

ta có : . Do đó : G chạy trên đường tròn (O’) là ảnh

của đường tròn (O;R’) qua phép vị tự tâm A ,tỉ số vị tự bằng 2/3 .Ví dụ 4. ( Bài toán 6-tr39-HH11CB).Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O)bán kính R , các dỉnh B,C cố định còn A thay đổi trên (O) .Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC chạy trên một đường tròn .

Giải- Vẽ hình , Gọi I là trung điểm của BC , thì I cố định khi B,C cố định . Theo tính chất

trọng tâm : . Nhưng A chạy trên (O) do đó G chạy

trên (O’) là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm I tỉ số 1/3.

- Xác định (o’;R’) bằng hệ :

Ví dụ 5. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;3R) tiếp xúc trong với nhau tại A. Nếu O biến thành O’ trong phép vị tự tâm A thì tỉ số vị tự bằng bao nhiêu ?

Giải- Vẽ hình . Từ giả thiết : AO’=R’, AO=R suy ra AO’=3AO . Hay : . Do đó tỉ số vị tự là k=3.


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHVí dụ 6. Cho đường tròn O và một điểm P cố định ở ngoài (O) .Từ P kẻ một tiếp tuyến thay đổi PBC . Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC ?

GiảiVẽ hình . Gọi I là trung điểm của BC thì theo tính chất của đường kính đi qua điểm giữa của dây cung : OI vuông góc với BC . Như vậy I nằm trên đường tròn đường kính OP. Mặt khác theo tính chất trọng tâm , thì G nằm trên AI và cách A một khoảng bằng 2/3 AI

, hay : . Nhưng I chạy trên đường tròn đường kính OP cho nên G

chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn đường kính OP qua phép vị tự tâm A tỉ số 2/3.

- Cách xác định O’ bằng hệ : . ( Với H là trung điểm của OP )

Ví dụ 7. Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định với OI=2R . M là một điểm di động trên O , phân giác góc IOM cắt IM tại M’ . Tìm quỹ tích điểm M’ khi M chạy trên đường tròn O.

Giải- Vẽ hình . Theo tính chất của đường phân giác trong :

Vậy : Qua phép vị tự tâm I tỉ số 2/3 biến điểm M thành điểm M’ , nhưng M chạy trên đường tròn (O;R) cho nên M’ chạy trên (O’;R’) là ảnh của (O;R) qua phép vị tự tâm I .

- Để xác định (O’;R’) : .

Ví dụ 8. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong với nhau tại A , đường kính kẻ từ A cắt (O) ,(O’) theo thứ tự tại B,C . Qua A vẽ đường thẳng d cắt (O);(O’) tại M,N . Tìm quỹ tích giao điểm T của BN và CM , khi d thay đổi ?

GiảiVẽ hình minh họa .Căn cứ hình vẽ , ta có phân tích : BM và CN cùng vuông góc với đường thẳng d , suy ra BM//CN (1) . Hai tam giác OCN đồng dạng với tam giác OBM cho nên :

Hay : . Nhưng N chạy trên (O’;R’) cho nên T chạy trên

đường tròn ảnh của (O’) qua phép vị tự tâm B tỉ số k = .

( HD học sinh cách tìm giới hạn quỹ tích ) .Ví dụ 9. ( Bài 73-tr17- Ôn CI-BTHH11-NC).Cho điểm P nằm trong đường tròn (O). Một đường thẳng thay đổi đi qua P , cắt (O) tại hai điểm A,B . Tìm quỹ tích các điểm M sao cho .

GiảiVẽ hình minh họa choi học sinh .Căn cứ hình vẽ ta có phân tích :


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH- Gọi I là trung điểm của AB . Theo tính chất trung điểm của dây cung thì OI vuông góc với AB , có nghĩa là I chạy trên đường tròn đường kính OP (1)- Theo quy tắc véc tơ trung tuyến ta có : phải nằm trên d do I,P nằm trên d . Ví : PM=2MI=2(PM-PI) suy ra PM=2PI hay : . Vậy phép vị tự tâm P biến điểm I thành thành M . Nhưng I lại chạy trên (O;OP) vì thế M phải chạy trên đường tròn ảnh của (O) qua phép vị tự tâm P tỉ số k=2.Ví dụ 10. Cho đường tròn (O) và một điểm P ngoài O . M là một điểm thay đổi trên O . H là hình chiếu vuông góc của của O trên PM a/ Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác POM ?b/ Tìm quỹ tích các điểm H và trung điểm I của PH ?c/ Tìm quỹ tích trọng tâm K của tam giác OPH ?

Giải .Vẽ hình minh họa cho học sinh . Từ hình vẽ phân tích cho HS biết :-Vì H là hình chiếu của O trên PM cho nên OH vuông góc với PM , cho nên H nằm trên đường tròn O’ có đường kính OP .- Gọi J là trung điểm của PO ( J là tâm đường tròn O’) thì G phải nằm trên MJ và theo

tính chất của trọng tâm : . Nhưng M lại chạy trên đường tròn O

cho nên G chạy trên đường tròn O’’ là ảnh của O qua phép vị tự tâm J tỉ số k=1/3 .

- Vì I là trung điểm của PH cho nên PI=1/2PH hay : . Nhưng H

lại chạy trên tâm J bán kính , cho nên I chạy trên đường tròn ảnh của đường tròn tâm

J qua phép vị tự tâm P tỉ số k= ½ .

- Trọng tâm K của tam giác OPH phải nằm trên JH và theo tính chất trọng tâm , ta có :

. Do vậy K chạy trên đường tròn ảnh của đường tròn tâm J bán

kính qua phép vị tự tâm J tỉ số k=1/3 .

Ví dụ 11. Cho đường tròn O và một điểm A nằm trong O , M là một điểm di động trên đường tròn O .a/ Tìm quỹ tích trung điểm I của AM ?b/ Đường trung trực AM cắt đường tròn O tại P và P’ . Tìm quỹ tích chân đường vuông góc H kẻ từ O đến PP’ ?c/ Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APP’ ?

Giải- Vẽ hình minh họa cho học sịnh . Từ hình vẽ hãy chỉ cho học sinh một số kết quả :

* Vì I là trng điểm của AM cho nên : . Như vậy qua phép vị tự

tâm A tỉ số ½ đã biến M thành I , nhưng M chạy trên đường tròn O , cho nên I chạy trên đường tròn ảnh của O qua phép vị tự tâm A tỉ số k=1/2. * Đường trung trực của AM phải đi qua I và vuông góc với AM .

II. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂMTỊNH TIẾN VÉC TƠ


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHTÌM ĐIỂM M TRÊN ĐƯỜNG THẲNG D SAO CHO KHOẢNG CÁCH MA+MB NGẮN

NHẤT ( A,B- CỐ ĐỊNH CHO TRƯỚC )Cách giải

Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d . ( Khi đó đường thẳng d là đường trung trực của AB , suy ra M thuộc d thì MA=MA’ ).

Bước 2: Kẻ đường thẳng A’B , thì đường thằng này cắt d tại M . M sẽ là điểm duy nhất

Bước 3: Chứng minh nhận xét trên : Vì MA+MB=MA’+MB=A’B ( không đổi) do A cố dịnh , thì A’ cố định , suy ra A’B không đổi

Chú ý : Trường hợp trên xảy ra khi A,B nằm trái phía với d . Ngoài ra : Có trường hợp biến thể là thay đường thẳng d bằng hai đường thẳng // cách nhau một đoạn cho trước không đổi .Ví dụ 1. Hai thôn nằm ở hai vị trí A,B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ sống là hai đường thẳng song song ) . Người ta dự kién xây một cây cầu bắc qua sông (MN) và làm hai đoạn thẳng AM và BN .Tìm vị trí M,N sao cho AM+BN là ngắn nhất .

