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Software para el Clculo de Patrones de Radiacin de Arreglos Lineales deAntenas

J. L. Ramos Quirarte.M. J. Martnez Silva, G. A. Vega Gmez, y M. S. Ruiz PalaciosDepartamento de Electrnica, CUCEI

Universidad de GuadalajaraAv. Revolucin 1500, Puerta 10, Mdulo O, S. R., C.P. 44840, Guadalajara, Jalisco

Tel. (1) 36-19-84-71 Fax (1) 36-19-84-71 e-mailjramos@cucei.udg.mx

Resumen.

En este documento se describen las caractersticasde un Software desarrollado en matlab para elClculo de Patrones de Radiacin de ArreglosLineales de Antenas del tipo dipolo. El softwareincluye, entre otras opciones, el anlisis y diseo dearreglos clsicos de fase progresiva, y los deamplitud de excitacin no uniforme. Algunos

aspectos relevantes del software son la simulacin,mediante el clculo directo de campos, el anlisis desensibilidad y de respuesta de frecuencia, as comoel uso de una distribucin de corriente en el dipolocalculada mediante el mtodo de momentos. Losresultados obtenidos son validados mediantecomparacin con resultados presentados en otraspublicaciones.

I. Introduccin

Los arreglos de antenas (conjuntos de antenassimples, generalmente iguales, acomodadas en una

disposicin fsica determinada y excitadasadecuadamente) constituyen una alternativa paragenerar un patrn de radiacin de caractersticas

deseadas, tales como direccin del lbulo mayor,ancho de haz, ubicacin de nulos, entre otros.

Los arreglos se clasifican en funcin de la ubicacinde sus elementos y de las caractersticas de lasseales de excitacin. Los arreglos lineales deantenas son aquellos en los que los elementos delarreglo se encuentran ubicados sobre una lnearecta, con separacin uniforme o no uniforme[1-3].

En la Fig. 1 se ilustran las variables dimensionales deun arreglo lineal genrico, en el cual, la intensidad decampo elctrico en la zona lejana producido por elarreglo se puede escribir como [4]

(1)AFEE 1donde es el campo elctrico producido por la

antena 1. AF se conoce como factor de arreglo, yest dado por [1-3]

1E

(

=+

=

N

k

kdj

kkk

eaAF1

cos )

(2)

Figura 1. Disposicin fsica de un arreglo lineal de antenas

NI

I

I

I

I

Pr

Nd

4d

d3d

x

r =r

=

7a. Conferencia de Ingeniera Elctrica. Mxico, D.F. 5, 6, 7 de Septiembre de 2001

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mailto:jramos@cucei.udg.mxmailto:jramos@cucei.udg.mxmailto:jramos@cucei.udg.mx

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Solamente en el factor de arreglo existen 3(N-1)variables de diseo, por lo que se hace necesarioutilizar programas de cmputo para disear arreglosde antenas.

En este trabajo se presenta el desarrollo y utilizacinde un software cuyo propsito es facilitar el diseo yanlisis de arreglos lineales de antenas, incluye un

programa para obtener el patrn producido por undipolo de longitud ajustable, el cual se usa comoelemento del arreglo. El programa permite elegirentre una distribucin de corriente ideal de tiposenoidal, para el dipolo, o una distribucin obtenidapor el mtodo de momentos.

II. Caractersticas del Software

El software desarrollado consiste de 30 archivos, queen su mayora corresponden a funciones que sonsolicitadas a partir de un programa principal cuyonombre es arreglo.m [5]. Este programa presenta

una serie de mens que facilitan una seleccindeseada.

El men principal dispone de opciones paraespecificar las caractersticas fsicas y de excitacindel arreglo. En cuanto a la geometra, se puedeelegir a los dipolos en forma colineal o en paralelo(horizontal), considerando mltiples opciones para laseparacin y la excitacin en amplitud. Ademscuenta con diversas opciones para llevar a cabo elanlisis, la simulacin y el clculo de la matriz deimpedancias.

En el anlisis de arreglos, se puede graficar el patrnde radiacin del propio dipolo utilizando unadistribucin ideal de corriente de tipo senoidal ocalculando dicha corriente a partir del mtodo demomentos. Tambin se presenta el clculo del Factorde Arreglo y del Patrn de Radiacin Total, donde sepresentan opciones de grficas tridimensionales.

