8장 1/42

Chapter 8

마 찰

(Friction)

8장 2/42

앞에서는 두 물체가 접촉하고 있는 경우에 작용

과 반작용은 항상 접촉면에 수직한 방향으로만 작

용한다고 가정하였다. 이 가정은 접촉면이 매끄러

운(smooth) 경우에만타당하다. 그러나대부분의현

실문제에서는 접촉면이 거칠기 때문에 마찰 때문

에 생긴 접선방향(접촉면의)의 힘(F)도 고려해야

한다.

N

F

8장 3/42

8.1 건마찰의특성 (Characteristics of Dry Friction)

한물체가 다른 물체와 접촉하고 있을 때 미끄러짐을 방해하는 힘(저항력)이 마찰

이다.마찰의종류 유체마찰(fluid friction) : 두물체가유체층으로분리되어있을때.

(유체역학에서다룬다.)

건마찰(dry friction) = : 두물체사이에윤활유체가없을때.쿨롱마찰(Coulomb friction)

• 건마찰이론 : 마찰력은 수평력 P가 블록을 오른쪽으로 움직

이려는경향을방해하기위하여왼쪽으로작용해야한다.

두 물체의 접촉면에는 미세한 돌

출부가 있어서 각각에는 반력 ∆Rn =

마찰성분 ∆Fn + 수직성분 Nn이작용

하므로 ∑∆Rn 은 분포력으로 간주된

다.

8장 4/42

•평형

접촉면이물체에작용하는힘의합력

= ∑∆Rn≡ R = ∑∆Fn + ∑∆Nn

= F + N마찰력 수직반력

집중력 N의작용점은무게W의작용선에서 x만큼떨어진지점에

작용함을 유의해야 한다. 이 점은 분포력인 ∑∆Nn의 하중선도의

도심에 위치하며 P에 의한 엎어짐 효과(tipping effect)에 대하여

균형을유지하는데필요하다.

즉점 O에서의모멘트평형은

W x = P h 즉 x = Ph /W일때만족된다.

특히 N이블록의모서리(여기선오른쪽)에작용할때(x = a/2 ), 블록은엎어지려할

것이다.

블록의가능한운동은미끄러짐(slipping)이나엎어짐(tipping)이다.주의

8장 5/42

•임계운동

h가 충분히 작고 접촉면이 다소 미끄러

우면 마찰력 F는 작용력 P보다 작아서 블

록은 엎어지기보다는 미끄러지려고 할 것

이다. 작용력 P가 증가함에 F는 한계정마

찰력(limiting static friction force)이라고 불

리는최대값 Fs에도달할때까지증가한다.

P가 Fs보다 더 커지면 미세한 돌출부에서 변형과 파괴가 일어나서 미끄럼이 발생한

다.

실험에의하면 Fs는 N에비례하므로

Fs = µs N

정마찰계수(coefficient of static friction)

정지상태에선 F ≤ µs N을만족해야한다.주의

8장 6/42

합력 Rs와수직력 N이이루는각

마찰각의정의 : 더 일반적으로 만들기 위해 운동상태와 무관하게, 합력과

수직력이이루는각으로정의한다. 즉정마찰각은임계미끄럼상태(마찰력

= Fs )의마찰각이다.

주의

ss

s NF µϕ 11 tantan −− ==

정마찰각(angle of static friction)

Fs

ϕs

N Rs

•정마찰계수의측정

경사면의경사각 θ를증가시켜서임계상태를찾는다.

정지각(angle of repose) θs : 미끄러지기직전(미끄러질락말락하는임계상태)의각도

N – W cos θs = 0

Fs – W sin θs = 0

N

Fs = µsN

θs

θs W

sss

s NF ϕµθ ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −− 11 tantan

즉정지각이정마찰각이므로

정마찰계수 µs= tan θs

8장 7/42

• µs의대표적인값

•운동

P가 Fs보다 커져서 미끄럼운동이 시

작되면 마찰력은 약간 작은 값(Fs의 약

75%) Fk로 떨어지며 이 값을 동마찰력

(kinetic frictional force)이라고도한다.

