ciclo escolar

Álgebra Ciclo Escolar

CICLO ESCOLARCESAR VALLEJO

2009

Colegio

Bertolt BrechtX56


SESIÓN DE APRENDIZAJE

I. DATOS GENERALES

Curso: : Álgebra

Grado / Nivel : Tercero de secundaria

Tema : Polinomios I (1ra semana)

Tiempo de aplicación : 3 horas

II. DESARROLLO DIDÁCTICO DE LA SESIÓN

DESARROLLO T

INIC

IAL

De manera calurosa se da la bienvenida a los estudiantes por su participación en elciclo escolar. Se expone el objetivo del ciclo.

A continuación se realiza una dinámica de integración: Dinámica del Bum; losestudiantes se presentan indicando su nombre, colegio de procedencia y la expectativaque tiene por el ciclo.

Seguidamente se narra brevemente el proceso de desarrollo del Álgebra, resaltando suimportancia en el avance científico y tecnológico con ejemplos concretos. Así mismose le indicará los temas a realizar en este ciclo.

Luego se procede a realizar la lluvia de ideas con respecto a las preguntas ¿Quéentiendes por polinomios? ¿Dónde se aplican? ¿Será de mucha utilidad conocer a lospolinomios?

40’

INT

ER

ME

DIA

Se propone un ejemplo ilustrativo y con la participación de los estudiantes se dan lasnociones de variable y constante; las conclusiones generadas en esta parte propiciara laidea de notación matemática, seguidamente se formula el concepto de polinomio dandoalgunos ejemplos. Lo que sigue son definiciones: monomio, binomio,.. la clasificaciónde acuerdo al grado: lineal, cuadrático,..y se continúa con los polinomios constantes ymónicos. Luego se resolverán lo primeros ejercicios planteados en el materialdidáctico.

Finalmente se dará el concepto de cambio de variable en un polinomio seguido deejemplos y luego se completará la resolución de los ejercicios del material didáctico.

130’

FIN

AL

A manera de resumen se realizara un mapa conceptual de polinomios.

Para terminar se indica de la metodología de evaluación y control de tareasdomiciliarias. Para tal efecto los estudiantes que deberán de presentar los ejerciciosresueltos de la domiciliaria para la siguiente clase. Se dan algunas sugerencias para laresolución de problemas.

10’


POLINOMIOS I

Ejemplo Ilustrativo

Tomemos como ejemplo un triángulo:

Se sabe que el área del triángulo viene dado por lafórmula:

hbA ..2

1

b: baseh: altura

hb..2

1: expresión algebraica (que representa el

área de la región triangular)

El área del triángulo dependerá básicamente de by h; es decir, el área cambia de acuerdo al valorque tome b y h (b y h: variables). En cambio, ½toma un valor fijo (1/2: constante).

Notación matemática

Es la representación matematica que permitediferenciar las variables de las constantes. Asípara el ejemplo anterior:

hbhbA ..2

1),(

Variables

Más ejemplos

123)( 4 aaaM

Variable: a

1

3),(

y

nynE

Variables: n; y

24)( xxN

Variable: x

Polinomio

3 Expresión algebraica.3 No admite radicación ni división (entre

variables).3 Los exponentes (de la variable(s)) son enteros

positivos.

Ejemplos

22 2),( yxyxyxP Es un polinomio de variables x e y

142)( 23 xxxxQ

22),( yxyxH

3223)( 234 xxxxxE ¡No

es polinomio!

Definiciones

o De acuerdo a la cantidad de términos lospolinomios pueden ser:

Monomios: Polinomio de un solo término.

Ejemplos

3)( xxP

yxyxQ 52),(

Binomios: Polinomio de solo dos términos.

Ejemplos

1)( 2 xxP

423),( yxyxQ

Trinomios: Polinomio de solo tres términos.

Ejemplos

25)( 3 xxxP

22),( yxyxyxQ


VariableDato

VariableNueva

Polinomios de una variable

Son aquellos que solo tienen una variable y almayor el exponente de la variable se le llamagrado del polinomio.

Ejemplos

52)( 3 xxxPEl grado de P es 3

Importante.- oxP )( significa el grado del

polinomio P. Ósea 3)( oxP .