Giải- Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho nên .- Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo . Khi đó AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM . - Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA+NB=A’N+NB Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P , trên tia đối của tia CD lấy điểm Q . Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MN//CD và PN+QM nhỏ nhất .

Giải- Giống bài toán trên là khoảng cách giữa hai cạnh của hình chữ nhật không đổi . cho nên ta thực hiện theo cách của bài toán trên như sau :- Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo .Khi đó MN=QQ’ , suy ra MQ=NQ’ . Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn nhất khi P,N,Q’ thẳng hàng .- Các bước thực hiện :

+/ Tìm Q’ sao cho : +/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N +/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M . Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán .

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG ( C ‘) QUA PHÉP TỊNH TIẾN THEO KHI BIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C ).Cách giải :

Bước 1: lấy một điểm M(x;y=f(x) ) trên (C ) Bước 2: Thay x,y vào công thức tọ độ của phép tịnh tiến Bước 3: Rút gọn ta có phương trình F(x;y)=0 . Đó chính là phương trình của

(C’ ) cần tìm .Ví dụ . Trong mặt phẳng (Oxy) cho a/ Viết phương trình ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau :+/Đường thẳng a có phương trình : 3x-5y+1=0 ?+/Đường thẳng b có phương trình : 2x+y+100=0b/ Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) :

c/ Viết phương trình đường (E) ảnh của (E) :


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH

d/ Viết phương trình ảnh của (H) :

Giảia/ Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) thuộc các đường ảnh của chúng.

Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có :

Thay x,y vào phương trình các đường ta có : - Đường thẳng a’ : 3(x’-1)-5(y’+2)+1=0 3x’-5y’-12=0 - Đường thẳng b’ : 2(x’-1)+(y’+2)+100=0 hay : 2x’+y’+100=0

b/ Đường tròn (C’) : hay :

c/ Đường (E’) :

d/ Đường (H’):

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

CHO ĐƯỜNG THẲNG d VÀ HAI ĐIỂM A,B . TÌM ĐIỂM M THUỘC d SAO CHO MA+MB NHỎ NHẤT. ( Khi A,B là hai điểm nằm về một phía của d ), ĐẠT GIÁ TRỊ LỚN NHẤT( A,B nằm về hai phía của d )

Cách giải : Bước 1: Tìm điẻm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d Bước 2: Nối A’B , đường thẳng này cắt d tại M . Là điểm cần tìm . Bước 3: Chứng minh M là điểm duy nhất .

Ví dụ 1. (Bài 9-tr13- HH11NC)Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó . Hãy tìm điểm B trên Ox , điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất .

Giải .- Tìm A’ đối xứng với A qua Oy , B’ đối xứng với A qua Ox - Nối A’B’ cắt Ox tại B , cắt Oy tại C . Đó chính là hai điểm cần tìm - Chứng minh B,C là hai điểm duy nhất cần tìm .Thật vậy : Do A’ đối xứng với A qua Oy , cho nên CA=CA’ (1) . Mặt khác : B’ đối xứng với A qua Ox cho nên ta có BA=BB’ (2) . Gọi P là chu vi tam giác ABC thì P=CA+CB+BA =CA’+CB+BB’=A’B’ ( do từ (1) và (2) ).Ví dụ 2: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm cùng phía với d . Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất ?

Giải- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d - Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’ (1). Do đó : MA+MB=MA’+MB=A’B . - Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B . Dấu bằng chỉ xảy ra khi A’M’B thẳng hàng . Nghĩa là M trùng với M’ .


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHVí dụ 3. Cho đường thẳng d và hai điểm A,B ( nằm về hai phía của d ). Tìm điểm M trên d sao cho đạt GTLN .

Giải .- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d - Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .- Thật vậy : . Giả sử tồn tại một điểm M’ khác với M trên d , khi đó : . Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’A’B thẳng hàng , nghĩa là M trùng với M’. Ví dụ 4 . Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) và một đường thẳng d a/ Hãy tìm hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’b/ Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tuyến IT’ với (O’;R’) tạo thành một góc TIT’ nhận đường thẳng d là đường phân giác trong hoặc ngoài .

GiảiVẽ hình : a/ Giả sử M nằm trên (O;R) và M’ nằm trên (O’;R’) tỏa mãn yêu cầu bài toán - Vì d là trung trực của MM’ cho nên M’ nằm trên đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục d . Mặt khác M’ lại nằm trên (O’;R’) do vậy M’ là giao của (C’) với (O’;R’) - Từ đó suy ra cách tìm :

Tìm hai đường tròn ảnh của hai đường tròn đã cho qua phép đối xứng trục d ( Lần lượt là (C’) và (C’’)

Hai đường tròn này cắt hai đường tròn đã cho tại . Sau đó kẻ hai đường thẳng d’’ và d’’’ qua cắt (O;R) và (O’;R’) tại

Các điểm cần tìm là và b/ Nếu MT và MT’ nhận d là phân giác trong hoặc ngoài của góc TIT’ thì MT và MT’ đối xứng nhau qua d . Từ đó suy ra cách tìm :- Gọi d’ là ảnh của MT qua phép đối xứng d nghĩa là d’ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d. Mặt khác d’ là tiếp tuyến của (O’;R’) . Cho d’ là tiếp tuyến chung của (C ) với (O’;R’) . Từ đó ta suy ra cách tìm M :

Tìm (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d Kẻ d’ là tiếp tuyến chung của (C ) và (O’;R’) . Khi đó d’ cắt d tại M . Chính là

điểm cần tìm . Tương tự áp dụng cho (O’;R’)

- Số nghiệm hình bằng số giao điểm của các tiếp tuyến chung cắt d .

TÌM ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Bài toán : Cho điểm A(x;y) và một đường thẳng d : ax+by+c=0 . Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua đường thẳng d ?Cách giải :

Bước 1: Gọi B(x’;y’) là điểm đối xứng với A qua d và H là trung điểm của AB thì

điều kiện :

Bước 2: Giải hai điều kiện (1) và (2) suy ra tọa độ của B


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHVí dụ 1. Cho điểm M(2;3) tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d : y=x

Giải- Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng

nhau qua d thì điều kiện là :

- Ta có : .

- Điều kiện (*)

Ví dụ 2.Cho điểm M(2;-3) . Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d : y-2x=0

Giải- Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng

nhau qua d thì điều kiện là :

- Ta có : .


CHO ĐƯỜNG (C ) VÀ ĐƯỜNG THẲNG d HÃY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C’) LÀ ẢNH CỦA (C ) QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC d

CÁCH GIẢI Bước 1: Trên đường (C ) lấy hai điểm A,B Bước 2: Tìm hai điểm A’,B’ đối xứng với A,B qua phép đối xứng trục d Bước 3: Viết phương trình đường (C’) đi qua A’,B’

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x-2y-2=0 và đường thẳng d’: y=x . Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d’ qua đường thẳng d .

Giải

- Tìm giao của d và d’ bằng A(x;y) là nghiệm của hệ : .A(-2;-2)

- Trên d’ lấy điểm M (3;3) . Gọi N(x;y ) là điểm đối xứng với M qua d .Gọi H là trungđiểm của MN thì điều kiện để M,N đối xứng nhau qua d là :

(*).- Ta có :



- Điều kiện (*) .

