Embed Size (px)
Citation preview
1
CÁLCULO DIFERENCIAL
Índice
1. Derivada dunha función ............................................................................................ 1
2. Función derivada ...................................................................................................... 2
2.1. Derivadas de funcións coñecidas. Álxebra de derivadas .................................... 2
2.2. Derivada da función inversa. Derivación logarítmica. Derivada implícita ............ 4
3. Derivabilidade ........................................................................................................... 5
4. Consecuencias da derivabilidade .............................................................................. 8
4.1. Teorema de Rolle............................................................................................... 8
4.2. Teorema do valor medio ou de Lagrange ........................................................... 9
4.3. Teorema do valor medio xeneralizado ou de Cauchy ....................................... 10
4.4. Regra de L´Hôpital ........................................................................................... 10
5. Aplicacións da derivada .......................................................................................... 12
5.1. Ecuación da recta tanxente .............................................................................. 12
5.2. Monotonía: crecemento e decrecemento ......................................................... 12
5.3. Extremos relativos ou puntos críticos ............................................................... 13
6. Derivadas sucesivas ............................................................................................... 14
7. Optimización de funcións ........................................................................................ 16
8. Estudo e representación de funcións ...................................................................... 17
1. Derivada dunha función
Interpretación xeométrica e física
A derivada dunha función nun punto é a taxa de variación instantánea en dito punto
f´(a) = h
)a(f)ha(flím
0h
. Ao interpretala xeometricamente obsérvase que é a
pendente da recta tanxente á curva, sendo y – y0 = f´(x0)·(x – x0) a ecuación de dita recta tanxente á función f no punto (x0, y0).
2
A interpretación física da derivada conduce ao concepto de velocidade instantánea,
definida como v = t
slím
0t
, relacionada coa notación
dx
dy na que se expresa a
variación na función y (diferencial de y ou dy) inducida pola variación na variable x (diferencial de x ou dx). Para calcular unha derivada seguindo a definición recorríase á Regra dos catro pasos, consistente en efectuar os cálculos detalladamente: 1º paso: Cálculo das imaxes f(a + h) e f(a). 2º paso: Cálculo da diferenza f(a + h) – f(a). Se se pode, sácase factor común h.
3º paso: Cálculo do cociente h
)a(f)ha(f . Se se pode, simplifícase h.
4º paso: Cálculo do límite h
)a(f)ha(flím
0h
, que xa é a derivada.
Exemplo:
Dada f(x) = 1x
5x6
, calcular f´(–2) usando a definición.
Primeiro escríbese a definición para este caso: f´(–2) = h
)2(f)h2(flím
0h
.
1º paso: f(–2 + h) = 1h2
5)h2(6
=
3h
7h6
, f(–2) =
3
7
2º paso: f(–2 + h) – f(–2) = 3h
7h6
–
3
7 =
)3h(3
21h721h18
=
)3h(3
h11
3º paso: h
)2(f)h2(f =
h
)3h(3
h11
=
)3h(3
11
4º paso: h
)2(f)h2(flím
0h
=
)3h(3
11lím
0h =
9
11 ⟹ f´(–2) =
9
11
2. Función derivada
Dado o tedio que produce o cálculo da derivada punto a punto, defínese unha función
derivada f´(x) = h
)x(f)hx(flím
0h
ou
dx
dy =
x
ylím
0x
=
x
)x(y)xx(ylím
0x
, de modo
que se poda calcular en calquera punto xenérico x. A partir desta definición obtéñense as derivadas das funcións elementais e as regras do álxebra de derivadas.
2.1. Derivadas de funcións coñecidas. Álxebra de derivadas
En primeiro lugar exponse en forma de táboas a información necesaria e xa coñecida. Na primeira, aparecen as derivadas das funcións usuais; na segunda, están as regras que nos permiten derivar sumas, restas, produtos, cocientes e composicións de funcións; na terceira, dada a importancia e dificultade que presenta a regra da cadea (derivada da composición de funcións) desenvólvese para os casos máis habituais. Estas táboas deben ser memorizadas.
3
Táboa de derivadas das funcións usuais
Función Derivada
k (constante) 0
xn, n ℝ n·xn–1
x
1
2x
1
x x2
1
ex ex
ax ax·ln a
ln x x
1
loga x alnx
1
sen x cos x
cos x –sen x
tax x 1 + tax2 x = xcos
12
arc sen x 2x1
1
arc cos x 2x1
1
arc tax x 2x1
1
Álxebra de derivadas
(f ± g)´(x) = f´(x) ± g´(x)
(f·g)´(x) = f´(x)·g(x) + f(x)·g´(x)
(k·f)´(x) = k·f´(x), k constante
)x(g
f
=
2)x(g
)x´(g)x(f)x(g)x´(f , g(x) ≠ 0
)x(f
k
=
2)x(f
)x´(fk , k ℝ
(f ◦ g)´(x) = f´(g(x))·g´(x)
A última fórmula, coñecida como regra da cadea, pode desagregarse un pouco para algunhas funcións, obtendo a seguinte táboa:
4
Función Derivada
(f(x))n n·(f(x))n–1·f´(x), n ℝ
ef(x) f´(x)·ef(x)
ln(f(x)) )x(f
)x(f
sen(f(x)) f´(x)·cos(f(x))
cos(f(x)) –f´(x)·sen(f(x))
tax(f(x)) f´(x)(1 + tax2(f(x))) = ))x(f(cos
)x(f2
2.2. Derivada da función inversa. Derivación logarítmica. Derivada implícita
A regra da cadea permite deducir os seguintes resultados: Derivada da función inversa
A inversa verifica que (f ◦ f–1)(x) = (f–1 ◦ f)(x) = x; derivando o primeiro termo e o último tense que (f ◦ f–1)´(x) = (x)´ ⟹ f´(f–1(x))·(f–1)´(x) = 1. Despexando obtense a derivada da función inversa:
(f–1)´(x) = ))x(f(f
11
Hai que achar f´ pero avaliala en f–1(x). Exemplo:
Calcular a derivada de ex, que é a inversa de ln x.