실험에의하면 Fk는 N에비례하므로

Fk = µkN

동마찰계수

합력 Rk와 N사이의각도 = 동마찰각

µk 0.75µs

속도가매우느릴땐 µk ≈ µs

kk

k NF µϕ 11 tantan −− =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

8장 8/42

8.2 건마찰과관련된문제(Problems Involving Dry Friction)

물체가 마찰력을 포함하는 힘계의 평형상태에 있기 위해서는 평형방정식뿐만 아

니라마찰력방정식도만족되어야한다.

마찰문제의 유형 : 건마찰을 포함하는 정역학문제를 세 가지 유형으로 분류해서 해

석하는것이편리하다. 이를위하여

n1 = 전체의미지수의수, n2 = 이용가능한평형방정식의수

n3 = 이용 가능한 마찰력방정식 (임계미끄럼엔 Fs = µsN , 미끄럼엔 Fk =

µkN )

+ 엎어짐방정식 (x = a/2 )

를미리알아야한다.

8장 9/42

i)유형 1 (평형상태확인) : n1 = n2

마찰력(F)과 수직반력의 작용점의 위치 x를 구한

후 F ≤ µsN 과 x ≤ (a/2)을 만족하는지를 확인해야

한다. 만족하지 않으면 미끄럼이나 엎어짐이 일

어나평형상태를유지할수없다.

예 : 두부재를가진프레임의평형확인

n1 = 6 (Bx, By, NA, FA, NC, FC)

n2 = 6 (각부재당 3개)

미지수의수와방정식의수가같으므로

미지수 (NA, FA, NC, FC)를구한후

FA ≤ 0.3 NA와 FC ≤ 0.5 NC를확인해야한다.

8장 10/42

ii) 유형 2 (모든점에서의임계운동 (엎어짐과미끄러짐)) : n1 = n2 + n3

예 : 막대를미끄러짐없이벽에세울수있는최소각 θ

n1 = 5(FA, NA, FB, NB, θ )

n2 = 3

n3 = 2 (FA = µA NA, FB = µB NB ) : µA와 µB는정마찰계수.

미지수의수와방정식의수가같으므로해석가능.

8장 11/42

iii) 유형 3 (임의의점에서의임계운동) :

n1 < n2 + n3

이경우엔 몇 가지 운동상태(운동 또는 임계운동)가

가능하므로, 실제로 어떤 운동이 일어나는지를 알

아내야한다.

예1 : 프레임을 수평으로 움직이는 데 필요한 최소

수평력

n1 = 7(NA, FA, NC, FC, Bx, By, P )

n2 = 6(각부재당 3개)

n3 = 2 (FA = µANA, FC ≤ µCNC와 FC = µCNC, FA ≤ µANA)

A에서미끄러짐 C에서미끄러짐

8장 12/42

방정식의수가미지수의수보다많으므로마찰력방정식중

① FA = µA NA , FC ≤ µC NC를선택해서해석하고

② FC = µC NC , FA ≤ µA NA를선택해서해석한후

각해석에서구한 P의값중에서최소값을선택하면된다.

두 해석에서 구한 P가 같으면 두 점 (A와 C)에서 동시에 미끄럼이 발생함을 의미한

다.

8장 13/42

예2 : 블록의운동을일으키는데필요한수평력 P

n1 = 4 (P, F, N, x )

n2 = 3

n3 = 2 (F = µsN, 0 ≤ x ≤ b/2와 x = b/2, F ≤ µsN )

미끄러짐 엎어짐

방정식의수가미지수의수보다많으므로

① F = µsN을이용해서해석

② x = b/2를이용해서해석

각해석에서구한 P중에서최소값을선택.

두 P값이같으면미끄럼과엎어짐이동시에발생함을의미한다.

8장 14/42

•마찰력의방향 (sense) : 물체의 운동을 방해하는 방향으로 마찰력이 작용한다고알고있긴하지만, 문제에따라선마찰력의방향(sense)을미리명확히알수없는경우도있다. 이럴땐다음해석과정을따른다.

