CENTRÁLIS PROJEKCIÓ, PERSPEKTÍVA

A különböző vetítési módok felsorolásánál említettük a középpontos vetítést (centrális vetítés, centrális projekció). Ebben az esetben az alakzatok pontjait e tér egy kitüntetett pontjából vetítjük a képsíkra. Mint minden vetítés, a centrális vetítés is, nem egyértelmű ábrázolási mód. A Monge-féle ábrázolásnál azzal értük el az egyértelműséget, hogy két képsíkra külön-külön merőlegesen vetítettük a pontokat, majd a síkok egyesítése után a képsíkon minden térbeli ponthoz egy rendezett pontpár tartozott. A kótás projekció során csak egy merőleges vetítést alkalmaztunk, viszont egy egység (vagy méretarány) megadása után a vetület mellett feltüntettük a pont képsíktól mért előjeles távolságát. A következőkben az lesz az elsődleges feladatunk, hogy a centrális vetítés többértelműséget megszüntessük, ezáltal a centrális projekciót egyértelmű, önálló ábrázoló geometriai módszerré tegyük. A centrális projekcióban ábrázolt tárgyak képei a legképiesebbek minden más ábrázolási módszerrel készült képpel szemben. Ezt a „maximális” képiességet viszont, csak abban az esetben érjük el, ha a szemlélő szemét az ábrázolásnál felhasznált C vetítési centrumba helyezzük. Ekkor ugyanis a szerkesztett ábra „hasonló” a tárgyat a C pontból szemlélő által észlelt képpel. A középponti vetítéssel előállított kép geometriai szempontból azonos értékű a fényképpel. Ebből következik, hogy egyben a fotogrammetria alapjait is magukban foglalják.

A centrális vetítési rendszer

A középpontos vetítésnél csak egy képsíkot –K- használunk. Ezt a füzet, vagy a tábla síkjával azonosítjuk, de általában függőlegesnek gondoljuk. (Ez geometriailag természetesen közömbös). A képsík előtt, azaz a szemlélő felöli oldalon helyezzük el a vetítés C centrumát (l. ábra).

A K képsík és a C centrum képezik a vetítési rendszert. A képeik és a centrum egymáshoz viszonyított helyzetét az alábbiak szerint rögzítjük:

1. Megadjuk a C centrumnak a K képsíkon lévő orto-

gonális vetületét. Ezt C1-gyel jelöljük és a perspektíva főpontjának nevezzük .

2. Megadjuk a C centrumnak a K képsíktól való távolságát. Ezt a távolságot d-vel jelöljük és distanciának nevezzük (distancia = távolság) A „d” distancia felvétele a Cl középpontú, „d” sugarú körrel történik a 2. ábrán látható módon. A kört distanciakörnek nevezzük.

A 2. ábrán megadott vetítési rendszert a következőképpen rekonstruáljuk:

1. A jegyzet síkját - függőleges helyzetbe hozva - a K képsíkkal azonosítjuk. 2. A K képsíkra, a C1 pontjában merőleges egyenest állítunk, majd ennek a C1-től felénk

eső félegyenesére, d távolságra felmérjük a C pontot, a vetítés centrumát.

Hogy az ilyen módon egyértelműen rekonstruált (egyértelműen megadott) vetítési rendszer hogyan biztosítja a kívánt egyértelmű ábrázolást, azt majd az egyes térelemek ábrázolásánál figyelhetjük meg.

Térelemek ábrázolása

Az egyenes ábrázolása, nevezetes pontjai

Míg a korábban megismert ábrázolási eljárások alapját a pont ábrázolása jelentette, addig a centrális projekció alapját az egyenes ábrázolása képezi. Tehát a középponti vetítés lényegét az egyenes ábrázolásának a megismerésén keresztül érthetjük meg.

Az egyenes ábrázolását a 3. ábrán, majd ennek alapján, a középponti vetítés szabályai szerint ábrázolt 4. ábrán figyelhetjük meg. Az ábrázolandó e egyenes a C centrummal egy síkot, mégpedig az e egyenes V vetítősíkját határozza meg. E vetítősíknak a K képsíkkal való e' metszésvonala, az e egyenes képe. Viszont e' nemcsak az e egyenesnek, hanem a V vetítősík minden egyenesének a képe. Ezt a többértelműséget úgy küszöböljük ki, hogy az e egyenes képén felvessünk az egyenesnek két, a képsík-rendszerben különleges helyzetű pontjának a képét. Ezek a következők:

1. Az N nyompont, amely az egyenesnek a K képsíkkal alkotott döféspontja. Az N pont képe önmaga, ezért a továbbiakban a kép jelölésétől eltekintünk.

2. A Q’ iránypont, amely az egyenes Q∞ végtelen távoli pontjának a képe. A Q∞ pontot vetítő sugár párhuzamos az e egyenessel, és természetesen áthalad a vetítés C centrumán.

Tehát a centrális projekcióban az egyenest képével és a képére illeszkedő nyom- és iránypontjával ábrázoljuk.

Az egyenesnek az említett két nevezetes pontján kívül még egy harmadik, ún. eltűnési pontja is van, melyet általában R-rel jelölünk. Megértéséhez elébb meg kell ismerkednünk az eltűnési síkkal.

Eltűnési síknak a C centrumra illeszkedő, K képsíkkal párhuzamos síkot nevezzük. Nevét onnan kapta, hogy e sík pontjainak centrális vetítő sugarai párhuzamosak a K képsíkkal, így e sík pontjainak képei a végtelenbe kerülnek, azaz a „végesből” eltűnnek. Tehát az egyenes eltűnési pontjának a képe az egyenes képének végtelen távoli pontja, R’∞. Mivel ez minden általános helyzetű egyenes esetében így van, ezért a továbbiakban az eltűnési pont képének feltüntetésétől eltekintünk. Végül a láthatóság megállapításának elvét kell tisztáznunk:

1. A K képsíkot a centrális projekcióban mindenkor átlátszónak tekintjük . 2. A szemlélőt a vetítés C centrumába képzeljük úgy, hogy tekintetét a képsíkra

irányítja. 3. Minden szemlélőt egységesen 180°-og látószögűnek képzelünk, ezért az R eltűnési

sík által elválasztott térrészek közül mindig azt látjuk, amely a képsíkot tartalmazza. 4. A szemlélő mögötti féltérben lévő, ezért nem látható élek „virtuális” (látszólagos) -

geometriailag szerkeszthető - képét szaggatott vonallal rajzoljuk.

Az egyenes rekonstruálása

Az előbb bemutatott ábrázolás csak akkor egyértelmű, ha a 4. ábrán látható kép alapján, csak egy térbeli egyenes rekonstruálható. A kép alapján, az egyenes térbeli visszaállítását az alábbi módon kell végezni:

1. Visszaállítjuk a C centrumot. A jegyzet síkjára, a C1 pontban álított merőlegesen, a C1-től d távolságra, a szemlélő felé mérve felvesszük a C-t.

