Embed Size (px)
Citation preview
302
Trích trong “Giải pháp toán học 2014”
“ Giải pháp toán học 2014” là một cuốn trong bộ sách ôn thi đại họckhối A, B của Câu lạc bộ thủ khoa 24/7. Được viết dựa trên kinh nghiệmcủa các học sinh giỏi Quốc gia các môn các thủ khoa đại học, bộ sáchhứa hẹn sẽ mang đến cho các em cái nhìn chủ quan nhất, “học sinh” nhấttrong việc tiếp cận các bài tập ở chương trình THPT ôn thi đại học.Cùng với câu lạc bộ thủ khoa 24/7, cánh cửa đại học không còn xa vời!
Mua sách trực tiếp ở Hà Nội tại:
Số 95B ngõ 850, Đường Láng. Liên hệ sđt: 01655270913-gặp anh Trí Kiên.
Hoặc: Số 70,tổ 44, phường Trung Tự, Quận Đống Đa (gần đại học Y Hà Nội). Liên hệ sđt01685301493-gặp anh Thế Kiên.
Đặt sách qua bưu điện (vận chuyển COD) xem thông tin tạihttps://www.facebook.com/groups/luyenthicungthukhoa247/
Chúc các em học tốt!
303
TỔ HỢP – XÁC SUẤTA.Kiến thức cơ bản
I. Phép đếmCác quy tắc đếm cơ bản.Quy tắc cộng: Một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương án:
1 2; ;...; kA A A . Có 1n cách thực hiện 1A , 2n cách thực hiện 2A ,…, kn cách thựchiện kA . Khi đó công việc có thể thực hiện bởi tổng cộng 1 2 ... kn n n cách.
Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn 1 2; ;...; kA A A .
Công đoạn 1A có thể thực hiên theo 1n cách, công đoạn 2A có thể thực hiệntheo 2n cách,…, công đoạn kA có thể thực hiện theo kn cách. Khi đó, số cách đểthực hiện công việc này là 1n . 2n .…. kn cách.
(*)Để cho dễ hiểu và dễ áp dụng ta có thể ghi nhớ như sau:Nếu các công việc độc lập nhau thì dùng quy tắc cộng.Nếu các công việc chồng chất lên nhau thì ta dùng quy tắc nhân.
Hoán vị , chỉnh hợp và tổ hợp .Hoán vị: Cho tập hợp A có n phần tử (n>0). Khi sắp xếp n phần tử này theo mộtthứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của các phần tử của tập A ( một hoán vịcủa A).Số các hoán vị của tập có n phần tử là:
Chỉnh hợp: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n . Khi lấy ra kphần tử của A rồi sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k củaA.Số các chỉnh hợp chập k của một tập có n phần tử là:
(với 1 k n )
Tổ hợp: Cho tập hợp A có n phần tử. Mỗi tập con có k phần tử của A gọi là một tổhợp chập k của n phần tử của A.Số các tổ hợp chập k của một tập có n phần tử là :
!nP n
!
( )!kn
nA
n k
!
!( )!nk
nC
k n k
304
Một số hằng đẳng thức:
11
k n kn n
k k kn n n
C C
C C C
Nhị thức Newton (Niu−tơn):
0
nn k n k k
nk
a b C a b
II. Xác xuất:1.Định nghĩa và cách tính:+ Một phép thử có tập kết quả là ( khả năng xảy ra của mỗi phần tử trong là như nhau)+ Một biến cố A liên quan đến phép thử đó có tập kết quả thuận lợi là
A .Khi đó xác suất xảy ra của biến cố A là:
Xác suất thống kê trong thực tiễn:+) Cho phép thử thực hiện N lần+) Có A lần xuất hiện kết quả thỏa mãn biến cố A.
Tần suất của A là:A
N(*) Chú ý:
+) Với N đủ lớn thì ( )A
P AN
+) Thông thường trong các bài toán ta không sử dụng đến định nghĩ thống kê củaxác suất.2. Các quy tắc tính xác suất:Quy tắc cộng:Hai biến cố A và B là xung khắc với nhau nếu A xảy ra thì B không xảy ra vàngược lại, B xảy ra thì A không xảy ra.Biến cố A B nghĩa là :A hoặc B xảy ra.Cách tính xác suất:
(với 2 biến cố)
Biến cố A nghĩa là : không xảy ra A.⇒ ( ) ( ) ( ) 1P A P A P A A
( ) AP A
( ) ( )P A B P A P B
305
Quy tắc cộng: cho k biến cố đôi một xung khắc: 1 2; ;...; kA A A . Khi đó:
Quy tắc nhân:Biến cố giao A B nghĩa là : cả A và B cùng xả y ra.Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B độc lập với nhau nếu A xảy ra hay không xảyra không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của B và ngược lại.Quy tắc nhân: Cho k biến cố độc lập 1 2; ;...; kA A A thì :
B.Các phương pháp giải toán tổ hợp –xác suất:I. Phép đếm:1. Sử dụng các quy tắc đếm.
Bài 1:Nam muốn đi từ Hà Nội vào Đà Nẵng bằng ô tô hoặc máy bay. Có 6hãng ô tô chở khách và 4 hãng máy bay. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách để Namđi từ Hà Nội vào Đà Nẵng ?
Giải:Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách Nam đi là: 6+4=10 (cách)
Bài 2:An muốn từ nhà mình qua đón Bình rồi cả 2 cùng sang nhà Cường chơi.Hỏi A có bao nhiêu cách đi biết từ nhà An sang nhà Bình có 2 đường, từ nhàBình sang nhà Cường có 3 đường.
Giải:Số cách chọn đường từ nhà A sang nhà Bình là : 2 cách.Số cách chọn đường từ nhà Bình sang nhà Cường là : 3 cách.
Vậy áp dụng quy tắc nhân, số cách đi của A là: 2.3= 6 (cách)
Bài 3: Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau?
Giải:Xét 2 trường hợp:TH1: chữ số tận cùng là số 0.
Ta tiến hành lập các số thỏa mãn ycbt theo các bước:B1: Chọn chữ số hàng nghìn: có 9 cách chọn.B2: Chọn chữ số hàng trăm: có 8 cách chọn.
1 2 1 2... ( ) ( ) ... ( )k kP A A A P A P A P A
1 2 1 2... ( ) ( )... ( )k kP A A A P A P A P A
306
B3: Chọn chữ số hàng chục: có 7 cách chọn.Áp dụng quy tắc nhân, trường hợp này ta có 7.8.9= 504 số thỏa mãn ycbt.
TH2: chữ số tận cùng khác 0. Vì đây là số chẵn nên chữ số tận cùng chỉ có thểthuộc tập {2;4;6;8}. Ta thực hiện lần lượt các bước:
B1: Chọn chữ số hàng đơn vị: có 4 cách chọn.B2: Chọn chữ số hàng nghìn: có 8 cách chọn (ngoại trừ số 0 và chữ số hàng
đơn vị)B3: Chọn chữ số hàng trăm: có 8 cách chọn.B4: Chọn chữ số hàng chục: có 7 cách chọn.
Áp dụng quy tắc nhân, trường hợp này ta có 4.8.8.7= 1792 số thỏa mãn ycbt .
Vậy có tất cả 504+1792=2296 cố thỏa mãn ycbt.
(*) Chú ý :− Khi áp dụng quy tắc cộng , ta phải chắc chắn một cách trong phương án nàykhông trùng với một cách trong phương án kia (ví dụ một hãng ô tô và một hãngmáy bay thì chắc chắn khác nhau). Nếu không , ta phải áp dụng công thức cộngtổng quát sẽ được đề cập ở phần IV.− Khi áp dụngquy tắc nhân, ta phải thiết kế các công đoạn một cách phù hợp saocho nó không những bao phủ hết tập kết quả cần đếm mà còn tiết kiệm được côngsức tính toán nhất và không vi phạm yêu cầu bài toán. Ví dụ như ở trường hợp 2,ví dụ 3, nếu ta chọn chữ số hàng nghìn trước (9cách) rồi mới chọn chữ số hàng
đơn vị ( 4 cách) thì sẽ làm xuất hiện những số dạng 2 2ab hay 4 4cd không thỏamãn yêu cầu “đôi một khác nhau” của bài toán. Do đó, chọn chữ số hàng đơn vịtrước là phù hợp.2. Sử dụng tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị.
Bài 4: Từ các chữ số {1;2;3;…;7}.Có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số đôi một khác nhau?Có thể lập được bao nhiêu s ố có 4 chữ số đôi một khác nhau?Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số sao cho:+) Có đúng hai chữ số 1.+) Các chữ số còn lại khác 1 và đôi một khác nhau.
Giải:Số các số có thể lập được là: 7 7! 5040P (số)Số các số có thể lập được là: 4
7 840A (số)Để lập được một số thỏa mãn ycbt ta thực hiện các công đoạn sau:
B1: Chọn hai vị trí để đặt hai chữ số 1: có 26 15C cách.
B2: Chọn 4 số từ tập {2;3;…;7} rồi xếp một cách có thứ tự vào các vị trí còn
lại: có 46 360A cách.
307
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách tạo ra một số thỏa mãn yêu cầu bài toán là:15.360=5400 (cách).Tương ứng với đó là 5400 số thỏa mãn ycbt.
Bài 5: Một chiếc tàu đồ chơi được lắp ráp từ các bộ phận: Một đầu tàu màuđen, 5 toa tầu màu xanh, 3 toa tầu màu đỏ và 2 toa tàu màu vàng. Tính sốcách lắp ráp đoàn tàu biết đầu tàu luôn ở vị trí đầu tiên và các toa tàu cùngmàu thì giống hệt nhau.
Giải:Ta thực hiện lắp ráp tàu theo các công đoạn:B1: Đặt đầu tàu ở đầu tiên, tiếp sau đó sẽ là 10 vị trí để đặt các toa tàu.B2: Chọn ra 5 vị trí để đặt các toa tàu xanh: có 5
1 0C cách.
B3: Chọn ra 3 vị trí trong các vị trí còn lại để đặt các toa tàu màu đỏ: có 35C cách.
B4: Đặt 2 toa tàu màu vàng vào 2 vị trí còn lại.Như vậy, số cách lắp ráp tàu là:
5 310 5. 2520C C (cách)
3. Tính thông qua phần bù:
Bài 6: Một lớp có 40 học sinh, trong đó có 10 em không giỏi toán cũng khônggiỏi văn. Hỏi có bao nhiêu học sinh g iỏi ít nhất một trong 2 môn toán hoặcvăn.
Giải:Số các em học sinh giỏi ít nhất một trong 2 môn toán hoặc văn là:40−10=30 (học sinh).⇒ Phương pháp tính thông qua phần bù: giả sử trong N đối tượng có M đối tượngcó đặc điểm A. Khi đó số đối tượng có đặc điểm A là (N−M). Phương pháp tínhthông qua phần bù là tìm N và M rồi từ đó tìm số đối tượng có đặc điểm A .
Bài 7: Một đàn gà có 5 con trống và 7 con mái. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra4 con gà trong đó có ít nhất là một con trống.
Giải:Số cách chọn ra 4 con gà bất kì là: 4
12 495C
Số cách chọn ra 4 con gà mái là: 47 35C
Số cách chọn ra 4 con gà trong đó có ít nhất là một con trống là:495−35=460(cách)
308
II. Xác suất.1.Tính xác suất bằng định nghĩa.Bài 1: Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 5 viên bi đỏ và 15 viên bixanh. Tìm xác suất để khi lấy ra 6 viên bi (cùng lúc thì có đúng 4 viên bi màuxanh).