I. 정지상태 : F < µsNF가 미지수(양도 음도 될 수 있는)이므로 F의 부호에 의해 마찰력의 방향이 결정된다. 즉 F라는 표현은 크기정보뿐만 아니라 방향정보도 담고 있다. 따라서 자유물체도에선 F의 방향을 가정해두고 해석 후에 F의 값이 양이면 애초의 가정이옳다는것이고음이면반대의방향임을의미한다.

II. 임계운동상태또는운동상태 : F = µsN또는 µkN이 경우엔 F가 양의 값을 확보하므로 I의 경우완 달리 F는 방향정보를 갖고 있

지않다. 즉이식은마찰력의크기만말해줄뿐방향에대해선말해주는것이없다. 따라서 자유물체도에서 가정한 F의 방향이 틀리면 평형방정식을 만족하지 않으므로해석이불가능해진다. 이때엔 F의방향(sense)을바꾸어서다시해석해야한다.

마찰문제에서 해석결과가 이상할 때(평형방정식이 만족되지 않을

때)엔 수치 계산과정을 재검토할 뿐만 아니라 마찰력의 방향도 재검토

해봐야한다.

주의

8장 15/42

예제 8-1 : Example 8-1

The uniform crate shown in Fig. 8-7a has a

mass of 20 kg. If a force P = 80 N is applied to

the crate, determine if it remains in equilibrium.

The coefficient of static friction is µs = 0.3.

(Sol.) n1 = 3(F, NC, x ), n2 = 3

유형 1

평형방정식 030cos80 =−°=∑ FFx

081.92030sin80 =×−+°−=∑ Cy NF

0)()2.0(30cos80)4.0(30sin80 =+°−°=∑ xNM CO

F = 69.8 N, NC = 236 N, x = -0.00908 m

= -9.08 mm

F ≤ µsN = 0.3(236) = 70.8 N 이고

|x| ≤ 0.4 m이므로평형을유지한다.

(미끄럼도엎어짐도일어나지않는다.)

8장 16/42

예제 8-2

The uniform plank having a weight W and length

l is supported at its ends A and B, where the

coefficient of static friction is µ, Fig. Example.

Determine the greatest angle θ so the plank does not

slip. Neglect the thickness of the plank for the

calculation.

(Sol.)

n1 = 5 (FA, NA, FB, NB, θ )

n2 = 3

n3 = 2 (A와 B에서마찰력방정식)

유형 2

평형방정식

0sincos =−+=∑ θθ BBAx NFFF (1) Fig. Example

8장 17/42

0sincos =++−=∑ θθ BBAy FNWNF (2)

02

sin2

cos2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=∑

lNlFlNM BAAG θθ (3)

임계상태의마찰력방정식

FA = µsNA, FB = µsNB (4),

(5)

(4), (5) → (1), (3)

µNA = NB(sinθ - µcosθ ) - (1)′

NB = NA(cosθ - µsinθ ) - (3)′

(3)′ → (1)′

θ - cos2θ = - cos2θ = 1과 2sinθ cosθ = sin2θ를이용하면θµµ 2sin

212

2+=

21

14sin

21

µµθ

+= −

8장 18/42

예제 8-3 : Example 8-6

Determine the normal force that must be exerted on

the 100-kg spool shown in Fig. 8-12a to push it up the

20° incline at constant velocity. The coefficients of

static and kinetic friction at the points of contact are

(µs)A = 0.18, (µk)A = 0.15 and (µs)B = 0.45, (µk)B = 0.4.

(Sol.) n1 = 4 (NA, FA, NB, FB )

n2 = 3

n3 = 2 (A에서의마찰력방정식 FA = µkANA와

B에서의마찰력방정식 FB = µkBNB )

유형 3

평형방정식

∑Fx = - FA + NB – 981sin20° = 0

∑Fy = NA – FB – 981cos20° = 0

∑MO = FB(400) + FA(400) = 0

8장 19/42

마찰력방정식

① FB = µkBNB, FA ≤ µsANA을가정 : 경사면위의구름(접촉점 B에서미끄럼)

NA = 1146 N, FA = 224 N, FB = 224 N, NB = 559 N

FA = 224 N > µsANA = 0.18(1146) = 206

결과가가정을만족치않으므로스풀은경사면위를구르지않는다.