2. A CQ' egyenes meghatározza az egyenes állását, mert ez volt az Q∞ egyenes végtelen távoli pontjának vetítősugara.

3. Az N nyompontból a CQ' vetítő sugárral párhuzamosan nyerjük a térbeli e egyenest.

Mivel egy pontból, egy vetítősugárral párhuzamosan csak egy egyenes húzható, ezért a rekonstrukció csak egyféleképpen végezhető el. Ennek alapján belátható, hogy az ábrázolási eljárás egyértelmű.

Speciális helyzetű egyenesek

Centrális vetítősugár Centrális vetítősugárnak nevezzük az olyan egyenest, amely illeszkedik a vetítés centrumára. Az ilyen egyenes képe egy pont, tehát az egyenes N nyompontja és Q' iránypontja egybeesik. Megjegyezzük, hogy a centrumon átmenő egyenes R eltűnési pontja egybeesik a C centrummal, ezért ebben az esetben az R pont képéről nem beszélünk.

Képsíkra merőleges egyenes A K képsíkra merőleges egyenes, végtelen távoli pontját vetítő sugár illeszkedik a C centrumra és merőleges a K képsíkra, ezért minden képsíkra merőleges egyenes Q' iránypontja egybeesik a C1 főponttal.

Centrális vezértengely Centrális vezértengelynek nevezzük azt az egyenest, amely illeszkedik a centrumra és merőleges a képsíkra. Az ilyen egyenes, egyrészt különleges centrális vetítősugárnak, másrészt speciális képsíkra merőleges egyenesnek tekinthető. Ezért képe, N nyompontja és Q' iránypontja egybeesik a C1 főpont-tal. Képsíkra illeszkedő egyenes A képsíkra illeszkedő egyenesnek nincs nyompontja, sem iránypontja, képe egybeesik a térbeli egyenessel. (ábrázolásától eltekintetünk) Képsíkkal párhuzamos egyenes Lásd később, 16. és 17. ábrák.

A pont ábrázolása

A pontot, egyik rá illeszkedő egyenese (ún. tartóegyenese) segítségével ábrázoljuk. Ha egy P pont illeszkedik az s egyenesre, akkor a P pont v vetítősugara is illeszkedni fog az egyenes [C, s]=V vetítősíkjára. Ezért a P pont képe illeszkedik az s egyenes képére (8. és 9. ábrák). Mivel az egyenes ábrázolása egyértelmű volt, és az általános helyzetű egyenes minden pontjához más-más vetítősugár tartozik, ezért a pont ábrázolásának ez a módja szintén egyértelmű. Ha a pont illeszkedik a K képsíkra, akkor a pont egybeesik a képével (a 8. ábrán az A=A' pont). A 9. ábra alapján, az s egyenes pontjai segítségével vizsgáljuk meg, hogy a képsíkhoz és az eltűnési síkhoz viszonyítva, a térbeli pontok milyen helyzetűek lehetnek.

Az alábbi öt esetet különböztethetjük meg: 1. Ha a P pont a K képsík mögött van, akkor képe a tartóegyenes képének Q'N

szakaszára fog, esni (mivel az e egyenes NQ∞ végtelen félegyenesének a képe, az e'-nek az NQ' véges szakasza).

2. Ha az N pont a K képsíkon van, akkor képe önmaga (ezért az ilyen pontok tartóegyenes nélkül is ábrázolhatók.

3. Ha az F pont a K képsík és az R eltűnési sík között van, akkor a képe az egyenes képének azon NR∞ félegyenesén lesz, amely nem tartalmazza a Q' iránypontot. (mivel az s egyenes NR véges szakaszának képe az s'-nek az az NR’∞, végtelen félegyenese, amelyik tartalmazza a Q' iránypontot)

4. Ha az R pont az eltűnési síkon van, akkor képe a végtelenbe, azaz a K képsík végtelen távoli egyenesére esik. Tehát az eltűnési sík pontjait, a tartóegyenesek képének végtelen távoli pontjával adhatjuk meg.

5. Ha az E pont a centrum (és ezzel a szemlélő) mögött helyezkedik el, akkor képe a tartóegyenes virtuális képének nem látható félegyenesére fog illeszkedni.

A sík ábrázolása

Mivel valamennyi általános helyzetű sík képe a K képsík lenne , ezért - hogy az ábrázolásuk egyértelmű legyen - a síkot tartóelemei segítségével ábrázoljuk. Általános helyzetű tartóelemeken kívül egy általános helyzetű sík megadható speciális helyzetű egyeneseinek képeivel, melyek a következők:

1. A sík nyomvonala, amely a síknak a képsíkkal alkotott n metszésvonala.

2. A sík irányvonala, amely a sík q végtelen távoli egyenesének q' képe. Ezt a C centrumra illeszkedő, S síkkal párhuzamos V vetítősík metszi ki a K képsíkból.

Mivel S párhuzamos a V síkkal (azaz a C, q síkkal), ezért ezen síkok, a K képsíkból csakis párhuzamos egyeneseket metszhetnek ki, ezért a sík n nyomvonala és a q’ párhuzamosak egymással. Tehát a síkot egymással párhuzamos nyom- és irányvonalával ábrázoljuk. Megjegyezzük, hogy az S sík r eltűnési egyenesének képe, a K képsík végtelen távoli egyenese.

Láthatóság szempontjából az általános helyzetű S sík már nem tekinthető átlátszónak, ezért minden olyan esetben, amikor az ábra általános helyzetű síkot is tartalmaz, meg kell állapítani az általános helyzetű sík által takart térelemeket. A 10. ábra alapján azt fogjuk megvizsgálni, hogy az S sík a K képsíknak melyik felét takarja. A szemlélő szemét a C centrumba képzelve megállapíthatjuk, hogy az S sík a K képsíknak, az n nyomvonal által kettéosztott félképsíkjai közül azt takarja, amely nem tartalmazza a sík irányvonalát (a 10. és 11. ábrákon a takart félképsíkokat sraffoztuk). Az irányvonalat tartalmazó félképsík azért látszik, mert a vetítés törvényei miatt a C centrum (szemlélő) és az irányvonal, az S sík által kettéosztott tér azonos félterében helyezkedik el, így az S sík ezt nem takarhatja. Az előbbi megállapításunk általános érvényű, tehát független a centrum konkrét helyétől, ezért ennek alapján a láthatóság, a centrum megadása nélkül is megállapítható.

A sík rekonstruálása

A 11. ábrán megadott sík térbeli visszaállítását a követkaróképpen végezzük el: 1. Visszaállítjuk a C centrumot a C1 főpont és a d distancia segítségével.

2. A [C,q'] = V síkkal megadjuk az ábrázolt sík állását, 3. az n nyomvonalra illeszkedő, az előbb meghatározott V síkkal párhuzamosan felvett

sík lesz az ábrázolt S sík. Mivel egy egyenesen át, egy adott síkkal párhuzamosan csak egy sík vehető fel, ezért a síkot egyértelműen ábrázoltuk.

SPECIÁLIS HELYZETŰ SÍKOK

Centrális vetítősík Azt a síkot, amely illeszkedik a centrumra, centrális vetítősíknak nevezzük. Az ilyen sík élben látszik, tehát nyom- és irányvonala egybeesik.