Giải:Số cách chọn ra 6 viên bi từ 20 viên bi là 6
20 38760C (cách)
Số cách chọn 4 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ là: 4 215 5. 13650C C (cách)
xác suất để 6 viên lấy ra có đúng 4 viên màu xanh là :13650 455
38760 1292P
Bài 2: Một chiếc tàu đồ chơi gồm các bộ phận: Một đầu tàu màu đen, 5 toatầu màu xanh, 3 toa tầu màu đỏ và 2 toa tàu màu vàng. Biết đầu tàu luôn ở vịtrí đầu tiên, các toa còn lại được sắp xếp ngẫu nhiên theo thứ tự ở phía sau.Tính các xác suất để các biến cố sau xảy ra:A: “Một toa màu vàng nằm ở vị trí thứ 2, toa màu vàng còn lại nằm ở vị trícuối cùng”B: “ở vị trí thứ 3 là một toa tàu màu xanh”
Giải:Không gian mẫu có số phần tử là: 10! Ta xếp các toa theo ycbt qua các bước:
B1: xếp 2 toa màu vàng vào vị trí thứ 2 và vị trí cuối: có 2 2P cách xếp.B2: xếp các toa màu đỏ và xanh vao các vị trí còn lại: có 8 8!P cách xếp.
2.8!
2.8! 1
10! 45
A
P A
Ta xếp các toa theo ycbt qua các bước:B1: Chọn 1 toa tàu xanh để xếp vào vị trí thứ 3: có 5 cách.B2: Xếp các toa tàu còn lại vào các vị trí cò lại: có
9 9!P cách.
5.9!
5.9! 1
10! 2
B
P B
(*) Chú ý: Nếu dùng định nghĩa để tính xác suất thì các đối tượng dù có gi ống hệtnhau ta vẫn phải coi là khác nhau. Bởi vậy mà ở ví dụ 9, 10! chứ không phải2520 cách lắp tàu như ở ví dụ 5.
309
2. Sử dụng các quy tắc tính xác suất.Phương pháp này thường được áp dụng khi đề bài cho trước các đơn vị xác suấtcơ bản ( ví dụ xác suất để thằn một ván cờ là 0,4). Khi đó ta sẽ khố có thể sử dụngphương pháp dùng định nghĩa để giải quyết bài toán được.
Bài 3: Có một chiếc máy bay có 2 động cơ. Biết xác suất bị hỏng của động cơ 1là 0,1 xác suất hoảng của động cơ 2 là 0,15 và 2 động cơ hoạt động độc lập.Tính xác suất:Cả hai động cơ đều hỏng (A)Có ít nhất một trong 2 động cơ bị hỏng. (B)
Giải:Theo quy tắc nhân, xác suất cả 2 động cơ cùng hỏng là:P(A)=0,1 . 0,15 =0,015Xác suất để dộng cơ 1 không hỏng là: 1 −0,1=0,9Xác suất để dộng cơ 2 không hỏng là: 1 −0,15=0,85Xác suất để cả 2 động cơ không hỏng là:P( B )=0,9.0,85= 0,765Xác suất để có ít nhất một trong 2 động cơ bị hỏng là:P(B)= 1 − P( B )= 0,235.
Chú ý: Khi áp dụng quy tắc cộng thì phải đảm bảo tính xung khắc của các biến cốcũng như với quy tắc nhân phải đảm bảo tính độc lập.Như ở ví dụ 10, ý b. Nếu ta quên đi tính không xung khắc của hai biến cố “động cơ1 hỏng” và “động cơ 2 hỏng” thì dễ dẫn đến nhầm lẫn và tính:P(B)=0,1+0,15=0,25 (Sai)
III. Tính các biểu thức tổ hợp.1.Nhị thức Newton(*)Dạng bài: Tìm hệ số trong khai triển.
Bài 1: Tìm hệ số của hạng tử thứ 31 trong khai triển40
2
1x
x
Giải:
Xét khai triển40
2
1x
x
=40
4040 2
0
1k
k k
k
C xx
Vơi k=0 ta có hạng tử thứ nhất. Do đó hạng tử thứ 31 ứng với k=30. Hệ số củahạng tử thứ 31 là: 30
40C = 847660528
(*)Dạng bài: Khai triển với giả thiết có diều kiện.
310
Bài 2: Biết khai triển 32
2n
xx
có tổng ba hệ số đầu là 33. Tìm hệ số của2x .
Giải:
Ta có3
2
2n
xx
= 3
2
2knn kk
n kk o
C xx
Theo giả thiết của đề bài ta có0 1 2 2
2
2 2 33
( 1)1 2 4 33
22 32
4
n n nC C C
n nn
n
n
40
2
1x
x
=40
4040 2
0
1k
k k
k
C xx
=40
12 540
0
2k k k
k
C x
Từ đó ta có:12 5 2
12 5 2
2
kx x
k
k
Vậy hệ số cần tìm là:
2 242 . 24C
2.Tính các biểu thức tổ hợp(*)Sử dụng định nghĩa:Bài 3: Chứng minh rằng: 2 2 2
2 2n nC n C
Giải:2
2 2 22
2 (2 1) 2 ( 1) 2 2 ( 1)2
2! 2! 2!n n
n n n n n n n nC n C
(*) Sử dụng nhị thức Newton.Bài 4: Tính tổng:
0 1 2 ... nn n n n nS C C C C
Giải:Xét khai triển sau:
0 1 1 0
0
( 1) ...n
n k n k n n nn n n n
k
x C x C x C x C x
311
Thay x=10 1
0 1
(1 1) ...
... 2
n nn n n
n nn n n n
C C C
S C C C
Bài 5: Tính tổng:
0 2 4 200200 200 200 200...T C C C C
Giải:Theo ví dụ 14 ta có
0 1 2 199 200 200200 200 200 200 200 200... 2S C C C C C (1)
Lại xét khai triển:200
200 200200
0
0 200 1 199 2 198 199 200200 200 200 200 200
( 1) ( 1)
...
k k k
k
x C x
C x C x C x C x C
Thay x=1200 0 1 2 199 200
200 200 200 200 200(1 1) ... 0C C C C C (2)Cộng vế với vế (1) và (2) ta có:
0 1 2 199 200 0 1 2 199 200 200200 200 200 200 200 200 200 200 200 200( ... ) ( ... ) 2 0C C C C C C C C C C
0 2 4 200 200200 200 200 2002( ... ) 2C C C C
0 2 4 200 199200 200 200 200... 2T C C C C
(*)Sử dụng đạo hàm, tích phân−Trong phương pháp này ta sử dụng đạo hàm và tích phân để tạo dựng nên biểuthức mà đề bài cho.− Thường được sử dụng kết hợp với nhị thức Newton.Bài 6:Tính tổng
1 2 32 3 .... nn n n n nS C C C nC
Giải:Xét khai triển:
1 1 1 0(1 ) ...n n n n nn n n nx C x C x C x C
Lấy đạo hàm hai vế ta được:1 1 1 2 2 1(1 ) ( 1) ... 2 0n n n n n
n n n nn x nC x n C x C x C Thay x = 1 ta có:
1 1 2 12 ( 1) ... 2n n nn n n nn nC n C C C
Vậy 12nnS n
Bài 7: Tính tổng:
312
0 1 21 1 1....
2 3 1n
n n n n nT C C C Cn
Giải:Xét khai triển:
1 1 2 2 1 0(1 ) ...n n n n nn n n n nx C x C x C x C x C
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được:1 1
1 1 2 2 1 0
0 0
1 1 0 1 2 2 3 1 10 0
(1 ) ( ... )
1 1 1 1(1 ) | .... |
1 2 3 1
n n n n nn n n n n
n n nn n n n
x dx C x C x C x C x C dx
x C x C x C x C xn n
10 1 22 1 1 1 1
....1 2 3 1
nn
n n n nC C C Cn n
Vậy12 1
1
n
nTn
Nhận xét:−Khi xuất hiện dãy hệ số là: 1;2;3;…. Thì ta sẽ nghĩ ngay đến phương pháp sửdụng đạo hàm.
−Tương tụ với dãy hệ số 3 11 2; ; ;...;1 2 3 1
na aa a
n
thì ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân.
Trong đó 1; 2 3 1; ;...; na a a a là dãy hệ số phụ thuộc vào cách chọn các cận của tíchphân. Chính vì phương pháp tích phân còn có thêm bước lựa chọn cận nên cónhiều Bài phức tạp hơn so với phương pháp đạo hàm. Các bạn có thể tham khảonhiều hơn về phương pháp này ở chương “Tích phân”.
(*)Sử dụng số phức−Trong các bài tính toán biểu thức tổ hợp, đôi khi ta gặp những tình huống khá“quái dị”, khi mà sử dụng tất cả các phương pháp thông thường đều bất khả thi.Tuy nhiên,nếu ta biết ứng dụng các tính chất độc đáo cúa số phức thì lại có thểgiải quyết khá dễ dàng.Bài 8: Tính giá trị các biểu thức sau:a)
1 3 5 97 99100 100 100 100 100...S C C C C C
b)0 2 4 98 100
100 100 100 100 100...T C C C C C
Giải:Xét khai triển: 0 0 1 11 ...
n n nn n ni C i C i C i
313
Thay n=100 ta có:
100 0 0 1 1 2 2 3 3 99 99 100 100100 100 100 100 100 1001 ...i C i C i C i C i C i C i (1)
Tính vế trái của (1) ta được:
50100 2
2550 2
25 50
(1) (1 ) (1 )
(1 2 1) ( 2 )
( 4) 2
VT i i
i i
Tính vế phải của (1) ta được:
0 1 2 3 4 99 100100 100 100 100 100 100 100(1) ...VP C C i C C i C C i C
0 2 4 100 1 3 97 99100 100 100 100 100 100 100 100... ...C C C C C C C C i
Đồng nhất phần thực và phần ảo hai vế ta được:1 3 5 97 99100 100 100 100 100...S C C C C C =00 2 4 98 100
100 100 100 100 100...T C C C C C =502
Nhận xét: Với ý a) ta còn có thể sử dụng tính chất k n kn nC C để tính giá trị
1 99 3 97 49 50100 100 100 100 100 100( ) ( ) ... ( ) 0S C C C C C C
Nhưng ở ý b) hầu như không còn cách nào để giải quyết nữa ngoài ứng dụng sốphức.
IV. Một số quy tắc, công thức mở rộng1.Nhắc lại một số kí hiệu về tâp hợp
Tập A B gọi là “A hợp B”: là tập chứa tất cả các phần tử của A và của BTập A B gọi là “A giao B”: là tập chứa tất cả các phần tử vừa thuộc A vừa thuộcB.| |A gọi là “lức lượng của A” là số phần tử của tập A.Tập S\A (đọc là “S trừ A”, trong đó A là một tập con của S) là tập phần bù của Atrong S. Hay nói cách khác S\A là tập thỏa mãn: ( \ )S A A S và ( \ )S A A
2.Quy tắc công tổng quát.Bản chất toán học của quy tắc cộng (được nêu ở phần đầu của chuyên đề này) là
công thức tính số phần tử của hợp n tập hữu hạn đôi một không giao nhau. Cụ thểta có cách phát biểu lại như sau:Cho n tập hợp A1;A2;…;An đôi một không giao nhau. Khi đó
1 2 1 2| ... | | | | | ... | |n nA A A A A A Tuy nhiên trong quá trình làm toán , điều kiện “đôi một không giao nhau” khôngphải lúc nào cũng được thỏa mãn. Khi đó ta có quy tắc cộng cho số phần tử của ntập bất kì như sau:
314
1 21 1 1
11 2
| ... | | | | | | | ...