- Đường thẳng (m) là đường thẳng đi qua AN có véc tơ chỉ phương là , nên

(m) có phương trình là : .

Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng d: 2x-y+2=0 ; d’ : x+3y-3=0 . Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng d’ .

GIẢI- Tìm tọa độ điểm A là giao của d với d’ . Khi đó tọa độ A là nghiệm của hệ hai phương

trình :

- Trên đường thẳng d chọn điểm M(0;2) - Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d’ . Khi đó nếu M,N đối xứng

nhau qua d’ thì điều kiện : (*) Với H là trung điểm của MN , là véc tơ

chỉ phương của d’ . Ta có : .


- Đường thẳng (m) =(AN) đi qua và có véc tơ chỉ phương

.

Do đó (m) : .

Ví dụ 3 . Cho đường tròn (C ) : và đường thẳng d : 2x-y+2=0. Hãy viết phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục d .

GiảiDo tính chất của phép đối xứng trục biến (C ) thành (C’) có cùng bán kính . Cho nên ta chỉ cần tìm tọa độ tâm I’ của (C’) đối xứng với tâm I của (C ) .Vậy từ giả thiết ta có tâm I của (C ) có tọa độ : I(2;-1) và R=2 . - Gọi I’(x;y ) là tâm của (C’)H là trung điểm của II’ , là véc tơ chỉ phương của

đường thẳng d . Để I’ đối xứng với I qua d thì điều kiện : (*)

-Ta có : .




- Vậy (C’): .

Ví dụ 4. Cho (E) : . Và đường thẳng d : x+y-2=0 . Lập phương trình (E’) là

ảnh của (E) qua phép đối xứng trục d .Giải

- Vẽ (E) chỉ ra tọa độ các đỉnh của trục lớn : A(3;0) ,A’(-3;0) và tọa độ hai đỉnh của trục nhỏ : B(0;2) ;B’(0;-2 ) - Tìm tọa độ của 4 đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là ảnh của 4 đỉnh hình chữ nhật cơ sở của (E) đã cho . Bằng cách giải các bài toán nhỏ như ở trên , dễ dàng tìm được tạo độ của O’(2;2) là ảnh của O(0;0) , M’(4;5) là ảnh của M(-3;-2 ). N’(4;-1 ) là ảnh của N(3;-2) . P’(0;-1) là ảnh của P(3;2) và Q’( 0;5) là ảnh của Q(-3;2) .- Áp dụng cách vữ (E) ta suy ra cách vẽ của (E’) .* Chú ý : Đây là bài toán tương đối khó , chưa gặp trong các đề thi đại học , nhưng lấy ví dụ này là để mở rộng cho trường hợp đối xứng trục . Dù đường (C ) cho là đường gì đi chăng nữa , ta chỉ cần sử dụng tốt kiến thức đã học là có thể giải được .

PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂMTÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH CÁCH GIẢI .Sử dụng các định nghĩa , tính chất của phép quay và phép đối xứng tâm cùng với biểu thức tọa độ của chúng .Ví dụ 1. ( Bài 1-tr15-HH11CB)Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-1;3) và đường thẳng d có phương trình : x-2y+3=0 . Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O

Giải- Gọi A’(x;y) là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O(0;0) . Theo công thức tọa độ của phép đối xứng ta có :

- Tương tự Gọi M(x;y) là một điểm bất kỳ thuộc d và M’(x’;y’) là một điểm bất kỳ thuộc d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O . Theo công thức tọa độ của phép đối xứng ta

có : . Do đó d’ có phương

trình là : x-2y-3=0 .Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (O;R) : và (E) :

điểm I(1;2) . Tìm ảnh của (O;R) và (E’) qua phép đối xứng tâm I

GiảiGọi M(x;y) là điểm bất kỳ thuộc (O;R) và (E) . Từ công thức chuyển trục ta có :



*Chú ý : (O;R) : .Ta chỉ tìm J’(x;y) là ảnh của J qua phép đối xứng tâm I(1;2) bằng công thức chuyển trục

tọa độ : .

Do đó (O’) : là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng tâm I .Ví dụ 3.( Bài 1.13-BTHH11CB)Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x-2y+2=0 và d’: x-2y-8=0 . Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nó .

GiảiĐể thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta làm như sau :- Gọi M(x’y) thuộc d , M’(x’;y’) thuộc d’ . Giả sử tâm đối xứng là I(a;b) , thì theo công

thức chuyển trục : .

- Để trục Ox thành chính nó thì tâm đối xứng phải có dạng : I(a;0) tức là b=0

- Từ hai kết quả trên ta có : .

Ví dụ 4. ( Bài 1.14 –tr-21-BTHH11CB)Cho ba điểm không thẳng hàng I,J,K . Hãy dựng tam giác ABC nhận I,J,K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB .

Giải- Phân tích : Giả sử tam giác ABC đã dựng xong thỏa mãn điều kiện đầu bài . Vì I,J,K là trung diểm cho nên Ị là đường trung bình suy ra Ị=KB , tương tự KJ=IC . Từ đó suy ra cách dựng :+/ Tìm điểm P là ảnh của J qua phép đối xứng tâm I +/ Kẻ Px //KJ và đặt PQ=KJ . Từ Q kẻ Qy //Ị và đặt QC=IP.+/ Tìm B đối xứng với C qua I và A đối xứng với B qua K . Như vậ tam giác ABC đã dựng xong .* Chú ý : Ngoài cách trên ta còn có cách khác như sau +/ Lấy một điểm N bất kỳ . Tìm các điểm M đối xứng với N qua I , P đối xứng với N qua J và Q đối xứng với P qua K . ( Vẽ hình ) +/ Từ đó suy ra : . Do đó C là trung điểm của MQ . Từ đó suy ra cách dựng .Ví dụ 5 ( Bài 1-tr19-HH11NC) Cho hình vuông ABCDa/ Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc quay b/ Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc quay .

Giảia/ Từ hình vẽ ta thấy ảnh của C qua phép quay tâm A góc là C’ hoặc C’’ sao cho các tam giác ACC’ và ACC’’ là các tam giác vuông cân b/ Ta nhận thấy ảnh của C qua phép quay tâm O góc quay là B hoặc D . Còn ảnh của B qua phép quay tâm O góc quay là A hoặc C , do đó ảnh của BC là AB hoặc DC .



Ví dụ 6 .( Bài 2-tr19-HH11-NC) .Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (2;0) và đường thẳng d : x+y-2=0 . Tìm ảnh của điểm A và d qua phép quay tâm O góc quay .

Giải- Vẽ hình . Từ hình vẽ ta thấy A thuộc d . Ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay . Là B(0;-2) hoặc B’(0;2) . Điểm B’ có ảnh qua phép quay là A(2;0) hoặc A’(-2;0)- Vì B’ và A nằm trên d cho nên ảnh của d qua phép quay này sẽ là (AB) hoặc (A’B’) lần

lượt có phưng trình : .

PHÉP VỊ TỰTÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH

Sử dụng định nghĩa và các tính chất của phép vị tự . Từ định nghía nếu tâm vị tự là I(a;b) , điểm M(x;y) điểm M’(x’;y’) thì ta có :

(*) .

Chính là biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k ..Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d: 3x+2y-6=0 . Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số vị tự k=-2 ?