Képsíkra merőleges sík A K képsíkra merőleges sík irányvonalát kimetsző, C centrumra illeszkedő V vetítősík szintén merőleges a képsíkra. Ezért a q’ irányvonal illeszkedni fog a C1 főpontra.

Centrális vezérsík Az olyan centrális vetítősíkot, amelymerőleges a képsíkra, centrális vezérsíknak nevezzük. Tehát a centrális vezérsík egyszerre teljesíti az előző két csoport feltételeit, ezért egybeeső nyom- és irányvonala illeszkedik a C1 főpontra.

Képsíkkal párhuzamos sík A képsíkkal párhuzamos sík nyom- és irányvonala a képsík végtelen távoli egyenese. Természetesen bármelyik ilyen síknál ez lesz a helyzet, ezért az egyértelmű ábrázoláshoz szükség van még egy pontjának ábrázolására. (Természetesen pontot magában nem tudunk egyértelműen megadni szükség van a pont egy tartóegyenesére.)

Képsíkkal párhuzamos egyenes ábrázolása, a sík fővonala

A képsíkkal párhuzamos egyenes nyom- és iránypontja az egyenes képének végtelen távoli pontja. Mivel ebben az esetben az egyenes két nevezetes pontja egybeesik, ezért segítségükkel az egyenes egyértelműen nem ábrázolható. A képsíkkal párhuzamos egyenes egyértelmű ábrázolására a következő két mód

kínálkozik:

• Ábrázolás tartósík segítségével. A 16. ábrán az e képsíkkal párhuzamos egyenest, egy rá illeszkedő S síkkal (ún. tartósíkkal) és képével adtuk meg. Ez az ábrázolás egyértelmű, mert az S síkot az e egyenes [C,e’] vetítősíkja csak egy egyenesben - mégpedig az ábrázolt térbeli e egyenesben - metszi. Ebben az esetben az e egyenes az S síknak fővonala.

• Ábrázolás tartópont segítségével. A 17. ábrán az e képsíkkal párhuzamos egyenest, egy rá iileszkedő P ponttal (ún, tartóponttal) és képével adtuk meg. Ez az ábrázolási mód is egyértelmű, mert az e egyenest vetítő [C,e’] síknak csak egy olyan egyenese van, amelyik párhuzamos a képsíkkal és illeszkedik a P pontra.

Ha az eddigi ábrákkal kapcsolatosan nem lépünk fel rekonstruálási igénnyel, úgy - a képsíkra merőleges térelemektől eltekintve - megállapíthatjuk, hogy a főpontot és a distancia kört, a térelemek ábrázolásakor feleslegesen adtuk meg. Hogy eddig mégis megadtuk a centrumot, az éppen a visszaállítással indokolható, mert úgy gondoltuk, hogy az ismeretek elsajátításának e kezdeti szakaszában ez nélkülözhetetlen. A továbbiakban, a helyzetgeometriai feladatok megoldásánál eltekintünk a centrum ábrázolásától, mivel az illeszkedés, metszés és párhuzamosság, független a centrum térbeli elhelyezkedésétől. A főpont és a distancia kör megadására, majd a metrikus feladatoknál lesz ismét szükségünk.

Térelemek kölcsönös helyzete

Illeszkedő térelemek Síkra illeszkedő egyenes ábrázolása

ha egy egyenes illeszkedik egy síkra, akkor nyompontja a sík nyomvonalán, iránypontja a sík irányvonalán lesz, mert a síkbeli egyenesek végtelen távoli pontjai a sík végtelen távoli egyenesére illeszkednek.

Síkra illeszkedő pont ábrázolása

Egy pont akkor illeszkedik egy síkra, ha annak legalább egy egyenesére illeszkedik. Ezért elsőként a síkon egy egyenest kell felvenni, amelyen kijelöljük a pont képét.

Metsző egyenesek ábrázolása

Ha két egyenes metszi egymást, akkor van közös síkjuk. Természetesen mindkét egyenes illeszkedik e közös síkra, ezért a metsző egyenesek nyompontjait összekötő egyeneseknek párhuzamosnak kell lennie, az iránypontjaikat összekötő egyenessel. Ezek lesznek a metsző egyenesek közös síkjának nyomvonala illetve irányvonala (20. ábra).

Ha két egyenes metszéspontja illeszkedik az eltűnési síkra, akkor ebben a speciális esetben a képük párhuzamos lesz, mert az eltűnési pont képe az egyenesek kepeinek közös végtelen távoli pontja (21. ábra).

Megjegyezzük, hogy párhuzamos képekhez csak akkor tartozik a térben olyan metsző egyenespár, amelyek metszéspontja az eltűnési síkon van, ha NaQ’a= NbQ’b mert e szakaszok egyenlősége biztosítja, hogy a nyompontokat összekötő egyenes párhuzamos, az iránypontokat összekötő egyenessel (ezek lesznek, a metsző egyenesek közös síkjának nyom- illetve irányvonala).

Adott pontra illeszkedő egyenes ábrázolása

A keresett egyenes képének nyilvánvalóan illeszkednie kell az. adott pont képére. Ez a térbeli illeszkedés szükséges, de nem elégséges feltétele . Ez azért van így, mert ha egy egyenes metszi egy P pont vetítősugarát - bár a térben nem illeszkedik a P pontra - képe akkor is illeszkedni fog a P'-re. A térbeli illeszkedés az e egyenes és P pont esetében csak akkor áll fenn, ha az e egyenes a P pontban metszi a P pontot tartalmazó s egyenest (vagy más, a P pontra illeszkedő egyenest).

Párhuzamos térelemek

Párhuzamos egyenesek ábrázolása Mivel a párhuzamos egyeneseknek közös a végtelen távoli pontjuk, ezért közös lesz ennek képe, azaz az iránypontjuk is. Tehát a párhuzamos egyenesek képei egymást a közös iránypontban metszik. Pontosabban fogalmazva: a képsíkrendszerben általános helyzetű, de egymással párhuzamos egyenesek képei egymást a közös iránypontban metszik (23. ábra). Két párhuzamos egyenes síkjának nyomvonala, a nyompontokon áthaladó egyenes, irányvonala pedig a közös irányponton át, a nyomvonallal párhuzamosan felvett egyenes lesz.

Ha pedig a térben párhuzamos egyenesek a K képsíkkal is párhuzamosak akkor képeik is párhuzamosak lesznek. A legegyszerűbben ezeket közös tartósíkkal ábrázolhatjuk (akkor e síknak ezek az egyenesek a fővonalai lesznek. 24. ábra).

Párhuzamos síkok ábrázolása A párhuzamos síkoknak közös a végtelen távoli egyenesük, ezért közös lesz a végtelen távoli egyenesük képe is. Tehát a párhuzamos síkoknak közös az irányvonaluk (25. ábra).