( 1) | ... |
n
n i i k i j ki k n i j k n
nn
A A A A A A A A A
A A A
Công thức trên có vẻ khá phức tạp và rắc rối. Tuy nhiên trong hầu hết các trườnghợp ta chỉ cần sử dụng với n=2 và n=3 như sau:
Với n=2: | | | | | | | |A B A B A B Với n=3:
| | | | | | | | | | | | | | | |A B C A B C A B B C C A A B C Quy tắc cộng tổng quát cũng có thể áp dụng trong toán xác suất.Bài 1: Có một chiếc máy bay có 2 động cơ. Biết xác suất bị hỏng của động cơ 1là 0,1 xác suất hoảng của động cơ 2 là 0,15 và 2 động cơ hoạt động độc lập.Tính xác suất: Có ít nhất một trong 2 động cơ bị hỏng.
Giải:Gọi biến cố động cơ 1 bị hỏng là B1
biến cố động cơ 2 bị hỏng là B2Ta có :
1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P B P B B P B P B P B B
1 2( ) ( ) ( )
0,1 0,15 0,015
0,235
P B P B P A
Vậy 0,235P B 3.Hoán vị có lặp
Hoán vị mà trong đó mỗi phần tử xuất hiện ít nhất một lần được gọi là hoán vịlặp.Số dãy hoán vị gồm các phần tử thuộc k loại, mà các phần tử loại (1 )i i k xuấthiện đúng in lần là:
1 21 2
1 2
... !; ;...;
! !... !k
kk
n n nP n n n
n n n
Bài 2: Một chiếc tàu đồ chơi được lắp ráp từ các bộ phận: Một đầu tàu màuđen, 5 toa tầu màu xanh, 3 toa tầu màu đỏ và 2 toa tàu màu vàng. Tính sốcách lắp ráp đoàn tàu biết đầu tàu luôn ở vị trí đầu tiên và các toa tàu cùngmàu thì giống hệt nhau.
Giải:Coi mỗi cách lắp tàu tương ứng với một hoán vị lặp. Trong đó toa xanh lặp 5
lần, toa đỏ lặp 3 lần, toa vàng lặp 2 lần. Khi đó số cách lắp tàu là:
315
(2 3 5)!2;3;5 2520
2!3!5!P
(2 3 5)!
2;3;5 25202!3!5!
P
Vậy số cách lắp tàu là 2520 cách.
4. Hoán vị vòng quanh.Khi gặp bài toán yêu cầu sắp xếp các đối tượng trên một bàn tròn ( tất cả các vị
trí đều có vai trò như nhau) thì ta thường phải chọn một đối tượng ( hay một nhómđối tượng ) làm mốc cố định để xác định vai trò của các vị trí còn lại.Bài 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh A1, A2,…, A6 vào một bàn trònvới 6 chiếc ghế.
Giải:Chọn vị trí của A1 làm mốc. Các bạn còn lại có lần lượt 5,4,3,2,1 cách chọn vị
trí. Như vậy số cách xếp 6 bạn vào một bàn tròn là: 5!=120 (cách)
V. Mô hình hóa bài toán.Trong nhiều trường hợp, nếu chỉ áp dụng các quy tắc thông thường thì việc giải
quyết bài toán là không dễ dàng và đôi khi phải xét rất nhiều trường hợp . Trongnhững trường hợp đó ta thường phải mô hình hóa bài toán thành một dạng khác dễgiải quyết hơn (những bài như vậy thường là ở mức độ khó hoặc rất khó)Bài 4:Cho n thùng gỗ giống nhau hoàn toàn được xếp theo từng chồng từ tráisang phải ( số lượng các chồng cũng như số thùng trong một chồng là tùy ýkhác 0). Tìm số cách xếp n hộp gỗ đó.
Giải:Ta kí hiệu các thùng gỗ như sau:+ Nếu thùng đó ở sát mặt đất thì ghi số 1+ Nếu thùng đó ở bên trên một thùng khác thì ghi số 0.
Viết liên tiếp các kí tự 0 và 1 đó trên một dòng theo thứ tự từ trái sang phải, từdưới lê trên ta được một dãy nhị phân(dãy gồm các số 0 và 1) xác định duy nhấtcách xếp n thùng gỗ đó. Để ý rằng kí tự đầu tiên luôn là 1 vì chắc chắn phải có 1thùng đầu tiên tiếp xúc với mặt đất. Như vậy ta chuyển bài toán về việc tìm số cácdãy nhị phân có độ dài n bắt đầu bằng chữ số 1 .
Kí tự đầu tiên có : 1 cách chọn (số 1)Mỗi kí tự tiêp theo có: 2 cách chọn( 0 hoặc 1).Như vậy có tất cả 12n dãy nhị phân như thế, cũng là 12n cách xếp thùng thỏa
mãn ycbt.
Nhận xét: Trong bài trên ta đã mô hình hóa bài toán ban đầu về một bài toán dễgiải quyết hơn, đây cũng chính là cái khó của bài toán.
316
C.Sử dụng các phương pháp để giải các Bài về tổ hợp−xác xuất:
Bài 1: Bạn Nam muốn mua một chiếc quần jean hoặc quần vải và một chiếcáo sơ mi trắng. Quần jean có 2 loại kích cỡ, quần vải có 3 loại kích cỡ và áotrắng có 3 loại kích cỡ. Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn mua một bộ quầnáo?
Phân tích: Ở bài này ta có ba đối tượng (hai loại quần và một loại áo) để lựa chọnnhưng ta lại chỉ phải chọn một chiếc áo và một chiếc quần thôi. Do đó ta phải thiếtkế các công đoạn của việc chọn quần áo như sau:Bước 1: chọn áoBước 2: chọn quần: có 2 loại quần.Sau khi thiết kế được các công đoạn ( ra nháp hoặc nhẩm trong đầu) thì ta bắt tayvào trình bày lời giải.
Giải:Bước 1: Chọn áo: có 3 cách chọnBước 2: Chọn quần :Quần jean có 2 kích cỡ, quần vải có 3 kích cỡTheo quy tắc cộng có tất cả: 2+3=5 cách chọn quầnTheo quy tắc nhân, số cách chọn một bộ quần áo là: 3.5=15 (cách)Vậy Nam có 15 cách chọn một bộ quần áo.Nhận xét: Đây là bài đầu tiên rất đơn giản để hình dung về việc thiết kế các côngđoạn trong một bài toán đếm.
Bài 2: Cho tập hợp A={2;4;5;7}. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ sốđôi một khác nhau từ tập hợp trên?
Giải:Số cách chọn chữ số hàng trăm là 4 cáchSố cách chọn chữ số hàng chục (khác chữ số hàng trăm) là 3 cáchSố cách chọn chữ số hàng đơn vị (khác chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục) là2 cách.Do đó có tổng cộng 2.3.4= 24 cách chọn, tương ưng với đó là 24 số có thể lập.Nhận xét:−Số các số có thể lập cũng là 3
4 24A trong đó 3 là số chữ số của số cần lập và 4 làlực lượng của tập A (hay |A|=4)−Quy tắc tính số chỉnh hợp cũng được chứng minh bằng quy tắc nhân như cách tađã làm ở trên.
Bài 3: Cho tập A={1:3;4;7;9}. Có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số đôimột phân biệt thỏa mãn: số đó lớn hơn 400 và nhỏ hơn 2000.
317
Nhận xét: Ở bài này ta phải chuyển điều kiện khoảng giá trị đề bài cho về điềukiện của các chữ số được lựa chọn ở mỗi bước.
Giải:Xét 2 trường hợp:TH1: Số có 3 chữ số:Bước 1 (B1): chọn chữ số hàng trăm: có 3 cách chọn {4;7;9}B2: chọn chữ số hàng chục: có 4 cách chọnB3: chọn chữ số hàng đơn vị: có 3 cách chọn.có tất cả 3.4.3= 36 cách chọnTH2: Số có 4 chữ số:B1: chọn chữ số hàng nghìn: có 1 cách chọn {1}B2:chọn 3 chữ số còn lại: có 3
4 24A cáchVậy số các số lập được thỏa mãn ycbt là 36+24=60 cách.
Bài 4: Biển số xe máy, nếu không kể mã vùng, là một dãy gồm có 6 kí tự,trong đó kí tự ở vị trí thứ nhất là một chữ cái trong bảng 24 chữ cái, ở vị tríthứ 2 là một chữ sô thuộc tập hợp {1;2;3;4;5;6;7;8;9}, ở bốn vị trí kế tiếp làbốn chữ cái chọn trong tập hợp {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Hỏi nếu không kể mã sôvùng thì có bao nhiêu cách lập một biển số xe máy?
Giải:Ta tiến hành lập biển số xe máy theo các bước sau:B1: chọn một chữ cái đầu tiên: có 24 cách chọnB2: chọn chữ số tiếp theo: có 9 cách chọnB3: chọn 4 chữ số cuối: có 410 10000 cách chọn.Như vậy, theo quy tắc nhân có tất cả : 24.9.10000=2160000 cách.
Bài 5: Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3?
Phân tích: −Trước hết ta cần nhớ lại rằng những số tự nhiên chia hết cho 3 lànhững số có tổng các chữ số chia hết cho 3.−Lại để ý rằng 1+2+4+5=12 chia hết cho 3. Trong khi đó 1,2,4,5 không chia hếtcho 3; 0 và 3 thì chia hết cho 3. Do đó các số thỏa mãn ycbt (có 5 chữ số đôi mộtkhác nhau và chia hết cho 3) chỉ có thể được tạo thành từ các bộ số {0;1;2;4;5}hoặc {1;2;3;4;5}
Giải:Dễ thấy rằng các số thỏa mãn ycbt (có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hếtcho 3) chỉ có thể được tạo thành từ các bộ số {0;1;2;4;5} hoặc {1;2;3;4;5}. Ta xét2 trường hợp:−TH1: tạo thành từ bộ số {0;1;2;4;5}:+ Chọn chữ số hàng chục nghìn: có 4 cách từ tập {1;2;4;5}+Chọn 4 chữ số càn lại: có 4P =4!= 24 cách chọn.
318
Như vậy trường hợp này có 4.24=96 số thỏa mãn
−TH2: tạo thành từ bộ số {1;2;3;4;5}. Có 5 5! 120P cách chọn.Do đó tổng cộng có 96+120=216 số thỏa mãn ycbt.
Bài 6: Từ các chữ số 1,2,5,6,8,9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ sốkhác nhau và nhỏ hơn 6868.Phân tích: Trong bài này các số 1, 2, 5, 6, 8, 9 khá đặc biệt, ở chỗ có đúng 3 sốchẵn {2;6;8} và 3 số lẻ {1;5;9} nên có thể nói khả năng xuất hiện của số chẵn vàsố lẻ là như nhau. Từ đó ta đi đến cách giải.
Giải:
Ta nhận thấy trong tất cả các số nhỏ hơn 7000 lập từ các số trên thì khả năngxuất hiện của các số chẵn bằng khả năng có mặt của các số lẻ.
Câu chuyện là có bao nhiêu số lập được nhỏ hơn 7000? Dễ thấy con số đólà: 3
54. 240 M A số.Và có bao nhiêu số chẵn không thoả mãn đề bài? Có 4 số là: 6868; 6892; 6912;
6918; 6928.
Do vậy ta kết luận là:2
M−4=116 số.
