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Cálculo IIEngenharia Electromecânica
António [email protected]
Departamento de MatemáticaUniversidade da Beira Interior
2010/2011
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 1 / 357
Bibliografia
– Apostol, T.M., Cálculo, Vol. 1 e 2, Reverté, 1993
– Dias Agudo, F.R., Análise Real, Vol. I e II, Escolar Editora, 1989
– Demidovitch, B., Problemas e exercícios de Análise Matemática, McGrawHill,1977
– Lima, E. L., Curso de Análise, Vol. 2, Projecto Euclides, IMPA, 1989
– Lima, E. L., Análise Real, Vol. 2, Colecção Matemática Universitária, IMPA, 2004
– Mann, W. R., Taylor, A. E., Advanced Calculus, John Wiley and Sons, 1983
– Sarrico, C., Cálculo Diferencial e Integral, Esfera do Caos, 2009
– Stewart, J., Calculus (International Metric Edition), Brooks/Cole PublishingCompany, 2008
– Swokowski, E. W., Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 2, McGrawHill, 1983
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 2 / 357
Critérios de Avaliação
A avaliação ao longo das actividades lectivas será periódica, sendo efectuadosdois testes.
Os testes serão nos dias 27 de Abril de 2011 e 3 de Junho de 2011.
Os dois testes serão cotados, cada um deles, para 10 valores.
Designando por T1 a nota do primeiro teste e por T2 a nota do segundo teste,a classificação final será calculada da seguinte forma:
– se T1 + T2 for inferior a 15,5 valores, a classificação final será oarredondamento às unidades de T1 + T2;
– se T1 + T2 for superior ou igual a 15,5 valores, terá de ser feita umaprova oral; nessa prova oral será atribuída uma nota, que designaremospor PO, entre 0 e 20 valores; a classificação final será o arredondamentoàs unidades de
max{
15,T1 + T2 + PO
2
}
.
São aprovados os alunos com classificação final igual ou superior a 10 valores.
Todos os alunos são admitidos a exame.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 3 / 357
Atendimento
O atendimento aos alunos será às às quartas-feiras, das 17 horas às 19 horas,no gabinete 4.25 do Departamento de Matemática.
Caso este horário não seja conveniente, pode ser combinado outro horário como docente da cadeira através do email
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 4 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
2 Cálculo diferencial em Rn
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 5 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
2 Cálculo diferencial em Rn
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 6 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
2 Cálculo diferencial em Rn
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 7 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
2 Cálculo diferencial em Rn
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 8 / 357
§1.1.1 Os espaços Rn
Recordemos que se identifica o conjunto R dos números reais com arecta
0 a
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 9 / 357
§1.1.1 Os espaços Rn
Os elementos do conjunto
R2 = {(x1, x2) : x1, x2 ∈ R}
podem ser representados no plano da seguinte forma
x1
x2
b P (a, b)
a
b
Representação geométrica de um ponto de R2
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 10 / 357
§1.1.1 Os espaços Rn
Os elementos do conjunto
R3 = {(x1, x2, x3) : x1, x2, x3 ∈ R}
podem ser representados no espaço da seguinte forma
x2
x1
x3
bP (a, b, c)
a
b
c
Representação geométrica de um ponto de R3
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 11 / 357
§1.1.1 Os espaços Rn
Podemos generalizar este género de conjuntos para qualquer númeronatural n. Assim, definimos o conjunto Rn utilizando o produtocartesiano, ou seja,
Rn = R × R × · · · × R︸ ︷︷ ︸
n vezes
é o conjunto formado por todos os elementos da forma
x = (x1, . . . , xn)
onde xi é um número real para i = 1, . . . , n. A cada elemento xichamamos i-ésima coordenada de x.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 12 / 357
§1.1.1 Os espaços Rn
Em Rn vamos considerar duas operações, a adição (entre elementos deRn) e a multiplicação de um número real por um elemento de Rn,definidas, para cada
x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn)
em Rn e para cada λ ∈ R, da seguinte forma:
x+ y = (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
eλx = λ (x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn) .
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 13 / 357
§1.1.1 Os espaços Rn
A adição e a multiplicação verificam, para cada
x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) e z = (z1, . . . , zn)
em Rn e para cada λ, µ em R, as seguintes propriedades:
a) x+ y = y + x;
b) x+ (y + z) = (x+ y) + z;
c) (0, . . . , 0) ∈ Rn é o elemento neutro da adição;d) −x = (−x1, . . . ,−xn) é o simétrico de x = (x1, . . . , xn), já que
x+ (−x) = (0, . . . , 0);e) λ (µx) = (λµ)x;
f) λ (x+ y) = λx+ λy;
g) (λ+ µ)x = λx+ µx;
h) 1x = x.
Por se verificarem estas propriedades, é costume dizer que Rn é umespaço vectorial.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 14 / 357
§1.1.1 Os espaços Rn
Associada a estas operações está uma outra operação, a subtracção,que é definida, para cada
x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn)
em Rn, por
x− y = (x1, . . . , xn) − (y1, . . . , yn) = (x1 − y1, . . . , xn − yn).
Sempre que não haja perigo de confusão, representaremos um elementogenérico de R2 por (x, y) em vez de (x1, x2). Da mesma forma, umelemento genérico de R3 será por vezes representado por (x, y, z) emvez de (x1, x2, x3).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 15 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
2 Cálculo diferencial em Rn
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 16 / 357
§1.1.2 Distância, norma e produto interno
Em R, observando a figura que se segue
x y
|x− y|
Distância entre dois números reais x e y
verificamos que a distância entre dois números reais x e y é dada por
d(x, y) = |x− y| .
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 17 / 357
§1.1.2 Distância, norma e produto interno
Vejamos como calcular a distância entre dois elementos de R2. Paraisso consideremos dois pontos x = (x1, x2) e y = (y1, y2) e façamos asua representação geométrica.
x1
x2 b
y1
y2 bb
b
d(x,y)
b
b
x1 − y1b
b
b
b
x2 − y2
b
b
Distância entre dois pontos de R2
Pelo teorema de Pitágoras concluímos que a distância entre x e y édada por
d(x, y) =√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 18 / 357
§1.1.2 Distância, norma e produto interno
Do mesmo modo, a distância entre dois pontos x = (x1, x2, x3) ey = (y1, y2, y3) é dada por
d(x, y) =√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2.
b x = (x1, x2, x3)
by = (y1, y2, y3)
b
b
b
b
b
b
Distância entre dois pontos de R3
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 19 / 357
§1.1.2 Distância, norma e produto interno
De um modo geral, dados x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) em Rn, adistância entre x e y calcula-se usando a seguinte fórmula:
d(x, y) =√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · · + (xn − yn)2.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 20 / 357
§1.1.2 Distância, norma e produto interno
Associado à definição de distância temos o conceito de norma. Dadox = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, a norma de x é dada por
‖x‖ =√
x21 + x22 + · · · + x2n.
Repare-se que se representarmos por 0 o vector nulo (0, . . . , 0) temos
‖x‖ = ‖x− 0‖ = d(x, 0)pelo que a norma de x = (x1, . . . , xn) é apenas o comprimento do vector x, talcomo ilustra a figura seguinte no caso particular de R2:
x1
x2x = (x1, x2)
Além disso, dados x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) em Rn, temos
d(x, y) = ‖x− y‖.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 21 / 357
§1.1.2 Distância, norma e produto interno
Para quaisquer x, y ∈ Rn e para qualquer λ ∈ R, as seguintespropriedades são verdadeiras:
a) ‖x‖ > 0b) ‖x‖ = 0 se e só se x = 0;c) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖;d) ‖x+ y‖ 6 ‖x‖ + ‖y‖. (desigualdade triangular)
As três primeiras propriedades apresentadas anteriormente são fáceisde verificar. Já a última propriedade é mais difícil de provar.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 22 / 357
§1.1.2 Distância, norma e produto interno
Outro conceito importante nos espaços Rn é o de produto interno.Dados
x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn,define-se o produto interno da seguinte forma:
〈x, y〉 =n∑
i=1
xiyi
= x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 23 / 357
§1.1.2 Distância, norma e produto interno
Propriedades do produto interno
Para quaisquer x, y, z ∈ Rn e para qualquer λ ∈ R tem-sea) 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉;b) 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉;c) 〈λx, y〉 = λ 〈x, y〉;d) 〈x, λy〉 = λ 〈x, y〉;e) 〈x, y〉 = 〈y, x〉;f) 〈x, x〉 > 0;g) 〈x, x〉 = 0 se e só se x = 0.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 24 / 357
§1.1.2 Distância, norma e produto interno
Para cada x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn temos√
〈x, x〉 =√x1x1 + x2x2 + · · · + xnxn
=√
x21 + x22 + · · · + x2n
= ‖x‖ ,
ou seja, a norma pode ser definida à custa do produto interno.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 25 / 357
§1.1.2 Distância, norma e produto interno
É de referir que para quaisquer x, y ∈ Rn se tem
|〈x, y〉| 6√
〈x, x〉√
〈y, y〉
ou seja,∣∣∣∣∣
n∑
i=1
xiyi
∣∣∣∣∣6
√√√√
n∑
i=1
x2i .
√√√√
n∑
i=1
y2i ,
ou ainda,|〈x, y〉| 6 ‖x‖ ‖y‖ .