Egyenes és sík párhuzamos helyzetben Feladat: Ábrázoljunk adott S síkkal párhuzamos e és f egyeneseket! Előbb az S síkban felveszünk egy tetszőleges s egyenest, majd ezzel párhuzamosan kell felvennünk az egyeneseket. Tehát a síkkal párhuzamos egyenes iránypontja a sík irányvonalára illeszkedik. Ezt felhasználva a gyakorlatban felesleges előbb az s síkbeli egyenest felvenni. Feladat: Ábrázoljunk adott e egyenessel párhuzamos síkot! Ha a 26. ábrában az s és f egyenesektől eltekintünk, akkor az ábra ezen feladat megoldásának is tekinthető. A párhuzamos sík felvételénél csupán arra kell vigyázni, hogy az irányvonal az adott e egyenes iránypontjára illeszkedjen.

A párhuzamos térelemek ábrázolásával kapcsolatosan vegyük észre, hogy a centrális projekcióban a térbeli párhuzamosság képi feltétele az hogy a térelemek irányelemei illeszkedjenek egymásra. Ez azért van így , mert a térben a párhuzamos térelemek végtelen távoli elemei közösek, illetve illeszkednek egymásra.

Metsző térelemek Metsző egyenesek ábrázolása Már korábban a 20. ábrán ábrázoltuk a párhuzamos egyeneseket.

Két sík metszésvonalának megszerkesztése

Két sík akkor metszi egymást, ha van egy - és csakis egy - közös egyenesük. Ezt metszésvonalnak nevezzük. Mivel a metszésvonal mind a két síkra illeszkedik, ezért nyompontja a két nyomvonalon (tehát azok metszéspontjában), iránypontja pedig a két irányvonalon (tehát azok metszéspontjában) lesz.

Feladat: Szerkesztendő két párhuzamos nyomvonalú sík metszésvonala. Ebben az esetben a nyomvonalak és irányvonalak a végtelenben metszik egymást, tehát a metszésvonal olyan képsíkkal párhuzamos egyenes lesz, amely mindkét síknak közös fővonala. Ezen megállapításunk után a metszésvonalnak már csak egy pontját kell megszerkesztenünk , amit egy harmadik sík (segédsík) felvételével az alábbiak szerint nyerünk. A szerkesztés menete:

1. Megszerkesztjük az S segédsíknak az A, illetve B síkkal alkotott sa illetve sb metszésvonalát.

2. Az sa és sb tetszésvonalak M metszéspontja mindkét síkra illeszkedik, ezért az m metszésvonal egy pontja lesz. Tehát az M pontra illesztett közös fővonal a keresett m metszésvonal.

Egyenes és sík döféspontja

Az egyenes és sík döféspontját az ún. segédsíkos eljárással szerkesztjük meg. Ennek lényege (és egyben a szerkesztés lépései) a következők:

1. Az e egyenesre illesztünk egy tetszőleges S segédsíkot.

2. Meghatározzuk az adott A síknak az S segédsíkkal alkotott s metszésvonalát.

3. Az e és s egyenesek D metszéspontja illeszkedik az e egyenesre és az adott A síkra, ezért a D pont a döféspont. Ha az e és s egyenesek párhuzamosak, akkor az e egyenes párhuzamos az A síkkal, tehát nincs döféspont.

Két adott pontra illeszkedő egyenes ábrázolása

Mivel a térbeli illeszkedés képi következménye a megfelelő képek illeszkedése, ezért a két pont képét összekötve az egyenes képét nyerjük. Az egyenes nyompontját és iránypontját, a tartóegyenesek kölcsönös helyzetétől függően más-más módon nyerjük. Ha a tartóegyenesek egy síkot határoznak meg (azaz az egyenesek párhuzamosak vagy metszők), akkor az új egyenese is erre a síkra illeszkedik, és az új egyenes képéből a közös sík irányvonala az egyenes iránypontját, nyomvonala pedig az új egyenes nyompontját metszi ki. A szerkesztést az olvasóra bízzuk.

Ha a tartóegyenesek kitérők, akkor előbb az egyik tartóegyenest „leváltjuk” egy másik tartóegyenessel, amely a másikkal együtt már egy síkot határoz meg. Általában párhuzamos egyenessel történik a leváltás, és ezzel a feladatot visszavezettük az előző esetre. A 30. ábra szerkesztésének menete:

1. Leváltjuk az A pontot tartó a egyenest egy olyan a* egyenessel, amelyik párhuzamos a B pontot tartó b egyenessel.

2. Az [a*,b] síkban benne van mindkét pont, tehát az AB egyenes is, ezért nyompontja az [a*,b] sík nyomvonalán, iránypontja e sík irányvonalán van.

Kitérő egyenesek

Kitérő egyenesek ábrázolásakor csak arra kell vigyáznunk, hogy a metszés és a párhuzamosság képi feltételei ne teljesüljenek. Kitérő egyenesek esetében meg tudunk adni olyan egymással párhuzamos síkokat, melyek külön-külön tartalmazzák az egyeneseket. Ezen síkok közös irányvonala az egyenesek iránypontját összekötő egyenes, nyomvonalak pedig az egyes nyompontokra illeszkedő, a közös irányvonallal párhuzamos egyenesek lesznek.

A sík esésvonala

Az esésvonal a sík azon speciális egyenese amely merőleges a sík nyomvonalára. Egy adott S síknak, egy speciális e esésvonalát, az S síkra merőleges, V centrális vezérsíkkal metszhetünk ki. Az S és V síkok nyomvonalai egymásra merőleges egyenesek, és mivel mindkettő a K képsíkban van, ezért ez a merőlegesség a képen sem torzul, azaz nS⊥nV. Az irányvonalak párhuzamosak a nyomvonalakkal, ezért q’S⊥q’V. Tehát egy S sík, egy e esésvonalának Q’e iránypontját megkapjuk, ha a Cl főpontból merőleges állítunk a sík q’ irányvonalára. Az így nyert Q’e viszont, nemcsak az e esésvonalnak, hanem az S sík valamennyi esésvonalának közös iránypontja, mert egy sík esésvonalai egymással párhuzamos egyenesek. Mivel párhuzamos a síkoknak közös az irányvonaluk, ezért a Q’e nemcsak az S síknak, hanem az S síkkal párhuzamos, valamennyi sík minden esésvonalának közös iránypontja. Feladat: Ábrázoljuk egy adott S síknak három különböző esésvonalát! Előbb az S sík e speciális esésvonalát ábrázoltuk. Ez azért különleges helyzetű a képsíkrendszerünkben, mert a térbeli merőlegesség ebben az egy esetben a képen nem torzul. A további esésvonalak felvétele, a közös iránypont meghatározása után már csupán síkbeli egyenes ábrázolását jelenti.

Térelemek képsíkszöge

Egyenes képsíkszöge

Egy egyenes képsíkszöge az egyenes és a képsíkra eső merőleges vetülete által bezárt szög. Párhuzamos egyenesek a képsíkkal ugyanakkora szöget zárnak be. Az ábra alapján megállapíthatjuk, hogy az e egyenes és e1 merőleges vetülete által bezárt α szög azonos az egyenes végtelen távoli pontját vetítő CQ’e centrális vetítősugár képsíkszögével. Ez utóbbit a CC1Q’e derékszögű háromszög segítségével megszerkeszthetjük, ha e háromszöget a C1Q’e befogója mentén a K képsíkba forgatjuk

A 35. ábra szerkesztésének lépései: 1. A Q’C1 szakaszra, a C1 főpontban állított

merőleges, a distanciakörből kimetszi a centrum (C) forgatottját.