Nhận xét: bằng việc phát hiện tính “đối xứng” của các chữ số trong tập đề bài chota đã đi đến một cách giải độc đáo, giảm được tố đa việc phân chia trường hợpcũng như công sức tính toán.
Bài 7: Từ 1 chữ số 1; 2 chữ số 2; 3 chữ số 3; 4 chữ số 4; 5 chữ số 5, có thể lậpđược bao nhiêu số có 15 chữ số không chia hết cho 5?
Giải:Số các số tự nhiên có 15 chữ số gồm 1 chữ số 1; 2 chữ số 2; 3 chữ số 3; 4 chữ số 4;
5 chữ số 5 là:15
1 2 3 4 5. . . .
P
P P P P P (Số)
Số các số có 15 chữ số gồm 1 chữ số 1; 2 chữ số 2; 3 chữ số 3; 4 chữ số 4; 5 chữ số
5 và chia hết cho 5(có chữ số tận cùng là 5) là: 14
1 2 3 4 4. . . .
P
P P P P P(Số)
Vậy Số các số có 15 chữ số gồm 1 chữ số 1; 2 chữ số 2; 3 chữ số 3; 4 chữ số 4; 5chữ số 5 và không chia hết cho 5(có chữ số tận cùng không là 5) là:
15 14
1 2 3 4 5 1 2 3 4 4. . . . . . . .
P P
P P P P P P P P P P = 25225200 (số)
319
Bài 8: Từ các số tự nhiên 0,1,2,5,7,8,9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữsố khác nhau sao cho mỗi số lập được luôn có mặt chữ số 9 và có tổng các chữsố là một số chẵn.
Giải:Trong các số 0, 1, 2, 5, 7, 8, 9 ta có:− Các chữ số chẵn: 0, 2, 8− Các chữ số lẻ: 1, 5, 7, 9Vì số lập được là số có 4 chữ số, luôn có mặt chữ số 9 nên ta cần tìm 3 số còn lạiđể ghép cùng số 9 sao cho: tổng 3 số đó là lẻSuy ra 3 số đó là 3 số lẻ hoặc có 2 số chẵn và 1 số lẻ.TH1: Cả 3 số đều lẻTa có 3
3 1C cách chọn 3 chữ số lẻ.Từ mỗi bộ 4 chữ số khác 0 ta đều có 4! cách sắp xếp thứ tự cũng là 4! số lập được.Suy ra lập được: 1.4!=24 số.TH2: Có 2 số chẵn và 1 số lẻ.Ta có 1
3 3C cách chọn 1 chữ số lẻ và23 3C cách chọn 2 chữ số chẵn
Suy ra ta có 3.3.4!=216 sốNhưng khi số 0 đứng đầu thì trong các số lập được ở trên sẽ có những số có 3 chữsố.− Khi số 0 đứng đầu thì ta có 1
3 3C cách chọn 1 chữ số lẻ và 12 2C cách chọn 1
chữ số chẵn còn lại.Do đó ta phải trừ đi 1 lượng là: 3.2.3!=36 số.Vậy trong trường hợp này chúng ta có 216−36=180 số.Kết hợp 2 TH trên ta suy ra số các số lập được là: 24+180=204 số
Bài 9: Một hộp bi có 5 bi đỏ, 3 bi vàng và 4 bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấyra 4 viên bi trong đó số bi đỏ lấy ra nhiều hơn số bi vàng.
Phân tích: Bài toán này yêu cầu chọn 4 bi sao cho số bi đỏ nhiều hơn số bi vàngnên ta có các ý tưởng sau đây:Số bi vàng trong 4 bi lấy ra chỉ có thểlà 0 viên, 1 viên. Thật vậy vì khi bi vàng là 2 viên thì rõ ràng số bi đỏ cũng sẽ cónhiều nhất là 2 viên nên không thỏa bài toán.
Giải:Xét 2 trường hợp:TH1: Có 0 viên bi vàng: ta chỉ cần chọn ra 4 trong 9 viên bi đỏ và xanh trong đó cóít nhất một viên bi đỏ.Số cách chọn 4 trong 9 viên bi đỏ và xanh là:
49 126C cách.
Số cách chọn 4 viên bi toàn màu xanh là:44 1C cách.
320
⇒ số cách chọn ra 4 trong 9 viên bi đỏ và xanh trong đó có ít nhất một viên bi đỏlà : 126−1=125 cách.TH2: có 1 viên bi vàng: có 3 cách chọn 1 viên bi vàng. Ba viên bi còn lại ta chọnnhư sau:− Nếu có 2 viên đỏ và 1 viên xanh: có 1 2
4 5. 40C C cách chọn.− Nếu cả 3 viên là đỏ: có 3
5 10C cách chọn.⇒ Trong trường hợp 2 có tất cả: 3.(40+10)=150 cách chọn.Vậy tổng cộng số cách chọn thỏa mãn ycbt là: 125+150=275 cách.
Bài 10:Một lớp học có 21 học sinh, trong đó có 15 nam và 6 nữ. Người tamuốn chia lớp học đó thành 3 tổ sao cho mỗi tổ có đúng 5 nam và 2 nữ. Hỏi cómấy cách chia?
Giải:Chọn học sinh xếp vào tổ 1 có: 5 2
15 6. 45045C C cách.
Chọn học sinh xếp vào tổ 2 có: 5 210 4. 1512C C cách.
Những học sinh còn lại xếp vào tổ 3 có: 1 cách.Vậy có: 45045.1512=68108040 cách.
Bài 11: Một nhóm học sinh gồm 6 bạn nữ và 4 bạn nam. Có bao nhi êu cáchchọn ra một nhóm 3 bạn làm nhiệm vụ trực nhật thỏa mãn các yêu cầu sau:Nhóm có cả nam lẫn nữ.Nhóm có một tổ trưởng và 2 tổ viênNhóm có cả nam lẫn nữ, có 1 tổ trưởng và 2 tổ viên, đồng thời bạn Vinh (lànam) là học sinh cá biệt không đủ tiêu chuẩn được chọn làm tổ trưởng.
Giải:a)−Số cách chọn một nhóm 3 bạn bất kì là: 3
10 120C cách
−Số cách chọn một nhóm 3 bạn nam là:34 4C cách
−Số cách chọn một nhóm 3 bạn nữ là: 36 20C cách⇒ Số cách chọn một nhóm có cả nam lẫn nữ là: 120−4−20=96 cách
b) Có 2 bước chọn:B1: Chọn 1 tổ trưởng: có 10 cáchB2: Chọn 2 tổ viên: có 2
9 36C cáchSố cách chọn một nhóm thỏa mãn ycbt là: 10.36=360 cách.c) Xét 2 trường hợp:TH1: Tổ trưởng là nam:B1: chọn 1 tổ trưởng là nam: có 3 cách chọn (ngoại trừ bạn Vinh)B2:chọn 2 bạn còn lại trong đó có ít nhất một bạn nữ:+Số cách chọn 2 bạn bất kì trong 9 bạn là 2
9 36C cách.
321
+Số cách chọn 2 bạn nam trong 3 bạn nam còn lại là 23 3C cách.⇒ số cách chọn 2 tổ viên có ít nhất 1 bạn nữ là: 36 −3=33 cách.⇒ Có 3.33=99 cách chọn nhóm trong trường hợp này.
TH2: Tổ trưởng là nữ:B1: chọn 1 tổ trưởng nữ:có 6 cách chọn.B2:chọn 2 bạn còn lại trong đó có ít nhất một bạn nam:+Số cách chọn 2 bạn bất kì trong 9 bạn là 2
9 36C cách.
+ Số cách chọn 2 bạn nữ trong 5 bạn nữ còn lại là 25 10C cách.⇒số cách chọn 2 tổ viên có ít nhất một bạn nam là: 36−10=26 cách.⇒ có 6.26=156 cách chọn nhóm trong trường hợp này.
Như vậy có tổng cộng 99+156=255 cách chọn nhóm thỏa mãn yêu cầu bài toán.Nhận xét: Bài toán trên ta sử dụng nhiều đến phương pháp tính phần bù.
Bài 12: Cho một nhóm học sinh gồm 5 bạn nam và 4 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêucách sắp xếp các học sinh này trên một ghế dài sao cho các bạn nam phải ngồiliền nhau?Phân tích: việc dùng quy tắc nhân thông thường trong trường hợp này là khôngphù hợp do sô bước chọn cũng như số trường hợp là khá lớn, do đó ta phải tìmcách mô hình hóa lại bài toán. Dễ thấy khi các bạn nam ngồi liên tiếp nhau thì sẽtạo thành một nhóm bất di bất dịch. Do đó ta sẽ coi nhóm đó như một bạn học sinh“ảo” để sắp xếp.
Giải:Coi nhóm 5 bạn nam là một bạn học sinh “ảo” thì số cách sắp xếp các học sinh ( 4bạn nữ và 1 bạn “ảo”) là: 5 120P cách.Mặt khác trong nhóm 5 bạn nam lại có 5!=120 cách sắp xếp các bạn nữa.theo quy tắc nhân thì số cách sắp xếp các bạn học sinh là: 120.120= 14400 cách.Nhận xét: Ở Bài trên ta đã làm quen với một cách mô hình hóa trong bài toán đếmsố cách sắp xếp một nhóm đối tượng. Tiếp theo ta sẽ xem xét một bài toán khácvới cách mô hình hóa khác.
Bài 13: Cho một nhóm học sinh gồm 7 bạn nam và 12 bạn nữ. Hỏi có baonhiêu cách sắp xếp các học sinh này trên một bàn dài sao cho không có 2 bạnnam nào ngồi cạnh nhau?
Phân tích: trái ngược với bài trước là “gộp vào”, bài này lại yêu cầu ta phải táchcác bạn nam riêng rẽ. Trước hết ta chú ý rằng không có 2 bạn nam nào ngồi cạnhnhau khi và chỉ khi giữa 2 bạn nam bất kì luôn có ít nhất một bạn nữ, hay nói cáchkhác, trong một khoảng giữa 2 bạn nữ liên tiếp hoặc giữa bạn nữ ở ngoài cùng vớiđầu bàn không có nhiều hơn 1 bạn nam. Từ đó ta đi đến cách giải của bài toán.
Giải:
322
Dễ thấy 12 bạn nữ chia chiếc bàn dài ra làm 13 khoảng kh ác nhau và có 2 bạn namngồi cạnh nhau khi và chỉ khi có 2 bạn nam cùng ngồi trong một khoảng đó. Do đóđể thỏa mãn ycbt thì mỗi khoảng chỉ được chứa không nhiều hơn 1 bạn nam . Taxếp các bạn học sinh vào bàn theo các bước sau:B1: Xếp 12 bạn nữ vào bàn . Có 12 479001600P cách
B2: Xếp 7 bạn nam vào 13 khoảng một cách có thứ tự: có 713 8648640A cách.
Số cách xếp thỏa mãn ycbt là : 7 1512 13. 4,14.10P A cách.
Bài 14: Cho một nhóm học sinh gồm 7 bạn nam và 12 bạn nữ. Hỏi có b aonhiêu cách sắp xếp các học sinh này trên một bàn tròn sao cho không có 2 bạnnam nào ngồi cạnh nhau?
Phân tích: bài này thoạn nhìn không khác gì Bài 8 cả, nhưng có một sự khác biệtđó là “ bàn dài” đã được thay bằng “ bàn tròn” . Thay đổi này đã dẫn đến một sốthay đổi cơ bản sau:+ 12 bạn nữ chỉ chia chiếc bàn tròn ra làm 12 khoảng phân biệt.+ Số cách hoán vị 12 bạn nữ phải tính theo công thức tính hoán vị vòng quanh .