Dos anlisis adicionales son el anlisis de larespuesta de frecuencia y el anlisis de sensibilidad.En este ltimo caso, se puede observar la variacinde las caractersticas de radiacin respecto acambios en los diversos parmetros del Arreglo, talescomo: longitud del elemento, posicin de loselementos, amplitud y fase de excitacin de cadaelemento.

III. Patrn de Radiacin de un Dipolo

El dipolo consiste en un par de alambresacomodados colinealmente y separados por un

pequeo espacio en el cual se aplica la excitacin.Idealmente la separacin debe ser cero, as como eldimetro del alambre, de tal manera que se tiende aformar un alambre filamental continuo. La Fig. 2(a)muestra un dipolo orientado en el eje z y ubicadosimtricamente respecto al origen, mientras que en laFig. 2(b) se presenta su patrn de radiacinproducido usando una distribucin de corrientesenoidal,

z

rE

Figura 2. Dipolo y su patrn de radiacin de campo elctrico

y

x

E

E

r

(a) Dipolo con sus componentes de campoelctrico asociadas.

(b) Patrn de radiacin de un dipolo demedia longitud de onda.

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En la regin de campo lejano, el campo elctricoproducido por un dipolo con una distribucin decorriente filamental de forma senoidal est dado por

sen

2coscos

2cos

2

0

klkl

r

eIjE

jkr (3)

Ya que no es posible tener un alambre filamentalrealmente continuo, es necesario considerar elespacio entre los alambres del dipolo, as como sudimetro. En tal caso, la excitacin senoidal sedeforma, y por lo tanto, el patrn de radiacin deja deser expresada adecuadamente por la Ec. (3). Unaforma ms aproximada de determinar la distribucinde corriente, y por tanto el patrn de radiacin, esaplicando la ecuacin de Pocklington a la frontera deun dipolo cilndrico con espaciamiento diferente de

cero y resolvindola por el mtodo de momentos.

La ecuacin de Pocklington relaciona unadistribucin de corriente filamental con el campoelctrico existente sobre el mismo filamento, ver Ec.(4). Es posible aplicar la ecuacin de Pocklington aun cilindro de radio finito, obteniendo entonces unplanteamiento donde se escribe una ecuacinintegral, en la cual, la incgnita es la corriente en eldipolo.

( ) iz

,,,

z Ejdzz,zGk

z)z(I

l

l=

+

2

2

22

2

en

(4a)

a=

El factor de arreglo de arreglos con amplituduniforme y fase progresiva se puede obtener a partirde la Ec. (2), haciendo

donde:

( ) ,jkR

, dR

ez,zG

=

2

0 42

1 (4b) dddd ,2,,01 === L

( )2222

4 ,,

zzsenaR +

= (4c)

El mtodo de momentos es un mtodo deaproximacin que ayuda a resolver ecuaciones

integrales, en donde el integrando es la incgnita.Como parte del mtodo se debe elegir una familia defunciones linealmente independientes, llamadasfunciones base, cuya suma ponderada correspondea la solucin. Los factores de ponderacin son ahoralas incgnitas a encontrar. Adicionalmente, se debedefinir un conjunto de funciones linealmenteindependientes, conocidas como funciones depesado, as como un producto interno, entre lasfunciones base y las funciones de pesado [1,5,6].

Se desarroll un programa para resolver la ecuacinde Pocklington que utiliza funciones base tipopedestal de subdominio, y funciones de pesado tipodelta de Dirac. El producto interno involucra unaintegracin. Una vez conocida la distribucin decorriente se calcula el valor de la funcin potencialauxiliar a una distancia especfica, para luego

determinar el campo elctrico en tal punto.

En la Fig. 2 (b) tambin se muestra el patrn deradiacin del campo elctrico producido por un dipolode media longitud de onda con una separacin de1/71 de la longitud del dipolo, y con un dimetro de0.002 veces la longitud de onda, y calculado a unadistancia de 40 longitudes de onda. Esto con el fin decontrastarlo respecto al producido con la distribucinde corriente senoidal. Tales grficas fueron obtenidasejecutando el programa arreglo, especificando el usode dipolos de media longitud de onda con orientacincolineal, y usando las opciones de men: Anlisis >

Patrn del dipolo > Distribucin Senoidal, y Anlisis >Patrn del dipolo > Mtodo de Momentos.

