sla v matematike

Obsah

seln obory

Prirodzen sla

Histria prirodzench selZa dvnych ias udia potali iba na prstoch, neskr robili zrezy na tykch alebo uzly na povrzkoch. Star Grci u poznali gukov potadlo nazvan abakus. Podobn sa pouvalo v starej ne pod nzvom suan-pan a v Japonsku ako soroban.Pvodn obyvatelia strednej Ameriky poznali a pouvali podobn potadl. Dnen doba priniesla do kl elektronick kalkulakya vkonn potae.

o je to prirodzen slo?Prirodzen sla, s sla, ktormi vyjadrujeme poet predmetov, osb, vec a pod., t.j. 1, 2, 3 ... Tto mnoinu sel oznaujeme N.Mnoinu prirodzench sel rozren o slo 0, oznaujeme N0 .

Zkladn aximy

Komutatvny zkon stavaniaa + b = b + aTento zkon sa tie nazva aj pravidlo zamenitenosti poradia stancov, o znamen, e meme zameni poradie stavania a vsledok je stle ten ist.

Asociatvny zkon stavaniaNazvan aj pravidlo ubovonho zdruovania stancov, z oho vyplva, e pri stan nezle na umiestnen ztvoriek a vsledok bude ten ist.(a + b) + c = a + (b + c)

Komutatvny zkon nsobeniaTento zkon sa tie nazva aj pravidlo zamenitenosti initeov pri nsoben, o znamen, e meme zameni poradie nsobenia a vsledok je stle ten ist.ababa . b = b . a

Asociatvny zkon nsobeniaNazvan aj pravidlo ubovonho zdruovania initeov pri nsoben, z oho vyplva, e pri nsoben nezle na umiestnen ztvoriek a vsledok bude ten ist.(a . b) . c = a . (b . c) abccba

Distributvny zkonTaktie nazvan ako pravidlo nsobenia stu dvoch alebo viacerch stancov, hovor o tom, e set sel v ztvorke a nsledn vynsobenie je to ist ako roznsobenie ztvoriek a nsledn stanie sel.(a + b).c = a.c + b.cbaa.(b + c) = a.b + a.ctzv. av distributvny zkontzv. prav distributvny zkonbc

Delitenos prirodzench selAk pre prirodzen sla a, b plat a = bx, kde x je tie prirodzen slo, hovorme, e slo aje nsobkom sla b alebo e slo b je deliteom sla a. Tie hovorme, e slo aje slom b deliten alebo b|a, teda b del slo a.Prirodzen slo, ktor okrem nevlastnch (trivilnych) deliteov, nem in delitele sa nazva prvoslo.ubovon prirodzen slo n>1 je deliten 1 a sebou samm. Tieto delitele sa nazvaj nevlastn alebo trivilne delitele.Prirodzen slo n m vlastn delitele prve vtedy, ak je deliten okrem n a 1, aj inm slom.sla, ktor maj vlastn delitele nazvame zloen sla.

Kritria delitenostiDelitenos tromiDelitenos tyrmiDelitenos piatimiDelitenos iestimiDelitenos smimiDelitenos deviatimiDelitenos desiatimiDelitenos jedenstimiDelitenos dvoma

Rozdiel medzi slom a cifrousla v desiatkovej sstave zapisujeme pomocou desiatich symbolov, ktor nazvame slice alebo cifry. S to slice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Kad slo je zloen najmenej z jednej slice (cifry).Poda potu slic (cifier) poznme sla:Jednocifern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Dvojcifern: 10, 11, 23, 35, ...Trojcifern: 100, 150, 222, 235, 621, ...at.

Dekadick zpisKad slo v desiatkovej (teda nami pouvanej) sstave sa d jednoznane zapsa v tvare:Naprklad:13 045 =1.104 + 3.103 + 0.102 + 4.101 + 5.100 = 1.10000 + 3.1000 + 0.100 + 4.10 + 5.1Cifra na mieste:100 sa nazva jednotka101 sa nazva desiatka102 sa nazva stovka103 sa nazva tiscka104 sa nazva desatisckaat.slo 13 045 m:5 jednotiek4 desiatky0 stoviek3 tiscky1 desatiscku

Delitenos dvomaPrirodzen slo N je deliten dvoma, ak m na mieste jednotiek prnu slicu (t.j. niektor zslic 0; 2; 4; 6; 8). Zadaj slo a over si, i je slo deliten dvoma:Prklad: slo 78 124 je deliten dvoma, pretoe

Delitenos tromiTromi je deliten prirodzen slo N, ktorho cifern set je deliten tromi.Zadaj slo a over si, i je slo deliten tromi:Prklad: slo 23 127 je deliten tromi, pretoe 2+3+1+2+7=15, priom 15 je deliten tromi.