Giải:Ta xếp các bạn học sinh vào bàn theo các bước:B1: Xếp 12 bạn nữ vào bàn tròn: có 11 39916800P cách xếp.
B2: Xếp 7 bạn nam vào 12 khoảng một cách có thứ tự: có 712 3991680A cách.⇒ Số cách xếp thỏa mãn ycbt là : 7 14
11 12. 1,59.10P A cách.
Nhận xét: bài này đã sử dụng đến kiến thức về hoán vị vòng. Ta tiếp tục xét mộtbài toán phức tạp hơn dưới đây:Bài 15: Cho một nhóm học sinh gồm 7 bạn nam và 12 bạn nữ. Hỏi có baonhiêu cách sắp xếp các học sinh này trên một bàn tròn sao cho không có nhóm3 bạn nữ nào ngồi liên tiếp nhau?Phân tích: ở 2 bài trước đề bài nói đến các bạn nam và ta dùng các bạn nữ để tạocác khoảng phân biệt, đến bài này khi đề bài nói tới các bạn nữ thì ý tưởng tựnhiên sẽ là đảo ngược lại. Dễ thấy 7 bạn nam xếp trên một bàn tròn sẽ tạo ra 7khoảng phân biệt. Ta sẽ phân chia trường hợp để giải quyết bài toán này.
Giải:Ta xét 2 trường hợp:TH1: Có 2 bạn nam ngồi sát cạnh nhau⇒ giữa các bạn nam chỉ còn 6 khoảngtrống ⇒ mỗi khoảng trống phải có đúng 2 bạn nữ.Trong tường hợp này ta sẽ xếp các học sinh qua 2 bước:B1: Xếp các học sinh nam: có 7 7 !P cách xếp. (ta không sử dụng công thức hoánvị vòng quanh là do các vị trí để xếp các bạn nam không có vai trò bình đẳng nữa)
323
TH2: Không có 2 bạn nam nào ngồi cạnh nhau ⇒ trong 7 khoảng trống giữa cácbạn nam thì 5 khoảng là có 2 bạn nữ ngồi, 2 khoảng là có 1 bạn ngồi. Ta tiến hànhxếp học sinh theo các bước:B1: Xếp các bạn nam vào bàn tròn: có 6! cách xếp.B2: Chọn ra 2 khoảng của các bạn nữ ngồi một mình: có 2
7 21C cách chọn. Cáckhoảng còn lại sẽ có 2 bạn nữ ngồi.B3: Hoán đổi vị trí của các bạn nữ với nhau: có 12 12!P cách hoán đổi.Trong trường hợp này thì có: 21.6!12! cách xếp.⇒ Số cách xếp học sinh tổng cộng là:
127!12! 21.6!12! 9,66.10 (cách)
Bài 16: Một lớp học có 24 học sinh giỏi toán, 12 học sinh giỏi văn, 7 học sinhgiỏi cả toán lẫn văn và 10 học sinh không giỏi toán cũng như không giỏi văn.Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh.
Phân tích: Ở bài này ta thấy xuất hiện những học sinh “giỏi cả toán lẫn văn”, dođó điều kiện “phân biệt” của quy tắc cộng thông thường không còn đúng nữa. Dođó ta phải sử dụng công thức cộng tổng quát.Trong các bài toán sử dụng công thức cộng tổng quát thì điề quan trọng nhất làphải xác định được các tập hợp cơ bản, sau đó là xác định các tập hợp khác theoquan hệ giữa các tập hợp cơ bản đó. Từ đó sẽ biết cách sử dụng công thức cộngtổng quát một cách hiệu quả.
Giải:Gọi tập hợp các học sinh giỏi toán là Atập hợp các học sinh giỏi văn là Btập hợp các học sinh của lớp đó là SKhi đó:
Hình tròn là các bạn namHình vuông là các bạn nữ
B2: Xếp các học sinh nữ: có
12 12!P cách hoán vị các bạnnữ.⇒ Trong trường hợp này thì sốcách xếp các học sinh là: 7!12!
324
−Tập hợp các học sinh giỏi cả toán lẫn văn là A B−Tập hợp các học sinh không giỏi toán cũng như văn là \S A B
Theo công thức cộng tổng quát thì A B A B A B = 24+12−7=29
Lại có \ ( )S S A B A B Số học sinh cả lớp là: |S|= 10+29=39 (học sinh)
Bài 17: Một lớp học có 27 học sinh giỏi toán, 13 học sinh giỏi văn và 10 họcsinh không giỏi toán cũng như không giỏi văn. Biết lớp đó có tất cả 45 họcsinh. Hỏi có bao nhiêu bạn giỏi cả toán lẫn văn?
Giải:Gọi tập hợp các học sinh giỏi toán là Atập hợp các học sinh giỏi văn là Btập hợp các học sinh của lớp đó là SKhi đó:−Tập hợp các học sinh giỏi cả toán lẫn văn là A B−Tập hợp các học sinh không giỏi toán cũng như văn là \S A BTa có:| | | \ ( ) | | |
| \ ( ) | | | | | | |
| | | \ ( ) | | | | | | |
| | 10 27 13 45 5
S S A B A B
S A B A B A B
A B S A B A B S
A B
Như vậy số học sinh giỏi cả toán lẫn văn là 5 em.
Bài 18: (Bài toán chia kẹo Euler)Có n chiếc kẹo đem chia cho m người sao cho mỗi người nhận được một sốnguyên không âm các chiếc kẹo. Tìm số cách chia kẹo.Phân tích: đây là một bài toán khá nổi tiếng, có nhiều ứng dụng trong các bàiđếm. Vấn đề chính khi giải bài này chỉ là phải tìm được cách mô hình hóa bài toánphù hợp.
Giải:Xét một dãy gồm n chấm và m−1 vách ngăn được sắp xếp thứ tự trên một đườngthẳng:
.. | . | .. || . | ... | ... | .....Ví dụ về dãy gồm 17 chấm và 7 vách ngănDễ thấy m − 1 vách ngăn sẽ tạo ra m khoảng riêng biệt. Coi số chấm trong ngăn thứk là số kẹo mà người thứ k nhận được.Số các dãy lập được là số các cách chia kẹo thỏa mãn yêu cầu bài toán.
325
Để lập được một dãy thứ tự trên ta chỉ cần chọn ra trong n + m − 1 vị trí trên đườngthẳng lấy m − 1 vị trí để đặt các vách ngăn (n vị trí còn lại ta đặt các chấm).
Số các dãy lập được là số cách chọn đó và bằng 11
mn mC
Vậy số cách chia kẹo là 11
mn mC .
Nhận xét:+ Bằng cách mô hình hóa bài toán một cách khôn ngoan, ta đã có thể giải quyếtvấn đề một cách khá dễ dàng.+ Bản chất thật sự của bài toán chia kẹo Euler là tìm số các bộ nghiệm nguyên
không âm 1 2 3( ; ; ;...; )mk k k k của phương trình:
1 2 3 ... mk k k k n Thật vậy, gọi k1 là số kẹo mà người thứ nhất được chia; k2 là số kẹo mà người thứ2 được chia,…,kn là số kẹo mà người thứ n được chia.⇒ Trong các bài toán phát biểu dưới dạng khác nhưng nếu có thể đưa về dạng tìmsố nghiệm của phương trình như trên thì ta có thể nghĩ đến việc tìm sử dụng bàitoán chia kẹo Euler.
Bài 19: Tìm số các tập hợp con (kể cả tập rỗng) của một tập hợp có n phần tử.
Giải:Theo định nghĩa về tổ hợp chập k của tập có n phần tử thì số tập con có k phần tửcủa một tập hợp có n phần tử là k
nC .Như vậy, tổng số tập con của một tập có n phần tử là:
1 2
0
... (1 1) 2n
n k n nn n n n
k
C C C C
Bài 20: Trong một hộp đựng 20 viên bi trong đó có 12 viên bi đỏ khác nhau và8 viên bi xanh khác nhau.Lấy ngẫu nhiên ra 7 viên bi. Tính xác suất để 7 viênbi được chọn ra không quá 2 viên bi đỏ
Giải:Số cách lấy ra tuỳ ý 7 viên bi trong 20 viên bi đã cho là: | Ω|= 7
20 77520C .Để chọn ra không quá 2 viên bi đỏ từ 7 viên lấy ra là:
− Lấy ra được 0 viên bi đỏ, 7 viên bi xanh: 78 8C (cách).
− Lấy ra được 1 viên bi đỏ, 6 viên bi xanh:1 612 8. 336C C (cách).
− Lấy ra được 2 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh: 2 512 8. 3696C C (cách).
Vậy xác suất để 7 viên bi chọn ra không quá 2 viên bi đỏ là:8 336 3696 101
77520 1938
326
Bài 21 :Cho tập E={1;2;3;4;5}. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ tập T làtập các số có ba chữ số đôi một khác nhau thuộc E. Tìm số phần tử của tập Tvà tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5.
Phân tích: Đề bài có nhắc đến chọn các số ngẫu nhiên từ tập T nhưng ta khôngnên ngộ nhận rằng T chính là không gian mẫu, bởi vì thực chất phép thử là chọn 2số chứ không phải 1..
Giải:Số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E là |T|= 3
5 60A .
Số cách chọn hai số tự nhiên để viết lên bảng là |Ω|= 260C =1770.
Trong 60 số thì số các số không có măt chữ số 5 là34A =24 và số các số có mặt
chữ số 5 là 60−24=36. Do đó, số cách chọn hai số để được đúng một số có chữ số5 là |A|=24.36=864 (bước 1: chọn số không có chữ số 5; bước 2 chọn số có chữ số5)Từ đó, xác suất cần tìm là:
| | 144
|)
2 5(
| 9
AP A
Bài 22 :Cho 8 quả cân có trọng lượng lần lượt là: 1,2,3,4,5,6,7,8(kg). Chọnngẫu nhiên 3 quả trong số đó. Tính xác xuất để trọng lượng 3 quả không nhỏhơn 10kg.Phân tích: Việc xác định không gian mẫu ở bài này là không mấy khó khăn. Tuynhiên việc xác định số phần tử của tập có lợi thì không phải dễ dàng, cách đơngiản nhất là ta sẽ sử dụng phần bù và liệt kê để tính.
Giải:Chọn ba quả cân có: |Ω|= 3
8 56C cáchChọn ba quả cân có tổng trọng lượng nhỏ hơn hoặc bằng 9,có các trường họp sauTH1: Trong các quả được lấy ra không có quả cân trọng lượng 1kg.Ta có 2+3+4=9 là tổng trọng lượng nhỏ nhất có thể. Do đó trong trường hợp nàychỉ có đúng 1 cách chọn.TH2: Trong các quả được lấy ra có quả cân trọng lượng 1kg. Khi đó ta có1 2 3 6; 1 2 4 7; 1 2 5 8 ; 1 2 6 9; 1 3 4 8; 1 3 5 9 trườnghợp này ta có 6 cách chọn.Vậy số cách chọn thỏa mãn ycbt là 56 1 6 49 .Xác suất cần tính là:49 7
56 8
327
Bài 23 :Gieo 3 con xúc sắc, kết quả là một bộ thứ thự (x,y,z); với x,y,z lần lượtlà số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc sắc. Tính xác suất để x+y+z<16.
Phân tích: Để ý rằng 3.6=18 là giá trị tối đa của tổng x+y+z. 18 không lớn hơn 16là bao nhiêu nên để tiết kiệm công sức tính toán, ta sử dụng phương pháp tínhphần bù.