IV. Factor de Arreglo de Arreglos conFase Progresiva

Dentro de los arreglos lineales de separacinuniforme, existen desarrollos clsicos donde semaneja la amplitud uniforme y fase progresiva. Enesta seccin se ilustra el uso del softwaredesarrollado en el anlisis de arreglos con faseprogresiva.

dNdd N )1(,32 = (5a)

121 ==== Naaa L (5b)

)1(,,2,,0 321 ==== NNL (5c)

y dividiendo entre el nmero de elementos, seobtiene el factor de arreglo normalizado

( )=

=N

n

nj

n eN

AF1

11 (6a)

donde

= coskd + (6b)

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des la distancia entre los elementos y es la fase

progresiva. En este caso, el nmero de variables dediseo se reduce a 3 (nmero de elementos, suseparacin y su fase progresiva). Es posibledemostrar que la Ec. (6) se puede escribir como [7,8]

( )

( )

2

2

2

2 2121

N

Nsene

sen

Nsen

N

eAF Nj

Nj

N

= (7)

donde la aproximacin es aplicable cuando

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arreglo de este tipo. Para cada eleccin, el factor dearreglo tendr caractersticas de radiacin diferentes.Las distribuciones de amplitud mas estudiadas en laliteratura son: La distribucin Binomial, y la Dolph-Tschebysheff.

V.1.- Distribucin Binomial

La distribucin Binomial es llamada as porque lasamplitudes de excitacin son elegidas a partir de laexpansin Binomial

K++++=+ 342

32

11)1( xPxPxPx mmm

m (13a)

donde

( ) ( im

rP

r

imr

=

=

1

1!1

1) para (13b) cosz=

2

2

r

mdonde cuandou 1z , en cuyo caso la relacin

entre zy uest dada por .uz cosh=Los polinomios de Tschebyscheff se puedenexpresar en la forma equivalente

( ) ( )zmzTm1coscos = (17)

( ) ( )zcoshmcoshzTm1= (18)

En la Fig. 5 se muestra la grfica de algunos deestos polinomios. Es importante observar que para

cada valor de existe una correspondencia con u y

. En la Fig. 5, se identifica un punto en la

regin

z 0z

1>z . Cuando este punto se hace

corresponder a (direccin del lbulo

mayor), es posible establecer una relacin respecto a

=900

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lbulos laterales deseada , la cual se define como0R

( ) 01

00 cosh zmzTR m ==

n

cosh . Al expander la

Ec. (11) (12) e igualndola con el polinomio deTschebyscheff de grado N-1, es posible determinar

los coeficientes a que hacen que el factor de

arreglo adopte la forma de tal polinomio.

Figura 5. Polinomios Tschebyscheff de rdenes ceroal cinco

En la Fig. 6 se muestra el factor de arreglo producidopor una distribucin de amplitud tipo Dolph-Tschebyscheff con un arreglo de 8 elementos y unarelacin de lbulos de 15 dB. Esta grfica se obtieneespecificando las opciones de men AmplitudVariable y Fase cero > Distribucin Dolph-Tschebyscheff, y posteriormente, se seleccionan lasopciones de men: Analisis > Factor de Arreglo.

Figura 6. Factor de arreglo Dolph-Tschebyscheff deocho elementos y relacin de lbulos de 15 dB.

V.3.- Otras Distribuciones de Amplitud

El software incluye el anlisis de arreglos con otrasdistribuciones de amplitud no clsicas, tales como:Triangular, coseno y coseno cuadrado, las cualesfueron incorporadas con fines de exploracin. Seencontr que algunos patrones resultan con

caractersticas interesantes. En la Fig. 7 se muestrael factor de arreglo resultado de aplicar unadistribucin tipo coseno cuadrado de 21 elementos.En este caso, la relacin de lbulos es de 20.13 dB.

Figura 7. Factor de arreglo coseno cuadrado de 21

elementos

VI. Factor de Arreglo de Arreglos conSeparacin No Uniforme

Los arreglos lineales clsicos se caracterizan porposeer una separacin uniforme entre los elementosy se varan tanto la amplitud como la fase deexcitacin para lograr ciertas caractersticas deradiacin. Sin embargo, el principio de multiplicacinde patrones no est restringido a esta condicin, sinoque es aplicable a arreglos con elementos idnticos y

orientados en la misma direccin. En esta seccin sepresentan factores de arreglo con separacin nouniforme. Con fines de exploracin, se desarrollaronrutinas para definir espaciamientos entre loselementos del mismo tipo que los utilizados enarreglos de amplitud no uniforme. Las distribucionesde espaciamiento definidas son de tipo: Binomial,Tschebyshev, Geomtricas y Senoidal.