Delitenos tyrmityrmi je deliten prirodzen slo N, ktorho posledn dvojslie je deliten tyrmi.Zadaj slo a over si, i je slo deliten tyrmi:Prklad: slo 65 124 je deliten tyrmi, pretoe

Delitenos piatimiPiatimi je deliten prirodzen slo N, ktor m na mieste jednotiek slicu 0 alebo 5.Zadaj slo a over si, i je slo deliten piatimi:Prklad: slo 611 745 je deliten piatimi, lebo

Delitenos iestimiPrirodzen slo N je deliten iestimi, ak je sasne deliten dvoma aj tromi (t.j. prne slo aset cifier je deliten tromi).Zadaj slo a over si, i je slo deliten iestimi:Prklad: slo 53 214 je deliten iestimi, pretoe

Delitenos smimismimi je deliten prirodzen slo N, ktorho posledn trojslie je deliten smimi.Zadaj slo a over si, i je slo deliten smimi:Prklad: slo 97 336 je deliten smimi, lebo

Delitenos deviatimiDeviatimi je deliten prirodzen slo N, ktorho cifern set je deliten deviatimi. Zadaj slo a over si, i je slo deliten deviatimi:Prklad: slo 11 232 je deliten deviatimi, pretoe 1+1+2+3+2=9, priom 9 je deliten deviatimi.

Delitenos desiatimiPrirodzen slo N je deliten desiatimi, ak na mieste jednotiek m slicu 0. Zadaj slo a over si, i je slo deliten desiatimi:Prklad: slo 611 740 je deliten desiatimi, lebo

Delitenos jedenstimiPrirodzen slo je deliten jedenstimi, ak set cifier neprnych radov sa li od stu cifier prnych radov onsobok jedenstky alebo s tieto sty rovnak. Zadaj slo a over si, i je slo deliten jedenstimi:Prklad: slo 43 241 je deliten jedenstimi, lebo 1-4+2-3+4=0, t.j. sty cifier prnych a neprnych radov s rovnak.

Zisti si, m je slo delitenZadaj slo:

Prvosla

Vvoj a vyuitie prvoslaU viac ako 300 rokov pred Kristom, Euklides (365-300 pr. Kr.) dokzal vemi dleit vsledok a to, e prvosel je nekonene vea a kad prirodzen slo mono vyjadri sinom prvosel na tzv. prvoseln rozklad.Aj v ase potaov vyuvame na zskanie prvosel Eratostenovo sito, pretoe pomocou vekch prvosel meme zaifrova tajn sprvy tak, e s prakticky nerozltiten.V dnenej dobe poznme prvoslo, ktor v desiatkovej sstave m 895 932 slic. V exponencilnom tvare, ho meme zapsa ako 22976221 1, toto slo je prakticky nepredstaviten.

Defincia prvoslaPrklady na prvoslo:Najmenie prvosloubovon prirodzen slo n > 1, ktor je deliten prve dvoma slami (tzv.trivilnymi delitemi) teda, samm sebou ajednotkou nazvame prvoslo. Vetky prvosla menie ako 100:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 jedin prne prvoslo

Eratostenovo sitolohou vytriedi vetky prvosla sa prvkrt poksil vyriei Eratostenes (279-194 pred Kr.), poda ktorho je aj tento postup pomenovan. Princp spova na postupnosti prirodzench sel ponajc 2priom, najprv vykrtme kad prne slo nasledujce po 2, vyradme tak vetky nsobky 2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 ... alej krtme nsobky 3 vie ako 3, neskr nsobky 5 vie ako 5, ak u neboli vykrtan a takto pokraujeme alej. Je zrejm, e na hadanie prvosel mench ako napr. 100, sta vytriedi nsobky prvosel do 10 t.j. druh odmocnina zo 100. sla, ktor ostali nevykrtnut s nami hadan prvosla.