1)( 2 xxQ

2)( oxQ

4523)( 534 xxxxxH

5)( oxH

o Los polinomios en una variable pueden ser:

Polinomio lineal: Si el grado es uno.

23)( xxP

xxQ )(

Forma general.-

baxxP )( 0a

a, b: coeficientesa: coeficiente principalb: termino independiente

Polinomio cuadrático: Si el grado es dos.

253)( 2 xxxP

1)( 2 xxQ

24)( xxH

Forma general.-

cbxaxxP 2)( 0a

a, b, c: coeficientesa: coeficiente principalc: termino independiente

Forma general de un polinomio de grado n:

nnnn axaxaxaxP

11

10 ...)(

Donde 00 a

nn aaxaa ,....,,, 110 : coeficientes

0a : coeficiente principal

Polinomio constante

Es aquel polinomio que no depende de lavariable(s).

Ejemplos

2)( xP

3

1),( yxQ

Estos polinomios tienen grado cero.

Polinomio mónico

Es aquel polinomio no constante y de una variablecuyo coeficiente principal es uno.

Ejemplos

23)( 2 xxxP

124)( 32 xxxxQ

3)( 53 xxxH ¡No es polinomio

mónico!

Cambio de variable

Consiste en reemplazar la variable por una nuevavariable.

)()( yPxPcambio

yporx


Ejemplos

Sea 32)( xxP

Halle )( yP

Al cambiar x por y:yx resulta

32)( yyP

Halle )13( xP

Al cambiar x por (3x -1):)13( xx resulta

3)13(2)13( xxP

Halle ))(( xPP

Al cambiar x por )(xP :

)(xPx se tiene

943)32(2

3)(2))((

xx

xPxPP

Sea 83)23( xxP

Halle )(xP

Se cambiara (3x – 2) por x:xx )23( . Pero en este caso se

forma la variable (3x – 2) en elsegundo miembro del polinomiomediante el siguiente arreglo:

6)23()23( xxP

Ahora realizamos el cambio de(3x – 2) por x y resulta

6)( xxP

Sea 52)3( xxP

Halle )1( xP

Formaremos la variable (x - 3) en elsegundo miembro del polinomio,mediante el siguiente arreglo:

11)3(2)3( xxP

Ahora realizamos el cambio (x - 3)por (1 - x) y tendremos:

13211)1(2)1( xxxP

132)1( xxP



I. DATOS GENERALES

Curso: : Álgebra


Tema : Polinomios II - Productos notables I (2da semana)



DESARROLLO T

INIC

IAL

Se saluda cordialmente a los estudiantes y seguidamente se hacen preguntas acerca deltema anterior.

Mediante lluvia de ideas se analizan las preguntas ¿Qué es el valor numérico? ¿El valornumérico se aplicara en la vida Cotidiana? Se hace mención que los nutricionistashacen uso del valor numérico para calcular el índice de la masa corporal.

20’

INT

ER

ME

DIA

Se explica el contenido partiendo del concepto de valor numérico, luego se continúacon algunos ejemplos y se prosigue resolviendo los ejercicios del material didácticoincentivando siempre la participación del estudiante en el proceso del desarrollo.

A continuación se plantea a los estudiantes ¿Qué entienden por productos notables?. Enesta parte se le indica la propiedad distributiva y su uso para encontrar los productos.Luego se pasa a definir los productos notables seguido de los principales productosnotables a estudiar: trinomio cuadrado perfecto, identidades de Legendre y diferenciade cuadrados. Aquí se dan ejemplos donde los estudiantes participan saliendo a lapizarra, en seguida se plantean ejercicios diversos y se continúa resolviendo losejercicios restantes del material didáctico.

140’

FIN

AL

Se da apoyo personalizado a estudiantes que presentan dificultades.

Se recoge la tarea domiciliaria dejada la anterior clase y se saluda la responsabilidadde los estudiantes que cumplieron con la actividad.

Finalmente se dan algunas sugerencias para la resolución de los ejercicios de ladomiciliaria.

20’


VALOR NUMERICO

Es el valor obtenido cuando la(s) variable(s) delpolinomio es reemplazada por una constante.