Esta desigualdade designa-se por desigualdade deCauchy-Schwarz.
Além disso, a igualdade só se verifica quando x e y são linearmentedependentes, ou seja, se
x = λy
para algum λ ∈ R.António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 26 / 357
§1.1.2 Distância, norma e produto interno
Em R2 ou em R3 tem-se
〈x, y〉 = ‖x‖ ‖y‖ cos θ,
onde θ é o ângulo formado pelos vectores não nulos x e y.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 27 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
2 Cálculo diferencial em Rn
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 28 / 357
§1.1.3 Bolas e conjuntos limitados
Seja a = (a1, . . . , an) um ponto de Rn. Chama-se bola aberta decentro a e raio r > 0 ao conjunto
Br(a) = {x ∈ Rn : d(x, a) < r}= {x ∈ Rn : ‖x− a‖ < r}
={
x ∈ Rn :√
(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 < r}
={
x ∈ Rn : (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 < r2}
e bola fechada de centro a e raio r > 0 ao conjunto
Br[a] = {x ∈ Rn : d(x, a) 6 r}= {x ∈ Rn : ‖x− a‖ 6 r}
={
x ∈ Rn :√
(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 6 r}
={
x ∈ Rn : (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 6 r2}
.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 29 / 357
§1.1.3 Bolas e conjuntos limitados
O conjunto
Sr(a) = {x ∈ Rn : d(x, a) = r}= {x ∈ Rn : ‖x− a‖ = r}
={
x ∈ Rn :√
(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 = r}
={
x ∈ Rn : (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 = r2}
designa-se por esfera de centro a e raio r > 0.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 30 / 357
§1.1.3 Bolas e conjuntos limitados
Em R a distância entre dois elementos é dada pelo módulo da diferençae, por conseguinte, as bolas são intervalos e as esferas conjuntos comdois pontos:
aa− r a+ r aa− r a+ r aa− r a+ r
Bola aberta, bola fechada e esfera de centro a ∈ R e raio r
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 31 / 357
§1.1.3 Bolas e conjuntos limitados
A figura seguinte ilustra, em R2, os três conjuntos definidosanteriormente:
b
a1
a2 brb
rb
a1
a2
rbb
rb
a1
a2
rb
Bola aberta, bola fechada e esfera de centro (a1, a2) e raio r
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 32 / 357
§1.1.3 Bolas e conjuntos limitados
Em R3 a bola de centro a = (a1, a2, a3) e raio r pode ser representadapor
ba rba rb
Representação geométrica em R3 da bola de centro a = (a1, a2, a3) e raio r
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 33 / 357
§1.1.3 Bolas e conjuntos limitados
Um subconjunto A de Rn diz-se limitado se estiver contido emalguma bola centrada na origem, isto é,
A ⊆ Br[0] para algum r > 0,
ou seja, se existir r > 0 tal que
‖x‖ 6 r para cada x ∈ A.
Os subconjuntos de Rn que não são limitados dizem-se ilimitados
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 34 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
2 Cálculo diferencial em Rn
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 35 / 357
§1.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Seja A um subconjunto não vazio de Rn. Um ponto a ∈ Rn diz-seinterior a A
se existir ε > 0 tal que Bε(a) ⊆ A.
O ponto a diz-se exterior a A
se existir ε > 0 tal que Bε(a) ⊆ Rn \ A.
Um ponto a ∈ Rn diz-se fronteiro a A
se para cada ε > 0, Bε(a) ∩A 6= ∅ e Bε(a) ∩ (Rn \ A) 6= ∅.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 36 / 357
§1.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
A figura que se segue ilustra estes três conceitos.
aa
bb
cc
Pontos interiores, pontos exteriores e pontos fronteiros
O ponto a é um ponto interior ao conjunto, o ponto b é um pontoexterior ao conjunto e o ponto c é um ponto fronteiro ao conjunto.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 37 / 357
§1.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
O conjunto dos pontos interiores a A designa-se por interior de A erepresenta-se por intA ou A◦.
O conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A erepresenta-se por extA.
O conjunto dos pontos fronteiros de A diz-se a fronteira de A erepresenta-se por frA.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 38 / 357
§1.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Observações
a) Da definição resulta imediatamente que intA, extA e frA sãoconjuntos disjuntos dois a dois e que
Rn = intA ∪ extA ∪ frA.
b) Outra consequência imediata da definição é a seguinte
intA = ext (Rn \ A) e frA = fr (Rn \ A) .
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 39 / 357
§1.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Exemplos
a) Consideremos os conjuntos
A ={
(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2 ∧ 1 < y < 2}
B ={
(x, y) ∈ R2 : 3 6 x 6 4 ∧ 1 6 y 6 2}
C ={
(x, y) ∈ R2 : 5 6 x 6 6 ∧ 1 < y < 2}
Estes conjuntos estão representados na figura seguinte
1
2
1 2 3 4 5 6x
y
A B C
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 40 / 357
§1.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Exemplos
a) (continuação) Então o interior destes três conjuntos é dado por
intA ={
(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2 ∧ 1 < y < 2}
intB ={
(x, y) ∈ R2 : 3 < x < 4 ∧ 1 < y < 2}
intC ={
(x, y) ∈ R2 : 5 < x < 6 ∧ 1 < y < 2},
o exterior é dado por
extA ={
(x, y) ∈ R2 : x < 1 ∨ x > 2 ∨ y < 1 ∨ y > 2}
extB ={
(x, y) ∈ R2 : x < 3 ∨ x > 4 ∨ y < 1 ∨ y > 2}
extC ={
(x, y) ∈ R2 : x < 5 ∨ x > 6 ∨ y < 1 ∨ y > 2},
e a fronteira é dada por
frA ={
(x, y) ∈ R2 : ((y = 1 ∨ y = 2) ∧ 1 6 x 6 2) ∨ ((x = 1 ∨ x = 2) ∧ 1 6 y 6 2)}
frB ={
(x, y) ∈ R2 : ((y = 1 ∨ y = 2) ∧ 3 6 x 6 4) ∨ ((x = 3 ∨ x = 4) ∧ 1 6 y 6 2)}
frC ={
(x, y) ∈ R2 : ((y = 1 ∨ y = 2) ∧ 5 6 x 6 6) ∨ ((x = 5 ∨ x = 6) ∧ 1 6 y 6 2)}.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 41 / 357
§1.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Exemplos
b) Dada a bola aberta Br(a) de centro a e raio r > 0 tem-se
int (Br(a)) = Br(a)
ext (Br(a)) = Rn \Br[a]fr (Br(a)) = Sr(a).
O interior, o exterior e a fronteira da bola fechada Br[a] de centro ae raio r > 0 coincidem, respectivamente, com o interior, o exterior ea fronteira de Br(a).
c) É óbvio que intRn = Rn, extRn = ∅ e frRn = ∅.
d) Também temos int∅ = ∅, ext∅ = Rn e fr∅ = ∅.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 42 / 357
§1.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Um ponto a ∈ Rn diz-se aderente a um subconjunto A ⊆ Rn
se para cada ε > 0, Bε(a) ∩A 6= ∅.
O conjunto dos pontos aderentes de um conjunto A designa-se poraderência ou fecho de A e representa-se por A.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 43 / 357
§1.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Exemplos
a) Considerando novamente os conjuntos
A ={
(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2 ∧ 1 < y < 2}
B ={
(x, y) ∈ R2 : 3 6 x 6 4 ∧ 1 6 y 6 2}
C ={
(x, y) ∈ R2 : 5 6 x 6 6 ∧ 1 < y < 2}
temos
A ={
(x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 2 ∧ 1 6 y 6 2}
B ={
(x, y) ∈ R2 : 3 6 x 6 4 ∧ 1 6 y 6 2}
C ={
(x, y) ∈ R2 : 5 6 x 6 6 ∧ 1 6 y 6 2}
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 44 / 357
§1.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Exemplos (continuação)
b) Seja Br(a) a bola aberta de centro a e raio r > 0. Então
Br(a) = Br[a].
c) Também se tem Rn = Rn e ∅ = ∅.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 45 / 357
§1.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
É evidente que para qualquer subconjunto A de Rn se tem
A = intA ∪ frA
eintA ⊆ A ⊆ A.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 46 / 357
§1.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Sejam A um subconjunto de Rn e a ∈ Rn. Diz-se que a é um pontode acumulação de A
se para cada ε > 0, Bε(a) ∩ (A \ {a}) 6= ∅.
O conjunto dos pontos de acumulação de um conjunto A representa-sepor A′ e designa-se por derivado.
Os pontos de A que não são pontos de acumulação de A designam-sepor pontos isolados.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 47 / 357
§1.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Exemplos
a) Seja
A ={
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}
∪ {(2, 2) , (−2, 2)} .
O conjunto A tem a seguinte representação geométrica
x
y
2
2
-2 1
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 48 / 357
§1.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Então se
A ={
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}
∪ {(2, 2) , (−2, 2)}tem-se
intA ={
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1},
extA ={
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1}
\ {(2, 2) , (−2, 2)} ,frA =
{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1
}∪ {(2, 2) , (−2, 2)} ,
A ={
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1}
∪ {(2, 2) , (−2, 2)} ,A′ =
{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1
}.