Giải:Số các bộ thứ tự (x;y;z) với x;y;z là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ hơnhoặc bằng 6 là: |Ω|= 36 216 .Xét các bộ thứ tự (x;y;z) có tổng 16x y z . Ta có:16 = 5+5+6 = 5+6+5 = 6+5+5 = 6+6+4 = 6+4+6 = 4+6+617 = 5+6+6 = 6+5+6 = 6+6+518 = 6+6+6Như vậy tổng cộng ta có 10 bộ (x;y;z) thỏa mãn 16x y z .Số bộ (x;y;z) thỏa mãn x+y+z<16 là: 216−10=206
Xác suất cần tính là:206 103
216 108P
Bài 24 :Viết 6 chữ số 0,1,2,3,4,5 lên 6 mảnh bìa như nhau. Rút ngẫu nhiên ra 3tấm bìa và xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang.Tìm xác suất sao cho 3 tấmbìa đó xếp thành số có 3 chữ số.Phân tích: Như mọi bài trước, để thành lập một số ta sẽ dùng chỉn h hợp. Tuy nhiênở đây, những trường hợp “không tạo thành số có 3 chữ số” là khi chữ số hàngtrăm là số 0. Ta sẽ dùng phương pháp tính phần bù để tính số cách xếp tạo thànhsố có 3 chữ số
Giải:Số cách chọn 3 tấm bìa trong 6 tấm bìa và xếp thành một hàng ngang
là: |Ω|=36A =120
Số cách xếp 3 tấm bìa để không được số có 3 chữ số (vị trí đầu tiên là chữ số 0)
là:25A
Số cách xếp 3 tấm bìa để tạo được số có 3 chữ số là : 3 26 5 100A A
Từ đó, xác suất cần tính là:100 5
120 6P
Bài 25 :Trong đợt tập quân sự, Tiểu đội 1 thuộc Trung đội 11A7 có 15 chiến sĩgồm 9 nam, 6 nữ. Theo lệnh của Trung đội trưởng, Tiểu đội 1 chạy từ chỗnghỉ ra bãi tập và xếp ngẫu nhiên thành một hàng dọc. Tính s ác xuất để ngườiđứng đầu và cuối hang là nữ.
328
Giải:Số cách Xếp 15 người thành một hàng dọc là: 15P =15!
⇒|Ω|=15!
Số cách xếp hai nữ vào hai vị trí đầu và cuối là: 26A =30
Số cách xếp 13 h/s còn lại là: 13P =13!
⇒ Số cách xếp 15 người thành hàng dọc sao cho người đứng đầu và cuối đều là nữlà:
26 9.A P =30.13!
Gọi A là biến cố xếp 15 người thành hàng dọc sao cho người đứng đầu và cuối đềulà nữ⇒|A|=30.13!
⇒30.13! 1
| |( )
| | 15! 7
AP A
Bài 26 :Một lớp học có 30 học sinh gồm 12 nam, 18 nữ trong đó có namsinh X. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh đi giao lưu. Tính xác suất để 4 học sinhđược chọn có đủ nam nữ và X không được chọn.
Giải:Số cách chọn 4 h/s trong 30 h/s là :|Ω|= 4
30 27405C
Số cách chọn 4 h/s không có nam X là: 429 23751C
Số cách chọn 4 h/s không có nam là: 418 3060C
Số cách chọn 4 h/s không có nữ và nam X là: 411 330C
Gọi A là biến cố có đủ nam, nữ và không có nam X⇒|A|=23751−3060−330=20316
⇒| | 20361 6787
| | 27( )
405 9135
AP A
Bài 27 : Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30, chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tínhxác xuất có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có ít nhấtmột tấm mang số chia hết cho 10.
Giải:Chọn 10 tấm thẻ bất kỳ có: 10
30C cách
Chọn 5 tấm thẻ mang số lẻ có: 515C cách.
Chọn 5 tấm thẻ mang số chẵn có:515C cách.
Chọn 5 tấm thẻ mang số chẵn và không có thẻ mang số chia hết cho 10
329
có: 512C cách
⇒ Chọn 10 tấm thẻ đúng yêu cầu có:515C (
515C −
512C ) cách.
Gọi A là biến cố: “10 tấm thẻ đúng yêu cầu”.
⇒ 5 5 515 15 12
1030
( ) P
C CA
C
C =
737
3335
Bài 28 :Từ một bộ bại tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng lúc 3 con. Tínhxác suất của biến cố B: “Cả 3 con ghi số khác nhau đều thuộc tập {2,3,...,10}”
Giải:Để lấy 3 quân trong 52 quân bài có |Ω|=
352C =22100 cách.
Có 36 quân bài gồm 9 bộ tứ quý có số thuộc tập trên.Gs 3 quân lấy ra là a, b, c. Lúc đó a có 36 khả năng, b có 32 khả năng, và c có 28khả năng.⇒ có 36.32.28 bộ (a;b;c)Mặt khác (a,b,c) là bộ sắp thứ tự trong khi đề bài yêu cầu r út cùng lúc.⇒Mỗi cách đếm kể trên bị lặp 3 3!P lần.⇒ Số cách rút ngẫu nhiên cùng lúc 3 con bài thỏa mãn ycbt là:
36.32.285376
3!B
Vậy 5376 1344
22100 5525P B
Bài 29 :Có 2 lồng chuột thí nghiệm. Lồng thứ nhất có 10 chuột đực, 15 chuộtcái; lồng thứ hai có 8 chuột đực, 7 chuột cái. Bắt 1 con từ lồng thứ nhất sanglồng thứ hai, sau đó bắt 1 con từ lồng thứ hai.a. Tính Xác suất để con bắt từ lồng thứ hai là chuột đực.b. Biết con bắt ra từ lồng thứ hai là chuột đực . Tính xác suất để con chuột nàylà con chuột được bắt ra từ lồng thứ nhất.
Giải:Số cách bắt 1 con chuột từ lồng 1 sang lồng 2 là: 25 cách.Ứng với mỗi cách đó có số cách bắt 1 chuột từ lồng 2 sang lồng 1 là: 16 cách.⇒|Ω|=25.16=400 .Nếu chuột từ lồng 1 sang lồng 2 là đực thí số cách bắt chuột đực từ lồng hailà: 10.9=90 cách.Nếu chuột từ lồng 1 sang lồng 2 là cái thí số cách bắt chuột đực từ lồng hailà: 15.8=120 cách.Gọi A là biến cố chuột bắt từ lồng hai là đực ⇒|A|=90+120=210
330
⇒| |
( )| |
21
40
AP A
b, Gọi B là biến cố chuột bắt từ lồng hai là chuột đực của lồng 1, thì số kết quảthuận lợi cho B là: 10.1=10 (là số cách bắt được 1 chuột đực từ lồng 1 tương ứngvới 1 cách duy nhất bắt được từ lồng 2)
⇒|B|=10⇒| |
( )| |
1
21
BP B
A
Bài 30 :Một hộp có 10 quả bóng bàn, trong đó có 6 quả mới và 4 quả cũ. Hômqua, nhóm tập lấy ra 3 quả để chơi, sau đó lại để lại vào hộp. Hôm nay nhómtập lại lấy ra 3 quả để chơi. Tìm xác suất để 3 quả lấy ra hôm nay đều mới(Gọi là biến cố A).(Một quả được gọ i là mới khi nó chưa được chơi lần nào)Phân tích: Có thể thấy số cách chọn được bóng mới của ngày hôm nay phụ thuộcvào cách chọn bóng của ngày hôm qua. Việc mà ta cần làm là xác định mối quanhệ phụ thuộc đó thông qua việc đặt ẩn k là số bóng mới mà ngà y hôm qua lấyđược.
Giải:Gọi hôm qua là ngày 1, hôm nay là ngày 2.Ta có thể sử dụng quy tắc đếm để tính xác suất bằng định nghĩa như sau:Số cách lấy 3 bóng ngày 1 là: 3
10C cách.
Ứng với mỗi cách lấy 1 có 310C cách lấy ở ngày 2.
⇒ Số cách lấy trong hai lần là: |Ω|=310C .
310C =14400
Nếu ngày hôm trước lấy được k 0 3k quả mới thì:
Ngày 1: số cách lấy k quả mới và (3−k) quả cũ là:3
6 4.k kC C cách
Ngày 2: số cách lấy được 3 quả mới là: 36 kC cách
⇒ qua 2 ngày, số cách để lần 2 lấy được 3 quả mới là:
3 3
6 4 6 2
6! 4! (6 )! 2880. . . .
!(6 )! (3 )!( 1)! 3!(3 )! !( 1)! (3 )!k k
k
kC C C
k k k k k k k k
Thay
k lần lượt bởi 0;1;2;3 ta có:
2 2
1 1 1 12880. 700
1.1.(3!) 1.2!(2!) 2!3! 3!4!A
Vậy xác suất cần tính là:700 7
14400 144P
Bài 31 : Có 11 chiếc kẹo và 8 em bé trong đó có em bé X. Các em bé được chiakẹo một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để em bé X không được chia chiếc kẹo
331
nào.
Phân tích: Nói đến chia kẹo ta liên tưởng đến bài toán chia kẹo Euler và thật sự thìbài này được giải dựa vào bài toán đó.
Giải:Số cách chia 11 chiếc kẹo cho 8 em bé là: 8 1 7
11 8 1 18C C .
Nếu em bé X không được chia chiếc kẹo nào thì nghĩa là 11 chiếc kẹo chỉ phải chiacho 7 bé còn lại.Số cách chia 11 chiếc kẹo cho 7 em là: 7 1 6
11 7 1 17C C
Như vậy xác suất để X không được chiếc kẹo nào là:617718
7
18
CP
C
Bài 32 : Một chiếc ô tô với hai động cơ đều đang gặp trục trặc kĩ thuật. Xácsuất để động cơ 1 bị hỏng giữa đường vận chuyển là 0,5; xác suất để động cơ 2bị hỏng là 0,4. Biết rằng xe chỉ không thể chạy nữa khi cả 2 động cơ đều hỏng.Tìm xác suất để xe tải đến được đích.
Giải:Xác suất để xe tải phải dừng lại giữa chừng là 0,5.0,4=0,2⇒ xác suất để xe đến được đích là 1−0,2= 0,8.
Bài 33 : Nam tung một đồng xu cân đối 5 lần liên tiếp. Tính xác suất xảy racủa các trường hợp sau:Cả 5 lần đồng xu đều sấpBa lần đầu đồng xu sấp, hai lần sau thì ngửaTrong 5 lần thì có hai lần đồng xu sấp, ba lần đồng xu ngửa.
Phân tích: có thể thấy bài này có thể giải được bằng cả 2 phương pháp: dùng địnhnghĩa và dùng các quy luật xác suất. Ta sẽ giải bài này theo phương pháp thứ 2.
Giải:Vì đồng xu là cân đối nên xác suất sấp − ngửa của mỗi lần tung là như nhau vàbằng 0,5.
a)Xác suất để 5 lần tung đồng xu đều sấp là50,5 0,03125
b) Xác suất để ba lần đầu đồng xu sấp và hai lần sau đồng xu ngửa là:3 20,5 .0,5 0.03125
c) Số cách chọn ra 2 lần đồng xu sấp là:25 10C
Với mỗi cách chọn đó ta lại có xác suất để hai lần đồng xu sấp, ba lần đồng xu
ngửa là 3 20,5 .0,5⇒ xác suất để hai lần đồng xu sấp, ba lần đồng xu ngửa là:
332
2 3 25 .0,5 .0,5 10.0,03125 0,3125C
Nhận xét: Kết hợp với sử dụng nguyên tắc nhân ta còn phải tính đến thứ tự các lầnxảy ra của các biến cố đơn lẻ nữa. Thực ra khi đó ta đã sử dụng đến nguyên tắccộng.