Ejemplos

Sea 110)( 4 xxxP

Calcule )2(P

Nos piden el V.N. cuando x asume el valor de 2,

solo reemplazamos x por 2: 2x

16112)2(10)2( 4 P

Sea21212121 )8()6()4()2()( xxxxxP

Calcule )5(P

Sea

14)()();( 22 xyyxyxyxP

Calcule )50;50(P

Propiedad

Dado el polinomio

0;)( 23 ADCxBxAxxP

Se cumple:

1.- Suma de Coeficientes

)1(PDCBA

2.- Término Independiente

)0(PD

Ejemplos:

Halle la suma de coeficientes y el términoindependiente en los siguientes polinomios:

o 427)( 2 xxxP

o 13)1(3)( 99 xxxP

o 2)1(3)1()( 99 xxxxxP

o 32)2( 3 xxxP

PRODUCTOS NOTABLES I

Propiedad distributiva

Cualquiera que sea la expresión se cumple lapropiedad:

Ejemplos

Multiplique

)2( 32 xxx

)2)(7( xx

)1)(1( 2 xxx

Concepto

Son los resultados de efectuar ciertasmultiplicaciones en forma directa, es decir, sinaplicar la propiedad distributiva.

Principales productos notables

1.- Trinomio cuadrado perfecto

Ejemplos

Desarrolle

2

23

2

2

)352()

)47()

)53()

)3()

d

yxc

xb

xa

acabcba )(

bybxayaxyxba ))((

abbaba 2)( 222

abbaba 2)( 222


84

4

2

2 1)

1)(

1)(

1(

xxx

xx

xx

Desarrolle

Aplicación

Si : 2( ) 4x y xy

Halle100 100

401

x y

Si 31

xx

Indique el valor de2

2 1

xx

Si 2a

b

b

a

Calcule)1(2

23

33

b

ba

Consecuencia: Identidades de Legendre

abbaba

bababa

4)()(

)(2)()(22

2222

Ejemplos

Reduzca

22

22

22

22

)312()312()

)32()32()

)32()32()

)2()2()

d

c

xxb

xxa

Aplicación

Si : 2 2 2 22 ( 2 ) ( 2 )x y x y x y

Calcular5 4

2

( ) ( )

( )

xy xy

xy

Si 2,3 xyyx

Halle 2)( yx

Si 4)()( 22 baba

Indique el valor que toma la expresion

37

abab

Simplificar25

25

25

25

2.- Diferencia de cuadrados

Ejemplos

Efectué

Aplicación

Simplifique

2

2

348349.347

598599.597

Si 1 ba , entonces halle el valor de

b

ba 122

Sea x el número que cumple

;012 xx

Simplifique

22))(( bababa

d)

yxyxc)

yx -yxb)

x -xa)

)3-5)(35(

)2-)(2(

)34)(34(

)2)(2(

33

2

2

)32()

)4()

xb

xa



I. DATOS GENERALES

Curso: : Álgebra


Tema : Productos notables II (3ra semana)



DESARROLLO T

INIC

IAL

Se saluda a los estudiantes y se hace un repaso de la parte teórica del tema anterior,siempre con la participación de los estudiantes, luego se resuelven algunos ejerciciosde la tarea domiciliaria.

Seguidamente se comenta una historia: Cierto día Juan caminaba por las calles muypreocupado y decepcionado de la vida porque lo habían despedido de su trabajo, teníamuchas deudas de tanto caminar buscando trabajo sus zapatos estaban muydeteriorados; cuando de pronto alguien le dijo: “Buenos días señor, ¡qué hermosodía!”; entonces Juan muy sorprendido miro al hombre sin piernas que con alegría loestaba saludando. Es aquí cuando comprendió lo dichoso y afortunado que era al tenersus dos piernas, de ahí en adelante Juan día a día persevera para salir adelante ante lasadversidades. Los estudiantes reflexionan sobre el mensaje de la historia.

30’

INT

ER

ME

DIA

A continuación se estudiar los siguientes productos notables: trinomio al cuadrado,binomio al cubo, suma y diferencia de cubos, multiplicación de binomios con untérmino en común y la igualdad condicional.