2. A 1(C)Q 'C α= szög, az egyenes képsíkszögének valódi nagyságát adja.

Ezzel a feladatot megoldottuk. A továbbiakban az egyenes e1 ortogonális vetületét, majd az egyenesnek az e1 körüli (e) képsíkba forgatottját, végül eltűnési pontjának ortogonális vetületét és ennek forgatottját szerkesztettük meg.

3. Az e1 ortogonális vetület illeszkedik az N nyompontra és párhuzamos a Q’C1-gyel. 4. Az (e) illeszkedik az N nyompontra és párhuzamos a Q’(C)-tel. 5. Az N(R)=Q’(C)

Az N(R)R1 és a Q’(C)C1 háromszögek egybevágó háromszögek.

Sík képsíkszöge

Egy S sík képsíkszöge a sík bármely esésvonalának képsíkszögével egyezik meg. A centrális projekcióban a térelemek képsíkszögét az irányelemek egyértelműen meghatározzák. Ezért a képsíkszögek megszerkesztésekor ezért nem használjuk fel a nyomelemeket. A Q’e az adott sík esésvonalainak közös iránypontja, melyet a C centrummal összekötve egy esésvonalakkal párhuzamos egyenest kapunk. Ennek a képsíkszögét a C centrum beforgatásával nyerjük. Dőléskúp alkalmazása A tér tetszőleges P pontján átmenő, a K képsíkkal adott α szöget bezáró egyenesek egy olyan forgáskúpot alkotnak, amelynek csúcsa P pont, forgástengelye a K képsíkra a merőleges, fél nyílásszöge az α pótszöge, melyet β-val jelölünk. Ezt a kúpot dőléskúpnak nevezzük. A dőléskúp a K képsíkot egy R sugarú körben metszi, amely az előbb említett egyenesek nyompontjainak összessége. Mivel a centrális projekcióban szögfeladatoknál a nyomelemek re nincs szükségünk, ezért előre megadott képsíkszögű térelemek ábrázolásánál sokkal inkább felhasználható az a kúp, amely hasonló, az előbb leírt dőléskúphoz, de • a csúcsa a vetítés C centruma, • magassága a d distancia, • alapkörének középpontja a C1 főpont, • alapkörének R sugara pedig egy olyan

derékszögű háromszög egyik befogója, amelynek az adott α szöggel szemben lévő másik befogója a d distancia.

Ennek az ún. irányelemek dőléskúpjának alapköre a tér összes olyan egyenese iránypontjának mértani helye, amelyek a K képsíkkal α szöget zárnak be. Tehát nemcsak a P pontra, hanem a tér bármely pontjára illeszkedő α képsíkszögű egyenesek iránypontjainak mértani helye a C1 középpontú, R sugarú kör.

A tér tetszőleges P pontján átmenő a K képsíkkal adott α szöget bezáró síkok az említett dőléskúp érintősíkjai. Ezen síkok nyomvonala a dőléskúp R sugarú alapkörét érinti, irányvonala pedig az irányelemek dőléskúpjának R sugarú alapkörét érinti. Mivel, az irányelemek dőléskúpja - adott α szög esetén - a tér bármely pontjánál azonos, ezért a tér tetszőleges pontjára illeszkedő α képsíkszögű síkok irányvonalai feltétlenül érintik a Cl középpontú, R sugarú kört.

1. feladat: Ábrázoljunk olyan α képsíkszögű egyenest, amely illeszkedik egy adott S sík adott P pontjára!

A 38.ábra szerkesztésének menete: 1. Megszerkesztjük az α

képsíkszögű egyenesek iránypontjainak mértani helyét (C1 középpontú, r sugarú kört).

2. A körnek a q’s irányvonallal alkotott metszéspontjai lesznek a megoldást adó a és b egyenesek iránypontjai.

3. Az egyenesek nyompontjainak meghatározása (22. ábra alapján).

Diszkusszió: • Két megoldás van akkor,

ha az S sík q' irányvonala metszi az r sugarú kört. Ez a térbeli visszaállítás után azt jelenti, hogy a keresett egyenes α képsíkszöge kisebb, mint az S sík β képsíkszöge.

• Egy megoldás van, ha az S sík q' irányvonala érinti az r sugarú kört. Ez a térbeli visszaállítás után azt jelenti, hogy a keresett egyenes α képsíkszöge egyenlő S sík képsíkszögével.

• Nincs megoldás, ha az S sík q' irányvonalának nincs közös pontja az r sugarú körrel. Ekkor a sík képsíkszögénél nagyobb képsíkszögű egyenest kellett volna felvenni, amelynek természetesen nincs megoldása.

2. feladat: Adott e egyenesre illesszünk egy adott α képsíkszögű síkot! A 39. ábra szerkesztésének menete:

1. Az r sugarú kör felvétele. 2. A Q' iránypontból az r sugarú körhöz húzott érintők, a keresett A és B síkok irány-

vonalai lesznek. 3. A síkok nyomvonalainak felvétele.

Diszkusszió: • Két megoldás van, ha az e egye-

nes φ képsíkszöge kisebb, mint a sík α képsíkszöge. Ekkor a Q' iránypont az r sugarú körön kívül van.

• Egy megoldás van, ha φ = α, ek-kor a Q' iránypont az r sugarú körre esik.

• Nincs megoldás akkor, ha φ > α , ekkor a Q' iránypont az r sugarú körön belül van.

Sík képsíkba forgatása

Az ábrán az S sík (és ennek e egyenese ill. a rajta lévő P pontja) képsíkba forgatását figyelhetjük meg. Ha csak a kép és ennek megfelelő forgatott térelemeket vizsgáljuk, az alábbi egyébként igazolható megállapításokat tehetjük: 1. Illeszkedő térelemeknek illeszkedő

térelemek felelnek meg. 2. A megfelelő pontokat összekötő

egyenesek egy C0 ponton mennek át. Ez a C0 pont, a térbeli C centrumnak az S sík q' irányvonala körüli képsíkba forgatottja.

3. A megfelelő egyenesek (e’ és (e)) a sík nyomvonalán (a forgatás tengelyén) metszik egymást.

Az előbbi három pontban foglaltak alapján megállapíthatjuk, hogy a centrális projekcióban egy síkban lévő térelemek képe, és annak a sík n nyomvonala körüli képsíkba forgatottja között olyan centrális kollineáció áll fenn, amelynek • Centruma a térbeli C centrumnak a sík q' irányvonala körüli képsíkba forgatottja: C0 • tengelye a sík n nyomvonala, azaz a forgatás tengelye: t • egyik ellentengelye pedig a sík q' irányvonala. Ezek ismeretében a sík leforgatása gyakorlatilag az említett centrális kollineáció meghatározását, majd ebben a „vesszős” (centrális kép) és „zárójeles” (forgatott) rendszerben lévő megfelelő elemek szerkesztését jelenti. A síkot, a centrális projekcióban is, egyetlen téreleme segítségével leforgathatjuk, mert a tengely képe és forgatottja önmaga. Mivel az ábrázolás „alapeleme” az egyenes, ezért célszerű a leforgatást egyenes segítségével elvégezni. Az egyenest a legegyszerűbben két speciális pontja - az N nyompontja és Q végtelen távoli pontja – segítségével forgathatjuk le.