Os pontos (2, 2) e (−2, 2) são pontos isolados de A. Além disso o conjuntoA é limitado porque
A ⊆ B3[0].
b) É óbvio que (Rn)′ = Rn e que (∅)′ = ∅.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 49 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
2 Cálculo diferencial em Rn
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 50 / 357
§1.1.5 Conjuntos abertos e conjuntos fechados
Um subconjunto A de Rn diz-se aberto se A = intA e diz-se fechadose A = A.
aa
conjunto aberto
bb
conjunto fechado
Conjuntos abertos e conjuntos fechados
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 51 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
Definição e exemplosGráfico, curvas de nível e superfícies de nível
LimitesContinuidade
2 Cálculo diferencial em Rn
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 52 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
Definição e exemplosGráfico, curvas de nível e superfícies de nível
LimitesContinuidade
2 Cálculo diferencial em Rn
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 53 / 357
§1.2.1 Definição e exemplos
Seja D um subconjunto não vazio de Rn. Uma função
f : D ⊆ Rn → Rm
associa a cada elemento x = (x1, . . . , xn) de D um e um só elemento deRm que representaremos por f(x). Como f(x) ∈ Rm, tem-se
f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x))
onde
f1 : D ⊆ Rn → Rf2 : D ⊆ Rn → R
...
fm : D ⊆ Rn → R.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 54 / 357
§1.2.1 Definição e exemplos
Assim, cada função f : D ⊆ Rn → Rm pode ser definida por m funções
f1 : D ⊆ Rn → Rf2 : D ⊆ Rn → R
...
fm : D ⊆ Rn → R,
funções essas que se designam por funções coordenadas de f . Nestascondições escreve-se
f = (f1, f2, . . . , fm) .
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 55 / 357
§1.2.1 Definição e exemplos
As funçõesf : D ⊆ Rn → R
designam-se por funções escalares e as funções
f : D ⊆ Rn → Rm, m > 1,
designam-se por funções vectoriais.
O conjunto D no qual está definida a função designa-se por domíniode f e o conjunto de todas as imagens de uma função designa-se porcontradomínio de f , ou seja, o contradomínio de uma função
f : D ⊆ Rn → Rm
é o conjuntof(D) = {f(x) ∈ Rm : x ∈ D} .
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 56 / 357
§1.2.1 Definição e exemplos
Exemplos de funções f : D ⊆ Rn → Rma) Seja f a função dada por
f(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y), f3(x, y))
= (ln(y − x), sen x, 1) .
O domínio de f é o conjunto
D ={
(x, y) ∈ R2 : y − x > 0}
={
(x, y) ∈ R2 : y > x}
Obviamente, f : D ⊆ R2 → R3 e o seu contradomínio é o conjunto
f(D) ={
(a, b, c) ∈ R3 : − 1 6 b 6 1, c = 1}
.
Esta função é uma função vectorial pois o seu contradomínio é umsubconjunto de R3.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 57 / 357
§1.2.1 Definição e exemplos
Exemplos de funções f : D ⊆ Rn → Rm (continuação)a) (continuação) Façamos a representação geométrica do domínio
D ={
(x, y) ∈ R2 : y > x}
da função f :
x
y
1
1
y = x
D
1
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 58 / 357
§1.2.1 Definição e exemplos
Exemplos de funções f : D ⊆ Rn → Rm (continuação)b) Consideremos a função escalar dada por
f(x, y) = x ln(
y2 − x)
.
O domínio de f é o conjunto
D ={
(x, y) ∈ R2 : y2 − x > 0}
={
(x, y) ∈ R2 : y2 > x}
Assim, f : D ⊆ R2 → R e o contradomínio de f é R.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 59 / 357
§1.2.1 Definição e exemplos
Exemplos de funções f : D ⊆ Rn → Rm (continuação)b) (continuação) Façamos a representação geométrica do domínio
D ={
(x, y) ∈ R2 : y2 > x}
da função f :
x
y
1 2
1
√2
x = y2D
1
√2
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 60 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
Definição e exemplosGráfico, curvas de nível e superfícies de nível
LimitesContinuidade
2 Cálculo diferencial em Rn
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 61 / 357
§1.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Dada uma função f : D ⊆ Rn → Rm designa-se por gráfico de f oconjunto
G (f) = {(a, f(a)) : a ∈ D} .
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 62 / 357
§1.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Gráfico da função dada por f(x, y) = x2 + y2
Seja f a função dada por
f(x, y) = x2 + y2.
O domínio desta função é R2 e o seu contradomínio é [0,+∞[. Ográfico desta função é o conjunto
G (f) ={(
(x, y), x2 + y2)
: (x, y) ∈ R2}
.
Costuma identificar-se o ponto(
(x, y), x2 + y2)
de R2 × R com o ponto(x, y, x2 + y2
)de R3. Assim,
G (f) ={(
x, y, x2 + y2)
: (x, y) ∈ R2}
.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 63 / 357
§1.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Gráfico da função dada por f(x, y) = x2 + y2 (continuação)
Façamos a representação geométrica do gráfico de f :
x
y
f(x, y)
1
2
5b
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 64 / 357
§1.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Sejam f : D ⊆ Rn → R uma função e k ∈ R. O conjunto
Ck = {x ∈ D : f(x) = k}
designa-se por conjunto de nível k. Em R2 os conjuntos de níveldesignam-se por curvas de nível e em R3 designam-se porsuperfícies de nível.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 65 / 357
§1.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Curvas de nível da função dada por f(x, y) = x2 + y2
Consideremos novamente a função f : R2 → R dada por
f(x, y) = x2 + y2.
As curvas de nível desta função são
Ck ={
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = k}
.
Assim, se k < 0 temos Ck = ∅. Se k = 0 temos C0 = {(0, 0)}.Finalmente, para k > 0 a curva de nível é uma circunferência centradaem (0, 0) e de raio
√k.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 66 / 357
§1.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Curvas de nível da função dada por f(x, y) = x2 + y2 (continuação)
As curvas de nível 1, 2 e 3 estão representadas na figura seguinte
x
y
1√
2√
3
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 67 / 357
§1.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Curvas de nível da função dada por f(x, y) = x2 + y2 (continuação)
As curvas de nível podem ajudar a representar geometricamente ográfico da função:
x
y
f(x, y)
1
2
3
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 68 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
LimitesDefinição, propriedades e exemplosLimites relativos e limites direccionais
Continuidade
2 Cálculo diferencial em Rn
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 69 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
LimitesDefinição, propriedades e exemplosLimites relativos e limites direccionais
Continuidade
2 Cálculo diferencial em Rn
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 70 / 357
§1.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Comecemos por recordar a definição de limite para funções
f : D ⊆ R → R,ou seja, quando n = m = 1.
Sejam D um subconjunto de R, f : D → R uma função, a um ponto deacumulação de D e b ∈ R. Diz-se que b é o limite (de f) quando xtende para a, e escreve-se
limx→a
f(x) = b,
se para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que
|f(x) − b| < ε para qualquer x ∈ D tal que 0 < |x− a| < δ.
Simbolicamente, tem-se o seguinte
limx→a
f(x) = b ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x) − b| < ε)
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 71 / 357
§1.3.1 Definição, propriedades e exemplos
A figura seguinte ilustra o conceito de limite de funções
f : D ⊆ R → R.
x
y
bb
a
b
f(a)
b−ε
b+ε
b
b
a−δ a+δ
b
a−δ a a+δ
b
a−δ a a+δ
b
xa
b−ε
b+ε
b
b
a−δ a a+δ
b
a−δ a a+δ
b
a−δaa+δ
b
a−δ a a+δ
b−ε
b
b+ε
b
Interpretação geométrica do conceito de limite de uma função real de variável real
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 72 / 357
§1.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Para generalizarmos o conceito de limite para funções
f : D ⊆ Rn → Rm
temos de utilizar normas em vez de módulos.
Deste modo, sejam D um subconjunto de Rn,
f : D ⊆ Rn → Rm
uma função, a um ponto de acumulação de D e b ∈ Rm. Dizemos que bé o limite de f quando x tende para a, e escreve-se
limx→a
f(x) = b,
se para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que
‖f(x) − b‖ < ε para qualquer x ∈ D tal que 0 < ‖x− a‖ < δ.Simbolicamente, tem-se o seguinte:
limx→a
f(x) = b ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (0 < ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x) − b‖ < ε) .
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 73 / 357
§1.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Para interpretar geometricamente a definição de limite basta observar que
‖f(x) − b‖ < ε é equivalente a f(x) ∈ Bε(b)
e que0 < ‖x− a‖ < δ é equivalente a x ∈ Bδ(a) \ {a} .
Rn
DR
m
f(D)
f
a
f(a)
bbε
δ a
x f(x)
Interpretação geométrica do limite em a de uma função f : D ⊆ Rn → Rm
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 74 / 357
§1.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Se a for um ponto isolado do domínio D, então a definição dada atrásnão se pode aplicar porque, quando a é um ponto isolado de D, épossível escolher δ > 0 tal que
0 < ‖x− a‖ < δ
é falso para qualquer x ∈ D.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 75 / 357
§1.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Propriedades
a) O limite de uma função (quando existe) é único.
b) Sejam D um subconjunto de Rn,
a = (a1, . . . , an) ∈ Rn
um ponto de acumulação de D e
b = (b1, . . . , bm) ∈ Rm.Se
f : D ⊆ Rn → Rm
uma função tal que
f = (f1, . . . , fm) ,
entãolimx→a
f(x) = b se e só se limx→a
fi(x) = bi, i = 1, . . . ,m.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 76 / 357
§1.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Propriedades (continuação)
c) Sejam D ⊆ Rn, f, g : D → Rm, α : D → R e a um ponto de acumulaçãode D. Suponhamos que existem
limx→a
f(x), limx→a
g(x) e limx→a
α(x).