x1 e)x(f
xln)x(f ⟹ f´(f–1(x)) =
)x(f
11
⟹ (f–1)´(x) =
)x(f
1
1
1
= f–1(x) ⟹ (ex)´= ex
Derivada logarítmica
Como se pode derivar f(x)g(x)? Ao ser o expoñente unha función, non se pode usar a fórmula das funcións potenciais xn. Os expoñentes baixan ao tomar logaritmos, polo que usarase a derivación logarítmica, cuxo procedemento pode escribirse así:
y = f(x)g(x) ⟹ ln y = g(x)·ln f(x) ⟹ (ln y)´ = (g(x)·ln f(x))´
Á esquerda, como y é unha función composta, queda sempre y
y. Á dereita haberá
que derivar o produto. Para achar y´ non hai máis que despexar e queda: y´ = (g(x)·ln f(x))´·y
Mellor que aprender a fórmula anterior, é saber efectuar o proceso. Exemplos:
y = ax ⟹ ln y = x·ln a ⟹ y
y = (x·ln a)´ = ln a ⟹ y´ = y·ln a = ax·ln a
Outra forma de obter a derivada de ax é usar a igualdade ax = ex·ln a ⟹ (ax)´ = ln a·ex·ln a
Úsase a derivada de ln x
5
y = xx ⟹ ln y = x·ln x ⟹ y
y = (x·ln x)´ = ln x + 1 ⟹ y´ = y·(ln x + 1) = xx·(ln x + 1)
y = xn ⟹ ln y = n·ln x ⟹ y
y =
x
n ⟹ y´ =
x
n·xn ⟹ y´ = n· xn–1, n ℝ
A vantaxe desta demostración é a súa xeneralidade, pois non só vale para os expoñentes naturais, únicos para os que se pode usar o binomio de Newton. Derivada implícita
Unha función chámase implícita cando non está despexada en termos da variable independente. É dicir, y = x2 + 4x é unha función explícita, pero x2 + y2 = 1 non o é. Hai veces nos que o despexe non é complicado, pero outras é practicamente imposible. Con todo, é posible calcular a derivada da función aínda non estando despexada. Consiste en usar convenientemente a regra da cadea. Véxase co exemplo anterior:
x2 + y2 = 1 ⟹ 2x + 2yy´ ⟹ y´= y
x
Obsérvase que (y2)´= 2yy´, pois y é función de x. Así, sempre que apareza y, aparece y´ ao derivar.
Un segundo exemplo é o seguinte: 3xy – 5y2 + 2y – x = y5 ⟹ 3y + 3xy´ – 10yy´ + 2y´ – 1 = 5y4y´
Hai que fixarse en que hai que derivar o produto. Agrupando as y´, sacándoas factor común e despexando queda:
(3x – 10y – 5y4 + 2)y´ = 1 – 3y ⟹ y´ = 2y5y10x3
y314
Para poder calcular y´, o resto de termos que aparecen debe ser calculable.
En Física adoita empregarse a miúdo a notación de Leibniz y´ = dx
dy , usando
diferenciais, polo que a regra da cadea pode quedar enmascarada. Por exemplo, se se
quere calcular dt
d, onde φ é o fluxo e t o tempo, pode facerse da seguinte forma:
dt
d =
dx
d·
dt
dx. Coa notación empregada ata agora: (φ ◦ x)´(t) = φ´(x(t))·x´(t).
Esta relación pode estenderse con todas as variables que se queira, ao igual que ocorre coa regra da cadea, na que poden aparecer máis de dúas funcións compostas:
dz
df =
dx
df·
dy
dx·
dz
dy.
3. Derivabilidade
Sábese que para que unha función sexa derivable ha de ser previamente continua. A demostración é a seguinte:
Se f´(a) ⟹
h
)a(fhaflím
0h
=
hlím
)a(f)ha(flím
0h
0h
= f´(a) ⟹
⟹ 0h
lím
[f(a+h) – f(a)] = f´(a)·0h
lím
h polo que 0h
lím
[f(a+h) – f(a)] = 0⟹ 0h
lím
f(a+h) = f(a),
logo f é continua.
Derivando ambos os membros
6
Con todo, a continuidade só é unha condición necesaria, pero non suficiente, pois non todas as funcións continuas son derivables. Un exemplo de función continua que non é derivable nun punto é a función valor absoluto de x, que permitirá introducir as derivadas laterais:
Canto vale a derivada do valor absoluto |x| =
0xsex
0xsex en x = 0?
f(0) = 0x
lím
f(x) = 0 = 0x
lím f(x) = 0x
lím f(x) ⟹
⟹ f é continua en x = 0
f´(0) = h
)0(f)h0(flím
0h
=
h
)h(flím
0h
Como a función está definida en dous anacos, que son distintos á esquerda e á dereita do 0, téñense que calcular os límites laterais.
Pola esquerda: h
)h(flím
0h =
h
hlím
0h
= –1
Pola dereita: h
)h(flím
0h =
h
hlím
0h = 1
Polo tanto, non existe o límite, dado que os límites laterais existen pero son distintos, e polo tanto, non existe a derivada f´(0).
Entón, é unha función continua nun punto pero non derivable en devandito punto. A definición de derivadas laterais é:
Derivada pola esquerda f´(a–) = h
)a(f)ha(flím
0h
Derivada pola dereita f´(a+) = h
)a(f)ha(flím
0h
No caso de funcións definidas a anacos (o máis habitual), as derivadas laterais nun punto áchanse calculando a derivada da función que estea no anaco que interese e substituíndo o valor do punto. No exemplo anterior da función valor absoluto f´(0–) = –1|x=0 = –1, f´(0+) = 1|x=0 = 1. Cando as derivadas laterais son distintas, pero finitas, dise que é un punto anguloso. As funcións con radicais poden presentar problemas se a súa derivada é unha función
con denominadores. Por exemplo, y = 3 x = 3
1
x . É continua en x = 0, pois
y(0) = 3
0xxlím
= 0, pero non derivable: y´ =
3 2x3
1 ⟹ y´(0) =
0
1 ⟹ y´(0) ⟹ é
continua en ℝ e derivable en ℝ – {0}. En resumo, para estudar a derivabilidade dunha función primeiro estúdase a continuidade e despois calcúlase a derivada; en ocasións, a partir das derivadas laterais. Se coinciden, a función é derivable, e se non coinciden, non é derivable.