GiảiGọi M(x;y) thuộc d ,M’(x’;y’) là một điểm bát kỳ thuộc d’ thì theo biểu thức tọa độ của phép vị tự ta có :

.

Thay vào phương trình của đường thẳng d:

Do vậy d’: 3x+2y-9=0 . Ví dụ 2 .( Bài 1.23-tr33-BTHH11CB)Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 2x+y-4=0a/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỉ số vị tự k=3 .b/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I (-1;2) tỉ số vị tự k=-2

Giảia/ Từ công thức tọa độ :

Do đó đường thẳng d’: 2x+y-12=0 .


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHb/ Tương tự :

.

Do đó đường thẳng d’’: 2x+y+8=0 .Ví dụ 3. ( Bài 1.24-tr33-BTHH11-CB)Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ): . Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C ) qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k=-2 .

GiảiĐường tròn (C ) có tâm O(3;-1) bán kính R=3. Gọi O’ (x’;y’) là tâm của (C’) ,R’ là bán kính của (C’) . Ta có tọa độ của O’ thỏa mãn biểu thực tọa độ của phép vị tự :

. Vậy (C’) : TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM – MỘT ĐƯỜNG QUA PHÉP VỊ TỰ

* Sử dụng đẳng thức véc tơ của phép vị tự và tính chất bằng nhau của hai véc tơ , ta sẽ tìm được kết quả .Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (O) : . Tìm phương trình đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2 .

GiảiTâm I của (O) có tọa độ I(1;1) bán kính R=2 . Nếu (O’) có tâm là J và bán kính R’ là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm O ta có đẳng thức véc tơ :

. R’=2R=2.2=4.

Vậy (O’) : Ví dụ 2. ( Bài 1.23-BTHH11-CB-tr33)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x+y-4=0.a/ Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3.b/ Viết phương trình đường thẳng d’’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(-1;2) tỉ số k=-2

Giảia/Gọi M(x;y) là một điểm bất kỳ thuộc d và M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3 . Nếu M chạy trên d thì M’ chạy trên đường thảng d’ .

Theo tính chất của phép vị tự : .

Thay (x;y) vào d: . Vậy d’: 2x+y-12=0 .



b/ Tương tự như trên ta có : .

Thay vào d : . Do đó d’’: 2x+y+2=0 .

Ví dụ 3. ( Bài 1.24-tr33-BTHH11).Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ): . Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C ) qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k=-2.

GiảiGọi O(3;-1) là tâm của (C ) có bán kính R=3. Đường tròn (C’) có tâm J(x;y) bán kính R’ là ảnh của (C ) qua phép vị tự tâm I tỉ số k=-2 . Theo tính chất của phép vị tự ta có :

. R’=2R=2.3=6 .

Vậy (C’) : .III. BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂMVí dụ 1. ( Bài toán 3-tr17-HH11NC) Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại hai điểm B,C . Hãy dựng một đường thẳng d đi qua A và cắt (O;R) và (O’;R’) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN .

Giải- Giả sử đường thẳng d đã dựng xong , do A là trung điểm của MN cho nên N là ảnh của M qua phép đối xứng tâm A vì vậy N phải nằm trên đường tròn (O’’) là ảnh của đường tròn (O;R) ( vì M chạy trên (O) ). Mặt khác N lại thuộc (O’;R’) vì thế cho nên N là giao của (O’’) với (O’;R’) . Từ đó suy ra cách dựng .+/ Dựng đường tròn (O’’) là ảnh của đường tròn (O) : Nối OA , đặt OA=O’’A .+/ Đường tròn (O’’) cắt đường tròn (O’) tại N . Nối NA cắt (O) tại M .

- Giới hạn quỹ tích : Số nghiệm hình bằng số giao điểm của (O’’) cắt (O’) .Ví dụ 2. ( Bài 18-tr19-HH11NC) Cho đường tròn (O;R) , đường thẳng d và điểm I . Tìm điểm A trên (O;R) và điểm B trên d sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB .

Giải- Vẽ hình . Do I là trung điểm của AB cho nên B là ảnh của A qua phép đối xứng tâm I . Mặt khác A chạy trên (O;R) vì thế B chạy trên đường tròn (O’’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng tâm I . Nhưng B lại nằm trên d vì vậy B là giao của d với (O’’) -Từ đó suy ra cách tìm . Nối IO đặt IO=IO’’ , sau đó dựng đường tròn (O’’) bán kính R , cắt d tại B . Nối BI cắt (O;R) tại A . - Giới hạn quỹ tích : Số nghiệm hình bằng số giao điểm của (O’’) với d .

PHÉP VỊ TỰ


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHĐể xác định một điểm M ta xem nó như là ảnh của một điểm A nào đó đã biết qua phép vị tự , hoặc xem M như là giao của của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép vị tự .Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có hai góc B,C đều nhọn . Dựng hình chữ nhật DEEG có EF=2DE với hai đỉnh D,E nằm trên BC và hai đỉnh F,G nẵm trên hai cạnh AC và AB .

Giải- Vẽ hình ( đã thỏa mãn yêu cầu bài toán ).* Phân tích : + Giả sử hình chữ nhật đã dựng xong , trên AB lấy một điểm G’ bất kỳ , dựng hình chữ nhật G’F’E’F’ có E’F’=2D’E’ và hai đỉnh D’,E’ thuộc BC , nối BF’ cắt

AC tại F , khi đó ta có : . Chứng tỏ B,F’F thẳng hàng .Ta có

thể xem hình chữ nhật DEFG là ảnh của hình chữ nhật D’E’F’G’ qua phép vị tự tâm B tỉ

số vị tự : . Từ đó suy ra cách dựng .

* Cách dựng : - Lấy điểm G’ tùy ý trên AB , sau đó dựng hình chữ nhật G’F’E’D’ có E’F’=2 D’E’, hai đỉnh D’E’ nẵm trên BC . - Nối BF’ cắt AC tại F , đường thẳng qua F song song với BC cắt AB tại G . Gọi D và E là hình chiếu của G và F trên BC . Thì hình chữ nhật DEFG là hình chữ nhật cần dựng .* Chứng minh :

Thật vậy : Vì GF //G’F’ , GD//G’D’ nên : Từ đó suy ra :

. Như vậy hình chữ nhật đã dựng thỏa mãn yêu cầu bài toán .

Ví dụ 2. ( Bài 1.25-tr33-BTHH11CB).Cho nửa đường tròn đường kính AB . Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường tròn , hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính AB của nửa đường tròn đó .

GiảiVẽ hình , từ hình vẽ ta có các bước sau .* Phân tích .Giả sử hình vuông MNPQ đã dựng xong thỏa mãn yêu cầu bài toán ( với M,N nẵm trên AB , còn P,Q nằm trên nửa đường tròn ).Gọi O là trung điểm của ABNối OQ và OP, dựng hình vuông M’N’P’Q’ sao cho M’,N’ nằm trên AB và O là trung

điểm của M’N’ . Khi đó ta có : .

Ta xem như MNPQ là ảnh của M’N’P’Q’ qua phép vị tự tâm O tỉ số k= . Từ đó suy

ra :* Cách dựng . - Dựng hình vuông M’N’P’Q’ ( có M’N’ thuộc AB và O là trung điểm của M’N’ )- Nối OP’ và OQ’ chúng cắt (O,AB) tại P và Q - Hình chiếu của P và Q trên AB là N và M . Khi đó MNPQ chính là hình vuông cần dựng .* Chứng minh : Do M’N’P’Q’ là hình vuông , cho nên M’N’//AB . Tam giác OM’N’

đồng dạng với tam giác OPQ suy ra : .