Então
i) existe limx→a
[f(x) + g(x)] e
limx→a
[f(x) + g(x)] = limx→a
f(x) + limx→a
g(x);
ii) existe limx→a
[α(x)f(x)] e
limx→a
[α(x)f(x)] =[
limx→a
α(x)]
.[
limx→a
f(x)]
;
iii) se limx→a
α(x) 6= 0, existe limx→a
1α(x)
e
limx→a
1α(x)
=1
limx→a
α(x).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 77 / 357
§1.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Propriedades (continuação)
d) Sejam D um subconjunto de Rn, a um ponto de acumulação de D e
f, g : D ⊆ Rn → R.
Suponhamos quelimx→a f(x) = 0
e g é uma função limitada numa bola centrada em a. Então
limx→a
[f(x).g(x)] = 0.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 78 / 357
§1.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Propriedades (continuação)
e) Sejamf : Df ⊆ Rn → Rm
eg : Dg ⊆ Rm → Rk
duas funções tais quef(Df ) ⊆ Dg.
Suponhamos que a ∈ Rn é um ponto de acumulação de Df e queb ∈ Dg é um ponto de acumulação de Dg. Se
limx→a
f(x) = b e limx→b
g(x) = g(b),
entãolimx→a
(g ◦ f)(x) = limx→a
g(f(x)) = g(b).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 79 / 357
§1.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Rn Rm
Df
f
f(Df)
a b = f(a)b b
Rk
bb = f(a)
f(Df) Dg
g
g (Dg)
g ◦ f
bg(b) = g(f(a))
Composição de funções
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 80 / 357
§1.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplos
a) Seja f : R2 → R3 a função definida por
f(x, y) = (x+ y, sen(x+ 2y), cosx) .
Entãof = (f1, f2, f3)
ondef1, f2, f3 : R2 → R
são as funções definidas por
f1(x, y) = x+ y, f2(x, y) = sen(x+ 2y) e f3(x, y) = cos x.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 81 / 357
§1.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Como
lim(x,y)→(π/2,0)
f1(x, y) = lim(x,y)→(π/2,0)
x+ y = π/2 + 0 = π/2
lim(x,y)→(π/2,0)
f2(x, y) = lim(x,y)→(π/2,0)
sen(x+ 2y)
= sen(π/2 + 2.0) = sen(π/2) = 1
lim(x,y)→(π/2,0)
f3(x, y) = lim(x,y)→(π/2,0)
cosx = cos(π/2) = 0,
temos
lim(x,y)→(π/2,0)
f(x, y)
=(
lim(x,y)→(π/2,0)
f1(x, y), lim(x,y)→(π/2,0)
f2(x, y), lim(x,y)→(π/2,0)
f3(x, y))
= (π/2, 1, 0) .
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 82 / 357
§1.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplos (continuação)
b) Seja f : R2 → R a função dada por
f(x, y) =
xy2
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
Esta função pode ser escrita, quando (x, y) 6= (0, 0), da seguinteforma
xy2
x2 + y2.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 83 / 357
§1.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Como lim(x,y)→(0,0)
x = 0 ey2
x2 + y2é limitada, pois
0 6y2
x2 + y26y2
y2= 1 para cada (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} ,
podemos concluir que
lim(x,y)→(0,0)
xy2
x2 + y2= 0.
e, consequentemente,
lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 84 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
LimitesDefinição, propriedades e exemplosLimites relativos e limites direccionais
Continuidade
2 Cálculo diferencial em Rn
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 85 / 357
§1.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Seja A um subconjunto de D ⊆ Rn e a um ponto de acumulação de A.Chama-se limite relativo a A da função
f : D ⊆ Rn → Rm
no ponto a (ou limite quando x tende para a no conjunto A) aolimite em a (quando exista) da restrição de f a A e usa-se a notação
limx→ax∈A
f(x).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 86 / 357
§1.3.2 Limites relativos e limites direccionais
É evidente para qualquer função
f : D ⊆ Rn → R
se existelimx→a
f(x),
então também existelimx→ax∈A
f(x)
para qualquer subconjunto A de D tal que a é ponto de acumulação deA e
limx→ax∈A
f(x) = limx→a
f(x).
Assim, se existirem dois limites relativos distintos, o limite não existe.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 87 / 357
§1.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Além disso, dada uma função
f : D ⊆ Rn → Rm,
se A1 e A2 são dois subconjuntos de Rn tais que a é ponto deacumulação de A1 e de A2,
D \ {a} ⊆ A1 ∪A2e existem e são iguais os limites
limx→ax∈A1
f(x) e limx→ax∈A2
f(x),
então também existelimx→a
f(x)
elimx→a
f(x) = limx→ax∈A1
f(x) = limx→ax∈A2
f(x).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 88 / 357
§1.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Exemplo
Seja f : R2 \ {(0, 0)} → R a função definida por
f(x, y) =x2 − y2x2 + y2
.
Considerando os conjuntos
A ={
(x, 0) ∈ R2 : x ∈ R \ {0}}
e B ={
(0, y) ∈ R2 : y ∈ R \ {0}}
temos
lim(x,y)→(0,0)
(x,y)∈A
f(x, y) = limx→0
f(x, 0) = limx→0
x2
x2= lim
x→01 = 1
e
lim(x,y)→(0,0)
(x,y)∈B
f(x, y) = limy→0
f(0, y) = limy→0
−y2y2
= limy→0
−1 = −1.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 89 / 357
§1.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Exemplo (continuação)
Comolim
(x,y)→(0,0)(x,y)∈A
f(x, y) 6= lim(x,y)→(0,0)
(x,y)∈B
f(x, y),
não existelim
(x,y)→(0,0)f(x, y).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 90 / 357
§1.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Para funções reais de variável real, f : D ⊆ R → R, considerando osconjuntos
D+a = {x ∈ D : x > a} = D∩ ]a,+∞[e
D−a = {x ∈ D : x < a} = D∩ ] − ∞, a[,obtemos os limites laterais à direita e à esquerda da seguinteforma
limx→a+
f(x) = limx→ax∈D+a
f(x)
elimx→a−
f(x) = limx→ax∈D−a
f(x),
desde que a seja ponto de acumulação de D+a e de D−a , respectivamente.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 91 / 357
§1.3.2 Limites relativos e limites direccionais
A generalização natural dos limites laterais a funções
f : D ⊆ Rn → Rm
é dada pelos limites direccionais. Se a e v são elementos de Rn, com v 6= 0,então
{x ∈ Rn : x = a+ tv, t ∈ R+
}
é a semi-recta de origem a e com a direcção e o sentido de v. Dada uma função
f : D ⊆ Rn → Rm,fazendo
A ={x ∈ D : x = a+ tv, t ∈ R+
},
e supondo que a é ponto de acumulação de A, chama-se a
limx→ax∈A
f(x)
limite (direccional) de f no ponto a segundo v. Este limite obtém-secalculando
limt→0+
f(a+ tv).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 92 / 357
§1.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Observações
a) Sejam D um subconjunto de Rn,
f : D ⊆ Rn → Ruma função e a, v ∈ Rn. Se existe
limt→0+
f(a+ tv),
então, fazendo u = λv, λ ∈ R+, também existelim
t→0+f(a+ tu)
e
limt→0+
f(a+ tv) = limt→0+
f(a+ tu).
b) Tendo em conta a observação anterior, para calcular os limitesdireccionais basta considerar vectores de norma um. Assim, para funções
f : D ⊆ R2 → R,basta considerar vectores
v = (cosα, senα) , α ∈ [0, 2π[.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 93 / 357
§1.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Exemplo
Consideremos novamente a função f : R2 \ {(0, 0)} → R definida por
f(x, y) =x2 − y2x2 + y2
.
Fazendov = (cosα, sen α) ,
com α ∈ [0, 2π[, temos
limt→0+
f(0 + t cosα, 0 + t senα) = limt→0+
t2 cos2 α− t2 sen2 αt2 cos2 α+ t2 sen2 α
= cos2 α− sen2 αe, como os limites direccionais dependem do vector v, podemos concluirque não existe
lim(x,y)→(0,0)
f(x, y).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 94 / 357
§1.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Para funções f : D ⊆ R → R é fácil provar que se existem
limx→a+
f(x) e limx→a−
f(x)
elimx→a+
f(x) = limx→a−
f(x),
então também existelimx→a
f(x)
elimx→a
f(x) = limx→a+
f(x) = limx→a−
f(x).