Prvoseln rozkladKad zloen slo je mon napsa ako sin niekokch prvosel, a to a na poradie initeov jedinm spsobom.Prklad: Rozlote na sin prvosel slo 245Skmame, i slo 245 je deliten niektorm z prvosel. Aby sme iadne nevynechali, zaneme od najmench prvosel.245 = 5 . 49 Rozkladme slo 49 49 u neme by deliten 2, 3; zaneme teda 5, ktor tie nedel 49. alie prvoslo je 7;49 = 7.7Kee 7 je prvoslo: slo 245 nie je deliten prvoslami 2, 3. Pri delen prvoslom 5 dostvame 245 = 5.49 = 5.7.7 = 5.72

Goldbachova hypotzaTto hypotza sa sklad z dvoch domnienok, a to: Kad prne prirodzen slo vaie ako 2 sa d vyjadri stom dvoch prvosel4 = 2+2 ; 5 = 3+2 ; 16 = 11+5 ; 30 = 17+13 kad prirodzen slo vie ako 6 sa d vyjadri stom troch prvosel.7 = 2+2+3 ; 14 = 7+5+2 ; 33 = 11+11+11Tieto hypotzy sa nikdy nepodarilo veobecne dokza, hoci prv hypotza bola potvrden pre vetky prne sla a do 100 000 000 previerkou na potai.Christian Goldbach (1690-1764)

PrkladIvana napsala na tabuu 9 prvosel mench ako 1000, priom na ich zpis pouila iba dve rzne slice (kad opakovane). Ktor prvosla napsala?Rieenie:3, 11, 13, 31, 113, 131, 311, 313, 331

Najv spolon deliteSpolonm deliteom dvoch alebo viacerch sel sa nazva slo, ktor del kad zdanch sel.Najv zo vetkch spolonch deliteov viacerch prirodzench sel sa vol ich najv spolon delite. slo D(a,b) budeme nazva najvm spolonm deliteom sel a, b.Najv spolon delite zistme pomocou:12 je deliten 1, 2, 3, 4, 6, 1218 je deliten 1, 2, 3, 6, 9, 18Spolon delitele 12 a 18 s 1, 2, 3, 6Najv spolon delite sel 12 a 18 je slo 6, t.j. D(12, 18) = 6Ak D(a,b) = 1 nazvame prirodzen sla a, b nesdeliten.

Prvoseln rozkladPrklad: Njdite najv spolon delite sel 24 a90.D(a, b)=?Rieenie:a = 24 = 23.31b = 90 = 21.32.51D(a, b) = 21.31 = 6Najv spolon delite viacerch prirodzench sel njdeme tak, e dan sla rozlome na sin prvosel. Z nich vyberieme vetky, ktor sa vyskytuj v obidvoch rozkladoch a maj najmen exponent. Ich sin je potom hadan najv spolon delite.

Euklidov algoritmusZistite najv spolon delite D(78,54)Vyli nm rovnak sla preto D(78,54) = 6Vyuitie pri mench slach

Euklidov algoritmus postupnho deleniaZistite najv spolon delite D(504,714)Vpoet:Vyuitie pri vch slach

Najmen spolon nsobokSpolon nsobok dvoch alebo viacerch prirodzench sel nazvame tak prirodzen slo, ktor je nsobkom kadho zdanch sel.Najmen zo vetkch spolonch nsobkov viacerch prirodzench sel sa vol ich najmen spolon nsobok. slo n(a,b) budeme nazva najmenm spolonm nsobkom sel a, b.Najmen spolon nsobok zistme pomocou:Nsobky 6 s 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...Nsobky 9 s 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...Spolon nsobky 6 a 9 s 18, 36, ...Najmen spolon nsobok sel 6 a 9 je slo 18, t.j. n(6, 9) = 18