Ví dụ 3. ( Bài 1.26-tr33-BTHH11CB).


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHCho góc nhọn Oxy và điểm C nằm trong góc đó . Tìm trên Oy một điểm A sao cho khoảng cách từ A đến trục Ox = AC .

Giải- Vẽ hình . Căn cứ vào hình vẽ ta có phân tích sau * Phân tích : Gọi B là hình chiếu của A trên Ox . theo đầu bài thì tam giác ABC là tam giác cân đỉnh A ( AB=AC ) . Giả sử tam giác A’B’C là một tam giác cân đỉnh là A’ có A’B’ vuông góc với Ox . Dễ dàng nhận thấy hai tam giác này đồng dạng vì thế ta có :

. Ta coi tam giác ABC là ảnh của tam giác A’B’C’ qua phép vị tự

tâm OP tỉ số vị tự là k . Từ đó suy ra cách dựng :* Cách dựng :- Nối OC , sau đó trên Oy lấy điểm A’ , tìm B’ là hình chiếu của A’ trên Ox ( kẻ A’B’ vuông góc với Ox) .- Dùng com pa lấy A’ làm tâm , quay cung tròn có bán kính bằng A’B’ cắt OC tại C’ .- Từ C kẻ hai đường thẳng song song với hai cạnh A’C’ và C’B’ chúng cắt hai cạnh Oy và Ox tại A và B . Tam giác ABC là tam giác cần tìm * Chứng minh : Giống cách phân tích Ví dụ 4. ( Bài tập O.11-tr76-BTHH10 –T6-2000)Cho tam giác nhọn ABC . Hãy dựng hình vuông MNPQ sao cho M,N nằm trên cạnh BC , P,Q nằm trên hai cạnh còn lại của tam giác .

Giải- Vẽ hình . Từ hình vẽ ta có cách phân tích :Gọi một hình vuông M’N’P’Q’ có cạnh M’N’ thuộc BC và M’N’=N’P’=P’Q’=Q’M’ và bằng a cố định Nếu ta coi hình vuông MNPQ là ảnh của một phép vị tự tâm B với tỉ số

vị tự nào đó thì : . Suy ra cách dựng .

- Trên AB lấy một điểm Q’ bất kỳ , kẻ đường thẳng qua Q’ vuông góc với BC cắt BC tại M’ . Sau đó đặt M’N’=A’M’ , dựng hình vuông M’N’P’Q’ .- Nối BP’ cắt AC tại P , kẻ hai đường thẳng qua P // với N’P’ và M’N’ chúng cắt BC và AB tại N và Q . Cuối cùng kẻ qua Q một đường thẳng vuông góc với BC cắt BC tại M ta được hình vuông MNPQ cần dựng .* Chú ý : Ta còn có cách khác .- Dựng hình vuông BCM’N’ nằm ngoài tam giác ABC . Gọi B’C’ lần lượt là giao của

AB và AC với M’N’ . Như vậy phép vị tự tâm A tỉ số vị tự : k= biến tam giác

AB’C’ thành tam giác ABC , Cho nên biến hình vuông BCPQ thành hình vuông MNPQ cần tìm .Vì thế ta chỉ cần kẻ qua B’ và C’ hai đường thẳng vuông góc với BC chúng cắt các cạnh Ac và AB tại các điểm P và Q , cắt BC tại N và M . Hình vuông MNPQ tìm được Ví dụ 5. Gọi A là giao hai đường đường tròn cắt nhau O và O’ Hãy dựng qua A một đường thẳng cắt hai đường tròn tại B và C sao cho AC=2AB

GiảiVẽ hình minh họa . Từ hình vẽ ta có phân tích sau - Từ giả thiết , ta có : . Như vậy phép vị tự tâm A đã biến B thành C . Từ đó ta có cách dựng :- Dựng đường tròn ảnh của đường tròn (O) qua phép vị tự tâm A tỉ số k=-2. Giao của đường tròn ảnh với đường tròn (O’) là C . Đường thẳng AC chính là đường thẳng d cần dựng .


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH- Chứng minh : Do C là ảnh của B qua phép vị tự tâm A tỉ số k=-2 cho nên AC=2AB .Ví dụ 6. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A( có bán kính khác nhau ) .Một điểm M nằm trên đường tròn (O) . Dựng đường tròn đi qua M và tiếp xúc với O và O’.

Giải- Vẽ hình minh họa cho học sinh . Từ đó có phân tích ..- Gọi S là tâm vị tự ngoài của (O) và (O’) ,N là ảnh của M qua phép vị tự tâm S M’ là giao điểm thứ hai của AN với (O’) , Gọi O’’ là giao của OM với O’M’ ( Chú ý :

OM//O’N ) ta có : nên O’’M=O’’M’ . Chứng tỏ (O’’) tiếp

xúc với (O) và (O’) tại M và M’ .- Cách dựng : Tìm tâm S ( kẻ tiếp tuyến chung của O và O’ cắt OO’ tại S .Nối SA cắt (O’) tại N và M’. O’ chính là giao của OM với O’M’ .

IV. BÀI TOÁN CHỨNG MINHPHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂMĐể làm được dạng bài toán chứng minh ta cần phải lắm chắc kiến thức về phép đối xứng tâm và phép quay . Đồng thời phải nhớ lại các kiến thức về tam giác , tứ giác : Hình bình hành , hình vuông , hình chữ nhật .

Ví dụ 1. ( Bài toán 1-tr17-HH11NC)Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ . Gọi C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA’ và BB’ . Chứng minh rằng OCD là tam giác đều ?

GiảiXét phép quay tâm O với góc quay bằng góc lượng giác ( OA,OB)= . Rõ ràng A biến thành B và A’ biến thành B’ , vì thế cho nên phép quay đã biến đoạn thẳng AA’ thành đoạn thẳng BB’ . Từ đó suy ra phép quay đã biến C thành D , do đó OC=OD . Vì góc quay bằng cho nên tam giác cân OCD là tam giác đều .Ví dụ 2. ( Bài 43-tr11-BTHH11NC)Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông BCMN và ACPQ có tâm là O và O’ a/ Chứng minh rằng khi cố định hai điểm A,B và cho C thay đổi thì đường thẳng NQ luôn đi qua một điểm cố định .b/ Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh rằng IOO’ là tam giác vuông cân .

Giải .a/ Vẽ hình theo giả thiết đã cho . Từ hình vẽ , giải cho học sinh bài toán phụ : Cho hai điểm A,B cố dịnh , với mỗi điểm M và với hai phép quay tâm A , tâm B có cùng góc quay thì phép hợp của hai phép quay là một phép đối xứng mà tâm đối xứng là đỉnh goác vuông của tam giác vuông cân OAB ( O là tâm đối xứng ).- Như vậy : đi qua tâm đối xứng H được xác định bằng cách dựng tam giác vuông cân HAB b/ Tương tự như trên : đi qua tâm đối xứng I được xác định bằng tam giác vuông cân OO’I ( với I là đỉnh của góc vuông ). Như vậy tam giác O’OI là tam giác vuông cân .