En esta parte se dan ejemplos para que los estudiantes participen saliendo a la pizarra,en seguida se plantean ejercicios diversos y se continúa resolviendo los ejerciciospropuestos en el material didáctico.

130’

FIN

AL

Se da apoyo personalizado a estudiantes que presentan dificultades.

Se recoge la tarea domiciliaria dejada la anterior clase y se saluda la responsabilidadde los estudiantes que cumplieron con la actividad.

Finalmente se dan algunas sugerencias para la resolución de los ejercicios de ladomiciliaria.

20’


PRODUCTOS NOTABLES II

3.-Trinomio al cuadrado

)(2)( 2222 cabcabcbacba

OBSERVACION.- A la expresión cabcab ,se le llama: Suma de Productos Binarios

Ejemplos

Desarrolle

2

2

2

2

)132()

)23()

)2()

)()

d

pnmc

zyxb

cbaa

Aplicación

Si 0222 cba

Simplifiquecabcab

cba

2)(

Si

6

8

a b c

ab ac bc

Calcular 2 2 2( ) ( ) ( )a b a c b c

Si

21

10

12

6

222

pnm

mnmp

mpnp

npmn

Calcule))()((

)7)(7)(7(

nmpmpn

pnm

4.- Desarrollo del binomio al cubo

)(3)( 333 baabbaba

Ejemplos

Desarrolle

3

32

3

3

)31()

)3()

)23()

)1()

d

xc

xb

xa

)(3)( 333 baabbaba

Desarrolle

3

3

)32()

)2()

xb

xa

Aplicación

Si 3 34 2x

Calcular3

1

x

x

Si 31

xx

Calcule3

3 1

xx

Calculeabcb

abcca

3

33 2

Si 0 cba

5.- Suma y diferencia de cubos

3322 ))(( babababa


3322 ))(( babababa

Ejemplos

Efectué

))(()

))(()

)42)(2()

)1)(1()

633

2242

2

2

yxyxyxd

yyxxyxc

xxxb

xxxa

Aplicación

Si 12 xx

Calcule el valor de 33 x

Sabiendo que baba ,33

Halle el valor de2)( ba

ab

Si 5 yx , xy = 3

Hallar 66 yx

6.- Multiplicación de binomios con un término encomún

OBSERVACION.- A esta identidad se le conocecon el nombre de: Identidad de Stevin

Ejemplos

Efectué

)32)(2()

)4)(1()

)7)(5()

)3)(2()

xxd

xxc

xxb

xxa

Aplicación

Si 6)2)(( 2 bxxxax

Halle 3 3 12 abba

Si 2 5 4 0x x Halle )9)(3)(2)(4( xxxx

Si xx 1

Reduzca

x

xxxx 3)2)(1()14( 2

7.- Igualdad condicional

Si abccbacba 30 333

Aplicación

Si 0 cba

Hallar el valor de

abc

baccabcba 222 )()()(

Si 0 cba

Hallar el valor de

))()((

)()()( 333

cacbba

cacbba

Sixyz

zyxzyxf

333

);;(

Halle )4;2;6( f

abxbaxbxax )())(( 2



I. DATOS GENERALES

Curso: : Álgebra


Tema : División algebraica (4ta semana)



DESARROLLO T

INIC

IAL

Con entusiasmo se saluda a todos los estudiantes y mediante una historia se motivadoraa los estudiantes que reflexionan sobre la importancia de los números.

EL PUEBLO SIN NÚMEROS.- En un pueblo había un alcalde que estaba contando lasmonedas que tenía…..254; 255; 256; 257;……, en eso dijo ¡Noooooooo! ¡No puedeser! Y empezó de nuevo a contar pero siempre se equivocaba, se enfureció tanto quedio una ley ¡Los números desaparecen de mi pueblo!. Al día siguiente se despertó muytemprano y recordó que era el día de su cumpleaños, pero ninguno de sus familiaresllegaba para saludarlo. Se preguntó ¿es mi cumpleaños? ¡no puedo habermeequivocado!, fue entonces que buscó un calendario para ver la fecha, un reloj para verla hora, pero no encontró ninguno puesto que tenían números. Mas tarde, el alcaldesintió hambre, quiso comprar panes y leche pero era imposible, las monedas no tienennúmeros; la gente del pueblo no sabe que es tres ni que es cinco porque los númerosestaban prohibidos.