Prvoseln rozkladNajmen spolon nsobok viacerch prirodzench sel njdeme tak, e dan sla rozlome na sin prvosel. Z nich vyberieme tie, ktor sa vyskytuj aspo v jednom rozklade a maj najv exponent. Ich sin je potom hadan najmen spolon nsobok. Prklad: Njdite najmen spolon nsobok sel 12 a80.n(a, b)=?Rieenie:a = 12 = 22.31b = 80 = 24 .51n(a, b) = 24.31.51 = 240

PrkladDoplte do sinovej "pyramdy" prirodzen sla tak, aby najvie doplnen slo bolo 315 a iadne dve doplnen sla neboli rovnak. Kokmi rznymi spsobmi sa to d spravi?Rieenie:315315

Cel sla

Histria celch selCel sla (vrtane zpornch) prenikali do matematiky dlho, pomaly a ako. Pojmy zpornch dok, plch a objemov dlho narali na nemonos nzornej predstavy. Naprklad matematik Michael Stiefel (1487-1567) nazval zporn sla nemon sla a Girolamo Cardano (1501-1576) fiktvne, neskuton sla. Sm Ren Descartes (1596-1650) oznaoval zporn korene rieenia rovnc ako falon, i nevlastn rieenia.

Nieo o sle nulaHistria tohto sla je vemi zaujmav. Hoci Mayovia pouvali symbol pre nulu u pred viac ako 1500 rokmi a Babylonania ju oznaovali przdnym miestom, objavenie nuly v Eurpe a jej rzne pomenovania nie s celkom prebdan. Najstar znmy zpis nuly z Indie je z roku 876 a jej najstarie latinsk pomenovanie bolo cipher zrejme z arabskho slova as-sifr s vznamom przdny, bezeln, jalov. V knihe Liber abacum Fibonacci (1170-1230) pouval vraz zephirum. Toto slovo sa postupne menilo zeuero, zepiro, zeron, na dnen anglick zero. Pouvali sa aj vrazy omikron, null a figura nihili.

Ak s to cel slaCel sla s tvoren mnoinou vetkch prirodzench sel 1, 2, 3, ..., mnoinou vetkch opanch sel k prirodzenm 1, -2, -3, ... a slom 0. Tto mnoinu sel oznaujeme Z.Kee v obore prirodzench sel nie je mon uri rozdiel a b, ak a < b, rozrime tento obor o nulu a opan sla k prirodzenm, t.j. o zporn sla.

Pravidl pre cel slaOkrem piatich zkladnch axim platia pre stanie a odtanie celch sel aj tieto pravidl:-a + (-b) = -(a+b)a + (-b) = a - ba - (-b) = a + b Pre nsobenie a delenie celch sel platia tieto pravidl:

+ . + = ++ : + = ++ . = + : = . + = : + = . = + : = +

Prvok neutrlny a opana + 0 = aV obore celch sel existuje prve jeden neutrlny prvok 0 pre stanie a prve jeden neutrlny prvok 1 pre nsobenie, priom pre kad cel slo a plat:V obore celch sel existuje ku kadmu prvku a opan prvok (-a), ktor je vzhadom na operciu stania inverznm prvkom:a + (-a) = 0a . 1 = aAk je a kladn slo, opan slo a je zporn. Ak je a zporn slo, opan slo a je kladn. slo 0 je samo k sebe opan, take 0=0.

Znzornenie na selnej osiCel sla na selnej osi znzornime:slo 0 sa vol poiatok.Obrazy kladnch sel s na jednej polpriamke, vpravo od poiatku selnej osi.Obrazy opanch sel a, -a s body selnej osi smerne zdruen poda poiatku.Obrazy zpornch sel s na opanej polpriamke, vavo od poiatku slenej osi.

PrkladPriemern teplota vzduchu v zime je o 30 stupov niia ako priemern teplota v lete a o 18 stupov niia ako na jese. Ak je priemern teplota vzduchu v zime a v lete, ak na jese je jej hodnota 13 stupov.Rieenie:13 18 = -5-5 + 30 = 25

Racionlne sla

Histria racionlnych selHoci Babylonania poznali zlomky, a Rhindov papyrus dokazuje, e prv ich cieavedome pouvali Egypania.Grcki matematici sa im usilovali vyhn, kee to nebolo vdy mon, pre niektor zlomky mali zvltne oznaenia. Prevrten hodnotu prirodzenho sla oznaovali dvoma malmi iarokami nad slicou:

o s racionlne sla?