PHÉP VỊ TỰ


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHTa hay gặp bài toán chứng minh một đường thẳng đi qua một điểm cố định , hay một điểm nằm trên một đường tròn cố định , một hình vuông …tóm lại một hình H cố định nào đó . Khi đó ta chỉ cần chứng minh đường thẳng đó đi qua tâm vị tự của hai hình H và H’ hoặc chứng minh M nằm trên một đường tròn ảnh của một hình H qua một phép vị tự tâm I tỉ số k Ví dụ 1. Cho hai đường tròn (O ) và ( ) ngoài nhau , một đường tròn (O) thay đổi tiếp xúc ngoài với và tiếp xúc ngoài với . Chứng minh đường thẳng nối hai tiếp điểm đi qua một điểm cố định .

GiảiVẽ hình minh họa cho học sinh . Từ hình vẽ , phân tích cho học sinh thấy :

. Kẻ . Thì ta có cho nên MM’ đi qua tâm vị tự

ngoài của hai đường tròn . Do đó : .

* Gọi M,N thứ tự là hai tiếp điểm của (O) với hai đường tròn ; . Thì* Hai tam giác : ONM đồng dạng với suy ra :

. Vậy MN đi qua tâm vị tự ngoài cố định của

hai đường tròn : ; .Ví dụ 2. Cho hai đường tròn O và O’ tiếp xúc ngoài với nhau tại A .Một góc vuông xAy quay xung quanh A , tia Ax cắt O tại M , tia Ay cắt O tại M’. Chứng minh đường thẳng MM’ luôn đi qua một điểm cố định .

GiảiNối MM’ cắt O’ tại N ta thấy : song song cùng chiều với . Tương tự A’ là giaocủa OO’ với với O’ ta cùng thấy : . Suy ra MM’ đi qua tâm vị tự của hai đường tròn . Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC với trọng tâm G . Gọi A’,B’,C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB a/ Phép vị tự nào biến A thành A’,B thành B’ và C thành C’ ?b/ Chứng minh tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trực tâm tam giác A’B’C’

c/ Gọi H là trực tâm tam giác ABC , chứng minh rằng : . Suy ra G,O,H nằm

trên một đường thẳng ( Đường thẳng Ơ-le ) .Giải

a/ Theo tính chất của trọng tâm tam giác :

. Như vậy phép vị tự tâm G tỉ số k=-1/2 biến ba điểm A,B,C

thành ba điểm A’,B,C’ . b/ Vì O là giao ba đường trung trực , cho nên OB’ ∟AC , nhưng AC//A’C’ cho nên OB’∟A’C’ . Chứng tỏ OB’ là một đường cao của tam giác A’B’C’ .Tương tự đối với OA’ và OC’ vì vậy O là trực tâm của tam giác A’B’C’.


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHc/ Do tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm G tỉ số k=-1/2 cho

nên H biến thành O và : .

PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN TỊNH TIẾN VÉC TƠ Bài 1. Cho hai đường tròn không đồng tâm (O;R) và (O’;R’) và một điểm A trên (O;R) . Xác định điểm M trên (O;R) và diểm N trên (O’;R’) sao cho .Bài 2. ( Làm bài tập 4;5;6 – HH11NC-trang 9)Bài 3. ( Làm bài tập : 2;3- HH11CB-trang 7 )

GỢI ÝBài 1. Vì : . Do đó N nằm trên đường tròn ảnh của (O;R) . Mặt khác N lại nằm trên (O’;R’) do đó N là giao của đường tròn ảnh với với (O’;R’) . Từ đó suy ra cách tìm :- Vè đường tròn tâm A bán kính R , đường tròn náy cắt (O’;R’) tại N - Kẻ đường thẳng d qua N và song song với OA , suy ra d cắt (O;R) tại M Bài 2. a/ Bài 4-trang 9-HH11NC.- Vì A,B cố định suy ra : .- Từ giả thiết : . Chứng tỏ : .- Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) .b/ Bài 5.

- Tọa độ của M’ và N’ là :

- Khoảng cách d giữa M,N và khoảng cách d’ giữa M’N’ .Ta có :

- Phép F là phép dời hình

- Khi : . Đây là công thức của phép tịnh tiến .

c/ Bài 6.- Nếu thì khoảng cách giữa hai điểm

MN và M’N’ là : . Chứng tỏ MN=M’N’cho nên đó chính là phép dời hình .- Nếu : . Khi đó khoảng cách hai điểm

là : .- Rõ ràng : MN< M’N’ : Do đó đây không phải là phép dời hình vì theo định nghĩa : Phép dời hình là phép biến hình biến hai điểm thành hai điểm mà không làm thay đổi khoảng cách giữa chúng . Bài 3. a/ Bài 2- trang 7. - Từ B và C kẻ các đường thẳng // với AG . Sau đó đặt BB’=CC’=AG ( Tứ giác BCC’B’ là hình bình hành )


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH- A’ sẽ trùng với G . Tam giác GB’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo véc tơ AG .- Nếu D là ảnh của phép tịnh tiến theo véc tơ AG thì : phải trùng với G .b/ Bài 3-trang 7.

- Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến : và tọa độ của

điểm .

- Nếu gọi M(x;y) thuộc đường thẳng d và M’(x’;y’) thuộc đường thẳng d’ : là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc tơ v thì theo công thức tọa độ củ phép tịnh tiến

ta có : . Thay vào phương trình của d : (x’+1)-2(y’-2)+3=0 .

Hay d’: x’-2y’+8=0 .PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤCBài 1. Gọi m là đường phân giác ngoài của góc A của tam giác ABC . Chứng minh rằng với mọi điểm M trên m , chu vi tam giác MBC không nhỏ hơn chu vi tam giác ABC Bài 2. Cho (E) với hai tiêu điểm . Gọi M là một điểm nằm trên (E) nhưng không nằm trên đường thẳng và m là phân giác ngoài tại đỉnh M của tam giác M . Chứng minh rằng m chỉ cắt (E) tại M duy nhất ( đường thẳng m như thế gọi là tiếp tuyến của E tại M )Bài 3. Cho đường tròn (C ) : . Tìm phương trình đường tròn (C’) qua phép đối xứng trục d : x-y-0 .Bài 4 . Cho hai đường thẳng d : x-y+2=0 và d’: 3x+4y-1=0 . Tìm đường thẳng m là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xừng trục là d’ .Bài 5. Cho đường thẳng d: x+y-2=0 và hai điểm A(-4;-3) ,B(2;-1) . Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất Bài 6. Cho hai điểm A(4;3) và B(-2;0) . Tìm trên đường thẳng d : x+y-2=0 điểm M sao cho đạt gía trị lớn nhất .Bài 7.( Bài 39-tr106-BTHH10NC)

Cho tam giác ABC có đỉnh A . Hai đường phân giác trong của hai góc B và C lần

lượt có phương trình x-2y-1=0 và x+3y-1=0 . Viết phương trình cạnh BC của tam giác . GỢI Ý CÁCH GIẢI

Bài 1. Kẻ đường phân giác ngoài của góc A . Tìm điểm C’ đối xứng với C qua m . T a có : MB+MC=MB+MC’ . Mà BC’=AB+AC . Suy ra MB+MC+BC . Đó chính là điều phải chứng minh .Bài 2. Giả sử trục lớn của (E) là 2a , tức là M nằm trên E khi : . Theo cách chứng minh bài 1 , nếu M’ nằm trên phân giác m thì :

. Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’ trùng với M . Vậy nếu M’ khác M thì M’ không nằm trên E . Suy ra m cắt E tại một điểm duy nhất tại M .Bài 3. Đường tròn (C ) có tâm I(3;-1) và bán kính R=3 . Gọi I’ là tâm của đường tròn (C’) . Nếu I và I’ đối xứng nhau qua d thì ta có hệ :

.