7
Exemplos:
É derivable f(x) =
2x
4sexcos
4x0sexsen
2xseou0xse0
en x = 0, x = 4
, x =
2
?
Estudo en x = 0: Continuidade: f(0) = sen 0 = 0 =
0xlím f(x) =
0xlím 0 = 0 =
0xlím f(x) =
0xlím sen x ⟹
⟹ f(0) = 0x
lím
f(x) ⟹ é continua en x = 0
Derivabilidade: f´(0–) = 0|x=0 = 0, f´(0+) = cos x|x=0 = 1 ⟹ f´(0)
Estudo en x = 4
:
Continuidade: f
4 = cos
4
=
2
2 =
4
x
lím f(x) =
4x
lím sen x = 2
2 =
4
x
lím f(x) =
=
4x
lím cos x ⟹ f
4 =
4x
lím
f(x) ⟹ é continua en x = 4
Derivabilidade: f´
4 =
4x
xcos
= 2
2, f´
4 = –
4x
xsen
= –2
2 ⟹ f´
4
Estudo en x = 2
:
Continuidade: f
2 = 0 =
2
x
lím f(x) =
2x
lím cos x = 0 =
2x
lím f(x) =
2x
lím 0 ⟹
⟹ f
2 =
2x
lím
f(x) ⟹ é continua en x = 2
Derivabilidade: f´
2 = –
2x
xsen
= –1, f´
2 =
2x
0
= 0 ⟹ f´
2
Estuda a continuidade e a derivabilidade de f(x) =
1xse1x2
1xsex2
.
O único punto problemático é x = 1, que é onde cambia de definición.
Continuidade: f(1) = 2·1 – 1 = 1 = 1x
lím f(x) = 1x
lím x2 = 1 = 1x
lím f(x) = 1x
lím (2x – 1) ⟹
⟹ f(1) = 1x
lím
f(x) ⟹ é continua en x = 1
Derivabilidade: f´(1–) = 2x|x=1 = 2, f´(1+) = 2|x=1 = 2 ⟹ f´(1) = 2 ⟹ ⟹ é derivable en x = 1
Polo tanto, f é continua e derivable en todo ℝ.
8
4. Consecuencias da derivabilidade
4.1. Teorema de Rolle
Sexa f unha función continua en [a, b] e derivable en (a, b). Se f(a) = f(b) entón c (a, b) tal que f´(c) = 0.
Demostración: Hai tres posibilidades: 1º) Que a función sexa constante, co que a súa derivada será nula en todos os puntos do intervalo. 2º) Que a función creza a partir de a. Con todo, como f(a) = f(b), nun certo punto terá que deixar de crecer e empezar a decrecer. Nese punto a derivada anúlase; este será o punto c. 3º) Que a función decreza a partir de a. Nun certo punto terá que deixar de decrecer e empezar a crecer. Nese punto a derivada será nula. Ese é o punto c.
Polo tanto, dentro do intervalo (a, b) hai un punto cuxa recta tanxente é horizontal (paralela á recta que une (a, f(a)) e (b, f(b))), sempre que a función sexa continua e derivable no devandito intervalo.
No teorema de Rolle as hipóteses de continuidade e derivabilidade son necesarias. A función f(x) = 1 – |x| é continua en [–1, 1] e cumpre que f(–1) = f(1) = 0. Con todo, non cumpre o teorema de Rolle porque non é derivable en x = 0. Exemplo:
Pódese aplicar o teorema de Rolle á función f(x) = 1x
x2
no intervalo
2
1,
2
1? En
caso afirmativo, achar o punto c
2
1,
2
1 que menciona o teorema.
Descompoñendo, queda f(x) =
0xse1x
x
0xse1x
x
2
2
. O único punto problemático é x = 0
(do valor absoluto), pois x = ±1
2
1,
2
1 (do denominador).
Continuidade: f(0) = 0x
lím f(x) = 1x
xlím
20x
= 0 = 0x
lím f(x) = 1x
xlím
20x
⟹ é continua
Derivabilidade: f´(0–) =
0x
22
2
)1x(
1x
= 1, f´(0+) =
0x
22
2
)1x(
)1x(
= –1 ⟹ f´(0) ⟹ non é
derivable, polo que non está obrigada a verificar o teorema de Rolle.
Observando a forma da derivada, vese que nunca se anulará, pois o numerador ou sempre é positivo ou sempre negativo. Neste exemplo obsérvase a importancia da derivabilidade.
9
4.2. Teorema do valor medio ou de Lagrange
Sexa f unha función continua en [a, b] e derivable en (a, b), entón c (a, b) tal que
f´(c) = ab
)a(f)b(f
.
O teorema afirma que a recta tanxente a f en c é paralela á recta que pasa polos puntos (a, f(a)) e (b, f(b)). Para a súa demostración constrúese unha función auxiliar resultado de restar f e a citada recta, de
ecuación y = f(a) + ab
)a(f)b(f
(x – a).
Demostración: Sexa g(x) = f(x) – f(a) – ab
)a(f)b(f
(x – a), continua en [a, b] e
derivable en (a, b), pois sono f e a recta. Ademais, g(a) = g(b) = 0, xa que f e a recta córtanse en ambos os puntos. Polo teorema de Rolle, c (a, b) tal que g'(c) = 0 ⟹
⟹ g´(x) = f´(x) – ab
)a(f)b(f
⟹ f´(c) =
ab
)a(f)b(f
.