A 41. ábra szerkesztésének lépései: 1) Meghatározzuk a kép és a

forgatott között fennálló centrális kollineációt: a) tengelye a sík nyomvonala, b) ellentengelye a sík q'

irányvonala, c) C0 középpontja a C vetítési

centrumnak, a q' irányvonal körüli képsíkba forgatottja lesz. Ezen forgatás r sugarának valódi nagyságát a szemléltető ábra alapján, egy olyan derékszögű háromszög átfogójaként nyerjük, amelyiknek egyik befogója a distancia, a másik befogója a C1 főpontnak az irányvonaltól mért távolsága. Mivel egy forgatás mindig két irányba végezhető el, ezért az r-nek a q' irányvonaltól való felmérése is kétféleképpen elvégezhető.

2) Meghatározzuk az egyenes ellentengelyen lévő, Q' iránypontjának a forgatott rendszerében lévő megfelelőjét. Mint tudjuk ez végtelen távoli pont lesz, ezért a C0Q' centrális rendező végtelen távoli pontjaként nyerjük.

3) Az egyenes képének tengelypontját (ami az N nyompont) összekötve a (Q∞) ponttal, nyerjük az egyenes (e)-t.

A sík visszaforgatása

A sík visszaforgatása a centrális projekcióban a leforgatással azonos elvek szerint történik, mivel mindkettő a már korábban említett centrális kollineációt használja fel. Ezért visszaforgatásnál, - éppen úgy, mint a leforgatásnál - előbb a centrális kollineációt (C0, n, q’) kell meghatározni. Ezután, a forgatottban felvesszük a visszafordítandó síkidomot, majd ennek megszerkesztjük a centrális kollineációbeli megfelelőjét, ami az idom centrális projekcióbeli képével azonos. Feladat: Egy adott S síkban ábrázoljunk egy 3 cm oldalú négyzetet! A 42. ábra szerkesztésének lépései: 1. Leforgatjuk a centrumot a q' irányvonal körül. A kapott C0 megszerkesztésével

meghatározzuk a leforgatáshoz nélkülözhetetlen centrális kollineációt, (mert a q' és n adott).

2. A forgatottban felvesszük a 3 cm-es oldalélű négyzetet. 3. Megszerkesztjük az (a), ill. (d) egyenesek megfelelőit a centrális kollineációban, ami

egyben az egyenesek képével azonos. 4. A forgatottból az egyenesek képeire a centrális kollineáció C0 centrumábó1 rávetítjük a

négyzet csúcsainak képeit.

Merőleges térelemek

Merőleges egyenesek Feladat: Adott e egyenesre, adott P pontból állítsunk merőleges metsző egyenest! Az adott egyenes és a rá nem illeszkedő P pont egy síkot határoz meg, E síkot képsíkba forgatva felvehetjük a merőleges egyenes forgatottját, majd a kapott eredményt visszaforgatva, a feladat megoldását adó egyenest nyerjük. Ha a P pontot tartó s egyenes nem közös síkú az e egyenessel, hanem kitérők, akkor előbb a tartóegyenest le kell váltani egy olyan egyenessel, amely az e egyenessel közös síkú. A 43. ábra szerkesztésének lépései: 1. Megszerkesztetik a [P,e] sík nyom- és irányvonalát. 2. Meghatározzuk a leforgatáshoz szükséges centrális kollineáclót. 3. Leforgatjuk az e egyenest és a P pontot. 4. A forgatottban felvesszük a merőleges (f) egyenest. 5. Megszerkesztjük az (f) megfelelőjét, az f'-t. Vegyük észre, hogy mivel e⊥f, egyért ezen egyenesek végtelen távoli pontjait vetítő centrális rendezők is merőlegesek egymásra, tehát C0 Q’e⊥ C0 Q’f . Ezt felismerve, a továbbiakban mellőzhetjük a térelemek leforgatottjának megszerkesztését, hiszen az előbbiek alapján a merőleges egyenes Q’f iránypontja megszerkeszthető. Megjegyezzük, hogy a Q’f iránypont, a [P,e] síkban, az e egyenesre állítható valamennyi merőleges egyenes közös iránypontja.

Egyenes és sík merőleges helyzetben Vizsgáljuk meg a merőleges helyzetű sík és egyenes irányelemeinek képi összefüggéseit. A nyomelemek vizsgálata felesleges, mert a merőlegesség csak az irányelemek elhelyezkedésének függvénye. Ha a síkra merőleges V centrális vezérsíkban lévő CQ’eQ’m derékszögű háromszöget, a képsíkban lévő Q’eQ’m átfogója mentén a képsíkba forgatjuk, akkor ott valódi nagyságban látjuk. Ennek alapján a síkra állítható m merőleges egyenes Q’m iránypontját a következőképpen nyerjük: 1. A C1 főpontból, a sík q’S

irányvonalára merőlegesen felvesszük, a síkra merőleges V centrális vezérsík q’V irányvonalát.

2. A q’V tengely körül, a C centrumot a képsíkba forgatjuk. A (C)-nek a distanciakörre kell esnie.

3. A (C)Q’e-re állított merőleges, a q’V irányvonalból kimetszi az S síkra állítható, m merőleges egyenes Q’m iránypontját.

Az ábra alapján α jelöli az adott sík képsíkszögét és β a síkra merőleges egyenes képsíkszögét, melyek egymás kiegészítő szögei.

1. feladat: Adott S síkra állítsunk merőleges m egyenest! Az előbb ismertetett három pont alapján megszerkesztjük a normális Q’m iránypontját, majd tetszőlegesen felvesszük a képét és nyompontját. A nyompont kijelölése azért lehet tetsző-leges, mert a térben egy síkra számtalan sok normális állítható. Megjegyzések: 1. A Q’m pont, az S síkra állítható

valamennyi merőleges egyenes közös iránypontja.

2. A Q’m pont az adott S síkkal párhuzamos valamennyi sík összes

normálisának közös iránypontja, mert ezek a térben párhuzamos egyenes sereget alkotnak.

2. feladat: Adott a egyenesre, adott P pontból állítsunk merőleges M síkot!

A szerkesztés menete: 1. Előbb az M sík esésvonalainak

Q’e közös iránypontját az előbbi szerkesztés fordítottjaként nyerjük.

2. Az M sík irányvonalának felvétele, figyelembe véve, hogy q’M⊥q’V.

3. A nyomvonal felvétele előtt a P pontot tartó s egyenest le kell váltani egy olyan k egyenessel, amelynek iránypontja a kapott q’M irányvonalra esik, majd a k tartóegyenes nyompontján át felvesszük a merőleges sík nyomvonalát (így biztosítjuk, hogy M és P illeszkedjen)

Megjegyzések: 1. A q’M egyenes, az a egyenesre

állítható valamennyi merőleges sík közös irányvonala.