Vậy đường tròn (C’): đối xứng với (C ) qua trục đối xứng d .Bài 4. Gọi A là giao của d và d’ thì tọa độ A là nghiệm của hệ :

. Trên d lấy điểm M(0;2) . Tìm M’(x;y) là ảnh của

M qua phép đối xứng trục d’ ( có Khi đó tọa độ M’ là nghiệm của hệ :

.

Khi đó đường thẳng m đối xứng với d qua d’ là đường thẳng AM’ đi qua A(-1;1) có véc

tơ chỉ phương suy ra (m) : . Hay đường thẳng

(m) : 19x-8y+27=0. Bài 5. Tìm tọa độ A’(x;y) đối xứng với A(-4;-3) qua phép đối xứng trục d: x+y-2=0

Suy ra hệ : .

Lập đường thẳng (A’B) đi qua A’(5;6) có véc tơ chỉ phương .

Do đó (A’B): .

Vậy M là giao của (A’B) với d cho nên tọa độ của M là nghiệm của hệ :

Bài 6. Tương tự cách làm bài tập 5 , ta có tạo độ A’(x;y) đối xứng với A(4;3) qua d là nghiệm của hệ

: .

Đường thẳng (A’B) đi qua B(-2;0) có véc tơ chỉ phương : .

Do đó (A’B): . Điểm M cần tìm là giao của (A’B) với d , cho nên tọa

độ M là nghiệm của hệ : .


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHBài 7. Tìm tọa độ hai điểm M,N lần lượt là ảnh của A qua phép đối xứng trục là hai đường phân giác của hai góc B và C , thì M,N phải nằm trên BC . Từ đó đường thẳng (BC) chính là đường thẳng (MN) : y+1=0 .

PHẦN BÀI TẬP TỔNG HỢPBài 1. Trong Oxy cho M (2 ; 3), tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng qua đường thẳng y - x = 0

Bài 2 mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: = 4, tìm phương trình đường tròn (C’) ảnh của ( C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2

Bài 3 Cho hình vuông ABCD tâm O. Phép quay Q có tâm quay O và góc quay . Với giá trị nào của , phép quay Q biến hình vuông ABCD thành chính nó ?

Bài 4 Nếu thì phép vị tự tâm biến thành theo tỉ số bằng bao nhiêu?

Bài 2: Cho đường tròn . Tìm phương trình đường tròn đối xứng với qua đường thẳng

Bài 5 Cho hai đường thẳng , . Phép đối xứng tâm I biến thành , thành . Tìm tọa độ của I

Bài 6 Tìm phương trình của đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua điểm

Bài 7: Cho đường tròn . Ảnh của qua phép vị tự là đường tròn có phương trình

Bài 8 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M( 2;1). Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ biến M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N

Bài 9 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;2). Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số vị tự k = -2 và phép đối xứng tâm O sẽ biến M thành các điểm N. Tìm tọa độ của NBài 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I(1;1) và đường thẳng d: x + y + 2 = 0. Phép đối xứng tâm I biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ , tìm phương trình của d’Bài 11Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm E(-3;5) và vectơ = ( 1; - 2). Phép tịnh tiến theo vectơ biến điểm F , tìm tọa độ điểm FBài 12 Trong mặt phẳng Oxy cho (d): . Phép vị tự tâm O tỉ số biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ , tìm phương trình của d’Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy, điểm , tìm ảnh của điểm A qua phép đối xứng qua đường thẳng Bài 14 Cho tam giác đều ABC , O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Với giá trị nào sau đây của góc thì phép quay Q(O; ) biến tam giác ABC thành chính nó ?


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHBài 15ho đường tròn (C) có phương trình: x2+ y2 -2x + 6y - 4 = 0. Ảnh của (C) qua phép

vị tự V(O; ) là đường tròn (C') ,tìm phương trình của ( C’)

Bài 16. Cho điểm M(4;-3) Gọi M' = Q(o;900)(M). Tọa độ của M là bao nhiêu ?

Bài 17 Cho đường tròn (C) có phương trình: x2+ y2 -2x + 6y - 4 = 0. Ảnh của (C) qua

phép vị tự V(0; ) là đường tròn (C'), tìm phương trình của ( C’)

Bài 18Cho đường thẳng (D) đi qua hai điểm A(1;3) và B(-2;5). Phép đối xứng tâm I(2;3) biến đường thẳng (D) thành đường thẳng (D1). Hãy viết phương trình đường thẳng (D1).

Bài 19. cho hình lục giác đều ABCDEF. Tìm trục và tâm đối xứng của hình

Bài 20. cho tam giác đều ABC. Tìm trục và tâm đối xứng của hình

Bài 21 Trong mặt phẳng Oxy cho M (2 ; -3), Tìm tọa độ của điểm là ảnh của điểm M qua phép đối xứng qua đường thẳng y - 2x = 0

Bài 22 Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-3;2), B(1;-2), C(2;5), D(-1;-3) .Gọi A1 là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectô . Gọi A2 là ảnh của A1 qua phép đối xứng t âm D.Tìm tọa độ A2. Bài 23 Trong hệ trục tọa độ Oxy.Gọi V là phép vị tự tâm O tỉ số -2 và T là phép tịnh tiến theo vecto , F là phép hợp thành của V và T. Tìm ảnh của đường thẳng (d) -3x – 8y = 3 qua FBài 24 Trong mặt phẳng Oxy .Tìm ảnh của đường tròn (C):(x – 2)2 + (y – 4)2 = 16 qua việc thực hiện liên tiếp và với .Bài 25 Trong mặt phẳng cho . Tìm ảnh của và đường thẳng

qua phép đối xứng :a) Trục b) Trục

Bài 26Trong mặt phẳng cho đường thẳng d ,phương trình : . a) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy. b/ Tìm tọa độ điểm O’ là ảnh của gốc tọa độ O qua phép đối xứng trục d. Bài 27Trong mặt phẳng cho đường thẳng d, phương trình : và

đường tròn :

a/ Viết phương trình đường tròn là ảnh của qua phép đối xứng trục Ox.

b/Viết phương trình đường tròn là ảnh của qua phép đối xứng trục d.Bài 28 Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm G, biết G là trọng tâm

của tam giác ABC.Bài 29 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2,-2) và đường thẳng d có phương trình : 2x + y – 1 = 0 . a. Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O b. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm A.

Bài 30 Trong phẳng tọa độ Oxy cho điểm . a. Tìm ảnh của A, B, C qua phép đối xứng tâm O.


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH b. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. c. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua phép đối xứng tâm A.

Bài 31 Cho tam giác ABC. trọng tâm G. a. Tìm ảnh của điểm B qua phép quay tâm A góc quay . b. Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay . c. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay .Bài 32

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2,-2) và đường thẳng d có phương trình : 2x + y – 1 = 0 . a./ Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc quay .b/ Tìm ảnh của d qua phép quay tâm A góc quay .

Bài 33 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn có phương trình : . Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn đã cho qua phép quay tâm O góc quay , -.

Bài 34Dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm A và phép quay tâm A góc quay .

Bài 35Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x + y – 3 = 0 .