② FA = µkANA, FB ≤ µsBNB를가정 : 경사면위의미끄럼(스풀은병진)

NA = 1084.5 N, FA = 162.7 N, NB = 498.2N, FB = 162.7 N

FB = 162.7 N ≤ µsBNB = 0.45(498.2) = 224.2

결과가가정을만족하므로스풀은회전없이경사면위에서미끄러진다.

스풀이움직이는데필요한최소한의수직력을구하는문제로바뀌면어떻

게될까?

주의

8장 20/42

예제 8-4 : Problem 8-9

Gravel is stored in a conical pile at a

materials yard. If the height of the pile is h = 10

m and the coefficient of static friction between

the gravel particles is µs = 0.4, determine the

approximate diameter d of the pile. For the

calculation, neglect the “irregularities” of the

particles, and first determine the angle θ of the

pile by considering one of the particles to be

represented by a block resting on an inclined

plane of angle θ, where µs = 0.4.

8장 21/42

(Sol.)

미지수 n1 = 3 (F, N, θ )

평형방정식 n2 = 2

마찰력방정식 n3 = 1 (F = µsN )

관계식

N

F

θ

θ W

h

xy

d/2dh

dh 22

tan ==θ ,θtan

2hd =

유형 2

∑Fx = F – W sin θ = 0

∑Fy = N – W cos θ = 0

sNF µθ ==tan , θ = tan-1 µs = tan-1 (0.4) = 21.8°

m504.0

)10(22tan2

====s

hhdµθ

8장 22/42

예제 8-5 : Problem 8-50

The passengers sitting in the front of the Jeep have a combined weight of 375 lb and

center of gravity at G1, whereas the combined weight of the ones sitting in the back is 280

lb with center of gravity at G2. The curb (or empty) weight of the Jeep is 3000 lb with

center of gravity at G. Determine the maximum load that can be towed at constant velocity

if the vehicle is equipped with (a) front-wheel drive, where the rear wheels are free to roll,

(b) rear-wheel drive, where the front wheels are free to roll. The coefficient of static

friction between the tires and the ground is µs = 0.4, and between the load and the ground

µ ′s = 0.3.

8장 23/42

(Sol.)

자유물체도

화물의 규모 즉 무

게중심의 위치에 관

한 정보가 주어지지

않은점에유의하라.

주의

FA

NANB

NC

FC

W

P

3000 375 280

FB

미지수 : FA, NA, FB, NB, P, FC, NC, W

n1 = 8

평형방정식 : Jeep : ∑Fx = P – FA – FB = 0 ∑MA = 0

∑Fy = NA + NB – 3000 – 375 – 280 = 0

Crate : ∑Fx = –P + FC = 0

∑Fy = NC – W = 0

n2 = 5 (Jeep에 3개 + Crate에 2개 (왜?))

8장 24/42

마찰방정식 : Jeep 전륜구동 : FB = 0, FA = µsNA

후륜구동 : FA = 0, FB = µsNB

Crate : FC = µ ′sNC

n3 = 3

유형 3

주의 ‘maximum load’란 문맥으로 보아 ‘at constant velocity’란 말은 빼야 되겠

다. 왜냐하면 일정한 속도를 갖기 전에 먼저 정지상태를 벗어나야 하기 때

문이다. Jeep과 Crate가연결되어있으므로운동상태가같다는점과이들의

힘평형을고려하면,

최대W →최대 NC →최대 F = µ′sNC →최대 P →최대 FA = µsNA (구름조건

임계미끄럼 임계미끄럼 FA ≤ µsNA

관계를이끌어낼수있다. 로부터)

결과

i) 전륜구동 NA = 2065.2, NB = 1589.8, P = 826, W = 2753.6 lb = 2.75 kip

ii) 후륜구동 NA = 2099.2, NB = 1555.8, P = 622, W = 2074.4 lb = 2.07 kip

8장 25/42

예제 8-6 : Problem 8-54

The concrete pipe at A rests on top of B

and C. If the coefficient of static friction

between the pipes is µs and at the ground µ ′s,

determine their smallest values so that the

pipes will not slip. Each pipe has a radius r

and weight W, and the angle between the

centers as indicated is θ.W

W WA

B C

F ′F ′N ′ N ′

(Sol.)