Exemplo:
Considerar a función f(x) =
2xsex6x
2xsex2
3
.
a) Cumpre as hipóteses do teorema do valor medio no intervalo [0, 3]? b) Hai algún punto da gráfica no que a recta tanxente sexa paralela á recta que pasa polos puntos (0, f(0)), (3, f(3))?
a) Para que calquera teorema sexa de aplicación deben cumprirse todas as súas hipóteses. O teorema do valor medio esixe que a función sexa continua no intervalo [0, 3]. O único posible punto de descontinuidade é x = 2. Verifícase que:
f(2) = 2x
lím f(x) = 2x
lím x3 = 8 = 2x
lím f(x) = 2x
lím (–x2 + 6x) ⟹ é continua en [0, 3].
A seguinte hipótese é que sexa derivable en (0, 3). Só pode presentar problemas en
x = 2: f´(2–) = 3x2|x=2 = 12, f´(2+) = –2x + 6|x=2 = 2 ⟹ f´(2) ⟹ f non ten porque verificar
o teorema do valor medio.
b) A pendente da recta pedida vale m = 03
)0(f)3(f
=
3
9 = 3 e a da recta tanxente é a
derivada, que será f´(x) =
2xse6x2
2xsex3 2
. Para que dúas rectas sexan paralelas,
as súas pendentes han de ser iguais. Formúlanse as ecuacións 3a2 = 3 ⟹ a = ±1,
sendo ambas as solucións válidas, e –2a + 6 = 3 ⟹ a = 2
3 < 2, que non é válida. Os
puntos pedidos son (–1, f(–1)) = (–1, –1) e (1, f(1)) = (1, 1).
Neste exemplo vese que, a pesar de non cumprirse o teorema do valor medio no intervalo [0, 3], existe un punto (1, 1) no cal a recta tanxente é paralela á recta que pasa polos puntos (0, f(0)), (3, f(3)).
10
4.3. Teorema do valor medio xeneralizado ou de Cauchy
Sexan f e g funcións continuas en [a, b] e derivables en (a, b) tales que g(a) ≠ g(b),
entón c (a, b) tal que )c(g
)c(f
=
)a(g)b(g
)a(f)b(f
.
Para interpretar xeometricamente o teorema, convén
escribilo como )c(g
)c(f
=
ab
)a(g)b(gab
)a(f)b(f
e recoñecer o
teorema do valor medio para cada unha das funcións (ver o debuxo). Para a súa demostración convén multiplicar en cruz no teorema e agrupar. Así constrúese unha función auxiliar que verificará o teorema de Rolle.
Demostración: Sexa h(x) = f(x)[g(b) – g(a)] – g(x)[f(b) – f(a)], continua en [a, b] e derivable en (a, b) por selo as súas compoñentes. Ademais, h(a) = f(a)g(b) – g(a)f(b), h(b) = –f(b)g(a) + g(b)f(a) = h(a) ⟹ c (a, b) tal que h'(c) = 0 ⟹
⟹ f´(c)[g(b) – g(a)] – g´(c)[f(b) – f(a)] = 0 ⟹ f´(c)[g(b) – g(a)] = g´(c)[f(b) – f(a)] ⟹
⟹ )c(g
)c(f
=
)a(g)b(g
)a(f)b(f
.
Exemplo:
Pódese aplicar o teorema do valor medio xeneralizado ás funcións f(x) = x2 + 2x + 1 e g(x) = x3 – 2x – 1 no intervalo [–2, 1]? En caso afirmativo, aplicalo determinando o punto en que se verifica.
Por ser as dúas funcións continuas e derivables en toda a recta real, en particular sono no intervalo pechado [–2, 1] e no aberto (–2, 1) e como g(–2) ≠ g(1), si é aplicable o teorema do valor medio xeneralizado. Para aplicalo vese que se cumpre: f(1) = 4, f(–2) = 1, g(1) = –2, g(–2) = –5, f´(x) = 2x + 2 e g´(x) = 3x2 – 2
Cos datos anteriores: )c(g
)c(f
=
)2(g)1(g
)2(f)1(f
⟺
2c3
2c22
=
)5(2
14
⟺
2c3
2c22
= 1 ⟺
⟺ 3c2 – 2c – 4 = 0 ⟺ c = 3
131 ≅ –0'87 e c =
3
131 ≅ 1'54
A primeira solución vale para comprobar que o teorema se verifica, pois
3
131 (–2, 1).
4.4. Regra de L´Hôpital
Na quincena anterior víronse algúns procedementos para resolver os distintos tipos de indeterminacións. Nesta quincena estase en condicións de resolver todos os tipos de indeterminacións, facendo uso das derivadas, mediante a regra de L´Hôpital.
Teorema de Rolle
11
Indeterminación 0
0:
O teorema do valor medio xeneralizado é o camiño para a demostración da regra
de L´Hôpital cando aparece a indeterminación 0
0.
Regra de L´Hôpital: Sexan f e g funcións continuas en [a – r, a + r] e derivables en
(a – r, a + r) con g´(x) ≠ 0, tales que ax
lím
f(x) = ax
lím
g(x) = 0. Entón, se existe
)x(g
)x(flím
ax
, tense que
)x(g
)x(flím
ax =
)x(g
)x(flím
ax
.
Esta regra é válida para cando a é un número real, + ou – .
Demostración: Como f e g son continuas e ax
lím
f(x) = ax
lím
g(x) = 0 ⟹ f(a) = g(a) = 0.
Se se considera o intervalo [a, x] con a < x < a + r (logo, [a, x] [a – r, a + r]), f e g cumprirán a tese do teorema do valor medio xeneralizado, polo que c (a, x) tal
que )c(g
)c(f
=
)x(g
)x(f. Polo tanto,
)x(g
)x(flím
ax =
)c(g
)c(flím
ac
=
)x(g
)x(flím
ax
. Ao ser a < c < x,
cando x → a, verificarase que c → a, polo que se pode cambiar c por x.