No entanto, para funções
f : D ⊆ Rn → Rm, n > 1,
é possível existirem e serem iguais todos os limites direccionais, sem queo limite da função exista. Vejamos um exemplo em que isso acontece.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 95 / 357
§1.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Exemplo – f(x, y) = x2y/(x4 + y2)
No ponto (0, 0) todos os limites direccionais da função
f : R2 \ {(0, 0)} → Rdefinida por
f(x, y) =x2y
x4 + y2
são iguais a zero. De facto, fazendo
v = (cosα, sen α) ,
com α ∈ [0, 2π[, temos, para α ∈]0, π[∪]π, 2π[,
limt→0+
f((0, 0) + tv) = limt→0+
f(t cosα, t sen α) = limt→0+
t3 cos2 α senαt4 cos4 α+ t2 sen2 α
= limt→0+
t cos2 α senαt2 cos4 α+ sen2 α
=0
0 + sen2 α= 0.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 96 / 357
§1.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Exemplo (continuação) – f(x, y) = x2y/(x4 + y2)
Se α = 0 vem
limt→0+
f(t, 0) = limt→0+
t20t4 + 02
= limt→0+
0 = 0.
e se α = π temos
limt→0+
f(−t, 0) = limt→0+
(−t)20(−t)4 + 02 = limt→0+ 0 = 0.
Assim, todos os limites direccionais são iguais a zero.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 97 / 357
§1.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Exemplo (continuação) – f(x, y) = x2y/(x4 + y2)
No entanto, considerando o conjunto
A ={
(x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} : y = x2}
temos
lim(x,y)→(0,0)
x∈A
f(x, y) = limx→0
f(x, x2) = limx→0
x2.x2
x4 + (x2)2
= limx→0
x4
2x4= lim
x→012
=12
que é diferente dos limites direccionais. Logo não existe
lim(x,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 98 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
Definição, propriedades e exemplosTeorema de Weierstrass
2 Cálculo diferencial em Rn
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 99 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
Definição, propriedades e exemplosTeorema de Weierstrass
2 Cálculo diferencial em Rn
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 100 / 357
§1.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Sejam D um subconjunto de Rn,
f : D ⊆ Rn → Rm
uma função e a ∈ D. Diz-se que f é contínua no ponto a se paracada ε > 0, existir δ > 0 tal que
‖f(x) − f(a)‖ < ε para qualquer x ∈ D tal que ‖x− a‖ < δ.
Simbolicamente,
f é contínua em a
⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x) − f(a)‖ < ε) .
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 101 / 357
§1.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Assim temos a seguinte interpretação geométrica de continuidade numponto.
Rn
DRm
f(D)
f
a
f(a)f(a)ε
δ a
x f(x)
Função de Rn em Rm contínua no ponto a
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 102 / 357
§1.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Dizemos que a ∈ D é um ponto de descontinuidade de
f : D ⊆ Rn → Rm
se f não é contínua em a.
Uma funçãof : D ⊆ Rn → Rm
é contínua se for contínua em todos os pontos de D.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 103 / 357
§1.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Observações
a) Ao contrário do que acontece na definição de limite, só faz sentidoconsiderar pontos do domínio D quando estamos a investigar acontinuidade de uma função.
b) Se a é um ponto isolado de D, então a função f : D → Rm é contínua ema. De facto, dado ε > 0, basta escolher δ > 0 tal que
Bδ(a) ∩D = {a} .Assim, a condição
x ∈ D ∧ ‖x− a‖ < δ é equivalente a x = ae, por conseguinte,
‖f(x) − f(a)‖ = 0 < ε.Em particular, se D só tem pontos isolados, então qualquer funçãof : D → Rm é contínua.
c) Se a ∈ D é um ponto de acumulação de D, então f : D → Rm é contínuaem a se e só se
limx→a
f(x) = f(a).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 104 / 357
§1.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplos
a) Num exemplo anterior estudamos a função
f : R2 → R3
dada porf(x, y) = (x+ y, sen(x+ 2y), cos x)
e vimos quelim
(x,y)→(π/2,0)f(x, y) = (π/2, 1, 0) .
Comof(π/2, 0) = (π/2, 1, 0) ,
a função é contínua no ponto (π/2, 0).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 105 / 357
§1.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplos (continuação)
b) Seja f : R2 → R a função é definida por
f(x, y) =
x2 − y2x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0).Fazendo
A ={
(x, y) ∈ R2 : x = 0}
e B ={
(x, y) ∈ R2 : y = 0},
temos
lim(x,y)→(0,0)
x∈A
f(x, y) = limy→0
f(0, y) = limy→0
02 − y202 + y2
= limy→0
−y2y2
= limy→0
−1 = −1
e
lim(x,y)→(0,0)
x∈B
f(x, y) = limx→0
f(x, 0) = limx→0
x2 − 02x2 + 02
= limx→0
x2
x2= lim
x→01 = 1.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 106 / 357
§1.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Como
lim(x,y)→(0,0)
x∈A
f(x, y) 6= lim(x,y)→(0,0)
x∈B
f(x, y),
não existe
lim(x,y)→(0,0)
x2 − y2x2 + y2
.
Logo a função não é contínua em (0, 0).
No entanto, em qualquer ponto (a, b) 6= (0, 0) esta função é contínuaporque
lim(x,y)→(a,b)
x2 − y2x2 + y2
=a2 − b2a2 + b2
= f(a, b).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 107 / 357
§1.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Propriedades
a) Sejamf : D ⊆ Rn → Rm
uma função tal quef = (f1, . . . , fm)
e a um elemento de D. Então
f é contínua em a
se e só se todas as suas funções coordenadas
fi são contínuas em a.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 108 / 357
§1.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Propriedades (continuação)
b) Sejamf, g : D ⊆ Rn → Rm
duas funções contínuas em a ∈ D e
α : D → R
uma função contínua em a. Então
f + g e αf são contínuas em a
e, se α(a) 6= 0, então
1α
é contínua em a.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 109 / 357
§1.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Propriedades (continuação)
c) Sejamf : Df ⊆ Rn → Rm
eg : Dg ⊆ Rm → Rk
duas funções tais que f(Df ) ⊆ Dg. Se
f é contínua em a ∈ Df
eg é contínua em f(a),
entãog ◦ f é contínua em a.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 110 / 357
§1.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplo
Seja f : R2 → R a função dada por
f(x, y) =
x2y
x4 + y2se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
Já vimos num exemplo anterior que fazendo
A ={
(x, y) ∈ R2 : y = 0}
e B ={
(x, y) ∈ R2 : y = x2},
temoslim
(x,y)→(0,0)x∈A
f(x, y) = limx→0
f(x, 0) = limx→0
x2 0x4 + 02
= limx→0
0x4
= limx→0
0 = 0
e
lim(x,y)→(0,0)
x∈B
f(x, y) = limx→0
f(x, x2) = limx→0
x2 x2
x4 + (x2)2= lim
x→0
x4
2x4= lim
x→0
12
=12.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 111 / 357
§1.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplo (continuação)
Como
lim(x,y)→(0,0)
x∈A
f(x, y) 6= lim(x,y)→(0,0)
x∈B
f(x, y),
não existe
lim(x,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2
e, portanto, a função não é contínua em (0, 0).
No entanto, em qualquer ponto (a, b) 6= (0, 0) esta função é contínuaporque pode ser escrita como a composição de funções contínuas.
Outra forma de provarmos que f é contínua em qualquer pontos(a, b) 6= (0, 0) é observarmos que
lim(x,y)→(a,b)
x2y
x4 + y2=
a2b
a4 + b2= f(a, b).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 112 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
Definição, propriedades e exemplosTeorema de Weierstrass
2 Cálculo diferencial em Rn
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 113 / 357
§1.4.2 Teorema de Weierstrass
Seja f : D ⊆ Rn → R uma função escalar e A um subconjunto nãovazio de D. Dizemos que f tem um máximo (absoluto) no pontoa ∈ A ou que f(a) é um máximo (absoluto) de f em A se
f(x) 6 f(a) para todo o x ∈ A.
Quandof(x) > f(a) para todo o x ∈ A,
dizemos que f tem um mínimo (absoluto) no ponto a ∈ A ou quef(a) é um mínimo (absoluto) de f em A. Os máximos e mínimos(absolutos) de f em a dizem-se extremos absolutos de f em A.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 114 / 357
§1.4.2 Teorema de Weierstrass
Teorema de Weierstrass
Sejaf : D ⊆ Rn → R
uma função contínua num subconjunto não vazio, fechado e limitadoA ⊆ D. Então f tem máximo e mínimo em A.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 115 / 357
§1.4.2 Teorema de Weierstrass
Exemplo
SejamA =
{
(x, y) ∈ R2 : |x| 6 1, |y| 6 1}
e f a função dada por
f(x, y) = x+ y sen x.
A função f é contínua em R2 e, portanto, é contínua em A. Como A éfechado e limitado, f tem máximo e mínimo no conjunto A.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 116 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
2 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Derivada da função compostaDerivadas de ordem superior. Teorema de SchwarzTeorema da função implícitaExtremos locais e extremos absolutosExtremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 117 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
2 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Derivada da função compostaDerivadas de ordem superior. Teorema de SchwarzTeorema da função implícitaExtremos locais e extremos absolutosExtremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 118 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Comecemos por recordar como se define derivada de funções reais devariável real. Sejam D um subconjunto não vazio de R, f : D → R ea ∈ D um ponto de acumulação de D. Diz-se que f é derivável oudiferenciável em a se existe (e é finito) o limite:
limx→a
f(x) − f(a)x− a .