자유물체도 : 대칭성을 고려하여 전체계와 pipe C의

자유물체도만그린다. (왜?)

평형방정식

전체

∑Fy = 2N ′ – 3W = 0

N ′ = 1.5W

8장 26/42

WC

F ′N ′

FN

θ θPipe C

∑Fx = –F cos θ + N sin θ – F ′ = 0

∑Fy = N – W – N cos θ – F sin θ = 0

∑M0 = F(r) – F ′(r) = 0

)1(cossin

21

+=′=

θθWFF WN

23

=′2

WN =, ,

즉모든미지력은평형방정식만에의해결정된다.

미끄러지지않으려는최소정마찰계수 µs와 µ ′s을구하는문제

미지수의수 n1 = 6 (N ′, F ′, N, F, µs, µ ′s )

평형방정식의수 n2 = 4

마찰방정식의수 n3 = 2 F = µsN과 F ′ = µsN ′ (미끄러지지 않으려는 조건의

부등식 F ≤ µsN과 F ′ ≤ µ ′sN ′의임계상황)

따라서유형 2

1cossin

+=

θθµs ,

1cossin

31

+=′

θθµs

8장 27/42

8.3 쐐기 (Wedges)

쐐기 : 어떤힘을가해서, 크기는그힘보다크며, 방향은그힘의직각방향인힘을발

생시키는데사용되는간단한장치로서무거운물체를약간이동하는데도사용

된다.

예 : 쐐기에힘 P = Pi를가하여무게가W인블록을들어올리는경우

(쐐기의무게 W )

8장 28/42n1 = 7 (P, N1, F1, N2, F2, N3, F3)

n2 = 4 (엎어질염려는없으므로쐐기와물체의각각에힘평형방정식 2개씩)

n3 = 3 (미끄럼은 모든 접촉면에서 동시에 일어나므로 각 접촉면의 마찰력방정

식 Fi = µsi Ni , i = 1, 2, 3)

유형 2 (모든점에서의임계운동)

i) P > 0 인임계상태 : W를들어올리는임계상태

ii) P < 0 인임계상태 : W를내리는임계상태 (P와마찰력의방향이자유물체도 Fig.

8-13(b)와반대방향)

iii) P = 0인경우엔어떻게될까?

쐐기가빠져나오지않을까?N2

N1F1

F2

R1

R2 θθ2

θ1P = 0 인 경우에 평형상태를 유지(자동체결)하려면 쐐기에 작용하

는힘 R1과 R2가평형을이루어야하고(즉 R1과 R2가크기가같고방

향이 반대이며 동일직선상에서 작용해야 하고) 두 접촉면 각각에

서미끄럼이일어나지않아야하므로

F1 = N1 tanθ1가한계정지마찰력 N1µs1 = N1 tanϕs1보다작아야한다.

θ1 + θ2 = θ

8장 29/42

마찬가지로 F2 = N2 tanθ2가 N2µs2 = N2 tan ϕs2보다작아야 한다. 여기서 ϕs1과 ϕs2는각

접촉면에서의정마찰각이다.

즉11 tantan sϕθ < , 22 tantan sϕθ <

두접촉면에서의마찰특성이같다면 θ1 = θ2 , ϕs1 = ϕs2 ϕs

결국

즉 θ < 2ϕs가자동체결의조건이된다.