Tìm phương trình đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục Ox và phép tịnh tiến theo vec tơ

.Bài 36 Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm tam giác. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự :

a/Tâm G, tỉ số b/ Tâm G, tỉ số 2

c/Tâm A, tỉ số - 2Bài 37 Cho tam giác ABC . Dựng ảnh của nó có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm A tỉ số 2 và phép đối xứng tâm B.Bài 38Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm I(1,2) và đường tròn tâm I, bán kính 2. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp :

a/Phép quay tâm O, góc và phép vị tự tâm O, tỉ số 2. b/ Phép đối xứng trục Oy và phép vị tự tâm O. tỉ số . c/ Phép đối xứng tâm O và phép vị tự tâm O. tỉ số -2

Bài 39 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1, -3) và đường thẳng d có phương trình : 2x + y – 3 = 0, đường tròn (C) có phương trình : .a. Tìm tọa độ điểm A’ và phương trình d’ lần lượt là ảnh của A và d qua phép đối xứng trục Ox b. Viết phương trình đường tròn là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHBài 40. : Trong mặt phẳng Oxy cho M (2 ; 3), tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng qua đường thẳng y - x = 0

Bài 41: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: = 4, tìm phương trình đường tròn (C’) ảnh của ( C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2

Bài 42: Cho hình vuông ABCD tâm O. Phép quay Q có tâm quay O và góc quay . Với giá trị nào của , phép quay Q biến hình vuông ABCD thành chính nó ?

Bài 43: Nếu thì phép vị tự tâm biến thành theo tỉ số bằng bao nhiêu?

Bài 44: Cho đường tròn . Tìm phương trình đường tròn đối xứng với qua đường thẳng

Bài 45 : Cho hai đường thẳng , . Phép đối xứng tâm I biến thành , thành . Tìm tọa độ của I

Bài 46 : Tìm phương trình của đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua điểm

Bài 47 : Cho đường tròn . Ảnh của qua phép vị tự là đường tròn có phương trình

Bài 48 : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M( 2;1). Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ biến M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N

Bài 49: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;2). Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số vị tự k = -2 và phép đối xứng tâm O sẽ biến M thành các điểm N. Tìm tọa độ của N

Bài 50: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I(1;1) và đường thẳng d: x + y + 2 = 0. Phép đối xứng tâm I biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ , tìm phương trình của d’

Bài 51Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm E(-3;5) và vectơ = ( 1; - 2). Phép tịnh tiến theo vectơ biến điểm F , tìm tọa độ điểm F

Bài 52: Trong mặt phẳng Oxy cho (d): . Phép vị tự tâm O tỉ số biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ , tìm phương trình của d’

Bài 53: Trong mặt phẳng Oxy, điểm , tìm ảnh của điểm A qua phép đối xứng qua đường thẳng

Bài 54: Cho tam giác đều ABC , O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Với giá trị nào sau đây của góc thì phép quay Q(O; ) biến tam giác ABC thành chính nó ?


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNHBài 55: Cho đường tròn (C) có phương trình: x2+ y2 -2x + 6y - 4 = 0. Ảnh của (C) qua

phép vị tự V(O; ) là đường tròn (C') ,tìm phương trình của ( C’)

Bài 56 Cho M'(4;-3). Gọi M' = Q(o;90

0)(M). Tọa độ của M là bao nhiêu ?

Bài 57: Cho đường tròn (C) có phương trình: x2+ y2 -2x + 6y - 4 = 0. Ảnh của (C) qua

phép vị tự V(0; ) là đường tròn (C'), tìm phương trình của ( C’)

Bài 58. Cho đường thẳng (D) đi qua hai điểm A(1;3) và B(-2;5). Phép đối xứng tâm I(2;3) biến đường thẳng (D) thành đường thẳng (D1). Hãy viết phương trình đường thẳng (D1).

Bài 59: . cho hình lục giác đều ABCDEF. Tìm trục và tâm đối xứng của hình

Bài 60: . cho tam giác đều ABC. Tìm trục và tâm đối xứng của hình

Bài 61:: Trong mặt phẳng Oxy cho M (2 ; -3), Tìm tọa độ của điểm là ảnh của điểm M qua phép đối xứng qua đường thẳng y - 2x = 0

Bài 62: Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-3;2), B(1;-2), C(2;5), D(-1;-3) .Gọi A1 là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectô . Gọi A2 là ảnh của A1 qua phép đối xứng t âm D.Tìm tọa độ A2.

Bài 63: Trong hệ trục tọa độ Oxy.Gọi V là phép vị tự tâm O tỉ số -2 và T là phép tịnh tiến theo vecto , F là phép hợp thành của V và T. Tìm ảnh của đường thẳng (d) -3x – 8y = 3 qua F

Bài 64:: Trong mặt phẳng Oxy .Tìm ảnh của đường tròn (C):(x – 2)2 + (y – 4)2 = 16 qua việc thực hiện liên tiếp và với .Bài 65:: Trong mặt phẳng cho . Tìm ảnh của và đường thẳng

qua phép đối xứng :c) Trục d) Trục

Bài 66: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d ,phương trình : . a) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy. b/ Tìm tọa độ điểm O’ là ảnh của gốc tọa độ O qua phép đối xứng trục d.

: Bài 67. Trong mặt phẳng cho đường thẳng d, phương trình : vàđường tròn

a/ Viết phương trình đường tròn là ảnh của qua phép đối xứng trục Ox.



b/Viết phương trình đường tròn là ảnh của qua phép đối xứng trục d.Bài 68: Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm G, biết G là trọng tâm

của tam giác ABC.

Bài 69: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2,-2) và đường thẳng d có phương trình : 2x + y – 1 = 0 .

a. Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O b. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm A.

Bài 70:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm . a. Tìm ảnh của A, B, C qua phép đối xứng tâm O. b. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. c. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua phép đối xứng tâm A.

Bài 71 Cho tam giác ABC. trọng tâm G. a. Tìm ảnh của điểm B qua phép quay tâm A góc quay . b. Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay . c. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay .

Bài 72:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2,-2) và đường thẳng d có phương trình : 2x + y – 1 = 0 . a./ Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc quay .b/ Tìm ảnh của d qua phép quay tâm A góc quay .

Bài 73: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn có phương trình : . Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn đã cho qua phép quay tâm O góc quay , -.

Bài 74:Dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm A và phép quay tâm A góc quay .

Bài 75:Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x + y – 3 = 0 .Tìm phương trình đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục Ox và phép tịnh tiến theo vec tơ

.

Bài 76 Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm tam giác. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự :

a/Tâm G, tỉ số b/ Tâm G, tỉ số 2

c/Tâm A, tỉ số - 2Bài 77:


TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH Cho tam giác ABC . Dựng ảnh của nó có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm A tỉ số 2 và phép đối xứng tâm B.

Bài 78. rong mặt phẳng Oxy, cho điểm I(1,2) và đường tròn tâm I, bán kính 2. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp :

a/Phép quay tâm O, góc và phép vị tự tâm O, tỉ số 2. b/ Phép đối xứng trục Oy và phép vị tự tâm O. tỉ số . c/ Phép đối xứng tâm O và phép vị tự tâm O. tỉ số -2

Bài 79. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1, -3) và đường thẳng d có phương trình : 2x + y – 3 = 0, đường tròn (C) có phương trình : .a. Tìm tọa độ điểm A’ và phương trình d’ lần lượt là ảnh của A và d qua phép đối xứng trục Ox b. Viết phương trình đường tròn là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A


Documents

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ PHÉP DỜI … · Web viewTitle CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ PHÉP DỜI HÌNH- BIẾN HÌNH Author SVN-Team Last modified by User