Tal limite (quando existe) diz-se a derivada de f no ponto a e
representa-se por f ′(a), Df(a) ou ainda pordf
dx(a). Fazendo a
mudança de variável x = a+ h, temos
f ′(a) = limh→0
f(a+ h) − f(a)h
.
Aqui têm apenas de se considerar os valores de h tais que a+ h ∈ D.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 119 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Diz-se que a função f : D → R é derivável ou diferenciável em D sefor derivável em todo o ponto de D e à nova função
f ′ : D → R,
que a cada ponto x ∈ D faz corresponder f ′(x), chama-se derivada def e representa-se também por Df ou
df
dx.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 120 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
O quocientef(a+ h) − f(a)
hrepresenta o declive da recta que passa pelos pontos
(a, f(a)) e (a+ h, f(a+ h)) .
Fazendo h tender para zero, a recta que passa nos pontos
(a, f(a)) e (a+ h, f(a+ h)) ,
vai tender para a recta tangente ao gráfico de f e que passa no pontos(a, f(a)). Assim, geometricamente, a derivada de uma função numponto do domínio é o declive da recta tangente ao gráfico da função noponto considerado. Portanto, a recta tangente ao gráfico de umafunção f no ponto (a, f(a)) é a recta de equação
y = f(a) + f ′(a)(x − a).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 121 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
b
a
f(a)
b
a+ h
f(a + h)
b
b
a
f(a)
b
b
bb
a+ h
f(a + h)
b
b
a
f(a) b
bb
b
a+ h
f(a + h)
b
b
a
f(a) b
bb
b
b
a+ h
f(a + h)
b
b
b
y = f(a) + f ′(a)(x − a)
α
f ′(a) = tgα
Interpretação geométrica do conceito de derivada
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 122 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Pretendemos generalizar o conceito de derivada a funções
f : D ⊆ Rn → Rm.
Por uma questão de economia de escrita, consideraremos, inicialmente,funções
f : D ⊆ R2 → R.Como habitualmente, escreveremos (x, y) em vez de (x1, x2) pararepresentar os elementos de R2.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 123 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Sejam D um subconjunto não vazio de R2 e f : D ⊆ R2 → R uma função.A derivada parcial de f em relação a x (ou em ordem a x) é a função∂f
∂xque se obtém derivando (caso a derivada exista) f em relação a x,
tratando y como se fosse uma constante. Por exemplo, se f : R2 → R é afunção definida por
f(x, y) = 2x3y − 4x sen(πy),temos
∂f
∂x(x, y) = 6x2y − 4 sen(πy).
De igual modo, a derivada parcial de f em relação a y (ou em ordem a
y) é a função∂f
∂yque se obtém derivando (caso a derivada exista) f em
relação a y, tratando x como se fosse uma constante. Assim, no exemplo dadotemos
∂f
∂y(x, y) = 2x3 − 4πx cos(πy).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 124 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Vejamos como definir de modo mais formal as derivadas parciais.Sejam D um subconjunto de R2, f : D ⊆ R2 → R uma função e(a, b) ∈ D. Suponhamos que (a, b) é um ponto de acumulação de
{(x, y) ∈ D : y = b} .
Representa-se por
∂f
∂x(a, b), f ′x(a, b) ou Dxf(a, b),
a derivada parcial de f em relação a x (ou em ordem a x) noponto (a, b) e define-se da seguinte forma
∂f
∂x(a, b) = lim
h→0f(a+ h, b) − f(a, b)
h
quando este limite exista (e seja finito).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 125 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Analogamente, se (a, b) ∈ D é ponto de acumulação de
{(x, y) ∈ D : x = a} ,
representa-se por
∂f
∂y(a, b), f ′y(a, b) ou Dyf(a, b),
a derivada parcial de f em ordem a y no ponto (a, b) e define-seda seguinte forma
∂f
∂y(a, b) = lim
k→0f(a, b+ k) − f(a, b)
k,
quando este limite existe.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 126 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
x
y
z
b
a
b
f(a, b)
bb
α
∂f
∂x(a, b) = tgα
b
β
∂f
∂y(a, b) = tg β
Interpretação geométrica das derivadas parciais
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 127 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Seja f : D ⊆ R2 → R uma função. A função que a cada (x, y) associa∂f
∂x(x, y) designa-se por (função) derivada parcial de f em ordem
a x e representa-se por
∂f
∂x, f ′x ou Dxf.
Obviamente, o seu domínio é o conjunto{
(x, y) ∈ D : existe ∂f∂x
(x, y)}
.
Do mesmo modo, define-se (função) derivada parcial de f emordem a y que se representa por
∂f
∂y, f ′y ou Dyf.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 128 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Exemplos de derivadas parciais
a) Considerando a função f : R2 → R definida por
f(x, y) = x2 + y2 + sen(xy)
temos∂f
∂x(x, y) = 2x+ y cos(xy)
e∂f
∂y(x, y) = 2y + x cos(xy).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 129 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Exemplos de derivadas parciais (continuação)
b) A função f : R2 → R definida por
f(x, y) = sen(
x2 + y3)
+ ex−cos(xy)
tem as seguintes derivadas parciais
∂f
∂x(x, y) = 2x cos
(
x2 + y3)
+ (1 + y sen (xy)) ex−cos(xy)
e∂f
∂y(x, y) = 3y2 cos
(
x2 + y3)
+ x sen (xy) ex−cos(xy) .
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 130 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Exemplos de derivadas parciais (continuação)
c) Seja f : R2 → R a função definida por
f(x, y) =
(x− 1)y2(x− 1)2 + y2 se (x, y) 6= (1, 0),
0 se (x, y) = (1, 0).
Então
∂f
∂x(1, 0) = lim
h→0
f(1 + h, 0) − f(1, 0)h
= limh→0
(1+h−1)02
(1+h−1)2+02 − 0h
= limh→0
0h2
h= lim
h→0
0h
= limh→0
0 = 0
e
∂f
∂y(1, 0) = lim
k→0
f(1, 0 + k) − f(1, 0)k
= limk→0
(1−1)k2
(1−1)2+k2 − 0k
= limk→0
0k2
k= lim
k→0
0k
= limk→0
0 = 0.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 131 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Exemplos de derivadas parciais (continuação)
d) Seja f : R2 → R a função dada por
f(x, y) =
x2
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
Então
∂f
∂x(0, 0) = lim
h→0
f(0 + h, 0) − f(0, 0)h
= limh→0
h2
h2+02 − 0h
= limh→0
h2
h2
h= lim
h→0
1h
e este limite não existe. Logo f não tem derivada parcial em ordem a x noponto (0, 0). Por outro lado,
∂f
∂y(0, 0) = lim
k→0
f(0, 0 + k) − f(0, 0)k
= limk→0
02
02+k2 − 0k
= limk→0
0k2
k= lim
k→0
0k
= limk→0
0 = 0.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 132 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Nas definições de derivadas parciais, dadas atrás, consideramosacréscimos da função quando o ponto do domínio percorre segmentosparalelos aos eixos. Este facto sugere que generalizemos a definição dederivadas parcial segundo qualquer direcção.
Dados um subconjunto D de R2, uma função
f : D ⊆ R2 → R,
a = (a1, a2) ∈ D e u = (u1, u2) um vector de R2, chama-se derivadade f no ponto a segundo o vector u ao limite, quando existe,
limt→0
f(a+ tu) − f(a)t
= limt→0
f(a1 + tu1, a2 + tu2) − f(a1, a2)t
e representa-se porf ′u(a) ou Duf(a).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 133 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Quando‖u‖ = 1
as derivadas segundo vectores costumam designar-se por derivadasdireccionais, se bem que será mais correcto falar em derivada dirigidaou derivada radial segundo u pois a derivada, para além de dependerda direcção, também depende do sentido de u.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 134 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
x
y
z
b
a
b
f(a, b)
b
uu
b
α
f ′u(a, b) = tgα
Interpretação geométrica da derivada segundo um vector
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 135 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Exemplo
Consideremos a função f : R2 → R definida por
f(x, y) =
xy2
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
Fazendo u = (cosα, sen α), α ∈ [0, 2π[, temos
f ′u(0, 0) = limt→0
f(0 + t cosα, 0 + t senα) − f(0, 0)t
= limt→0
t cosα t2 sen2 αt2 cos2 α+ t2 sen2 α
t
= limt→0
t3 cosα sen2 αt3 (cos2 α+ sen2 α)
= sen2 α cosα.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 136 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Dada uma função f : D ⊆ R2 → R e considerando os vectorese1 = (1, 0) e e2 = (0, 1), temos
f ′e1(a) = limt→0f(a+ te1) − f(a)
t
= limt→0
f(a1 + t, a2) − f(a1, a2)t
=∂f
∂x(a)
e
f ′e2(a) = limt→0f(a+ te2) − f(a)
t
= limt→0
f(a1, a2 + t) − f(a1, a2)t
=∂f
∂y(a).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 137 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
No caso geral em que temos uma função
f : D ⊆ Rn → Rm
definimos, para a = (a1, . . . , an), as seguintes derivadas parciais:
∂f
∂x1(a) =
∂f
∂x1(a1, . . . , an) = lim
h→0
f(a1 + h, a2, . . . , an) − f(a1, . . . , an)h
∂f
∂x2(a) =
∂f
∂x2(a1, . . . , an) = lim
h→0
f(a1, a2 + h, a3, . . . , an) − f(a1, . . . , an)h
...