2. A q’M egyenes az adott a egyenessel párhuzamos összes egyenesre állítható merőleges sík közös irányvonala (mert e síkok a térben párhuzamos síksereget alkotnak).

Merőleges síkok ábrázolása

Mivel két sík akkor merőleges egymásra, ha az egyiknek van legalább egy olyan egyenese, amelyik merőleges a másikra, ezért síkra merőleges síkot úgy állítunk, hogy előbb ábrázoljuk az adott sík egy normálisát, majd azt síkká bővítjük. Feladat: Adott A síkra adott P pontból állítsunk merőleges M síkot! A szerkesztés menete: 1. Megszerkesztjük az A síkra

merőleges egyenesek közös q’m iránypontját. Az A síkra állítható valamennyi merőleges sík irányvonalának erre kell illeszkednie.

2. Mivel M és P illeszkednek egymásra, ezért az M sík irányvonalát az s tartóegyenes iránypontján át, nyomvonalát pedig a nyompontján át kell felvenni.

A merőleges térelemek ábrázolásával kapcsolatosan vegyük észre, hogy a merőlegesség feltételeit az irányelemek megfelelő felvétele már eldönti. A nyomelemek csak a térbeli elhelyezkedést rögzítik

Távolsági alapfeladatok

Két pont távolsága

Ha a két pont közös egyenesére illesztett tetszőleges síkot képsíkba forgatjuk, a forgatottban a távolság valódi nagyságát nyerjük. (A szerkesztést az olvasóra bízzuk). A centrális projekcióban két pont távolságát a legegyszerűbben az osztópont felhasználásával szerkeszthetjük meg.

Osztópont, osztókör A 48. ábrán az e egyenesre illesztettünk egy tetszőleges S síkot. Ha az S sík q' irányvonalán felveszünk úgy egy O pontot, amelyre Q’O = Q’C teljesül, akkor az [e,n]=S sík a P’Q’CO gúlát a [C,q’]=S0 alapsíkkal párhuzamosan metszi.. Ezért a PP0N háromszög metszet hasonló a COQ’ alapháromszöghöz. E hasonlóság miatt az említett háromszögek megfelelő oldalainak aránya megegyezik, azaz Q’O=Q’C miatt NP0=NP következik. Ezért az e egyenesre illeszkedő tetszőleges P pontnak az N nyomponttól való távolságát, a K képsíkon lévő NP0 szakaszról leolvashatjuk. Feladat: Adott e egyenesen lévő P pontnak határozzuk meg az egyenes N nyompontjától való távolságát osztópont felhasználásával!

A szerkesztés menete: 1. Az e egyenesre illesztünk egy tetszőleges S síkot. 2. Meghatározzuk a Q’C szakasz valódi nagyságát a Q’CC1 derékszögű háromszög képsíkba

forgatásival. A forgatás tengelye a képsíkon lévő Q’C1 befogó . 3. A q' irányvonalra felmérjük a Q'C távolságot. Így nyerjük az ábránkon O-val jelzett

pontot, amelyet osztópontnak nevezzünk, 4. Az O osztópontból a P' képet a sík n nyomvonalára vetítve nyerjük P0 pontot, amelyre

P0N = PN =t teljesül. Megjegyzések: 1. Ha az e egyenes képén kell kijelölni azt a P' pontot, amely térbeli megfelelőjére PN = t

érvényes (ahol t előre adott távolság), akkor a t = NP = NP0 összefüggés alapján előbb a P0 pontot vesszük fel, majd azt az O osztópontból az egyenes képére vetítve nyerjük a P' képet.

2. Az adott e egyenesre az S sík számtalan sokféleképpen illeszthető. Így természetesen más-más osztópontokat nyerünk. Ezen osztópontok mindegyike a Q' irányponttól CQ' távolságra lesz. Ezért az e egyenesre illeszthető, számtalan sok síkhoz tartozó osztópontok mértani helye egy olyan kör, amelyiknek a középpontja Q', sugara pedig az iránypontnak a centrumtól mért távolsága. Ezt a kört osztókörnek nevezzük.

3. Az eddigi eredményeket két tetszőleges pont távolságának a meghatározására is felhasználhatjuk, csupán az O osztópontból, az egyenes mindkét pontjának a képét, a rá illesztett segédsík nyomvonalára kell kivetíteni

Képsíkkal párhuzamos szakasz valódi nagysága

Ha az egyenes párhuzamos a képsíkkal, akkor a CQ' távolság végtelen, ezért ebben az esetben a távolság osztóponttal nem határozható meg. Ilyenkor a szerkesztést azon geometriai tételre alapozzuk, miszerint: párhuzamos egyenesek közé zárt párhuzamos szakaszok egyenlők. Ezért csupán egy olyan paralelogrammát kell ábrázolni, amelyiknek egyik oldala a képsíkkal párhuzamos, a másik pedig a képsíkon van (mivel ennek hossza a képsíkon valódi nagyságban látható).

Az 51. ábrán egy képsíkkal párhuzamos AB szakasz valódi nagyságát szerkesztettük meg. A szerkesztés menete: 1. Fölvesszük az e képsíkkal pár-

huzamos egyenest az S tartósíkkal, majd ezen az AB szakasz képét.

2. A sík irányvonalának tetszőleges Q’ pontjából az A’ és B’ képeket rávetítjük a tartósík nyomvonalára, így az A0 és B0 pontokat nyerjük.

3. Mivel a térben az ABB0A0 négyszög paralelogramma és az A0 B0 csúcsok rajta vannak a sík nyomvonalán (tehát a K képsíkon is), ezért AB=A0B0 =t.

Megjegyzés: Ha a szerkesztés sorrendjét felcseréljük, akkor az 51. ábra adott t hosszúságú szakasz fővonalra való felmérését mutatja meg. Feladat: Ábrázoljunk egy 4 cm alapú, 2 cm magasságú téglalapot úgy, hogy 4 cm-es alapja egy adott sík adott f fővonalára essen! A szerkesztés menete: 1. Megszerkesztjük a sík

esésvonalainak közös Q’e iránypontját a síkra merőleges centrális vezérsík segítségével. Erre azért van szükségünk, mert ha a téglalap egy oldala fővonalra, akkor a másik oldala esésvonalra fog esni.

2. Az adott f fővonalra felmérjük a 4 cm-es alapot, így nyerjük az A és B csúcsok képeit.(51. ábra alapján)

3. Az A csúcsra illeszkedő e esésvonalra felmérjük a 2 cm-es magasságot, ezzel a D csúcsot is megkaptuk. (50. ábra alapján)

4. A hiányzó C csúcsot párhuzamos egyenesek segítségéve1 nyerjük.

Pont és egyenes távolsága

A pont és egyenes közös síkját előbb párhuzamos egyenesek síkjára célszerű átalakítani, majd ezt a síkot képsíkba forgatjuk, ahol a távolság valódi nagyságát nyerjük.