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La geometra de los arreglos lineales de separacinno uniforme se ilustra en la Fig. 8 se puede clasificaren dos tipos: Simtricos y no simtricos. A su vez sedistinguen dos tipos de arreglos simtricos, aquellosque tienen un nmero par o impar de elementos. Elfactor de arreglo correspondiente a estos arreglosviene dada por

Arreglo no simtrico (N+1 elementos)

AF e e ejkd jkd jkdN= + + + +1 2 3cos cos cos. . . .

1

1

(19a)

AF ejkd

n

N

n==

cos1

donde: (19b)d1 0=

Arreglo simtrico con nmero par de elementos (2Melementos)

( )( )

AF e e e

e e e

jkd jkd jkd

jkd jkd jkd

M

M

= + + ++ + + +

1 2

1 2

cos cos cos

cos cos cos

. . .

. . .

(20a)

AF kdnn

M

==

cos( cos )1

(20b)

Arreglo simtrico con numero impar de elementos

(2M+1 elementos)

AF e e e

e e e

jkd jkd jkd

jkd jkd jkd

M

M

= + + + +

+ + + +

+

+

2 2 3

2 3

cos cos cos

cos cos cos

. . .

. . .

(21a)

AF kdN nn

M

==

+

cos( cos )1

1

donde: (21b)d1 0=

Figura 8. Geometra de arreglos lineales de separacin no uniforme

z

d

d4

r

rr

r

zz

r

r

r

r

r2

r3

r4

d

d4

r

r2d3

r

d

r1

r2

r3

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En la Fig. 9 se muestran algunos ejemplos dearreglos con espaciamiento no simtrico tipoBinomial. Las unidades son multiplicadas por unespaciamento especfico.

1

o--o1 1o--o--o1 2 1o--o----o--o1 3 3 1o--o------o------o--o1 4 6 4 1o--o--------o------------o--------o--o1 5 10 10 5 1o--o----------o------------------o-----------------o----------o--o

Figura 9. Arreglo con espaciamiento tipo binomial

Similarmente, se pueden definir espaciamientos quesigan una distribucin tipo Tschebysheff. Para estecaso se utiliz el valor absoluto de los coeficientes deTschebycheff con el fin de establecer las distanciasentre los elementos del arreglo. La naturaleza deestos polinomios hace ms adecuado utilizar arreglosno simtricos. En la Fig. 10 se muestran los arregloscon espaciamiento Tschebycheff analizados.

1caso 1: o-o

1 2

caso 2: o-o--o3 4caso 3: o---o----o

1 8 8caso 4: o-o-------o--------o

5 20 16caso 5: o-----o-----------o--------------o

1 18 48 32caso 6: o-o---------o------------------o-------------o

7 56 112 54caso 7: o-----o----//-----o-------//-----o----//------o

1 32 160 256 128caso 8: o-o----//----o----//----o----//---o----//-----o

Figura 10. Arreglos con espaciamiento Tschebycheff

En [9] se presentan detalles de las distribuciones deespaciamiento tipo geomtricas y senoidales.

En la Fig. 11 se muestran algunos ejemplos defactores de arreglo obtenido usando el software.

a).- Binomial, 5 el. (l=1)

b).- Tsch., 3 el. (l=1)

c).- Geom., 5 el. (l=2)

f).- Sen., 3 el. (l=1)

Figura 11. Factores de arreglo calculados

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VII. Anlisis de Sensibilidad

Al realizar el diseo de un arreglo, se conoce laposicin de los elementos, as como la amplitud yfase relativas en cada uno de ellos. Para laconstruccin y diseo de la red alimentadora, ocombinadora de seal (en caso de que sea unarreglo receptor), es til determinar que tan sensibleson las caractersticas del patrn de radiacin comofuncin de pequeas variaciones de los diversosfactores de los cuales depende, de manera que sepuede conocer a cual de estos factores se debe detener mas cuidado durante el proceso de fabricacindel arreglo.

El software desarrollado permite realizar un anlisisde sensibilidad en funcin de los siguientes factores:la longitud del dipolo, la posicin de los elementos,las amplitudes de excitacin y la fase de excitacin.Para obtener los factores de sensibilidad, el softwarerealiza el clculo del patrn de radiacin

repetidamente, y determina numricamente lasvariaciones de las caractersticas. La rutinaanalpat.manaliza las caractersticas mas relevantesdel patrn de radiacin, y es fundamental en elanlisis de sensibilidad.