즉경사각이정마찰각의 2배보다작으면쐐기에가하는수평력 P가 0이어도쐐기가

빠져나오지않는다.

sϕθ tan2

tan <

2θ

≡ ≡

8장 30/42

8.4 나사에서의마찰력 (Frictional Forces on Screws)

나사의용도 : 체결용, 동력이나운동을전달하는데

l (lead) : 한회전에진행하는높이

r : 나사산의유효반경

θ (lead angle) = rlπ2

tan 1−

k

eα

8장 31/42

•마찰해석 : 축방향하중W를받는나사를돌리는데필요한모멘트M을결정하는

문제

α는나사의회전각

eα는수평방향의단위벡터

α

ereα

k

M ≡ rS

나사에가하는모멘트

M = Mk ≡ rer × Seα나사의위치벡터 M이만든등가수평력

8장 32/42

왜모멘트평형방정식은사용할필요가없었을까?주의

•나사의상향운동

나사가상향임계운동상태(F = µsN)나일정한속도의상향운동상태(F = µkN)에도달

하기위해필요한모멘트M을구하는문제 :

n1 = 3 (S, N, F), n2 = 2, n3 = 1

따라서유형 2이다.

평형방정식 : ∑F = Seα – Wk + R = 0

∑Fα = S – R sin (θ + ϕ) = 0, R = |R|

∑Fz = R cos (θ + ϕ) – W = 0,

여기서 ϕ = tan-1µ

R을소거하면

M = Sr = Wr tan (θ + ϕ) (8-

3)

Ms ≡ Wr tan (θ + ϕs) > Mk ≡ Wr tan (θ + ϕk)상향임계운동에필요한모멘트 일정한속도의상향운동에필요한모멘트

Upward screw motionFig. 8-17 (a)

k

eα

8장 33/42•나사의하향운동 : 모멘트의크기가감소하면나사가하향운동할수도있다.나사가하향임계운동상태나일정한속도의하향운동상태에도달하기위해필요한모

멘트M을구하는문제.이때는마찰력의방향이상향운동의경우의반대방향이되므로합력 R의방향 ϕ (합력이수직력방향으로부터회전한반시계방향의각도)가음이된다.ϕ = 2π – ϕ ′ = –ϕ ′, µ = |tan ϕ| = tan ϕ ′ (이경우엔 |ϕ| = ϕ ′이마찰각이된다.)

i) 나사면이매끄러울때 (ϕ ′ ≤ θ )식 (8-3)으로부터

M = Wr tan (θ + ϕ) = Wr tan (θ – ϕ ′) (8-4)

0≥=r

MS

ii) 나사면이거칠때 (ϕ ′ > θ )식 (8-3)으로부터

M = Wr tan (θ + ϕ) = Wr tan (θ – ϕ ′)

0<=r

MS

|M| = M ″ = Wr tan (θ ′ – ϕ ) (8-5)

마찰각 |ϕ|의 표현에 주의하면 모멘트 표현M = Wr tan (θ + ϕ)은어느경우에나유용하다.

주의

Downward screw motion

Fig. 8-17 (b))( φθ ′>

′

8장 34/42

• 자동체결(self-locking) : 양의 모멘트를 가하지 않더라도 나사가 하향운동하지 않는

상태, 즉 0보다작거나같은모멘트(M = rS ≤ 0)를가해도하향운동하지않는상태가

되려면

S + R + W = 0과 F ≤ µsN

을만족해야한다.

임계하향운동상태(2π – ϕ = ϕ ′ = tan-1 µs)에서 S =

0로 두면 W와 R이 평형을 이루기 위해 동일직선

상에놓이게되므로

ϕ ′ = θ를얻는다.

따라서자동체결조건은

ϕ ′ ≥ θ가된다.

Self-locking screw(on the verge of

rotating downward)Fig. 8-17 (c)

)( φθ ′=

′

쐐기의경우와비교해보라.주의

8장 35/42

예제 8-7 : Problem 8-63

The wedge is used to level the floor of a building. For the floor loading shown,

determine the horizontal force P that must be applied to move the wedge forward. The

coefficient of static friction between the wedge and two surfaces of contact is µs = 0.25.

Neglect the size and weight of the wedge and the thickness of the beam.

(Sol.)