20’

INT

ER

ME

DIA Se indicará al estudiante que el tema a desarrollar es División algebraica. Se realiza la

parte teórica, y se presenta el método de Horner y la regla de Ruffini. En ambos casosse dan ejemplos y se indica al estudiante a que efectué las divisiones propuestas enpizarra. Se evalúa la participación y la disciplina de los estudiantes. Se da apoyopersonalizado a estudiantes que presentan dificultades.

110’

FIN

AL

Finalmente se resuelven los ejercicios propuestos que se presentan en el materialdidáctico

Se recoge la tarea domiciliaria dejada la anterior clase.

Se indica que se presentará para la siguiente clase los ejercicios de la domiciliaria.

50’


DIVISIÓN ALGEBRAICA

Definición

Sean )(,)( xdxD dos polinomios no constantes.

La división

)(

)(

xd

xD

divisor

dividendo

es una operación que consiste en hallar otros dospolinomios

y)(

)(

xR

xq

residuo

cociente

tal que se cumpla:

)()().()( xRxqxdxD

”Identidad fundamental de la división”

Condición:

Será posible efectuar la división si:

)()()( xRxdxD

Clases de División

Respecto al residuo )(xR , se tiene:

División Exacta. Si 0)( xR

Ejemplo:

Al dividir2

83

x

x, se tiene

42)( 2 xxxq

0)( xR

División Inexacta. Si 0)( xR

Ejemplo:

Al dividir2

93

x

x, se tiene

42)( 2 xxxq

1)( xR

Propiedades

1). ° )()()( xdxDxq

2). 1)()( xdxRmáx

Ejemplo:

En la divisióncbxax

xxx

2

25 157

Se tiene: 2)(

5)(

xq

xD

Luego:

112)(

325)(

xRmáx

xq

(Es decir, puede ser lineal)

Criterio general para dividir polinomios

Los polinomios dividendo y divisor deben estarcompletos y ordenados en forma decreciente.Caso contrario se debe ordenar y por cada términoque falte, en su lugar se colocara el término concoeficiente cero.

Ejemplos:

* Complete y ordene en forma decreciente lossiguientes polinomios:

432)( 32 xxxxPEscribimos

423)( 23 xxxxP

154)( 53 xxxxPEscribimos

10405)( 2345 xxxxxxP

Métodos para dividir

MÉTODO DE HORNER

Es un método general que permite dividirpolinomios de cualquier grado.


ESQUEMA:

Co Coeficientes del Dividendoef.

con Dsigno i

cambiado visor

Líneadivisoria

Coeficientes delCociente

Coef. delResiduo

NOTA.- La línea divisoria se traza contando en el

esquema, de derecha a izquierda tantas columnas como

el grado del divisor.

Veamos el procedimiento con algunos ejemplos.

Ejemplos:

Divide:23

42692

24

xx

xxx

Preparando los polinomios:

23

462092

234

xx

xxxx

En el esquema:

+ + + +

3 9 0 2 6 4

-1 -3 6

2 1 -2

-3 6 3 -1 3 1 10

x2 x T.I. x T.I.

Como )()( xdyxD están completos y ordenados

en forma decreciente, entonces )()( xRyxq

también deben estar completos y ordenados.

Entonces:

10)(

33)( 2

xxR

xxxq

Divide:123

531223

45

xx

xxx

Aplicando el criterio:

1023

53001223

2345

xxx

xxxxx

En el esquema:

+ + + + +

3 12 -1 0 0 3 5

-2 -8 0 4

0 6 0 -3

1 -4 0 2 4 -3 2 0 0 7

x2 x T.I. x2 x T.I.

Entonces:

7)(

234)( 2

xR

xxxq

¡AHORA INTENTALO TÚ!