Exemplo: 1x
2x3xlím
2
2
1x
=
0
0 (ind) =
x2
3x2lím
1x
=
2
1
Indeterminación
:
Este caso resólvese igualmente mediante a regra de L´Hôpital, xa que tamén é
aplicable cando ax
lím
f(x) = ax
lím
g(x) = ± .
Exemplo: 15x7x
5x4x2lím
2
23
x
=
(ind) =
7x2
x8x6lím
2
x
=
(ind) =
2
x12lím
x =
= x
lím (2x) = +
Indeterminación 0· : Este caso resólvese pola regra de L´Hôpital unha vez transformado o límite
correspondente nun do tipo 0
0 ou
. Para iso pódese operar da seguinte maneira:
)x(g)x(flímax
= 0· (ind) =
)x(g
1
)x(flím
ax =
0
0 (ind) =
)x(f
1
)x(glím
ax =
(ind)
Exemplo: 0x
lím
(x·ln x) = 0·(– ) (ind) =
x
1
xlnlím
0x =
(ind) =
2
0x
x
1x
1
lím
= 0x
lím
(–x) = 0
Indeterminación – : Dividindo numerador e denominador por f(x)·g(x), a indeterminación transfórmase
nunha do tipo 0
0:
L´Hôpital
L´Hôpital L´Hôpital
L´Hôpital
12
)x(g)x(flímax
= – (ind) =
)x(g)x(f
1
)x(f
1
)x(g
1
límax
=
0
0 (ind)
Exemplo:
xln
3
1x
x2lím
1x = – (ind) =
xln)1x(
3x3xlnx2lím
1x
= 0
0 (ind) =
=
x
1xxln
3x
x2xln2
lím1x
=
0
1 = –
5. Aplicacións da derivada
5.1. Ecuación da recta tanxente
Xeometricamente a derivada xorde para dar resposta ao problema do cálculo da recta tanxente a unha curva en calquera punto. Como a pendente de devandita recta é a derivada no punto, a ecuación é:
y – y0 = f´(x0)(x – x0)
Ás veces úsase a recta normal, que é perpendicular á tanxente. Lembrando que para que dúas rectas no plano sexan perpendiculares o produto das súas pendentes debe ser –1, tense:
y – y0 = )x(f
1
0
(x – x0)
Exemplo:
Achar a ecuación da recta tanxente e da recta normal á gráfica da función f(x) = 2xx
no punto de abscisa x = 1.
f(1) = 1 Para calcular f´(x) hai que usar a derivación logarítmica:
ln f(x) = x2·ln x ⟹ )x(f
)x(f = 2x·ln x + x ⟹ f´(x) = (2x·ln x + x)
2xx ⟹ f´(1) = 1
Polo tanto, a recta tanxente ten por ecuación r: y – 1 = x – 1 ⟹ r: y = x
A recta normal ten por ecuación n: y – 1 = –(x – 1) ⟹ n: y = –x + 2
5.2. Monotonía: crecemento e decrecemento
O termo monotonía fai referencia ao crecemento ou decrecemento das funcións. Claramente f é crecente se ao aumentar x aumenta f; e decrecente se ao aumentar x diminúe f. En rigor, unha función é monótona crecente ou simplemente crecente en x = a cando f(a + h) ≥ f(a) e f(a – h) ≤ f(a), se h > 0. Se non aparece a igualdade dirase que a función é estritamente crecente, aínda que habitualmente úsase o termo crecente no sentido de estritamente crecente.
L´Hôpital
13
A definición para o caso de que a función sexa decrecente en x = a non debe expor problemas. Será estritamente decrecente cando f(a + h) < f(a) e f(a – h) > f(a), se h > 0. Usando o teorema do valor medio pódese atopar outra caracterización mellor para a monotonía: Sexa f continua en [a, b] e derivable en (a, b). Se f´(x) > 0 en todo (a, b), entón f é crecente en [a, b].
Demostración: Considéranse dous puntos calquera x, x + h do intervalo [a, b], con a ≤ x < x + h ≤ b f cumpre as hipóteses do teorema do valor medio en [x, x + h], polo que
c (x, x + h) tal que f´(c) = h
)x(f)hx(f > 0 ⟹ f(x + h) > f(x) ⟹ f é crecente para
calquera x e x + h, logo f é crecente en [a, b]. Pódese demostrar outro teorema análogo para as funcións decrecentes, polo que cámbianse as definicións por outras alternativas que din:
f é crecente en [a, b] se f´(x) > 0 e decrecente se f´(x) < 0, x (a,b).
Deste xeito, estudar o crecemento dunha función non é máis que estudar o signo da súa derivada: a función é crecente naqueles intervalos nos que a súa derivada é positiva e decrecente naqueles nos que a súa derivada é negativa.
5.3. Extremos relativos ou puntos críticos
Que ocorre se f´(a) = 0 ou f´(b) = 0? Nestes puntos, a recta tanxente será unha recta horizontal, paralela ao eixe OX. Se a función cambia o seu comportamento, pasando de crecer a decrecer ou á inversa, presenta un máximo ou un mínimo relativo, respectivamente. Estes, como xa se sabe, son os puntos críticos ou extremos relativos da función.
A condición non é só que a derivada se anule, senón que cambie a monotonía. Se non se produce un cambio no crecemento, non hai extremo relativo. Exemplo:
Estudar a monotonía e achar os extremos relativos de f(x) = 2x2 – 3
1x3.
Calcúlase e iguálase a derivada a cero: f´(x) = 4x – x2 = x(4 – x) ⟹ f´(x) = 0 ⟺ x(4 – x) = 0 ⟺ x = 0, x = 4
14
Para ver cal é o signo, utilízase o seguinte esquema, no que se representaron os dous puntos anteriores (a liña horizontal representa o eixe OX):
Como f´(x) < 0 nos intervalos (– , 0) e (0, + ), nestes intervalos a función resulta decrecente. Como f´(x) > 0 no intervalo (0, 4), neste intervalo a función resulta crecente. Hai un mínimo relativo en (0, f(0)) = (0, 0) e un máximo relativo en (4, f(4)) =
=
3
32,4 .
