固体力学特論

春AB 火曜日 ３，４限

3B302

概要

講師松田 昭博（居室：F312）

火曜日3，4限

期末試験，演習，出席

関連科目：固体力学，材料力学Ⅰ、Ⅱ（３年次）

参考図書：

Phillip L. Gould, Introduction

to linear elasticity

講義の目的

固体の中に生じる力（応力）・変形（ひずみ）がテンソル量として理解できる

連続体の概念の基礎の理解

弾性体・弾塑性体の力学表記が理解できる

FEM解析など離散化解析への入り口

構造力学（はりや柱の強度評価）などの基本

荷重（ベクトル），応力（テンソル），ひずみ（テンソル），変位（ベクトル）の理解

構成

ベクトル・テンソル

応力

ひずみ

場の方程式の誘導

構成式（弾性・弾塑性）

固体力学の基本（テンソルの記述）添字表記（Index notation）

テンソルを添え字をつかって表すと便利である

添字は座標軸の数だけ変化するi,j=1,2,3（三次元）

変位 位置 行列

3z

2y

1x

iZYx

uu

uu

uu

uu,u,u

3

2

1

i

xz

xy

xx

xz,y,x

jiij baA

総和規約（Summation Convention）

AiBiのようにひとつの式の中に同じ添字が2回表れるときには和をとることにする．

一度表れる添え字を

Free index

2度表れる添え字をDummy indexとよぶ

332211

3

1i

iiii

BABABA

BABA

332211

3

1i

iiii

AAA

AA

ijjiij

iijjjjii

babaA

CBCBa

偏微分をあらわすカンマ‘，’

カンマ規約（Comma

convention）

,jは座標での偏微分をあらわす．

Ex)

j

ij,i

x

AA

Adiv

x

A

x

A

x

AA

3

3

2

2

1

1i,i

便利な記号

クロネッカーのデルタ

Permutation symbol

Ex)

)ji(0

)ji(1

ij

ij

) k,j,i(-1

) k,j,i(

)k,j,i(0

ijk

ijk

ijk

の時が

の時が１

で同じ組があるとき

1

23

1

23

-1,1,0 213231221

総和規約中のクロネッカーのデルタ

デルタ記号の積

Ex)

ijj33ij22ij11ikjik

ikik

3i3i2i2i1i1i

klilik

lkilik

ljlj

kiki

BA

BABABA

BA

eeBAbac

eBb

eAa

直交直線座標と基底ベクトル（直交デカルト座標，Cartesian coordinate system）

332211

332211

ii

ebebeb

ebebeb

ebb

原点O

X2

e1

X1X3

e2

e3

ベクトルb

直線で伸びる座標が相互に直交する座標．座標に沿って長さ1のベクトルを直交基底ベクトルという

位置ベクトルbは座標によらないー>

テンソルといえる

・René Descartes

デカルトの：Cartesian

テンソル・ベクトル・スカラー

テンソル：異なる座標系においてもその本質的な量が不変な量

スカラー：方向を持たない量（0次のテンソル）

a（飾りなどは無し）

ベクトル：幾何学的空間における、大きさと向きを持った量（1次のテンソル）

位置や速度は座標の取り方によらない

変位・速度・加速度

矢印をつける（ゴチックや太字）

ii ebb

iib eb

2次のテンソル

２次のテンソル

応力・ひずみ

太字で書く

x,y,z軸とすると簡単になる

ベクトルに作用して，大きさと方向を変える

ji

333231

232221

131211

jiij

ee

AAA

AAA

AAA

eeA

A

ijkikjkji

ijij

kjikij

kkjiij

eeeeeee

ebA

eeebA

ebeeAb

A

ベクトルの内積

ベクトルの内積（スカラープロダクト）

直交基底ベクトルの内積

直交しない単位ベクトルの内積はベクトルの余弦を与える

ij

jiji )cos(eeee

a

iiba

)cos(abba

b

θ

)cos(ee

ベクトルの座標変換

カルテシアン座標における座標変換

)e,ecos(

x

eexeexeex

exx

jiij

jij

i33i22i11

ii

原点O

X2

e1

X3

e2

e3

ベクトルb(x1,x2,x3）

X’3

X’2

X1

X’1

ベクトルb (x’1,x’2,x’3）

位置ベクトルbはテンソル量

X座標からX’座標へ変更すると，その成分は以下のとおり

αijを成分とするする行列を回転行列という（Rotation tensor）

テンソルの座標変換

応力やひずみの座標変換（２階のテンソル）

座標に関する情報を2つ持っているテンソル

3階のテンソル

座標変換が可能であるため，本質的な量は変化していない．ゆえにテンソルであるといえる．

kljlikij AA

lmnknjmilijk CC

例題

１．次の量を求めよ．

２．異なる座標系において， であれば，bがテンソルであるという定義を用いて，

におけるベクトルvとベクトルuがテンソルである場合に，Cも2階のテンソルであることを示せ．（ヒント e’i・ e’j＝δij）

３．応力の座標変換が と書けることを確認する

ijkijkijij ,

jiji bb

jiji uCv

TRσRσ

kljlikij σσ