Bài 34 : Cho một đồng xu không cân đối. Biết xác suất trong một lần tungđồng xu sấp là 0,35. tính xác suất đồng xu gieo 5 lần liên tiếp mà có 4 lần ngửavà 1 lần sấp.
Giải:Số cách chọn ra một lần đồng xu này sấp là 1
5 5C lần.Với mỗi cách chọn đó ta lại có xác suất để 4 lần đồng xu ngửa và 1 lần sấp là :
4 41 0,35 .0,35 0,65 .0,35 ⇒ xác suất cần tính là
4 15
1999270,65 .0,35.
16000000C
Bài 35 : Đạt và Phong tham gia chơi một trò chơi đối kháng, thỏa thuận rằngai thắng 5 ván trước là thắng chung cuộc và được hưởng toàn bộ số tiềnthưởng của chương trình (không có ván nào hòa). Tuy nhiên khi Đạt thắngđược 4 ván và Phong thắng được 2 ván rồi thì xảy ra sự cố kĩ thuật và chươngtrình buộc phải dừng lại. Biết rằng giới chuyên môn đánh giá Phong và Đạtngang tài ngang sức. Hỏi phải chia số tiền thưởng như thế nào là hợp lí (dựatrên quan điểm tiền thưởng tỉ lệ thuận với xác suất thắng cuộc của mỗingười).
Phân tích: đề bài cho các điều kiện khá dài dòng, ta cần đưa chúng về dạng ngắngọn dễ hiểu hơn.+)“Biết rằng giới chuyên môn đánh giá Phong và Đạt ngang tài ngang sức”: xácsuất để Phông và Đạt thắng trong một ván là như nhau và bằng 0,5.+)” khi Đạt thắng được 4 ván và Phong thắng được 2 ván rồi”: nghĩa là Đạt chỉcần thắng 1 ván nữa là được 5 ván, còn Phong phải thắng 3 ván nữa mới đạt được.
Giải:Để xác định xác suất thắng chung cuộc của Đạt và Phong ta tiếp tục chơi thêm cácván “giả tưởng”. Để Phong có thể thắng chung cuộc thì anh phải thắng Đạt 3 vánliên tiếp (vì Đạt chỉ còn 1 ván nữa là thắng). Như vậy xác suất thắng cuộc của
Phong là: P(P)= 3 10,5
8 .⇒ xác suất thắng cuộc của Đạt là P(Đ)=
1 71
8 8
333
⇒ tỉ lệ chia tiền phù hợp là:7 1
: 7 :18 8
Bài 36: An và Bình thi đấu với nhau một trận bóng bàn, người nào thắngtrước 3 séc sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Xác suất An thắng mỗi séc là 0,4(không có hòa). Tính xác suất An thắng chung cuộc.Phân tích:Bài này điểm mấu chốt là phải liệt kê được các trường hợp mà An thắng Bìnhchung cuộc. Ví dụ:Séc 1: An thắngSéc 2: An thắngSéc 3:Bình thắngSéc 4: An thắngAn thắng chung cuộc.Lưu ý là ta phải tính cả thứ tự các séc An thắc hoặc thua. Như ở ví dụ trên thì Anthua ở séc thứ 3.
Giải:Giả sử số séc trong trận đấu giữa An và Bình là x. Dễ dàng nhận thấy 3 5x .Ta xét các trường hợp:TH1: Trận đấu có 3 séc ⇒ An thắng cả 3 séc.Xác suất thắng trong trường hợp này là : P 1= 0,4 .0,4 .0,4= 0,064TH2: Trận đấu có 4 séc ⇒ An thua 1 trong 3 séc: 1;2 hoặc 3 và thắng séc thứ 4.Số cách chọn 1 séc để An thua là: 1
3C
(chú ý xác suất để An thua trong một séc là 0.6)⇒ P2=1 33.0,4 .0,6 0,1152C
TH3: Trận đấu có 5 séc⇒ An thua 2 séc và thắng ở séc thứ 5.Số cách chọn 2 trong 4 séc đầu để An thua là: 2
4C cách.⇒ P3=2 3 24 .0, 4 .0,6 0,13824C
Như vậy xác suất để An thắng chung cuộc là :P = P1 + P2 + P3 = 0,31744
Nhận xét: Trong bài này các bạn rất dễ mắc sai lầm sau: ở trường hợp 3 lại tính
số cách chọn 2 ván An thua là 25C mà không để ý rằng séc thứ 5 chắc chắn phải
là An thắng.
Bài 37 : Hai team Trường Sa và Thái Bình thi đấu AOE theo thể thức chạm 3chạm 4, nghĩa là team Trường Sa thắng 3 ván trước thì Trường Sa thắngcuộc, team Thái Bình thắng 4 ván trước thì Thái Bình thắng cuộc (không cóván hòa). Tính xác suất thắng chung cuộc của team Trường sa biết xác suấtthắng mỗi ván của họ là 0,4.
334
Phân tích: Vầ cơ bản thì bài này gần tương tự như bài trước. Tuy nhiên ta cần lưuý là số ván điều kiện để thắng của 2 team là khác nhau. Do vậy ta nên cân nhắc:Làm trực tiếp ⇒ phải xét 4 trường hợp.Làm gián tiếp (thông qua phần bù là xác suất thắng của team Thái Bình). ⇒ chỉphải xét 3 trường hợp.Vậy ta sẽ chọn các làm gián tiếp.
Giải:Trong trường hợp team Thái Bình thắng.Giả sử số ván được xảy ra cho đến khi team Thái Bình thắng là x⇒ 4 6x Xét các trường hợp:TH1: x=4P1= 40,6
TH2: x=5⇒ Thái bình thua một trận và thắng ở ván thứ 5,P2= 1 4
4 .0, 6 .0, 4C
TH3:x=6⇒ Thái Bình thua 2 trận và thắng ván thứ 6.P3= 2 4 2
5 .0,6 .0, 4C
P= P1+P2+P3= 0,54432.1 0,45568P P
Kết luận: xác suất để team Trường Sa thắng chung cuộc là: 0,45568.Nhận xét: Việc sử dụng phần bù đã giúp ta giảm bớt được khá nhiều công sức tínhtoán. Bây giờ ta sẽ giải một bài toán khá đơn giản sau.
Bài 38 : Hồng và Đức cùng chơi một trận bóng bàn, người nào thắng 5 séctrước thì thắng chung cuộc. Biết xác suất để Đức thắng trong mỗi séc là 0,5.Tính xác suất thắng chung cuộc của Đức.
Giải:Gọi số séc cần đấu là x ⇒ 5 9x Ta xét các trường hợp:TH1: x=5⇒ P1= 50,5
TH2: x=6⇒ P2= 1 65.0,5C
TH3: x=7⇒ P3= 2 76 .0,5C
TH4: x=8⇒ P4= 3 87 .0,5C
TH5: x=9⇒ P5= 4 98 .0,5C
P= P1+P2+P3+P4+P5= 0,5.Nhận xét: Thực ra ở bài này ta thấy một sự đối xứng hoàn toàn giữa Hồng và Đức:xác suất thắng mỗi séc là như nhau, số séc cần thắng để thắng chung cuộc cũngnhư nhau⇒ Hiển nhiên là xác suất thắng chung cuộc của 2 người phải bằng nhauvà bằng 0,5.⇒ một ứng dụng nhỏ mà ta sẽ xét đến ở phần sau.
335
Bài 39 : Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 3 phương án trả lời,trong đó chỉ có một phương án đúng. Một thí sinh chọn ngẫu nhiên cácphương án trả lời, hỏi xác suất thí sinh đó được điểm nào là cao nhất? Biếtrằng mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm, trả lời sai không bị trừ điểm.
Phân tích: với một bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất như thế này thì cách mà ta nghĩđến đầu tiên là đặt ẩn (là số điểm) rồi sau đó tính biểu thức cần tính (xác suất đạtđược số điểm) theo ẩn đó, việc còn lại là xử lí biểu thức.
Giải:Gọi x là số điểm bạn đó đạt được 0 10x x N ⇒ bạn đó trả lời đúng x câu và sai 10−x câu.
+) Xác suất mỗi câu bạn đó đúng là1
3; sai là
2
3.
+) Có 10xC cách chọn ra x câu đúng.
Do đó xác suất được x điểm là:
10 10
10 10
1 2 10! 2. . .
3 3 3 !(10 )!
x x xxP x C
x x
Do P(x) là lớn nhất nên( ) ( 1)
( ) ( 1)
P x P x
P x P x
10 9
10 10
10 11
10 10
10! 2 10! 2. .
3 !(10 )! 3 ( 1)!(9 )!
10! 2 10! 2. .
3 !(10 )! 3 ( 1)!(11 )!
x x
x x
x x x x
x x x x
1 1 82 1 10
10 2 31 11
2 1111 2 3
xx x x
xx
x xx
8 11
3 3x
Mà x N nên x=3Vậy xác suất bạn đó đạt điểm 3 là lớn nhất.
Nhận xét: Khi tính ra được 10
10
10! 2.
3 !(10 )!
x
P xx x
rồi , có lẽ nhiều bạn sẽ bối rối
không biết xử lí tiếp ra sao, bởi khảo sat một hàm như thế sẽ khá là phức tạp. Tuy
336
nhiên vì có điều kiện x N nên việc xử lí biểu thức ấy có thể tiến hành khôngmấy khó khăn theo cách trên.
Bài 40: Ba cậu bé A,B,C chơi trò chơi gieo đồng xu ( cân đối) liên tiếp và tuầnhoàn theo thứ tự A−> B−> C−> A−> B−> C−> …. Sao cho ai gieo được mặtngửa trước thì thắng và cuộc chơi dừng lại.(Ví dụ: A gieo đầu tiên, nếu mặtsấp−> B gieo,nếu mặt sấp tiếp−>C gieo…) Tính xác suất thắng cuộc của từngngười.
Phân tích:Ta phải chú ý dữ kiện “ai gieo được mặt ngửa trước thì thắng và cuộc chơi dừnglại”. Điều đó có nghĩa là nếu A gieo đầu tiên và được mặt ngửa thì A thắng luôn.Vì đồng xu là cân đối nên xác suất sấp và ngửa trong một lần tung là như nhau vàbằng 0,5.
Giải:
−Xác suất để A thắng trong lượt gieo đầu tiên là:1
2
−Xác suất để cả A,B,C đều gieo phải mặt sấp trong lượt gieo đầu là3
1
2 ⇒ Xác suất để A thắng trong lượt gieo thứ 2 là
31 1
.2 2
Cứ như thế⇒ Xác suất để A thắng trong lượt gieo thứ n là
3( 1)1 1
.2 2
n ⇒
3 6 3 61 1 1 1 1 1 1 1
. . .... 1 ....2 2 2 2 2 2 2 2
P A
Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn thì:
3
1 1 4.
2 711
2
P A
Tương tự ta tính được 2
7P B ; 1
7P C .
Vậy, xác suất để A,B,C thắng lần lượt là4
7;
2
7và
1
7.
Bài 41: Tìm số hạng chứa 8x trong khai triển 53
1n
xx
. Biết rằng14 3 7( 3)n n
n nC C n .