6. Derivadas sucesivas
Ao ser a derivada unha función, ten sentido calcular a derivada da derivada. A derivada segunda é a taxa de variación instantánea da derivada. Defínese como:
f´´(x) = h
)x(f)hx(flím
0h
Este proceso pódese prolongar indefinidamente, obténdose a derivada terceira f´´´ (que é derivar a derivada segunda), a derivada cuarta fIV (que é derivar a derivada terceira), a derivada quinta fV (derivar a derivada cuarta), ... a derivada n-sima ou enésima f(n. Obsérvase a notación: úsanse números romanos para as primeiras e unha paréntese co grao para as de orde superior (n co fin de non confundilas coas potencias. Estas derivadas de ordes superiores ou sucesivas calcúlanse coas mesmas regras que a derivada, que agora se chama derivada primeira (e simplemente derivada cando non hai confusión posible).
A notación complétase definindo f(0 = f. A partir da existencia das derivadas de distintas ordes, catalóganse as funcións. Así, o conxunto C0 está formado por todas as funcións continuas, C1 fórmano as que son derivables unha vez, C2 as que son
derivables dúas veces, ... C fórmano aquelas que poden derivarse indefinidamente.
Exemplo:
Calcula a derivada quinta de a) y = sen x e b) y = cos x. Atopa unha fórmula para a derivada enésima destas funcións.
a) y´ = cos x, y´´ = –sen x, y´´´ = –cos x, yIV = sen x, yV = cos x Para achar a fórmula hai que separalo en derivadas de orde par (con 2n) e de orde impar (con 2n + 1): y(2n = (–1)n sen x, y(2n+1 = (–1)n cos x.
b) y´ = –sen x, y´´ = –cos x, y´´´ = sen x, yIV = cos x, yV = –sen x ⟹
⟹
xcos)1(y
xsen)1(y
1nn2(
1n1n2(
15
Curvatura e puntos de inflexión
Unha función presenta dúas curvaturas diferentes, definidas a partir dunha recta secante: se a función vai por enriba da recta, dise que é cóncava ou que ten a forma . Se vai por debaixo da recta, pódese dicir que é convexa ou que ten a forma . Como os comportamentos son complementarios (o que visto dende arriba é cóncavo, dende abaixo é convexo e viceversa), cualifícanse os comportamentos coa súa representación gráfica, ou .
Como ocorre co crecemento, a definición non é práctica para os cálculos, polo que úsase outro procedemento máis cómodo.
A derivada segunda indica en que forma cambia a monotonía dunha función, polo que usarase para estudar a curvatura: cando a función é cóncava, a súa derivada decrece (liñas punteadas da gráfica), polo que a súa derivada segunda será negativa; cando a función é convexa, a derivada crece (liñas punteadas da gráfica), polo que a derivada segunda será positiva.
Un punto de inflexión é aquel no que a función cambia a súa curvatura de forma continua. Así, a condición para o punto de inflexión é que a derivada segunda se anule e se produza un cambio na curvatura en devandito punto.
Polo tanto, estudar a curvatura dunha función consiste en estudar o signo da súa derivada segunda. En resumo:
f é nos intervalos nos que f´´(x) < 0.
f é nos intervalos nos que f´´(x) > 0.
f ten un punto de inflexión naqueles puntos nos que f´´(x) = 0 e hai un cambio na curvatura.
Apoiándose nos resultados anteriores, pódese afirmar que f ten un máximo relativo en x0 cando f´(x0) = 0 e f´´(x0) < 0, e un mínimo relativo cando f´(x0) = 0 e f´´(x0) > 0. Este criterio presenta problemas cando tamén f´´(x0) = 0, polo que, se ocorre tal cousa, recórrese ao esquema de crecemento. Exemplos:
Estudar a curvatura e pescudar os puntos de inflexión de f(x) = 12
x 4
– 6
x3
– x2 + 5.
Calcúlase a derivada segunda e iguálase a cero para determinar os posibles puntos de inflexión:
f´(x) = 3
x3
– 2
x 2
– 2x, f´´(x) = x2 – x – 2 = 0 ⟺ x = –1, x = 2
Tal como se facía con f´ para estudar o crecemento e decrecemento, agora faise o mesmo con f´´ para estudar a concavidade e convexidade. É dicir, estúdase o signo de f´´ nos intervalos que os puntos anteriores determinan no eixe OX:
16
Entón, hai puntos de inflexión en x = –1 e x = 2, xa que hai cambio de curvatura.; é
dicir,
4
17,1 e (2, 1).
Calcular o valor de a para que f(x) = 2x
axx3 2
teña un mínimo relativo en x = 2.
f´(2) = 0 ⟹
2x
2
2
2x
a2x12x3
= 0 ⟹ a = 18
f´´(x) = 3)2x(
96
⟹ f´´(2) =
2
3 > 0 ⟹ f ten un mínimo en x = 2 cando a = 18.
7. Optimización de funcións
Optimizar unha función consiste en buscar os valores da variable para os que dita función alcanza o seu maior ou menor valor. Isto ocorre habitualmente nos seus extremos relativos; polo tanto, calcularanse. A que vén entón este apartado? Cando se fala de calcular os máximos e mínimos dáse por feito que se ten a función que se debe optimizar, mentres que se se di optimizar sobreenténdese que tense que construír a función que hai que optimizar, que é o paso realmente complicado e diferente.
O tipo de problemas ao que se lle pode aplicar a técnica da optimización de funcións é extensísimo. Habitualmente hai que apoiarse en coñecementos aritméticos, alxébricos ou xeométricos previos e nunha lectura detallada, que permita pescudar cal será e que forma terá a función que se ten que optimizar. Tamén son de gran axuda as simetrías que aparezan no problema.
Poden servir de guía as seguintes orientacións:
Identifícase a función que hai que optimizar.
Noméanse as súas variables.
Escríbese matematicamente a función.