Két sík távolsága

Síkok esetén a távolság csak akkor lesz zérustól különböző, ha a két sík párhuzamos

egymással. Párhuzamos síkok távolságát a legegyszerűbben a

következőképpen szerkeszthetjük meg:

1. Felvesszünk egy olyan V centrális vezérsíkot, amely mind a két síkra merőleges. 2. Megszerkesztjük a vezérsík és a párhuzamos síkok metszésvonalait, amelyek fedő

esésvonalak lesznek (az a és b egyenesek). 3. A V síkot egybeeső nyom- és irányvonala körül képsíkba forgatjuk, a távolság valódi

nagyságát nyerjük.

Pont és sík távolsága

Pont és sík távolságát a legegyszerűbben úgy szerkeszthetjük meg, hogy visszavezetjük két párhuzamos sík távolságára. A szerkesztés menete: 1. Az adott P pontra illesztünk egy

olyan k egyenest, amely az adott A síkkal párhuzamos.

2. A k egyenesre (ezzel a P pontra is) illesztünk egy olyan B síkot, amely az adott A síkkal párhuzamos. Ezzel a feladatot visszavezettük két párhuzamos sík távolságára.

3. Megszerkesztjük a két párhuzamos sík távolságát az 54. ábrán látható módon.

Egyenes és sík távolsága

Egyenes és sík távolsága is csak akkor lesz zérustól különböző, ha az egyenes párhuzamos a síkkal. Ezt a szerkesztést is visszavezethetjük két párhuzamos sík távolságára. Az 55. ábra ezt a szerkesztést is tartalmazza, mivel a k egyenes párhuzamos az A síkkal.

Két egyenes távolsága, normáltranszverzálisa

• Két párhuzamos egyenes távolságát közös síkjuk képsíkba forgatásával egyszerűen szerkeszthetjük. A szerkesztést az olvasóra bízzuk.

• Két kitérő egyenes távolságát visszavezethetjük két párhuzamos sík távolságára. A 31. ábrán láttuk, hogy hogyan kell két kitérő egyenesre úgy illeszteni egy-egy síkot, hogy azok párhuzamosak legyenek. Ezen síkok távolsága azonos a két kitérő egyenes távolságával.

Két egyenes normáltranszverzálisa egy olyan egyenes, amely mindkét egyenest merőlegesen metszi. Két párhuzamos egyenesnek végtelen sok, két kitérő egyenesnek csak egy normáltranszverzálisa van. Ezért két egyenes távolsága a normáltranszverzális egyenesekkel alkotott metszéspontjai közé eső szakaszának a hossza. A normáltranszverzális szerkesztésének menete (56. ábra): 1. Vegyük fel az a egyenesre illeszthető, b-vel párhuzamos A és a b egyenesre illeszthető, a-

val párhuzamos B síkokat. 2. Meghatározzuk az A és B síkok normálisainak Q’m közös iránypontját. Ez lesz a keresett

m normáltranszverzális iránypontja, mert m⊥a és m⊥b miatt, m⊥A és m⊥B is kell, hogy teljesüljön.

3. A Q’m ismeretében felvehetjük az [a,m] és [b,m] síkok irányvonalait, ezek ismeretében az Na és Nb nyompontokon keresztül a nyomvonalait.

4. Az m normáltranszverzális, az [a,m] és [b,m] síkok közös egyenese, azaz a metszésvonala lesz.

5. Az m egyenesnek metszenie kell úgy az a, mint a b egyenest, mert külön-külön mindegyikkel közös síkú. Az ábrán ezeket a metszéspontokat A-val ill. B-vel jelöltük. Ezek a kitérő egyenesek egymáshoz legközelebbi pontjai, tehát ezek távolsága a két kitérő egyenes távolsága. A távolság valódi nagyságának a megszerkesztésétől itt eltekintetünk.

Szögfeladatok

Két egyenes hajlásszöge

• Metsző egyenesek hajlásszögének valódi nagyságát megkapjuk, ha a metsző egyenesek közös síkját képsíkba forgatjuk (57. ábra).

Az 57. ábrát vizsgálva vegyük észre, hogy ha csak az egyenesek hajlásszögét kell meghatározni, akkor az egyenesek tényleges leforgatására nincs szükség, mert a végtelen távoli pontjaikat vetítő centrális rendezők párhuzamosak az egyenesekkel, ezért ezek egyállású szöget határoznak meg a keresett szöggel, tehát a 0 bQ ' C Q' α= .

• Kitérő egyenesek esetén, az egyik egyenest önmagával pár-huzamosan a másikba tolva, olyan metsző egyenespárhoz jutunk, amelyek hajlásszöge a kitérő egyenesek hajlásszögével azonos. Mivel párhuzamos eltolás esetén az egyenes iránypontja nem változik, ezért kitérő egyenesek esetén is alkalmazható, a metsző egyeneseknél felismert egyszerű eljárás.

Sík és egyenes hajlásszöge

Sík és egyenes hajlásszögén, az egyenesnek a síkon lévő merőleges vetületével bezárt α szöget értjük (58. ábra). Lényegesen leegyszerűsíti a szerkesztést, ha alább meghatározzuk az egyenesnek, az egyik tetszőleges P pontjából a síkra állított normálissal bezárt hajlásszögét, majd vesszük ennek a pótszögét.

A szerkesztést az 59. ábrán végeztük el. A szerkesztés menete: 1. Megszerkesztjük az adott A síkra

állítható normálisok közös Q’m iránypontját.

2. A Q’e és Q’m iránypontokat összekötő egyenes lesz az [e,m] sík irányvonala, amely körül a vetítés C centrumát leforgatva a kollineáció C0 centrumát nyerjük.

3. Az 57. ábra alapján a m 0 eQ ' C Q ' β= szög, az e egyenes

és az m normális által bezárt szög valódi nagysága.

4. Vesszük a β szög α pótszögét, amely a keresett szög,

Két sík hajlásszöge

Két sík hajlásszöge, merőleges szárú szögpárt alkot normálisaik hajlásszögével, ezért megegyeznek. Ez azt jelenti, hogy a tér egy tetszőleges pontjából a síkonra merőlegeseket bocsátunk, akkor az ezen egyenesek által bezárt szög megegyezik a két sík által bezárt szöggel.

A 60. ábrán két adott A és B sík hajlásszögének valódi nagyágát szerkesztettük meg. Előbb az adott síkok normálisainak iránypontjait határoztuk meg (Q’a és Q’b), majd ezek ismeretében a keresett α szöget Megjegyzés: Ha visszatekintünk a szögfeladatokra (ide értve a térelemek képsíkszögéve1 kapcsolatos feladatokat és a merőleges térelemekkel kapcsolatos feladatokat is), továbbá a párhuzamos térelemek ábrázolására, megállapíthatjuk, hogy minden esetben csupán az irányelemeknek kellett

bizonyos feltételeket teljesíteniük. Ez azért van így, mert ezek a feladatok csak a térelemek állásával kapcsolatosak és függetlenek azok térbeli elhelyezkedésétől (azaz a nyomelemektől).