Rozirovanie a krtenie zlomkovHodnota zlomku sa nezmen, ak nsobme itatea i menovatea tm istm slom.Rozri zlomok znamen nsobi jeho itatea i menovatea rovnakm slom rznym od nuly.Krti zlomok znamen deli jeho itatea i menovatea rovnakm slom rznym od nuly.Naprklad:Naprklad:Rozirovanie zlomkovKrtenie zlomkov

Porovnvanie zlomkov Z dvoch zlomkov s rovnakmi itatemi je v ten, ktor ma menieho menovatea., pretoe sla 3 a 2 s navzjom nesdeliten.Z dvoch zlomkov s rovnakmi menovatemi je v ten, ktor ma vieho itatea.

Uvedenie na spolonho menovateaAby sme mohli porovna dva zlomky, ktor nemaj rovnak itatele ani menovatele, treba jeden alebo obidva rozri tak, aby ich menovatele boli rovnak.rozrime zlomkyNaprklad:Existuje aj tzv. pkov pravidlo, ktor usporiadva zlomky takto:Naprklad:

Stanie a odtanie zlomkovAk s menovatele zlomkov rovnak, zlomky stame tak, e stame ich itateov a odtame ich tak, e odtame ich itateov.Ak s menovatele zlomkov odlin, musme uvies zlomky najprv na spolonho menovatea.

Nsobenie a delenie zlomkovDva zlomky nsobme tak, e itatea nsobme itateom a menovatea menovateom. Dva zlomky delme tak, e prv nsobme prevrtenou hodnotou druhho zlomku.

Zloen zlomokDelenie dvoch zlomkov meme napsa ako zloen zlomok a zloen zlomok meme psa ako podiel dvoch zlomkov.Zloen zlomok upravme na jednoduch tak, e sin vonkajch lenov p a s vydelme sinom vntornch lenov q a r.

Desatinn slaNaprklad:Desatinn sla maj za desatinou iarkou urit poet slic. Ak je tchto slic r, hovorme, e desatinn slo m r desatinnch miest.

Desatinn rozvojKad racionlne slo mono vyjadri v tvare konenho alebo nekonenho periodickho desatinnho rozvoja a naopak.Naprklad:konen desatinn rozvojnekonen desatinn rozvojPoznme:

Premieanie 1. Zmena racionlneho sla na desatinn slo2. Zmena desatinnho sla na racionlne slo Z racionlneho sla dostaneme desatinn slo delenm:Prklad:Zmena z konenho desatinnho rozvoja sla na racionlne sloZmena z nekonenho periodickho desatinnho rozvoja sla na racionlne slo Prklad:Prklad:

Nekonen desatinn rozvojPoznme:Periodick desatinn rozvojNeperiodick desatinn rozvoj u nie je z oboru racionlnych sel. Patr do oboru iracionlnych sel.Rdzo periodickNaprklad: Nerdzo periodickNaprklad:

Prklad Cifernk na klokanch hodinkch je rozdelen na 24 ast, zatia o na obyajnch hodinkch je rozdelen na 12 ast. To znamen, e mal ruika na klokanch hodinkch sa za de oto okolo cifernka len raz, nie dvakrt. V akej polohe sa nachdza mal ruika na klokanch hodinkch o 6. hodine poobede?Rieenie:

Iracionlne sla

Ak s to iracionlne sla?Iracionlne sla s sla, ktor maj nekonen neperiodick desatinn rozvoj, teda nemono ich zapsa v tvare zlomku ako racionlne sla, naprklad slo Ludolfovo sloTieto sla oznaujeme psmenom I., Eulerovo slo e = 2,718...