쐐기를 박아 넣으려면 쐐기 양면의

임계미끄럼상황을생각하여야한다.

4422

2 33

F1

N1

Ax

Ay

8장 36/42

보의평형방정식

∑MA = –N1(8) + 2(8) + 4(5) + 4(3) = 0

쐐기의평형방정식

∑Fx = F1 + F2cos15° + N2sin15° – P = 0

∑Fy = N2cos15° – F2sin15° – N1 = 0

마찰평형방정식

F1 = µsN1 = 0.25N1, F2 = 0.25N2

따라서 n1 = n2 + n3

5 = 3 + 2의유형 2

N1 = 6 kN, F1 = 1.5 kN, N2 = 6.658 kN, F2 = 1.664 kN,

P = 4.83 kN

F1

P

N1

F2N2

8장 37/42

예제 8-8 : Problem 8-78

The hand clamp is constructed using a square-threaded screw having a mean diameter of

36 mm, a lead of 4 mm , and a coefficient of static friction at the screw of µs = 0.3. If the

clamping force in the board AB is 300 N, determine the reversed force –F that must be

applied perpendicular to the handle in order to loosen the screw.

(Sol.)

나사를 푼다는 뜻은 하향

운동을의미하므로(왜?)

ϕ ′ = tan-1(0.3) = 16.7 °

°== − 026.2)18(2

4tan 1

πθ

ϕ ′ > θ이므로나사면이거칠다.

모멘트 = F(0.05) = Wr tan (ϕ ′ – θ ) )026.270.16tan(2036.0300 °−°=

F = 28.3 N

8장 38/42

8.5 평벨트의마찰력 (Frictional Forces on Flat Belts)

고정곡면을지나는평벨트에작용하는장력 T1과 T2의관계를생각해보자. (T2 > T1 :

왜그럴까?)

β : 총접촉각도, µ : 마찰계수

8장 39/42

02

cos)(2

cos =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∑

θµθ ddTTdNdTFx

02

sin2

sin)( =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−=∑

θθ dTddTTdNFy

|dθ| 1이므로 2sin θd

2cos θd

,2θd

1

두미소량의곱, (dT)(dθ) 0

µdN = dT dN = Tdθ

µβ=1

2lnTT

∫ ∫=2

1 0

T

Td

TdT β

θµ

T2 = T1eµβ

dθ, dN, dT대신에 ∆θ, ∆N, ∆T로부터 출발해서 극한 ( )을취하는게

더합당하다는걸독자들도잘알고있을것이다.

주의0

lim→∆θ

평벨트와 V벨트의차이를연습문제 8-95를통해알아보자.주의

8장 40/42

예제 8-9 : Problem 8-94 The 100-lb boy at A is suspended

from the cable that passes over the quarter circular cliff rock. What force must the woman at B exert on the cable in order to let the boy descend at constant velocity? The coefficient of static friction between the cable and the rock is µs = 0.4, and the coefficient of kinetic friction is µk = 0.35.(Sol.)

2πβ =

T2 = T1eµβ

235.0

1100π

eT= T1 = 57.7 lb

① 소년이 더 이상 내려가지않게 하기 위하여 소녀가 버텨야 하는 힘은?

②소년을끌어올리기위해소녀가당겨야하는최소힘은?

주의

B

8장 41/42

예제 8-10 : Problem 8-95

Show that the frictional

relationship between the belt

tensions, the coefficient of

friction µ, and the angular

constants α and β for the V-belt

is T2 = T1eµβ/sin(α/2).

(Sol.)

022

cos2

cos)( =+++−=∑ dFdTddTTFxθθ

02

sin22

sin2

sin)( =+−+−=∑αθθ dNdTddTTFy

x

y

z

T + dT

dF

T

dN

dNdθ

dθ/2dθ/2

α/2

α/2

dθ/2dθ/2

8장 42/42

dF = µdN이므로

dT = 2µdN, 02

sin2 ==αθ dNTd

∫∫ =β

α

θµ0

2sin2

1

dTdTT

T

2sin12

αµβ

eTT =

α = π와 0의경우어떻게될까?주의