337
Giải:Khai thác điều kiện : 1
4 3 7( 3)n nn nC C n
13 3 3
13
7( 3)
3 !7( 3) 7( 3)
( 1)!2!
( 3)( 2)7( 3) ( 3)( 12) 0
212
n n nn n n
nn
C C C n
nC n n
n
n nn n n
n
(vì n>0 nên n+3>0)
Xét khai triển12
53
1x
x
=
1253 2x x
=
1112 362
120
kk
k
C x
Ta có:11
36 8211
36 82
8
kx x
k
Vậy hệ số cần tìm là 12
8 495C
Bài 42: Tính tổng:0 4 8 96 100
100 100 100 100 100...S C C C C C
Giải:Làm tương tự ví dụ 17 ta có
0 2 4 98 100 991 100 100 100 100 100... 2T C C C C C
Lại có theo ý b) ví dụ 20 thì:0 2 4 98 100 50
2 100 100 100 100 100... 2T C C C C C Từ đó ta có:
99 5098 491 2 2 2
2 22 2
T TS
Bài 43 : Tính tổng:3 41.3. 2.4. ( 2)... . nn n nS C C n n C (với n nguyên dương)
Phân tích: Nhận thấy không có các hệ số0nC ,
1nC ,... và các hệ số tăng dần 1, 2,
..., n−2; 3, 4, ...., n ta nghĩ tới dùng đạo hàm hai lần .
Giải:
338
Xét khai triển:0 1 2 21 ..( ) .n n nn n n nx C C x C x C x
Đạo hàm hai vế ta có:1 1 2 3 2 11 2 3 ..( ) .n n n
n n n nn x C C x C x nC x Chia cả 2 vế cho x ta được:
1 2 3 2 11
112 3 1 2
1
2 3 1 2
2 3 ...1
12 3 ...
1
( )
( )
( ) 12 3 ...
n nnn n n n
nn nn
n n n
n
n nn n n
C C x C x nC xn x
x
Cn xC C x nC x
x
n xC C x n
xC
x
x
x
Tiếp tục đạo hàm 2 vế ta được:2 1
32
4 3( 1). ( ) ( ) 1
11 1
3. 2.4. .... ( 2). .n n
n nn n n
x n xC C
n n x
xx n n C x
C
ho x=1, ta có:1
2
2
3 4 3( 1).1.( ) ( ) 1
1.1 1 1 1
3. 2.4. .1 .... ( 2). .1
1n n
n nn n n
nC C n n
nC
n
2 13 4 ( )
( 1).2 (2 1)1.3. 2.4. ... 2 .
1
n nn
n n n
n n nS C C n n C
2.( 3).2nS n n n Nhận xét: Sau khi đạo hàm một lần, ta thu được dãy hệ số 3,4,... n.Nếu tiếp tục đạohàm cái này thì không xuất hiện dãy hệ số tiếp theo. Để xuất hiện nó ta nghĩ đếnviệc chia cả hai vế cho x rồi đạo hàm. Cuối cùng thay x =1 và tính ra kết quả.
Bài 44: Chứng minh rằng: 1 2 2n n nn k n k n kA A k A
Giải:1 2 ( )! ( )! ( )! 1
1( 1)! ( 2)! ( 2)! 1
n nn k n k
n k n k n kA A
k k k k
2( )! ( )!
( 1)! !
k n k n kk
k k
nS
2 nn kk A
Bài 45 : Tính tổng:0 1 2 1
1 1 2 21 2 2 1
...2 2 2 2
nn n n nn n n n
C C C CS
(với n nguyên dương)
Phân tích: Thoạt nhìn thì đây là một biểu thức hoàn toàn mới, chẳng có liên hệ gìvới các phương pháp giải cũng như các Bài mà ta đã xét ở trước. Tuy vậy, nếu ta
339
viết biểu thức ở dạng khác:0 1 1 2 2 1 2 1
1 1 2 2.0,5 .0,5 .0,5 ... .0,5n n n n nn n n nS C C C C
Ta bắt đầu thấy một sự liên hệ nào đó với Bài 37. Từ đó ta đi đến cách giải bàitoán này.
Giải:Xét bài toán sau: Hồng và Đức cùng chơi một trận bóng bàn, người nào thắng nséc trước thì thắng chung cuộc. Biết xác suất để Đức thắng trong mỗi séc là 0,5.Tính xác suất thắng chung cuộc của Đức.Làm tương tự như Bài 37 ta có xác suất để thắng của Đức là:
0 1 1 2 2 1 2 11 1 2 2.0,5 .0,5 .0,5 ... .0,5n n n n n
n n n nS C C C C .
Mặt khác dễ dàng thấy được cơ hội của Hồng và Đức trong cuộc chơi này là nhưnhau, do đó xác suất thắng của 2 bạn cũng là như nhau và bằng 0,5.S=0,5 là đáp án của bài toán.
D. Bài tự luyện.1. Bé Bông chơi búp bê, cô búp bê của bé có 4 chiếc mũ, 5 chiếc áo, 3 chiếc quầnvà 4 đôi giày. Hỏi có bao nhiêu cách phối đồ cho cô búp bê của bé Bông?2. Tính xác suất để có thể lập được một số tự nhiên gồm 7 chữ số mà trong đó chữsố 3 có mặt đúng 2 lần,chữ số 0 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặtkhông quá 1 lần.3.Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau?4.Từ các chữ số {0;2;3;5;6;7;8;9}.Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau?Có thể lập được bao nhiêu số chia hết cho 5 và có 5 chữ số đôi một khác nhau?5.Cho tập E={1;2;3;5;6;8}. Có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số đôi mộtphân biệt thỏa mãn: số đó lớn hơn 500 và nhỏ hơn 2900.6.Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôimột khác nhau và chia hết cho 9?7. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn học sinh A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho:a) Bạn C ngồi chính giữab) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế.8.Một lớp có 40 học sinh trong đó có 4 tổ trưởng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mộtnhóm 5 học sinh đi dọn vệ sinh lớp sao cho trong nhóm đó có đúng một tổ trưởng.9.Có 3 loại bi: xanh, đỏ, vàng. Có bao nhiêu cách xếp 7 viên bi, thoả mãn: khôngcó bi xanh nào đứng cạnh bi đỏ nào? (Có thể không nhất thiết phải đủ 3 loại bi).10. Cho 2 đường thẳng song song d1 và d2. Trên d1 lấy 5 điểm phân biệt, trên d2lấy 7 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà đỉnh là các điểm đã lấy?11.Có 10 bạn nam và 11 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 21 bạn học sinh đóthành một vòng tròn sao cho các bạn nam không đứng cạnh nhau.12. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong những số đóluôn có măt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ?
340
13.Trong một hộp có 5 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đỏ và 4 viên bi màu vàng,lấy ngẫu nhiên cùng lúc 5 viên bi từ trong hộp ra . Tính xác suất để trong số 5 viênbi lấy ra:a) Có đủ cả 3 loại màub) Có đúng 2 loại màu,trong đó có 1 loại là màu đỏ.14.Bill Gate có 11 người bạn thân, ông muốn mời 5 người trong số họ đi chơi xa.Biết rằng trong số 11 người này có 2 người rất ghét nha u nên không thể đi chung.Hỏi Bill Gate có bao nhiêu cách mời?15.Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số trong đó có 3 chữ số lẻ khác nhau, 3 chữsố chẵn khác nhau và mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần.16*. Cho đa giác lồi có n cạnh thỏa mãn: không có 3 đư ờng chéo nào đồng quy tạimột điểm. Hỏi có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo của đa giác? (Đáp án:
4nC )
17. Cho biết tổng 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển 2 2n
xx
là 97.
Tìm hạng tử của khai triển chứa 4x .18. Tìm *n N thỏa mãn:
2 4 2 20072 2 2... 2 1n
n n nC C C
19.Tìm hệ số của số hạng chứa 26x trong khai triển nhị thức 74
1n
xx
. Biết tổng1 2 202 1 2 1 2 1... 2 1n
n n nC C C 20. Tính giá trị biểu thức:
11 22 ... 1n n
n n nS C C nC
21. Xác định số lớn nhất tron các số: 1 2 3 22 2 2 2 2; ; ;...; ;...;k n
n n n n nC C C C C
22. Gieo đồng thời hai con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất sao cho:a) Tổng số chấm trên mặt 2 con xúc sắc bằng 8 .b) Hiệu số chấm trên mặt 2 con xúc sắc có giá trị tuyệt đối bằng 3.c) Số chấm trên mặt 2 con xúc sắc bằng nhau.23. Có 12 hành khách lên ngẫu nhiên 4 toa tàu. Tìm xác suất để:a) Mỗi toa có 3 hành khách.b) Một toa có 6 hành khách, một toa có 4 hành khách, mỗi toa còn lại có 1 hànhkhách.24. Có 5 khách hàng không quen biết nhau và cùng vào mua hàng ở một cửa hàngcó 4 quầy thanh toán. Biết sự lựa chọn quầy thanh toán của các khách hàng là độclập và như nhau. Tìm xác suất của các sự kiện sau:a) Cả 5 khách đều vào cùng một quầy hàngb)Có 3 người vào cùng một quầyc) Mỗi quầy đều có người tới thanh toán.25. Gieo 2 con xúc sắc cân đối đồng chất. Gọi A là biến cố : “ Tổng số chấm xuấthiện trên 2 mặt của 2 con xúc sắc là 5”.a) Liệt kê các kết quả thuận lợ i của biến cố A
341
b) Tính xác suất của biến cố A.26. Gieo một con xúc sắc 2 lần. Tính xác suất để:a) Mặt 4 chấm xuất hiện ở lần đầu tiênb) Mặt 4 chấm xuất hiện ở ít nhất 1 lầnc) Mặt 4 chấm xuất hiện ở đúng 1 lần.27. Gieo 3 đồng xu. Tính xác suất để:a) Có ít nhất 1 đồng xu lật ngửab) Có đúng 1 đồng xu sấp.28. Bắn liên tiếp vào một mục tiêu cho đến khi trùng vào mục tiêu thì dừng. Tínhxác suất để phải bắn đến viên đạn thứ 5 biết xác suất trúng mục tiêu của mỗi viênlà 0,3 và các lần bắn độc lập với nhau.29. Một hộp có 10 viên bi trong đó có 7 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy lần lượt từng viênbi cho đến khi lấy được bi xanh thì thôi (nếu lấy phải bi đỏ thì bỏ lại vào tronghộp). Tìm xác suất để lấy được bi xanh ở lần thứ 530. Một hộp có 10 viên bi trong đó có 7 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy lần lượt từng viênbi không hoàn lại cho đến khi lấy được bi xanh thì thôi. Tìm xác suất để lấy đượcbi xanh ở lần thứ 5.31. Một kì thi trắc nghiệm gồm 80 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời. Mộthọc sinh khá làm được chắc chắn đúng 40 câu, các câu còn lại học sinh đó chọnbừa. Hỏi xác suất được điểm nào của học sinh đó là cao nhất. Biết trả lời đúng mỗicâu được 1 điểm, trả lời sai không bị trừ điểm.32.Một thiết bị có 2 bộ phận hoạt động độc lập. Khả năng có đúng 1 bộ phận bịhỏng là 0,38. Tìm xác suất để bộ phận thứ nhất bị hỏng biết xác suất để bộ phậnthứ 2 bị hỏng là 0,8.33. Cho một đồng xu không cân đối. Biết xác suất trong một lần tung đồng xu sấplà 0,4. tính xác suất đồng xu gieo 6 lần liên tiếp mà không có quá 2 lần sấp.
HếtTác giả: _kin_