Divide:

1

1542

432

xx

xxxx

232

732183623

23456

xxx

xxxxxx

2

232 5

x

xx

REGLA DE RUFFINI

Es un caso particular del método deHorner. Se utiliza cuando el divisor es lineal; esdecir, se aplica para dividir:

0;)(

abax

xD


ESQUEMA:

Coeficientes del Dividendo

Divisorigualado

a cero

a

bx

+

Coeficientes (a)Coeficientes del Cociente

Resto

Veamos el procedimiento con algunos ejemplos.

Ejemplos:

Divide:13

1273 324

x

xxxx

Ordenando y llevándolo al esquema tenemos:

+ + + +3 -2 -7 1 1

013 x1x -1 1 2 -1

3 3 -3 -6 3 0

3 3 3 31 -1 -2 1 Resto

x3 x2 x T.I.

Entonces:

0)(

12)( 23

xR

xxxxq

NOTA.- En el esquema de Ruffini el resto obtenido

siempre es un polinomio constante.

Divide:2

232 5

x

xx

Ordenando, completando y llevándolo alesquema tenemos:

+ + + + +2 0 0 0 -3 2

02 x2x 4 8 16 32 58

2 4 8 16 29 60

x4 x3 x2 x T.I. Resto

Entonces:

60)(

2916842)( 234

xR

xxxxxq

NOTA.- Cuando el divisor es mónico a = 1, los

coeficientes del cociente se obtienen en forma directa.

¡AHORA INTENTALO TÚ!

Divide:

2

323

x

xx

13

686 23

x

xxx



I. DATOS GENERALES

Curso: : Álgebra


Tema : Ecuación lineal (5ta semana)



DESARROLLO T

INIC

IAL

Se da el saludo respectivo y se toma unos minutos para conversar sobre la importanciade que tiene el valorar el esfuerzo y sacrificio que tienen que hacer los padres para daruna educación a sus hijos y que algunos no responden a las expectativas, se reflexionasobre ello.

Luego se inicia el tema planteando algunas interrogantes ¿A que denominamosigualdad? ¿A que denominamos ecuación? ¿Para que nos sirve las ecuaciones? ¿Lasecuaciones lineales serán utilizadas en nuestro entorno? ¿Donde?

30’

INT

ER

ME

DIA

Luego de las ideas de los estudiantes acerca de las preguntas se procede a desarrollarel tema. La secuencia del contenido es: igualdad, ecuación, solución de una ecuación,conjunto solución, ecuación lineal.

La metodología en esta fase es partir de ejemplos sencillos hasta llegar a ejercicios mascomplicados, en todo momento el maestro guía e intercambia ideas con el estudiante.Se realiza un trabajo personalizado con aquellos estudiantes que su aprendizaje es máslento.

100’

FIN

AL

En esta fase se resuelven los ejercicios propuestos en el material didáctico.

Luego mediante intervenciones recordamos lo aprendido en ecuaciones (Retroalimentación).

Finalmente se indica la tarea para la próxima semana y se recoge la tarea que se dejola semana pasada.

50’


ECUACION LINEAL

Nociones preliminares.-

Igualdad:

Es aquella representación simbólica que vinculados expresiones algebraicas mediante el símbolode igualdad “ = ” que indica que las expresionesrepresentan la misma cantidad.

Ejemplo:

15654321

Ecuación:

Es una “igualdad condicional” entre dosexpresiones algebraicas en la que participa almenos una variable (incógnita).

Ejemplos:

125 x

miembrosegundo

miembroprimer

xx 43 2

En toda ecuación podemos distinguir 2miembros: el 1er miembro, que esta a laizquierda del símbolo =; y el 2do miembro,que esta a la derecha.

Solución de una ecuación:

Es aquel valor de la incógnita que verifica laecuación.

Ejemplos:

En la ecuación 1325 x

o Si reemplazo 2x tenemos

138

132)2(5

(F)

NO se verifica la ecuación.

o Si reemplazo 3x tenemos

1313

132)3(5

(V)

SI se verifica la ecuación; entonces 3x

es solución.

1012 x

o Si :3x

101)3( 2 (V)

SI se verifica la ecuación;

Luego 3x es solución.

¿Si 3x verificará la ecuación?

SI, por lo tanto 3x es solución.

Importante: Cuando se trate de resolver unaecuación, tenemos que hallar el conjunto queagrupa a todas las soluciones, este conjunto esllamado Conjunto Solución (C.S.).