∂f
∂xn(a) =
∂f
∂xn(a1, . . . , an) = lim
h→0
f(a1, . . . , an−1, an + h) − f(a1, . . . , an)h
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 138 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
A função que a cada x = (x1, . . . , xn) associa∂f
∂x1(x) designa-se por
(função) derivada parcial de f em ordem a x1 e representa-se por
∂f
∂x1, f ′x1 ou Dx1f.
Obviamente, o seu domínio é o conjunto{
x ∈ D : existe ∂f∂x1
(x)}
.
Do mesmo modo, define-se (função) derivada parcial de f emordem a xi, i = 2, . . . , n, que se representa por
∂f
∂xi, f ′xi ou Dxif.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 139 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Também podemos definir derivadas segundo vectores para funções
f : D ⊆ Rn → Rm.
Assim, sef : D ⊆ Rn → Rm
e a = (a1, . . . , an) ∈ D chama-se derivada de f no ponto a segundo ovector u = (u1, . . . , un) ∈ Rn ao limite, caso este exista,
limt→0
f(a+ tu) − f(a)
t= lim
t→0
f(a1 + tu1, a2 + tu2, . . . , an + tun) − f(a1, a2, . . . , an)
t
e representa-se porf ′u(a) ou Duf(a).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 140 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Quando‖u‖ = 1,
as derivadasf ′u(a)
designam-se por derivadas direccionais, se bem que o mais correctoseria falar em derivada dirigida ou derivada radial segundo u, pois estaderivada para além de depender da direcção também depende dosentido de u.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 141 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Se considerarmos em Rn os vectores e1 = (1, 0, . . . , 0),e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1) temos
f ′e1(a) =∂f
∂x1(a)
f ′e2(a) =∂f
∂x2(a)
...
f ′en(a) =∂f
∂xn(a).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 142 / 357
§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Das propriedades dos limites resulta imediatamente que se
f : D ⊆ Rn → Rm e f = (f1, . . . , fm) , m > 1temos
∂f
∂x1(a) =
(∂f1∂x1
(a),∂f2∂x1
(a), . . . ,∂fm∂x1
(a))
∂f
∂x2(a) =
(∂f1∂x2
(a),∂f2∂x2
(a), . . . ,∂fm∂x2
(a))
...
∂f
∂xn(a) =
(∂f1∂xn
(a),∂f2∂xn
(a), . . . ,∂fm∂xn
(a))
e para cada vector u ∈ Rn,
f ′u(a) =(
(f1)′u (a), (f2)
′u (a), . . . , (fm)
′u (a)
)
.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 143 / 357
Índice
1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
2 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Derivada da função compostaDerivadas de ordem superior. Teorema de SchwarzTeorema da função implícitaExtremos locais e extremos absolutosExtremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
3 Cálculo integral em Rn
4 Integrais de linha
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 144 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Uma das primeiras propriedades do cálculo diferencial de funções reaisde variável real diz que se uma função tem derivada num ponto, entãoa função é contínua nesse ponto. Para funções com mais do que umavariável isso não acontece. É possível existirem todas as derivadasdireccionais, sem que a função seja contínua nesse ponto. Vejamos umexemplo em que isso acontece.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 145 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Exemplo
Consideremos a função f : R2 → R definida por
f(x, y) =
x2y
x4 + y2se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
Comecemos por calcular as derivadas parciais
∂f
∂x(0, 0) = lim
h→0f(h, 0) − f(0, 0)
h= lim
h→00 − 0h
= limh→0
0h
= limh→0
0 = 0
e
∂f
∂y(0, 0) = lim
k→0f(0, k) − f(0, 0)
k= lim
k→00 − 0k
= limk→0
0k
= limk→0
0 = 0.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 146 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Exemplo (continuação)
Por outro lado, fazendou = (cosα, senα) , α ∈ [0, 2π[,
temos
f ′u(0, 0) = limt→0
f(0 + t cosα, 0 + t senα) − f(0, 0)t
= limt→0
t2 cos2 α t senαt4 cos4 α+ t2 sen2 α
t
= limt→0
cos2 α senαt2 cos4 α+ sen2 α
=
cos2 αsenα
se α ∈ [0, 2π[\ {0, π},
0 se α ∈ {0, π}.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 147 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Exemplo (continuação)
Vejamos que a função f não é contínua em (0, 0). Fazendo
A ={
(x, y) ∈ R2 : y = 0}
e B ={
(x, y) ∈ R2 : y = x2}
,
temos
lim(x,y)→(0,0)
x∈A
f(x, y) = limx→0
f(x, 0) = limx→0
x2 0x4 + 02
= limx→0
0x4
= limx→0
0 = 0
e
lim(x,y)→(0,0)
x∈B
f(x, y) = limx→0
f(x, x2) = limx→0
x2 x2
x4 + (x2)2= lim
x→0
x4
2x4= lim
x→0
12
=12,
o que mostra que não existe limite no ponto (0, 0) e, portanto, a funçãonão é contínua nesse ponto.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 148 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Este exemplo mostra que uma função ter derivadas parciais ouderivadas direccionais não é uma condição suficiente para que umafunção seja contínua num ponto. É, portanto, necessário um conceitomais forte.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 149 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Pode-se provar que
Uma função f : D ⊆ R → R tem derivada no ponto a ∈ D deacumulação de D se e só se existem um número real c e umafunção r : D∗ → R tais que
f(a+ h) = f(a) + ch+ r(h) para cada h ∈ D∗
e
limh→0
r(h)h
= 0,
onde
D∗ = {h ∈ R : a+ h ∈ D} .Além disso, nas condições anteriores tem-se c = f ′(a).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 150 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Assim, dados uma função
f : D ⊆ R2 → R
e um ponto (a, b) interior a D, dizemos que f é diferenciável em (a, b)se existirem as derivadas parciais de f no ponto (a, b) e existir umafunção
r : D∗ → R,onde
D∗ ={
(h, k) ∈ R2 : (a+ h, b+ k) ∈ D}
,
tal que
lim(h,k)→(0,0)
r(h, k)‖(h, k)‖ = 0
e
f(a+ h, b+ k) = f(a, b) +∂f
∂x(a, b)h+
∂f
∂y(a, b)k + r(h, k)
para quaisquer (h, k) ∈ D∗.António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 151 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Fazendo (h, k) → (0, 0) em
f(a+ h, b+ k) = f(a, b) +∂f
∂x(a, b)h+
∂f
∂y(a, b)k + r(h, k)
temos
lim(h,k)→(0,0)
f(a+ h, b+ k)
= lim(h,k)→(0,0)
[
f(a, b) +∂f
∂x(a, b)h +
∂f
∂y(a, b)k + r(h, k)
]
= f(a, b)
o que mostra que uma função é contínua nos pontos onde édiferenciável!
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 152 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Exemplos
a) Seja f : R2 → R a função definida por
f(x, y) =
x2y2
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0),
e estudemos a diferenciabilidade de f no ponto (0, 0). Para f serdiferenciável em (0, 0) tem de existir r : R2 → R tal que
lim(h,k)→(0,0)
r(h, k)√h2 + k2
= 0
e
f(h, k) = f(0, 0) +∂f
∂x(0, 0)h +
∂f
∂y(0, 0) k + r(h, k)
para qualquer (h, k) ∈ R2.António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 153 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Assim, calculemos as derivadas parciais de f noponto (0, 0):
∂f
∂x(0, 0) = lim
h→0
f(h, 0) − f(0, 0)h
= limh→0
h2.02
h2 + 02− 0
h= lim
h→0
0h
= limh→0
0 = 0,
∂f
∂y(0, 0) = lim
k→0
f(0, k) − f(0, 0)k
= limk→0
02.k2
02 + k2− 0
k= lim
k→0
0k
= limk→0
0 = 0.
De
f(h, k) = f(0, 0) +∂f
∂x(0, 0)h +
∂f
∂y(0, 0) k + r(h, k)
resulta queh2k2
h2 + k2= r(h, k).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 154 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Como
lim(h,k)→(0,0)
r(h, k)√h2 + k2
= lim(h,k)→(0,0)
h2k2
h2+k2√h2 + k2
= lim(h,k)→(0,0)
h2k2
(h2 + k2)√h2 + k2
= lim(h,k)→(0,0)
kh2
h2 + k2k√
h2 + k2
= 0
pois as funçõesh2
h2 + k2e
k√h2 + k2
são limitadas, podemos
concluir que a função é diferenciável em (0, 0).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 155 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Exemplos (continuação)
b) Estudemos no ponto (0, 0) a diferenciabilidade da funçãof : R2 → R dada por
f(x, y) =
x2y
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
Comecemos por calcular as derivadas parciais de f no ponto (0, 0):
∂f
∂x(0, 0) = lim
h→0
f(h, 0) − f(0, 0)h
= limh→0
h2.0h2 + 02
− 0h
= limh→0
0h
= limh→0
0 = 0
e
∂f
∂y(0, 0) = lim
k→0
f(0, k) − f(0, 0)k
= limk→0
02.k02 + k2
− 0k
= limk→0
0k
= limk→0
0 = 0.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 156 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Para f ser diferenciável no ponto (0, 0) tem de existir
r : R2 → R tal que lim(h,k)→(0,0)
r(h, k)√h2 + k2
= 0 e
f(h, k) = f(0, 0) +∂f
∂x(0, 0)h +
∂f
∂y(0, 0) k + r(h, k).
