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拡散方程式（１次元連続版）
密度分布の勾配に比例して物が流れる.
流束 J = !D!u
!x
u 密度分布
x0 !a b
J(a) J(b)
Fick の法則
拡散方程式（１次元連続版）
任意の区間 (a, b) への物の出入りを考えると
d
dt
! b
audx = !J(b) + J(a)
u 密度分布
x0 !a b
J(a) J(b)
保存の法則
u 密度分布
x0 !a b
J(a) J(b)
増加減少
€
J (x)
€
x
での流量
€
x
流束 J = !D!u
!x
d
dt
! b
audx = !J(b) + J(a)
€
J (a) − J (b) = −∂J (x)∂x
dxa
b
∫ = − −D∂ 2u∂x 2
a
b
∫ dx
€
= D∂ 2u∂x 2
dxa
b
∫
Fick の法則
保存の法則
d
dt
! b
audx = !J(b) + J(a)
€
= D∂ 2u∂x 2
dxa
b
∫
が任意の で成り立つ
€
a < b, a,b∈ ℜ
€
∂u∂t
= D∂ 2u∂x 2
が任意の で成立
€
x ∈ ℜ
保存の法則と Fick の法則が同時に成り立つ場合
このとき
１次元拡散方程式
D：拡散係数（必ず正）
!u
!t= D
!2u
!x2
境界条件について(復習)
ディリクレ (Dirichlet) 条件
ノイマン (Neumann) 条件
周期境界条件
これは実は境界がないという条件である.
のように境界で の値が与えられる.uu(0, t) = u(!, t) = 0
のように境界で の値が与えられる.!u
!x(0, t) =
!u
!x(", t) = 0
!u
!x
u(0, t) = u(!, t),"u
"x(0, t) =
"u
"x(!, t)
円周上の関数
初期値境界値問題 (ディリクレ条件)
for 0 < x < !, t > 0!u
!t= D
!2u
!x2
I.C.for 0 < x < !u(x, 0) = f(x)
x
t
B.C. B.C.
I.C.
u(x, t) ?
B.C.for t > 0u(0, t) = u(!, t) = 0
初期値境界値問題 (ノイマン条件)
for 0 < x < !, t > 0!u
!t= D
!2u
!x2
I.C.for 0 < x < !u(x, 0) = f(x)
B.C.for t > 0!u
!x(0, t) =
!u
!x(", t) = 0
拡散方程式においてノイマン境界条件は, 境界において物の出入りがないことを意味している.
Ex.! !
0udxu の総量 は保存されることを示せ.
d
dt
! !
0udx =
! !
0
!u
!tdx =
! !
0D
!2u
!x2dx = D
!u
!x
""x=!
x=0= 0
ノイマン境界条件の場合
初期値が正弦波 であるような解を構成せよ. (ディリクレ条件）
モード数の２乗に比例して, 素早く減衰する.
Exercisesin
!mx
"
€
(m =1,2,3,......)
モード数の２乗に比例して, 素早く減衰する.
Exercise初期値が正弦波 であるような解を構成せよ. (ノイマン条件）
cos
!mx
"
次の初期値境界値問題を解け.for 0 < x < !, t > 0!2u
!t2= c2 !2u
!x2
for t > 0u(0, t) = u(!, t) = 0 ディリクレ条件B.C.
for 0 < x < !u(x, 0) = 2 sin!x
"! 3 sin
2!x
"+ sin
3!x
"!u
!t(x, 0) = 0
I.C.
以前の復習(波動方程式)
Hint
という解の形を仮定する
1. B.C.を で満たすために
€
∀t ≥ 0
2.上の表式を偏微分方程式に代入して に関する関係式を作る
€
am(t)
を得て(1)に代入
€
am(t)3.