Posledn zpis znamen, e slo p2 je prne, preto aj p je prne a d sa napsa v tvare p = 2k, kde k je prirodzen slo. Teda o znamen, e aj q mus by prne. Teda ja p aj q by boli prne, t.j. sdeliten to je spor s predpokladom, e sla s nesdeliten.

slo Posk matematik Adam Kochaski (1631 - 1700) uril (geometrickou kontrukciou) slo pi s presnosou na 5 desatinnch miest. Vsledok uviedol v uebnici z roku 1685.|DC| = r . tg 30|AB|2 = |AC|2 + |CB|2 == 22 + (3 1/3)2 = 40/3 - 23 = =9,869231718|AB| = 3,141533339

Prklad Zistite vekos telesovej uhloprieky kocky, ktorej dka strany a=1 m.Rieenie:u2 = a2 + a2 u2 = 12 + 12u2 = 2u = 2

t=?t2 = a2 + u2 t2 = (2)2 + 12t2 = 3t = 3

Relne sla

Ak s to relne sla?Relne sla s tvoren mnoinou racionlnych sel a mnoinou iracionlnych sel. Tto mnoinu sel oznaujeme R.

Rovnos relnych selRovnos relnych sel m tieto zkladn vlastnosti:Pre kad slo a plat a = a (reflexvnos)Ak a = b, potom aj b = a (symetria) Ak a = b, b = c, potom aj a = c (tranzitvnos)

Nerovnos relnych selNerovnos relnych sel m tieto zkladn vlastnosti:Pre kad dve sla a, b plat prve jeden z tchto troch vzahov:Ak pre sla a, b, c platia vzahy a > b, b > c, potom plat a > cAk a > b a c je ubovon slo, potom plat a+c > b+cAk a > b a c je kladn slo, potom plat ac > bctrichotmiaa < b, a = b, a > b

Prvok neutrlny a inverzna + 0 = aV obore relnych sel existuje ku kadmu prvku a opan prvok (-a), ktor je vzhadom na operciu stania inverznm prvkom:a + (-a) = 0a . 1 = aV obore relnych sel existuje ku kadmu prvku a, okrem a=0, prevrten prvok a-1, ktor je vzhadom na operciu nsobenie inverznm prvkom:a . a-1 = 1V obore relnych sel existuje prve jeden neutrlny prvok 0 pre stanie a prve jeden neutrlny prvok 1 pre nsobenie, priom pre kad cel slo a plat:

Mnoina relnych sel R je:1. usporiadan2. hust3. spojitPre relne sla platia tie ist pravidl ako aj pre cel sla.

PrkladDo kadho obdnika vp jednu z slic 0, 1, 2, ..., 9 tak, aby rozdiel dvoch desatinnch sel, ktor vznikn, bol v ako nula, ale najmen mon. Pozor: kad slicu smie poui, najviac raz!Rieenie:

Komplexn sla

Preo potrebujeme komplexn sla?Ku rozreniu oboru R na obor komplexnch sel ns viedol v celku jednoduch problm:Vyriei kvadratick rovnicu x2+1=0, teda x2=-1. Kee v obore R nepoznme tak slo, ktorho druh mocnina by sa rovnala 1, zaviedli sa v matematike komplexn sla.Komplexn sla zahruj relne sla i nov sla, ktor musme najprv definova. Je dleit, aby pre komplexn sla platili tie ist zkony, ktor platia aj pre relne sla. Relne sla sa tak stan iba zvltnym prpadom komplexnch sel.

o je to komplexn sloa + biZkladnou vlastnosou sla i je to, e sin i.i sa rovn 1.i2 = -1 Komplexnm slom nazvame usporiadan dvojicu relnych sel (a,b) zapisujeme a + bi, priom i je slo novho druhu, ktor nazvame imaginrna jednotka. Takto sla oznaujeme C.

Geometrick zobrazenie CKadmu bodu na selnej osi sme priradili jedno relne slo. Tm sme seln os celkom vyplnili. Na znzornenie komplexnch sel preto pouijeme cel rovinu, kde si zvolme pravouhl sradnicov sstavu.Komplexn slo a + bi zobrazme do bodu A tak, e:a je vzdialenos na osi xb je vzdialenos na osi y

Absoltna hodnota a modul CDka vektora zobrazujceho komplexn slo a+bi sa nazva modulom tohto komplexnho sla. Modul komplexnho sla sa oznauje r a vypota sa:Modul r komplexnho sla je toton s jeho absoltnou hodnotou, t.j. vzdialenosou bodu M od poiatku sradnicovej sstavy.Komplexn slo, ktorho absoltna hodnota |a+bi|=1 sa nazva komplexn jednotka.