Antes de realizar un anlisis de sensibilidad, esconveniente observar el patrn de radiacin total.Como un ejemplo, en la Fig. 12 se muestra el patrn

de radiacin de un arreglo de 8 dipolos de 0.25delongitud acomodados colinealmente y separados

0.75. Las caractersticas del patrn de radiacinproporcionados por el software, al graficar el patrn

de radiacin total, son: Direccin del lbulomayor=60, Ancho de haz=13, Directividad=4.84 yRelacin de lbulos=3.684.

Figura 12. Patrn total obtenido por medio demultiplicacin de patrones

Para realizar el anlisis de sensibilidad respecto a laposicin de los elementos, por ejemplo, se eligen lasopciones de men: Analizar > Sensibilidad > Posicinde los dipolos. Las caractersticas analizadas por elsoftware son: Direccin del haz principal, Ancho dehaz, Directividad y Relacin de lbulos. En la Fig. 13se ilustran las grficas que presenta el softwarecuando se hace este anlisis de sensibilidad. Se

observa, que la direccin del haz, as como el anchodel haz principal no varan, al menos en formaimportante, respecto a cambios de posicin de losdipolos. De la grfica de directividad se observa quees mas sensible a los elementos contiguos a lasorillas. Por otro lado, la relacin de lbulos cambiamas fuertemente mientras el elemento se encuentremas en la orilla. El ancho del haz principal as comosu direccin prcticamente no sufren cambios.

Figura 13. Curvas de sensibilidad de lascaractersticas del patrn total respecto a la

posicin de los elementos del arreglo

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VIII. Anlisis de Respuesta enFrecuencia

Similarmente al anlisis de sensibilidad, esimportante establecer la forma en la que varan lascaractersticas de un patrn de radiacin comofuncin al cambio de frecuencia, ya que, en general

las seales aplicadas a una antena o a un arreglo deantenas poseen cierto ancho de banda. El softwaredesarrollado permite determinar la respuesta defrecuencia desde 0.8 a 1.2 veces la frecuencia dediseo. El software calcula algunas caractersticasdel patrn de radiacin en forma repetida paradiferentes frecuencias, y presenta un conjunto degrficas que ilustran las variacionescorrespondientes. Las caractersticas analizadas son:Direccin del lbulo mayor, ancho de haz,directividad y relacin de lbulos. El cambio defrecuencia es considerada a travs del cambio dedimensin equivalente en el arreglo el elemento. En

la Fig. 14 se muestra el anlisis de respuesta defrecuencia para el arreglo cuyo patrn de radiacintotal se present en la Fig. 12. Se observa que el hazprincipal se desplaza desde mas de 65 a 55aproximadamente en todo el intervalo de frecuencia.El ancho de haz se incrementa con el incremento dela frecuencia. La directividad disminuye, mientras quela relacin de lbulos aumenta, aunque se presentaun cambio de pendiente aproximadamente en 1.1veces la frecuencia central.

Figura 14. Curvas de respuesta de frecuencia de lascaractersticas del patrn total.

Referencias:

[1] C. A. Balanis, Antenna Theory Analysis and

Design, John Wiley, 1997.[2] W. L. Stutzman & G. A. Thiele, AntennaTheory and Design, John Wiley, 1981.

[3] T. A. Milligan, Modern Antenna Design, McGraw-Hill, 1985.

[4] R. E. Collin, Antennas and RadiowavePropagation, Mc Graw-Hill, 1985.

[5] Manuales de Matlab.[6] C. A. Balanis, Advanced Engineering

Electromagnetics, John Wiley, 1989.[7] J. Ramos, G. Vega, M. Martnez, J.

Hernndez, M. Ruz, Arreglos Lineales deAntenas y Dispositivos de Excitacin,Congreso SOMI XI, Morelia, Mex., 1996.

[8] J. L. Ramos, M. J. Martnez, Ma. SusanaRuz, G. A. Vega Anlisis de ArreglosLineales de Antenas apoyados porComputadora y Clculo Numrico de laImpedancia Propia y Mutua basada en elMtodo de Momentos, Congreso SOMI XIII,Ensenada, Mex., 1998.

[9] J. L. Ramos, G. A. Vega, M. J. Martnez,Arreglos Lineales de Antenas conSeparacin No Uniforme, SOMI XII, SanLuis Potos, Mex., 1997.

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