Ejemplos:

La ecuación 0164 xse verifica solo si 4xLuego 4CS

La ecuación 092 xsolo se verifica si 33 xyx

Luego 3;3CS

Toma nota:

Para resolver ecuaciones usaremos lasoperaciones básicas de polinomios y sobretodo la regla de las operaciones inversas,así: Lo que esta sumando en un miembro,pasa al otro miembro restando yviceversa. Lo que esta multiplicando en unmiembro, pasa al otro miembrodividiendo y viceversa.

Ejemplos:

Resolvamos las siguientes ecuaciones :


412 x

Transponiendo el número 1, para separarlos números y los términos con la incógnita

142 x

Operando32 x

Transponiendo el número 2

2

3x

Luego 2

3CS

4553 xx

111 xxxx

ECUACIÓN LINEAL

Es aquella que se reduce a la siguiente forma:

0;0 abax

Donde a, b son coeficientes reales

Ejemplos:

Resolvamos las siguientes ecuaciones lineales:

543 x

4)2(3)5(10 xx

15432 22 xx

32

1

16842

xxxx

943

5

2

xx

5

4

3

12

xx

aax

12

Rbaa

bx

b

ax

,;2

Si la ecuación lineal

42 2 abxxa

tiene como solución a 2x .Calcule el valor de ba .

En una prueba de 30 preguntas por cadapregunta correcta obtiene 4 puntos, por cadaincorrecta se le quita 1 punto y por cadapregunta no contestada 0 puntos. Si unestudiante obtuvo 82 puntos ¿Cuantaspreguntas incorrectas contesto, si por cadapregunta no contestada tenia 3 preguntascorrectas?

Resolución.-

Por el enunciado:Si x: preguntas no contestadas

3x: preguntas correctasLuego:

30-4x: preguntas incorrectasEntonces:

0x + 4(3x) - (30-4x) = 82Resolviendo se obtiene:

x = 7RPTA.- Contesto 2 preguntas incorrectas.



I. DATOS GENERALES

Curso: : Álgebra


Tema : Ecuación cuadrática (6ta semana)



DESARROLLO T

INIC

IAL

Se da el saludo respectivo y conversamos sobre algún hecho relevante del contextonacional buscando en todo momento las opiniones y la crítica de los estudiantes.

Se inicia la sesión generando un debate para ello se plantea algunas interrogantes ¿Porqué se estudian las ecuaciones cuadráticas? ¿Crees que se utilizaran en añossuperiores? Según la respuesta de los estudiantes se orienta mencionando que lasecuaciones han sido tratadas por numerosos personajes a lo largo de la historia y en laactualidad es uno de los temas más importantes por sus distintas aplicaciones.

20’

INT

ER

ME

DIA

Se desarrolla el contenido a partir de ejemplos particulares llegando a lasgeneralizaciones, aquí la participación del estudiante es permanente. La secuencia delcontenido es: ecuación cuadrática y resolución (aspa simple y fórmula). y teorema deCardano - Vieta.

El maestro genera un clima de confianza para que el estudiante absuelva sus dudas. Seda apoyo personalizado a estudiantes que presentan dificultades.

110’

FIN

AL

En esta fase se resuelven los ejercicios propuestos en el material didáctico.

Luego mediante intervenciones recordamos lo aprendido en ecuaciones (Retroalimentación).

Se indica la última tarea del ciclo escolar y se saluda la responsabilidad de aquellosestudiantes que cumplieron con presentar las tareas.

Finalmente se recoge la tarea que se dejo la semana pasada.

50’


0,02 acbxax

ECUACIÓN CUADRÁTICA

Ejemplos:

53 2 x

142 xx

072 2 xx

Concepto:

Es aquella ecuación que se genera al compara concero un polinomio cuadrático; es decir presenta laforma:

donde a ,b , c son coeficientes reales.

Nota:

* Es llamada también ecuación de segundo grado.* Toda ecuación cuadrática tiene 2 raíces: x1 y x2.