Calcúlanse os seus extremos relativos.
Para non complicar os cálculos, se na función pódese sacar factor común algún termo constante e queda simplificada, farase e usarase esta simplificación. Exemplo:
Achar as dimensións do rectángulo de área máxima e 28 m de perímetro.
Faise un debuxo onde se escriben as variables. A función que se ten que optimizar é a área: A(x, y) = x·y. Xorde un contratempo moi habitual: a función consta de dúas variables. Como só se sabe manexar funcións dunha variable, hai que atopar unha relación entre as variables, que permita despexar unha en función da outra. Neste caso, dita relación é o perímetro: 2x + 2y = 28 ⟹ x + y = 14. Despéxase y e substitúese na función, que xa será dunha variable. Despois calcúlanse os seus extremos relativos: y = 14 – x ⟹ A(x) = x·(14 – x) = 14x – x2. Antes de derivar obsérvase a función: é unha función cadrática (parábola) cuxo vértice é un máximo (o coeficiente de x2 é negativo). A función está ben construída. Se se
17
intercambian x e y, nin a función nin a relación cambian. Hai unha simetría que permite aventurar que o rectángulo de área máxima é un cadrado.
A´(x) = 14 – 2x ⟹ A´(x) = 0 ⟹ x = 7 ⟹ A´´(x) = –2 ⟹ A´´(7) = –2 < 0 (máximo). A área é máxima para x = y = 7 cm. Polo tanto, o rectángulo de área máxima e perímetro 28 cm é un cadrado de lado 7 cm e área 49 cm2.
8. Estudo e representación de funcións
Conforme se avanza no seu estudo, aparecen funcións cada vez máis complexas, que requiren de métodos máis sofisticados para o seu tratamento. De pouco ou de nada serven as táboas de valores; débese refugar a pretensión de coñecer exactamente o que fai punto a punto.
Localmente hai que centrarse nos puntos que realmente caracterizan á función, como son os puntos críticos e os de inflexión. O estudo global debe comprender o estudo das asíntotas, do signo da función etc. A pregunta será agora que é necesario estudar da función para coñecela con detalle. Despois queda o proceso de axustar convenientemente toda a información obtida, de modo que non aparezan resultados contraditorios.
Os pasos para efectuar o estudo e a representación gráfica dunha función son os seguintes: 1. Cálculo do dominio da función. 2. Estudo da simetría e da periodicidade. 3. Cálculo dos puntos de corte da función cos eixes de coordenadas. 4. Estudo do signo da función. 5. Cálculo das asíntotas e da forma na que a función se achega a elas. 6. Estudo da monotonía (crecemento e decrecemento) e cálculo dos puntos críticos
(máximos e mínimos relativos). 7. Estudo da curvatura (concavidade e convexidade) e cálculo dos puntos de inflexión.
Os cinco primeiros pasos efectúanse directamente na función; o sexto e o sétimo da derivada primeira e o oitavo da derivada segunda (tamén no sétimo pódese necesitar esta derivada). Termínase coa representación gráfica da función.
Loxicamente, as informacións obtidas nos distintos pasos deben ser coherentes unhas con outras e non contradicirse. Se ocorre isto último, hai que pensar que houbo unha confusión nalgún punto e repetir os cálculos ata que desaparezan as incongruencias. Lémbrase como se calculan estes pasos.
1. Dominio da función.
Os casos nos que o dominio é distinto a ℝ son os seguintes:
Función Cálculo do dominio
f(x) = )x(Den
)x(Num Den(x) = 0 ⟹ Dom f = ℝ – {xℝ / Den(x) = 0}
f(x) = )x(Rad Rad(x) ≥ 0 ⟹ Dom f = {xℝ / Rad(x) ≥ 0}
f(x) = log Arg(x) Arg(x) > 0 ⟹ Dom f = {xℝ / Arg(x) ≥ 0}
2. Simetría e periodicidade.
f é par se f(–x) = f(x) ⟹ é simétrica respecto ao eixe OY
f é impar se f(–x) = –f(x) ⟹ é simétrica respecto á orixe de coordenadas
18
A función par coincide ao dobrala respecto ao eixe OY. A impar coincide se se trazan rectas que pasen pola orixe de coordenadas, ou ben, dobrando primeiro polo eixe OY e despois polo OX. Se non se verifica ningunha das igualdades anteriores, a función non é simétrica.
Unha función é periódica cando f(x + T) = f(x), sendo T o período.
As funcións trigonométricas son as funcións periódicas máis habituais.
Se a función é periódica, só hai que estudar o seu comportamento nun período, pois logo non hai máis que repetila indefinidamente.
3. Puntos de corte da función cos eixes de coordenadas.
Para pescudar as coordenadas dos puntos de corte da función co eixe OX hai que igualar a función a cero. Escríbese abreviadamente: f ∩ OX ⟹ f(x) = 0. Teranse tantos puntos de corte como solucións teña a ecuación f(x) = 0.
Para achar o punto de corte da función co eixe OY hai que substituír na función a x por cero. Escríbese abreviadamente f ∩ OY ⟹ x = 0 ⟹ (0, f(0)). Terase un ou ningún punto de corte, dependendo da existencia de f(0). Se ao resolver a ecuación f(x) = 0 aparecese a solución x = 0, o punto de corte co eixe OY é a orixe de coordenadas (0, 0).
4. Signo da función.
Para estudalo hai que resolver a inecuación f(x) > 0. Para facelo usaranse distintas estratexias dependendo do tipo de función, aínda que as dúas fundamentais son as seguintes:
I. Se a función é polinómica, resólvese a ecuación f(x) = 0, descompoñéndose a recta real en intervalos dados polas solucións da devandita ecuación.
II. Se a función é un cociente de polinomios, iguálanse numerador e denominador a
cero por separado
0)x(Den
0)x(Num e descomponse a recta real en intervalos
dados polas solucións de ambas as ecuacións.