Desta última igualdade vem
r(h, k) =h2k
h2 + k2.
Vejamos que não existe
lim(h,k)→(0,0)
r(h, k)√h2 + k2
= lim(h,k)→(0,0)
h2k
(h2 + k2)√h2 + k2
.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 157 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Fazendo A ={(h, k) ∈ R2 : h = k
}temos
lim(h,k)→(0,0)
(h,k)∈A
r(h, k)√h2 + k2
= limh→0
r(h, h)√h2 + h2
= limh→0
h3
2h2√
2h2= lim
h→0h
2√
2|h|
e este último limite não existe porque
limh→0+
h
2√
2|h|=
1
2√
2e lim
h→0−h
2√
2|h|= − 1
2√
2.
Logo não existe
lim(h,k)→(0,0)
r(h, k)√h2 + k2
e, portanto, f não é diferenciável em (0, 0).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 158 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Dada uma função f : D ⊆ R2 → R diferenciável num ponto (a, b)interior a D, chama-se plano tangente ao gráfico de f no ponto(a, b, f(a, b)) ao plano definido pela equação
z = f(a, b) +∂f
∂x(a, b)(x− a) + ∂f
∂y(a, b)(y − b).
Por exemplo, para a função f : R2 → R definida por
f(x, y) =
x2y2
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0),
que já vimos ser diferenciável em (0, 0), o plano tangente ao gráfico def no ponto (0, 0, f(0, 0)) é dado pela equação
z = 0.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 159 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Se f : D ⊆ R2 → R diferenciável num ponto (a, b) interior a D, a
L(x, y) = f(a, b) +∂f
∂x(a, b)(x− a) + ∂f
∂y(a, b)(y − b)
chamamos aproximação linear de f no ponto (a, b) e costumaescrever-se
f(x, y) ≈ f(a, b) + ∂f∂x
(a, b)(x − a) + ∂f∂y
(a, b)(y − b).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 160 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Exemplo
Seja f : R2 → R a função dada por f(x, y) = x ey + sen y. Esta função édiferenciável no ponto (0, 0). Como
∂f
∂x(x, y) = ey e
∂f
∂y(x, y) = x ey + cos y
temos∂f
∂x(0, 0) = 1 e
∂f
∂y(0, 0) = 1.
Tendo em conta que f(0, 0) = 0, uma equação do plano tangente aográfico de f no ponto (0, 0, f(0, 0)) = (0, 0, 0) é
z = f(0, 0) +∂f
∂x(0, 0)(x − 0) + ∂f
∂y(0, 0)(y − 0)
= x+ y.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 161 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Exemplo (continuação)
A aproximação linear de f no ponto (0, 0) é dada por
f(x, y) ≈ f(0, 0) + ∂f∂x
(0, 0)(x − 0) + ∂f∂y
(0, 0)(y − 0)≈ x+ y.
Usando a aproximação linear temos
f(0.1, 0.2) ≈ 0.1 + 0.2 = 0.3 e f(1, 1) ≈ 1 + 1 = 2.De facto,
f(0.1, 0.2) = 0.3208096066... e f(1, 1) = 3.559752813...
ou seja, a primeira aproximação é bastante melhor do que a segunda.Tal deve-se ao facto de a distância de (0.1, 0.2) a (0, 0) ser menor doque a distância de (1, 1) a (0, 0).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 162 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Uma função f : D ⊆ Rn → R diz-se diferenciável num ponto interiora = (a1, . . . , an) de D se existirem todas as derivadas parciais de f noponto a e uma função r : D∗ → R, onde
D∗ = {h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn : a+ h ∈ D} ,tal que
lim‖h‖→0
r(h)‖h‖ = 0
e
f(a+ h) = f(a) +∂f
∂x1(a)h1 + · · · +
∂f
∂xn(a)hn + r(h),
isto é,f(a1 + h1, . . . , an + hn)
= f(a1, . . . , an) +∂f
∂x1(a1, . . . , an)h1 + · · · +
∂f
∂xn(a1, . . . , an)hn + r(h1, . . . , hn),
para cada vector h = (h1, . . . , hn) ∈ D∗.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 163 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Tal como acontecia para funções de R2 para R, se f é diferenciável ema ∈ D, então f é contínua em a.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 164 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Uma função f : D ⊆ Rn → Rm, com f = (f1, . . . , fm), diz-sediferenciável num ponto a = (a1, . . . , an) interior a D se todas asfunções f1, . . . , fm são diferenciáveis em a.Assim, f é diferenciável em a se as funções f1, . . . , fm admitem, noponto a, derivadas parciais em relação a todas as variáveis e existemfunções r1, . . . , rm : D∗ → R tais que
f1(a+ h) = f1(a) +∂f1∂x1
(a)h1 + · · · +∂f1∂xn
(a)hn + r1(h)
...
fm(a+ h) = fm(a) +∂fm∂x1
(a)h1 + · · · +∂fm∂xn
(a)hn + rm(h)
para cada h = (h1, . . . , hn) ∈ D∗ = {h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn : a+ h ∈ D}e
lim‖h‖→0
r1(h)‖h‖ = · · · = lim‖h‖→0
rm(h)‖h‖ = 0.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 165 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Usando matrizes temos que f é diferenciável em a = (a1, . . . , an) se e sóse as funções f1, . . . , fm admitem, no ponto a, derivadas parciais emrelação a todas as variáveis e existem funções r1, . . . , rm : D∗ → R taisque
f1(a+ h)
...
fm(a+ h)
=
f1(a)
...
fm(a)
+
∂f1∂x1
(a) · · · ∂f1∂xn
(a)
.... . .
...∂fm∂x1
(a) · · · ∂fm∂xn
(a)
.
h1
...
hn
+
r1(h)
...
rm(h)
para cada h ∈ D∗ e
lim‖h‖→0
r1(h)‖h‖ = · · · = lim‖h‖→0
rm(h)‖h‖ = 0.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 166 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
A matriz
Ja(f) =
∂f1∂x1
(a) · · · ∂f1∂xn
(a)
.... . .
...∂fm∂x1
(a) · · · ∂fm∂xn
(a)
diz-se a matriz jacobiana de f no ponto a.
Quando f é diferenciável em a a matriz jacobiana de f em a designa-sepor derivada de f no ponto a e representa-se por
f ′(a) ou Df(a).
Quando n = m, o determinante de J diz-se o jacobiano da função f erepresenta-se por
∂ (f1, . . . , fn)∂ (x1, . . . , xn)
.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 167 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Propriedades
a) Se f, g : D ⊆ Rn → Rm são diferenciáveis num ponto a interior a D,entãoi) f + g é diferenciável em a e
(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a);
ii) para qualquer λ ∈ R, λf é diferenciável em a e
(λf)′(a) = λf ′(a).
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 168 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Propriedades
b) Se f, g : D ⊆ Rn → R são diferenciáveis num ponto a interior a D,entãoi) f.g é diferenciável em a e
(f.g)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a);
ii) se g(a) 6= 0, fg
é diferenciável em a e
(f
g
)′(a) =
f ′(a)g(a) − f(a)g′(a)[g(a)]2
.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 169 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Propriedades
c) Se f : D ⊆ Rn → Rm é diferenciável em a e u = (u1, . . . , un) ∈ Rn,então existe f ′u(a) e
f ′u(a) =[f ′(a)
].u =
∂f1∂x1
(a) · · · ∂f1∂xn
(a)
.... . .
...∂fm∂x1
(a) · · · ∂fm∂xn
(a)
.
u1
...
un
d) Sejam D um subconjunto de Rn e f : D ⊆ Rn → R uma funçãopara a qual existem todas as derivadas parciais. Então f édiferenciável em todos os pontos em que n− 1 dessas derivadasparciais são contínuas. Em particular, se todas as derivadas parciaissão contínuas num ponto, a função é diferenciável nesse ponto.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 170 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Dada uma funçãof : D ⊆ Rn → R,
chama-se gradiente de f no ponto a ∈ D, e representa-se por
(∇f) (a) ou (grad f) (a),
ao vector
(∇f) (a) =(∂f
∂x1(a), . . . ,
∂f
∂xn(a))
,
desde que existam todas as derivadas parciais (de primeira ordem) de fno ponto a.
António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 171 / 357
§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
É de notar que se f : D ⊆ Rn → R é uma função diferenciável numponto a interior a D, a propriedade c) que vimos anteriormente fica
f ′u(a) =[∂f
∂x1(a) · · · ∂f
∂xn(a)]
·
u1
...
un
=∂f
∂x1(a)u1 + · · · +
∂f
∂xn(a)un.
Recordando que dados b = (b1, . . . , bn) e c = (c1, . . . , cn) em Rn, oproduto escalar ou interno entre b e c é dado por
〈b, c〉 = b1c1 + b2c2 + · · · + bncn,
tem-se
f ′u(a) =∂f
∂x1(a)u1 + · · · +
∂f