Resolución:

Para resolverla podemos emplear:

1. FACTORIZACIÓN

Resolvamos las siguientes ecuaciones cuadráticas:

xx 73 2

Transponemos x7 al primer miembro

073 2 xx

Se observa que la variable x se repite enlos dos términos; luego lo extraemos yqueda

0)73( xx

De aquí

0x ó 073 x

Entonces

0x ó 3/7x

Luego

3/7;0CS

11)1(25 2 x

Aplicamos la propiedad distributiva en elPrimer miembro

112525 2 x

Transponemos -25 al segundo miembro yqueda

3625 2 x

Transponemos 25 al segundo miembro yqueda

25

362 x

Ahora extraemos la raíz cuadrada y tenemos

5

6x

Luego

5/6;5/6 CS

0235 2 xx

En este caso aplicamos el aspa simple, paraello se descomponen los extremos tratandoque el producto en aspa y la posterior suma delos resultados sea igual al término central;veamos

De aquí escribimos0)1)(25( xx

Entonces

025 x ó 01 x

Esto es equivalente a afirmar que

5

2x ó 1x

Luego

1;5/2 CS

0235 2 xx5x1x

-2 → -2x1 → 5x

3x

+


0,02 acbxax

015268 2 xx

023 22 aaxx

2. FÓRMULA

La ecuación:

Tiene por raíces a:

Resolvamos las siguientes ecuaciones cuadráticas:

0153 2 xx

Primero identificamos los coeficientes153 cba

Reemplazamos estos coeficientes en laFórmula

)3(2

)1)(3(4)5()5( 2

1

x

Efectuamos

6

1351

x

Similarmente

6

1352

x

Luego

6

135CS

03105 2 xx

0122 xx

xxx 4)3)(3(

Propiedad (Teorema Cardano - Vieta):

En la ecuación cuadrática

02 cbxax

de raíces: , .

Se cumple:

1.- SUMA DE RAICES

a

b

2.- PRODUCTO DE RAICES

a

c

Ejemplos:

En 072 2 xx ;

de raíces: , se cumple:

2

1

2

7

En 015268 2 xx

Determine:

la suma de raíces el producto de raíces

Ejercicios de aplicación:

1. Halle un número positivo cuyo cuadrado,disminuido en 119 es igual a 10 veces elexceso del número con respecto a 8.

Resolución:

a

acbbx

2

42


Sea x: el número buscado

Del enunciado

)8(101192 xx

Resolviendo se obtiene

13x

2. En una reunión las personas queasistieron se estrecharon la mano. Uno deellos menciono que los apretones de manofueron 66. ¿Cuántas personas asistieron ala reunión?

Resolución:

Sea x: cantidad de personasCuando una de las personas da la mano,esta efectúa x-1 apretones de mano.Luego el total de apretones de mano debeser x(x-1). Además hay que tener encuenta que cuando uno da la mano a otro,este estrecha la mano de uno; luego estosdos apretones de mano deben serconsiderados como uno solo. Enconsecuencia tenemos:

662

)1(

xx

Ósea 01322 xx

De donde x = -11 ó x =12; la primeracarece de sentido. Luego en la reuniónestuvieron 12 personas.

3. Sea },{ sr el conjunto solución de la

ecuación

0132 xx

Calcule22

11

srE

4. Sabemos que las raíces de la ecuación

0302 bxx

son positivas y la diferencia entreellos es 7. Indique el valor de b.



I. DATOS GENERALES

Curso: : Álgebra


Tema : Problemas diversos (7ma semana)



DESARROLLO T

INIC

IAL

El ingreso del maestro al aula es alegre, se saluda cordialmente a los estudiantes y seconversa sobre el ciclo escolar y de las actividades que realizaron.

Luego mediante la lluvia de intervenciones, hacemos un repaso de todos los temasdesarrollados en el ciclo.

30’

INT

ER

ME

DIA

El maestro y los estudiantes en forma colectiva desarrollarán los problemas delmaterial didáctico. El objetivo es profundizar los temas tratados mediante el análisis,reflexión y debate de ideas con orientación del maestro. La participación de losestudiantes es constante a través de sus intervenciones.

140’

FIN

AL

Se dan las últimas palabras de despedida y se les invita a participar en el próximo año. 10’


Documents

ciclo escolar