(1)
€
u(x,t) = a1(t)sinπxl
+ a2(t)sin2πx
l+ a3(t)sin
3πxl
以前の復習(波動方程式)
次の初期値境界値問題を解け.for 0 < x < !, t > 0!2u
!t2= c2 !2u
!x2
for t > 0u(0, t) = u(!, t) = 0
for 0 < x < !u(x, 0) = 2 sin
!x
"! 3 sin
2!x
"+ sin
3!x
"
!u
!t(x, 0) = 0
u(x, t) = 2 cos!ct
"sin
!x
"! 3 cos
2!ct
"sin
2!x
"+ cos
3!ct
"sin
3!x
"
以前の復習(波動方程式)
以前の復習(波動方程式)
ノイマン条件のもとで初期値境界値問題を解け.1.
for 0 < x < !, t > 0!2u
!t2= c2 !2u
!x2
for 0 < x < !u(x, 0) = f(x, 0),!u
!t(x, 0) = g(x)
for t > 0!u
!x(0, t) = 0,
!u
!x(", t) = 0
ただしディリクレ条件のときと同様に，特別な初期値u(x, 0) = cos
!mx
",
#u
#t(x, 0) = 0
を満たす解のみでよい
Hint(手順)
という解の形を仮定するum(x, t) = am(t) cos!mx
"
ただし m = 0, 1, 2, · · ·
1. B.C.を で満たすために
€
∀t ≥ 0
2.上の表式を偏微分方程式に代入して に関する関係式を作る
€
am(t)
を得て(1)に代入
€
am(t)
€
(1)
3.
以前の復習(波動方程式)
um(x, t) = cos!mct
"cos
!mx
"(m = 0, 1, 2, · · ·)
Hintという解の形を仮定するum(x, t) = am(t) cos
!mx
"
ただし m = 0, 1, 2, · · ·
d2am
dt2= !
!!mc
"
"2am
am(0) = 1,dam
dt(0) = 0
以前の復習(波動方程式)
線形重ね合わせ区間 上で拡散方程式の初期値境界値問題を考える.[0, !]
u1(x, t), u2(x, t)
それらの１次結合 は初期条件u = a1u1 + a2u2
Ex.上のことを確かめよ.
を満たす初期値境界値問題の解である．
u1(x, 0) = f1(x), u2(x, 0) = f2(x)がそれぞれ初期条件
を満たす解である時
u(x, 0) = f(x) f(x) = a1f1(x) + a2f2(x)ただし
初期値 はフーリエサイン展開して構成することが可能.f(x)
f(x) =!!
m=1
bm sin!mx
"
u(x, t) =!!
m=1
bme"D(!m" )2
t sin!mx
"
Ex.2初期値が何であれ であることを示せ.lim
t!"u(x, t) = 0
一般の初期値について (ディリクレ条件)
Ex.1初期値境界値問題の解 を級数の形で求めよ.u(x, t)
初期値 をフーリエサイン展開して構成する.f(x)
f(x) =!!
m=1
bm sin!mx
"
u(x, t) =!!
m=1
bme"D(!m" )2
t sin!mx
"
Ex.2初期値が何であれ であることを示せ.lim
t!"u(x, t) = 0
一般の初期値について (ディリクレ条件)
Ex.1初期値境界値問題の解 を級数の形で求めよ.u(x, t)
区間 (0,1) 上で, 拡散方程式 の
初期値境界値問題を考える. ただし, 境界条件は
ディリクレ条件で初期値は次のように与えられる.
!u
!t= D
!2u
!x2
u(x, t)
Exercise
u(x, 0) = x(1 ! x) (0 " x " 1)
フーリエ級数を用いて を求めよ.
x(1 ! x) =8
!3
!
n:odd
1
n3
sin!nx (0 " x " 1)
u(x, t) =8
!3
!
n:odd
1
n3e!D!
2n
2t sin!nx
初期値 をフーリエコサイン展開して構成する.f(x)
一般の初期値について (ノイマン条件)
Ex.1初期値境界値問題の解 を級数の形で求めよ.u(x, t)
f(x) = a0 +!!
m=1
am cos!mx
"
u(x, t) = a0 +!!
m=1
ame"D(!m
" )2
cos!mx
"
Ex.2lim
t!"u(x, t) を求めよ.
limt!"
u(x, t) = a0 =1
!
! !
0
f(x)dx f(x)の平均値
区間 (0,1) 上で, 拡散方程式 の
初期値境界値問題を考える. ただし, 境界条件は
ノイマン条件で初期値は次のように与えられる.
!u
!t= D
!2u
!x2
また limt!"
u(x, t)は何になるか.u(x, t)フーリエ級数を用いて を求めよ.
u(x, 0) =
!
1 for 0 < x < 1/20 for 1/2 < x < 1
Exercise