Argument komplexnho slaUhol medzi kladnm smerom osi x a vektorom OM zobrazujcim komplexn slo a + bi sa nazva argument komplexnho sla a + bi.Argument svis so sradnicami komplexnho sla a + bi tmito vzorcami:Na urenie argumentu treba poui bu dva vzorce alebo uri, v ktorom kvadrante le dan bod.

Goniometrick vyjadrenie CKomplexn slo je vyjadren v algebraickom tvare, ak m tvar a + bi. Toto slo meme vyjadri aj v goniometrickom tvare, kdepotom

Opercie s komplexnmi slamiTak isto ako aj ostatn sla, tak aj komplexn meme:

Stanie komplexnch selStom komplexnch sel a=a1+b1i a b=a2+b2i nazvame komplexn sloa + b=(a1+a2) + (b1+b2)i.Bod A zobrazuje a1 + b1iBod B zobrazuje a2 + b2iVektor OK zobrazuje set a1+b1i a a2+b2i.

Odtanie komplexnch selRozdielom komplexnch sel a=a1+b1i a b=a2+b2i nazvame komplexn sloBod A zobrazuje a1 + b1iBod B zobrazuje a2 + b2iVektor AB zobrazuje rozdiel a1+b1i a a2+b2i.a b=(a1-a2) + (b1-b2)i.

Sin komplexnch selSinom komplexnch sel a=a1+b1i a b=a2+b2i nazvame komplexn sloab=(a1a2-b1b2) + (a1b2+a2b1)i.Sinom komplexnch sel a, b vyjadrench v goniometrickom tvare a = |a|(cos + i.sin); b = |b|(cos + + i.sin) nazvame komplexn slo:Ak, chce dkaz klikni na vzorceAk, chce dkaz klikni na vzorce

Podiel komplexnch selPodielom komplexnch sel a=a1+b1i a b=a2+b2i nazvame komplexn slo:Podielom komplexnch sel a, b vyjadrench v goniometrickom tvare a = |a|(cos + i.sin); b = |b|(cos + + i.sin) nazvame komplexn slo:Ak, chce dkaz klikni na vzorceAk, chce dkaz klikni na vzorce

Komplexne zdruen slaDve komplexn sla a + bi a a bi sa nazvaj komplexne zdruen.Set komplexne zdruench sel sa rovn relnemu slu:Sin komplexne zdruench sel je rovn relnemu slu:(a + bi) . (a bi) = aa - abi + bai bbi2 = (aa + bb) + 0i = aa + bbKomplexne zdruen sla a + bi a a bi maj rovnak modul: (a + bi) + (a bi) = (a+a) + (b-b)i = a + a

Moivrova vetaZo sinu komplexnch sel vyplva, eSin dvoch komplexnch jednotiek je op komplexn jednotka, priom jej argument je rovn stom argumentov oboch initeov, toto meme rozri na n-initeov a dostvame:n-t mocnina komplexnej jednotky.Pre n-t mocninu komplexnho sla a=r(cos+i.sin), potom plat:taj movrovaMoivrova veta

Figurlne slaTieto sla nie s pecilnym oborom sel. S to prirodzen sla, ktor meme znzorni geometrickmi tvarmi(obrazcami).

Trojuholnkov slaMedzi tieto sla patria 1, 3, 6, 10, ..., pre ktor plat vzorec:Nikomachova rovnosset dvoch po sebe nasledujcich trojuholnkovch sel je tvorcov slo.Plutarchova rovnososemnsobok trojuholnkovho sla zven o 1 dva op tvorcov slo

Druh mocniny tvorcov slaMedzi tieto sla patria napr. 1, 4, 9, 16, 25, ..., pre ktor plat vzorec F(n) = n2.Set n neprnych sel (1, 3, 5, ...), pre ktor plat vzorec F(n) = 2n 1 je tvorcov slo:Set n prnych sel (2, 4, 6, ...), pre ktor plat vzorec F(n) = 2n je obdnikov slo:

Puholnkov slaTieto sla patria do mnoiny, ktor sa daj vyjadri vzorcom: 151222

esuholnkov slasla, ktor takto nazvame, meme vyjadri vzorcom F(n)= n(2n - 1)161528

Pyramidlne slaSet n po sebe idcich tvorcovch sel je slo pyramidlne, pre ktor plat vzorec:151430

Skonila vkladov as o chce robi alej?