5. Asíntotas.
Estúdase agora a existencia de cada un dos tres tipos posibles de asíntotas: verticais, horizontais e oblicuas. Para o caso particular das funcións polinómicas, este punto non é necesario, xa que non teñen asíntotas.
6. Monotonía e puntos críticos.
Estúdanse e clasifícanse os puntos críticos e os intervalos de crecemento e decrecemento. Para o estudo dos intervalos, haberá que ter en conta os que determinan os puntos críticos, e tamén, aqueles puntos non incluídos no dominio, se os houbese.
19
7. Curvatura e puntos de inflexión.
Estúdanse os intervalos de concavidade e convexidade e os puntos de inflexión. Para os intervalos de concavidade e convexidade haberá que ter en conta, os posibles puntos de inflexión, é dicir, os que anulan f´´(x) e aqueles puntos non incluídos no dominio.
Para a representación adóitase proceder da forma seguinte: 1. Márcanse os puntos de corte e os críticos. 2. Represéntanse as asíntotas e o comportamento da función nas súas proximidades. 3. Únense os puntos e as liñas xa representadas.
Habitualmente as representacións non adoitan facerse estritamente a escala, xa que o que interesa é destacar as propiedades máis relevantes da función, que poden ser desvirtuadas pola devandita escala. Exemplo:
Estudar e representar as seguintes funcións:
a) y = x3 – 4x2 + 4x.
1. Dominio: O seu dominio é Dom f = ℝ por ser un polinomio; ademais, é continua en todo o dominio.
2. Simetría: f(–x) = (–x)3 – 4(–x)2 + 4(–x) = –x3 – 4x2 – 4x
)x(f
)x(f ⟹ non é simétrica.
3. Puntos de corte cos eixes:
f ∩ OX ⟹ y = 0 ⟹ x3 – 4x2 + 4x = 0 ⟹ x(x2 – 4x + 4) = 0 ⟹ x = 0, x = 2 (dobre) ⟹ ⟹ (0, 0), (2, 0) ⟹ f ∩ OY ⟹ (0, 0)
4. Signo: y = x(x – 2)2. Como x = 2 é solución dobre, non inflúe no signo, posto que o factor está elevado ao cadrado, sendo sempre positivo (salvo en x = 2 que sería cero). Hai que descompoñer a recta real en dous anacos.
5. Asíntotas:
Asíntotas verticais: Non ten por ser unha función polinómica.
Asíntotas horizontais: x
lím (x3 – 4x2 + 4x) ≈ x
lím x3 =
xcando
xcando ⟹
⟹ Non ten asíntota horizontal
Asíntotas oblicuas: m = x
)x(flím
x =
x
x4x4xlím
23
x
≈
x
xlím
3
x =
xlím x2 =
= + ⟹ Non ten asíntota oblicua
Ao ser unha función polinómica de grao superior ao primeiro, non ten asíntotas de ningún tipo. Os límites no infinito permiten pescudar cara a onde vai a función.
6. Monotonía e puntos críticos: f´(x) = 3x2 – 8x + 4
Calcúlanse os puntos críticos: f´(x) = 0 ⟺ 3x2 – 8x + 4 = 0 ⟺ x = 3
2, x = 2
Estúdase o crecemento e decrecemento nos intervalos determinados por estes puntos.
20
Entón, a partir do esquema, conclúese que hai un máximo no punto
27
32,
3
2 e un
mínimo en (2, 0).
7. Curvatura e puntos de inflexión: f´´(x) = 6x – 8
Calcúlanse os puntos de inflexión: f´´(x) = 0 ⟺ 6x – 8 = 0 ⟺ x = 3
4
Estúdase a concavidade e convexidade nos intervalos determinados por estes puntos.
Polo tanto, hai un punto de inflexión en
27
16,
3
4.
b) y = 9x
9x2
2
1. Dominio: Denominador(x) = 0 ⟹ x2 – 9 = 0 ⟹ x = ±3 ⟹ Dom f = ℝ – {–3, 3}.
2. Simetría: f(–x) = 9)x(
9)x(2
2
=
9x
9x2
2
= f(x) ⟹ é par, simétrica respecto ao eixe OY.
3. Puntos de corte cos eixes:
f ∩ OX ⟹ y = 0 ⟹ x2 + 9 ≠ 0 ⟹ Non corta ao eixe OX f ∩ OY ⟹ f(0) = –1 ⟹ (0, –1)
4. Signo: O numerador é maior que cero e o denominador anúlase en ±3. Hai que descompoñer a recta real en tres anacos.
21
5. Asíntotas:
Asíntotas verticais: Denominador(x) = 0 ⟹ x2 – 9 = 0 ⟹ x = ±3. As ecuacións das asíntotas verticais son x = –3, x = 3. A función aproxímase a cada asíntota:
9x
9xlím
2
2
3x
= 0
18 = + ;
9x
9xlím
2
2
3x
= 0
18 = –
9x
9xlím
2
2
3x
= 0
18 = – ;
9x
9xlím
2
2
3x
= 0
18 = +
Asíntotas horizontais: 9x
9xlím
2
2
x
≈
2
2
x x
xlím
= 1 ⟹ yH = 1
signo
1
9x
9x2
2
= signo
9x
182
≈ signo
2x
18 > 0 ⟹ f vai por enriba de yH
Non ten asíntota oblicua por ter asíntota horizontal.
6. Monotonía e puntos críticos:
f´(x) = 22 )9x(
x36
Calcúlanse os puntos críticos: f´(x) = 0 ⟺ x = 0 O denominador é maior que cero, salvo ±3, onde se anula. Estúdase o crecemento e decrecemento nos intervalos determinados por estes puntos.
Entón, a partir do esquema, conclúese que hai un máximo no punto (0, –1).
7. Curvatura e puntos de inflexión:
f´´(x) = 32
2
9x
x324x108
Calcúlanse os puntos de inflexión: O numerador é maior que cero e o denominador anúlase en x = ±3 (tripla). Polo tanto, non ten puntos de inflexión. Estúdase a concavidade e convexidade nos seguintes intervalos.