Test 1Ako oznaujeme: prirodzen sla: relne sla: racionlne sla: iracionlne sla: cel sla: komplexn sla:

Test 2Uri do akej najmenej mnoiny patr dan slo:2658470,000002131-3653 + 6i

Test 3Ak sla s tvoren mnoinou racionlnych sel a mnoinou iracionlnych sel?Ak sla s sla, ktor mono zapsa v tvare , kde a je cel slo, b je prirodzen slo.Ako nazvame prirodzen slo, ktor m prve dvoch deliteov, a to 1 a samo seba (nem teda vlastn delitele).

Test 48.103+2.102+1.10+53.105 + 12.102 + 35.104+3.101 Zapte skrtenm zpisom sla:6.103+1.102+5.10-11.100+3.10-1+3.10-2+4.10-3 6.103 + 13.102

Test 5Ak slicu treba da namiesto hviezdiiek, aby platilo:slo 34*5710 je deliten 11slo 341571* je deliten 5slo 238765* je deliten 4slo 23876*2 je deliten 8slo 54757* je deliten 6slo 534758* je deliten 9

Test 6Njdite najvieho spolonho delitea sel: 72, 9691, 10572, 171, 9996320,258024, 36 Njdite najmen spolon nsobok sel: 54, 162 90, 115, 32018, 75, 40

Test 7Set dvoch komplexnch sel u=1+3i; v=2i je:Rozdiel dvoch komplexnch sel u=5+2i; v=64i je:Sin dvoch komplexnch sel u=2+2i; v=3+4i je:Podiel dvoch komplexnch sel u=4+12i; v=2+2i je:

Dkazy sinuDkaz: Dkaz:

Dkaz podieluDkaz:

Dkaz podieluDkaz:

seln oboryPrirodzen slaHistria prirodzench selo je to prirodzen slo?Zkladn aximyKomutatvny zkon stavaniaAsociatvny zkon stavaniaKomutatvny zkon nsobeniaAsociatvny zkon nsobeniaDistributvny zkonDelitenos prirodzench selKritria delitenostiRozdiel medzi slom a cifrouDekadick zpisDelitenos dvomaDelitenos tromiDelitenos tyrmiDelitenos piatimiDelitenos iestimiDelitenos smimiDelitenos deviatimiDelitenos desiatimiDelitenos jedenstimiZisovanie delitenostiPrvosla Vvoj a vyuitie prvoslaDefincia prvoslaEratostenovo sitoPrvoseln rozkladGoldbachova hypotzaPrkladNajv spolon delitePrvoseln rozkladEuklidov algoritmusEuklidov algoritmus postupnho deleniaNajmen spolon nsobokPrvoseln rozkladPrkladCel slaHistria celch selNieo o sle nulaAk s to cel slaPravidl pre cel slaPrvok neutrlny a opanZnzornenie na selnej osiPrkladRacionlne slaHistria racionlnych selo s racionlne sla?Rozirovanie a krtenie zlomkovPorovnvanie zlomkov Uvedenie na spolonho menovateaStanie a odtanie zlomkovMapa projektu strana 1

Nsobenie a delenie zlomkovZloen zlomokDesatinn slaDesatinn rozvojPremieanie Nekonen desatinn rozvojPrklad Iracionlne slaAk s to iracionlne sla?slo Prklad Relne slaAk s to relne sla?Rovnos relnych selNerovnos relnych selPrvok neutrlny a inverznVlastnosti mnoina RPrkladKomplexn slaNao s nm ?o je to komplexn sloGeometrick zobrazenie CAbsoltna hodnota a modul CArgument komplexnho slaGoniometrick vyjadrenie COpercie s komplexnmi slamiStanie komplexnch selOdtanie komplexnch selSin komplexnch selPodiel komplexnch selKomplexne zdruen slaMoivrova vetaDkazy sinuDkaz podieluDkaz podieluTesty Test 1Test 2Test 3Mapa projektu strana 2Trojuholnkov slaFigurlne slatvorcov slaPuholnkov slaesuholnkov slaPyramidlne slaNepatria medzi seln oboryTest 4Test 5Test 6Test 7